\documentclass[11pt,a4paper]{article}
\usepackage{A4w}
\newcommand{\ep}{\varepsilon}
% ensembles Q R N Z C
\gdef\RR{\hbox{\rm I\kern-.25em\hbox{R}}}
\gdef\ind{\hbox{\rm I\kern-.25em\hbox{I}}}
\gdef\NN{\hbox{\rm I\kern-.25em\hbox{N}}}
\gdef\LLI{\hbox{\rm I\kern-.25em\hbox{L}}}
\gdef\ZZ{{\sl Z\hskip -1ex Z} }
\gdef\CC{\rm \hbox{C\kern-.56em\raise.4ex
         \hbox{$\scriptscriptstyle |$}\kern+0.5 em }}
\gdef\QQ{\rm \hbox{Q\kern-.35em\raise.4ex
         \hbox{$\scriptscriptstyle |$}\kern+0.5 em }}
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\begin{document}
\author{}
 \date{}
\title{} 
\maketitle
Pour montrer que $K_2$ est ferm\'e dans $Y$, v\'erifions que $\overline{K_2} 
\subset K_2$. Soit $w^0 \in \overline{K_2}$ alors tout voisinage de $w^0$ pour la 
topologie produit rencontre $K_2$. En particulier, soient $x,y \in E$, $\alpha, 
\beta \in \RR$ et $\ep>0$ alors
$$U =\{ w \in Y;\,\,\vert w_x-w^0_x \vert < \ep \} \cap \{ w \in Y;\,\,\vert 
w_y-w^0_y \vert < \ep \} \cap \{ w \in Y;\,\,\vert w_{\alpha x+\beta y}-w^0_{\alpha 
x+\beta y} \vert < \ep \} \cap K_2 \not= \emptyset.$$
Donc, il existe $w \in K_2$ tel que $w \in U$. On peut donc \'ecrire $$w^0_{\alpha 
x+\beta y} - \alpha w^0_x - \beta w^0_y = (w^0_{\alpha x+\beta y} - w_{\alpha 
x+\beta y}) + \alpha (w_x - w^0_x) + \beta (w_y - w^0_y).$$ 
On en d\'eduit que
$$\vert w^0_{\alpha x+\beta y} - \alpha w^0_x - \beta w^0_y \vert \leq (1+\vert 
\alpha \vert + \vert \beta \vert) \,\ep \,\,\, \, \mbox{et ceci}\,\forall \ep >0.$$
D'o\`u $w^0 \in K_2$ et $K_2$ est ferm\'e.

 \end{document}