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{\bf R\'esum\'e : } Qu'est ce qu'une texture? Il est impossible de r\'epondre \`a cette question de mani\`ere intensive, mais il est tout \`a fait possible
de donner des exemples: un champ de bl\'e, la mer, la peau d'un reptile...  
Le but de cette th\`ese n'est pas de r\'epondre \`a cette question mais de formaliser math\'ematiquement la {\it discrimination de textures}  en prenant comme source la Th\'eorie des Textons de Julesz. 

Dans un premier temps, il semble interessant d'\'etudier les textures les plus simples comme par exemple un champ de bl\'e ou une mer vus de tr\`es haut. Dans ce cas, elles semblent uniformes. Un travail a permis de montrer que la discrimination peut \^etre obtenue en utilisant une m\'ethode de fusion g\'eom\'etrique des donn\'ees.

Dans un second temps, on s'interesse aux m\^emes textures mais cette fois, lorsqu'elles sont vues de plus pr\`es. D\'esormais, on ne peut plus supposer qu'elles sont uniformes: on observe des rang\'ees de bl\'e, des vagues etc...
Les d\'etails que l'on voit sont orient\'es et ont une \'echelle donn\'ee. 
Ceci peut \^etre pris en compte en vue de la discrimination: C'est ce qui a 
\'et\'e r\'ealis\'e dans le cas des textures de Brodatz en effectuant une transformation en ondelettes puis une fusion de donn\'ees.

Dans un troisi\`eme temps, si on observe les textures de tr\`es pr\`es, on constate
qu'elles sont compos\'ees de formes \'el\'ementaires appel\'ees
 {\it textons} d'apr\`es la terminologie de Julesz. Il est alors
n\'ecessaire d'analyser g\'eom\'etriquement ces formes de mani\`ere multi\'echelle pour les comparer entre elles. Ensuite la m\^eme fusion de donn\'ees permet d'obtenir la discrimination. 

Pour pouvoir r\'ealiser des exp\'eriences, il a aussi fallu trouver des algorithmes num\'eriques permettant de r\'ealiser efficacement la fusion g\'eom\'etriques des donn\'ees et l'analyse g\'eom\'etrique multi\'echelle. D\'es lors, il \'etait possible de discuter la th\'eorie de Julesz et de la pr\'eciser un peu.

Pr\'ecisons que la fusion g\'eom\'etrique des donn\'ees est r\'ealis\'ee gr\^ace \`a la fonctionnelle de Mumford et Shah avec approximation constante par morceaux. En outre,
l'analyse multi\'echelle g\'eom\'etrique d'images consiste \`a r\'esoudre une \'equation parabolique non lin\'eaire invariante par rapport au r\'ef\'erentiel et invariante par rapport \`a l'\'echelle des niveaux de gris de l'image. Enfin, seules les g\'eom\'etries euclidiennes et affines ont \'et\'e consid\'er\'ees.


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