
Ce chapitre a \'et\'e \'ecrit en collaboration avec Jean-Michel Morel et va para\^{\i}tre dans Matapli.

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{ \small {\noindent \bf R\'esum\'e.}    Une image num\'erique se mod\'elise comme une fonction r\'eelle $u_0(x)$
d\'efinie sur le plan (le niveau de gris en $x$).  Le pivot de la th\'eorie de la vision et du traitement d'images est 
le concept d'{\it analyse multi\'echelle} (ou "{\it scale space}").  L'analyse multi\'echelle associe \`a
 $u(0)=u_0$ une s\'equence
d'images simplifi\'ees $u(t,x)$ qui d\'epend d'un param\`etre, $t>0$ abstrait : {\bf l'\'echelle}.
 L'image
$u(t,x)$ est l'{\it analyse de $u_0$ \`a l'\'echelle t} (cf. fig. 1,2).
La formalisation 
du {\it scale space}
s'est acc\'el\'er\'ee dans les dix derni\`eres ann\'ees ; une dizaine de th\'eories de l'analyse multi\'echelle
des images, des "formes" et des "textures" ont \'et\'e propos\'ees et des travaux r\'ecents ont permis
de formaliser le champ tout entier. Ainsi, il suffit de quelques principes pour
caract\'eriser et regrouper plus de dix th\'eories en analyse d'images,
de formes et de textures. Ces principes sont 

\begin {itemize}
\item la {\it causalit\'e} (un  concept de th\'eorie de la
 vision qui se ram\`ene au {\it principe du maximum }
et \`a l'hypoth\`ese d'une {\it architecture pyramidale}), 

\item {\it l'invariance euclidienne 
et/ou affine}, qui traduit le fait que le traitement ne d\'epend pas de la distance et de l'orientation
de l'image analys\'ee (fig. 2),  

\item {\it l'invariance
morphologique} qui signifie que le traitement de l'image ne d\'epend pas d'un changement
de l'\'echelle de contraste. 

\end {itemize}

La caract\'erisation et la classification des nombreuses th\'eories de l'analyse multi\'echelle
d'images et de formes sont obtenues en identifiant leurs \'equations aux d\'eriv\'ees partielles
 sous-jacentes.   La caract\'erisation axiomatique permet du m\^eme coup de d\'emontrer que certaines d'entre elles sont
 identiques. Une autre cons\'equence de la r\'eduction \`a des E.D.P. est qu'on
 peut am\'eliorer la plupart des algorithmes et en proposer d'autres plus invariants. 
Parmi les th\'eories multi\'echelle qui sont
maintenant enti\`erement axiomatis\'ees et unifi\'ees, nous pouvons citer 
 

-le {\it raw primal sketch}  de Hildreth et Marr, 

-l' {\it entropy scale space} de Kimia, Tannenbaum et Zucker,
  
-la th\'eorie des {\it textons} de Julesz,

-le {\it dynamic shape} de Koenderink et Van Doorn,

-le {\it curvature primal sketch} de Mackworth et Mocktarian, Asada et Brady,
 
-la {\it morphologie math\'ematique} de Matheron, Serra et l'\'ecole de Fontainebleau, 

-la {\it diffusion anisotropique} de Perona et Malik, 

-l'{\it affine scale space of curves} de Sapiro et Tannenbaum,

-le {\it scale space} de Witkin, Koenderink,... 

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{\bf La classification de ces th\'eories multi\'echelle
 ne conduit pas \`a les conserver toutes, mais plut\^ot 
\`a proposer l'unique th\'eorie jouissant simultan\'ement 
de toutes les bonnes propri\'et\'es de stabilit\'e
et d'invariance qu'elles pr\'esentent.}

 Cette analyse multi\'echelle la plus invariante
(\`a la fois affine et morphologique) peut \^etre d\'efinie par une
 simple \'equation aux d\'eriv\'ees partielles (qui est une \'equation de la
chaleur "intrins\`eque"),

	$$\frac {\partial u}{\partial t} = \vert Du\vert(t.div(Du/\vert Du\vert ))^{1/3} , 
 \;\;\; u(0,x) = u_0(x) \label {equation fondamentale} $$


o\`u $u(t,x)$ d\'esigne l'image analys\'ee \`a l'\'echelle $t$ et au point $x$.
(L'\'equation admet une unique solution  de viscosit\'e au sens de
Crandall-Ishii-Lions [C.I.L.])
 Cette \'equation ({\bf Affine Morphological Scale Space, A.M.S.S.}) traite s\'epar\'ement
tous les ensembles de niveau d'une image et r\'ealise donc une op\'eration {\bf morphologique}.
De plus, chaque ensemble de niveau de l'image est trait\'e par l'\'equation comme
une forme. Par cons\'equent, on a {\bf une th\'eorie commune et unique pour 
 l'analyse de formes et l'analyse d'images.}

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Une formalisation multi\'echelle de la {\bf segmentation d'images} peut \^etre d\'evelopp\'ee sur des principes analogues
et conduit \` a des algorithmes de segmentation multi\'echelle d'images. Une segmentation multi\'echelle
associe \`a une image initiale $u_0$ une s\'equence $u(t,x)$, $K(t,x)$, o\`u $u(t,x)$ est l'image
simplifi\'ee \`a l'\'echelle $t$ et $K(t,x)$ les bords des r\'egions de l'image \`a l'\'echelle $t$.
Des dizaines d'algorithmes de segmentation ont pu \^etre regroup\'es en un seul gr\^ace \`a la formalisation.

En guise d'application de la m\'ethode axiomatique, nous montrons comment les formalisations multi\'echelle pr\'ec\'edentes permettent de discuter {\bf la th\'eorie  psychophysique de discrimination des textures} (fig. 4,5). Le r\'esultat est inattendu ...}

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\begin{center}

{\bf \Large PLAN}

\end{center}

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{\noindent \bf 1. Bref aper\c cu historique.

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\noindent2. La pyramide visuelle.

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2.1 Quel est l'{\it input} de la pyramide visuelle?

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2.2 Quel est l'{\it output} de la pyramide visuelle? 

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2.3 Quels principes de base doit v\'erifier la pyramide visuelle?

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\noindent 3. Axiomatisation de l'analyse multi\'echelle d'images et de formes et classification des mod\`eles selon leur \'equation fondamentale.

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3.1 Analyse multi\'echelle d'images.

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3.2 Axiomatisation de l'analyse multi\'echelle de formes.

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\noindent 4. Segmentation multi\'echelle.

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\noindent 5. Une application : La discussion d'une th\'eorie psychophysique, \\

 la Th\'eorie des Textons.

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\noindent Appendices

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A. Le "th\'eor\`eme fondamental" de l'analyse d'images.

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B. Morphologie Math\'ematique Affine Invariante.  

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Planches 1,2,3,4,5.


}

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\section [A short story of the subject. ]{Bref aper\c cu historique.} 

La th\'eorie de la Vision et le traitement d'images ({\it Computer Vision}) essaient
 de r\'epondre \`a la question suivante :

Comment une information locale due \`a la lumi\`ere arrivant sur 
la r\'etine (ou sur un capteur) peut-elle \^etre transform\'ee
en une perception globale des objets ?

A partir des ann\'ees soixante, la communaut\'e \'etudiant la vision
a beaucoup utilis\'e les ordinateurs pour exploiter de nouvelles possibilit\'es
d'exp\'erimentation sur des images num\'eriques. 
Les nouvelles technologies ont permis de r\'ealiser des mesures pr\'ecises
sur les performances du syst\`eme visuel humain et ont
ouvert la voie aux premi\`eres exp\'eriences de {\it Vision par ordinateur}.   
 Les d\'eveloppements simultan\'es de la psychophysique et du traitement d'images
ont converg\'e vers une nouvelle doctrine~: l'existence d'une vision bas niveau.
  L'histoire de cette doctrine est bien expliqu\'ee dans le livre de David Marr
"Vision" ([Marr]) et nous allons juste donner quelques faits.  


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D'une part, plusieurs exp\'eriences psychophysiques dues \`a Bela Julesz et
son \'ecole, ont prouv\'e que la reconstruction de l'environnement spatial \`a partir
d'une information binoculaire \'etait une action automatique, un r\'eflexe ne
d\'ependant d'aucun apprentissage. Julesz a aussi \'etudi\'e la perception
pr\'eattentive des textures et a prouv\'e l'existence d'un processus permettant
de discriminer des textures sans connaissance a priori ni apprentissage (fig. 4,5).
Le processus de discrimination est rapide et parall\`ele. Julesz et son \'ecole
l'ont d\'ecrit d'abord par un formalisme statistique, puis g\'eom\'etrique.
    
Ces exp\'eriences, ainsi que les exp\'eriences neurobiologiques de Hubel et
Wiesel, ont donn\'e une preuve d'existence, dans les {\bf premi\`eres millisecondes}
du processus de perception, d'une s\'erie d'op\'erations parall\`eles, rapides
et irr\'eversibles appliqu\'ees \`a l'information r\'etinienne et donnant d\'ej\`a
une information tr\`es riche et tr\`es utile pour la compr\'ehension de l'image.  



\section [The visual pyramid.]{La pyramide visuelle.}


C'est cette s\'erie d'op\'erations que nous appelons "pyramide visuelle". 
On doit la penser comme un algorithme, mais pas
au sens de Turing; dans un sens plus g\'en\'eral o\`u
un algorithme est une bo\^{\i}te noire transformant l'{\it input} en un {\it output} d'une
mani\`ere {\bf d\'eterministe} par un processus physique : cette machine est suppos\'ee
fonctionner physiquement dans le cerveau.
Il y a deux questions \`a distinguer :  comment cette machine fonctionne-t-elle
dans le cas du cerveau et quel est le traitement abstrait appliqu\'e \`a
 l'information ?
(Pour reprendre des termes dus \`a Chomsky on distingue "performance et comp\'etence").
En effet, la seconde question est simplement une question math\'ematique, tandis que la
premi\`ere est tr\`es li\'ee \`a la neurobiologie.  
 
Nous allons nous int\'eresser au probl\`eme math\'ematique et le traiter
d'une mani\`ere assez g\'en\'erale en r\'epondant aux trois questions suivantes
   
a)  Quel est l' {\it input} de la pyramide visuelle ?

b)  Quel est son {\it output} ?

c)  Quels principes doit v\'erifier le traitement effectu\'e par la pyramide visuelle?

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\subsection [What is the {\it input} of the visual pyramid ?]{Quel est l'{\it input} de la pyramide visuelle ?}

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Le mod\`ele le plus simple en traitement d'images consiste \`a d\'efinir
une image comme une fonction de luminance $u_0(x)$ en chaque point $x$ d'un
domaine du plan. Ce domaine, qui peut \^etre le plan lui-m\^eme, est un mod\`ele de la r\'etine
ou d'une surface photosensible. Dans ce qui suit, nous allons prendre le plan pour
simplifier. Bien s\^ur, la donn\'ee de $u_0(x)$ n'est pas absolue en th\'eorie
de la perception. Elle doit \^etre consid\'er\'ee comme un \'el\'ement
d'une classe d'\'equivalence. Si $y$ est un vecteur du plan, $u_0(x-y)$, qui
repr\'esente l'image translat\'ee de $y$, est aussi un \'el\'ement de la classe d'\'equivalence.   
De la m\^eme mani\`ere, $u_0(Rx)$ o\`u $R$ est une isom\'etrie du plan est encore
un \'el\'ement de la m\^eme classe d'\'equivalence car l'analyse d'image ne doit
pas d\'ependre d'un rep\`ere orthonorm\'e particulier (l'analyse doit \^etre
g\'eom\'etriquement intrins\`eque). On peut imposer plus g\'en\'eralement que $u_0(Ax)$,
o\`u $A$ est une transformation affine du plan, appartienne aussi \`a la m\^eme classe
d'\'equivalence. En effet, une image plane peut \^etre per\c cue
de la m\^eme mani\`ere par un observateur quelle que soit sa position 
par rapport \`a l'image (penser \`a un tableau dans une exposition). Par cons\'equent,
 l'{\it input} $u_0(x)$  est suppos\'e
\'equivalent \`a n'importe quelle de ses anamorphoses $u_0(Ax)$ o\`u $A$ est
une transformation affine inversible du plan (effet de perspective pour un objet \'eloign\'e de
l'oeil) (voir fig.2).  

Enfin, $u_0(x)$ ne donne g\'en\'eralement pas d'information
sur le nombre de photons \'emis et re\c cus sur le capteur.
Par cons\'equent, la classe d'\'equivalence sera $g(u_0(x))$, o\`u $g$
repr\'esente n'importe quelle fonction de contraste d\'ependant du capteur.
Cette derni\`ere hypoth\`ese, qui consiste \`a dire que seuls les {\bf isophotes}
 comptent, est un des principes de la morphologie math\'ematique [Mat,Ser].
C'est pourquoi nous l'appellerons {\bf hypoth\`ese morphologique}. Il faut penser \`a deux vues d'une
m\^eme sc\`ene prises avec deux appareils diff\'erents (ou avec le m\^eme appareil \`a des 
instants diff\'erents) : une des images se d\'eduit de l'autre par un changement de contraste
$g$.   
        
  

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{\bf En r\'esum\'e, une image est une classe d'\'equivalence de fonctions
$u_0(Ax)$ o\`u $A$ est n'importe quelle isom\'etrie dans le 
mod\`ele euclidien, $A$ est une transformation affine inversible
dans le mod\`ele affine.  Une image peut se d\'efinir aussi comme
 une classe de fonctions $g(u_0(x))$ o\`u $g$ est n'importe quelle fonction strictement
monotone et continue dans le mod\`ele 
morphologique. On va associer ces mod\`eles et consid\'erer un mod\`ele
 affine morphologique
c'est \`a dire une classe d'\'equivalence de la forme $(g(u_0(Ax)))$.} 
  


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\subsection [What is the {\it output} of the visual pyramid ?]{Quel est l'{\it output} de la pyramide visuelle ?}

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Partant de l'information locale de luminance, chaque couche de la pyramide
visuelle est suppos\'ee fournir une information bas niveau de plus en plus globale
de l'image.  Quelle que soit son utilisation,
la plupart des mod\`eles d\'efinissent l'{\it output} comme
 


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- une image r\'eguli\`ere (\`a partir de laquelle des caract\'eristiques fiables
({\it features}) peuvent \^etre extraites par des op\'erateurs diff\'erentiels) (voir fig.1)


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- ou bien une segmentation, c'est \`a dire, soit une d\'ecomposition de l'image
en r\'egions homog\`enes ("segmentation forte"), avec des bords ou un ensemble
de points fronti\`ere ou {\it edge map} (voir fig.3).


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Dans les deux cas, l'{\it output} d\'epend de deux variables :
une variable $x$ qui repr\'esente le centre d'un voisinage spatial et une
variable $t$ qui peut \^etre identifi\'ee ou corr\'el\'ee avec


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- la "hauteur" de la pyramide visuelle (ou la distance par rapport \`a la premi\`ere
couche, i.e. la r\'etine). Cette distance correspond au temps biologique
entre l'arriv\'ee sur la r\'etine et la premi\`ere arriv\'ee sur une couche donn\'ee. 


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-Le degr\'e de globalit\'e de l'information locale dans la couche consid\'er\'ee,
c'est \`a dire, la taille du voisinage dans la r\'etine $u_0$ qui influe sur la valeur de $u(t,x)$.


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{\noindent \bf En r\'esum\'e, l'{\it output} de la pyramide visuelle est \\
- soit une image multi\'echelle $u(t,x)$ \\
- soit une carte de bords multi\'echelle $K(t,x)$, \\
 o\`u $t$ est un param\`etre qui peut \^etre identifi\'e \`a
 un temps d'analyse ou \`a une
mesure de globalit\'e spatiale de l'information de $u(t,x)$.  
La base de la pyramide est l'image originale $u(0,x) = u_0(x)$.} 
  
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\begin{figure} [htb]
  \insertps{pyramide1.ps} {100mm}{20mm}
\end{figure}




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\subsection [What basic principles must obey the visual pyramid ?]{ Quels principes de base doit v\'erifier la pyramide visuelle?}


\subsubsection [The causality.]{ La causalit\'e.}

Ces principes proviennent du fait que l'on mod\'elise la vision pr\'eattentive :
aucun {\it feedback} n'est acceptable ; l'information visuelle est trait\'ee en
parall\`ele \`a travers une s\'equence de filtres. Ainsi, ce qui se passe aux grandes 
\'echelles n'agit pas sur les petites \'echelles : la pyramide provoque un flux des petites
\'echelles vers les grandes \'echelles ({\it fine to coarse}). De plus, nous supposons
que l'{\it {\it output}} \`a l'\'echelle $t$ peut \^etre calcul\'e \`a partir de l'{\it {\it output}} \`a
l'\'echelle $t-h$ avec $h > 0$. (Prendre en compte que la pyramide visuelle
est une succession de filtres \`a travers lesquels de l'information nouvelle est constamment
trait\'ee.)  


Pour formaliser cette relation, nous appelons $T_t$ la transformation qui 
associe \`a l'image originale $u_0$ son image filtr\'ee \`a l'\'echelle $t$,
$T_tu_0$. (De la m\^eme mani\`ere, nous notons aussi $T_t$ la transformation
qui associe \`a un ensemble $K$ de bords un autre ensemble $T_tK$ de bords
\`a l'\'echelle $t$). Cette transformation est obtenue en composant des {\bf filtres
de transition} que nous notons $T_{t+h,t}$ et nous avons obtenu le premier principe
 r\'egissant la vision pr\'eattentive  
      
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		{\bf Structure pyramidale} \hspace {1 cm} {\bf $T_{t+h} = T_{t+h,t} T_t$.} 

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De plus, on supppose que l'op\'erateur $T_{t+h,t}$ agisse toujours localement.
En d'autres termes, ($T_{t+h,t} u_0)(x)$  (resp. $T_{t+h,t}K(x)$) doit essentiellement
 d\'ependre des valeurs de $u_0(y)$ (resp. $K(y)$) quand $y$ se trouve pr\`es de $x$.   

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Nous allons donner deux versions formelles de cette hypoth\`ese de localit\'e.
Donnons tout de suite son interpr\'etation "physique" : si les \'el\'ements de base de
la pyramide sont suppos\'es \^etre des "neurones", cela signifie qu'un neurone
est d'abord influenc\'e par ses voisins. Un argument permet de justifier cette
remarque : seuls les neurones proches peuvent s'influencer sans d\'elai.
  Terminons par une exigence intuitive qui est appel\'ee en traitement
d'image "causalit\'e". Puisque la pyramide visuelle est suppos\'ee donner
de plus en plus d'information globale sur l'image elle-m\^eme et ses
 caract\'eristiques, il est clair que lorsque l'\'echelle croit, il ne devrait
pas y avoir cr\'eation de nouvelles structures durant l'analyse multi\'echelle :
l'image et les bords \`a l'\'echelle $t'>t$ doivent \^etre plus simples que ceux \`a 
l'\'echelle $t$. L'hypoth\`ese de causalit\'e doit, bien s\^ur, \^etre formalis\'ee.
Sa formalisation a \'et\'e \'etudi\'ee par Hummel [Hum], Koenderink [Koen1,2],
Yuille [Yui], Witkin [Wit], Perona et Malik [PeMa] dans le cadre du traitement
d'image, par Kimia, Tannenbaum et Zucker [KTZ] dans le cadre de l'analyse de forme
et par Muerle et Allen [MuAl], Brice et Fennema [BrFe], Horowitz [Hor], Pavlidis [Pav] dans des travaux sur la 
segmentation d'image.    
        

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Le r\'esultat de la discussion dans le cas du traitement d'image est que la
causalit\'e doit \^etre formalis\'ee comme un principe de comparaison :
Si une image $u$ est localement plus claire qu'une autre image $v$, alors
cet ordre doit \^etre conserv\'e au cours de l'analyse (principe de comparaison). En termes formels, 


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{\bf Principe de comparaison locale}

		si {\bf $u(y)>v(y)$} pour $y$ dans un voisinage du point $x$ et $y\neq x$, alors on doit avoir pour $h$ assez petit
 				{\bf	$$(T_{t+h,t}u)(x) \ge (T_{t+h,t}v)(x)$$} 

Dans le cas de la d\'etection de contour, il y a plusieurs formalisations,
mais la plus simple \'etablit qu'il n'y a pas de bord cr\'e\'e lorsque
l'\'echelle cro\^{\i}t, c'est \`a dire que $T_{t'}K$ est inclus dans $T_tK$ si $t'>t$.  

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\subsubsection [ Morphological and affine invariance.]{ L'invariance morphologique et affine.}

Outre l'exigence de causalit\'e, nous devons garder \`a l'esprit
que la pyramide agit sur des classes d'\'equivalence de fonctions de la
forme $g(u_0(Ax))$, o\`u $g$ est une fonction monotone continue et $A$ est soit une
isom\'etrie soit une transformation affine inversible du plan.
Par cons\'equent, l' {\it output} ne devrait pas d\'ependre de $u_0$ mais de sa classe 
d'\'equivalence. Ainsi, les op\'erateurs de transition $T_{t+h,t}u$ doivent
commuter avec les "perturbations" $g$ et $A$. Dans le cas du changement de contraste
$g$, on peut facilement le traduire sous la forme 
   

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			{\bf Axiome morphologique} \hspace{1cm} {\bf $gT_{t+h,t} =T_{t+h,t}g,$} 

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ce qui signifie que le changement de contraste et l'analyse multi\'echelle peuvent
\^etre appliqu\'es dans n'importe quel ordre. 
Si $A$ est une isom\'etrie, la m\^eme forme de relation doit \^etre vraie.
Notons $Au$ la fonction d\'efinie par $Au(x) = u(Ax)$. Alors nous posons 
  
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			 {\bf Invariance euclidienne} \hspace{1cm} {\bf $AT_{t+h,t} = T_{t+h,t} A$}

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Examinons maintenant le cas d'une transformation affine $A$ quelconque. 
La relation de commutation ne peut plus \^etre aussi simple car $A$ peut
r\'eduire ou agrandir l'image (penser au cas o\`u $A$ est un zoom d\'efini par
$Au(x) = u(\lambda x)$ avec $\lambda$ une constante positive).  
 Puisque le zoom a chang\'e l'\'echelle de l'image, nous pouvons uniquement
imposer une propri\'et\'e de commutation faible 
  

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			{\bf Invariance affine}	\hspace{1cm}		{\bf $AT_{t'+h',t'} = T_{t+h,t} A$}

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o\`u $t'$ et $h'$ d\'ependent de $t$, $h$ et $A$. Il a \'et\'e prouv\'e
dans [AGLM] (et c'est un premier r\'esultat math\'ematique) que l'on peut
toujours imposer $t'= \vert det(A)\vert ^{1/2}t$ et $h'= \vert det(A)\vert ^{1/2}h$
(modulo un changement d'\'echelle $t\to \phi (t)$).  

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{\bf En r\'esum\'e, la pyramide visuelle $T_t$ doit v\'erifier}

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{\bf -Causalit\'e :} 	$T_{t+h} = T_{t+h,t}T_t$ , $T_{t,t} = Id$, et 
$(T_{t+h,t}u)(x) > (T_{t+h,t}v)(x)$ si $u(y) > v(y)$ pour $y$ dans un voisinage 
 de $x$ et $y\neq x$.

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Dans le cas de l'analyse multi\'echelle de bords, cette derni\`ere hypoth\`ese est
remplac\'ee par $T_tK \subset T_tK'$ si $K \subset K'$.

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{\bf -Invariance morphologique :}   $gT_{t+h,t} =T_{t+h,t}g$ quel que soit le changement de contraste $g$.

\skipaline

{\bf -Invariance euclidienne :}   $AT_{t+h,t} = T_{t+h,t} A$ quelle que soit l'isom\'etrie $A$ du plan.

\skipaline

{\bf -Invariance affine :}  $AT_{t'+h',t'} = T_{t+h,t} A$ avec $t'= \vert det(A)\vert ^{1/2}t$ et
 $h'= \vert det(A)\vert ^{1/2}h$. Il faut noter que l'invariance affine implique
 l'invariance euclidienne.
 
\skipaline

{\bf -Lin\'earit\'e :}   $T_{t+h,t} (au + bv)= aT_{t+h,t} (u)+ bT_{t+h,t} (v)$
Nous ajoutons cette propri\'et\'e {\bf optionnelle} car elle a beaucoup \'et\'e utilis\'ee
en "Computer Vision" [Wit,Koe].

\skipaline 

Il y a donc cinq axiomes principaux et nous allons voir qu'ils permettent
de classer et caract\'eriser compl\'etement les th\'eories du traitement
multi\'echelle d'images et de formes et qu'ils unifient et am\'eliorent
certaines d'entre elles.



\section [Axiomatization of multiscale shape and image analysis and classification of the models depending on their fundamental equation.]{ Axiomatisation de l'analyse multi\'echelle
 d'images et de formes et classification des
mod\`eles selon leur \'equation fondamentale.} 


\subsection [Multiscale image analysis.]{ Analyse multi\'echelle d'images.}

D'abord, il est bien reconnu en traitement d'images (Koenderink [Koe2], Hummel [Hum], Yuille [Yui])
que si une analyse multi\'echelle est causale, si elle v\'erifie l'invariance euclidienne et si elle
est lin\'eaire, elle est r\'egie (modulo un changement d'\'echelle $t\to \phi (t)$) par l'\'equation de la chaleur
		{\bf $$\frac {\partial u}{\partial  t} = \Delta u$$}  
(C'est \`a dire que la fonction  $u(t,x) = (T_t u)(x)$ v\'erifie l'equation de la chaleur).  Ce 
mod\`ele de l'analyse multi\'echelle est d\^u \`a Hildreth et Marr (le {\it "raw primal sketch"} [Marr])
et Witkin et Koenderink (le {\it scale space} [Wit], [Koe]).

\skipaline

{\bf \noindent Que se passe-t-il si on \'elimine l'axiome de lin\'earit\'e qui fixait un seul mod\`ele ?}

\skipaline

Comme l'ont remarqu\'e Perona et Malik [PeMa] dans leur th\'eorie non lin\'eaire du {\it scale space},
({\it Anisotropic diffusion} [PeMa]) on peut obtenir des \'equations
 non lin\'eaires

		{\bf $$\frac {\partial u}{\partial  t} = F(D^2u,Du,u,x,t)$$}

  
L'\'etude compl\`ete des mod\`eles non lin\'eaires a \'et\'e men\'ee dans [AGLM] : si l'analyse
 multi\'echelle d'image
 $T_t$ est causale alors elle est une solution de viscosit\'e de l'\'equation pr\'ec\'edente
et la fonction $F$ est croissante par rapport \`a son premier argument
 (pour une d\'emonstration rapide, voir Appendice A). 
 Le cas particulier de l'\'equation de la chaleur correspond au cas  $F(A,p,u,x,t) = trace(A)$.
Par cons\'equent, tous les mod\`eles multi\'echelle peuvent \^etre class\'es et
de nouveaux mod\`eles plus invariants peuvent \^etre propos\'es. Par exemple,
si l'analyse est causale et v\'erifie l'invariance euclidienne et morphologique,
alors elle est r\'egie par une \'equation de la forme
		{\bf $$\frac {\partial u}{\partial  t}=\vert Du\vert F(div(Du/\vert Du\vert ), t)$$}  
o\`u  $div (Du/\vert Du\vert)(x)$ peut \^etre interpr\'et\'e comme la courbure
de la ligne de niveau de l'image $u(t,x)$ passant par $x$ et $F(s,t)$ est une fonction croissante par rapport
\`a la variable $s$.
 
\skipaline

Un cas particulier important appara\^{\i}t lorsque $F$ est une fonction constante : 
si $F=1$ (ou $F=-1$) alors l'\'equation devient $\frac {\partial u}{\partial  t}=\vert Du\vert$ 
(resp. $\frac {\partial u}{\partial  t}=-\vert Du\vert$), 
qui correspond \`a la {\bf dilatation morphologique} si le signe est "+" et \`a l'{\bf \'erosion
morphologique} si le signe est "-".  La dilatation et l'\'erosion sont les op\'erations de base 
d'une des premi\`eres th\'eories du traitement d'images, dues \`a Matheron et son \'ecole, la "Morphologie 
Math\'ematique" ([Mat], [Ser]).  La dilatation \`a l'\'echelle $t$ est d\'efinie par

$$D_tu_0(x) = \sup_{y \in B(x,t)}\; u_0(y),$$
o\`u $B(x,t)$ est un ensemble centr\'e en $x$ : {\bf l'\'el\'ement structurant} (en g\'en\'eral une boule
de rayon $t$).
Par exemple, si $u_0$ est la fonction caract\'eristique d'un ensemble $X$, $D_tu_0$ est la fonction caract\'eristique
du $t$-voisinage de $X$.  Pour l'\'erosion, on remplace le "sup" par un "inf". Comme
nous l'a fait remarquer Michel Rascle, un autre exemple
important v\'erifiant l'axiomatique multi\'echelle morphologique 
et donc une E.D.P. parabolique (d\'eg\'en\'er\'ee) est la famille des "zooms" de
rapport $t$ : $u(t,x) = u_0(tx)$.  Le th\'eor\`eme pr\'ec\'edent s'applique et l'\'equation est

$$\frac {\partial u}{\partial  t}= \frac 1t (\nabla u.x)$$

Noter que le zoom  d'une image discr\'etis\'ee sur une grille n'est pas une op\'eration num\'eriquement triviale...
Les exemples pr\'ec\'edents ne sont que des cas particuliers. En fait, il existe beaucoup d'autres
possibilit\'es d'analyse morphologique ! Si nous posons $F(s,t) = s$ par exemple, nous obtenons
la {\it mean curvature motion} (mouvement par courbure moyenne)

 {\bf $$\frac {\partial u}{\partial  t}=t.\vert Du\vert div(Du/\vert Du\vert)$$}

Cette \'equation provient d'une reformulation faite par Osher et Sethian [OsSe]
d'un mod\`ele de g\'eom\'etrie diff\'erentielle \'etudi\'e par Grayson, Gage-Hamilton
 [Gray, GaHa]. De plus, cette \'equation est tr\`es proche du mod\`ele de 
"diffusion anisotropique" de Perona et Malik et d'une \'equation permettant restauration d'images
due \`a Osher et Rudin [OsRu] :  
 $$\frac {\partial u}{\partial  t}=div(Du/\vert Du\vert)$$

\skipaline

Il y a un mod\`ele encore plus invariant et nouveau : il est prouv\'e dans
[AGLM] {\bf qu'il existe une unique analyse multi\'echelle d'image causale
et v\'erifiant \`a la fois l'invariance affine et l'invariance morphologique.}
Son \'equation est  

 {\bf $$\frac {\partial u}{\partial  t} = \vert Du\vert (t.div(Du/\vert Du\vert))^{1/3}$$} 
Nous appellerons ce mod\`ele {\it A.M.S.S.} ({\it Affine Morphological Scale Space}).
Nous allons mieux comprendre cette \'equation dans le cadre de l'analyse multi\'echelle de
formes. Sapiro et Tannenbaum [SaTa1,2], qui ont d\'ecouvert
ind\'ependamment cette \'equation, lui ont donn\'e une interpr\'etation
g\'eom\'etrique remarquable. 



\subsection [Axiomatization of multiscale shape analysis.]{Axiomatisation de l'analyse multi\'echelle de formes.}  

Cette analyse multi\'echelle prend pour {\it input} une "silhouette",
c'est \`a dire un ensemble ferm\'e du plan dont le bord est une courbe
de Jordan ferm\'ee $x_0(s)$ et essaie de faire \'evoluer la courbe. Une adapation
facile de la formalisation pr\'ec\'edente peut \^etre faite pour axiomatiser
l'analyse de forme. Lopez et Morel [LoMo] ont montr\'e que quatre principes 
de base engendrent un unique mod\`ele pour l'analyse multi\'echelle de formes.
Ces principes sont 


\skipaline

{\bf -Principe pyramidal :} \hspace {1 cm} $T_{t+h} = T_{t+h,t} T_t$.

\skipaline

{\bf -Principe d'inclusion locale des formes :} Si une forme est incluse localement dans une autre,
 cela reste vrai lorsqu'on applique $T_{t+h,t}$  pour $h$ petit.

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{\bf -Invariance affine : } L'analyse de forme commute avec les transformations affines du plan.

\skipaline

{\bf -R\'egularit\'e :} L'\'evolution du rayon d'un disque est r\'eguli\`ere par rapport \`a $t$. 


\skipaline

Le seul mod\`ele d'analyse de forme obtenu \`a partir de ces principes
est donn\'e par une \'equation d'\'evolution portant sur le bord de la forme.
Notons $curv(x)$ la courbure en un point $x$ du bord et $\vec n(x)$ 
le vecteur unitaire normal en ce point (on suppose le bord de classe $C^2$ au
voisinage de $x$), alors l'\'equation d'\'evolution est   
 	{\bf $$\dot x = t^{1/3}curv(x)^{1/3} \vec n(x), \;\;\;x(0,s)=x_0(s)$$}
Cette \'equation est \'equivalente \`a l'\'equation fondamentale de l'analyse
d'images (A.M.S.S.)
 {\bf $$\frac {\partial u}{\partial  t}=\vert Du\vert (t.div(Du/\vert Du\vert)^{1/3}$$} 
puisqu'il est prouv\'e dans [AGLM] que les isophotes d'une image analys\'ee 
avec la seconde \'equation \'evoluent suivant la premi\`ere.
Finalement, les deux mod\`eles sont \'equivalents \`a l'{\it affine invariant scale space} (ASS) 
de courbes d\'ecouvert par Sapiro et Tannenbaum. Le mod\`ele de Sapiro et Tannenbaum
permet une interpr\'etation g\'eom\'etrique simple de l'\'equation fondamentale.
Consid\'erons deux mani\`eres de param\'etrer une courbe de Jordan r\'eguli\`ere $x(s)$ :
\begin{itemize}
\item soit de mani\`ere euclidienne-invariante en imposant la relation $\vert x_s\vert = 1$.
\item soit de mani\`ere affine-invariante en imposant la relation $\vert det(x_s, x_{ss})\vert = 1$. 
\end{itemize}
 Param\'etrons la courbe analys\'ee par son "abscisse affine" $s$. 
L'abscisse affine $s$ est une param\'etrisation affine invariante d'une courbe
( car $\vert det(Ax_s, Ax_{ss})\vert = \vert \det A \vert \vert det(x_s, x_{ss})\vert $ quelle que
soit la transformation lin\'eaire $A$ ). Alors l'{\it affine invariant scale space} est
 \'equivalent \`a 
l'\'equation de la chaleur intrins\`eque (affine)
{\bf $$\frac {\partial x(s,t)}{\partial t} = t^{1/3}\frac {\partial ^2x(s,t)}{\partial s^2},\;\;\;x(0,s)=x_0(s)$$} 
Cette derni\`ere \'equation est donc aussi \'equivalente aux pr\'ec\'edentes!
Pour finir, donnons une liste de th\'eories de l'analyse de forme.
  
Les th\'eories qui sont axiomatis\'ees par la pr\'esentation pr\'ec\'edente sont
le {\it dynamic shape} de Koenderink-Van Doorn [KoDo], le {\it curvature primal sketch} de Mackworth-Mocktarian [MaMo], 
Asada-Brady [AsBr], l' {\it entropy scale space}  de Kimia, Tannenbaum et Zucker [KTZ]
(ces th\'eories sont de fait r\'egies par la {\it Mean Curvature Motion}
 et sont donc \'equivalentes entre elles)
et finalement l'{\it affine scale space} de Sapiro-Tannenbaum [SaTa1,2]. Il y a des th\'eor\`emes
d'existence, d'unicit\'e et de r\'egularit\'e des solutions pour l'\'evolution euclidienne
et affine de courbes; ils sont dus \`a Gage, Hamilton, Grayson, Sapiro et Tannenbaum ([GaHa], [Gra], [SaTa]...).


\section [Multiscale segmentation.]{Segmentation multi\'echelle.}

Etant donn\'ees une image $u_0$ et une carte initiale de bords $K_0$, o\`u $K_0$ est un ensemble
de longueur de Hausdorff finie du plan, on cherche \`a d\'efinir une s\'equence $(K(t))$ de segmentations
multi\'echelles, et une s\'equence d'images filtr\'ees $u(t)$ dont $K(t)$ sera l'ensemble des bords.
Nous allons nous contenter de d\'ecrire une m\'ethode de segmentation multi\'echelle
 pour laquelle l'axiomatisation est presque compl\`ete.
 Les principes que l'on impose sont les suivants.

On note $T_tK_0=K(t)$.

\skipaline

-{\bf Causalit\'e} \hspace{1cm} $K(t') \subset K(t)$ si $t < t'$ et $T_{t,s}T_s=T_t$

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-{\bf Invariance euclidienne} \hspace{1cm} $T_{t+h,t}R=RT_{t+h,t}$ pour toute isom\'etrie $R$.

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-{\bf Invariance par changement d'\'echelle}
 Si $Z_{\lambda}$ d\'esigne le "zoom" de rapport $\lambda$ alors
 $$T_tZ_{\lambda}=Z_{\lambda}T_{\lambda^{1/2}t}$$

Il nous faut aussi un axiome fixant les relations entre les bords $K(t)$ \`a l'\'echelle $t$ et 
l'image $u(t)$ \`a l'\'echelle $t$. On choisit ici le principe le plus simple que Mumford et Shah [MuSh]
appellent {\bf principe de bande dessin\'ee} ({\it cartoon}).


\skipaline


-{\bf Bande dessin\'ee : $u(t)$ est localement constante et \'egale \`a la moyenne de $u_0$ sur $\real^2 \setminus K(t)$.} 

\skipaline

On remarquera que le principe de causalit\'e et le principe de bande dessin\'ee fixent le
type d'algorithme utilis\'e : il s'agit d'une {\bf croissance de r\'egions}. On appelle
 {\bf r\'egion}
de l'image \`a l'\'echelle $t$ toute composante connexe de $\real^2 \setminus K(t)$. 
Comme pour 
$t' > t$, $K(t') \subset K(t)$, on voit que les r\'egions \`a l'\'echelle $t'$ sont des unions de 
r\'egions \`a l'\'echelle $t$ (c'est une autre mani\`ere d'exprimer la causalit\'e).
Donc, pour d\'ecrire compl\'etement l'analyse multi\'echelle, il suffit de donner un {\bf crit\`ere de
fusion des r\'egions}. Le crit\`ere le plus simple de tous, et qui est effectivement invariant par 
similitude (isom\'etrie et homoth\'etie) est le crit\`ere de Mumford et Shah : la fusion doit
faire d\'ecro\^{\i}tre l'\'energie suivante 
$$E(u(t),K(t))=\int_{\real^2 \setminus K(t)} (u(t,x)-u_0(x))^2dx + t.longueur(K(t))$$
Bien que l'usage de cette \'energie ne soit pas totalement axiomatis\'e, il faut remarquer qu'elle
repr\'esente un point d'aboutissement d'une centaine de th\'eories et d'algorithmes de 
traitement d'images. Citons notamment la th\'eorie stochastique de la segmentation de Geman-Geman
[Gem], les mod\`eles variationnels de Mumford et Shah [MuSh], Terzopoulos [Terz], et les algorithmes
de croissance de r\'egions de Brice-Fenema [BrFe], Muerle-Allen [MuAl], Pavlidis [Pav]
(une classification de ces algorithmes est pr\'esent\'ee dans un livre \`a para\^{\i}tre [MoSo]).
L'algorithme qui se d\'eduit des consid\'erations pr\'ec\'edentes consiste \`a fusionner r\'ecursivement
les r\'egions de la segmentation $(K(t),u(t))$ de mani\`ere \`a faire diminuer le plus possible
 le crit\`ere  (avec $t'$ \`a la place de $t$).
La th\'eorie des segmentations minimisant l'\'energie  a \'et\'e faite par Mumford et Shah [MuSh],
Morel-Solimini [MoSo], Koepfler-Lopez-Morel [KLM] et elle a l'avantage de donner des r\'esultats
 d'existence et de r\'egularit\'e que l'image $u_0$ soit r\'eelle ou vectorielle (Segmentation
multicanaux).
Une version affine invariante du m\^eme algorithme a \'et\'e d\'efinie et test\'ee dans [GoBa].


\skipaline

Une derni\`ere remarque concernant l'{\bf invariance morphologique}. La segmentation recherche des
r\'egions les plus homog\`enes possibles et des bords les plus contrast\'es possibles.
{\bf Cela contredit l'invariance morphologique car celle-ci exclut tout crit\`ere fond\'e sur le
contraste.} Toutefois, l'image initiale n'a pas \`a \^etre n\'ecessairement d\'ependante du
contraste. Par exemple, {\bf la segmentation peut porter sur une image multicanaux (vectorielle) dont tout canal r\'esulte 
d'un filtrage calculant des invariants morphologiques.} Il en r\'esulte (nous allons voir
 un exemple avec la formalisation de la th\'eorie des textons) que l'on peut rajouter l'invariance morphologique aux
autres propri\'et\'es de l'algorithme de segmentation d\'efini pr\'ec\'ed\'ement.




\section [An example : the discussion of a psychophysical theory, the Texton Theory.]{ Une application : la discussion d'une th\'eorie psychophysique, la Th\'eorie des
Textons.}

Certaines th\'eories psychophysiques de la vision bas niveau sont axiomatis\'ees.
C'est le cas de la th\'eorie des {\bf textons} de Julesz ([Jul1, Jul2, JuKr]), qui
tente de formaliser la fa\c con dont la perception humaine est capable
de discriminer des textures de mani\`ere pr\'eattentive en une trentaine de millisecondes.
Pour comprendre le concept intuitif de {\bf texture}, il suffit de regarder les paires de textures dans la figure 4.
M\^eme si on est bien incapable de d\'ecrire g\'eom\'etriquement ou statistiquement les deux textures,
 la discrimination des deux textures est tr\`es nette pour la perception humaine. Inversement, deux textures 
diff\'erentes peuvent \^etre indiscriminables. C'est le cas pour la figure 5 o\`u une r\'egion de "10"
est entour\'ee de "5". Bien que ces formes soient individuellement faciles \`a distinguer, quand elles
 composent une texture, la discrimination devient tr\`es difficile. Ce sont des faits de ce type que
 Julesz a tent\'e de formaliser dans la th\'eorie des "textons".

Pour r\'esumer bri\'evement la doctrine de Julesz, disons que Julesz suppose que la perception
 analyse par un filtrage local les courbures et orientations des formes pr\'esentes
dans les textures, puis en effectue des moyennes locales. Ces moyennes s'appellent
les {\bf "densit\'es de textons"}. Donc \`a l'image $u_0$ est associ\'ee une double suite d'images
$u_i(t,x)$ qui sont des densit\'es de textons du type $i$  \`a l'\'echelle $t$. Ensuite, un processus 
de segmentation agissant sur cette suite d'images ({\bf segmentation multicanaux}) est effectu\'e.
 Il permet le calcul des bords entre textures diff\'erentes et les r\'egions  homog\`enes.

\skipaline

La refonte de la th\'eorie de Julesz dans le cadre axiomatique multi\'echelle que nous avons 
d\'evelopp\'e plus haut est \'evidente.


\skipaline

1) On applique l'\'equation fondamentale (AMSS) \`a l'image : {\bf c'est la seule habilit\'ee par ses
invariances \`a calculer une courbure et une orientation multi\'echelle.}

\skipaline

2) Les densit\'es de textons en sont d\'eduites \'etant {\bf les seuls invariants int\'egraux} calcul\'es \`a partir de la courbure et de l'orientation multi\'echelle.

\skipaline

3) Les densit\'es de textons \'etant calcul\'ees, on effectue une segmentation
 multi\'echelle de l'image. On obtient alors un dispositif rigoureux permettant de dire
s'il y a discrimination ou pas pour la th\'eorie des textons : on arr\`ete l'{\bf algorithme
 de croissance de r\'egions} d\'ecrit au paragraphe pr\'ec\'edent ({\bf Region Growing}) quand il n'y a plus que deux r\'egions.
Si ces deux r\'egions sont celles pr\'edites par la th\'eorie, il y a {\bf discrimination}.

\skipaline 

{\bf Par cons\'equent, la th\'eorie des textons peut \^etre test\'ee num\'eriquement,
et le r\'esultat est tr\`es diff\'erent de celui attendu}. En effet, les premi\`eres
tentatives de formalisation \'etait li\'ees au filtrage lin\'eaire multi\'echelle
suivi de m\'ecanismes non-lin\'eaires compatibles avec les connaissances
physiologiques. Une des tentatives les plus r\'eussies est due \`a Malik et Perona [MaPe]
car leur algorithme r\'ealise les m\^emes performances que celles de la vision humaine
dans le domaine de la discrimination de textures.

\skipaline

{\bf Mais en fait, une impl\'ementation rigoureuse de la th\'eorie des textons permet
de r\'ealiser l'hyperdiscrimination} ! Julesz avait cr\'e\'e des paires de textures 
qui \'etaient indiscriminables en vision pr\'eattentive mais elles ne 
le sont pas pour l'algorithme que nous avons d\'ecrit (figure 5). Ceci permet d'affirmer
que dans le cas de la discrimination de textures, l'analyse des textons est 
inhib\'ee \`a une \'echelle beaucoup plus petite que leur taille.
Ainsi, les axiomes de la th\'eorie des textons (en particulier la notion de
$\Delta$-voisinage) peuvent \^etre reformul\'es math\'ematiquement.

\newpage


\insertitre {A. The ``fundamental theorem" of image analysis.}{}
\section* {A. Le ``th\'eor\`eme fondamental" de l'analyse d'images} 



{\it Soit $(T_{t+h,t})$ avec $t>0$ et $h\ge 0$ une famille d'op\'erateurs agissant sur un espace de
fonctions $C^2$ \`a croissance lente telle que l'on ait la causalit\'e, le principe de comparaison local et le principe
de r\'egularit\'e suivant : "Pour une image tr\`es r\'eguli\`ere, l'\'evolution est r\'eguli\`ere 
au moins pendant une dur\'ee $h$ petite". Pr\'ecisons cette derni\`ere hypoth\`ese ; 
Consid\'erons la fonction $Q$ d\'efinie sur $\real ^2$
par $y\to Q_x(y)=\frac 12 (A(y-x),(y-x))+(p,(y-x))+c$ o\`u $A$ est une matrice sym\'etrique, $p$ un vecteur de
$\real ^2$ et $c$ un r\'eel. Consid\'erons l'application $h\to (T_{t+h,t}Q_x)(x)$. On suppose que
cette application est d\'erivable en $h=0$ et que $F(A,p,c,x,t)=\frac {\partial T_{t+h,t}Q_x}{\partial h} (x)$ 
est continue par rapport \`a la matrice sym\'etrique $A$.

On peut alors conclure qu'en tout point $x$ o\`u $u(t,x)=T_tu(x)$ est de classe $C^2$, $u$ v\'erifie
$$\frac {\partial u}{\partial t}=F(D^2u,Du,u,x,t)$$ 
et l'application $A\to F(A,p,c,x,t)$ est croissante.}

\skipaline

{\noindent \bf  Preuve :} \\
Par hypoth\`ese $u$ est r\'eguli\`ere au voisinage du point $x$  
$$u(t,y)=u(t,x)+(Du,y-x)+\frac 12 D^2u(y-x,y-x) + o(\vert y-x\vert ^2)$$
Posons $$Q_{\epsilon}(y)=u(t,x)+(Du,y-x)+\frac 12 D^2u(y-x,y-x) + \epsilon .\vert y-x\vert ^2$$ 
Alors on a la double in\'egalit\'e suivante au voisinage de $x$
$$Q_{-\epsilon}(y) \le u(t,y) \le Q_{\epsilon}(y)$$

\skipaline

Les principes de causalit\'e et de comparaison locale permettent d'\'ecrire
$$(T_{t+h,t}Q_{-\epsilon})(x) \le (T_{t+h,t}u(t))(x) \le (T_{t+h,t}Q_{\epsilon})(x)$$
d'autre part, on a aussi $$Q_{-\epsilon}(x)=Q_{\epsilon}(x)=u(t,x)=(T_{t,t}Q_{-\epsilon})(x)=(T_{t,t}Q_{\epsilon})(x)$$
on obtient ensuite en prenant la diff\'erence des deux relations pr\'ec\'edentes et en divisant par $h>0$ et en faisant tendre $h$ vers $0$
$$\frac {\partial T_{t+h,t}Q_{-\epsilon}}{\partial h} (x) \le \liminf \frac {T_{t+h,t}u(,x)-T_{t,t}u(x)}{h} \le $$
$$\limsup \frac {T_{t+h,t}u(,x)-T_{t,t}u(x)}{h} \le \frac {\partial T_{t+h,t}Q_{\epsilon}}{\partial h} (x).$$ 
Le principe de r\'egularit\'e et la continuit\'e de $F$ (on  regarde la limite lorsque $\epsilon$ 
tend vers $0$) permettent de conclure. En reprenant le m\^eme raisonnement avec
 
\skipaline

$Q_A(y)=\frac 12 (A(y-x),(y-x))+(p,y-x)+c$
 
$Q_B(y)=\frac 12 (B(y-x),(y-x))+(p,y-x)+c$

\skipaline


on obtient $F(A,p,c,x,t) \ge F(B,p,c,x,t)$ si $A \ge B$.

\skipaline

{\noindent \bf Remarque :} \\
Pour la simplicit\'e, nous avons montr\'e que l'\'equation (A.M.S.S.) est vraie ponctuellement quand
$u$ est de classe $C^2$. En fait, on montre par les m\^emes techniques si $T_t$ v\'erifie
les axiomes et si $u$ est une solution uniform\'ement continue alors elle est solution de viscosit\'e
de (A.M.S.S.) (voir [A.G.L.M.], [GiGo]). Inversement, une \'equation du type pr\'ec\'dent a toujours une solution de viscosit\'e [CIL, EvSp, CGG].

\newpage

\insertitre{B. Affine Invariant Mathematical Morphology.}{} 
\section* {B.  Morphologie Math\'ematique Affine invariante. }   



Quelle est la relation du mod\`ele AMSS avec les op\'erations de la morphologie math\'ematique?
D\'efinissons d'abord une 
 {\bf "ouverture affine"} et une {\bf "fermeture affine"} et posons
 
$$ (O_t u)(x) = \inf_{B \in C_t(x)} ( \sup_{y \in  B} ( u(y)) $$
$$ (F_t u)(x) = \sup_{B \in C_t(x)} ( \inf_{y \in  B} ( u(y)) $$  
  
	o\`u $C_t$ est l'ensemble de tous les ensembles convexes dont la surface est $t^{3/2}$. 
 Si $C_t$ est r\'eduit \`a la boule de rayon $t$,
les d\'efinitions ci-dessus correspondent aux {\bf fermetures} et {\bf ouvertures} classiques de
la morphologie math\'ematique [Serr]. Lasry et Morel [LaMo] ont prouv\'e 
que si on it\'ere alternativement la version affine invariante de ces deux filtres avec un petit temps $\delta t$,
alors le filtrage asymptotique v\'erifie l'\'equation fondamentale (AMSS)!

\skipaline

Ces id\'ees sont utilis\'ees pour d\'efinir des {\bf algorithmes aussi invariants que le mod\`ele
continu} (voir [CEGLM]). C'est un algorithme de ce type qui est utilis\'e dans la figure 2.


\skipaline

En r\'esum\'e, du point de vue algorithmique, on peut obtenir l'\'equation (A.M.S.S.) en it\'erant des {\it filtres
morphologiques} : l'{\it ouverture et la fermeture} affines. Les filtres morphologiques 
 ont \'et\'e introduits en traitement d'images par Matheron,
et l'{\it \'ecole de Fontainebleau} \`a cause de leurs remarquables propri\'et\'es d'invariance, qui les 
rendent indispensables pour l'analyse de formes.  L'\'equation fondamentale du traitement d'images, 
 permet donc d'effectuer une infinit\'e d'inf-sup-convolution d'un seul coup avec
des ellipses de toutes excentricit\'es. (D'o\`u l'invariance affine !)  
La th\'eorie unifi\'ee peut donc aussi \^etre appel\'ee morphologie math\'ematique 
affine-invariante et elle aura un impact important sur les applications (robotique,
 reconnaissance des formes, t\'el\'edetection, ...).

\newpage

\input{lopez/planche.tex}


\newpage

{\noindent \bf R\'ef\'erences:}

\skipaline

[AGLM1] L. Alvarez, F. Guichard, P.L. Lions and J.M. Morel. Axiomes et \'equations fondamentales
du traitement d'images. Report 9216, CEREMADE. Universit\'e Paris Dauphine, 1992.

\skipaline


[AGLM2] L. Alvarez, F. Guichard, P.L. Lions and J.M. Morel. 
Axiomatisation et nouveaux op\'erateurs de la morphologie mathematique.
C.R. Acad. Sci. Paris, t.315, S\'erie I, p. 265-268, 1992.

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 [ALM] L. Alvarez, P.L. Lions and J.M. Morel. Image selective smoothing and edge
 detection by nonlinear diffusion (II). SIAM Journal of numerical analysis 29, pp 845-866. 1992.

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 [Ang] S. Angenent. Parabolic equations for curves on surfaces I, II. University of
 Wisconsin-Madison Technical Summary Reports, 89-19, 89-24, 1989.

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 [AsBr] H. Asada and M.Brady. The curvature primal sketch. IEEE Transactions on Pattern analysis and machine intelligence,  Vol. 8, No. 1, January. 1986.

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 [Bar] G. Barles. Remarks on a flame propagation model. Technical Report No 464 INRIA Rapports de Recherche, December 1985.

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 [BaGo] C. Ballester et M. Gonzalez. Affine invariant multiscale segmentation by variational method.
\`a para\^{\i}tre.

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 [BaSo]  G. Barles and P.E. Souganidis.     Convergence of approximation schemes for fully nonlinear second order equation, Asymp. Anal., to appear.

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[BrFe] C. Brice and C. Fennema. Scene analysis using regions. Artificial Intelligence, 1, 205-226, 1970.

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[BrMa] W. Brockett and P. Maragos. Evolution Equations for continuous-scale morphology. ICASSP March 23-26, San Francisco, 1992.

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[CEGLM] T. Cohignac, F. Eve, F. Guichard, C. Lopez, J.M. Morel. Numerical Analysis of the fundamental equation of image processing. Soumis.

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[CGG]  Y-G. Chen, Y. Giga and S. Goto.      Uniqueness and existence of viscosity solutions of generalized mean curvature flow equations, Preprint, Hokkaido University, 1989.

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[CIL]   M.G. Crandall, H.  Ishii and P.L. Lions.     User's guide to viscosity solution of second order partial differential equation.  Preprint, CEREMADE, 1990.

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[DMS] G. Dal Maso, J.M. Morel and S. Solimini.
 Une approche variationnelle en traitement d'images : r\'esultats d'existence et d'approximation. C.R. Acad. Sci. Paris, t.308, S\'erie I, p. 549-554, 1989.

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[DiKo] F. Dibos and G. Koepfler.
 Propri\'et\'e de r\'egularit\'e des contours d'une image segment\'ee.  C.R. Acad. Sci. Paris, t. 313, S\'erie I, p. 573-578, 1991.

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[Enn]  J. Enns. Seeing textons in context. Perception and Psychophysics, 39 (2), 143-147, 1986.

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[EvSp]  L.C. Evans and J. Spruck. Motion of level sets by mean curvature, I., preprint.

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[FRKV] L. Florack, B. ter Haar Romeny, J.J. Koenderink and M. Viergever.
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Image and vision computing. Vol 10, n. 6 July/August 1992.

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