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\title{Rapport exercices et expériences 1}
\author{Julie Digne \\ jdigne@gmail.com}

\begin{document}
\maketitle
\section{Exercices}
\subsection*{Exercice 1.1}
Montrons que $G_t$ définie par $G_t(x)=\frac{1}{(4\pi t)^{N/2}}\exp{-\frac{|x|^2}{4t}}$ est solution de l'équation de la chaleur :
\begin{align*}
 \pd{G_t}{t} &=(-\frac{4\pi N /2}{(4\pi t)^{N/2+1}}+\frac{1}{(4\pi t)^{N/2}}\frac{|x|^2}{4t^2})\exp{-\frac{|x|^2}{4t}} \\
	&=(\frac{|x|^2}{4t^2}-\frac{N}{2t})G_t(x)
\end{align*}
Or :
\begin{align*}
 \Delta G_t(x) &=\sum_{i=1}^{N}\pdd{G_t}{x_i}(x)\\
		&=\frac{1}{(4\pi t)^{N/2}}\sum_{i=1}^{N}\pd{\int \frac{2x_i}{4t}\exp{-\frac{\sum x_i^2}{4t}}}{x_i}(x)\\
		&=\frac{1}{(4\pi t)^{N/2}}\sum_{i=1}^{N}(\frac{2}{4t}-\frac{4x_i^2}{16t^2})exp{-\frac{|x|^2}{4t}} \\
&=G_t(x)(\frac{N}{2t}-\frac{|x|^2}{4t^2})\\
&=-\pd{G_t}{t}
\end{align*}
Donc $G_t$ vérifie bien l'équation de la chaleur.

\subsection*{Exercice 1.2}
$u$ est identifiée à une fonction à support compact dans $\bb{R}$ on sait aussi que $u$ est continue. Donc $u \in L^1$. Le produit de convolution a donc un sens.$(x,y)\rightarrow u(y)g(x-y)$ est intégrable et continue car u et g le sont. Enfin on peut majorer $|u(y)g(x-y)|$ par une fonction $f=sup_y(|u(y)|)*I_{u(y)\ne 0}$ qui est intégrable et à valeurs positives. Alors, en appliquant le théorème de convergence dominée de Lebesgue, on trouve que la fonction $x \rightarrow \int u(y)g(x-y)dy$ est continue donc $u\times g$ l'est. De plus, d'après ce même théorème, on peut écrire $lim_{x\rightarrow \infty}\int u(x-y)g(y)dy=\int (\lim_{x \rightarrow \infty}u(x-y))g(y)dy$ or $\lim_{x \rightarrow \infty}u(x-y)=0$ donc $lim_{x\rightarrow \infty}u*g(x)=0$, g étant intégrable.

\subsection*{Exercice 1.3}
1) Pour simplifier, on note $u$ la fonction $u_0$. On effectue un développement de Taylor au second ordre autour de $x_0$. On obtient alors, en notant $v=(v_1,v_2)^t$ :
\begin{equation*}
u(x_0+v)=u(x_0)+\pd{u}{x}(x_0)v_1+\pd{u}{y}(x_0)v_2+\frac{1}{2}(\pdd{u}{x}(x)*v_1^2 +2\frac{\partial ^2 u}{\partial x \partial y}(x)v_1 v_2 + \pdd{u}{y}(x)v_2^2)+o(\|v\|^2)
\end{equation*}
\medskip
2) On applique ensuite $M_h$ à $u$. On sait que $M_hu=\frac{1}{\pi h^2}\int_{D(x,h)}u(z)dz=\frac{1}{\pi h^2}\int_{D(0,h)}u(z+x)dz$ d'où la simplification sur le premier membre de l'égalité
\begin{align*} 
M_hu(x_0)=& \frac{1}{\pi h^2}(u(x_0)\int_{D(0,h)}dxdy+u_x(x_0)\int_{D(0,h)}v_1dv_1dv_2+ u_y(x_0)\int_{D(0,h)}v_2dv_1dv_2\\
 & + \frac{1}{2}u_{xx}(x_0)\int_{D(0,h)}v_1^2dv_1dv_2 + \frac{1}{2}u_{yy}(x_0)\int_{D(0,h)}v_2^2dv_1dv_2\\
 & + u_{xy}(x_0)\int_{D(0,h)}v_1 v_2 dv_1dv_2)+o(h^2)
\end{align*}
On fait un changement de variable pour passer en coordonnées polaires. Les intégrales comportant $v_1$ et $v_2$ à l'ordre 1 s'annulent. Il vient : 
\begin{align*}
M_hu(x_0)&=u(x_0)+\frac{1}{\pi h^2}u_{xx}(x_0)\int_[0,2\pi]\int[0,h]r^3 cos^2 \theta dr d\theta\\
&+\frac{1}{\pi h^2}u_{yy}(x_0)\int_[0,2\pi]\int[0,h]r^3 sin^2 \theta dr d\theta+o(h^2)\\
&=u(x_0)+u_{xx}(x_0)\frac{1}{2\pi h^2}\frac{h^4}{4}\frac{2\pi}{2}+u_{yy}(x_0)\frac{1}{2\pi h^2}\frac{h^4}{4}\frac{2\pi}{2}+o(h^2)
\end{align*}
et finalement :
\begin{equation*}
M_hu(x_0)=u(x_0)+\frac{h^2}{8}\Delta u(x_0)+o(h^2)
\end{equation*}
\medskip
3)On prend $u_0 \in F$ et $u(t,x)$ solution de l'équation de la chaleur avec pour condition initiale $u(0,x)=u_0(x)$. Soit $t_0>0$ on applique le résultat précédent et on trouve :
\begin{equation*}
M_hu(t_0,x)=u(t_0,x)+\frac{h^2}{8}\Delta u(t_0,x)+o(h^2)
\end{equation*}
or un développement limité à l'ordre 2 de $u(t_0+h^2,x)$ nous donne :
\begin{equation*}u(t_0+h^2,x)=u(t_0,x)+\pd{u}{t}(t_0,x)h^2+o(h^2)\end{equation*}.
On trouve donc $M_hu(t_0,x)=u(t_0+h^2,x)+h^2(\pd{u}{t}(t_0,x)+\frac{1}{8}\Delta u(t_0,x))+o(h^2)$ et on en déduit :
\begin{equation*}
M_hu(t_0,x)=u(t_0+h^2,x)+h^2 \epsilon(t_0,x,h)
\end{equation*}

\subsection*{Exercice 1.4}
La fonction considérée est un mapping de $\bb{R} ^N$ sur la sphère unité de $\bb{R}^{N+1}$. On se place en coordonnées polaires en dimension N, c'est à dire qu'on prend un système de coordonnées où il y a une seule coordonnée radiale $r$, le reste servant à donner la "direction"(ces autres coordonnées étant dans $S_{N-1}$. On se place ensuite dans le plan perpendiculaire à $\bb{R} ^N$, passant pas O le centre de la sphère et le point A qu'on veut "mapper". La  coordonnée radiale de A est $r$. On munit ce plan d'un repère orthonormé de centre O et dont le premier vecteur est parallèle à $(OA)$. La relation donnant $T(r)$ de l'énoncé revient alors à calculer l'intersection de la sphère avec la droite passant par A et B(0,1). On peut redémontrer qu'on abien alors
$T(r)=(\frac{r^2-1}{1+r^2};\frac{2r}{1+r^2})$. Via la définition géométrique elle est forcément bijective (puisque dans tous les cas la droite joignant A à B ne coupe la sphère qu'en un unique point) on peut facilement passer de l'un à l'autre en considérant cette droite et son intersection avec la sphère.
On remarque que ce mapping laisse la partie non radiale des coordonnées dans $S_{N-1}$ et transforme par T la coordonnée radiale en 2 coordonnées $(x,y)$, or $S_{N-1}$ et $S_{N}$ sont des compacts donc l'application qui transforme cette partie des coordonnées est bicontinue et T est elle même continue d'inverse $T^{-1}(x,y)=x/y$ si $y\ne0$ et $T^{-1}(1,0)=1$  avec $\sqrt{x^2+y^2}=1$ également continue. On en déduit que le mapping est bien un homéomorphisme.


\subsection*{Exercice 2.1}
1) On a (toutes les intégrales sont sur $\bb{R}^N$) :
(i) \begin{equation*}\int \frac{1}{h^{N/2}}g(\frac{x}{h^{1/2}})dx=\int \frac{1}{h^{N/2}}h^{N/2}g(z)dz=\int g(z)dz\end{equation*} par changement de variable. Donc si $g$ ou $g_h$ somme à 1, l'autre somme à 1 aussi.
\newline
(ii) On a pour tout $i \in [1..N]$
\begin{equation*}
\int \frac{1}{h^{N/2}} x_i g(\frac{x}{h^{1/2}})dx=\int \frac{1}{h^{N/2}}h^{N/2} x_i h^{1/2}g(z)dz=h^{1/2}\int x_i g(z)dz
\end{equation*}
Donc si l'une des deux fonctions $g$ ou $g_h$ vérifie $\forall i \in [1..N] \int x_i f(x)=0$ l'autre vérifie également cette propriété.
\newline
(iii) et (iv) 
\begin{equation*}
\int \frac{1}{h^{N/2}} x_i x_j g(\frac{x}{h^{1/2}})dx=\int \frac{1}{h^{N/2}}h^{N/2}h z_i z_j{h^{1/2}}g(z)dz=h\int z_i z_j g(z)dz
\end{equation*}
donc si l'une des deux fonctions vérifie les propriétés (iii) et (iv) de la définition, l'autre les vérifie forcément.
\newline
(v)De même que précédemment on a 
\begin{equation*}
\int \frac{1}{h^{N/2}} |x|^3 g(\frac{x}{h^{1/2}})dx=\int \frac{1}{h^{N/2}}h^{N/2}h^3/2 |z|^3 g(z)dz=h^3/2\int |z|^3 g(z)dz
\end{equation*}
donc si l'une de ces intégrales est non infinie, l'autre l'est aussi.

En conclusion, on a donc :
$g$ est laplacien-consistante si et seulement si $g_h$ est laplacien-consistante.

\medskip

2)Montrons que $(g_h)^{n*}=(g^{n*})_h$
pour $n=2$ on a bien 
\begin{align*}
(g_h)^ {2*}(x) &=g_h*g_h(x)\\
	&=\frac{1}{h^N}\int g(\frac{y}{h^{1/2}}) g(\frac{x-y}{h^{1/2}})dy\\
	&=\frac{1}{h^N}h^{N/2}\int g(y) g(\frac{x}{h^{1/2}}-y)dy\\
	&=(g^{2*})_h(x)
\end{align*}
Par récurrence on suppose $H_n$ et on montre $H_{n+1}$ :
 $(g_h)^ {(n+1)*}(x)=(g^{n*})_h*g_h(x)$ en faisant le même changement de variable que précédemment,on a :
\begin{align*}
(g_h)^ {(n+1)*}(x) &=\int \frac{1}{h^{N}}(g^{n*})(y/h^{1/2})g(\frac{x-y}{h^{N/2}})dy \\
	&=\frac{1}{h^{N/2}}\int (g^{n*})(y)g(x/h^1/2-y)dy\\
&=\frac{1}{h^{N/2}}(g^{n*}*g)(x/h^{1/2})
\end{align*}
 Ce qui prouve la propriété au rang n+1. Donc on a bien $(g^{n*})_h=(g_h)^{n*}$


\subsection*{Exercice 2.4}

1)Pour $g(x)=1$ sur $[-1,1]$ e $0$ ailleurs. La propriété (i) de la définition n'est pas vérifiée, les autres le sont.
\begin{equation*}
g^{n*}_{1/n}*u(x)=\int g^{n*}_{1/n}(x_1)u(x-x_1)dx_1= \int \prod g(x_i)\int g(x-\sum x_i)\prod dx_i
\end{equation*}
En utilisant le fait que $u$ vaut 1 sur $\bb{R}$. Le domaine de variation de $z=x-\sum x_i$ est $[-1+\sum x_i;1+\sum x_i]$ donc avec ce changement de variable, on trouve : $g^{n*}_{1/n}*u(x)=2^n$ donc le filtre explose.
\newline
2)Pour $g(x)=1$ sur $[0,1]$ e $0$ ailleurs. La propriété (ii) de la définition n'est pas vérifiée, les autres le sont. En partant de la première égalité précedente,on a:
\begin{equation*}
g^{n*}_{1/n}*u(x)=\int g^{n*}_{1/n}(x_1)dx_1=1
\end{equation*}
\newline
3)En supposant que toutes les propositions sont vraies sauf (iii), en reprenant la preuve, les simplifications se font de la même façon sauf pour les termes en $\int g(z)z_i z_j$. On obtient donc :
\begin{equation*}
g_h*u(x)-u(x)=h/2\sigma^2\Delta u +h/2\sum_{i\ne j}\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\partial x_j}\sigma_{ij}+o(h)
\end{equation*}
en posant $\sigma_{ij}=\int g(z)z_i z_j$
\newline
4)En supposant que toutes les propositions sont vraies sauf (iv), en reprenant la preuve, les simplifications se font de la même façon sauf pour les termes en $\int g(z)z_i^2$. On obtient donc :
\begin{equation*}
g_h*u(x)-u(x)=h/2\sum_{i=1}^{N}\sigma_{i}^2\pdd{u}{x_i}(x)+o(h)
\end{equation*}
en posant : $\sigma_{i}^2=\int g(z)z_i^2$
\newline
5)On se place en dimension 1, et on suppose que (i) est vraie mais (ii) ne l'est pas :
\begin{align*}
g_h*u(x)-u(x)&=\int \frac{1}{h}g(\frac{y}{h})u(x-y)dy\\
	&=\int g(z)(u(x-hz)-u(x))dz
\end{align*}
en faisant un développement de Taylor avec reste de Lagrange au premier ordre, on a:
\begin{align*}
g_h*u(x)-u(x) &=\int g(z)(-h \pd{u}{x}(x)z dz +\int g(z)*h^2/2 \pdd{u}{x}(x-\theta hz)z^2dz\\
&=-h\pd{u}{x}(x)\int g(z)zdz +o(h)
\end{align*}
On arrive donc à :
\begin{equation*}
g_h*u(x)-u(x)=-h\pd{u}{x}(x)\int g(z)zdz +o(h)
\end{equation*}


\section{Expériences}
On réalise toutes ces expériences en Megawave et Matlab.
\subsection*{Expérience 1 : effet d'un filtre gaussien sur le gradient d'une image}
On observe les valeurs du gradient sur une image :
\begin{figure}[h!]
  \centering
  \subfigure[Image de départ]{\includegraphics[scale=0.4]{lacornou.eps}}                
  \subfigure[Norme du gradient de l'image de départ]{\includegraphics[scale=0.4]{grad0.eps}}
  \caption{Avant application de l'équation de la chaleur}
\end{figure}

-Après une itération du filtre
\begin{figure}[h!]
  \centering
  \subfigure[Image filtrée]{\includegraphics[scale=0.4]{iteration1.eps}}                
  \subfigure[Norme du gradient]{\includegraphics[scale=0.4]{grad1.eps}}
  \caption{Après une itération de l'équation de la chaleur}
\end{figure}

-Après deux itérations
\begin{figure}[h!]
  \centering
  \subfigure[Image filtrée]{\includegraphics[scale=0.4]{iteration2.eps}}                
  \subfigure[Norme du gradient]{\includegraphics[scale=0.4]{grad2.eps}}
  \caption{Après 2 itérations de l'équation de la chaleur}
\end{figure}


-Après une dizaine d'itérations
\begin{figure}[h!]
  \centering
  \subfigure[Image filtrée]{\includegraphics[scale=0.4]{iteration10.eps}}                
  \subfigure[Norme du gradient]{\includegraphics[scale=0.2]{grad10.eps}}
  \caption{Après 10 itérations de l'équation de la chaleur}
\end{figure}

-Après une vingtaine d'itérations
\begin{figure}[h!]
  \centering
  \subfigure[Image filtrée]{\includegraphics[scale=0.4]{iteration20.eps}}                
  \subfigure[Norme du gradient]{\includegraphics[scale=0.2]{grad20.eps}}
  \caption{Après 20 itérations de l'équation de la chaleur}
\end{figure}

Conclusion : L'équation de la chaleur adoucit les sauts de gardient. Les contours bien localisés au départ sont étalés par les itérations successives de l'équation de la chaleur.


\subsection*{Expérience 2}
On remplace la valeur d'un pixel par la moyenne des valeurs des pixels de son voisinage. Ce petit programme est réalisé sous matlab. Pour simplifier au niveau des bords, si le rayon de l'élément structurant est $r$ et la taille de l'image de départ $w*h$ alors l'image d'arrivée est $(w-2*r)*(h-2*r)$. Par exemple pour un voisinage 3*3 $r$ vaut 1. Les voisinages sont pris carrés.
On prend toujours la même image de départ ("lacornou").

-Un voisinage 3*3
\begin{figure}[h!]
  \centering
  \includegraphics[scale=0.4]{moyen1_bis.eps}             
  \caption{Moyennage sur un voisinage 3*3}
\end{figure}

-Un voisinage 5*5
\begin{figure}[h!]
  \centering
  \includegraphics[scale=0.4]{moyen2.eps}              
  \caption{Moyennage sur un voisinage 5*5}
\end{figure}

-Voisinage 7*7
\begin{figure}[h!]
  \centering
	\includegraphics[scale=0.4]{moyen3.eps}       
  \caption{Moyennage sur un voisinage 7*7}
\end{figure}

-Voisinage 9*9
\begin{figure}[h!]
  \centering
	\includegraphics[scale=0.4]{moyen4.eps}              
  \caption{Moyennage sur un voisinage 9*9}
\end{figure}

Conclusion : On remarque que le type de flou généré par ce filtre moyenneur "ressemble" au flou généré par l'équation de la chaleur, en ce sens qu'il est isotrope, et étale, selon la taille du voisinage choisi de plus en plus les zones de fort gradient. Cela correspond "intuitivement" au résultat de l'exercice 1.3 qui donne que la suite construite par lissage successifs d'un opérateur de moyennage local tend vers une solution de l'équation de la chaleur.

\subsection*{Expérience 3}
On observe la convolution d'une image par des noyaux gaussiens en faisant varier la variance de ce noyau.
-Variance 0.1
\begin{figure}[h!]
  \centering
  \includegraphics[scale=0.4]{result0.1.eps}        
  \caption{Filtrage par un noyau gaussien normé de variance 0.1}
\end{figure}

-Variance 1
\begin{figure}[h!]
  \centering
  \includegraphics[scale=0.4]{result1.eps}               
  \caption{Filtrage par un noyau gaussien normé de variance 1}
\end{figure}


-Variance 3
\begin{figure}[h!]
  \centering
  \includegraphics[scale=0.4]{result3.eps}                
  \caption{Filtrage par un noyau gaussien normé de variance 3}
\end{figure}

-Variance 9
\begin{figure}[h!]
  \centering
  \includegraphics[scale=0.4]{result9.eps}    
  \caption{Filtrage par un noyau gaussien normé de variance 9}
\end{figure}

Conclusion : Plus la variance est grande plus les images perdent de détails et deviennent floues.

\subsection*{Conclusion sur le filtrage par l'équation de la chaleur}
Le problème de cette équation est sa propriété d'isotropie. En effet dans presque tous les cas, on s'intéresse à lisser les zones homogènes de l'image et conserver les contours. Or si l'équation de la chaleur lisse bien les zones homogènes, elle perd en revanche toutes les informations de contour. On connait divers filtres plus ou moins avantageux qui permettent avec plus ou moins de succès de respecter ces deux critères. Citons par exemple le filtre médian, alinéaire, qui permet de conserver les contours au risque de perdre les détails de taille inférieure au voisinage considéré. 

\end{document}
