Le probl\`eme de la segmentation d'images a donn\'e lieu \`a beaucoup de travaux dans les trente derni\`eres ann\'ees. Rappelons que segmenter une image c'est la ``d\'ecouper en r\'egions homog\`enes s\'epar\'ees par des bords ou coup\'ees par des failles''. La litt\'erature propose d'innombrables algorithmes de segmentation. Cette abondance a \'et\'e d\'enonc\'ee et on a vu de plus en plus de formulations math\'ematiques qui permettaient de classer les anciens algorithmes et d'en cr\'eer d'autres plus performants (il suffit de penser aux m\'ethodes variationnelles ou stochastiques). La segmentation de textures semblait particuli\`erement difficile \`a appr\'ehender et, l\`a aussi, de tr\`es nombreux algorithmes \'etaient publi\'es. Il semblait alors int\'eressant de voir ce qui les rapprochaient.

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C'est dans ce cadre que s'inscrit le travail pr\'esent\'e ici. L'objectif est de formaliser math\'ematiquement la discrimination de textures et de faire une \'etude des algorithmes n\'ecessaires pour l'exp\'erimentation num\'erique.

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Le premier chapitre constitue une introduction \`a la pyramide visuelle. Il peut \^etre rapport\'e \`a une bibliographie dont les premiers articles datent des ann\'ees 1960. En posant les principes g\'en\'eraux d'une analyse multi\'echelle d'images, on aboutit, soit \`a une famille d'\'equations aux d\'eriv\'ees partielles g\'eom\'etriquement invariantes, soit \`a une formulation variationnelle. Nous donnons ensuite un programme en trois \'etapes permettant de discriminer les textures.

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Le deuxi\`eme chapitre contient une \'etude approfondie du mod\`ele variationnel, il s'agit d'\'etudier la fonctionnelle de Mumford et Shah avec approximation constante par morceaux. Nous introduisons pour cela une classe de segmentations, dites 2-normales que l'on peut relier aux segmentations d\'etermin\'ees par des algorithmes de croissance de r\'egions introduits par Pavlidis. Ensuite, en suivant le programme en trois \'etapes du chapitre pr\'ec\'edent mais en choisissant pour analyse multi\'echelle l'analyse en ondelettes, nous parvenons \`a discriminer des textures naturelles telles que des peaux de reptiles, des tissages, des mat\'eriaux... L'analyse en ondelettes permet dans ce cas d'extraire deux caract\'eristiques importantes: l'\'echelle et l'orientation.

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Dans les chapitres 3 et 4, nous traduisons l'axiomatique informelle de Julesz. Nous montrons que l'analyse des textons revient \`a faire une analyse de formes qui fait intervenir la courbure. Pour \'eviter de traiter de nombreuses formes en parall\`ele, nous en d\'eduisons une analyse multi\'echelle d'images g\'eom\'etriquement invariante qui fait appara\^{\i}tre la courbure des isophotes de l'image. En suivant le programme en trois \'etapes du premier chapitre, il est alors possible de v\'erifier la th\'eorie de Julesz sur ses propres exemples de textures et en m\^eme temps notre formalisation.

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Le cinqui\`eme chapitre d\'ecrit l'analyse num\'erique des \'equations d'\'evolution obtenues dans les chapitres 4 et 5. Nous insistons sur le fait que les algorithmes doivent v\'erifier au mieux les propri\'et\'es d'invariance qui ont permis d'aboutir aux \'equations. Nous notons aussi le lien entre le filtre m\'edian et le sch\'ema num\'erique de Merriman-Bence-Osher.
