\contentsline {chapter}{Introduction.}{1}
\contentsline {chapter}{\numberline {1}Formalisation math\'ematique et  \'equations fondamentales de la  pyramide visuelle.}{3}
\contentsline {section}{\numberline {1.1}Bref aper\c{c}u historique. }{6}
\contentsline {section}{\numberline {1.2}La pyramide visuelle.}{6}
\contentsline {subsection}{\numberline {1.2.1}Quel est l'{\pit input} de la pyramide visuelle?}{7}
\contentsline {subsection}{\numberline {1.2.2}Quel est l' {\pit output} de la pyramide visuelle?}{8}
\contentsline {subsection}{\numberline {1.2.3}Quels principes de base doit v\'erifier la pyramide visuelle ?}{8}
\contentsline {subsubsection}{La causalit\'e.}{8}
\contentsline {subsubsection}{Invariance morphologique et affine.}{10}
\contentsline {section}{\numberline {1.3}Axiomatisation de l'analyse multi\'echelle d'images et de formes et classification des mod\`eles selon leur equation fondamentale.}{11}
\contentsline {subsection}{\numberline {1.3.1}Analyse multi\'echelle d'images.}{11}
\contentsline {subsection}{\numberline {1.3.2}Axiomatisation de l'analyse multi\'echelle de formes.}{13}
\contentsline {section}{\numberline {1.4}Segmentation multi\'echelle.}{15}
\contentsline {section}{\numberline {1.5}Une application : la discussion d'une th\'eorie psychophysique, la Th\'eorie des Textons.}{16}
\contentsline {chapter}{A. Le ``th\'eor\`eme fondamental'' de l'analyse d'images.}{}
\contentsline {chapter}{B. Morphologie Math\'ematique Affine Invariante.}{}
\contentsline {chapter}{\numberline {2}Un algorithme multi\'echelle de segmentation d'images par m\'ethode variationnelle.}{31}
\contentsline {paragraph}{Abstract.}{31}
\contentsline {section}{\numberline {2.1}Introduction.}{31}
\contentsline {section}{\numberline {2.2}Principes g\'en\'eraux des proc\'ed\'es de segmentation.}{32}
\contentsline {subsection}{\numberline {2.2.1}Formalisation.}{32}
\contentsline {subsection}{\numberline {2.2.2}Choix des propri\'et\'es et algorithmes de segmentation.}{34}
\contentsline {section}{\numberline {2.3}Propri\'et\'e de compacit\'e des segmentations obtenues par croissance de r\'egions.}{36}
\contentsline {subsection}{\numberline {2.3.1} Propri\'et\'es  topologiques des  segmentations affines 1-normales.}{38}
\contentsline {subsection}{\numberline {2.3.2}Estimations sur des segmentations obtenues par croissance de r\'egions.}{39}
\contentsline {section}{\numberline {2.4}Un algorithme pyramidal de construction  de segmentations affines 2-normales.}{42}
\contentsline {subsection}{\numberline {2.4.1}Description de l'algorithme.}{43}
\contentsline {paragraph}{Le crit\`ere.}{43}
\contentsline {paragraph}{L'algorithme.}{44}
\contentsline {paragraph}{R\'esultats num\'eriques.}{44}
\contentsline {section}{\numberline {2.5}Application \`a la discrimination de textures.}{47}
\contentsline {section}{\numberline {2.6}Conclusion.}{48}
\contentsline {chapter}{\numberline {3}Axiomatisation de l'analyse de formes et application \`a l'hyperdiscrimination de textures.}{57}
\contentsline {section}{\numberline {3.1}Introduction.}{57}
\contentsline {section}{\numberline {3.2}Les quatre principes de l'analyse multi\'echelle de formes.}{58}
\contentsline {section}{\numberline {3.3}L'\'equation fondamentale de l'analyse de formes.}{61}
\contentsline {section}{\numberline {3.4}L'\'equation fondamentale de l'analyse d'images.}{63}
\contentsline {section}{\numberline {3.5}La Th\'eorie des Textons de Julesz.}{64}
\contentsline {section}{\numberline {3.6}Comment d\'efinir des densit\'es de textons. Une approche axiomatique.}{66}
\contentsline {section}{\numberline {3.7}V\'erification de la th\'eorie de Julesz.}{67}
\contentsline {section}{\numberline {3.8}Conclusion.}{68}
\contentsline {chapter}{A. Preuve du lemme de renormalisation.}{}
\contentsline {chapter}{\numberline {4}Axiomatisation de l'analyse de formes et application \`a l'hyperdiscrimination de textures.}{83}
\contentsline {section}{\numberline {4.1}Les axiomes de Julesz.}{83}
\contentsline {section}{\numberline {4.2}Formalisation des textons}{84}
\contentsline {section}{\numberline {4.3}Les \'equations fondamentales de l'analyse de formes et d'images.}{86}
\contentsline {section}{\numberline {4.4}Confirmation exp\'erimentale de la Th\'eorie des Textons.}{87}
\contentsline {chapter}{\numberline {5}Analyse Num\'erique de l'\'equation fondamentale du traitement d'images.}{91}
\contentsline {section}{\numberline {5.1}Introduction.}{92}
\contentsline {section}{\numberline {5.2}Les quatre principes de l'analyse multi\'echelle de formes et l'\'equation fondamentale.}{95}
\contentsline {subsection}{\numberline {5.2.1}L'\'equation fondamentale de l'analyse de formes.}{97}
\contentsline {subsection}{\numberline {5.2.2}L'\'equation fondamentale du traitement d'images.}{97}
\contentsline {subsection}{\numberline {5.2.3}N\'ecessit\'e de propri\'et\'es d'invariance et de stabilit\'e des sch\'emas num\'eriques de l'\'equation fundamentale.}{98}
\contentsline {section}{\numberline {5.3}Sch\'emas aux diff\'erences finies quasilin\'eaires.}{99}
\contentsline {subsection}{\numberline {5.3.1}Sch\'ema de Luis Alvarez.}{100}
\contentsline {subsection}{\numberline {5.3.2}Sch\'ema de Luis Alvarez et de Fr\'ed\'eric Guichard.}{100}
\contentsline {section}{\numberline {5.4}Sch\'emas morphologiques (d'ensemble).}{102}
\contentsline {subsection}{\numberline {5.4.1}Un sch\'ema th\'eorique.}{102}
\contentsline {subsection}{\numberline {5.4.2}Filtres m\'edians it\'er\'es et mouvement d\'ependant de la courbure.}{104}
\contentsline {section}{\numberline {5.5}Sch\'emas morphologiques purs (\'evolution de courbes).}{105}
\contentsline {subsection}{\numberline {5.5.1}Introduction.}{105}
\contentsline {subsection}{\numberline {5.5.2}Sch\'emas quasilin\'eaires de diffusion intrins\`eque.}{105}
\contentsline {subsection}{\numberline {5.5.3}Un sch\'ema g\'eom\'etrique d'\'evolution de courbes.}{107}
\contentsline {subsubsection}{Probl\`eme d'\'echantillonnage de courbes.}{107}
\contentsline {subsubsection}{Un sch\'ema g\'eom\'etrique.}{107}
\contentsline {section}{\numberline {5.6}R\'esultats exp\'erimentaux.}{109}
\contentsline {subsection}{\numberline {5.6.1}Le sch\'ema de diffusion anisotropique de Luis Alvarez.}{109}
\contentsline {subsection}{\numberline {5.6.2}Le sch\'ema aux diff\'erences finies invariant d'Alvarez et Guichard.}{110}
\contentsline {subsection}{\numberline {5.6.3}"Morphologisation" du sch\'ema d'Alvarez et Guichard.}{111}
\contentsline {subsection}{\numberline {5.6.4}Morphologie sur la grille.}{111}
\contentsline {subsection}{\numberline {5.6.5}Sch\'emas purement morphologiques (\'evolution de courbes).}{112}
\contentsline {section}{\numberline {5.7}Conclusion et conjectures.}{113}
\contentsline {chapter}{A. Appendice.}{}
