Notes du cours d’analyse, ENS Cachan première année

Jean-Michel Morel 3 octobre 2001

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Table des matières

1 Topologie et compacité 9 1.1 Théorèmes classiques de compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Les Théorèmes de séparation de Hahn-Banach 15

3 Le Théorème de Banach-Steinhaus 21 3.1 Conséquences du Théorème de Banach-Steinhaus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

4 Topologies faibles 27 4.1 La topologie faible σ(E,E′) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.2 La topologie ⋆σ(E′,E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5 Espaces réflexifs, espaces séparables 37 5.1 Espaces réflexifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.2 Espaces séparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

6 L’intégrale de Lebesgue 45

7 Les espaces de Lebesgue, L^{1}, L^{p}, L^{∞} 53 7.1 Convolution et régularisation des fonctions de L^{p} . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 7.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

8 Réflexivité, séparabilité, dualité des L^{p} 67 8.1 Espaces emboîtés d’approximation des L^{p}, séparabilité . . . . . . . . . . . . . . . 67 8.2 Dualité L^{p} − L^{p′} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 8.3 Martingales à temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 8.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

9 Espaces de Hilbert 79 9.1 Bases hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 9.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 10 Séries de Fourier 89

10.1 Convolution des fonctions périodiques et séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . 92 10.2 Décroissance des coefficients de Fourier et problèmes de compression du signal . 94 10.3 Phénomène de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 10.4 Transformée de Fourier Discrète et applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

10.4.1 La dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 10.4.2 La dimension 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 10.4.3 Le phénomène du repliement de spectre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 10.4.4 La transformée de Fourier rapide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 10.4.5 L’utilisation de la transformée de Fourier discrète pour définir zoom, trans-

lations et rotations des images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 10.4.6 Importances relatives de la phase et du module de la TFD pour une image 111

10.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

11 Séries de Fourier et distributions périodiques 119 11.1 Distributions périodiques et leurs séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 11.2 Espaces de Sobolev périodiques H_{per}^{m}(0,2π) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 11.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

12 Espaces de Sobolev sur l’intervalle 131 12.1 Les espaces W^{1,p}(I) comme espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 12.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

13 Corrigés des exercices 139 13.1 Chapitres I et II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 13.2 Chapitre III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 13.3 Chapitre IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 13.4 Chapitres V et VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 13.5 Chapitre VII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 13.6 Chapitre VIII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 13.7 Chapitre IX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 13.8 Chapitre X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 13.9 Chapitre XI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

14 Notations 181

A Exemple de travaux pratiques 183 A.1 Manipulation de l’histogramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 A.2 Echantillonnage et transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 A.3 Zoom par 0-padding (prolongement du spectre par des zéros) . . . . . . . . . . . 184 A.4 Translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 A.5 Phase et module de la TFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 A.6 Codes Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

Table des figures

6.1 Haut: représentation de la fonction f par niveaux de gris (à chaque point est affecté un gris d’autant plus clair que la valeur de f y est grande); milieu: représentation de f par son graphe (à chaque point est affecté une altitude d’autant plus élevée que la valeur de f y est grande); bas: quelques lignes de niveau (frontières des ensembles de niveau) de la fonction f (sur un sous-domaine) … 52

8.1 Exemples de fonctions v_{k} dans le cas d’une image; de haut en bas et de gauche à droite: k = 8,7,6,5,4,3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

9.1 Décomposition d’une image f sur les espaces engendrś par les familles (H_{i,k_{1},k_{2}}^{j}(x,y)), à j et i fixés (voir le texte); première ligne: j = 1, et de droite à gauche, i = 1,i = 2,i = 3; deuxième ligne, j = 2, troisième ligne, j = 3. Les points de ces images représentent les coefficients de la décomposition, un point étant d’autant plus clair que son module est grand (sur une échelle non-linéaire pour une meilleure visualisation). Le coefficient correspondant à la fonction H_{i,k_{1},k_{2}}^{l} est représenté au point de coordonnées (k_{1},k_{2}). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

10.1 Sommes partielles de la série de Fourier de la fonction de Heaviside (fonction 2πpériodique, impaire, valant 1 sur /]0,π/]). Haut: les approximations sont traçées sur le même graphe, sur l’intervalle /]0,π/]. Bas: les différentes approximations sont tracées selon le troisième axe (nombre de termes entre 1 et 20). On remarque que l’erreur maximale d’approximation ne varie pas avec le nombre de termes, tandis que la fréquence des oscillations augmente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

10.2 Illustration de l’effet de Gibbs. Haut: l’image originale; bas: l’image après que l’on ait tronqué ses hautes fréquences, et sur laquelle sont visibles de nombreuses oscillations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

10.3 Haut: un signal correspondant à la voyelle A (le signal représente la pression de l’air en fonction du temps); bas: module de la TFD, dans le sens de la définition des ũ (voir le texte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

10.4 Haut: une image numérique de taille 256 × 256; bas: le logarithme du module de

sa TFD, dans le sens de la définition des ũ (voir le texte) . . . . . . . . . . . . . 102 10.5 Sous-échantillonnage et repliement: le cas d’une image mal échantillonnée …. 105 10.6 Haut: zoom par TFD (voir le texte) bas: zoom par réplication des pixels (voir le

texte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 10.7 details après zoom, à gauche par TFD, à droite par réplication des pixels …. 110 10.8 Zoom sur une partie de l’image utilisant sa TFD (voir le texte). On distingue

nettement les oscillations dues au phénomène de Gibbs le long des contours, ainsi que le long de la frontière inférieure de l’image. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

10.9 Rotation de π/4 implémentée par TFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 10.10Bas: après 12 rotations successive de π/4 par TFD; haut: même expérience en

utilisant l’interpolation bilinéaire (voir le texte). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 10.11Haut: les deux images de départ; bas: les deux images après échange des phases

de leurs TFD. L’information géométrique est contenue dans la phase ! . . . . . . 114 10.12Haut: deux images de textures; bas: les deux images après remplacement des

phases de leurs TFD par des phases aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 10.13Gauche: images de départ binaires; droites: textures obtenues en remplacant les

phases des TFD des images de départ par des valeurs aléatoires suivant une loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

10.14Même principe qu’à la figure 10.13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

11.1 fonctions continues de ℝ dans ℝ dont les coefficients de Fourier vérifient |c_{k}(f)| = (k + 1)^{−α}. Haut: α = 1, la fonction est en dehors de H_{per}^{1}, milieu: α = 1,5, et la fonction est donc “juste” en dehors de l’espace H_{per}^{1}, bas: α = 2, la fonction est dans H_{per}^{1}. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

11.2 fonctions continues dont les coefficients de Fourier vérifient |c_{i,j}| = (1+i^{2}+j^{2})^{−α/2}. Haut: α = 1, la fonction est en dehors de H_{per}^{1}, milieu: α = 1.5, et la fonction est donc “juste” en dehors de l’espace H_{per}^{1}, bas: α = 2, la fonction est dans H_{per}^{1}… 129 Traités recommandés :

H. Brezis, Analyse fonctionnelle, Masson, 1983. J.M. Bony, Cours d’analyse de l’Ecole Polytechnique, Ecole Polytechnique, 1994 (polycopié). G. Choquet, Cours de Topologie, seconde édition, Masson, 1992. J. Dixmier, Topologie Générale, Masson,???? N. Bourbaki, Topolgie Générale, Hermann, Paris. T.W. Körner, Fourier Analysis, Cambridge University Press, 1988. J. Neveu, Bases mathématiques du calcul des probabilités, Masson, 1970. W. Rudin, Real and complex analysis, Mc-Graw-Hill, 1966, traduction française Masson 1980. W. Rudin, Functional Analysis, Mc-Graw-Hill, 1980.

Autres sources

F. Hélein, Notes de cours, ENS Cachan, 1996 (manuscrit). Y. Meyer, cours de DEA ondelettes 94-97 (manuscrits).

8 TABLE DES FIGURES

Chapitre 1

Topologie et compacité

Dans ce paragraphe, nous nous contentons de rappeler des définitions et des résultats utiles pour la suite de cet ouvrage. Le lecteur pourra trouver les démonstrations de tous les énoncés cités dans [Choquet] et [Dixmier].

Rappels de topologie générale : une topologie sur E est définie comme une partie O de P(E) stable par intersection finie et union quelconque et contenant E et ∅. Les éléments de O sont appelés les ouverts de la topologie. On appelle voisinage ouvert de x ∈ E tout ouvert O ∈ O contenant x. On appelle base de voisinages ouverts de la topologie toute partie U de O telle que si x ∈ O ∈ O, alors il existe U ∈ U tel que x ∈ U ⊂ O. Conséquence : tout ouvert est une union de voisinages ouverts de la base. On appelle base de voisinages ouverts d’un point x ∈ E toute partie U de O telle que si un ouvert O contient x, alors il existe U dans U tel que x ∈ U ⊂ O. Exemple classique : une topologie O sur E est dite métrisable s’il existe une distance sur E telle que O coïncide avec l’ensemble des unions arbitraires de boules. Une base de voisinages ouverts commode est alors constituée par les boules ouvertes elles-mêmes. Les boules ouvertes centrées en x forment une base de voisinages ouverts de x et également les boules ouvertes contenant x. Définition 1.1 On dit que l’espace E est séparé si ∀x,y ∈ E, x ≠ y, ∃V ∈ V(x) et ∃U ∈ V(y) tels que U ∩ V = ∅. Tous les espaces topologiques que nous considérerons seront séparés. On appelle fermeture d’un ensemble A, notée \overline{A}, l’intersection de tous les fermés contenant A. On appelle ouverture, ou intérieur, de A l’union de tous les ouverts contenus dans A, noté Intérieur(A). Exercice 1.1 Adhérence Soit A une partie de E, on dit que x ∈ E est adhérent à A si ∀V ∈ V(x), V ∩ A ≠ ∅. On appellera adhérence de A, l’ensemble des points de E adhérents à A. On note \overline{A} la fermeture de A, c’est-à-dire le plus petit fermé de E contenant A. Montrer que \overline{A} et l’adhérence de A sont identiques et que la relation A = \overline{A} caractérise les ensembles fermés.

Convergence d’une suite. On dit qu’une suite x_{n} tend vers x pour la topologie O si pour tout voisinage O de x il existe n_{0} tel que n ≥ n_{0} ⇒ x_{n} ∈ O. Proposition 1.1 Tout fermé F est séquentiellement fermé, c’est-à-dire que si x_{n} ∈ F, fermé, et si x_{n} → x pour la topologie, alors x ∈ F.

Démonstration Si on avait x ∈ F^{c}, qui est ouvert, il existerait un voisinage ouvert U de x tel que U ⊂ F^{c}. Mais x_{n} → x implique que ∃n_{0},n ≥ n_{0} ⇒ x_{n} ∈ U, ce qui contredirait x_{n} ∈ F. ∘

Définition 1.2 Valeur d’adhérence d’une suite Soit (x_{n})_{n} une suite de points de E, on dit que x ∈ E est valeur d’adhérence de (x_{n})_{n} si ∀n, ∀V ∈ V(x), ∃i ≥ n tel que x_{i} ∈ V. Si on note A_{n} = \{x_{i}, i ≥ n\} alors x est valeur d’adhérence de (x_{n})_{n} si et seulement si x ∈ ⋂_{n} \overline{A_{n}}.

Application continue. On note de manière générique V(x) une base de voisinages d’un point x d’un espace topologique E,O. Définition 1.3 Continuité en un point Soient E et F deux espaces topologiques et f une appplication de E dans F. Soit x_{0} ∈ E, on dit que f est continue en x_{0} si ∀V ∈ V(f(x_{0})), ∃U ∈ V(x_{0}) tel que f(U) ⊂ V.

Exercice 1.2 Une application d’un espace topologique dans un autre est dite continue si elle est continue en tout point. Démontrer que f est continue si et seulement si l’image réciproque de tout ouvert par l’application est un ouvert, ou de manière équivalente, si l’image réciproque de tout fermé est un fermé. Vérifier que si on a une base de voisinages ouverts U dans F, alors f est continue si et seulement si f^{−1}(U) est un ouvert pour tout U ∈ U.

Un exemple que nous utiliserons souvent : une application f de E dans IR est continue si et seulement si pour tout intervalle ouvert I de IR, l’ensemble f^{−1}(I) est un ouvert. En effet, les intervalles ouverts forment une base de voisinages ouverts de IR. Il convient de vérifier que notre définition de la continuité généralise bien la notion de continuité séquentielle pour f ( c’est-à-dire : x_{n} → x ⇒ f(x_{n}) → f(x).)

Proposition 1.2 Si f : (E,O) → (F,U) est continue, alors elle est séquentiellement continue.

Démonstration Soit x_{n} tendant vers x pour O. Fixons U ∈ U tel que f(x) ∈ U et montrons que ∃n_{0},n ≥ n_{0} ⇒ f(x_{n}) ∈ U. Or, f étant continue, f^{−1}(U) est un voisinage de x. Donc ∃n_{0},n ≥ n_{0} ⇒ x_{n} ∈ f^{−1}(U) et on a donc, comme désiré, f(x_{n}) ∈ U.

∘

Rappelons un résultat classique, qui n’est pas toujours vrai quand les topologies ne sont pas métrisables : Exercice 1.3 Si E et F sont métrisables, alors f : E → F est continue si et seulement si elle est séquentiellement continue, c’est-à-dire si x_{n} → x ⇒ f(x_{n}) → f(x). Les compacts On dit qu’un sous-ensemble K d’un espace topologique séparé (E,O) est compact si de tout recouvrement de K on peut extraire un recouvrement fini. Si la topologie E est métrisable, tout compact est séquentiellement compact, c’est-à-dire que K est compact si et seulement si toute suite x_{n} contenue dans K a un point d’accumulation, c’est-à-dire une valeur d’adhérence qui est contenue dans K. L’image d’un compact par une fonction continue est un compact. En conséquence, toute fonction réelle continue sur un compact atteint son maximum et son minimum. Topologie produit Soit (E_{i},O_{i}) des espaces topologiques. L’espace topologique produit E = Π_{i}E_{i} peut être muni de la topologie produit, définie comme la moins fine rendant les projections de E sur chaque E_{i} continues.

Définition 1.4 On appelle topologie sur E la moins fine vérifiant une propriété P la topologie ayant cette propriété P et qui a le moins d’ouverts possible. Cette topologie U est donc telle que pour toute autre topologie O vérifiant P, on ait O ⊂ U. On la trouve en prenant tout simplement l’intersection de toutes les topologies vérifiant P : c’est encore une topologie, le vérifier !

Proposition 1.3 Soit (E_{j},O_{j})_{i∈J} une famille d’espaces topologiques et φ_{j} : E → E_{j} une famille d’applications définies sur un ensemble E. Les ouverts de la topologie la moins fine sur E rendant continues les applications φ_{j} sont tous de la forme :

⋃_{i∈I} ⋂_{j∈F_{i}} φ_{j}^{−1}(U_{j}),  (1.1)

où U_{j} désigne un ouvert quelconque de E_{j}, F_{i} est un sous-ensemble fini quelconque de J et I est un ensemble quelconque d’indices. La même formule est encore valide si on restreint les U_{j} à une base de voisinages ouverts de E_{j}.

Remarque 1.1 En conséquence, on a la base de voisinages de E:

⋂_{j∈F} φ_{j}^{−1}(O_{j}),

où F ⊂ J est fini, et O_{j} appartient à une base de voisinages de E_{j}. En conséquence, on peut caractériser la convergence des suites pour cette topologie de la manière très simple suivante : x_{n} → x pour la topologie O si et seulement si φ_{(}x_{n}) → φ(x) pour tout i.

Lemme 1.1

⋂_{i∈F} ⋃_{j∈J_{i}} A_{j} = ⋃_{ψ∈Ψ} ⋂_{i∈F} A_{ψ(i)},

où Ψ est l’ensemble de toutes les applications i ∈ F → ψ(i) ∈ J_{i}.

Cette dernière formule prouve que si A est une famille d’ensembles, alors ”toute intersection finie d’unions d’intersections finies d’éléments de A est une union d’intersections finies d’éléments de A.”

Démonstration Si x appartient à ⋂_{i∈F} ⋃_{j∈J_{i}} A_{j}, cela revient à dire que

∀i ∈ F, ∃j(= ψ(i)) ∈ J_{i}, x ∈ A_{j} ⇔
∃ψ : F → ∪_{i}J_{i}, ψ(i) ∈ J_{i}, x ∈ A_{ψ(i)}, ∀i ∈ F.
∘

Démonstration de la proposition 1.3 Si les φ_{i} sont continues, tout élément de la forme (1.1) est bien un ouvert de E. Réciproquement, la famille des ensembles de la forme (1.1) est évidemment stable par union quelconque, et par intersection finie d’après le lemme 1.1. ∘

Théorème 1.1 de Tikhonov Soit K = Π_{i}K_{i} un produit de compacts. On note ses éléments ω = (ω_{i})_{i} et on le munit de la topologie produit, c’est-à-dire la moins fine rendant les projections ω → w_{i} ∈ K_{i} continues. Alors K est compact.

Exercice 1.4 Montrer ce théorème dans le cas un peu moins général suivant : K = Π_{n∈IN}K_{n} (produit dénombrable) et on suppose que K_{n} est métrisable et donc muni d’une distance d_{n}. Commencer par montrer que K est métrisable en posant

d(x,y) = ∑_{n∈IN} \frac{d_{n}(x_{n},y_{n})}{2^{n}diam(K_{n})},

où diam(K_{n}) = max{d(x_{n},y_{n}),x_{n},y_{n} ∈ K_{n}} est le diamètre de K_{n} et x = (x_{n})_{n}, y = (y_{n})_{n}.

Cas des espaces métriques Nous rappelons ici un certain nombres de propriétés vraies dans les espaces métriques. Dans tout ce qui suit le couple (E,d), ou plus simplement E, désignera un espace métrique muni d’une distance d. On rappelle aussi qu’un espace métrique est dit complet si toute suite de Cauchy converge. Proposition 1.4 1) Un espace métrique est séparé.

2) Soient A une partie de E et x ∈ E alors x ∈ \overline{A} ⟺ d(x,A) = 0 ⟺ ∃(x_{n})_{n} ⊂ A telle que x_{n} → x.

Proposition 1.5 Valeur d’adhérence Soient (x_{n})_{n} une suite dans E et x ∈ E. Alors x est valeur d’adhérence de la suite (x_{n})_{n} si et seulement si il existe une sous-suite (x_{n_{k}})_{k} qui converge vers x.

Nous attirons l’attention sur le fait que le sens direct est vrai dans les espaces métriques mais que l’on ne peut rien dire a priori dans un espace topologique quelconque. Théorème 1.2 Soit E un espace métrique, les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) L’espace E est compact. (ii) Toute suite de points de E admet une valeur d’adhérence. (iii) Toute suite de points de E a une sous-suite convergente.

Théorème 1.3 Un espace métrique compact est complet.

Pour plus de détails de topologie générale nous renvoyons aux ouvrages de G.Choquet et J.Dixmier, et bien-sûr la Topologie Générale de N. Bourbaki.

1.1 Théorèmes classiques de compacité

Théorème 1.4 (Ascoli-Arzela) Soit f_{n} une suite de fonctions définies sur un espace métrique compact (K,d) et à valeurs réelles. On suppose que la suite f_{n} a les deux propriétés suivantes :

• f_{n} est équicontinue : ∀ε,∃η, ∀x,y ∈ K, ∀n ∈ IN, d(x,y) ≤ η ⇒ |f_{n}(x) − f_{n}(y)| ≤ ε.

• La suite (f_{n}(x))_{n} est bornée pour un x ∈ K. Alors il existe une sous-suite de f_{n} qui converge vers une fonction continue f.

Démonstration Remarquons d’abord qu’il existe une suite de points (x_{k})_{k} qui est dense dans K. En effet, K est compact et donc on peut le recouvrir pour tout n par un nombre fini de boules de rayon plus petit que \frac{1}{n}. L’union des centres de ces boules est un ensemble dénombrable qui répond à la question. On va alors extraire pour tout k de la suite f_{n} une sous-suite f_{φ_{k}(n)} telle que f_{φ_{k}(n)}(x_{l}) converge pour l ≤ k et telle que f_{φ_{k}(n)} soit une sous-suite de f_{φ_{k−1}(n)}. On procède par extractions successives. Comme la suite f_{n}(x_{1}) est bornée, la suite f_{n} admet une sous-suite convergente en x_{1} que nous notons f_{φ_{1}(n)}. On extrait de cette sous-suite une nouvelle sous-suite f_{φ_{2}(n)} qui converge aussi en x_{2}, etc.. On applique alors le procédé dit d’extraction diagonale : on considère la suite de fonctions g_{n} = f_{φ_{n}(n)}. Elle converge en tout point de la suite x_{k}. On appelle g(x_{k}) sa limite en x_{k}. Dès que n ≥ k, la suite f_{φ_{n}(n)} devient une sous-suite de f_{φ_{k}(n)}. Elle converge donc en x_{k}. La suite g_{n} converge donc en tout x_{k}. En fait, la fonction g est équicontinue et se prolonge d’une manière unique en une fonction continue sur K, que nous noterons encore g. Voyons pourquoi. On a

|g(x_{l}) − g(x_{k})| ≤ |g(x_{l}) − g_{n}(x_{l})| + |g(x_{k}) − g_{n}(x_{k})| + |g_{n}(x_{l}) − g_{n}(x_{k})|.

Le troisième terme est rendu inférieur à ε pour tout n si on impose d(x_{l},x_{k}) < η(ε). Les deux premiers termes tendent vers zéro quand n → ∞. On obtient donc |g(x_{l}) − g(x_{k})| ≤ ε si d(x_{k},x_{l}) < η(ε). Donc g est uniformément continue sur la suite x_{k} et a d’ailleurs le même module d’uniforme continuité que la suite f_{n}. On montre ensuite que g_{n} converge uniformément vers g. La fonction g est uniformément continue sur un ensemble dense dans K. Elle se prolonge donc de manière unique en une fonction uniformément continue sur K, avec le même module de continuité uniforme. Montrons pour finir que g_{n} → g uniformément. On fixe ε > 0, puis k assez grand pour

∀x ∈ K, ∃l ≤ k, d(x,x_{l}) ≤ η(ε).

On fixe finalement n_{0} assez grand pour que

n ≥ n_{0} ⇒ ∀l ≤ k, |g_{n}(x_{l}) − g(x_{l})| ≤ ε.

En combinant les deux dernières inégalités, on a pour n ≥ n_{0} et x dans K,

|g_{n}(x) − g(x)| ≤ |g_{n}(x) − g_{n}(x_{l})| + |g_{n}(x_{l}) − g(x_{l})| + |g(x_{l}) − g(x)| ≤ 3ε.
∘

Exercice 1.5 Vérifier que l’on peut le théorème d’Ascoli-Arzela est encore valable si les fonctions f_{n} sont à valeurs dans un espace métrique complet et si on suppose, comme deuxième hypothèse, que pour tout x dans K, l’ensemble (f_{n}(x)) est relativement compacte ( c’est-à-dire de fermeture compacte).

Corollaire 1.1 Toute famille f_{n} de fonctions L-lipschitziennes réelles, définies sur un compact K et telle que pour un certain point x_{0}, f_{n}(x_{0}) soit borné admet une sous-suite uniformément convergente vers une fonction également L-lipschitzienne.

Démonstration Comme K est compact, il est borné et on a donc d(x,x_{0}) ≤ M pour tout x dans K. D’où |f_{n}(x)| ≤ |f_{n}(x_{0})| + LM est aussi borné. On peut donc appliquer le théorème d’Ascoli-Arzela. ∘ Exercice 1.6 (longueur d’un arc rectifiable) On appelle arc rectifiable un sous-ensemble C de IR^{N} qui est l’image d’une application Lipschitz c : s ∈ [0,1] → c(s) ∈ IR^{N}. On appelle longueur de l’arc, l(C), l’infimum des constantes de Lipschitz des applications surjectives c: [0,1] → C. Montrer que cet infimum est atteint. Marche à suivre : considérer une suite c_{n} dont les constantes de Lipschitz tendent vers l(C). Extraire une sous-suite convergeant uniformément vers un arc c et montrer que c est Lipschitz et que sa constante de Lipschitz est égale à l(C).

Exercice 1.7 Soit (E,O) un espace topologique tel qu’il existe une base (U_{n})_{n} dénombrable de voisinages. Montrer que E est métrisable, c’est-à-dire qu’il existe une distance d sur E telle que les ouverts de O soient les unions de boules ouvertes pour d. Indication : on posera d_{n}(f,g) = 0 si f,g ∈ U_{n}, d_{n}(f,g) = 1 sinon. Ensuite, on posera d(f,g) = ∑_{n} \frac{1}{2^{n}} d_{n}(f,g).

Chapitre 2

Les Théorèmes de séparation de Hahn-Banach

Définition 2.1 Un espace de Banach est un espace vectoriel sur IR, normé, complet.

Exemples : IR^{N}, C^{N}, l^{p}, 1 ≤ p ≤ +∞, l^{p} = {a = (a_{i})_{i∈IN},a_{i} ∈ IR, ∑_{i=0}^{∞} |a_{i}|^{p} < ∞}, C_{0}^{0}(IR^{N}), espace des fonctions continues tendant vers zéro à l’infini. Si E est un espace vectoriel muni d’un produit scalaire non dégénéré < x,y >, il est alors normé par ||x|| = \sqrt{< x,x >}. On dit alors que E est préhilbertien. Si de plus il est complet, on dit que c’est un espace de Hilbert. Exemple canonique : l^{2}.

Définition 2.2 Si E est un espace vectoriel normé, on note E′ son dual topologique, c’est-à-dire l’ensemble des applications linéaires continues de E dans IR. Si E est un espace vectoriel normé, E′ est un espace de Banach (voir exercice 3.2

Théorème 2.1 de Hahn-Banach. Soit E un espace vectoriel normé. Soit G un sous-espace vectoriel de E et g : G → IR une application linéaire continue de norme

||g||_{G′} = sup_{x∈G,||x||≤1} g(x).

Alors il existe f ∈ E′, le dual topologique de E, qui prolonge g et telle que ||f||_{E′} = ||g||_{G′}. Exercice : le montrer en dimension finie.

Définition 2.3 (Zorn.) Soit P un ensemble muni d’une relation d’ordre partiel notée ≤. On dit que Q ⊂ P est totalement ordonné si ∀a,b ∈ Q, a ≤ b ou b ≤ a. On dit que c ∈ P est un majorant de Q ⊂ P si ∀a ∈ Q, a ≤ c. On dit que m ∈ P est maximal si ∀x ∈ P tel que m ≤ x, alors m = x. On dit que P est inductif si tout sous-ensemble totalement ordonné de P admet un majorant.

Lemme 2.1 de Zorn. Tout ensemble ordonné, inductif et non vide admet un élément maximal.

Théorème 2.2 de Hahn-Banach (version analytique) Soit p : E → IR^{+} une application vérifiant ∀λ > 0,∀x ∈ E,p(λx) = λp(x) et ∀x,y ∈ E,p(x + y) ≤ p(x) + p(y). Soit G ⊂ E un sousespace vectoriel et soit g : G → IR une application linéaire telle que g(x) ≤ p(x),∀x ∈ G. Alors il existe une forme linéaire f sur E qui prolonge g, i.e. g(x) = f(x),∀x ∈ G, f(x) ≤ p(x),∀x ∈ E.

Démonstration On considère P = {h : D(h) → IR,D(h) s.e.v. de E,h linéaire ,G ⊂ D(h), h prolonge g et h(x) ≤ p(x), ∀x ∈ D(h).}. P est muni de la relation d’ordre

h_{1} ≤ h_{2} ⇔ [D(h_{1}) ⊂ D(h_{2}) et h_{2} prolonge h_{1}].

On vérifie que P ≠ ∅ car g ∈ P, que P est inductif car si Q ⊂ P est un sous-ensemble totalement ordonné, alors D(h_{1}) = ⋃_{h∈Q} D(h) et h_{1}(x) = h(x) si x ∈ D(h) est un majorant pour Q. Donc, d’après le lemme de Zorn, il existe un élément maximal que l’on appelle f. On va vérifier que D(f) = E. Sinon, il existerait x_{0} ∉ D(f). Posons D(h) = D(f) + IRx_{0} et ∀x ∈ D(f), ∀t ∈ IR, h(x + tx_{0}) = f(x) + tα, α ∈ IR. Alors h est un prolongement de f et si on arrive à trouver α tel que h(x) ≤ p(x),∀x ∈ D(h), on aura f ≤ h en contradiction avec la maximalité de f. Il faut choisir α ∈ IR en sorte que

∀x ∈ D(f),∀t ∈ IR, h(x + tx_{0}) = f(x) + tα ≤ p(x + tx_{0}).

Cela revient à chercher α tel que

∀x ∈ D(f), ∀t > 0, f(x) + tα ≤ p(x + tx_{0}), f(x) − tα ≤ p(x − tx_{0}).

On cherche donc s’il existe α tel que

∀x ∈ D(f),∀t > 0, \frac{f(x) − p(x − tx_{0})}{t} ≤ α ≤ \frac{p(x + tx_{0}) − f(x)}{t}, ou encore :

[ sup_{x∈D(f),t>0} \frac{f(x) − p(x − tx_{0})}{t}, inf_{x∈D(f),t′>0} \frac{p(x + t′x_{0}) − f(x)}{t}] ≠ ∅,ce qui veut dire

∀x,y ∈ D(f),∀t,t′ > 0, t′f(y) − t′p(y − tx_{0}) ≤ tp(x + t′x_{0}) − tf(x), ou encore

∀x,y ∈ D(f),∀t,t′ > 0, tf(x) + t′f(y) ≤ tp(x + t′x_{0}) + t′p(y − tx_{0}). Or,

tf(x)+t′f(y) = f(tx+t′y) ≤ p(tx+t′y) ≤ p(tx+tt′x_{0})+p(t′y−tt′x_{0}) = tp(x+t′x_{0})+t′p(y−tx_{0}).

∘

Démonstration du théorème 2.1. On considère p(x) = ||g||_{G′}||x||. On vérifie que p satisfait les hypothèses du théorème 2.2. Donc en appliquant le théorème 2.2, on construit f prolongeant g avec ∀x, f(x) ≤ ||g||_{G′}||x||. Donc, ||f||_{E′} ≤ ||g||_{G′}. ∘

Corollaire 2.1 (application de ”dualité”). Si E est un espace vectoriel normé, il existe pour tout x_{0} ∈ E une forme linéaire f ∈ E′ telle que ||f|| = ||x_{0}|| et f(x_{0}) = ||x_{0}||^{2}.

Démonstration Prendre G = IRx, g(tx) = t||x||^{2}, de sorte que ||g||_{G′} = ||x||. ∘

Exercice 2.1 Montrer le corollaire précédent directement quand E est de dimension finie et euclidien. Regarder également le cas E = IR^{N} muni de la norme ||x||_{p} = (|x_{1}|^{p} + ... + |x_{N}|^{p})^{\frac{1}{p}} .

Corollaire 2.2 Soit E un espace vectoriel normé. Alors

||x|| = sup_{f∈E′, ||f||≤1} |f(x)| = max_{f∈E′, ||f||≤1} |f(x)|.

Démonstration En effet, l’inégalité (||x|| ≥ f(x) si ||f|| ≤ 1) est immédiate et l’égalité est obtenue grâce à l’application de dualité (corollaire 2.1). ∘

Définition 2.4 Un hyperplan affine est un ensemble de la forme

H = {x ∈ E, f(x) = α},

où f est une forme linéaire continue sur E, non identiquement nulle, et α ∈ IR.

Proposition 2.1 L’hyperplan d’équation f = α est fermé si et seulement f est continue.

Démonstration Si f est continue, alors H = f^{−1}(α) est un fermé. Réciproquement, supposons H fermé. Soit x_{0} ∈ H^{c}. Supposons pour fixer les idées que f(x_{0}) < α. Alors, puisque H^{c} est ouvert, il existe r > 0, tel que B(x_{0},r) = {x ∈ E,||x − x_{0}|| < r} ⊂ H^{c}, et on va en déduire que

∀x ∈ B(x_{0},r), f(x) < α.

En effet, si on avait un point x_{1} de la boule où f(x_{1}) ≥ α, on trouverait par interpolation, f étant linéaire, un point x du segment [x_{0},x_{1}] où f(x) = α, en contradiction avec B(x_{0},r) ⊂ H^{c}. Finalement, ∀x ∈ B(x_{0},r), f(x) < α et donc

∀z ∈ B(0,1), f(x_{0}) + rf(z) < α, soit

∀z ∈ B(0,1), f(z) ≤ \frac{α − f(x_{0})}{r}.

Cela entraîne ||f|| ≤ \frac{α−f(x_{0})}{r}, et donc que f est continue. ∘

Définition 2.5 Soit E un espace vectoriel normé et A,B ⊂ E. On dit que l’hyperplan H d’équation f(x) = α sépare A et B au sens large si

f(x) ≤ α, ∀x ∈ A et f(x) ≥ α,∀x ∈ B.

On dit que H sépare A et B au sens strict si

∃ε > 0, f(x) ≤ α − ε, ∀x ∈ A et f(x) ≥ α + ε,∀x ∈ B.

Théorème 2.3 de Hahn-Banach (version géométrique) Soit E un espace vectoriel normé et A,B ⊂ E deux ensembles convexes non vides et disjoints. On suppose que A est ouvert. Alors il existe un hyperplan fermé qui sépare A et B au sens large.

Exercice 2.2 Le théorème peut être faux si aucun des deux convexes n’est ouvert. Prendre par exemple E = C^{0}(0,1), pour A: le sous-espace vectoriel des polynômes trigonométriques et pour B une fonction continue qui ne soit pas un polynôme trigonométrique, par exemple f(s)=s. Or, on ne peut pas séparer f et A au sens large (théorème de Stone-Weierstrass).

Lemme 2.2 Soit C ⊂ E un convexe ouvert, avec 0 ∈ C. Pour tout x ∈ E, on pose p(x) = inf\{α > 0, \frac{x}{α} ∈ C\}. On dit que p est la jauge de C. Alors p vérifie ∀λ > 0, p(λx) = λx, l’inégalité triangulaire p(x + y) ≤ p(x) + p(y) et

(i) ∃M,0 ≤ p(x) ≤ M||x||,∀x ∈ E. (ii) C = {x ∈ E, p(x) < 1}.

Démonstration On a immédiatement p(λx) = |λ|p(x). Montrons l’inégalité triangulaire p(x+ y) ≤ p(x) + p(y) pour x et y dans E. Elle découle de la convexité de C. On a évidemment x̃ = \frac{x}{p(x)+ε} ∈ C et ỹ = \frac{y}{p(y)+ε} ∈ C. Puisque C est convexe, on a donc \frac{p(x)+ε}{p(x)+p(y)+2ε} x̃+ \frac{p(y)+ε}{p(x)+p(y)+2ε} ỹ ∈ C, c’est-à-dire

z = \frac{x + y}{p(x) + p(y) + 2ε} ∈ C.

Mais z ∈ C ⇒ p(z) ≤ 1. Donc

p(x + y) ≤ p(x) + p(y) + 2ε,

ce qui prouve l’inégalité triangulaire. Montrons maintenant (i). Comme C est ouvert et 0 ∈ C, il existe r > 0 tel que B(0,r) ⊂ C. Donc ∀x ≠ 0, r \frac{x}{||x||} ∈ C et donc p(x) ≤ \frac{||x||}{r}. Terminons en montrant (ii), C = \{x ∈ E, p(x) < 1\}. Si x ∈ C, comme C est ouvert, ∃ε, (1 + ε)x ∈ C. Donc p(x) ≤ \frac{1}{1+ε} < 1. Réciproquement, si p(x) < 1, ∃α, 0 ≤ p(x) < α < 1, et donc \frac{x}{α} ∈ C. Comme C est convexe et que x appartient au segment [0,αx] il est aussi dans C.

∘

Exercice 2.3 Montrer la réciproque du théorème précédent : si p : E → IR^{+} est une application vérifiant p(λx) = λx, λ > 0, p(x + y) ≤ p(x) + p(y), la relation (i), ∃M,0 ≤ p(x) ≤ M||x||, alors C = {x ∈ E, p(x) < 1} est un convexe ouvert contenant 0 dont p est la jauge.

Lemme 2.3 Soit E un espace vectoriel normé , C ⊂ E un convexe ouvert non vide et x_{0} ∈ E, x_{0} ∉ C. Alors ∃f ∈ E′, f(x) < f(x_{0}),∀x ∈ C. En particulier, l’hyperplan {x,f(x) = f(x_{0})} sépare x_{0} et C au sens large.

Remarque 2.1 Soit C un convexe. Alors en tout point de la frontière de C, il y a donc au moins un hyperplan tangent.

Démonstration On peut toujours se ramener au cas où 0 ∈ C et introduire la jauge p de C. On considère G = IRx_{0}, et g : IRx_{0} → IR définie par tx_{0} → t, de sorte que g(x_{0}) = 1. Comme x_{0} ∉ C, on a g(x) ≤ p(x),∀x ∈ G. En effet, x_{0} ∉ C ⇔ p(x_{0}) ≥ 1 et si t ≥ 0, g(tx_{0}) − p(tx_{0}) = t(1 − p(x_{0})) ≤ 0. Si t < 0, g(tx_{0}) < 0 ≤ p(tx_{0}). On applique le théorème de Hahn-Banach à g. Il existe f linéaire sur E qui prolonge g, telle que f(x) ≤ p(x),∀x ∈ E. En particulier, f(x_{0}) = 1 et f est continue car f(x) ≤ p(x) ≤ M||x||, C étant ouvert (Lemme 2.2(i)). Finalement, f(x) ≤ p(x) < 1 pour tout x dans C en vertu du Lemme 2.2-(ii). ∘

Démonstration du théorème 2.3 On pose C = A − B qui est un convexe ouvert car A−B = ⋃_{y∈B}(A−y) est une union d’ouverts. Comme 0 ∉ C, car A∩B = ∅, on utilise le lemme 2.3 pour séparer C et 0. Donc

∃f ∈ E′, f(z) < 0,∀z ∈ C, soit
f(x) < f(y),∀x ∈ A,y ∈ B.

On choisit α ∈ [sup_{x∈A} f(x), inf_{y∈B} f(y)] ≠ ∅ et H = {x,f(x) = α} sépare A et B. ∘

Théorème 2.4 de Hahn-Banach, version fermé-compact. Soit E un espace vectoriel normé et A ⊂ E, B ⊂ E, deux sous-ensembles convexes non vides, disjoints. On suppose que A est fermé, B est compact. Alors il existe un hyperplan H fermé qui sépare A et B au sens strict.

Démonstration Posons A_{ε} = A + B(0,ε), B_{ε} = B + B(0,ε). On commence par montrer que ∃ε,A_{ε} ∩ B_{ε} = ∅. En effet, dans le cas contraire, on peut trouver pour tout ε un élément z_{ε} tel que ∃x_{ε} ∈ A,||z_{ε} − x_{ε}|| ≤ ε et ∃y_{ε} ∈ B, ||z_{ε} − y_{ε}|| ≤ ε. Comme B est compact, une sous-suite y_{ε′} de y_{ε} tend vers y ∈ B. La sous-suite correspondante x_{ε′} tend aussi vers y, et comme A est supposé fermé, on a y ∈ A ∩ B, en contradiction avec l’hypothèse que A et B sont disjoints. On applique le théorème 2.3 à A_{ε} et B_{ε}. Il existe donc un hyperplan {x,f(x) = α} qui sépare A_{ε} et B_{ε}:

∀x ∈ A,∀y ∈ B,∀z,z′ ∈ B(0,ε), f(x + εz) ≤ α ≤ f(y + εz′).

D’où ,

f(x) + ε||f|| ≤ α ≤ f(y) − ε||f||

et A et B sont bien séparés au sens strict. ∘

Exercice 2.4 En dimension finie, montrer par un argument constructif le théorème de Hahn-Banach, version fermé-compact : on montrera qu’il existe x ∈ A et y ∈ B tels que ||x − y|| = d(A,B) et considérera l’hyperplan orthogonal à [x,y] passant par \frac{x+y}{2} .

Corollaire 2.3 Tout convexe fermé est une intersection de demi-espaces.

Démonstration Appliquer la version fermé-compact au convexe et aux points hors du convexe. ∘

Corollaire 2.4 Tout sous espace vectoriel fermé F ⊂ E est une intersection d’hyperplans vectoriels.

Démonstration Appliquer le corollaire précédent et prouver que si un espace vectoriel est inclus dans un demi-espace {f(x) ≤ α}, il est aussi inclus dans {f(x) = 0}. ∘

Lemme 2.4 Soit E un espace vectoriel normé, E′ son dual et L un sous-espace vectoriel de E. Alors L est dense si et seulement si son orthogonal est réduit à zéro. En d’autres termes, L est dense si et seulement si

∀f ∈ E′, (∀x ∈ L, f(x) = 0) ⇒ f = 0).  (2.1)

Démonstration En effet, si L est dense et si ∀x ∈ L, f(x) = 0, on déduit par continuité de f que ∀x ∈ E,f(x) = 0 et donc f = 0. Réciproquement, supposons que la relation (2.1) soit satisfaite. Supposons par contradiction que L ne soit pas dense. Sa fermeture est alors un sous-espace vectoriel strict de E. Par le corollaire 2.4, il existe f ∈ E′ tel que ∀x ∈ L, f(x) = 0 avec f ≠ 0. Ceci contredit (2.1). ∘

Chapitre 3

Le Théorème de Banach-Steinhaus

Lemme 3.1 de Baire. Soit X un \underline{espace métrique complet}. Soit X_{n} une suite de fermés. On suppose que IntérieurX_{n} = ∅. Alors

Intérieur( ⋃_{n=1}^{∞} X_{n}) = ∅.

En d’autres termes, ”une union dénombrable de fermés d’intérieurs vides reste d’intérieur vide”. De manière équivalente, ”une intersection dénombrable d’ouverts denses reste dense”.

Remarque 3.1 Enoncé à relier au suivant : une union dénombrable d’ensembles de mesure nulle est de mesure nulle.

Démonstration Nous allons montrer la deuxième forme. Soit O_{n} une suite d’ouverts denses et G = ⋂_{n} O_{n}. Montrons que G rencontre un ouvert arbitraire O. Pour cela, on choisit une boule fermée

B_{0} = B(x_{0},r_{0}) = {x,d(x,x_{0}) ≤ r_{0}} ⊂ O.

Comme O_{1} est dense, on peut choisir x_{1} ∈ B_{0} et r_{1} tels que

B(x_{1},r_{1}) ⊂ B(x_{0},r_{0}) ∩ O_{1} et r_{1} ≤ \frac{r_{0}}{2} .

On construit de même par récurrence une suite B(x_{n},r_{n}) telle que

B(x_{n},r_{n}) ⊂ B(x_{n−1},r_{n−1}) ∩ O_{n} et r_{n} ≤ \frac{r_{n−1}}{2} .

La suite x_{n} est de Cauchy car d(x_{n},x_{n−1}) ≤ \frac{r_{0}}{2^{n}}. Soit x = lim_{n→∞} x_{n}. Alors x ∈ O ∩ ⋂_{n} O_{n}. ∘

Remarque : le théorème précédent est valable dans tout espace métrique complet. La structure d’espace vectoriel n’intervient pas. Soient maintenant E,F deux espaces vectoriels normés. On note L(E,F) l’espace vectoriel normé des opérateurs linéaires continus de E dans F, muni de la norme

||T ||_{L(E,F)} = sup_{x∈E,||x||≤1} ||T (x)||.

On note L(E) = L(E,E).

Théorème 3.1 de Banach-Steinhaus. Soient E,F deux espaces de Banach. Soit (T_{i})_{i∈I} ⊂ L(E,F) une famille (non nécessairement dénombrable) d’opérateurs linéaires et continus de E dans F. On suppose que

∀x ∈ E, sup_{i∈I} ||T_{i}x|| < ∞.

Alors,

sup_{i∈I} ||T_{i}||_{L(E,F)} < ∞,

c’est-à-dire qu’il existe c > 0 tel que

∀i ∈ I, ∀x ∈ E, ||T_{i}x|| ≤ c||x||.

Démonstration Pour tout n ≥ 1, on pose X_{n} = {x ∈ E, ∀i, ||T_{i}x|| ≤ n}, en sorte que chaque X_{n} est une intersection de fermés et est donc fermé. Par hypothèse, ⋃_{n} X_{n} = E et donc Intérieur(⋃_{n} X_{n}) ≠ ∅. Par le lemme de Baire 3.1, l’un des X_{n} doit être d’intérieur non vide : Intérieur(X_{n_{0}}) ≠ ∅. Soit x_{0} ∈ X_{n_{0}} et r > 0 tel que B(x_{0},r) ⊂ X_{n_{0}}. Alors

∀i ∈ I, ∀z ∈ B(0,1), ||T_{i}(x_{0} + rz)|| ≤ n_{0},

et donc par l’inégalité triangulaire,

∀z ∈ B(0,1), r||T_{i}(z)|| ≤ n_{0} + ||T_{i}(x_{0})|| ≤ 2n_{0}, soit

||T_{i}||_{L(E,F)} ≤ \frac{2n_{0}}{r} .

∘

Remarque 3.2 Pour que le théorème de Banach-Steinhaus marche, il suffit que l’espace de départ E soit complet. L’espace d’arrivée F peut être simplement vectoriel normé.

3.1 Conséquences du Théorème de Banach-Steinhaus.

Corollaire 3.1 Soient E et F deux espaces de Banach. Soit (T_{n}) une suite d’opérateurs linéaires et continus de E dans F, tels que pour tout x ∈ E, T_{n}x converge quand n → ∞ vers une limite notée T x. Alors on a

sup_{n} ||T_{n}||_{L(E,F)} < +∞,

T ∈ L(E,F),

||T ||_{L(E,F)} ≤ lim inf_{n→+∞} ||T_{n}||_{L(E,F)}.

Démonstration La première relation est une conséquence directe du théorème 3.1 (de Banach-Steinhaus). On a donc

∃c > 0, ∀x ∈ E, ∀n ∈ IN, ||T_{n}x|| ≤ c||x||.

On en déduit que ∀x ∈ E, ||T x|| ≤ c||x||, et donc T ∈ L(E,F). Comme ||T_{n}x|| ≤ ||T_{n}||||x||, on obtient par passage à la limite inférieure, ||T x|| ≤ lim inf_{→∞} ||T_{n}||||x||, ce qui donne bien la dernière relation annoncée. ∘

Remarque 3.3 On remarquera (voir exercice 2 à la fin du chapitre) que tout espace dual d’un espace vectoriel normé est un espace de Banach.

Corollaire 3.2 Soit G un espace vectoriel normé, B un sous-ensemble de G. On suppose que pour tout f ∈ G′, f(B) = {f(x), x ∈ B} est borné. Alors B est borné.

Démonstration On applique le théorème de Banach-Steinhaus (Thm 3.1) avec E = G′, F = IR, I = B. Pour b ∈ B et f ∈ E = G′, on pose T_{b}(f) = f(b). On a donc par hypothèse

∀f ∈ E, sup_{b∈B} |T_{b}(f)| < +∞.

On en déduit qu’il existe c > 0 tel que

∀b ∈ B, ∀f ∈ E, ||T_{b}(f)|| ≤ c||f||_{G′}, soit
∀f ∈ G′,|f(b)| ≤ c||f||_{G′}.

Comme par le corollaire 2.2, on a ||b|| = sup_{f∈G′,||f||≤1} f(b), on conclut que ||b|| ≤ c. B est donc borné. ∘

Ce théorème nous dit qu’un ensemble est borné si et seulement si ses projections sur des axes de coordonnées arbitraires sont bornées.

3.2 Exercices

Exercice 1

1) Soient E un espace vectoriel réel normé de dimension finie et F un espace vectoriel normé

a) Montrer que toutes les normes sur E sont équivalentes.

b) Soit u : E → F linéaire, montrer que u est continue.

2) Soit E = Q^{|} [\sqrt{2}] = \{a + b\sqrt{2},a ∈ Q^{|} ,b ∈ Q^{|} \}. On définit sur E, N_{0}(a + b\sqrt{2}) = |a + b\sqrt{2}| et N_{1}(a + b\sqrt{2}) = max(|a|,|b|).

a) Vérifier que N_{0} et N_{1} sont des normes sur E. Soit x = \sqrt{2} − 1, montrer que ∀n ≥ 1, x^{n} = a_{n} + b_{n}\sqrt{2} où a_{n},b_{n} ∈ Q^{|} et a_{n}b_{n} < 0. En déduire que (\sqrt{2} + 1)^{n} = |a_{n}| + |b_{n}|\sqrt{2}.

b) Montrer que N_{0} et N_{1} ne sont pas équivalentes sur E. (E est un Q^{|} -espace vectoriel de dimension finie, commenter.)

Exercice 2

Soient E et F deux espaces vectoriels normés

a) Montrer que F complet ⇒ L(E,F) complet (donc E′ est toujours complet).

b) Montrer que \overline{B}_{E}(0,1) compacte ⇒ dimE < ∞.

Exercice 3

Soient E un espace vectoriel normé et f ∈ E′, f ≢ 0. Soit H = {x ∈ E : f(x) = 0}, on se propose de montrer que

∀x ∈ E, d(x,H) = inf_{y∈H} ∥x − y∥ = \frac{|f(x)|}{∥f∥} (⋆)

1) Vérifier que |f(x)| ≤ ∥f∥ d(x,H), ∀x ∈ E.

2) Soit u ∈ E\H, en notant que y = x − \frac{f(x)}{f(u)} u est dans H, montrer que d(x,H) ≤ \frac{|f(x)|}{|f(u)|} ∥u∥ et prouver (⋆).

3) Soit E = C_{0} = {x = (x_{n})_{n≥1} ∈ IR^{IN^{⋆}} tel que x_{n} → 0} que l’on munit de

∥x∥_{∞} = sup_{n} |x_{n}|.

a) Vérifier que (E,∥ ∥_{∞}) est un espace de Banach.

b) Soient f : E → IR, définie par f(x) = ∑_{1}^{∞} \frac{x_{n}}{2^{n}} et H = Kerf. Vérifier que f ∈ E′, donner une expression de d(x,H). ∥f∥_{E′} est-elle atteinte?

Exercice 4 Théorèmes du point fixe

1) Soit (E,d) un espace métrique complet et soit f : E → E une application k-lipschitzienne avec k<1. Montrer que f admet un unique point fixe x = f(x).

2) Soit (E,d) un espace métrique complet et soit Λ un espace topologique. Soit f : E × Λ → E telle que

- ∀x ∈ E, λ → f(x,λ) est continue de Λ dans E,

- ∃k < 1, ∀λ ∈ Λ, x → f(x,λ) est k-lipschitzienne de E dans E. On pose f_{λ}(x) = f(x,λ). Si a_{λ} est l’unique point fixe de f_{λ}, montrer que λ → a_{λ} est continue de Λ dans E.

3) Soit (E,d) un espace métrique compact et f : E → E telle que

∀x,y ∈ E, d(f(x),f(y)) < d(x,y).

Montrer que f admet un unique point fixe.

4) Soit C un convexe compact dans E espace vectoriel normé et soit f : C → C 1-lipschitzienne. Montrer que f admet un point fixe ( pour z fixé dans C, considérer f_{n}(x) = \frac{1}{n+1}z + \frac{n}{n+1}f(x)).

Exercice 5

Soit E = C^{1}([0,1]). Pour f ∈ E, on pose N(f) = (f(0)^{2} + ∫_{0}^{1} f′(t)^{2}dt)^{1/2} et ∥f∥_{∞} = sup_{[0,1]} |f(x)|.

a) Vérifier que N est une norme sur E.

b) Montrer que ∀f ∈ E, ∥f∥_{∞} ≤ \sqrt{2} N(f).

c) Montrer que ∥ ∥_{∞} et N ne sont pas équivalentes sur E.

Exercice 6

Soit E un espace métrique complet tel que ∀ε > 0, il existe un recouvrement fini de E par des boules de rayon ε, montrer que E est compact.

Exercice 7

Montrer qu’un espace métrique compact est séparable.

Exercice 8

Soit E un espace vectoriel normé et soit K une partie convexe de E avec 0 ∈ K. On pose

K^{⋆} = {f ∈ E′; ∀x ∈ K, < f,x >≤ 1} et
K^{⋆⋆} = {y ∈ E; ∀f ∈ K^{⋆}, < f,y >≤ 1}.

Montrer que \overline{K} = K^{⋆⋆}.

Exercice 9

L’objet de cet exercice est de montrer qu’en dimension ∞, on ne peut pas séparer deux convexes fermés. On note ℓ^{1} = {x = (x_{n})_{n≥1} ⊂ IR tel que ∑_{n=1}^{+∞} |x_{n}| < ∞} qui muni de ∥x∥_{1} = ∑_{n=1}^{+∞} |x_{n}| est un espace de Banach. On considère les ensembles

\begin{aligned}A_{0} & = & \{x = (x_{n})_{n} ∈ ℓ^{1} : ∀n ≥ 1, x_{2n} = 0\} et \\ B & = & \{x = (x_{n})_{n} ∈ ℓ^{1} : ∀n ≥ 1, x_{2n} = 2^{−n} x_{2n−1}\}. \end{aligned}

1) Vérifier que A_{0} et B sont des sous-espaces fermés de ℓ^{1} et que ℓ^{1} = \overline{A_{0} + B}.

2) Soit c = (c_{n})_{n} ∈ ℓ^{1} tel que ∀n ≥ 1, c_{2n−1} = 0 et c_{2n} = 2^{−n}. Vérifier que c ∉ A_{0} + B et que si A = A_{0} − c = {a − c, a ∈ A_{0}}, on a A ∩ B = ∅. Montrer que A et B ne peuvent pas être séparés au sens large.

Exercice 10 Théorème de l’application ouverte

Soient E et F deux espaces de Banach et T ∈ L(E,F) surjective alors

1) Montrer qu’il existe C > 0 tel que B(0,2C) ⊂ \overline{T (B(0,1))}. Pour cela utiliser les ensembles F_{n} = n\overline{T (B(0,1))}.

2) Démontrer qu’en fait B(0,C) ⊂ T (B(0,1)). On construira une suite (z_{n})_{n} telle que ∥z_{n}∥ < \frac{1}{2^{n}} 26 CHAPITRE 3. LE THÉORÈME DE BANACH-STEINHAUS et ∥y−T z_{1}−...−T z_{n}∥ < \frac{C}{2^{n}}, ∀n et on en déduira que la série x = ∑_{1}^{∞} z_{n} converge et que ||x|| < 1. Exercice 11 Théorème d’isomorphisme d’espaces de Banach Soient E et F deux espaces de Banach et T ∈ L(E,F) bijective, montrer que T^{−1} est continue. Exercice 12 Soit E un espace vectoriel normé muni de ∥ ∥_{1} et ∥ ∥_{2}. Si E est complet pour les deux normes et si ∥ ∥_{1} ≤ C ∥ ∥_{2}, montrer que les deux normes sont équivalentes. Exercice 13 Théorème du graphe fermé Soient E et F deux espaces de Banach et T ∈ L(E,F). On suppose que le graphe de T, G(T)= {(x,y) ∈ E × F, y = T x}, est fermé dans E × F, montrer que T est continue. (On pourra considérer la norme du graphe ∥x∥ = ∥x∥_{E} + ∥T x∥_{F}.) Exercice 14 Soient E et F deux espaces de Banach et T ∈ L(E,F). On suppose que ∀f ∈ F′, f ∘ T ∈ E′. Montrer que T est continue. Exercice 15 Soit E = C[0,1] muni de ∥ ∥_{∞}. Soit F un sous-espace vectoriel fermé de E tel que ∀f ∈ F, f est dérivable. L’objet de cet exercice est de montrer que dimF < ∞.

1) Soit x_{0} ∈ [0,1] fixé. On définit l’opérateur Λ_{y} : f ↦ \frac{f(y)−f(x_{0})}{y−x_{0}}. Montrer que Λ_{y} ∈ E′ et que ∃M > 0 tel que ∀f ∈ F, |Λ_{y}(f)| ≤ M∥f∥.

2) Soit B_{F} la boule unité fermée de F, montrer que B_{F} est équicontinue puis que B_{F} est compacte. Conclure. Exercice 16

1) Soit E un espace métrique complet et soit (F_{n})_{n≥1} une suite de fermés de E telle que E = ⋃_{n≥1} F_{n}. Montrer que ⋃_{n≥1} F_{n}^{o} est un ouvert dense de E.

2) Soit (f_{n})_{n} ∈ C(IR) telle que f_{n} → f simplement sur IR. On va montrer que f est continue sur une partie dense de IR.

Pour δ > 0, on pose F_{n,δ} = {x ∈ IR : ∀i,j ≥ n, |f_{i}(x) − f_{j}(x)| ≤ δ}. Vérifier que U_{δ} = ⋃_{n} F_{n,δ}^{o}

est un ouvert dense et montrer que f est continue sur U = ⋂_{k≥1} U_{\frac{1}{k}}.

3) Soit f ∈ C(IR) dérivable partout, montrer que f′ est continue sur une partie dense de IR.

Chapitre 4

Topologies faibles

4.1 La topologie faible σ(E,E′)

Définition 4.1 On note E un espace vectoriel normé, E′ son dual et f ∈ E′. On appelle topologie faible σ(E,E′) la topologie sur E la moins fine rendant toutes les applications f : x → f(x) ∈ IR continues.

On peut recenser les ouverts qui doivent appartenir à la topologie faible σ(E,E′) de la manière suivante : si f ∈ E′ et U ⊂ IR est un ouvert, il faut que f^{−1}(U) soit un ouvert de σ(E,E′). Mais comme les intervalles sont une base de voisinages de IR, on voit que ceci revient à dire que pour tout intervalle I et tout f ∈ E′, f^{−1}(I) est dans σ(E,E′). En résumé, on vient de montrer que :

Proposition 4.1 La topologie σ(E,E′) est la moins fine contenant tous les ensembles f^{−1}(I) pour tout f ∈ E′ et tout intervalle I de IR.

Proposition 4.2 Tout ouvert O de σ(E,E′) peut s’écrire sous la forme

O = ⋃_{i∈I} ⋂_{f∈F_{i}} f^{−1}(I_{f}),  (4.1)

où I est un ensemble d’indices quelconque, chaque F_{i} un sous-ensemble fini de E′ et I_{f} un intervalle ouvert quelconque de IR.

Démonstration C’est une application directe de la proposition 1.3. de A est une union d’intersections finies d’éléments de A”. ∘

Donnons une base de voisinages commode pour σ(E,E′).

Corollaire 4.1 Les ouverts de la forme ⋂_{i=1,...,k} f_{i}^{−1}(I_{i}), où k ∈ IN, f_{i} ∈ E′ et I_{i} sont des intervalles ouverts quelconques de IR, forment une base de voisinages de σ(E,E′). Les ouverts de la forme U = ⋂_{i=1,...,k} f_{i}^{−1}(]f(x) − ε,f(x) + ε[), k ∈ IN, f_{i} ∈ E′, ε > 0 forment une base de voisinages de x ∈ E.

Démonstration Le premier énoncé est immédiat. Pour montrer que les ouverts de la forme U forment une base de voisinages de x, on remarque que si I est un intervalle ouvert et f^{−1}(I) contient x, alors I contient un intervalle ]f(x) − ε,f(x) + ε[. Donc f^{−1}(I) contient f^{−1}(]f(x) − ε,f(x) + ε[). ∘

Proposition 4.3 La topologie σ(E,E′) est séparée, c’est-à-dire que si x,y ∈ E, alors il existe deux ouverts U ∋ x, V ∋ y, tels que U ∩ V = ∅.

Démonstration Appliquer Hahn-Banach, version compact-fermé: il existe f ∈ E′ et α tels que l’hyperplan {z, f(z) = α} sépare au sens strict x et y et donc on peut prendre U = f^{−1}(]−∞,α[) et V = f^{−1}(]α, + ∞[). ∘

Définition 4.2 Si x_{n} → x dans σ(E,E′), on dit que x_{n} converge faiblement vers x dans E et on note x_{n} ⇀ x, σ(E,E′).

Proposition 4.4 Soit E un espace de Banach. Soit (x_{n}) une suite de E. Alors

(i) x_{n} ⇀ x dans σ(E,E′) si et seulement si ∀f ∈ E′, f(x_{n}) → f(x).

(ii) Si x_{n} → x fortement, alors x_{n} ⇀ x dans σ(E,E′).

(iii) Si x_{n} ⇀ x dans σ(E,E′), alors ||x_{n}|| est bornée et ||x|| ≤ lim inf_{n→+∞} ||x_{n}||.

(iv) Si x_{n} ⇀ x dans σ(E,E′) et si f_{n} → f fortement, alors f_{n}(x_{n}) → f(x).

Démonstration Montrons l’équivalence (i). La topologie σ(E,E′) ayant été construite pour que les éléments de E′ soient continus, l’implication directe (⇒) est claire, puisque la continuité des f ∈ E′ entraine leur continuité séquentielle. La réciproque découle de la forme des voisinages dans la topologie faible. On doit montrer que si f(x_{n}) → f(x) pour tout f, alors pour tout U voisinage de x pour σ(E,E′), il existe n_{0} tel n ≥ n_{0} implique x_{n} ∈ U. Or on a vu (Corollaire 4.1) qu’on peut choisir des voisinages U de x de la forme U = ⋂_{i=1,...,k} f_{i}^{−1}(]f_{i}(x) − ε,f_{i}(x) + ε[). On choisit n_{0} assez grand pour que n ≥ n_{0} ⇒ |f_{i}(x_{n}) − f_{i}(x)| < ε, i = 1,...,k. Alors x_{n} ∈ U. On a donc bien x_{n} ⇀ x pour σ(E,E′).

La relation (ii) résulte de |f(x_{n}) − f(x)| ≤ ||f||||x − x_{n}||. Pour montrer (iii), on considère les x_{n} comme des formes linéaires sur E′ et on applique le théorème de Banach-Steinhaus (Théorème 3.1). Les opérateurs continus de E′ dans IR définis par T_{n}(f) = f(x_{n}) vérifient ∀f ∈ E′, sup_{n} |T_{n}(f)| < +∞, car T_{n}(f) = f(x_{n}) a une limite, f(x). Donc sup_{n} ||T_{n}|| ≤ C < +∞. Mais, (corollaire 2.2), ||x|| = sup_{f∈E′} f(x)) et donc

||T_{n}|| = sup_{||f||_{E′}≤1} f(x_{n}) = ||x_{n}||.

La suite x_{n} est donc bornée. On a

∀f ∈ E′, ||f||_{E′} ≤ 1, |f(x)| = lim |f(x_{n})| ≤ lim inf_{n} ||x_{n}||, et donc

4.1. LA TOPOLOGIE FAIBLE σ(E,E′) 29

∀f ∈ E′, |f(x)| ≤ lim inf_{n} ||x_{n}||,

et par le corollaire 3.1,

||x|| ≤ lim inf_{n} ||x_{n}||.

On termine en montrant (iv) par la simple inégalité

|f_{n}(x_{n}) − f(x)| ≤ ||f_{n} − f||||x_{n}|| + |f(x_{n} − x)|.
∘

Proposition 4.5 Si la dimension de E est finie, la topologie faible et la topologie forte coïncident.

Remarque 4.1 En dimension infinie, les ouverts faibles sont des ouverts forts, mais il y a plus d’ouverts forts que d’ouverts faibles. De même, tous les fermés faibles sont des fermés forts, mais il y a plus de fermés forts que de fermés faibles.

Exemple 4.1 En dimension infinie, la boule unité B(0,1) = {x,||x|| < 1} est un ouvert de la topologie forte mais n’est pas un ouvert de la topologie faible. (Et donc son complémentaire est un fermé de la topologie forte, mais pas de la topologie faible).

Démonstration En effet, tous les ouverts de la topologie faible contiennent des ensembles de la forme U = ⋂_{i=1,...,k} f_{i}^{−1}(]f_{i}(x) − ε,f_{i}(x) + ε[). Montrons que de tels ensembles sont non bornés. On choisit, dans E, y ≠ 0 tel que f_{i}(y) = 0,i = 1,...,k. Comme E est de dimension infinie et donc supérieure à k, c’est possible. On remarque que x + ty ∈ U pour tout t > 0. Mais ||x + ty|| ≥ |t|||y|| − ||x|| tend vers l’infini quand t → +∞. Donc U n’est pas inclus dans la boule unité, qui n’est donc pas ouverte pour la topologie faible. ∘

Exercice 4.1 Montrer qu’en dimension infinie, la fermeture de S(0,1) = {x,||x|| = 1} pour la topologie faible est B(0,1) = {x,||x|| ≤ 1}.

Théorème 4.1 Soit E un espace vectoriel normé et C ⊂ E convexe. Alors, C est faiblement fermé pour la topologie faible si et seulement s’il est fortement fermé.

Démonstration Si C est faiblement fermé, il est fortement fermé puisque la convergence forte implique la convergence faible. Réciproquement, supposons C fortement fermé et montrons qu’il est faiblement fermé. Il suffit de montrer que C est une intersection de fermés pour la topologie faible, ce qu’on sait par le corollaire 2.3

∘

Corollaire 4.2 (Théorème de Mazur) Soit E un espace vectoriel normé. Si x_{n} ⇀ x, σ(E,E′), il existe une suite y_{n} de combinaisons convexes des x_{k}, k ≥ n, qui converge fortement vers x.

Démonstration On considère C_{n} = \overline{Conv\{x_{k}, k ≥ n\}}^{σ(E,E′)}, la fermeture, pour la topologie faible, de l’enveloppe convexe des x_{k}, k ≥ n. D’après le théorème 4.1, C_{n} est aussi la fermeture de Conv{x_{k},k ≥ n} pour la topologie forte. Puisque x_{n} ⇀ x, on a donc aussi

x ∈ C_{n} = \overline{Conv\{x_{k}, k ≥ n\}},

où la fermeture s’entend pour la topologie forte. Il existe donc, pour tout n, y_{n} ∈ Conv{x_{k}, k ≥ n\} tel que ||y_{n} − x|| ≤ \frac{1}{n}. ∘

Définition 4.3 On dit qu’une fonction φ définie sur un espace topologique est semicontinue inférieurement si les ensembles de niveau inférieurs, {x,φ(x) ≤ λ} sont fermés pour tout λ ∈ IR. On dit de même que φ est semi continue supérieurement (s.c.s.) si les ensembles de niveau supérieurs, {x,φ(x) ≥ λ} sont tous fermés.

Proposition 4.6 Si φ est s.c.i., et si x_{n} est une suite convergeant vers x, on a

φ(x) ≤ lim inf_{n→∞} φ(x_{n}).  (4.2)

Si φ est s.c.s.,

φ(x) ≥ lim sup_{n→∞} φ(x_{n}).  (4.3)

Démonstration Si φ est s.c.i., soit m = lim inf_{n→∞} φ(x_{n}). Par définition de la limite inférieure, on peut trouver pour tout ε un entier n tel que φ(x_{n}) ≤ m + ε. L’ensemble de niveau {y, φ(y) ≤ m+ε} étant fermé, on en déduit que φ(x) ≤ m+ε. Mais ε est arbitrairement petit et on obtient (4.2). La relation (4.3) peut s’obtenir en remarquant que φ est s.c.i. si et seulement si −φ est s.c.s.. ∘

Corollaire 4.3 Soit φ : E →] − ∞, + ∞], convexe, semicontinue inférieurement (s.c.i.) pour la topologie forte. Alors φ est aussi s.c.i. pour la topologie faible et donc si x_{n} ⇀ x, σ(E,E′), alors

φ(x) ≤ lim inf_{n→+∞} φ(x_{n}).

Démonstration Il suffit de vérifier que chaque ensemble

X_{λ}φ = {x ∈ E, φ(x) ≤ λ}

est fermé pour la topologie faible σ(E,E′). Or, par le théorème 4.1, c’est un convexe fermé fort. ∘ 4.2. LA TOPOLOGIE ⋆σ(E′,E) 31

4.2 La topologie ⋆σ(E′,E)

Soit E un espace de Banach, E′ son dual, E′′ son bidual topologique, muni de la norme

||ξ||_{E′′} = sup_{f∈E′,||f||_{E′}≤1} ξ(f).

On a une injection canonique J : E → E′′. En effet, tout élément x ∈ E définit un élément Jx ∈ E′′ par Jx(f) = f(x). Jx est bien une forme linéaire continue sur E′, puisque |Jx(f)| = |f(x)| ≤ ||x||_{E}||f||_{E′}. En fait, ||Jx||_{E′′} = ||x||_{E} car, grâce au Corollaire 2.2,

||Jx|| = sup_{||f||≤1} |Jx(f)| = sup_{||f||≤1} |f(x)| = ||x||.

On a donc JE ⊂ E′′. Cela va nous permettre de définir une nouvelle topologie sur E′.

Définition 4.4 La topologie ⋆σ(E′,E) est la moins fine rendant continues les formes linéaires f → f(x), pour tout x ∈ E.

Cette topologie est donc a priori moins fine que σ(E′,E′′).

Proposition 4.7 On a la base de voisinages en f_{0} ∈ E′ pour la topologie faible-⋆:

U = {f ∈ E′, |(f − f_{0})(x_{i})| < ε}, i = 1,...,n, x_{i} ∈ E, n ∈ IN.

Proposition 4.8 Soit E un espace de Banach. Si (f_{n}) est une suite de E′,

(i) (f_{n} ⇀ f, ⋆σ(E′,E)) ⇔ (∀x ∈ E f_{n}(x) → f(x)). (ii) Si f_{n} → f fortement, alors f_{n} ⇀ f, ⋆σ(E′,E). (iii) Si f_{n} ⇀ f, ⋆σ(E′,E), alors ||f_{n}|| est bornée et

||f|| ≤ lim inf_{n→+∞} ||f_{n}||.

(iv) Si f_{n} ⇀ f, ⋆σ(E′,E), si x_{n} → x fortement, alors f_{n}(x_{n}) → f(x).

Démonstration Pour (i), (ii), (iv), les mêmes que pour la proposition 4.4. Pour (iii), directement Banach-Steinhaus. ∘

Proposition 4.9 La topologie σ(E′,E) est séparée.

Démonstration En effet, si deux formes linéaires f et g sur E sont distinctes, il existe x ∈ E tel que f(x) ≠ g(x). ∘

Théorème 4.2 (Banach-Alaoglu-Bourbaki). Soit E un espace vectoriel normé. L’ensemble \overline{B_{E′}} = {f ∈ E′, ||f|| ≤ 1} est compact pour la topologie ⋆σ(E′,E).

Démonstration On plonge E′ dans Y = IR^{E}, l’espace des applications de E dans IR muni de la topologie produit, c’est-à-dire la topologie la moins fine rendant continues les projections Y → IR, ω = (ω_{x})_{x∈E} → E. En clair, la topologie sur Y = IR^{E} est la topologie de la convergence simple. On appelle le plongement Φ : (E′,σ(E′,E)) → Y, f → (f(x))_{x∈E} ∈ Y. L’application Φ est continue et injective et d’inverse continue sur son image. On peut le vérifier en regardant les images et images réciproques des ouverts, mais on peut aussi simplement remarquer que les topologies sur Y et sur E′, ⋆ σ(E′,E) sont la même, puisque la topologie ⋆σ(E,E′) n’est autre que la topologie de la convergence simple (restreinte aux formes linéaires sur E). Montrons que l’image K de \overline{B_{E′}} par Φ est un compact. On a

K = {ω ∈ Y, ∀x ∈ E, |ω_{x}| ≤ ||x||, ω_{x+y} = ω_{x} + ω_{y}, ω_{λx} = λω_{x}}.

On écrit K = K_{1} ∩ K_{2}, avec

K_{1} = {ω ∈ Y, ∀x ∈ E,|ω_{x}| ≤ ||x||} et
K_{2} = {ω ∈ Y, ∀x,y ∈ E, ∀λ ∈ IR,ω_{x+y} = ω_{x} + ω_{y}, ω_{λx} = λω_{x}.}

On voit que K_{1} = Π_{x∈E}[−||x||,||x||] est compact. Pour montrer que K_{2} est fermé dans Y, vérifions que \overline{K_{2}} ⊂ K_{2}. Soit w^{0} ∈ \overline{K_{2}} alors tout voisinage de w^{0} pour la topologie produit rencontre K_{2}. En particulier, soient x,y ∈ E, α,β ∈ IR et ε > 0 alors

U = {w ∈ Y; |w_{x}−w_{x}^{0}| < ε}∩{w ∈ Y; |w_{y}−w_{y}^{0}| < ε}∩{w ∈ Y; |w_{αx+βy}−w_{αx+βy}^{0}| < ε}∩K_{2} ≠ ∅.

Donc, il existe w ∈ K_{2} tel que w ∈ U. On peut donc écrire

w_{αx+βy}^{0} − αw_{x}^{0} − βw_{y}^{0} = (w_{αx+βy}^{0} − w_{αx+βy}) + α(w_{x} − w_{x}^{0}) + β(w_{y} − w_{y}^{0}).

On en déduit que

|w_{αx+βy}^{0} − αw_{x}^{0} − βw_{y}^{0}| ≤ (1 + |α| + |β|) ε et ceci ∀ε > 0.

D’où w^{0} ∈ K_{2} et K_{2} est fermé. Donc K est compact et donc \overline{B_{E′}} aussi. ∘

Remarque 4.2 Le théorème précédent n’est réellement utilisable que si la boule unité \overline{B_{E′}} est métrisable. On verra plus loin que c’est le cas quand E est séparable.

4.3 Exercices

Introduction Variante de la définition de la topologie faible

Dans tout ce qui suit E désignera un espace de Banach. Pour f ∈ E′, on définit p_{f}(x) = |f(x)|, c’est bien une semi-norme sur E. On note P = (p_{f})_{f∈E′}. Soit p ∈ P, on appelle p-boule ouverte de centre x ∈ E et de rayon r l’ensemble B(x,r) des points y ∈ E tels que p(x − y) < r. Enfin on appelle P-boule ouverte de centre x toute intersection finie de p_{i}-boules ouvertes. Définition : Une partie U de E est ouverte si ou bien U = ∅, ou bien ∀x ∈ U, il existe une P-boule ouverte de centre x contenue dans U. On peut vérifier facilement que l’on définit bien ainsi une topologie sur E.

On note (E,P) l’espace E muni de cette topologie. La topologie (E,P) s’appelle la topologie faible sur E (par ”opposition” à la topologie de la norme qui est dite topologie forte). Elle est souvent notée σ(E,E′) ou bien E_{w} (w=weak) dans la littérature. Pour simplifier les notations, on pose E′ = (f_{i})_{i∈I} et on notera P.F.I l’ensemble des parties finies de I. Par définition de la topologie associée à une famille de semi-normes, les ensembles V (x,J,ε) = {y ∈ E,| < f_{i},x − y > | < ε,∀i ∈ J} où J ∈ P.F.I et ε > 0 constituent une base de voisinages (ouverts) de x dans E.

Exercice 1

1) Vérifier que la topologie faible est séparée.

2) Montrer qu’un ouvert faible est un ouvert fort.

3) Montrer que E′ = (E_{w})′. En particulier les ensembles {x ∈ E, < f,x >< α} où f ∈ E′ et α ∈ IR sont des ouverts faibles.

4) Montrer que si dimE < ∞, σ(E,E′) est équivalente à (E,∥ ∥) (pour cela montrer que toute boule B(x,r) contient un V (x,J,ε)).

Exercice 2

Soit E un espace vectoriel normé tel que dimE = +∞. On se propose de montrer que la topologie faible n’est pas métrisable. Pour cela on raisonne par l’absurde et on suppose qu’il existe une distance d sur E dont la topologie est équivalente à σ(E,E′).

1) Montrer qu’il existe une suite (f_{n})_{n≥1} d’éléments de E′ telle que ∀k ∈ IN^{⋆}, ∃I_{k} ∈ P.F.IN^{⋆}, ∃ε_{k} > 0 tels que

⋂_{i∈I_{k}}\{x ∈ E : | < f_{i},x > | < ε_{k}\} ⊂ B_{d}(0,\frac{1}{k}),

où B_{d}(0,\frac{1}{k}) = \{x ∈ E : d(0,x) < \frac{1}{k}\}.

2) Soient g ∈ E′ et V = {x ∈ E : | < g,x > | < 1}. Montrer que ∃I ∈ P.F.IN^{⋆} tel que

⋂_{i∈I} ker f_{i} ⊂ V, puis que ⋂_{i∈I} ker f_{i} ⊂ ker g.

On note I = {n_{1},n_{2},...,n_{k}}.

3) On considère

F : E ⟶ IR^{k+1}
x ⟼ (g(x),f_{n_{1}}(x),...,f_{n_{k}}(x)).

Séparer ImF de (1,0,...,0) dans IR^{k+1}. En déduire que ∃(λ_{i})_{i} ∈ IR^{k} tel que g = ∑_{i=1}^{k} λ_{i}f_{n_{i}}.

4) Soit F_{n} = vect{f_{1},...,f_{n}}. Montrer que ∃n_{0} ∈ IN^{⋆} tel que E′ = F_{n_{0}}. (remarquer que E′ = ⋃_{n} F_{n}).

5) Conclure.

Soient E et F deux espaces de Banach et T : E ⟶ F \underline{linéaire}.

1) Montrer l’équivalence des propriétés suivantes :

(1) T : E ⟶ F continue.
(2) T : E_{w} ⟶ F_{w} continue.
(3) T : E ⟶ F_{w} continue.

2) Montrer que T : E_{w} ⟶ F linéaire continue ⟹ dim Im(T) < ∞.

Exercice 4

On note ℓ^{1} = {x = (x_{n})_{n≥1} ⊂ IR tel que ∑_{n=1}^{+∞} |x_{n}| < ∞} que l ’on munit de ∥x∥_{1} = ∑_{n=1}^{+∞} |x_{n}|, et ℓ^{∞} = {x = (x_{n})_{n≥1} ⊂ IR tel que sup_{n} |x_{n}| < ∞} que l’on munit de ∥x∥_{∞} = sup_{n≥1} |x_{n}|. On admettra que ℓ^{1} et ℓ^{∞} sont des espaces de Banach. Enfin on note e^{n} = (δ_{ni})_{i≥1} où δ_{ni} = 1 si i =n, δ_{ni} = 0 sinon.

1) Pour x = (x_{n}) ∈ ℓ^{1} on note x^{N} = ∑_{n=1}^{N} x_{n}e^{n}. Vérifier que ∥x^{N} − x∥_{1} ⟶ 0 quand N → +∞. (On écrira alors x = ∑_{n=1}^{+∞} x_{n}e^{n}.)

2) Soit y ∈ ℓ^{∞} avec y = (y_{n}). On considère

f : ℓ^{1} ⟶ IR
x ↦ f(x) = ∑_{n≥1} x_{n}y_{n},

avec x = (x_{n}). Montrer que f ∈ (ℓ^{1})′. On pose Λ_{y} = f et on définit ainsi une application

Λ : ℓ^{∞} ⟶ (ℓ^{1})′
y ↦ Λ_{y},

où < Λ_{y},x >= ∑ x_{n}y_{n}, ∀x ∈ ℓ^{1}.

a) Montrer que Λ est une isométrie.

b) Montrer que Λ est un isomorphisme.

Dans la suite on identifiera ℓ^{∞} et (ℓ^{1})′ à l’aide de Λ, c’est à dire que si y ∈ ℓ^{∞}, on écrira < y,x >= ∑_{n} x_{n}y_{n} ∀x ∈ ℓ^{1}. De plus, < y,e^{i} >=< e^{i},y >= y_{i}, ∀i ≥ 1 et ∀y ∈ ℓ^{1} ou ℓ^{∞}.

3) Soit (x^{n})_{n≥1} une suite d’éléments de ℓ^{1}, exprimer le fait que x^{n} ⇀ 0 dans ℓ^{1} muni de la topologie faible.

4) On se propose de démontrer le théorème suivant : Si x^{n} ⇀ 0 dans ℓ^{1} pour la topologie faible σ(ℓ^{1},ℓ^{∞}) alors x^{n} → 0 pour la topologie forte i.e. ∥x^{n}∥ → 0. NB : C’est un cas TRES PATHOLOGIQUE. Soit donc (x^{n})_{n≥1} une suite d’éléments de ℓ^{1} telle que x^{n} ⇀ 0 dans ℓ^{1} faible.

a) Soit K = \overline{B}_{ℓ^{∞}} = \{f ∈ ℓ^{∞} : ∥f∥_{∞} ≤ 1\}. On note

d(f,g) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{|f_{n} − g_{n}|}{2^{n}}.

Montrer que (K,d) est un espace métrique.

4.3. EXERCICES 35

b)Montrer que ∀r > 0 et ∀f ∈ K,

Ω = {g ∈ K : d(f,g) < r} = B_{d}(f,r) ∩ K

est un voisinage de f dans K pour la topologie faible ⋆ σ(ℓ^{∞},ℓ^{1}).

c) En déduire que (K,d) est un espace métrique compact.

d) Soit ε > 0 fixé. On pose

F_{k} = {f ∈ K : | < f,x^{n} > | ≤ ε, ∀n ≥ k}.

Montrer que ∃f^{0} ∈ K, ∃ρ > 0 et ∃k_{0} tels que

f ∈ K et d(f^{0},f) < ρ ⟹ f ∈ F_{k_{0}},

(appliquer le lemme de Baire).

e) Soit N ∈ IN^{⋆} tel que \frac{1}{2^{N−1}} < ρ, montrer que ∀n ≥ k_{0},

∥x^{n}∥_{1} ≤ ε + 2 ∑_{i=1}^{N} |x_{i}^{n}|,

(choisir f = (f_{1}^{0},f_{2}^{0},...,f_{N}^{0}, ± 1, ± 1,..., ± 1,...) et utiliser le fait que f ∈ F_{k_{0}}.

f) Conclure.

5) On vient de démontrer que l’application, id : ℓ^{1} faible → ℓ^{1} fort, est séquentiellement continue. Est-elle continue?

36 CHAPITRE 4. TOPOLOGIES FAIBLES

Chapitre 5

Espaces réflexifs, espaces séparables

5.1 Espaces réflexifs

Soit E un espace de Banach. Commençons par quelques remarques sur la dualité. Proposition 5.1 Si E ⊂ F, alors F′ ⊂ E′ et E′′ ⊂ F′′. Si M ⊂ E est un sous-espace fermé de E et si M′ = E′, alors M = E.

Démonstration Les deux premiers énoncés sont évidents, mais attention, les inclusions en question sont des plongements : en effet F′ ⊂ E′ veut dire que les formes linéaires continues sur F peuvent être restreintes à E et apparaissent alors comme des formes linéaires continues sur E. Si M′ = E′, l’orthogonal de M dans E′ est {0}. Par le Lemme 2.4, M est dense dans E. Comme M est fermé, on a donc M = E. ∘

Soit J : E → E′′ l’injection canonique de E dans E′′, définie par Jx(f) = f(x) pour tout x ∈ E, f ∈ E′. Définition 5.1 E est réflexif si J(E) = E′′.

Théorème 5.1 (Kakutani). Soit E un espace de Banach. Alors E est réflexif si et seulement si \overline{B_{E}} = \{x ∈ E, ||x|| ≤ 1\} est compact pour la topologie σ(E,E′).

”Un espace de Banach E est réflexif si et seulement si sa boule unité fermée est faiblement compacte”.

Démonstration très abrégée Si E est réflexif, on a E = J^{−1}(E′′) et, avec cette identification, σ(E,E′) = σ(E′′,E′) et \overline{B_{E}} = \overline{B_{E′′}}. Comme cette dernière boule est compacte pour σ(E′′,E′) par le théorème de Alaoglu, on déduit que \overline{B_{E}} est compacte pour σ(E,E′). Pour la réciproque, voir Brezis pages 44 et 45. ∘

Proposition 5.2 Soit M ⊂ E un sous-espace vectoriel fermé de E, espace de Banach, muni de la norme induite. Alors si E est réflexif, M est réflexif.

Lemme 5.1 Si M ⊂ E est un sous-espace vectoriel fermé, alors, sur M, σ(M,M′) = σ(E,E′)

Démonstration Cela provient du fait que, par le théorème de Hahn-Banach, toute forme linéaire continue sur M peut se prolonger en une forme linéaire continue sur E, de même norme. Donc les voisinages définis par des f ∈ M ou par des f ∈ E′ sont les mêmes. ∘

Démonstration Montrons que la topologie σ(M,M′) est une restriction à M de la topologie σ(E,E′). Par le lemme précédent, σ(M,M′) est la restriction à M de σ(E,E′). Inversement, toute forme linéaire continue sur E est continue sur M. On applique le théorème de Kakutani : la boule \overline{B_{M}} = \{x ∈ M ||x|| ≤ 1\} est un fermé de \overline{B_{E}} qui est un compact pour σ(E,E′). Donc c’est aussi un compact pour σ(M,M′). Donc, à nouveau par le théorème 5.1, M est réflexif. ∘

Proposition 5.3 Soit E un espace de Banach. Alors E est réflexif si et seulement si E′ est réflexif.

Démonstration Supposons que E soit réflexif. On sait que \overline{B_{E′}} est compact pour la topologie σ(E′,E) (Théorème 4.2 de Alaoglu). Comme E est réflexif, on a σ(E′,E) = σ(E′,E′′). Donc \overline{B_{E′}} est aussi compact pour σ(E′,E′′), ce qui implique par le théorème de Kakutani que E′ est réflexif.

Réciproquement, Si E′ est réflexif, alors par l’étape précédente, E′′ est réflexif. Donc J(E), qui est un sous-espace fermé (fort) de E′′, est aussi réflexif par la proposition 5.2, et donc E est réflexif. ∘

Corollaire 5.1 Soit K ⊂ E un sous-ensemble convexe, fermé, borné d’un espace de Banach réflexif. Alors K est compact pour la topologie σ(E,E′). ”Tous les convexes fermés bornés d’un espace de Banach réflexif sont compacts pour la topologie faible”.

Démonstration K est fermé dans σ(E,E′), et K ⊂ \overline{B(0,M)} est compact dans σ(E,E′) = σ(E′′,E′). ∘

5.2 Espaces séparables

Un espace séparable est un espace métrique qui contient un sous-ensemble D dense et dénombrable. Proposition 5.4 Soit E un espace métrique séparable et F un sous-espace de E. Alors F est séparable.

Démonstration Considérons d(x_{n},F), la distance de x_{n} à F. On choisit y_{n} ∈ F tel que d(y_{n},x_{n}) ≤ 2d(x_{n},F). Montrons que y_{n} est dense dans F. Soit y ∈ F. Comme

d(x_{n},y) ≥ d(x_{n},F) ≥ \frac{1}{2}d(y_{n},x_{n}),

on obtient d(y,y_{n}) ≤ d(y,x_{n}) + d(x_{n},y_{n}) ≤ 3d(x_{n},y). Comme x_{n} est dense, on en déduit que lim inf d(y,y_{n}) ≤ 3 lim inf d(x_{n},y) = 0. ∘

Théorème 5.2 Soit E un espace vectoriel normé tel que E′ soit séparable. Alors E est séparable. Attention : la réciproque est fausse. On verra que (L^{1}(IR))′ = L^{∞}(IR), mais L^{∞} n’est pas séparable.

Démonstration du théorème 5.2. Soit f_{n} une suite dénombrable de E′ dense dans E′. A tout f_{n}, on associe x_{n} ∈ E tel que

||x_{n}|| = 1 et f_{n}(x_{n}) ≥ \frac{1}{2}||f_{n}||.

Ces x_{n} sont donc choisis pour être des éléments duaux approximatifs des f_{n} (voir le corollaire 2.2 sur l’application de dualité). On considère L_{0}, l’espace vectoriel sur Q^{|} engendré par les x_{n} et L celui engendré sur IR. L_{0} est dénombrable et dense dans L. Montrons que L est à son tour dense dans E. Remarquons qu’il suffit par le lemme 2.4 de démontrer que

∀f ∈ E′, (∀x ∈ L, f(x) = 0) ⇒ f = 0.  (5.1)

Soit donc f ∈ E′ tel que f(x) = 0 pour tout x ∈ L. Montrons que f = 0. Or, ∀ε > 0, ∃n, ||f − f_{n}|| < ε et f(x_{n}) = 0, ∀n. Donc

\frac{1}{2}||f_{n}|| ≤ f_{n}(x_{n}) = (f_{n} − f)(x_{n}) + f(x_{n}) ≤ ε.

Donc ||f|| ≤ ||f_{n} − f|| + ||f_{n}|| ≤ 3ε et donc f = 0. ∘

Corollaire 5.2 Si E est un espace de Banach, alors E est réflexif et séparable si et seulement si E′ est réflexif et séparable.

Démonstration On sait déja que si E′ est réflexif et séparable, alors E aussi. Réciproquement, si E est réflexif et séparable, alors E′′ = J(E) aussi, et donc E′ aussi.

∘

Théorème 5.3 Soit E un espace de Banach séparable. Alors la boule unité fermée \overline{B_{E′}} est métrisable pour la topologie σ(E′,E).

Démonstration Soit (x_{n}) une suite de B_{E} dense dans \overline{B_{E}}. On définit une distance sur E′ par

∀f,g ∈ E′, d(f,g) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{2^{n}} |(f − g)(x_{n})|.

Il faut montrer que les voisinages pour σ(E′,E) et pour cette distance sont les mêmes. a) Soit f_{0} ∈ B_{E′} et V un voisinage de f_{0} pour σ(E′,E). On montre que ∃r > 0, U = {f ∈ \overline{B_{E′}}, d(f,f_{0}) < r\} ⊂ V. On peut supposer (Proposition 4.8) que V est de la forme

V = \{f ∈ \overline{B_{E′}}, (f − f_{0})(y_{i}) < ε, i = 1,...,n\}, avec ||y_{i}|| ≤ 1.

Comme la suite x_{n} est dense dans \overline{B_{E}}, on peut trouver x_{n_{i}} tels que ||y_{i} − x_{n_{i}}|| < \frac{ε}{4}. On choisit r tel que 2^{n_{i}}r < \frac{ε}{2}. Alors

d(f,f_{0}) < r ⇒ \frac{1}{2^{n_{i}}} |(f − f_{0})(x_{n_{i}})| < r, i = 1,...,n.

⇒ |(f − f_{0})(y_{i})| ≤ |(f − f_{0})(y_{i} − x_{n_{i}})| + |(f − f_{0})(x_{n_{i}})| < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} ⇒ f ∈ V.

Donc U ⊂ V.

b) Réciproquement, soit f_{0} ∈ \overline{B_{E′}}. Fixons r > 0 et considérons

U = \{f ∈ \overline{B_{E′}}, d(f,f_{0}) < r\}.

On va montrer qu’il existe un voisinage V de f_{0} pour σ(E′,E) dans B_{E′} tel que V ⊂ U. On cherche V de la forme

V = \{f ∈ \overline{B_{E′}}, |(f − f_{0})(x_{i})| < ε, i = 1,...,k\}.

Choisissons k et ε pour que V ⊂ U : on a, si f ∈ V,

d(f,f_{0}) = ∑_{n=1}^{k} \frac{1}{2^{n}} |(f − f_{0})(x_{n})| + ∑_{n=k+1}^{∞} \frac{1}{2^{n}} |(f − f_{0})(x_{n})| < ε + 2 ∑_{n=k+1}^{∞} \frac{1}{2^{n}}

= ε + \frac{1}{2^{k}} .

On choisit donc ε < \frac{r}{2} et k suffisamment grand pour que \frac{1}{2^{k}} < \frac{r}{2}. ∘

Une adaptation immédiate de la démonstration précédente donne le résultat dual : Théorème 5.4 Soit E un espace de Banach tel que E′ soit séparable. Alors \overline{B_{E}} est métrisable pour σ(E,E′).

Théorème 5.5 Soit E un espace de Banach séparable, f_{n} une suite bornée dans E′. Alors il existe une sous-suite extraite f_{n_{k}} qui converge pour σ(E′,E).

Démonstration En effet, par le théorème 4.2 (Théorème d’Alaoglu), la boule unité de E′ est compacte pour la topologie σ(E′,E) et par le théorème 5.3, cette topologie est métrisable. Or, dans un compact métrique, toute suite a un point d’accumulation.

∘

Corollaire 5.3 Soit E un espace de Banach et réflexif. Soit x_{n} une suite bornée dans E. Alors il existe une sous-suite x_{n_{k}} qui converge pour σ(E,E′).

Démonstration Soit F le plus petit sous-espace fermé contenant la suite x_{n}. E étant réflexif, F l’est aussi, mais est de plus séparable. F est le dual de F′ et σ(F,F′) = σ(F′′,F′). Donc le théorème 5.5 s’applique. ∘

Corollaire 5.4 Soit E un espace de Banach réflexif et φ : E →]−∞,+∞] une fonction convexe s.c.i. sur un convexe fermé A telle que

lim_{x∈A,||x||→∞} φ(x) = +∞, et ∃x_{0},|φ(x)| < ∞.

Alors φ atteint son minimum sur A.

Démonstration L’ensemble convexe K = {x,φ(x) ≤ φ(x_{0})} est convexe, fermé, borné, non vide. Donc c’est un compact pour σ(E,E′). Comme φ est aussi s.c.i. pour la topologie σ(E,E′), φ atteint son minimum sur K en vertu du lemme 5.2 ∘

Lemme 5.2 Soit φ une fonction s.c.i. sur un espace topologique compact K. Alors φ atteint sa borne inférieure.

Démonstration Supposons par contradiction que φ n’atteigne pas son infimum m sur K. Alors les ouverts O_{ε} =]m + ε, + ∞[ recouvrent φ(K). Comme φ est s.c.i., les ensembles φ^{−1}(O_{ε}) sont ouverts. De plus, ils recouvrent K et on peut donc en extraire un sous-recouvrement fini. On en déduit un recouvrement fini O_{ε_{1}},...,O_{ε_{k}} de φ(K). Donc φ(K) ⊂] min(ε_{1},...,ε_{k}), + ∞[, ce qui contredit la définition de m.

∘

5.3 Exercices

Rappel

On définit J : E ⟶ E′′ par

< Jx,f >_{E′′,E′} = < f,x >_{E′,E} ∀x ∈ E, ∀f ∈ E′.

On a ∥Jx∥ = sup_{∥f∥≤1} | < f,x > | = ∥x∥ par Hahn-Banach, donc J est linéaire isométrique. (On peut donc identifier E et J(E) quand on le souhaite.)

Exercice 1

Montrer que E = (E′_{w⋆})′.

Exercice 2

Soit E = ℓ^{∞} que l’on munit de ∥x∥_{∞} = sup_{n≥1} |x_{n}|. Trouver une suite (f_{n})_{n} de E′ telle que ∥f_{n}∥_{E′} = 1 et (f_{n})_{n} ne possède aucune sous-suite convergente pour la topologie faible ⋆. Y-a-t-il contradiction avec le fait que (B_{E′},w⋆) est compact? Que pouvez-vous en conclure sur E?

Exercice 3

Soient E et F deux espaces de Banach, on note B_{E} = {x ∈ E : ∥x∥ ≤ 1}. Soit T : E ⟶ F une application linéaire. On dit que T est compacte si \overline{T (B_{E})} est compact dans F (pour la norme).

1) Vérifier qu’un compact dans un espace vectoriel normé est borné.

2) Montrer que T compacte ⟹ T continue.

3) Montrer que T compacte ⟹ T vérifie (⋆),

(⋆) [x_{n} ⇀ x dans E_{w} ⟹ T x_{n} ⟶ T x dans F]

4) Réciproquement : si de plus E est réflexif, montrer que (T vérifie (⋆) ) ⟹ (T compacte) (on pourra d’abord vérifier que T (B_{E}) est fermé).

5) On suppose que E = F. Montrer que T compacte ⟹ dim ker(Id-T)< ∞.

Exercice 4

Soit E un espace réflexif et soit f ∈ E′, montrer que ∥f∥_{E′} est atteinte. (C’est un critère simple pour montrer qu’un espace n’est pas réflexif.)

Exercice 5

Soit E = C[0,1] muni de ∥ ∥_{∞} et soit φ_{n}(x) = 1 − nx si x ≤ 1/n et nulle ailleurs. Vérifier que E est un espace de Banach. Vérifier que (φ_{n})_{n} n’a aucune sous-suite faiblement convergente. Que pouvez-vous conclure sur E?

Exercice 6

Soit E un espace de Banach. On note B_{E′} = {f ∈ E′ : ∥f∥_{E′} ≤ 1}. On suppose que (B_{E′},σ(E′,E)) est métrisable, c’est à dire, qu’il existe une distance d sur B_{E′} dont la topologie est équivalente à la topologie faible ⋆ sur B_{E′}. On se propose de montrer que E est séparable.

1) Montrer qu’il existe une suite (x_{n})_{n≥1} déléments de E telle que ∀k ∈ IN^{⋆}, ∃I_{k} ∈ P.F.IN^{⋆}, ∃ε_{k} > 0 tels que

⋂_{i∈I_{k}}\{f ∈ B_{E′} : | < f,x_{i} > | < ε_{k}\} ⊂ B_{d}(0,\frac{1}{k}),

où B_{d}(0,\frac{1}{k}) = \{g ∈ B_{E′} : d(0,g) < \frac{1}{k}\}. On pose

X_{n} = vectIR{x_{1},x_{2},...,x_{n}}, Y_{n} = vectQ_{|} {x_{1},x_{2},...,x_{n}}, X = ⋃_{n≥1} X_{n} et Y = ⋃_{n≥1} Y_{n}.

Pour A ⊂ E, on note \overline{A} l’adhérence de A pour la topologie de la norme.

2) Vérifier que X ⊂ \overline{Y}.

3) En supposant que \overline{X} ≠ E, montrer que ∃f ∈ E′, f ≢ 0, telle que < f,x >= 0, ∀x ∈ X. En déduire une contradiction.

4) Montrer que E est séparable.

44 CHAPITRE 5. ESPACES RÉFLEXIFS, ESPACES SÉPARABLES

Chapitre 6

L’intégrale de Lebesgue

On admet l’existence d’une classe de fonctions f : IR^{N} → [−∞, + ∞] que l’on appelle mesurables au sens de Borel-Lebesgue. Si f = 11_{E} est une fonction caractéristique d’un sousensemble E de IR^{N}, c’est-à-dire f(x) = 1 si x ∈ E, f(x) = 0 sinon et si f est mesurable, on dit que E est mesurable, ou Lebesgue-mesurable. Dans tout ce qui suit, nous admettrons que les fonctions et les ensembles considérés sont mesurables et nous admettons l’existence d’une application qui à toute fonction f mesurable et à valeurs dans [0, + ∞] associe son intégrale de Lebesgue que l’on notera de manière plus ou moins abrégée

∫_{IR_{N}} f(x)dx = ∫ f(x)dx = ∫ f ∈ [0, + ∞].

Si f = 11_{E} est une fonction caractéristique, on note μ(E) = ∫ 11_{E} que l’on appelle mesure de E. En l’absence d’une construction explicite, les propriétés qui suivent doivent être considérées comme des axiomes vérifiés par l’intégrale de Lebesgue. A partir de ces axiomes, nous démontrerons les autres propriétés dont nous aurons besoin. Propriété 6.1 Linéarité : pour f et g à valeurs dans [0, + ∞], et λ,μ ∈ IR^{+}, ∫ λf + μg = λ ∫ f + μ ∫ g. Remarquons que l’en déduit la croissance de l’intégrale : si f ≤ g, alors ∫ f ≤ ∫ g Propriété 6.2 . Si f ≥ 0 est Riemann-intégrable elle est Lebesgue mesurable et son intégrale au sens de Lebesgue est égale à son intégrale au sens de Riemann.

Propriété 6.3 (Théorème de Beppo-Levi ou de la convergence monotone) Si f_{n} est une suite croissante de fonctions mesurables définies sur IR^{N} et à valeurs dans [0, + ∞], on a

∫ lim_{n→∞} f_{n}(x)dx = lim_{n→∞} ∫ f_{n}(x)dx ≤ +∞.

Exercice 6.1 Si ∑ u_{n} est une série de fonctions IR^{N} → [0, + ∞], on peut intervertir sommation et intégration : ∫ ∑_{n} u_{n}(x)dx = ∑ ∫ u_{n}(x)dx.

Il suffit d’appliquer le théorème de Beppo-Levi à la suite croissante des sommes partielles ∑_{n=1}^{k} u_{n}. Proposition 6.1 Si A et B sont deux ensembles mesurables, alors A ⊂ B ⇒ μ(A) ≤ μ(B). Si A_{n} sont des ensembles disjoints, μ(⋃_{n} A_{n}) = ∑_{n} μ(A_{n}). (Appliquer de nouveau Beppo-Levi aux fonctions caractéristiques des ensembles). Si les A_{n} ne sont pas disjoints, on a μ(∪_{n}A_{n}) ≤ ∑_{n} μ(A_{n}).

Définition 6.1 On appelle ensemble négligeable tout ensemble de mesure nulle. On dit qu’une propriété est vérifiée presque partout si elle est vraie sauf sur un ensemble négligeable.

En vertu de la proposition 6.1, toute union dénombrable d’ensembles négligeables est négligeable. Proposition 6.2 Soit f définie sur IR^{N} et à valeurs dans [0, + ∞]. On a

∫ f(x)dx = 0 ⇔ f(x) = 0 p.p..

Démonstration On pose A = {x,f(x) ≠ 0}. On a

f(x) ≤ lim_{j→∞} j11_{A}(x).

Si μ(A) = 0, on obtient par le théorème de la convergence monotone (Beppo-Levi),

∫ f(x)dx ≤ lim_{j→∞} j ∫ 11_{A}(x)dx = 0.

Réciproquement, si ∫ f(x)dx = 0, remarquons que 11_{A}(x) ≤ lim_{j→∞} jf(x) et donc, à nouveau par Beppo-Levi,

μ(A) = ∫ 11_{A}(x)dx ≤ lim_{j→∞} ∫ jf(x)dx = 0.

∘

Définition 6.2 Soit f une fonction définie dans IR^{N} et à valeurs dans C. On dit que f est sommable (ou intégrable au sens de Lebesgue) si on a

∫_{IR_{N}} |f(x)|dx < ∞.

L’espace des fonctions sommables est noté L^{1}(IR^{N}). Si f(x) ∈ IR, on note f = f^{+} − f^{−}, où f^{+} = max(f,0), f^{−} = max(−f,0). Ces deux fonctions sont intégrables si |f| l’est et on pose

∫ f = ∫ f^{+} − ∫ f^{−}.

Si f = f_{1} + if_{2} est à valeurs complexes, on pose

∫ f = ∫ f_{1} + i ∫ f_{2}.

Exercice 6.2 Si une fonction f à valeurs réelles vérifie f = g − h, avec g ≥ 0, h ≥ 0, alors ∫ f = ∫ g − ∫ h.

Proposition 6.3 L’application f → ∫ f est linéaire de L^{1}(IR^{N}) dans C. Si f et g sont sommables et à valeurs complexes,

| ∫ f(x)dx| ≤ ∫ |f(x)|dx, | ∫ f(x) + g(x)|dx ≤ ∫ |f(x)|dx + ∫ |g(x)|dx.  (6.1)

Démonstration On montre l’additivité pour des fonctions réelles : on a f + g = f^{+} + g^{+} − (f^{−} + g^{−}) et donc, en vertu de l’exercice 6.2, et de l’additivité de l’intégrale pour les fonctions positives,

∫ (f + g) = ∫ (f^{+} + g^{+}) − ∫ (f^{−} + g^{−}) = ∫ f + ∫ g.

On montre la première relation de (6.1), qui entraîne aisément la seconde. On choisit un nombre complexe θ de module 1 tel que θ ∫ f soit un réel positif. Donc

| ∫ f(x)dx| = ∫ Re(θf(x))dx ≤ ∫ (Re(θf(x)))^{+}dx ≤ ∫ |f(x)|dx.
∘

Définition 6.3 L’espace L^{1}(IR^{N}). Une conséquence de la proposition 6.2 est que si f et g sont égales presque partout, elles ont la même intégrale. A partir de maintenant on identifie les fonctions égales presque partout entre elles. On note L^{1}(IR^{N}) l’espace vectoriel des classes d’équivalence de fonctions pour cette relation d’équivalence. Tous les énoncés qui suivent concerneront désormais ces classes. On choisira souvent par commodité une représentante u de la classe, ce qui sera licite à condition de la considérer comme “définie presque partout” (p.p.). On s’autorisera donc à écrire u(x), mais cette écriture n’aura jamais un sens ponctuel (à moins qu’un élément de la classe ne s’avère continu). Les énoncés portant sur u(x) n’auront de sens que si on leur ajoute la mention “presque partout”.

Théorème 6.1 (de Lebesgue, ou de la convergence dominée) Soit f_{n} une suite de fonctions qui converge presque partout vers une fonction f. On suppose qu’il existe une fonction positive sommable fixe h telle que l’on ait pour tout n, |f_{n}(x)| ≤ h(x) p.p.. (Cette fonction h(x) s’appelle un chapeau intégrable de la suite f_{n}). On a alors

∫ |f_{n}(x) − f(x)| → 0, ∫ f_{n}(x)dx → ∫ f(x)dx  (6.2)

Démonstration On remarque que la conclusion (6.2) ne dépend pas du choix des représentants des fonctions f_{n} et de f. Soit A_{n} = {x,|f_{n}(x)| > h(x)} et B l’ensemble des points où f_{n} ne converge pas vers f. Alors C = B ∪ (⋃_{n} A_{n}) est négligeable. On peut donc supposer, en changeant de représentants pour f_{n} et f, que f_{n}(x) → f(x) partout et que |f_{n}(x)| ≤ h(x) partout (pour tout x).

On pose g_{n}(x) = |f_{n}(x)−f(x)| et h_{n}(x) = sup_{k≥n} g_{k}(x). Alors h_{n} est une suite décroissante de fonctions positives qui tend vers zéro partout. De plus, h_{n}(x) ≤ 2h(x) partout. On va montrer que ∫ h_{n}(x)dx tend vers zéro, ce qui nous donnera (6.2). Or, le théorème de la convergence monotone (Beppo-Levi) s’applique à la suite croissante de fonctions positives 2h − h_{n} et donne

lim_{n→+∞} ∫ (2h(x) − h_{n}(x))dx = 2 ∫ h(x)dx.

Donc ∫ h_{n}(x)dx → 0. ∘

Théorème 6.2 (Réciproque du théorème de Lebesgue). Si f_{n} → f dans L^{1}, alors il existe une sous-suite f_{n_{k}} de la suite f_{n} qui converge presque partout vers f et un chapeau intégrable h tel que ∀k, |f_{n_{k}}(x)| ≤ h(x) p.p..

Démonstration Voir l’exercice 5 à la fin du chapitre VI. ∘

Lemme 6.1 (Lemme de Fatou). Soit f_{n} une suite de fonctions positives. Alors

∫ lim inf_{n→infty} f_{n} ≤ lim inf_{n} ∫ f_{n}.

Cette inégalité est vraie que les membres de droite et de gauche soient finis, ou infinis.

Démonstration Poser g_{n} = inf_{k≥n} f_{k}. Cette suite est croissante. On applique le théorème de la convergence monotone (Beppo-Levi). Donc lim_{n} ∫ inf_{k≥n} f_{k} = ∫ lim inf_{n} f_{n}. Mais ∫ inf_{k≥n} f_{k} ≤ inf_{k≥n} ∫ f_{k}. On conclut aisément. ∘

Théorème 6.3 (Théorème de dérivation sous le signe somme) Soient I un intervalle de IR et A un sous-ensemble de IR^{n}. On se donne une fonction f définie sur A × I vérifiant les trois hypothèses suivantes.

(a) Pour tout λ ∈ I, la fonction x → f(x,λ) est sommable sur A.

(b) La dérivée partielle \frac{∂f}{∂λ}(x,λ) existe en tout point de A × I.

(c) Il existe une fonction h positive et sommable sur A telle que l’on ait |\frac{∂f}{∂λ}(x,λ)| ≤ h(x) pour tous x et λ. Alors la fonction F définie par

F (λ) = ∫_{A} f(x,λ)dx

est dérivable dans I et on a

F′(λ) = ∫_{A} \frac{∂f}{∂λ}(x,λ)dx.

Démonstration On a, à λ fixé,

\frac{1}{l}[F (λ + l) − F (λ)] = ∫_{A} g_{l}(x)dx,

où l’on a posé

g_{l}(x) = \frac{1}{l}[f(x,λ + l) − f(x,λ)].

La fonction g_{l} converge en tout point vers \frac{∂f}{∂λ}. D’autre part,

|g_{l}(x)| ≤ sup_{0≤θ≤1} |\frac{∂f}{∂λ}(x,λ + θl)| ≤ h(x)

d’après le théorème des accroissements finis. Le théorème résulte alors de l’application du théorème de Lebesgue. ∘

L’avant-dernière propriété de l’intégrale de Lebesgue que nous admettrons est la suivante. Comme précédemment, on suppose que les fonctions considérées sont mesurables.

Définition 6.4 On considère un quadrillage de taille a de l’espace IR^{N} par des hypercubes de longueur d’arète a. Posant C = [0,a[^{N}, ce quadrillage peut se définir par le recouvrement disjoint

IR^{N} = ⋃_{n∈Z^{N}}(an + C).

On appelle fonction en escalier une fonction à laquelle on peut associer un quadrillage de taille a tel que f soit constante sur chacun des hypercubes du quadrillage et à support borné .

Définition 6.5 On appelle fonction en escalier dyadique une fonction en escalier associée à un quadrillage de taille a = 2^{k}, k ∈ Z.

Propriété 6.4 Pour toute fonction f sommable sur IR^{N}, il existe une suite de fonctions en escalier qui converge vers f dans L^{1}(IR^{N}). Cette propriété reste vraie si on impose aux fonctions en escaliers d’être dyadiques.

On va déduire de la proposition 6.4 une propriété de densité plus forte concernant les fonctions continues à support compact.

Définition 6.6 Soit f une fonction continue et nulle en dehors d’une boule. On appelle support de f la fermeture de l’ensemble {x,f(x) ≠ 0} qui est fermé et borné et donc compact. Si Ω est un ouvert de IR^{N}, on note C_{c}(Ω) l’ensemble des fonctions coninues à support compact contenu dans Ω.

Corollaire 6.1 Pour toute fonction f sommable sur IR^{N} il existe une suite de fonctions f_{n} ∈ C_{c}(IR^{N}), c’est-à-dire continues et à support compact, telles que

∫_{IR_{N}} |f_{n} − f| → 0.

Démonstration On commence par montrer que si C est un hypercube de IR^{N} et 11_{C} sa fonction caractéristique, alors il existe des fonctions continues f_{N} à support compact telles que ∫ |f_{N} − 11_{C}|(x)dx soit arbitrairement petit. On peut bien sûr se ramener au cas où C = [−1,1]^{N}. Commençons par le cas N = 1. On considère l’unique fonction continue et affine sur [−1−ε,−1] et sur [1,1+ε] telle que f_{1}(x) = 0 si |x| ≥ 1+ε et f_{1}(x) = 1 si |x| ≤ 1. La fonction f_{N}(x_{1},...,x_{N}) = f_{1}(x_{1})...f_{1}(x_{N}) convient en dimension N. En considérant les supports de f_{N} et de 11_{C}, on voit en effet que ||11_{C} − f_{N}||_{L^{1}} ≤ 2^{N}((1 + ε)^{N} − 1) qui tend vers 0 quand ε → 0.

Toute combinaison linéaire finie de fonctions caractéristiques d’hypercubes est donc approchable dans L^{1} par une combinaison linéaire finie de fonctions continues à support compact. Il en résulte que toute fonction en escalier est approchable par des fonctions à support compact dans L^{1}. On conclut en utilisant la propriété 6.4.

∘

L’espace L^{1}(IR^{N}) apparaît donc comme la complétion de C_{c}(IR^{N}) pour la norme

||f||_{L^{1}} = ∫_{IR_{N}} |f(x)|dx,

mais il faudra montrer qu’il est effectivement complet. Voyons tout de suite deux conséquences importantes de cette propriété de densité.

Théorème 6.4 (équicontinuité en moyenne des fonctions sommables) Pour tout f ∈ L^{1}(IR^{N}), on a

lim_{y→0} ∫_{IR_{N}} |f(x + y) − f(x)|dx = 0.

Démonstration On fixe ε > 0 et on choisit grâce au corollaire 6.1 une fonction f_{ε}, continue et à support compact inclus dans une boule B(0,R), telle que ||f_{ε} − f||_{L^{1}} ≤ ε. La fonction f_{ε} est uniformément continue. Il existe donc η tel que |y| ≤ η ⇒ |f_{ε}(x + y) − f_{ε}(x)| ≤ \frac{ε}{mes(B(0,2R)}. Ceci implique en intégrant ∫ |f_{ε}(x + y) − f_{ε}(x)|dx ≤ ε pour y ≤ min(η,R). On a donc

∫ |f(x) − f(x + y)|dx ≤

∫ |f − f_{ε}|(x)dx + ∫ |f_{ε}(x) − f_{ε}(x + y)|dx + + ∫ |f_{ε}(x + y) − f(x + y)|dx ≤ 3ε.
∘

Théorème 6.5 (de changement de variable) Soient Ω_{1} et Ω_{2} deux ouverts de IR^{n} et φ un difféomorphisme entre Ω_{1} et Ω_{2}. On notera J_{φ}(x) le déterminant de la matrice jacobienne de φ au point x. Soit f une fonction définie sur Ω_{2}.

(a) Si la fonction f est à valeurs dans IR^{+} ∪ {+∞}, on a l’égalité suivante, où les deux membres ont un sens dans IR^{+} ∪ {+∞},

∫_{Ω_{2}} f(y)dy = ∫_{Ω_{1}} f(φ(x))|J_{φ}(x)|dx.  (6.3)

(b) Si f est à valeurs complexes, elle est sommable dans Ω_{2} si et seulement si f(φ(x))J_{φ}(x) est sommable dans Ω_{1}, et les deux membres de l’égalité précédente sont alors égaux.

Démonstration : La formule (6.3) est vraie si f est intégrable au sens de Riemann, continue à support compact par exemple. Si f est sommable, on considère des fonctions continues f_{n} à support compact qui approchent f dans L^{1}. On a donc

∫_{Ω_{2}} f_{n}(y)dy = ∫_{Ω_{1}} f_{n}(φ(x))|J_{φ}(x)|dx  (6.4)

et on peut écrire une formule analogue pour |f_{n} −f_{p}|. Il en résulte que les fonctions f_{n}(φ)|J_{φ}(x)| forment une suite de Cauchy dans L^{1}. En admettant provisoirement que L^{1} est un espace complet (voir le chapitre suivant), on en déduit que leur limite f(φ(x))|J_{φ}(x)| est donc bien sommable. Enfin, en passant à la limite dans (6.4), on obtient la formule de changement de variable (6.3). ∘

La dernière propriété de l’intégrale de Lebesgue que nous admettons est la suivante (nous supposons toutes les fonctions considérées mesurables).

Propriété 6.5 (Théorème de Fubini-Tonelli) Soit f(x,y) une fonction définie dans IR^{p} × IR^{q}.

(a) (Tonelli) Si f est à valeurs dans IR^{+} ∪ {+∞}, on a l’égalité suivante, où les trois membres définissent un élément de IR^{+} ∪ {+∞},

∫_{IR_{p+q}} f(x,y)dxdy = ∫_{IR_{p}}(∫_{IR_{q}} f(x,y)dy)dx = ∫_{IR_{q}}(∫_{IR_{p}} f(x,y)dx)dy.

(b) (Fubini) Si f est sommable dans IR^{p+q}, les trois membres de l’égalité précédente ont un sens et sont égaux. Plus précisément, dire que le troisième membre a un sens signifie :

• pour presque tout y, la fonction x → f(x,y) est sommable dans IR^{p},

• la fonction φ(y) = ∫ f(x,y)dx qui est ainsi définie presque partout est sommable dans IR^{q}.

Mesurabilité et ensembles de niveau des images Nous avons vu au début de ce chapitre qu’un ensemble E est dit mesurable si 11_{E} est mesurable au sens de Borel-Lebesgue (c’est à dire dont on peut calculer une intégrale, à valeurs dans [0, + ∞], l’existence de cette intégrale ayant été admise). Le succès de l’intégrale de Lebesgue est dû d’une part au caractère très général de théorèmes tels que 6.3 et 6.1, et d’autre part au fait que la classe des applications mesurables est très large, et contient en particulier des ensembles très irréguliers. Pour justifier le besoin en pratique d’une théorie de l’intégration incluant des ensembles très irréguliers, nous utilisons les ensembles de niveau des images naturelles. Il est possible de montrer qu’une fonction f : ℝ^{n} → [0, + ∞] est mesurable au sens de Borel-Lebesgue si les ensembles χ_{λ} = {x ∈ ℝ^{n}/f(x) ≥ λ} sont mesurables pour presque tout λ ∈ ℝ (c’est à dire que l’ensemble des λ tels que χ_{λ} ne soit pas mesurable est négligeable au sens de la définition 6.1). Les ensembles χ_{λ} s’appellent “ensembles de niveau” de la fonction f. Nous nous intéressons au cas où n = 2, et où la fonction f représente une “image naturelle”. C’est à dire que nous supposons que la lumière issue d’une scène est projetée sur un plan face à cette scène (au moyen d’instruments optiques) et que pour chaque point x de ce plan, la valeur f(x) est la quantité de lumière reçue en ce point. On suppose que de telles fonctions sont bornées. Ces fonctions sont très oscillantes, comme en témoigne la figure 6.1. Cette figure représente d’une part la fonction f en associant à chaque point x du plan un gris d’autant plus clair que f(x) est grand (le minimum de f correspond au noir et son maximum au blanc), et d’autre part le graphe de la fonction f (à chaque point x correspond une altitude proportionnelle à f(x)) dont l’aspect tridimensionnel est simulé par un algorithme de visualisation. Les oscillations sont principalement dues aux nombreux détails présents dans une telle scène, ainsi qu’aux perturbations aléatoires introduites par l’appareil optique (le “bruit”). Une autre façon d’appréhender l’irrégularité d’une telle fonction consiste à en tracer les ensembles de niveau, ce qui est fait sur la figure 6.1. Cette figure montre les frontières de quelques ensembles de niveau de la fonction f. On remarquera notamment les très fortes oscillations de ces lignes. Cependant, les ensembles qui ne sont pas mesurables au sens de Lebesgue constituent de véritables cas pathologiques, et les images sont habituellement supposées mesurables.

Fig. 6.1 – Haut: représentation de la fonction f par niveaux de gris (à chaque point est affecté un gris d’autant plus clair que la valeur de f y est grande); milieu: représentation de f par son graphe (à chaque point est affecté une altitude d’autant plus élevée que la valeur de f y est grande); bas: quelques lignes de niveau (frontières des ensembles de niveau) de la fonction f (sur un sous-domaine)

Chapitre 7

Les espaces de Lebesgue, L^{1}, L^{p}, L^{∞}

On appelle, pour 1 ≤ p < ∞, L^{p}(IR^{N}) l’ensemble des fonctions définies presque partout et telles que

∫_{IR_{N}} |f(x)|^{p}dx < ∞.

On appelle L^{∞}(IR^{N}) l’espace des fonctions définies presque partout et telles qu’il existe C > 0 tel que |f(x)| ≤ C pour presque tout x. La plus petite constante C pour laquelle cette relation est vraie s’appelle le “sup essentiel” de |f(x)| et on le note ||f||_{L^{∞}}. On dit que f est ”essentiellement bornée.” Exercice 7.1 Vérifier que les espaces L^{1} et L^{∞} sont des espaces vectoriels normés: leurs normes sont

||f||_{L^{1}} = ∫ |f(x)|dx et ||f||_{L^{∞}} = supess_{x∈IR^{N}} |f(x)|.

On note parfois ces normes ||f||_{1} et ||f||_{∞}. On va aussi poser pour 1 < p < ∞

||f||_{p} = ||f||_{L^{p}} = (∫ |f(x)|^{p}dx)^{\frac{1}{p}} ,

mais il faudra montrer que c’est une norme. On montrera aussi que les espaces L^{p} sont complets et donc des espaces de Banach. On pose p′ = \frac{p}{p−1}, en sorte que \frac{1}{p} + \frac{1}{p′} = 1. On appelle p′ ”l’exposant conjugué” de p. On va aussi montrer dans ce chapitre que les espaces L^{p} et L^{p′} sont duaux l’un de l’autre. Théorème 7.1 (Inégalité de Hölder) Pour tout f ∈ L^{p} et g ∈ L^{p′}, la fonction fg est sommable et

∫ |fg| ≤ ||f||_{p}||g||_{p′}.

Démonstration On utilise la concavité du logarithme. Si a > 0, b > 0,

log(\frac{1}{p}a^{p} + \frac{1}{p′} b^{p′}) ≥ \frac{1}{p} log(a^{p}) + \frac{1}{p′} log(b^{p′}) = log(ab). D’où

ab ≤ \frac{1}{p}a^{p} + \frac{1}{p′} b^{p′} et donc

|f(x)g(x)| ≤ \frac{1}{p}|f(x)|^{p} + \frac{1}{p′} |g(x)|^{p′}, qui donne

54 CHAPITRE 7. LES ESPACES DE LEBESGUE, L^{1}, L^{P}, L^{∞}

∫ |f(x)g(x)| ≤ \frac{1}{p}||f||_{L^{p}}^{p} + \frac{1}{p′} ||g||_{L^{p′}}^{p′} .

Pour trouver l’inégalité recherchée, on remplace le couple (f,g) par (λf,\frac{g}{λ}), où λ > 0. On choisit

λ = \frac{||g||p′^{\frac{1}{p}}}{||f||p^{\frac{1}{p′}}} . Alors

∫ |fg| ≤ (\frac{1}{p} + \frac{1}{p′})||f||_{p}||g||_{p′},

qui est bien l’inégalité annoncée. ∘

Exercice 7.2 Reprendre brièvement la démonstration précédente pour se débarrasser de l’hypothèse que f ∈ L^{p} et g ∈ L^{p′}. En d’autres termes, l’inégalité de Hölder est vraie, que les membres gauche et de droite soient finis ou pas.

Théorème 7.2 L^{p}(IR^{N}) est un espace vectoriel et ||f||_{p} est une norme pour tout 1 < p < ∞.

Démonstration On applique l’inégalité de Hölder :

||f + g||_{p}^{p} = ∫ |f + g|^{p} ≤ ∫ |f + g|^{p−1}|f| + ∫ |f + g|^{p−1}|g| ≤
|||f + g|^{p−1}||_{p′}||f||_{p} + |||f + g|^{p−1}||_{p′}||g||_{p} = (||f||_{p} + ||g||_{p})||f + g||_{p}^{p−1},

soit ||f + g||_{p} ≤ ||f||_{p} + ||g||_{p}. Les autres relations caractérisant une norme (||λf|| = |λ|||f||, ||f|| = 0 ⇒ f = 0 presque partout) sont immédiates pour 1 ≤ p ≤ ∞. ∘

Proposition 7.1 Convergence dominée dans L^{p}. Si f_{n} → f p.p. et s’il existe un chapeau intégrable g ∈ L^{p} (p ≥ 1) tel que |f_{n}| ≤ g p.p., alors f_{n} converge vers f dans L^{p}.

Démonstration On pose h_{n} = |f_{n} − f|^{p}. Alors |h_{n}| ≤ (|f_{n}| + |f|)^{p} ≤ 2^{p}|g|^{p}. On peut donc appliquer le théorème de la convergence dominée à h_{n} et conclure que h_{n} → 0. ∘

Théorème 7.3 Les espaces L^{p}(IR^{N}), (1 ≤ p ≤ +∞) sont des espaces de Banach.

Démonstration Soit h_{k} une suite de Cauchy dans L^{p}. Si p = +∞, il est immédiat de voir que h_{k}(x) est de Cauchy pour presque tout x et converge uniformément vers une fonction essentiellement bornée h(x). Soit maintenant 1 ≤ p < ∞. Il existe une suite extraite de la suite de Cauchy h_{k}, que nous noterons par commodité f_{n} = h_{k_{n}}, telle que

q,r ≥ n ⇒ ||f_{q} − f_{r}||_{L^{p}} ≤ \frac{1}{2^{n}} .

On pose g_{n}(x) = ∑_{1}^{n} |f_{k+1}(x) − f_{k}(x)|. La suite de fonctions g_{n}(x)^{p} est croissante. Notons g(x)^{p} sa limite. Par l’inégalité triangulaire,

∫ |g_{n}|^{p} ≤ (∑_{1}^{n} ||f_{k+1} − f_{k}||_{p})^{p} ≤ 1.

Donc, par le théorème de convergence monotone,

∫ |g(x)|^{p} = lim_{n} ∫ |g_{n}|^{p} ≤ 1.

Il en résulte que g(x) est presque partout finie, appartient à L^{p} et que g_{n}(x) tend presque partout vers g(x). Comme (pour n ≥ m), ∑_{m}^{n} |f_{k+1} − f_{k}|(x) ≤ g_{n}(x) − g_{m}(x), la série ∑_{1}^{∞}(f_{k+1} − f_{k}) converge également presque partout. Donc f_{n}(x) − f_{1}(x) converge presque partout vers une limite que l’on appelle f(x) − f_{1}(x) ∈ L^{p}. La suite f_{n}(x) converge donc presque partout vers f(x) ∈ L^{p}. De plus, |f_{n}(x) − f(x)|^{p} ≤ (∑_{n}^{∞} |f_{k+1} − f_{k}(x)|)^{p} ≤ g(x)^{p} qui est chapeau intégrable. Donc f_{n} − f converge vers 0 dans L^{p}. Rappelons que f_{n} = h_{n_{k}} est une sous-suite extraite de la suite de Cauchy h_{k}. Mais si une sous-suite d’une suite de Cauchy converge, toute la suite converge. ∘

On a vu (Propriété 6.1) que les fonctions continues à support compact forment un sous-ensemble dense de L^{1}. C’est encore vrai pour les espaces L^{p}, avec la restriction p < ∞.

Théorème 7.4 Les fonctions continues à support compact sont denses dans L^{p}(IR^{N}) pour tout 1 ≤ p < ∞.

Démonstration On commence par montrer que l’on peut approcher une fonction f de L^{p} par des fonctions bornées et à support compact. L’approximation se fait par simple troncature : on pose f_{k}(x) = f(x) si ||x|| ≤ k et |f(x)| ≤ k, f_{k}(x) = 0 sinon. La suite |f(x) − f_{k}(x)|^{p} a |f(x)|^{p} pour chapeau intégrable et tend presque partout vers 0. Par le théorème de Lebesgue, elle converge donc vers 0 et il en résulte que f_{k} → f dans L^{p}.

Reste à montrer que si une fonction f est bornée (|f| ≤ k) et à support compact (|f(x)| = 0 si ||x|| ≥ k), alors elle est approchable dans L^{p} par des fonctions continues. Mais comme f ∈ L^{1}, il existe une suite de fonctions continues et à support compact f_{n} convergeant vers f dans L^{1}. Quitte à extraire une sous-suite, on peut suppposer que la suite f_{n} converge presque partout vers f (réciproque du théorème de Lebesgue). En remplaçant f_{n} par la nouvelle fonction continue max(−k, min(k,f_{n}(x)), qui converge aussi presque partout vers f et a un chapeau intégrable, on peut finalement supposer que |f_{n}(x)| ≤ k. Utilisons une fonction g continue et à support compact valant 1 sur B(0,k). La suite de fonctions h_{n} = gf_{n} converge presque partout vers f et a la fonction bornée k11_{B(0,k)}g comme chapeau intégrable dans tout L^{p}. Elle converge donc vers f dans tous les L^{p} tels que 1 ≤ p < ∞. ∘

Corollaire 7.1 Soit f ∈ L_{loc}^{1}(IR^{N}) telle que pour toute fonction continue à support compact u ∈ C_{c}(IR^{N}) on ait ∫ f(x)u(x) = 0. Alors f = 0 p.p.

Démonstration En reprenant exactement le même raisonnement que dans la démonstration précédente, on voit qu’il existe pour toute boule B(0,R) ⊂ IR^{N} une suite u_{n} ∈ C_{c}(B(0,R + 1)) qui converge vers Signe(f) dans L^{1}(B(0,R)) et presque partout et vérifie |u_{n}| ≤ 1. Il vient alors

0 = ∫_{B(0,R)} f(x)v_{n}(x) → ∫_{B(0,R)} f(x)Signe(f(x)) = ∫_{B(0,R)} |f(x)|dx.

Donc f = 0.

∘

Théorème 7.5 Pour tout f ∈ L^{p}(IR^{N}), 1 ≤ p < ∞, on a

lim_{y→0} ∫_{IR_{N}} |f(x + y) − f(x)|^{p}dx = 0.

Démonstration : Exercice. C’est vrai pour les fonctions continues à support compact car elles sont uniformément continues et on le montre pour une fonction arbitraire de L^{p}(IR^{N}) en utilisant la densité de C_{c} dans L^{p} (Proposition 7.4).

∘

7.1 Convolution et régularisation des fonctions de L^{p}

Théorème 7.6 et définition Si f et g appartiennent à L^{1}(IR^{N}), alors le produit de convolution f ∗ g est défini par

(f ∗ g)(x) = ∫ f(x − y)g(y)dy = ∫ g(x − y)f(y)dy,

la fonction de y figurant sous le signe somme étant sommable pour presque tout x. En outre, la fonction f ∗ g appartient à L^{1} et on a

||f ∗ g||_{1} ≤ ||f||_{1}||g||_{1}.

Démonstration On montre d’abord en appliquant le théorème de Fubini et le théorème de changement de variable que la fonction |f(x − y)g(y)| est sommable. En effet,

∫ ∫ |f(x − y)g(y)|dxdy = ∫ |g(y)|(∫ |f(x − y)|dx)dy =

∫ |g(y)|(∫ |f(x)|dx)dy = ||f||_{L^{1}}||g||_{L^{1}}.

La fonction f(x − y)g(y) est donc sommable sur IR^{2N} et le théorème de Fubini assure que la fonction y → f(x−y)g(y) est sommable pour presque tout x et que la fonction alors définissable par f ∗ g(x) = ∫ f(x − y)g(y)dy est elle-même sommable sur IR^{N}. On a finalement

||f ∗ g||_{L^{1}} = ∫ |f ∗ g|(x)dx ≤ ∫ |g(y)|(∫ |f(x − y)|dx)dy = ||f||_{L^{1}}||g||_{L^{1}}.

7.1. CONVOLUTION ET RÉGULARISATION DES FONCTIONS DE L^{P} 57

∘

Théorème 7.7 (régularisation par convolution) Soit f ∈ L^{1}(IR^{N}) et soit g une fonction continue et bornée dans IR^{N}. Alors la fonction f ∗ g définie \underline{en tout point} par f ∗ g(x) = ∫ g(x − y)f(y)dy est continue et bornée. Si de plus les dérivées partielles de g existent et sont continues et bornées, il en est de même pour f ∗ g et l’on a

\frac{∂(f ∗ g)}{∂x_{j}} = f ∗ \frac{∂g}{∂x_{j}} , \frac{∂(f ∗ g)}{∂x_{j}∂x_{k}} = f ∗ \frac{∂g}{∂x_{j}∂x_{k}} , ...

Démonstration On remarque d’abord que la fonction g(x − y)f(y) est sommable pour tout x. En effet, |g(x − y)f(y)| ≤ ||g||_{∞}|f(y)|. La continuité découle du théorème de Lebesgue. En effet, si x_{n} → x, alors g(x_{n} − y)f(y) tend partout vers g(x − y)f(y) et ||g||_{∞}|f(y)| est chapeau intégrable. Donc

f ∗ g(x_{n}) = ∫ g(x_{n} − y)f(y)dy → ∫ g(x − y)f(y)dy = f ∗ g(x).

Si g est dérivable par rapport à x_{j} et de dérivée continue et bornée, appliquons le théorème de dérivation sous le signe somme. On a

\frac{∂}{∂x_{j}} (g(x − y)f(y)) = \frac{∂g}{∂x_{j}} (x − y)f(y)

et cette fonction est majorée en module par ||\frac{∂g}{∂x_{j}} ||_{∞}|f(y)|, qui est indépendante de x et som-

mable. Le théorème de dérivation sous le signe somme s’applique donc et donne bien \frac{∂(f∗g)}{∂x_{j}} =

f ∗ \frac{∂g}{∂x_{j}}. ∘

Théorème 7.8 Soient f ∈ L^{1}(IR^{N}) et g ∈ L^{2}(IR^{N}). Alors (f ∗g)(x) est défini pour presque tout x et c’est une fonction de carré sommable vérifiant

||f ∗ g||_{2} ≤ ||f||_{1}||g||_{2}.  (7.1)

Soient f et g deux fonctions de L^{2}(IR^{N}). Alors f ∗g(x) est défini pour tout x et c’est une fonction continue, tendant vers zéro à l’infini et satisfaisant

||f ∗ g||_{∞} ≤ ||f||_{2}||g||_{2}.  (7.2)

Démonstration Pour évaluer

∫ (|f| ∗ |g|)^{2}(x)dx,

on remarque que cette intégrale est égale grâce au théorème de Tonelli à

I = ∫ ∫ ∫ |g(x − y)||g(x − z)||f(y)||f(z)|dxdydz.  (7.3)

(intègrer I d’abord par rapport à y, puis par rapport à z). On applique à nouveau le le théorème de Fubini pour intégrer I d’abord en x, puis on utilise l’inégalité de Cauchy-Schwarz, ce qui donne

I = ∫ ∫ |f(y)||f(z)|(∫ |g(x − y)||g(x − z)|dx)dydz ≤ ||f||_{1}^{2}||g||_{2}^{2}.  (7.4)

La relation (7.1) vient immédiatement des relations (7.3) et (7.4).

Si maintenant f et g sont de carré sommable, on déduit de l’inégalité de Cauchy-Schwarz que (f ∗ g)(x) est défini pour tout x et on obtient la relation (7.2). Montrons maintenant que f ∗ g est continue et tend vers zéro à l’infini. On considère deux suites approximantes continues à support compact f_{n} et g_{n} telles que f_{n} → f et g_{n} → g dans L^{2}(IR^{N}). Par le théorème 7.7, f_{n} ∗ g_{n} est continue et il est immédiat que f_{n} ∗ g_{n} est encore à support compact. Finalement on a, grâce à l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

|f ∗ g(x) − f_{n} ∗ g_{n}(x)| ≤ (|f − f_{n}| ∗ |g|)(x) + (|f_{n}| ∗ |g − g_{n}|)(x) ≤
||f − f_{n}||_{2}||g||_{2} + ||f_{n}||_{2}||g − g_{n}||_{2} → 0.

Donc la suite de fonctions f_{n} ∗ g_{n}, continues et tendant vers zéro à l’infini, tend uniformément vers f ∗ g. Il en résulte que f ∗ g est continue et tend vers zéro à l’infini. ∘

Définition 7.1 Si f ∈ L_{loc}^{1}(IR^{N}), on appelle support de f et on note Support(f) le complémentaire du plus grand ouvert O tel que f(x) = 0 presque partout sur O. Le support de f est donc un fermé. S’il est de plus borné, on dit que f est à support compact.

Proposition 7.2 Si f et g sont deux fonctions de L^{1}(IR^{N}),

Support(f ∗ g) ⊂ \overline{Support(f) + Support(g)}.

Démonstration Soit x ∉ Support(f) + Support(g), alors (x − Support(f)) ∩ Support(g) = ∅ et donc

(f ∗ g)(x) = ∫ f(x − y)g(y)dy = ∫_{(x−Support(f))∩Support(g)} f(x − y)g(y)dy = 0.

Donc (f ∗ g)(x) = 0 en tout point n’appartenant pas à Support(f) + Support(g) et donc aussi en tout point n’appartenant pas à sa fermeture \overline{Support(f) + Support(g)}, ce qui donne le résultat. ∘

Théorème 7.9 (Approximations de l’identité) Soit k ∈ L^{1}(IR^{N}) telle que ∫ k(x)dx = 1 et k(x) ≥ 0 presque partout. On pose pour tout h > 0,

k_{h}(x) = h^{−N}k(\frac{x}{h}).

Alors, pour toute fonction f ∈ L^{p}(IR^{N}), 1 ≤ p < ∞, les fonctions f ∗ k_{h} convergent vers f dans L^{p}.

Démonstration On remarque d’abord que

∫ k_{h}(x)dx = ∫ k(x)dx = 1,  (7.5)

k_{h} ∗ f(x) − f(x) = ∫ (k_{h}(y)(f(x − y) − f(x))dy,  (7.6)

on rappelle que comme f ∈ L^{p}, on peut choisir η assez petit pour que

|y| ≤ η ⇒ ∫ |f(x − y) − f(x)|^{p}dx ≤ ε  (7.7)

et que (une conséquence du théorème de Lebesgue), pour h assez petit,

∫_{|y|≥η} |k_{h}(y)|dy ≤ ε  (7.8)

Enfin, l’inégalité de Hölder et le fait que k_{h} ≥ 0, ∫ k_{h} = 1 impliquent que pour toute fonction f dans L^{p}, on ait

(∫ k_{h}(x)|f(x)|dx)^{p} ≤ ∫ k_{h}(x)|f(x)|^{p}dx.  (7.9)

En effet,

(∫ k_{h}|f|)^{p} = (∫ |f|kh^{\frac{1}{p}} k_{h}^{f}rac1p′)^{p}.

En utilisant les relations (7.5)-(7.9) et le théorème de Fubini,

∫ |k_{h}∗f(x)−f(x)|^{p}dx = ∫ | ∫ (k_{h}(y)(f(x−y)−f(x))dy|^{p}dx ≤ ∫ ∫ k_{h}(y)|f(x−y)−f(x))|^{p}dydx ≤

2^{p} ∫ |f(x)|^{p}dx ∫_{|y|≥η} |k_{h}(y)|dy + ∫_{|y|≤η} |k_{h}(y)|dy ∫ |f(x − y) − f(x)|^{p}dx ≤

2^{p}||f||_{L^{p}}^{p}ε + ∫ |k_{h}(y)|ε = (2^{p}||f||_{L^{p}}^{p} + ||k||_{L^{1}})ε.

∘

Exercice 7.3 Reprendre la démonstration précédente dans le cas p = 1 et montrer que l’on peut se passer de l’hypothèse que k est positive.

Proposition 7.3 Si f est uniformémement continue et bornée sur IR^{N}, alors f ∗ k_{h} converge vers f uniformément.

Démonstration C’est le même raisonnement, en plus simple que pour le théorème 7.9 : On écrit simplement

|(k_{h} ∗ f)(x) − f(x)| = | ∫ k_{h}(y)|f(x − y) − f(x))dy|

≤ 2 sup |f| ∫_{|y|≥η} |k_{h}(y)|dy + sup_{|y|≤η} |f(x − y) − f(x)| ∫ |k_{h}(y)|dy.

∘

Corollaire 7.2 Soit Ω un ouvert de IR^{N}. On appelle C_{0}^{∞}(Ω) l’ensemble des fonctions C^{∞} à support compact dans Ω et on munit C_{c}(Ω), l’espace des fonctions continues à support compact dans Ω, de la topologie suivante : on dit que u_{n} tend vers u si pour tout ε > 0 il existe n_{0} tel que pour n ≥ n_{0}, on ait Support(u_{n}) ⊂ Support(u) + B(0,ε) et sup_{x∈Ω} |u_{n}(x) − u(x)| < ε. Alors C_{0}^{∞}(Ω) est dense dans C_{c}(Ω).

Démonstration Si f ∈ C_{c}(Ω), alors elle est uniformément continue et k_{h} ∗ f tend vers f uniformément. De plus, par la proposition 7.2, Support(k_{h} ∗ f) ⊂ Support(f) + B(0,h). Donc k_{h} ∗ f tend bien vers f dans C_{c}(Ω). Enfin, par le théorème 7.7, on a bien k_{h} ∗ f ∈ C^{∞}. ∘

Pour compléter la démonstration précédente, il nous reste à montrer qu’il existe des fonctions C^{∞} à support compact. Lemme 7.1 Il existe une fonction f_{N} ∈ C^{∞}(IR^{N}), à support compact, positive et de support contenu dans \overline{B}(0,1).

Démonstration On pose simplement, en dimension 1, f_{1}(x) = e^{\frac{1}{x^{2}−1}} si |x| ≤ 1, f(x) = 0 sinon. Il est facile de voir que f^{(k)}(−1) = f^{(k)}(1) = 0 pour tout ordre k et que donc f est C^{∞}. En dimension N, on pose simplement g_{N}(x_{1},...,x_{N}) = f_{1}(x_{1})...f_{N}(x_{N}) qui est a support dans l’hypercube [−1,1]^{N} puis f_{N}(x) = g_{N}(2\sqrt{N}x) pour ramener le support dans B(0,1). ∘

Exercice 7.4 Construire une fonction radiale f_{N} ∈ C^{∞}(IR^{N}) telle que f_{N}(x) = 1 si |x| ≤ 1, f_{N}(x) = 0 si |x| ≥ 2.

(i) Commencer par le cas de la dimension 1 : Soit f une fonction positive, C^{∞}, à support compact dans [−1,1] et d’intégrale 1. On peut construire une telle fonction par le lemme 7.1. Poser h(x) = f_{1}(x + 3) − f_{1}(x − 3), puis g(x) = ∫_{−∞}^{x} h(t)dt. Dessiner h(x) et g(x), montrer que f_{1}(x) = h(2x) répond à la question en dimension 1. (ii) Montrer que f_{N}(x) = f_{1}(||x||) convient en dimension N.

Proposition 7.4 Soit Ω un ouvert de IR^{N}. Alors C_{0}^{∞}(Ω) est dense dans L^{p}(Ω) pour tout 1 ≤ p < ∞.

Démonstration On considère les voisinages intérieurs bornés de Ω, Ω_{r} = {x,B(x,r) ⊂ Ω} ∩ B(0,\frac{1}{r}). Comme Ω = ∪_{r>0}Ω_{r}, on a par le théorème de Lebesgue

∀ε∃r, ∫_{Ω} |f(x) − f(x)11_{Ω_{r}}|^{p}dx < ε^{p}.

On choisit alors r′ < r tel que

||(f11_{Ω_{r}}) ∗ k_{h_{r′}} − f11_{Ω_{r}}||_{L^{p}(Ω)} < ε.

On obtient donc ||f − (f11_{Ω_{r}}) ∗ k_{h_{r′}} ||_{L^{p}(Ω)} < 2ε. Comme r′ < r, le lemme 7.2 et le théorème 7.7 impliquent que (f11_{Ω_{r}}) ∗ h_{r′} ∈ C_{0}^{∞}(Ω). ∘

Théorème 7.10 (Riesz-Fréchet-Kolmogorov) Soit Ω ⊂ IR^{N} un ouvert et ω ⊂⊂ Ω un ouvert contenu dans un compact, lui même contenu dans Ω. Soit F un sous-ensemble borné de L^{p}(Ω) avec 1 ≤ p < ∞. On suppose que

∀ε > 0,∃δ < dist(ω,Ω^{c}), ∀f ∈ F,∀h < δ, ||τ_{h}f − f||_{L^{p}(Ω)} < ε.

Alors F est relativement compacte dans L^{p}(ω). (Toute suite f_{n} ∈ F a une sous-suite convergente dans L^{p}(ω)).

Démonstration On considère des noyaux régularisants ρ_{r},r > 0 tels que ∫ ρ_{r}(x)dx = 1, ρ ≥ 0, support(ρ) ⊂ B(0,r). On commence par montrer que le théorème d’Ascoli-Arzela s’applique à la famille (ρ_{r} ∗ f),f ∈ F. En effet, si f ∈ F et |z|,r ≤ \frac{1}{2}dist(ω,Ω^{c}), x ∈ ω, on a par l’inégalité de Hölder,

|(ρ_{r} ∗ f)(x + z) − (ρ_{r} ∗ f)(x)| ≤ ∫ ρ_{r}(y)|f(x − y) − f(x − y + z)|dy ≤ ||ρ_{r}||_{L^{p′}}^{p′} ||τ_{z}f − f||_{L^{p}(Ω)}.

La famille ρ_{r} ∗ f est donc équicontinue sur ω. Montrons que la famille ρ_{r} ∗ f(x) est bornée. En reprenant les calculs précédents on a aussi pour r < \frac{1}{2}dist(ω,Ω^{c}),

|ρ_{r} ∗ f(x)| ≤ ∫ ρ_{r}(y)|f(x − y)|dy ≤ ||ρ_{r}||_{L^{p′}}^{p′} ||f||_{L^{p}(Ω)}.

On conclut que la famille ρ_{r} ∗ F est relativement compacte pour la topologie de la convergence uniforme sur ω et donc aussi pour la norme L^{p}(ω), ω étant borné.

On montre ensuite que l’on peut approcher \underline{uniformément} les éléments de F par les fonctions ρ_{r} ∗ f. On choisit r < dist(ω,Ω^{c}), de sorte que ω + B(0,r) ⊂ Ω. En utilisant la convexité de la fonction s → s^{p},

|ρ_{r} ∗ f(x) − f(x)| ≤ ∫_{ω} ρ_{r}(y)|f(x − y) − f(x)|dy ≤ (∫_{ω} ρ_{r}(y)|f(x − y) − f(x)|^{p}dy)^{\frac{1}{p}}

ce qui donne

|ρ_{r} ∗ f(x) − f(x)|^{p} ≤ ∫_{B(0,r)} ρ_{r}(y)|f(x − y) − f(x)|^{p}dy.

Par le théorème de Fubini-Tonelli et si r < δ(ε), on obtient

∫_{ω} |ρ_{r} ∗ f(x) − f(x)|^{p}dx ≤ ∫_{B(0,r)} ρ_{r}(y)||τ_{y}f − f||_{L^{p}(Ω)}^{p}dy ≤ ε^{p}.  (7.10)

Pour conclure, on montre que la famille F peut être pour tout ε recouverte par un nombre fini de boules de rayon arbitrairement petit. On commence par recouvrir la famille ρ_{r} ∗ f par des boules en nombre fini B(f_{i} ∗ ρ_{r},ε). Grâce à (7.10), on en déduit que F est recouverte par les boules en nombre fini B(f_{i},ε + 2ε^{p}). En effet, si f ∈ F, il existe i tel que ρ_{r} ∗ f ∈ B(ρ_{r} ∗ f_{i},ε) et on a donc

||f − f_{i}|| ≤ ||ρ ∗ f − ρ ∗ f_{i}|| + ||ρ ∗ f − f|| + ||ρ ∗ f_{i} − f_{i}|| ≤ ε + 2ε^{p}.

∘

7.2 Exercices

Exercice 1 (Théorème de Weierstrass)

Soit Q_{n}(t) = c_{n}(1 − t^{2})^{n} sur [−1,1] où c_{n} est choisi pour que ∫_{−1}^{1} Q_{n}dt = 1.

1) Vérifier que

∫_{0}^{1}(1 − t^{2})^{n}dt ≥ ∫0^{\frac{1}{\sqrt{n}}} (1 − nt^{2})dt,

et en déduire que c_{n} < \sqrt{n}. (Faire un dessin.)

2) Soit f ∈ C([0,1],IR), on suppose que f(0) = f(1) = 0. On prolonge f et Q_{n} par 0 à IR tout entier et on pose P_{n}(x) = f ∗ Q_{n}(x) pour x ∈ [0,1]. Vérifier que P_{n} est polynomial et montrer que P_{n} converge vers f uniformément sur [0,1].

3) Montrer que les polynômes à coefficients réels sont denses dans C([0,1],IR).

Exercice 2

1) Soit χ_{n}(x) = \frac{1}{2n} sur [−n,n], χ_{n}(x) = 0 ailleurs. Etudier sa limite dans L^{1}(IR) et dans L^{2}(IR) quand n → +∞.

2) Utiliser cette suite de fonctions pour montrer que

{f ∈ L^{1}(IR) ∩ L^{2}(IR) : ∫IR f(x) dx = 0}

est dense dans L^{2}(IR).

Exercice 3 Propriété d’absolue continuité de l’intégrale

Soit Ω un ouvert de IR^{N}, montrer que f ∈ L^{1}(Ω) ⟹ ∀ε > 0, ∃δ > 0, si A est mesurable et |A| ≤ δ alors ∫_{A} |f|dx ≤ ε. (Le faire d’abord pour une fonction bornée et passer au cas général.)

Exercice 4 (J.M.Bony, Ecole Polytechnique)

Soit g ∈ L^{1}(IR) et soit f définie sur IR. On pose, ∀n ≥ 1, (lorsque cela a un sens),

T_{n}(f)(x) = ∫IR f(x − y^{n})g(y)dy.

1) si f ∈ L^{1}(IR), montrer que T_{n}(f) est définie p.p. et T_{n}(f) ∈ L^{1}(IR).

2) Si f est continue et bornée, montrer que T_{n}(f) est continue et bornée.

3) Si f est continue et f(x) ⟶ 0 quand |x| → +∞, montrer que ∀x, T_{n}(f)(x) ⟶ C f(x) où C est une constante à déterminer.

Exercice 5

On admet le résultat suivant (dû a Shauder, voir Rudin, functional analysis) : Soit E un espace de Banach, soit K ⊂ E un compact et soit T : E → K une application continue alors ∃x ∈ K tel que T x = x. Soit E = C[0,1] muni de ∥ ∥_{∞}, montrer qu’il existe f ∈ E telle que ∀x ∈ [0,1],

f(x) = ∫_{0}^{1} sin(x + f^{2}(t))dt.

Exercice 6

On note ⋆ le produit de convolution. Montrer que (L^{1}(IR), + ,⋆) est une algèbre de Banach commutative qui ne possède pas d’élément neutre pour ⋆.

Exercice 7 Réciproque du Théorème de convergence dominée

Si f_{n} ⟶ f dans L^{1}, montrer qu’il existe une sous-suite f_{n_{k}} de la suite f_{n} qui converge p.p. vers f et un chapeau intégrable h tel que ∀k, |f_{n_{k}}(x)| ≤ h(x) p.p.

Exercice 8

On note Γ(x) = ∫_{0}^{+∞} e^{−t} t^{x−1}dt. Montrer que Γ est C^{∞} sur IR^{+⋆}.

Exercice 9

1)Soit f ∈ L^{p} ∩ L^{q} avec p < q. Montrer que

∥f∥_{r} ≤ ∥f∥_{p}^{θ} ∥f∥_{q}^{1−θ}, où \frac{1}{r} = \frac{θ}{p} + \frac{1 − θ}{q} ,

avec θ ∈ [0,1] et donc f ∈ L^{r}, ∀r ∈ [p,q].

2) Soit E un sous-espace vectoriel fermé de L^{1} tel que E ⊂ ⋃_{1<q≤+∞} L^{q}. On va montrer que ∃p > 1 tel que E ⊂ L^{p} avec injection continue. On considère les ensembles E_{n} = {f ∈ E ∩ L^{1+ \frac{1}{n}} , ∥f∥_{1+ \frac{1}{n}} ≤ n\}). 2a) Montrer que ∃n_{0} tel que int(E_{n_{0}}) ≠ ∅. 2b) En déduire que id : E,∥ ∥_{1} ⟶ L^{1+ \frac{1}{n_{0}}} est continue. 2c) Montrer que E = ⋃_{n} E_{n}. 2d) Montrer que ∀n, E_{n} est fermé dans (E,∥ ∥_{1}).

Soit Ω un ouvert borné de IR^{N}.

1) Soit f ∈ L^{∞}(Ω). Montrer que lim_{p→∞} ∥f∥_{p} = ∥f∥_{∞}.

2) Soit f ∈ ⋂_{1≤p<∞} L^{p}(Ω), on suppose que ∃C telle que ∥f∥_{p} ≤ C, ∀p tel que 1 ≤ p < ∞. Montrer que f ∈ L^{∞}(Ω).

3) Soit Ω =]0,1[ et f(x) = log x, vérifier que f ∈ ⋂_{1≤p<∞} L^{p}(Ω) et que f ∉ L^{∞}(Ω).

Exercice 11

On notera L^{1}(IR) et L^{2}(IR) les espaces de Lebesgue usuels, où les fonctions considérées sont à valeurs complexes. En particulier L^{2}(IR) est muni du produit scalaire ∫IR f(x)\overline{g}(x)dx. Pour f ∈ L^{1}(IR), on notera

f̂(ξ) = ∫IR e^{−ixξ}f(x)dx.

1) Soit f ∈ L^{1}(IR) telle que ∀p ∈ IN, sup_{x∈IR} |x^{p}f(x)| < ∞. On pose g_{k}(x) = (−ix)^{k}f(x), montrer que f̂ ∈ C^{∞}(IR) et ∀k ∈ IN,

f̂^{(k)} = ĝ_{k}.

2) Soit f ∈ C^{∞}(IR) ∩ L^{1}(IR) telle que ∀k ∈ IN, f^{(k)} ∈ L^{1}(IR) alors montrer que ∀k,

f̂^{(k)} = (iξ)^{k}f̂.

Première partie : On notera S l’espace des fonctions f indéfiniment dérivables sur IR (et à valeurs complexes), telles que ∀p,q ∈ IN, sup_{x∈IR} |x^{p}f^{(q)}(x)| < ∞.

3) Montrer que ∀P polynôme, ∀f ∈ S, P f ∈ S, ∀f ∈ S, f′ ∈ S, S ⊂ L^{1}(IR).

4) Montrer que f ∈ S ⟹ f̂ ∈ S.

5) On dit que la suite (f_{n})_{n} ⊂ S converge vers 0 dans S si

∀p,q ∈ IN, lim_{n∞} ( sup_{x∈IR} |x^{p}f_{n}^{(q)}(x)|) = 0.

Montrer que si f_{n} ⟶ 0 dans S alors f′_{n} ⟶ 0 dans S, ∀P polynôme, P f_{n} ⟶ 0 dans S, f_{n} ⟶ 0 dans L^{1}(IR) et f̂_{n} ⟶ 0 dans S.

6) Soit a > 0 et ψ_{a}(x) = e^{−ax^{2}}. Vérifier que ψ_{a} ∈ S et montrer que

ψ̂_{a}(ξ) = \sqrt{\frac{π}{a}} e^{−( \frac{ξ^{2}}{4a})} et ∫IR ψ̂_{a}(ξ)dξ = 2π.

7) Soit f ∈ S, on veut montrer la formule d’inversion suivante

∀x ∈ IR, f(x) = \frac{1}{2π} ∫IR e^{ixξ}f̂(ξ)dξ.

a) Soit Φ ∈ S, montrer que ∀x ∈ IR,

(⋆) ∫IR e^{ixξ}f̂Φdξ = ∫IR Φ̂(y)f(x + y)dy.

b) Soit Φ_{0} ∈ S donnée, choisir Φ(t) = Φ_{0}(εt) où ε > 0 dans (⋆) et montrer que

Φ_{0}(0) ∫IR e^{ixξ}f̂(ξ)dξ = f(x) ∫IR Φ̂_{0}(y)dy.

c) Conclure.

Deuxième partie :

8) Vérifier que S est dense dans L^{2}(IR).

9) Soient φ et ψ dans S, montrer que

a) ∫IR φ̂ ψ dx = ∫IR φ ψ̂dξ.
b) ∫IR φ \overline{ψ} dx = \frac{1}{2π} ∫IR φ̂ \overline{ψ̂}dξ.
c) { \atop φ ∗ ψ} = φ̂ ψ̂.

10) Démontrer le résultat suivant : Soient E et F deux espaces vectoriels normés, F complet, et G un sous-espace vectoriel dense dans E. Si A est un opérateur linéaire continu de G dans F alors il existe un prolongement unique Ã linéaire continu de E dans F et ∥Ã∥ = ∥A∥.

11) Si on note F l’application définie sur S, à valeurs dans L^{2}(IR), par F(f) = f̂, vérifier que ∥F(f)∥_{L^{2}}^{2} = 2π ∥f∥_{L^{2}}^{2} et que F se prolonge en un isomorphisme de L^{2}(IR) sur L^{2}(IR). (Un isomorphisme est une application linéaire bijective bicontinue.)

66 CHAPITRE 7. LES ESPACES DE LEBESGUE, L^{1}, L^{P}, L^{∞}

Chapitre 8

Réflexivité, séparabilité, dualité des L^{p}

8.1 Espaces emboîtés d’approximation des L^{p}, séparabilité

On va commencer par définir un mode standard pour approximer les fonctions de L^{p}(IR^{N}), 1 ≤ p < ∞ par des fonctions en escalier. On commence par subdiviser IR^{N} en hypercubes d’arète 2^{−k}, k ≥ 0, de la forme donc C^{k,z} = 2^{−k}(z+[0,1]^{N}), où z ∈ Z^{N}. Dans la suite, on omettra l’indice courant z. Chacun des cubes C^{k,z} est une union de 2^{N} hypercubes du type C_{i}^{k+1}, i = 1,...,2^{N}. On appelle V_{k} l’espace des fonctions en escalier, constantes sur chaque hypercube C^{k,z}. On voit immédiatement que ces espaces sont emboîtés :

V_{k+1} ⊂ V_{k}.

Ensuite, on a envie d’approcher les fonctions de v ∈ L^{p} par des fonctions en escalier. On a un mode standard pour le faire, qui est de poser v_{k}(i)(x) = \frac{1}{mes(C_{i}^{k})} ∫_{C_{i}^{k}} v(y)dy si x ∈ C_{i}^{k}. En d’autres termes, on remplace v par sa moyenne sur chaque cube dyadique. Lemme 8.1 La fonction en escalier v_{k} est la meilleure approximation de v dans V_{k} pour la norme de L^{2}(IR^{N}). De plus, on a pour tout p ≥ 1 :

||v_{k}||_{L^{p}} ≤ ||v||_{L^{p}},
v_{k} → v ∈ L^{p}(IR^{N}).

Démonstration En effet, v_{k} est évidemment la meilleure approximation quadratique de v sur chaque cube et donc aussi dans L^{2}. Il suffit de montrer la première inégalité sur chaque cube. Fixons donc un tel cube C et notons C_{i} ses sous-cubes

∫_{C} |v_{k}|^{p} = ∑_{i} ∫_{C_{i}} |v_{k}|^{p} = ∑_{i}(mes(C_{i}^{k}))^{1−p}(∫_{C_{i}^{k}} |v|)^{p} ≤

≤ ∑_{i}(mes(C_{i}^{k}))^{1−p}(∫_{C_{i}^{k}} |v|^{p})^{\frac{p}{p}} (mes(C_{i}^{k})^{\frac{p−1}{p}} p = ∫ |v|^{p}.

Montrons maintenant que v_{k} → v dans L^{p}. On approche v dans L^{p} par une fonction continue à support compact g telle que ||v − g||_{L^{p}} ≤ ε. On a alors

||v − v_{k}||_{p} ≤ ||v − g||_{p} + ||g − g_{k}||_{p} + ||g_{k} − v_{k}||.

68 CHAPITRE 8. RÉFLEXIVITÉ, SÉPARABILITÉ, DUALITÉ DES L^{P}

Le premier terme est inférieur à ε, le troisième aussi car il est la projection su V_{k} du premier. Le second terme est la différence entre g et une approximation de Riemann, tend donc vers zéro quand k augmente. On conclut aisément.

Proposition 8.1 L^{p}(IR^{N}) est séparable pour 1 ≤ p < ∞ et non séparable pour p = +∞.

Démonstration Par le (Lemme 8.1), les fonctions en escalier dyadiques sont denses dans L^{p}(IR^{N}). Soit Ṽ_{k} ⊂ V_{k} l’ensemble des fonctions dyadiques sur [−2^{k},2^{k}]^{N}, à valeurs rationnelles. Alors ⋃_{k} Ṽ_{k} est à la fois dénombrable et dense dans L^{p}(IR^{N}).

Considérons les fonctions f_{r} = 11_{B(0,r)}, r ∈ IR^{+}. On ||f_{r} − f_{r′}||_{L^{∞}} = 1 dès que r ≠ r′. S’il y avait une suite g_{n} dense dans L^{∞}, on pourrait pour tout r trouver n(r) ∈ IN tel que ||f_{r} − g_{n(r)}|| < \frac{1}{2}. Par l’inégalité triangulaire, ||g_{n(r)} − g_{n(r′)}||_{L^{∞}} > 0 si r ≠ r′. L’application r → n(r) est donc injective, une contradiction.

∘

Décomposition dyadique d’une image Nous illustrons visuellement le concept de martingale dans le cas suivant: la fonction v est une fonction de L^{p}(ℝ^{2}), et représente une image naturelle comme expliqué à la fin du chapitre 6. Nous nous plaçons comme précédemment sur un hypercube de ℝ^{2}, C = [−a,a]^{2}, et considérons la suite de fonctions v_{k} constantes par morceaux sur les hypercubes (C_{i}^{k}). La figure 8.1 représente les fonctions v_{k}, pour k variant de 3 à 8; la diminution de k correspond à des pertes d’information successives. Signalons que ces fonctions v_{k} sont en fait les objets de base du traitement des images numériques. En effet, la quantité de lumière arrivant sur les capteurs à l’intérieur d’une caméra, après passage par les instruments optiques (diaphragme et lentille), consitue une fonction bornée à support compact, et l’on a vu au chapitre 6 que ces fonctions étaient généralement supposées mesurables. Or les capteurs d’une caméra digitale (appelés CCD pour l’anglais “charged coupled devices”) sont carrés, et tapissent le plan où se projette l’image selon un damier régulier. Chacun de ces capteurs compte le nombre de photons recus pendant un certain laps de temps, l’image numérique obtenue étant constituée de l’ensemble des valeurs retournées par ces capteurs, valeurs qui peuvent raisonnablement être modélisées par l’intégrale de la fonction f sur la surface du capteur. Remarquons toutefois que chacun de ces capteurs transmet une quantité finie d’information, de sorte que les valeurs retenues pour les fonctions v_{k} appartiennent à un ensemble fini d’entiers (phénomène de quantification).

8.2 Dualité L^{p} − L^{p′}

Remarque 8.1 préliminaire : si f ∈ L^{p′}, alors pour tout u ∈ L^{p} on a par l’inégalité de Hölder | ∫ fu| ≤ ||f||_{L^{p′}} ||u||_{L^{p}}. Donc on a l’inclusion L^{p′} ⊂ (L^{p})′. On va montrer dans cette section l’inclusion inverse.

Théorème 8.1 Pour tout 1 ≤ p < ∞, L^{p′}(IR^{N}) est le dual topologique de L^{p}. Pour toute forme linéaire continue f̃ sur L^{p}, il existe donc une fonction f ∈ L^{p′} telle que

∀u ∈ L^{p},f̃(u) = ∫ fu

8.2. DUALITÉ L^{P} − L^{P′} 69 Fig. 8.1 – Exemples de fonctions v_{k} dans le cas d’une image; de haut en bas et de gauche à droite: k = 8,7,6,5,4,3 et

||f̃||_{(L^{p})′} = ||f||_{L^{p′}} .

Soit C = [−a,a]^{N}, a ∈ Z, un hypercube de IR^{N}. On considère la suite d’espaces emboités V_{k} de fonctions en escalier dyadiques constantes sur des hypercubes (C_{i}^{k})_{i} contenus dans C, définie dans la section précédente. Les hypercubes (C_{i}^{k+1}) sont obtenus en subdivisant en 2^{N} hypercubes égaux chaque hypercube C_{i}^{k}. On note T_{k} la tribu engendrée, c’est-à-dire l’ensemble des unions quelconques d’hypercubes C_{i}^{k}.

Si v_{k} ∈ V_{k}, on note v_{k}(i) sa valeur, constante, sur C_{i}^{k}. Par analogie avec la projection v → v_{k}, on associe à f̃ ∈ (L^{p})′ sa “projection” f_{k} sur V_{k}, définie par

f_{k}(i) = f̃(\frac{1}{mes(C_{i}^{k})}11_{C_{i}^{k}}).

La fonction f_{k} peut être considérée comme la restriction de f̃ à V_{k} car elle vérifie Lemme 8.2

∀v ∈ V_{k},f̃(v) = ∫ f_{k}v. De plus,  (8.1)
||f_{k}||_{L^{p′}} ≤ ||f̃||_{(L^{p})′}.  (8.2)

Démonstration Si v ∈ V_{k}, on a v = ∑_{i} v(i)11_{C_{i}^{k}}. Donc

f̃(v) = ∑_{i} v(i)f̃(11_{C_{i}^{k}}) = ∑_{i} v(i)f_{k}(i)mes(C_{i}^{k}) = ∫_{C} f_{k}(x)v(x)dx,

ce qui prouve (8.1). Montrons (8.2). Comme f_{k} est constante sur chaque cube, C_{i}^{k}, on a en utilisant (8.1-??) et le lemme 8.1,

∀v ∈ L^{p}, ∫_{C} f_{k}v = ∫_{C} f_{k}v_{k} = f̃(v_{k}) ≤ ||f̃||||v_{k}||_{L^{p}} ≤ ||f̃||||v||_{L^{p}}.

Comme ||f_{k}||_{L^{p′}} = sup_{v∈L^{p}} \frac{∫ f_{k}v}{||v||_{L^{p}}}, on obtient (8.2). ∘

Lemme 8.3 La suite (f_{k},T_{k}) est une martingale à temps discret, c’est-à-dire que l’on a

∀E ∈ T_{k},∀l ≥ k, ∫_{E} f_{l} = ∫_{E} f_{k}.  (8.3)

Démonstration En effet, si E ∈ T_{k}, sa fonction indicatrice 11_{E} est dans V_{k} ⊂ V_{l} et on a donc en utilisant deux fois (8.1)

∀l ≥ k, ∫_{E} f_{l} = ∫_{C} f_{l}11_{E} = f̃(11_{E}) = ∫_{C} f_{k}11E = ∫_{E} f_{k}.
∘

Lemme 8.4 Soit f_{k} une suite de fonctions telles que ||f_{k}||_{L^{p′}} ≤ c et que f_{k}(x) converge presque partout vers une fonction f(x). Alors f appartient aussi à L^{p′} et ||f||_{p′} ≤ lim inf_{k} ||f_{k}||_{p′}.

8.2. DUALITÉ L^{P} − L^{P′} 71

Démonstration En appliquant le lemme de Fatou, on a

c ≥ lim inf ∫ |f_{k}|^{p′} ≥ ∫ lim inf |f_{k}(x)|^{p′} = ∫ |f(x)|^{p′}.

Le cas p′ = +∞ se traite aisément. ∘

Lemme 8.5 Si (f_{k},T_{k}) est une martingale à temps discret, et si sup_{k} ∫ f_{k}^{+} < +∞, alors la suite f_{k}(x) converge presque partout. Nous allons démontrer ce lemme dans la sous-section suivante sur les martingales à temps discret. Lemme 8.6 (Vitali) Soit C un borné de IR^{N} et f_{k} est une suite de fonctions équiintégrable dans L^{1}(C) qui converge presque partout vers une fonction f. Alors f_{k} converge vers f dans L^{1}(C).

Remarque 8.2 La réciproque est vraie. Voir l’exercice 5.

Rappel : une suite de fonctions f_{k} est dite équiintégrable si

∀ε > 0 ∃η, mes(K) < η ⇒ ∫_{K} |f_{k}(x)|dx < ε, ∀k ≥ 1.

Démonstration du Lemme de Vitali On a

Mmes({|f_{k}| ≥ M}) ≤ ∫ |f_{k}(x)| ≤ c

et donc mes({|f_{k}| ≥ M}) ≤ η pour M assez grand. En prenant η = η(ε) et en utilisant l’équiintégrabilité, on en déduit que ∫_{{|f_{k}|≥M}} |f_{k}(x)|dx ≤ ε pour M assez grand. La suite f_{k}^{M} = max(−M, min(M,f)) converge par le théorème de Lebesgue dans L^{1}(C) vers f_{M} = max(−M, min(M,f)). Donc on a pour k assez grand

∫ |f − f_{k}| ≤ ∫ |f − f^{M}| + ∫ |f^{M} − f_{k}^{M}| + ∫ |f_{k}^{M} − f_{k}| ≤ 3ε.
∘

Lemme 8.7 La suite des restrictions f_{k} de f̃ à V_{k} converge presque partout vers une fonction f ∈ L^{p′}(C) telle que

∀v ∈ L^{p}(C), f̃(v) = ∫_{C} f(x)v(x)dx  (8.4)

Cette fonction f satisfaisant (8.4) est unique.

Démonstration Par l’inégalité de Hölder et par (8.2), on obtient ||f_{k}||_{L^{1}} ≤ c||f_{k}||_{L^{p′}} ≤ c||f̃||_{(L^{p})′}. On peut appliquer le lemme 8.5. Donc f_{k}(x) converge presque partout et par le lemme 8.4 on conclut que f est dans L^{p′}(C). Comme la suite f_{k} est bornée dans L^{p′}(C) et que p′ > 1, elle est équiintégrable. En effet, par l’inégalité de Hölder,

∫_{K} |f_{k}(x)|dx ≤ (mes(K))^{\frac{1}{p}} ||f_{k}||_{L^{p′}} ≤ cmes(K)^{\frac{1}{p}} .

Par le lemme de Vitali, f_{k} converge donc vers f dans L^{1}(C). Reste à montrer que f̃(v) = ∫_{C} fv pour tout v ∈ L^{p}(C). Mais cette relation est vraie si v est dans un quelconque V_{k}. En effet, f̃(v) = ∫_{C} f_{k}v et f_{k} tend vers f ∈ L^{1}(C). Comme les fonctions de V_{k} sont bornées, on peut passer à la limite quand k → ∞. Cela prouve que les formes linéaires continues f̃ et f coïncident sur un sous-espace dense de L^{p}(C), l’union des V_{k}, et donc partout.

Montrons que la fonction f est unique. Si on a pour toute fonction v dans L^{p}(C), ∫_{C} f_{1}v = ∫_{C} f_{2}v, alors ∫ (f_{1} − f_{2})v = 0 et en choisissant v = Signe(f_{1} − f_{2}) on obtient f_{1} = f_{2} presque partout. ∘

Lemme 8.8 L^{p}(IR^{N}) est réflexif et (L^{p})′ = L^{p′}.

Démonstration On considère les espaces emboités V_{l} = L^{p}(C_{l}), où C_{l} = [−l,l]^{N}, l ∈ IN. Par le lemme 8.7 il existe des fonctions f ∈ L^{p′}(C_{l}) telles que

∀v ∈ L^{p}(C_{l}), f̃(v) = ∫_{C} f_{l}(x)v(x)dx  (8.5)

et on a, par unicité de f_{l}, f_{k+l} = f_{l} sur C_{l} et

||f_{l}||_{L^{p′}} ≤ ||f̃||_{(L^{p})′}.  (8.6)

On peut donc poser f(x) = f_{l}(x) si x ∈ C_{l}. En appliquant le théorème de Beppo-Levi, on déduit de (8.6) que f ∈ L^{p′} et ||f||_{L^{p′}} ≤ ||f̃||_{(L^{p})′}. Comme f (considérée comme une forme linéaire sur L^{p}) et f̃ coïncident sur le sous-espace dense de L^{p}(IR^{N}), ∪_{l}V_{l}, elles sont égales. ∘

Proposition 8.2 L^{1}(IR^{N}) n’est pas réflexif.

Démonstration Supposons le contraire et soit

f_{n} = \frac{11_{B(0, \frac{1}{n})}}{mes(B(0,\frac{1}{n}))}.

On a ||f_{n}||_{1} = 1. Comme L^{1} est supposé réflexif et que L^{∞} est son dual, il existe une sous-suite f_{n_{k}} et f ∈ L^{1} telles que f_{n_{k}} ⇀ f, σ(L^{1},L^{∞}), ou encore ∫ f_{n_{k}}φ → ∫ fφ pour toute fonction φ ∈ L^{∞}. On peut donc prendre φ = 1 et on trouve ∫ fφ = ∫ f = 1. Mais on peut aussi prendre φ = 11_{||x||≥ε} et on trouve pour tout ε, ∫_{||x||≥ε} f = 0. En faisant tendre ε vers zéro, on obtient par le théorème de Lebesgue ∫ f = 0, contradiction. ∘

Remarque 8.3 Autre démonstration moins constructive : On sait que L^{1}′ = L^{∞}. Comme L^{1} est séparable, si L^{1} était réflexif, L^{∞} serait aussi séparable est réflexif. Or, on vient de voir que L^{∞} n’est pas séparable.

Remarque 8.4 L^{1} n’est donc pas le dual de L^{∞} et on a seulement L^{1} ⊂ (L^{∞})′.

8.3 Martingales à temps discret

Dans cette sous-section, nous démontrons le résultat de convergence presque partout de martingale que nous avons utilisé pour montrer la dualité L^{p} − L^{p′}. Définition 8.1 On dira qu’une suite de fonctions f_{k},k ∈ IN sommables sur un espace de probabilité C muni d’une tribu T et d’une suite croissante de sous-tribus, T_{k} ⊂ T est une martingale à temps discret si, pour tout k, f_{k} est T_{k}-mesurable et

∀E ∈ T_{k},∀l ≥ k, ∫_{E} f_{l} = ∫_{E} f_{k}.  (8.7)

Définition 8.2 On appelle temps d’arrêt associé à la martingale (f_{k},T_{k}) une fonction à valeurs entières, k(x) ∈ IN, définie sur une partie de C et telle que pour tout k_{0} ∈ IN, les ensembles {x,k(x) = k_{0}} appartiennent à T_{k_{0}}. On prendra la convention commode de poser k(x) = +∞ quand x n’est pas dans le domaine de k.

Lemme 8.9 Si k(x) ≤ l(x) sont deux temps d’arrêt associés à une martingale (f_{k},T_{k}), alors

∫_{{x,k(x)≤p}} f_{k(x)}(x)dx = ∫_{{x,k(x)≤p}} f_{min(l(x),p)}(x)dx.  (8.8)

Démonstration En effet, l’ensemble {k(x) ≤ p} est une union d’ensembles {k(x) = k_{0}} ∈ T_{k}. Par additivité de l’intégrale, il suffit de montrer (8.8) pour ces ensembles. Or, en utilisant deux fois la relation de martingale (8.7),

∀k_{0} ≤ p, ∫_{k(x)=k_{0}} f_{k_{0}} = ∫_{k(x)=k_{0}} f_{p} = ∑_{l_{0}≤p} ∫_{k(x)=k_{0}, l(x)=l_{0}} f_{p} + ∫_{k(x)=k_{0}, l(x)>p} f_{p} =

∑_{l_{0}≤p} ∫_{k(x)=k_{0}, l(x)=l_{0}} f_{l_{0}} + ∫_{k(x)=k_{0}, l(x)>p} f_{p} = ∫_{k(x)=k_{0}} f_{min(l(x),p)},

car {k(x) = k_{0}, l(x) = l_{0}} ∈ T_{l_{0}}.

∘

On définit les temps d’arrêts suivants, sur l’intervalle [0,p] ⊂ IN associés à deux réels b > a.

• k_{1}(x) = premier k, s’il existe dans [0,p], tel que f_{k}(x) > b.

• k_{2}(x) = premier k > k_{1}, s’il existe dans [0,p], tel que f_{k}(x) < a. .............

• k_{2m−1}(x) = premier k ≥ k_{2m−2}, s’il existe dans [0,p], tel que f_{k}(x) > b.

• k_{2m}(x) = premier k > k_{2m−1}, s’il existe dans [0,p], tel que f_{k}(x) < a.

Il est immédiat que les k_{m} sont des temps d’arrêt pour la martingale (f_{k},T_{k}). On peut interpréter leur domaine ainsi :

• Ω_{2m} = {x,k_{2m}(x) ≤ p} est l’ensemble des x ∈ C tels que f_{k}(x) traverse exactement m fois l’intervalle [a,b] dans le sens descendant pour 1 ≤ k ≤ p.

• Ω_{2m+1} = {x,k_{2m+1}(x) ≤ p) est l’ensemble des x ∈ C tels que f_{k}(x) traverse exactement m ≥ 1 fois l’intervalle [a,b] dans le sens descendant et puis encore une fois de plus dans le sens ascendant pour 1 ≤ k ≤ p.

On définit enfin γ_{a,b}^{p}(x) comme le nombre de passages de f_{k}(x) par [a,b] dans le sens descendant pour k ≤ p et γ_{a,b}(x) le nombre de passages, éventuellement infini, de f_{k}(x) par [a,b] dans le sens descendant. On a bien-sûr

∀m ∈ IN,{x,γ_{a,b}^{p}(x) ≥ m} = {x,k_{2m}(x) ≤ p} = Ω_{2m}  (8.9)

et on peut donc calculer l’espérance du nombre de passages par [a,b] :

∫ γ_{a,b}^{p}(x)dx = ∑_{m} mes{x,γ_{a,b}^{p}(x) ≥ m} = ∑_{m} mesΩ_{2m},  (8.10)

en vertu de (8.9) et de la remarque suivante :

Remarque 8.5 Si γ(x) est une fonction à valeurs dans IN, ∫ γ(x)dx = ∑_{m≥1} mes{x, γ(x) ≥ m}. En effet,

∫ γ(x)dx = ∑_{k} kmes{x,γ(x) = k} = ∑_{m≥1} ∑_{k≥m} mes{x,γ(x) = k} = ∑_{m≥1} mes{x,γ(x) ≥ m}.

Lemme 8.10

(b − a) ∫_{C} γ_{a,b}(x)dx ≤ sup_{p} ∫_{C}(f_{p}(x) − b)^{+}.  (8.11)

Démonstration Comme sur Ω_{2m−1} = {k_{2m−1}(x) ≤ p} on a f_{k_{2m−1}(x)} ≥ b, on obtient en utilisant (8.8),

0 ≤ ∫_{Ω_{2m−1}}(f_{k_{2m−1}}(x) − b)dx = ∫_{k_{2m−1}(x)≤p}(f_{k_{2m−1}}(x) − b)dx =

∫_{k_{2m−1}(x)≤p}(f_{min(k_{2m},p)}(x) − b)dx ≤ (a − b)mes(Ω_{2m}) + ∫_{Ω_{2m−1}\Ω_{2m}}(f_{p}(x) − b)dx.

D’où

(b − a)mes(Ω_{2m}) ≤ ∫_{Ω_{2m−1}\Ω_{2m}}(f_{p}(x) − b)dx.

et en sommant sur m et en utilisant (8.10), on obtient

(b − a) ∫_{C} γ_{a,b}^{p}(x)dx ≤ ∫_{C}(f_{p}(x) − b)^{+}.  (8.12)

La relation (8.11) vient car γ_{a,b} est la limite croissante des γ_{a,b}^{p}. ∘ Démonstration du lemme 8.5 On choisit une suite (a_{n}) dense dans IR avec a_{n} ≠ a_{m}, quand n ≠ m. Considérons pour n ≠ m les ensembles N_{n,m} = {x,γ_{a_{n},a_{m}} = +∞}. Ces ensembles sont négligeables par la relation 8.11, ainsi que leur union N. Si x est dans le complémentaire de N, la suite f_{k}(x) ne peut osciller indéfiniment. Elle converge donc soit vers une valeur finie f(x), soit vers +∞, soit vers −∞. Mais comme sup_{k} ∫ f_{k}^{+} < ∞, on déduit du lemme de Fatou que l’ensemble des x où la limite est +∞ est aussi négligeable. En effet, le lemme de Fatou donne ∫ lim inf_{k} f_{k}^{+}(x)dx ≤ sup ∫ f_{k}^{+}. Comme ∫_{C} f_{k}(x)dx = ∫_{C} f_{1}(x)dx est constante, on a aussi sup_{k} ∫ f^{−}(x)dx < ∞ et l’ensemble des points où f_{k}(x) tend vers −∞ est également négligeable.

∘

8.4 Exercices

Exercice 1

Soit E = L^{1}(IR) ∩ L^{2}(IR) muni de ∥ ∥ = ∥ ∥_{1} + ∥ ∥_{2}.

1) Vérifier que (E,∥ ∥) est un espace de Banach. Soit f(x) = f_{1}(x) + f_{2}(x) avec f_{1} ∈ L^{∞}(IR) et f_{2} ∈ L^{2}(IR), montrer que

u ↦ ∫IR f(x)u(x)dx ∈ E′.

2) Soit 0 < α < \frac{1}{2}, montrer que

u ↦ ∫IR \frac{1}{|x|^{α}} udx ∈ E′.

(Décomposer l’intégrale suivant les ensembles [|x| > M] et [|x| ≤ M].)

3) Soit K = {u ∈ E : u ≥ 0 p.p. et ∫IR udx ≤ 1}. Montrer que K est un convexe fermé de E.

Soit (u_{n})_{n} ⊂ K et u ∈ L^{2}(IR) tels que u_{n} ⇀ u dans L^{2}(IR) faible.

4) Montrer que u ∈ K.

5) Montrer que

∫IR \frac{1}{|x|^{α}} u_{n}dx ⟶ ∫IR \frac{1}{|x|^{α}} udx.

6) Pour u ∈ E, on définit

J(u) = ∫IR u^{2}dx − ∫IR \frac{1}{|x|^{α}} udx,

où α ∈]0,\frac{1}{2}[. Montrer que ∃C ∈ IR tel que J(u) ≥ C, ∀u ∈ K. On pose m = inf_{u∈K} J(u). On cherche à prouver que cet inf est atteint.

7) Soit (u_{n})_{n} ⊂ K telle que J(u_{n}) ⟶ m. Montrer que ∥u_{n}∥ reste bornée.

8) Extraire une sous-suite qui converge faiblement dans L^{2}(IR) et conclure.

9) E est-il réflexif?

Exercice 2

Soit Ω un ouvert de IR^{N} et soit f une fonction mesurable réelle sur Ω. On pose K = {u ∈ L^{p}(Ω); u ≥ f p.p. }.

1) Si 1 ≤ p < +∞, vérifier que K est fermé pour la topologie faible de L^{p}(Ω).

2) On considère le cas p = +∞.

a) Montrer que

K = {u ∈ L^{∞}(Ω); ∀φ ∈ L^{1}(Ω), φ ≥ 0, fφ ∈ L^{1}(Ω),on ait ∫_{Ω} uφ ≥ ∫_{Ω} fφ }.

(On pourra d’abord supposer que |Ω| < ∞.)

b) En déduire que K est fermé faible ⋆ dans L^{∞}(Ω).

c) Soient f_{1} et f_{2} dans L^{∞}(Ω) telles que f_{1} ≤ f_{2} p.p. Montrer que ”l’intervalle” {u ∈ L^{∞}(Ω) : f_{1} ≤ u ≤ f_{2} p.p. } est compact faible ⋆ dans L^{∞}(Ω).

Exercice 3

Soit f ∈ L^{1}(IR) fixée, montrer que y ↦ τ_{y}f où τ_{y}f(x) = f(x − y) est uniformément continue de IR dans L^{1}(IR).

Rappels

1) Propriété d’absolue continuité : Soit Ω un ouvert de IR^{N}, soit f ∈ L^{1}(Ω) alors ∀ε > 0, ∃δ > 0 tel que ∀A mesurable avec |A| ≤ δ on a ∫_{A} |f|dx ≤ ε. (Ce résultat a été démontré en exercice 2, chap. VI)

2) Théorème d’Egoroff (Voir [Rudin], [Neveu]) : On suppose |Ω| < ∞. Soient f_{n},f : Ω → IR mesurables telles que f_{n} → f p.p. alors ∀δ > 0, ∃A mesurable tel que |A| ≤ δ et f_{n} → f uniformément sur Ω\A.

Exercice 4

Soit Ω un ouvert borné de IR^{N}, soit (f_{n})_{n} ∈ L^{p}(Ω) et f ∈ L^{p}(Ω) avec 1 ≤ p < +∞. On suppose qu’il existe C tel que ∥f_{n}∥_{p} ≤ C, ∀n et f_{n} → f p.p.

1) Montrer que si ∥f_{n}∥_{p} → ∥f∥_{p} alors ∥f_{n} − f∥_{p} → 0.

2) On suppose 1 < p < +∞. Montrer que f_{n} ⇀ f dans L^{p}(Ω) faible.

3) Lorsque p = 1, considèrer f_{n} = n1_{(0, \frac{1}{n})} avec Ω =]0,1[ et vérifier que f_{n} ne converge pas faiblement vers f = lim f_{n} p.p.

Exercice 5

Soit Ω un ouvert borné de IR^{N}. Une suite (f_{n})_{n} de L^{1}(Ω) est dite équi-intégrable si elle vérifie

∀ε > 0, ∃δ > 0, t.q. ∀E ⊂ Ω mesurable avec |E| ≤ δ ⟹ ∀n ≥ 1, ∫_{E} |f_{n}|dx < ε.

Première partie :

1) Montrer que si (f_{n})_{n} est équi-intégrable alors elle est bornée dans L^{1}(Ω).

2) Soit (f_{n})_{n} une suite de L^{1}(Ω). Montrer que (f_{n})_{n} est équi-intégrable si et seulement si elle vérifie

lim_{k→+∞}(sup_{n≥1} ∫_{[|f_{n}|>k]} |f_{n}|dx) = 0.

3) Montrer que si (f_{n})_{n} est relativement compacte dans L^{1}(Ω) alors elle est équi-intégrable. Deuxième partie :

1) Soit (f_{n})_{n} une suite de L^{1}(Ω) telle que ∀A ⊂ Ω mesurable,

lim_{n→∞} ∫_{A} f_{n}dx = 0.

Montrer que (f_{n})_{n} est équi-intégrable. (Pour ε > 0 fixé, considérer les ensembles X = {11_{A}, Amesurable ⊂ Ω} et X_{n} = {11_{A} ∈ X; ∀k ≥ n, | ∫_{A} f_{k}dx| ≤ ε}, vérifier que X est fermé dans L^{1}(Ω) et appliquer le lemme de Baire.)

2) En déduire que si (f_{n})_{n} est une suite de L^{1}(Ω), f ∈ L^{1}(Ω) et si f_{n} converge faiblement vers f dans L^{1}(Ω) alors la suite (f_{n})_{n} est équi-intégrable.

3) Soit (f_{n})_{n} une suite de L^{1}(Ω) et soit f ∈ L^{1}(Ω). On suppose que

\{ \begin{matrix}f_{n} & ⇀ & f dans L^{1}(Ω) faible \\ f_{n} & ⟶ f & p.p. \end{matrix}

Montrer que ∥f_{n} − f∥_{L^{1}} ⟶ 0. (Utiliser le Théorème d’Egoroff.)

Exercice 6

Soit Ω =]0,1[ et soit f_{n}(x) = n^{\frac{1}{p}} e^{−nx} où 1 ≤ p < +∞.

1) Montrer que f_{n} → 0 p.p. dans Ω, (f_{n})_{n} est bornée dans L^{P} (Ω) et f_{n} ↛ 0 dans L^{P} (Ω).

2) Soit φ ∈ C_{c}(Ω) et soit T l’application définie sur L^{P} (Ω) par T (g) = ∫_{0}^{1} g φ dx, montrer que T ∈ (L^{P} (Ω))′.

3) Si 1 < p < +∞, montrer que f_{n} ⇀ 0 dans L^{p}(Ω) faible. Si p = 1, montrer que f_{n} ⇀̸ 0 dans L^{1}(Ω) faible et qu’il n’existe aucune sous-suite de (f_{n})_{n} convergeant faiblement dans L^{1}(Ω). Que pouvez-vous conclure?

78 CHAPITRE 8. RÉFLEXIVITÉ, SÉPARABILITÉ, DUALITÉ DES L^{P}

Chapitre 9

Espaces de Hilbert

Définition 9.1 Un espace de Hilbert réel est un espace vectoriel réel muni d’un produit scalaire (u,v) et tel que ||u|| = \sqrt{(u,u)} soit une norme pour laquelle H soit complet. Un espace de Hilbert hermitien est un espace vectoriel sur C muni d’un produit hermitien (u,v) c’est-à-dire vérifiant

(u,v) = \overline{(v,u)}, (λu,v) = λ(u,v), (u + v,w) = (u,w) + (v,w).

et tel que ||u|| = \sqrt{(u,u)} soit une norme rendant H complet. Remarquons aussi que

(f,λg) = \overline{λ}(f,g) et (u,v + w) = (u,v) + (u,w).

Exemple 9.1 On pose l^{2}(IN) l’ensemble des suites u = (u_{1},...,u_{n},...) avec u_{n} ∈ C et vérifiant ∑_{n} |u_{n}|^{2} < ∞. Muni du produit scalaire (u,v) = ∑_{n} u_{n}\overline{v_{n}}, c’est un espace de Hilbert. L^{2}(IR^{N}), muni du produit scalaire (f,g) = ∫ f(x)\overline{g(x)}dx est également un espace de Hilbert : on a vu qu’il est complet. Remarquer que l^{2}(IN) peut être plongé naturellement dans L^{2}(IR) en posant u(x) = u_{n} si x ∈ [n,n + 1[ et qu’il apparaît alors sous-espace fermé de L^{2}(IR). La complétude de L^{2}(IR) implique donc la complétude de l^{2}(IN).

Proposition 9.1 Nous avons toujours l’inégalité de Cauchy-Schwarz

|(f,g)| ≤ ||f||||g||.

Démonstration la démonstration est la même qu’en dimension finie : elle se fait dans le plan de f et g. On pose (f,g) = e^{iθ}|(f,g)| et on développe ||f + te^{iθ}g||^{2} ≥ 0, ce qui donne

||f||^{2} + t(f,e^{iθ}g) + t(e^{iθ}g,f) + t^{2}||g||^{2} ≥ 0, soit
||f||^{2} + 2t|(f,g)| + t^{2}||g||^{2} ≥ 0.

L’inégalité de Cauchy-Schwarz exprime que le discriminant de ce trinôme est négatif. ∘

La relation de Pythagore reste valable : si f et g sont orthogonaux, alors

||f + g||^{2} = ||f||^{2} + ||g||^{2}.

Cette relation s’étend à une suite de vecteurs orthogonaux deux à deux, f_{k}. On a alors

|| ∑_{k} f_{k}||^{2} = ∑_{k} ||f_{k}||^{2}.

Grâce à la complétude, le premier membre de cette égalité, ∑_{k} f_{k}, est bien un élément de H si le deuxième membre est une série convergente. On a donc Proposition 9.2 Soit H un Hilbert et f_{n} une suite d’éléments de H. Si la série u_{n} est composée d’éléments orthogonaux deux à deux et si ∑_{n} ||u_{n}||^{2} converge, alors la série ∑_{n} u_{n} converge dans H. Si la série de terme général ||u_{n}|| est convergente, la série ∑_{n} u_{n} converge dans H.

Démonstration La deuxième partie de l’énoncé se déduit de la complétude de H. En effet, la suite v_{k} = ∑_{0}^{k} v_{n} est de Cauchy puisque ||v_{k} − v_{l}|| ≤ ∑_{l}^{k} ||u_{n}||. ∘

Théorème 9.1 Soit H un espace de Hilbert et C un convexe fermé et non vide de H. Pour tout f ∈ H il existe un unique point de C, appelé projection de f sur H dont la distance à f soit minimum. Cette projection se caractérise comme l’unique point g de C tel que

∀h ∈ C, Re(f − g,h − g) ≤ 0.  (9.1)

Si C est un sous-espace vectoriel fermé de H, la projection de f est l’unique point g ∈ C tel que f − g soit orthogonal à tous les éléments de C.

Lemme 9.1 L’identité du parallélogramme :

||u||^{2} + ||v||^{2} = \frac{1}{2}(||u + v||^{2} + ||u − v||^{2}).

La somme des carrés des longueurs des cotés d’un parallélogramme est égale à la demi-somme des carrés de ses diagonales.

Démonstration du théorème 9.1 Montrons d’abord l’unicité. S’il existait deux éléments g_{1} et g_{2} réalisant la projection de f sur C, on aurait en considérant leur milieu \frac{g_{1}+g_{2}}{2} et en appliquant l’identité du parallélogramme à u = f − g_{1} et v = f − g_{2},

\frac{1}{2}||2f − (g_{1} + g_{2})||^{2} = ||f − g_{1}||^{2} + ||f − g_{2}||^{2} − \frac{1}{2}||g_{1} − g_{2}||^{2}.

Donc ||f − \frac{g_{1}+g_{2}}{2} ||^{2} < d(f,C)^{2}. Mais comme \frac{g_{1}+g_{2}}{2} est dans C, c’est impossible. On montre maintenant l’existence de la projection. Soit g_{n} une suite de C telle que ||f − g_{n}|| → d(f,C). En utilisant de nouveau l’inégalité du parallélogramme,

\frac{1}{2}||g_{n} − g_{m}||^{2} = ||f − g_{n}||^{2} + ||f − g_{m}||^{2} − 2||f − \frac{g_{n} + g_{m}}{2} ||^{2}.

Quand n et m tendent vers l’infini, le membre de droite tend vers 0. La suite g_{n} est donc de Cauchy et converge vers un élément g de C, car C est fermé. Montrons l’inégalité variationnelle (9.1). Pour tout h ∈ C, et t ∈ [0,1], les points g + t(h − g) du segment [g,h] appartiennent à C. On a donc

∀t ∈ [0,1], ||g − f||^{2} ≤ ||f − g − t(h − g)||^{2} ce qui est équivalent à  (9.2)
∀t ∈ [0,1], t^{2}||h − g||^{2} − 2tRe(f − g,h − g) ≥ 0.

On divise par t et on fait tendre t vers 0^{±} pour obtenir (9.1). Réciproquement, si (9.1) est vérifiée pour tout h ∈ C, (9.2) aussi et en faisant t = 1 on voit que ||f − g|| réalise la distance minimale de f à un point de C.

Considérons pour terminer le cas où C est un sous-espace vectoriel fermé de H. Soit g la projection de f. Pour tout v dans C, g + e^{iθ}v appartient à C. On a donc Re(e^{iθ}(v,g − f)) ≤ 0 pour tout θ et donc (v,g − f) = 0. Réciproquement, si g ∈ C vérifie (v,g − f) = 0 pour tout v ∈ C, on a (v − g,g − f) = 0 pour tout v dans C et par la deuxième partie du théorème 9.1, g est bien la projection de f sur C. ∘

Exercice 9.1 Démontrer en utilisant (9.1) que la projection P sur un convexe est une application contractante : ||P f_{1} − P f_{2}|| ≤ ||f_{1} − f_{2}||.

Définition 9.2 On appelle orthogonal d’un sous-ensemble A de H et note A^{⊥} l’ensemble

A^{⊥} = {v,∀f ∈ A, (v,f) = 0}.

C’est un sous-espace vectoriel fermé de H.

Corollaire 9.1 Si F un sous-espace vectoriel fermé d’un espace de Hilbert H, alors tout élément de H se décompose de manière unique sous la forme

f = g + h, g ∈ F, h ∈ F^{⊥}  (9.3)

où g est la projection de h sur F et h la projection de h sur F^{⊥}. On a donc

H = F + F^{⊥}, (F^{⊥})^{⊥} = F, H^{⊥} = {0}.

Si A ⊂ H, on a toujours

(A^{⊥})^{⊥} = \overline{Vect(A)}.

Démonstration La relation (9.3) est une conséquence du théorème 9.1 : si f ∈ H on note g sa projection orthogonale sur F. Alors f − g = h appartient à F^{⊥} par (9.1). On remarque enfin que A^{⊥} = \overline{Vect(A)}^{⊥}. En effet, si un élément f est orthogonal à A, il est orthogonal aux combinaisons linéaires d’éléments de A et donc à Vect(A) et par un passage à la limite immédiat à \overline{Vect(A)}. ∘

Corollaire 9.2 et définition On dit qu’un sous-ensemble A de l’espace de Hilbert H est total si l’espace vectoriel Vect(A) engendré par A est dense dans H. Pour que A soit total dans H, il faut et il suffit que A^{⊥} soit réduit à {0}.

Démonstration Si A est total, \overline{Vect(A)} est égal à H et donc A^{⊥} = \overline{Vect(A)}^{⊥} = H^{⊥} = \{0\}. Réciproquement, si A^{⊥} = 0, on a \overline{Vect(A)}^{⊥} = \{0\} et donc \overline{Vect(A)} = H, ce qui signifie que A est total. ∘ Théorème 9.2 (Riesz) Pour tout f ∈ H, l’application v ∈ H → (v,f) est une forme linéaire continue sur H. Réciproquement, si f̃ est une forme linéaire continue sur H, il existe un unique élément f ∈ H tel que

f̃(v) = (v,f).

En d’autres termes, H est son propre dual. Tout espace de Hilbert est donc réflexif.

Remarque 9.1 On connaît déja ce résultat dans le cas où H = L^{2}(IR^{N}).

Démonstration La première assertion découle de l’inégalité de Cauchy-Schwarz. Réciproquement, soit f̃ une forme linéaire continue et non nulle sur H et L son noyau, qui est un espace vectoriel fermé. Comme f̃ ≠ 0, L est un sous-espace strict et donc L^{⊥} n’est pas réduit à {0}. Soit g ∈ L^{⊥}, non nul. On a donc f̃(g) ≠ 0 et on pose pour tout v ∈ H

v = \frac{f̃(v)}{f̃(g)}g + (v − \frac{f̃(v)}{f̃(g)}g) = v_{1} + v_{2}.

Le second terme vérifie f̃(v_{2}) = 0 et appartient donc à L. Comme g ∈ L^{⊥}, on a donc

(v,g) = \frac{f̃(v)}{f̃(g)}||g||^{2}.

Il en résulte que

f̃(v) = (v,\frac{\overline{f̃(g)}}{||g||^{2}} g).

∘

Théorème 9.3 (L’universalité de la convolution) Soit T : L^{2}(IR^{N}) → C_{0}^{0}(IR^{N}) un opérateur linéaire, invariant par translation et continu. Alors il existe g dans L^{2}(IR^{N}) telle que T (f) = g∗f.

Démonstration On considère la forme linéaire f → (T f)(0), qui appartient par hypothèse à (L^{2}(IR^{N}))′. Il existe donc une fonction g_{0} ∈ L^{2} telle que

(T f)(0) = ∫_{IR_{N}} f(x)\overline{g_{0}}(x)dx.  (9.4)

Par hypothèse aussi, T (τ_{x}f) = τ_{x}T f, où l’on rappelle que l’on note τ_{x}f(y) = f(y + x). Donc par (9.4),

T f(x) = (τ_{x}(T f))(0) = T (τ_{x}f)(0) = ∫_{IR_{N}} f(x + y)\overline{g_{0}}(y)dy = ∫_{IR_{N}} f(x − y)\overline{g_{0}}(−y)dy = f ∗ g(x),

où g(y) = \overline{g_{0}}(−y).

∘

9.1 Bases hilbertiennes

Définition 9.3 On dit qu’un espace de Hilbert est séparable s’il admet une suite dénombrable et dense.

Définition 9.4 Soit un espace de Hilbert séparable. On appelle base hilbertienne de H un système orthonormé fini ou infini (e_{n})_{n∈IN} qui est total. On a donc (e_{n},e_{m}) = δ_{n,m} et \overline{Vect((e_{n})_{n})} = H.

Théorème 9.4 Tout espace de Hilbert séparable admet une base hilbertienne.

Démonstration Soit (f_{n})_{n} une suite dense de H. On en extrait par récurrence sur n un sous-système libre (que nous appellerons encore par commodité (f_{n})), c’est-à-dire tel qu’aucun vecteur de la suite n’est combinaison linéaire des autres. Le système obtenu n’est plus nécessairement dense, mais il reste total. On applique alors le procédé de Hilbert-Schmidt à la suite f_{n}. On pose par récurrence

g_{n+1} = f_{n+1} − ∑_{k=1}^{n}(f_{n+1},g_{k})g_{k},

ce qui donne un système orthogonal et on pose finalement e_{n} = \frac{g_{n}}{||g_{n}||}, ce qui donne une suite e_{n} orthonormée. Le système est bien total puisque les e_{n} engendrent les f_{n} et c’est donc une base hilbertienne. ∘

Théorème 9.5 Soit H un espace de Hilbert séparable et (e_{n})_{n∈IN} une base hilbertienne de H. Alors tout élément de H peut s’écrire comme la somme d’une série convergente

f = ∑_{n}(f,e_{n})e_{n} = ∑_{n} c_{n}(f)e_{n}  (9.5)

et les coordonnées sur la base vérifient l’égalité de Parseval

||f||^{2} = ∑_{n} |c_{n}(f)|^{2}.  (9.6)

Réciproquement, si c_{n} est une suite vérifiant ∑_{n} |c_{n}|^{2} < ∞, la série ∑_{n} c_{n}e_{n} converge dans H et sa somme f vérifie c_{n}(f) = c_{n}.

Démonstration On pose f_{m} = ∑_{1}^{m} c_{n}(f)e_{n}. On vérifie que (f − f_{m},e_{n}) = 0 pour n ≤ m. Donc f_{m} est la projection orthogonale de f sur l’espace engendré par les e_{n} pour 0 ≤ n ≤ m. Donc ||f_{m}||^{2} ≤ ||f||^{2}. Par le théorème de Pythagore, on obtient

||f_{m}||^{2} = ∑_{1}^{n} |c_{n}(f)|^{2} ≤ ||f||^{2},  (9.7)

ce qui prouve que la série ∑_{n} c_{n}(f)e_{n} est convergente dans H (proposition 9.2). Appelons g sa somme. Reste à montrer que f = g. Mais si n ≤ m, on voit que (f_{m} − g,e_{n}) = 0 et en passant à la limite quand m → ∞, on obtient (f − g,e_{n}) = 0. Donc f − g est orthogonal à un système total et est donc nul. La relation de Parseval s’obtient en passant à la limite dans (9.7).

La réciproque du théorème est immédiate en reprenant les arguments précédents. ∘

Exercice 9.2 (Inégalité de Parseval) Montrer que si (e_{n}) est un système orthonormé quelconque de H, alors ∑_{n} |(e_{n},f)|^{2} ≤ ||f||^{2}. Montrer que si cette inégalité est une égalité, alors (e_{n}) est une base hilbertienne. Montrer que tout système orthonormé peut être complété en une base hibertienne.

Corollaire 9.3 Tout espace de Hilbert séparable est isométrique à l^{2}(IN). Il suffit d’associer à f ∈ H son vecteur de coordonnées sur une base hilbertienne, c = (c_{1}(f),...,c_{n}(f),...). En particulier, on a

(f,g) = ∑_{n} c_{n}(f)\overline{c_{n}(g)}.

Exercice 9.3 Montrer qu’une forme bilinéaire a(u,v) sur un espace vectoriel normé est continue si et seulement si il existe C tel que |a(u,v)| ≤ C||u||||v||.

Théorème 9.6 (Lax-Milgram) Soit H un espace de Hilbert réel et soit a(u,v) une forme bilinéaire symétrique sur H continue et coercive, c’est-à-dire satisfaisant

|a(u,v)| ≤ C||u||||v||, ∃c > 0, a(u,u) ≥ c||u||^{2}

et f ∈ H′. Alors il existe un unique élément u de H tel que

∀v ∈ H, a(u,v) = f(v).

De plus, u est l’unique minimum de φ(v) = \frac{1}{2}a(v,v) − f(v).

Démonstration On applique le corollaire 5.4 à la fonction φ(v), qui est convexe, coercive et continue (et donc s.c.i. !) sur l’espace réflexif H. Il existe donc u ∈ H qui minimise φ. Comme φ est strictement convexe, ce minimum est unique, car si u_{1} et u_{2} réalisent le minimum on a φ(\frac{u_{1}+u_{2}}{2} ) < \frac{1}{2}(φ(u_{1}) + φ(u_{2})) si u_{1} ≠ u_{2}. On a pour tout v dans H et t ∈ IR, \frac{1}{2}a(u + tv,u + tv) − f(u + tv) ≥ \frac{1}{2}a(u,u) − f(u), soit \frac{1}{2}t^{2}a(v,v) + ta(u,v) − tf(v) ≥ 0. En divisant par t et en passant à la limite quand t → 0^{±}, on obtient a(u,v) = f(v). ∘

Terminons par quelques remarques sur la convergence faible dans un espace de Hilbert.

Proposition 9.3 (i) Si u_{n} ∈ H est bornée et H séparable, alors il existe une sous-suite qui converge faiblement :

∀v ∈ H, (u_{n},v) → (u,v).

(ii)Réciproquement, si u_{n} → u, alors u_{n} est bornée et

||u|| ≤ lim inf_{n} ||u_{n}||.

Démonstration (i) C’est une conséquence directe de la réflexivité de H séparable, qui implique la compacité séquentielle de la boule unité. (ii) Conséquence immédiate du théorème de Banach-Steinhaus. ∘

Exercice 9.4 On pose dans H = L^{2}(0,2π), u_{n}(x) = sinnx et v_{n}(x) = |sin(nx)|. Montrer que ces suites convergent faiblement dans H mais pas fortement. Calculer leur limite faible.

Décomposition d’images sur la base de Haar Nous nous plaçons dans L^{2}(ℝ^{2}). Nous considérons tout d’abord les fonctions de L^{2}(ℝ): H(x), où H(x) = 1 si 0 ≤ x < \frac{1}{2}, H(x) = −1 si \frac{1}{2} ≤ x < 1, et H(x) = 0 sinon, ainsi que I(x) = 11_{[0,1)}. Nous définissons ensuite les trois fonctions de L^{2}(ℝ^{2}):

H_{1}(x,y) = I(x)H(y) , H_{2}(x,y) = H(x)I(y) et H_{3}(x,y) = H(x)H(y).

Enfin nous définissons

H_{i,k_{1},k_{2}}^{l}(x,y) = 2^{l}H_{i}(2^{l}x − k_{1},2^{l}x − k_{2}), l,k_{1},k_{2} ∈ ZZ,i = 1,2,3.

On peut montrer (cf exercice 3 pour la preuve en une dimension) que ces fonctions forment une base hilbertienne de L^{2}(ℝ^{2}). On montre en fait que si W_{j} est l’espace des fonctions en escalier dyadiques, constantes sur les hypercubes de côtés 2^{−j} et à moyenne nulle, les (H_{i,k_{1},k_{2}}^{j}(x,y)) sont une base de W_{j}. La figure 9.1 représente une image et ses projections sur certains des espaces engendrés par les familles de fonctions (H_{i,k_{1},k_{2}}^{j}(x,y)), à j et i fixés. Par ailleurs, nous avons au début du chapitre 8.2 défini les V_{j}, espaces engendrés par les fonctions en escalier dyadiques, constantes sur des hypercubes de côté de longueur 2^{−j}. Au chapitre 8.2, figure 8.1, nous avons illustré le concept de martingale sur une image v grâce aux fonctions v_{k}. Dans le cadre des espaces de Hilbert, ces décomposition sont les projections de v sur les espaces V_{k}. On peut en fait montrer que pour tout j ∈ ℤ, on a V_{j} = V_{j−1} ⊕ W_{j}. En ce sens, la décomposition de la figure 9.1 représente les détails ajoutés à l’image f lorsque l’on passe de la représentation v_{k} à la représentation v_{k+1}. Le fait de s’intéresser aux familles de fonctions (H_{i,k_{1},k_{2}}^{j}(x,y)) à i fixé permet de voir les details correspondant aux trois directions associées aux fonctions H_{1}, H_{2} et H_{3}: espectivement verticale, horizontale et diagonale. Ce type de décomposition en images à une certaine précision d’une part, et en images de détails d’autre part, utilisant des fonctions de moyenne nulle et à support compact, est à la base de la théorie mathématique des ondelettes, qui a de très nombreuses applications en traitement du signal et des images.

9.2 Exercices

Exercice 1

1) Calculer

min_{a,b,c} ∫_{−1}^{1} |x^{3} − a − bx − cx^{2}|^{2}dx,

et trouver

max ∫_{−1}^{1} x^{3}g(x)dx,

Fig. 9.1 – Décomposition d’une image f sur les espaces engendrś par les familles (H_{i,k_{1},k_{2}}^{j}(x,y)), à j et i fixés (voir le texte); première ligne: j = 1, et de droite à gauche, i = 1,i = 2,i = 3; deuxième ligne, j = 2, troisième ligne, j = 3. Les points de ces images représentent les coefficients de la décomposition, un point étant d’autant plus clair que son module est grand (sur une échelle non-linéaire pour une meilleure visualisation). Le coefficient correspondant à la fonction H_{i,k_{1},k_{2}}^{l} est représenté au point de coordonnées (k_{1},k_{2}). où g est soumis aux contraintes

∫_{−1}^{1} g(x)dx = ∫_{−1}^{1} xg(x)dx = ∫_{−1}^{1} x^{2}g(x)dx = 0; ∫_{−1}^{1} |g(x)|^{2}dx = 1.

2) Si x_{0} ∈ M et si M est un sous-espace vectoriel fermé d’un espace de Hilbert H, énoncer le problème de maximum correspondant à min{∥x_{0} − x∥, x ∈ M} comme dans la question précédente.

Exercice 2 (Lemme de Grothendieck)

Soit Ω un espace mesuré et μ une mesure de probabilité sur Ω. Soit S un sous-espace vectoriel fermé de L^{1}(μ) tel que S ⊂ L^{∞}(μ). On va montrer que dimS < ∞.

1) Montrer que ∃C,M tels que ∀f ∈ S, ∥f∥_{∞} ≤ C ∥f∥_{1} puis que ∥f∥_{∞} ≤ M ∥f∥_{2}.

2) Vérifier que (S,∥ ∥_{2}) est un espace de Hilbert. Soit Φ_{1},...,Φ_{n} une famille orthonormée quelconque de S, montrer que

∑_{1}^{n} |Φ_{i}(x)|^{2} ≤ M^{2}, p.p.

Conclure. (On pourra considèrer la fonction f_{c}(x) = ∑_{1}^{n} c_{i}Φ_{i}(x) où c = (c_{i})_{i} ∈ \overline{B}(0,1) ⊂ IR^{n}.)

Exercice 3 Base de Haar

On pose H(x) = 1 si 0 ≤ x < \frac{1}{2} et H(x) = −1 si \frac{1}{2} ≤ x < 1. C’est la fonction de Haar. On pose

H_{k}^{l}(x) = 2^{\frac{l}{2}} H(2^{l}x − k), l,k ∈ ZZ.

1) Dessiner les fonctions de Haar pour l = 1,2. Démontrer que ces fonctions forment un système orthonormal de L^{2}(IR).

2) Compter les fonctions de Haar qui sont à support dans [0,1] et qui sont constantes sur les intervalles dyadiques de longueur 2^{−j}. On appelle S_{j} le système qu’elles forment. Remarquer qu’elles sont toutes d’intégrale nulle et déduire qu’elles forment une base de W_{j}, l’espace des fonctions en escalier dyadiques, constantes sur des intervalles de longueur 2^{−j} et à moyenne nulle.

3) Montrer que le système de Haar est une base hilbertienne de L^{2}(IR). On commencera par montrer qu’une partie de la base de Haar engendre l’espace des fonctions de L^{2}(−2^{j},2^{j}) à moyenne nulle sur (−2^{j},0) et (0,2^{j}).

Exercice 4

Soit E un espace vectoriel normé dont la norme vérifie l’identité du parallélogramme, c’est à dire

∥a + b∥^{2} + ∥a − b∥^{2} = 2(∥a∥^{2} + ∥b∥^{2}), ∀a,b ∈ E.

On se propose de montrer que l’expression suivante

(x,y) = \frac{1}{2}(∥x + y∥^{2} − ∥x∥^{2} − ∥y∥^{2}), x,y ∈ E,

définit un produit scalaire sur E tel que (x,x) = ∥x∥^{2}.

1) Vérifier que (x,y) = (y,x), (−x,y) = −(x,y) et (x,2y) = 2(x,y), ∀x,y ∈ E.

2) Montrer que (x + y,z) = (x,z) + (y,z), ∀x,y,z ∈ E. On pourra appliquer l’identité du parallélogramme successivement avec

(1)  a = x, b = y,
(2) a = x + z, b = y + z,
(3) a = x + y + z, b = z.

3) Montrer que (λx,y) = λ(x,y), ∀λ ∈ IR, ∀x,y ∈ E. (Le faire d’abord pour λ ∈ IN, puis λ ∈ Q^{|} et enfin λ ∈ IR.)

Exercice 5

Soit w(x) = x^{− log x}. On considère l’espace de Hilbert L_{w}^{2}(0, + ∞) = \{f : f\sqrt{w} ∈ L^{2}(0, + ∞)\} muni de (f,g) = ∫_{0}^{∞} fgwdx. Soit IP = {p polynôme à coefficients réels}.

1) Vérifier que IP ⊂ L_{w}^{2}(0, + ∞).

2) Soit f(x) = sin(2π log x), montrer que ∀n ∈ IN, (x^{n},f) = 0. En déduire que IP n’est pas dense dans L_{w}^{2}(0, + ∞).

Exercice 6

Soit V un espace de Hilbert réel tel que dim V = ∞. Soit a : V × V ⟶ IR une application bilinéaire continue et coercive c’est à dire telle que ∃β > 0, |a(u,v)| ≤ β∥u∥ ∥v∥, ∀u,v ∈ V et ∃α > 0 tel que a(v,v) ≥ α∥v∥^{2}, ∀v ∈ V. Soit ℓ ∈ V′.

1) Montrer que ∃!u ∈ V tel que a(u,v) = ℓ(v), ∀v ∈ V et que ∥u∥ ≤ \frac{1}{α}∥ℓ∥_{V′}.

2) On suppose dans toute la suite de l’exercice que V satisfait l’hypothèse suivante : il existe une suite de sous-espaces (V_{n})_{n≥1} de V telle que

(H) : \{ \begin{matrix}(i) & dimV_{n} = p_{n}, \\ (ii) & V_{n} ⊂ V_{n+1}, \\ (iii) & ⋃_{n} V_{n} est dense dans V. \end{matrix}

Vérifier que ∃!u_{n} ∈ V_{n} tel que a(u_{n},v) = ℓ(v), ∀v ∈ V_{n} et que l’on peut extraire de (u_{n})_{n} une sous-suite qui converge faiblement dans V vers une limite u⋆.

3) Démontrer que u = u⋆. En déduire que toute la suite (u_{n})_{n} converge faiblement dans V vers u. On veut montrer que (u_{n})_{n} converge fortement vers u dans V.

4) Première démonstration : En développant a(u_{n} −u,u_{n} −u), montrer que ∥u_{n} −u∥ ⟶ 0 quand n → ∞.

5) Deuxième démonstration : On note δ_{n} = inf{∥u − w∥, w ∈ V_{n}}.

a) Montrer que δ_{n} est atteint.

b) Montrer (sans utiliser la forme bilinéaire a) que δ_{n} ⟶ 0.

c) Montrer que ∥u_{n} − u∥ ≤ \frac{β}{α}δ_{n} et en déduire que u_{n} converge fortement vers u dans V. Questions subsidiaires :

1) Montrer que p_{n} → +∞ quand n → +∞.

2) Montrer que l’hypothèse (H) ⟹ V séparable.

Chapitre 10

Séries de Fourier

On considère l’espace de Hilbert L^{2}([−π,π]) que l’on notera aussi L^{2}(−π,π). On va montrer que le système orthonormé

\frac{1}{(2π)^{\frac{1}{2}}} (e^{ikt})_{k∈Z}

est une base hilbertienne de L^{2}(−π,π). Cette base s’appelle la base de Fourier. On notera

c_{n}(f) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} f(x)e^{−inx}dx,

en sorte que pour toute f dans L^{2}([−π,π]) on puisse écrire

f(x) = ∑_{n∈Z} c_{n}(f)e^{inx},

la série précédente convergeant au sens L^{2}. Les c_{n}(f) s’appellent les coefficients de Fourier de f et sont proportionnels aux coordonnées de f dans la base de Fourier.

Pour montrer ce résultat, on va commencer par analyser le comportement des coefficients de Fourier selon la régularité de f. Lemme 10.1 (Lemme de Riemann-Lebesgue)

i) On pose pour f ∈ L^{1}(IR),

f̂(ξ) = ∫IR f(x)e^{−iξx}dx.

Si f ∈ C_{c}(IR) est k fois différentiable et telle que f^{(k)} ∈ L^{1}(IR), alors

|f̂(ξ)| ≤ \frac{||f^{(k)}||_{L^{1}}}{|ξ|^{k}} .

ii) Si f ∈ L^{1}(IR) alors ∫IR f(x)e^{iax}dx → 0 quand |a| → ∞. iii) Application aux coefficients de Fourier : si f ∈ L^{1}(−π,π),

lim_{|n|→∞} c_{n}(f) = 0.

Remarque 10.1 Si f ∈ L^{2}, on sait immédiatement que c_{n}(f) → 0 car c_{n}(f) s’interprètent comme les coordonnées de f sur un système orthonormé.

Démonstration i) En intégrant par parties k fois l’intégrale définissant f̂, on obtient pour ξ ≠ 0,

|f̂(ξ)| = |\frac{1}{(iξ)^{k}} ∫ f^{(k)}(x)e^{−ixξ}dx| ≤ \frac{||f^{(k)}||_{L^{1}}}{|ξ|^{k}} .

ii) Soit f_{n} une suite de fonctions C^{∞} et à support compact qui tendent vers f dans L^{1} (proposition 7.4). On a, pour n fixé assez grand : ||f_{n} − f||_{1} ≤ ε, ce qui implique |f̂_{n}(ξ) − f̂(ξ)| ≤ ε pour tout ξ. En utilisant (i), on voit que |f̂_{n}(ξ)| → 0 quand n est fixé et |ξ| → ∞. Donc |f̂_{n}(ξ)| ≤ ε pour ξ assez grand. Finalement,

|f̂(ξ)| ≤ |f̂(ξ) − f̂_{n}(ξ)| + |f̂_{n}(ξ)| ≤ 2ε

pour ξ assez grand. ∘

La proposition suivante nous dit que la série de Fourier de f converge vers f(x) en tout point x où f est suffisamment régulière.

Proposition 10.1 ( Principe de localisation) Si f ∈ L^{1}(−π,π) et si la fonction y → \frac{f(y)−f(x)}{y−x} est intégrable sur un voisinage de x, alors lim_{N→∞} s_{N}f(x) = f(x), où on a noté : s_{N}f(x) =: ∑_{|n|≤N} c_{n}(f)e^{inx}.

Expliquons pourquoi le résultat précédent s’appelle principe de localisation. Alors que s_{N}(f) est le résultat d’un calcul intégral sur tout l’intervalle [−π,π], et donc d’un calcul global, le comportement de s_{N}f(x) dépend du comportement local de f au voisinage de x. Il y a donc “localisation”.

Démonstration Etape 1 On se ramène au cas f(x) = 0,x = 0. Supposons la proposition démontrée pour x = 0, f(x) = 0. Soit maintenant g ∈ L^{1}(−π,π) telle que \frac{g(y)−g(x)}{y−x} soit intégrable au voisinage de x. Alors on pose f(y) = g(x + y) − g(x). On

a bien f(0) = 0 et \frac{f(y)}{y} = \frac{g(x+y)−g(x)}{y} est intégrable au voisinage de 0. Donc, par hypothèse, s_{N}f(0) → f(0) = 0. Mais

s_{N}f(0) = ∑_{|n|≤N} c_{n}(g(x + y) − g(x)) = ∑_{|n|≤N} \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π}(g(x + y) − g(x))e^{−iny}dy

= ( ∑_{|n|≤N} \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} g(z)e^{−in(z−x)}dz) − g(x) = ( ∑_{|n|≤N} \frac{1}{2π} e^{inx} ∫_{−π}^{π} g(z)e^{−inz}dz) − g(x)

= s_{N}g(x) − g(x).

Donc s_{N}g(x) → g(x). En fait, l’argument précédent montre que s_{N} commute avec les translations :

s_{N}[g(. + x)] = (s_{N}g)(. + x).

Etape 2 On a

s_{N}f(0) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} f(y)\frac{sin(N + \frac{1}{2})y}{sin\frac{y}{2}} dy.  (10.1)

En effet, ∑_{−N}^{N} e^{iky} = \frac{sin(N+ \frac{1}{2} )y}{sin\frac{y}{2}} , ce qui se prouve aisément en sommant la suite géométrique.

Etape 3 Par l’étape 1 il suffit de montrer que si f ∈ L^{1}(−π,π) et si \frac{f(y)}{y} est intégrable au-

tour de 0, alors s_{N}f(0) → 0. Comme sur [−π,π], |sin\frac{y}{2}| ≥ \frac{|y|}{π}, on a

|\frac{f(y)}{sin\frac{y}{2}}| ≤ \frac{π|f(y)|}{|y|} ∈ L^{1}(−π,π).

Donc on peut appliquer le lemme de Riemann-Lebesgue à la fonction \frac{f(y)}{sin\frac{y}{2}} . On conclut que

l’intégrale de (10.1) définissant s_{N}f(0) tend vers 0 quand N tend vers l’infini. ∘

Corollaire 10.1 Le système

\frac{1}{(2π)^{\frac{1}{2}}} (e^{ikt})_{k∈Z}

est une base hilbertienne de L^{2}(−π,π). Notant c_{n}(f) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} e^{−inx}f(x)dx, on a donc pour toute f dans L^{2}([−π,π]),

f(x) = ∑_{n∈Z} c_{n}(f)e^{inx},

la série précédente convergeant au sens L^{2}.

Démonstration On appelle polynôme trigonométrique toute expression de la forme P (t) = ∑_{k=−N}^{N} a_{k}e^{ikt}, où les a_{k} sont des nombres complexes. Pour montrer que le système de Fourier est une base hilbertienne, il nous suffit de montrer que c’est un système total, c’est-à-dire que les polynômes trigonométriques forment un sous-espace vectoriel dense de L^{2}(−π,π). Mais le lemme 10.1 ( Principe de localisation) nous assure que si f est (e.g.) C^{2} et 2π-périodique sur IR, alors s_{N}(f)(x) → f(x) en tout point. Comme de plus les coefficients de la série de Fourier de f vérifient |c_{k}(f)| ≤ \frac{C}{k^{2}} , la série de Fourier est en fait uniformément convergente et donc converge aussi dans L^{2}([−π,π]) vers f. Or, les fonctions C^{2} et 2π-périodiques forment un sous-espace dense de L^{2}([−π,π]). En effet, par le corollaire 7.4, les fonctions C^{∞} à support compact dans [−π,π] sont denses dans L^{2}(−π,π). On conclut que le système de Fourier est total, et donc une base hilbertienne. ∘

Corollaire 10.2 si f ∈ L^{1}([−π,π]) est Höldérienne d’exposant 0 < α ≤ 1 en x ( c’est-à-dire |f(x) − f(y)| ≤ C|x − y|^{α} ), alors s_{N}f(x) → f(x). Cette conclusion s’applique si f est une primitive sur [−π,π] d’une fonction de L^{2}(−π,π).

Démonstration L’application du principe de localisation est immédiate : |\frac{f(y)−f(x)}{y−x}| ≤ |x − y|^{α−1} qui est bien intégrable au voisinage de x. Soit maintenant f une fonction qui est la primitive sur [−π,π] d’une fonction de L^{2}(−π,π). En appliquant l’inégalité de Cauchy-Schwarz,

|f(x) − f(y)| = | ∫_{y}^{x} f′(t)dt| ≤ |y − x|^{\frac{1}{2}} (∫_{−π}^{π} |f′(t)|^{2}dt)^{\frac{1}{2}} .

La fonction f est donc Hölderienne d’exposant \frac{1}{2} et le principe de localisation s’applique. ∘

Remarque 10.2 (importante) Le principe de localisation, quand il s’applique, nous assure que les sommes symétriques, s_{n}f(x) = ∑_{|k|≤n} c_{k}(f)e^{ikx} de la série de Fourier convergent vers f(x). Le fait que le système de Fourier soit une base hilbertienne nous en dit plus, et moins. En effet, si f ∈ L^{2}([−π,π]), on peut assurer que les sommes asymétriques, s_{m,n}f(x) = ∑_{−m≤k≤n} c_{k}(f)e^{ikx} convergent dans L^{2} vers f quand n,m → +∞. Mais, attention : cette convergence n’est pas ponctuelle.

10.1 Convolution des fonctions périodiques et séries de Fourier

La décomposition en série de Fourier d’une fonction f ∈ L^{2}([−π,π]) implique qu’on la considère comme une fonction 2π−périodique, puisque la série de Fourier l’est. Définition 10.1 et proposition Si f ∈ L^{1}([−π,π]) et g ∈ L^{1}([−π,π]), on prolonge f et g en des fonctions 2π-périodiques sur IR et on pose f ∗ g(x) = ∫_{−π}^{π} f(y)g(x − y)dy. La fonction f ∗ g ainsi définie appartient à L^{1}(−π,π) et est 2π-périodique.

Exercice 10.1 En reprenant l’argument du théorème 9.3, montrer que si T : L_{periodique}^{2}([−π,π]) → C_{periodique}^{0}([−π,π]) est linéaire, continu et commute avec les translations, alors il existe une fonction g ∈ L^{2}([−π,π]) telle que T f = g ∗ f, où ”∗” désigne la convolution périodique.‘

Théorème 10.1 Si f,g ∈ L^{2}(−π,π), alors f ∗ g est continue et c_{n}(f ∗ g) = 2πc_{n}(f)c_{n}(g). De plus, la série de Fourier de f ∗ g converge uniformément vers f ∗ g.

Remarquons que la relation précédente montre l’effet régularisant de la convolution : les hautes fréquences de f ∗ g sont plus faibles que celles de f, puisque c_{n}(g) tend vers zéro.

Démonstration i) On a par l’inégalité de Cauchy-Schwarz

|(f ∗ g)(t)| ≤ ∫ |f(t − s)||g(s)|ds ≤ ||f||_{L^{2}}||g||_{L^{2}}.

Donc f ∗ g ∈ L^{2}(−π,π) et on a, en appliquant plusieurs fois le théorème de Fubini (les intégrales se font sur [−π,π] ou, indifféremment, sur n’importe quel intervalle de longueur 2π) :

c_{n}(f ∗ g) = \frac{1}{2π} ∫ ∫ f(t − s)g(s)e^{−int}dsdt = \frac{1}{2π} ∫ ∫ f(t − s)e^{−in(t−s)}g(s)e^{−ins}dsdt

= \frac{1}{2π} (∫ g(s)e^{−ins}ds)(∫ f(u)e^{−inu}du) = c_{n}(f)c_{n}(g).

Le terme général de la série de Fourier de f ∗ g vérifie

|c_{n}(f ∗ g)e^{inx}| = |c_{n}(f)||c_{n}(g)| ≤ |c_{n}(f)|^{2} + |c_{n}(f)|^{2}.

Cette dernière série est convergente. La série de Fourier de f ∗ g est donc uniformément convergente. Sa limite est donc continue. Remarquer que si f_{n} → f dans L^{2} et si f_{n} → g presque 10.1. CONVOLUTION DES FONCTIONS PÉRIODIQUES ET SÉRIES DE FOURIER 93

partout, alors f = g: c’est une conséquence de la réciproque du théorème de Lebesgue. ∘

Corollaire 10.3 Autres bases de Fourier. Les fonctions

\frac{1}{\sqrt{T}} ,\sqrt{\frac{2}{T}} cos(\frac{2kπt}{T}),\sqrt{\frac{2}{T}} sin(\frac{2kπt}{T}),k = 1,2,...

forment une base hilbertienne de L^{2}(0,T). ii) Il en est de même pour les fonctions

\frac{1}{\sqrt{T}} ,\sqrt{\frac{2}{T}} cos(\frac{kπt}{T}),k = 1,2,...

La transformée associée à la base en cosinus s’appelle la ”transformée en cosinus.” La ”base en sinus”, \sqrt{\frac{2}{T}} sin(\frac{kπt}{T}),k = 1,2,....

Démonstration i) Cette première base résulte de l’application à la base de Fourier de la remarque générale suivante. Si (e_{k})_{k∈Z} est une base hilbertienne, alors le système f_{0} = e_{0},..., f_{2k} = \frac{e_{k}+e_{−k}}{\sqrt{2}} , f_{2k+1} = \frac{e_{k}−e_{−k}}{\sqrt{2}} , ... aussi. ii) Si f ∈ L^{2}(0,T), on lui associe la fonction paire f̃ sur [−T,T] qui coïncide avec f sur [0,T]. On décompose f̃ sur la base de Fourier de [−T,T]. La base de Fourier sur [−T,T] est formée des fonctions \frac{1}{\sqrt{2T}} e^{\frac{iπkt}{T}}. Donc on a

f̃(x) =_{L^{2}} ∑_{n∈Z} \frac{1}{2T} (∫_{−T}^{T} f̃(t)e^{\frac{−iπkt}{T}} dt)e^{\frac{iπkx}{T}} . Comme f̃ est paire, on voit en faisant le changement de variables t → −t dans les intégrales que les coefficients de e^{\frac{iπkt}{T}} et e^{\frac{−iπkt}{T}} sont égaux. On remarque aussi que ∫_{−T}^{T} f̃(t)e^{\frac{iπkt}{T}} dt = 2 ∫_{0}^{T} f(t)cos(\frac{πkt}{T})dt. Aussi, f̃(x) =_{L^{2}} \frac{1}{2T} ∫_{−T}^{T} f̃(t)dt + ∑_{n∈IN^{∗}} \frac{1}{2T} (∫_{−T}^{T} f̃(t)e^{\frac{−iπkt}{T}})(e^{\frac{iπkx}{T}} + e^{\frac{iπkx}{T}}), et donc f(x) =_{L^{2}} \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} f(t)dt + ∑_{n∈IN} \frac{2}{T} (∫_{0}^{T} f(t)cos(\frac{πkt}{T}))cos(\frac{πkx}{T}). Comme les fonctions

\frac{1}{\sqrt{T}} , \sqrt{\frac{2}{T}} cos(\frac{πkx}{T}) forment un système orthonormé de L^{2}(0,T), l’égalité précédente exprime qu’elles forment en fait une base hilbertienne.

(iii) Si on prolonge la fonction f en une fonction impaire sur [−T,T] et que l’on reprend le raisonnement précédent, on trouve la base en sinus. Cette base a la propriété, utile pour modéliser les cordes vibrantes, que ses éléments valent 0 aux extrémités de l’intervalle.

∘

Remarque: Le résultat ii), relatif à la transformée en cosinus, s’obtient en considérant la série de Fourier du signal pair f̃ obtenu par symmétrie par rapport à l’axe des y. Ceci est très important en pratique, car l’introduction de cette symmétrie, qui se généralise sans mal au cas des images, permet d’eviter la présence de discontinuités aux frontières du domaine de l’image (image qui est supposée périodique dans le cadre de la décomposition en séries de Fourier), qui sont à l’origine d’effets de Gibbs (voir le paragraphe 10.3). En pratique, ce type de transformée en cosinus est souvent utilisée en compression des images (comme dans le standard JPEG). Un autre avantage de cette décomposition, pour la compression, est présenté ci-dessous.

10.2 Décroissance des coefficients de Fourier et problèmes de compression du signal

On s’intéresse au comportement des coefficients de Fourier quand la 2π-périodisée de f est C^{1},C^{2}, etc... Si f est C^{p} et 2π-périodique, en intégrant par parties p fois sur [0,2π],

c_{n}(f) = ∫ e^{−inx}f(x)dx = \frac{1}{(in)^{p}} ∫ e^{−inx}f^{(p)}(x)dx.

Donc, les coefficients décroissent d’autant plus vite que f est plus régulière.

Si maintenant f présente un saut en 0, on montre que si f est C^{1} sur [0,2π] mais pas 2πpériodique, alors c_{n}(f) = O(\frac{1}{n}). Plus précisément, si nous notons f(0^{+}) la valeur en 0 par la droite et f(2π^{−}) la valeur en 2π par la gauche

c_{n}(f) = \frac{1}{in} ∫_{0}^{2π} e^{−inx}f′(x)dx + \frac{f(0^{+}) − f(2π^{−})}{in}.

Or on montre (par le lemme de Riemann-Lebesgue) que le premier terme est o(\frac{1}{n}). On sait que ∑_{n≥N} \frac{1}{n^{2}} = O(\frac{1}{n}), et la décroissance des coefficients de Fourier de la fonction est donc très lente (1000 termes pour une précision de 10^{−3}), dès que la fonction présente une discontinuité.

En ce qui concerne les coefficients de Fourier c_{k,l} d’une “image”, c’est-à-dire une fonction f(x,y) définie sur un carré [0,2π] × [0,2π], C^{1}, mais pas 2π × 2π-périodique, le résultat est identique. On montre que c_{n,m} = O(\frac{1}{nm}) et le reste (pour la norme L^{2}) de la série double est donc en O(\frac{1}{nm}). Donc, pour une précision de 10^{−3}, il faut encore 1000 termes.

Une bonne alternative lorsque la fonction présente une discontinuité du type précédent consiste à utiliser la tranformée en cosinus: c_{n}(f) = \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π} cosnxf(x)dx. On a, en intégrant par parties et en remarquant que sinnx s’annule en 0 et 2π,

c_{n}(f) = \frac{1}{iπn} ∫_{0}^{2π} sinnxf′(x)dx.

Puis on montre que c_{n}(f) = o(\frac{1}{n}) par le lemme de Riemann-Lebesgue. Les coefficients de Fourier “en cosinus” décroissent donc plus vite qu’avec la transformée de Fourier classique et on peut donc en transmettre moins pour une qualité d’image égale. Pour transmettre une image, on la découpe en petits carrés et on transmet une partie des coefficients de Fourier de chaque imagette (principe utilisée par le standard JPEG). On augmente ainsi la probabilité qu’une imagette présente une couleur homogène et soit donc régulière. L’utilisation de la tranformée en cosinus permet donc de comprimer l’information dans les sous-carrés de l’image où celle-ci est régulière. Par contre, les calculs précédents prouvent qu’on ne gagne rien quand un “bord” est présent dans l’imagette. En effet, (on pourra expliciter le calcul pour une image blanche au dessus de la diagonale et noire en dessous), un calcul du même type que ci-dessus implique que les coefficients décroissent en O(\frac{1}{nm}). C’est ce qui explique les phénomènes de “halo” autour des objets sur un fond contrasté : le petit nombre de coefficients transmis ne suffit pas à approcher bien l’imagette. Nous verons au chapitre 10.3 qu’il y a une autre raison à ceci: le phénomène de Gibbs. Le long des discontinuités de l’image, apparaissent toujours des oscillations résiduelles, quel que soit le nombre de coefficients transmis.

En conclusion, la transformée en cosinus, s’affranchissant des discontinuités aux frontières du domaine de l’image, présente un double avantage sur la transformée de Fourier. En terme d’économie de la représentation, elle tire mieux partie de l’eventuelle régularité de la fonction à l’intérieur de son domaine (régularité souvent élevée dans le cas d’imagettes). De plus, elle évite l’apparition d’oscillations résiduelles le long de ces frontières.

10.3 Phénomène de Gibbs

Dans ce chapitre, nous détaillons comment la représentation d’un signal par sa série de Fourier conduit à l’apparition d’oscillations résiduelles, dont l’amplitude ne dépend pas du nombre de coefficients utilisés pour représenter la fonction. Ce résultat mathématique sur l’approximation d’un signal par les sommes partielles de sa série de Fourier porte le nom de phénomène de Gibbs, et l’apparition des oscillations sur les images numériques est habituellement qualifiée de “ringing”.

Ce phénomène est observé à la sortie de tout système physique ou numérique mesurant ou calculant une fonction f. Si la fonction f(t) (t désignant par exemple le temps) “saute” brusquement d’une valeur à une autre, alors l’expérimentateur observe une série d’oscillations avant et après le saut. Il se gardera bien de les interpréter comme faisant partie du signal. En effet, le phénomène est dû au fait que les appareils de mesure (et les programmes numériques sur ordinateur) “tronquent” nécessairement les hautes fréquences. Cela veut aussi dire que l’on n’observe jamais les fonctions elles mêmes, mais des sommes partielles de leur série de Fourier. Et on observe donc aussi les “parasites” dûs à cette troncature en fréquence ; en particulier, le phénomène de Gibbs. Du point de vue mathématique, on peut énoncer le phénomène comme suit : “ Si une fonction f, par ailleurs régulière, présente un saut en un point, alors les sommes partielles s_{N}f de sa série de Fourier accentuent ce saut en le multipliant par un facteur qui ne dépend pas de N.”

Voici le résultat précis dans un cas simple: on considère la fonction “en dents de scie” s(x), 2π-périodique et telle que s(x) = \frac{π−x}{2} sur [0,2π[. Le calcul des coefficients de Fourier de s et le corollaire 10.1 montrent que s(x)”=”∑_{k=1}^{∞} \frac{sin(kx)}{k} au sens de la convergence L^{2}, ainsi qu’en tout point de l’intervalle ouvert ]0,2π[, d’après la proposition 10.1. On considère les sommes partielles de cette série de Fourier, s_{n}(x) =: ∑_{k=1}^{n} \frac{sin(kx)}{k}. Pour étudier le comportement de s_{n} au voisinage de 0, on établit le lemme suivant:

Lemme 10.2 Pour |x| ≤ 1 et uniformément en x,

s_{n}(x) = ∫_{0}^{x} \frac{sin(nt)}{t}dt − \frac{x}{2} + O(x,\frac{1}{n}).

Démonstration Nous commençons par établir la formule

\frac{1}{2} + ∑_{1}^{n} cos(kx) − \frac{1}{2}cos(nx) = \frac{sin(nx)}{2tg\frac{x}{2}},  (10.2)

qui résulte du calcul suivant:

\frac{1}{2} + ∑_{1}^{n} cosnx = \frac{1}{2} ∑_{−n}^{n} e^{ikx} = \frac{1}{2}e^{−inx}(\frac{e^{(2n+1)ix} − 1}{e^{ix} − 1})

= \frac{1}{2} \frac{e^{ix(n+ \frac{1}{2} )} − e^{−ix(n+ \frac{1}{2} )}}{e^{i \frac{x}{2}} − e^{−i \frac{x}{2}}} = \frac{sinnxcos\frac{x}{2} + sin\frac{x}{2}cosnx}{2sin\frac{x}{2}}

= \frac{1}{2} \frac{sinnx}{tg\frac{x}{2}} + \frac{cosnx}{2}.

Puis on intégre cette relation entre 0 et x et on soustrait des deux cotés \frac{x}{2} + ∫_{0}^{x} \frac{sinnt}{t}dt. On

remarque que la fonction \frac{cos\frac{t}{2}}{2sin\frac{t}{2}} − \frac{1}{t} est C^{1}. En effet, en développant au voisinage de 0,

\frac{cos\frac{t}{2}}{2sin\frac{t}{2}} − \frac{1}{t} = \frac{tcos\frac{t}{2} − 2sin\frac{t}{2}}{2tsin\frac{t}{2}}

= \frac{t(1 − \frac{t^{2}}{8} ) − 2(\frac{t}{2} − \frac{t^{3}}{48}) + o(t^{3})}{t^{2} − \frac{t^{4}}{24} + o(t^{4})} = \frac{t^{3}(−\frac{1}{8} + \frac{1}{24}) + o(t^{3})}{t^{2} − \frac{t^{4}}{24} + o(t^{4})}

= −\frac{t}{12} + o(t).

On peut donc intégrer par parties ∫_{0}^{x}((sin(nt))(\frac{cotg( \frac{t}{2} )}{2} − \frac{1}{t}) + \frac{cos(nt)}{2}), et cette expression est donc majorée par \frac{C}{n} pour une constante C adéquate. ∘

Ce lemme nous permet de préciser le comportement de s_{n} au voisinnage de 0: Proposition 10.2 (Phénomène de Gibbs):

lim sup_{n→∞,x→0^{+}} s_{n}(x) = (1 + c)s(0^{+}); lim inf_{n→∞,x→0^{+}} s_{n}(x) = (1 − c′)s(0^{+}).  (10.3)

Démonstration On va étudier la suite s_{n}(\frac{π}{n}) quand n → ∞. On commence par étudier les variations de G(a) =: ∫_{0}^{a} \frac{sin(t)}{t}dt pour en déduire que G(π) > G(+∞). La fonction G(a) est croissante sur les intervalles pairs [2kπ,(2k + 1)π] et décroissante sur les intervalles impairs. On voit aisément que |G((n + 1)π) − G(nπ)| est une suite décroissante. Il en résulte que la suite G(2nπ) est une suite croissante strictement, la suite G((2n + 1)π) une suite strictement décroissante, et les deux convergent vers une valeur commune notée G(+∞). On a donc G(π) > G(+∞). On sait par ailleur que G(+∞) = \frac{π}{2} . Revenons à la suite s_{n}(\frac{π}{n}). On a

s_{n}(\frac{π}{n}) = ∫0^{\frac{π}{n}} \frac{sinnt}{t}dt − \frac{π}{2n} + O(\frac{1}{n}) = ∫_{0}^{π} \frac{sinu}{u}du

= G(π) > G(+∞) = \frac{π}{2} = s(0^{+}),

car s(0^{+}) = \frac{π}{2} = ∫_{0}^{+∞} \frac{sinu}{u}du. Donc pour tout n, il y a une valeur très proche de 0, en l’occurrence \frac{π}{n}, telle que la somme partielle de la série de Fourier dépasse d’un facteur constant \frac{G(π)}{G(+∞)} la valeur de la limite s(0^{+}). Pour raisons de symétrie, la même chose se produit en 0^{−} avec la suite s_{n}(−\frac{π}{n}). Nous avons donc montré l’existence des lim sup et lim inf de l’équation (10.3). ∘

Numériquement, les constantes positives c et c′ sont de l’ordre de 0,18. Plus précisément, la somme partielle s_{n} de la série de Fourier de f présente des oscillations, maximales aux points \frac{kπ}{n}. Les oscillations de cette approximation ont donc une fréquence de plus en plus élevée avec l’ordre d’approximation n, mais l’erreur reste proportionnelle au saut de la fonction f. Ce résultat se généralise au cas d’une fonction C^{1} sur [0,2π], mais pas 2π périodique. Pour ce faire, on soustrait à la fonction f une fonction en “dents de scie” λs + μ = s̃, où λ et μ ont été choisis de manière à la rendre Lipschitzienne et on applique à la différence f − s̃ le principe de localisation. Il y a donc convergence uniforme de la série de Fourier de f − s̃ vers f − s̃, alors que la série de Fourier de s̃ présente le phénomène de Gibbs. Le développement de Fourier de f présente donc aussi le phénomène de Gibbs.

Nous illustrons, à la figure 10.1, le phénomène dans le cas d’une fonction de Heaviside: nous montrons les sommes partielles de la série de Fourier de la fonction 2π-périodique, impaire, et valant 1 sur l’intervalle ]0,π]. On remarque en particulier le fait que l’erreur maximum ne varie pas avec le nombre de coefficients de l’approximation. En revanche, la fréquence de ces oscillations augmente avec l’ordre d’approximation. Nous présentons ensuite une illustration du phénomène de ringing dans le cas des images numériques: partant d’une image, nous calculons sa série de Fourier (en fait une approximation finie de cette série présentée au paragraphe suivant: la transformée de Fourier discrète), mettons les hautes fréquences à zéro, puis calculons l’image dont la série de Fourier est celle ainsi obtenue (Anticipant sur les définitions et notations du paragraphe suivant sur la transformée de Fourier discrète, nous multiplions l’image ũ_{mn} par la fonction indicatrice d’un carré centré sur ũ_{0,0}, puis appliquons la TFD inverse). Nous montrons le résultat figure 10.2, où l’image originale est placée en haut de la figure, tandis que le résultat, image obtenue après troncature des hautes fréquences, en bas, présente de très nombreuses oscillations.

Ce phénomène apparaît également lorsque le spectre est utilisé à des fins de manipulation d’image, comme nous le verrons au chapitre suivant.

10.4 Transformée de Fourier Discrète et applications

10.4.1 La dimension 1

Soit u une fonction réelle de période a, N un entier. On cherche un polynôme trigonométrique

P (x) = ∑_{k=0}^{N−1} û_{k} exp (\frac{2iπkx}{a}) ,  (10.4)

qui soit égal à u aux points \frac{ka}{N} pour k = 0...N − 1. On pose u_{k} = u(\frac{ka}{N}) et ω_{N} = exp (\frac{2iπ}{N} ). Proposition 10.3 Les coefficients définis par û_{k} = \frac{1}{N} ∑_{n=0}^{N−1} u_{n}ω_{N}^{−nk} sont les uniques coefficients tels que le polynôme trigonométrique (10.4) vérifie P (\frac{ka}{N}) = u_{k},k = 0...N − 1.

Démonstration Pour l = 0...N − 1,

p(\frac{la}{N}) = \frac{1}{N} ∑_{k=0}^{N−1} ∑_{n=0}^{N−1} u_{n}exp(\frac{2iπ}{N} k(l − n))

Fig. 10.1 – Sommes partielles de la série de Fourier de la fonction de Heaviside (fonction 2πpériodique, impaire, valant 1 sur /]0,π/]). Haut: les approximations sont traçées sur le même graphe, sur l’intervalle /]0,π/]. Bas: les différentes approximations sont tracées selon le troisième axe (nombre de termes entre 1 et 20). On remarque que l’erreur maximale d’approximation ne varie pas avec le nombre de termes, tandis que la fréquence des oscillations augmente.

10.4. TRANSFORMÉE DE FOURIER DISCRÈTE ET APPLICATIONS 99 Fig. 10.2 – Illustration de l’effet de Gibbs. Haut: l’image originale; bas: l’image après que l’on ait tronqué ses hautes fréquences, et sur laquelle sont visibles de nombreuses oscillations.

= \frac{1}{N} ∑_{n=0}^{N−1} Nδ(l − n)u_{n} = u_{l},

où on a noté δ la fonction définie sur les entiers, valant 1 en 0, et 0 ailleurs. ∘

Définition 10.2 On appelle Transformation de Fourier Discrète (TFD) la transformation de R^{N} dans R^{N} définie par

T : (u_{k}) → (û_{k} = \frac{1}{N} ∑_{n=0}^{N−1} u_{n}ω_{N}^{−nk}),  (10.5)

on appelle transformée de Fourier inverse la transformation de R^{N} dans R^{N} définie par

T^{−1} : (u_{k}) → (v_{k} = ∑_{n=0}^{N−1} u_{n}ω_{N}^{nk})  (10.6)

On remarque que la proposition 10.3 justifie l’appellation de transformée inverse, c’est à dire que T ∘ T^{−1} = Id. On rappelle d’autre part que si u ∈ L^{2}(0,a), les coefficients de la série de Fourier de u sont définis, pour n ∈ ℤ, par

c_{n}(u) = \frac{1}{a} ∫_{0}^{a} u(x) exp (\frac{−2iπnx}{a}) .  (10.7)

On suppose N pair, et on pose

ũ_{k} = \{ \begin{matrix}û_{k} & si k = 0...\frac{N}{2} − 1 \\ û_{k+N} & si k = \frac{−N}{2} ... − 1 \end{matrix} ,

Proposition 10.4 les ũ_{k} sont des approximations des c_{k}(u) par la formule des rectangles, pour k = \frac{−N}{2} ,...,\frac{N}{2} − 1.

Démonstration Il suffit d’écrire l’approximation de l’intégrale (10.7) par la méthode des rectangles à gauche. ∘

Cette proposition indique que les N/2−1 coefficients û_{1}...û_{N/2−1} peuvent être vus comme les coefficients des fréquences positives, les suivants représentant les fréquences négatives, û_{0} étant la moyenne des u_{k}. On doit toutefois remarquer que les û_{k} sont également des approximations d’autres coefficients de la série de Fourier de u. Par exemple, û_{1} est l’approximation par la même formule du coefficient c_{N}. L’approximation est mauvaise pour des fonctions oscillant trop rapidement, et dans ce cas n’est plus du tout adaptée au calcul de c_{N}. Le cas N impair est similaire, bien que plus symétrique : en effet il y a autant de coefficients représentant les fréquences positives que négatives, et le terme isolé û_{N/2} du cas où N est pair a disparu. En pratique, pour des raisons algorithmiques, N est toujours pair (en fait une puissance de deux), et nous nous restreindrons donc à ce cas.

Proposition 10.5 û_{0} et û_{N/2} sont réels, et pour k = 1...N/2 − 1, û_{k} = \overline{û_{N−k}}.

Fig. 10.3 – Haut: un signal correspondant à la voyelle A (le signal représente la pression de l’air en fonction du temps); bas: module de la TFD, dans le sens de la définition des ũ (voir le texte)

Démonstration û_{0} = ∑ u_{n}, et û_{N/2} = ∑(−1)^{n}u_{n}, ces deux coefficients sont donc réels. D’autre part

û_{N−k} = \frac{1}{N} ∑_{n=0}^{N−1} u_{n}ω_{N}^{−n(N−k)} \frac{1}{N} ∑_{n=0}^{N−1} u_{n}ω_{N}^{nk} = \overline{û_{k}}

∘

Cette proposition implique que N nombres réels suffisent à la connaissance de la TFD de u. Remarquons également à nouveau le rôle particulier joué par le terme û_{N/2}, qui n’a pas de terme conjugué lui correspondant. Il faudra donc être vigilant lorsque l’on définira des manipulations sur des signaux (puis des images) par l’intermédiaire de leur TFD. Signalons enfin que les représentations graphiques de la TFD d’un signal s’effectuent en général au moyen des ũ, pour disposer, avec les restrictions déjà émises, d’une décomposition en fréquences du signal. La Figure 10.3 montre un exemple de signal (représentant le son A) et le module de sa TFD.

10.4.2 La dimension 2

On considère un réel a, une fonction u de ℝ^{2} dans ℝ, telle que u(x + a,y + a) = u(x,y). On fixe à nouveau un entier N, et l’on pose u_{k,l} = u (\frac{ka}{N},\frac{la}{N} ). On définit la TFD des u_{k,l} comme la suite des coefficients, pour k,l ∈ {0...N − 1},

û_{k,l} = \frac{1}{N^{2}} ∑_{m=0}^{N−1} ∑_{n=0}^{N−1} u_{m,n}ω_{N}^{−mk}ω_{N}^{−nl}.  (10.8)

102 CHAPITRE 10. SÉRIES DE FOURIER Fig. 10.4 – Haut: une image numérique de taille 256 × 256; bas: le logarithme du module de sa TFD, dans le sens de la définition des ũ (voir le texte)

Remarquons d’abord que la transformation ainsi définie est séparable, et que le passage des u_{k,l} au û_{k,l} s’effectue par deux TFD à une dimension successives.

De même qu’en dimension 1, on a la propriété d’interpolation suivante: Proposition 10.6 Les coefficients û_{k,l} sont les seuls coefficients tels que le polynôme trigonométrique P (x,y) = ∑_{k,l=0}^{N−1} û_{k,l} exp(\frac{2iπkx}{a}) exp(\frac{2iπly}{a}) vérifie, pour tout k,l ∈ \{)...N−1\}, P (\frac{ka}{N},\frac{la}{N} ) = u (\frac{ka}{N},\frac{la}{N} ).

Démonstration Le calcul est exactement le même qu’en dimension 1.

De même qu’en dimension 1, nous pouvons identifier un certain nombre de symmétries sur les û_{k,l}, et définir une réorganisation ũ des coefficients û. On suppose à nouveau que N est pair. Proposition 10.7 û_{0,0}, û_{0,N/2}, û_{n/2,0}, et û_{N/2,N/2} sont réels; de plus

∀k ∈ \{1...N/2\}  û_{0,k} = \overline{û_{0,N−k}}
∀l ∈ \{1...N/2\}  û_{l,0} = \overline{û_{N−l,0}}
∀k,l ∈ \{1...N − 1\}  û_{k,l} = \overline{û_{N−k,N−l}}

Démonstration Les calculs sont similaires à la dimension 1

A nouveau, il peut être utile, pour la représentation ou pour simplifier les notations, de considérer la transformée ũ définie par rapport à û par symmétrie centrale, ce qui se traduit, pour k,l = −N/2......N/2 − 1, par:

ũ_{k,l} = û_{α(k),α(l)},  (10.9)

avec

α(k) = \{ \begin{matrix}k & si k = 0...\frac{N}{2} − 1 \\ k + N & si k = \frac{−N}{2} ... − 1 \end{matrix}

A nouveau, comme en dimension 1, ces coefficients correspondent aux fréquences de l’image u, ordonnées des négatives aux positives. Plus précisément, si u ∈ L^{1} et que l’on définit les coefficients de la série de Fourier de u par

c_{k,l} = \frac{1}{4π^{2}} ∫_{ℝ^{2}} u(x,y) exp (\frac{−2iπkx}{a}) exp (\frac{−2iπly}{a} ) ,

alors, pour k,l = −N/2......N/2−1 les ũ_{k,l} sont des approximations par la méthode des rectangles des c_{k,l}, ce qui se montre comme en dimension 1. La figure 10.4 consiste en une image et le logarithme du module de sa transformée de Fourier discrète (le logarithme est utilisé car le module des TFD des images usuelles décroit très vite lorsque l’on s’éloigne des basses fréquences).

10.4.3 Le phénomène du repliement de spectre

Le but de ce paragraphe est d’exposer comment la transformée de Fourier discrete d’un signal est modifiée lorsque celui-ci est sous-échantillonné. Définition 10.3 Soit un signal (u_{k}), k = 0,...,N − 1, et soit p un entier divisant N. On définit l’opérateur “sous-échantillonnage d’ordre p” comme suit:

S_{p} : IR^{N} ⟶ IR^{N/p}
(u_{k})_{k=0..N−1} ⟶ (v_{k}) = (u_{kp})_{k=0...N/p}.

Le signal (v_{k}) est dit sous-échantillonné d’un facteur p.

Nous allons voir qu’en général il n’est pas possible de recouvrer (u_{k}) à partir de (v_{k}), sauf si la TFD de (u_{k}) est nulle pour les fréquences élevées. Nous commençons par le cas p = 2.

Proposition 10.8 Soit (v_{k}) = S_{2}((u_{k})) (on suppose que N est pair). Alors (v̂_{k}), la transformée de Fourier Discrète de (v_{k}), s’ecrit, pour k = 1,...,\frac{N}{2} − 1,

v̂_{k} = \frac{1}{2}(û_{k} + û_{\frac{N}{2} +k}).  (10.10)

Démonstration

û_{k} + û_{\frac{N}{2} +k} = ∑_{l=0}^{N−1} u_{l}ω_{2N}^{kl} + u_{l}ω_{2N}^{( \frac{N}{2} +k)l}

= ∑_{l=0}^{N−1} u_{l}ω_{2N}^{kl} + u_{l}(−1)^{l}ω_{2N}^{kl}

= ∑_{n=0}^{\frac{N}{2} −1}(u_{2n})ω_{N}^{k2n} = ∑_{n=0}^{\frac{N}{2} −1} v_{n}ωkn_{\frac{N}{2}} = v̂_{k}.
∘

Cette proposition indique que le spectre du signal sous-echantillonné d’un facteur deux s’obtient en superposant à lui-même le spectre du signal original avec un décallage de \frac{N}{2} . On dit qu’il y a repliement de spectre. Ainsi, le spectre du signal sous-echantillonné contient généralement des informations non présentes dans le spectre du signal de départ, ce qui se traduit sur le signal sous-échantillonné par l’apparition de structures périodiques n’ayant pas de lien direct avec le contenu du signal. Ceci est particulièrement frappant dans le cas des signaux bi-dimensionnels, pour lesquels on a un résultat similaire à celui de la proposition 10.8. Nous montrons un exemple d’image sous-echantillonnée à la figure 10.4.3, exemple où l’apparition de structures périodiques est d’autant plus visible que l’image de départ contient des hautes fréquences importantes qui se superposent lors du sous-échantillonnage.

Le résultat de la proposition 10.8 se généralise dans le cas d’un sous-échantillonnage d’ordre plus élevé, comme le montre la proposition suivante:

Proposition 10.9 Soit (v_{k}) = S_{p}((u_{k})) (on suppose que N = pM, pour un certain entier M). Alors (v̂_{k}), la transformée de Fourier Discrète de (v_{k}), s’ecrit, pour k = 1...M − 1,

v̂_{k} = \frac{1}{p} ∑_{a=0}^{p−1} û_{k+ \frac{aN}{p}} .  (10.11)

Démonstration

∑_{a=0}^{p−1} û_{k+ \frac{aN}{p}} = ∑_{a=0}^{p−1} ∑_{l=0}^{N−1} u_{l}ω_{N}^{(k+ \frac{aN}{p} )l}

= ∑_{l=0}^{N−1} u_{l} ∑_{a=0}^{p−1} exp (\frac{2iπl}{p}) ω_{N}^{kl}

10.4. TRANSFORMÉE DE FOURIER DISCRÈTE ET APPLICATIONS 105

(a) Image originale (b) Le logarithme de sa TFD, qui décroit lentement aux hautes fréquences

(c) Image sous-échantillonnée d’un facteur 2 (d) Le logarithme de la TFD correspondante, sur laquelle il y a repliement

Fig. 10.5 – Sous-échantillonnage et repliement: le cas d’une image mal échantillonnée

= p ∑_{l′=0}^{M−1} u_{pl′}ω_{M}^{kl′} = v̂_{k}

10.4.4 La transformée de Fourier rapide

Comme nous l’avons vu plus haut, le calcul des coefficients de Fourier û_{n} revient à l’évaluation d’un certain polynôme aux racines N-ièmes de l’unité. Dans le cas général, l’évaluation classique (ex. méthode de Hörner) d’un polynôme de degré N −1 en un point prend O(N) opérations. Donc si l’on répète cela pour les N racines de l’unité on devra effectuer O(N^{2}) opérations. L’algorithme de la Transformée de Fourier Rapide (TFR) permet de résoudre le problème en O(N log N) opérations. Appelons “calcul d’ordre N” l’évaluation d’un polynôme de degré N − 1 aux racines N-ièmes de l’unité. Et soit T (N) le nombre d’opérations (additions et multiplications) demandées par ce calcul.

On se place dans le cas N = 2^{n} et soit un polynôme

P (X) = ∑_{k=0}^{N−1} a_{k}X^{k}.

On pose

Q(X) = ∑_{k=0}^{N/2−1} a_{2k}X^{k},

R(X) = ∑_{k=0}^{N/2−1} a_{2k+1}X^{k}.

Alors

P (ω_{N}^{k}) = Q ((ω_{N}^{k})^{2}) + ω_{N}^{k}R ((ω_{N}^{k})^{2}) . (*)

Or, si N est pair les (ω_{N}^{k})^{2} sont exactement les racines d’ordre \frac{N}{2} de l’unité. Il suffit donc d’évaluer les deux polynômes Q et R aux racines d’ordre \frac{N}{2} de l’unité ce qui est un problème d’ordre \frac{N}{2} . On a donc, en tenant compte additions et multiplications demandées par (*),

T (N) = 2T (\frac{N}{2} ) + 2N.

On en tire aisément T (N) = O(N log(N)).

10.4.5 L’utilisation de la transformée de Fourier discrète pour définir zoom, translations et rotations des images

Le zoom Nous présentons une méthode d’interpolation reposant sur une extension de la TFD d’un signal ou d’une image. Nous détaillons la méthode, dite du “prolongement par des 0” (“0-padding”), en une dimension, le principe se généralisant sans mal pour une image. Comme précédement considère un signal u_{i}, i variant de 1 à N − 1, et û_{i} = \frac{1}{N} ∑_{i}^{N−1} u_{i}ω_{N}^{ki}. On suppose que N est pair et que l’on veut zoomer d’un facteur 2, c’est à dire que l’on veut construire un signal de taille deux fois plus grande que le signal de départ. On définit un nouveau signal v, de taille 2N comme étant la TFD inverse de v̂, donné par

v̂_{i} = \{ \begin{matrix}û_{i} & si i = 0...\frac{N}{2} − 1 \\ û_{i−N} & si i = 2N − \frac{N}{2} + 1...2N − 1 \\ \frac{1}{2} û_{\frac{N}{2}} & si i = \frac{N}{2} ou i = \frac{3N}{2} \\ 0 & sinon \end{matrix}  (10.12)

Remarquons que si l’on raisonne sur la notation ṽ, alors la transformation revient a doubler la taille de ũ, à affecter la valeur 0 aux nouveaux coefficients, et à diviser par deux la nouvelle valeur ṽ aux indices −N/2 et N/2 (le vérifier). Ceci explique le nom de “prolongement par des 0”. L’idée est que l’on définit ainsi une TFD plus grande mais contenant la même information fréquentielle. Le signal ainsi obtenu vérifie v̂_{i} = −\overline{v̂_{2N−i}}, pour i = 1...N − 1, ce qui est une propriété de toutes les TFD de signaux réels, mais on ne retrouve pas le terme û_{\frac{N}{2}} du signal original. Ceci est dû au rôle particulier joué par ce terme qui représente à la fois les deux fréquences extrêmes (positives et négatives) observées. Cependant, toutes les propriétés de symmétrie de la proposition 10.7 sont vérifiées, et il est facile de voir que ceci nous assure que v̂ est bien la TFD d’un signal réel. La proposition suivante indique que cette méthode fournit bien une interpolation du signal de départ.

Proposition 10.10 Le signal v dont la TFD est donnée par la formule (10.13) vérifie v_{2k} = u_{k}, pour k = 0...N − 1

Démonstration On remarque tout d’abord que le signal v̂ est bien la transformée de Fourier discrète d’un certain signal v (les propriétés de symmétries de la proposition 10.5 sont vérifiées). Puis

v_{2k} = ∑_{n=0}^{2N−1} v̂_{n}ω_{2N}^{n2k} = ∑_{n=0}^{2N−1} v̂_{n}ω_{N}^{nk}

= ∑_{n=0}^{N/2−1} û_{n}ω_{N}^{nk} ∑_{2N−N/2+1}^{2N−1} û_{n−N}ω_{N}^{nk} + \frac{1}{2}û_{N/2}ω_{N}^{kN/2} + \frac{1}{2}û_{N/2}ω_{N}^{k(2N−N/2)}

= ∑_{n=0}^{N−1} û_{n}ω_{N}^{nk} = u_{k}

∘

Signalons enfin que cette interpolation correspond presque (au facteur û_{N/2} près)à la représentation du signal par le polynôme trigonométrique ayant servi à introduire la transformée de Fourier discrète:

Proposition 10.11 Si le signal (u_{k}) est tel que û_{N/2} = 0, alors

v_{k} = P (\frac{ka}{2N} ) ,

où P est le polynôme trigonométrique définit par la formule (10.4).

Démonstration

P (\frac{ka}{2N} ) = ∑_{n=0}^{N−1} û_{n} exp (\frac{2iπnka}{2Na}) = ∑_{n=0}^{2N−1} v̂_{k}ω_{2N}^{nk},

par définition des v̂, et parceque û_{N/2} = 0.

La méthode se généralise aux cas des images. Nous considérons une image numérique (u_{k,l}), et nous définissons une image zoomée (v_{i,j})_{i,j=0,...,2N−1} comme étant la transformée de Fourier discrète inverse de v̂_{i,j}, telle que la fonction ũ correspondante (formule 10.9) vérifie, pour i,j = −N,...,N − 1

ṽ_{i,j} = \{ \begin{matrix}ũ_{i,j} & si − \frac{N}{2} ≤ i ≤ \frac{N}{2} et − \frac{N}{2} ≤ j ≤ \frac{N}{2} \\ ũ_{i,j} = 0 & sinon \end{matrix}  (10.13)

La figure 10.6 montre une image zoomée par TFD, ainsi qu’une image zoomée par réplication des pixels (chaque point est reproduit dans chaque direction avec les mêmes valeurs de niveau de gris). On remarque que le zoom par TFD produit une image bien plus régulière, et évite l’effet “marche d’escalier” visible sur l’image zoomée par réplication. La figure 10.7 illustre ce point sur un détail. Une autre remarque concerne l’effet de Gibbs (cf paragraphe 10.3). Ce phénomène produit des rebonds le long des discontinuités de l’image, ainsi que le long de la frontière du domaine de l’image. En effet, et comme nous l’avons déjà mentionné, le calcul des coefficients de Fourier de l’image (dont les coefficients de la TFD sont une approximation) suppose l’image périodique, ce qui fait apparaitre des discontinuités le long des frontières de son domaine de définition. Le phénomène de Gibbs est également visible le long des discontinuités dans l’image, les contours. Le phénomène est particulièrement visible sur la figure 10.8, ainsi qu’en haut de la figure 10.6. Expliquons pourquoi le phénomène apparaît dans le cas du zoom: une nouvelle image v_{k,l} de taille 2N × 2N est obtenue en utilisant les valeurs prises par le polynôme P (x) entre les points dont on dispose au départ. Cette utilisation de P fait apparaître les oscillations qui étaient invisibles dans le cas de l’image de départ puisqu’il y avait interpolation des (u_{k}). Comme nous l’avons déjà évoqué, les oscillations aux frontières du domaine de l’image peuvent être supprimées par utilisation de la transformée en cosinus. En revanche, le problème subsistera le long des discontinuités présentes à l’intérieur de l’image.

La translation La méthode présenté au paragraphe précédent permet de définir une translation d’une quantité 1/2 (ou a/(2N) pour revenir à notre définition première du signal u), en ne gardant que les points d’indice impair du signal zoomé v. Plus généralement, nous pouvons définir une translation d’un signal d’une quantité 0 < α < 1 en considérant la transformée de Fourier inverse du signal suivant:

v̂_{j} = \{ \begin{matrix}exp(\frac{2iπαj}{N})û_{j} & si j = 0...\frac{N}{2} − 1 \\ exp(\frac{2iπα(j−N)}{N})û_{j} & si j = \frac{N}{2} + 1...N − 1 \\ v̂_{\frac{N}{2}} = cos(πα)û_{\frac{N}{2}} \end{matrix}

On vérifie facilement que, dans le cas α = 1/2, cette définition de la translation conduit au même résultat que le sous-echantillonnage aux points impairs du signal zoomé par la méthode du “0-padding”.

Cette méthode peut être vu comme une implémentation discrète de la transformation subie par les coefficients de la série de Fourier d’une fonction périodique lorsque celle-ci est translatée (les coefficients sont alors multipliés par une exponentielle complexe correspondant à la formule 10.4. TRANSFORMÉE DE FOURIER DISCRÈTE ET APPLICATIONS 109 Fig. 10.6 – Haut: zoom par TFD (voir le texte) bas: zoom par réplication des pixels (voir le texte)

Fig. 10.7 – details après zoom, à gauche par TFD, à droite par réplication des pixels

Fig. 10.8 – Zoom sur une partie de l’image utilisant sa TFD (voir le texte). On distingue nettement les oscillations dues au phénomène de Gibbs le long des contours, ainsi que le long de la frontière inférieure de l’image. ci-dessus). La seule ambiguité provient du terme \frac{N}{2} qui est multiplié par un cosinus. Ceci n’est pas étonnant, car la TFD représente une fréquence qui est juste la fréquence la plus haute observable sur le signal (l’échantillonnage du signal implique le repliement de sa transformée de Fourier discrète, comme nous l’avons vu au paragraphe 10.4.3, et cette fréquence la plus haute conduit à des phénomènes d’aliasing). Ce problème de la fréquence la plus haute semble incontournable. En effet supposons que l’on dispose d’une translation discrète de la quantité \frac{1}{2}. Si on part d’une image “damier”, alternant pixels noirs et blancs (justement à cette fréquence extrême), alors par symétrie l’image translatée devrait être constante (si l’on pense par exemple que l’image continue sous jacente est un cosinus). La transformation ne peut être inversible qu’à cette fréquence maximale prés, ce qui est précisément le cas de la translation que nous venons de définir:

Proposition 10.12 Soit 0 < α < 1, (u_{k}) un signal, tel que û_{N/2} = 0. Soit (v_{k}) le signal obtenu en translatant (u_{k}) de α, et (w_{k}) le signal obtenu en translatant (v_{k}) de −α, alors (w_{k})=(u_{k})

Démonstration c’est immédiat en ecrivant deux fois la définition de la translation pour obtenir ŵ.

Cette méthode de translation se généralise sans mal au cas des images, en remarquant qu’une translation à deux dimensions peut se décomposer en deux translations, une selon les lignes et une selon les colonnes.

La rotation Voici, briévement, une méthode pour implémenter une rotation discrète, due à L. Yaroslavsky. On commence par remarquer que

( \begin{matrix}cos(θ) & −sin(θ) \\ sin(θ) & cos(θ) \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & − tan(\frac{θ}{2}) \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & 0 \\ sin(θ) & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & − tan(\frac{θ}{2}) \\ 0 & 1 \end{matrix} )

(sauf si θ = π auquel cas il suffit de retourner l’image). Donc partant de u_{i,j}, on translate la première ligne de − tan(\frac{θ}{2}), la deuxième de −2 tan(\frac{θ}{2}), etc.. Puis on fait une opération similaire sur les colonnes, puis à nouveau sur les lignes. Ces translations se font par l’intermédiaire de la TFD à une dimension.

La figure 10.9 montre une image après une rotation de π/4 par la méthode décrite ci-dessus. Puis, pour illustrer la stabilité de la méthode, nous montrons figure 10.10 le résultat de l’application successive de 12 rotations de π/4, et, à titre de comparaison, le résultat de ces 12 rotations successives implémentés par interpolation bilinéaire (les valeurs aux nouveaux points sont des combinaisons linéaires des 4 points à coordonnées entières les plus proches). Cette figure illustre clairement la supériorité de la méthode par FFT dans le cas de rotations multiples.

10.4.6 Importances relatives de la phase et du module de la TFD pour une image

Nous nous intéressons à la pertinence visuelle des caractéristiques de la transformée de Fourier discrète dans le cas des images, et plus particulièrement à la phase et au module de la TFD, au moyen de deux exemples. Tout d’abord nous montrons, figure 10.11, deux images A et B, ainsi que les images obtenues en echangeant les phases de leurs TFD. Nous remarquons grâce à cette expérience qu’une part très importante de l’information géométrique d’une image est contenue dans la phase de sa TFD. Rappelons que si l’on translate une fonction, les coefficients de sa série de Fourier sont multipliés par des exponentielles complexes de module 1, et que

Fig. 10.9 – Rotation de π/4 implémentée par TFD

par conséquent la phase de la TFD contient en en sens des informations sur le placement des constituants de l’image. A l’opposé, le module de la TFD ne semble pas contenir beaucoup d’information pour ces deux images.

Figure 10.12, nous montrons deux images de textures, qui visuellement semblent invariantes par translation, ainsi que les deux images obtenues à partir de ces textures en ne conservant que le module de leur TFD, et en tirant au hasard les phases (selon une loi uniforme). On voit qu’au contraire de l’exemple précédent, c’est cette fois le module de la TFD qui contient l’information. Cette propriété est caractéristique des textures homogènes du type présenté figure 10.12, et l’on peut même donner une définition des “microtextures” comme images caractérisées uniquement par le module de leur transformée de Fourier. Pour conclure, nous illustrons figure 10.13 une possibilité de synthèse de textures par modification aléatoire des phases de la TFD de l’image binaire (c’est à dire en noir et blanc) d’une forme simple. L’image de droite est simplement obtenue en calculant la TFD de l’image de droite, en remplaçant ses phases par des nombres aléatoires uniformément répartis entre 0 et 2π, puis en calculant la TFD inverse de l’image obtenue. Se rappelant de l’effet d’une translation sur les phases de la TFD, nous pouvons considérer que la methode consiste en une superposition de la forme de départ centrée en des positions aléatoires, suivie d’un seuillage de l’image.

10.5 Exercices

Exercice 1

Soit (s_{n})_{n} ⊂ C^{|} telle que s_{n} ⟶ s. Montrer que

\frac{1}{n + 1} ∑_{0}^{n} s_{j} ⟶ s.

10.5. EXERCICES 113 Fig. 10.10 – Bas: après 12 rotations successive de π/4 par TFD; haut: même expérience en utilisant l’interpolation bilinéaire (voir le texte).

(a) Image A  (b) Image A

(c) Module de la TF de A et phase de B (d) Module de la TF de B et phase de A

Fig. 10.11 – Haut: les deux images de départ; bas: les deux images après échange des phases de leurs TFD. L’information géométrique est contenue dans la phase !

Fig. 10.12 – Haut: deux images de textures; bas: les deux images après remplacement des phases de leurs TFD par des phases aléatoires

Fig. 10.13 – Gauche: images de départ binaires; droites: textures obtenues en remplacant les phases des TFD des images de départ par des valeurs aléatoires suivant une loi uniforme

Fig. 10.14 – Même principe qu’à la figure 10.13

Exercice 2 Montrer qu’il existe (s_{n})_{n} ⊂ C^{|} telle que (s_{n})_{n} ne converge pas et

\frac{1}{n + 1} ∑_{0}^{n} s_{j} converge.

Exercice 3 On note C(Π) = {f ∈ C(IR), 2π-périodiques}, que l’on munit de ∥f∥_{∞} = sup_{t} |f(t)|. On notera ∥f∥_{1} = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} |f(t)|dt. Soit f ∈ C(Π), on définit les coefficients de Fourier de f par

f̂(n) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} f(t)e^{−int}dt, n ∈ ZZ.

On note

S_{n}(f,t) = ∑_{−n}^{n} f̂(k)e^{ikt}, n ∈ IN et
σ_{n}(f,t) = \frac{1}{n + 1} ∑_{0}^{n} S_{j}(f,t).

1) On pose D_{N}(t) = ∑_{−N}^{N} e^{ikt} et K_{N}(t) = \frac{1}{N+1} ∑_{0}^{N} D_{j}(t), pour N ∈ IN. Montrer que

D_{N}(t) = \frac{sin(N + \frac{1}{2})t}{sin\frac{t}{2}}, t ≠ 0, D_{N}(0) = 2N + 1,

K_{N}(t) = \frac{1}{N + 1}(\frac{sin\frac{N+1}{2}t}{sin\frac{t}{2}})^{2}, t ≠ 0, K_{N}(0) = N + 1.

2) Vérifier que K_{N}(t) ≥ 0, ∀t ∈ IR, ∥K_{N}∥_{1} = 1 et que ∀δ > 0, K_{N} ⟶ 0 uniformément sur δ ≤ |t| ≤ π.

3) Montrer que si f ∈ C(Π), σ_{n}(f) ⟶ f uniformément sur [−π,π]. (Remarquer que σ_{n}(f,t) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} f(x)K_{n}(t − x)dx = K_{n} ⋆ f(t) = f ⋆ K_{n}(t).)

4) On appelle polynome trigonométrique, toute fonction de la forme ∑_{−n}^{n} a_{k}e^{ikt}. En déduire que les ploynomes trigonométriques sont denses dans C(Π) et que si f,g ∈ C(Π) sont telles que ∀n ∈ ZZ, f̂(n) = ĝ(n) alors f = g.

5) Théorème de Du Bois-Reymond : ∃f ∈ C(Π) telle que lim sup |S_{n}(f,0)| = +∞. Pour démontrer ce résultat, on définit Λ_{n} : C(Π) ⟶ C^{|} telle que Λ_{n}(f) = S_{n}(f,0).

a) Vérifier que Λ_{n} ∈ (C(Π))′.

b) Montrer que ∥Λ_{n}∥ = ∥D_{n}∥_{1}.

c) Montrer que ∥D_{n}∥_{1} ⟶ +∞ (par exemple : ∥D_{n}∥_{1} ≥ \frac{4}{π^{2}} log(n + 1)).

d) En déduire que ∃f ∈ C(Π) telle que sup_{n} |S_{n}(f,0)| = +∞.

6) Soit f ∈ L^{1}(−π,π), on note c(f) = (f̂(n))_{n∈Z Z}. Vérifier que

c(f) ∈ C_{0}(ZZ) = {c = (c_{n})_{n} : c_{n} → 0 quand n → ±∞} .

7) Soit f ∈ L^{1}(−π,π) telle que ∫_{−π}^{π} f(x)p(x)dx = 0 pour tout polynôme p trigonométrique, vérifier que f = 0 p.p.

8) Montrer que l’application T : L^{1}(−π,π) → C_{0}(ZZ) telle que T (f) = (f̂(n))_{n∈Z Z} est linéaire continue injective mais non surjective.

118 CHAPITRE 10. SÉRIES DE FOURIER

Chapitre 11

Séries de Fourier et distributions périodiques

Dans toute la suite, I désigne un intervalle ouvert de IR, borné ou pas. On note C_{0}^{∞}(I) l’ensemble des fonctions réelles C^{∞} à support compact dans I. On appelle distribution dans I toute forme linéaire u sur C_{0}^{∞}(I) ayant la propriété de continuité suivante : Pour tout intervalle compact J ⊂ IR il existe un entier p et une constante C tels que pour toute fonction φ ∈ C_{0}^{∞}(J) à support inclus dans J,

| < u,φ > | ≤ C max_{i≤p} max_{x∈J} |φ^{(i)}(x)|.

Cette relation exprime que la forme linéaire u n’agit que sur φ et ses dérivées d’ordre inférieur ou égal à p. Si u ∈ L_{loc}^{1}(I) est une fonction intégrable sur tout borné de I, on voit immédiatement que l’on peut l’identifier à une distribution ũ dans I en posant, pour φ dans C_{0}^{∞}(I),

< ũ,φ >= ∫_{I} u(x)φ(x)dx.

Exercice 11.1 Montrer que si deux distributions ũ et ṽ dans I sont associées à des fonctions u et v appartenant à L_{loc}^{1}(I) et si elles sont deux distributions égales, alors u = v.

Exercice 11.2 Montrer que < δ_{x},φ >= φ(x) est une distribution dans IR, appelée masse de Dirac en x. Montrer qu’il en est de même pour le “peigne de Dirac” u = ∑_{n} δ_{2kπ} et pour < δ_{x}^{(k)},φ >= (−1)^{k}φ^{(k)}(x).

On admettra le théorème suivant, qui est une conséquence du théorème de Banach-Steinhaus : Théorème 11.1 si u_{n} est une suite de distributions dans I telle que ∀φ ∈ C_{0}^{∞}, < u_{n},φ > converge vers une valeur que l’on note < u,φ >, alors u est aussi une distribution dans I. Voir l’exercice 2 à la fin de ce chapitre. Exercice 11.3 Montrer que si u_{n} ∈ L_{loc}^{1} converge vers u dans L_{loc}^{1}, alors aussi u_{n} → u au sens des distributions.

Définition 11.1 et proposition Si u est une distribution dans I, alors on appelle dérivée kième de u la distribution dans I définie par < u^{(k)},φ >= (−1)^{k} < u,φ^{(k)} >. Si u est C^{k} dans I, alors sa dérivée classique, notée {u}^{(k)} coïncide avec sa dérivée au sens des distributions, u^{(k)}.

Démonstration Si u est C^{k} dans I, on a < {u}^{(k)},φ >= ∫_{I}{u}^{(k)}(x)φ(x) et en intégrant par parties k fois, on obtient

< {u}^{(k)},φ >= (−1)^{k} ∫_{I} u(x)φ^{(k)}(x)dx =< u^{(k)},φ > .
∘

Théorème 11.2 (formule des sauts) Soit f une fonction C^{1} par morceaux sur I et (a_{n})_{n∈Z} la suite discrète de ses sauts. On désigne par {f}′ la dérivée ponctuelle de f et par f(a_{n}^{±}) les limites à gauche et à droite de f en a_{n}. Alors la dérivée distributionnelle f′ de f est donnée par

f′ = {f}′ + ∑_{n}(f(a_{n}^{+}) − f(a_{n}^{−}))δ_{a_{n}}.

Démonstration Prendre φ dans C_{0}^{∞} et intégrer par parties < f′,φ >= − ∫ fφ′. ∘

Que se passe-t-il quand la dérivée au sens des distributions d’une fonction est nulle? Lemme 11.1 Soit f ∈ L^{1}(I) telle que f′ = 0, c’est-à-dire

∀φ ∈ C_{0}^{∞}(I), ∫_{I} f(x)φ′(x)dx = 0.  (11.1)

Alors il existe une constante C telle que f = C presque partout.

Démonstration Voir l’exercice 3 à la fin de ce chapitre. ∫_{I} ψ(x)dx = 1. cal Fubini ∘

Proposition 11.1 Soit f une fonction définie sur IR, 2π-périodique et telle que f ∈ L^{2}(0,2π). On a le droit de dériver la série de Fourier de f autant de fois que l’on veut et on a donc

f^{(p)} = ∑_{−∞}^{+∞}(ik)^{p}c_{k}(f)e^{ikt},  (11.2)

cette égalité étant valide comme égalité de deux distributions dans IR.

Remarque 11.1 L’égalité est aussi valide comme égalité de deux distributions dans ]0,π[ ou en fait dans tout intervalle ouvert de IR.

Démonstration On remarque d’abord que si I est un ouvert et u une fonction dans L^{2}(I), dans L^{1}, ou dans L_{loc}^{p}, alors elle est une distribution dans I, car toute fonction de L_{loc}^{1}(I) est une distribution dans I. De plus, si une suite de fonctions u_{n} converge dans l’un des ces espaces, elle converge aussi au sens des distributions dans I. Si f ∈ L^{2}(0,2π) et est 2π-périodique, elle est une distribution qui est la somme (au sens L_{loc}^{2} et donc au sens des distributions dans IR) de la série ∑_{k} c_{k}(f)e^{ikt}. Soient s_{n,m}(f) = ∑_{−m}^{n} c_{k}(f)e^{ikt} les sommes partielles de la série de Fourier. Comme s_{n,m}(f) tend vers f au sens des distributions quand n et m tendent vers l’infini, s_{n,m}(f)^{(p)} tend vers f^{(p)} au sens des distributions. Dérivant terme à terme s_{n,m}(f), on obtient

f^{(p)} = ∑_{k}(ik)^{p}c_{k}(f)e^{ikt},

la convergence de la série se faisant au sens des distributions dans IR. ∘

Exercice 11.4 Montrer que si u est une distribution et f ∈ C^{∞}(IR), alors fu définie par

< fu,φ >=< u,fφ >

est bien une distribution

Exercice 11.5 Dérivée de la masse de Dirac Démontrer que xδ′_{0} = −δ_{0}.

Solution On calcule

< xδ′_{0},φ >=< δ′_{0},xφ >= − < δ_{0},(xφ)′ >= − < δ_{0},φ + xφ′ >=
−φ(0) =< −δ_{0},φ > .
∘

Proposition 11.2 (Peigne de Dirac et formule sommatoire de Poisson) On pose

< δ̃,φ >= ∑_{n∈Z} φ(2nπ).

On l’appelle la ”2π-périodisée” de la masse de Dirac, ou ”peigne de Dirac”. Alors 2πδ̃ − 1 = s′ est la dérivée de la fonction ”en dents de scie”, 2π-périodique, définie sur [0,2π[ par s(x) = π−x et on a

δ̃ = \frac{1}{2π} ∑_{n} e^{inx},

ce qui se traduit pour φ ∈ C_{0}^{∞} par la formule sommatoire de Poisson,

∑_{k=−∞}^{k=+∞} φ(2kπ) = \frac{1}{2π} ∑_{p=−∞}^{p=+∞} φ̂(p).

Démonstration Par intégration par parties, c_{n}(s) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}(π − x)e^{inx}dx = \frac{1}{in}. Donc le développement en série de Fourier de s est

s = ∑_{n∈Z\\{0\}} \frac{1}{in}e^{inx},

la convergence se faisant au sens L_{loc}^{2}, donc aussi au sens L_{loc}^{1} et donc aussi au sens des distributions. On dérive terme à terme cette dernière formule (au sens des distributions) et on obtient donc

s′ = ∑_{n∈Z\{0}} e^{inx}.

La formule des sauts (théorème 11.2) nous donne s′ = −1 + ∑_{n∈Z} 2πδ_{2πn}, les sauts de s aux points 2πn étant de +2π et s étant C^{1} aux autres points et de dérivée ponctuelle égale à -1. On obtient donc

∑_{n∈Z} 2πδ_{2πn} = 1 + ∑_{n≠0} e^{inx} = ∑_{n∈Z} e^{inx},

soit la formule annoncée,

∑_{n∈Z} δ_{2πn} = \frac{1}{2π} ∑_{n∈Z} e^{inx}.

La formule de Poisson s’obtient en appliquant cette dernière formule à une fonction φ ∈ C_{0}^{∞} arbitraire. ∘

11.1 Distributions périodiques et leurs séries de Fourier

Définition 11.2 Si T ∈ IR, on note τ_{T} u et on appelle ”translatée de u de T ” la fonction τ_{T} u(x) = u(x − T). Si u est une distribution, on pose

< τ_{T} u,φ >=< u,τ_{−T} φ > .

On voit aisément que ces deux définitions sont compatibles quand u est une fonction de L_{loc}^{1}.

Définition 11.3 On se donne un nombre T > 0, la ”période”, et lui associe la ”fréquence” ω = \frac{2π}{T}. On dit qu’une distribution u est T -périodique si sa translatée τ_{T} u est égale à u.

Proposition 11.3 Soit (γ_{k})_{k∈Z} une suite à croissance lente, c’est-à-dire vérifiant une inégalité du type

∀k ∈ Z, |γ_{k}| ≤ C(1 + |k|)^{N}.

Alors la série ∑_{−∞}^{+∞} γ_{k}e^{ikωt} converge au sens des distributions et définit une distribution T - périodique.

Démonstration On pose

u(t) = ∑_{k≠0} \frac{1}{(ikω)^{N+2}} γ_{k}e^{ikωt}.

Il s’agit d’une série uniformément convergente, son terme général étant majoré par \frac{C}{(1+|k|)^{2}} . L’égalité précédente est donc valide au sens des distributions. En la dérivant n + 2 fois au sens des distributions, on obtient une nouvelle distribution et l’égalité

∑_{−∞}^{+∞} γ_{k}e^{ikωt} = u^{(n+2)}.

Comme u(t) est une fonction 2π-périodique, il est immédiat que u^{(n+2)} est une distribution 2π-périodique. ∘

Proposition 11.4 Si f est T -périodique et de classe C^{∞}, la suite des c_{k}(f) = \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} f(t)e^{ikωt} est à décroissance rapide, c’est-à-dire que l’on a |c_{k}(f)| ≤ C_{N}(1 + |k|)^{−N} pour tout N et la différence

f − ∑_{L}^{L′} c_{k}(f)e^{ikωt}

tend vers 0 uniformément ainsi que chacune de ses dérivées lorsque L et L′ tendent vers +∞.

Démonstration On obtient l’estimation |c_{k}(f)| ≤ C_{N}(1 + |k|)^{−N} en intégrant par parties N fois c_{k}(f) = \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} f(t)e^{−ikωt}dt. Grâce à cette estimation, la série ∑_{k} c_{k}(f)e^{ikωt} et toutes ses dérivées terme à terme sont uniformément convergentes. On peut donc intervertir sommation et dérivation. ∘

Théorème 11.3 (Unicité des coefficients de Fourier) Si γ_{k} est une suite à croissance lente telle que l’on ait u = ∑_{k} γ_{k}e^{ikωt} = 0 au sens des distributions, alors ∀k,γ_{k} = 0.

Démonstration Pour tout φ ∈ C_{0}^{∞},

< ∑_{k} γ_{k}e^{ikωt},φ >= ∑_{k} γ_{k} < e^{ikωt},φ >= ∑_{k} γ_{k} ∫IR φ(t)e^{ikωt}.

Le théorème résulte alors immédiatement du lemme qui suit.

∘

Lemme 11.2 ∀k_{0} ∈ Z, ∃φ ∈ C_{0}^{∞}, ∫ φ(t)e^{ikωt}dt = δ_{k,k_{0}}.

Lemme 11.3 Il existe χ ∈ C_{0}^{∞}(IR) telle que

∑_{l∈Z} χ(t + lT) = 1.  (11.3)

Démonstration Il suffit de prendre ϕ ∈ C_{0}^{∞} positive partout et strictement positive sur [0,T], puis de poser χ(t) = \frac{ϕ(t)}{∑_{l∈Z} φ(t+lT)}. ∘

Démonstration du Lemme 11.2. On pose simplement φ(t) = χ(t)e^{−ik_{0}ωt}, où χ(t) définit une partition de l’unité (Lemme11.3). Alors

∫ φ(t)e^{ikωt}dt = ∫ χ(t)e^{i(k−k_{0})ωt}dt =

∑_{l∈Z} ∫_{lT}^{(l+1)T} χ(t)e^{i(k−k_{0})ωt}dt = ∑_{l} ∫_{0}^{T} χ(t + lT)e^{i(k−k_{0})ωt}dt =

∫_{0}^{T} ∑_{l∈Z} χ(t + lT)e^{i(k−k_{0})ωt}dt = ∫_{0}^{T} e^{i(k−k_{0})ωt}dt = δ_{k,k_{0}}.

∘

11.2 Espaces de Sobolev périodiques H_{per}^{m}(0,2π)

Définition 11.4 On appelle espace de Sobolev périodique d’ordre m ≥ 1 et on note H_{per}^{m}(0,2π) l’ensemble des fonctions 2π périodiques sur IR, appartenant à L^{2}(0,2π) et telles que leurs dérivées au sens des distributions d’ordre 1,...,m appartiennent à L^{2}(I). On le munit de la norme

||u||_{H_{per}^{m}} = ( ∑_{n≤m} ||u^{(n)}||_{L^{2}})^{\frac{1}{2}}

associée au produit hermitien

(u,v)_{H_{per}^{m}} = ∑_{n≤m} ∫_{[0,2π]} u^{(n)}(x)\overline{v^{(n)}(x)}dx.

Les espaces H_{per}^{m}(0,2π) sont particulièrement faciles à étudier grâce au fait qu’ils sont caractérisés par le comportement de leur série de Fourier. Dans toute la suite de ce chapitre, on note I =]0,2π[.

Proposition 11.5 Si u ∈ H_{per}^{m}, alors pour tout n ≤ m, les coefficients de u^{(n)} vérifient

c_{k}(u^{(n)}) = (ik)^{n}c_{k}(u).

Démonstration En effet, on a vu que si u ∈ L^{2}(I), alors on peut écrire

u = ∑_{k} c_{k}(u)e^{ikt}, c_{k}(f) = \frac{1}{2π} ∫_{[0,2π]} u(t)dt,

11.2. ESPACES DE SOBOLEV PÉRIODIQUES H_{P ER}^{M}(0,2π) 125

cette égalité s’étendant à IR à condition de périodiser u. En conséquence,

u^{(n)} = ∑_{k} c_{k}(u)(ik)^{n}e^{ikt},

la convergence se faisant au sens des distributions dans IR. Comme on a supposé que u^{(n)} est dans L^{2}(I), u^{(n)} admet un développement en série de Fourier dont les coefficients (c_{k}(u^{(n)}))_{k} appartiennent à L^{2}(Z). Par unicité du développement de Fourier (théorème 11.3), on a

c_{k}(u)(ik)^{n} = c_{k}(u^{(n)}).
∘

Proposition 11.6 Les fonctions de H_{per}^{m} appartiennent à C^{m−1}. En particulier, les fonctions de H_{per}^{1}(I) sont continues.

Démonstration Prenons n = 1. Alors c_{k}(u) = \frac{1}{ik}c_{k}(u′) est le produit de deux séries appartenant à l^{2}(Z). Donc c_{k}(u) ∈ l^{1} et donc la série ∑_{k} c_{k}e^{ikt} converge uniformément sur IR. La limite est donc continue et donc u est continue (ou, pour être exact, u est égale presque partout à une fonction continue et est donc continue). On conclut la démonstration en remarquant que si u^{(m−1)} est dans H_{per}^{1}, alors u est dans H_{per}^{m}. ∘

Proposition 11.7 Les espaces H_{per}^{m}(0,2π) sont des espaces de Hilbert et leur norme peut s’écrire

||u||_{H_{per}^{m}}^{2} = ∑_{n≤m} ||u^{(n)}||_{L^{2}}^{2} = ∑_{k} |c_{k}(u)|^{2}(1 + |k|^{2} + ... + |k|^{2m}).

Une norme hilbertienne équivalente est |u|_{H_{per}^{m}}^{2} = ∑_{k} |c_{k}(u)|^{2}(1 + |k|^{2m}).

Démonstration L’application u ∈ H_{per}^{m} → (c_{k}(u)(1 + |k|^{2} + ... + |k|^{2m})^{\frac{1}{2}} est une isométrie de H_{per}^{m}(0,2π) sur l^{2}(Z) qui est un espace de Hilbert. H_{per}^{m} est donc aussi un espace de Hilbert. L’équivalence des normes est immédiate. ∘

Théorème 11.4 (première application) On considère le problème de l’élastique chargé,

− u′′ + u = f, u(0) = v(2π) = 0,  (11.4)

où f ∈ L^{2}([0,2π]). Alors il existe une unique u ∈ L^{2}([0,2π]) solution (au sens des distributions !) de (11.4). Cette solution appartient en fait à H_{per}^{2}([0,2π])

Démonstration Pour avoir de manière naturelle les conditions aux limites u(0) = u(2π) = 0, il est convenable d’utiliser la base en sinus (sin(\frac{kt}{2})), k ∈ IN^{∗}. On développe u et f dans cette base de Fourier et on identifie les coefficients de Fourier à droite et à gauche de l’équation, comme on le peut en vertu de l’unicité des coefficients de Fourier d’une distribution. (Cette unicité entraîne immédiatement l’unicité des coefficients sur la base en sinus, puisque les coefficients en sinus de u ne sont autres que les coefficients de Fourier classiques sur [−2π,2π] de u prolongée en une fonction impaire). On pose donc c_{k}(u) = \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π} u(t)sin\frac{kt}{2}dt et on a u = ∑_{k∈IN^{∗}} c_{k}(u)sin\frac{kt}{2}. L’équation (11.4) est alors équivalente à

∀k ∈ IN^{∗}, (k^{2} + 1)c_{k}(u) = c_{k}(f), soit

c_{k}(u) = \frac{c_{k}(f)}{1 + k^{2}} .

Donc u = ∑_{k∈IN^{∗}} \frac{c_{k}(f)}{1+k^{2}}sin\frac{k}{2}t, qui appartient bien à H_{per}^{2}. Remarquer que u n’est pas nécessairement C^{2} et que donc l’équation n’a pas de sens classique ! Par contre, comme u ∈ H_{per}^{2}, u est C^{1}. Comme u est impaire, on a bien u(0) = u(2π) = 0. ∘

Exemple de fonction continue et juste en dehors de H_{per}^{1} Afin de donner une idée concrète du type de fonction appartenant à l’espace H_{per}^{1}, nous allons donner plusieurs exemples de fonctions dont le module des coefficients de Fourier décroit à une vitesse donnée, caractérisant leur appartenance à ces espaces. Dans le cas de la dimension 1, nous montrons, figure 11.1, trois exemples de fonctions de ℝ dans ℝ, dont les coefficients vérifient |c_{k}(f)| = (|k| + 1)^{−α}, avec respectivement α = 1,01, α = 1,5, α = 2. Remarquons qu’une fonction avec de tels coefficients est continue si α > 1, puisqu’alors la série ∑ |c_{k}| converge, et qu’il y a donc convergence uniforme de la série de Fourier. D’autre part, la fonction est dans H_{per}^{1} dès que α > \frac{3}{2}, en vertue de la proposition 11.7, et n’y appartient pas dans le cas contraire. Dans le cas des fonctions de la figure 11.1, seule la dernière fonction est dans H_{1}, la deuxième étant “juste en dehors” de cet espace. Numériquement, ces fonctions sont discrètes, c’est à dire que leurs valeurs ne sont connues qu’en un nombre fini de points, et sont obtenues par Transformée de Fourier Discrète inverse (voir le paragraphe 10.5). Un signal dont les termes décroissent en k^{α} est généré, puis ses termes sont multipliés par des phases (nombres complexes de modules 1) aléatoires (uniformément tirées pour les expériences présentées) respectant les propriétés de symmétrie des transformées de Fourier des signaux réels (voir paragraphe 10.5). Les fonctions sont alors obtenues par transformée de Fourier inverse.

Pour illustrer l’appartenance aux espaces H_{per}^{1} dans le cas de fonctions de ℝ^{2} dans ℝ, nous généralisons les définitions et propriétés précédentes. Une fonction u de IR^{2} est dite 2π-périodique si elle est 2π-pérodique en chacune de ses variables.

Définition 11.5 On appelle espace de Sobolev périodique d’ordre 1 et on note H_{per}^{1}(I^{2}) l’ensemble des fonctions u, 2π périodiques sur IR^{2}, appartenant à L^{2}(I^{2}) et telles que leurs dérivées (au sens des distributions) d’ordre 1,

\frac{∂u}{∂x},\frac{∂u}{∂y}

appartiennent à L^{2}(I^{2}). On note ces deux dérivées respectivement u_{x} et u_{y}. On munit cet espace de la norme

||u||_{H_{per}^{1}} = (||u||_{L^{2}}^{2} + ||u_{x}||_{L^{2}}^{2} + ||u_{y}||_{L^{2}}^{2})^{\frac{1}{2}}

associée au produit hermitien

(u,v)_{H_{per}^{1}} = ∫_{[0,2π]^{2}} (u(x,y)\overline{v}(x,y) + u_{x}(x,y)\overline{v_{x}}(x,y) + u_{y}(x,y)\overline{v_{y}}(x,y)) dxdy.

On a alors l’équivalent de la proposition 11.7 (la preuve est identique à celle de la dimension 1):

Proposition 11.8 Les espaces H_{per}^{m}(0,2π) sont des espaces de Hilbert et leur norme peut s’écrire

||u||_{H_{per}^{1}}^{2} = ||u||_{L^{2}}^{2} + ||u_{x}||_{L^{2}}^{2} + ||u_{y}||_{L^{2}}^{2} = ∑_{i,j} |c_{i,j}(u)|^{2}(1 + i^{2} + j^{2}).

En particulier, si une fonction u de L^{2}(I^{2}) a les coefficients c_{i,j} de sa série de Fourier tels que la série ∑_{i,j} |c_{i,j}(u)|^{2}(1 + i^{2} + j^{2}) diverge, elle n’est pas dans H_{per}^{1}. La figure 11.2 présente plusieurs exemples de fonctions u dont les coefficients de Fourier vérifient |c_{i,j}| = \frac{1}{1+(i^{2}+j^{2})^{α/2}} . Ces fonctions sont continues (leur série de Fourier converge uniformément) si α > 1, et ces fonctions ne sont pas dans l’espace H_{per}^{1} si α < 1.5, d’après la proposition 11.8. Comme en dimension 1, ces images sont obtenues par Transformation de Fourier Dicrète inverse, en imposant le module des coefficients de la transformée, et en tirant des phases aléatoires.

11.3 Exercices

Exercice 1

1) Les applications suivantes définissent-elles des distributions sur IR?

φ → ∑_{n≥0} φ^{(n)}(n), φ → ∑_{n≥0} φ^{(n)}(0).

2) Soit f ∈ L_{loc}^{1}(IR), montrer que T_{f} : φ ↦ ∫IR fφ est dans D′(IR), et qu’il n’existe pas f ∈ L_{loc}^{1}(IR) telle que δ_{0} = T_{f}. Définition : Les distributions du type T_{f} sont appelées ”fonctions”.

Exercice 2

Rappel : Pour K compact de IR, on note D_{K}(IR) = {φ ∈ C^{∞}(IR), supp φ ∈ K} qui est naturellement muni de la topologie définie par la famille de semi-normes p_{j}(φ) = sup_{m≤j} sup_{K} |φ^{m}(x)|. On rappelle qu’une partie U de D_{K}(IR) est ouverte si ou bien U = ∅ ou bien ∀φ ∈ U, ∃j,r tels que la boule B_{j}(φ,r) = {ψ ∈ D_{K}(IR),p_{j}(φ − ψ) < r} ⊂ U. (on pourra vérifier que l’on définit bien ainsi une topologie.) Soit (T_{n})_{n} une suite de distributions dans D′(IR) telle que, ∀φ ∈ D(IR) la suite < T_{n},φ > converge vers une limite que l’on note < T,φ >, on veut montrer que la forme linéaire T est une Fig. 11.1 – fonctions continues de ℝ dans ℝ dont les coefficients de Fourier vérifient |c_{k}(f)| = (k + 1)^{−α}. Haut: α = 1, la fonction est en dehors de H_{per}^{1}, milieu: α = 1,5, et la fonction est donc “juste” en dehors de l’espace H_{per}^{1}, bas: α = 2, la fonction est dans H_{per}^{1}.

Fig. 11.2 – fonctions continues dont les coefficients de Fourier vérifient |c_{i,j}| = (1+i^{2} +j^{2})^{−α/2}. Haut: α = 1, la fonction est en dehors de H_{per}^{1}, milieu: α = 1.5, et la fonction est donc “juste” en dehors de l’espace H_{per}^{1}, bas: α = 2, la fonction est dans H_{per}^{1}. distribution. Avec les notations du rappel, on pose E = D_{K}(IR) et

d(f,g) = ∑_{n=0}^{+∞} \frac{1}{2^{n}} inf(1,p_{n}(f − g)).

1) Vérifier que d est une distance sur E. Montrer que sur E, la topologie de la distance d est équivalente à la topologie définie par la famille de semi-normes (p_{n})_{n}.

2) Vérifier que (E,d) est complet. On pose F_{k} = {φ ∈ E : ∀n, | < T_{n},φ > | ≤ k}. Montrer que ∃k_{0},i_{0},φ,r tels que B_{i_{0}}(φ,r) ⊂ F_{k_{0}}. En déduire que T est continue sur E et donc que T est bien une distribution. Remarque : On peut remplacer IR par un ouvert quelconque de IR^{N}.

Exercice 3

Soit I un intervalle ouvert de IR et θ_{0} ∈ D(I) telle que ∫_{I} θ_{0} = 1.

a) Vérifier que ∀φ ∈ D(I), ∃(λ,ψ) ∈ IR × D(I) tel que φ = λθ_{0} + ψ′.

b) En déduire que si T ∈ D′(I) vérifie T′ = 0 alors T est une fonction constante.

c) Soit T ∈ D′(I) telle que T′ ∈ C^{∞}(I), montrer que T ∈ C^{∞}(I).

Exercice 4

Soit ψ solution de ∑_{j=0}^{k} a_{j}ψ^{(j)}(x) = 0 pour x ∈ IR, où a_{j} ∈ IR et a_{k} ≠ 0, satisfaisant ψ(0) = ψ′(0) = ... = ψ^{k−2}(0) = 0 et ψ^{k−1}(0) = \frac{1}{a_{k}}.

1) Soit Y = 1IR_{+}, on pose E = T_{Y ψ}. Vérifier que E ∈ D′(IR) et calculer ∑_{j=0}^{k} a_{j}E^{(j)}.

2) Donner une solution dans D′(IR) de E′′ + E′ + E = δ_{0}.

Chapitre 12

Espaces de Sobolev sur l’intervalle

Dans toute la suite, I =]a,b[ représente un intervalle ouvert de IR, borné ou non.

Définition 12.1 On appelle espace de Sobolev d’ordre m ≥ 1 et d’exposant p ≥ 1 sur l’intervalle I = [0,2π] l’ensemble des fonctions de L^{p}(I) telles que leurs dérivées au sens des distributions d’ordre 1,...,m appartiennent à L^{p}(I). On note cet espace W^{m,p}(I) et on le munit de la norme

||u||_{W^{m,p}} = ∑_{n≤m} ||u^{(n)}||_{L^{p}}.

Si p = 2, on note H^{m} = W^{m,2} et on prend pour norme

||u||_{H^{m}} = ( ∑_{n≤m} ||u^{(n)}||_{L^{2}}^{2})^{\frac{1}{2}} ,

associée au produit hermitien

(u,v)_{H^{m}} = ∑_{n≤m} ∫_{I} u^{(n)}(x)\overline{v^{(n)}(x)}dx.

Une fonction u appartient donc à W^{1,p}(I) si u ∈ L^{p}(I) et sa dérivée au sens des distributions dans I est dans L^{p}. Cela veut dire

∃v(= u′) ∈ L^{p}, ∀φ ∈ C_{0}^{∞}(I), ∫_{I} v(x)φ(x)dx = − ∫_{I} u(x)φ′(x)dx.

Théorème 12.1 Si u ∈ W^{1,p}(I), il existe ũ ∈ C^{0}(I) ( c’est-à-dire continue dans I) telle que u = ũ presque partout dans I et

∀x,y ∈ \overline{I}, ∫_{x}^{y} u′(t)dt = ũ(y) − ũ(x)  (12.1)

Démonstration Comme C_{0}^{∞}(I) est dense dans L^{1}(I) (Corollaire 7.2), on peut choisir une suite v_{ε} ∈ C_{0}^{∞}(I) qui converge vers u′ dans L^{1}(I). On pose u_{ε}(x) = ∫_{a}^{x} v_{ε}(x)dx. La suite u_{ε} converge uniformément sur tout compact de I vers une fonction w continue sur I. Alors d’une part, si φ ∈ C_{0}^{∞},

∫_{I} u_{ε}φ′ = − ∫ v_{ε}φ → − ∫ u′φ = ∫ uφ′

et d’autre part ∫_{I} u_{ε}φ′ → ∫ wφ′.

Donc ∀φ ∈ C_{0}^{∞}(I), ∫ (w − u)φ′ = 0,

ce qui prouve par le lemme 11.1 que w − u est égale presque partout à une constante C. On conclut en posant ũ = w − C. ∘

Corollaire 12.1 Si u ∈ W^{1,p}(I), il existe une suite u_{ε} ∈ C^{∞}(IR) convergeant vers u dans W^{1,p}(K) pour tout compact K ⊂ I.

Démonstration Il suffit de reprendre la démonstration précédente en rappelant que C_{0}^{∞} est aussi dense dans L^{p}(I). Donc on a v_{ε} → u′ dans L^{p}(I), et donc u_{ε} tend vers u+C uniformément sur tout compact (et donc aussi dans L^{p} de tout compact inclus dans I. ∘

Proposition 12.1 Si p < ∞, alors toute fonction u ∈ W^{1,p} se prolonge en une fonction continue sur la fermeture \overline{I}. Si a = −∞ ou b = +∞, on a de plus u(x) → 0 quand x → ∞.

Démonstration Si p < ∞ et si I est borné, on déduit immédiatement de la relation |u(x) − u(y)| ≤ ∫_{x}^{y} |u′(t)|dt que u(x) est une suite de Cauchy quand x tend vers a ou b et on peut donc définir u comme une fonction continue sur [a,b]. Si I est non borné et u ∈ W^{1,1}(I), on déduit par la même inégalité que u(x) a une limite quand x → +∞ (par exemple). Cette limite ne peut être que zéro, puisque u est intégrable. Si p > 1, on commence par remarquer que si u est C^{1}, on peut écrire, par l’inégalité de Hölder,

|u|^{p}(x) − |u|^{p}(y) = p ∫_{x}^{y} u′|u|^{p−2}u(x)dx ≤ p(∫_{x}^{y} |u′|^{p})^{\frac{1}{p}} (∫_{x}^{y} |u|^{p})^{\frac{1}{p′}} ,  (12.2)

ce qui implique encore que u(x) → 0 quand x → ∞. Si maintenant u est seulement dans W^{1,p}, on utilise le corollaire 12.1 : on prend u_{ε} régulière et approximant dans W^{1,p}([x,y]). L’inégalité 12.2 s’applique à u_{ε} et, par densité, aussi à u. ∘

Définition 12.2 Si I =]a,b[ et que a ou b est fini, on note W_{0}^{1,p}(I) le sous-espace des fonctions u ∈ W^{1,p}(I) telles que u(a) = u(b) = 0. Cette définition a un sens grâce à la proposition précédente : on prend pour u(a) et u(b) les valeurs limites du représentant continu de u. Dans le cas particulier où p = 2, on note H_{0}^{1}(I) = W_{0}^{1,2}(I).

Remarque 12.1 Rappelons qu’en vertu de la proposition 12.1, si I est non borné, u(x) tend vers 0 quand x → ∞.

Théorème 12.2 C_{0}^{∞}(I) est dense dans W_{0}^{1,p}(I). En particulier, C_{0}^{∞}(IR) est dense dans W^{1,p}(IR) et C_{0}^{∞}(I) est dense dans H_{0}^{1}(I).

Démonstration Etape 1 Regardons d’abord le cas où I est un intervalle borné de IR. Soit u ∈ W_{0}^{1,p}(I) et g_{ε} ∈ C_{0}^{∞}(I) telle que g_{ε} → u′ dans L^{p}(I). Comme ∫_{I} u′(x)dx = 0, il en résulte que ∫_{I} g_{ε}(x)dx → 0. Fixons φ ∈ C_{0}^{∞}(I) telle que ∫ φ(x)dx = 1. Alors aussi

v_{ε} = g_{ε} − φ ∫_{I} g_{ε} → u′

et on a maintenant ∫_{I} v_{ε} = 0. On voit immédiatement que sa primitive u_{ε}(x) = ∫_{a}^{x} v_{ε}(x)dx est dans C_{0}^{∞}(I) et par la relation (12.1) on déduit que u_{ε} converge uniformément (et donc dans W^{1,p}) vers u_{0}.

Etape 2 Supposons maintenant que I est non borné et traitons sans perte de généralité le cas I =]0,+∞[. Grâce à l’étape 1, il suffit que nous montrions que toute fonction u ∈ W^{1,p}(]0,+∞[) est approchable par des fonctions u_{n} dans W^{1,p}(]0,n[). Pour cela, on considère une fonction φ ∈ C_{0}^{∞}(IR) telle que φ(0) = 1, |φ(x)| ≤ 1 et à support dans ] − 1,1[ et on pose simplement u_{n} = uφ(\frac{x}{n}). Par le théorème de Lebesgue, u_{n} → u dans L^{p} (|u|^{p} est chapeau intégrable) et on a aussi u′_{n} → u′ dans L^{p}. En effet,

u′_{n} = \frac{1}{n}φ′(\frac{x}{n})u + u′φ(\frac{x}{n}).

Or, le premier terme tend vers 0 dans L^{p}, φ′ étant bornée, et le second terme tend vers u′, à nouveau par le théorème de Lebesgue. On conclut que u_{n} tend vers u dans W^{1,p}(IR). ∘

L’introduction de W_{0}^{1,p} nous permet d’introduire un nouveau point de vue sur l’équation de la corde élastique chargée.

Théorème 12.3 (Le point de vue variationnel) La solution de l’équation (11.4) se caractérise comme l’unique minimum de la fonction continue et coercive sur H_{0}^{1}(I) définie par

E(u) = \frac{1}{2} ∫_{I}((u′(x)^{2} + u(x)^{2}) − ∫_{I} f(x)u(x)dx.

Démonstration On considère la forme bilinéaire sur H_{0}^{1}([0,2π]),

a(u,v) = ∫_{I}(u′(x)v′(x) + u(x)v(x))dx.

Comme a(u,u) = ||u||_{H_{0}^{1}}^{2} est coercive, on peut appliquer le théorème de Lax-Milgram (théorème 9.6) et il existe un unique minimum de \frac{1}{2}a(u,u) − (f,u), qui satisfait de plus

∀v ∈ H_{0}^{1}(I), ∫_{I}(u′(x)v′(x) + u(x)v(x))dx = ∫_{I} f(x)u(x)dx.

Comme C_{0}^{∞}(I) est contenu dans H_{0}^{1}(I), on a aussi

∀φ ∈ C_{0}^{∞}(I), ∫_{I}(u′(x)φ′(x) + u(x)φ(x))dx = ∫_{I} f(x)φ(x)dx
et donc ∀φ ∈ C_{0}^{∞}, < −u′′ + u,φ >=< f,φ > ,

ce qui veut dire que u vérifie l’équation −u′′ + u = f au sens des distributions. ∘

12.1 Les espaces W^{1,p}(I) comme espaces de Banach

Théorème 12.4 W^{1,p}(I) est un espace de Banach pour 1 ≤ p ≤ +∞.

Démonstration Soit u_{n} une suite de Cauchy dans W^{1,p}. Il existe donc (u,g) ∈ (L^{p}(I))^{2} tels que

u_{n} → u dans L^{p}, u′_{n} → g dans L^{p}.

Comme pour tout φ ∈ C_{0}^{∞}(I), on a

∫_{I} u_{n}φ′ + ∫_{I} u′_{n}φ = 0,

on obtient en passant à la limite ∫_{I} uφ′ + ∫_{I} gφ = 0, ce qui veut dire que u′ = g et donc que u ∈ W^{1,p}. On conclut que u_{n} → u dans W^{1,p}.

∘

Théorème 12.5 (Dual de W^{1,p}(I)) Si 1 ≤ p < ∞, toute forme linéaire f sur W^{1,p}(I) peut s’écrire sous la forme

f(u) = ∫_{I} gu + ∫_{I} hu′, où g,h ∈ L^{p′}.  (12.3)

Réciproquement on peut associer à tout couple g,h ∈ L^{p′}(I) une forme linéaire sur W^{1,p}(I) par la formule (12.3).

Démonstration On a f(u) ≤ C(||u||_{L^{p}} + ||u′||_{L^{p}}). On considère le plongement u ∈ W^{1,p} → I(u) = (u,u′) ∈ (L^{p})^{2}. Donc f̃ = f ∘ I vérifie, sur l’image I(W^{1,p}),

|f̃(v,w)| ≤ C(||v||_{L^{p}} + ||w||_{L^{p}}).

Par le théorème de Hahn-Banach, on peut étendre f̃ à (L^{p})^{2} et par le théorème de Riesz il existe donc des fonctions g,h ∈ (L^{p})′ = L^{p′} telles que f̃(v,w) = ∫ gv + ∫ hw. Donc f(u) = ∫ gu + ∫ hu′. La réciproque est immédiate. Remarquer que ||f||_{(W^{1,p})′} = max(||g||_{L^{p′}} ,||h||_{L^{p′}}). ∘

Remarque 12.2 La formule (12.3) appliquée avec u ∈ C_{0}^{∞}(IR) montre que la restriction f̃ de f à C_{0}^{∞}(I) est une distribution sur I et que l’on a f̃ = g − h′. On peut donc considérer, en identifiant f et f̃, les éléments de W^{1,p} comme des distributions et on écrit donc

(W^{1,p}(I))′ = {g − h′, g,h ∈ L^{p′}(I)}.

Corollaire 12.2 W^{1,p} est réflexif pour 1 < p < ∞ et séparable pour 1 ≤ p < ∞.

Démonstration En effet, le plongement de W^{1,p} dans (L^{p})^{2} en fait un sous-espace fermé d’un espace réflexif si 1 < p < ∞ et séparable si 1 ≤ p < ∞. ∘

Exercice 12.1 Montrer que toute fonction de W^{1,p}([a,b]) peut se prolonger en une fonction P u de W^{1,p}(IR). On symétrisera u ∈ W^{1,p}(]a,b[) en posant par exemple P u(a − x) = u(a + x) si 0 ≤ x ≤ b − a, on périodisera ensuite la fonction obtenue (période 2(b − a)) et on la multipliera finalement par une fonction de C_{0}^{∞}(IR) égale à 1 sur I. On vérifiera que le prolongement P : u → P u ainsi obtenu est une application continue de W^{1,p}(I) dans W^{1,p}(IR). Dans le cas où a = −∞ ou b = +∞, il suffit bien-sûr de faire une symétrisation par rapport à la borne finie de l’intervalle.

Exercice 12.2 . Déduire de l’exercice précédent et du théorème 12.2 que si I =]a,b[ est un intervalle borné, alors les fonctions C^{∞} sont denses dans W^{1,p}(I).

Exercice 12.3 (Inégalité de Poincaré ) Si u ∈ W_{0}^{1,p}(]a,b[), −∞ < a < b < +∞, alors

||u||_{W^{1,p}} ≤ (1 + b − a)||u′||_{L^{p}}.

Marche à suivre : utiliser l’inégalité de Hölder et le fait que u est une primitive de u′.

Exercice 12.4 Produit de deux fonctions de W^{1,p}. Soient u,v ∈ W^{1,p}(I), 1 ≤ p ≤ ∞. Alors uv ∈ W^{1,p}(I) et (uv)′ = u′v + uv′. On dit que W^{1,p} est une algèbre de fonctions. Si G ∈ C^{1}(IR), G(0) = 0, alors G(u) ∈ W^{1,p}(I) et (G(u))′ = G′(u)u′. Si η ∈ C^{1}(\overline{I}) est bornée et de dérivée bornée, alors ηu ∈ W^{1,p}(I) et (ηu)′ = ηu′ +η′u. Indication : commencer par remarquer (exercice 12.1) qu’il suffit de montrer les énoncés précédents quand I = IR. Utiliser des arguments de densité: C_{0}^{∞} est dense dans W^{1,p}(IR).

Exercice 12.5 Montrer que, si I est borné, les inclusions suivantes sont continues et compactes :

W^{1,p}(I) ⊂ C(\overline{I}), 1 < p ≤ +∞,
W^{1,1}(I) ⊂ L^{q}(I), 1 ≤ q < ∞.

Pour la première, on appliquera le théorème d’Ascoli, pour la seconde le théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov.

Exercice 12.6 Soit u ∈ L^{p}(I), 1 < p ≤ +∞. Alors (i)⇔(ii)⇔(iii), où

(i) u ∈ W^{1,p}. (ii) ∃C > 0, ∀φ ∈ C_{c}^{1}(I), | ∫_{I} uφ′| ≤ C||φ||_{L^{p′}(I)}, (iii) ∃C, ∀ω ⊂⊂ I, ∀h,|h| ≤ distance(ω,I^{C}), ||τ_{h}u − u||_{L^{p}(ω)} ≤ C|h|.

12.2 Exercices

Exercice 1

1) Montrer que l’injection H^{1}(0,1) ⟶ C[0,1] est compacte.

2) Montrer que ∀u,v ∈ H^{1}(0,1),

∫_{0}^{1} u′v + ∫_{0}^{1} uv′ = u(1)v(1) − u(0)v(0).

(On pourra d’abord le démontrer pour des fonctions de H_{0}^{1}(0,1) en utilisant la densité de fonctions régulières.)

Exercice 2

Soit f ∈ L^{2}(0,1) et a(u,v) = ∫_{0}^{1} u′v′ + (∫_{0}^{1} u)(∫_{0}^{1} v).

1) Montrer qu’il existe un unique u ∈ H^{1}(0,1) tel que a(u,v) = ∫_{0}^{1} fv, ∀v ∈ H^{1}(0,1).

2) Vérifier que u ∈ H^{2}(0,1) et interpreter le problème différentiel résolu (i.e. trouver l’équation différentielle et les conditions aux limites satisfaites par u).

Exercice 3

Soit V = \{u ∈ H^{1}(0,1) : u(\frac{1}{2}) = 0\}.

1) Montrer que V est un sous-espace vectoriel fermé de H^{1}(0,1) et que v → ∥v′∥_{L^{2}} est une norme sur V équivalente à la norme usuelle de H^{1}.

2) Montrer qu’il existe un unique u ∈ V tel que ∫_{0}^{1} u′v′ = v(0) pour tout v ∈ V.

3) Interpreter le problème résolu, déterminer explicitement u et calculer u′′ au sens des distributions. u ∈ H^{2}(0,1)??

Exercice 4

Vérifier que v → ∥v′∥_{L^{2}} est une norme sur H^{1}(0, + ∞). Est-elle équivalente à ∥v∥_{H^{1}} ?

Exercice 5

Soit E = {f ∈ C^{1}(IR) t.q. f′ ∈ L^{∞}(IR)}. Soient f ∈ E et I un intervalle ouvert de IR. Si |I| = +∞, on suppose de plus que f(0) = 0. Enfin, soit u ∈ H^{1}(I).

1) Montrer que f(u) ∈ L^{2}(I).

2) Soit u_{n} ∈ D(IR) tel que u_{n} → u dans H^{1}(I).

a) Vérifier que f(u_{n}) → f(u) dans L^{2}(I).

b) Soient α_{n} = f′(u_{n})(u′_{n} − u′) et β_{n} = (f′(u_{n}) − f′(u))u′. Vérifier que α_{n} → 0 dans L^{2}(I) et qu’il existe une sous-suite (β_{n_{k}})_{k} telle que β_{n_{k}} → 0 dans L^{2}(I).

c) Montrer que ∀φ ∈ D(I), on a

∫_{I} f(u)φ′ = − ∫_{I} f′(u)u′φ.

En déduire que f(u) ∈ H^{1}(I) et que (f(u))′ = f′(u)u′.

3) Soit ε > 0, on note f_{ε}(t) = \sqrt{t^{2} + ε^{2}} − ε si t > 0 et f_{ε} ≡ 0 ailleurs. Vérifier que f_{ε} ∈ E et que f_{ε}(u) → u^{+} dans L^{2}(I).

4) En passant à la limite ε → 0 dans

∫_{I} f_{ε}(u)φ′ = − ∫_{I} f′_{ε}(u)u′φ,

où φ ∈ D(I), montrer que u^{+} ∈ H^{1}(I) et que (u^{+})′ = 1_{[u>0]}u′.

5) En déduire que |u| ∈ H^{1}(I).

Exercice 6

Soit N une norme dérivant d’un produit scalaire, montrer que N^{2} est strictement convexe i.e. ∀u ≠ v, ∀t ∈]0,1[, N^{2}(tu + (1 − t)v) < tN^{2}(u) + (1 − t)N^{2}(v). (une norme est-elle strictement convexe?)

Exercice 7

On note H_{0}^{1}(0,1) = {u ∈ H^{1}(0,1) : u(0) = u(1) = 0}.

1) Vérifier que ∥u∥_{2} ≤ \frac{1}{\sqrt{2}}∥u′∥_{2} si u ∈ H_{0}^{1}(0,1) et en déduire que H_{0}^{1}(0,1) muni de ∥u′∥_{2} est un Hilbert.

2) Soit f ∈ L^{2}(0,1). Pour v ∈ H^{1}(0,1) on définit

F (v) = \frac{1}{2} ∫_{0}^{1} |v′|^{2} + \frac{1}{4} ∫_{0}^{1} |v|^{4} − ∫_{0}^{1} fv.

Vérifier que F (v) a bien un sens si u ∈ H^{1}(0,1) et que ∃C tel que ∀v ∈ H_{0}^{1}(0,1), F (v) ≥ C. Montrer qu’il existe un unique u ∈ H_{0}^{1}(0,1) tel que F (u) = inf_{v∈H_{0}^{1}(0,1)} F (v) (⋆).

3) Montrer que si u est solution de (⋆) alors

∫_{0}^{1} u′v′ + ∫_{0}^{1} u^{3}v = ∫_{0}^{1} fv, ∀v ∈ H_{0}^{1}(0,1).

(Ecrire F (u + tv) ≥ F (u), ∀t > 0 et ∀v ∈ H_{0}^{1}(0,1).)

4) En déduire que u satisfait : −u′′ + u^{3} = f p.p. (⋆⋆) et que u ∈ H^{2}(0,1).

5) Réciproquement : montrer que si u ∈ H^{2} ∩ H_{0}^{1}(0,1) vérifie (⋆⋆) alors u est solution de (⋆).

6) Montrer que si f ≥ 0 p.p. alors u solution de (⋆) est telle que u ≥ 0 p.p.

Exercice 8

Sur l’espace de Sobolev H^{1}(0,1), on considère la forme bilinéaire

a(u,v) = ∫_{0}^{1} u′v′ + ∫_{0}^{1} uv − (∫_{0}^{1} u) (∫_{0}^{1} v) .

Pour k ∈ IR, k ≠ 1, on note V = {u ∈ H : u(0) = ku(1)}.

1) Vérifier que V est un sous-espace fermé de H^{1}(0,1).

2) Montrer qu’il existe une constante C_{1} > 0 telle que ∀v ∈ V, |v(0)| ≤ C_{1}∥v′∥_{2} puis qu’il existe une constante C telle que ∀v ∈ V, ∥v∥_{∞} ≤ C ∥v′∥_{2}.

3) En déduire que a(.,.) est un produit scalaire sur V et que la norme associée (notée ∥ ∥_{a}) est équivalente sur V à la norme de H^{1}(0,1).

4) Soit f ∈ L^{2}(0,1), montrer qu’il existe un unique u ∈ V tel que

(⋆) a(u,v) = ∫_{0}^{1} fv, ∀v ∈ V.

5) Caractériser la solution de (⋆) par l’équation différentielle qu’elle satisfait ainsi que les conditions aux limites.

(Vérifier que u ∈ H^{2}(0,1) pour intégrer par parties.)

6) Soit (k_{n})_{n} ⊂ IR une suite de réels telle que ∀n, k_{n} ≠ 1 et k_{n} → k où k ∈ IR avec k ≠ 1. On note V_{n} = {v ∈ H^{1}(0,1) : v(0) = k_{n}v(1)} et u_{n} l’unique solution dans V_{n} de

(⋆)_{n} a(u_{n},v) = ∫_{0}^{1} fv, ∀v ∈ V_{n}.

Prouver que (u_{n})_{n} est bornée dans H^{1}(0,1).

7) En déduire que l’on peut extraire une sous-suite (u_{n_{k}})_{k} qui converge faiblement dans H^{1}(0,1) et uniformément dans C([0,1]) vers une limite notée u⋆. Vérifier que u⋆ ∈ V.

8) Soit v ∈ V, on définit

v_{n}(t) = v(t) + \frac{k − k_{n}}{k_{n} − 1} v(1).

Montrer que v_{n} ∈ V_{n} et que v_{n} ⟶ v dans H^{1}(0,1). Utiliser ce fait pour passer à la limite dans (⋆)_{n} et conclure que u = u⋆.

9) En développant a(u_{n_{k}} − u,u_{n_{k}} − u), montrer que ∥u_{n_{k}} − u∥_{H^{1}} ⟶ 0.

10) Montrer qu’en fait, toute la suite (u_{n})_{n} converge vers u dans H^{1}(0,1).

11) On désigne par T l’opérateur : f ∈ L^{2}(0,1) ↦ T (f) = u ∈ L^{2}(0,1), u étant la solution de (⋆). Montrer que ∀f,g ∈ L^{2}(0,1), ∫_{0}^{1} f T (g) = ∫_{0}^{1} g T (f) et que T est un opérateur compact de L^{2}(0,1) dans L^{2}(0,1).

Chapitre 13

Corrigés des exercices

13.1 Chapitres I et II

Exercice 1

1) a)Soient n = dim E et e_{1},...,e_{n} une base de E. On définit pour x = ∑_{1}^{n} x_{i}e_{i} ∈ E, la norme ∥x∥_{1} = ∑_{1}^{n} |x_{i}|. Soit S_{1} = {x ∈ E : ∥x∥_{1} = 1} et soit N une autre norme sur E, de N(x) ≤ (sup_{i} N(e_{i}))∥x∥_{1} on déduit la continuité de N sur (S_{1},∥ ∥_{1}) compact, donc N est bornée et atteint ses bornes. Il existe α et β ≥ 0 tels que ∀x ∈ S_{1}, α ≤ N(x) ≤ β. Comme α = N(y) pour un y ∈ S_{1}, y ≠ 0 et α > 0. Enfin, ∀x ≠ 0, \frac{x}{∥x∥_{1}} ∈ S_{1} donc α∥x∥_{1} ≤ N(x) ≤ β∥x∥_{1}.

b) Soit x = ∑_{1}^{n} x_{i}e_{i} ∈ E, on a ∥u(x)∥_{F} ≤ (sup_{i} ∥u(e_{i})∥_{F})∥x∥_{1} donc u est continue.

2) a) Il est clair que N_{0} et N_{1} sont des normes sur E (elles le sont sur IR et \sqrt{2} ∉ Q^{|} .) On raisonne par récurrence, pour n = 1, on a a_{1} = −1 et b_{1} = 1 donc a_{1}b_{1} < 0. On suppose que x^{n} ∈ E et a_{n}b_{n} < 0 alors x^{n+1} = a_{n+1} + b_{n+1}\sqrt{2} où a_{n+1} = 2b_{n} − a_{n} et b_{n+1} = a_{n} − b_{n} donc a_{n+1}b_{n+1} = b_{n}(a_{n} − b_{n}) − (a_{n} − b_{n})^{2} < 0. Enfin si (\sqrt{2} + 1)^{n} = |a_{n}| + |b_{n}|\sqrt{2} alors (\sqrt{2} + 1)^{n+1} = (2|b − n| + |a_{n}|) + \sqrt{2}(|a_{n}| + |b_{n}|). Or a_{n+1} = 2b_{n} − a_{n} et a_{n}b_{n} < 0 montre que |a_{n+1}| = 2|b − n| + |a_{n}|. De même pour b_{n+1}, |b_{n+1}| = |a_{n}| + |b_{n}|, donc ∀n ≥ 1, (\sqrt{2} + 1)^{n} = |a_{n}| + |b_{n}|\sqrt{2}.

b) D’une part, N_{0}(x^{n}) = |\sqrt{2} − 1|^{n} → 0 et d’autre part, N_{1}(x^{n})(1 + \sqrt{2}) ≥ (\sqrt{2} + 1)^{n} = |a_{n}| + |b_{n}|\sqrt{2} → +∞ donc les deux normes ne sont pas équivalentes.

Exercice 2

a) Soit (f_{n})_{n} ⊂ L(E,F) une suite de Cauchy alors

∀ε > 0, ∃N tel que ∀p,q ≥ N, ∥f_{p} − f_{q}∥ ≤ ε.

En particulier, ∀x ∈ E, ∥f_{p}(x) − f_{q}(x)∥_{F} ≤ ε∥x∥_{E}. (1). Et ∀x ∈ E, la suite (f_{n}(x))_{n} est de Cauchy dans F complet donc converge vers un élément noté f(x). la fonction f est linéaire comme limite simple de fonctions linéaires. On fixe p dans (1) et on laisse q → ∞, on obtient alors ∥f_{p}(x) − f(x)∥_{F} ≤ ε∥x∥_{E}, ∀x ∈ E, d’où f = f − f_{p} + f_{p} est continue et ∥f_{p} − f∥ ≤ ε., dès que p ≥ N donc f_{n} → f dans L(E,F).

b) Par hypothèse \overline{B_{E}} est compact donc il existe a_{1},...,a_{n} ∈ E tels que \overline{B_{E}} ⊂ ∪_{1}^{n}B(a_{i},\frac{1}{2}). Soit V = vect{a_{1},...,a_{n}}, montrons que E = V. On raisonne par l’absurde, s’il existe x ∈ E tel que d(x,V) = α > 0 alors ∃y ∈ V tel que α ≤ d(x,y) ≤ \frac{3}{2}α.

Soit z = \frac{x−y}{∥x−y∥} ∈ \overline{B_{E}} alors pour un certain i_{0}, z ∈ B(a_{i_{0}},\frac{1}{2}) et on a

∥x − y − a_{i_{0}}∥x − y∥ ∥ ≤ \frac{1}{2}∥x − y∥ ≤ \frac{3}{4} α

donc il existerait un y_{0} ∈ V tel que d(x,y_{0}) < α, ce qui est absurde.

Exercice 3

1) ∀x ∈ E et ∀y ∈ H, on a |f(x)| = |f(x − y)| ≤ ∥f∥∥x − y∥ d’où le résultat.

2) d(x,H) ≤ ∥x − y∥ ≤ \frac{|f(x)|}{|f(u)|} ∥u∥ où u ∈ E \ H. Comme f ≢ 0, on peut remarquer que

∥f∥ = sup_{u∈E\H} \frac{|f(u)|}{∥u∥}.

3) a) Soit (x^{p})_{p} une suite de Cauchy dans E = C_{0} alors

∀ε > 0, ∃N, ∀p,q ≥ N, ∀n ∥x_{n}^{p} − x_{n}^{q}∥_{∞} ≤ ε. (⋆)

Donc ∀n, la suite (x_{n}^{p})_{p} est de Cauchy dans IR et converge vers un x_{n}. Posons x = (x_{n})_{n}, alors de (⋆) on déduit que ∀n, ∀q ≥ N, |x_{n} − x_{n}^{q}| ≤ ε donc la suite (x^{p}) converge vers x en norme ∥ ∥_{∞}. Il reste à voir que x ∈ E. De l’inégalité précédente on tite |x_{n}| ≤ ε + |x_{n}^{N}| donc pour n assez grand |x_{n}| ≤ 2ε, et x ∈ E.

b) On a facilement |f(x)| ≤ ∥x∥_{∞} et f linéaire donc f ∈ E′ et ∥f∥ ≤ 1. Soit x^{N} ∈ E défini par x_{n}^{N} = 1 si n ≤ N et x_{n}^{N} = 0 sinon, alors |f(x^{N})| = 1 − \frac{1}{2^{N}} ≤ ∥f∥ et ceci ∀N ≥ 1 d’où ∥f∥ = 1. S’il existe x = (x_{n})_{n} ∈ E avec ∥x∥ = 1 et tel que |f(x)| = ∥f∥ = 1 alors

1 = |f(x)| ≤ ∑_{1}^{∞} \frac{1}{2^{n}} |x_{n}| ⟹ ∑_{1}^{∞} \frac{1}{2^{n}} (1 − |x_{n}|) ≤ 0 ⟹ |x_{n}| = 1, ∀n,

et x ∉ E. Donc ∥f∥ n’est pas atteint. Enfin d(x,H) = | ∑_{1}^{∞} \frac{x_{n}}{2^{n}} |.

Exercice 4 Théorèmes du point fixe

1) On vérifie facilement que si x_{n+1} = f(x_{n}), x_{0} ∈ E, on a d(x_{n+1},x_{n}) ≤ k^{n}d(x_{1},x_{0}) et

d(x_{n+p},x_{n}) ≤ d(x_{n+p},x_{n+p−1})+...+d(x_{n+1},x_{n}) ≤ k^{n}(k^{p−1} +...+k+1)d(x_{1},x_{0}) ≤ \frac{k^{n}}{1 − k} d(x_{1},x_{0}).

Comme k < 1, la suite (x_{n})_{n} est de Cauchy donc converge vers x ∈ E. De x_{n+1} = f(x_{n}) on déduit x = f(x) puisque f est continue, et x est un point fixe. Si d(f(a),f(b)) = d(a,b) ≤ kd(a,b) avec k < 1, nécessairement a = b, d’où l’unicité du point fixe.

2) ∀λ, λ_{0}, on a

d(a_{λ},a_{λ_{0}}) = d(f_{λ}(a_{λ}),f_{λ_{0}}(a_{λ_{0}}))
≤ d(f_{λ}(a_{λ}),f_{λ}(a_{λ_{0}})) + d(f_{λ}(a_{λ_{0}}),f_{λ_{0}}(a_{λ_{0}}))
≤ kd(a_{λ},a_{λ_{0}}) + d(f_{λ}(a_{λ_{0}}),f_{λ_{0}}(a_{λ_{0}})),

donc

d(a_{λ},a_{λ_{0}}) ≤ \frac{1}{1 − k} d(f_{λ}(a_{λ_{0}}),f_{λ_{0}}(a_{λ_{0}})).

Ce qui montre que l’application λ → a_{λ} est continue en λ_{0}.

3) Soit φ(x) = d(x,f(x)), φ est continue sur E compact donc atteint son inf : ∃x_{0} ∈ E tel que φ(x_{0}) ≤ φ(x), ∀x ∈ E. Si φ(x_{0}) ≠ 0, on a φ(f(x_{0})) < φ(x_{0}) ce qui est absurde, donc φ(x_{0}) = 0 et x_{0} est un point fixe de f. Si il y en a un autre, x_{1}, alors d(f(x_{0}),f(x_{1})) = d(x_{0},x_{1}) < d(x_{0},x_{1}) donc necessairement x_{0} = x_{1}.

4) Soit z fixé dans C, f_{n}(C) ⊂ C, ∀n, car C est convexe et f_{n} est \frac{n}{n+1}-lipschitzienne sur C. Donc, par 1), ∃x_{n} ∈ C tel que x_{n} = f(x_{n}), ∀n. Maintenant C est compact donc il existe une soussuite notée (x_{n_{k}})_{k} telle que x_{n_{k}} → x ∈ C, alors en passant à la limite dans x_{n_{k}} = f_{n_{k}}(x_{n_{k}}) = \frac{1}{n_{k}+1}z + \frac{n_{k}}{n_{k}+1}f(x_{n_{k}}), on obtient x = f(x) et x est un point fixe de f.

Exercice 5

a) Il est clair que N dérive d’un produit scalaire.

b) Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on a |f(x)| ≤ |f(0)| + (∫_{0}^{1} f′(t)^{2}dt)^{\frac{1}{2}} . En élevant au carré et en utilisant l’inégalité 2ab ≤ a^{2} + b^{2}, on obtient facilement |f(x)|^{2} ≤ 2N(f), ∀x ∈ [0,1].

c) On choisit f_{n}(x) = x^{n}. Alors ∀n, ∥f_{n}∥_{∞} = 1 et N(f_{n}) = \frac{n}{\sqrt{2n−1}} → +∞. Donc ces deux normes ne sont pas équivalentes.

Exercice 6

Comme E est métrique, on va montrer que de toute suite de E, on peut extraire une sous-suite convergente. Soit (x_{n})_{n} une suite de points de E. Pour ε = \frac{1}{2}, E est recouvert par un nombre fini de boules de rayon \frac{1}{2} donc l’une d’entre elles contient une infinité de x_{n}. On peut donc extraire une sous-suite (x_{φ_{1}(n)})_{n} telle que d(x_{φ_{1}(n)},x_{φ_{1}(p)}) ≤ 1. Et on recommence ce processus, pour ε = \frac{1}{2p}, E est recouvert par un nombre fini de boules de rayon \frac{1}{2p} donc l’une d’entre elles contient une infinité de x_{φ_{1}o...oφ_{p−1}}(n). On peut donc en extraire une sous-suite (x_{φ_{1}o...oφ_{p}}(n))_{n} telle que d(x_{φ_{1}o...oφ_{p}}(n),x_{φ_{1}o...oφ_{p}}(m)) ≤ \frac{1}{p}. Soit (x_{φ_{1}o...oφ_{n}}(n))_{n} la suite diagonale, elle est bien extraite de (x_{n})_{n} et vérifie

d(x_{φ_{1}o...oφ_{n}}(n),x_{φ_{1}o...oφ_{m}}(m)) ≤ \frac{1}{m}, ∀m,n, m ≤ n.

Cette suite est donc de Cauchy dans E complet, elle converge, d’où E est compact.

Exercice 7

Pour n fixé, E ⊂ ∪_{x∈E}B(x,\frac{1}{n}) et E est compact donc ∃k_{n} tel que E ⊂ ∪_{i=1}^{k_{n}}B(x_{i}^{n},\frac{1}{n}). Soit D = {x_{i}^{n},i = 1,...,k_{n},n ∈ IN^{⋆}}, D est bien dénombrable, vérifions que D est dense dans E. Soient x ∈ E et r > 0, ∃N ∈ IN^{⋆} tel que \frac{1}{N} < r et ∃x_{i}^{N} tel que x ∈ B(x_{i}^{N},\frac{1}{N}) alors x_{i}^{N} ∈ B(x,r) ∩ D.

Exercice 8

Les ensembles K^{⋆} et K^{⋆⋆} sont fermés comme intersection d’images réciproques de fermés par des applications continues, donc de K ⊂ K^{⋆⋆} on déduit \overline{K} ⊂ K^{⋆⋆}. Si \overline{K} ≠ K^{⋆⋆}, ∃y_{0} ∈ K^{⋆⋆} \ \overline{K} et par Hahn-Banach, ∃f ∈ E′, f ≢ 0, ∃α ∈ IR tels que

< f,x > < α < < f,y_{0} > , ∀x ∈ K.

Comme 0 ∈ K, on a α > 0 et ∀x ∈ K, < \frac{f}{α},x >< 1, donc \frac{f}{α} ∈ K^{⋆} or y_{0} ∈ K^{⋆⋆} donc < \frac{f}{α},y_{0} >≤ 1, c’est absurde. D’où K^{⋆⋆} = \overline{K}.

Exercice 9

1) On définit les deux formes linéaires continues suivantes

\begin{matrix}f_{2n} : ℓ^{1} & → & IR & et & g_{2n} : ℓ^{1} & → & IR \\ x & ↦ & x_{2n} & & x & ↦ & x_{2n} − 2^{−n}x_{2n−1}. \end{matrix}

Alors A_{0} = ∩_{n}f_{2n}^{−1}({0}) et B = ∩_{n}g_{2n}^{−1}({0}) sont fermés comme intersection de fermés. Soit e^{n} = (δ_{ni})_{i≥1} où δ_{ni} = 1 si i =n, δ_{ni} = 0 sinon, alors si F_{k} = vect{e^{1},...,e^{k}} et si F = ∪_{k}F_{k}, on a \overline{F} = ℓ^{1}. Donc pour montrer que ℓ^{1} = \overline{A_{0} + B}, il suffit de montrer que ∀k, F_{k} ⊂ A_{0} + B. Soit x ∈ F_{k}, on définit a,b de la façon suivante,

\{ \begin{matrix}b_{2n} = x_{2n} & b_{2n−1} = 2^{n}x_{2n} \\ a_{2n−1} = x_{2n−1} − 2^{n}x_{2n} & a_{2n} = 0 \end{matrix}

alors x = a + b et comme x_{n} = 0 si n > k, a,b ∈ ℓ^{1} et (a,b) ∈ A_{0} × B. Donc ℓ^{1} = \overline{A_{0} + B}.

2) Si c = a + b alors nécessairement a_{2n} = 0, b_{2n} = 2^{−n}, b_{2n−1} = 1 et a_{2n−1} = −1 donc a,b ∉ ℓ^{1} et c ∉ A_{0} + B. Il est clair alors que A ∩ B = ∅. Supposons qu’il existe f ∈ (ℓ^{1})′, f ≢ 0 et α ∈ IR tels que

< f,a > ≤ α ≤ < f,b > , ∀a ∈ A, ∀b ∈ B.

Comme B est vectoriel, nécessairement < f,b >= 0, ∀b ∈ B. De même, de < f,a_{0} >≤ α + f(c), ∀a_{0} ∈ A_{0}, on en déduit que < f,a_{0} >= 0, ∀a_{0} ∈ A_{0}. Donc f ≡ 0 sur A_{0} + B dense dans ℓ^{1}, par continuité on en conclut que f est identiquement nulle, ce qui est contraire à l’hypothèse. On ne peut donc pas séparer A et B.

Exercice 10

1) Soit F_{n} = n\overline{T (B(0,1))} alors F_{n} est fermé et F = ∪_{n}F_{n} car T est surjective. Par le lemme de Baire, on sait qu’il existe n_{0} tel que int(F_{n_{0}})≠ ∅ et donc int(\overline{T (B(0,1))}) ≠ ∅. Alors il

existe r > 0 et y_{0} ∈ F tels que B(y_{0},r) ⊂ \overline{T (B(0,1))}. Si y_{0} ∈ \overline{T (B(0,1))} alors −y_{0} aussi et B(y_{0},r) = y_{0} + B(0,r) ⊂ \overline{T (B(0,1))} donc B(0,r) ⊂ \overline{T (B(0,1))} + \overline{T (B(0,1))} ⊂ 2\overline{T (B(0,1))} d’où B(0,\frac{r}{2}) ⊂ \overline{T (B(0,1))} et 2C = \frac{r}{2} convient.

2) Soit y ∈ B(0,C) fixé, on cherche x ∈ B(0,1) tel que y = T x. On sait que B(0,C) ⊂ \frac{1}{2}B(0,2C) ⊂ \overline{T (\frac{1}{2}B(0,1))} donc ∀ε > 0, ∃z_{ε}, ∥z_{ε}∥ < \frac{1}{2} tel que ∥y − T z_{ε}∥ < ε. On choisit ε = \frac{C}{2} , cela nous donne un z_{1} tel que ∥z_{1}∥ < \frac{1}{2} et ∥y − T z_{1}∥ < \frac{C}{2} . Alors y − T z_{1} ∈ B(0,\frac{C}{2} ) ⊂ \overline{T (\frac{1}{4}B(0,1))} et on recommence, pour ε = \frac{C}{4} , ∃z_{2} tel que ∥z_{2}∥ < \frac{1}{4} et ∥y −T z_{1} −T z_{2}∥ < \frac{C}{4} , etc... On construit ainsi une suite (z_{n})_{n} telle que ∥z_{n}∥ < \frac{1}{2^{n}} et ∥y − T z_{1} − ... − T z_{n}∥ < \frac{C}{2^{n}}, ∀n. La suite x_{n} = z_{1} + ... + z_{n} est de Cauchy dans E donc converge vers un x ∈ E, comme T est continue, T x_{n} → T x, donc y = T x. Il reste à voir que ∥x∥ < 1. Par exemple, ∃ε > 0 tel que ∥z_{1}∥ ≤ \frac{1}{2} − ε alors

∥x_{n}∥ ≤ ∑_{1}^{n} ∥z_{k}∥ ≤ ∑_{1}^{n} \frac{1}{2^{k}} − ε ≤ 1 − ε,

d’où le résultat.

Exercice 11 Théorème d’isomorphisme d’espaces de Banach

Par le Théorème de l’application ouverte, ∃C > 0 tel que B_{F} (0,C) ⊂ T (B_{E}(0,1)). Comme T est bijective, ∀x ∈ E tel que ∥T x∥ < C on a ∥x∥ < 1. Donc ∥x∥ ≤ \frac{1}{C} ∥T x∥ et T^{−1} est continue.

Exercice 12

On applique le résultat précédent à id : E,∥x∥_{2} → E,∥x∥_{1}.

Exercice 13 Théorème du graphe fermé

Sur E, on considère ∥x∥_{1} = ∥x∥_{E} et ∥x∥_{2} = ∥x∥_{E} + ∥T x∥_{F}. Si (E,∥x∥_{2}) est complet, comme ∥x∥_{1} ≤ ∥x∥_{2}, ∀x ∈ E, en appliquant l’exercice ci-dessus, on obtient l’équivalence des normes ∥x∥_{1} et ∥x∥_{2} et donc T est continue. Vérifions que (E,∥x∥_{2}) est complet. Soit (x_{n})_{n} une suite de Cauchy pour ∥x∥_{2}, alors (x_{n})_{n} est de Cauchy pour ∥x∥_{1} donc elle converge vers un x ∈ E au sens de la norme ∥x∥_{1}. La suite (T x_{n})_{n} est aussi de Cauchy dans F complet donc converge vers un certain y ∈ F. Or (x_{n},T x_{n})_{n} ∈ G(T) fermé, donc y = T x et (E,∥x∥_{2}) est complet.

Exercice 14

Montrons que le graphe de T, G(T), est fermé. Soit (x_{n},T x_{n})_{n} ∈ G(T) telle que x_{n} → x et T x_{n} → y, a-t’on y = T x? Soit f ∈ F′, comme foT ∈ E′, on a d’une part f(T x_{n}) → f(T x) et f(T x_{n}) → f(y) donc f(T x) = f(y) et ceci ∀f ∈ F′, nécessairement T x = y sinon par Hahn-Banach, on pourrait séparer strictement T x et y par un hyperplan fermé, c’est à dire il existerait f ∈ F′, f ≢ 0, telle que f(T x) ≠ f(y).

Exercice 15

1) Pour y ≠ x_{0}, Λ_{y} ∈ E′ et ∥Λ_{y}∥ ≤ \frac{2}{|y−x_{0}|}∥f∥_{∞}. Soit f ∈ F alors |Λ_{y}(f)| < ∞, ∀y ≠ x_{0} car y ↦ Λ_{y}(f) est continue sur [0,1]. Comme F est un Banach, on peut appliquer Banach-Steinhaus et ∃M > 0 tel que ∀f ∈ F, ∀y ≠ x_{0}, |Λ_{y}(f)| ≤ M∥f∥.

2) En particulier si f ∈ B_{F}, |Λ_{y}(f)| ≤ M, ∀y ≠ x_{0}. Donc |f(y) − f(x_{0})| ≤ M|y − x_{0}|, ∀y et ∀f ∈ B_{F}. Ce qui montre que B_{F} est équicontinue. Soit B_{F} (x) = {f(x),f ∈ B_{F} }. Pour pouvoir appliquer Ascoli, il reste à vérifier que ∀x ∈ [0,1], \overline{B_{F} (x)} est compact dans IR, ce qui est immédiat puisque B_{F} (x) ⊂ [−1,1]. D’où B_{F} est compact et par suite F est de dimension finie.

Exercice 16

1) On pose G = ^{c}(⋃_{n} F_{n}^{o}) et on veut montrer que G^{o}= ∅. G est fermé donc complet et ∀n, F_{n}∩G

est fermé et d’intérieur vide donc le Lemme de Baire montre que ⋃_{n} (F_{n} ∩ G) est d’intérieur vide. Or, ⋃_{n} (F_{n} ∩ G) = G ∩ (⋃_{n} F_{n}) = G, d’où G^{o}= ∅ et ⋃_{n≥1} F_{n}^{o} est dense (et ouvert comme union d’ouverts).

2) ∀n,δ, F_{n,δ} est fermé comme intersection de fermés (f_{i} et f_{j} sont continues ∀i,j). Comme f_{n} converge simplement sur IR vers f, IR = ⋃ F_{n,δ}. Donc la question précédente montre que

U_{δ} = ⋃_{n} F_{n,δ}^{o} est un ouvert dense de IR. Le Lemme de Baire assure alors que U = ⋂_{k≥1} U_{\frac{1}{k}} est dense dans IR. Soit x_{0} ∈ U, montrons que f est continue en x_{0}.

x_{0} ∈ U ⟹ ∀k ≥ 1, ∃n tel que x_{0} ∈F_{n, \frac{1}{k}}^{o} donc ∃V_{1} ∈ V(x_{0}) tel que V_{1} ⊂ F_{n, \frac{1}{k}}. En particu-

lier ∀x ∈ V_{1}, |f_{i}(x) − f_{n}(x)| ≤ \frac{1}{k}, ∀i ≥ n. On fait tendre i vers +∞, on obtient ∀x ∈ V_{1}, |f(x) − f_{n}(x)| ≤ \frac{1}{k}. On écrit ensuite que f_{n} est continue en x_{0}, ∃V_{2} ∈ V(x_{0}) tel que ∀x ∈ V_{2}, |f_{n}(x) − f_{n}(x_{0})| ≤ \frac{1}{k}. Alors ∀x ∈ V_{1} ∩ V_{2},

|f(x) − f(x_{0})| ≤ |f(x) − f_{n}(x)| + |f_{n}(x) − f_{n}(x_{0})| + |f_{n}(x_{0}) − f(x_{0})| ≤ \frac{3}{k} .

Donc on a montré que ∀k ≥ 1, ∃W (= V_{1} ∩ V_{2}) ∈ V(x_{0}) tel que ∀x ∈ W, |f(x) − f(x_{0})| ≤ \frac{3}{k}, d’où f est continue sur U.

3) On pose g_{n}(x) = n(f(x + \frac{1}{n}) − f(x)) alors ∀n, g_{n} ∈ C(IR) et g_{n} → f′ simplement sur IR. La question 2) montre alors que f′ est continue sur une partie dense de IR.

13.2 Chapitre III

Exercice 1

1) Montrons d’abord que si ∀x ≠ 0, ∃p semi-norme telle que p(x) ≠ 0 alors (E,P) est séparé. Soit donc x ≠ 0, et p telle que p(x) ≠ 0 alors si r = \frac{1}{2}p(x) on a B(x,r) ∩ B(0,r) = ∅ et on sépare 0 et x. Si x ≠ y, on peut écrire y = x + z avec z ≠ 0 et on a B(x,r) ∩ B(x + z,r) = ∅. (la réciproque est vraie). Utilisons ce critère, soit donc x ≠ 0, par Hahn-Banach, ∃f ∈ E′, f ≢ 0 telle que f(x) > 0 = f(0) donc p_{f}(x) ≠ 0 et la topologie faible est séparée.

2) Soit U un ouvert faible non vide, pour montrer qu’il est un ouvert fort, il faut montrer que ∀x ∈ U, ∃r > 0 tel que B(x,r) ⊂ U. Soit donc x_{0} ∈ U par hypothèse, ∃ε > 0 et ∃J ∈ P.F.I. tels que V (x_{0},J,ε) ⊂ U. Cherchons r tel que B(x_{0},r) ⊂ V (x_{0},J,ε). On a

| < f_{i},x − x_{0} > | < ∥f_{i}∥ ∥x − x_{0}∥ ≤ (sup_{J} ∥f_{i}∥)∥x − x_{0}∥.

Cela suggère de choisir r < \frac{ε}{sup_{J} ∥f_{i}∥}, ce qui donne le résultat. (si ∀i, f_{i} ≡ 0, alors E = V (x_{0},J,ε) est bien un ouvert fort.)

3) Si f ∈ (E_{w})′ alors ∀U ouvert de IR, f^{−1}(U) est un ouvert faible et la question précèdente montre que f ∈ E′. Si f ∈ E′, soit x_{0} ∈ E, montrons que f est continue faiblement en x_{0}, c’est à dire que ∀ε > 0, ∃V ∈ V_{ω}(x_{0}) tel que x ∈ V ⟹ |f(x) − f(x_{0})| < ε. Il est clair que V = V (x_{0},f,ε) convient.

4) On suppose dimE < ∞. D’après la question 2), il reste à montrer que U ouvert fort est un ouvert faible. Soit x_{0} ∈ U supposé non vide, alors ∃r > 0 tel que B(x_{0},r) ⊂ U. On va montrer que ∃ε > 0 et ∃J ∈ P.F.I. tels que V (x_{0},J,ε) ⊂ B(x_{0},r). Soit (e_{1},...,e_{n}) une base de E telle que ∀i ∥e_{i}∥ = 1. Tout x de E s’écrit x = ∑_{1}^{n} x_{i}e_{i}, soit f_{i} : E → IR définie par f(x) = x_{i} alors f_{i} ∈ E′ et on a

∥x − x_{0}∥ ≤ ∑_{1}^{n} |x_{i} − x_{0i}| = ∑_{1}^{n} | < f_{i},x − x_{0} > |.

D’où si x ∈ V = V (x_{0},\{1,...,n\},ε) alors ∥x − x_{0}∥ < nε, on choisit donc ε ≤ \frac{r}{n} et on a bien V ⊂ B(x_{0},r).

Exercice 2

On suppose que dimE = +∞ et que les applications

id : (E,σ(E,E′)) → (E,d),
id :  (E,d)  → (E,σ(E,E′))

sont continues.

1) ∀k ∈ IN^{⋆}, B_{d}(0,\frac{1}{k}) est un voisinage de 0 pour d, donc ∃V (0,I_{k},ε_{k}) ⊂ B_{d}(0,\frac{1}{k}) où ε_{k} > 0 et I_{k} est un ensemble fini d’indices. L’ensemble {f_{j},j ∈ I_{k},k ∈ IN^{⋆}} est dénombrable et constitue la suite cherchée.

2) L’ensemble V = V (0,g,1) est un voisinage de 0 pour la topologie faible, par hypothèse ∃k_{0} ∈ IN^{⋆} tel que B_{d}(0,\frac{1}{k_{0}} ) ⊂ V. Alors d’après 1),

⋂_{i∈I_{k_{0}}}{x ∈ E : | < f_{i},x > | < ε_{k_{0}}} ⊂ V.

On pose I = I_{k_{0}} alors ⋂_{i∈I} ker f_{i} ⊂ V. Et | < g,x > | < 1 sur un espace vectoriel, donc nécessairement g(x) = 0, ∀x ∈ ⋂_{i∈I} ker f_{i}, par suite ⋂_{i∈I} ker f_{i} ⊂ ker g.

3) Pour simplifier les notations, on notera I = {1,2,...,k}, et soit

F : E ⟶ IR^{k+1}
x ⟼ (g(x),f_{1}(x),...,f_{k}(x)).

ImF est convexe fermé (car vectoriel de dimension finie) et e_{1} = (1,0...0) ∉ImF car ⋂_{i∈I} ker f_{i} ⊂ ker g. D’après le Théorème d’Hahn-Banach, ∃h ∈ (IR^{k+1})′, h ≢ 0 et ∃α ∈ IR tels que h(F (x)) < α < h(e_{1}), ∀x ∈ E. Comme ImF est vectoriel, on en déduit que h(F (x)) = 0, ∀x ∈ E et comme h ∈ (IR^{k+1})′, h ≢ 0, ∃(μ_{0},...,μ_{k}) ∈ IR^{k+1} \ {0} tel que h(x) = ∑_{0}^{k} μ_{i}x_{i} si x = (x_{0},...,x_{k}) ∈ IR^{k+1}. D’où on obtient

μ_{0}g(x) + ∑_{1}^{k} μ_{i}f_{i}(x) = 0 < α < μ_{0}, ∀x ∈ E.

Donc μ_{0} ≠ 0 et g(x) = ∑(−\frac{μ_{i}}{μ_{0}} )f_{i}(x) pour tout x. (On peut démontrer ce résultat par une preuve purement algébrique, par exemple un raisonnement par recurrence sur k.)

4) Soit F_{n} = vect{f_{1},...,f_{n}}, d’après 2) et 3), ∀g ∈ E′, ∃N tel que g ∈ F_{N} donc E′ = ⋃ F_{n}. Comme E′ est complet, F_{n} fermé (car dimF_{n} < ∞), on peut appliquer le lemme de Baire et ∃n_{0} tel que int(F_{n_{0}}) ≠ ∅. Si f ∈ intF_{n_{0}} alors ∃r > 0 tel que B(f,r) ⊂ F_{n_{0}} par suite E′ = F_{n_{0}} car F_{n_{0}} est vectoriel et donc dimE′ ≤ n_{0}.

5) On en conclut que dimE < ∞, en effet soit

Φ : E → IR^{n_{0}}
x ↦ (f_{1}(x),...,f_{n_{0}}(x)).

Φ est linéaire et injective (car Φ(x) = 0 ⟹ ∀f ∈ E′, f(x) = 0 ⟹ x = 0 par Hahn-Banach) donc dimE ≤ n_{0} ce qui est contraire à l’hypothèse.

Exercice 3

1) On montre que (1) ⟹ (2) ⟹ (3) ⟹ (1). Pour simplifier les notations on montrera que T est continue en 0, le lecteur se convaincra que la continuité de T en 0 implique la continuité de T partout.

(1) ⟹ (2) : ∀Ω ∈ V_{w}(0), existe-t’il ω ∈ V_{w}(0) tel que x ∈ ω ⟹ T x ∈ Ω ? On peut toujours choisir Ω = {y ∈ F : | < f_{i},y > | < ε,∀i = 1,...,n} où f_{i} ∈ F′ et ε > 0. Maintenant,

T x ∈ Ω ⟺ | < f_{i},T x > | < ε, ∀i = 1,...,n,
⟺ | < f_{i}oT,x > | < ε, ∀i = 1,...,n.

Si ω = {x ∈ E : | < f_{i}oT,x > | < ε, ∀i = 1,...,n} où f_{i}oT ∈ E′, alors ω est bien un voisinage faible de 0 donc (2).

(2) ⟹ (3) : ∀Ω ∈ V_{w}(0), existe-t’il r > 0 tel que x ∈ B(x,r) ⟹ T x ∈ Ω? On sait par hypothèse qu’il existe un voisinage faible de 0, ω, tel que x ∈ ω ⟹ T x ∈ Ω et on a vu dans l’exercice 1 ci-dessus, qu’un ouvert faible est un ouvert fort donc (3).

(3) ⟹ (1) : On utilise le Théorème du graphe fermé (voir l’exercice 13 chap.II), soit (x_{n},y_{n})_{n} ∈ G(T) = {(x,y) ∈ E × F,y = T x} telle que x_{n} → x et y_{n} = T x_{n} → y, a-t’on y = T x? Comme T est continue de E fort dans F faible, T x_{n} ⇀ T x et d’autre part la convergence forte impliquant la convergence faible T x_{n} ⇀ y, donc nécessairement y = T x. D’où le graphe de T est fermé et T est continue (pour les topologies fortes).

2) Soit T : E_{w} ⟶ F linéaire continue. La continuité en 0 implique que ∃ε > 0, ∃f_{1},..,f_{n} ∈ E′ tels que

| < f_{i},x > | < ε, ∀i = 1,...,n ⟹ ∥T x∥_{F} < 1.

Alors ⋂_{i} ker f_{i} ⊂ ker T. On va montrer que dim(ImT)≤ n. Soit y_{1} = T x_{1},...,y_{n+1} = T x_{n+1} ∈ ImT, existe-t’il (λ_{1},...,λ_{n+1}) non tous nuls tels que ∑_{1}^{n+1} λ_{k}T x_{k} = 0? Ou encore tels que T (∑_{1}^{n+1} λ_{k}x_{k}) = 0? On remarque que si il existe (λ_{1},...,λ_{n+1}) non tous nuls tels que ∑_{1}^{n+1} λ_{k}x_{k} ∈ ⋂_{i} ker f_{i}, c’est fini. Donc on veut

∑_{1}^{n+1} λ_{k} < f_{i},x_{k} >= 0, 1 ≤ i ≤ n.

C’est un système linéaire de n équations à n + 1 inconnues dont on sait qu’il existe des solutions non triviales, d’où le résultat.

Exercice 4

1) ∥x^{N} − x∥_{1} = reste d’une série convergente.

2) f est linéaire et |f(x)| ≤ ∥y∥_{∞}∥x∥_{1} donc f ∈ (ℓ^{1})′.

a) On a montré que ∥Λ_{y}∥ ≤ ∥y∥_{∞}. On a Λ_{y}(e^{N}) = y_{N} donc ∥Λ∥ ≥ ∥y∥_{∞}, d’où Λ est une isométrie.

b) Λ est injective car isométrique. Montrons qu’elle est surjective. Soit ℓ ∈ (ℓ^{1})′ alors par linéarité et continuité de ℓ, on a < ℓ,x >= ∑_{1}^{∞} x_{n}y_{n} si x = (x_{n})_{n} ∈ ℓ^{1} et ∃M > 0 tel que ∀x ∈ ℓ^{1}, | < ℓ,x > | ≤ M∥x∥_{1}. En particulier pour x = e^{n}, on obtient | < ℓ,e^{n} > | = |y_{n}| ≤ M et y ∈ ℓ^{∞}. Donc ℓ = Λ_{y} et Λ est bijective. Par l’exercice 11 chap.II, on conclut que Λ est un isomorphisme d’espaces de Banach.

3) Soit (x^{n})_{n≥1} une suite d’éléments de ℓ^{1} telle que x^{n} ⇀ 0 dans ℓ^{1} faible ⟺ ∀y ∈ ℓ^{∞} < y,x^{n} >→< y,0 >= 0 ⟺ ∑_{1}^{∞} x_{i}^{n}y_{i} → 0, ∀y = (y_{i})_{i} ∈ ℓ^{∞}.

4) Soit (x^{n})_{n≥1} une suite d’éléments de ℓ^{1} telle que x^{n} ⇀ 0 dans ℓ^{1} faible.

a) On montre facilement que d est une distance sur K.

b) On veut montrer que ∃ε > 0 et ∃y^{1},...,y^{n} ∈ ℓ^{1} tels que

V = {g ∈ K : | < g − f,y^{i} > | < ε,∀i = 1,...,n} ⊂ Ω.

On a

d(f,g) = ∑_{1}^{n} \frac{1}{2^{i}} |f_{i} − g_{i}| + ∑_{i≥n+1} \frac{1}{2^{i}} |f_{i} − g_{i}| et ∑_{i≥n+1} \frac{1}{2^{i}} |f_{i} − g_{i}| ≤ 2 ∑_{i≥n+1} \frac{1}{2^{i}} = \frac{1}{2^{n−1}} ,

pour f,g ∈ K. Soient donc ε et n tels que ε + \frac{1}{2^{n−1}} < r et y^{i} = e^{i} pour 1 ≤ i ≤ n, alors

∑_{1}^{n} \frac{1}{2^{i}} |f_{i} − g_{i}| = ∑_{1}^{n} \frac{1}{2^{i}} | < f − g,e^{i} > | ≤ ε ∑_{1}^{n} \frac{1}{2^{i}} ≤ ε,

si g ∈ V. D’où d(f,g) ≤ ε + \frac{1}{2^{n−1}} < r, ∀g ∈ V donc V ⊂ Ω.

c) La question précèdente montre que l’application id : (K,σ(ℓ^{∞},ℓ^{1})) → (K,d) est continue. Or K est compacte faible ⋆, donc(K,d) est compact.

d) Soit ε > 0 fixé. Soit A_{n} = {f ∈ ℓ^{∞} : | < f,x^{n} > | ≤ ε} alors A_{n} est fermé faible ⋆, et F_{k} = K ∩ ⋂_{n≥k} A_{n} est aussi fermé faible ⋆ dans K compact donc F_{k} est compact faible ⋆. Son image par id : (K,σ(ℓ^{∞},ℓ^{1})) → (K,d) (qui est continue) est compacte donc fermée dans (K,d). K = ⋃_{k} F_{k} car < f,x^{n} >→ 0, ∀f ∈ ℓ^{∞}. Enfin, (K,d) métrique compact est complet, on peut donc appliquer le lemme de Baire : il existe k_{0} tel que IntF_{k_{0}} ≠ ∅. Donc il existe f_{0} ∈ K, ∃ρ > 0 tels que K ∩ B_{d}(f_{0},ρ) ⊂ F_{k_{0}}.

e) En choisissant f comme dans l’énoncé, on a,

d(f,f^{0}) ≤ 2 ∑_{i=N+1}^{∞} \frac{1}{2^{i}} = \frac{1}{2^{N−1}} < ρ.

Donc f ∈ F_{k_{0}} et

| < f,x^{n} > | = | ∑_{1}^{N} f_{0}^{i}x_{i}^{n} + ∑_{i=N+1}^{∞}(±x_{i}^{n})| ≤ ε, ∀n ≥ k_{0}.

⟹

∑_{i=N+1}^{∞} |x_{i}^{n}| ≤ ε + ∑_{1}^{N} |f_{0}^{i}x_{i}^{n}| ≤ ε + ∑_{1}^{N} |x_{i}^{n}|,

car f^{0} ∈ K, d’où

∑_{i=1}^{∞} |x_{i}^{n}| ≤ ε + 2 ∑_{1}^{N} |x_{i}^{n}|, ∀n ≥ k_{0}.

f) i étant fixé, x_{i}^{n} → 0 car x_{i}^{n} =< e^{i},x^{n} >, donc ∃I tel que ∀n ≥ I, |x_{i}^{n}| ≤ \frac{ε}{2N}. Dès que n ≥ max(k_{0},I), on a ∥x^{n}∥_{1} ≤ 2ε d’où x^{n} → 0 dans ℓ^{1}.

5) Comme ℓ^{1} n’est pas de dimension finie, les topologies faibles et fortes ne sont pas équivalentes et cette application ne peut donc pas être continue.

13.3 Chapitre IV

Exercice 1

E ⊂ (E′_{w⋆})′: Soit x ∈ E alors V = {f ∈ E′ : | < f,x > | < ε} est un voisinage faible-⋆ de 0 dans E′. Donc f ↦< f,x > est continue sur E′_{w⋆}, d’où x ≅ J(x) ∈ (E′_{w⋆})′. (E′_{w⋆})′ ⊂ E: Soit φ ∈ (E′_{w⋆})′ et soit ε > 0 alors ∃Ω voisinage faible-⋆ de 0 dans E′ tel que

f ∈ Ω ⟹ | < φ,f > | < ε.

On peut toujours choisir Ω = {g ∈ E′ : | < g,x_{i} > | < β, i = 1,...,n} où β > 0 et pour i = 1,...,n, x_{i} ∈ E. Mais J(x_{i}) ∈ E′′ et

| < J(x_{i}),g > | < β, ∀i = 1,...,n ⟹ | < φ,g > | < ε.

Donc g ∈ ⋂_{i} ker J(x_{i}) ⟹ | < φ,g > | < ε, d’où ⋂_{i} ker J(x_{i}) ⊂ ker φ. D’après l’exercice 2, question 3), ∃λ_{1},...,λ_{n} ∈ IR tels que φ = ∑_{1}^{n} λ_{i}J(x_{i}) = J(∑_{1}^{n} λ_{i}x_{i}). Soit x = ∑_{1}^{n} λ_{i}x_{i} ∈ E alors φ = J(x), d’où le résultat.

Exercice 2

Soit f_{n} : E ⟶ IR telle que f_{n}(x) = x_{n} si x = (x_{n})_{n}. Alors f_{n} ∈ E′ et ∥f_{n}∥ = 1. S’il existe une sous-suite (f_{nk})_{nk} qui converge vers un f dans E′_{w⋆} alors ∀x ∈ E, < f_{nk},x >= x_{nk} ⟶< f,x > quand k tend vers +∞. Donc en fait il s’agit de trouver une suite de réels qui ne converge pas...c’est facile. Par exemple, soit x = (x_{n})_{n} tel que x_{nk} = (−1)^{k} et x_{n} = 0 ailleurs, alors x ∈ ℓ^{∞} et < f_{nk},x >= (−1)^{k} ne converge pas. Donc il n’existe pas de sous-suites faiblement-⋆ convergentes bien que (f_{n})_{n} soit dans un compact faible-⋆. Mais ce compact n’est pas métrisable, on peut en conclure par exemple que ℓ^{∞} n’est pas séparable ni réflexif. En effet, ℓ^{1} est séparable et si ℓ^{∞} était réflexif, il serait donc aussi séparable.

Exercice 3

1) K ⊂ ⋃_{n>0} B(0,n) et K compact ⟹ ∃N tel que K ⊂ B(0,N).

2) ∀x ∈ B_{E}, T x est dans un compact donc ∃N tel que T x ∈ B(0,N) ⟹ ∥T x∥ ≤ N.

3) Soit (x_{n})_{n} ∈ E telle que x_{n} converge faiblement vers x ∈ E, alors ∥x_{n}∥ est bornée car E est un Banach et donc ∃R > 0 tel que ∀n, x_{n} ∈ \overline{B}(0,R). Comme T est compacte, (T x_{n})_{n} est dans un compact fort et il existe une sous-suite (T x_{nk})_{k} qui converge fortement vers y ∈ F. D’autre part T est linéaire continue donc continue de E faible dans F faible et T x_{nk} ⇀ T x d’où y = T x. T x est la seule valeur d’adhérence de la suite (T x_{n})_{n} donc toute la suite converge vers T x d’où (⋆).

4) Montrons que T (B_{E}) est fermé. Soit y_{n} = T x_{n} ∈ T (B_{E}), on suppose que T x_{n} ⟶ y, a-t-on y = T x où x ∈ B_{E}? Comme E est réflexif et que ∥x_{n}∥ ≤ 1, ∀n, il existe une sous-suite (x_{nk})_{k} telle que x_{nk} ⇀ x. Alors (⋆) ⟹ T x_{nk} ⟶ T x donc y = T x et ∥x∥ ≤ lim inf ∥x_{nk}∥ ≤ 1 et T (B_{E}) est fermé. Soit encore y_{n} = T x_{n} ∈ T (B_{E}), alors E réflexif ⟹ x_{nk} ⇀ x et T x_{nk} ⟶ T x donc T x est valeur d’adhérence de (y_{n})_{n} et T (B_{E}) est compact.

5) Soit B = {x ∈ ker(Id − T) : ∥x∥ ≤ 1}. Soit (x_{n})_{n} ∈ B alors de ∥x_{n}∥ ≤ 1 et T compact, on déduit qu’il existe une sous-suite x_{nk} = T x_{nk} qui converge vers y. Il est clair que y ∈ B donc B est compact et dim(ker(Id − T)) < ∞.

Exercice 4

On définit J : E ⟶ E′′ par

< Jx,f >_{E′′,E′} = < f,x >_{E′,E} ∀x ∈ E, ∀f ∈ E′.

On a ∥Jx∥ = sup_{∥f∥≤1} | < f,x > | = ∥x∥ par Hahn-Banach, donc J est linéaire isométrique. Ici, E est réflexif donc J est surjective i.e. J(E) = E′′. Si f ∈ E′ alors ∥f∥ = sup_{∥x∥≤1} | < f,x > | = sup_{∥ξ∥≤1} | < ξ,f > | car J est isométrique et surjective. Par Hahn-Banach, sup_{∥ξ∥≤1} | < ξ,f > | = max_{∥ξ∥≤1} | < ξ,f > | et donc ∃x_{0} ∈ E tel que ∥x_{0}∥ ≤ 1 et ∥f∥ = | < f,x_{0} > |.

Exercice 5

On peut vérifier facilement que si φ_{n} converge faiblement vers φ alors elle converge simplement sur [0,1] vers φ et donc nécessairement φ(x) = 0 si x ≠ 0 et φ(0) = 1, donc φ n’est pas continue, ce qui est impossible. On peut en conclure que E n’est pas réflexif.

Exercice 6

1) B_{d}(0,\frac{1}{n}) est un voisinage de 0 dans (B_{E′},d). Par équivalence dess topologies, ∃V_{n} voisinage faible ⋆ de 0 tel que V_{n} ⊂ B_{d}(0,\frac{1}{n}). On peut supposer que

V_{n} = ⋂_{i∈I_{n}} {f ∈ B_{E′} : | < f,x_{i} > | < ε_{n}} ,

où ε_{n} > 0, T_{n} est une partie finie de IN^{⋆} et x_{i} ∈ E. L’ensemble {x_{i},i ∈ I_{n},n ∈ IN^{⋆}} constitue une suite dénombrable de points de E.

2) Si x ∈ X, ∃n tel que x ∈ X_{n} donc x = ∑_{1}^{n} λ_{i}x_{i} où λ_{i} ∈ IR. Comme Q^{|} est dense dans IR, pour ε > 0, ∃r_{1},...,r_{n} ∈ Q^{|} tels que |r_{i} − λ_{i}| ≤ ε. Si y = ∑_{1}^{n} r_{i}x_{i} alors y ∈ Y_{n} ⊂ Y et on a ∥x − y∥ ≤ ε ∑_{1}^{n} ∥x_{i}∥. Donc on a montré que ∀V ∈ V(x), V ∩ Y ≠ ∅. D’où X ⊂ \overline{Y}.

3) Si \overline{X} ≠ E, ∃x_{0} ∈ E \ \overline{X} et par Hahn-Banach, ∃f ∈ E′, f ≢ 0, ∃α ∈ IR, tels que < f,x > < α < < f,x_{0} >, ∀x ∈ \overline{X}. Comme X est vectoriel, on en déduit que f ≡ 0 sur X. On peut supposer que ∥f∥ = 1, alors f ∈ V_{n}, ∀n donc f ∈ B_{d}(0,\frac{1}{n}), ∀n d’où f ≡ 0 et c’est absurde.

13.4 Chapitres V et VI

Exercice 1

1) Sur [0,1], (1 − t^{2})^{n} ≥ 1 − nt^{2} et ∫_{0}^{1}(1 − t^{2})^{n}dt ≥ ∫0^{\frac{1}{\sqrt{n}}} (1 − nt^{2})dt (puisqu’on ne considère que la partie positive de l’aire constituée par le graphe de 1 − nt^{2} sur [0,1].) Donc,

1 = c_{n} ∫_{−1}^{1}(1 − t^{2})^{n}dt = 2c_{n} ∫_{0}^{1}(1 − t^{2})^{n}dt ≥ 2c_{n} ∫0^{\frac{1}{\sqrt{n}}} (1 − nt^{2})dt = \frac{4c_{n}}{3\sqrt{n}},

on en déduit que c_{n} ≤ \frac{3}{4} \sqrt{n}.

2) Pour x ∈ [0,1], on a

P_{n}(x) = ∫_{−1}^{1} f(x − y)Q_{n}(y)dy = ∫_{0}^{1} Q_{n}(x − y)f(y)dy.

Si Q_{n}(x) = ∑_{0}^{d_{n}} a_{p}x^{p} alors

∫_{0}^{1} Q_{n}(x − y)f(y)dy = ∫_{0}^{1} ∑_{p=0}^{d_{n}} a_{p} ∑_{k=0}^{p} C_{p}^{k}x^{k}(−y)^{p−k}f(y)dy,

= ∑_{p=0}^{d_{n}} a_{p} ∑_{k=0}^{p} C_{p}^{k}x^{k}(−1)^{p−k} \underbrace{∫_{0}^{1} y^{p−k}f(y)dy}_{constante} .

Ce qui montre que P_{n} est polynomial. L’application f est uniformément continue sur IR donc pour ε > 0 fixé, il existe δ > 0 tel que ∀x ∈ [0,1] et ∀y tel que |y| ≤ δ, |f(x − y) − f(x)| ≤ ε. Comme ∫_{−1}^{1} Q_{n}dt = 1, on a

|P_{n}(x) − f(x)| = | ∫_{−1}^{1}(f(x − y) − f(x))Q_{n}(y)dy|,
≤ ∫_{[|y|≤δ]} |f(x − y) − f(x)|Q_{n}(y)dy + 2∥f∥_{∞} ∫_{[1≥|y|≥δ]} Q_{n}(y)dy.

Enfin, comme (1 − t^{2})^{n} ≥ (1 − δ^{2})^{n} si 1 ≥ t ≥ δ, on a

∫_{δ}^{1} Q_{n}(y)dy ≤ Q_{n}(δ) ≤ \sqrt{n}(1 − δ^{2})^{n} → 0,

donc ∃N tel que ∀n ≥ N, ∫_{δ}^{1} Q_{n}(y)dy ≤ ε. D’où |P_{n}(x)−f(x)| ≤ (1+4∥f∥_{∞})ε et ceci ∀x ∈ [0,1], on en déduit que ∥f − P_{n}∥_{∞} → 0 quand n → +∞.

3) Soit f ∈ C([0,1]), alors f̂ = f − f(0) − x(f(1) − f(0)) est continue et vérifie f̂(0) = f̂(1) = 0, donc par 2), ∀ε > 0, ∃P̂_{ε} polynôme tel que ∥f̂− P̂_{ε}∥_{∞} ≤ ε. Soit P_{ε} = P̂_{ε} − f(0) − x(f(1) − f(0)) alors P_{ε} est polynomial et f − P_{ε} = f̂− P̂_{ε} ce qui montre que les polynômes sont denses dans C([0,1]).

Exercice 2

1) On a χ_{n}(x) ≥ 0, ∫IR χ_{n} = 1, χ_{n} ⟶ 0 p.p. et ∫IR χ_{n}^{2} = \frac{1}{2n} ⟶ 0. Donc χ_{n} ⟶ 0 dans L^{2}(IR) et χ_{n} −̸→ 0 dans L^{1}(IR).

2) L’ensemble L^{1}(IR) ∩ L^{2}(IR) est dense dans L^{2}(IR) car contient C_{c}(IR) par exemple. Soit E = {f ∈ L^{1}(IR) ∩ L^{2}(IR) : ∫IR f(x) dx = 0}. Si f ∈ L^{1}(IR) ∩ L^{2}(IR) alors g_{n} = f − (∫IR f)χ_{n} ∈ E et f − g_{n} = (∫IR f)χ_{n} ⟶ 0 dans L^{2}(IR). Donc E est dense dans L^{2}(IR).

Exercice 3

Soit f ∈ L^{1}(Ω) avec |f| ≤ M p.p. alors ∫_{A} |f|dx ≤ M|A| donc pour ε > 0, on choisit δ ≤ \frac{ε}{M} et |A| ≤ δ ⟹ ∫_{A} |f|dx ≤ ε. En utilisant le fait que les fonctions continues et bornées sont denses dans L^{1}, on en déduit le cas général.

Exercice 4 (J.M.Bony, Ecole Polytechnique)

1) Soit F (x,y) = f(x − y^{n})g(y) alors ∫IR |F (x,y)|dx = ∥f∥_{L^{1}}|g(y)| et

∫IR(∫IR |F (x,y)|dx)dy = ∥f∥_{L^{1}}∥g∥_{L^{1}},

donc par le Théorème de Fubini-Tonelli, F ∈ L^{1}(IR × IR). De plus, p.p. x, x ↦ ∫IR F (x,y)dy est définie et est dans L^{1}(IR). Enfin, ∥T_{n}(f)∥_{L^{1}} ≤ ∥f∥_{L^{1}}∥g∥_{L^{1}}.

2) On a

∀x, y ↦ f(x − y^{n})g(y) ∈ L^{1}(IR),
p.p.y, x ↦ f(x − y^{n})g(y) ∈ C(IR),

et ∀x, |f(x − y^{n})g(y)| ≤ ∥f∥_{∞}|g(y)| ∈ L^{1}(IR), donc par le Théorème de continuité des intégrales dépendant d’un paramètre, T_{n}(f) ∈ C(IR) et ∀x, |T_{n}(f)(x)| ≤ ∥f∥_{∞}∥g∥_{L^{1}} donc T_{n}(f) est bornée.

3) On écrit T_{n}(f)(x) = A_{n} + B_{n} où A_{n} = ∫_{|y|<1} f(x − y^{n})g(y)dy et B_{n} = ∫_{|y|>1} f(x − y^{n})g(y)dy. Etude de A_{n}:

Quand n → ∞, f(x − y^{n})g(y) ⟶ f(x)g(y) p.p. et |f(x − y^{n})g(y)| ≤ M|g(y)| ∈ L^{1}. Par le Théorème de convergence dominée, A_{n} ⟶ f(x) ∫_{|y|<1} g(y)dy.

Etude de B_{n}:

Quand n → ∞, x − y^{n} ⟶ ±∞ et par hypothèse f(x − y^{n}) ⟶ 0 donc f(x − y^{n})g(y) ⟶ 0 p.p. Enfin, |f(x − y^{n})g(y)| ≤ M|g(y)| ∈ L^{1}, donc le Théorème de convergence dominée montre que B_{n} ⟶ 0.

D’où T_{n}(f)(x) ⟶ C f(x) avec C = ∫_{|y|<1} g(y)dy.

Exercice 5

On note T f l’application x ↦ T f(x) = ∫_{0}^{1} sin(x + f^{2}(t))dt. Alors, par le Théroème de convergence dominée on vérifie facilement que T f ∈ E. Montrons que T : E → E est continue. Si f_{n} → f dans E alors ∀x ∈ [0,1],

|T f_{n}(x) − T f(x)| ≤ ∫_{0}^{1} |f_{n}^{2}(t) − f^{2}(t)|dt,
≤ ∥f_{n} + f∥_{∞}∥f_{n} − f∥_{∞}.

La quantité ∥f_{n} + f∥_{∞} est bornée donc ∥T f_{n} − T f∥_{∞} → 0 et T est continue. Soit A = T (E), montrons que \overline{A} est compact dans E. Pour cela on utilise le Théorème d’Ascoli. A est équicontinue car ∀f ∈ E, |T f(x) − T f(y)| ≤ |x − y|. Pour x ∈ [0,1], si A_{x} = \{T f(x),f ∈ E\} alors A_{x} ⊂ [−1,1] donc \overline{A_{x}} est compact (dans IR). Le Théorème d’Ascoli montre que \overline{A} est compact dans E et le Théorème de Shauder donne l’existence d’un point fixe de T.

Exercice 6

Par le Théorème de Fubini, f,g ∈ L^{1}(IR) ⟹ f ⋆ g ∈ L^{1}(IR) et ∥f ⋆ g∥_{1} ≤ ∥f∥_{1}∥g∥_{1}. (f,g) ↦ (f ⋆ g) est bilinéaire donc ⋆ est distributive par rapport à l’addition. Enfin, il est évident que ⋆ est commutative, donc il reste à voir que ⋆ est associative. Soit f,g,h ∈ L^{1}(IR), en appliquant le Théorème de Fubini et en effectuant un changement de variables, on a

(f ⋆ g) ⋆ h(x) = ∫IR f ⋆ g(x − y)h(y)dy = ∫IR ∫IR f(x − y − u)g(u)h(y)dydu,
= ∫IR ∫IR h(y)g(v − y)f(x − v)dvdy,
= ∫IR f(x − v)g ⋆ h(v)dv = f ⋆ (g ⋆ h)(x).

Supposons maintenant qu’il existe un élément neutre δ pour la convolution dans L^{1}(IR). Soit f_{n} ∈ C(IR), f_{n} ≥ 0, de support [−\frac{1}{n},\frac{1}{n}] et telle que f_{n}(0) = ∥f_{n}∥_{∞} = 1. Alors δ ⋆ f_{n} ∈ C(IR) et ∀x ∈ IR, δ ⋆ f_{n}(x) = f_{n} ⋆ δ(x) = f_{n}(x), donc en particulier

f_{n} ⋆ δ(0) = f_{n}(0) = 1 = ∫IR f_{n}(−y)δ(y)dy.

Soit g_{n}(y) = f_{n}(−y)δ(y) alors g_{n}(y) ⟶ 0 p.p. et |g_{n}(y)| ≤ |δ(y)| ∈ L^{1}(IR). Le Théorème de convergence dominée montre que ∫IR g_{n} ⟶ 0, d’où contradiction.

Exercice 7

Comme la suite f_{n} est de Cauchy, on peut reprendre la démonstration du Théorème 6.3 chap. VI, et extraire une sous-suite f_{n_{k}} qui converge p.p. vers une limite notée h_{0} (on ne sait pas a priori que f = h_{0} p.p.). En reprenant les mêmes notations que dans la démonstration du Théorème 6.3, on a de plus, p.p. x, ∀k, |f_{n_{k}}(x)−h_{0}(x)| ≤ g(x) qui est chapeau intégrable. Par le Théorème de convergence dominée, il en résulte que h_{0} ∈ L^{1} et f_{n_{k}} ⟶ h_{0} dans L^{1}. Par conséquent f = h_{0} p.p. La sous-suite est clairement dominée par h = |h_{0}| + g.

Exercice 8

∀t > 0, x ↦ e^{−t} t^{x−1} est C^{∞} sur IR^{+⋆} et pour x > 0 fixé, t ↦ e^{−t} t^{x−1} ∈ L^{1}(]0, + ∞[). Enfin, ∀[a,b] ⊂]0, + ∞[ et pour tout x ∈ [a,b], on a,

|e^{−t} t^{x−1}| ≤ 11_{(0,1)}e^{−t} t^{a−1} + 11_{(1,+∞)}e^{−t} t^{b−1} ∈ L^{1}(0, + ∞).

Par le Théorème de continuité des intégrales dépendant d’un paramètre, on conclut que Γ est continue sur ]0, + ∞[. ∀k, \frac{∂}{∂x^{k}} (e^{−t} t^{x−1}) = e^{−t}(log t)^{k}t^{x−1} et

|\frac{∂}{∂x^{k}} (e^{−t} t^{x−1})| ≤ 11_{(0,1)}e^{−t}| log t|^{k}t^{a−1} + 11_{(1,+∞)}e^{−t}| log t|^{k}t^{b−1} ∈ L^{1}(0, + ∞),

∀x ∈ [a,b] ⊂]0, + ∞[. Donc le Théorème de dérivation sous le signe somme montre que Γ est C^{k} sur ]0, + ∞[, ∀k, donc est C^{∞} sur IR^{+⋆}.

Exercice 9

1) On suppose θ ∈]0,1[. On peut toujours écrire

∫ |f|^{r} = ∫ |f|^{rθ}|f|^{(1−θ)r}.

Posons g = |f|^{rθ} et h = |f|^{(1−θ)r} alors g ∈ L^{\frac{p}{rθ}} et h ∈ L^{\frac{q}{(1−θ)r}} où \frac{rθ}{p} + \frac{(1−θ)r}{q} = 1. Par l’inégalité de Hölder, on obtient

∫ gh ≤ ∥g∥_{\frac{p}{rθ}} ∥h∥_{\frac{q}{(1−θ)r}} ,

c’est à dire

∫ |f|^{r} ≤ (∫ |f|^{p})^{\frac{rθ}{p}} + (∫ |f|^{q})^{\frac{(1−θ)r}{q}} .

2) Si E = ⋃_{n} E_{n} et E_{n} fermé dans (E,∥ ∥_{1}) alors (E,∥ ∥_{1}) étant complet, on peut appliquer le lemme de Baire et ∃n_{0} tel que int(E_{n_{0}}) ≠ ∅. Donc ∃f ∈ E et ∃r > 0 tels que B(f,r) ⊂ E_{n_{0}}. Si g ∈ E, g ≠ 0 alors f + \frac{r}{2} \frac{g}{∥g∥_{1}} ∈ B(f,r) ⊂ E_{n_{0}} donc g ∈ L^{1+ \frac{1}{n_{0}}} et |\frac{r}{2} \frac{1}{∥g∥_{1}} ∥g∥_{1+ \frac{1}{n_{0}}} − ∥f∥_{1+ \frac{1}{n_{0}}} | ≤ n_{0}

⟹ ∥g∥_{1+ \frac{1}{n_{0}}} ≤ \frac{4n_{0}}{r} ∥g∥_{1}.

D’où id : E,∥ ∥_{1} ⟶ L^{1+ \frac{1}{n_{0}}} est continue.

Montrons que E = ⋃_{n} E_{n}. Si f ∈ E alors ∃q > 1 tel que f ∈ L^{1} ∩ L^{q}. Donc ∃N_{0} tel que à la fois ∥f∥_{1} ≤ N_{0} et ∀n ≥ N_{0}, 1 + \frac{1}{n} < q. Soit r_{n} = 1 + \frac{1}{n} alors par 1),

∥f∥_{1+ \frac{1}{n}} ≤ ∥f∥_{1}^{θ_{n}}∥f∥_{q}^{(1−θ_{n})}, où \frac{1}{r_{n}} = \frac{n}{n + 1} = θ_{n} + \frac{1 − θ_{n}}{q} .

Or θ_{n}(1 − \frac{1}{q}) = \frac{n}{n+1} − \frac{1}{q} où q > 1 donc θ_{n} ⟶ 1 et ∥f∥_{1}^{θ_{n}}∥f∥_{q}^{(1−θ_{n})} ⟶ ∥f∥_{1}. Donc ∃N ≥ N_{0} + 1 tel que ∀n ≥ N ∥f∥_{1+ \frac{1}{n}} ≤ ∥f∥_{1} + 1 ≤ N_{0} + 1 ≤ N et f ∈ E_{N} par exemple. D’où E = ⋃_{n} E_{n}. Montrons que ∀n, E_{n} est fermé dans (E,∥ ∥_{1}). Soit (f_{p})_{p} ⊂ E_{n} telle que f_{p} ⟶ f dans (E,∥ ∥_{1}). A-t’on f ∈ E_{n}? ∥f_{p} − f∥_{1} ⟶ 0 ⟹ il existe une sous-suite (f_{p_{k}})_{k} telle que f_{p_{k}} ⟶ f p.p. (voir l’exercice 5 chap.VI), donc

\{ \begin{matrix}|f_{p_{k}}|^{1+ \frac{1}{n}} ⟶ |f|^{1+ \frac{1}{n}} p.p., \\ |f_{p_{k}}|^{1+ \frac{1}{n}} ∈ L^{1}, |f_{p_{k}}|^{1+ \frac{1}{n}} ≥ 0 p.p., \\ ∀k, ∫ |f_{p_{k}}|^{1+ \frac{1}{n}} ≤ n^{1+ \frac{1}{n}} . \end{matrix}

Le lemme de Fatou montre que |f|^{1+ \frac{1}{n}} ∈ L^{1}, soit f ∈ L^{1+ \frac{1}{n}}, et

∫ |f|^{1+ \frac{1}{n}} ≤ lim inf ∫ |f_{p_{k}}|^{1+ \frac{1}{n}} ≤ n^{1+ \frac{1}{n}} .

Donc f ∈ E_{n}, et E_{n} est fermé.

Exercice 10

1) On a ∥f∥_{p} ≤ ∥f∥_{∞}|Ω|^{\frac{1}{p}} donc lim sup ∥f∥_{p} ≤ ∥f∥_{∞}. Soient 0 < k < ∥f∥_{∞} et A = \{x ∈ Ω : |f(x)| > k\}, alors |A| ≠ 0 et ∥f∥_{p} ≥ k |A|^{\frac{1}{p}}. Donc lim inf ∥f∥_{p} ≥ k et ceci ∀k < ∥f∥_{∞}. D’où lim inf ∥f∥_{p} ≥ ∥f∥_{∞} et lim ∥f∥_{p} = ∥f∥_{∞}.

2) Soit k > C et soit A = {x ∈ Ω : |f(x)| > k} alors

k^{p}|A| ≤ ∥f∥_{p}^{p} ≤ C^{p} ⟹ |A| ≤ (\frac{C}{k} )^{p} , ∀p.

Quand p → ∞, on obtient |A| = 0, donc p.p. x |f(x)| ≤ k et f ∈ L^{∞}.

3) Soit f(x) = log x, alors f ∉ L^{∞}(0,1). Soit 1 ≤ p < +∞ comme \sqrt{x}| log x|^{p} ⟶ 0 quand x → 0, ∃ε > 0 tel que |x| ≤ ε ⟹ | log x|^{p} ≤ \frac{1}{\sqrt{x}}. Alors

|f(x)|^{p} ≤ \frac{1}{\sqrt{x}}11_{(0,ε)} + | log x|^{p}11_{(ε,1)} ∈ L^{1}(0,1),

donc f ∈ ⋂_{1≤p<∞} L^{p}(Ω).

Exercice 11

1) Soit h : ξ → e^{−ixξ}f(x), h ∈ C^{∞}(IR) et h^{(k)}(ξ) = (−ix)^{k}h(ξ) donc |h^{(k)}(ξ)| ≤ |x^{k}f(x)| ≤ g(x) ∈ L^{1}(IR) où par exemple

g(x) = |f(x)|11_{[|x|≤1]} + \frac{M_{k}}{|x|^{2}} 11_{[|x|>1]}

et où M_{k} = ∥x^{k+2}f∥_{∞}. Le Théorème de dérivation sous le signe somme donne alors : f̂ ∈ C^{∞}(IR) et ∀k, f̂^{(k)} = ĝ avec g(x) = (−ix)^{k}f(x).

2) Comme f′ ∈ L^{1}, on a

f̂′(ξ) = lim_{R→+∞} ∫_{−R}^{R} e^{−ixξ}f′(x)dx et

∫_{−R}^{R} e^{−ixξ}f′(x)dx = [f(x)e^{−ixξ}]_{−R}^{R} + ∫_{−R}^{R} iξe^{−ixξ}f(x)dx.

Comme f est C^{∞}, f(R) = f(0) + ∫_{0}^{R} f′dt et ∫_{0}^{R} f′dt converge vers ∫_{0}^{∞} f′dt car f′ ∈ L^{1}. On en déduit que lim_{R∞} f(R) existe et de même lim_{R∞} f(−R) existe. Enfin, f ∈ L^{1} ⟹ lim_{R∞} f(R) = lim_{R∞} f(−R) = 0. Donc par passage à la limite, et par récurrence sur k, on obtient f̂^{(k)} = (iξ)^{k}f̂.

3) Si f ∈ S, ∀P polynôme, P f ∈ C^{∞}(IR) et ∀q, x^{q}(P f)^{k}(x) = ∑_{0}^{k} P_{j}(x)f^{(j)}(x) où P_{j} est un polynôme (voir la formule de Leibniz). Donc

|x^{q}(P f)^{k}(x)| ≤ (k + 1) max_{j} ({sup \atop IR} |P_{j}(x)f^{(j)}(x)|) < ∞.

Ensuite, f ∈ S ⟹ f′ ∈ C^{∞} et ∥x^{q}(f′)^{(k)}∥_{∞} = ∥x^{q}f^{(k+1)}∥_{∞} < ∞. Enfin,

f ∈ S ⟹ |f(x)| ≤ |f(x)|11_{[|x|≤1]} + \frac{M}{|x|^{2}} 11_{[|x|>1]} ∈ L^{1}.

4) Si f ∈ S, on sait déjà que f̂ ∈ C^{∞} par 1). En utlisant 1) et 2), on a, si g(x) = (−ix)^{k}f(x),

ξ^{q}f̂^{(k)} = ξ^{q}ĝ = \frac{1}{i^{q}} ĝ^{(q)}
= (−i)^{k+q} ∫IR e^{−ixξ} \frac{d}{dx^{q}} (x^{k}f(x))dx,

et la question 3) montre que x^{k}f ∈ S donc (x^{k}f)^{q} ∈ S. On en déduit que (x^{k}f)^{q} ∈ L^{1} et donc que ξ^{q}f̂^{(k)} ∈ L^{∞}(IR), ∀q,k. D’où f̂ ∈ S.

5) On suppose que ∀p,q, lim_{n∞} ∥x^{p}f_{n}^{(q)}∥_{∞} = 0. x^{p}(f′_{n})^{(q)} = x^{p}f_{n}^{(q+1)} donc f′_{n} converge vers 0 dans S. En utilisant la formule de Leibniz et le fait que f_{n} tend vers 0 dans S, on voit facilement que ∥x^{p}(x^{k}f_{n})^{(q)}∥_{∞} → 0 et donc que ∀P polynôme, P f_{n} tend vers 0 dans S. Enfin, si f_{n} tend vers 0 dans S alors ∀ε > 0, ∃N tel que ∀n ≥ N, ∀x ∈ IR, |(1 + x^{2})f_{n}(x)| ≤ ε. Alors ∀n ≥ N,

∫IR |f_{n}| ≤ ε ∫IR \frac{dx}{1 + x^{2}} = επ,

donc f_{n} → 0 dans L^{1}. On a ξ^{p}f̂_{n}^{(q)} = (−i)^{p+q}ĝ_{n} où g_{n}(x) = (x^{q}f_{n})^{(p)}(x). Par 3) g_{n} ∈ S et f_{n} → 0 dans S ⟹ g_{n} → 0 dans S ⟹ g_{n} → 0 dans L^{1}. Or |ĝ_{n}(ξ)| ≤ ∥g_{n}∥_{1} donc f̂_{n} → 0 dans S.

6) Il est clair que la fonction ψ_{a} est dans S et elle est l’unique solution de l’équation différentielle u′ + 2axu = 0 vérifiant ∫IR u(x)dx = \sqrt{\frac{π}{a}}. En multilpliant l’équation différentielle par (−i) et en prenant sa transformée de Fourier, on voit immédiatement que ψ̂_{a} est l’unique solution de 2av′ + ξv = 0 vérifiant v(0) = \sqrt{\frac{π}{a}}, d’où l’expression de ψ̂_{a}. Enfin ∫IR ψ̂_{a}dξ = \sqrt{\frac{π}{a}} ∫IR ψ_{1/4a}dξ = \sqrt{\frac{π}{a}} \sqrt{4πa} = 2π.

7) a) Par le Théorème de Fubini, on a

∫IR e^{ixξ}f̂(ξ)Φ(ξ)dξ = ∫IR ∫IR e^{i(x−y)ξ}f(y)Φ(ξ)dξdy,
= ∫IR Φ̂(y − x)f(y)dy = ∫IR Φ̂(y)f(x + y)dy.

b) Si Φ(t) = Φ_{0}(εt) alors Φ̂(ξ) = \frac{1}{ε} Φ̂_{0}(\frac{ξ}{ε}) donc aprés changement de variable :

∫ e^{ixξ}f̂(ξ)Φ_{0}(εξ)dξ = ∫ Φ̂_{0}(y)f(x + εy)dy,

quand ε → 0, on obtient par le Thérorème de convergence dominée :

Φ_{0}(0) ∫ e^{ixξ}f̂(ξ)dξ = f(x) ∫ Φ̂_{0}(y)dy.

c) On choisit Φ_{0} = ψ_{a=1} alors la question 6) entrainne que

f(x) = \frac{1}{2π} ∫IR e^{ixξ}f̂(ξ)dξ, ∀x ∈ IR >

8) Vérifions que S ⊂ L^{2}. f ∈ S ⟹ ∃A > 0 tel que ∀x ∈ IR, |(1 + x^{2})f(x)| ≤ A. Alors,

∫ |f|^{2}dx ≤ A^{2} ∫ \frac{dx}{(1 + x^{2})^{2}} < ∞.

Comme D(IR) ⊂ S et que D(IR) est dense dans L^{2}, S est dense dans L^{2}.

9) On choisit x = 0 dans (⋆), on obtient a).

b) Soit ψ ∈ S alors ψ̂ ∈ S et on choisit f = ψ̂ dans (⋆). Alors ψ(x) = \frac{1}{2π} f̂(−x) et

∫ f\overline{ϕ} = ∫ ψ̂\overline{ϕ}dx
= ∫ ψ(ξ)ˆ\overline{ϕ}dξ par a),
= \frac{1}{2π} ∫ f̂(−ξ)\overline{ϕ̂}(−ξ)dξ
= \frac{1}{2π} ∫ f̂\overline{ϕ̂}dξ.

c) Si ϕ, ψ ∈ S ⊂ L^{1} alors ϕ ∗ ψ ∈ L^{1} et par le Théorème de Fubini

{ \atop ϕ ∗ ψ}(ξ) = ∫ ∫ e^{−ixξ}ϕ(y)ψ(x − y)dydx,
= ∫ e^{−iyξ}ϕ(y) (∫ e^{−i(x−y)ξ}ψ(x − y)dx) dy,
= ϕ̂(ξ)ψ̂(ξ).

10) Soit f ∈ E, comme \overline{G} = E, ∃(f_{n})_{n} ⊂ G telle que lim_{n} ∥f − f_{n}∥ = 0. En particulier, (f_{n})_{n} est de Cauchy dans E et A linéaire continue ⟹ ∥Af_{n} − Af∥ ≤ ∥A∥∥f_{n} − f_{m}∥. Donc (Af_{n})_{n} est Cauchy dans F complet donc converge vers un g dans F. On vérifie facilement que g ne dépend pas de la suite (f_{n})_{n} et on pose Ãf = g. L’application Ã est linéaire par construction et

∥Ãf∥ = lim_{n∞} ∥Af_{n}∥ ≤ lim_{n∞} ∥A∥∥f_{n}∥ = ∥A∥∥f∥,

donc Ã est continue et ∥Ã∥ = ∥A∥. Comme Ãf = Af, ∀f ∈ G, on a

∥Ã∥ = sup_{f∈E,f≠0} \frac{∥Ãf∥}{∥f∥} ≥ sup_{f∈G,f≠0} \frac{∥Af∥}{∥f∥} = ∥A∥.

D’où ∥Ã∥ = ∥A∥. Enfin G étant dense dans E, il est clair que Ã est unique.

11) On applique 10) avec E = F = L^{2}(IR), G = S et A = F. A est linéaire et 9)b) avec ϕ = ψ montre que ∥Af∥_{2}^{2} = 2π∥f∥_{2}^{2}. Donc F se prolonge à L^{2}(IR) en une application linéaire continue (encore notée F) et ∀f ∈ L^{2},

∥Ff∥_{2} = lim_{n} ∥Ff_{n}∥_{2} = \sqrt{2π} lim_{n} ∥f_{n}∥_{2} = \sqrt{2π}∥f∥_{2}.

D’autre part, si on note \overline{F}(f)(ξ) = ∫ e^{ixξ}f(x)dx, on a montré en 7) que ∀f ∈ S, \frac{1}{2π} \overline{F}oF(f) = f. Si f̃(x) = f(−x), on remarque que ∀f ∈ S, \overline{F}(f) = F(f̃) et que \frac{1}{2π} FoF(f̃) = f = \frac{1}{2π} Fo\overline{F}(f). Donc \frac{1}{2π} \overline{F} qui se prolonge à L^{2} de la même manière que F vérifie : ∀f ∈ S, \frac{1}{2π} \overline{F}oF(f) = f = Fo\frac{1}{2π} \overline{F}(f). Par densité de S dans L^{2} et continuité de ces deux applications, on en déduit que ∀f ∈ L^{2}, \frac{1}{2π} \overline{F}oF(f) = f = Fo\frac{1}{2π} \overline{F}(f) donc F^{−1} = \frac{1}{2π} \overline{F} et F est bien un isomorphisme d’espaces de Banach.

13.5 Chapitre VII

Exercice 1

1) Soit (f_{n})_{n} une suite de Cauchy dans E alors (f_{n})_{n} est une suite de Cauchy dans L^{1} et L^{2}. Donc ∃f ∈ L^{1}, ∃g ∈ L^{2} telles que f_{n} ⟶ f dans L^{1} et f_{n} ⟶ g dans L^{2}. En utilisant la ”réciproque” du Théorème de convergence dominée, on en déduit qu’il existe une sous-suite (f_{n_{k}})_{k} telle que f_{n_{k}} ⟶ f p.p. et f_{n_{k}} ⟶ g dans L^{2}, donc il existe une sous-suite (f_{n_{k_{l}}})_{l} telle que f_{n_{k_{l}}} ⟶ g p.p. D’où f = g p.p. et f_{n} ⟶ f dans E, donc E est un espace de Banach. En appliquant l’inégalité de Hölder, on obtient

| ∫IR f(x)u(x)dx| ≤ ∥f_{1}∥_{∞}∥u∥_{1} + ∥f_{2}∥_{2} ∥u∥_{2} ≤ (∥f_{1}∥_{∞} + ∥f_{2}∥_{2}) ∥u∥.

Donc u ↦ ∫ fudx ∈ E′.

2) Soit 0 < α < \frac{1}{2}, on peut toujours écrire

∫IR \frac{1}{|x|^{α}} udx = ∫_{[|x|>M]} \frac{1}{|x|^{α}} udx + ∫_{[|x|≤M]} \frac{1}{|x|^{α}} udx.

Soient f_{1}(x) = \frac{1}{|x|^{α}} 11_{[|x|>M]} et f_{2}(x) = \frac{1}{|x|^{α}} 11_{[|x|≤M]}, alors α > 0 ⟹ f_{1} ∈ L^{∞}(IR) et 2α < 1 ⟹ f_{2} ∈ L^{2}(IR). La question 1) permet alors de conclure.

3) K est évidemment convexe, montrons qu’il est fermé. Soit (u_{n})_{n} ⊂ K telle que u_{n} ⟶ u dans E, alors u_{n} ⟶ u dans L^{1} donc ∫ u_{n} ⟶ ∫ u et on en déduit que ∫ u ≤ 1. La convergence dans L^{1} implique aussi qu’il existe une sous-suite (u_{n_{k}})_{k} telle que u_{n_{k}} ⟶ u p.p. donc u ≥ 0 p.p. et on en conclut que u ∈ K. Donc K est fermé.

4) Posons K_{0} = {u ∈ L^{2} : u ≥ 0 p.p.} alors K_{0} est un convexe fermé fort de L^{2} donc fermé faible de L^{2}, donc u ∈ K_{0}. Il reste à montrer que u ∈ L^{1} et ∫ u ≤ 1. Soit A un ensemble mesurable de mesure finie (notation |A| < ∞), alors 11_{A} ∈ L^{2} et u_{n} ⇀ u dans L^{2} faible ⟹ ∫ 11_{A}u_{n} ⟶ ∫ 11_{A}u. Or ∫ 11_{A}u_{n} ≤ ∫ u_{n} ≤ 1 donc ∀A tel que |A| < ∞, ∫_{A} u ≤ 1. Pour passer à IR tout entier, on utilise le lemme de Fatou. Soit v_{n} = 11_{(−n,n)}u alors v_{n} ∈ L^{1}, v_{n} ≥ 0 p.p., v_{n} ⟶ u p.p. et sup_{n} ∫ v_{n} ≤ 1, donc par le lemme de Fatou, on en déduit que u ∈ L^{1} et ∫ u ≤ lim inf ∫ v_{n} ≤ 1. Donc u ∈ K.

5) Soit M > 0, alors

| ∫IR \frac{1}{|x|^{α}} (u_{n} − u)| ≤ | ∫_{[|x|≤M]} \frac{1}{|x|^{α}} (u_{n} − u)| + | ∫_{[|x|>M]} \frac{1}{|x|^{α}} (u_{n} − u)|,
≤ | ∫_{[|x|≤M]} \frac{1}{|x|^{α}} (u_{n} − u)| + \frac{1}{M^{α}} (∥u_{n}∥_{1} + ∥u∥_{1}),
≤ | ∫_{[|x|≤M]} \frac{1}{|x|^{α}} (u_{n} − u)| + \frac{2}{M^{α}} ,

puisque u_{n},u ∈ K. Comme u_{n} converge faiblement vers u dans L^{2},

∫_{[|x|≤M]} \frac{1}{|x|^{α}} (u_{n} − u) ⟶ 0.

Donc en prenant la lim sup sur n, on obtient

lim sup | ∫IR \frac{1}{|x|^{α}} (u_{n} − u)| ≤ \frac{2}{M^{α}} ,

et ceci ∀M > 0. En faisant tendre M vers +∞, on a lim sup | ∫ \frac{1}{|x|^{α}} (u_{n} − u)| = 0 d’où

∫ \frac{1}{|x|^{α}} u_{n} ⟶ ∫ \frac{1}{|x|^{α}} u.

6) On peut écrire, par exemple, pour u ∈ K,

∫IR \frac{1}{|x|^{α}} u = ∫_{[|x|≤1]} \frac{1}{|x|^{α}} u + ∫_{[|x|>1]} \frac{1}{|x|^{α}} u ≤ C_{0} ∥u∥_{2} + ∥u∥_{1} ≤ C_{0} ∥u∥_{2} + 1,

où C_{0} = ∥11_{[|x|≤1]} \frac{1}{|x|^{α}} ∥_{2}. Alors pour u ∈ K, on a

J(u) ≥ ∥u∥_{2}^{2} − C_{0} ∥u∥_{2} − 1 ≥ C,

où C est une constante indépendante de u ∈ K. (Par exemple C = −(1 + \frac{C_{0}^{2}}{4} ) convient.)

7) Soit (u_{n})_{n} ⊂ K, une suite minimisante, par exemple telle que m ≤ J(u_{n}) ≤ m + \frac{1}{n}. D’après la question 6), on a

∥u_{n}∥_{2}^{2} − C_{0} ∥u_{n}∥_{2} − 1 ≤ J(u_{n}) ≤ m + 1, ∀n,

donc nécessairement ∥u_{n}∥_{2} reste bornée, donc ∃M_{0} tel que ∀n, ∥u_{n}∥_{2} ≤ M_{0} alors ∥u_{n}∥ ≤ M_{0} +1.

8) La suite (u_{n})_{n} est bornée dans L^{2} réflexif, donc il existe une sous-suite (u_{n_{k}})_{k} telle que u_{n_{k}} ⇀ u dans L^{2} faible et u_{n_{k}} ∈ K. Alors la question 4) montre que u ∈ K et la question 5) montre que ∫ \frac{1}{|x|^{α}} u_{n_{k}} ⟶ ∫ \frac{1}{|x|^{α}} u. D’autre part,

J(u_{n_{k}}) ≤ m + \frac{1}{n_{k}} donc ∥u_{n_{k}}∥_{2}^{2} ≤ m + \frac{1}{n_{k}} + ∫ \frac{1}{|x|^{α}} u_{n_{k}}.

On prend les lim inf dans cette inégalité, on obtient lim inf ∥u_{n_{k}}∥_{2}^{2} ≤ m + ∫ \frac{1}{|x|^{α}} u. Comme ∥ ∥_{2}^{2} est s.c.i. faible, on a ∥u∥_{2}^{2} ≤ lim inf ∥u_{n_{k}}∥_{2}^{2}, donc finalement ∥u∥_{2}^{2} ≤ m + ∫ \frac{1}{|x|^{α}} u, soit J(u) ≤ m. D’où J(u) = m.

9) La réponse est non. En effet supposons E réflexif. Soit f_{n} = 11_{(n,n+1)} alors ∥f_{n}∥_{1} = ∥f_{n}∥_{2} = 1 donc ∥f_{n}∥ = 2. Si E est réflexif alors il existe une sous-suite (f_{n_{k}})_{k} telle que f_{n_{k}} ⇀ f dans E faible. Soit g ≡ 1 alors g ∈ L^{∞}(IR) et u ↦ ∫ gu ∈ E′ donc 1 = ∫ f_{n_{k}} ⟶ ∫ f, d’où ∫ f = 1. Soit g ∈ C_{c}(IR) alors u ↦ ∫ gu ∈ E′ et ∫ gf_{n_{k}} ⟶ ∫ gf. Or, ∃N tel que supp(g) ⊂ \overline{B}(0,N) et si k ≥ k_{0}, n_{k} > N, donc f_{n_{k}} ≡ 0 sur supp(g) et ∫ gf_{n_{k}} = 0, ceci pour tout k ≥ k_{0}. On en déduit que ∫ fg = 0, ∀g ∈ C_{c}(IR) donc f = 0 p.p. or ∫ f = 1, c’est absurde.

Exercice 2

On pose K = {u ∈ L^{p}(Ω); u ≥ f p.p. }.

1) K est convexe fermé fort donc fermé faible.

2) a) Posons K_{φ} = {u ∈ L^{∞}(Ω) : ∫_{Ω} uφ ≥ ∫_{Ω} fφ} où φ ∈ L^{1}, φ ≥ 0 p.p. et est telle que fφ ∈ L^{1}. Soit K_{0} = ⋂_{φ∈Φ} K_{φ} où l’intersection est prise sur l’ensemble Φ = {φ ∈ L^{1}, φ ≥ 0, fφ ∈ L^{1}}. Montrons que K = K_{0}. Il est clair que K ⊂ K_{0}. Soit donc u ∈ K_{0}, alors ∀φ ∈ L^{1} telles que φ ≥ 0 p.p. et fφ ∈ L^{1}, on a ∫ uφ ≥ ∫ fφ. Soit Ω_{n} = {x : |f(x)| < n} et soit E = {x : u(x) < f(x)}, on va montrer que |E| = 0. Supposons d’abord |Ω| < ∞. On a Ω = ⋃_{n}↑ Ω_{n}. Soit φ = 11_{E∩Ω_{n}}, alors φ ∈ L^{1}(Ω) car |Ω| < ∞, φ ≥ 0 p.p. et fφ ∈ L^{1} car |f| < n. Alors

∫_{E∩Ω_{n}}(u − f)φ = ∫_{Ω}(u − f)φ ≥ 0.

Or u − f < 0 sur E ∩ Ω_{n} donc nécessairement |E ∩ Ω_{n}| = 0 et ceci ∀n, donc E = ∪_{n}(E ∩ Ω_{n}) est négligeable. Si |Ω| = +∞, alors Ω = ∪_{k}↑ ω_{k} où ω_{k} = Ω ∩ B(0,k). On se restreint donc à ω_{k}, |ω_{k}| < ∞ et E = ⋃_{n,k} E_{n,k} où E_{n,k} = E ∩ Ω_{n} ∩ ω_{k}. Soit φ = 11_{E_{n,k}} alors comme tout à l’heure, φ ∈ L^{1}(Ω), φ ≥ 0 p.p., fφ ∈ L^{1} et on montre de la même façon que ci-dessus que E_{n,k} est négligeable. Donc E est négligeable comme union dénombrable d’ensembles négligeables. On en conclut que u ∈ K d’où K = K_{0}.

b) Si φ ∈ L^{1}, u ↦ ∫ uφ est continue sur ℓ^{∞} pour la topologie faible ⋆ donc K_{φ} est fermé faible ⋆ et K = ⋂_{φ∈Φ} K_{φ} est fermé faible ⋆.

c) Les boules fermées sont compactes faible ⋆ et K ⊂ \overline{B}(0,∥f_{1}∥_{∞} + ∥f_{2}∥_{∞}) donc K est compact faible ⋆.

Soit ε > 0, ∃g ∈ C_{c}^{∞}(IR) telle que ∥f − g∥_{1} ≤ ε et supp(g) ⊂ K compact fixe. On peut écrire

∥τ_{y_{1}}f − τ_{y_{2}}f∥_{1} ≤ ∥τ_{y_{1}}f − τ_{y_{1}}g∥_{1} + ∥τ_{y_{1}}g − τ_{y_{2}}g∥_{1} + ∥τ_{y_{2}}g − τ_{y_{2}}f∥_{1}.

L’invariance de la mesure de Lebesgue par translation entraine que ∥τ_{y}f − τ_{y}g∥_{1} = ∥f − g∥_{1}, ∀y, donc on obtient

∥τ_{y_{1}}f − τ_{y_{2}}f∥_{1} ≤ 2ε + ∥τ_{y_{1}}g − τ_{y_{2}}g∥_{1}.

La fonction g étant uniformément continue, ∃δ > 0 (on peut supposer δ ≤ 1), tel que ∀x, ∀|y_{1} − y_{2}| ≤ δ, |g(x − y_{1}) − g(x − y_{2})| ≤ \frac{ε}{C} où C = |K + \overline{B}(0,1)|. Alors

∫IR |τ_{y_{1}}g − τ_{y_{2}}g|dx = ∫_{K+\overline{B}(0,1)} |g(x + y_{2} − y_{1}) − g(x)|dx ≤ ε.

(Si x ∉ K + \overline{B}(0,1), alors x ∉ K et ∀|y_{1} − y_{2}| ≤ δ, x + y_{2} − y_{1} ∉ K + \overline{B}(0,δ) donc l’intégrale ci-dessus est nulle.)

Exercice 4

1) Par la propriété d’absolue continuité, on sait que si ε > 0, ∃δ > 0 tel que ∀A mesurable ⊂ Ω avec |A| ≤ δ, on ait ∫_{A} |f|^{p} ≤ ε. Pour ce δ, on applique le Théorème d’Egoroff, comme f_{n} ⟶ f p.p., ∃A mesurable ⊂ Ω tel que |A| ≤ δ et f_{n} ⟶ f uniformément sur Ω \ A. Donc,

∫_{Ω\A} |f_{n} − f|^{p} ≤ |Ω \ A|∥f_{n} − f∥_{L^{∞}(Ω\A)} ⟶ 0,

puisque |Ω \ A| < ∞.

∫_{A} |f_{n} − f|^{p} ≤ 2^{p} ∫_{A} |f_{n}|^{p} + 2^{p} ∫_{A} |f|^{p} ≤ 2^{p} ∫_{A} |f_{n}|^{p} + 2^{p}ε.

Mais,

∫_{A} |f_{n}|^{p} = ∫_{Ω} |f_{n}|^{p} − ∫_{Ω\A} |f_{n}|^{p},

avec ∫_{Ω} |f_{n}|^{p} ⟶ ∫_{Ω} |f|^{p} par hypothèse et ∫_{Ω\A} |f_{n}|^{p} ⟶ ∫_{Ω\A} |f|^{p} car il y a convergence uniforme sur Ω\A. Donc ∫_{A} |f_{n}|^{p} ⟶ ∫_{A} |f|^{p} ≤ ε. D’où pour n assez grand ∫_{A} |f_{n}|^{p} ≤ 2ε et ∫_{Ω\A} |f_{n}−f|^{p} ≤ ε, on en déduit que ∫_{Ω} |f_{n} − f|^{p} ≤ 2^{p}(2ε) + 2^{p}ε + ε. Remarque : Sans supposer Ω borné, on peut démontrer ce résultat de la façon suivante : Soit g_{n} = α_{p}(|f|^{p} + |f_{n}|^{p}) − |f − f_{n}|^{p} où α_{p} = 2^{p−1}, on lui applique le lemme de Fatou et on obtient lim sup ∥f − f_{n}∥_{p}^{p} ≤ 0 d’où la convergence dans L^{p}.

2) Soit φ ∈ L^{p′}, on veut montrer que ∫_{Ω}(f_{n} − f)φ ⟶ 0. Soit ε > 0, ∃δ > 0 tel que ∀A mesurable ⊂ Ω avec |A| ≤ δ, on ait ∥φ∥_{L^{p′}(A)} ≤ ε et par le Théorème d’Egoroff, ∃A mesurable ⊂ Ω tel que |A| ≤ δ et f_{n} ⟶ f uniformément sur Ω \ A. Alors

∫_{Ω\A} |f_{n} − f||φ| ≤ ∥f_{n} − f∥_{L^{∞}(Ω\A)}∥φ∥_{p′}|Ω \ A|^{\frac{1}{p}} ≤ ε,

si n est assez grand. D’autre part,

∫_{A} |f_{n} − f||φ| ≤ ∥f_{n} − f∥_{p} ε ≤ (C + ∥f∥_{p})ε.

Donc pour n assez grand, | ∫_{Ω}(f_{n} − f)φ| ≤ ε + (C + ∥f∥_{p})ε donc f_{n} ⇀ f dans L^{p} faible.

3) Soit f_{n} = n11_{(0, \frac{1}{n})} alors f_{n} ⟶ 0 p.p. et ∥f_{n}∥_{1} = 1. Si f_{n} converge faiblement vers 0 alors

∀φ ∈ L^{∞}, ∫_{0}^{1} f_{n}φ ⟶ 0, or pour φ ≡ 1, on a ∫ f_{n}φ = 1, c’est absurde.

Exercice 5

Première partie :

1) Comme Ω est borné, on peut recouvrir Ω par un nombre fini de boules de mesure < δ où δ correspond à ε = 1 par exemple.

2) On suppose que que (f_{n})_{n} est équi-intégrable. Soient ε > 0 et δ > 0 donnés par l’équiintégrabilité, on a

mes[|f_{n}| > k] ≤ \frac{1}{k} ∫_{Ω} |f_{n}| ≤ \frac{1}{k} sup_{n} ∥f_{n}∥_{1} ≤ \frac{C}{k} ,

par 1). Et ∃k_{0} tel que ∀k ≥ k_{0}, \frac{C}{k} < δ alors ∀n,

∫_{[|f_{n}|>k]} |f_{n}| < ε, ∀k ≥ k_{0}.

D’où le résultat. On suppose maintenant que

lim_{k→+∞}(sup_{n≥1} ∫_{[|f_{n}|>k]} |f_{n}|dx) = 0.

Soit ε > 0 donné, alors

∫_{E} |f_{n}| = ∫_{E∩[|f_{n}|>k]} |f_{n}| + ∫_{E∩[|f_{n}|≤k]} |f_{n}|,
≤ ∫_{[|f_{n}|>k]} |f_{n}| + k|E|.

On fixe k = k_{0} tel que ∀n ≥ 1, ∫_{[|f_{n}|>k_{0}]} |f_{n}| < \frac{ε}{2} et on choisit δ = \frac{ε}{2k_{0}} alors |E| < δ ⟹ ∫_{E} |f_{n}| < ε, ∀n ≥ 1.

3) Soit ε > 0 donné, l’ensemble {f_{n},n ≥ 1} étant relativement compacte dans L^{1}(Ω), est inclus dans une union finie de boules de centre g_{i} et de rayon \frac{ε}{2}. Donc si f_{n} ∈ B(g_{i},\frac{ε}{2}) alors

∫_{E} |f_{n}| ≤ ∥f_{n} − g_{i}∥_{1} + ∫_{E} |g_{i}|,
< \frac{ε}{2} + ∫_{E} |g_{i}|.

Or l’ensemble fini des g_{i} est équi-intégrable (il suffit d’appliquer la propriété d’absolue continuité à g = ∑ |g_{i}|) donc ∃δ > 0 tel que ∀|E| < δ,

∫_{E} |f_{n}| ≤ \frac{ε}{2} + ∫_{E} |g_{i}| < ε.

Deuxième partie :

1) X est fermé car si 11_{A_{n}} → f dans L^{1} alors pour une sous-suite, 11_{A_{n_{k}}} → f p.p. Maintenant si A = {x : f(x) = 1} alors f = 11_{A} donc f ∈ X. Les applications 11_{A} ↦ ∫_{A} f_{k}dx sont continues sur X donc X_{n} est fermé. Enfin ∀A ⊂ Ω mesurable, lim_{n} ∫_{A} f_{n} = 0 ⟹ X = ∪_{n}X_{n}. On peut donc appliquer le lemme de Baire et ∃n_{0}, ∃R > 0, ∃11_{A_{0}} ∈ X_{n_{0}} tels que si 11_{A} ∈ X et ∥11_{A} − 11_{A_{0}}∥_{L^{1}} < R alors ∀k ≥ n_{0}, | ∫_{A} f_{k}| ≤ ε. Soit donc E mesurable, E ⊂ Ω avec |E| < R, posons E_{k} = E ∩ [f_{k} ≥ 0] alors A = A_{0} ∪ E_{k} vérifie ∥11_{A} − 11_{A_{0}}∥_{L^{1}} < R donc

| ∫_{A_{0}∪E_{k}} f_{k}| ≤ ε.

De même, si A = A_{0} \ E_{k} alors ∥11_{A} − 11_{A_{0}}∥_{L^{1}} < R et

| ∫_{A_{0}\E_{k}} f_{k}| ≤ ε.

Or ∫_{E_{k}} f_{k} = ∫_{A_{0}∪E_{k}} f_{k} + ∫_{A_{0}\E_{k}} f_{k} donc

| ∫_{E} f_{k}^{+}| = | ∫_{E_{k}} f_{k}| ≤ 2ε.

On montre de la même façon, en considèrant E_{K} = E ∩ [f_{k} ≤ 0], que

| ∫_{E} f_{k}^{−}| ≤ 2ε.

D’où, ∀k ≥ n_{0}, ∫_{E} |f_{k}| ≤ 4ε. En utilisant de nouveau le fait que {f_{1},...,f_{n_{0}}} est équi-intégrable, on conclut.

2) La suite (f_{n}−f)_{n} vérifie les hypothèses de la question précèdente, elle est donc équi-intégrable. Comme ∫_{E} |f_{n}| ≤ ∫_{E} |f_{n} − f| + ∫_{E} |f|, on conclut en utilisant la propriété d’absolue continuité appliquée à |f|.

3) D’après ci-dessus, (f_{n} − f)_{n} est équi-intégrable. Soit ε > 0 fixé, et soit δ > 0 donné par l’équiintégrabilité. D’après le Théorème d’Egoroff, ∃A ⊂ Ω tel que |A| < δ et f_{n} → f uniformément sur Ω \ A. Alors,

∫_{Ω} |f_{n} − f| = ∫_{A} |f_{n} − f| + ∫_{Ω\A} |f_{n} − f|,
≤ ε + |Ω \ A|∥f_{n} − f∥_{L^{∞}(Ω\A)},

et pour n assez grand le deuxième terme est plus petit que ε.

Exercice 6

1) f_{n}(x) = n^{\frac{1}{p}} e^{−nx} avec 1 ≤ p < ∞. f_{n} → 0 p.p. sur ]0,1[ car par exemple f_{n} → 0 uniformément sut tout compact de ]0,1[. On a

∫_{0}^{1} |f_{n}|^{p} = ∥f_{n}∥_{p}^{p} = \frac{1}{p}(1 − e^{−np}) ⟶_{n∞} \frac{1}{p}.

Donc la suite (f_{n}) est bornée dans L^{p} et f_{n} ↛ 0 dans L^{p} car ∥f_{n}∥_{p}^{p} → \frac{1}{p} ≠ 0.

2) Appliquer l’inégalité de Hölder.

3) Si 1 < p < ∞, L^{p} est réflexif et (f_{n})_{n} est bornée donc il existe une sous-suite (f_{n_{k}})_{k} telle que f_{n_{k}} ⇀ f dans L^{p} faible. En particulier, ∀φ ∈ C_{c}(]0,1[), ∫_{0}^{1} f_{n_{k}}φ → ∫_{0}^{1} fφ. Or f_{n_{k}} → 0 uniformément sur le support compact de φ donc ∫_{0}^{1} fφ = 0 et ceci ∀φ ∈ C_{c}(]0,1[). On en déduit que f = 0 p.p. et c’est toute la suite f_{n} qui converge faiblement vers 0 (raisonner par l’absurde). Si p = 1, supposons que la suite f_{n} converge faiblement vers 0 dans L^{1} faible. Comme f ↦ ∫_{0}^{1} f ∈ (L^{1})′, on aurait ∫_{0}^{1} f_{n} → 0 or ∫_{0}^{1} f_{n} → 1 donc c’est absurde et f_{n} ⇀̸ 0 dans L^{1} faible. Si f_{n_{k}} ⇀ f dans L^{1} faible alors comme ci-dessus : ∀φ ∈ C_{c}(]0,1[), ∫_{0}^{1} f_{n_{k}}φ → ∫_{0}^{1} fφ et f_{n_{k}} → 0 uniformément sur le support compact de φ donc ∫_{0}^{1} fφ = 0. On en déduit que f = 0 p.p. mais ∫_{0}^{1} f_{n_{k}} → 1 ≠ 0, donc c’est impossible. On peut en conclure que L^{1}(0,1) n’est pas réflexif.

13.6 Chapitre VIII

Exercice 1

1) On note IP_{2} =vect{1,x,x^{2}}, c’est un espace vectoriel de dimension finie donc fermé. Par le Théorème de projection dans L^{2}(−1,1), ∃!P ∈ IP_{2} tel que d(x^{3},IP_{2}) = ∥x^{3} −P ∥ et (x^{3} −P,v) = 0, ∀v ∈ IP_{2} où (,) dénote le produit scalaire usuel dans L^{2}. En choisissant successivement v = 1,x,x^{2}, on determine explicitement P et on trouve P (x) = \frac{3}{5}x d’où ∥x^{3} − P ∥^{2} = ∫_{−1}^{1} |x^{3} − \frac{3}{5}x|^{2}dx = \frac{8}{175}. Si g ∈ IP_{2}^{⊥} alors

(x^{3},g) = (x^{3} − q,g), ∀q ∈ IP_{2},
≤ d(x^{3},IP_{2})∥g∥,

donc finalement si g ∈ IP_{2}^{⊥} et ∥g∥ = 1 alors (x^{3},g) ≤ ∥x^{3} − P ∥ où P (x) = \frac{3}{5}x. Soit g_{0} = \frac{x^{3}−P}{∥x^{3}−P ∥}

alors g_{0} ∈ IP_{2}^{⊥}, ∥g_{0}∥ = 1 et (x^{3},g_{0}) = (x^{3} − P,g_{0}) = ∥x^{3} − P ∥ = \frac{2\sqrt{2}}{5\sqrt{7}} donc

max{∫_{−1}^{1} x^{3}g(x)dx : g ∈ IP_{2}^{⊥},∥g∥ = 1} = (x^{3},g_{0}) = d(x^{3},IP_{2}).

2) Si x_{0} ∈ M où M est un sous-espace vectoriel fermé de H alors d(x_{0},M) = ∥x_{0} − P_{M}x_{0}∥ où P_{M}x_{0} est la projection orthogonale de x_{0} sur M et (x_{0} − P_{M}x_{0},v) = 0, ∀v ∈ M. Si y ∈ M^{⊥}, ∥y∥ = 1 alors (x_{0},y) = (x_{0} − P_{M}x_{0},y) ≤ ∥x_{0} − P_{M}x_{0}∥ donc

max{(x_{0},y) : y ∈ M^{⊥},∥y∥ = 1} ≤ ∥x_{0} − P_{M}x_{0}∥ = min{∥x_{0} − x∥,x ∈ M},

et

(x_{0} − P_{M}x_{0},\frac{x_{0} − P_{M}x_{0}}{∥x_{0} − P_{M}x_{0}∥}) = (x_{0},\frac{x_{0} − P_{M}x_{0}}{∥x_{0} − P_{M}x_{0}∥}) = ∥x_{0} − P_{M}x_{0}∥.

Donc le max est atteint en y = \frac{x_{0}−P_{M} x_{0}}{∥x_{0}−P_{M} x_{0}∥} et sa valeur est égale à d(x_{0},M) d’où

max{(x_{0},y) : y ∈ M^{⊥},∥y∥ = 1} = min{∥x_{0} − x∥,x ∈ M}.

1) (S,∥ ∥_{1}) est un Banach et on veut montrer que i : (S,∥ ∥_{1}) ⟶ L^{∞} est continue, pour cela on utilise le Théorème du graphe fermé. Soit f_{n} ⟶ f dans (S,∥ ∥_{1}) et f_{n} ⟶ g dans ℓ^{∞}, a-t’on f = g p.p.? oui, car il existe une sous-suite de f_{n} qui converge p.p. vers f. D’autre part, on a ∥f∥_{1} ≤ ∥f∥_{2} donc S est fermé dans L^{2} et ∥f∥_{∞} ≤ M∥f∥_{2}. 2)On vient de voir que (S,∥ ∥_{2}) est un espace de Hilbert. On considère la fonction f_{c}(x) = ∑_{1}^{n} c_{i}Φ_{i}(x) où c = (c_{i})_{i} ∈ B = \overline{B}(0,1) alors f_{c} ∈ S et ∥f_{c}∥_{2}^{2} = ∑_{i} |c_{i}|^{2} ≤ 1, ∀c ∈ B. Donc ∀c ∈ B, ∥f_{c}∥_{∞} ≤ M. Soit D une partie dénombrable et dense dans B. Comme D est dénombrable, ∃Ω′ ⊂ Ω tel que μ(Ω′) = 1 et tel que ∀x ∈ Ω′, ∀c ∈ D, |f_{c}(x)| ≤ M. Pour x fixé dans Ω′, c ↦ f_{c}(x) est continue sur B, et par densité de D dans B, on a |f_{c}(x)| ≤ M, ∀c ∈ B et ∀x ∈ Ω′. En choisissant convenablement c, on peut facilement montrer que sup_{c∈B} |f_{c}(x)| = (∑_{1}^{n} |Φ_{i}(x)|^{2})^{\frac{1}{2}} . Donc

∀x ∈ Ω′, ∑_{1}^{n} |Φ_{i}(x)|^{2} ≤ M^{2}.

On intègre cette inégalité et on obtient n ≤ M^{2}. Donc nécessairement dimS < ∞.

Exercice 3 Base de Haar

H_{k}^{l}(x) = 2^{\frac{l}{2}} H(2^{l}x − k), l,k ∈ ZZ.

1) Le support de H_{k}^{l} est I_{k}^{l} = [\frac{k}{2^{l}} ,\frac{k+1}{2^{l}}]. Donc si l = l′ et k ≠ k′, les supports de H_{k}^{l} et H_{k′}^{l′} sont disjoints donc (H_{k}^{l},H_{k′}^{l′})_{L^{2}} = 0. Si l ≠ l′, par exemple l > l′ alors H_{k′}^{l′} est constante sur les intervalles dyadiques de longueur 2^{−l′−1} donc est constante sur le support de H_{k}^{l}. Comme H_{k}^{l} est de moyenne nulle, on en déduit que (H_{k}^{l},H_{k′}^{l′})_{L^{2}} = 0. Enfin ∥H_{k}^{l}∥_{L^{2}}^{2} = 2^{l} ∫_{I_{k}^{l}} 1dx = 1. Donc (H_{k}^{l})_{l,k} forme un système orthonormal de L^{2}(IR).

2) Il y a

1 fonction constante par morceaux sur les intervalles de longueur \frac{1}{2},
1 + 2  ..............................................  \frac{1}{4},
...  ..............................................  ..,
1 + 2 + ... + 2^{j−1}  ..............................................  \frac{1}{2^{j}} .

Donc card(S_{j})= 2^{j} − 1. Or W_{j} est un espace de codimension 1 dans un espace de dimension 2^{j}, l’espace des fonctions constantes par morceaux sur les intervalles dyadiques de longueur 2^{−j}, donc le système S_{j} forme une base de W_{j}.

3) Les fonctions indicatrices des intervalles dyadiques sont denses dans L^{2}(0,1) donc {1,H_{k}^{l},l ≥ 0,k = 0,...,2^{l} − 1} forme une base orthogonale de L^{2}(0,1). Si on enlève la fonction égale à 1, les H_{k}^{l} forment une base orthogonale de {f ∈ L^{2}(0,1), f à moyenne nulle }, et par symétrie par rapport à 0 et dilatations, les H_{k}^{l}, l ≥ −j, k = −2^{l},...,2^{l} − 1 forment une base orthogonale des fonctions de L^{2}(−2^{l},2^{l}) d’intégrale nulle sur [−2^{j},0] et [0,2^{j}].

3) Soit maintenant f ∈ L^{2}(IR), comme les fonctions à supports compacts sont denses dans L^{2}, on peut supposer que f est à support compact. On découpe f en f = 11_{(0,+∞)}f + 11_{(−∞,0)}f. Soit g = 11_{(0,+∞)}f alors g est à support compact dans IR^{+}, soit [0,A] son support alors A ≤ 2^{j} pour un j. On connait une base de L^{2}(0,2^{j}) en ajoutant aux H_{k}^{l} la fonction e_{1} = 2^{− \frac{j}{2}} 11_{(0,2^{j})} donc g = (g,e_{1})e_{1} +∑_{i≥2}(g,e_{i})e_{i} où les e_{i} pour i ≥ 2 sont les H_{k}^{l}. Alors ∥g −∑_{i≥2}(g,e_{i})e_{i}∥_{2} = |(g,e_{1})|. Montrons que pour ε > 0 on peut choisir j tel que |(g,e_{1})| ≤ ε. On a

|(g,e_{1})| = | ∫_{0}^{A} 2^{− \frac{j}{2}} g(x)dx| ≤ 2^{− \frac{j}{2}} ∥g∥_{2}\sqrt{A},

et on veut rendre ce terme plus petit que ε, il est clair que c’est vrai pour j assez grand. On raisonne de la même façon pour le terme 11_{(−∞,0)}f, donc on approxime arbitrairement bien toute fonction à support compact et par densité toute fonction de L^{2}(IR).

Exercice 4

1) Pour montrer que (x,2y) = 2(x,y), on applique l’identité du parallélogramme avec a = x + y et b = y.

2) On forme (1) − (2) + (3).

3) Il est facile de voir que (nx,y) = n(x,y) si n ∈ ZZ. Si p,q ∈ ZZ avec q ≠ 0, alors p(x,y) = (px,y) = (\frac{pq}{q} x,y) = pq(\frac{1}{q}x,y) donc (\frac{1}{q}x,y) = \frac{1}{q}(x,y) et on en déduit que (\frac{p}{q}x,y) = \frac{p}{q}(x,y). Enfin, par définition de ( ,), l’application λ ↦ (λx,y) est continue donc on conclut aisément.

Exercice 5

1) Il suffit de voir que ∀n, ∫_{0}^{∞} x^{n}w(x)dx < ∞. On pose u = log x alors

∫_{0}^{∞} x^{n}w(x)dx = ∫IR e^{(n+1)u}e^{−u^{2}}du < ∞.

2) Avec le même changement de variable, on montre que f ∈ L_{w}^{2}(0, + ∞), et ∀n ≥ 0,

∫_{0}^{∞} x^{n}f(x)w(x)dx = ∫IR e^{(n+1)u}e^{−u^{2}}sin(2πu)du,
= e^{(^{\frac{n+1}{2}})}^{2} ∫IR sin(2πu)e^{−(u− \frac{n+1}{2} )^{2}}du,
= (−1)^{n+1}e^{(^{\frac{n+1}{2}})}^{2} ∫IR sin(2πu)e^{−u^{2}}du = 0,

car la fonction intégrée est impaire. Donc (f,p) = 0, ∀p ∈ IP. Si IP est dense dans L_{w}^{2}(0, + ∞), on en déduit que f ≡ 0 ce qui est absurde.

Exercice 6

On note V = ⋃_{n} V_{n}.

1) V est un Hilbert et a vérifie les hypothèses du Théorème de Lax-Milgram, donc il existe un unique u dans V tel que a(u,v) = ℓ(v), ∀v ∈ V. Et, α∥u∥^{2} ≤ a(u,u) ≤ ∥ℓ∥∥u∥ ⟹ ∥u∥ ≤ \frac{1}{α}∥ℓ∥_{V′}.

2) V_{n} est fermé dans V donc Lax-Milgram s’applique et il existe un unique u_{n} ∈ V_{n} tel que ∀v_{n} ∈ V_{n}, a(u_{n},v_{n}) = ℓ(v_{n}) et comme en 1), on montre que ∥u_{n}∥ ≤ \frac{1}{α}∥ℓ∥_{V′}. V est réflexif, donc il existe une sous-suite (u_{n_{k}})_{k} telle que u_{n_{k}} ⇀ u⋆ dans V faible.

3) Soit n_{0} fixé, comme V_{n_{0}} ⊂ V_{n}, ∀n ≥ n_{0}, on a a(u_{n},v) = ℓ(v), ∀v ∈ V_{n_{0}}. Or a(.,v) ∈ V′ donc a(u_{n_{k}},v) → a(u⋆,v), ∀v ∈ V. D’où a(u⋆,v) = ℓ(v), ∀v ∈ V_{n_{0}} et ceci ∀n_{0} ≥ 1 donc a(u⋆,v) = ℓ(v), ∀v ∈ V. Mais V est dense dans V, a(u ⋆ ,.) ∈ V′ et ℓ ∈ V′ donc a(u ⋆ ,v) = ℓ(v), ∀v ∈ V et par unicité dans Lax-Milgram, on en déduit que u = u⋆. En raisonnant par l’absurde, on voit facilement que u_{n} ⇀ u faiblement dans V.

4) a(u_{n} − u,u_{n} − u) = a(u_{n} − u,u_{n}) − a(u_{n} − u,u). Le terme a(u_{n} − u,u) tend vers 0 car u_{n} ⇀ u faiblement. a(u_{n} − u,u_{n}) = ℓ(u_{n}) − a(u,u_{n}) = 0, donc

α (∥u_{n} − u∥)^{2} ≤ a(u_{n} − u,u_{n} − u) ⟶ 0.

5) δ_{n} = d(u,V_{n}) = inf_{V_{n}} ∥u − v_{n}∥.

a) V_{n} est convexe fermé donc par le Théorème de projection il existe un unique v_{n} ∈ V_{n} tel que δ_{n} = ∥u − v_{n}∥.

b) Comme V_{n} ⊂ V_{n+1}, δ_{n+1} ≤ δ_{n}. La suite (δ_{n})_{n} est décroissante positive donc elle converge. D’autre part, \overline{⋃ V_{n}} = V donc ∀ε > 0, ∃N tel que ∥u − w_{N}∥ ≤ ε où w_{N} ∈ V_{N}. Donc δ_{n} ≤ ε et ceci ∀n ≥ N, d’où δ_{n} → 0.

c) ∀w ∈ V_{n}, a(u_{n},w) = ℓ(w) = a(u,w) donc a(u_{n} − u,w) = 0. Donc si w ∈ V_{n},

a(u_{n} − u,u − u_{n}) = a(u_{n} − u,u) = a(u_{n} − u,u − w)
⟹ α∥u_{n} − u∥^{2} ≤ a(u − u_{n},u − w) ≤ β∥u_{n} − u∥ ∥u − w∥, ∀w ∈ V_{n},

⟹ ∥u_{n} − u∥ ≤ \frac{β}{α}δ_{n}.

Questions subsidiaires :

1) dim V = +∞ ⟹ p_{n} →_{n∞} +∞. En effet, sinon ∃A > 0, ∃(p_{n_{k}})_{k} une sous-suite telle que p_{n_{k}} ≤ A, ∀k. Or V_{n} ⊂ V_{n+1} ⟹ p_{n} ≤ p_{n+1} donc ∀n, ∃k tel que v_{n} ⊂ V_{n_{k}} d’où p_{n} ≤ A, ∀n alors dim V ≤ A et \overline{V} = V ⟹ dim V ≤ A, ce qui est absurde.

2) Comme chaque V_{n} est séparable, que leur union est dense dans V et qu’une union d’ensembles dénombrables est dénombrable, on voit facilement que V est séparable.

13.7 Chapitre IX

Exercice 1

Soit ε > 0, ∃N tel que ∀n ≥ N, |s_{j} − s| ≤ ε et

\frac{1}{n + 1} ∑_{0}^{n} s_{j} − s = \frac{1}{n + 1} ∑_{0}^{n}(s_{j} − s).

Donc pour n ≥ N, on a

|\frac{1}{n + 1} ∑_{0}^{n} s_{j} − s| ≤ \frac{1}{n + 1}(∑_{0}^{N} |s_{j} − s| + ∑_{N+1}^{n} |s_{j} − s|),

≤ \frac{1}{n + 1}(∑_{0}^{N} |s_{j} − s| + (n − N)ε).

Pour cet ε > 0, ∃N_{1} ≥ N tel que ∑_{0}^{N} |s_{j} − s| ≤ N_{1}ε, donc si n ≥ N_{1}, on a ∑_{0}^{N} |s_{j} − s| ≤ N_{1}ε ≤ (n + 1)ε et d’autre part (n − N)ε ≤ (n + 1)ε d’où

|\frac{1}{n + 1} ∑_{0}^{n} s_{j} − s| ≤ 2ε.

Exercice 2

Soit s_{n} = (−1)^{n} alors (s_{n})_{n} ne converge pas et | ∑_{0}^{n} s_{j}| ≤ 1 donc

|\frac{1}{n + 1} ∑_{0}^{n}(−1)^{j}| ≤ \frac{1}{n + 1} ⟶ 0.

Exercice 3

1) On a directement D_{N}(0) = 2N + 1 et K_{N}(0) = N + 1. D’autre part, e^{i \frac{t}{2}} D_{N}(t) = ∑_{−N}^{N} e^{i(k+ \frac{1}{2} )t} et e^{−i \frac{t}{2}} D_{N}(t) = ∑_{−N}^{N} e^{i(k− \frac{1}{2} )t} donc 2isin(\frac{t}{2})D_{N}(t) = ∑_{−N}^{N}(e^{i(k+ \frac{1}{2} )t} − e^{i(k− \frac{1}{2} )t}) = e^{i(N+ \frac{1}{2} )t} − e^{−i(N+ \frac{1}{2} )t}.

D’où D_{N}(t) = \frac{sin((N+ \frac{1}{2} )t)}{sin( \frac{t}{2} )} si t ≠ 0.

On multiplie maintenant K_{N}(t) par \frac{2sin( \frac{t}{2} )}{2sin( \frac{t}{2} )} alors

K_{N}(t) = \frac{1}{2(N + 1)} \frac{1}{sin^{2}(\frac{t}{2})}(2sin(\frac{t}{2})sin(\frac{t}{2}) + 2sin(\frac{t}{2})sin(\frac{3t}{2}) + ... + 2sin(\frac{t}{2})sin((N + \frac{1}{2})t)).

On utilise ensuite l’égalité 2sinasinb = cos(a − b)cos(a + b) pour obtenir

K_{N}(t) = \frac{1}{2(N + 1)} \frac{1}{sin^{2}(\frac{t}{2})}(1 − cos(N + 1)t) = \frac{1}{N + 1} \frac{sin^{2}(\frac{N+1}{2}t)}{sin^{2}(\frac{t}{2})},

pour t ≠ 0.

2) Il est clair que K_{N}(t) ≥ 0, ∀t ∈ IR et que K_{N} est 2π-périodique. De ∫_{0}^{2π} e^{ikt}dt = 2πδ_{k,0} on déduit que \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{+π} D_{j}(t)dt = 1 et ∥K_{N}∥_{1} = 1. Enfin si δ ≤ |t| ≤ π où δ > 0, on a

K_{N}(t) ≤ \frac{1}{N + 1}(\frac{1}{sin(\frac{δ}{2})})^{2} ⟶ 0,

quand N → ∞.

3) On a

S_{n}(f,t) = ∑_{−n}^{n} f̂(k)e^{ikt},

= ∑_{−n}^{n} \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} f(x)e^{ik(t−x)}dx = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} f(x)D_{n}(t − x)dx.

Donc

σ_{n}(f,t) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} f(x)K_{n}(t − x)dx,
= \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} f(t − x)K_{n}(x)dx,

car f et K_{n} sont 2π-périodiques. Comme ∥K_{N}∥_{1} = 1, on peut écrire

|σ_{n}(f,t) − f(t)| = \frac{1}{2π} | ∫_{−π}^{π}(f(t − x) − f(t))K_{n}(x)dx|,
≤ \frac{1}{2π} | ∫_{|x|≤δ} |f(t − x) − f(t)|K_{n}(x)dx + \frac{1}{2π} ∫_{δ≤|x|≤π} 2∥f∥_{∞}K_{n}(x)dx.

La fonction f étant uniformément continue, pour ε > 0, ∃δ > 0 tel que |f(x)−f(y)| ≤ \frac{ε}{2} dès que |x − y| ≤ δ. Pour ce δ, d’après 2), ∃N tel que ∀n ≥ N |K_{n}(x)| ≤ \frac{ε}{4∥f∥_{∞}}, ∀x tel que δ ≤ |x| ≤ π, d’où

|σ_{n}(f,t) − f(t)| ≤ \frac{ε}{2}∥K_{N}∥_{1} + \frac{ε}{2} \frac{1}{2π} ∫_{δ≤|x|≤π} dx ≤ ε,

et ceci ∀t, donc σ_{n}(f) ⟶ f uniformément sur [−π,π].

4) σ_{n}(f,t) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} f(x)K_{n}(t − x)dx est un polynome trigonométrique, donc 3) montre que les polynomes trigonométriques sont denses dans C(Π). Si f,g ∈ C(Π) sont telles que ∀n ∈ ZZ, f̂(n) = ĝ(n) alors 0 = σ_{n}(f,t) − σ_{n}(g,t) ⟶ f(t) − g(t), ∀t, donc f(t) = g(t), ∀t ∈ [−π,π].

5) a) Λ_{n}(f) = S_{n}(f,0) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} f(t)D_{n}(−t)dt, pour n ≥ 0 donc Λ_{n} est linéaire et |Λ_{n}(f)| ≤ ∥D_{n}∥_{1}∥f∥_{∞}. Donc Λ_{n} ∈ (C(Π))′ et ∥Λ_{n}∥ ≤ ∥D_{n}∥_{1}.

b) Soit g_{n}(t) = sign(D_{n}(−t)) alors il existe une suite (f_{j})_{j} dans C(Π) telle que −1 ≤ f_{j} ≤ 1, ∀j et f_{j}(t) ⟶ g_{n}(t) p.p. quand j → ∞. Le Théorème de convergence dominée s’applique et donne

\frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} f_{j}(t)D_{n}(−t)dt ⟶ \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} |D_{n}(−t)|dt = ∥D_{n}∥_{1}.

De |Λ_{n}(f_{j})| ≤ ∥Λ_{n}∥, on déduit ∥Λ_{n}∥ = ∥D_{n}∥_{1}.

c) Comme |sin\frac{t}{2}| ≤ \frac{|t|}{2}, pour 0 ≤ t ≤ π,

∥D_{n}∥_{1} = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} |D_{n}(t)|dt = \frac{1}{π} ∫_{0}^{π} |D_{n}(t)|dt ≥ \frac{2}{π} ∫_{0}^{π} |sin(n + \frac{1}{2})t| \frac{dt}{t}.

Donc on a

∥D_{n}∥_{1} ≥ \frac{2}{π} ∫_{0}^{(n+ \frac{1}{2} )π} |sinx|\frac{dx}{x} ≥ \frac{2}{π} ∑_{k=1}^{n} ∫_{(k−1)π}^{kπ} |sinx|\frac{dx}{x},

≥ \frac{2}{π} ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{kπ} ∫_{(k−1)π}^{kπ} |sinx|dx = \frac{4}{π^{2}} ∑_{1}^{n} \frac{1}{k} ≥ \frac{4}{π^{2}} log(n + 1),

D’où ∥D_{n}∥_{1} ⟶ +∞ quand n → ∞.

d) Si ∀f ∈ C(Π), ∃C_{f} tel que ∀n, |S_{n}(f,0)| ≤ C_{f} alors par le Théorème de Banach-Steinhaus ∃M tel que ∀n, ∥Λ_{n}∥ ≤ M or c’est impossible d’après la question précédente. Donc ∃f ∈ C(Π) telle que sup_{n} |S_{n}(f,0)| = +∞. Remarque : Soit E = {f ∈ C(Π) : sup_{n} |S_{n}(f,0)| = +∞}. On peut montrer que E est dense dans C(Π) voir [Ru1] par exemple.

6) Par le Lemme de Riemann-Lebesgue, on sait déjà que f̂(n) → 0 quand n → ±∞. On a aussi immédiatement |f̂(n)| ≤ ∥f∥_{1} donc c(f) ∈ C_{0}(ZZ).

7) D’aprés la question 4), on en déduit que ∫ fgdx = 0 pour toute fonction continue g ∈ C(Π). On conclut en utilisant la densité des fonctions continues dans L^{1}(−π,π).

8) L’application T est clairement linéaire et la question 6) ci-dessus montre qu’elle est continue. Si f̂(n) = 0 pour tout n alors ∫_{−π}^{π} fpdx = 0, pour tout polynôme trigonométrique p donc f = 0 p.p. et T est injective. T ne peut être surjective sinon par le Théorème de l’application ouverte (C_{0}(ZZ) est un espace de Banach), elle serait d’inverse continue et il existerait une constante M > telle que ∥f∥_{1} ≤ M∥c(f)∥_{∞}. Mais une telle inégalité est contredite par les D_{n}, en effet D̂_{n}(k) = 0 ou 1, donc ∥c(D_{n})∥_{∞} = 1 alors qu’on a vu ci-dessus que ∥D_{n}∥_{1} → +∞.

Exercice 5

Supposons que f ∈ C_{c}^{1}(]−π,π[) alors ∫_{−π}^{π} f(x)sin(ax)dx = ∫_{−π}^{π} f′(x)\frac{1}{a}cos(ax)dx, donc | ∫_{−π}^{π} f(x)sin(ax)dx| ≤ \frac{1}{|a|}∥f′∥_{∞}2π ⟶ 0 quand |a| → +∞. Si f ∈ L^{1}(−π,π), ∃g ∈ C_{c}^{1}(] − π,π[) telle que ∥f − g∥_{L^{1}} ≤ ε. Alors

| ∫_{−π}^{π} f(x)sin(ax)dx| ≤ ∥f − g∥_{L^{1}} + | ∫_{−π}^{π} g(x)sin(ax)dx|,

d’où lim ∫_{−π}^{π} fsin(ax)dx = 0 quand |a| ⟶ +∞.

13.8 Chapitre X

Exercice 1

1) Les deux applications proposées sont bien linéaires par rapport à φ. On pose < T,φ >= ∑_{n≥0} φ^{(n)}(n) pour φ ∈ D(IR). Soit K un compact de IR alors |K ∩ IN| < ∞ et ∃N_{K} tel que K ∩ IN ⊂ \overline{B}(0,N_{K}). Si φ ∈ D(IR) est à support dans K, alors | < T,φ > | ≤ ∑_{0}^{N_{K}} ∥φ^{(n)}∥_{∞} donc T ∈ D′(IR). Soit < T,φ >= ∑_{n≥0} φ^{(n)}(0). Il existe θ ∈ D(IR) telle que 0 ≤ θ ≤ 1 et θ ≡ 1 sur [−1,1]. Soit alors φ(x) = e^{x}θ(x), alors φ ∈ D(IR) et ∀n, φ^{(n)}(0) = 1 donc T ∉ D′(IR).

2) Soit K un compact de IR et φ ∈ D(IR) à support dans K alors | < T_{f},φ > | ≤ ∥f∥_{L^{1}(K)}∥φ∥_{∞} donc T_{f} ∈ D′(IR). Supposons qu’il existe f ∈ L_{loc}^{1}(IR) telle que < δ_{0},φ >= φ(0) = ∫ fφ, ∀φ ∈ D(IR). Par un même raisonnement qu’à l’exercice 4 du chap.VI, on montre que c’est impossible.

Exercice 2

Comme les semi-normes p_{j}, pour j ≥ 0, forment une suite croissante, on a bien défini une topologie.

1) Il est clair que d(f,g) = d(g,f) et que d(f,g) = 0 ⟺ f = g.

Soit Φ(x) = inf(1,x) pour x ≥ 0. On peut vérifier facilement que Φ est croissante et que Φ(x + y) ≤ Φ(x) + Φ(y), ∀x,y ∈ IR^{+} donc d est bien une distance sur E. Pour montrer que les topologies sont équivalentes, il suffit de montrer que

a) ∀n, ∀r > 0, ∀x ∈ E, ∃r_{0} > 0 tel que B_{d}(x,r_{0}) ⊂ B_{n}(x,r),

b) ∀x ∈ E, ∀r > 0, ∃N, ∃r_{0} > 0 tel que B_{N}(x,r_{0}) ⊂ B_{d}(x,r), où on a noté B_{d}(x,r) la boule de centre x et rayon r pour la distance d et B_{n}(x,r) celle associée à la semi-norme p_{n}. Soient donc n,r,x donnés alors ∃ε > 0 tel que 2^{n}ε < inf(1,r) et d(x,y) < ε ⟹ ∀k, \frac{1}{2^{k}} Φ(p_{k}(x − y)) < ε donc p_{n}(x − y) < 2^{n}ε < r par choix de ε. D’où B_{d}(x,ε) ⊂ B_{n}(x,r). Soient x,r donnés et soit N tel que ∑_{n≥N+1} \frac{1}{2^{n}} < \frac{r}{2}. Si p_{N}(x − y) < r_{0} < 1 ⟹ ∀n ≤ N, p_{n}(x − y) < r_{0} et

∑_{0}^{N} \frac{1}{2^{n}} inf(1,p_{n}(x − y)) ≤ r_{0} ∑_{0}^{N} \frac{1}{2^{n}} ≤ 2r_{0}.

On choisit r_{0} < 1 tel que 2r_{0} < \frac{r}{2} alors y ∈ B_{N}(x,r_{0}) ⟹ d(x,y) < \frac{r}{2} + \frac{r}{2}, (Φ(x) ≤ 1, ∀x ≥ 0) donc B_{N}(x,r_{0}) ⊂ B_{d}(x,r). Donc les topologies sont équivalentes.

2) Soit (f_{n})_{n} une suite de Cauchy dans (E,d) alors lim_{n,m→+∞} p_{j}(f_{n} − f_{m}) = 0 pour chaque j ≥ 0, et donc sup_{K} |f_{n}^{(j)}(x) − f_{m}^{(j)}(x)| ⟶ 0 pour chaque j. La suite (f_{n}^{(j)})_{n} est donc de Cauchy pour la convergence uniforme et elle tend donc uniformément vers une limite f_{j} qui est continue et à support dans K. On utilise maintenant le théorème classique assurant que si f_{n} converge uniformément vers u et si les dérivées f′_{n} sont continues et convergent uniformément vers v alors u est C^{1} et u′ = v. En appliquant ce résultat par récurrence aux dérivées successives de u, on obtient que f_{n}^{(j)} converge uniformément vers u^{(j)}, ∀j et donc que p_{j}(f_{n} − u) ⟶ 0, ∀j. On en déduit facilement que (E,d) est complet. Pour tout n, T_{n} est continue sur (E,(p_{j})_{j}) donc sur (E,d) donc F_{k} est fermé dans (E,d) comme intersection d’images réciproques de fermés de IR. Comme (< T_{n},φ >)_{n} converge ∀φ, E = ∪_{k}F_{k}, par le Lemme de Baire, on en déduit que ∃k_{0}, ∃φ et ∃r_{0} > 0 tels que B_{d}(φ,r_{0}) ⊂ F_{k_{0}}. D’après 1), ∃N ≥ 0, ∃r > 0 tels que B_{N}(φ,r) ⊂ F_{k_{0}}. Alors B_{N}(0,\frac{r}{2}) ⊂ F_{k_{0}}, en effet, si ψ ∈ B_{N}(0,\frac{r}{2}) alors ψ = \frac{1}{2}(−φ + (φ + 2ψ)) or −φ ∈ F_{k_{0}} et φ + 2ψ ∈ F_{k_{0}}, par convexité de F_{k_{0}}, on a ψ ∈ F_{k_{0}}. Donc on a montré que ∀φ ∈ E telle que p_{N}(φ) < \frac{r}{2}, on a | < T_{n},φ > | ≤ k_{0}, ∀n. Par homogénéite, on en conclut que ∀n, | < T_{n},φ > | ≤ \frac{2k_{0}}{r} p_{N}(φ), ∀φ ∈ E. Maintenant on fait tendre n vers l’infini, on en déduit que | < T,φ > | ≤ \frac{2k_{0}}{r} p_{N}(φ). Finalement, on a montré que ∀K compact ⊂ IR, ∃C_{K} = \frac{2k_{0}}{r}, ∃N(K) tels que ∀φ ∈ D_{K}(IR), | < T,φ > | ≤ C_{K} p_{N}(φ) ce qui est exactement la continuité de T sur D(IR).

Exercice 3

a) Si φ = λθ_{0} + ψ′, où λ ∈ IR et φ ∈ D(I) alors ∫_{I} φ = λ ∫_{I} θ_{0} + ∫_{I} ψ′ donc nécessairement λ = ∫_{I} φ. Avec ce choix de λ, trouvons ψ. ∃a,b tels que supp(φ)∪supp(θ_{0}) ⊂ [a,b] ⊂ I (I connexe). Soit ψ(x) = ∫_{a}^{x}(φ(t) − (∫_{I} φ)θ_{0}(t))dt alors ψ′ = φ − (∫_{I} φ)θ_{0} et ψ ∈ C^{∞}(I). Vérifions que ψ est à support compact. Si x ∈] − ∞,a[∩I alors ∀t ∈ [a,x] φ(t) = θ_{0}(t) = 0 et ψ(x) = 0. Si x ∈]b,∞[∩I alors ψ(x) = 0 donc supp(ψ) ⊂ [a,b] et ψ ∈ D(I). (On peut remarquer que le couple (λ,ψ) est unique.)

b) Soit T ∈ D′(I) telle que T′ = 0, on veut montrer que ∃C ∈ IR telle que ∀φ ∈ D(I), < T,φ >= C ∫_{I} φ, ce qui veut bien dire que T = C au sens des distributions Soit φ ∈ D(I) alors ∃ψ ∈ D(I) telle que φ = (∫_{I} φ)θ_{0} + ψ′ et < T,φ >= (∫_{I} φ) < T,θ_{0} > + < T,ψ′ >. Or par hypothèse < T,ψ′ >=< T′,ψ >= 0 donc ∀φ ∈ D(I), < T,φ >=< T,θ_{0} > ∫_{I} φ donc C =< T,θ_{0} > convient.

c) Par hypothèse T′ = v ∈ C^{∞}(I), c’est à dire ∀φ ∈ D(I), < T′,φ >= ∫_{I} vφ. La fonction v admet une primitive au sens usuel V et v = V′ alors (T − V)′ = 0 donc T − V = c constante par b) et T = V + c ∈ C^{∞}(I).

Exercice 4

Soit ψ solution de ∑_{j=0}^{k} a_{j}ψ^{(j)}(x) = 0 pour x ∈ IR, où a_{j} ∈ IR et a_{k} ≠ 0, satisfaisant ψ(0) = ψ′(0) = ... = ψ^{k−2}(0) = 0 et ψ^{k−1}(0) = \frac{1}{a_{k}} alors ψ ∈ C^{∞}(IR).

1) Y ψ ∈ L_{loc}^{1}(IR) donc E ∈ D′(IR). Calculons les dérivées au sens des distributions de E et montrons par récurrence que

E^{(p)} = Y_{Y ψ^{(p)}} + ψ^{(p−1)}(0)δ_{0} + ψ^{(p−2)}(0)δ′_{0} + ... + ψ(0)δ_{0}^{(p−1)}.

On calcule d’abord E′,

< E′,φ > = − < E,φ′ >= − ∫_{0}^{∞} ψφ′,
= ∫_{0}^{∞} ψ′φ + ψ(0)φ(0),
= < T_{Y ψ′},φ > + < ψ(o)δ_{0},φ > .

Donc le propriété est vraie pour p = 1, on la suppose vraie jusqu’au rang p et démontrons la pour p + 1. On a

< E^{(p+1)},φ > = − < E^{(p)},φ′ >= − ∫_{0}^{∞} ψ^{(p)}φ′− < ψ^{(p−1)}(0)δ_{0},φ′ > −...− < ψ(0)δ_{0}^{(p−1)},φ′ > ,
= ∫_{0}^{∞} ψ^{(p+1)}φ+ < ψ^{(p)}(0)δ_{0},φ > + < ψ^{(p−1)}(0)δ′_{0} + ... + ψ(0)δ_{0}^{(p)},φ > .

D’où le résultat. Ici E^{(j)} = T_{Y ψ^{(j)}}, ∀j ≤ k − 1 car ψ^{(p)}(0) = 0, ∀p ≤ k − 2, et

E^{(k)} = T_{Y ψ^{(k)}} + ψ^{(k−1)}(0)δ_{0} = T_{Y ψ^{(k)}} + \frac{1}{a_{k}} δ_{0}.

Donc ∑_{j=0}^{k} a_{j}E^{(j)} + a_{k}E^{(k)} = δ_{0} par hypothèse sur ψ.

2) On cherche ψ telle que

(⋆) \{ \begin{matrix}ψ′′ + ψ′ + ψ = 0 \\ ψ(0) = 0 \\ ψ′(0) = 1 \end{matrix}

Les solutions générales du système (⋆) sont données par

ψ(x) = e^{− \frac{x}{2}} (ae^{i \frac{\sqrt{3}}{2} x} + be^{−i \frac{\sqrt{3}}{2} x}), a,b ∈ C^{|} .

Ici les données initiales impliquent que a = −b = \frac{1}{i\sqrt{3}}, donc ψ(x) = \frac{2}{\sqrt{3}}e^{− \frac{x}{2}} sin(\frac{\sqrt{3}}{2}x) et E = T_{Y ψ} convient.

13.9 Chapitre XI

Exercice 1

1) En vertu du Théorème 11.1 et de la Proposition 11.1 du ch.11, si u ∈ H^{1}(0,1) alors u ∈ C[0,1] et ∀x,y ∈ [0,1], u(x) − u(y) = ∫_{y}^{x} u′(t)dt. Avec l’inégalité de Cauchy-Schwarz, on obtient

|u(x)| ≤ |u(y)| + ∥u′∥_{2}|x − y|^{\frac{1}{2}} ≤ |u(y)| + ∥u′∥_{2}.

On intègre cette inégalité par rapport à y et on applique encore Cauchy-Schwarz, on a

|u(x)| ≤ ∫_{0}^{1} |u(y)|dy + ∥u′∥_{2}
≤ ∥u∥_{2} + ∥u′∥_{2}
≤ 2∥u∥_{H^{1}}.

Donc ∥u∥_{∞} ≤ 2∥u∥_{H^{1}} et l’injection id : H^{1}(0,1) ⟶ C[0,1] est continue. De |u(x) − u(y)| ≤ ∥u′∥_{2}|x − y|^{\frac{1}{2}} , on déduit que la boule unité fermée B_{H^{1}} de H^{1}(0,1) est équicontinue. Enfin, B_{x} = \{u(x), u ∈ B_{H^{1}}\} ⊂ [−2,2] donc \overline{B_{x}} est compact. Par le Théorème d’Ascoli, on en conclut que B_{H^{1}} est d’adhérence compacte dans C[0,1], d’où l’injection id : H^{1}(0,1) ⟶ C[0,1] est compacte. L’intêret majeur de ce résultat est que l’on pourra transformer toute suite faiblement convergente de H^{1}(0,1) en une suite fortement convergente de C[0,1]. (Voir l’exercice 3, chap. IV)

2) Soient u,v ∈ H_{0}^{1}(0,1) et f ∈ C^{∞}(IR) alors par le Théorème 11.2, il existe u_{n},v_{n} ∈ D(]0,1[) tels que u_{n} → u et v_{n} → v pour la norme H^{1}. Comme u_{n},v_{n} sont régulières et nulles au bord, on a evidemment ∫_{0}^{1} u′_{n}v_{n} + ∫_{0}^{1} u_{n}v′_{n} = 0 et ∫_{0}^{1} u′_{n}f + ∫_{0}^{1} u_{n}f′ = 0. Le produit scalaire (f,g) = ∫_{0}^{1} fgdx étant continu sur (L^{2})^{2}, il n’y a aucuns problèmes pour passer à la limite dans ces égalités et on obtient donc

(1)  ∫_{0}^{1} u′v + ∫_{0}^{1} uv′ = 0,
(2)  ∫_{0}^{1} u′f + ∫_{0}^{1} uf′ = 0,

et ceci ∀u,v ∈ H_{0}^{1}(0,1). Si u ∈ H^{1}(0,1), on note p_{u}(x) = xu(1) + (1 − x)u(0) ∈ C^{∞}(IR) alors u − p_{u} ∈ H_{0}^{1}(0,1). En appliquant la formule d’intégration par parties (2) à u − p_{u} et p_{u}, on obtient

∫_{0}^{1} u′f + ∫_{0}^{1} uf′ = ∫_{0}^{1} p′_{u}f + ∫_{0}^{1} p_{u}f′ = u(1)f(1) − u(0)f(0).

Maintenant si u,v ∈ H^{1}(0,1), alors de ∫_{0}^{1}(u−p_{u})′(v −p_{v})+∫_{0}^{1}(u−p_{u})(v −p_{v})′ = 0, on déduit que ∫_{0}^{1}(u − p_{u})′v + ∫_{0}^{1}(u − p_{u})v′ = 0 (car ∫_{0}^{1}(u − p_{u})′p_{v} + ∫_{0}^{1}(u − p_{u})p′_{v} = 0). Donc, en développant,

∫_{0}^{1} u′v + ∫_{0}^{1} uv′ = ∫_{0}^{1} p′_{u}v + ∫_{0}^{1} p_{u}v′ = u(1)v(1) − u(0)v(0).

Exercice 2

1) Soit a(u,v) = ∫_{0}^{1} u′v′+(∫_{0}^{1} u)(∫_{0}^{1} v), alors a est bilinéaire symétrique et |a(u,v)| ≤ ∥u∥_{H^{1}}∥v∥_{H^{1}}+ ∥u∥_{2}∥u∥_{2} ≤ 2∥u∥_{H^{1}}∥v∥_{H^{1}} donc a est continue sur H^{1}(0,1) × H^{1}(0,1). Montrons que a est coercive, c’est à dire, ∃α > 0 tel que ∀u ∈ H^{1}(0,1), a(u,u) ≥ α∥u∥_{H^{1}}^{2}. On raisonne par l’absurde, sinon, ∀n, ∃u_{n} ∈ H^{1}(0,1) tel que a(u_{n},u_{n}) < \frac{1}{n}∥u_{n}∥_{H^{1}}^{2}. On peut toujours supposer que ∥u_{n}∥_{H^{1}} = 1, comme H^{1}(0,1) est réflexif, il existe une sous-suite encore notée u_{n} telle que u_{n} ⇀ u dans H^{1}(0,1) faible. L’injection H^{1}(0,1) ⟶ C[0,1] étant compacte (voir l’exercice précèdent), u_{n} → u pour ∥.∥_{∞} et en particulier u_{n} → u dans L^{1} et L^{2}. D’autre part, ∥u′_{n}∥_{2} < \frac{1}{n} ⟹ u′_{n} → 0 dans L^{2}, donc finalement u_{n} est de Cauchy dans H^{1}(0,1) donc converge et ∃v ∈ H^{1}(0,1) tel que u_{n} → v dans H^{1}(0,1). Alors, ∥v∥_{H^{1}} = 1 et v′ = 0 p.p. donc

d’après l’exercice 3, v est constante. Enfin, de (∫_{0}^{1} u_{n})^{2} < \frac{1}{n} et u_{n} → v dans L^{1}, on déduit que

∫_{0}^{1} v = 0 donc nécessairement v = 0 or ∥v∥_{H^{1}} = 1, c’est absurde. D’après le Théorème de Lax-Milgram (Th.8.5,ch.8), il existe un unique u ∈ H^{1}(0,1) tel que a(u,v) = ∫_{0}^{1} fv, ∀v ∈ H^{1}(0,1).

2) Comme D(]0,1[) ⊂ H^{1}(0,1), si φ ∈ D(]0,1[), a(u,φ) = ∫_{0}^{1} fφ =< f,φ > en terme de distributions. Et,

a(u,φ) = ∫_{0}^{1} u′φ′ + ∫_{0}^{1} (∫_{0}^{1} u) φ,
= < u′,φ′ > + < ∫_{0}^{1} u,φ > ,
= − < u′′,φ > + < ∫_{0}^{1} u,φ > .

D’où < −u′′ + ∫_{0}^{1} u − f,φ >= 0, ∀φ ∈ D(]0,1[), donc −u′′ + ∫_{0}^{1} u = f au sens des distributions, mais f ∈ L^{2}(0,1) et ∫_{0}^{1} u ∈ L^{2}(0,1) montre que u ∈ H^{2}(0,1) et vérifie

(⋆) − u′′ + ∫_{0}^{1} u = f p.p.

Pour trouver les conditions aux limites, on multiplie (⋆) par v ∈ H^{1}(0,1) et on intègre sur (0,1) alors − ∫_{0}^{1} u′′v + (∫_{0}^{1} u) (∫_{0}^{1} v) = ∫_{0}^{1} fv. Comme u ∈ H^{2} et v ∈ H^{1}, l’exercice précèdent nous

permet de faire une intégration par parties et on obtient a(u,v) − ∫_{0}^{1} fv = [u′v]_{0}^{1}. Or u est solution de la formulation variationnelle ( i.e. a(u,v) = ∫_{0}^{1} fv, ∀v ∈ H^{1}(0,1)), donc u′(1)v(1) − u′(0)v(0) = 0 et ceci ∀v ∈ H^{1}(0,1). Donc nécessairement u′(1) = u′(0) = 0. D’où u est solution du problème suivant, u ∈ H^{2}(0,1) et

\{ \begin{matrix}−u′′ + ∫_{0}^{1} u & = & f p.p. \\ u′(1) = u′(0) & = & 0 \end{matrix}

Et réciproquement.

Exercice 3

Soit V = \{u ∈ H^{1}(0,1) : u(\frac{1}{2}) = 0\}.

1) Comme id : H^{1}(0,1) ⟶ C[0,1] est continue, u ↦ u (\frac{1}{2}) est continue sur H^{1}(0,1) et V est fermé dans H^{1}(0,1). ∥v′∥_{L^{2}} est bien une semi-norme sur V et si pour un v ∈ V, ∥v′∥_{L^{2}} = 0 alors, d’après l’exercice 3, v est constante sur (0,1) et de v (\frac{1}{2}) = 0, on en déduit que v = 0. Donc, on a bien à faire à une norme sur V. On a évidemment ∥v′∥_{L^{2}} ≤ ∥v∥_{H^{1}}. A-t’on ∃C > 0 tel que ∥v′∥_{L^{2}} ≥ C ∥v∥_{H^{1}} sur V ? Sinon, ∀n, ∃u_{n} ∈ V avec ∥u_{n}∥_{H^{1}} = 1 tel que ∥u′_{n}∥_{L^{2}} < \frac{1}{n} → 0. Alors comme dans l’exercice précèdent, on en déduit qu’il existe une sous-suite u_{n_{k}} de Cauchy dans H^{1}(0,1) donc convergente vers un v ∈ H^{1}(0,1). De u′_{n_{k}} → 0 dans L^{2}, on tire v′ = 0 p.p. et donc v est constante sur (0,1). Mais u_{n_{k}} → v dans H^{1}(0,1) ⟹ 0 = u_{n_{k}} (\frac{1}{2}) → v (\frac{1}{2}) par continuité de l’injection H^{1}(0,1) ⟶ C[0,1]. Donc v = 0 or ∥v∥_{H^{1}} = 1, c’est absurde, ces deux normes sont donc équivalentes sur V.

2) Soit a(u,v) = ∫_{0}^{1} u′v′, alors a est une forme bilinéaire symétrique continue sur V et v ↦ v(0) est continue sur V puisque id : H^{1}(0,1) ⟶ C[0,1] est continue sur H^{1}(0,1). Du Théorème de Lax-Milgram (Th.8.5,ch.8), on déduit qu’il existe un unique u ∈ V tel que a(u,v) = v(0), ∀v ∈ V.

3) D(]0,1[) ⊄ V donc on ne peut pas exactement raisonner comme dans l’exercice précèdent, mais on peut remarquer que D(]0,\frac{1}{2}[) ∪ D(]\frac{1}{2},1[) ⊂ V (en prolongeant ces fonctions par 0 à ]0,1[ tout entier).

Soit donc φ ∈ D(]0,\frac{1}{2}[) alors a(u,φ) = ∫0^{\frac{1}{2}} u′φ′ = φ(0) = 0, c’est à dire < u′,φ′ >= 0 = − < u′′,φ > et ceci ∀φ ∈ D(]0,\frac{1}{2}[), donc u′′ = 0 dans D′(]0,\frac{1}{2}[) et donc dans L^{2}(0,\frac{1}{2}). On obtient par un même raisonnement, u′′ = 0 dans D′(]\frac{1}{2},1[) et donc dans L^{2}(\frac{1}{2},1). Donc finalement u ∈ H^{2}(0,\frac{1}{2}) ∩ H^{2}(\frac{1}{2},1). On peut alors faire des intégrations par parties sur les deux sous-intervalles (0,\frac{1}{2}) et (\frac{1}{2},1). Si v ∈ V alors

\begin{aligned}0 & = & − ∫0^{\frac{1}{2}} u′′v & = & ∫0^{\frac{1}{2}} u′v′ − [u′v]0^{\frac{1}{2}} & = & ∫0^{\frac{1}{2}} u′v′ + u′(0)v(0), \\ 0 & = & − ∫ 1_{\frac{1}{2}} u′′v & = & ∫ 1_{\frac{1}{2}} u′v′ − [u′v]1_{\frac{1}{2}} & = & ∫ 1_{\frac{1}{2}} u′v′ − u′(1)v(1). \end{aligned}

On ajoute ces deux égalités, alors a(u,v) + u′(0)v(0) − u′(1)v(1) = 0 ⟹ (1 + u′(0)) v(0) = u′(1)v(1), ∀v ∈ V. Donc nécessairement u′(0) = −1 et u′(1) = 0. Donc on a résolu

\{ \begin{matrix}u′′ & = & 0 sur (0,\frac{1}{2}) \\ u (\frac{1}{2}) & = & 0 \\ u′(0) & = & −1 \end{matrix}  et  \{ \begin{matrix}u′′ & = & 0 sur (\frac{1}{2},1) \\ u (\frac{1}{2}) & = & 0 \\ u′(1) & = & 0 \end{matrix}

de solutions respectives :

u(x) = −x + \frac{1}{2} sur [0,\frac{1}{2}]
u(x) = 0 sur [\frac{1}{2},1]

On voit tout de suite que u ∉ H^{2}(0,1) (sinon elle serait C^{1}). Au sens des distributions, il est clair que u′ = −11_{(0, \frac{1}{2} )} ∈ L^{2}(0,1) et que u′′ = δ_{\frac{1}{2}} ∉ L^{2}(0,1).

Exercice 4

v → ∥v′∥_{L^{2}} est bien une semi-norme sur H^{1}(0, + ∞). Si ∥v′∥_{L^{2}} = 0 alors v′ = 0 p.p. et donc v est une constante. Or la seule constante de L^{2}(0, + ∞) est la constante nulle donc c’est bien une norme sur H^{1}(0, + ∞). On a évidemment ∥v′∥_{L^{2}} ≤ ∥v∥_{H^{1}}. Soit u_{n}(x) = n − x si x ≤ n et u_{n}(x) = 0 sinon. Alors u_{n} ∈ H^{1}(0, + ∞), ∥u′_{n}∥_{L^{2}}^{2} = n et ∥u_{n}∥_{L^{2}}^{2} = \frac{n^{3}}{3} donc les deux normes ne peuvent pas être équivalentes sur H^{1}(0, + ∞).

Exercice 5

1) Par le Théorème des accroissements finis, il existe C > 0 tel que ∀u ∈ H^{1}(I), |f(u)| ≤ |f(0)| + C |u| ∈ L^{2}(I) donc f(u) ∈ L^{2}(I).

2) Soit u_{n} ∈ D(IR) tel que u_{n} → u dans H^{1}(I).

a) De la même façon, on a : |f(u_{n}) − f(u)| ≤ C |u_{n} − u| donc u_{n} → u dans L^{2}(I) ⟹ f(u_{n}) → f(u) dans L^{2}(I).

b) On a |α_{n}| ≤ C |u′_{n} − u′| donc u′_{n} → u′ dans L^{2}(I) ⟹ α_{n} → 0 dans L^{2}(I). Comme u_{n} → u dans L^{2}(I), il existe une sous-suite u_{n_{k}} telle que u_{n_{k}} → u p.p. Par continuité de f′, f′(u_{n}) → f′(u) p.p. D’où finalement,

\begin{matrix}β_{n_{k}} → 0 p.p. \\ |β_{n_{k}}| ≤ 2∥f′∥_{∞}|u′| ∈ L^{2}(I) \end{matrix} \} ⟹ β_{n_{k}} ⟶ 0 dans L^{2}(I),

par le Théorème de convergence dominée.

c)Soit φ ∈ D(I), alors

(⋆) ∫_{I} f(u_{n})φ′ = − ∫_{I} f′(u_{n})u′_{n}φ,

puisque toutes les fonctions considérées sont assez régulières. Comme f(u_{n}) → f(u) dans L^{2}(I), ∫_{I} f(u_{n})φ′ ⟶ ∫_{I} f(u)φ′. D’autre part, f′(u_{n})u′_{n} − f′(u)u′ = α_{n} + β_{n} donc

\begin{matrix}α_{n} → 0 dans L^{2}(I) & ⟹ & ∫_{I} α_{n}φ ⟶ 0 \\ β_{n_{k}} → 0 dans L^{2}(I) & ⟹ & ∫_{I} β_{n_{k}}φ ⟶ 0 \end{matrix} \} ⟹ ∫_{I}(α_{n_{k}} + β_{n_{k}})φ ⟶ 0.

D’où en passant à la limite dans (⋆), pour une sous-suite, on obtient :

∫_{I} f(u)φ′ = − ∫_{I} f′(u)u′φ,

et ceci ∀φ ∈ D(I). Or f′(u)u′ ∈ L^{2}(I) car f′ ∈ L^{∞}(I) et u′ ∈ L^{2}(I), donc f(u) ∈ H^{1}(I) et (f(u))′ = f′(u)u′.

3) Soit ε > 0 fixé, f_{ε}(t) → 0 quand t → 0 par valeurs positives, donc f_{ε} ∈ C(IR). De plus, si t > 0, f′_{ε}(t) = \frac{t}{\sqrt{(t^{2}+ε^{2})}} ⟶ 0 quand t → 0, donc f_{ε} ∈ C^{1}(IR). Enfin, ∀ε > 0 et ∀t ∈ IR, |f′_{ε}(t)| ≤ 1

donc f_{ε} ∈ E et ∀ε > 0 et ∀t, |f_{ε}(t)| ≤ |t|. Quand ε → 0, f_{ε}(t) → 0 si t ≤ 0 et f_{ε}(t) → t si t ≥ 0 donc f_{ε}(t) → t^{+}. D’où

\begin{matrix}f_{ε}(u) → u^{+} p.p. \\ |f_{ε}(u)| ≤ |u| ∈ L^{2}(I) \end{matrix} \} ⟹ f_{ε}(u) ⟶ u^{+} dans L^{2}(I),

par le Théorème de convergence dominée.

4) D’après 2), f_{ε}(u) ∈ H^{1}(I) et ∀ε > 0, ∀φ ∈ D(I), ∫_{I} f_{ε}(u)φ′ = − ∫_{I} f′_{ε}(u)u′φ. On sait que f_{ε}(u) → u^{+} dans L^{2}(I) donc ∫_{I} f_{ε}(u)φ′ ⟶ ∫_{I} u^{+}φ′. D’autre part,

\begin{matrix}f′_{ε}(t) & = & \frac{t}{\sqrt{t^{2}+ε^{2}}} , & t > 0 \\ & = & 0, & t ≤ 0 \end{matrix} \} ⟶^{ε→0} \{ \begin{matrix}1 & si t > 0 \\ 0 & sinon \end{matrix} \} = 11_{[t>0]},

donc

\begin{matrix}f′_{ε}(u) → 11_{[u>0]} p.p. \\ |f′_{ε}(u)u′| ≤ |u′| ∈ L^{2}(I) \end{matrix} \} ⟹ f′_{ε}(u)u′ ⟶ 11_{[u>0]}u′ dans L^{2}(I),

par le Théorème de convergence dominée. D’où

∫_{I} f′_{ε}(u)u′φ ⟶ ∫_{I} 11_{[u>0]}u′φ.

A la limite, on obtient : ∫ u^{+}φ = − ∫ 11_{[u>0]}u′φ, ∀φ ∈ D(I), donc u^{+} ∈ H^{1}(I) et (u^{+})′ = 11_{[u>0]}u′.

5) On a u^{−} = (−u)^{+} donc u^{−} ∈ H^{1}(I), (u^{−})′ = −11_{[u<0]}u′ et |u| = u^{+} + u^{−} ∈ H^{1}(I). (La démonstration est la même en dim > 1, en remplaçant u′ par \frac{∂}{∂x_{i}} u.)

Exercice 6

Soit N une norme dérivant d’un produit scalaire, alors N^{2} est C^{∞} et sa dérivée seconde est une forme bilinéaire symétrique définie positive (c’est à une constante positive près le produit scalaire) donc N^{2} est strictement convexe. Une norme est convexe et non strictement convexe car N(tu) = tN(u) si t > 0.

Exercice 7

On note H_{0}^{1}(0,1) = {u ∈ H^{1}(0,1) : u(0) = u(1) = 0}.

1) Si u ∈ H_{0}^{1}(0,1) alors on peut écrire u(x) = ∫_{0}^{x} u′(t)dt (voir le Théorème 11.1, ch.11). En appliquant Cauchy-Schwarz, on en déduit que |u(x)| ≤ \sqrt{x}∥u′∥_{2}. On élève cette dernière inégalité au carré et on intègre, on obtient alors ∥u∥^{2} ≤ \frac{1}{2}∥u′∥_{2}^{2}, d’où ∥u′∥_{2}^{2} ≤ ∥u∥_{H^{1}}^{2} ≤ \frac{3}{2}∥u′∥_{2}^{2}. On en conclut que (H_{0}^{1}(0,1),∥u′∥_{2}) est un espace de Hilbert.

2) Si v ∈ H^{1}(0,1) alors v ∈ L^{2} ∩ L^{∞} car H^{1}(0,1) ⊂ C[0,1]. Donc v ∈ L^{q}, ∀q ≥ 2 et F (v) a bien un sens. Comme | ∫_{0}^{1} fv| ≤ ∥f∥_{2}∥v∥_{2} ≤ \frac{1}{\sqrt{2}}∥f∥_{2}∥v′∥_{2} si v ∈ H_{0}^{1}(0,1), il existe C > 0 tel que F (v) ≥ \frac{1}{2}∥v′∥_{2}^{2} − \frac{1}{\sqrt{2}}∥f∥_{2}∥v′∥_{2} ≥ C, ∀v ∈ H_{0}^{1}(0,1). De plus F (v) ⟶ +∞ quand ∥v′∥_{2} → ∞. D’autre part, comme H^{1}(0,1) ⊂ C[0,1] avec injection continue, il existe M > 0 tel que ∀v ∈ H^{1}(0,1), ∥v∥_{4} ≤ M∥v∥_{H^{1}}, ce qui montre que F est continue sur H_{0}^{1}(0,1). Enfin F est convexe (∥v∥_{4}^{4}= composée de x ↦ x^{4}, croissante et convexe sur IR^{+} et d’une norme est convexe). Donc F est s.c.i. faible et le Théorème sur l’inf des fonctions s.c.i. (Corollaire 4.5, ch.4) montre qu’il existe u ∈ H_{0}^{1}(0,1) tel que F (u) ≤ F (v), ∀v ∈ H_{0}^{1}(0,1). L’unicité provient du fait que F est strictement convexe car le terme ∥v′∥_{2}^{2} l’est d’après l’exercice précédent.

3) Soient t > 0 et v ∈ H_{0}^{1}(0,1) alors F (u + tv) − F (u) ≥ 0 donc

\frac{F (u + tv) − F (u)}{t} = ∫_{0}^{1} u′v′ + ∫_{0}^{1} u^{3}v − ∫_{0}^{1} fv + t O(1) ≥ 0.

Quand t → 0, on obtient

∫_{0}^{1} u′v′ + ∫_{0}^{1} u^{3}v − ∫_{0}^{1} fv ≥ 0,

et en changeant v en −v,

∫_{0}^{1} u′v′ + ∫_{0}^{1} u^{3}v − ∫_{0}^{1} fv = 0,

pour tout v ∈ H_{0}^{1}(0,1).

4) En particulier, comme D(]0,1[) ⊂ H_{0}^{1}(0,1), on a

∫_{0}^{1} u′φ′ + ∫_{0}^{1} u^{3}φ = ∫_{0}^{1} fφ, ∀φ ∈ D(]0,1[).

On utilise maintenant le fait que u′, u^{3}, f sont dans L_{loc}^{1} et définissent des distributions pour écrire que

∫_{0}^{1} u′φ′ = < u′,φ′ >= − < u′′,φ > ,
∫_{0}^{1} u^{3}φ = < u^{3},φ > ,
∫_{0}^{1} fφ = < f,φ > ,

et donc < −u′′ + u^{3} − f,φ >= 0, ∀φ ∈ D(]0,1[). D’où −u′′ + u^{3} = f dans D′(]0,1[). Comme f et u^{3} sont dans L^{2}(I), on en déduit que u′′ ∈ L^{2}(I) donc légalité a lieu p.p et u ∈ H^{2}(0,1).

5) Comme F est convexe, on a : ∀t ∈]0,1], F (u+t(v −u)) ≤ F (u)+t[F (v)−F (u)], ∀v ∈ H_{0}^{1}(0,1). Donc

\frac{F (u + t(v − u)) − F (u)}{t} ≤ F (v) − F (u), ∀t > 0.

On a vu en 3) que

\frac{F (u + t(v − u)) − F (u)}{t} = ∫_{0}^{1} u′(v − u)′ + ∫_{0}^{1} u^{3}(v − u) − ∫_{0}^{1} f(v − u) + t O(1).

Comme u ∈ H^{2} ∩ H_{0}^{1}(0,1) et v ∈ H_{0}^{1}(0,1), on a ∫_{0}^{1} u′(v − u)′ = − ∫_{0}^{1} u′′(v − u) donc

\frac{F (u + t(v − u)) − F (u)}{t} = ∫_{0}^{1}(\underbrace{−u′′ + u^{3} − f}_{=0})(v − u) + tO(1), ∀t > 0.

En particulier, F (v) − F (u) ≥ tO(1) et quand t → 0, on obtient F (v) ≥ F (u), ∀v ∈ H_{0}^{1}(0,1). Donc u est solution de (⋆).

6) On suppose que f ≥ 0 p.p. Si u est solution de (⋆) alors on a vu que ∀v ∈ H_{0}^{1}(0,1), ∫_{0}^{1} u′v′ + ∫_{0}^{1} u^{3}v = ∫_{0}^{1} fv. On choisit v = u^{−} = − inf(0,u) alors v ∈ H_{0}^{1}(0,1) (voir l’exercice 5), v ≥ 0 et on obtient − ∫_{0}^{1}(u^{−})^{′2} − ∫_{0}^{1}(u^{−})^{4} = ∫_{0}^{1} fu^{−} ≥ 0. On en déduit par exemple que ∫_{0}^{1}(u^{−})^{4} ≤ 0 et donc que u^{−} = 0 p.p. D’où u ≥ 0 p.p.

1) V est un sous-espace vectoriel de H^{1}(0,1). On pose L(v) = v(0) − kv(1) alors |L(v)| ≤ (1 + |k|) sup_{[0,1]} |v(x)|. Comme H^{1}(0,1) s’injecte de façon continue dans C([0,1]), ∃C constante telle que ∀v ∈ H^{1}(0,1), sup_{[0,1]} |v(x)| ≤ ∥v∥_{H^{1}}. Donc |L(v)| ≤ (1 + |k|)C∥v∥_{H^{1}}. Ainsi V, noyau d’une forme linéaire continue, est fermé.

2) Pour v ∈ H^{1}(0,1), on écrit que v(x) = v(0) + ∫_{0}^{x} v′(t)dt. En particulier si v ∈ V alors v(1) = kv(1) + ∫_{0}^{1} v′(t)dt. Donc,

|1 − k| |v(1)| ≤ ∫_{0}^{1} |v′(t)|dt ≤ ∥v′∥_{2},

par Cauchy-Schwarz. Alors,

|v(1)|\frac{1}{|1 − k|}∥v′∥_{2} et |v(0)| ≤ \frac{|k|}{|1 − k|}∥v′∥_{2}.

D’où

|v(x)| ≤ (1 + \frac{|k|}{|1 − k|}) ∥v′∥_{2},

et ∥v∥_{∞} ≤ C∥v′∥_{2}.

3) a(.,.) est clairement bilinéaire et symétrique. Soit v ∈ V, comme (∫_{0}^{1} v)^{2} ≤ ∫_{0}^{1} |v|^{2}, on a a(v,v) ≥ ∥v′∥_{2}^{2} ≥ 0. Si a(v,v) = 0 alors ∥v′∥_{2} = 0 et d’après 2), ∥v∥_{∞} = 0 donc v = 0. On en conclut que a(.,.) est bien un produit scalaire sur V. Soit ∥v∥_{a} = \sqrt{a(v,v)}. On a évidemment ∥v∥_{a}^{2} ≤ ∥v∥_{H^{1}}^{2}. D’autre part si v ∈ V, ∥v∥_{2} ≤ ∥v∥_{∞} ≤ C∥v′∥_{2} par 2). Donc,

∥v∥_{H^{1}}^{2} = ∥v∥_{2}^{2} + ∥v′∥_{2}^{2} ≤ (C^{2} + 1)∥v′∥_{2}^{2} ≤ ∥v∥_{a}^{2}.

D’où,

(\frac{1}{C^{2} + 1}) ∥v∥_{H^{1}}^{2} ≤ ∥v∥_{a}^{2} ≤ ∥v∥_{H^{1}}^{2},

et les deux normes sont équivalentes.

4) Soit ℓ(v) = ∫_{0}^{1} fv, alors ℓ est une forme linéaire sur V. Et

|ℓ(v)| ≤ ∥f∥_{2} ∥v∥_{2} ≤ (C^{2} + 1)^{\frac{1}{2}} ∥f∥_{2} ∥v∥_{a},

montre que ℓ est continue sur V pour ∥ ∥_{a}. V est fermé dans H^{1} donc complet pour la norme H^{1}. Par équivalence des normes, on déduit que (V,a(.,.)) est un espace de Hilbert. Le Théorème de Riesz s’applique à ℓ donc il existe un unique u ∈ V tel que ℓ(v) = a(u,v), ∀v ∈ V.

5) Soit u solution de (⋆) alors :

∀v ∈ V, ∫_{0}^{1} u′v′ = ∫_{0}^{1} (f − u + ∫_{0}^{1} u) v.

En particulier, ∀φ ∈ C_{c}^{∞}(]0,1[),

< −u′′,φ >= ∫_{0}^{1} u′φ′ = ∫_{0}^{1} (f − u + ∫_{0}^{1} u) φ =< (f − u + ∫_{0}^{1} u) ,φ > ,

donc −u′′ = f − u + ∫_{0}^{1} u au sens des distributions. Comme f, u, ∫_{0}^{1} u ∈ L^{2}, on a u′′ ∈ L^{2} donc u ∈ H^{2}(0,1) et −u′′ = f − u + ∫_{0}^{1} u p.p. (⋆⋆). Si v ∈ V, comme u ∈ H^{2}, on peut intégrer par parties et on a

∫_{0}^{1} u′v′ = − ∫_{0}^{1} u′′v + u′(1)v(1) − u′(0)v(0),
= − ∫_{0}^{1} u′′v + (u′(1) − ku′(0))v(1).

Alors, en tenant compte de l’équation (⋆⋆), a(u,v) = ∫_{0}^{1} fv ⟹ (u′(1) − ku′(0))v(1) = 0 et ceci pour tout v ∈ V, donc nécessairement u′(1) = ku′(0). Les conditions aux limites satisfaites par u sont donc

(⋆ ⋆ ⋆) \{ \begin{matrix}u′(1) = ku′(0) \\ u(0) = ku(1). (u ∈ V) \end{matrix}

Et réciproquement, si u ∈ H^{2}(0,1) satisfait l’équation (⋆⋆) et les conditions aux limites (⋆ ⋆ ⋆) ci-dessus, alors u vérifie (⋆).

6) On a vu en 2) que |u_{n}(x)|^{2} ≤ (1 + \frac{|k_{n}|}{|1−k_{n}|}) ∥u′_{n}∥_{2}^{2} avec k_{n} ≠ 1. La suite (1 + \frac{|k_{n}|}{|1−k_{n}|})_{n} est

bornée et non nulle car elle converge vers 1 + \frac{|k|}{|1−k|}. Donc ∃M > 0 tel que ∥u_{n}∥_{2}^{2} ≤ M ∥u′_{n}∥_{2}^{2}, ∀n. De plus,

\frac{1}{M} ∥u_{n}∥_{2}^{2} ≤ ∥u′_{n}∥_{2}^{2} ≤ |a(u_{n},u_{n})| = | ∫_{0}^{1} fu_{n}| ≤ ∥f∥_{2} ∥u_{n}∥_{2}.

Donc,

\begin{aligned}∥u_{n}∥_{2}^{2} & ≤ & M ∥f∥_{2} ∥u_{n}∥_{2} & ≤ & M ∥f∥_{2} ∥u_{n}∥_{H^{1}} et \\ ∥u′_{n}∥_{2}^{2} & ≤ & ∥f∥_{2} ∥u_{n}∥_{2} & ≤ & ∥f∥_{2} ∥u_{n}∥_{H^{1}}. \end{aligned}

Donc ∥u_{n}∥_{H^{1}}^{2} ≤ (M + 1)∥f∥_{2} ∥u_{n}∥_{H^{1}} d’où la suite (u_{n})_{n} est bornée dans H^{1}.

7) Comme H^{1} est réflexif, on peut extraire une sous-suite (u_{n_{p}})_{p} convergeant faiblement dans H^{1} vers u⋆. Avec l’injection compacte de H^{1}(0,1) dans C([0,1]), on en déduit que u_{n_{p}} → u⋆ uniformément sur [0,1]. Comme u_{n_{p}} ∈ V_{n_{p}}, u_{n_{p}}(0) = k_{n_{p}}u_{n_{p}}(1) et chaque terme converge. A la limte, on a u ⋆ (0) = ku ⋆ (1) donc u⋆ ∈ V.

8) On vérifie facilement que v_{n} ∈ V_{n} et |v_{n}(t) − v(t)|^{2} = |\frac{k−k_{n}}{k_{n}−1}| |v(1)|^{2}. Donc ∥v_{n} − v∥_{2}^{2} = |\frac{k−k_{n}}{k_{n}−1}| |v(1)|^{2} → 0. D’autre part, v′_{n} = v′ donc v_{n} → v dans H^{1}. Comme u_{n_{p}} ⇀ u⋆ dans H^{1} faible et v_{n_{p}} → v dans H^{1} fort, (u_{n_{p}},v_{n_{p}})_{H^{1}} → (u ⋆ ,v)_{H^{1}}. Les autres termes de (⋆)_{n_{p}} passent à la limite sans problèmes et on obtient a(u ⋆ ,v) = ∫_{0}^{1} fv, ceci ∀v ∈ V, par unicité de u, u⋆ = u.

9) Comme u_{n_{p}} → u uniformément sur [0,1], (∫_{0}^{1}(u_{n_{p}} − u))^{2} → 0. D’autre part, on peut écrire

a(u_{n_{p}} − u,u_{n_{p}} − u) = ∫_{0}^{1} fu_{n_{p}} − 2a(u_{n_{p}},u) + a(u,u) et chaque terme converge car u_{n_{p}} converge faiblement dans H^{1}. Donc,

∥u_{n_{p}} − u∥_{H^{1}}^{2} = a(u_{n_{p}} − u,u_{n_{p}} − u) + (∫_{0}^{1}(u_{n_{p}} − u))^{2} → ∫_{0}^{1} fu − a(u,u) = 0.

10) Sinon, ∃A > 0, il existe une sous-suite (u_{n_{p}})_{p} telle que ∥u_{n_{p}} − u∥_{H^{1}} ≥ A > 0. On sait alors qu’il existe une sous-suite de (u_{n_{p}})_{p}, encore notée (u_{n_{p}})_{p}, qui converge vers u dans H^{1} faible. Comme en 9), on montre qu’en fait, elle converge fortement vers u dans H^{1}, d’où contradiction.

11) T est bien définie et linéaire par unicité de la solution de (⋆) et par symétrie de a, on a ∫_{0}^{1} fT g = ∫_{0}^{1} gT f. Vérifions que T est continue. Par 3), ∃C > 0 tel que ∀u ∈ V, C ∥u∥_{H^{1}}^{2} ≤ a(u,u) donc en choisissant u = T f, on obtient : C ∥T f∥_{H^{1}}^{2} ≤ ∫_{0}^{1} fT f ≤ ∥f∥_{2} ∥T f∥_{2}. Comme ∥ ∥_{2} ≤ ∥ ∥_{H^{1}}, on en déduit que ∥T f∥_{2} ≤ \frac{1}{C} ∥f∥_{2} et T est continue. Pour montrer que T est compacte, on va utiliser le critère démontré dans l’exercice 3 du Chapitre IV. L^{2} étant réflexif, il suffit de montrer que si f_{n} ⇀ f dans L^{2} faible, T f_{n} → T f dans L^{2} fort. Comme C ∥T f_{n}∥_{H^{1}}^{2} ≤ ∥f_{n}∥_{2} ∥T f_{n}∥_{H^{1}}, on en déduit que (T f_{n})_{n} est bornée dans H^{1}(0,1) réflexif, donc il existe une sous-suite (T f_{n_{k}})_{k} qui converge faiblement vers un g ∈ H^{1}. Alors T f_{n_{k}} → g dans C([0,1]) et donc dans L^{2} fortement et faiblement. Comme T est linéaire continue, on en déduit que g = T f (voir l’exercice 3 Chapitre III). Donc toute la suite (T f_{n})_{n} converge vers T f dans L^{2}.

Chapitre 14

Notations

E_{ω} = l’espace E muni de la topologie faible σ(E,E′). E_{ω⋆} = l’espace E muni de la topologie faible ⋆ σ(E′,E). L(E,F) = l’espace des applications linéaires de E dans F. L(E,F) = l’espace des applications linéaires continues de E dans F. E′ = L(E,IR) (E_{ω})′ = l’espace des applications linéaires continues de E muni de la toplogie faible à valeurs dans IR. (E_{ω⋆})′ = l’espace des applications linéaires continues de E muni de la toplogie faible ⋆ à valeurs dans IR. < f,x >= f(x) est le crochet de dualité E′,E. int(A) = intérieur de A. |A| = la mesure de A si A est un ensemble. E \ F = {x ∈ E : x ∉ F }. vect{a_{1},...,a_{n}} est l’espace vectoriel engendré par a_{1},...,a_{n}, on pourrait l’écrire IRa_{1} + ... + IRa_{n}. V(x) = l’ensemble des voisinages de x pour la topologie considérée. V_{ω}(x) = l’ensemble des voisinages de x pour la topologie faible. ⇀ signifie convergence pour la topologie faible, c’est en général précisé dans le texte. P.F.I = l’ensemble des parties finies de I. 11_{A} = la fonction indicatrice de l’ensemble A. ∥.∥_{p} = la norme usuelle des espaces L^{p} ou bien ℓ^{p}. C(Ω) = l’ensemble des fonctions à valeurs réelles, continues sur Ω. C_{c}(Ω) = l’ensemble des fonctions continues et à support compact dans Ω. D(Ω) ou C_{0}^{∞}(Ω) est l’ensemble des fonctions de classe C^{∞} à support compact dans Ω. D′(Ω) = l’ensemble des distributions sur Ω.

182 CHAPITRE 14. NOTATIONS

Annexe A

Exemple de travaux pratiques

Dans tout le TD, on considère une image digitale a(i,j) de taille 256 × 256 (i.e. i,j ∈ {1,2,...,256}), à 256 niveaux de gris (i.e. a(i,j) ∈ {1,2,...,256}). Commencez, à partir d’une des machines du département, par choisir votre image parmi celles disponibles dans le répértoire ∼gousseau/images/ (évitez l’image mouche.tif pour des raisons qui apparaitront plus loin). Pour la lire sous matlab, tapez

a=imread(’image.tif’); la variable a est alors une matrices de valeur entières. Visualisez a comme une image (les valeurs correspondent à des niveaux de gris, 1 est le noir et 256 le blanc)

imagesc(a); colormap gray; puis comme une surface

view(-45+180,30); surfl(double(a)); colormap gray; shading interp; axis equal;

A.1 Manipulation de l’histogramme

On appelle histogramme de a le vecteur h(x),1 ≤ x ≤ 256

h(x) = #{(i,j)/a(i,j) = x}.

On appelle fonction de distribution de l’image le vecteur de même taille

H(x) = #{(i,j)/a(i,j) ≤ x}.

Visualisez les vecteurs h et H correspondant a votre image [m,n]=size(a); a=double(a); b=reshape(a,m*n,1); h=hist(b,255); h=h/(m*n); H=cumsum(h);

plot(h);figure;plot(H); Egalisation d’histogramme: on modifie les niveaux de gris de l’image de manière à ce que sa nouvelle fonction de distribution soit le plus proche possible de l’identité. L’algorithme très simple fourni ci-dessous est une adaptation en discret de la remarque suivante: si une variable aléatoire X à valeurs dans [0,1] a pour fonction de distribution F, alors la variable aléatoire F (X) a pour fonction de distribution l’identité (le vérifier). Visualisez la nouvelle fonction de distribution, ainsi que le nouvel histogramme. Qu’en pensez-vous?

H(256)=1;

b=zeros(m,n);

b=round((H(a+1)*255));

A.2 Echantillonnage et transformée de Fourier

Calculez la transformée de Fourier discrète (TFD) de l’image a à l’aide de la fonction fft2 (se référer à la feuille jointe pour la définition de la TFD). La fonction fftshift sert a placer les basses fréquences au centre de l’image.

A=fft2(a);

A=fftshift(A);

imagesc(log(1+abs(A))); colormap(jet); colorbar Répétez l’expérience avec l’image mouche.tif. Sous-echantillonnez l’image a d’un facteur 2 (i.e. gardez un pixel sur 2 dans chaque direction). Qu’observe-t-on?

b=zeros(128);

for k=1:128;for l=1:128; b(k,l)=a(2*k,2*l); end; end; Même expérience avec l’image de la mouche. Effectuez la même expérience en filtrant préalablement l’image (en la convoluant avec une fonction régulière). Le résultat est-il meilleur? pourquoi?

A.3 Zoom par 0-padding (prolongement du spectre par des zéros)

On se propose de zoomer l’image a, par exemple d’un facteur deux dans chaque dimension. L’idée est d’ajouter des zéros à la TFD de l’image de manière à augmenter sa taille tout en préservant son contenu aux faibles fréquences, puis de reconstruire une image à partir de cette transformée. Commencez par regarder la feuille sur la TFD, et effectuez le calcul en dimension 1. Puis zoomez l’image a d’un facteur deux:

– calculez A, la TFD de a

– prolongez A en une image 512 × 512 par ajout de zéros aux hautes fréquences (attention: les hautes fréquences sont au centre de A, et il est préférable d’utiliser la fonction fftshift avant de prolonger par des zéros). Pour éviter les problèmes dûs au rôle particulier des éléments A(i,j), avec i ou j valant N/2 on peut tout simplement annuler ces coefficients.

– calculez b, TFD inverse de A.

Qu’observe-t-on? En particulier aux bords de l’image? pourquoi? Effectuez la même experience avec une image comportant une discontinuité nette (par exemple un carré noir sur fond blanc). Même questions.

A.4 Translations

On cherche à effectuer une translation non entière sur une image, c’est à dire à calculer des valeurs en des points situés “entre les pixels”. On utilise le fait que si une fonction f p-periodique est translatée, les coefficients de sa série de Fourier sont multipliés par une exponentielle complexe.

Calculez la valeur de cette exponentielle correspondant à une translation de t ∈]0,1[. Fabriquez le signal f = χ_{[60,80]}, (χ étant la fonction indicatrice) considéré comme périodique sur l’intervalle [0,128], translatez le de 1/2 en multipliant les coefficients de sa TFD par les exponentielle adéquates. Attention, il faut se rappeler que les valeurs de la TFD comprise entre N/2 + 1 et N (N étant la taille du signal) correspondent en fait aux coefficients de la série de Fourier d’indices compris entre −N/2 et −1. Visualisez le résultat comme une image (en utilisant simplement la commande imagesc). Qu’observe-t-on? Effectuer une nouvelle translation de 1/2. Retrouve-t-on le signal original? pourquoi?

A.5 Phase et module de la TFD

Nous allons maintenant illustrer l’importance respective de la phase et du module des coefficients de la TFD. Nous commençons par echanger les phases des TFD de deux images. Choisissez une image b différente de a (de même taille). Calculez les TFD A et B respectivement de a et b. Remplacez les coefficients de B par leur modules, puis multipliez les par la phase des coefficients correspondants de A. Utilisez ifft2 et affichez le résultat. Essayez avec une image de texture pour a, puis pour b.

A=fft2(a); B=fft2(b);

B=abs(B).*exp(i*angle(A));

c=ifft2(B); imagesc(real(c)); Pour illustrer le rôle du module des coefficients, on effectue l’experience suivante: partant d’une image synthétique simple (un carré, un disque...) on change la phase des coefficients de sa TFD de manière aléatoire, puis on on calcule l’image correspondante. Attention, lors de la modification de la phase il faut prendre garde à respecter les symétries de la TFD, ainsi qu’a ne pas modifier les coefficient réels A(0,0),A(N/2,N/2),A(N/2,0),A(0,N/2). Une possibilité est de partir d’un bruit blanc et d’utiliser les phases de sa TFD. Qu’observe-t-on? Effectuez la même expérience à partir de la texture strawmat.tif.

A.6 Codes Matlab

%visualisation histogramme

a=double(a);

[m,n]=size(a);

b=reshape(a,m*n,1); h=hist(b,256); h=h/(m*n); H=cumsum(h); plot(h); figure; plot(H);

%egalisation b=zeros(m,n); b=round((H(a+1)*255)); b=double(b); c=reshape(b,m*n,1); h=hist(c,255); h=h/(m*n); H=cumsum(h); figure;plot(h);figure;plot(H);

%visualisation TFD b=fft2(a); b=fftshift(b); imagesc(log(abs(b)+1)); colormap(jet); colorbar;

%sous echantillonage brutal de a (d’un facteur 2) M=floor(m/2); N=floor(n/2); b=zeros(M,N); for i=1:M; for j=1:N; b(i,j)=a(2*i,2*j); end end

%zoom image %ATTENTION: M ET N DOIVENT ETRE PAIRS M=m/2; N=n/2; imagesc(a); colormap gray; b=fft2(a); b=fftshift(b); c=zeros(2*m,2*n); c(M+1:M+m,N+1:N+n)=b(:,:); c=fftshift(c); e=ifft2(c); figure; imagesc(real(e)); colormap gray;

%effet de gibbs par zoom n=128; a=zeros(n); a(n/4:3*n/4,n/4:3*n/4)=255; imagesc(a);colormap gray; b=fft2(a); b=fftshift(b); c=zeros(2*n); c(n/2+1:n/2+n,n/2+1:n/2+n)=b(:,:); c=fftshift(c); e=ifft2(c); figure; imagesc(real(e)); colormap gray;

%translation taille=128; % taille doit etre paire a=zeros(1,taille); a(taille/4:3*taille/4)=1; imagesc(a); colormap gray; b=fft(a); omeg=exp(2*i*pi/taille); angle=.5; for n=1:taille/2; b(n)=b(n)*omegˆ ((n-1)*angle); end; b(taille/2+1)=cos(pi*angle)*b(taille/2+1); for n=taille/2+2:taille; b(n)=b(n)*omegˆ ((n-taille-1)*angle); end; d=ifft(b); figure; imagesc(real(d));colormap gray;

%echange de phases %b DOIT CONTENIR UNE IMAGE DE MEME TAILLE QUE a A=fft2(a); B=fft2(b); B=abs(B).*exp(i*angle(A)); c=ifft2(B); imagesc(real(c));

%synthese de texture a partir d’un carre a=zeros(256); a(:,:)=256; a(120:130,120:130)=0; imagesc(a);colormap gray; b=randn(256); B=fft2(b); A=fft2(a); C=abs(A).*exp(i*angle(B)); c=ifft2(C); figure;imagesc(real(c));colormap gray % essayez avec d’autres formes...

Index

Additivité (de la mesure), 45 Approximation de l’identité , 58 Approximation par convolution des fonctions

uniformément continues, 59 Ascoli-Arzela (théorème de), 12

Baire (lemme de), 21 Banach-Alaoglu-Bourbaki (théorème de), 31 Banach-Steinhaus (Théorème de), 22 Base de Fourier, 91 Base de Fourier en sinus et cosinus, 93 Base de Haar, 85 Base de voisinages (pour la topologie faible-

⋆), 31 Base de voisinages pour la topologie faible,

27 Base en cosinus, 93 Base en sinus, 93 Base hilbertienne, 83 Beppo-Levi (théorème de la convergence mo-

notone), 45 Bidual d’un espace de Banach, 37 Borné d’un espace de Banach (caractérisation

duale), 23

Changement de variable (théorème de), 50 Coefficients de Fourier d’une dérivée, 124 Compacité (d’une famille de fonctions Lip-

schitz), 13 Compacité faible (d’un convexe fermé borné

), 38 Compacité séquentielle (dans un séparable

réflexif), 41 Compacité séquentielle de la boule unité, 40 Complétude des L^{p}, 54 Complétude des espaces de Sobolev, 134 Constance d’une fonction à dérivée distribu-

tionnelle nulle, 120 Continuité aux extrémités des fonctions de

W^{1,p}, 132 Continuité d’une forme bilinéaire, 84 Continuité des fonctions de W^{1,p}, 131 Continuité séquentielle (d’une application conti-

nue), 10 Contractante (projection sur un convexe), 81 Convergence d’une série dans un Hilbert, 80 Convergence d’une suite (pour la topologie

faible-⋆), 31 Convergence des distributions, 119 Convergence faible, 28 Convergence faible d’une suite (caractérisations),

28 Convergence faible dans un espace de Hil-

bert, 84 Convergence presque partout (de martingale),

71 Convergence simple d’opérateurs linéaires, 22 Convolution (Universalité de la), 82 Convolution d’une fonction de L^{1} avec une

fonction de L^{2}, 57 Convolution de deux fonctions de L^{1}, 56 Convolution périodique, 92 Croissance lente (suite à ), 122

Décomposition orthogonale (dans un Hilbert),

81 Décroissance rapide (de coefficients de Fou-

rier), 123 Dérivée d’une distribution, 119 Dérivée de la masse de Dirac, 121 Dérivation d’une série de Fourier, 120 Dérivation sous le signe somme (Théorème

de), 48 Densité de C^{∞}(I) dans W^{1,p}(I) quand I est

borné, 135 Densité de C_{0}^{∞}(Ω) dans L^{p}(Ω), 60 Densité de C_{c} dans L^{1}, 49 Densité de C_{c} dans L^{p}, 55 Densité des fonctions en escalier dans L^{1}, 49 Densité et orthogonalité dans un espace vec-

toriel normé, 20 Distribution périodique, 122 Distributions associées à des fonctions L_{loc}^{1},

119 Dual de W^{1,p}, 134 Dualité (application de), 16

Egalité de Parseval, 83 Elastique chargé , 125 Equicontinuité en moyenne des fonctions som-

mables, 50 Equiintégrabilité d’une suite de L^{1}, 71 Espace W^{1,p}(I), 132 Espace de Banach, 15 Espace de Hilbert, 79 Espace de Sobolev, 131 Espace de Sobolev périodique, 124 Espace de Sobolev périodique 2, 126 Espace des fonctions sommables L^{1}(IR^{N}), 47 Espaces de Hilbert H_{per}^{m}, 125 Exemple d’ouvert fort mais pas faible, 29 Exemples de Hilbert, 79

Fermeture d’un convexe, 29 Fermeture faible de la sphère unité , 29 Fonction en escalier, 49 Fonction en escalier dyadique, 49 Fonction semicontinue inférieurement sur un

compact, 41 Fonctions C^{∞} à support compact, 60 Fonctions C_{0}^{∞} radiales, 60 Fonctions tests pour Fourier, 123 Formule de Poisson, 121 Formule des sauts, 120 Fubini-Tonelli (théorème de), 50

Hahn-Banach (Théorème), 15 Hahn-Banach (version analytique), 15 Hahn-Banach (version géométrique), 18 Hahn-Banach, version fermé-compact., 19

Identité du parallélogramme, 80 Images naturelles, 51 Images numériques, 68 Inégalité de Cauchy-Schwarz, 79 Inégalité de Hölder, 53 Inégalité de Parseval, 84 Inégalité de Poincaré , 135 Isométrie (d’un Hilbert séparable à l^{2}), 84

Jauge d’un convexe, 18

Kakutani (théorème de), 37

Lax-Milgram (théorème de), 84

Lebesgue (théorème de la convergence do-

minée), 47 Lemme de Zorn, 15 Limite inférieure, supérieure, 30 Linéarité de l’intégrale, 46 Longueur d’un arc rectifiable, 14

Méthode variationnelle (pour l’élastique chargé

), 133 Métrisabilité (de la boule unité), 39 Métrisabilité de la boule unité, 40 Martingale, 73 Masse de Dirac, 119 Mazur (théorème de), 29 Minimisation (d’une fonction convexe s.c.i.),

41

Négligeable (ensemble), 46

Nombre de passages (d’une martingale), 74 Non réflexivité de L^{1}, 72 Norme de L^{p}, 54 Norme par dualité , 17 Nullité (d’une fonction de L^{1} orthogonale à

C_{c}), 60

Orthogonal d’un sous-ensemble, 81 Ouverts (de la topologie faible), 27

Partition périodique de l’unité , 123

Peigne de Dirac, 119, 121 Phénomène de Gibbs, 95 Plongements continus et compacts d’espaces

de Sobolev, 135 Principe de localisation, 90 Principe de localisation (pour une fonction

Hölderienne), 91 Produit de deux fonctions de W^{1,p}, 135 Projection sur un convexe dans un Hilbert,

80 Prolongement des fonctions de W^{1,p}(I), 135 Réciproque du théorème de Lebesgue, 47 Réflexivité , 37 Réflexivité (d’un sous-espace fermé ), 37 Réflexivité (du dual d’un espace réflexif), 38 Réflexivité de L^{p}, 68 Réflexivité de W^{1,p}, 134 Régularisation par convolution, 57 Régularité des fonctions de H_{per}^{m}, 124 Repliement de spectre, 104 Riemann-Lebesgue (Lemme de), 89 Riesz (théorème de), 82 Riesz-Fréchet-Kolmogorov (théorème de com-

pacité de), 61

Séparabilité (d’un sous-espace d’espace séparable),

38 Séparabilité d’un espace, 83 Séparabilité de L^{p} pour 1 ≤ p < ∞, 68 Séparation (d’un point et d’un convexe), 18 Séparation (de la topologie faible), 28 Séparation de la topologie σ(E′,E), 31 Semicontinuité inférieure faible (des fonctions

fortement s.c.i.), 30 Semicontinuité inférieure, supérieure, 30 Sommabilité d’une fonction, 46 Support d’une fonction, 49, 58 Support de la convolée de deux fonctions, 58

Temps d’arrêt, 73 Théorème de Hahn-Banach géométrique, 17 Tikhonov (théorème de), 12 Tikhonov (théorème de) : cas d’un produit

dénombrable de compacts métrisables, 12

Topologie σ(E,E′) (caractérisation), 27 Topologie faible, 27 Topologie faible-⋆, 31 Totalité (d’un système dans un Hilbert), 81 Transformée de Fourier Discrète, 97 Transformée de Fourier rapide, 106 Translatée d’une fonction et d’une distribu-

tion, 122

Unicité des coefficients de Fourier d’une dis-

tribution, 123 Uniforme continuité en moyenne des fonc-

tions de L^{p}, 56 Vitali (lemme de), 71