

\documentclass[11pt]{book}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%macros et autres yann
\newcommand \R {\mathbb R}
\newcommand \Z {\mathbb Z}
\newcommand \N {\mathbb N}
\newcommand \hu {\hat{u}}
\newcommand \tu {\tilde u}
\def\cqfd{\hfill $\large\circ$ \newline\newline}     % fin de preuve
\newcommand{\indi}{{1\!\!1}}
\newcommand \com[1]{\fbox{\sf  #1}}
\newcommand \trait{
\noindent\noindent
\begin{picture}(454,5)(0,-5)
\drawline(0,2)(454,2)
\end{picture}}


%\def\R{\'e}sum{\'e}{\small\noindent\bf R{\'e}sum{\'e}. \rm}
\def\Abstract{\small\noindent\bf Abstract. \rm}

\def\nin{\not\in}                 % la negation de \in
\def\indic{1\!\!1}                % fonction indicatrice
\def\levelset{\chi}           % la surface de niveau
\def\meas{\mathop{\rm meas}}      % mesure de
\def\setB{\SetB}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%\RR
\def\real{I\!\!R}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\NN{I\!\!N}
\def\relative{{\bf Z}}
\def\QQ{{\bf Q}}
\def\complex{{\bf C}}
\def\mes{\hbox{mes}}
\def\sin{\hbox{sin}}
\def\cos{\hbox{cos}}
\def\interieur{\hbox{\rm Int{\'e}rieur}}
\def\signe{\hbox{\rm Signe}}
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\def\Re{\hbox{\rm Re}}
\def\support{\hbox{\rm Support}}
\def\supp{\hbox{\rm Support}}

\def\fb&{\begin{equation}}
\def\fe&{\end{equation}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ajouts sylvie
\newcommand{\ep}{\varepsilon}
\newcommand{\Om}{\Omega}
\newcommand{\om}{\omega}
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\newcommand{\eps}{\varepsilon}
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% ensembles Q R N Z C indicatrice polynomes
\gdef\PP{\hbox{\rm I\kern-.25em\hbox{P}}}
\gdef\ind{\indi}
\gdef\RR{\hbox{\rm I\kern-.25em\hbox{R}}}
\gdef\NN{\hbox{\rm I\kern-.25em\hbox{N}}}
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\gdef\ZZ{{\sl Z\hskip -1ex Z} }
\gdef\CC{\rm \hbox{C\kern-.56em\raise.4ex
         \hbox{$\scriptscriptstyle |$}\kern+0.5 em }}
\gdef\QQ{\rm \hbox{Q\kern-.35em\raise.4ex
         \hbox{$\scriptscriptstyle |$}\kern+0.5 em }}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%rappel : \overline{cequ'onveut}
\newtheorem{thf}{Th\e or\ee me}[chapter]
\newtheorem{cor}{Corollaire}[chapter]
\newtheorem{pro}{Proposition}[chapter]
\newtheorem{Def}{D\e finition}[chapter]
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\newtheorem{rem}{Remarque}[chapter]%  remarque
\def\drem{\begin{rem}\rm}%  sans
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\newtheorem{exo}{Exercice}[chapter]
\newtheorem{propr}{Propri\e t\e}[chapter]

\newtheorem{Exer}{Exercice}[chapter]  %Exercice
\def\dexer{\begin{Exer}\rm}    %sans
\def\fexer{\end{Exer}}        %italique !

\def\skipaline{\vspace{4 mm}\noindent}

\def\fb& {\begin{equation}}       % debut d'une equation
\def\fe& {\end{equation}}         % fin d'une equation
\def\enddemo{\hfill $\large\circ$ \newline\newline}     % fin de preuve
\def\Varphi{{\bf \varphi}}
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%\newcommand\contentsname{Table des Mati\ee res}
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%  Janvier\or F{\'e}vrier\or Mars\or Avril\or Mai\or Juin\or
%  Juillet\or Ao{\^u}t\or Septembre\or Octobre\or Novembre\or D{\'e}cembre\fi
%  \space\number\day, \number\year}


%rappel pour la c\e dille : fran\c cais
\def\indexentry#1#2{\noindent #1, #2 \newline}
\makeindex
\begin{document}
\title{Notes du cours d'analyse, ENS Cachan premi\ee re ann\e e}
\author{Jean-Michel Morel}
\maketitle
\tableofcontents
\listoffigures
%\listoftables
%\listoffigures
%\noindent{\bf Notes du cours d'analyse, ENS Cachan premi\ee re ann\e e.}

 \vskip 1.5em
\newpage
\noindent{\bf Trait\e s recommand\e s :}
\newline
\newline
H. Brezis, Analyse fonctionnelle, Masson, 1983.
\newline
J.M. Bony, Cours d'analyse de l'Ecole Polytechnique, Ecole Polytechnique, 1994
(polycopi\e ).
\newline
G. Choquet, Cours de Topologie, seconde {\'e}dition, Masson, 1992.
\newline
J. Dixmier, Topologie G\e n\e rale, Masson, ????
\newline
N. Bourbaki, Topolgie Générale, Hermann, Paris.
\newline
T.W. K\ooo rner, Fourier Analysis, Cambridge University Press, 1988.
\newline
J. Neveu,  Bases math\e matiques du calcul des probabilit\e s, Masson, 1970.
\newline
W. Rudin, Real and complex analysis, Mc-Graw-Hill, 1966, traduction fran\c caise
Masson 1980.
\newline
W. Rudin, Functional Analysis, Mc-Graw-Hill, 1980.
\newline
\newline
\noindent{\bf Autres sources}
\newline
\newline
F. H\e lein, Notes de cours, ENS Cachan, 1996 (manuscrit).
\newline
Y. Meyer, cours de DEA ondelettes 94-97 (manuscrits).

%\include{chap123}
\chapter{Topologie et compacit\ea }
Dans ce paragraphe, nous nous contentons de rappeler des d\'efinitions et des r\'esultats
utiles pour la suite de cet ouvrage. Le lecteur pourra trouver les d\'emonstrations de tous
les \'enonc\'es cit\'es dans [Choquet] et [Dixmier].\\
\paragraph{Rappels de topologie g\e n\e rale} : une {\it topologie} sur $E$ est d\e
finie comme une partie
$\cal O$ de
${\cal P}(E)$ stable par intersection finie et union quelconque et contenant $E$
et $\emptyset$.  Les
\e l\e ments de
$\cal O$ sont appel\e s les {\it ouverts} de la topologie.  On appelle {\it
voisinage ouvert} de
$x\in E$ tout ouvert $O\in \cal O$ contenant $x$.  On appelle {\it base de
voisinages ouverts} de la topologie toute partie
$\cal U$ de
$\cal O$ telle que si
$x\in O\in \cal O$, alors il existe $U\in \cal U$ tel que $x\in U\subset O$.
\newline
{\bf Cons\e
quence :} tout  ouvert est une union de voisinages ouverts de la base. On appelle
base de voisinages ouverts d'un point $x\in E$ toute partie $\cal U$ de $\cal O$
telle que si un ouvert $O$ contient $x$, alors il existe $U$ dans $\cal U$ tel
que $x\in U\subset O$.
\newline
{\bf Exemple classique }: une  topologie $\cal O$ sur $E$ est dite m\e trisable
s'il existe une distance sur
$E$ telle que $\cal O$ co\"{\i}ncide  avec l'ensemble des unions arbitraires de
boules.  Une base de voisinages ouverts commode est alors constitu\e e par les
boules ouvertes elles-m\eee mes. Les boules ouvertes centr\e es en $x$ forment une
base de voisinages ouverts de $x$ et \e galement les boules ouvertes contenant
$x$.
\begin{Def} On dit que l'espace $E$ est s\'epar\'e si $\forall x,y \in E$, $x\not= y$,
$\exists V \in {\cal V}(x)$ et $\exists U \in {\cal V}(y)$ tels que $U\cap V = \emptyset$.
\end{Def}
Tous les espaces topologiques que nous considérerons seront séparés.
On appelle fermeture d'un ensemble $A$, not\e e $\overline{A}$, l'intersection de
tous les ferm\e s contenant $A$. On appelle ouverture, ou int\e rieur, de $A$
l'union de tous les ouverts contenus dans $A$, not\ea $\interieur (A)$.
\dexer {\bf Adh\'erence} \\
Soit $A$ une partie de $E$, on dit que $x \in E$ est adh\'erent \`a $A$ si $\forall V \in
{\cal V}(x)$, $V\cap A \not= \emptyset$. On appellera adh\'erence de $A$, l'ensemble des
points de $E$ adh\'erents \`a $A$.
On note $\overline{A}$ la fermeture de $A$,  \ccaadd le plus petit ferm\'e de $E$ contenant $A$.
Montrer que
$\overline{A}$ et l'adh\'erence de $A$ sont identiques et que la relation $A=\overline{A}$
caract\'erise les ensembles ferm\'es.
\fexer

{\it Convergence d'une suite}.  On dit
qu'une suite
$x_n$ {\it tend vers} $x$ pour  la topologie $\cal O$ si pour tout voisinage $O$ de
$x$ il existe $n_0$ tel que $n\geq n_0\Rightarrow x_n\in O$.
\begin{pro}\label{sequentiellementferme}
Tout ferm\ea $F$ est s\e quentiellement ferm\e , \ccaadd que si $x_n\in F$,
ferm\e , et si $x_n\to x$ pour la topologie, alors $x\in F$.

\end{pro}
\paragraph{D\e monstration} Si on avait $x\in F^c$, qui est ouvert, il existerait
un voisinage ouvert $U$ de $x$ tel que $U\subset F^c$.  Mais $x_n\to x$
implique  que $\exists n_0, n\geq n_0 \Rightarrow x_n \in U$, ce qui
contredirait $x_n\in F$.
\enddemo
\begin{Def} {\bf Valeur d'adh\'erence d'une suite}\\
Soit $(x_n)_n$ une suite de points de $E$, on dit que $x \in E$ est valeur d'adh\'erence de
$(x_n)_n$ si $\forall n$, $\forall V \in {\cal V}(x)$, $\exists i \geq n$ tel que $x_i \in V$.
\end{Def}
Si on note $A_n = \{ x_i,\;i\geq n\}$ alors $x$ est valeur d'adh\'erence de $(x_n)_n$ si et
seulement si $x \in \bigcap_n \overline{A_n}$.\\ \\


{\it Application continue}. On note de manière générique ${\cal V}(x)$ une base de voisinages d'un point $x$ d'un espace
topologique $E, \cal O$.
\begin{Def} {\bf Continuit\'e en un point} \\
Soient $E$ et $F$ deux espaces topologiques et $f$ une appplication de $E$ dans $F$. Soit $x_0
\in E$, on dit que $f$ est continue en $x_0$ si $\forall V \in {\cal V}(f(x_0))$, $\exists U
\in {\cal V} (x_0)$ tel que $f(U) \subset V$.
\end{Def}
 \dexer Une
application d'un espace topologique dans un autre est dite {\it continue} si elle est continue
en tout point. Démontrer que $f$ est continue si et seulement si
l'image r\e ciproque de tout ouvert par l'application est un ouvert, ou de
mani\ee re \e quivalente, si l'image r\e ciproque de tout ferm\ea est un ferm\e .
Vérifier que si on a une base de voisinages ouverts
$\cal U$ dans $F$, alors
$f$ est continue si et  seulement si $f^{-1}(U)$ est un ouvert pour tout $U\in
\cal U$.
\fexer
 Un exemple
que nous utiliserons souvent : une application $f$ de $E$ dans $\RR$ est
continue si et seulement si pour tout intervalle ouvert $I$ de $\RR$, l'ensemble
$f^{-1}(I)$ est un ouvert.  En effet, les intervalles ouverts forment une base de
voisinages ouverts de $\RR$.  Il convient de v\e rifier que notre d\e
finition de la continuit\ea g\e n\e ralise bien la notion de continuit\ea s\e
quentielle pour $f$ (\ccaadd : $x_n\to x\Rightarrow f(x_n)\to f(x)$.)

\begin{pro}\index{Continuit\ea s\e quentielle (d'une application continue)} Si $f
: (E, {\cal O})\to (F, {\cal U})$ est continue, alors elle est s\e quentiellement
continue.
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}  Soit $x_n$ tendant vers $x$ pour $\cal O$. Fixons
$U\in \cal U$ tel que $f(x)\in U$ et montrons que $\exists n_0, n\geq n_0
\Rightarrow f(x_n)\in U$. Or, $f$ \e tant continue, $f^{-1}(U)$ est un voisinage
de $x$. Donc $\exists n_0, n\geq n_0\Rightarrow x_n\in f^{-1}(U)$ et on a donc,
comme d\e sir\e ,
$f(x_n)\in U$.

\enddemo
Rappelons un r\e sultat classique, qui  n'est pas toujours vrai quand les
topologies ne sont pas m\e trisables :
\dexer Si $E$ et $F$ sont m\e trisables, alors $f : E\to F$ est
continue si et seulement si elle est {\it s\e quentiellement continue}, \ccaadd
si $x_n\to x $ $\Rightarrow$ $f(x_n)\to f(x)$.
\fexer
{\it Les  compacts}  On dit qu'un sous-ensemble $K$ d'un espace topologique séparé $(E,
{\cal O})$ est compact si de tout recouvrement de $K$ on peut extraire un
recouvrement fini.  Si la topologie $E$ est m\e trisable, tout compact est s\e
quentiellement compact,
\ccaadd que $K$ est compact si et seulement si toute suite
$x_n$ contenue dans $K$ a un point d'accumulation, \ccaadd une valeur d'adhérence qui
est contenue dans $K$.
L'image d'un compact par une fonction continue est un compact.  En cons\e quence,
toute fonction r\e elle continue sur un compact atteint son maximum et son minimum.
\newline
{\it Topologie produit}  Soit $(E_i, {\cal O}_i)$ des espaces topologiques.
L'espace topologique produit $E=\Pi_i E_i$ peut \eee tre muni de la {\it topologie
produit}, d\e finie comme la moins fine rendant les projections de $E$ sur chaque
$E_i$ continues.

\begin{Def}   On appelle
 {\rm topologie sur $E$ la moins fine vérifiant une propriété $P$} la
topologie ayant cette propri\e t\ea $P$ et  qui a le moins d'ouverts possible.
Cette topologie
$\cal U$ est donc telle que pour toute autre topologie $\cal O$ vérifiant $P$,
 on ait $ {\cal O}\subset \cal U$.  On la
trouve en  prenant tout simplement l'intersection de toutes les topologies vérifiant $P$
 : c'est encore une topologie, le v\e rifier !
 \end{Def}

\begin{pro}\label{formedelatopologielamoinsfine} Soit  $(E_j, {\cal O}_j)_{i\in J}$ une famille d'espaces topologiques et
$\varphi_j : E\to E_j$ une famille d'applications définies sur un ensemble $E$.
Les ouverts de la {\rm topologie la moins
 fine sur $E$ rendant continues les applications $\varphi_j$} sont tous de la forme :
 \fb&  \label{formestandarddouvert}
 \bigcup_{i\in I}\bigcap_{j\in F_i}\varphi_j^{-1}(U_j),
 \fe&
 où $U_j$ désigne un ouvert quelconque de $E_j$, $F_i$ est un sous-ensemble fini quelconque
  de $J$ et $I$ est un ensemble quelconque d'indices.
  \newline La même formule est encore valide si on restreint les $U_j$ à une base
  de voisinages ouverts de $E_j$.
  \end{pro}
  \drem  En conséquence, on a la base de voisinages de $E$ :
  $$\bigcap_{j\in F}\varphi_j^{-1}(O_j),$$
  où $F\subset J$ est fini, et $O_j$ appartient à une base de voisinages de $E_j$.  En conséquence, on
  peut caractériser la convergence des suites pour cette topologie de la manière très simple suivante :
  \newline
  $x_n\to x$ pour la topologie ${\cal O}$ si et seulement si $\varphi_(x_n)\to \varphi(x)$ pour tout
  $i$.
  \frem
\begin{lem}\label{distributivitebooleenne}
$$\bigcap_{i\in F}\bigcup_{j\in J_i}A_j=\bigcup_{\psi\in \Psi}\bigcap_{i\in F}A_{\psi(i)},$$
où $\Psi $ est l'ensemble de toutes les applications $i\in F\to \psi(i)\in J_i$.
\end{lem}
Cette dernière formule prouve que si $\cal A$ est une famille d'ensembles, alors "toute intersection finie
d'unions d'intersections finies d'éléments de $\cal A$ est une union d'intersections finies d'éléments
de $\cal A$."
\paragraph{Démonstration}
Si $x$ appartient à $\bigcap_{i\in F}\bigcup_{j\in J_i}A_j$, cela revient à dire que
$$\forall i\in F, \; \exists j(=\psi(i))\in J_i, \; \; x\in A_j \Leftrightarrow$$
$$\exists \psi : \; F\to \cup_i J_i, \; \psi(i)\in J_i, \; \; x\in A_{\psi(i)}, \; \; \forall i\in F.$$
\enddemo
\paragraph{Démonstration de la proposition \ref{formedelatopologielamoinsfine}}
Si les $\varphi_i$ sont continues, tout élément de la forme (\ref{formestandarddouvert}) est bien un ouvert
de $E$. Réciproquement, la famille des ensembles de la forme (\ref{formestandarddouvert}) est évidemment
stable par union quelconque, et par intersection finie d'après le lemme \ref{distributivitebooleenne}.
\enddemo

\begin{thf}{\bf de Tikhonov} \index{Tikhonov (th\e or\ee me de)} Soit $K=\Pi_i
K_i$ un produit de compacts.  On note ses \e l\e ments $\omega =(\omega_i)_i$ et
on le munit de la topologie produit,
\ccaadd la moins fine rendant les projections
$\omega\to w_i\in K_i$ continues. Alors $K$ est compact.
\end{thf}

\dexer \index{Tikhonov (th\e or\ee me de) : cas d'un produit d\e nombrable de
compacts m\e trisables} Montrer ce th\e or\ee me dans le cas un peu moins g\e n\e
ral suivant :
$K=\Pi_{n\in \NN}K_n$ (produit d\e nombrable) et on suppose que $K_n$ est
m\e trisable et donc muni d'une distance $d_n$.  Commencer par montrer que $K$
est m\e trisable en posant
$$d(x,y)=\sum_{n\in \NN} \frac {d_n(x_n,y_n)}{2^n diam(K_n)},$$
o\u $diam(K_n)=\max\{d(x_n,y_n), x_n,y_n\in K_n\}$ est le diam\ee tre de $K_n$ et
$x=(x_n)_n$, $y=(y_n)_n$.
\fexer
{\bf Cas des espaces m\'etriques}\\
Nous rappelons ici un certain nombres de propri\'et\'es vraies dans les espaces m\'etriques.
Dans tout ce qui suit le couple $(E,d)$, ou plus simplement $E$, d\'esignera un espace
m\'etrique muni d'une distance $d$.
On rappelle aussi qu'un espace m\'etrique est dit complet si toute suite de Cauchy
converge.
\begin{pro}
1) Un espace m\'etrique est s\'epar\'e.\\
2) Soient $A$ une partie de $E$ et $x \in E$ alors $x \in \overline{A}$ $\Longleftrightarrow$
$d(x,A) =0$ $\Longleftrightarrow$ $\exists (x_n)_n \subset A$ telle que $x_n \rightarrow x$.\\
\end{pro}
\begin{pro} {\bf Valeur d'adh\'erence} \\
Soient $(x_n)_n$ une suite dans $E$ et $x \in E$. Alors $x$ est valeur d'adh\'erence de la
suite $(x_n)_n$ si et seulement si il existe une sous-suite $(x_{n_k})_k$ qui converge vers
$x$.
\end{pro}
Nous attirons l'attention sur le fait que le sens direct est vrai dans les espaces m\'etriques
mais que l'on ne peut rien dire a priori dans un espace topologique quelconque.
\begin{thf}
Soit $E$ un espace m\'etrique, les conditions suivantes sont \'equivalentes :\\
(i) L'espace $E$ est compact.\\
(ii) Toute suite de points de $E$ admet une valeur d'adh\'erence.\\
(iii) Toute suite de points de $E$ a une sous-suite convergente.
\end{thf}
\begin{thf}
Un espace m\'etrique compact est complet.
\end{thf}
Pour plus de détails de topologie générale nous renvoyons aux ouvrages de G.Choquet et
J.Dixmier, et bien-sûr la Topologie Générale de N. Bourbaki.

\section{Th\e or\ee mes classiques de compacit\ea }


\begin{thf} {\bf (Ascoli-Arzela)}\label{ascoliarzela}\index{Ascoli-Arzela (th\e
or\ee me de)} Soit $f_n$ une suite de fonctions d\e finies sur
un espace m\e trique compact $(K, d)$ et
\a valeurs r\e elles.  On suppose que la suite $f_n$ a les deux propri\e t\e s
suivantes
:
\newline
$\bullet$ $f_n$ est \e quicontinue : $\forall \varepsilon, \exists \eta, \; \forall
x,
y \in K,\;\forall n\in \NN,\; d(x, y)\leq \eta \Rightarrow |f_n(x)-f_n(y)|\leq \varepsilon.
$
\newline
$\bullet$ La suite $(f_n(x))_n$ est born\e e pour un $x\in K$.
\newline
Alors il existe une sous-suite de $f_n$ qui converge vers une fonction
continue $f$.
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
Remarquons d'abord qu'il existe une suite de points $(x_k)_k$
qui est dense dans
$K$.  En effet, $K$ est compact et donc on peut le recouvrir pour tout $n$ par un
nombre fini de boules de rayon plus petit que $\frac 1 n$. L'union des centres de
ces
boules est un ensemble d\e nombrable qui r\e pond \a la question.
\newline
On va alors extraire pour tout $k$ de la suite $f_n$ une sous-suite
$f_{\varphi_k(n)}$ telle que
$f_{\varphi_k(n)}(x_l)$ converge pour $l\leq k$ et telle que $f_{\varphi_k(n)}$
soit une
sous-suite
de $f_{\varphi_{k-1}(n)}$.
On proc\ee de par extractions successives. Comme la suite $f_n(x_1)$ est born\e e,
la suite
$f_n$ admet une sous-suite convergente en $x_1$ que nous notons
$f_{\varphi_1(n)}$.  On extrait de cette sous-suite une nouvelle sous-suite
$f_{\varphi_2(n)}$ qui
converge aussi en
$x_2$, etc..
On applique alors le proc\e d\ea dit d'extraction diagonale : on consid\ee re la
suite de fonctions
$g_n=f_{\varphi_{n}(n)}$. Elle converge en tout point de la suite $x_k$. On appelle
$g(x_k)$ sa limite en $x_k$.
 D\ee s que $n\geq k$, la suite $f_{\varphi_{n}(n)}$ devient une sous-suite de
$f_{\varphi_k(n)}$.  Elle converge donc en $x_k$.  La suite $g_n$ converge donc en
tout $x_k$.
En fait,  la fonction $g$ est \e quicontinue et se prolonge d'une mani\ee
re unique en une fonction continue sur $K$, que nous noterons encore $g$.
Voyons pourquoi. On a
$$|g(x_l)-g(x_k)|\leq
|g(x_l)-g_n(x_l)|+|g(x_k)-g_n(x_k)|+|g_n(x_l)-g_n(x_k)|.$$
Le troisi\ee me terme
est rendu inf\e rieur \a $\varepsilon$ pour tout $n$ si on  impose
$d(x_l, x_k)<\eta(\varepsilon)$.  Les deux premiers termes tendent vers z\e ro
quand $n\to
\infty$.  On obtient donc $|g(x_l)-g(x_k)|\leq \varepsilon$ si
$d(x_k, x_l)<\eta(\varepsilon)$. Donc $g$ est uniform\e ment continue sur la suite
$x_k$ et
a d'ailleurs le m\eee me module d'uniforme continuit\ea  que la suite $f_n$.
On montre ensuite  que $g_n$ converge uniform\e ment vers $g$. La fonction  $g$ est
uniform\e ment continue sur un ensemble dense dans
$K$. Elle se prolonge donc de mani\ee re unique en une fonction uniform\e ment
continue sur
$K$, avec le m\eee me module de continuit\ea uniforme.  Montrons pour finir que
$g_n\to g$
uniform\e ment.  On fixe $\varepsilon>0$, puis $k$ assez grand pour
$$\forall x\in K,\;
\exists l\leq k, \; d(x, x_l)\leq \eta(\varepsilon).$$  On fixe finalement $n_0$
assez grand
pour que
$$n\geq n_0\Rightarrow \forall l\leq k, \; |g_n(x_l)-g(x_l)|\leq\varepsilon.$$
En combinant les deux derni\ee res in\e galit\e s, on a pour $n\geq n_0$ et $x$
dans $K$,
$$|g_n(x)-g(x)|\leq |g_n(x)-g_n(x_l)|+|g_n(x_l)-g(x_l)|+|g(x_l)-g(x)|\leq
3\varepsilon.$$
\enddemo
\dexer V\e rifier que l'on peut le th\e or\ee me d'Ascoli-Arzela est encore valable si
les fonctions $f_n$ sont \a valeurs dans un  espace m\e trique complet et si on suppose, comme
deuxi\ee me hypoth\ee se, que pour tout $x$ dans $K$, l'ensemble $(f_n(x))$ est relativement
compacte (\ccaadd de fermeture compacte).
\fexer
\begin{cor} \index{Compacit\ea (d'une famille de fonctions Lipschitz)}
Toute famille  $f_n$ de fonctions $L$-lipschitziennes r\e elles, d\e finies
sur un  compact $K$ et telle que pour un certain point $x_0$, $f_n(x_0)$ soit
born\ea admet une sous-suite uniform\e ment convergente vers une fonction \e
galement
$L$-lipschitzienne.
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration} Comme $K$ est compact, il est born\ea et on a donc
$d(x, x_0)\leq M$ pour tout
$x$ dans $K$. D'o\u $|f_n(x)|\leq |f_n(x_0)|+LM$ est aussi born\e .
On peut donc appliquer le th\e or\ee me d'Ascoli-Arzela.
\enddemo


\dexer {\bf (longueur d'un arc rectifiable)} \index{Longueur d'un arc rectifiable}
On appelle arc rectifiable un sous-ensemble $C$ de $\RR^N$ qui est l'image
d'une  application Lipschitz
$c :$
$s\in[0,1]\to c(s)\in
\RR^N$. On appelle longueur de l'arc, $l(C)$, l'infimum des constantes de
Lipschitz des applications surjectives $c$ : $[0,1]\to C$. Montrer que cet
infimum est atteint. \newline
Marche \a suivre : consid\e rer une suite $c_n$ dont
les constantes de Lipschitz tendent vers $l(C)$.  Extraire une sous-suite
convergeant uniform\e ment vers un arc $c$ et montrer que $c$ est Lipschitz et que
sa constante de Lipschitz est  \e gale \a $l(C)$.
\fexer

\dexer
Soit $(E, \cal {O})$ un espace topologique tel qu'il existe une base $(U_n)_n$ d\e nombrable
de voisinages. Montrer que $E$ est m\e trisable, \ccaadd qu'il existe une distance
$d$ sur $E$ telle que les ouverts de $\cal O$ soient les unions de boules ouvertes pour $d$.
\newline Indication : on posera $d_n(f, g)=0$ si $f, g\in U_n$, $d_n(f, g)=1$ sinon. Ensuite,
on posera $d(f, g)=\sum_n \frac 1 {2^n}d_n(f, g)$.

\fexer


\chapter{Les Th\e or\ee mes de s\e paration de Hahn-Banach}

\begin{Def} Un espace de Banach est un espace vectoriel sur $\RR$, norm\e ,
complet. \index{Espace de Banach}
\end{Def}

\noindent Exemples : $\RR^N$, $\complex^N$, $l^p$, $1\leq p\leq +\infty$,
$l^p=\{a=(a_i)_{i\in\NN}, a_i\in \RR,
\sum_{i=0}^{\infty}|a_i|^p<\infty\}$,
$C^0_0(\RR^N)$, espace des fonctions continues tendant vers z\e ro \a l'infini.
Si $E$ est un espace vectoriel muni d'un produit scalaire non d\e g\e n\e r\ea
$<x,y>$, il est alors norm\ea par $||x|| = \sqrt{<x,x>}$.  On dit alors que $E$
est pr\e hilbertien.  Si de plus il est complet, on dit que c'est un espace de
Hilbert.  Exemple canonique : $l^2$.
\begin{Def}
Si $E$ est un espace vectoriel norm\e , on note $E'$ son dual topologique,
\ccaadd  l'ensemble des applications linéaires continues de $E$ dans $
\real$.
\end{Def}
Si $E$ est un espace vectoriel norm\e , $E'$ est un espace de Banach (voir
exercice \ref{2.2}
\begin{thf}{\bf de Hahn-Banach.}\label{hahn-banach}\index{Hahn-Banach (Th\e
or\ee me)}  Soit
$E$ un espace vectoriel norm\e . Soit
$G$ un sous-espace vectoriel de $E$ et $g:G\to \RR$ une application lin\e aire
continue de norme $$||g||_{G'}=\sup_{x\in G, ||x||\leq 1} g(x).$$  Alors il existe
$f\in E'$, le dual topologique de $E$, qui prolonge $g$ et telle que
$||f||_{E'}=||g||_{G'}.$
\end{thf}
Exercice : le montrer en dimension finie.
\begin{Def} {\bf (Zorn.)}
Soit $P$ un ensemble muni d'une relation d'ordre partiel not\e e $\leq$.  On dit
que $Q\subset P$ est totalement ordonn\ea  si $\forall a, b \in Q$, $a\leq b$ ou
$b\leq a$.  On dit que $c\in P$ est un majorant de $Q\subset P$ si $\forall a \in
Q$, $a\leq c$.  On dit que $m\in P$ est maximal si $\forall x\in P$ tel que $m\leq
x$, alors $m=x$.  On dit que $P$ est inductif si tout sous-ensemble totalement
ordonn\ea de $P$ admet un majorant.
\end{Def}

\begin{lem} {\bf de Zorn.}\index{Lemme de Zorn}
Tout ensemble ordonn\e , inductif et non vide admet un \e l\e ment maximal.
\end{lem}

\begin{thf} \label{hahn-banachanalytique}\index{Hahn-Banach (version
analytique)}{\bf de Hahn-Banach (version analytique)} Soit $p : E\to \RR^+$
une application v\e rifiant
$\forall
\lambda>0,
\forall x\in E, p(\lambda x) = \lambda p(x)$ et $\forall x, y \in E, p(x+y)\leq
p(x)+p(y)$.  Soit $G\subset E$ un sous-espace vectoriel et soit $g : G\to \RR$
une application lin\e aire telle que $g(x)\leq p(x), \forall x\in G.$  Alors il
existe une forme lin\e aire $f$ sur $E$ qui prolonge $g$, i.e.
$g(x)=f(x), \forall x\in G$, $f(x)\leq p(x), \forall x\in E$.
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
On consid\ee re
\newline $P=\{h : D(h)\to \RR, D(h) \hbox{ s.e.v. de } E, h \hbox{
lin\e aire }, G\subset D(h), \; h \hbox{  prolonge } g \hbox{ et } h(x)\leq p(x),
\; \forall x \in D(h). \}.$\newline  $P$ est muni de la relation d'ordre
$$h_1\leq h_2 \Leftrightarrow [ D(h_1)\subset D(h_2) \hbox{ et } h_2 \hbox{
prolonge
} h_1].$$
On v\e rifie que $P\neq \emptyset$ car $g\in P$, que $P$ est inductif car si
$Q\subset P$ est un sous-ensemble totalement ordonn\e , alors $D(h_1)=
\bigcup_{h\in Q} D(h)$ et $h_1(x) = h(x) $ si $x\in D(h)$ est un majorant pour
$Q$.  Donc, d'apr\ee s le lemme de Zorn, il existe un \e l\e ment maximal que
l'on appelle $f$.  On va v\e rifier que $D(f)=E$.  Sinon, il existerait
$x_0\notin D(f)$.  Posons $D(h) = D(f) + \RR x_0$ et $\forall x\in D(f)$, $\forall t\in \real$,
$h(x+tx_0) = f(x) + t\alpha$, $\alpha \in \RR$.  Alors $h$ est un prolongement
de $f$ et si on arrive \a trouver $\alpha$ tel que $h(x)\leq p(x), \forall x
\in D(h)$, on aura $f\leq h$ en contradiction avec la maximalit\ea de $f$.
Il faut choisir $\alpha \in \RR$ en sorte que
$$\forall x\in D(f),\forall t\in \RR,\; h(x+tx_0) = f(x) + t\alpha \leq
p(x+tx_0).
$$
Cela revient \a chercher $\alpha$ tel que
$$\forall x \in D(f),\;\forall t>0, \; \; f(x) + t\alpha \leq p(x+tx_0), \;\;
f(x)-t\alpha
\leq p(x-tx_0).$$
On cherche donc s'il existe $\alpha$ tel que
$$\forall x\in D(f),\forall t>0, \;\; \frac{f(x) -p(x-tx_0)}t \leq \alpha \leq
\frac{p(x+tx_0) -f(x)}t,
\hbox{ ou encore :}$$
$$[\sup_{x\in D(f), t>0}\frac{f(x)-p(x-tx_0)}t, \inf_{x\in
D(f), t'>0}\frac{p(x+t'x_0)-f(x)}t]\neq
\emptyset,
\hbox{ce qui veut dire}$$
$$\forall x, y \in D(f), \forall t,t'>0, \; t'f(y)-t'p(y-tx_0)\leq
tp(x+t'x_0)-tf(x),\hbox { ou encore }$$
$$\forall x, y \in D(f),  \forall t,t'>0, \; tf(x)+t'f(y)\leq
tp(x+t'x_0)+t'p(y-tx_0).  \hbox{ Or,}$$
$$tf(x)+t'f(y) = f(tx+t'y) \leq p(tx+t'y) \leq p(tx+tt'x_0) +
p(t'y-tt'x_0) = tp(x+t'x_0) +t'p(y-tx_0).$$

\enddemo
\paragraph{D\e monstration du th\e or\ee me \ref{hahn-banach}.}
On consid\ee re $p(x) = ||g||_{G'}||x||$.  On v\e rifie que
$p$ satisfait les hypoth\ee ses du th\e or\ee me \ref{hahn-banachanalytique}. Donc
en appliquant le th\e or\ee me
\ref{hahn-banachanalytique}, on construit  $f$ prolongeant $g$ avec
$\forall x, \; f(x)\leq ||g||_{G'}||x||$.  Donc, $||f||_{E'}\leq ||g||_{G'}.$
\enddemo
\begin{cor} \label{applicationdedualite}\index{Dualit\ea (application de)}
(application de "dualit\e ").  Si E est un espace vectoriel norm\e , il existe
pour tout $x_0\in E$ une forme lin\e aire
$f\in E'$ telle que $||f|| = ||x_0||$ et $f(x_0) = ||x_0||^2$.
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration} Prendre
$G = \RR x$, $g(tx) = t||x||^2,$ de sorte que
$||g||_{G'}=||x||$.
\enddemo
\dexer
Montrer le corollaire pr\e c\e dent directement quand $E$ est de dimension finie
et euclidien.  Regarder \e galement le cas $E=\RR^N$ muni de la norme
$||x||_p = (|x_1|^p+...+|x_N|^p)^\frac 1 p.$
\fexer
%Remarque  : si $E'$ est strictement convexe, $f$ est unique
% et l'application $x\to f$ est appel\e e application de dualit\e .
\begin{cor} \label{normepardualite}\index{Norme par dualit\ea } Soit $E$ un
espace vectoriel norm\e .  Alors
$$||x||= \sup_{f\in E',\; ||f||\leq 1} |f(x)| = \max_{f\in E', \; ||f||\leq
1}|f(x)|.$$
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
En effet, l'in\e galit\ea ($||x||\geq f(x)$ si $||f||\leq 1$) est imm\e diate et
l'\e galit\ea est obtenue gr\aa ce
\a l'application de dualit\ea  (corollaire \ref{applicationdedualite}).
\enddemo
\begin{Def}
Un hyperplan affine est un ensemble de la forme
$$H=\{x\in E, \; f(x) = \alpha\},$$
o\u $f$ est une forme lin\e aire continue sur $E$, non identiquement nulle, et $\alpha\in
\RR$.
\end{Def}

\begin{pro}
L'hyperplan d'\e quation $f=\alpha$ est ferm\ea si et seulement $f$ est continue.
\end{pro}

\paragraph{D\e monstration}
Si $f$ est continue, alors $H=f^{-1}(\alpha)$ est un ferm\e . R\e ciproquement,
supposons $H$ ferm\e .  Soit $x_0\in H^c$.  Supposons pour fixer les id\e es que
$f(x_0)<\alpha$. Alors, puisque $H^c$ est ouvert, il existe $r>0$, tel que
$B(x_0,r) = \{x\in E, ||x-x_0||<r\} \subset H^c$, et on va en d\e duire que
$$\forall x\in B(x_0, r), \; f(x)<\alpha.$$
En effet, si on avait un point $x_1$ de la boule o\u  $f(x_1)\geq \alpha$, on
trouverait par interpolation, $f$ \e tant lin\e aire, un point $x$ du segment
$[x_0,
x_1]$ o\u
$f(x)=\alpha$, en contradiction avec $B(x_0,r)\subset H^c$.
Finalement, $\forall x\in B(x_0,r), \;f(x)<\alpha$ et donc
$$\forall z\in B(0,1), \; f(x_0) + rf(z)<\alpha, \hbox{ soit }$$
$$\forall z\in B(0,1), \;  f(z) \leq \frac {\alpha - f(x_0)}{r}.$$
Cela entra\ii ne  $||f||\leq \frac {\alpha-f(x_0)}{r}$, et donc que $f$ est
continue.
\enddemo

\begin{Def}
Soit $E$ un espace vectoriel norm\ea et  $A, B \subset E$. On dit que l'hyperplan
$H$ d'\e quation $f(x)=\alpha$ s\e pare $A$ et $B$ au sens large si
$$f(x)\leq \alpha, \; \forall x \in A\; \; \hbox{ et } \;
f(x)\geq \alpha, \forall x \in B.$$
On dit que $H$ s\e pare $A$ et $B$ au sens strict si
$$\exists \varepsilon >0, \;\;f(x)\leq \alpha -\varepsilon, \; \forall x \in A\; \;
\hbox{ et }
\;  f(x)\geq \alpha + \varepsilon, \forall x \in B.$$


\end{Def}\index{Th\e or\ee me de Hahn-Banach g\e om\e trique}

\begin{thf}\label{hahn-banachgeometrique}\index{Hahn-Banach (version g\e
om\e trique)} {\bf de Hahn-Banach (version g\e
om\e trique)} Soit $E$ un espace vectoriel  norm\ea et $A, B\subset E$ deux
ensembles convexes non vides et disjoints.   On suppose que $A$ est ouvert.
Alors il existe un hyperplan ferm\ea  qui s\e pare $A$ et $B$ au sens large.
\end{thf}
\dexer
Le théorème peut être faux si aucun des deux convexes n'est ouvert. Prendre par exemple
$E=C^0(0,1)$, pour $A$ : le sous-espace vectoriel des polynômes trigonométriques   et pour
$B$ une fonction continue qui ne soit pas un polynôme trigonométrique, par exemple
f(s)=s.  Or, on ne peut pas séparer $f$ et $A$ au sens large (théorème de Stone-Weierstrass).
\fexer
\begin{lem} \label{jauge}\index{Jauge d'un convexe}
Soit $C\subset E$ un convexe ouvert, avec $0\in C$.  Pour tout $x\in E$, on pose
$p(x) = \inf\{\alpha >0, \; \frac x {\alpha} \in C\}$.  On dit que $p$ est la jauge
de
$C$. Alors $p$ v\e rifie $\forall \lambda >0,\;p(\lambda x) = \lambda x,$
l'in\e galit\ea triangulaire $p(x+y)\leq p(x)+p(y)$ et
\newline (i) $\exists M, 0\leq p(x) \leq M ||x||, \forall x \in E$.
\newline (ii)
$C = \{x\in E, \; p(x) <1\}.$
\end{lem}
\paragraph{D\e monstration}
  On a imm\e diatement
$p(\lambda x) = |\lambda| p(x).$  Montrons l'in\e galit\ea triangulaire
$p(x+y)\leq p(x)+p(y)$ pour $x$ et $y$ dans $E$.  Elle d\e coule de la
convexit\ea de $C$.  On a
\e videmment
$\tilde x =\frac {x}{p(x)+\varepsilon}\in C$ et $\tilde y=\frac
{y}{p(y)+\varepsilon
}\in C$. Puisque
$C$ est convexe, on a donc
$\frac{p(x)+\varepsilon}{p(x)+p(y)+2\varepsilon}\tilde x +
\frac{p(y)+\varepsilon}{p(x)+p(y) + 2\varepsilon} \tilde y \in C$, \ccaadd
$$z=\frac {x+y}{p(x)+p(y) + 2\varepsilon} \in C.$$
Mais $z\in C \Rightarrow p(z)\leq 1$.   Donc
$$p(x+y) \leq p(x) + p(y) + 2\varepsilon,$$
ce qui prouve l'in\e galit\ea triangulaire.
\newline
Montrons maintenant (i).  Comme $C$ est ouvert et $0\in C$, il existe $r>0$ tel
que  $B(0,r)\subset C$.  Donc $\forall x\neq 0$, $r \frac {x}{||x||} \in C$ et
donc
$p(x) \leq \frac {||x||}r.$
Terminons en montrant (ii), $C= \{x\in E,\; p(x)<1\}$.  Si $x\in C$, comme $C$ est
ouvert, $\exists \varepsilon, \; (1+\varepsilon) x \in C$. Donc
$p(x) \leq \frac 1 {1+\varepsilon}<1$.   R\e ciproquement, si $p(x)<1$, $\exists
\alpha, \; 0\leq p(x) <\alpha <1$, et donc $\frac x \alpha \in C$. Comme $C$ est
convexe et que $x$ appartient au segment $[0, \alpha x]$ il est aussi dans $C$.

\enddemo
\dexer Montrer la r\e ciproque du th\e or\ee me pr\e c\e dent : si $p:E\to
\RR^+$ est une application v\e rifiant $p(\lambda x) = \lambda x$, $\lambda>0$,
$p(x+y)\leq p(x)+p(y)$, la relation (i), $\exists M, 0\leq p(x) \leq M ||x||$,
alors
$C = \{x\in E, \; p(x) <1\}$ est un convexe ouvert contenant 0 dont $p$ est la
jauge.
\fexer
\begin{lem}\label{separationpointconvexe}\index{S\e paration (d'un point et
d'un convexe)} Soit $E$ un espace vectoriel norm\ea , $C\subset E$ un
convexe ouvert non vide et
$x_0\in E$,
$x_0\notin C$. Alors
$\exists f\in E'$, $f(x)<f(x_0), \forall x \in C$.  En particulier, l'hyperplan
$\{x, f(x) = f(x_0)\}$ s\e pare $x_0 $ et $C$ au sens large.

\end{lem}
\drem Soit $C$ un convexe. Alors en tout point de la frontière de $C$, il y a donc au moins
un hyperplan
tangent.
\frem
\paragraph{D\e monstration}
On peut toujours se ramener au cas o\u $0\in C$ et introduire la jauge $p$ de $C$.
On consid\ee re $G=\RR x_0$, et $g : \; \RR x_0 \to \RR$ d\e finie par
$tx_0 \to t$, de sorte que $g(x_0)=1$.  Comme $x_0\notin C$, on a  $g(x)\leq p(x),
\forall x
\in G$. En effet,
$x_0
\notin C\Leftrightarrow p(x_0)\geq 1$ et si $t\geq 0$, $g(tx_0)-p(tx_0) =
t(1-p(x_0))\leq 0$. Si $t<0$, $g(tx_0)<0\leq p(tx_0).$  On applique le th\e or\ee
me de Hahn-Banach \a $g$.  Il existe $f$ lin\e aire sur $E$ qui prolonge $g$, telle
que
$f(x)\leq p(x), \forall x\in E$.  En particulier, $f(x_0) = 1$ et $f$ est continue
car $f(x)\leq p(x)\leq M||x||$, $C$ \e tant ouvert (Lemme \ref{jauge}(i)).
Finalement,
$f(x)\leq p(x)<1$ pour tout
$x$ dans
$C$ en vertu du Lemme \ref{jauge}-(ii).
\enddemo


\paragraph{D\e monstration du th\e or\ee me \ref{hahn-banachgeometrique}}
On pose $C = A-B$ qui est un convexe ouvert car $A-B=\bigcup_{y\in B}(A-y)$ est une
union d'ouverts. Comme
$0\notin C$, car $A\cap B = \emptyset$, on utilise le lemme
\ref{separationpointconvexe} pour s\e parer $C$ et $0$. Donc
$$\exists f\in E', \; f(z)< 0, \forall z\in C, \hbox{ soit }$$
$$f(x)<f(y), \forall x\in A, y\in B.$$
On choisit $\alpha \in [\sup_{x\in A}f(x), \inf_{y\in B}f(y)]\neq \emptyset$
et $H=\{x, f(x)=\alpha\}$ s\e pare $A$ et $B$.
\enddemo


\begin{thf} {\bf de Hahn-Banach, version ferm\e -compact.}\index{Hahn-Banach,
version ferm\e -compact.}
\label{hahn-banachfermecompact} Soit $E$ un espace vectoriel norm\ea et $A\subset
E$,
$B\subset E$, deux sous-ensembles convexes non vides, disjoints. On suppose que $A$
est ferm\e ,
$B$ est compact.  Alors il existe un hyperplan $H$ ferm\ea qui s\e pare  $A$ et $B$
au sens strict.
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}  Posons $A_\varepsilon = A + B(0, \varepsilon)$,
$B_\varepsilon= B + B(0, \varepsilon)$.
 On commence par montrer que $\exists \varepsilon, A_\varepsilon\cap B_\varepsilon
= \emptyset$.   En effet, dans le cas contraire, on peut trouver pour tout
$\varepsilon$ un \e l\e ment $z_\varepsilon$ tel que $\exists x_\varepsilon \in A,
||z_\varepsilon-x_\varepsilon||\leq \varepsilon$ et $\exists y_\varepsilon \in B$,
$||z_\varepsilon -y_\varepsilon ||\leq \varepsilon.$ Comme $B$ est compact, une
sous-suite $y_{\varepsilon'}$ de $y_\varepsilon $ tend vers $y\in B$.  La
sous-suite correspondante $x_{\varepsilon'}$ tend aussi vers $y$, et comme $A$ est
suppos\ea ferm\e , on a $y\in A\cap B$, en contradiction avec l'hypoth\ee se que
$A$ et $B$ sont disjoints.
On applique le th\e or\ee me \ref{hahn-banachgeometrique} \a $A_\varepsilon$ et
$B_\varepsilon$. Il existe donc un hyperplan $\{x, f(x)=\alpha\}$ qui s\e pare
$A_\varepsilon$ et $B_\varepsilon$ :
$$\forall x\in A, \forall y \in B, \forall z, z'\in B(0,\varepsilon), \;
f(x+\varepsilon z)
\leq
\alpha\leq f(y+\varepsilon z').$$
D'o\u ,
$$f(x)+\varepsilon ||f|| \leq \alpha \leq f(y) -\varepsilon ||f||$$ et
$A$ et $B$ sont bien s\e par\e s au sens strict.
\enddemo
\dexer
En dimension finie, montrer par un argument constructif le th\e or\ee me de
Hahn-Banach, version ferm\e -compact : on montrera qu'il existe $x\in A$ et $y\in
B$ tels que $||x-y||= d(A,B)$ et consid\e rera l'hyperplan orthogonal \a $[x,y]$
passant par $\frac{x+y}2$.
\fexer
\begin{cor} \label{intersectiondedemiespaces}
Tout convexe fermé est une intersection de demi-espaces.
\end{cor}
\paragraph{Démonstration}
Appliquer la version fermé-compact au convexe et aux points hors du convexe.
\enddemo
\begin{cor}\label{intersectiondespacesfermes}
Tout sous espace vectoriel fermé $F\subset E$ est une intersection d'hyperplans vectoriels.
\end{cor}
\paragraph{Démonstration}
Appliquer le corollaire précédent et prouver  que si un espace vectoriel est inclus
dans un demi-espace $\{f(x)\leq \alpha\}$, il est aussi inclus dans $\{f(x)=0\}.$
\enddemo
\begin{lem}\label{densite-orthogonalite}\index{Densit\ea et orthogonalit\ea
dans un espace vectoriel norm{\'e}} Soit $E$ un espace vectoriel norm\e , $E'$ son
dual et $L$ un
sous-espace vectoriel de $E$.  Alors $L$ est dense si et seulement si son
orthogonal est r\e duit \a z\e ro. En d'autres termes, $L$ est dense si et
seulement si
\fb& \label{orthogonalite}
\forall f\in E', \; (\forall x\in L, \;f(x)=0) \Rightarrow f=0).
\fe&
\end{lem}
\paragraph{D\e monstration}
En effet, si $L$ est dense et si $\forall x\in L$, $f(x)=0$, on d\e duit par
continuit\ea de $f$ que $\forall x \in E, f(x)=0$ et donc $f=0$. R\e ciproquement,
supposons que la relation (\ref{orthogonalite}) soit satisfaite.  Supposons par
contradiction que
$L$ ne soit pas dense. Sa fermeture est alors un sous-espace vectoriel strict de
$E$. Par le corollaire \ref{intersectiondespacesfermes},
il existe
$f\in E'$ tel que $\forall x\in L, \;f(x)=0$ avec $f\neq 0$. Ceci contredit
(\ref{orthogonalite}).
\enddemo

\newpage
\chapter{Le Th\e or\ee me de Banach-Steinhaus}
\begin{lem} {\bf de Baire.}\label{lemmedeBaire} \index{Baire (lemme de)} Soit $X$
un
\underline{espace m\e trique complet}.  Soit
$X_n$ une suite de ferm\e s.  On suppose que  $\interieur X_n = \emptyset$.  Alors
$$\interieur (\bigcup_{n=1}^\infty X_n ) = \emptyset.$$
En d'autres termes, "une union {\rm d\e nombrable }de ferm\e s d'int\e rieurs vides
reste d'int\e rieur vide".  De mani\ee re \e quivalente, "une intersection d\e
nombrable d'ouverts denses reste dense".
\end{lem}

\drem Enonc\ea \a relier au suivant : une union d\e nombrable d'ensembles de
mesure nulle est de mesure nulle.
\frem

\paragraph{ D\e monstration}
Nous allons montrer la deuxi\ee me forme.  Soit $O_n$ une suite d'ouverts denses et
$G=\bigcap_n O_n$.  Montrons que $G$ rencontre un ouvert arbitraire $O$.  Pour
cela, on choisit une boule ferm\e e
$$B_0=B(x_0,r_0) = \{x, d(x,x_0)\leq r_0\}\subset O.$$ Comme $O_1$ est dense, on
peut choisir
$x_1\in B_0$ et
$r_1$ tels que
$$B(x_1, r_1)\subset  B(x_0,r_0)\cap O_1\hbox{ et }r_1\leq \frac {r_0}2.$$
On construit de m\eee me par r\e currence une suite $B(x_n, r_n)$ telle que
$$B(x_n,r_n)
\subset B(x_{n-1}, r_{n-1})\cap O_n \hbox { et }r_n \leq \frac {r_{n-1}} 2.$$  La
suite
$x_n$ est de Cauchy car $d(x_n, x_{n-1})\leq \frac{r_0}{2^n}$.  Soit
$x=\lim_{n\to \infty} x_n$. Alors $x\in O\cap \bigcap_n O_n$.
\enddemo

\noindent Remarque : le th\e or\ee me pr\e c\e dent est valable dans tout espace
m\e trique complet.  La structure d'espace vectoriel n'intervient pas. Soient
maintenant
$E, F$ deux espaces vectoriels norm\e s.  On note
$ {\cal L}(E,F)$ l'espace vectoriel norm\ea  des op\e rateurs lin\e aires continus
de $E$
dans $F$, muni de la norme
$$||T||_{{\cal L}(E,F)} = \sup_{x\in E, ||x||\leq 1} ||T(x)||.$$
On note ${\cal L}(E) = {\cal L}(E, E)$.

\begin{thf}{\bf de
Banach-Steinhaus.}\label{banach-steinhaus}\index{Banach-Steinhaus (Th\e or\ee
me de)} Soient
$E, F$ deux espaces de Banach.  Soit $(T_i)_{i\in I}\subset {\cal L}(E,F)$ une
famille
(non n\e cessairement d\e nombrable) d'op\e rateurs lin\e aires et continus de
$E$ dans
$F$.  On suppose que
$$\forall x\in E, \; \sup_{i\in I} ||T_ix||<\infty .$$
Alors,
$$\sup_{i\in I}||T_i||_{{\cal L}(E,F)} <\infty, $$
 \ccaadd qu'il existe  $c>0$ tel que
$$\forall i \in I, \; \forall x\in
E, \; ||T_ix||\leq c ||x||.$$

\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
Pour tout $n \geq 1$, on pose $X_n = \{ x\in E, \; \forall i, \; ||T_ix||\leq n\},$
en sorte que chaque $X_n$ est une intersection de ferm\e s et est donc ferm\e .
Par hypoth\ee se, $\bigcup_{n} X_n = E$ et donc $\interieur(\bigcup_n X_n)\neq
\emptyset$. Par le lemme de Baire \ref{lemmedeBaire}, l'un des $X_n$ doit \eee tre
d'int\e rieur non vide : $\interieur(X_{n_0})\neq \emptyset$.  Soit $x_0\in
X_{n_0}$ et
$r>0$ tel que $B(x_0, r)\subset X_{n_0}$.  Alors
$$\forall i\in I, \; \forall z\in B(0,1), \; ||T_i(x_0 +rz)||\leq n_0,$$
et donc par l'in\e galit\ea triangulaire,
$$\forall z\in B(0,1), \; r||T_i(z)||\leq n_0 + ||T_i(x_0)||\leq 2n_0, \hbox{ soit
}$$
$$||T_i||_{{\cal L}(E,F)} \leq \frac {2n_0}r.$$
\enddemo
\drem Pour que le théorème de Banach-Steinhaus marche, il suffit que l'espace de départ
$E$ soit complet. L'espace d'arrivée $F$ peut être simplement vectoriel normé.
\frem
\section{Cons\e quences du Th\e or\ee me de Banach-Steinhaus.}
\begin{cor} \label{normedoperateurdecroit} \index{Convergence simple d'op\e rateurs lin\e aires}
Soient $E$ et $F$ deux espaces de Banach.  Soit $(T_n)$ une suite d'op\e rateurs
lin\e aires et continus de $E$ dans $F$, tels que pour tout $x\in E,$ $ T_nx$
converge quand $n\to \infty$ vers une limite not\e e $Tx$.  Alors on a
$$\sup_n ||T_n||_{{\cal L}(E,F)} <+\infty,$$
$$ T\in {\cal L}(E, F),$$
$$||T||_{{\cal L}(E,F)}\leq \lim\inf_{n\to +\infty}||T_n||_{{\cal L}(E,F)}.$$
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
La premi\ee re relation est une cons\e quence directe du th\e or\ee me
\ref{banach-steinhaus} (de Banach-Steinhaus).  On a donc
$$\exists c>0, \;\forall x\in E, \; \forall n\in \NN,\; ||T_nx||\leq c||x||.$$
On en d\e duit que $\forall x\in E, \;||Tx||\leq c||x||$, et donc $T\in {\cal
L}(E,F)$.
Comme $||T_nx||\leq ||T_n||||x||$, on obtient par passage \a la limite inf\e
rieure, $||Tx||\leq \lim\inf_{\to \infty}||T_n||||x||$, ce qui donne bien la
derni\ee re relation annonc\e e.
\enddemo
\drem  On remarquera (voir exercice 2 à la fin du chapitre) que tout espace dual d'un
espace vectoriel normé est un espace de Banach.
\frem

\begin{cor}\index{Born\ea d'un espace de Banach (caract\e risation duale)}
Soit $G$ un espace vectoriel normé, $B$ un sous-ensemble de $G$.  On suppose que pour
tout $f\in G'$, $f(B)=\{f(x), \; x\in B\}$ est born\e .  Alors $B$ est born\e .
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
On applique le th\e or\ee me de Banach-Steinhaus (Thm \ref{banach-steinhaus})
avec $E=G'$, $F=\RR$, $I=B$.  Pour $b\in B$ et $f\in E=G'$, on pose $T_b(f) =
f(b).$  On a donc par hypoth\ee se
$$\forall f \in E,\; \sup_{b\in B} |T_b(f)|<+\infty .$$
On en d\e duit qu'il  existe $c>0$ tel que
$$\forall b\in B,\; \forall f\in E, \; ||T_b(f)||\leq c||f||_{G'}, \hbox{ soit }$$
$$\forall f\in G', |f(b)|\leq c||f||_{G'}.$$
Comme par le corollaire \ref{normepardualite}, on a $||b||= \sup_{f\in G',
||f||\leq 1}f(b), $ on conclut que
$||b||\leq c$.
$B$ est donc born\e .
\enddemo
Ce th\e or\ee me nous dit qu'un ensemble est born\ea si et seulement si ses
projections sur des axes de coordonn\e es arbitraires sont born\e es.
\\ \\
\section{Exercices}
{\bf Exercice 1}
\\ \\
1) Soient E un espace vectoriel r{\'e}el norm{\'e} de dimension finie et F un espace
vectoriel norm{\'e}\\

a) Montrer que toutes les normes sur E sont {\'e}quivalentes.\\

b) Soit $u : E \rightarrow F$ lin{\'e}aire, montrer que u est continue.\\ \\
2) Soit $E = \QQ[\sqrt{2}] = \left\{ a+b\sqrt{2}, a \in \QQ, b \in \QQ \right\}$.
On
d{\'e}finit sur $E$, $N_0(a+b\sqrt{2}) = \vert a+b\sqrt{2} \vert$ et
$N_1(a+b\sqrt{2}) = \max(\vert a \vert, \vert b \vert)$.\\

a) V{\'e}rifier que $N_0$ et $N_1$ sont des normes sur $E$.\\
Soit $x = \sqrt{2} -1$, montrer que $\forall n \geq 1$, $x^n = a_n+b_n\sqrt{2}$
o{\`u} $a_n,b_n \in \QQ$ et $a_nb_n < 0$. En d{\'e}duire que $(\sqrt{2}+1)^n = \vert
a_n \vert + \vert b_n \vert \sqrt{2}$.\\

b) Montrer que $N_0$ et $N_1$ ne sont pas {\'e}quivalentes sur $E$. ($E$ est un
$\QQ$-espace vectoriel de dimension finie, commenter.)
\\ \\
{ \bf Exercice 2} \label{2.2}
\\ \\
Soient E et F deux espaces vectoriels norm{\'e}s \\
a) Montrer que F complet $\Rightarrow$ ${\cal {L}}(E,F)$ complet (donc $E^{\prime}$
est toujours complet).\\
b) Montrer que ${\overline {B}}_E(0,1)$ compacte $\Rightarrow$ dim$E < \infty$.
\\ \\
{ \bf Exercice 3}
\\ \\
Soient E un espace vectoriel norm{\'e} et $f \in E^{\prime}$, $f \not\equiv 0$. Soit
$H = \{ x \in E :
f(x) = 0 \}$, on se propose de montrer
 que
 $$ \forall x \in E, \quad \, \, d(x,H) =  \inf_{y \in H} \Vert x-y \Vert = \frac
{\vert f(x)\vert}{\Vert f \Vert}\qquad \,(\star)$$
1) V{\'e}rifier que $\vert f(x)\vert \leq \Vert f \Vert \;d(x,H),\,\;\,\forall x \in
E.$\\
2) Soit $u \in E \backslash H$, en notant que $y=x- \frac {f(x)}{f(u)} \, u$ est
dans
H, montrer que
$d(x,H) \leq \frac {\vert f(x) \vert}{\vert f(u) \vert} \; \Vert u \Vert$ et
prouver
$(\star)$.\\
3) Soit $E={\cal C}_0=\{x=(x_n)_{n \geq 1} \in \RR^{\NN^{\star}} \mbox{ tel que }
x_n
\rightarrow 0\}$ que l'on munit
 de $${\Vert x \Vert}_{\infty} = \sup_n \vert x_n \vert .$$
 a) V{\'e}rifier que $(E,{\Vert \,\, \Vert}_{\infty})$ est un espace de Banach.\\
 b) Soient $f : E \rightarrow \RR$, d{\'e}finie par $f(x) = \sum_{1}^{\infty}
\frac{x_n}{2^n}$ et $ H = Kerf.$ V{\'e}rifier que $f \in E^{\prime}$, donner une
expression de $d(x,H)$.
${\Vert f \Vert}_{E^{\prime}}$ est-elle atteinte ?\\ \\
{ \bf Exercice 4} Th{\'e}or{\`e}mes du point fixe
\\ \\
1) Soit (E,d) un espace m{\'e}trique complet et soit $f : E \rightarrow E$ une
application
k-lipschitzienne avec k$<$1.
Montrer que f admet un unique point fixe $x = f(x)$.\\
2) Soit (E,d) un espace m{\'e}trique complet et soit $\Lambda$ un espace topologique.
Soit $f : E \times \Lambda \rightarrow
E$ telle que\\
- $\forall x \in E, \quad \lambda \rightarrow f(x,\lambda)$ est continue de
$\Lambda$
dans E,\\
- $\exists k < 1, \quad \forall \lambda \in \Lambda, \quad x \rightarrow
f(x,\lambda)$ est k-lipschitzienne de E dans E.
On pose $f_\lambda(x) = f(x,\lambda)$. Si $a_\lambda$ est l'unique point fixe de
$f_\lambda$, montrer que $\lambda \rightarrow a_\lambda$
est continue de $\Lambda$ dans E.\\
3) Soit (E,d) un espace m{\'e}trique compact et $f : E \rightarrow E$ telle que
$$\forall x,y \in E, \qquad d(f(x),f(y)) < d(x,y).$$
Montrer que f admet un unique point fixe.\\
4) Soit C un convexe compact dans E espace vectoriel norm{\'e} et soit $f : C
\rightarrow C$
1-lipschitzienne. Montrer que f admet
un point fixe ( pour z fix{\'e} dans C, consid{\'e}rer $f_n(x)=\frac {1}{n+1} z +
\frac{n}{n+1} f(x)$).\\ \\
{ \bf Exercice 5}
\\ \\
Soit $E={\cal C}^1 ([0,1])$. Pour $f \in E$, on pose $N(f) = { ({f(0)}^2 + \int_0^1
f^{\prime}(t)^2 dt)}^{1/2}$ et
$\Vert f {\Vert}_{\infty} = \sup_{[0,1]} \vert f(x) \vert.$
a) V{\'e}rifier que N est une norme sur E.\\
b) Montrer que $\forall f \in E, \quad {\Vert f \Vert}_{\infty} \leq \sqrt {2} \;
N(f)$.\\
c) Montrer que ${\Vert \, \Vert}_{\infty}$ et N ne sont pas {\'e}quivalentes sur E.
\\ \\
{ \bf Exercice 6}
\\ \\
Soit E un espace m{\'e}trique complet tel que $\forall \eps > 0$, il existe un
recouvrement fini de E
par des boules de rayon $\eps$, montrer que E est compact.
\\ \\
{ \bf Exercice 7}
\\ \\
Montrer qu'un espace m{\'e}trique compact est s{\'e}parable.
\\ \\
{ \bf Exercice 8}
\\ \\
Soit E un espace vectoriel norm{\'e} et soit K une partie convexe de E avec $0 \in
K$. On pose
$$ \,\,\; K^{\star} = \{ f \in \Ep;\,\, \forall x \in K,\,\,\; <f,x> \leq 1 \}
\mbox{
 et}$$
$$ K^{\star \star}\!= \{y \in E;\,\, \forall f \in K^{\star},\,\,<f,y> \leq 1 \}.$$
Montrer que $ \overline {K} = K^{\star \star}$.
\\ \\
{ \bf Exercice 9}
\\ \\
L'objet de cet exercice est de montrer qu'en dimension $\infty$, on ne peut pas
s{\'e}parer deux convexes ferm{\'e}s.\\
On note $ {\ell}^1 = \{ x = {(x_n)}_{n \geq 1} \subset \RR \mbox { tel que }
\sum_{n=1}^{+ \infty} \vert x_n \vert < \infty \}$ qui muni de $ {\Vert x \Vert}_1
=
\sum_{n=1}^{+ \infty} \vert x_n \vert$ est un espace de Banach.\\
On consid{\`e}re les ensembles
\[ \begin{array}{rcl}
A_0 &=& \{ x=(x_n)_n \in {\ell}^1 :\,\,\forall n \geq 1,\,\,x_{2n} = 0
\}\,\,\,\mbox{et
}\\
B &=& \{ x=(x_n)_n \in {\ell}^1 :\,\,\forall n \geq 1,\,\,x_{2n} =
2^{-n}\,x_{2n-1} \}.
\end{array} \]
1) V{\'e}rifier que $A_0$ et $B$ sont des sous-espaces ferm{\'e}s de ${\ell}^1$ et que
${\ell}^1 = \overline{A_0+B}$.\\
2) Soit $c=(c_n)_n \in {\ell}^1$ tel que $\forall n \geq 1$, $c_{2n-1} = 0$ et
$c_{2n} = 2^{-n}$. V{\'e}rifier que $c \not\in A_0+B$ et que si $A = A_0 - c
=\{a-c,\,a
\in
A_0 \}$, on a $A \cap B = \emptyset$. Montrer que $A$ et $B$ ne peuvent pas {\^e}tre
s{\'e}par{\'e}s au sens large.
\\ \\
{ \bf Exercice 10} Th{\'e}or{\`e}me de l'application ouverte
\\ \\
Soient E et F deux espaces de Banach et $T \in {\cal L}(E,F)$ surjective alors \\
1) Montrer qu'il existe $C>0$ tel que $B(0,2C) \subset \overline {T(B(0,1))}$. Pour
cela utiliser
les ensembles
$F_n = n \overline{T(B(0,1))}$.\\
2) D{\'e}montrer qu'en fait $B(0,C) \subset T(B(0,1))$.
On construira une
suite $(z_n)_n$ telle que $\Vert z_n \Vert < \frac{1}{2^n}$ et $\Vert y - Tz_1
- ...- Tz_n \Vert < \frac{C}{2^n}$, $\forall n$ et on en déduira que la
série  $x=\sum_1^\infty z_n$  converge et que $||x||<1$.
\\ \\
{ \bf Exercice 11} Th{\'e}or{\`e}me d'isomorphisme d'espaces de Banach
\\ \\
Soient E et F deux espaces de Banach et $T \in {\cal L}(E,F)$ bijective, montrer
que $T^{-1}$ est continue.
\\ \\
{ \bf Exercice 12}
\\ \\
Soit E un espace vectoriel norm{\'e} muni de ${\Vert\,\Vert}_1$ et
${\Vert\,\Vert}_2$. Si E est
complet pour les deux normes
et si ${\Vert\,\Vert}_1 \leq \; C \;{\Vert\,\Vert}_2$, montrer que les deux
normes sont {\'e}quivalentes.
\\ \\
{ \bf Exercice 13} Th{\'e}or{\`e}me du graphe ferm{\'e}
\\ \\
Soient E et F deux espaces de Banach et $T \in L(E,F)$. On suppose que le
graphe
de T, G(T)$= \{(x,y) \in E \times F,
\quad y=Tx \}$, est ferm{\'e} dans $E \times F$, montrer que T est continue.\\
(On pourra consid{\'e}rer la norme du graphe $\Vert x \Vert = \Vert x \Vert_E + \Vert
Tx \Vert_F$.)
\\ \\
{ \bf Exercice 14}
\\ \\
Soient E et F deux espaces de Banach et $T \in L(E,F)$. On suppose que
$\forall f
\in F^{\prime}$, $f \circ T \in E^{\prime}$.
Montrer que T est continue.
\\ \\
{ \bf Exercice 15}
\\ \\
Soit $E = {\cal C}[0,1]$ muni de $\Vert \,\Vert_{\infty}$. Soit $F$ un
sous-espace vectoriel ferm{\'e} de $E$ tel que $\forall f \in F$, $f$ est
d{\'e}rivable.
L'objet de cet exercice est de montrer que dim$F < \infty$.\\

1) Soit $x_0 \in [0,1]$ fix{\'e}. On d{\'e}finit l'op{\'e}rateur $\Lambda_y : f \mapsto
\frac{f(y)-f(x_0)}{y-x_0}$. Montrer que $\Lambda_y \in E^{\prime}$ et que
$\exists M>0$ tel que $\forall f \in F$, $\vert \Lambda_y(f) \vert \leq M \Vert f
\Vert$.\\

2) Soit $B_F$ la boule unit{\'e} ferm{\'e}e de $F$, montrer que $B_F$ est
{\'e}quicontinue puis que $B_F$ est compacte. Conclure.
\\ \\
{ \bf Exercice 16}
\\ \\
1) Soit $E$ un espace m{\'e}trique complet et soit $(F_n)_{n\geq 1}$ une suite de
ferm{\'e}s de $E$ telle que $E = \bigcup_{n\geq 1} F_n$. Montrer que $\bigcup_{n\geq
1}
\stackrel{o}{F_n}$ est un ouvert dense de $E$.\\
2) Soit $(f_n)_n \in {\cal C}(\RR)$ telle que $f_n \rightarrow f$ simplement sur
$\RR$. On va montrer que $f$ est continue sur une partie dense de $\RR$.\\
Pour $\delta > 0$, on pose $F_{n,\delta} = \left\{ x \in \RR : \forall i,j \geq
n,\,\vert f_i(x) -f_j(x) \vert \leq \delta \right\}$. V{\'e}rifier que $U_{\delta} =
\bigcup_n \stackrel{o}{F_{n,\delta}}$ est un ouvert dense et montrer que $f$ est
continue sur $U = \bigcap_{k\geq 1} U_{\frac{1}{k}}$.\\
3) Soit $f \in {\cal C}(\RR)$ d{\'e}rivable partout, montrer que $f^{\prime}$ est
continue sur une partie dense de $\RR$.

\chapter{Topologies faibles}

\section{La topologie faible $\sigma(E, E')$}

\begin{Def} \index{Topologie faible}
On note $E$ un espace vectoriel norm\e , $E'$ son dual et $f\in E'$.
 On appelle topologie faible $\sigma(E,E')$ la
topologie sur $E$ la
moins fine rendant toutes les applications $f: \; x\to f(x)\in \RR$ continues.
\end{Def}

 On peut
recenser les ouverts qui doivent appartenir \a la topologie faible
$\sigma(E,E')$ de la mani\ee re suivante : si $f\in E'$ et $U\subset \RR$ est un
ouvert, il faut que $f^{-1}(U)$ soit un ouvert de $\sigma(E,E')$. Mais
comme les intervalles sont une base de voisinages de $\RR$, on voit que ceci
revient
\a dire que pour tout intervalle $I$ et tout $f\in E'$, $f^{-1}(I)$ est dans
$\sigma(E,E')$.  En r\e sum\e , on vient de montrer que :

\begin{pro} \index{Topologie $\sigma(E,E')$ (caract\e risation)} La topologie
$\sigma(E,E')$ est la moins fine contenant tous les ensembles $f^{-1}(I)$ pour
tout $f\in E'$ et tout intervalle $I$ de $\RR$.
\end{pro}
\begin{pro} \index{Ouverts (de la topologie faible)}
Tout ouvert $O$ de $\sigma(E, E')$ peut s'\e crire sous la forme
\fb& \label{based'ouverts} O=\bigcup_{i\in I}\bigcap_{f\in F_i } f^{-1}(I_f),\fe&
o\u $I$ est un ensemble d'indices quelconque, chaque $F_i$ un sous-ensemble fini
de $E'$ et $I_f$ un intervalle ouvert quelconque de $\RR$.
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
 C'est une application directe de la proposition \ref{formedelatopologielamoinsfine}.
de $\cal A$ est une union d'intersections finies d'\e l\e ments de $\cal A$''.
\enddemo
Donnons une base de voisinages commode pour $\sigma(E,E')$.

\begin{cor} \label{basedevoisinagesdex}\index{Base de voisinages pour la
topologie faible} Les ouverts de la forme
$\bigcap_{i=1,...,k } f_i^{-1}(I_i)$, o\u
$k\in \NN$,
$f_i\in E'$ et $I_i$ sont des intervalles ouverts quelconques de $\RR$, forment
une base de voisinages de $\sigma(E,E')$.\newline
Les ouverts de la forme $U=\bigcap_{i=1,...,k}f_i^{-1}(]f(x)-\varepsilon,
f(x)+\varepsilon[)$, $k\in \NN$, $f_i\in E'$, $\varepsilon>0$ forment une base
de voisinages de $x\in  E$.
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
 Le premier \e nonc\ea est imm\e diat. Pour montrer que les ouverts de la forme $U$
forment une base de voisinages de $x$, on remarque que si
$I$ est un intervalle ouvert et
$f^{-1}(I)$ contient $x$, alors $I $ contient un intervalle $]f(x)-\varepsilon,
f(x)+\varepsilon[$.  Donc $f^{-1}(I)$ contient $f^{-1}(]f(x)-\varepsilon,
f(x)+\varepsilon[)$.
\enddemo
\begin{pro} \index{S\e paration (de la topologie faible)}La topologie $\sigma(E,
E')$ est s\e par\e e,
\ccaadd que si
$x, y\in E$, alors il existe deux ouverts $U\owns x$, $V\owns y$, tels que
$U\cap V =
\emptyset$.
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
Appliquer Hahn-Banach, version compact-ferm\e : il existe $f\in E'$ et $\alpha$
tels que l'hyperplan $\{z, \;f(z)=\alpha\}$ s\e pare au sens strict $x$ et $y$ et
donc on peut prendre  $U=f^{-1}(]-\infty, \alpha[)$  et $V=f^{-1}(]\alpha,
+\infty[).$
\enddemo
\begin{Def}\index{Convergence faible}
Si $x_n\to x$ dans $\sigma(E,E')$, on dit que $x_n$ converge faiblement vers
$x$ dans $E$ et on note $x_n \rightharpoonup x$, $\sigma(E,E')$.
\end{Def}
\begin{pro} \index{Convergence faible d'une suite
(caract\e risations)}\label{liensentreconvergences} Soit
$E$ un espace de Banach. Soit $(x_n)$ une suite de $E$.  Alors
\newline\newline
(i) $x_n\rightharpoonup x$ dans $\sigma(E,E')$ si et seulement si
$\forall f \in E', \; f(x_n)\to f(x)$.
\newline\newline
 (ii) Si $x_n\to x$ fortement, alors $x_n\rightharpoonup x$ dans
$\sigma(E,E')$.
\newline\newline
(iii) Si $x_n\rightharpoonup x$ dans $\sigma(E,E')$, alors $||x_n||$ est born\e e
et
$||x||\leq \lim\inf_{n\to +\infty}||x_n||.$
\newline\newline
(iv) Si $x_n\rightharpoonup x$  dans $\sigma(E,E')$ et si $f_n \to f$ fortement,
alors $f_n(x_n)\to f(x).$
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
 Montrons l'\e quivalence (i). La
topologie $\sigma (E, E')$ ayant \e t\ea construite pour que les \e l\e ments de
$E'$ soient continus, l'implication directe  ($\Rightarrow$) est claire,
puisque la continuit\ea des $f\in E'$ entraine leur continuit\ea s\e
quentielle.  La r\e ciproque  d\e coule de la forme des voisinages dans la
topologie faible.  On doit montrer que si
$f(x_n)\to f(x)$ pour tout $f$, alors pour tout $U$
 voisinage de $x$ pour $\sigma(E,E')$, il existe $n_0$ tel $n\geq n_0$ implique
$x_n\in U$.  Or on a vu (Corollaire \ref{basedevoisinagesdex}) qu'on peut choisir
des voisinages $U$ de $x$ de la forme
$U=\bigcap_{i=1, ...,k}f_i^{-1}(]f_i(x)-\varepsilon, f_i(x)+\varepsilon[)$.  On
choisit $n_0$ assez grand pour que $n\geq n_0\Rightarrow
|f_i(x_n)-f_i(x)|<\varepsilon$, $i= 1, ...,k$.  Alors $x_n\in U$.  On a donc bien
$x_n\rightharpoonup x$ pour
$\sigma(E,E')$.



  La relation (ii) r\e sulte de
$|f(x_n)-f(x)|\leq ||f||||x-x_n||.$ Pour montrer (iii), on consid\ee re les $x_n$
comme des formes lin\e aires sur $E'$ et on applique le th\e or\ee me de
Banach-Steinhaus  (Th\e or\ee me
\ref{banach-steinhaus}).  Les op\e rateurs continus de $E'$ dans $\RR$ d\e finis
par $T_n(f)=f(x_n)$ v\e rifient $\forall f\in E',$ $\sup_n |T_n(f)|<+\infty$, car
$T_n(f)=f(x_n) $ a une limite, $f(x)$.  Donc $\sup_n ||T_n|| \leq C<+\infty$.
Mais,
 (corollaire \ref{normepardualite}),  $||x||=\sup_{f\in
E'}f(x)$) et donc
$$||T_n|| =
\sup_{||f||_{E'}\leq 1}f(x_n) = ||x_n||.$$
  La suite $x_n$ est donc born\e e.
On a
$$\forall f\in E', \; ||f||_{E'}\leq 1,\; |f(x)|=\lim |f(x_n)|\leq \lim\inf_n
||x_n||, \hbox{  et donc  }$$
$$\forall f\in E', \;|f(x)|\leq \lim\inf_n ||x_n||,$$
et par le corollaire \ref{normedoperateurdecroit},
$$ ||x||\leq
\lim\inf_n||x_n||.$$ On termine en montrant (iv) par la simple in\e galit\ea
$$|f_n(x_n)-f(x)|\leq ||f_n - f||||x_n|| + |f(x_n-x)|.$$

\enddemo

\begin{pro}  Si la dimension de $E$ est finie, la topologie faible et la topologie
forte co{\"\i}ncident.

\end{pro}

\begin{rem}  En dimension infinie, les ouverts faibles sont des ouverts forts,
mais il y a plus d'ouverts forts que d'ouverts faibles.  De m\eee me, tous les
ferm\e s faibles sont des ferm\e s forts, mais il y a plus de ferm\e s forts que
de ferm\e s faibles.

\end{rem}
%\begin{exa}  La sph\ee re unit\ea $S=\{x\in E,\; ||x||=1\}$ est ferm\e e pour la
%topologie forte, mais pas pour la topologie faible : en effet sa fermeture pour la
%topologie faible est $B(0,1)=\{x\in E, \; ||x||\leq 1\}$.
%
%\end{exa}

\begin{exa} \index{Exemple d'ouvert fort mais pas faible} En dimension infinie, la
boule unit\ea
$B(0,1)=\{x, ||x||<1\}$ est un ouvert de la topologie forte mais n'est pas un
ouvert de la topologie faible.  (Et donc son compl\e mentaire est un ferm\ea de
la topologie forte, mais pas de la topologie faible).
\end{exa}
\paragraph{D\e monstration}
En effet, tous les ouverts de la topologie faible contiennent des ensembles de la
forme $U=\bigcap_{i=1, ...,k}f_i^{-1}(]f_i(x)-\varepsilon,
f_i(x)+\varepsilon[)$.  Montrons que de tels ensembles sont non born\e s. On
choisit, dans $E$, $y\neq 0$ tel que $f_i(y)=0, i=1,..., k$.  Comme $E$ est de
dimension infinie et donc sup\e rieure \a $k$, c'est possible.  On remarque
que $x+ty\in U$ pour tout $t>0$.  Mais $||x+ty|| \geq |t| ||y|| -||x||$ tend vers
l'infini quand $t\to +\infty$.  Donc $U$ n'est pas inclus dans la boule unit\e ,
qui n'est donc pas ouverte pour la topologie faible.
\enddemo

\dexer \index{Fermeture faible de la sph\ee re unit\ea }
Montrer qu'en dimension infinie, la fermeture de $S(0,1)=\{x, ||x||=1\}$ pour la
topologie faible est
$B(0,1)=\{x, ||x||\leq 1\}.$
\fexer
\begin{thf} \label{convexefortfaible} \index{Fermeture d'un convexe} Soit $E$ un
espace vectoriel norm\ea et
$C\subset E$ convexe.  Alors,
$C$ est faiblement ferm\ea pour la topologie faible si et seulement s'il est
fortement ferm\e .
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
Si $C$ est faiblement ferm\e , il est fortement ferm\ea puisque la convergence
forte implique la convergence faible.  R\e ciproquement, supposons $C$ fortement
ferm\ea et montrons qu'il est faiblement ferm\e .  Il suffit de montrer que $C$
est une intersection de ferm\e s pour la topologie faible, ce qu'on sait par le
corollaire \ref{intersectiondedemiespaces}

\enddemo
\begin{cor}{\bf (Th\e or\ee me de Mazur)}\index{Mazur (th\e or\ee me de)} Soit
$E$ un espace vectoriel norm\e .  Si $x_n\rightharpoonup x$, $\sigma(E,E')$, il existe une
suite
$y_n$ de combinaisons convexes des $x_k$, $k\geq n$, qui converge fortement vers
$x$.

\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
On consid\ee re $C_n = \overline{Conv\{x_k, \; k\geq n\}}^{\sigma(E,E')}$, la
fermeture, pour la topologie faible, de l'enveloppe convexe des $x_k,$ $k\geq n$.
D'apr\ee s le th\e or\ee me
\ref{convexefortfaible}, $C_n$  est aussi la fermeture de $Conv\{x_k, k\geq n\}$ pour la topologie forte.
Puisque $x_n\rightharpoonup x$, on a donc aussi $$x\in C_n = \overline{Conv\{x_k,
\; k\geq n\}},$$ o\u la fermeture s'entend pour la topologie forte. Il existe
donc, pour tout $n,$ $y_n\in Conv\{x_k,
\; k\geq n\}$ tel que
$||y_n-x||\leq \frac 1 n$.
\enddemo
\begin{Def} \index{Semicontinuit\ea inf\e rieure, sup\e rieure} On dit qu'une
fonction $\varphi$ d\e finie sur un espace topologique
est semicontinue inf\e rieurement si les ensembles de niveau inf\e rieurs, $\{x,
\varphi(x)\leq
\lambda\}$ sont ferm\e s pour tout $\lambda \in \RR$.  On dit de m\eee me que
$\varphi$ est semi continue sup\e rieurement (s.c.s.) si les ensembles de niveau
sup\e rieurs, $\{x, \varphi(x)\geq \lambda\}$ sont tous ferm\e s.
\end{Def}
\begin{pro} \index{Limite inf\e rieure, sup\e rieure} Si $\varphi$ est s.c.i., et
si
$x_n$ est une suite convergeant vers
$x$, on a
\fb& \label{sciliminf}\varphi(x)\leq \lim\inf_{n\to \infty}\varphi(x_n).
\fe&
Si $\varphi$ est s.c.s.,
\fb& \label{scilimsup}
\varphi(x)\geq \lim\sup_{n\to \infty}\varphi(x_n).
\fe&

\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
Si $\varphi$ est s.c.i.,  soit
$m=\lim\inf_{n\to \infty}\varphi(x_n)$.  Par d\e finition de la limite inf\e
rieure, on peut trouver pour tout
 $\varepsilon$ un entier $n$ tel que
$ \varphi(x_n)\leq
m+\varepsilon$.  L'ensemble de niveau $\{y,\; \varphi(y)\leq m+\varepsilon\}$ \e
tant ferm\e , on en d\e duit que $\varphi(x)\leq m+\varepsilon$.  Mais
$\varepsilon$ est arbitrairement petit et on obtient (\ref{sciliminf}). La
relation (\ref{scilimsup}) peut s'obtenir en remarquant que $\varphi$ est s.c.i.
si et seulement si $-\varphi$ est s.c.s..
\enddemo


\begin{cor}\label{convexescifortimpliquescifaible}\index{Semicontinuit\ea inf\e
rieure faible (des fonctions fortement s.c.i.)} Soit $\varphi : E \to ]-\infty,
+\infty]$, convexe, semicontinue inf\e rieurement (s.c.i.)   pour la topologie
forte.  Alors
$\varphi$ est aussi s.c.i. pour la topologie faible et donc si
$x_n\rightharpoonup x$,
$\sigma(E,E')$, alors
$$\varphi(x) \leq \lim\inf_{n\to +\infty} \varphi(x_n).$$
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
Il suffit de v\e rifier que chaque ensemble $$X_\lambda \varphi = \{x\in E, \;
\varphi(x)\leq \lambda\}$$
est ferm\ea pour la topologie faible $\sigma(E,E')$.  Or, par le th\e or\ee me
\ref{convexefortfaible}, c'est un convexe ferm\ea fort.
\enddemo

\section{La topologie $\star \sigma(E',E)$}
Soit $E$ un espace de Banach, $E'$ son dual, $E''$ son bidual topologique, muni de
la norme $$||\xi||_{E''}=\sup_{f\in E', ||f||_{E'}\leq 1}\xi(f).$$
On a une {\it injection canonique} $J : \; E \to E''$. En effet, tout \e l\e ment
$x\in E$ d\e finit un \e l\e ment $Jx\in E''$ par $Jx(f)=f(x)$.  $Jx$ est bien
une forme lin\e aire continue sur $E'$, puisque $|Jx(f)| = |f(x)|\leq
||x||_E||f||_{E'}.$  En fait,
$||Jx||_{E''}=||x||_E$ car, gr\aa ce au Corollaire \ref{normepardualite},
$$||Jx||=\sup_{||f||\leq 1} |Jx(f)| = \sup_{||f||\leq 1}|f(x)| = ||x||.$$
On a donc $JE\subset E''$. Cela va nous permettre de d\e finir une nouvelle
topologie sur $E'$.

\begin{Def} \index{Topologie faible-$\star$}
La topologie $\star \sigma(E',E)$ est la moins fine rendant continues les
formes lin\e aires $f\to f(x)$, pour tout $x\in E$.

\end{Def}
Cette topologie est donc {\it a priori} moins fine que $\sigma(E',E'')$.
\begin{pro}\index{Base de voisinages (pour la topologie faible-$\star$)}
On a la base de voisinages en $f_0\in E'$ pour la topologie faible-$\star$ :
$$U= \{f\in E', \; |(f-f_0)(x_i)|<\varepsilon\},\; i=1, ...,n, \; x_i\in E,\; n\in
\NN .$$
\end{pro}
\begin{pro}\label{voisinagesfaibleetoile} \index{Convergence d'une suite (pour
la topologie faible-$\star$)} Soit
$E$ un espace de Banach. Si $(f_n)$ est une suite de $E'$,
\newline (i) $(f_n\rightharpoonup f$, $\star\sigma(E',E))$ $\Leftrightarrow$
$(\forall x\in E\; f_n(x)\to f(x)).$
\newline
(ii) Si $f_n\to f$ fortement, alors $f_n\rightharpoonup f$, $\star \sigma(E',E)$.
\newline
(iii) Si $f_n\rightharpoonup f$, $\star\sigma(E',E)$, alors $||f_n||$ est born\e e
et $$||f||\leq \lim\inf_{n\to +\infty}||f_n||.$$
(iv) Si $f_n\rightharpoonup f$,
$\star
\sigma(E',E)$, si
$x_n\to x$ fortement, alors $f_n(x_n)\to f(x)$.
\end{pro}

\paragraph{D\e monstration}
Pour (i), (ii), (iv), les m\eee mes que pour la proposition
\ref{liensentreconvergences}. Pour (iii), directement Banach-Steinhaus.
\enddemo
\begin{pro} \index{S\e paration de la topologie $\sigma(E',E)$}
La topologie $\sigma(E',E)$ est s\e par\e e.
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
En effet, si deux formes lin\e aires $f$ et $g$ sur $E$ sont distinctes, il existe
$x\in E$ tel que $f(x)\neq g(x) $.
\enddemo
\begin{thf}
(Banach-Alaoglu-Bourbaki).\label{alaoglu}\index{Banach-Alaoglu-Bourbaki (th\e
or\ee me de)}  Soit $E$ un espace vectoriel normé. L'ensemble
$\overline{B_{E'}}=\{f\in E',
\; ||f||\leq 1\}$ est compact pour la topologie $\star\sigma(E',E)$.
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
On  plonge
$E'$ dans
$Y=\RR^E$, l'espace des applications de
$E$ dans
$\RR$ muni de la topologie produit, \ccaadd la topologie la moins fine rendant
continues les projections $Y\to \RR$, $\omega = (\omega_x)_{x\in E}\to E$. En
clair, la topologie sur $Y=\RR^E$ est la topologie de la convergence simple.  On
appelle le plongement
$\Phi : (E',
\sigma(E',E))\to Y$,
$f\to (f(x))_{x\in E}\in Y$.  L'application $\Phi$ est continue et injective et
d'inverse  continue sur son image. On peut le v\e rifier en regardant les images
et images r\e ciproques des ouverts, mais on peut aussi simplement remarquer que
les topologies sur
$Y$ et sur $E', \; \star\sigma(E',E)$ sont la m\eee me, puisque la topologie
$\star\sigma(E,E')$ n'est autre que la topologie de la convergence simple
(restreinte aux formes lin\e aires sur $E$).  Montrons que l'image $K$ de
$\overline{B_{E'}}$ par $\Phi$ est un compact.  On a
$$K=\{\omega\in Y, \;\forall x\in E,\; |\omega_x|\leq ||x||,\;
\omega_{x+y}=\omega_x+\omega_y,
\;
\omega_{\lambda x}=\lambda\omega_x\}.$$
On \e crit $K=K_1\cap K_2$, avec $$K_1=\{\omega\in Y, \; \forall x\in E,
|\omega_x|\leq ||x||\}\hbox{  et }$$
$$K_2 = \{\omega \in Y, \; \forall x, y\in E,\;\forall \lambda \in \RR,
\omega_{x+y}=\omega_x+\omega_y, \; \omega_{\lambda x}=\lambda\omega_x.\}$$
On voit que $K_1=\Pi_{x\in E}[-||x||, ||x||]$ est compact.
Pour montrer que $K_2$ est ferm\'e dans $Y$, v\'erifions que $\overline{K_2}
\subset K_2$. Soit $w^0 \in \overline{K_2}$ alors tout voisinage de $w^0$ pour la
topologie produit rencontre $K_2$. En particulier, soient $x,y \in E$, $\alpha,
\beta \in \RR$ et $\ep>0$ alors
$$U =\{ w \in Y;\,\,\vert w_x-w^0_x \vert < \ep \} \cap \{ w \in Y;\,\,\vert
w_y-w^0_y \vert < \ep \} \cap \{ w \in Y;\,\,\vert w_{\alpha x+\beta y}-w^0_{\alpha
x+\beta y} \vert < \ep \} \cap K_2 \not= \emptyset.$$
Donc, il existe $w \in K_2$ tel que $w \in U$. On peut donc \'ecrire $$w^0_{\alpha
x+\beta y} - \alpha w^0_x - \beta w^0_y = (w^0_{\alpha x+\beta y} - w_{\alpha
x+\beta y}) + \alpha (w_x - w^0_x) + \beta (w_y - w^0_y).$$
On en d\'eduit que
$$\vert w^0_{\alpha x+\beta y} - \alpha w^0_x - \beta w^0_y \vert \leq (1+\vert
\alpha \vert + \vert \beta \vert) \,\ep \,\,\, \, \mbox{et ceci}\,\forall \ep >0.$$
D'o\`u $w^0 \in K_2$ et $K_2$ est ferm\'e.
Donc $K$ est compact et donc $\overline{B_{E'}}$ aussi.
\enddemo
\drem Le th\e or\ee me pr\e c\e dent n'est r\e ellement utilisable que si la boule
unit\ea  $\overline{B_{E'}}$ est m\e trisable.  On verra plus loin que c'est le
cas quand $E$ est s\e parable.
\frem
\section{Exercices}

{\bf Introduction} Variante de la d{\'e}finition de la topologie faible
\\ \\
Dans tout ce qui suit E d{\'e}signera un espace de Banach. Pour $f \in
E^{\prime}$, on d{\'e}finit
$p_f(x) = \vert f(x) \vert$, c'est bien une semi-norme sur E. On note ${\cal
P}={(p_f)}_{f \in E^{\prime}}$.
Soit $p \in \cal P$, on appelle
p-boule ouverte de centre $x \in E$ et de rayon r l'ensemble $B(x,r)$ des
points $y \in E$ tels que
$p(x-y) < r$. Enfin on appelle $\cal P$-boule ouverte de centre x toute
intersection finie de $p_i$-boules ouvertes.\\
D{\'e}finition : Une partie U de E est ouverte si ou bien $U = \emptyset$, ou
bien $\forall x \in U$, il existe
une $\cal P$-boule ouverte de centre x contenue dans U. On peut v{\'e}rifier
facilement que l'on d{\'e}finit bien ainsi une topologie sur E.\\
On note $(E,\cal P)$ l'espace E muni de cette topologie. La topologie (E,${\cal
P}$) s'appelle la topologie faible sur E (par "opposition" {\`a} la topologie de
la norme
qui est dite topologie forte). Elle est souvent not{\'e}e $\sigma (E,E^{\prime})$
ou bien $E_w$
(w=weak) dans la litt{\'e}rature.\\
Pour simplifier les notations, on pose $E^{\prime}=(f_i)_{i \in I}$ et on
notera P.F.I l'ensemble des parties finies de I. Par d{\'e}finition de la
topologie associ{\'e}e {\`a} une famille de semi-normes,
les ensembles $V(x,J,\ep) = \{ y \in E, \vert <f_i,x-y> \vert < \ep, \forall i
\in J \}$
o{\`u} $J \in P.F.I$ et $\ep > 0$ constituent une base de voisinages (ouverts) de
x dans E.
\\ \\
{ \bf Exercice 1}
\\ \\
1) V{\'e}rifier que la topologie faible est s{\'e}par{\'e}e.\\
2) Montrer qu'un ouvert faible est un ouvert fort.\\
3) Montrer que $E^{\prime}= (E_w)^{\prime}$. En particulier les ensembles $\{ x
\in E, <f,x> < \alpha \}$
o{\`u} $f \in E^{\prime}$ et $\alpha \in \RR$ sont des ouverts faibles.\\
4) Montrer que si dim$E < \infty$, $\sigma(E,E^{\prime})$ est {\'e}quivalente
{\`a} $(E,\Vert \;\Vert)$ (pour
cela montrer que toute boule $B(x,r)$ contient un $V(x,J,\ep)$).
\\ \\
{\bf Exercice 2}
\\ \\
Soit $E$ un espace vectoriel norm\ea tel que dim$E = + \infty$. On se propose de montrer que la topologie faible
n'est pas m{\'e}trisable. Pour cela on raisonne par l'absurde et on suppose qu'il
existe une distance
 d sur E dont la topologie est {\'e}quivalente {\`a} $\sigma(E,E^{\prime})$.\\
1) Montrer qu'il existe une suite $(f_n)_{n \geq 1}$ d'{\'e}l{\'e}ments de
$E^{\prime}$ telle
que \\
$\forall k \in \NN^{\star},\quad \exists I_k \in P.F.\NN^{\star},\quad \exists
{\ep}_k > 0$ tels que
$$ \bigcap_{i \in I_k} \{x \in E : \vert <f_i,x> \vert < {\ep}_k \} \subset
B_d(0, \frac{1}{k}),$$
o{\`u} $B_d(0,\frac{1}{k}) = \{x \in E : d(0,x) < \frac{1}{k} \}.$\\
2) Soient $g \in E^{\prime}$ et $V = \{ x \in E :\, \vert <g,x> \vert < 1 \}$.
Montrer que $\exists I
\in P.F.\NN^{\star}$ tel que $$\bigcap_{i \in I} \ker f_i \subset V,\mbox{ puis
que } \bigcap_{i \in I} \ker f_i \subset
\ker g.$$
On note $I = \{ n_1,n_2,...,n_k \}$.\\
3) On consid{\`e}re
\begin{eqnarray*}
F : E & \longrightarrow & {\RR}^{k+1} \\
    x & \longmapsto & (g(x),f_{n_1} (x),...,f_{n_k} (x)).
\end{eqnarray*}
S{\'e}parer ImF de (1,0,...,0) dans ${\RR}^{k+1}$. En d{\'e}duire que $\exists
{({\lambda}_i)_i} \in {\RR}^{k}$ tel
que $g = \sum_{i=1}^{k} {\lambda}_i f_{n_i}$.\\
4) Soit $F_n = \mbox{vect} \{ f_1,...,f_n \}$. Montrer que $\exists n_0 \in
\NN^{\star}$ tel que $E^{\prime} = F_{n_0}$.
(remarquer que $E^{\prime} = \bigcup_{n} F_n$).\\
5) Conclure.
\\ \\
{ \bf Exercice 3}
\\ \\
Soient E et F deux espaces de Banach et $T : E \longrightarrow F$ \underline
{lin{\'e}aire}.\\
1) Montrer l'{\'e}quivalence des propri{\'e}t{\'e}s suivantes :
$$
\begin{array}{clll}
(1) &  T : E     & \longrightarrow & F \mbox{  continue.} \\
(2) &  T : E_w   & \longrightarrow & F_w \mbox{  continue.} \\
(3) &  T : E     & \longrightarrow & F_w \mbox{  continue.}
\end{array}
$$
2) Montrer que $T : E_w \longrightarrow F$ lin{\'e}aire continue
$\Longrightarrow$ $\dim Im(T) < \infty.$
\\ \\
{ \bf Exercice 4}
\\ \\
On note $ {\ell}^1 = \{ x = {(x_n)}_{n \geq 1} \subset \RR \mbox { tel que }
\sum_{n=1}^{+ \infty} \vert x_n \vert < \infty \}$ que
l 'on munit de $ {\Vert x \Vert}_1 = \sum_{n=1}^{+ \infty} \vert x_n \vert$, et
$ {\ell}^{\infty} = \{ x = {(x_n)}_{n \geq 1} \subset \RR \mbox { tel que }
\sup_n \vert x_n \vert < \infty \}$ que l'on munit de $ {\Vert x
\Vert}_{\infty} = \sup_{n \geq 1} \vert x_n \vert.$\\
On admettra que ${\ell}^1$ et ${\ell}^{\infty}$ sont des espaces de Banach. \\
Enfin on note $e^n = {(\delta_{ni})}_{i \geq 1}$ o{\`u} ${\delta}_{ni} = 1$ si i
=n, ${\delta}_{ni} = 0$ sinon.\\
1) Pour $x = (x_n) \in \lun$ on note $x^N = \sum_{n=1}^N x_n e^n$. V{\'e}rifier
que ${\Vert x^N -x \Vert}_1 \longrightarrow 0$ quand $N \rightarrow + \infty$.
(On {\'e}crira alors $x = \sum_{n=1}^{+ \infty} x_n e^n$.)\\
2) Soit $y \in \linf$ avec $y = (y_n)$. On consid{\`e}re
\begin{eqnarray*}
f : \lun & \longrightarrow & \RR \\
      x & \mapsto & f(x) = \sum_{n \geq 1} x_n y_n,
\end{eqnarray*}
avec $x=(x_n)$. Montrer que $f \in {(\lun)^{\prime}}$. On pose ${\Lambda}_y =
f$ et on d{\'e}finit ainsi
une application
\begin{eqnarray*}
\Lambda : \linf & \longrightarrow & {(\lun)^{\prime}} \\
      y & \mapsto & {\Lambda}_y,
\end{eqnarray*}
o{\`u} $<{\Lambda}_y,x> = \sum x_n y_n$,  $\forall x \in \lun$.\\
a) Montrer que $\Lambda$ est une isom{\'e}trie.\\
b) Montrer que $\Lambda$ est un isomorphisme.\\ \\
Dans la suite on identifiera $\linf$ et ${(\lun)^{\prime}}$ {\`a} l'aide de
$\Lambda$, c'est {\`a} dire que si $y \in \linf$, on
{\'e}crira $<y,x> = \sum_n x_n y_n$ $\forall x \in \lun$. De plus, $<y,e^i> = <
e^i,y> = y_i$, $\forall i \geq 1$ et $ \forall y \in \lun$ ou $\linf$.\\
3) Soit $(x^n)_{n \geq 1}$ une suite d'{\'e}l{\'e}ments de $\lun$, exprimer le fait
que $x^n \rightharpoonup 0$
dans $\lun$ muni de la topologie faible.\\
4) On se propose de d{\'e}montrer le th{\'e}or{\`e}me suivant :\\
Si $x^n \rightharpoonup 0$ dans $\lun$ pour la topologie faible
$\sigma(\lun,\linf)$ alors $x^n \rightarrow 0$ pour la
topologie forte i.e. $\Vert x^n \Vert \rightarrow 0$.\\
NB : C'est un cas TRES PATHOLOGIQUE.\\
Soit donc $(x^n)_{n \geq 1}$ une suite d'{\'e}l{\'e}ments de
$\lun$ telle que $x^n \rightharpoonup 0$ dans $\lun$ faible.\\

a) Soit $K = {\overline B}_{\linf} = \{ f \in \linf : {\Vert f \Vert}_{\infty}
\leq 1\}$. On note
$$d(f,g) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac {\vert f_n - g_n \vert}{2^n} .$$
Montrer que (K,d) est un espace m{\'e}trique.\\

b)Montrer que $\forall r > 0$ et $\forall f \in K$,
$$\Omega = \{ g \in K : d(f,g) < r\} = B_d(f,r) \cap K $$
est un voisinage de f dans K pour la topologie faible $\star$
$\sigma(\linf,\lun)$.\\

c) En d{\'e}duire que (K,d) est un espace m{\'e}trique compact.\\

d) Soit $\ep > 0$ fix{\'e}. On pose
$$F_k = \{ f \in K : \vert <f,x^n> \vert \leq \ep,\,\forall n \geq k \}.$$
Montrer que $\exists f^0 \in K$, $\exists \rho > 0$ et $\exists k_0$ tels que
$$ f \in K \mbox {  et  } d(f^0,f) < \rho \, \Longrightarrow \, f \in
F_{k_0},$$
(appliquer le lemme de Baire).\\

e) Soit $N \in {\NN}^{\star}$ tel que $\frac {1}{2^{N-1}} < \rho$, montrer que
$\forall n \geq k_0$,
$${\Vert x^n \Vert}_1 \leq \ep + 2\, \sum_{i=1}^{N} \vert x_i^n \vert,$$
(choisir $f = (f_1^0,f_2^0,...,f_N^0, \pm 1,\pm 1,...,\pm 1,...)$ et utiliser
le fait que
$f \in F_{k_0}$.\\

f) Conclure.\\
5) On vient de d{\'e}montrer que l'application, id : $\lun$ faible $\rightarrow$
$\lun$ fort, est s{\'e}quentiellement
continue. Est-elle continue ?
\\ \\











%\include{chap456}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{Espaces r\e flexifs, espaces s\e parables}
\section{Espaces r\e flexifs}
Soit $E$ un espace de Banach.  Commen\c cons par quelques remarques sur la
dualit\e.
\begin{pro} \index{Bidual d'un espace de Banach} Si $E\subset F$, alors
$F'\subset E'$  et
$E''\subset F''$.  Si
$M\subset E$ est un sous-espace ferm\ea de $E$ et si $M'=E'$, alors $M=E$.
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration} Les deux premiers \e nonc\e s sont \e vidents, mais
attention, les inclusions en question sont des plongements : en effet $F'\subset
E'$ veut dire que les formes lin\e aires continues sur $F$ peuvent \eee tre
restreintes
\a
$E$ et apparaissent alors comme des formes lin\e aires continues sur $E$.
 Si
$M'=E'$,  l'orthogonal de $M$ dans $E'$ est $\{0\}$.  Par le Lemme
\ref {densite-orthogonalite}, $M$ est dense dans $E$.  Comme $M$ est ferm\e , on a
donc $M=E$.
\enddemo
%
Soit $J : E\to E''$ l'injection canonique de $E$
dans $E''$, d\e finie par $Jx(f) = f(x)$ pour tout $x\in E$, $f\in E'$.
\begin{Def} \index{R\e flexivit\ea } $E$ est r\e flexif si $J(E)=E''$.
\end{Def}
\begin{thf} (Kakutani).\label{kakutani} \index{Kakutani (th\e or\ee me de)}Soit
$E$ un espace de Banach.  Alors
$E$ est r\e flexif si et seulement si $\overline{B_E}=\{x\in E, \; ||x||\leq
1\}$ est compact pour la topologie $\sigma(E,E')$.
\end{thf}
"Un espace de Banach $E$ est réflexif si et seulement si sa boule unité fermée est faiblement compacte".
\paragraph{D\e monstration tr\ee s abr\e g\e e}
Si $E$ est r\e flexif, on  a $E=J^{-1}(E'')$ et, avec cette identification,
$\sigma(E,E')=\sigma(E'',E')$ et $\overline{B_E}=\overline{B_{E''}}$. Comme cette
derni\ee re boule est compacte pour $\sigma(E'', E')$ par le théorème de Alaoglu,  on d\e duit que
$\overline{B_E}$ est compacte pour $\sigma(E,E')$.  Pour la r\e ciproque, voir
 Brezis pages 44 et 45.
\enddemo
%
%\dexer Trouver la faute : Nous allons montrer que tout espace vectoriel norm\ea
%est r\e flexif. On commence par remarquer que si $E\subset F$, alors $F'\subset
%E'$.  Par plongement, on a $E\subset E''$.  Donc $(E'')'\subset E'$, soit
%$E'''\subset E'$.  Par plongement, on a \e galement $E'\subset (E')''$ et donc
%$E'\subset E'''$.  Finalement, $E' = E'''= (E')''$, ce qui veut dire que $E'$ est
%r\e flexif.  Donc tout dual est r\e flexif.  Mais comme $E$ est r\e flexif si et
%seulement si $E'$ l'est, on conclut que tout espace vectoriel norm\ea est r\e
%flexif.
%
%\fexer
%
\begin{pro} \label{sousespacereflexif} \index{R\e flexivit\ea (d'un sous-espace
ferm\ea )} Soit
$M\subset E$ un sous-espace vectoriel ferm\ea de
$E$, espace de Banach, muni de la norme induite.  Alors si $E$ est r\e flexif, $M$
est r\e flexif.
\end{pro}
\begin{lem}
Si $M\subset E$ est un sous-espace vectoriel fermé, alors, sur $M$,
$\sigma(M, M')=\sigma(E, E')$
\end{lem}
 \paragraph{Démonstration}
 Cela provient du fait que, par le th\e or\ee me de
Hahn-Banach, toute forme lin\e aire continue sur $M$ peut se prolonger en une forme
lin\e aire continue sur
$E$, de même norme. Donc les voisinages définis par des $f\in M$ ou par des $f\in E'$ sont
les mêmes.
 \enddemo
\paragraph{D\e monstration}
Montrons que la topologie $\sigma(M,M')$ est une restriction \a $M$ de la
topologie $\sigma (E,E')$.  Par le lemme précédent, $\sigma(M, M')$ est la restriction
à $M$ de $\sigma(E, E')$.
 Inversement, toute forme lin\e aire continue sur $E$ est continue sur $M$.
On applique le th\e or\ee me de Kakutani : la boule $\overline{B_M}=\{x\in M\;
||x||\leq 1\}$ est un ferm\ea de $\overline{B_E}$ qui est un compact pour
$\sigma(E,E')$.  Donc c'est aussi un compact pour $\sigma(M,M')$.  Donc, \a
nouveau par le th\e or\ee me \ref{kakutani}, $M$ est r\e flexif.
\enddemo
%
%\paragraph{Autre d\e monstration directe, \a arranger}
%Par hypoth\ee se, $JE=E''$. Comme $M\subset E$, on a aussi $M''\subset E''$ et le
%plongement $JM\subset M''$ est une restriction du plongement $JE\subset E''$.  On
%a donc $JM\subset M''\subset E'' = JE$ et donc $M\subset J^{-1}(M'')\subset E$.
%On veut montrer que $JM=M''$, ou de mani\ee re \e quivalente que
%$M=J^{-1}(M'')$.  Par le corollaire ??, $M$ \e tant ferm\e , il suffit de montrer
%que $M'=J^{-1}(M'')'$. Comme $M\subset J^{-1}(M'')$, on a bien
%$J^{-1}(M'')'\subset M'$.  Il suffit donc de montrer l'inclusion inverse. Soit
%$f\in M'$.  Alors,
%$$\forall x\in J^{-1}(M'')\subset E, \; |Jx(f)|\leq
%||Jx||_{M''}||f||_{M'}= ||f||_{M'}||Jx||_{E''}=||f||_{M'}||x||_E.$$
%Donc $f\in (J^{-1}(M''))'$ et donc $M'\subset J^{-1}(M'')'$.
%\enddemo
%
\begin{pro}  \index{R\e flexivit\ea (du dual d'un espace r\e flexif)}Soit $E$ un
espace de Banach.  Alors
$E$ est r\e flexif si et seulement si $E'$ est r\e flexif.

\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
Supposons que $E$ soit r\e flexif.  On sait que $\overline{B_{E'}}$ est compact
pour la topologie $\sigma(E',E)$ (Th\e or\ee me \ref{alaoglu} de Alaoglu).  Comme
$E$ est r\e flexif, on a $\sigma(E',E) = \sigma(E',E'')$.  Donc
$\overline{B_{E'}}$ est aussi compact pour $\sigma(E',E'')$, ce qui implique par le
th\e or\ee me de Kakutani que $E'$ est r\e flexif.


R\e ciproquement, Si $E'$ est r\e flexif, alors par l'\e tape pr\e c\e dente,
$E''$ est r\e flexif. Donc $J(E)$, qui est un sous-espace ferm\ea (fort) de $E''$,
est aussi r\e flexif par la proposition \ref{sousespacereflexif}, et donc $E$ est
r\e flexif.
\enddemo
%
%\paragraph{Autre d\e monstration directe}  Supposons d'abord que $E$ est r\e
%flexif. Par hypoth\ee se, on a $JE=E''$ et donc $(JE)'=E'''$.  Appelons $J_1$ le
%plongement
%$J_1E'\subset E'''$. On doit montrer qu'en fait $J_1E'=E'''$.  Comme
%$(JE)'=E'''$,  Il suffit de montrer que $(JE)'\subset J_1E'$. Or
%$$f\in (JE)'\Leftrightarrow \forall x\in E, |Jx(f)|\leq ||f||_{(JE)'}||Jx||_{E''}
%=||f||_{(JE)'}||x||_{E}.$$
%En posant $f_1(x)=Jx(f)$, on en d\e duit que $f_1\in E'$ et $f=J_1f_1$.  Donc
%$f\in J_1E'$.
%Pour la r\e ciproque, on proc\ee de comme
%dans la d\e monstration pr\e c\e dente.
%\enddemo
%
\begin{cor}\index{Compacit\ea faible (d'un convexe ferm\ea born\ea )}
Soit $K\subset E$ un sous-ensemble convexe, ferm\e , born\ea d'un espace de Banach
r\e flexif.   Alors $K$ est compact pour la topologie $\sigma (E,E')$.
\end{cor}
"Tous les convexes fermés bornés d'un espace de Banach réflexif sont compacts pour la topologie faible".
\paragraph{D\e monstration}
$K$ est ferm\ea dans $\sigma(E,E')$, et $K\subset \overline{B(0,M)}$ est compact
dans $\sigma(E,E')=\sigma(E'',E')$.
\enddemo


\section{Espaces s\e parables}
Un espace s\e parable est un espace m\e trique qui contient un sous-ensemble $D$
dense et d\e nombrable.
\begin{pro} \index{S\e parabilit\ea (d'un sous-espace d'espace s\e parable)}
Soit $E$ un espace m\e trique s\e parable et $F$ un sous-espace de $E$.  Alors $F$
est s\e parable.
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
Consid\e rons $d(x_n, F)$, la distance de $x_n$ \a  $F$.    On choisit $y_n\in F$
tel que
$d(y_n, x_n)\leq 2 d(x_n,F)$. Montrons que $y_n$ est dense dans $F$. Soit $y\in
F$. Comme
$$
d(x_n,y)\geq d(x_n, F)\geq\frac 1 2 d(y_n, x_n),
$$
on obtient $ d(y,y_n)\leq d(y,x_n)+d(x_n, y_n)\leq 3
d(x_n, y)$. Comme $x_n$ est dense, on en d\e duit que $\lim\inf d(y,y_n)
\leq 3\lim\inf d(x_n,y)=0$.
\enddemo
\begin{thf} \label{separabledonneseparable}
Soit $E$ un espace vectoriel norm\ea  tel que $E'$ soit s\e parable.  Alors
$E$ est s\e parable.

\end{thf}
Attention : la r\e ciproque est fausse.  On verra que $(L^1(\RR))' =
L^\infty(\RR)$, mais $L^\infty$ n'est pas s\e parable.


\paragraph{D\e monstration du th\e or\ee me \ref{separabledonneseparable}.}
Soit $f_n$ une suite d\e nombrable de $E'$ dense dans $E'$.  A tout $f_n$, on
associe $x_n\in E$ tel que $$||x_n||=1 \hbox{ et }f_n(x_n)\geq \frac 1 2 ||f_n||.$$
Ces $x_n$ sont donc choisis pour \eee tre des \e l\e ments duaux approximatifs des
$f_n$ (voir le corollaire \ref{normepardualite} sur l'application de dualit\e
).    On consid\ee re $L_0$, l'espace vectoriel sur $\QQ$ engendr\ea par les
$x_n$ et
$L$ celui engendr\ea sur $\RR$.  $L_0$ est d\e nombrable et dense dans $L$.
Montrons que $L$ est \a son tour dense dans $E$.   Remarquons qu'il suffit par le
lemme \ref{densite-orthogonalite} de d\e montrer que
\fb&
\forall f\in E', \; (\forall x\in L, \;f(x)=0) \Rightarrow f=0.
\fe&
Soit donc $f\in E'$ tel que $f(x)=0$ pour tout $x\in L$.  Montrons que $f=0$.
Or,
$\forall \varepsilon >0$, $\exists n$, $||f-f_n||<\varepsilon$ et $f(x_n)=0,\;
\forall n.$  Donc
$$\frac 1 2 ||f_n||\leq f_n(x_n) = (f_n-f)(x_n) + f(x_n) \leq \varepsilon.$$
Donc $||f||\leq ||f_n-f|| +||f_n||\leq 3\varepsilon$ et donc $f=0$.
\enddemo
\begin{cor}
Si $E$ est un espace de Banach, alors $E$ est r\e flexif et s\e parable si et
seulement si $E'$ est r\e flexif et s\e parable.

\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
On sait d\e ja que si $E'$ est r\e flexif et s\e parable, alors $E$ aussi.  R\e
ciproquement, si $E$ est r\e flexif et s\e parable, alors $E''=J(E)$ aussi, et
donc $E'$ aussi.

\enddemo

\begin{thf} \label{separable-metrisable}\index{M\e trisabilit\ea (de la boule
unit\e )} Soit $E$ un espace de Banach s\e parable. Alors la boule
unit\ea ferm\e e $\overline{B_{E'}}$ est m\e trisable pour la topologie $\sigma
(E',E)$.
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
Soit $(x_n)$ une suite de $B_E$ dense dans $\overline{B_E}$.  On d\e finit une
distance sur $E'$ par
$$\forall f, g\in E', \; d(f,g)=\sum_{n=1}^\infty \frac 1 {2^n} |(f-g)(x_n)|.$$
Il faut montrer que les voisinages pour $\sigma(E',E)$ et pour cette distance sont
les m\eee mes.
\newline
\newline
a) Soit $f_0\in B_{E'}$ et $V$ un voisinage de $f_0$ pour $\sigma(E',E)$. On
montre que $\exists r>0,\; U=\{f\in \overline{B_{E'}},\; d(f,f_0)<r\} \subset V.$
On peut supposer (Proposition \ref{voisinagesfaibleetoile}) que $V$ est de la
forme
$$V=\{f\in \overline{B_{E'}}, \;
(f-f_0)(y_i)<\varepsilon, \; i=1,..., n\}, \hbox{ avec } ||y_i||\leq 1.
$$
Comme la suite $x_n$ est dense dans $\overline{B_{E}}$, on peut trouver $x_{n_i}$
tels que $||y_i-x_{n_i}||<\frac \varepsilon 4.$  On choisit $r$ tel que
$2^{n_i}r<\frac \varepsilon 2$.  Alors
$$
d(f,f_0)<r\Rightarrow \frac 1{2^{n_i}}|(f-f_0)(x_{n_i})|<r, \; i= 1, ...,n.
$$
$$\Rightarrow |(f-f_0)(y_i)| \leq |(f-f_0)(y_i-x_{n_i})|+|(f-f_0)(x_{n_i})|<\frac
\varepsilon 2 +\frac \varepsilon 2\Rightarrow f\in V.$$
Donc $U\subset V$.
\newline
b) R\e ciproquement, soit $f_0\in \overline{B_{E'}}$. Fixons $r>0$ et consid\e rons
$$U=\{f\in \overline{B_{E'}}, \; d(f,f_0)<r\}.$$
On va montrer qu'il existe un voisinage $V$ de $f_0$ pour $\sigma(E',E)$ dans
$B_{E'}$ tel que $V\subset U.$  On cherche $V$ de la forme
$$V=\{f\in \overline{B_{E'}}, \; |(f-f_0)(x_i)|<\varepsilon, \; i = 1,..., k\}.$$
Choisissons  $k$ et $\varepsilon$ pour que $V\subset U$ : on a, si $f\in V$,
$$d(f,f_0)=\sum_{n=1}^k \frac 1 {2^n}|(f-f_0)(x_n)|+\sum_{n=k+1}^\infty \frac 1
{2^n} |(f-f_0)(x_n)| <\varepsilon + 2 \sum_{n=k+1}^\infty \frac 1 {2^n}
$$
$$ =
\varepsilon + \frac 1 {2^{k}}.$$
 On choisit  donc $\varepsilon <\frac r 2 $ et $k$ suffisamment grand pour que
$\frac 1 {2^{k}} <\frac r 2$.
\enddemo
Une adaptation imm\e diate de la d\e monstration pr\e c\e dente donne le r\e
sultat dual :
\begin{thf} \index{M\e trisabilit\ea de la boule unit\e }
Soit $E$ un espace de Banach tel que $E'$ soit s\e parable.  Alors
$\overline{B_E}$ est m\e trisable pour $\sigma(E,E')$.

\end{thf}



\begin{thf} \label{compacitesequentielle} \index{Compacit\ea s\e quentielle de
la boule unit\e} Soit $E$ un espace de Banach s\e parable, $f_n$  une suite
born\e e dans
$E'$.  Alors il existe une sous-suite extraite $f_{n_k}$ qui converge pour
$\sigma (E',E)$.
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
En effet, par le th\e or\ee me \ref{alaoglu} (Th\e or\ee me d'Alaoglu), la boule
unit\ea de $E'$ est compacte pour la topologie $\sigma(E',E)$ et par le th\e
or\ee me \ref{separable-metrisable}, cette topologie est m\e trisable.  Or, dans
un compact m\e trique, toute suite a un point d'accumulation.

\enddemo
\begin{cor} \index{Compacit\ea s\e quentielle (dans un s\e parable r\e flexif)}
Soit $E$ un espace de Banach et r\e flexif.  Soit $x_n$ une suite
born\e e dans
$E$. Alors il existe une sous-suite $x_{n_k}$ qui converge pour $\sigma (E,E').$

\end{cor}

\paragraph{D\e monstration} Soit $F$ le plus petit sous-espace ferm\ea contenant la
suite $x_n$.  $E$ étant réflexif, $F$ l'est aussi, mais est de plus séparable.
$F$  est le dual de $F'$ et
$\sigma(F,F')=\sigma(F'', F').$  Donc le th\e or\ee me \ref{compacitesequentielle}
s'applique.
%On consid\ee re l'espace vectoriel $M_0$ engendr\ea par $x_n$ et sa fermeture
%$M$.  Alors $M$ est s\e parable et r\e flexif.  Donc $\overline{B_M}$ est m\e
%trisable et compact pour la topologie $\sigma(M,M')$.  Donc il existe une
%sous-suite qui converge pour $\sigma(M,M')$, et donc aussi pour $\sigma(E,E')$.
\enddemo


\begin{cor}\label{convexecoerciveminimum}\index{Minimisation (d'une fonction
convexe s.c.i.)}
 Soit $E$ un espace de Banach r\e flexif et  $\varphi : E\to ]-\infty,
+\infty]$ une fonction convexe s.c.i. sur
un  convexe ferm\ea $A$  telle que
$$\lim_{x\in A, ||x||\to \infty} \varphi(x) = +\infty, \hbox{  et  } \exists x_0,
|\varphi(x)|<\infty.$$ Alors $\varphi$ atteint son minimum sur $A$.
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
L'ensemble convexe $K=\{x, \varphi(x)\leq \varphi(x_0)\}$ est convexe, ferm\e ,
born\e , non vide. Donc c'est un compact pour $\sigma(E,E')$.   Comme $\varphi$ est
aussi s.c.i. pour la topologie
$\sigma(E,E')$, $\varphi$ atteint
 son minimum sur $K$ en vertu du lemme \ref{quisuit}
\enddemo
\begin{lem}\label{quisuit} \index{Fonction semicontinue inf\e rieurement sur un compact}
Soit $\varphi$ une fonction s.c.i. sur un espace topologique compact $K$.  Alors
$\varphi$ atteint sa borne inf\e rieure.

\end{lem}
\paragraph{D\e monstration}
Supposons par contradiction que $\varphi$ n'atteigne pas son infimum $m$ sur $K$.
Alors les ouverts
$O_\varepsilon = ]m+\varepsilon, +\infty[$ recouvrent $\varphi(K)$.  Comme
$\varphi$ est s.c.i., les ensembles $\varphi^{-1}(O_\varepsilon)$ sont ouverts.
De plus, ils recouvrent $K$ et on peut donc en extraire un sous-recouvrement
fini. On en d\e duit un recouvrement fini
$O_{\varepsilon_1},...,O_{\varepsilon_k}$ de $\varphi(K)$.  Donc
$\varphi(K)\subset ]\min(\varepsilon_1, ..., \varepsilon_k), +\infty[$, ce qui
contredit la d\e finition de $m$.

\enddemo
\\ \\
\section{Exercices}
{ \bf Rappel}
\\ \\
On d{\'e}finit $J : E \longrightarrow \Epp$ par
$${<Jx,f>}_{\Epp,\Ep} = {<f,x>}_{\Ep,E} \quad \forall x \in E,\,\,\forall f \in
\Ep.$$
On a $\Vert Jx \Vert = \sup_{\Vert f \Vert \leq 1} \vert <f,x> \vert = \Vert x
\Vert$ par Hahn-Banach,
donc J est lin{\'e}aire isom{\'e}trique. \\
(On peut donc identifier E et J(E) quand on le souhaite.)
\\ \\
{ \bf Exercice 1}
\\ \\
Montrer que $E = {(E_{w\star}^{\prime})}^{\prime}$.
\\ \\
{ \bf Exercice 2}
\\ \\
Soit $E = {\ell}^{\infty}$ que l'on munit de $ {\Vert x \Vert}_{\infty} = \sup_{n
\geq 1} \vert x_n \vert.$\\
Trouver une suite ${(f_n)}_n$ de $\Ep$ telle que $\Vert f_n \Vert_{\Ep} = 1$ et
${(f_n)}_n$ ne poss{\`e}de aucune
sous-suite convergente pour la topologie faible $\star$. Y-a-t-il contradiction
avec le fait que $(B_{\Ep},w\star)$
est compact ? Que pouvez-vous en conclure sur E~?
\\ \\
{ \bf Exercice 3}
\\ \\
Soient E et F deux espaces de Banach, on note $B_E = \{ x \in E : \Vert x \Vert
\leq 1
\}$. Soit
$T : E \longrightarrow F$ une application lin{\'e}aire. On dit que T est compacte
si
$\overline{T(B_E)}$
est compact dans F (pour la norme).\\
1) V{\'e}rifier qu'un compact dans un espace vectoriel norm{\'e} est born{\'e}.\\
2) Montrer que T compacte $\Longrightarrow$ T continue.\\
3) Montrer que T compacte $\Longrightarrow$ T v{\'e}rifie ($\star$),
$$(\star)\qquad [x_n \rightharpoonup x \mbox{ dans }E_w \Longrightarrow Tx_n
\longrightarrow Tx
\mbox{ dans }F]$$
4) R{\'e}ciproquement : si de plus E est r{\'e}flexif, montrer que ($T$ v{\'e}rifie
($\star$) )
$\Longrightarrow$ ($T$ compacte) (on
pourra d'abord v{\'e}rifier que $T(B_E)$ est ferm{\'e}).\\
5) On suppose que $E=F$. Montrer que T compacte $\Longrightarrow$ dim ker(Id-T)$<
\infty$.
\\ \\
{ \bf Exercice 4}
\\ \\
Soit $E$ un espace r{\'e}flexif et soit $f \in \Ep$, montrer que $\Vert f
\Vert_{\Ep}$ est atteinte.\\
(C'est un crit{\`e}re simple pour montrer qu'un espace n'est pas r{\'e}flexif.)
\\ \\
{ \bf Exercice 5}
\\ \\
Soit $E = {\cal C}[0,1]$ muni de ${\Vert \, \Vert}_{\infty}$ et soit
$\varphi_n(x) = 1 - nx$ si $x \leq 1/n$ et nulle ailleurs. V\e rifier que $E$
est un espace de Banach.
V{\'e}rifier que $({\varphi_n})_n$ n'a aucune sous-suite faiblement convergente.
Que pouvez-vous conclure sur $E$ ?
\\ \\
{\bf Exercice 6}
\\ \\
Soit E un espace de Banach. On note $B_{\Ep} = \{ f \in \Ep : {\Vert f \Vert}_{\Ep}
\leq 1\}.$ On suppose que $(B_{\Ep},\sigma(\Ep,E))$ est m{\'e}trisable, c'est {\`a}
dire, qu'il existe une distance d sur $B_{\Ep}$ dont la topologie est {\'e}quivalente
{\`a}
la topologie faible $\star$ sur $B_{\Ep}$. On se propose de montrer que E est
s{\'e}parable.\\
1) Montrer qu'il existe une suite $(x_n)_{n \geq 1}$ d{\'e}l{\'e}ments de E telle
que \\
$\forall k \in \NN^{\star},\quad \exists I_k \in P.F.\NN^{\star},\quad \exists
{\ep}_k
> 0$ tels que
$$ \bigcap_{i \in I_k} \{f \in B_{\Ep} : \vert <f,x_i> \vert < {\ep}_k \} \subset
B_d(0, \frac{1}{k}),$$
o{\`u} $B_d(0,\frac{1}{k}) = \{g \in B_{\Ep} : d(0,g) < \frac{1}{k} \}.$\\
On pose $$X_n = \mbox{vect}_{\RR}\{x_1,x_2,...,x_n\}, \quad Y_n =
\mbox{vect}_{\QQ}\{x_1,x_2,...,x_n\}, \quad X = \bigcup_{n \geq 1} X_n \,\mbox{ et
}\,
Y = \bigcup_{n \geq 1} Y_n.$$
Pour $A \subset E$, on note $\overline A$ l'adh{\'e}rence de A pour la topologie de
la
norme.\\
2) V{\'e}rifier que $X \subset \overline Y$.\\
3) En supposant que $\overline X \not= E$, montrer que $\exists f \in \Ep$, $f
\not\equiv 0$, telle que $<f,x> = 0$, $\forall x \in X.$\\
En d{\'e}duire une contradiction.\\
4) Montrer que E est s{\'e}parable.
%
%\begin{Def}  On dit qu'un espace de Banach $E$ est uniform\e ment convexe si
%$$\forall \varepsilon>0, \; \exists \delta>0, \; (x,y\in E, ||x||\leq 1, \;
%||y||\leq 1) \; \Rightarrow ||\frac {x+y}2||<1-\delta.$$
%
%\end{Def}
%\begin{exa}et contrexemples : $||x||_2 = (\sum_1^n |x_i|^2)^\frac 1 2,$ $||x||_1 =
%\sum_1^n|x_i|,
%$
%$||x||_\infty = \sup_{i=1, ..., n} |x_i|$.
%
%\end{exa}
%\begin{thf} (Milman-Pettis)
%Tout espace de Banach uniform\e ment convexe est r\e flexif.
%\end{thf}
%\paragraph{D\e monstration}
%Voir Brezis.   Nous n'utiliserons
%pas ce r\e sultat pour montrer la r\e flexivit\ea des espaces consid\e r\e s
%plus loin (espaces de Hilbert, $L^p$, etc.) mais il est bon de conna\ii tre
%l'existence  de cet \e nonc\ea g\e n\e ral.
%
%\enddemo
%\begin{pro}
%Soit $E$ un espace de Banach uniform\e ment convexe.  Soit $(x_n)$ une suite dans
%$E$ telle que $x_n\to x$ dans $\sigma(E, E')$ et
%$$\lim\sup_n ||x_n||\leq ||x||.$$
%Alors $x_n$ converge vers $x$ fortement.
%
%\end{pro}
% \paragraph{D\e monstration}
%Supposons $x\neq 0$.  Soit $\lambda_n = \max(||x_n||, ||x||)$.  Alors
%$\lambda_n\to ||x||$.  On pose
%$$y_n = \frac {x_n}{\lambda_n}, \; \; y=\frac x {||x||}.$$
%Alors $y_n\to y$ dans $\sigma(E,E')$.  Donc
%$$1=||y|| \leq \lim\inf_n ||\frac {y+y_n}2||.$$
%Mais, puisque $||y||=1$, $||y_n||\leq 1 \Rightarrow \lim\sup ||\frac
%{y+y_n}2||\leq 1.$
%Donc $||\frac{y_n+y}2||\to 1$ et par uniforme convexit\e , on d\e duit que
%$||y_n-y||\to 0$.
%
%\enddemo
%
%
\chapter{L'int\e grale de Lebesgue}
\label{intlebesgue}
On admet l'existence d'une classe de fonctions $f : \RR^N\to [-\infty, +\infty]$
que l'on appelle mesurables au sens de Borel-Lebesgue.  Si
$f= \indic_E$ est une fonction caract\e ristique d'un sous-ensemble $E$ de
$\RR^N$, \ccaadd $f(x)=1$ si $x\in E$, $f(x)=0$ sinon et si $f$ est mesurable, on
dit que $E$ est mesurable, ou Lebesgue-mesurable.
 Dans tout ce
qui suit, nous admettrons que les fonctions et les ensembles  consid\e r\e s sont
mesurables et nous admettons l'existence d'une application qui \a toute fonction
$f$ mesurable et \a valeurs dans $[0, +\infty]$ associe son {\it int\e grale de
Lebesgue} que l'on notera de mani\ee re plus ou moins abr\e g\e e
$$\int_{\RR^N}f(x)dx = \int f(x)dx = \int f \in [0, +\infty].$$
Si $f=\indic_E $ est une fonction caract\e ristique, on note $\mu (E) = \int
\indic_E$ que l'on appelle {\it mesure de} $E$. En l'absence d'une construction
explicite, les {\bf propri\e t\e s} qui suivent doivent
\eee tre consid\e r\e es comme des axiomes v\e rifi\e s par l'int\e grale de
Lebesgue.  A partir de ces axiomes, nous d\e montrerons les autres propri\e t\e s
dont nous aurons besoin.
\begin{propr}
Lin\e arit\ea : pour $f$ et $g$ \a valeurs dans $[0,+\infty]$, et $\lambda,
\mu\in \RR^+$, \newline
$\int \lambda f+\mu g = \lambda \int f +  \mu \int g$.
\end{propr}
Remarquons que l'en d\e duit la croissance de l'int\e grale :
si $f\leq g$, alors $\int f \leq \int g$
\begin{propr}.
Si $f\geq 0$ est Riemann-int\e grable elle est Lebesgue mesurable et
son int\e grale au sens de Lebesgue est \e gale \a son int\e grale au sens de
Riemann.

\end{propr}
\begin{propr}\index{Beppo-Levi (th\e or\ee me de la convergence monotone)} (Th\e
or\ee me de Beppo-Levi ou de la convergence monotone) Si $f_n$ est une suite
croissante de fonctions mesurables d\e finies sur
$\RR^N$ et \a valeurs dans $[0,+\infty]$, on a
$$\int \lim_{n\to \infty}f_n(x)dx = \lim_{n\to \infty}\int f_n(x)dx\leq +\infty.$$
\end {propr}
\dexer  Si $\sum u_n$ est une s\e rie de fonctions $\RR^N\to [0,
+\infty]$, on peut intervertir sommation et int\e gration :
$\int \sum_n u_n(x) dx = \sum \int u_n(x)dx.$
\fexer
Il suffit d'appliquer le th\e or\ee me de Beppo-Levi \a la suite croissante des
sommes partielles
$\sum_{n=1}^k u_n$.
\begin{pro} \label {additivite}\index{Additivit\ea (de la mesure)} Si $A$ et $B$
sont deux ensembles mesurables, alors $A\subset B\Rightarrow \mu(A)\leq
\mu(B).$  Si
$A_n$ sont des ensembles disjoints,
$\mu(\bigcup_n A_n) = \sum_n \mu(A_n)$.  (Appliquer de nouveau Beppo-Levi aux
fonctions caract\e ristiques des ensembles).  Si les $A_n$ ne sont pas
disjoints, on a $\mu(\cup_n A_n)\leq \sum_n \mu(A_n).$

\end{pro}
\begin{Def} \index{N\e gligeable (ensemble)} \label{negligeable} On appelle ensemble n\e gligeable
tout ensemble de mesure nulle.
On dit qu'une propri\e t\ea est v\e rifi\e e presque partout si elle est vraie
sauf sur un ensemble n\e gligeable.
\end{Def}
En vertu de la proposition \ref{additivite}, toute union d\e nombrable
d'ensembles n\e gligeables est n\e gligeable.
\begin{pro}\label{nullepresquepartout}
Soit $f$ d\e finie sur $\RR^N$ et \a valeurs dans $[0, +\infty]$. On a
$$\int f(x)dx = 0 \Leftrightarrow f(x)=0 \hbox { p.p..}$$
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
On pose $A=\{x, f(x)\neq 0\}.$  On a $$f(x)\leq \lim_{j\to \infty}
j\indic_A(x).$$
Si $\mu(A)=0$, on obtient par le th\e or\ee me de la convergence monotone
(Beppo-Levi),
$$\int f(x)dx \leq \lim_{j\to \infty} j\int \indic_A(x)dx=0.$$
R\e ciproquement,  si $\int f(x)dx=0$, remarquons que $\indic_A(x)\leq \lim_{j\to
\infty} jf(x)$ et donc, \a nouveau par Beppo-Levi,
$$\mu(A)=\int \indic_A(x)dx \leq \lim_{j\to \infty}\int jf(x)dx=0.$$
\enddemo

\begin{Def} \index{Sommabilit\ea d'une fonction}
Soit $f$ une fonction d\e finie dans $\RR^N$ et \a valeurs dans $\complex$. On
dit que $f$ est sommable (ou int\e grable au sens de Lebesgue) si on a
$$\int_{\RR^N}|f(x)|dx <\infty.$$
L'espace des fonctions sommables est not\ea ${\cal L}^1(\RR^N)$.  Si $f(x)\in
\RR$, on note $f=f^+-f^-$, o\u $f^+=\max (f, 0)$, $f^-=\max(-f,0)$. Ces deux
fonctions sont int\e grables si $|f|$ l'est et on pose
$$\int f = \int f^+-\int f^-.$$
Si $f= f_1 + i f_2$ est \a valeurs complexes, on pose
$$\int f = \int f_1 + i\int f_2.$$
\end{Def}

\dexer \label{independancedeladecomposition}Si une fonction $f$ \a valeurs r\e
elles v\e rifie
$f=g-h$, avec
$g\geq 0$,
$h\geq 0$, alors $\int f = \int g -\int h.$
\fexer
\begin{pro} \index{Lin\e arit\ea de l'int\e grale}L'application $f\to \int f $
est lin\e aire de
${\cal L}^1(\RR^N)$ dans $\complex$.  Si $f$ et $g$ sont sommables et \a
valeurs complexes,
\begin{equation}
\label{sousadditivite}
|\int f(x)dx| \leq \int |f(x)|dx, \; |\int f(x)+g(x)|dx\leq
\int |f(x)|dx +
\int |g(x)|dx.
\end{equation}
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
On montre l'additivit\ea pour des fonctions r\e elles :
on a $f+g = f^++g^+ -(f^-+g^-)$ et donc, en vertu de l'exercice
\ref{independancedeladecomposition}, et de l'additivit\ea de l'int\e grale pour
les fonctions positives,
$$\int (f+g)=\int (f^++g^+) -\int (f^-+g^-)=\int f + \int g.
$$
On montre la premi\ee re relation de (\ref{sousadditivite}), qui entra\ii ne
ais\e ment la seconde.
On choisit un nombre complexe $\theta$ de module 1 tel que $\theta \int f$ soit
un r\e el positif.  Donc
$$|\int f(x)dx|=\int \hbox{Re}(\theta f(x))dx \leq \int (\hbox{Re}(\theta
f(x)))^+ dx \leq \int |f(x)|dx.$$
\enddemo
\begin{Def} \index{Espace des fonctions sommables $L^1(\RR^N)$} L'espace
$L^1(\RR^N)$.
Une cons\e quence de la proposition
\ref{nullepresquepartout} est que si
$f$ et
$g$ sont
\e gales presque partout, elles ont la m\eee me int\e grale.   A partir de
maintenant on identifie les fonctions \e gales presque partout entre elles.  On
note
$L^1(\RR^N)$ l'espace vectoriel des classes d'\e quivalence de fonctions pour
cette relation d'\e quivalence.  Tous les \e nonc\e s qui suivent concerneront
d\e sormais ces classes.  On choisira souvent par commodit\ea une repr\e sentante
$u$ de la classe, ce qui sera licite \a condition de la consid\e rer comme ``d\e
finie presque partout" (p.p.). On s'autorisera donc \a \e crire $u(x)$, mais
cette \e criture n'aura jamais un sens ponctuel (\a moins qu'un \e l\e ment de la
classe ne s'av\ee re continu). Les \e nonc\e s portant sur $u(x)$ n'auront de sens
que si on leur ajoute la mention ``presque partout''.
\end{Def}

\begin{thf} ({\bf de Lebesgue, ou de la convergence domin\e e)} \index{Lebesgue
(th\e or\ee me de la convergence domin\e e)} \label{convdom}
 Soit $f_n$ une suite de fonctions qui converge presque partout vers une
fonction $f$. On suppose qu'il existe une fonction positive sommable fixe $h$
telle que l'on ait pour tout $n$, $|f_n(x)|\leq h(x)$ p.p..  (Cette fonction
$h(x)$ s'appelle un {\rm chapeau int\e grable de la suite} $f_n$).  On a alors
\begin{equation}\label{convergenceenmoyenne}
\int |f_n(x)-f(x)|\to 0,\; \; \int f_n(x)dx \to \int f(x)dx
\end{equation}
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
On remarque que la conclusion (\ref{convergenceenmoyenne}) ne d\e pend pas
du choix des repr\e sentants des fonctions $f_n$ et de $f$.
Soit $A_n=\{x, |f_n(x)|>h(x)\}$ et $B$ l'ensemble des points o\u  $f_n$ ne
converge pas vers $f$.  Alors $C=B \cup(\bigcup_n A_n )$ est n\e gligeable.  On
peut donc supposer, en changeant de repr\e sentants  pour $f_n$ et $f$, que
$f_n(x)\to f(x)$ partout et que $|f_n(x)|\leq h(x)$ partout (pour  tout $x$).


On pose $g_n(x)=|f_n(x)-f(x)|$ et $h_n(x) = \sup_{k\geq n}g_k(x)$.  Alors $h_n$
est une suite d\e croissante de fonctions positives qui tend vers z\e ro
partout. De plus, $h_n(x)\leq 2h(x)$ partout.  On va montrer que
$\int h_n(x)dx$ tend vers z\e ro, ce qui nous donnera
(\ref{convergenceenmoyenne}).  Or, le th\e or\ee me de la convergence monotone
(Beppo-Levi) s'applique \a la suite croissante de fonctions positives $2h-h_n$
et donne $$\lim_{n\to +\infty} \int (2h(x)-h_n(x))dx = 2\int h(x)dx.$$
Donc $\int h_n(x)dx \to 0$.
\enddemo

\begin{thf}  (R\e ciproque du th\e or\ee me de Lebesgue).\index{R\e
ciproque du th\e or\ee me de Lebesgue}
\newline Si $f_n\to f$ dans $L^1$, alors il
existe une sous-suite
$f_{n_k}$ de la suite
$f_n$ qui converge presque partout vers $f$ et un chapeau int\e grable $h$ tel que
$\forall k, \; |f_{n_k}(x)|\leq h(x)$ p.p..
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}  Voir l'exercice 5 {\`a} la fin du chapitre VI.
\enddemo

\begin{lem}
(Lemme de Fatou). Soit $f_n$ une suite de fonctions positives.  Alors
$$\int \lim\inf_{n\to infty} f_n \leq \lim\inf_n \int f_n.$$ Cette in\e galit\ea est
vraie que les membres de droite et de gauche soient finis, ou infinis.
\end{lem}
\paragraph{D\e monstration}
Poser $g_n = \inf_{k\geq n}f_k$.  Cette suite est croissante. On applique le th\e or\ee me
de la convergence monotone (Beppo-Levi). Donc
$\lim_n \int \inf_{k\geq n} f_k = \int \lim\inf_n f_n$.
Mais $\int \inf_{k\geq n}f_k \leq \inf_{k\geq n}\int f_k.$  On conclut ais\e ment.
\enddemo

\begin{thf} (Th\e or\ee me de d\e rivation sous le signe somme)\index{D\e
rivation sous le signe somme (Th\e or\ee me de)} \label{derivsoussomme} Soient $I$ un intervalle de
$\RR$ et
$A$ un sous-ensemble de $\RR^n$. On se donne une fonction $f$ d\e finie sur
$A\times I$ v\e rifiant les trois hypoth\ee ses  suivantes.
\newline
(a) Pour tout $\lambda\in I$, la fonction $x\to f(x,\lambda)$ est sommable sur $A$.
\newline
(b) La d\e riv\e e partielle $\frac{\partial f}{\partial \lambda}(x, \lambda)$
existe en {\rm tout} point de $A\times I$.
\newline
(c) Il existe une fonction $h$ positive et sommable sur $A$ telle que l'on ait
$|\frac{\partial f}{\partial \lambda}(x, \lambda)|\leq h(x)$ pour tous $x$ et
$\lambda$. Alors la fonction $F$ d\e finie par
$$F(\lambda)=\int_A f(x, \lambda)dx$$ est d\e rivable dans $I$ et on a
$$F'(\lambda) = \int_A \frac{\partial f}{\partial \lambda}(x,\lambda)dx.$$
\end{thf}

\paragraph{D\e monstration}
On a, \a $\lambda$ fix\e ,
$$\frac 1 l [F(\lambda +l )-F(\lambda)] = \int_A g_l(x)dx,$$
o\u l'on a pos\ea
$$g_l(x) = \frac 1 l[f(x,\lambda+l)-f(x,\lambda)].$$
La fonction $g_l$ converge en tout point vers $\frac {\partial f}{\partial
\lambda}.$  D'autre part,  $$|g_l(x)|\leq \sup_{0\leq\theta\leq
1}|\frac{\partial f}{\partial \lambda}(x, \lambda+\theta l)|\leq h(x)$$
d'apr\ee s le th\e or\ee me des accroissements finis.  Le th\e or\ee me r\e sulte
alors de l'application du th\e or\ee me de Lebesgue.
\enddemo



L'avant-derni\ee re propri\e t\ea de l'int\e grale de Lebesgue que nous
admettrons est la suivante.  Comme pr\e c\e demment, on suppose que les
fonctions consid\e r\e es sont mesurables.

\begin{Def} \index{Fonction en escalier} On consid\ee re un quadrillage de taille
$a$ de
l'espace
$\RR^N$ par des hypercubes de longueur d'ar\ee te $a$. Posant $C=[0,a[^N$, ce
quadrillage peut se d\e finir par le  recouvrement disjoint
$$\RR^N=\bigcup_{\hbox{\bf n}\in \relative^N}
(a\hbox{\bf n}+C).$$
 On appelle fonction en escalier une fonction \a laquelle on peut associer un
quadrillage
de taille $a$ tel que $f$ soit
constante sur chacun des hypercubes du quadrillage et \a support born\ea.
\end{Def}
\begin{Def} \index{Fonction en escalier dyadique} On appelle fonction en escalier
dyadique
une fonction en escalier associ\e e
\a un quadrillage de taille $a=2^k$, $k\in \relative$.
\end{Def}

\begin{propr} \label{densiteescalierL^1}  \index{Densit\ea des fonctions en
escalier dans $L^1$}
 Pour toute fonction $f$ sommable sur $\RR^N$, il existe une suite de
fonctions en escalier qui converge vers $f$ dans $L^1(\RR^N)$. Cette propri\e
t\ea reste
vraie si on impose aux fonctions en escaliers d'\eee tre dyadiques.
\end{propr}

On va  d\e duire de la proposition \ref{densiteescalierL^1} une propri\e t\ea de
densit\ea plus forte concernant les fonctions continues \a support compact.

\begin{Def} \index{Support d'une fonction} Soit $f$ une fonction continue et nulle
en dehors d'une boule. On
appelle support de $f$ la  fermeture de l'ensemble $\{x, f(x)\not= 0\}$ qui est
ferm\ea et born\ea et donc compact. Si $\Omega $ est un ouvert de $\RR^N$, on
note
${\cal C}_c(\Omega)$ l'ensemble des fonctions coninues \a support compact contenu
dans
$\Omega$.
\end{Def}

\begin{cor}\label{densiteCoL^1}\index{Densit\ea de ${\cal C}_c$ dans $L^1$}
Pour toute fonction $f$ sommable sur
$\RR^N$ il existe une suite de fonctions $f_n\in {\cal C}_c(\RR^N)$, \ccaadd
continues et \a support compact, telles que
$$\int_{\RR^N}|f_n-f|\to 0.$$
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
On commence par montrer que si $C$ est un hypercube de $\RR^N$ et $\indic_C$ sa
fonction caract\e ristique, alors il existe des fonctions continues $f_N$ \a
support compact telles que $\int |f_N-\indic_C|(x)dx$ soit arbitrairement petit. On
peut bien s\uu r se ramener au cas o\u $C=[-1,1]^N$. Commen\c cons par le cas
$N=1$. On consid\ee re l'unique fonction continue et affine sur
$[-1-\varepsilon, -1]$ et sur $[1, 1+\varepsilon]$  telle que
$f_1(x) = 0$ si
$|x|\geq 1 +\varepsilon$ et
$f_1(x)=1$ si
$|x|\leq 1$.  La fonction $f_N(x_1, ..., x_N)=f_1(x_1)...f_1(x_N)$
convient en dimension $N$.  En consid\e rant les supports de $f_N$ et de
$\indic_C$, on voit  en effet que
$||\indic_C -f_N||_{L^1}\leq 2^N ((1+\varepsilon)^N -1)$ qui tend vers 0 quand
$\varepsilon \to 0$.

Toute combinaison lin\e aire finie de fonctions caract\e ristiques d'hypercubes
est donc approchable dans $L^1$ par une combinaison lin\e aire finie de fonctions
continues \a support compact. Il en r\e sulte que toute fonction en escalier est
approchable par des fonctions \a support compact dans $L^1$. On conclut en
utilisant la propri\e t\ea \ref{densiteescalierL^1}.

\enddemo


L'espace $L^1(\RR^N)$ appara\ii t donc comme  la compl\e tion de ${\cal
C}_c(\RR^N)$
pour la norme $$||f||_{L^1}=\int_{\RR^N}|f(x)|dx,$$ mais il faudra montrer
qu'il est effectivement complet. Voyons tout de suite deux cons\e quences
importantes de cette propri\e t\ea de densit\e .

\begin{thf} (\e quicontinuit\ea en moyenne des fonctions sommables)
\index{Equicontinuit\ea en moyenne des fonctions sommables}
Pour tout $f\in L^1(\RR^N),$ on a
$$\lim_{y\to 0}\int_{\RR^N}|f(x+y)-f(x)|dx = 0.$$
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
On fixe $\varepsilon>0$ et on choisit gr\aa ce au corollaire
\ref{densiteCoL^1} une fonction $f_\varepsilon$, continue et \a support compact
inclus dans une boule $B(0,R)$, telle que
$||f_\varepsilon -f||_{L^1}\leq \varepsilon.$  La fonction $f_\varepsilon$ est
uniform\e ment continue. Il existe donc $\eta$ tel que $|y|\leq \eta \Rightarrow
|f_\varepsilon(x+y)-f_\varepsilon(x)|\leq \frac{\varepsilon}{\mes(B(0,2R)}.$  Ceci
implique en int\e grant
$\int |f_\varepsilon(x+y)-f_\varepsilon(x)|dx \leq \varepsilon$ pour
$y\leq
\min(\eta, R).$
   On a donc
$$\int |f(x)-f(x+y)|dx\leq$$
$$\int |f-f_\varepsilon|(x)dx+\int |f_\varepsilon(x)-f_\varepsilon(x+y)|dx+
+\int |f_\varepsilon(x+y)-f(x+y)|dx\leq 3\varepsilon.$$
\enddemo


\begin{thf} (de changement de variable) \index{Changement de variable
(th\e or\ee me de)}\newline Soient $\Omega_1$ et $\Omega_2$ deux ouverts de
$\RR^n$ et
$\Varphi$ un diff\e omorphisme entre $\Omega_1$ et $\Omega_2$. On notera
$J_\Varphi(x)$ le d\e terminant de la matrice jacobienne de $\Varphi$ au point
$x$.  Soit $f$ une fonction d\e finie sur $\Omega_2$.
\newline (a) Si la fonction $f$ est \a valeurs dans $\RR^+\cup \{+ \infty\}$, on
a
l'\e galit\ea suivante, o\u les deux membres  ont un sens dans
$\RR^+\cup\{+\infty\},$
\fb&
\label{changementdevariable}
\int_{\Omega_2}f(y)dy=\int_{\Omega_1}f(\Varphi(x))|J_\varphi(x)|dx.
\fe&
\newline (b)  Si $f$ est \a valeurs complexes, elle est sommable dans $\Omega_2$
si et seulement si $f(\Varphi(x))J_{\Varphi}(x)$ est sommable dans $\Omega_1$, et
les deux membres de l'\e galit\ea pr\e c\e dente sont alors \e gaux.
\end{thf}

\paragraph{D\e monstration} : La formule (\ref{changementdevariable}) est vraie si
$f$ est int\e grable au sens de Riemann, continue \a support compact par exemple.
Si
$f$ est sommable, on consid\ee re des fonctions continues $f_n$ \a support compact
qui approchent $f$ dans $L^1$.  On a donc
\begin{equation}\label{changementdevariableapproche}
\int_{\Omega_2}f_n(y)dy=\int_{\Omega_1}
f_n(\Varphi(x))|J_\Varphi(x)|dx
\end{equation}
et on peut \e crire une formule analogue pour $|f_n-f_p|$.  Il en r\e sulte que
les fonctions $f_n(\varphi)|J_\Varphi(x)|$ forment une suite de Cauchy dans $L^1$. En
admettant provisoirement que $L^1$ est un espace complet (voir le chapitre
suivant), on en d{\'e}duit que leur limite $f(\varphi(x))|J_\Varphi(x)|$ est donc bien
sommable. Enfin, en passant \a la limite dans (\ref{changementdevariableapproche}),
on obtient la formule de changement de variable (\ref{changementdevariable}).
\enddemo
La derni\ee re propri\e t\ea de l'int\e grale de Lebesgue que nous admettons est
la suivante (nous supposons toutes les fonctions consid\e r\e es mesurables).
\begin{propr} \index{Fubini-Tonelli (th\e or\ee me de)}{\bf (Th\e or\ee me de
Fubini-Tonelli)}\newline Soit $f(x,y)$ une fonction d\e finie dans
$\RR^p\times\RR^q$.
\newline
(a) (Tonelli) Si $f$ est \a valeurs dans $\RR^+\cup\{+\infty\}$, on a l'\e
galit\ea suivante, o\u les trois membres d\e finissent un \e l\e ment de
$\RR^+\cup\{+\infty\}$,
$$\int_{\RR^{p+q}}f(x,y)dxdy=\int_{\RR^p}(\int_{\RR^q}f(x,y)dy)dx
=\int_{\RR^q}(\int_{\RR^p}f(x,y)dx)dy.$$
(b) (Fubini) Si $f$ est sommable dans $\RR^{p+q}$, les trois membres de l'\e
galit\ea pr\e c\e dente ont un sens et sont \e gaux.  Plus pr\e cis\e ment, dire
que le troisi\ee me membre a un sens signifie :
\newline $\bullet$ pour presque tout $y$, la fonction $x\to f(x,y)$ est sommable
dans $\RR^p$,
\newline $\bullet$ la fonction $\varphi(y)=\int f(x,y)dx$ qui est ainsi d\e finie
presque partout est sommable dans $\RR^q$.
\end{propr}


\paragraph{Mesurabilit{\'e} et ensembles de niveau des images}
\index{Images naturelles}
Nous avons vu au d{\'e}but de ce chapitre qu'un ensemble $E$ est dit
mesurable si $\indic_E$ est mesurable au sens de Borel-Lebesgue (c'est {\`a}
dire dont on
peut calculer une int{\'e}grale, {\`a} valeurs dans $[0,+\infty]$, l'existence de cette int{\'e}grale ayant {\'e}t{\'e} admise). Le succ{\`e}s de
l'int{\'e}grale de Lebesgue est d\^u d'une part au caract{\`e}re tr{\`e}s
g{\'e}n{\'e}ral de th{\'e}or{\`e}mes tels que \ref{derivsoussomme} et \ref{convdom}, et
d'autre part au fait que la classe des applications mesurables est tr{\`e}s
large, et contient en particulier des ensembles tr{\`e}s irr{\'e}guliers. Pour
justifier le besoin en pratique d'une th{\'e}orie de l'int{\'e}gration incluant
des ensembles tr{\`e}s irr{\'e}guliers, nous utilisons les ensembles de niveau des
images naturelles. Il est possible de montrer qu'une fonction $f:\R^n
\rightarrow [0,+\infty]$ est mesurable au sens de Borel-Lebesgue si les
ensembles $\chi_{\lambda}=\left\{x \in \R^n/ f(x)\geq \lambda \right\}$ sont
mesurables pour presque tout $\lambda \in \R$ (c'est {\`a} dire que l'ensemble
des $\lambda$ tels que $\chi_{\lambda}$ ne soit pas mesurable est
n{\'e}gligeable au sens de la d{\'e}finition \ref{negligeable}). Les ensembles
$\chi_{\lambda}$ s'appellent ``ensembles de niveau'' de la fonction $f$. Nous
nous int{\'e}ressons au cas o{\`u} $n=2$, et o{\`u} la fonction $f$ repr{\'e}sente une
``image naturelle''. C'est {\`a} dire que nous supposons que la lumi{\`e}re issue
d'une sc{\`e}ne est projet{\'e}e sur un plan face {\`a} cette sc{\`e}ne (au moyen
d'instruments optiques) et que pour chaque point $x$ de ce plan, la valeur
$f(x)$ est la quantit{\'e} de lumi{\`e}re re{\c c}ue en ce point. On suppose que de telles
fonctions sont born{\'e}es. Ces fonctions sont tr{\`e}s oscillantes, comme en
t{\'e}moigne la figure \ref{line}. Cette figure repr{\'e}sente d'une part la
fonction $f$ en associant {\`a} chaque point $x$ du plan un gris d'autant plus clair
que $f(x)$ est grand (le minimum de $f$ correspond au noir et son maximum au
blanc), et d'autre part le graphe de la fonction $f$ ({\`a} chaque point $x$
correspond une altitude proportionnelle {\`a} $f(x)$) dont l'aspect
tridimensionnel est simul{\'e} par un algorithme de visualisation. Les
oscillations sont principalement dues aux nombreux d{\'e}tails pr{\'e}sents dans une
telle sc{\`e}ne, ainsi qu'aux perturbations al{\'e}atoires introduites par
l'appareil optique (le ``bruit''). Une autre fa{\c c}on d'appr{\'e}hender
l'irr{\'e}gularit{\'e} d'une telle fonction consiste {\`a} en tracer les ensembles de
niveau, ce qui est fait sur la figure \ref{line}. Cette figure montre les
fronti{\`e}res de quelques ensembles de niveau de la fonction $f$. On
remarquera notamment les tr{\`e}s fortes oscillations de ces lignes. Cependant,
les ensembles qui ne sont pas mesurables au sens de Lebesgue constituent de
v{\'e}ritables cas pathologiques, et les images sont habituellement suppos{\'e}es
mesurables.

\begin{figure}
\begin{center}

\includegraphics[width=6cm]{montre.ps}
\includegraphics[width=11cm]{montre3D.ps}
\includegraphics[width=8cm]{montre_cub.ps}

\end{center}
\caption{Haut: repr{\'e}sentation de la fonction $f$ par niveaux de gris ({\`a} chaque
point est affect{\'e} un gris d'autant plus clair que la valeur de $f$ y est
grande); milieu: repr{\'e}sentation de $f$ par son graphe ({\`a} chaque
point est affect{\'e} une altitude d'autant plus {\'e}lev{\'e}e que la valeur de $f$ y est
grande); bas: quelques lignes de niveau (fronti{\`e}res des ensembles de niveau) de
la fonction $f$ (sur un sous-domaine)}
\label{line}
\end{figure}




\chapter{Les espaces de Lebesgue, $L^1$, $L^p$, $L^\infty$}

On appelle, pour $1\leq p<\infty$, $L^p(\RR^N)$ l'ensemble des fonctions d\e
finies presque partout et telles que $$\int_{\RR^N}|f(x)|^p dx<\infty.$$
On appelle $L^\infty(\RR^N)$ l'espace des fonctions d\e finies presque partout
et telles qu'il existe $C>0$ tel que $|f(x)|\leq C$  pour presque tout $x$.  La
plus petite constante $C$ pour laquelle cette relation est vraie s'appelle le
``sup essentiel'' de $|f(x)|$ et on le note $||f||_{L^\infty}.$   On dit  que
$f$ est "essentiellement born\e e."
\dexer  V\e rifier que les espaces
$L^1$ et
$L^\infty$ sont des espaces vectoriels norm\e s: leurs normes sont
$$||f||_{L^1}=\int |f(x)|dx \hbox{ et } \;
||f||_{L^\infty}=\hbox{supess}_{x\in\RR^N}|f(x)|.$$
\fexer
On  note parfois ces normes $||f||_1$ et $||f||_\infty$. On va aussi poser pour
$1<p<\infty$
$$||f||_p =||f||_{L^p}=(\int |f(x)|^pdx)^\frac 1 p,$$
mais il faudra montrer que c'est une norme. On montrera aussi que les espaces
$L^p$ sont complets et donc des espaces de Banach.  On pose $p' = \frac{p}{p-1}$,
en sorte que $\frac 1 p + \frac 1{p'} =1$. On appelle $p'$ "l'exposant conjugu\e
" de $p$.  On va aussi montrer dans ce chapitre que les espaces $L^p$ et $L^{p'}$
sont duaux l'un de l'autre.
\begin{thf}\label{hoelder} (In\e galit\ea de H\ooo lder)\index{In\e galit\ea de
H\ooo lder} Pour tout $f\in L^p$ et $g\in L^{p'}$, la fonction $fg$ est sommable
et
$$\int |fg|\leq ||f||_p||g||_{p'}.$$
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
On utilise la concavit\ea du logarithme.  Si $a>0$, $b>0$,
$$\log(\frac 1 p a^p + \frac 1{p'}b^{p'})\geq \frac 1 p \log(a^p) +\frac 1 {p'}\log
(b^{p'})=\log (ab). \hbox { D'o\u  }$$
$$ab \leq \frac 1 p a^p +\frac 1 {p'}b^{p'} \hbox {  et donc  }$$
$$|f(x)g(x)|\leq \frac 1 p |f(x)|^p + \frac 1{p'}|g(x)|^{p'}, \hbox{ qui donne }$$
$$\int |f(x)g(x)|\leq \frac 1 p ||f||^p_{L^p} + \frac 1{p'}||g||_{L^{p'}}^{p'}.$$
Pour trouver l'in\e galit\ea recherch\e e, on remplace le couple $(f, g)$ par
$(\lambda f, \frac g \lambda), $ o\u $\lambda >0.$ On choisit
$$\lambda = \frac {||g||_{p'}^\frac 1 p} {||f||_p^\frac 1{p'}}. \hbox{ Alors }$$
$$\int |fg|\leq (\frac 1 p +\frac 1{p'})||f||_p||g||_{p'},$$
qui est bien l'in\e galit\ea annonc\e e.
\enddemo
\dexer \label{holdertoujoursvrai}
Reprendre brièvement la démonstration précédente pour se débarrasser de l'hypothèse que
$f\in L^p$ et $g\in L^{p'}$.  En d'autres termes, l'inégalité de Hölder est vraie, que les membres
gauche et de droite soient finis ou pas.
\fexer
\begin{thf} \index{Norme de $L^p$}
$L^p(\RR^N)$ est un espace vectoriel et $||f||_p$ est une norme pour tout
$1< p<\infty.$
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration} On applique l'in\e galit\ea de H\ooo lder :
$$||f+g||_p^p=\int |f+g|^p \leq \int |f+g|^{p-1}|f| + \int |f+g|^{p-1}|g|\leq$$
$$|| |f+g|^{p-1}||_{p'}||f||_p + || |f+g|^{p-1}||_{p'} ||g||_p =
(||f||_p + ||g||_p)||f+g||_p^{p-1},$$
soit $||f+g||_p \leq ||f||_p +  ||g||_p$.  Les autres relations caract\e risant
une norme ($||\lambda f|| = |\lambda| ||f|| $, $||f||=0 \Rightarrow f=0$ presque
partout) sont imm\e diates pour $1\leq p\leq \infty$.
\enddemo
\begin{pro} {\bf Convergence dominée dans $L^p$}.  Si $f_n\to f$ p.p. et s'il existe un
chapeau intégrable $g\in L^p$ ($p\geq 1$) tel que $|f_n|\leq g$ p.p., alors $f_n$ converge vers
$f$ dans $L^p$.
\end{pro}
\paragraph{Démonstration}
On   pose $h_n=|f_n-f|^p.$  Alors $|h_n|\leq (|f_n|+|f|)^p\leq 2^p |g|^p$.
On peut donc appliquer
le théorème de la convergence dominée à $h_n$ et conclure que $h_n\to 0$.
\enddemo

\begin{thf} \index{Compl\e tude des $L^p$}
Les espaces $L^p(\RR^N)$,  ($1\leq p\leq +\infty$) sont  des espaces de Banach.
\end{thf}

\paragraph{D\e monstration}
Soit $h_k$ une suite de Cauchy dans $L^p$.  Si $p=+\infty$, il est imm\e diat de
voir que $h_k(x)$ est de Cauchy pour presque tout $x$ et converge uniform\e ment
vers une fonction essentiellement born\e e $h(x)$.  Soit maintenant $1\leq
p<\infty.$ Il existe
 une suite extraite de la suite de Cauchy $h_k$, que nous noterons par commodit\ea
$f_n=h_{k_n}$, telle que
$$q, r \geq n \Rightarrow
||f_q-f_r||_{L^p}\leq \frac 1 {2^n}.$$
On pose $g_n(x) = \sum_1^n |f_{k+1}(x)-f_k(x)|$.  La suite de fonctions $g_n(x)^p
$ est croissante.  Notons $g(x)^p$ sa limite. Par l'in\e galit\ea
triangulaire,
$$\int |g_n|^p\leq (\sum_1^n ||f_{k+1}-f_k||_p)^ p\leq 1.$$ Donc, par le
th\e or\ee me de convergence monotone,
$$\int |g(x)|^p = \lim_n \int |g_n|^p \leq 1.$$
Il en r\e sulte que $g(x)$ est presque partout finie, appartient \a $L^p$ et
que $g_n(x)$ tend presque partout vers $g(x)$.  Comme (pour $n\geq m$),
$\sum_m^{n}|f_{k+1}-f_k|(x)\leq g_n(x)-g_m(x)$, la s\e rie
$\sum_1^\infty(f_{k+1}-f_k)$ converge \e galement presque partout. Donc
$f_n(x)-f_1(x)$ converge presque partout vers une limite que l'on appelle
$f(x)-f_1(x)\in L^p$.  La suite $f_n(x)$  converge donc presque partout vers
$f(x)\in L^p$. De plus,
$|f_n(x)-f(x)|^p\leq (\sum_n^\infty |f_{k+1}-f_k(x)|)^p\leq g(x)^p$ qui est
chapeau int\e grable.  Donc
$f_n-f$  converge vers 0 dans $L^p$.
  Rappelons que $f_n=h_{n_k}$ est une sous-suite
extraite de la suite de Cauchy $h_k$.  Mais si une sous-suite d'une suite de
Cauchy converge, toute la suite converge.
\enddemo
On a  vu (Propri\e t\ea \ref{densiteCoL^1}) que les fonctions continues \a support
compact forment un sous-ensemble dense de $L^1$.  C'est encore vrai pour les
espaces
$L^p$, avec la restriction
$p<\infty$.

\begin{thf} \label{densiteC0Lp}\index{Densit\ea de ${\cal C}_c$ dans $L^p$}
Les fonctions continues \a support compact sont
denses dans
$L^p(\RR^N)$ pour tout $1\leq p<\infty$.

\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
On commence par montrer que l'on peut approcher une fonction $f$ de $L^p$ par des
fonctions born\e es et \a support compact.   L'approximation se fait par
simple  troncature~: on pose
$f_k(x) = f(x)$ si $||x||\leq k$ et $|f(x)|\leq k$, $f_k(x)=0$ sinon.  La suite
$|f(x)-f_k(x)|^p$ a $|f(x)|^p$ pour chapeau int\e grable et tend presque partout
vers 0. Par le th\e or\ee me de Lebesgue, elle converge donc vers 0 et il en r\e
sulte que  $f_k\to f$ dans $L^p$.

Reste \a montrer que si une fonction $f$ est
born\e e  ($|f|\leq k$) et
\a support compact ($|f(x)|=0$ si $||x||\geq k$), alors elle est approchable dans
$L^p$ par des fonctions continues. Mais comme $f\in L^1$, il existe une suite de
fonctions continues et
\a support compact $f_n$ convergeant vers $f$ dans $L^1$. Quitte \a extraire une
sous-suite, on peut suppposer que la suite $f_n$ converge presque partout vers $f$
(r\e ciproque du th\e or\ee me de Lebesgue). En rempla\c cant $f_n$ par la
nouvelle fonction continue
$\max(-k, \min(k, f_n(x))$, qui converge aussi presque partout vers $f$ et a
un chapeau int\e grable, on peut finalement supposer que $|f_n(x)|\leq k$.
Utilisons une
 fonction $g$ continue  et \a support compact   valant 1 sur $B(0,k)$. La suite
de fonctions
$h_n=gf_n $ converge presque partout vers $f$ et a la fonction born\e e
$k\indic_{B(0,k)}g$ comme chapeau int\e grable dans tout $L^p$.  Elle converge donc
vers
$f$ dans tous les $L^p$ tels que $1\leq p<\infty$.
\enddemo
\begin{cor} \label{orthogonalaCcimpliquenul}
Soit $f\in L^1_{loc}(\RR^N)$ telle que pour toute fonction continue \a support
compact $u\in {\cal C}_c(\RR^N)$ on ait $\int f(x)u(x)=0$.  Alors $f=0$ p.p.
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
En reprenant exactement le m\eee me raisonnement que dans la d\e monstration pr\e
c\e dente, on voit qu'il existe pour toute boule
$B(0,R)\subset
\RR^N$ une suite $u_n\in {\cal C}_c(B(0,R+1))$ qui converge vers $\signe(f)$ dans
$L^1(B(0,R))$ et presque partout et v\e rifie $|u_n|\leq 1$.  Il vient alors
$$0=\int_{B(0,R)}f(x)v_n(x)\to
\int_{B(0,R)}f(x)\signe(f(x))=\int_{B(0,R)}|f(x)|dx.$$
Donc $f=0$.

\enddemo


\begin{thf} \index{Uniforme continuit\ea  en moyenne des fonctions de $L^p$}
Pour tout $f\in L^p(\RR^N),$ $1\leq p<\infty,$ on a
$$\lim_{y\to 0}\int_{\RR^N}|f(x+y)-f(x)|^pdx = 0.$$
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration} : Exercice.
C'est vrai pour les fonctions continues \a support compact car elles sont
uniform\e ment continues et on le montre pour une fonction arbitraire de
$L^p(\RR^N)$ en utilisant la densit\ea de ${\cal C}_c$ dans $L^p$ (Proposition
\ref{densiteC0Lp}).

\enddemo
\section{Convolution et r\e gularisation des fonctions de $L^p$}

\begin{thf} {\bf et d\e finition} \index{Convolution de deux fonctions de $L^1$}
Si
$f$ et
$g$ appartiennent
\a
$L^1(\RR^N)$, alors le produit de convolution $f\ast g$ est d\e fini par
$$(f\ast g)(x)=\int f(x-y)g(y)dy = \int g(x-y)f(y)dy,$$
la fonction de $y$ figurant sous le signe somme \e tant sommable pour presque
tout $x$.  En outre, la fonction $f\ast g$ appartient \a $L^1$ et on a
$$||f\ast g||_1\leq ||f||_1||g||_1.$$
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
On montre d'abord en appliquant le th\e or\ee me de Fubini et le th\e or\ee me de
changement de variable que la fonction $|f(x-y)g(y)|$ est sommable.  En effet,
$$\int\int |f(x-y)g(y)|dxdy=\int |g(y)|(\int |f(x-y)|dx)dy=$$
$$
\int |g(y)|(\int
|f(x)|dx)dy=||f||_{L^1}||g||_{L^1}.$$
La fonction $f(x-y)g(y)$ est donc sommable sur $\RR^{2N}$ et le th\e or\ee me
de Fubini assure que la fonction $y\to f(x-y)g(y)$ est sommable pour presque tout
$x$ et que la fonction alors d\e finissable par $f\ast g(x)=\int f(x-y)g(y)dy$
est elle-m\eee me sommable sur $\RR^N$. On a finalement
$$||f\ast g||_{L^1}=\int |f\ast g|(x)dx\leq\int |g(y)|(\int
|f(x-y)|dx)dy=||f||_{L^1}||g||_{L^1}.$$
\enddemo
%
%\dexer \index{Associativit\ea (de la convolution)}D\e montrer en appliquant le
%th\e or\ee me de Fubini que le produit de convolution est associatif,
%$$(f\ast g)\ast h= f\ast (g\ast h).
%$$
%On montrera que la fonction
%$(y,z)\to f(x-y)g(y-z)h(z)$ est sommable dans $\RR^{2N}$ et on calculera son
%int\e grale de deux mani\ee res diff\e rentes.
%\fexer
\begin{thf} {\bf (r\e gularisation par
convolution)}\label{regularisationparconvolution}\index{R\e gularisation par
convolution} Soit
$f\in L^1(\RR^N)$ et soit
$g$ une fonction continue et born\e e dans
$\RR^N$.  Alors la fonction $f\ast g$ d\e finie \underline{en tout point} par
$f\ast g (x)= \int g(x-y)f(y)dy$ est continue et born\e e. Si de plus les d\e
riv\e es partielles de $g$ existent et sont continues et born\e es, il en est de
m\eee me pour $f\ast g$ et l'on a
$$\frac{\partial(f\ast g)}{\partial x_j} = f\ast \frac{\partial g}{\partial x_j},
\; \; \frac{\partial(f\ast g)} {\partial x_j\partial x_k} = f\ast \frac{\partial
g}{\partial x_j\partial x_k},\; ...
$$
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
On remarque d'abord que la fonction $g(x-y)f(y)$ est sommable pour tout $x$.  En
effet, $|g(x-y)f(y)|\leq ||g||_{\infty}|f(y)|$. La continuit\ea d\e coule du th\e
or\ee me de Lebesgue.  En effet, si $x_n\to x$, alors $g(x_n-y)f(y)$ tend partout
vers $g(x-y)f(y)$ et $||g||_\infty |f(y)|$ est chapeau int\e grable.  Donc
$$f\ast g(x_n)=\int g(x_n-y)f(y)dy\to \int g(x-y)f(y)dy=f\ast g(x).$$
Si $g$ est d\e rivable par rapport \a $x_j$ et de d\e riv\e e continue et born\e
e, appliquons le th\e or\ee me de d\e rivation sous le signe somme.  On a
$$\frac {\partial}{\partial x_j}(g(x-y)f(y)) = \frac{\partial g}{\partial
x_j}(x-y)f(y)$$
et cette fonction est major\e e en module par $||\frac{\partial g}{\partial
x_j}||_\infty |f(y)|$, qui est ind\e pendante de $x$ et sommable.  Le th\e or\ee
me de d\e rivation sous le signe somme s'applique donc et donne bien
$\frac{\partial(f\ast g)}{\partial x_j} = f\ast \frac{\partial g}{\partial x_j}$.
\enddemo
\begin{thf} \index{Convolution d'une fonction de $L^1$ avec une fonction
de $L^2$}Soient
$f\in L^1(\RR^N)$ et
$g\in L^2(\RR^N)$. Alors
$(f\ast g)(x)$ est d\e fini pour presque tout $x$ et c'est une fonction de
carr\ea sommable v\e rifiant
\begin{equation}\label{convolutionL1L2}
||f\ast g||_2\leq ||f||_1||g||_2.
\end{equation}
Soient $f$ et $g$ deux fonctions de  $L^2(\RR^N)$.  Alors $f\ast g(x)$ est
d\e fini pour tout $x$ et c'est une fonction continue, tendant vers z\e ro \a
l'infini et satisfaisant

\begin{equation}
\label{convolutionL2L2}
||f\ast g||_\infty\leq ||f||_2||g||_2.
\end{equation}
\end{thf}

\paragraph{D\e monstration} Pour \e valuer
$$
 \int (|f|\ast |g|)^2(x)dx,
$$
on remarque  que cette int\e grale est \e gale gr\aa ce au th\e or\ee me de
Tonelli
\a
\begin{equation}\label{integraleaucarre}
I=\int\int\int |g(x-y)||g(x-z)||f(y)||f(z)|dxdydz.\end{equation}
(int\ee grer $I$  d'abord par rapport
\a
$y$, puis par rapport \a $z$).  On applique \a nouveau le
  le th\e or\ee me de Fubini pour
int\e grer $I$ d'abord en
$x$,  puis on utilise l'in\e galit\ea de Cauchy-Schwarz, ce qui donne
\begin{equation}\label{appliquecauchyschwartz}
I=\int\int |f(y)||f(z)|(\int |g(x-y)||g(x-z)|dx)dydz\leq ||f||_1^2||g||_2^2.
\end{equation}
La relation (\ref{convolutionL1L2}) vient imm\e diatement des relations
(\ref{integraleaucarre}) et (\ref{appliquecauchyschwartz}).


Si maintenant $f$ et $g$ sont de carr\ea sommable, on d\e duit  de  l'in\e
galit\ea de Cauchy-Schwarz que $(f\ast g)(x)$ est d\e fini  pour tout $x$ et on
obtient la relation
(\ref{convolutionL2L2}).  Montrons maintenant que $f\ast g $ est continue et tend
vers z\e ro \a l'infini.  On consid\ee re deux suites approximantes continues \a
support compact $f_n$ et $g_n$ telles que $f_n\to f$ et $g_n \to g$ dans
$L^2(\RR^N)$.
Par le th\e or\ee me \ref{regularisationparconvolution}, $f_n\ast g_n$ est
continue et il est imm\e diat que $f_n\ast g_n$ est encore \a support compact.
Finalement on a, gr\aa ce \a l'in\e galit\ea de Cauchy-Schwarz,
$$|f\ast g(x)-f_n\ast g_n(x)|\leq (|f-f_n|\ast |g|)
(x)+(|f_n|\ast |g-g_n|)(x)\leq$$
$$||f-f_n||_2||g||_2 + ||f_n||_2||g-g_n||_2 \to 0.$$
Donc la suite de fonctions $f_n\ast g_n$, continues et tendant vers z\e ro \a
l'infini, tend uniform\e ment vers $f\ast g$.  Il en r\e sulte que $f\ast g$ est
continue et tend vers z\e ro \a  l'infini.
\enddemo

\begin{Def}  \index{Support d'une fonction} Si $f\in L^1_{loc}(\RR^N)$, on
appelle support de $f$ et on note
$\supp(f)$ le compl\e mentaire du plus grand ouvert $O$ tel que  $f(x)
=0$ presque partout sur $O$.  Le support de $f$ est donc un ferm\e .  S'il est de
plus born\e , on dit que $f$ est
\a support compact.
\end{Def}
\begin{pro}\label{supportdeconvolution}\index{Support de la convol\e e de deux
fonctions} Si
$f$ et
$g$ sont deux fonctions de
$L^1(\RR^N)$,
$$\supp(f\ast g) \subset \overline{\supp(f)+\supp(g)}.$$
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
Soit $x\notin \supp(f)+\supp(g)$, alors $(x-\supp(f))\cap \supp (g)=\emptyset$ et
donc
$$(f\ast g)(x)=\int f(x-y)g(y)dy=\int_{(x-\supp(f))\cap \supp(g)}f(x-y)g(y)dy=0.$$
Donc $(f\ast g)(x)=0$ en tout point n'appartenant pas \a $\supp(f)+\supp(g)$ et
donc aussi en tout point n'appartenant pas \a sa fermeture
$\overline{\supp(f)+\supp(g)}$,
ce qui donne le r\e sultat.
\enddemo
\begin{thf} (Approximations de l'identit\e
)\index{Approximation de l'identit\ea }\label{approximationsidentite}  Soit
$k\in L^1(\RR^N)$ telle que
$\int k(x)dx =1$ et $k(x)\geq 0$ presque partout.  On pose pour tout $h>0$,
$$k_h(x) = h^{-N}k(\frac x h).$$
Alors, pour toute fonction $f\in L^p(\RR^N)$, $1\leq p<\infty$, les fonctions
$f\ast k_h$ convergent vers $f$ dans $L^p$.
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
On remarque d'abord que
\fb&
\label{convol0}  \int k_h(x)dx=\int k(x)dx=1,
\fe&
\fb& \label{convol1}
k_h \ast f (x) -f(x) = \int( k_h(y)(f(x-y) -f(x))dy,
\fe&
on rappelle que comme $f\in L^p$, on peut choisir $\eta$ assez petit pour
que
\fb&
\label{convol2}
|y|\leq \eta \Rightarrow\int |f(x-y)-f(x)|^pdx \leq \varepsilon
\fe&
et que (une cons\e quence du th\e or\ee me de Lebesgue), pour $h$ assez
petit,
\fb&  \label{convol3}
\int_{|y|\geq \eta}|k_h(y)|dy\leq  \varepsilon
\fe&
Enfin, l'inégalité de Hölder et le fait que $k_h\geq 0$,
$\int k_h=1$ impliquent que pour toute fonction $f$ dans $L^p$, on ait
\fb&  \label{convol4}
(\int k_h(x)|f(x)|dx)^p\leq \int k_h(x)|f(x)|^pdx.
\fe&
En effet,
$$(\int k_h|f|)^p=(\int|f|k_h^\frac 1p k_h^frac 1{p'})^p.$$
En utilisant les relations (\ref{convol0})-(\ref{convol4}) et le th\e
or\ee me de Fubini,
$$\int |k_h \ast f (x) -f(x)|^pdx=\int|\int ( k_h(y)(f(x-y)
-f(x))dy|^pdx \leq
\int\int  k_h(y)|f(x-y)-f(x))|^pdydx \leq$$
$$2^p\int |f(x)|^pdx\int_{|y|\geq \eta}|k_h(y)|dy+\int_{|y|\leq \eta}|k_h(y)|dy\int
|f(x-y)-f(x)|^pdx\leq$$
$$2^p||f||_{L^p}^p\varepsilon + \int |k_h(y)|\varepsilon =
(2^p||f||_{L^p}^p+||k||_{L^1})\varepsilon.
$$
\enddemo
\dexer Reprendre la d\e monstration pr\e c\e dente dans le cas $p=1$ et montrer
que l'on peut se passer de l'hypoth\ee se que $k$ est positive.
\fexer
\begin{pro}  \label{convergenceversdelta}\index{Approximation par convolution
des fonctions uniform\e ment continues} Si $f$ est uniform\e
mement continue et born\e e sur $\RR^N$, alors $f\ast k_h$ converge vers $f$
uniform\e
ment.
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
C'est le m\eee me raisonnement, en plus simple que pour le th\e or\ee me
\ref{approximationsidentite} : On
\e crit simplement
$$|(k_h\ast f)(x)-f(x)|=|\int k_h(y)|f(x-y)-f(x))dy|$$
$$
\leq 2\sup|f|\int_{|y|\geq
\eta}|k_h(y)|dy+\sup_{|y|\leq \eta} |f(x-y)-f(x)|\int|k_h(y)|dy.$$
\enddemo
\begin{cor}\index{Nullit\ea (d'une fonction de $L^1$ orthogonale \a ${\cal C}_c$)}
 \label{densiteC0infiniCc}Soit $\Omega$ un ouvert de $\RR^N$.
On appelle ${\cal C}_0^\infty(\Omega)$ l'ensemble des fonctions ${\cal C}^{\infty}$
\a
support
compact dans $\Omega$ et on munit ${\cal C}_c(\Omega)$, l'espace des fonctions
continues
\a support compact dans $\Omega$, de la topologie suivante : on dit que
$u_n$ tend vers $u$ si pour tout $\varepsilon>0$ il existe $n_0$ tel que pour
$n\geq n_0$, on ait $\support(u_n)\subset \support (u)+B(0,\varepsilon)$ et
$\sup_{x\in \Omega} |u_n(x)-u(x)|< \varepsilon$.  Alors ${\cal C}_0^\infty(\Omega)$
est
dense dans
${\cal C}_c(\Omega)$.
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
Si $f\in {\cal C}_c(\Omega)$, alors elle est uniform\e ment continue et $k_h\ast f$
tend
vers
$f$ uniform\e ment. De plus, par la proposition \ref{supportdeconvolution},
$\support (k_h\ast f)\subset
\support (f) +B(0,h)$. Donc
$k_h\ast f$ tend bien vers $f$ dans ${\cal C}_c(\Omega)$. Enfin, par le th\e or\ee
me
\ref{regularisationparconvolution}, on a bien $k_h\ast f\in {\cal C}^{\infty}$.
\enddemo

Pour compl\e ter la d\e monstration pr\e c\e dente, il nous reste \a montrer
qu'il existe des fonctions ${\cal C}^{\infty}$ \a support compact.
\begin{lem}\label{Cinfiniasupportcompact}\index{Fonctions ${\cal C}^{\infty}$ \a
support
compact}  Il existe une fonction
$f_N\in {\cal C}^{\infty}(\RR^N),$
\a support compact,
 positive et de support contenu dans $\overline{B}(0,1)$.
\end{lem}
\paragraph{D\e monstration} On pose simplement, en dimension 1, $f_1(x)=e^{\frac
1 {x^2-1}}$  si $|x|\leq 1$, $f(x)=0$ sinon.  Il est
facile de voir que $f^{(k)}(-1)=f^{(k)}(1)=0$ pour tout ordre $k$ et que donc $f$
est ${\cal C}^{\infty}$.   En dimension $N$, on pose simplement $g_N(x_1,...,
x_N)=f_1(x_1)...f_N(x_N)$ qui est a support dans l'hypercube $[-1,1]^N$ puis
$f_N(x) = g_N(2\sqrt N x)$ pour ramener le support dans $B(0,1)$.
\enddemo


\dexer \index{Fonctions ${\cal C}_0^\infty$ radiales}Construire une fonction
radiale
$f_N\in {\cal C}^{\infty}(\RR^N)$ telle que
$f_N(x)=1$ si
$|x|\leq 1$, $f_N(x) = 0$ si $|x|\geq 2$.
\newline (i) Commencer par le cas de la dimension 1 : Soit $f$ une fonction
 positive, ${\cal C}^{\infty} $, \a support compact dans $[-1,1]$ et d'int\e grale
1.
On
peut construire une telle fonction par le lemme
\ref{Cinfiniasupportcompact}.  Poser
$h(x) = f_1(x+3) - f_1(x-3)$, puis $g(x) = \int_{-\infty}^x h(t)dt$. Dessiner
$h(x)$ et $g(x)$, montrer que $f_1(x)= h(2x)$ r\e pond \a la question en
dimension 1.
\newline (ii) Montrer que $f_N(x)= f_1(||x||)$ convient en dimension $N$.
\fexer

\begin{pro}\label{densiteCinfiniL1deomega}\index{Densit\ea de
${\cal C}_0^\infty(\Omega)$ dans $L^p(\Omega)$} Soit $\Omega$ un ouvert de $\RR^N$.
Alors
${\cal C}_0^\infty(\Omega)$ est dense dans
$L^p(\Omega)$ pour tout $1\leq p<\infty.$
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}  On consid\ee re les voisinages int\e rieurs born\e s de
$\Omega$,
$\Omega_r=
\{x,B(x,r)\subset \Omega\}\cap B(0, \frac 1 r).$  Comme $\Omega = \cup_{r>0}\Omega_r,$ on a par le th\e
or\ee me de Lebesgue
$$\forall\varepsilon\exists r,\;
\int_{\Omega}|f(x)-f(x)\indic_{\Omega_r}|^pdx<\varepsilon^p.$$  On choisit alors
$r'<r$ tel que $$||(f\indic_{\Omega_r})\ast
k_{h_{r'}}-f\indic_{\Omega_r}||_{L^p(\Omega)}<\varepsilon.$$
On obtient donc $||f-(f\indic_{\Omega_r})\ast
k_{h_{r'}}||_{L^p(\Omega)}<2\varepsilon$. Comme
$r'<r$,  le lemme \ref{supportdeconvolution} et  le th\e or\ee
me
\ref{regularisationparconvolution} impliquent que
$(f\indic_{\Omega_r})\ast h_{r'}\in {\cal C}_0^\infty(\Omega).$
\enddemo



\begin{thf} (Riesz-Fr\e chet-Kolmogorov)\index{Riesz-Fr\e chet-Kolmogorov (th\e
or\ee me de compacit\ea de)}
\label{rieszfrechetkolmogorov}
Soit $\Omega\subset \RR^N$ un ouvert et $\omega\subset\subset \Omega$ un ouvert
contenu dans un compact, lui m\eee me contenu dans $\Omega$.  Soit $\cal F$ un
sous-ensemble born\ea de $L^p(\Omega)$ avec $1\leq p<\infty$. On suppose que
$$\forall \varepsilon>0, \exists \delta<\hbox{dist}(\omega, \Omega^c),
\; \forall f\in{\cal F},\forall h<\delta,\; ||\tau_h
f-f||_{L^p(\Omega)}<\varepsilon.$$
Alors $\cal F$ est relativement compacte dans $L^p(\omega)$. (Toute suite
$f_n\in \cal F$ a une sous-suite convergente dans $L^p(\omega)$).
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
On consid\ee re  des noyaux r\e gularisants $\rho_r, r>0$ tels que\linebreak
$\int \rho_r(x)dx=1$, $\rho\geq 0$, $\hbox{support}(\rho)\subset B(0, r)$.
On commence par montrer que le th\e or\ee me d'Ascoli-Arzela s'applique \a la
famille $(\rho_r\ast f), f\in \cal F$. En effet, si $f\in \cal F$ et
$|z|, r\leq \frac 1 2\hbox{dist}(\omega, \Omega^c)$, $x\in \omega$, on a par l'in\e
galit\ea de H\ooo lder,
$$|(\rho_r\ast f)(x+z)-(\rho_r\ast f)(x)|\leq \int \rho_r(y)|f(x-y)-f(x-y+z)|dy
\leq ||\rho_r||_{L^{p'}}^{p'}||\tau_z f-f||_{L^p(\Omega)}.$$
La famille $\rho_r\ast f $ est donc \e quicontinue sur $\omega$. Montrons que
la famille $\rho_r\ast f(x)$ est born\e e.  En  reprenant les calculs pr\e c\e
dents on a aussi pour $r< \frac 1 2\hbox{dist}(\omega, \Omega^c)$,
$$|\rho_r\ast  f(x)|\leq \int \rho_r(y)|f(x-y)|dy
\leq ||\rho_r||_{L^{p'}}^{p'}||f||_{L^p(\Omega)}.$$
On conclut que la famille $\rho_r\ast \cal F$ est relativement compacte pour la
topologie de la convergence uniforme sur $\omega$ et donc aussi pour la norme
$L^p(\omega)$, $\omega $ \e tant born\e .

On   montre ensuite que l'on peut approcher \underline {uniform\e ment} les
\e l\e ments de $\cal F$ par les fonctions $\rho_r\ast f$. On choisit
$r<\hbox{dist}(\omega, \Omega^c),$ de sorte que $\omega+B(0,r)\subset \Omega$. En
utilisant la convexit\ea de la fonction
$s\to s^p$,
$$|\rho_r\ast f(x)-f(x)|\leq \int_\omega \rho_r(y)|f(x-y)-f(x)|dy\leq
(\int_\omega \rho_r(y)|f(x-y)-f(x)|^pdy)^\frac 1 p$$
ce qui donne
$$|\rho_r\ast f(x)-f(x)|^p\leq \int_{B(0,r)}\rho_r(y)|f(x-y)-f(x)|^pdy.$$
Par le th\e or\ee me de Fubini-Tonelli et si $r<\delta(\varepsilon)$, on obtient
\fb& \label{approximationuniforme}
\int_\omega |\rho_r\ast f(x)-f(x)|^pdx\leq
\int_{B(0,r)}\rho_r(y)||\tau_yf-f||_{L^p(\Omega)}^pdy\leq \varepsilon^p.
\fe&
%
Pour conclure, on montre que la famille $\cal F$ peut \eee tre pour tout
$\varepsilon$ recouverte par un nombre fini de boules  de
rayon arbitrairement petit. On commence par recouvrir la famille $\rho_r\ast f$ par
des boules en nombre fini
$B(f_i\ast \rho_r, \varepsilon )$.  Gr\aa ce \a
(\ref{approximationuniforme}), on en d\e duit que $\cal F$ est recouverte par les
boules en nombre fini $B(f_i, \varepsilon+2\varepsilon^p)$. En effet, si $f\in
\cal F$, il existe $i$ tel que $\rho_r\ast f\in B(\rho_r\ast f_i, \varepsilon)$
et on a donc $$||f-f_i||\leq ||\rho\ast f-\rho\ast f_i||+||\rho\ast
f-f||+||\rho\ast f_i-f_i||\leq \varepsilon + 2\varepsilon^p.$$
\enddemo
\\ \\
\section{Exercices}
{ \bf Exercice 1} (Th{\'e}or{\`e}me de Weierstrass)
\\ \\
Soit $Q_n(t) = c_n (1 -t^2)^n$ sur $[-1,1]$ o{\`u} $c_n$ est choisi pour que
$\int_{-1}^1 Q_n dt =1$.\\
1) V{\'e}rifier que
$$\int_0^1 (1-t^2)^n dt \geq \int_0^{\frac{1}{\sqrt{n}}} (1 - nt^2) dt,$$
et en d{\'e}duire que $c_n < \sqrt{n}$. (Faire un dessin.)\\
2) Soit $f \in {\cal C}([0,1],\RR)$, on suppose que $f(0)=f(1)=0$. On prolonge $f$
et $Q_n$ par $0$ {\`a} $\RR$ tout entier et on pose $P_n(x) = f \ast Q_n(x)$ pour $x
\in [0,1]$.\\
V{\'e}rifier que $P_n$ est polynomial et montrer que $P_n$ converge vers $f$
uniform{\'e}ment sur $[0,1]$.\\
3) Montrer que les polyn{\^o}mes {\`a} coefficients r{\'e}els sont denses dans ${\cal
C}([0,1],\RR)$.
\\ \\
{ \bf Exercice 2}
\\ \\
1) Soit $\chi_n(x) = \frac{1}{2n}$ sur $[-n,n]$, $\chi_n(x) = 0$ ailleurs.
Etudier sa
limite dans $L^1(\RR)$ et dans $L^2(\RR)$ quand $n \rightarrow +\infty$.\\
2) Utiliser cette suite de fonctions pour montrer que
$$\{ f \in L^1(\RR)\cap L^2(\RR) : \int_{\RR} f(x)\;dx = 0 \}$$
est dense dans $L^2(\RR)$.
\\ \\
{ \bf Exercice 3} Propri{\'e}t{\'e} d'absolue continuit{\'e} de l'int{\'e}grale
\\ \\
Soit $\Om$ un ouvert de $\RR^N$, montrer que
$ f \in L^1(\Om) \Longrightarrow \forall \ep > 0,\,\exists\delta>0,$ si A est
mesurable et $\vert A \vert \leq \delta$ alors $\int_A \vert f \vert dx \leq
\ep.$\\
(Le faire d'abord pour une fonction born{\'e}e et passer au cas g{\'e}n{\'e}ral.)
\\ \\
{ \bf Exercice 4} (J.M.Bony, Ecole Polytechnique)
\\ \\
Soit $g \in L^1(\RR)$ et soit f d{\'e}finie sur $\RR$. On pose, $\forall n \geq 1$,
(lorsque cela a un sens),
$$ T_n(f)(x) = \int_{\RR} f(x-y^n) g(y) dy.$$
1) si $f \in L^1(\RR)$, montrer que $T_n(f)$ est d{\'e}finie p.p. et $T_n(f) \in
L^1(\RR)$.\\
2) Si f est continue et born{\'e}e, montrer que $T_n(f)$ est continue et
born{\'e}e.\\
3) Si f est continue et $f(x) \longrightarrow 0$ quand $\vert x \vert \rightarrow
+\infty$, montrer que $\forall x$, $T_n(f)(x) \longrightarrow C\;f(x)$ o{\`u} C est
une
constante {\`a} d{\'e}terminer.
\\ \\
\\ \\
{ \bf Exercice 5}
\\ \\
On admet le r{\'e}sultat suivant (d{\^u} a Shauder, voir Rudin, functional analysis)
:\\
Soit $E$ un espace de Banach, soit $K \subset E$ un compact et soit $T : E
\rightarrow K$ une application continue alors $\exists x \in K$ tel que $Tx =
x$.\\
Soit $E = {\cal C}[0,1]$ muni de $\Vert \,\; \Vert_{\infty}$, montrer qu'il existe
$f \in E$ telle que $\forall x \in [0,1]$,
$$f(x) = \int_0^1 \sin(x+f^2(t)) dt.$$
\\ \\
{ \bf Exercice 6}
\\ \\
On note $\star$ le produit de convolution.\\
Montrer que $(L^1(\RR),+,\star)$ est une alg{\`e}bre de Banach commutative qui ne
poss{\`e}de pas d'{\'e}l{\'e}ment neutre pour $\star$.
\\ \\
{ \bf Exercice 7} R\e ciproque du Th{\'e}or{\`e}me de convergence domin\e e
\\ \\
Si $f_n \longrightarrow f$ dans $L^1$, montrer qu'il existe une sous-suite
$f_{n_k}$
de
la suite
$f_n$ qui converge p.p. vers $f$ et un chapeau int{\'e}grable $h$ tel que $\forall
k$,
$\vert
f_{n_k}(x) \vert \leq h(x)$ p.p.
\\ \\
{ \bf Exercice 8}
\\ \\
On note $\Gamma(x) = \int_0^{+\infty} e^{-t}\, t^{x-1} dt$. Montrer que $\Gamma$
est
${\cal C}^{\infty}$ sur $\RR^{+\star}$.
\\ \\
{ \bf Exercice 9}
\\ \\
1)Soit $f \in L^p \cap L^q$ avec $p<q$. Montrer que
$$ {\Vert f \Vert}_r \leq {\Vert f \Vert}_p^{\theta}\,
\, {\Vert f \Vert}_q^{1-\theta}, \mbox{ o{\`u} } \frac{1}{r} = \frac{\theta}{p} +
\frac{1-\theta}{q},$$
avec $\theta \in [0,1]$ et donc $f \in L^r$, $\forall r \in [p,q]$.\\
2) Soit E un sous-espace vectoriel ferm{\'e} de $L^1$ tel que $E \subset \bigcup_{1<
q \leq +\infty}
L^q$. On va
montrer que $\exists p > 1$ tel que $E \subset L^p$ avec injection continue.
On consid\ee re
les ensembles $E_n = \{ f \in E \cap L^{1+\frac{1}{n}},\,{\Vert f
\Vert}_{1+\frac{1}{n}}
\leq\,n\}$).\\
2a) Montrer que
$\exists n_0$ tel que int$(E_{n_0}) \not= \emptyset$. \\
2b) En d\e duire que $id : E, \Vert\,\Vert_1 \longrightarrow L^{1+\frac{1}{n_0}}$ est
continue.\\
2c) Montrer que $E = \bigcup_n E_n$. \\
2d) Montrer que $\forall n$, $E_n$ est ferm{\'e} dans $(E,\Vert\,\Vert_1)$.
\\ \\
{\bf Exercice 10}
\\ \\
Soit $\Om$ un ouvert born{\'e} de $\RR^N$.\\
1) Soit $f \in L^{\infty}(\Om)$. Montrer que $ \lim_{p \rightarrow \infty}{\Vert f
\Vert}_p = {\Vert f \Vert}_{\infty}$.\\
2) Soit $f \in \bigcap_{1 \leq p < \infty} L^p(\Om)$, on suppose que $\exists C$
telle
que $\Vert f \Vert_p \leq C$, $\forall p$ tel que $1\leq p < \infty$. Montrer que $
f
\in
L^{\infty}(\Om)$.\\
3) Soit $\Om = ]0,1[$ et $f(x) = \log x$, v{\'e}rifier que $f \in \bigcap_{1 \leq p <
\infty} L^p(\Om)$ et que $f \not\in L^{\infty}(\Om)$.
\\ \\
{ \bf Exercice 11}
\\ \\
On notera $L^1(\RR)$ et $L^2(\RR)$ les espaces de Lebesgue usuels, o{\`u} les
fonctions
consid{\'e}r{\'e}es sont {\`a} valeurs complexes. En particulier $L^2(\RR)$ est muni du
produit
scalaire $\int_{\RR} f(x) \overline{g} (x) dx$.\\
Pour $f \in L^1(\RR)$, on notera
$$\widehat {f} (\xi) = \int_{\RR} e^{-ix\xi} f(x) dx.$$
1) Soit $f \in L^1(\RR)$ telle que $\forall p \in \NN$, $\sup_{x\in\RR} \vert x^p
f(x)
\vert < \infty$. On pose $g_k(x) = (-ix)^k f(x)$, montrer que $\ff \in \cinf(\RR)$
et
$\forall k \in \NN$,
$${\ff}\,^{(k)} = \widehat{g_k}.$$
2) Soit $f \in \cinf(\RR)\cap L^1(\RR)$ telle que $\forall k \in \NN$, $f^{(k)} \in
L^1(\RR)$ alors montrer que $\forall k$,
$$ \widehat{f^{(k)}} = (i\xi)^k \ff.$$
Premi{\`e}re partie :\\
On notera $\SLS$ l'espace des fonctions $f$ ind{\'e}finiment d{\'e}rivables sur $\RR$
(et
{\`a}
valeurs complexes), telles que $\forall p,q \in \NN$, $\sup_{x \in \RR} \vert x^p
f^{(q)}(x) \vert < \infty.$ \\
3) Montrer que

$\forall P$ polyn{\^o}me, $\forall f \in \SLS$, $Pf \in \SLS$,

$\forall f \in \SLS$, $f^{\prime} \in \SLS$,

$\SLS \subset L^1(\RR)$.\\
4) Montrer que $f \in \SLS$ $\Longrightarrow$ $\ff \in \SLS$.\\ \\
5) On dit que la suite $(f_n)_n \subset \SLS$ converge vers $0$ dans $\SLS$ si
$$\forall p,q \in \NN,\quad \lim_{n \infty} \left(\sup_{x \in \RR} \vert x^p
f_n^{(q)}(x)
\vert \right) = 0.$$
Montrer que si $f_n \longrightarrow 0$ dans $\SLS$ alors

$f_n^{\prime} \longrightarrow 0$ dans $\SLS$,

$\forall P$ polyn{\^o}me, $Pf_n \longrightarrow 0$ dans $\SLS$,

$f_n \longrightarrow 0$ dans $L^1(\RR)$ et $\widehat{f_n} \longrightarrow 0$ dans
$\SLS$.\\ \\
6) Soit $a>0$ et $\psia(x) = e^{-ax^2}$. V{\'e}rifier que $\psia \in \SLS$ et montrer
que
$$ \widehat{\psia}(\xi) = \sqrt{\frac{\pi}{a}}\; e^{-(\frac{\xi^2}{4a})} \quad
\mbox{et}\quad
\int_{\RR} \widehat{\psia}(\xi) d\xi = 2\pi.$$
7) Soit $f \in \SLS$, on veut montrer la formule d'inversion suivante
$$\forall x \in \RR,\qquad f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{\RR} e^{ix\xi} \ff(\xi)
d\xi.$$

a) Soit $\Phi \in \SLS$, montrer que $\forall x \in \RR$,
$$(\star) \quad \int_{\RR} e^{ix\xi} \ff \, {\Phi} d\xi = \int_{\RR}
\widehat{\Phi}(y) f(x+y) dy.$$

b) Soit $\Phi_0 \in \SLS$ donn{\'e}e, choisir $\Phi(t) = \Phi_0(\ep t)$ o{\`u} $\ep >0$
dans
($\star$) et montrer que
$$\Phi_0(0) \int_{\RR} e^{ix\xi} \ff(\xi) d\xi = f(x) \int_{\RR}
\widehat{\Phi_0}(y)
dy.$$

c) Conclure.\\ \\
Deuxi{\`e}me partie :\\
8) V{\'e}rifier que $\SLS$ est dense dans $L^2(\RR)$.\\
9) Soient $\vfi$ et $\psi$ dans $\SLS$, montrer que
\begin{eqnarray*}
a)& &\int_{\RR} \widehat{\vfi} \,\psi\, dx = \int_{\RR} \vfi \,\widehat{\psi}\,
d\xi.\\
b)& & \int_{\RR} \vfi\, \overline{\psi}\, dx = \frac{1}{2\pi} \int_{\RR}
\widehat{\vfi}
\,
\overline{\widehat{\psi}} \,d\xi.\\
c)& & \widehat{\vfi\ast\psi} = \widehat{\vfi}\,\widehat{\psi}.
\end{eqnarray*}
10) D{\'e}montrer le r{\'e}sultat suivant :\\
Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels norm{\'e}s, $F$ complet, et $G$ un
sous-espace
vectoriel dense dans $E$. Si $A$ est un op{\'e}rateur lin{\'e}aire continu de $G$ dans
$F$
alors il existe un prolongement unique $\tilde{A}$ lin{\'e}aire continu de $E$ dans
$F$
et
$\Vert \tilde{A} \Vert = \Vert A \Vert$.\\
11) Si on note ${\cal F}$ l'application d{\'e}finie sur $\SLS$, {\`a} valeurs dans
$L^2(\RR)$,
par ${\cal F}(f) = \ff$, v{\'e}rifier que $\Vert {\cal F}(f) \Vert^2_{L^2} =
2\pi\,\Vert
f
\Vert^2_{L^2}$ et que $\cal F$ se prolonge en un isomorphisme de
$L^2(\RR)$ sur $L^2(\RR)$.\\
(Un isomorphisme est une application lin{\'e}aire bijective bicontinue.)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\include{chap78}
\chapter{R\e flexivit\e , s\e parabilit\e , dualit\ea des $L^p$}
\section{Espaces emboîtés d'approximation des $L^p$, séparabilité}
On va commencer par définir un mode standard pour approximer les fonctions de
$L^p(\real^N)$, $1\leq p<\infty$ par des fonctions  en escalier. On commence par subdiviser $\real^N$ en
hypercubes d'arète $2^{-k}$, $k\geq 0$, de la forme donc $C^{k,z}=2^{-k}(z+[0,1]^N)$, où $z\in \relative^N$.
Dans la suite, on omettra l'indice courant $z$.  Chacun des cubes $C^{k,z}$ est une union de
$2^N$ hypercubes du type $C_i^{k+1}$, $i=1,...,2^N$.  On appelle $V_k$ l'espace des fonctions
en escalier, constantes sur chaque hypercube $C^{k,z}$.  On voit immédiatement que ces espaces
sont emboîtés :
$$V_{k+1}\subset V_k.$$
Ensuite, on a envie d'approcher les fonctions de $v\in L^p$ par des fonctions en escalier. On a un
mode standard pour le faire, qui est de poser $v_k(i)(x)=\frac 1{mes(C^k_i)}\int_{C^k_i}v(y)dy$ si
$x\in C^k_i$.  En d'autres termes, on remplace $v$ par sa moyenne sur chaque cube dyadique.
\begin{lem} \label{densitedansLp}
La fonction en escalier $v_k$ est la meilleure approximation de $v$ dans $V_k$ pour
la norme de
$L^2(\real^N)$.  De plus, on a pour tout $p\geq 1$ :
$$||v_k||_{L^p}\leq ||v||_{L^p},$$
$$v_k\to v \in L^p(\real^N).$$
\end{lem}
\paragraph{Démonstration}
En effet, $v_k$ est évidemment la meilleure approximation quadratique de $v$ sur chaque cube et
donc aussi dans $L^2$.
Il suffit de montrer la première inégalité sur chaque cube. Fixons donc un tel cube $C$ et notons
$C_i$ ses sous-cubes
$$
\int_C |v_k|^p=\sum_i\int_{C_i}|v_k|^p=\sum_i (mes(C^k_i))^{1-p}(\int_{C^k_i}|v|)^p\leq
$$
$$
\leq \sum_i (mes(C^k_i))^{1-p}(\int_{C^k_i}|v|^p)^\frac pp(mes(C_i^k)^\frac{p-1}pp=\int |v|^p.
$$
Montrons maintenant que $v_k\to v$ dans $L^p$. On approche $v$ dans $L^p$ par une fonction
continue à support compact $g$ telle que $||v-g||_{L^p}\leq \varepsilon.$  On a alors
$$||v-v_k||_p\leq ||v-g||_p+||g-g_k||_p+||g_k-v_k||.$$
Le premier terme est inférieur à $\varepsilon$, le troisième aussi car il est la projection
su $V_k$ du premier. Le second terme est la différence entre $g$ et une approximation de
Riemann, tend donc vers zéro quand $k$ augmente.  On conclut aisément.

\begin{pro} \index{S\e parabilit\ea de $L^p$ pour $1\leq p<\infty$}
$L^p(\RR^N)$ est s\e parable pour $1\leq p<\infty$ et non s\e parable pour
$p=+\infty$.
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}  Par le (Lemme \ref{densitedansLp}),
les
fonctions en escalier dyadiques sont denses dans $L^p(\RR^N)$. Soit $\tilde
V_k\subset
V_k$ l'ensemble des fonctions dyadiques sur
$[-2^k,2^k]^N$, \a valeurs rationnelles.  Alors $\bigcup_k \tilde V_k$ est \a la
fois d\e nombrable et dense dans $L^p(\RR^N)$.

Consid\e rons  les fonctions $f_r=\indic_{B(0,r)}$, $r\in \RR^+$. On
$||f_r-f_{r'}||_{L^\infty}=1$ d\ee s que $r\neq r'$. S'il y avait une suite $g_n$
dense dans $L^\infty$, on pourrait pour tout $r$ trouver $n(r)\in \NN$ tel
que
$||f_r-g_{n(r)}||<\frac 12$.  Par l'in\e galit\ea triangulaire,
$||g_{n(r)}-g_{n(r')}||_{L^\infty}>0$ si $r\neq r'$.  L'application $r\to n(r)$
est donc injective, une contradiction.

\enddemo

%marque1

\paragraph{D{\'e}composition dyadique d'une image}
\index{Images num\'eriques}
Nous illustrons visuellement le concept de martingale dans le cas suivant: la
fonction $v$ est une fonction de $L^{p}(\R^2)$, et repr{\'e}sente une image
naturelle comme expliqu{\'e} \`a la fin du chapitre \ref{intlebesgue}. Nous nous
pla{\c c}ons comme pr{\'e}c{\'e}demment sur un hypercube de $\R^2$, $C=[-a,a]^2$, et
consid{\'e}rons la suite de fonctions $v_k$ constantes par morceaux sur les
hypercubes $(C_i^k)$. La figure \ref{haar}
repr{\'e}sente les fonctions $v_k$, pour $k$ variant de 3 {\`a}
8; la diminution de $k$ correspond {\`a} des pertes
d'information successives. Signalons que ces fonctions $v_k$ sont en fait les
objets de base du traitement des images num\'eriques. En effet, la quantit{\'e} de lumi{\`e}re
arrivant sur les capteurs {\`a} l'int{\'e}rieur d'une cam{\'e}ra, apr{\`e}s passage par les instruments
optiques (diaphragme et lentille), consitue une fonction born{\'e}e {\`a} support
compact, et l'on a vu au chapitre \ref{intlebesgue} que ces fonctions
{\'e}taient g{\'e}n{\'e}ralement suppos{\'e}es mesurables. Or les capteurs d'une
cam{\'e}ra digitale (appel{\'e}s CCD pour l'anglais ``charged coupled devices'')
sont carr{\'e}s, et tapissent le plan o\`u se projette l'image selon un damier
r{\'e}gulier. Chacun de ces capteurs compte le nombre de photons recus pendant
un certain laps de temps, l'image num{\'e}rique obtenue {\'e}tant constitu{\'e}e de
l'ensemble des valeurs retourn{\'e}es par ces capteurs, valeurs qui peuvent
raisonnablement {\^e}tre mod{\'e}lis{\'e}es par l'int{\'e}grale de la fonction $f$ sur
la surface du capteur. Remarquons toutefois que chacun de ces capteurs
transmet une quantit{\'e} finie d'information, de sorte que les valeurs retenues
pour les fonctions $v_k$ appartiennent {\`a} un ensemble fini d'entiers
(ph{\'e}nom{\`e}ne de quantification).


\begin{figure}
\begin{center}

\includegraphics[width=10cm]{haar.ps}

\end{center}
\caption{Exemples de fonctions $v_k$ dans le cas d'une image; de
haut en bas et de gauche {\`a} droite: $k=8,7,6,5,4,3$}
\label{haar}
\end{figure}




\section{Dualité $L^p-L^{p'}$}
\label{reflexivite}
\drem {\bf pr\e liminaire :} si $f\in L^{p'}$, alors pour tout $u\in L^p$ on a
par l'in\e galit\ea de H\ooo lder $|\int fu|\leq ||f||_{L^{p'}}||u||_{L^p}$.  Donc
on a l'inclusion $L^{p'}\subset (L^p)'$.  On va montrer dans cette section
l'inclusion inverse.

\frem
\begin{thf}\label{reflexivitedeLp}\index{R\e flexivit\ea de $L^p$} Pour tout
$1\leq p<\infty$,
$L^{p'}(\RR^N)$ est le dual topologique de
$L^p$.  Pour toute forme lin\e aire continue $\tilde f$ sur $L^p$, il existe donc
une fonction
$f\in L^{p'}$ telle que $$\forall u\in L^p, \tilde f(u) = \int fu$$ et
$$||\tilde f||_{(L^p)'}=||f||_{L^{p'}}.$$
\end{thf}
Soit $C=[-a,a]^N$, $a\in \relative$, un hypercube de $\RR^N$.
On consid\ee re la suite d'espaces emboit\e s $V_k$ de
fonctions en escalier dyadiques constantes sur des hypercubes $(C_i^k)_i$ contenus dans $C$,
définie dans la section précédente.
Les hypercubes $(C_i^{k+1})$ sont  obtenus en subdivisant en $2^N$ hypercubes \e
gaux
 chaque hypercube $C_i^k$.
 On note ${\cal T}_k$ la tribu
engendr\e e, \ccaadd l'ensemble des unions quelconques d'hypercubes $C_i^k$.

Si $v_k\in V_k$, on note $v_k(i)$ sa valeur, constante, sur $C_i^k$.
Par analogie avec la projection $v\to v_k$, on
 associe \a $\tilde f \in (L^{p})'$ sa ``projection'' $f_k$ sur $V_k$,
d\e finie par
$$f_k(i)=\tilde f(\frac
1{\mes(C_i^k)}\indic_{C_i^k}).$$
La fonction $f_k$ peut \eee tre consid\e r\e e comme la
restriction de $\tilde f$ \a $V_k$ car elle v\e rifie
\begin{lem}
\fb& \label{projectionsurVk}
\forall v\in V_k, \tilde f(v) = \int f_kv. \hbox{  De
plus,  }
\fe&
\fb&   \label{comparaisondenormes}
 ||f_k||_{L^{p'}}\leq ||\tilde f||_{(L^p)'}.
\fe&
\end{lem}
\paragraph{D\e monstration}
Si $v\in V_k$, on a $v=\sum_i v(i)\indic_{C_i^k}.$ Donc
$$\tilde f(v)=\sum_i v(i)\tilde f(\indic_{C_i^k})=\sum_i v(i)f_k(i)\mes(C_i^k)=
\int_C f_k(x)v(x)dx,$$
ce qui prouve (\ref{projectionsurVk}). Montrons (\ref{comparaisondenormes}).
  Comme $f_k$ est
constante sur chaque cube,
$C_i^k$, on a en utilisant (\ref{projectionsurVk}-\ref{comparaisondesnormes2}) et le
lemme  \ref{projectionsurVk},
 $$\forall v\in L^p, \; \int_C f_kv = \int_C f_kv_k = \tilde f(v_k)\leq ||\tilde
f||||v_k||_{L^p}\leq ||\tilde f|| ||v||_{L^p}.$$
Comme $||f_k||_{L^{p'}}=\sup_{v\in L^p}\frac{ \int f_kv}{ ||v||_{L^p}}$, on
obtient
(\ref{comparaisondenormes}).
\enddemo


\begin{lem}  La suite $(f_k, {\cal T}_k)$ est une {\rm
martingale} à temps discret,
\ccaadd que l'on a
\fb& \label{martingale1}\forall E\in {\cal T}_k, \forall l\geq k,\; \int_E
f_l=\int_E f_k.
\fe&
\end{lem}
\paragraph{D\e monstration}
En effet, si $E\in {\cal T}_k$, sa fonction indicatrice $\indic_E$ est dans
$V_k\subset V_l$ et on a donc en utilisant deux fois (\ref{projectionsurVk})
$$\forall l\geq k, \int_E f_l = \int_C f_l\indic_E=\tilde f(\indic_E)=\int_C
f_k\indic E=\int_E f_k.$$
\enddemo
%
%
\begin{lem}\label{lalimiteppdansLp}
Soit $f_k$ une suite de fonctions  telles que
$||f_k||_{L^{p'}}\leq c$ et que $f_k(x)$ converge presque partout vers une
fonction
$f(x)$. Alors $f$ appartient aussi \a $L^{p'}$ et $||f||_{p'}\leq \lim\inf_k ||f_k||_{p'}.$
\end{lem}
%
%
\paragraph{D\e monstration}
En appliquant le lemme de Fatou, on a
$$c\geq \lim\inf \int |f_k|^{p'}\geq \int \lim\inf |f_k(x)|^{p'}=\int
|f(x)|^{p'}.$$
Le cas $p'=+\infty$ se traite aisément.
\enddemo
%
%
\begin{lem}\label{convergenceppdemartingale}\index{Convergence presque partout
(de martingale)} Si
$(f_k, {\cal T}_k)$ est une martingale
\a temps discret, et si
$\sup_k \int f_k^+<+\infty,$ alors la
suite
$f_k(x)$ converge presque partout.
\end{lem}
Nous allons d\e montrer ce lemme dans la sous-section suivante sur les
martingales \a temps discret.
%
%
\begin{lem} (Vitali) \index{Vitali (lemme de)}  Soit $C$ un born\ea de $\RR^N$
et
$f_k$ est une suite de fonctions \e quiint\e grable dans
$L^1(C)$ qui converge presque partout vers une fonction $f$.  Alors $f_k$
converge vers $f$ dans $L^1(C)$.
\end{lem}
\drem La réciproque est vraie. Voir l'exercice 5.
\frem
\noindent{\bf Rappel :}\index{Equiint\e grabilit\ea d'une suite de $L^1$} une
suite de fonctions
$f_k$ est dite {\it
\e quiint\e grable} si
$$\forall \varepsilon>0\;  \exists \eta, \; \mes(K)<\eta\Rightarrow\int_K
|f_k(x)|dx<\varepsilon, \; \forall k\geq 1.$$
\paragraph{D\e monstration du Lemme de Vitali}
On a $$M\mes(\{|f_k|\geq M\})\leq \int |f_k(x)|\leq c$$
et donc $\mes(\{|f_k|\geq M\})\leq \eta$  pour $M$ assez grand.  En prenant $\eta
=\eta(\varepsilon)$ et en utilisant l'\e quiint\e grabilit\e , on en d\e duit
que $\int_{\{|f_k|\geq M\}} |f_k(x)|dx\leq \varepsilon$ pour $M$ assez grand.
La suite $f_k^M =\max(-M, \min(M,f))$ converge par le th\e or\ee me de Lebesgue
dans $L^1(C)$ vers $f_M = \max(-M, \min(M,f))$.  Donc on a pour $k$ assez grand
$$\int |f-f_k|\leq \int |f-f^M|+\int|f^M-f_k^M|+\int |f_k^M-f_k|\leq
3\varepsilon.$$
\enddemo

\begin{lem}\label{caspleq2}  La suite des restrictions $f_k$ de
$\tilde f$ \a $V_k$
 converge presque partout  vers une fonction $f\in L^{p'}(C)$ telle que
\fb& \label{dualitedansCpleq2}
\forall v\in L^p(C), \;\tilde f(v) = \int_C f(x)v(x)dx
\fe&
Cette fonction $f$ satisfaisant (\ref{dualitedansCpleq2}) est unique.
\end{lem}
%
%
 \paragraph{D\e monstration}
Par l'in\e galit\ea de H\ooo lder et par (\ref{comparaisondenormes}), on obtient
$||f_k||_{L^1}\leq c||f_k||_{L^{p'}}\leq c||\tilde f||_{(L^p)'}$.   On peut
appliquer le lemme
\ref{convergenceppdemartingale}.  Donc
$f_k(x)$ converge presque partout et par le lemme
\ref{lalimiteppdansLp}  on conclut que $f$ est dans $L^{p'}(C)$.  Comme la suite
$f_k$ est born\e e dans $L^{p'}(C)$ et que $p'>1$, elle est \e quiint\e grable.
En effet, par l'in\e galit\ea de H\ooo lder, $$\int_K |f_k(x)|dx \leq
(\mes(K))^\frac 1 p ||f_k||_{L^{p'}}\leq c\mes(K)^\frac 1p.$$
Par le lemme de Vitali, $f_k$ converge
donc vers $f$ dans $L^1(C)$. Reste
\a montrer  que $\tilde f(v)=\int_C fv$ pour tout $v\in L^p(C)$.  Mais cette
relation est vraie si $v$ est dans un quelconque $V_k$. En effet,
$\tilde f(v)=\int_C f_kv$ et $f_k$ tend vers $f\in L^1(C)$. Comme les fonctions
de $V_k$ sont born\e es, on peut passer \a la limite quand $k\to \infty$.
Cela prouve que les formes lin\e aires continues  $\tilde f$ et $f$ co\iii ncident sur un
sous-espace dense de $L^p(C)$, l'union des $V_k$, et donc partout.

Montrons que la fonction $f$ est unique.  Si on a  pour toute fonction $v$
dans $L^p(C)$, $\int_C f_1v=\int_Cf_2v,$ alors $\int (f_1-f_2)v=0$ et en
choisissant $v=\signe(f_1-f_2)$ on obtient $f_1=f_2$ presque partout.
\enddemo

\begin{lem}  $L^p(\RR^N)$ est r\e flexif et $(L^p)'=L^{p'}$.
\end{lem}
\paragraph{D\e monstration}
On consid\ee re les espaces emboit\e s $V_l=L^p(C_l)$, o\u $C_l=[-l,l]^N$, $l\in
\NN$.  Par le lemme \ref{caspleq2} il existe des fonctions $f\in L^{p'}(C_l)$
telles que
\fb& \label{dualitedansCl}
\forall v\in L^p(C_l), \;\tilde f(v) = \int_C f_l(x)v(x)dx
\fe&
et on a, par unicit\ea de $f_l$,  $f_{k+l}=f_l$ sur $C_l$ et
\fb& \label{estimationdesf-l}
||f_l||_{L^{p'}}\leq ||\tilde
f||_{(L^p)'}.
\fe&
  On peut donc poser $f(x) = f_l(x)$ si $x\in C_l$.  En appliquant
le th\e or\ee me de Beppo-Levi, on d\e duit de (\ref{estimationdesf-l}) que
$f\in L^{p'}$ et $||f||_{L^{p'}}\leq ||\tilde f||_{(L^p)'}.$
Comme $f$ (consid\e r\e e comme une forme lin\e aire sur $L^p$) et $\tilde f$
co\iii ncident sur le sous-espace dense de
$L^p(\RR^N)$, $\cup_l V_l$, elles sont \e gales.
\enddemo


\begin{pro} $L^1(\RR^N)$ n'est pas r\e flexif. \index{Non r\e flexivit\ea de
$L^1$}

\end{pro}
%
\paragraph{D\e monstration}
Supposons le contraire et soit
$$
f_n = \frac {\indic_{B(0,\frac 1 n)}}{\mes(B(0,\frac 1 n))}.
$$
On a $||f_n||_1=1$. Comme $L^1$ est suppos\ea r\e flexif et que $L^\infty$ est
son dual, il existe une sous-suite $f_{n_k}$ et $f\in L^1$ telles que
$f_{n_k}\rightharpoonup f$,
$\sigma(L^1, L^\infty)$, ou encore $\int f_{n_k}\varphi \to \int f\varphi$ pour
toute fonction $\varphi \in L^\infty$.
  On peut donc prendre $\varphi=1$ et on trouve $\int f\varphi =
\int f = 1$.  Mais on peut aussi prendre $\varphi = \indic_{||x||\geq
\varepsilon}$ et on trouve pour tout $\varepsilon$, $\int_{||x||\geq
\varepsilon}f=0.$ En faisant tendre $\varepsilon$ vers z\e ro, on obtient par le
th\e or\ee me de Lebesgue $\int f = 0$, contradiction.
\enddemo
\drem Autre démonstration moins constructive : On sait que
${L^1}'=L^\infty.$  Comme $L^1$ est s\'eparable, si $L^1$ \'etait r\'eflexif, $L^\infty$
serait aussi séparable est réflexif. Or, on vient de voir que $L^\infty$ n'est pas
séparable.
\frem
\drem  $L^1$ n'est donc pas le dual de $L^\infty$ et on a seulement $L^1\subset
(L^\infty)'$.
\frem




\section{Martingales \a temps discret}
Dans cette sous-section, nous d\e montrons le r\e sultat de convergence presque
partout de martingale que nous avons utilis\ea pour montrer la dualit\ea
$L^p-L^{p'}$.
\begin{Def} \index{Martingale} On dira qu'une suite de fonctions $f_k, k\in
\NN$ sommables sur
un espace de probabilit\ea $C$ muni d'une tribu $ {\cal T}$ et d'une suite
croissante de sous-tribus,
${\cal T}_k\subset \cal T$ est une {\rm martingale \a temps discret} si,
pour  tout $k$, $f_k$ est ${\cal T}_k$-mesurable et
\fb& \label{martingale2}\forall E\in {\cal T}_k, \forall l\geq k,\; \int_E
f_l=\int_E f_k.
\fe&
\end{Def}

\begin{Def}\index{Temps d'arr\eee t} \label{definitiontempsd'arret}
On appelle {\rm temps d'arr\eee t} associ\ea \a la martingale $(f_k, {\cal T}_k)$
une fonction \a valeurs enti\ee res, $ k(x)\in \NN$, d\e finie
sur une partie de
$C$ et telle que pour tout
$k_0\in
\NN$, les ensembles $\{x, k(x)=k_0\}$ appartiennent \a ${\cal T}_{k_0}$.
On prendra la convention commode de poser $k(x)=+\infty$ quand $x$ n'est pas dans
le domaine de $k$.
\end{Def}
\begin{lem}
Si $k(x)\leq l(x)$ sont deux temps d'arr\eee t associ\e s \a une martingale
$(f_k,{\cal T}_k)$, alors
\fb& \label{martingaleetempsd'arret}
\int_{\{x,k(x)\leq p\}} f_{k(x)}(x)dx = \int_{\{ x, k(x)\leq p\}}
f_{\min(l(x),p)}(x)dx.
\fe&
\end{lem}
%
\paragraph{D\e monstration}
En effet, l'ensemble $\{k(x)\leq p\}$ est une union d'ensembles $\{k(x)=k_0\}\in
{\cal T}_k$.  Par additivit\ea de l'int\e grale, il suffit de montrer
(\ref{martingaleetempsd'arret}) pour ces ensembles.  Or, en utilisant deux fois
la relation de martingale (\ref{martingale2}),
$$\forall k_0\leq p, \; \int_{k(x)=k_0}
f_{k_0}=\int_{k(x)=k_0}f_p=\sum_{l_0\leq p} \int_{k(x)=k_0,\;l(x)=l_0}
f_p+\int_{k(x)=k_0,\;l(x)>p}f_p=$$
$$\sum_{l_0\leq p} \int_{k(x)=k_0,\; l(x)=l_0}f_{l_0}+ \int_{k(x)=k_0,\;l(x)>p}f_p
=\int_{k(x)=k_0}f_{\min(l(x),p)},$$
car $\{k(x)=k_0,\; l(x)=l_0\}\in {\cal T}_{l_0}$.

\enddemo
%
On d\e finit les temps d'arr\eee ts suivants, sur l'intervalle $[0, p]\subset
\NN$ associ\e s \a deux r\e els $b>a$.
\newline\newline
$\bullet$ $k_1(x) =$ premier $k$, s'il existe dans $[0,p]$, tel que $f_k(x)>b$.
\newline
$\bullet$ $k_2(x) =$ premier $k>k_1$, s'il existe dans $[0,p]$, tel que
$f_k(x)<a$.
\newline .............\newline
\newline
$\bullet$ $k_{2m-1}(x) =$ premier $k\geq k_{2m-2}$, s'il existe dans $[0,p]$,
tel que
$f_k(x)>b$.
\newline
$\bullet$ $k_{2m}(x) =$ premier $k>k_{2m-1}$, s'il existe dans $[0,p]$, tel
que $f_k(x)<a$.
\newline\newline
Il est imm\e diat que les $k_m$ sont des temps d'arr\eee t pour la martingale
$(f_k, {\cal T}_k)$. On peut interpr\e ter leur domaine ainsi :
\newline\newline
$\bullet$ $\Omega_{2m}=\{x, k_{2m}(x)\leq p\}$ est l'ensemble des $x\in C$ tels que
$f_k(x)$ traverse exactement $m$ fois l'intervalle $[a,b]$ dans le sens descendant
pour $1\leq k\leq p$.
\newline
$\bullet$ $\Omega_{2m+1}=\{x, k_{2m+1}(x)\leq p)$ est l'ensemble des $x\in C$ tels
que
$f_k(x)$ traverse exactement $m\geq 1$ fois l'intervalle $[a,b]$ dans le sens
descendant
et puis encore une fois de plus dans le sens ascendant pour $1\leq k\leq p$.
\newline\newline
On d\e finit enfin $\gamma_{a,b}^p(x)$ comme le nombre de passages de $f_k(x)$
par $[a,b]$ dans le sens descendant pour $k\leq p$ et $\gamma_{a,b}(x)$ le nombre
de passages, \e ventuellement infini, de $f_k(x)$ par $[a,b]$ dans le sens
descendant.  On a bien-s\uu r
\fb& \label{identifications}
\forall m\in \NN, \{x, \gamma_{a,b}^p(x)\geq m\}= \{x, k_{2m}(x)\leq
p\}=\Omega_{2m}
\fe&
et on peut donc calculer l'esp\e rance du nombre de passages par $[a,b]$ :
\fb& \label{esperancedunombredepassages}
\int \gamma_{a,b}^p(x)dx=\sum_m \mes\{x, \gamma_{a,b}^p(x)\geq m\}=\sum_m
\mes\Omega_{2m},
\fe&
 en vertu de (\ref{identifications}) et de la
remarque suivante :
\drem Si $\gamma(x)$ est une fonction \a valeurs dans $\NN$,
$\int \gamma(x)dx=\sum_{m\geq 1}\mes\{x,\; \gamma(x)\geq m\}.$
En effet,
$$\int \gamma(x)dx=\sum_k k\mes\{x, \gamma(x)=k\}=\sum_{m\geq 1}\sum_{k\geq m} \mes\{x,
\gamma(x)=k\} =\sum_{m\geq 1}\mes\{x, \gamma(x)\geq m\}.$$
\frem
%
\begin{lem} \index{Nombre de passages (d'une martingale)}
\fb&
\label{estimationfinaledunombredepassages}
(b-a)\int_C \gamma_{a,b}(x)dx \leq \sup_p\int_C (f_p(x)-b)^+.
\fe&
\end{lem}
\paragraph{D\e monstration}
Comme sur
$\Omega_{2m-1}=\{k_{2m-1}(x)\leq p\}$ on a $f_{k_{2m-1}(x)}\geq b$, on obtient
en utilisant (\ref{martingaleetempsd'arret}),
$$
0\leq \int_{\Omega_{2m-1}}(f_{k_{2m-1}}(x)-b)dx =
\int_{k_{2m-1}(x)\leq p}(f_{k_{2m-1}}(x)-b)dx=
$$
$$
\int_{k_{2m-1}(x)\leq p}(f_{\min(
k_{2m},p)}(x)-b)dx \leq (a-b)\mes(\Omega_{2m}) +
\int_{\Omega_{2m-1}\setminus\Omega_{2m}}(f_p(x)-b)dx.
$$
D'o\u
$$(b-a)\mes (\Omega_{2m})\leq
\int_{\Omega_{2m-1}\setminus\Omega_{2m}}(f_p(x)-b)dx.
$$
et en sommant sur $m$ et en utilisant (\ref{esperancedunombredepassages}), on
obtient
\fb&
\label{estimationdunombredepassages}
(b-a)\int_C \gamma_{a,b}^p(x)dx \leq \int_C (f_p(x)-b)^+.
\fe&
La relation (\ref{estimationfinaledunombredepassages})
vient car
$\gamma_{a,b}$ est la limite croissante des $\gamma_{a,b}^p$.
\enddemo

\paragraph{D\e monstration du lemme \ref{convergenceppdemartingale}}
On choisit une suite $(a_n)$ dense dans $\RR$ avec $a_n\neq a_m$, quand $n\neq m$.
Consid\e rons pour $n\neq m$ les ensembles
 $N_{n,m}= \{x, \gamma_{a_n,a_m}=+\infty\}$.  Ces ensembles sont n\e gligeables par
la relation \ref{estimationfinaledunombredepassages}, ainsi que leur union $N$.  Si
$x$
est dans le compl\e mentaire de $N$, la suite $f_k(x)$ ne peut osciller ind\e
finiment.  Elle converge donc soit vers une valeur finie $f(x)$, soit vers
$+\infty$, soit vers $-\infty$. Mais comme $\sup_k \int f_k^+<\infty$, on d\e
duit  du lemme de Fatou que l'ensemble des $x$ o\u la limite est
$+\infty$ est aussi n\e gligeable. En effet, le lemme de Fatou donne $\int
\lim\inf_k f_k^+(x)dx\leq \sup\int f_k^+.$
 Comme $\int_C f_k(x)dx=\int_Cf_1(x)dx$ est constante, on a aussi $\sup_k\int
f^-(x)dx<\infty$  et l'ensemble des points o\u $f_k(x)$ tend vers $-\infty$ est
\e galement n\e gligeable.

\enddemo
\\ \\
\section{Exercices}
{ \bf Exercice 1}
\\ \\
Soit $E = L^1(\RR) \cap L^2(\RR)$ muni de $\Vert\;\Vert =
\Vert\;\Vert_1+\Vert\;\Vert_2$.\\
1) V{\'e}rifier que $(E,\Vert\;\Vert)$ est un espace de Banach.\\
Soit $f(x) = f_1(x)+f_2(x)$ avec $f_1 \in \Linf(\RR)$ et $f_2 \in L^2(\RR)$,
montrer
que
$$u \mapsto \int_{\RR} f(x) u(x) dx \in \Ep.$$
2) Soit $0 < \alpha < \frac{1}{2}$, montrer que
$$u \mapsto \int_{\RR} \frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}}\, u dx \in \Ep.$$
(D{\'e}composer l'int{\'e}grale suivant les ensembles $[\vert x \vert > M]$ et $[\vert
x
\vert \leq M]$.)\\
3) Soit $K = \{ u \in E : u \geq 0 \;\mbox{p.p. et}\; \int_{\RR} u dx \leq 1 \}$.\\
Montrer que $K$ est un convexe ferm{\'e} de $E$.\\ \\
Soit $(u_n)_n \subset K$ et $u \in L^2(\RR)$ tels que $u_n \rightharpoonup u$ dans
$L^2(\RR)$ faible.\\
4) Montrer que $u \in K$.\\
5) Montrer que
$$\int_{\RR} \frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}} u_n dx \longrightarrow \int_{\RR}
\frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}}\, u dx.$$
6) Pour $u \in E$, on d{\'e}finit
$$J(u) = \int_{\RR} u^2 dx - \int_{\RR} \frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}}\, u dx,$$
o{\`u} $\alpha \in ]0,\frac{1}{2}[$.\\
Montrer que $\exists C \in \RR$ tel que $J(u) \geq C$, $\forall u \in K$.\\
On pose $m = \inf_{u \in K} J(u)$. On cherche {\`a} prouver que cet inf est
atteint.\\
7) Soit $(u_n)_n \subset K$ telle que $J(u_n) \longrightarrow m$. Montrer que
$\Vert
u_n \Vert$ reste born{\'e}e.\\
8) Extraire une sous-suite qui converge faiblement dans $L^2(\RR)$ et conclure.\\
9) $E$ est-il r{\'e}flexif ?
\\ \\
{ \bf Exercice 2}
\\ \\
Soit $\Om$ un ouvert de $\RR^N$ et soit $f$ une fonction mesurable r\e elle sur $\Om$.
On pose $K = \{ u \in L^p(\Om);\, u \geq f\,p.p.\,\}$.\\
1) Si $1 \leq p < +\infty$, v{\'e}rifier que K est ferm{\'e} pour la topologie faible
de $L^p(\Om)$.\\
2) On consid{\`e}re le cas $p = +\infty$.

a) Montrer que
$$K = \{ u \in L^{\infty}(\Om);\,\forall \vfi \in L^1(\Om), \,\vfi \geq 0,\, f\vfi
\in
L^1(\Om), \mbox{on ait } \int_{\Om} u\vfi \geq \int_{\Om} f\vfi \,\}.$$
(On pourra d'abord supposer que $\vert \Om \vert < \infty$.)

b) En d{\'e}duire que K est ferm{\'e} faible $\star$ dans $L^{\infty}(\Om)$.

c) Soient $f_1$ et $f_2$ dans $L^{\infty}(\Om)$ telles que $f_1 \leq f_2$ p.p.
Montrer
que "l'intervalle" $\{u \in L^{\infty}(\Om) : f_1 \leq \,u \leq \,f_2\, p.p.\,\}$
est
compact faible $\star$ dans $L^{\infty}(\Om)$.
\\ \\
{ \bf Exercice 3}
\\ \\
Soit $f \in L^1(\RR)$ fix{\'e}e, montrer que $y \mapsto \tau_yf$ o{\`u} $\tau_yf(x) =
f(x-y)$
est uniform{\'e}ment continue de $\RR$ dans $L^1(\RR)$.
\\ \\
{\bf Rappels}
\\ \\
1) Propri{\'e}t{\'e} d'absolue continuit{\'e} :\\
Soit $\Om$ un ouvert de $\RR^N$, soit $f \in L^1(\Om)$ alors $\forall \ep > 0$,
$\exists \delta > 0$ tel que $\forall A$ mesurable avec $\vert A \vert \leq \delta$
on a $\int_A \vert f \vert dx \leq \ep.$\\
(Ce r{\'e}sultat a {\'e}t{\'e} d{\'e}montr{\'e} en exercice 2, chap. VI)\\
2) Th{\'e}or{\`e}me d'Egoroff  (Voir [Rudin], [Neveu]) : \\
On suppose $\vert \Om \vert < \infty$.
Soient $f_n,f:\Om \rightarrow \RR$ mesurables telles que $f_n \rightarrow f$ p.p.
alors
$\forall \delta > 0$, $\exists A$ mesurable tel que $\vert A \vert \leq \delta$ et
$f_n
\rightarrow f$ uniform{\'e}ment sur $\Om \backslash A$.
\\ \\
{ \bf Exercice 4}
\\ \\
Soit $\Om$ un ouvert born{\'e} de $\RR^N$, soit $(f_n)_n \in L^p(\Om)$ et $f \in
L^p(\Om)$
avec
$1\leq p < +\infty$. On suppose qu'il existe $C$ tel que $\Vert f_n \Vert_p \leq
C$,
$\forall n$ et $f_n \rightarrow f$ p.p.\\
1) Montrer que si ${\Vert f_n \Vert}_p \rightarrow {\Vert f \Vert}_p$ alors ${\Vert
f_n -
f \Vert}_p \rightarrow 0$.\\
2) On suppose $1<p<+\infty$. Montrer que $f_n \rightharpoonup f$ dans $L^p(\Om)$
faible.\\
3) Lorsque $p=1$, consid{\`e}rer $f_n = n 1_{(0,\frac{1}{n})}$ avec $\Om = ]0,1[$ et
v{\'e}rifier que $f_n$ ne converge pas faiblement vers $f=\lim f_n$ p.p.
\\ \\
{ \bf Exercice 5}
\\ \\
Soit $\Om$ un ouvert born{\'e} de $\RR^N$. Une suite $(f_n)_n$ de $L^1(\Om)$ est dite
{\'e}qui-int{\'e}grable si elle v{\'e}rifie
$$\forall \ep >0,\,\exists \delta > 0,\,t.q.\,\forall E \subset \Om \mbox{
mesurable
avec} \,\vert E \vert \leq \delta \Longrightarrow \,\forall n\geq 1,\,\int_E \vert
f_n
\vert dx < \ep.$$
Premi{\`e}re partie :\\
1) Montrer que si $(f_n)_n$ est {\'e}qui-int{\'e}grable alors elle est born{\'e}e dans
$L^1(\Om)$.\\
2) Soit $(f_n)_n$ une suite de $L^1(\Om)$. Montrer que $(f_n)_n$ est
{\'e}qui-int{\'e}grable
si et seulement si elle v{\'e}rifie
$$\lim_{k \rightarrow +\infty} (\sup_{n \geq 1} \int_{[\vert f_n \vert > k]} \vert
f_n
\vert dx) = 0.$$
3) Montrer que si $(f_n)_n$ est relativement compacte dans $L^1(\Om)$ alors elle
est
{\'e}qui-int{\'e}grable.\\
Deuxi{\`e}me partie :\\
1) Soit $(f_n)_n$ une suite de $L^1(\Om)$ telle que $\forall A \subset \Om$
mesurable,
$$\lim_{n \rightarrow \infty} \int_A f_n dx = 0.$$
Montrer que $(f_n)_n$ est {\'e}qui-int{\'e}grable.\\
(Pour $\ep>0$ fix{\'e}, consid{\'e}rer les ensembles $X = \{\ind_A,\,A
\mbox{mesurable}\,\subset \Om \}$ et $X_n = \{\ind_A \in X ;\,\forall k \geq n,\,\,
\vert \int_A f_k dx \vert \leq \ep \}$, v{\'e}rifier que $X$ est ferm{\'e} dans
$L^1(\Om)$ et appliquer le lemme de Baire.)\\
2) En d{\'e}duire que si $(f_n)_n$ est une suite de $L^1(\Om)$, $f \in L^1(\Om)$ et
si
$f_n$ converge faiblement vers $f$ dans $L^1(\Om)$ alors la suite $(f_n)_n$ est
{\'e}qui-int{\'e}grable.\\
3) Soit $(f_n)_n$ une suite de $L^1(\Om)$ et soit $f \in L^1(\Om)$. On suppose que
\[ \left\{ \begin{array}{lll}
f_n &\rightharpoonup& f\,\, \mbox{dans $L^1(\Om)$ faible}\\
f_n &\longrightarrow f& \,\,\mbox{p.p.}
\end{array} \right. \]
Montrer que $\Vert f_n - f \Vert_{L^1} \longrightarrow 0$. (Utiliser le
Th{\'e}or{\`e}me
d'Egoroff.)
\\ \\
{\bf Exercice 6}
\\ \\
Soit $\Om = ]0,1[$ et soit $f_n(x) = n^{\frac{1}{p}} e^{-nx}$ o{\`u} $1 \leq p <
+\infty$. \\
1) Montrer que $f_n \rightarrow 0$ p.p. dans $\Om$, $(f_n)_n$ est born{\'e}e dans
$L^P(\Om)$ et $f_n \not\rightarrow 0$ dans $L^P(\Om)$.\\
2) Soit $\vfi \in {\cal C}_c(\Om)$ et soit T l'application d{\'e}finie sur $L^P(\Om)$
par $T(g) = \int_0^1 g\,\vfi\; dx$, montrer que $T \in (L^P(\Om))^{\prime}$.\\
3) Si $1<p<+\infty$, montrer que $f_n \rightharpoonup 0$ dans $L^p(\Om)$ faible.\\
Si $p=1$, montrer que $f_n \not\rightharpoonup 0$ dans $L^1(\Om)$ faible et qu'il
n'existe aucune sous-suite de $(f_n)_n$ convergeant faiblement dans $L^1(\Om)$. Que
pouvez-vous conclure ?\\
\chapter{Espaces de Hilbert}
\begin{Def}\index{Espace de Hilbert}
Un espace de Hilbert r\e el est un espace vectoriel r\e el muni d'un produit
scalaire
$(u,v)$ et tel que $||u||=\sqrt{(u,u)}$ soit une norme pour laquelle $H$ soit
complet.  Un espace de Hilbert hermitien est un espace vectoriel sur $\complex$
muni d'un produit hermitien $(u,v)$ \ccaadd v\e rifiant
 $$(u,v)=\overline{(v,u)}, \;
(\lambda u, v) =
\lambda (u,v), \; (u+v,w)=(u,w)+(v,w).$$ et tel que $||u||=\sqrt{(u,u)}$ soit une
norme rendant $H$ complet.  Remarquons aussi que
 $$(f,\lambda g)=\overline{\lambda}(f,g)\hbox{ et  } (u, v+w)=(u,v)+(u,w).$$
\end{Def}
\begin{exa} \index{Exemples de Hilbert}On pose $l^2(\NN)$ l'ensemble des
suites
$u=(u_1, ..., u_n, ...)$ avec $u_n\in \complex$ et v\e rifiant $\sum_n
|u_n|^2<\infty$.  Muni du produit scalaire $(u,v) = \sum_n u_n\overline{v_n}$,
c'est un espace de Hilbert.
 $L^2(\RR^N)$, muni du produit scalaire $(f,g)=\int f(x)\overline{g(x)}dx$
est \e galement un espace de Hilbert : on a  vu qu'il est complet.
Remarquer que $l^2(\NN)$ peut \eee tre plong\ea naturellement dans
$L^2(\RR)$ en posant $u(x)=u_n$ si $x\in [n, n+1[$ et qu'il appara\ii t alors
sous-espace ferm\ea de
$L^2(\RR)$.  La compl\e tude de $L^2(\RR)$ implique donc la compl\e tude
de
$l^2(\NN)$.

\end{exa}
\begin{pro}  \index{In\e galit\ea de Cauchy-Schwarz} Nous avons toujours l'in\e
galit\ea de
Cauchy-Schwarz
$$|(f,g)|\leq ||f|| ||g||.$$
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
la d\e monstration est la m\eee me qu'en dimension finie : elle se fait dans le
plan de
$f$ et
$g$.  On pose $(f,g)=e^{i\theta}|(f,g)|$ et on d\e veloppe
$||f+te^{i\theta}g||^2\geq 0$,
ce qui donne
$$||f||^2+t(f, e^{i\theta}g) + t(e^{i\theta}g, f)+t^2||g||^2\geq 0, \hbox{  soit}$$
$$||f||^2 +2t |(f,g)|+t^2||g||^2\geq 0.$$
L'in\e galit\ea de Cauchy-Schwarz exprime que le discriminant de ce trin\oo me est
n\e
gatif.
\enddemo

  La relation de Pythagore reste valable : si $f$ et $g$ sont orthogonaux,
alors
$$||f+g||^2=||f||^2+||g||^2.$$  Cette relation s'\e tend \a une suite de vecteurs
orthogonaux deux \a deux, $f_k$.  On a alors
$$||\sum_k f_k||^2=\sum_k ||f_k||^2.$$  Gr\aa ce \a la compl\e tude, le premier
membre de cette
\e galit\e , $\sum_k f_k$, est bien un \e l\e ment de $H$ si le deuxi\ee me membre
est une s\e rie convergente.  On a donc
\begin{pro} \label{convergencedeserie} \index{Convergence d'une s\e rie dans un
Hilbert} Soit $H$ un Hilbert et $f_n$ une suite d'\e l\e ments de $H$.
 Si la s\e rie $u_n$ est compos\e e d'\e l\e ments
orthogonaux deux \a deux et si $\sum_n||u_n||^2$ converge, alors la s\e rie
$\sum_n u_n$ converge dans $H$. Si la s\e rie de terme g\e n\e ral $||u_n||$ est
convergente, la s\e rie
$\sum_n u_n$ converge dans $H$.
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
La deuxi\ee me partie de l'\e nonc\ea se d\e duit de la compl\e tude de $H$.  En
effet, la suite $v_k = \sum_0^k v_n $ est de Cauchy puisque $||v_k-v_l||\leq
\sum_l^k ||u_n||.$
\enddemo
\begin{thf} \label{desprojections} \index{Projection sur un convexe dans un
Hilbert} Soit $H$ un espace de Hilbert et $C$ un convexe ferm\ea et non vide de
$H$.  Pour tout $f\in H$ il existe un unique point de $C$, appel\ea {\rm
projection de $f$ sur $H$} dont la distance \a $f$ soit minimum.   Cette
projection se caract\e rise comme l'unique point $g$ de $C$ tel que
\fb& \label{inegalitevariationnelle}
\forall h\in C,\; \Re(f-g,h-g)\leq 0.
\fe&
Si $C$ est un sous-espace vectoriel ferm\ea de $H$, la projection de $f$ est
l'unique point $g\in C$ tel que $f-g$ soit orthogonal \a tous les \e l\e ments de
$C$.
\end{thf}

\begin{lem}\index{Identit\ea du parall\e logramme} L'identit\ea du parall\e
logramme :
$$||u||^2+||v||^2 = \frac 1 2(||u+v||^2 + ||u-v||^2).$$
La somme des carr\e s des longueurs des cot\e s d'un parall\e logramme est \e
gale \a la demi-somme des carr\e s de ses diagonales.
\end{lem}

\paragraph{D\e monstration du th\e or\ee me \ref{desprojections}}
Montrons d'abord l'unicit\e .  S'il existait deux \e l\e ments $g_1$ et $g_2$ r\e
alisant la projection de $f$ sur $C$, on aurait en consid\e rant leur milieu
$\frac {g_1+g_2}2$  et en appliquant l'identit\ea du parall\e logramme \a $u=f-g_1$
et
$v=f-g_2$,
$$\frac 1 2||2f-(g_1+g_2)||^2 = ||f-g_1||^2+||f-g_2||^2- \frac 1 2||g_1-g_
2||^2.$$
Donc $||f-\frac{g_1+g_2}2||^2< d(f,C)^2$.  Mais comme $\frac
{g_1+g_2}2$ est dans $C$, c'est impossible.  On montre maintenant  l'existence
de la projection. Soit $g_n$ une suite de $C$ telle que $||f-g_n||\to d(f,C)$.
En utilisant de nouveau l'in\e galit\ea du parall\e logramme,

$$\frac 1 2 ||g_n-g_m||^2=||f-g_n||^2+||f-g_m||^2-2||f-\frac{g_n+g_m}2||^2.$$
Quand $n$ et $m$ tendent vers l'infini, le membre de droite tend vers 0. La suite
$g_n$ est donc de Cauchy et converge vers un \e l\e ment $g$ de $C$, car $C$  est
ferm\e .  Montrons l'in\e galit\ea variationnelle (\ref{inegalitevariationnelle}).
Pour tout $h\in C$, et $t\in [0,1]$, les points $g+t(h-g)$ du segment $[g,h]$
appartiennent \a $C$. On a donc
\fb& \label{inegalitevariationnelle2}\forall t\in [0,1],\; ||g-f||^2\leq
||f-g-t(h-g)||^2 \hbox { ce qui est \e quivalent \a }\fe&
$$
\forall t\in [0,1],\; t^2||h-g||^2-2t\Re(f-g,
h-g)\geq 0.
$$
 On divise par $t$ et on fait tendre $t$ vers $0^\pm$ pour obtenir
(\ref{inegalitevariationnelle}).  R\e ciproquement, si
(\ref{inegalitevariationnelle}) est v\e rifi\e e pour tout $h\in C$,
(\ref{inegalitevariationnelle2}) aussi et en faisant $t=1$ on voit que $||f-g||$
r\e alise la distance minimale de $f$ \a un point de $C$.

Consid\e rons pour terminer le cas o\u $C$ est un sous-espace vectoriel ferm\ea
de $H$.  Soit $g$ la projection de $f$. Pour tout $v$ dans $C$, $g+e^{i \theta}v$
appartient \a $C$.  On a donc
$\Re(e^{i\theta}(v, g-f))\leq 0$ pour tout $\theta$ et donc $(v,g-f)=0$.  R\e
ciproquement, si $g\in C$ v\e rifie $(v,g-f)=0$ pour tout $v\in C$, on a
$(v-g,g-f)=0$ pour tout $v$ dans $C$ et par la deuxi\ee me partie du th\e or\ee
me \ref {desprojections}, $g$ est bien la projection de  $f$ sur $C$.
\enddemo
\dexer \index{Contractante (projection sur un convexe)}D\e montrer en utilisant
(\ref{inegalitevariationnelle}) que la projection
$P$ sur un convexe est une application contractante : $||Pf_1-Pf_2||\leq
||f_1-f_2||$.
\fexer
\begin{Def}\index{Orthogonal d'un sous-ensemble}
On appelle orthogonal d'un sous-ensemble $A$ de $H$ et note $A^\perp$ l'ensemble
$$A^\perp =\{v, \forall f\in A,\; (v,f)=0\}.$$
C'est un sous-espace vectoriel ferm\ea de $H$.
\end{Def}

\begin{cor} \index{D\e composition orthogonale (dans un Hilbert)}Si  $F$ un
sous-espace vectoriel ferm\ea d'un espace de Hilbert
$H$, alors tout
\e l\e ment de $H$ se d\e compose de mani\ee re unique sous la forme
\fb& \label{decompositionorthogonale}
f=g+h, \; g\in F, \; h\in F^\perp
\fe&
o\u $g$ est la projection de $h$ sur $F$ et $h$ la projection de $h$ sur
$F^\perp$.  On a donc
$$H=F+F^\perp, \; (F^\perp)^\perp = F, \; H^\perp = \{0\}.$$
Si $A\subset H$, on a toujours
$$(A^\perp)^\perp = \overline{\vect(A)}.$$
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
La relation (\ref{decompositionorthogonale}) est une cons\e quence du th\e or\ee
me \ref{desprojections} : si $f\in H$ on note $g$ sa projection orthogonale sur
$F$. Alors $f-g=h$ appartient \a $F^\perp$ par (\ref{inegalitevariationnelle}).
On remarque enfin que $A^\perp=\overline{\vect(A)}^\perp.$  En effet, si un \e l\e
ment $f$ est orthogonal \a $A$, il est orthogonal aux combinaisons lin\e aires
d'\e l\e ments de $A$ et donc \a $\vect(A)$ et  par un passage \a la limite
imm\e diat \a $\overline{\vect(A)}$.
\enddemo
%
\begin{cor} {\bf et d\e finition} \index{Totalit\ea (d'un syst\ee me dans un
Hilbert)} On dit qu'un sous-ensemble $A$ de l'espace de Hilbert $H$ est total si
l'espace vectoriel $\vect(A)$ engendr\ea par $A$ est dense dans $H$.  Pour que
$A$ soit total dans $H$, il faut et il suffit que $A^\perp$ soit r\e duit \a
$\{0\}.$
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
  Si $A$ est total, $\overline{\vect(A)}$ est
\e gal \a $H$ et donc $A^\perp=\overline{\vect(A)}^\perp=H^\perp = \{0\}.$
R\e ciproquement, si $A^\perp ={0}$, on a $\overline{\vect(A)}^\perp=\{0\}$ et
donc $\overline{\vect(A)}=H$, ce qui signifie que $A$ est total.
\enddemo
\begin{thf} (Riesz) \index{Riesz (th\e or\ee me de)}Pour tout $f\in H$,
l'application
$v\in H\to (v,f)$ est une forme lin\e aire continue sur $H$. R\e ciproquement, si
$\tilde f$ est une forme lin\e aire continue sur $H$, il existe un unique \e l\e
ment
$f\in H$ tel que
$$\tilde f(v) = (v, f).$$
En d'autres termes, $H$ est son propre dual. Tout espace de Hilbert est donc r\e
flexif.
\end{thf}
\drem  On conna\ii t d\e ja ce r\e sultat dans le cas o\u
$H=L^2(\RR^N)$.
\frem
\paragraph{D\e monstration}
La premi\ee re assertion d\e coule de l'in\e galit\ea de Cauchy-Schwarz.  R\e
ciproquement, soit $\tilde f$ une forme lin\e aire continue et non nulle sur $H$ et
$L$ son noyau, qui est un espace vectoriel ferm\e .  Comme $\tilde f\neq 0$, $L$
est un sous-espace strict et donc $L^\perp$ n'est pas r\e duit \a $\{0\}$.  Soit
$g\in L^\perp,$ non nul.  On a donc $\tilde f(g)\neq 0$ et on pose pour tout $v \in
H$
$$v=\frac{\tilde f(v)}{\tilde f(g)}g +(v-\frac{\tilde f(v)}{\tilde
f(g)}g)=v_1+v_2.$$
Le second terme  v\e rifie $\tilde f(v_2)=0$ et appartient donc \a $L$.  Comme
$g\in L^\perp$, on a donc
$$(v,g) =
\frac{\tilde f(v)}{\tilde f(g)}||g||^2.$$ Il en r\e sulte que
$$\tilde f(v) = (v, \frac{\overline{\tilde f(g)}}{||g||^2}g).$$
\enddemo
\begin{thf}\label{universalitedelaconvolution} (L'universalit\ea de la convolution)
\index{Convolution (Universalit\ea de la)} Soit $T  : L^2(\RR^N) \to
C_0^0(\RR^N)$ un op\e
rateur lin\e aire, invariant par translation et continu.  Alors il existe $g$ dans
$L^2(\RR^N)$ telle que
$T(f)=g\ast f$.
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
On consid\ee re la forme lin\e aire $f\to (Tf)(0)$, qui appartient par hypoth\ee se
\a
$(L^2(\RR^N))'$.  Il existe donc une fonction $g_0\in L^2$ telle que
\fb& \label{rieszconvolution}
(Tf)(0)=\int_{\RR^N}f(x)\overline{g_0}(x)dx.
\fe&
Par hypoth\ee se aussi, $T(\tau_xf)=\tau_xTf$, o\u l'on rappelle que l'on note
$\tau_xf(y)=f(y+x)$.  Donc par (\ref{rieszconvolution}),
$$
Tf(x) = (\tau_x (Tf))(0)= T(\tau_xf)(0)=\int_{\RR^N}f(x+y)\overline{g_0}(y)dy
= \int_{\RR^N}f(x-y)\overline{g_0}(-y)dy= f\ast g(x),
$$
o\u $g(y) = \overline{g_0}(-y)$.

\enddemo

\section{Bases hilbertiennes}
\begin{Def} \index{S\e parabilit\ea d'un espace} On dit qu'un espace de Hilbert est
s\e parable s'il admet une suite
d\e nombrable et dense.
\end{Def}
\begin{Def}\index{Base hilbertienne}
Soit un espace de Hilbert s\e parable. On appelle {\rm base hilbertienne} de $H$
un syst\ee me orthonorm\ea  fini  ou infini $(e_n)_{n\in \NN}$ qui est
total.  On a donc $(e_n,e_m)=\delta_{n,m}$ et $\overline{\vect((e_n)_n)}=H$.
\end{Def}
\begin{thf}
 Tout
espace de Hilbert s\e parable admet une base hilbertienne.
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
Soit $(f_n)_n$ une suite dense de $H$. On en extrait par r\e currence sur $n$ un
sous-syst\ee me libre (que nous appellerons encore par commodit\ea  $(f_n)$),
\ccaadd tel qu'aucun vecteur de la suite n'est combinaison lin\e aire des autres.
Le syst\ee  me obtenu n'est plus n\e cessairement dense, mais il reste total.  On
applique alors le proc\e d\ea de Hilbert-Schmidt \a la suite $f_n$.  On pose par
r\e currence
$$g_{n+1}=f_{n+1}-\sum_{k=1}^n (f_{n+1}, g_k)g_k,$$
ce qui donne un syst\ee me orthogonal et on pose finalement
$e_n=\frac{g_n}{||g_n||}$, ce qui donne une suite
$e_n$ orthonorm\e e.  Le syst\ee me est bien total puisque les $e_n$ engendrent
les $f_n$ et c'est donc une base hilbertienne.
\enddemo
\begin{thf}\index{Egalit\ea de Parseval}
Soit $H$ un espace de Hilbert s\e parable et $(e_n)_{n\in\NN}$ une base
hilbertienne de $H$.  Alors tout \e l\e ment de $H$ peut s'\e crire comme la
somme d'une s\e rie convergente
\fb& \label{decompositionsurlabase}
f=\sum_n (f, e_n)e_n  = \sum_n c_n(f)e_n
\fe&
et les coordonn\e es sur la base v\e rifient l'\e galit\ea de Parseval
\fb&
||f||^2 = \sum_n |c_n(f)|^2.
\fe&
R\e ciproquement, si $c_n$ est une suite v\e rifiant $\sum_n |c_n|^2<\infty$, la
s\e rie $\sum_n c_n e_n$ converge dans $H$ et sa somme $f$ v\e rifie $c_n(f)=c_n$.
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
On pose $f_m=\sum_1^m c_n(f)e_n$. On v\e rifie que $(f-f_m, e_n) = 0 $ pour
$n\leq m$.  Donc $f_m$ est la projection orthogonale de $f$ sur l'espace
engendr\ea par les $e_n$ pour $0\leq n\leq m$.  Donc $||f_m||^2\leq ||f||^2$. Par
le th\e or\ee me de Pythagore, on obtient
\fb& \label{parsevalfini}
||f_m||^2=\sum_1^n|c_n(f)|^2\leq ||f||^2,
\fe&
ce qui prouve que la s\e rie $\sum_n c_n(f)e_n$ est convergente dans
$H$ (proposition
\ref{convergencedeserie}). Appelons $g$ sa somme. Reste \a montrer que $f=g$.
Mais si $n\leq m$, on voit que $(f_m-g,e_n)=0$ et en passant \a la limite quand
$m\to\infty$, on obtient $(f-g,e_n)=0$. Donc $f-g$ est orthogonal \a un syst\ee me
total et est donc nul.  La relation de Parseval s'obtient en passant \a la limite
dans (\ref{parsevalfini}).

La r\e ciproque du th\e or\ee me est imm\e diate en reprenant les arguments pr\e
c\e dents.
\enddemo
\dexer (In\e galit\ea de Parseval)  \index{In\e galit\ea de Parseval}Montrer que
si
$(e_n)$ est un syst\ee me orthonorm\ea quelconque de
$H$, alors  $\sum_n |(e_n,f)|^2\leq ||f||^2$.  Montrer que si cette in\e
galit\ea est une \e galit\e , alors $(e_n)$ est une base hilbertienne.  Montrer
que tout syst\ee me orthonorm\ea peut \eee tre compl\e t\ea en une base
hibertienne.
\fexer
\begin{cor} \index{Isom\e trie (d'un Hilbert s\e parable \a $l^2$)}
Tout espace de Hilbert s\e parable est isom\e trique \a $l^2(\NN)$. Il
suffit d'associer \a $f\in H$ son vecteur de coordonn\e es sur une base
hilbertienne, $c = (c_1(f),..., c_n(f),...)$.  En particulier, on a
$$(f,g) = \sum_n c_n(f)\overline{c_n(g)}.$$
\end{cor}
\dexer \index{Continuit\ea d'une forme bilin\e aire}Montrer qu'une forme bilin\e
aire
$a(u,v)$ sur un espace vectoriel norm\ea est continue si et seulement si il
existe $C$ tel que
$|a(u,v)|\leq C||u||||v||$.
 \fexer
\begin{thf} (Lax-Milgram)\label{laxmilgram}\index{Lax-Milgram (th\e or\ee me
de)} Soit
$H$ un espace de Hilbert r\e el et  soit $a(u,v)$ une forme bilin\e aire sym\e trique sur $H$
continue et coercive,
\ccaadd satisfaisant
$$|a(u,v)|\leq C||u||||v||, \;\; \exists c>0, \;a(u,u)\geq c ||u||^2$$  et
$f\in H'$.  Alors il existe un unique \e l\e ment $u$ de $H$ tel que
$$\forall v\in H,\; a(u,v)=f(v).$$
De plus, $u$ est l'unique minimum de $\varphi(v)=\frac 12 a(v,v)-f(v)$.
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
On applique le corollaire \ref{convexecoerciveminimum} \a la fonction
$\varphi(v)$, qui est convexe, coercive et continue (et donc s.c.i. !) sur
l'espace r\e flexif
$H$.  Il existe donc $u\in H$ qui minimise $\varphi$.  Comme $\varphi$ est
strictement convexe, ce minimum est unique, car si $u_1$ et $u_2 $ r\e alisent le
minimum on  a $\varphi(\frac{u_1+u_2}2)<\frac 1 2 (\varphi(u_1) +\varphi(u_2))$ si
$u_1\neq u_2$.  On a pour tout $v$ dans $H$ et $t\in\RR$, $\frac 12a(u+tv,
u+tv)-f(u+tv)\geq \frac 12a(u,u)-f(u)$, soit $\frac 12t^2a(v,v)+
ta(u,v)-tf(v)\geq 0$. En divisant par $t$ et en passant \a la  limite
quand $t\to 0^\pm$, on obtient
$a(u,v)=f(v)$.
\enddemo
Terminons par quelques remarques sur la convergence faible dans un espace de
Hilbert.
\begin{pro} \index{Convergence faible dans un espace de Hilbert}
(i) Si $u_n\in H$ est born\e e et $H$ s\e parable, alors il existe une sous-suite
qui
converge faiblement : $$\forall v\in H, \; (u_n, v)\to (u,v).$$
(ii)R\e ciproquement, si $u_n\to u$, alors $u_n$ est born\e e et
$$||u||\leq\lim\inf_n ||u_n||.$$
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
(i) C'est une cons\e quence directe de la r\e flexivit\ea de $H$ s\e parable, qui
implique
la compacit\ea s\e quentielle de la boule unit\e .
\newline
(ii) Cons\e quence imm\e diate du th\e or\ee me de Banach-Steinhaus.
\enddemo

\dexer On pose dans $H=L^2(0, 2\pi)$, $u_n(x)= \sin nx$ et $v_n(x)=|\sin(nx)|$.
Montrer que
ces suites convergent faiblement dans $H$ mais pas fortement.  Calculer leur limite
faible.

\fexer
%\dexer
%Calculer dans $L^2(0,1)$ le maximum de $\int_0^1 f(x)dx$ sujet aux contraintes
%$\int_0^1|f|^2(x)dx=1$ et $\int_0^1 f(x)dx=0$.  On se ram\e nera au calcul d'une
%projection sur un convexe ferm\e .
%\fexer




%marque2
\paragraph{D{\'e}composition d'images sur la base de Haar}
\index{Base de Haar}
Nous nous pla{\c c}ons dans $L^2(\R^2)$. Nous consid{\'e}rons tout d'abord les fonctions
de $L^2(\R)$: $H(x)$, o{\`u} $H(x) = 1$ si $0 \leq x < \frac{1}{2}$, $H(x) = -1$ si $\frac{1}{2}
\leq
x < 1$, et $H(x)=0$ sinon, ainsi que $I(x)=\indic_{[0,1)}$. Nous d{\'e}finissons
ensuite les trois fonctions de $L^2(\R^2)$:
$$H_1(x,y)=I(x)H(y) \mbox{ , } H_2(x,y)=H(x)I(y) \mbox{ et } H_3(x,y)=H(x)H(y).$$
Enfin nous d{\'e}finissons
$$H_{i,k_1,k_2}^l (x,y) = 2^{l} H_i(2^l x - k_1,2^l x - k_2),\quad l,k_1,k_2 \in
 \ZZ, i=1,2,3.$$
 On peut montrer (cf exercice 3 pour la preuve en une dimension) que ces fonctions forment une base
 hilbertienne de $L^2(\R^2)$. On montre en fait que si $W_j$ est l'espace
 des fonctions en escalier dyadiques, constantes sur les hypercubes de
 c{\^o}t{\'e}s $2^{-j}$ et {\`a} moyenne nulle, les $\left(H_{i,k_1,k_2}^j
 (x,y)\right)$ sont une base de $W_j$. La figure \ref{haarondel}
 repr{\'e}sente une image et ses projections sur certains des espaces
engendr\'es par les familles de fonctions $\left(H_{i,k_1,k_2}^j
 (x,y)\right)$, \`a $j$ et $i$ fix\'es. Par
 ailleurs, nous avons au d\'ebut du chapitre \ref{reflexivite} d\'efini les $V_j$, espaces
 engendr{\'e}s par les fonctions en escalier dyadiques, constantes sur des
 hypercubes de c{\^o}t{\'e} de longueur $2^{-j}$. Au chapitre \ref{reflexivite}, figure \ref{haar},
 nous avons illustr{\'e} le concept de martingale sur une image $v$ gr{\^a}ce aux
 fonctions $v_k$. Dans le cadre des espaces de Hilbert, ces d{\'e}composition
 sont les projections de $v$ sur les espaces $V_k$. On peut en
 fait montrer que pour tout $j \in \Z$, on a $V_{j}=V_{j-1}\oplus W_{j}$. En ce
 sens, la d{\'e}composition de la figure \ref{haarondel} repr{\'e}sente les
 d{\'e}tails ajout{\'e}s {\`a} l'image $f$ lorsque l'on passe de la repr{\'e}sentation
 $v_k$ {\`a} la repr{\'e}sentation $v_{k+1}$. Le fait de s'int\'eresser aux
familles de fonctions $\left(H_{i,k_1,k_2}^j
 (x,y)\right)$ \`a $i$ fix\'e permet de voir les details  correspondant aux trois
directions associ\'ees aux fonctions $H_1$, $H_2$ et $H_3$: espectivement
verticale, horizontale et diagonale. Ce type de d{\'e}composition en images
 {\`a} une certaine pr{\'e}cision d'une part, et en images de d{\'e}tails d'autre part, utilisant des fonctions
 de moyenne nulle et {\`a} support compact, est {\`a} la base de la th{\'e}orie
 math{\'e}matique des ondelettes, qui a de tr{\`e}s nombreuses applications en traitement
 du signal et des images.

\begin{figure}
\begin{center}

\includegraphics[width=5cm]{out1_2.ps} \quad
\includegraphics[width=5cm]{out1_1.ps} \quad
\includegraphics[width=5cm]{out1_3.ps}

\vskip 1cm
\includegraphics[width=5cm]{out2_2.ps} \quad
\includegraphics[width=5cm]{out2_1.ps} \quad
\includegraphics[width=5cm]{out2_3.ps}

\vskip 1cm
\includegraphics[width=5cm]{out3_2.ps} \quad
\includegraphics[width=5cm]{out3_1.ps} \quad
\includegraphics[width=5cm]{out3_3.ps}

\end{center}
\caption{D{\'e}composition d'une image $f$ sur les espaces engendr\'s par les
familles $\left(H_{i,k_1,k_2}^j
 (x,y)\right)$, \`a $j$ et $i$ fix\'es (voir le
texte); premi\`ere ligne: $j=1$, et de droite \`a gauche, $i=1, i=2, i=3$;
deuxi\`eme ligne, $j=2$, troisi\`eme ligne, $j=3$. Les points de ces images
repr\'esentent les coefficients de la d\'ecomposition, un point \'etant
d'autant plus clair que son module est grand (sur une \'echelle non-lin\'eaire
pour une meilleure visualisation). Le coefficient correspondant \`a la fonction
$H^l_{i,k_1,k_2}$ est repr\'esent\'e au point de
coordonn\'ees $(k_1,k_2)$.}
\label{haarondel}
\end{figure}




\section{Exercices}
{ \bf Exercice 1}
\\ \\
1) Calculer
$$ \min_{a,b,c} \int_{-1}^1 {\vert x^3 -a - bx -cx^2 \vert}^2 dx,$$
et trouver
$$ \max \int_{-1}^1 x^3 g(x) dx,$$
o{\`u} g est soumis aux contraintes
$$\int_{-1}^1 g(x)dx = \int_{-1}^1 xg(x)dx =\int_{-1}^1 x^2 g(x)dx = 0;\quad
\int_{-1}^1
{\vert g(x) \vert}^2 dx =1.$$
2) Si $x_0 \in M$ et si M est un sous-espace vectoriel ferm{\'e} d'un espace de
Hilbert H,
{\'e}noncer le probl{\`e}me de maximum correspondant {\`a} $\min \{ \Vert x_0 - x
\Vert,\;x \in
M \}$ comme dans la question pr{\'e}c{\'e}dente.
\\ \\
{ \bf Exercice 2} (Lemme de Grothendieck)
\\ \\
Soit $\Om$ un espace mesur{\'e} et $\mu$ une mesure de probabilit{\'e} sur $\Om$. Soit
$S$
un sous-espace vectoriel ferm{\'e} de $L^1(\mu)$ tel que $S \subset \Linf(\mu)$. On
va
montrer que dim$S < \infty$.\\
1) Montrer que $\exists C, M$ tels que $\forall f \in S$, $\Vert f \Vert_{\infty}
\leq
C \, \Vert f \Vert_1$ puis que $\Vert f \Vert_{\infty} \leq M\,\Vert f \Vert_2$.\\
2) V{\'e}rifier que $(S,\Vert\,\Vert_2)$ est un espace de Hilbert. Soit
$\Phi_1,...,\Phi_n$ une famille orthonorm{\'e}e quelconque de $S$, montrer que
$$\sum_1^n \vert \Phi_i(x) \vert^2 \leq M^2,\quad \mbox{p.p.}$$
Conclure. \\
(On pourra consid{\`e}rer la fonction $f_c(x) = \sum_1^n c_i \Phi_i(x)$ o{\`u}
$c=(c_i)_i
\in \overline{B}(0,1) \subset \RR^n$.)
\\ \\
{ \bf Exercice 3} Base de Haar
\\ \\
On pose $H(x) = 1$ si $0 \leq x < \frac{1}{2}$ et $H(x) = -1$ si $\frac{1}{2}
\leq
x < 1$. C'est la fonction de Haar. On pose
$$H_k^l (x) = 2^{\frac{l}{2}} H(2^l x - k),\quad l,k \in \ZZ.$$
1) Dessiner les fonctions de Haar pour $l =1,2$. D{\'e}montrer que ces fonctions
forment un syst{\`e}me orthonormal de $L^2(\RR)$.\\
2) Compter les fonctions de Haar qui sont {\`a} support dans $[0,1]$ et qui sont
constantes sur les intervalles dyadiques de longueur $ 2^{-j}$. On appelle
$S_j$
le syst{\`e}me qu'elles forment. Remarquer qu'elles sont toutes d'int{\'e}grale nulle
et
d{\'e}duire qu'elles forment une base de $W_j$, l'espace des fonctions en escalier
dyadiques, constantes sur des intervalles de longueur $2^{-j}$ et {\`a} moyenne
nulle.\\
3) Montrer que le syst{\`e}me de Haar est une base hilbertienne de $L^2(\RR)$. On
commencera par montrer qu'une partie de la base de Haar engendre l'espace des
fonctions de $L^2(-2^j,2^j)$ {\`a} moyenne nulle sur $(-2^j,0)$ et $(0,2^j)$.
\\ \\
{\bf Exercice 4}
\\ \\
Soit $E$ un espace vectoriel norm{\'e} dont la norme v{\'e}rifie l'identit{\'e} du
parall{\'e}logramme, c'est {\`a} dire
$$\Vert a+b \Vert^2 + \Vert a-b \Vert^2 = 2 (\Vert a \Vert^2 + \Vert b
\Vert^2),\quad
\forall a,b \in E.$$
On se propose de montrer que l'expression suivante
$$(x,y) = \frac{1}{2} (\Vert x+y \Vert^2 - \Vert x \Vert^2 - \Vert y \Vert^2),\quad
x,y
\in E,$$
d{\'e}finit un produit scalaire sur $E$ tel que $(x,x)=\Vert x \Vert^2$.\\
1) V{\'e}rifier que $(x,y) = (y,x)$, $(-x,y) = - (x,y)$ et $(x,2y) = 2(x,y)$,
$\forall
x,y \in E$.\\
2) Montrer que $(x+y,z) = (x,z) + (y,z)$, $\forall x, y, z \in E$.\\
On pourra appliquer l'identit{\'e} du parall{\'e}logramme successivement avec
\begin{eqnarray*}
(1) & a=x,\,\,b=y,\\
(2) & a= x+z,\,\,b=y+z,\\
(3) & a=x+y+z,\,\,b=z.
\end{eqnarray*}
3) Montrer que $(\lambda x,y)=\lambda(x,y)$, $\forall \lambda \in \RR$, $\forall
x,y
\in E$. (Le faire d'abord pour $\lambda \in \NN$, puis $\lambda \in \QQ$ et enfin
$\lambda \in \RR$.)
\\ \\
{\bf Exercice 5}
\\ \\
Soit $w(x) = x^{-\log x}$. On consid{\`e}re l'espace de Hilbert $L^2_w(0,+\infty) =
\left\{ f : f \sqrt{w} \in L^2(0,+\infty) \right\}$ muni de $(f,g) =
\int_0^{\infty}
fgw dx$. Soit $\PP = \left\{ p \,\mbox{polyn{\^o}me {\`a} coefficients r{\'e}els}
\right\}$. \\
1) V{\'e}rifier que $\PP \subset L^2_w(0,+\infty)$.\\
2) Soit $f(x) = \sin(2\pi \log x)$, montrer que $\forall n \in \NN$, $( x^n,f) =
0$.\\
En d{\'e}duire que $\PP$ n'est pas dense dans $L^2_w(0,+\infty)$.
\\ \\
{\bf Exercice 6}
\\ \\
Soit V un espace de Hilbert r{\'e}el tel que $\mbox{dim V} = \infty$.\\
Soit $a : V\times V \longrightarrow \RR$ une application bilin{\'e}aire continue et
coercive c'est {\`a} dire telle que $ \exists \beta > 0,\; \vert a(u,v) \vert \leq
\beta
\Vert u \Vert\,\Vert v \Vert$, $\forall u,v \in V$ et $\exists \alpha > 0 $ tel que
$a(v,v) \geq \alpha {\Vert v \Vert}^2$, $\forall v \in V$.\\
Soit $\ell \in V^{\prime}$.\\
1) Montrer que $\exists!u \in V$ tel que $a(u,v)=\ell(v)$, $\forall v \in V$ et que
$\Vert u \Vert \leq \frac{1}{\alpha} {\Vert \ell \Vert}_{V^{\prime}}$.\\
2) On suppose dans toute la suite de l'exercice que V satisfait l'hypoth{\`e}se
suivante
:\\
il existe une suite de sous-espaces $(V_n)_{n \geq 1}$ de V telle que
\[ (H) : \left\{ \begin{array}{ll}
(i) & \mbox{dim} V_n = p_n, \\
(ii) & V_n \subset V_{n+1},\\
(iii) & \bigcup_n V_n \mbox{ est dense dans V.}
                \end{array}
\right. \]
V{\'e}rifier que $\exists!u_n \in V_n$ tel que $a(u_n,v) = \ell(v)$, $\forall v
\in V_n$ et que l'on peut extraire de $(u_n)_n$ une sous-suite qui converge
faiblement
dans V vers une limite $u\star$.\\
3) D{\'e}montrer que $u = u\star$. En d{\'e}duire que toute la suite $(u_n)_n$ converge
faiblement dans V vers u.\\
On veut montrer que  $(u_n)_n$ converge fortement vers u dans V.\\
4) Premi{\`e}re d{\'e}monstration : En d{\'e}veloppant $a(u_n-u,u_n-u)$, montrer que
$\Vert
u_n-u \Vert \longrightarrow 0$ quand $n \rightarrow \infty$.\\
5) Deuxi{\`e}me d{\'e}monstration : On note $\delta_n = \inf \{ \Vert u - w \Vert,\;w
\in
V_n \}.$

a) Montrer que $\delta_n$ est atteint.

b) Montrer (sans utiliser la forme bilin{\'e}aire $a$) que $\delta_n \longrightarrow
0$.

c) Montrer que $\Vert u_n -u \Vert \leq \frac{\beta}{\alpha} \delta_n$ et en
d{\'e}duire
que $u_n$ converge fortement vers $u$ dans V.
\\
Questions subsidiaires :\\
1) Montrer que $p_n \rightarrow +\infty$ quand $n \rightarrow +\infty$.\\
2) Montrer que l'hypoth{\`e}se (H) $\Longrightarrow$ V s{\'e}parable.

%\include{chap910}
\chapter{S{\'e}ries de Fourier}
 On consid\ee re l'espace de Hilbert $L^2([-\pi, \pi])$ que l'on notera aussi
$L^2(-\pi,\pi)$.  On
va montrer que le syst\ee me orthonorm\ea
$$\frac {1}{(2\pi)^\frac {1}{2}}(e^{ikt})_{k\in \cal Z}$$
est une base hilbertienne de $L^2(-\pi, \pi)$.  Cette base s'appelle la base de
Fourier.  On notera
$$c_n(f) = \frac {1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}dx,$$ en sorte que pour
toute $f$ dans $L^2([-\pi, \pi])$ on puisse \e crire

$$ f(x) =  \sum_{n\in \relative} c_n(f)e^{inx},$$
la s\e rie pr\e c\e dente convergeant au sens $L^2$.  Les $c_n(f)$ s'appellent
les coefficients de Fourier de $f$ et sont proportionnels aux coordonn\e es de
$f$ dans la base de Fourier.

Pour montrer ce r\e sultat, on va commencer par analyser le comportement des
coefficients de Fourier selon la r\e gularit\ea de $f$.
\begin{lem} \index{Riemann-Lebesgue (Lemme de)} (Lemme de
Riemann-Lebesgue)\label{riemann-lebesgue}
\newline
i)  On pose pour $f\in L^1(\RR)$, $$\hat f(\xi) =
\int_{\RR} f(x) e^{-i\xi x}dx.$$  Si $f\in {\cal C}_c(\RR)$ est  $k$ fois diff\e
rentiable et
 telle que $f^{(k)}\in L^1(\RR)$,  alors
$$|\hat f(\xi)|\leq
\frac {||f^{(k)}||_{L^1}} {|\xi|^k}.$$
\newline
ii) Si $f\in
L^1(\RR)$ alors $\int_{\RR} f(x)e^{iax}dx \to 0 $ quand $|a|\to \infty$.
\newline
iii) Application aux coefficients de Fourier : si $f\in L^1(-\pi, \pi)$,
$$\lim_{\vert n\vert\to \infty} c_n(f) = 0.$$
\end{lem}
\drem
Si $f\in L^2$, on sait imm\e diatement que $c_n(f)\to 0$ car $c_n(f)$ s'interpr\ee
tent
comme les coordonn\e es de $f$ sur un syst\ee me orthonorm\e .
\frem

\paragraph{D\e monstration}
i)
 En int{\'e}grant par parties $k$  fois l'int{\'e}grale d{\'e}finissant $\hat f$,
on
 obtient pour $\xi \neq 0$,
 $$|\hat f(\xi)| = |\frac 1 {(i\xi)^k}\int f^{(k)}(x)e^{-ix\xi}dx|\leq \frac
 {||f^{(k)}||_{L^1}}{|\xi|^k}.$$
\newline
ii)
 Soit $f_n$ une suite de fonctions ${\cal C}^{\infty}$ et {\`a} support compact qui
tendent
vers
 $f$ dans $L^1$ (proposition \ref{densiteCinfiniL1deomega}).  On a, pour $n$
fix{\'e} assez grand :
$||f_n -f||_1\leq
\varepsilon$,
 ce qui implique $|\hat f_n(\xi)-\hat f(\xi)|\leq \varepsilon$ pour tout $\xi$.
En utilisant (i), on voit que $|\hat f_n(\xi)|\to 0$ quand $n$ est fix{\'e}
 et $|\xi|\to \infty$.  Donc $|\hat f_n(\xi)|\leq \varepsilon$  pour $\xi $ assez
grand.
 Finalement,
 $$|\hat f(\xi)| \leq |\hat f(\xi)-\hat f_n(\xi)| + |\hat f_n(\xi)|\leq
2\varepsilon$$
 pour $\xi$ assez grand.
\enddemo

\noindent La proposition suivante nous dit que la s\e rie de Fourier de $f$
converge vers $f(x)$ en tout point $x$ o\u $f$ est suffisamment r\e guli\ee re.

\begin{pro} \label{lemmedelocalisation}\index{Principe de localisation}
( Principe de localisation)
\newline
Si $f\in L^1(-\pi, \pi)$ et si la fonction $y\to\frac {f(y)-f(x)}
{y-x}$ est int{\'e}grable sur un voisinage de $x$, alors
$\lim_{N\to \infty} s_Nf(x) = f(x), $ o{\`u} on a
not{\'e} : $s_Nf(x)= : \sum_{\vert n\vert \leq N} c_n(f)e^{inx}.$
\end{pro}
Expliquons pourquoi le r\e sultat pr\e c\e dent s'appelle principe de
localisation.
 Alors que $s_N(f)$ est le r{\'e}sultat d'un calcul int{\'e}gral sur tout
l'intervalle
 $[-\pi, \pi]$, et donc d'un calcul global, le comportement de $s_Nf(x)$
d{\'e}pend du
 comportement local de $f$ au voisinage de $x$. Il y  a donc ``localisation''.

\paragraph{D\e monstration}
{\bf Etape 1}
 On se ram\ee ne au cas $f(x)=0,   x=0$.  \newline
  Supposons la proposition
d{\'e}montr{\'e}e pour $x=0$, $f(x)=0$.  Soit maintenant
 $g\in L^1(-\pi, \pi)$ telle que $\frac{g(y)-g(x)}{y-x}$ soit int{\'e}grable au
voisinage
 de $x$. Alors on pose $f(y)= g(x+y)-g(x) $.  On a bien $f(0)=0$ et
$\frac{f(y)}{y}=\frac {g(x+y)-g(x)}{y}$ est int{\'e}grable au voisinage de 0.
Donc, par
 hypoth{\`e}se, $s_Nf(0)\to f(0)=0$.  Mais
 $$s_Nf(0)=\sum_{|n|\leq N}c_n(g(x+y)-g(x))=\sum_{|n|\leq N}
\frac 1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(g(x+y)-g(x))e^{-iny}dy$$
 $$=(\sum_{|n|\leq N}\frac 1
 {2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g(z)e^{-in(z-x)}dz) -g(x)=(\sum_{|n|\leq N}
\frac 1 {2\pi}e^{inx}\int_{-\pi}^{\pi}g(z)e^{-inz}dz)-g(x)$$
 $$= s_Ng(x)-g(x).$$
 Donc $s_Ng(x)\to g(x).$
En fait, l'argument pr\e c\e dent montre que $s_N$ commute avec les translations :
$$s_N[g(.+x)] = (s_Ng)(.+x).$$
\newline
\newline
{\bf Etape 2} On a
 \fb& \label{formeFourierRiemann}
s_Nf(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(y)
\frac{\sin (N+\frac{1}{2})y}{\sin\frac{y}{2}}dy.
\fe&
 En effet, $\sum_{-N}^Ne^{iky}=\frac {\hbox{sin}(N+\frac {1} {2})y}{\hbox{sin}\frac
{y}
 {2}}$, ce qui se prouve ais{\'e}ment en sommant la suite g{\'e}om{\'e}trique.
\newline
\newline
{\bf Etape 3} Par l'\e tape 1 il suffit de montrer que si $f\in L^1(-\pi, \pi)$  et
si
$\frac {f(y)}{y}$ est
 int{\'e}grable autour de 0, alors $s_Nf(0)\to 0$.  Comme sur $[-\pi, \pi]$,
 $|\hbox{sin}\frac y 2|\geq \frac {|y|} {\pi}$, on a
 $$|\frac {f(y)} {\hbox{sin}\frac y 2}|\leq \frac {\pi |f(y)|}{|y|}\in L^1(-\pi,
\pi).$$
 Donc on peut appliquer le lemme de Riemann-Lebesgue \a la  fonction
$\frac {f(y)}{\hbox{sin}\frac y 2}$.  On conclut que l'int{\'e}grale de
(\ref{formeFourierRiemann}) d\e finissant $s_Nf(0)$ tend vers 0 quand $N$ tend vers
l'infini.
\enddemo

\begin{cor} \index{Base de Fourier} \label{basel2} Le syst\ee me
$$\frac {1}{(2\pi)^\frac {1}{2}}(e^{ikt})_{k\in \cal Z}$$
est une base hilbertienne de $L^2(-\pi, \pi)$. Notant
$c_n(f) = \frac {1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-inx}f(x)dx,$ on a donc pour toute
$f$ dans
$L^2([-\pi, \pi])$,
$$ f(x) =  \sum_{n\in \relative} c_n(f)e^{inx},$$
la s\e rie pr\e c\e dente convergeant au sens $L^2$.
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
On appelle polyn\oo me trigonom\e trique toute expression de la forme
$P(t)=\sum_{k=-N}^N a_k e^{ikt},$ o\u les $a_k$ sont des nombres complexes.
Pour montrer que le syst\ee me de Fourier est une base hilbertienne, il nous
suffit de montrer que c'est un syst\ee me total, \ccaadd que les polyn\oo mes
trigonom\e triques forment un sous-espace vectoriel dense de $L^2(-\pi, \pi)$. Mais
le  lemme \ref{lemmedelocalisation}
( Principe de localisation) nous assure que si $f$ est (e.g.) ${\cal C}^2$ et
$2\pi$-p\e
riodique sur $\RR$, alors $s_N(f)(x)\to f(x)$ en tout point.  Comme de plus les
coefficients de la s\e rie de Fourier de $f$ v\e rifient $|c_k(f)|\leq \frac
C{k^2}$, la s\e rie de Fourier est en fait uniform\e ment convergente et donc
converge  aussi dans $L^2([-\pi, \pi])$ vers $f$.  Or, les fonctions ${\cal C}^2$
et
2$\pi$-p\e riodiques forment un sous-espace dense de $L^2([-\pi, \pi])$.
En effet, par le corollaire \ref{densiteCinfiniL1deomega}, les fonctions ${\cal
C}^{\infty}$
\a support compact dans $[-\pi,\pi]$ sont denses dans $L^2(-\pi,\pi)$. On conclut
que le syst\ee me de Fourier est total, et donc une base hilbertienne.
\enddemo

\begin{cor} \index{Principe de localisation (pour une fonction H\ooo lderienne)}
si $f\in L^1([-\pi, \pi])$ est H{\"o}ld{\'e}rienne d'exposant
 $0<\alpha\leq 1$ en $x$ (\ccaadd $\vert f(x)-f(y)\vert \leq C\vert x-y
\vert^\alpha $ ), alors $s_Nf(x)\to f(x)$. Cette conclusion s'applique si $f$ est
une primitive sur $[-\pi, \pi]$ d'une fonction de
$L^2(-\pi, \pi)$.
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
 L'application du principe de localisation est imm{\'e}diate :\newline $|\frac
{f(y)-f(x)}{y-x} |\leq |x-y|^{\alpha -1}$ qui
 est bien int{\'e}grable au voisinage de $x$.
 Soit maintenant $f$ une fonction qui est la primitive sur $[-\pi, \pi]$ d'une
fonction de
$L^2(-\pi, \pi)$.
En appliquant l'in{\'e}galit{\'e} de Cauchy-Schwarz,
  $$|f(x)-f(y)| = |\int_y^x f'(t)dt|
 \leq |y-x|^{\frac 1 2}(\int_{-\pi}^{\pi} |f'(t)|^2dt)^{\frac 1 2}.$$
 La fonction $f$ est donc H{\"o}lderienne d'exposant $\frac 1 2$ et le principe de
 localisation s'applique.
\enddemo

\begin{rem} {\bf (importante)} Le principe de localisation, quand il s'applique,
nous assure que les sommes {\rm sym\e triques}, $s_nf(x)=  \sum_{\vert k\vert
\leq n} c_k(f)e^{ikx}$ de la s\e rie de Fourier convergent vers $f(x)$.  Le fait
que le syst\ee me de Fourier soit une base hilbertienne nous en dit plus, et
moins.  En effet, si $f\in L^2([-\pi, \pi])$, on peut assurer que les sommes {\it
asym\e triques},
$s_{m,n}f(x)=  \sum_{-m\leq k\leq n}
c_k(f)e^{ikx}$ convergent dans $L^2$ vers $f$ quand $n,m\to +\infty$.
Mais, attention : cette convergence n'est pas ponctuelle.
\end{rem}

\section{ Convolution des fonctions p\e riodiques et s\e ries de Fourier}
La d\e composition en s\e rie de Fourier d'une fonction $f\in L^2([-\pi, \pi])$
implique qu'on la consid\ee re comme une fonction $2\pi-$p\e riodique, puisque la
s\e rie de Fourier l'est.
\begin{Def}\index{Convolution p\e riodique} {\bf et proposition}
 Si  $f\in L^1([-\pi, \pi])$ et $g\in L^1([-\pi, \pi])$, on prolonge $f$
et $g$ en des fonctions $2\pi $-p\e riodiques sur $\RR$ et on pose
$f \ast g(x)=\int_{-\pi}^\pi f(y)g(x-y)dy$. La fonction $f \ast g$ ainsi d\e finie
appartient
\a
$L^1(-\pi,\pi)$ et est
$2\pi$-p\e riodique.
\end{Def}
\dexer  En reprenant l'argument du th\e or\ee me \ref{universalitedelaconvolution},
montrer que si $T: L^2_{periodique}([-\pi, \pi])\to C^0_{periodique}([-\pi,\pi])$
est lin\e
aire, continu  et commute avec les translations,
alors il existe une fonction
$g\in L^2([-\pi,
\pi])$ telle que
 $Tf=g\ast f$, o\u "$\ast$" d\e signe la convolution p\e riodique.`
\fexer

\begin{thf}
Si $f, g \in L^2(-\pi, \pi)$, alors $f\ast g$ est continue  et
$c_n(f\ast g) = 2\pi c_n(f)c_n(g)$.
De plus, la s{\'e}rie de Fourier de $f\ast g$ converge uniform\e ment vers $f\ast
g$.
\end{thf}
Remarquons que la relation pr\e c\e dente montre l'effet r\e gularisant de la
convolution
: les hautes fr\e quences de $f\ast g$ sont plus faibles que celles de $f$, puisque
$c_n(g)$ tend vers z\e ro.
\paragraph{D\e monstration}


\noindent i) On a par l'in\e galit\ea de Cauchy-Schwarz
$$|(f\ast g)(t)|\leq
\int|f(t-s)||g(s)|ds\leq ||f||_{L^2}||g||_{L^2}.$$
\newline Donc $f\ast g\in L^2(-\pi, \pi)$ et on a, en
appliquant plusieurs fois le th\e or\ee me de Fubini (les int\e grales se  font
sur $[-\pi, \pi]$ ou, indiff\e remment, sur n'importe quel intervalle de longueur
$2\pi$) :
$$c_n(f\ast g)=\frac 1{2\pi}\int\int f(t-s)g(s)e^{-int}dsdt =
\frac 1 {2\pi}\int\int f(t-s)e^{-in(t-s)}g(s)e^{-ins}dsdt$$
$$= \frac 1 {2\pi}(\int g(s)e^{-ins}ds
)(\int f(u)e^{-inu}du)=c_n(f)c_n(g).$$
\newline
 Le terme g\e n\e ral de la s\e rie de Fourier de $f\ast g$ v\e rifie
$$|c_n(f\ast g)e^{inx}|=|c_n(f)||c_n(g)|\leq |c_n(f)|^2+|c_n(f)|^2.$$
 Cette
derni\ee re s\e rie est convergente.  La s\e rie de Fourier de $f\ast g$ est donc
uniform\e ment convergente.  Sa limite est donc continue.  Remarquer que si
$f_n\to f$ dans $L^2$ et si $f_n\to g$ presque partout, alors $f=g$ : c'est une
cons\e quence de la r\e ciproque du th\e or\ee me de Lebesgue.
\enddemo


\begin{cor} \index{Base de Fourier en sinus et cosinus}Autres bases de Fourier.
Les fonctions
$$\frac{1}{\sqrt T},    \sqrt \frac{2}{T} \cos(\frac {2k\pi t}{T}),
  \sqrt \frac{2}{T} \sin(\frac {2k\pi t}{T}),   k=1, 2, ... $$
forment une base hilbertienne de $L^2(0,T)$.
\newline
ii) Il en est de m\eee me pour  les fonctions \index{Base en cosinus}
$$\frac{1}{\sqrt T},    \sqrt \frac{2}{T} \cos(\frac {k\pi t}{T}),   k=1,
2, ...  $$
  La transform\e e associ\e e \a la base en cosinus s'appelle la "transform\e e en
cosinus."
\newline La "base en sinus",\index{Base en sinus} $\sqrt
\frac{2}{T}
\sin(\frac {k\pi t}{T}),   k=1, 2, ...  $.
\end{cor}

\paragraph{D\e monstration}
i) Cette premi\ee re base r\e sulte de l'application \a la base de Fourier de la
remarque g\e n\e rale suivante.  Si $(e_k)_{k\in \relative }$ est une base
hilbertienne, alors le syst\ee me $f_0=e_0$,..., $f_{2k}=\frac{e_k+e_{-k}}{\sqrt
2}$,
$f_{2k+1}=\frac{e_k-e_{-k}}{\sqrt 2}$, ... aussi.
\newline
ii) Si $f\in L^2(0,T)$, on lui associe la fonction paire $\tilde f$ sur $[-T, T]$
qui co{\"\i}ncide avec $f$ sur $[0,T]$.  On d\e compose $\tilde f$ sur la base de
Fourier de
$[-T,T]$.   La base de Fourier sur $[-T, T]$ est form\e e des fonctions $\frac
1{\sqrt
{2T}}e^{i\pi kt\over T}$. Donc on a
\newline
$\tilde f(x) =_{\small L^2} \sum_{n\in \relative}\frac 1 {2T}(\int_{-T}^{T}\tilde
f(t)e^{-i\pi kt\over T}dt )e^{i\pi kx\over T}.$
Comme $\tilde f$ est paire, on voit en faisant le changement de variables $t\to -t$
dans les
int\e grales que les coefficients de $e^{i\pi kt \over T}$ et $e^{-i\pi kt \over
T}$ sont \e
gaux.  On remarque aussi que $\int_{-T}^T\tilde f(t)e^{i\pi k t\over T}dt =2
\int_0^T f(t)\cos(\frac{\pi kt}T)dt$.  Aussi,
\newline
$\tilde f(x) =_{\small L^2}\frac 1 {2T}\int_{-T}^T\tilde f(t)dt + \sum_{n\in
\NN^*}\frac 1 {2T}(\int_{-T}^{T}\tilde f(t)e^{-i\pi kt\over T}) (e^{i\pi
kx\over T}+e^{i\pi kx \over T}),$ et donc
\newline
$ f(x) =_{\small L^2}\frac 1 {T}\int_{0}^T f(t)dt + \sum_{n\in
\NN}\frac 2 {T}(\int_{0}^{T} f(t)\cos(\frac{\pi kt}T)) \cos(\frac{\pi
kx}T).$
 Comme les fonctions \linebreak $\frac 1 {\sqrt T},\;\sqrt{\frac 2 T}
\cos(\frac{\pi kx}T)$ forment un syst\ee me orthonorm\ea de
$L^2(0,T)$, l'\e galit\ea  pr\e c\e dente exprime qu'elles forment en fait une base
hilbertienne.
\newline\newline
(iii)   Si on prolonge la fonction $f$ en une fonction
impaire sur $[-T, T]$ et que l'on reprend le raisonnement pr\e c\e dent,  on trouve
la base en sinus. Cette base a la propri\e t\e , utile
pour mod\e liser les cordes vibrantes, que ses \e l\e ments valent 0
aux extr\e mit\e s de l'intervalle.

\enddemo
\\ \\

{\bf Remarque:} Le r{\'e}sultat ii), relatif {\`a} la
transform{\'e}e en cosinus, s'obtient en consid{\'e}rant la s{\'e}rie
de Fourier du signal pair $\tilde f$ obtenu par symm{\'e}trie par rapport {\`a} l'axe des $y$. Ceci est tr{\`e}s important en pratique, car
l'introduction de cette symm{\'e}trie, qui se g{\'e}n{\'e}ralise sans mal au cas des
images, permet d'eviter la pr{\'e}sence de discontinuit{\'e}s aux fronti\`eres
du domaine de l'image (image qui est suppos\'ee p\'eriodique dans le cadre de
la d\'ecomposition en s\'eries de Fourier), qui sont
{\`a} l'origine d'effets de Gibbs (voir le paragraphe \ref{Gibbs}). En pratique,
ce type de transform{\'e}e en cosinus est souvent utilis{\'e}e en
compression des images (comme dans le standard JPEG). Un autre avantage de
cette d{\'e}composition, pour la compression, est pr{\'e}sent{\'e} ci-dessous.

\section{ D{\'e}croissance des coefficients de Fourier et probl{\`e}mes de compression du
signal}

On s'int{\'e}resse au comportement des coefficients de Fourier quand la $2\pi$-p{\'e}riodis{\'e}e de  $f$
est $C^1, C^2,$ etc... Si $f$ est $C^p$ et $2\pi$-p{\'e}riodique, en int{\'e}grant par parties $p$ fois sur
 $[0, 2\pi]$,  $$c_n(f) = \int e^{-inx}f(x)dx = \frac 1 {(in)^p} \int
 e^{-inx}f^{(p)}(x)dx.$$
 Donc, les coefficients d{\'e}croissent d'autant plus vite que $f$ est plus
 r{\'e}guli{\`e}re.

Si maintenant $f$ pr{\'e}sente un saut en 0, on montre que si $f$ est $C^1$ sur $[0, 2\pi]$ mais pas
$2\pi$-p{\'e}riodique, alors $c_n(f)=O(\frac 1 n)$. Plus pr{\'e}cis{\'e}ment, si nous notons $f(0^+)$ la valeur en 0 par la
 droite et $f(2\pi^-)$ la valeur en $2\pi$ par la gauche
$$c_n(f) = \frac 1 {in}\int_0^{2\pi} e^{-inx}f'(x)dx +
\frac{f(0^+)-f(2\pi^-)}{in}.$$
Or on montre (par le lemme de Riemann-Lebesgue) que le premier terme est $o(\frac 1 n)$. On sait que
 $\sum_{n\geq N} \frac 1{n^2} = O(\frac 1 n)$, et la d{\'e}croissance des
coefficients de Fourier de la fonction est donc tr{\`e}s lente (1000
 termes pour une pr{\'e}cision de  $10^{-3}$), d{\`e}s que la fonction pr{\'e}sente
une discontinuit{\'e}.

En ce qui concerne les coefficients de Fourier $c_{k,l}$ d'une ``image'',
c'est-{\`a}-dire une fonction $f(x,y)$ d{\'e}finie sur un carr{\'e} $[0, 2\pi]\times [0,
2\pi]$, $C^1$, mais pas $2\pi\times 2\pi$-p{\'e}riodique, le r{\'e}sultat est
identique. On montre que $c_{n, m} = O(\frac 1 {nm})$ et le reste (pour la  norme $L^2$) de la
 s{\'e}rie double est donc en $O(\frac 1 {nm})$.  Donc, pour
 une pr{\'e}cision de $10^{-3}$,
 il faut encore 1000 termes.

Une bonne alternative lorsque la fonction pr{\'e}sente une discontinuit{\'e} du
 type pr{\'e}c{\'e}dent consiste {\`a} utiliser la tranform{\'e}e en cosinus: $c_n(f)
 =\frac 1 \pi \int _0^{2\pi} \cos nx f(x) dx$. On a, en int{\'e}grant par parties
 et en remarquant que $\sin nx$ s'annule en 0 et
 $2\pi$, $$c_n(f) = \frac 1 {i\pi n}\int_0^{2\pi}\sin nxf'(x)dx.$$
Puis on montre que $c_n(f) = o(\frac 1 n)$ par le lemme de Riemann-Lebesgue. Les coefficients de
 Fourier ``en cosinus'' d{\'e}croissent donc plus vite qu'avec la transform{\'e}e de Fourier
classique
 et on peut donc en transmettre moins pour une qualit{\'e} d'image {\'e}gale. Pour
 transmettre une image, on la d{\'e}coupe en petits carr{\'e}s et on transmet une partie
 des coefficients de Fourier de chaque imagette (principe utilis{\'e}e par le
 standard JPEG).  On augmente ainsi la probabilit{\'e}
 qu'une imagette pr{\'e}sente une couleur homog{\`e}ne et soit donc r{\'e}guli{\`e}re.
 L'utilisation de la tranform{\'e}e en cosinus permet donc de comprimer l'information dans
 les sous-carr{\'e}s de l'image o{\`u} celle-ci est r{\'e}guli{\`e}re.  Par contre, les
 calculs pr{\'e}c{\'e}dents prouvent qu'on ne gagne rien quand un ``bord'' est pr{\'e}sent
 dans l'imagette. En effet, (on pourra expliciter le calcul pour une image blanche au
 dessus de la diagonale et noire en dessous), un calcul du m{\^e}me type que ci-dessus implique
 que les coefficients d{\'e}croissent en $O(\frac 1 {nm})$. C'est ce qui explique les
 ph{\'e}nom{\`e}nes de ``halo'' autour des objets sur un fond contrast{\'e} : le petit
 nombre de coefficients transmis ne suffit pas {\`a} approcher bien
 l'imagette. Nous verons au chapitre \ref{Gibbs} qu'il y a une autre raison {\`a}
 ceci: le ph{\'e}nom{\`e}ne de Gibbs. Le long des discontinuit{\'e}s de
 l'image, apparaissent toujours des oscillations r{\'e}siduelles, quel que soit
 le nombre de coefficients transmis.

En conclusion, la transform{\'e}e en cosinus, s'affranchissant des discontinuit{\'e}s aux
fronti{\`e}res du domaine de l'image, pr{\'e}sente un double avantage sur la
transform{\'e}e de Fourier. En terme d'{\'e}conomie
de la repr{\'e}sentation, elle tire mieux partie de l'eventuelle r{\'e}gularit{\'e}
de la fonction {\`a} l'int{\'e}rieur de son domaine (r{\'e}gularit{\'e} souvent
{\'e}lev{\'e}e dans le cas d'imagettes). De plus, elle {\'e}vite l'apparition
d'oscillations r{\'e}siduelles le long de ces fronti{\`e}res.

\section{Ph{\'e}nom{\`e}ne de Gibbs}
\label{Gibbs}
\index{Ph{\'e}nom{\`e}ne de Gibbs}

Dans ce chapitre, nous d{\'e}taillons comment la repr{\'e}sentation d'un
signal par sa s{\'e}rie de Fourier conduit
{\`a} l'apparition d'oscillations r{\'e}siduelles, dont l'amplitude ne d{\'e}pend
pas du nombre de coefficients utilis{\'e}s pour repr{\'e}senter la fonction. Ce
r{\'e}sultat math{\'e}matique sur l'approximation d'un signal par les sommes
partielles de sa s{\'e}rie de Fourier porte le nom de ph{\'e}nom{\`e}ne de Gibbs, et l'apparition
des oscillations sur les images num\'eriques est habituellement qualifi{\'e}e de
``ringing''.

Ce ph{\'e}nom{\`e}ne est observ{\'e} {\`a} la sortie de tout syst{\`e}me physique ou
num{\'e}rique  mesurant ou calculant  une fonction $f$. Si la fonction $f(t)$ ($t$
d{\'e}signant par exemple le temps) ``saute'' brusquement d'une valeur {\`a} une autre,
alors l'exp{\'e}rimentateur observe une s{\'e}rie d'oscillations avant et apr{\`e}s le
saut.  Il se gardera bien de les interpr{\'e}ter comme faisant partie du signal.  En
effet, le ph{\'e}nom{\`e}ne est  d{\^u} au fait que les appareils de
mesure (et les programmes num{\'e}riques sur ordinateur) ``tronquent'' n{\'e}cessairement
les hautes fr{\'e}quences.  Cela veut aussi dire que l'on n'observe jamais les fonctions
elles m{\^e}mes, mais des sommes partielles de leur s{\'e}rie de Fourier.  Et on observe
donc aussi les ``parasites'' d{\^u}s {\`a} cette troncature en fr{\'e}quence ; en
particulier, le ph{\'e}nom{\`e}ne de Gibbs.
Du point de vue math{\'e}matique, on peut {\'e}noncer le ph{\'e}nom{\`e}ne comme suit :
  \newline
`` Si une fonction $f$, par ailleurs r{\'e}guli{\`e}re,   pr{\'e}sente un saut en un
point, alors les sommes partielles $s_Nf$ de sa  s{\'e}rie de  Fourier accentuent ce saut
en le multipliant par un facteur qui ne  d{\'e}pend pas de $N$.''

Voici le r{\'e}sultat pr{\'e}cis dans un cas simple: on consid{\`e}re la fonction ``en dents de scie''
$s(x)$, $2\pi$-p{\'e}riodique et telle que $s(x)=\frac{\pi-x}{2}$ sur
$\lbrack 0, 2\pi\lbrack$.  Le calcul des coefficients de Fourier de $s$ et le
corollaire \ref{basel2} montrent que
$s(x)$"="$\sum_{k=1}^\infty \frac {\sin(kx)}{k}$ au sens de la convergence
$L^2$, ainsi qu'en tout point de l'intervalle ouvert $]0,2\pi[$, d'apr\`es la
proposition \ref{lemmedelocalisation}. On consid{\`e}re les sommes partielles de
cette s{\'e}rie de Fourier, $s_n(x) = : \sum_{k=1}^n \frac
{\sin(kx)}{k}$. Pour \'etudier le comportement de $s_n$ au voisinage de 0, on
\'etablit le lemme suivant:
\begin{lem}
Pour $\vert x\vert \leq 1$ et uniform{\'e}ment en $x$,
$$s_n(x) =
\int_0^x\frac {\sin(nt)}{t}dt -\frac{x}{2} + O(x,\frac{1}{n}).$$
\end{lem}
\paragraph{D\'emonstration}
Nous commen{\c c}ons par {\'e}tablir la formule
\begin{equation}
\label{resinter}
\frac{1}{2}+\sum_1^n \cos(kx) - \frac 1 2 \cos(nx) = \frac{\sin(nx)}{2\hbox{tg}\frac
{x}{2}},
\end{equation}
qui r{\'e}sulte du calcul suivant:
$$\frac 1 2 + \sum_1^n \hbox{cos} nx = \frac 1 2 \sum_{-n}^n e^{ikx} = \frac 1 2
 e^{-inx}(\frac {e^{(2n+1)ix}-1}{e^{ix}-1})$$
 $$=\frac 1 2 \frac{e^{ix(n+\frac 1 2)}-e^{-ix(n+\frac 1 2)}}{e^{i\frac x 2}-e^{-i\frac x
 2}} = \frac {\hbox{sin}nx\hbox{cos}\frac x 2 + \hbox{sin}
\frac x 2\hbox{cos}nx}{2\hbox{sin}\frac x 2}$$
 $$=\frac 1 2 \frac {\hbox{sin}nx}{\hbox{tg}\frac x 2} + \frac {\hbox{cos}nx}{2}.$$

Puis on int{\'e}gre cette relation entre 0 et $x$ et on soustrait des deux cot{\'e}s $\frac x 2 + \int_0^x\frac {\hbox{sin}nt}tdt$.
 On remarque que la fonction $\frac {\hbox{cos}\frac t 2}{2\hbox{sin}\frac t 2}-\frac 1 t$
est
$C^1$.  En effet, en d{\'e}veloppant au voisinage de 0,
  $$\frac {\hbox{cos}\frac t 2}{2\hbox{sin}\frac t 2}-
\frac 1 t = \frac {t\hbox{cos}\frac t 2 - 2\hbox{sin}\frac t 2}{2t \hbox {sin} \frac t 2}$$
 $$=\frac {t(1-\frac{t^2}8)-2(\frac t 2 -\frac {t^3}{48}) +o(t^3)}
{t^2-\frac{t^4}{24}+o(t^4)}=\frac {t^3(-\frac 1 8 + \frac 1 {24})+o(t^3)}
{t^2-\frac{t^4}{24}+o(t^4)}$$
 $$=-\frac t {12} +o(t).$$
 On peut donc int{\'e}grer par parties
  $\int_0^x  ((\sin(nt))(\frac{\hbox{cotg}(\frac{t}{2})}{2}-\frac{1}{t})
 + \frac{cos(nt)}{2})$, et  cette expression est donc major{\'e}e par $\frac C n$
 pour une constante $C$ ad{\'e}quate.
\enddemo
Ce lemme nous permet de pr\'eciser le comportement de $s_n$ au voisinnage de 0:
\begin{pro}{\bf (Ph\'enom\`ene de Gibbs)}:
\begin{equation}
\label{limsupinf}
\limsup_{n\to \infty, x\to 0^+} s_n(x) =(1+c) s(0^+); \quad
\liminf_{n\to \infty, x\to 0^+} s_n(x) =(1-c') s(0^+).
\end{equation}
\end{pro}
\paragraph{D\'emonstration}
On va \'etudier la suite $s_n(\frac{\pi}{n})$
 quand $n\to\infty$. On commence par \'etudier les variations de $G(a)=: \int_0^a\frac{\sin(t)}{t}dt$ pour en d{\'e}duire que
 $G(\pi)>G(+\infty)$. La fonction $G(a)$ est croissante sur les intervalles pairs $[2k\pi, (2k+1)\pi]$ et
 d{\'e}croissante sur les intervalles impairs.  On voit ais{\'e}ment que
 $|G((n+1)\pi)-G(n\pi)|$ est une suite d{\'e}croissante.  Il en r{\'e}sulte que
 la suite $G(2n\pi)$ est une suite croissante strictement, la suite $G((2n+1)\pi)$ une
 suite strictement d{\'e}croissante, et les deux convergent vers une valeur commune
 not{\'e}e $G(+\infty)$.  On a donc $G(\pi)>G(+\infty)$. On sait par ailleur
 que $G(+\infty)=\frac{\pi}{2}$. Revenons \`a la suite $s_n(\frac {\pi} n)$. On a $$s_n(\frac {\pi} n) =\int_0^{\frac {\pi} n} \frac {\hbox{sin}nt}{t}dt
 -\frac{\pi}{2n} + O(\frac 1 n)=\int_0^{\pi} \frac {\hbox{sin}u}{u}du$$
 $$=G(\pi) > G(+\infty)=\frac {\pi} 2 = s(0^+),$$
 car $s(0^+)=\frac {\pi}{2}=\int_0^{+\infty}\frac {\hbox{sin}u}{u}du$.
 Donc pour tout $n$, il y a une valeur tr{\`e}s  proche de 0, en l'occurrence $\frac \pi n$,
telle que la somme partielle de la s{\'e}rie de Fourier d{\'e}passe d'un facteur
 constant $\frac {G(\pi)}{G(+\infty)}$ la valeur de la limite $s(0^+)$.  Pour raisons de
 sym{\'e}trie, la m{\^e}me chose se produit en $0^-$ avec la suite $s_n(-\frac \pi
 n)$. Nous avons donc montr{\'e} l'existence des $\limsup$ et $\liminf$ de
 l'{\'e}quation (\ref{limsupinf}).
\enddemo

Num{\'e}riquement, les constantes positives $c$ et $c'$ sont de l'ordre de
$0,18$. Plus pr{\'e}cis{\'e}ment, la somme partielle $s_n$
de la s{\'e}rie de Fourier de $f$ pr{\'e}sente des oscillations, maximales aux points
$\frac{k\pi}{n}$. Les oscillations de cette approximation ont donc une
fr{\'e}quence de plus en plus {\'e}lev{\'e}e avec l'ordre d'approximation $n$, mais
l'erreur reste proportionnelle au saut de la fonction $f$. Ce r{\'e}sultat se
g{\'e}n{\'e}ralise au cas d'une fonction $C^1$ sur
$[0, 2\pi]$, mais pas $2\pi$ p{\'e}riodique. Pour ce faire, on soustrait {\`a} la fonction $f$ une fonction
en ``dents de scie'' $\lambda s + \mu = \tilde s$, o\u $\lambda$ et $\mu$ ont \e t\ea choisis
de mani{\`e}re
{\`a} la rendre Lipschitzienne  et on applique
{\`a} la diff{\'e}rence $f-\tilde s$ le principe de localisation. Il y a donc convergence
uniforme de la s\e rie de Fourier de $f-\tilde s$ vers $f-\tilde s$, alors que la s\e rie de
Fourier de $\tilde s$ pr\e sente le ph\e nom\ee ne de Gibbs.  Le d\e veloppement de Fourier
de $f$ pr\e sente donc aussi le ph\e nom\ee ne de Gibbs.

Nous illustrons, {\`a} la figure \ref{marchegibbs}, le ph{\'e}nom{\`e}ne dans le cas
d'une fonction de Heaviside: nous montrons les sommes partielles de la s{\'e}rie
de Fourier de la fonction $2\pi$-p{\'e}riodique, impaire, et valant 1 sur
l'intervalle $]0,\pi]$. On remarque en particulier le fait que l'erreur
maximum ne varie pas avec le nombre de coefficients de l'approximation. En
revanche, la fr{\'e}quence de ces oscillations augmente avec l'ordre d'approximation.
 Nous pr\'esentons ensuite une illustration du ph{\'e}nom{\`e}ne de ringing
dans le cas des images num\'eriques: partant d'une image, nous calculons sa
s{\'e}rie de Fourier (en fait une approximation finie de cette s{\'e}rie pr{\'e}sent{\'e}e
au paragraphe suivant: la transform{\'e}e de Fourier discr{\`e}te), mettons les hautes fr{\'e}quences {\`a} z{\'e}ro, puis
calculons l'image dont la s{\'e}rie de Fourier est celle ainsi obtenue
(Anticipant sur les d{\'e}finitions et notations du paragraphe suivant sur la
transform{\'e}e de Fourier discr{\`e}te, nous
multiplions l'image $\tilde u _{mn}$ par la fonction indicatrice d'un carr{\'e}
centr{\'e} sur $\tilde u_{0,0}$, puis appliquons la TFD inverse). Nous montrons le
r{\'e}sultat figure \ref{naval}, o{\`u} l'image originale est plac{\'e}e en haut de la
figure, tandis que le r{\'e}sultat, image obtenue apr{\`e}s troncature des hautes
fr{\'e}quences, en bas, pr{\'e}sente de tr{\`e}s nombreuses oscillations.

Ce ph{\'e}nom{\`e}ne appara{\^\i}t {\'e}galement lorsque le spectre est
utilis{\'e} {\`a} des fins de manipulation d'image, comme nous le verrons au
chapitre suivant.
\begin{figure}
\begin{center}

\includegraphics[width=8cm]{marchegibbs1.eps}
\includegraphics[width=8cm]{marchegibbs2.eps}
\end{center}
\caption{Sommes partielles de la s{\'e}rie de Fourier de la fonction de
Heaviside (fonction $2\pi$-p\'eriodique, impaire, valant 1 sur $/]0,\pi/]$). Haut: les approximations sont tra{\c c}{\'e}es sur le m{\^e}me
graphe, sur l'intervalle $/]0,\pi/]$. Bas: les diff{\'e}rentes approximations sont trac{\'e}es selon le
troisi{\`e}me axe (nombre de termes entre 1 et 20). On remarque que l'erreur
maximale d'approximation ne varie pas avec le nombre de termes, tandis que la
fr{\'e}quence des oscillations augmente.}
\label{marchegibbs}
\end{figure}
\begin{figure}
\begin{center}

\includegraphics[width=10cm]{naval.ps}
\includegraphics[width=10cm]{navalgibbs.ps}
\end{center}
\caption{Illustration de l'effet de Gibbs. Haut: l'image originale; bas: l'image apr{\`e}s que l'on ait tronqu{\'e}
ses hautes fr{\'e}quences, et sur laquelle sont visibles de nombreuses oscillations.}
\label{naval}
\end{figure}

\section{Transform{\'e}e de Fourier Discr{\`e}te et applications}
\label{TFD}
\index{Transform{\'e}e de Fourier Discr{\`e}te}

\subsection{La dimension 1}

Soit $u$ une fonction r{\'e}elle de p{\'e}riode $a$, $N$ un entier. On cherche un polyn{\^o}me
trigonom{\'e}trique
\begin{equation}
\label{poly}
P(x)=\sum_{k=0}^{N-1}\hu_k \exp\left(\frac{2i\pi k x}{a}\right),
\end{equation}
qui soit {\'e}gal {\`a} $u$ aux points $\frac{ka}{N}$ pour $k=0...N-1$. On pose
$u_k=u(\frac{ka}{N})$ et $\omega_N=\exp\left(\frac{2i\pi}{N}\right)$.
\begin{pro}
\label{coeff}
Les coefficients d{\'e}finis par $\hu_k = \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}u_n
\omega_N^{-nk}$ sont les uniques coefficients tels que le polyn{\^o}me trigonom{\'e}trique (\ref{poly}) v{\'e}rifie $P(\frac{ka}{N})=u_k,  k=0...N-1$.
\end{pro}
\paragraph{D{\'e}monstration}
Pour $l=0...N-1$,
\begin{eqnarray*}
p(\frac{la}{N})&=&\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\sum_{n=0}^{N-1}u_nexp(\frac{2i\pi}{N}k(l-n))\\
&=&\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}N\delta(l-n)u_n = u_l,\\
\end{eqnarray*}
o{\`u} on a not{\'e} $\delta$ la fonction d{\'e}finie sur les entiers, valant 1 en 0, et
0 ailleurs.
\cqfd

\begin{Def}
On appelle Transformation de Fourier Discr{\`e}te (TFD) la transformation de $R^N$
dans $R^N$ d{\'e}finie par
\begin{equation}
\label{TFD}
T:(u_k) \rightarrow (\hu_k=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}u_n \omega_N^{-nk}),
\end{equation}
 on appelle transform{\'e}e de Fourier inverse la transformation de $R^N$ dans $R^N$ d{\'e}finie par
\begin{equation}
\label{TFDinv}
T^{-1} : (u_k) \rightarrow (v_k = \sum_{n=0}^{N-1}u_n \omega_N^{nk})
\end{equation}
\end{Def}
On remarque que la proposition \ref{coeff} justifie l'appellation de
transform{\'e}e inverse, c'est {\`a} dire que $T\circ T^{-1}=Id$. On rappelle d'autre part que si $u \in L^2(0,a)$, les coefficients de la s{\'e}rie de Fourier de $u$
sont d{\'e}finis, pour $n \in \Z$, par
\begin{equation}
\label{cn}
c_n(u)=\frac{1}{a} \int_0^a u(x) \exp \left( \frac{-2i\pi nx}{a}\right).
\end{equation}
 On suppose $N$
pair, et on pose
$$ \tilde u_k= \left\{ \begin{array}{ll}
                                  \hu_k & \mbox{si $k=0...\frac{N}{2}-1$} \\
                                  \hu_{k+N} & \mbox{si $k=\frac{-N}{2}...-1$} \\
                                 \end{array}
                          \right.,$$
\begin{pro}
les $\tilde u_k$ sont des approximations des $c_k(u)$ par la formule des
rectangles, pour $k=\frac{-N}{2},...,\frac{N}{2}-1$.
\end{pro}
\paragraph{D{\'e}monstration}
Il suffit d'{\'e}crire l'approximation de l'int{\'e}grale (\ref{cn})
par la m{\'e}thode des rectangles {\`a} gauche. \cqfd

Cette proposition indique que les $N/2-1$ coefficients $\hu_1...\hu_{N/2-1}$ peuvent
{\^e}tre vus comme les coefficients des
fr{\'e}quences positives, les suivants repr{\'e}sentant les fr{\'e}quences
n{\'e}gatives, $\hu_0$ {\'e}tant la moyenne des $u_k$. On doit toutefois
remarquer que les $\hu_k$ sont {\'e}galement des
approximations d'autres coefficients de la s{\'e}rie de Fourier de $u$. Par
exemple, $\hu_1$ est l'approximation par la m{\^e}me formule du coefficient
$c_N$. L'approximation est mauvaise pour des fonctions oscillant
trop rapidement, et dans ce cas n'est plus du tout adapt{\'e}e au calcul de $c_N$. Le cas $N$ impair est similaire, bien que plus sym{\'e}trique : en effet il y a
autant de coefficients repr{\'e}sentant les fr{\'e}quences positives que
n{\'e}gatives, et le terme isol{\'e} $\hu_{N/2}$ du cas o{\`u} $N$ est pair a
disparu. En pratique, pour des raisons algorithmiques, $N$ est toujours pair (en fait une puissance de deux),
et nous nous restreindrons donc {\`a} ce cas.

\begin{pro}
\label{sym1}
$\hu_0$ et $\hu_{N/2}$ sont r{\'e}els, et pour $k=1...N/2-1$,
$\hu_k=\overline{\hu_{N-k}}$.
\end{pro}
\paragraph{D{\'e}monstration}
$\hu_0=\sum u_n$, et $\hu_{N/2}=\sum (-1)^n u_n$, ces deux coefficients sont
donc r{\'e}els. D'autre part
$$\hu_{N-k}=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}u_n
\omega_N^{-n(N-k)}\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}u_n
\omega_N^{nk}=\overline{\hu_k}$$
\cqfd

Cette proposition implique que $N$ nombres r{\'e}els suffisent {\`a} la connaissance
de la TFD de $u$. Remarquons {\'e}galement {\`a} nouveau le r{\^o}le particulier
jou{\'e} par le terme $\hu_{N/2}$, qui n'a pas de terme conjugu{\'e} lui
correspondant. Il faudra donc {\^e}tre vigilant lorsque l'on d{\'e}finira des
manipulations sur des signaux (puis des images) par l'interm{\'e}diaire de
leur TFD. Signalons enfin que les repr{\'e}sentations graphiques de la TFD d'un signal
s'effectuent en g{\'e}n{\'e}ral au moyen des $\tilde u$, pour disposer, avec les
restrictions d{\'e}j{\`a} {\'e}mises, d'une d{\'e}composition en fr{\'e}quences du
signal. La Figure \ref{aaah} montre un exemple de signal (repr{\'e}sentant le son
A) et le module de sa TFD.


\begin{figure}
\begin{center}

\includegraphics[width=6cm]{aaah.ps}

\end{center}
\caption{Haut: un signal correspondant {\`a} la voyelle A (le signal repr{\'e}sente
la pression de l'air en fonction du temps); bas: module de la TFD, dans le
sens de la d{\'e}finition des $\tilde u$ (voir le texte)}
\label{aaah}
\end{figure}


\subsection{La dimension 2}


\begin{figure}
\begin{center}

\includegraphics[width=8cm]{aero.ps}

\includegraphics[width=8cm]{aerofft2.ps}

\end{center}
\caption{Haut: une image num{\'e}rique de taille $256\times256$; bas: le logarithme du module de sa TFD, dans le
sens de la d{\'e}finition des $\tilde u$ (voir le texte)}
\label{image-FFT}
\end{figure}

On consid{\`e}re un r{\'e}el $a$, une fonction $u$ de $\R^2$ dans $\R$, telle que
$u(x+a,y+a)=u(x,y)$. On fixe {\`a} nouveau un entier $N$, et l'on pose
$u_{k,l}=u\left(\frac{ka}{N},\frac{la}{N}\right)$. On d{\'e}finit la TFD des
$u_{k,l}$
comme la suite des coefficients, pour $k,l \in \{0...N-1\}$,
\begin{equation}
\label{TFD2}
\hat{u}_{k,l}=\frac{1}{N^2}\sum_{m=0}^{N-1}\sum_{n=0}^{N-1}u_{m,n}\omega_N^{-mk}\omega_N^{-nl}.
\end{equation}
Remarquons d'abord que la transformation ainsi d{\'e}finie est s{\'e}parable, et
que le passage des $u_{k,l}$ au $\hu_{k,l}$ s'effectue par deux TFD {\`a} une
dimension successives.

%\paragraph{Remarque}: la suite des coefficients $u_{k,l}$ repr{\'e}sente souvent
%en pratique une image num{\'e}rique. Rappelons qu'une telle image se
%pr{\'e}sente comme une matrice de nombres correspondant {\`a} la quantit{\'e} de
%lumi{\`e}re emmagasin{\'e}e par les capteurs d'un appareil optique, comme
%expliqu{\'e} \`a la fin du chapitre \ref{intlebesgue}. Nous attirons l'attention du lecteur sur le
%fait que dans ce chapitre nous avons consid{\'e}r{\'e} les valeurs $u_{k,l}$ comme
%les valeurs ponctuelles d'une certaine fonction $u$ de $L^2$, alors que pour
%illustrer le concept de martinguale il s'agissait des moyennes locales de cette fonction de
%d{\'e}part, ce qui corr\'espond au m\'ecanisme des capteurs des appareils
%photos num\'eriques, les CCD. Ceci ne pose pas de probl{\`e}me particulier, car la moyenne locale
%peut {\^e}tre vu comme une valeur ponctuelle de la fonction apr{\`e}s convolution
%avec une fonction {\`a} support born{\'e}e.

De m{\^e}me qu'en dimension 1, on a la propri{\'e}t{\'e} d'interpolation suivante:
\begin{pro}
Les coefficients $\hu_{k,l}$ sont les seuls coefficients tels que le
polyn{\^o}me trigonom{\'e}trique $P(x,y)=\sum_{k,l=0}^{N-1}\hu_{k,l}\exp(\frac{2i\pi kx}{a})\exp(\frac{2i\pi
ly}{a})$ v{\'e}rifie, pour tout $k, l \in \{)...N-1\}$, $P\left(\frac{ka}{N},\frac{la}{N}\right)=u\left(\frac{ka}{N},\frac{la}{N}\right)$.
\end{pro}
\paragraph{D{\'e}monstration} Le calcul est exactement le m{\^e}me qu'en dimension 1.

De m{\^e}me qu'en dimension 1, nous pouvons identifier un certain nombre de
symm{\'e}tries sur les $\hu_{k,l}$, et d{\'e}finir une r{\'e}organisation $\tilde u$
des coefficients $\hu$. On suppose {\`a} nouveau que $N$ est pair.
\begin{pro}
\label{sym}
$\hu_{0,0}$, $\hu_{0,N/2}$, $\hu_{n/2,0}$, et $\hu_{N/2,N/2}$ sont r{\'e}els; de
plus
$$\forall k \in \{1...N/2\} \hskip 1cm\hu_{0,k}=\overline{\hu_{0,N-k}}$$
$$\forall l \in \{1...N/2\} \hskip 1cm\hu_{l,0}=\overline{\hu_{N-l,0}}$$
$$\forall k,l \in \{1...N-1\} \hskip 1cm\hu_{k,l}=\overline{\hu_{N-k,N-l}}$$
\end{pro}
\paragraph{D{\'e}monstration} Les calculs sont similaires {\`a} la dimension 1

A nouveau, il peut {\^e}tre utile,
pour la repr{\'e}sentation ou pour simplifier les notations, de consid{\'e}rer la
transform{\'e}e $\tilde u$ d{\'e}finie par rapport {\`a} $\hu$ par symm{\'e}trie
centrale, ce qui se traduit, pour $k, l = -N/2......N/2-1$, par:
\begin{equation}
\label{utilde}
 \tilde u_{k,l}= \hu_{\alpha(k),\alpha(l)},
\end{equation}
avec
$$\alpha(k)= \left\{ \begin{array}{ll}
                                  k & \mbox{si $k=0...\frac{N}{2}-1$} \\
                                  k+N & \mbox{si $k=\frac{-N}{2}...-1$} \\
                                 \end{array}
                          \right.$$
A nouveau, comme en dimension 1, ces coefficients correspondent aux
fr{\'e}quences de l'image $u$, ordonn{\'e}es des n{\'e}gatives aux positives. Plus
pr{\'e}cis{\'e}ment, si $u \in L^1$ et que l'on d{\'e}finit les coefficients de la
s{\'e}rie de Fourier de $u$ par
$$c_{k,l}=\frac{1}{4 \pi ^2} \int_{\R^2}u(x,y) \exp \left( \frac{-2i\pi kx}{a}\right)\exp
\left( \frac{-2i\pi l y}{a}\right),$$
alors, pour $k, l = -N/2......N/2-1$ les $\tilde u_{k,l}$ sont des approximations
par la m{\'e}thode des rectangles des $c_{k,l}$, ce qui se montre comme en
dimension 1. La figure \ref{image-FFT} consiste en une image et le logarithme
du module de sa transform{\'e}e de Fourier discr{\`e}te (le logarithme est utilis{\'e}
car le module des TFD des images usuelles d{\'e}croit tr{\`e}s vite lorsque l'on
s'{\'e}loigne des basses fr{\'e}quences).


\subsection{Le ph{\'e}nom{\`e}ne du repliement de spectre}
\index{Repliement de spectre}
\label{aliasing}

Le but de ce paragraphe est d'exposer comment la transform{\'e}e de Fourier
discrete d'un signal est modifi{\'e}e lorsque celui-ci est
sous-{\'e}chantillonn{\'e}.
\begin{Def}
Soit un signal $(u_k)$, $k=0,...,N-1$, et soit $p$ un
entier divisant $N$. On d{\'e}finit l'op{\'e}rateur ``sous-{\'e}chantillonnage
d'ordre $p$'' comme suit:
$$ S_p: \RR^{N} \longrightarrow \RR^{ N/p}$$
$$ (u_k)_{k=0..N-1} \longrightarrow (v_k)=(u_{kp})_{k=0...N/p}.$$
Le signal $(v_k)$ est dit sous-{\'e}chantillonn{\'e} d'un facteur $p$.
\end{Def}

Nous allons voir qu'en g{\'e}n{\'e}ral il n'est pas possible de recouvrer $(u_k)$ {\`a}
partir de $(v_k)$, sauf si la TFD de $(u_k)$ est nulle pour les fr{\'e}quences
{\'e}lev{\'e}es. Nous commen{\c c}ons par le cas $p=2$.

\begin{pro}
\label{sousech2}
Soit $(v_k)=S_2((u_k))$ (on suppose que $N$ est pair). Alors $(\hat v _k)$, la transform{\'e}e de Fourier Discr{\`e}te de $(v_k)$,
s'ecrit, pour $k=1,...,\frac N2-1$,
\begin{equation}
\hat v_k=\frac 12 (\hu_k+\hu_{\frac N2+k}).
\end{equation}
\end{pro}

\paragraph{D{\'e}monstration}
\begin{eqnarray*}
\hat u_k + \hat u_{\frac N2 + k} &=& \sum_{l=0}^{N-1} u_{l} \omega_{2N}^{kl} +
u_{l}\omega_{2N}^{(\frac N2 + k)l} \\
&=&\sum_{l=0}^{N-1} u_l \omega_{2N}^{kl} + u_l (-1)^l \omega_{2N}^{kl}\\
&=&\sum_{n=0}^{\frac N2 -1} (u_{2n}) \omega_{N}^{k2n}=\sum_{n=0}^{\frac N2 -1}
v_n \omega_{\frac N2}^{kn}=\hat v_k.
\end{eqnarray*}
\enddemo

Cette proposition indique que le spectre du signal sous-echantillonn\'e d'un
facteur deux s'obtient en superposant \`a lui-m\^eme le spectre du signal
original avec un d\'ecallage de $\frac N2$. On dit qu'il y a repliement de
spectre. Ainsi, le spectre du signal
sous-echantillonn\'e contient g\'en\'eralement des informations non pr\'esentes dans le spectre
du signal de d\'epart, ce qui se traduit sur le signal sous-\'echantillonn\'e
par l'apparition de structures p\'eriodiques n'ayant pas de lien direct avec
le contenu du signal. Ceci est particuli\`erement frappant dans le cas des
signaux bi-dimensionnels, pour lesquels on a un r\'esultat similaire \`a celui
de la proposition \ref{sousech2}. Nous montrons un exemple d'image
sous-echantillonn\'ee \`a la figure \ref{mouche}, exemple o\`u l'apparition de
structures p\'eriodiques est d'autant plus visible que l'image de d\'epart
contient des hautes fr\'equences importantes qui se superposent lors du
sous-\'echantillonnage.

\begin{figure}
\label{mouche}
\begin{center}
\subfigure[Image originale]{\includegraphics[width=6cm]{mouche.ps}}
%\hspace{1cm}
\subfigure[Le logarithme de sa TFD, qui d{\'e}croit lentement aux hautes fr{\'e}quences]{\includegraphics[width=6cm]{mouchetfd2.ps}}

%\vspace{1cm}
\subfigure[Image sous-{\'e}chantillonn{\'e}e d'un facteur 2]{\includegraphics[width=6cm]{mouchesub.ps}}
%\hspace{1cm}
\subfigure[Le logarithme de la TFD correspondante, sur laquelle il y a repliement]{\includegraphics[width=6cm]{mouchesubtfd2.ps}}
\end{center}
\caption{Sous-{\'e}chantillonnage et repliement: le cas d'une image mal {\'e}chantillonn{\'e}e}
\label{phase}
\end{figure}

Le r\'esultat de la proposition \ref{sousech2} se g\'en\'eralise dans le cas
d'un sous-\'echantillonnage d'ordre plus \'elev\'e, comme le montre la
proposition suivante:

\begin{pro}
\label{sousech}
Soit $(v_k)=S_p((u_k))$ (on suppose que $N=pM$, pour un certain entier $M$). Alors $(\hat v_k)$, la transform{\'e}e de Fourier Discr{\`e}te de $(v_k)$,
s'ecrit, pour $k=1...M-1$,
\begin{equation}
\hat v_k=\frac 1p \sum_{a=0}^{p-1}\hat u_{k+\frac{aN}{p}}.
\end{equation}
\end{pro}

\paragraph{D{\'e}monstration}
\begin{eqnarray*}
\sum_{a=0}^{p-1}\hat u_{k+\frac{aN}{p}} &=& \sum_{a=0}^{p-1}\sum_{l=0}^{N-1} u_{l} \omega_N^{\left(k+\frac{aN}{p}\right)l} \\
 &=&\sum_{l=0}^{N-1} u_l \sum_{a=0}^{p-1}\exp\left(\frac{2i\pi
 l}{p}\right)\omega_{N}^{kl} \\
&=&p\sum_{l'=0}^{M-1}u_{pl'}\omega_{M}^{kl'} = \hat v_k
\end{eqnarray*}



\subsection{La transform{\'e}e de Fourier rapide}
\index{Transform{\'e}e de Fourier rapide}

Comme nous l'avons vu plus haut, le calcul des coefficients de Fourier $\hu_n$
revient {\`a} l'{\'e}valuation d'un certain polyn{\^o}me aux racines $N$-i{\`e}mes de
l'unit{\'e}. Dans le cas g{\'e}n{\'e}ral, l'{\'e}valuation classique (ex. m{\'e}thode de
H{\"o}rner) d'un polyn{\^o}me de degr{\'e} $N-1$ en un point prend $\mathcal{O}(N)$
op{\'e}rations. Donc si l'on r{\'e}p{\`e}te cela pour les $N$ racines de l'unit{\'e}
on devra effectuer $\mathcal{O}(N^2)$ op{\'e}rations. L'algorithme de la
Transform{\'e}e de Fourier Rapide (TFR) permet de r{\'e}soudre le probl{\`e}me en
$\mathcal{O}(N\log N)$ op{\'e}rations. Appelons ``calcul d'ordre $N$''
l'{\'e}valuation d'un polyn{\^o}me de degr{\'e} $N-1$ aux racines $N$-i{\`e}mes de
l'unit{\'e}. Et soit $T(N)$ le nombre d'op{\'e}rations (additions et
multiplications) demand{\'e}es par ce calcul.

On se place dans le cas $N=2^n$ et soit un polyn{\^o}me
$$P(X)=\sum_{k=0}^{N-1}a_kX^k.$$
On pose
$$Q(X)=\sum_{k=0}^{N/2-1}a_{2k}X^k,$$
$$R(X)=\sum_{k=0}^{N/2-1}a_{2k+1}X^k.$$
Alors
$$P(\omega_N^k)=Q\left(\left(\omega_N^k\right)^2\right)+\omega_N^kR\left(\left(\omega_N^k\right)^2\right).\mbox{
     (*)}$$

Or, si $N$ est pair les $\left(\omega_N^k\right)^2$ sont exactement les
racines d'ordre $\frac{N}{2}$ de l'unit{\'e}. Il suffit donc d'{\'e}valuer les
deux polyn{\^o}mes $Q$ et $R$ aux racines d'ordre $\frac{N}{2}$ de l'unit{\'e}
ce qui est un probl{\`e}me d'ordre $\frac{N}{2}$. On a donc, en tenant compte
additions et multiplications demand{\'e}es par (*),
$$T(N)=2T\left(\frac{N}{2}\right)+2N.$$
On en tire ais{\'e}ment $T(N)=\mathcal{O}(N\log(N))$.


\subsection{L'utilisation de la transform{\'e}e de Fourier discr{\`e}te pour
d{\'e}finir zoom, translations et rotations des images}

\paragraph{Le zoom}
Nous pr{\'e}sentons une m{\'e}thode d'interpolation reposant sur une extension de
la TFD d'un signal ou d'une image. Nous d{\'e}taillons la m{\'e}thode, dite du
``prolongement par des 0'' (``0-padding''), en une dimension, le principe se g{\'e}n{\'e}ralisant
sans mal pour une image. Comme pr{\'e}c{\'e}dement consid{\`e}re un signal $u_i$, $i$ variant de 1 {\`a}
$N-1$, et $\hat{u}_i = \frac{1}{N}\sum_{i}^{N-1}u_{i}\omega_N^{ki}$.
On suppose que N est pair et que l'on veut zoomer d'un facteur
2, c'est {\`a} dire que l'on veut construire un signal de taille deux fois plus
grande que le signal de d{\'e}part. On
d{\'e}finit un nouveau signal $v$, de taille $2N$ comme {\'e}tant la TFD inverse de
$\hat{v}$, donn{\'e} par

\begin{equation}
\label{TFDzoom}
 \hat{v}_i = \left\{ \begin{array}{ll}
                                  \hat{u}_i & \mbox{si $i=0...\frac{N}{2}-1$} \\
                                  \hat{u}_{i-N} & \mbox{si $i=2N-\frac{N}{2}+1...2N-1$}
\\
                                  \frac{1}{2}\hat{u}_{\frac{N}{2}} & \mbox{si
                                  $i=\frac{N}{2}$ ou $i=\frac{3N}{2}$}\\
                                  0     & \mbox{sinon}
                                 \end{array}
                          \right.
\end{equation}

Remarquons que si l'on raisonne sur la notation $\tilde v$, alors la
transformation revient a doubler la taille de $\tilde u$, {\`a} affecter la
valeur 0 aux nouveaux coefficients, et {\`a} diviser par deux la nouvelle valeur
$\tilde v$ aux indices $-N/2$ et $N/2$ (le v{\'e}rifier). Ceci explique le nom
de ``prolongement par des 0''. L'id{\'e}e est que l'on d{\'e}finit ainsi une TFD plus grande mais contenant la
m{\^e}me information fr{\'e}quentielle. Le signal ainsi obtenu
v{\'e}rifie $\hat{v}_i = -\overline{\hat{v}_{2N-i}}$, pour $i=1...N-1$, ce
qui est une propri{\'e}t{\'e} de toutes les TFD de signaux r{\'e}els, mais on ne
retrouve pas le terme $\hat{u}_{\frac{N}{2}}$ du signal original. Ceci est d{\^u} au
r{\^o}le particulier jou{\'e} par ce terme qui repr{\'e}sente {\`a} la fois les deux fr{\'e}quences extr{\^e}mes
(positives et n{\'e}gatives) observ{\'e}es. Cependant, toutes les propri{\'e}t{\'e}s de
symm{\'e}trie de la proposition \ref{sym} sont v{\'e}rifi{\'e}es, et il est facile
de voir que ceci nous assure que $\hat{v}$ est bien la TFD d'un signal
r{\'e}el. La proposition suivante indique que cette m\'ethode fournit bien
une interpolation du signal de d\'epart.

\begin{pro}

Le signal $v$ dont la TFD est donn{\'e}e par la formule (\ref{TFDzoom}) v{\'e}rifie $v_{2k}=u_k$,
pour $k=0...N-1$
\end{pro}

\paragraph{D{\'e}monstration}
On remarque tout d'abord que le signal $\hat v$ est bien la transform{\'e}e de
Fourier discr{\`e}te d'un certain signal $v$ (les propri{\'e}t{\'e}s de symm{\'e}tries
de la proposition \ref{sym1} sont v{\'e}rifi{\'e}es). Puis
\begin{eqnarray*}
v_{2k}&=&\sum_{n=0}^{2N-1}\hat v_n \omega_{2N}^{n2k}=\sum_{n=0}^{2N-1}\hat v_n \omega_{N}^{nk}\\
&=&\sum_{n=0}^{N/2-1}\hu_n\omega_N^{nk}\sum_{2N-N/2+1}^{2N-1}\hu_{n-N}\omega_N^{nk}+\frac{1}{2}\hu_{N/2}\omega_N^{kN/2}+\frac{1}{2}\hu_{N/2}\omega_N^{k(2N-N/2)}\\
&=&\sum_{n=0}^{N-1}\hu_n\omega_N^{nk}=u_k\\
\end{eqnarray*}
\cqfd

Signalons enfin que cette interpolation correspond presque (au facteur
$\hu_{N/2}$ pr{\`e}s){\`a} la repr{\'e}sentation du
signal par le polyn{\^o}me trigonom{\'e}trique ayant servi {\`a} introduire la
transform{\'e}e de Fourier discr{\`e}te:

\begin{pro}
Si le signal $(u_k)$ est tel que $\hu_{N/2}=0$, alors
$$v_k=P\left(\frac{ka}{2N}\right),$$
o{\`u} $P$ est le polyn{\^o}me trigonom{\'e}trique d{\'e}finit par la formule (\ref{poly}).
\end{pro}

\paragraph{D{\'e}monstration}
$$P\left(\frac{ka}{2N}\right)=\sum_{n=0}^{N-1}\hu_n \exp\left(\frac{2i\pi
nka}{2Na}\right)=\sum_{n=0}^{2N-1}\hat v_k\omega_{2N}^{nk},$$
par d{\'e}finition des $\hat v$, et parceque $\hu_{N/2}=0$.

\begin{figure}
\begin{center}

\includegraphics[width=10cm]{aerozoom.ps}

\includegraphics[width=10cm]{aerodup.ps}
\end{center}
\caption{Haut: zoom par TFD (voir le texte) bas: zoom par r{\'e}plication des pixels (voir le texte)}
\label{fftzoom}
\end{figure}

\begin{figure}
\begin{center}

\includegraphics[width=8cm]{mains.ps}

\includegraphics[width=8cm]{dalles2.ps}
\end{center}
\caption{details apr{\`e}s zoom, {\`a} gauche par TFD, {\`a} droite par r{\'e}plication
des pixels}
\label{details}
\end{figure}

La m{\'e}thode se g{\'e}n{\'e}ralise aux cas des images. Nous consid{\'e}rons
une image num{\'e}rique $(u_{k,l})$, et nous d{\'e}finissons une image zoom{\'e}e $\left(v_{i,j}\right)_{i,j=0,...,2N-1}$
comme {\'e}tant la transform{\'e}e de Fourier discr{\`e}te inverse de $\hat v_{i,j}$,
telle que la fonction $\tilde u$ correspondante (formule \ref{utilde})
v{\'e}rifie, pour $i,j=-N,...,N-1$

\begin{equation}
\label{TFDzoom}
 \tilde{v}_{i,j} = \left\{ \begin{array}{ll}
                                  \tilde{u}_{i,j} & \mbox{si} -\frac N2 \leq i
                                  \leq \frac N 2 \mbox{et} -\frac N2 \leq j
                                  \leq \frac N 2\\
                                  \tilde{u}_{i,j}=0 & \mbox{sinon}
                                 \end{array}
                          \right.
\end{equation}


La figure \ref{fftzoom} montre une image zoom{\'e}e par TFD, ainsi qu'une image
zoom{\'e}e par r{\'e}plication des pixels (chaque point est reproduit dans chaque
direction avec les m{\^e}mes valeurs de niveau de gris). On remarque que
le zoom par TFD produit une image bien plus r{\'e}guli{\`e}re, et {\'e}vite l'effet
``marche d'escalier'' visible sur l'image zoom{\'e}e par r{\'e}plication. La figure
\ref{details} illustre ce point sur un d{\'e}tail. Une autre remarque
concerne l'effet de Gibbs (cf paragraphe \ref{Gibbs}). Ce ph{\'e}nom{\`e}ne
produit des rebonds le long des discontinuit{\'e}s de l'image, ainsi que le long
de la fronti\`ere du domaine de l'image. En effet, et comme nous l'avons
d\'ej\`a mentionn\'e, le calcul des coefficients de Fourier de
l'image (dont les coefficients de la TFD sont une approximation) suppose
l'image p{\'e}riodique, ce qui fait apparaitre des discontinuit{\'e}s le long des
fronti{\`e}res de son domaine de d{\'e}finition. Le ph\'enom\`ene de Gibbs est
\'egalement visible le long des discontinuit\'es dans l'image, les
contours. Le ph\'enom\`ene est particuli\`erement visible sur la figure \ref{figgibbs},
ainsi qu'en haut de la figure \ref{fftzoom}. Expliquons pourquoi le
ph{\'e}nom{\`e}ne appara{\^\i}t dans le cas du zoom: une nouvelle image
$v_{k,l}$ de taille $2N\times2N$ est obtenue en utilisant les valeurs prises
par le polyn{\^o}me $P(x)$ entre les points dont on dispose au d{\'e}part. Cette
utilisation de $P$ fait appara{\^\i}tre les oscillations qui {\'e}taient invisibles dans le cas de l'image de d{\'e}part
puisqu'il y avait interpolation des $(u_k)$. Comme nous l'avons d{\'e}j{\`a} {\'e}voqu{\'e},
les oscillations aux fronti{\`e}res du domaine de l'image peuvent {\^e}tre supprim{\'e}es par utilisation de la transform{\'e}e en
cosinus. En revanche, le probl{\`e}me subsistera le long des discontinuit{\'e}s
pr{\'e}sentes {\`a} l'int{\'e}rieur de l'image.

\begin{figure}
\begin{center}

\includegraphics[width=9cm]{detail.ps}
\end{center}
\caption{Zoom sur une partie de l'image
utilisant sa TFD (voir le texte). On distingue nettement les oscillations dues
au ph{\'e}nom{\`e}ne de Gibbs le long des contours, ainsi que le long de la
fronti{\`e}re inf{\'e}rieure de l'image.}
\label{figgibbs}
\end{figure}


\paragraph{La translation}

La m{\'e}thode pr{\'e}sent{\'e} au paragraphe pr{\'e}c{\'e}dent permet de d{\'e}finir une
translation d'une quantit{\'e} 1/2 (ou $a/(2N)$ pour revenir {\`a} notre
d{\'e}finition premi{\`e}re du signal $u$), en ne gardant que les points d'indice
impair du signal zoom{\'e} $v$. Plus g{\'e}n{\'e}ralement, nous pouvons d{\'e}finir
une translation d'un signal d'une quantit{\'e} $0<\alpha<1$ en consid{\'e}rant la
transform{\'e}e de Fourier inverse du signal suivant:

$$ \hat{v}_j = \left\{ \begin{array}{ll}
                                  \exp(\frac{2i\pi \alpha j}{N}) \hat{u}_j & \mbox{si $j=0...\frac{N}{2}-1$} \\
                                  \exp(\frac{2i\pi \alpha (j-N)}{N}) \hat{u}_j & \mbox{si $j=\frac{N}{2}+1...N-1$}
\\
                                  \hat{v}_{\frac{N}{2}}= \cos (\pi \alpha) \hat{u}_{\frac{N}{2}}
                                 \end{array}
                         \right. $$

On v{\'e}rifie facilement que, dans le cas $\alpha=1/2$, cette d{\'e}finition de la translation
conduit au m{\^e}me r{\'e}sultat que le sous-echantillonnage aux points impairs du
signal zoom{\'e} par la m{\'e}thode du ``0-padding''.

Cette m{\'e}thode peut {\^e}tre vu comme une impl{\'e}mentation discr{\`e}te de la
transformation subie par les coefficients de la s{\'e}rie de Fourier d'une
fonction p{\'e}riodique lorsque celle-ci est translat{\'e}e (les coefficients sont
alors multipli{\'e}s par une exponentielle complexe correspondant {\`a} la formule
ci-dessus). La seule ambiguit{\'e} provient
du terme $\frac{N}{2}$ qui est multipli{\'e} par un cosinus. Ceci n'est pas
{\'e}tonnant, car la TFD repr{\'e}sente une fr{\'e}quence qui est juste la
fr{\'e}quence la plus haute observable sur le signal (l'{\'e}chantillonnage du
signal implique le repliement de sa transform{\'e}e de Fourier discr\`ete, comme nous
l'avons vu au paragraphe \ref{aliasing}, et
cette fr{\'e}quence la plus haute conduit {\`a} des ph{\'e}nom{\`e}nes d'aliasing). Ce probl{\`e}me de la fr{\'e}quence la plus haute semble incontournable. En effet supposons que l'on dispose d'une translation
discr{\`e}te de la quantit{\'e} $\frac{1}{2}$. Si on part d'une image ``damier'', alternant pixels noirs et
blancs (justement {\`a} cette fr{\'e}quence extr{\^e}me), alors par sym{\'e}trie l'image translat{\'e}e devrait {\^e}tre constante (si l'on
pense par exemple que l'image continue sous jacente est un cosinus). La
transformation ne peut \^etre inversible qu'\`a cette fr\'equence maximale
pr\'es, ce qui est
pr\'ecis\'ement le cas de la
translation que nous venons de d\'efinir:

\begin{pro}

Soit $0<\alpha<1$, $(u_k)$ un signal, tel que $\hu_{N/2}=0$. Soit $(v_k)$ le signal obtenu en translatant
$(u_k)$ de $\alpha$, et $(w_k)$ le signal obtenu en translatant $(v_k)$ de
$-\alpha$, alors $(w_k)$=$(u_k)$
\end{pro}

\paragraph{D{\'e}monstration}
c'est imm{\'e}diat en ecrivant deux fois la d{\'e}finition de la translation pour
obtenir $\hat w$.

Cette m{\'e}thode de translation se g{\'e}n{\'e}ralise sans mal au cas des images, en
remarquant qu'une translation {\`a} deux dimensions peut se d{\'e}composer en deux translations, une selon les lignes et une selon les colonnes.


\paragraph{La rotation}
Voici, bri{\'e}vement, une m{\'e}thode pour impl{\'e}menter une rotation discr{\`e}te, due {\`a} L. Yaroslavsky.
On commence par remarquer que
$$\left(\begin{array}{cc}
            \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\
            \sin(\theta) & \cos(\theta)
          \end{array} \right)
 = \left(\begin{array}{cc}
            1 & -\tan(\frac{\theta}{2}) \\
            0 & 1
          \end{array} \right)
   \left(\begin{array}{cc}
            1 & 0 \\
            \sin(\theta) & 1
          \end{array} \right)
   \left(\begin{array}{cc}
            1 & -\tan(\frac{\theta}{2}) \\
            0 & 1
          \end{array} \right) $$

(sauf si $\theta = \pi$ auquel cas il suffit de retourner l'image).
Donc partant de $u_{i,j}$, on translate la premi{\`e}re ligne de
$-\tan(\frac{\theta}{2})$, la deuxi{\`e}me de $-2\tan(\frac{\theta}{2})$, etc..
Puis on fait une op{\'e}ration similaire sur les colonnes, puis {\`a} nouveau sur
les lignes. Ces translations se font par l'interm{\'e}diaire de la TFD {\`a} une
dimension.
\begin{figure}
\begin{center}

\includegraphics[width=8cm]{aerot.ps}

\end{center}
\caption{Rotation de $\pi/4$ impl{\'e}ment{\'e}e par TFD}
\label{fftrot}
\end{figure}
\begin{figure}
\begin{center}

\includegraphics[width=10cm]{bilin.ps}
\includegraphics[width=10cm]{fftrot.ps}

\end{center}
\caption{Bas: apr{\`e}s 12 rotations successive de $\pi/4$ par TFD; haut: m{\^e}me
exp{\'e}rience en utilisant l'interpolation bilin{\'e}aire (voir le texte).}
\label{rotiter}
\end{figure}

La figure \ref{fftrot} montre une image apr{\`e}s une rotation de $\pi/4$ par la
m{\'e}thode d{\'e}crite ci-dessus. Puis, pour illustrer la stabilit{\'e} de la
m{\'e}thode, nous montrons figure \ref{rotiter} le r{\'e}sultat de l'application
successive de 12 rotations de $\pi/4$, et, {\`a} titre de comparaison, le
r{\'e}sultat de ces 12 rotations successives impl{\'e}ment{\'e}s par interpolation
bilin{\'e}aire (les valeurs aux nouveaux points sont des combinaisons lin{\'e}aires
 des 4 points {\`a} coordonn{\'e}es enti{\`e}res les plus proches). Cette figure
illustre clairement la sup{\'e}riorit{\'e} de la m{\'e}thode par FFT dans le cas de
rotations multiples.

\subsection{Importances relatives de la phase et du module de la TFD pour une image}

Nous nous int{\'e}ressons {\`a} la pertinence visuelle des caract{\'e}ristiques de
la transform{\'e}e de Fourier discr{\`e}te dans le cas des images, et plus
particuli{\`e}rement {\`a} la phase et au module de la TFD, au moyen de deux exemples. Tout d'abord nous montrons, figure \ref{phase}, deux images A et B, ainsi que
les images obtenues en echangeant les phases de leurs TFD. Nous remarquons
gr\^ace {\`a} cette exp{\'e}rience qu'une part tr{\`e}s importante de l'information
g{\'e}om{\'e}trique d'une image est contenue dans la phase de sa TFD. Rappelons que si l'on
translate une fonction, les coefficients de sa s{\'e}rie de Fourier sont
multipli{\'e}s par des exponentielles complexes de module 1, et que par
cons{\'e}quent la phase de la TFD contient en en sens des informations sur le
placement des constituants de l'image.
A l'oppos{\'e}, le module de la TFD ne semble pas contenir beaucoup
d'information pour ces deux images.

Figure \ref{module}, nous montrons deux images de textures, qui visuellement
semblent invariantes par translation, ainsi que les deux images obtenues {\`a}
partir de ces textures en ne conservant que le module de leur TFD, et en
tirant au hasard les phases (selon une loi uniforme). On voit qu'au contraire
de l'exemple pr{\'e}c{\'e}dent, c'est cette fois le module de la TFD qui contient
l'information. Cette propri{\'e}t{\'e} est caract{\'e}ristique des textures
homog{\`e}nes du type pr{\'e}sent{\'e} figure \ref{module}, et l'on peut m{\^e}me
donner une d{\'e}finition des ``microtextures'' comme images caract{\'e}ris{\'e}es
uniquement par le module de leur transform{\'e}e de Fourier. Pour conclure, nous
illustrons figure \ref{synth} une possibilit{\'e} de synth{\`e}se de textures par
modification al{\'e}atoire des phases de la TFD de l'image binaire (c'est {\`a} dire
en noir et blanc) d'une forme
simple. L'image de droite est simplement obtenue en calculant la TFD de
l'image de droite, en rempla{\c c}ant ses phases par des nombres al{\'e}atoires uniform{\'e}ment
r{\'e}partis entre 0 et $2\pi$, puis en calculant la TFD inverse de l'image
obtenue. Se
rappelant de l'effet d'une translation sur les phases de la TFD, nous pouvons
consid{\'e}rer que la methode consiste en une superposition de la forme de
d{\'e}part centr{\'e}e en des positions al{\'e}atoires, suivie d'un seuillage de l'image.

\begin{figure}
\begin{center}
\subfigure[Image A]{\includegraphics[width=6cm]{house.ps}}
%\hspace{1cm}
\subfigure[Image A]{\includegraphics[width=6cm]{lena.ps}}

%\vspace{1cm}
\subfigure[Module de la TF de A et phase de B]{\includegraphics[width=6cm]{lenmais.ps}}
%\hspace{1cm}
\subfigure[Module de la TF de B et phase de A]{\includegraphics[width=6cm]{maislen.ps}}
\end{center}
\caption{Haut: les deux images de d{\'e}part; bas: les deux images apr{\`e}s
{\'e}change des phases de leurs TFD. L'information g{\'e}om{\'e}trique est contenue
dans la phase !}
\label{phase}
\end{figure}
\begin{figure}
\begin{center}

\includegraphics[width=10cm]{text.ps}

\end{center}
\caption{Haut: deux images de textures; bas: les deux images apr{\`e}s
remplacement des phases de leurs TFD par des phases al{\'e}atoires}
\label{module}
\end{figure}
\begin{figure}
\begin{center}

\includegraphics[width=7cm]{spot1.ps}

\end{center}
\caption{Gauche: images de d{\'e}part binaires; droites: textures obtenues en remplacant
les phases des TFD des images de d{\'e}part par des valeurs al{\'e}atoires suivant
une loi uniforme}
\label{synth}
\end{figure}

\begin{figure}
\begin{center}

\includegraphics[width=7cm]{spot2.ps}

\end{center}
\caption{M{\^e}me principe qu'{\`a} la figure \ref{synth}}
\label{synth2}
\end{figure}




\section{Exercices}
{ \bf Exercice 1}
\\ \\
Soit ${(s_n)}_n \subset \CC$ telle que $s_n \longrightarrow s$. Montrer que
$$\frac{1}{n+1} \sum_0^n s_j \longrightarrow s.$$
\\
{ \bf Exercice 2}
\\ \\
Montrer qu'il existe ${(s_n)}_n \subset \CC$ telle que ${(s_n)}_n$ ne converge
pas et
$$\frac{1}{n+1} \sum_0^n s_j \mbox{ converge.}$$
\\ \\
{ \bf Exercice 3}
\\ \\
On note ${\cal C}(\Pi) = \{ f \in {\cal C}(\RR),\;2\pi \mbox{-p{\'e}riodiques}
\}$, que l'on munit
de ${\Vert f \Vert}_{\infty} = \sup_t \vert f(t) \vert$. On notera ${\Vert f
\Vert}_1
= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \vert f(t) \vert dt.$ Soit $f \in {\cal
C}(\Pi)$, on
d{\'e}finit les coefficients de Fourier de f par
$$\widehat{f} (n) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) e^{-int} dt,\;\; n
\in \ZZ.$$
On note
\begin{eqnarray*}
S_n(f,t) & = & \sum_{-n}^n \widehat{f} (k) e^{ikt},\;\;n\in \NN \mbox{ et} \\
\sigma_n(f,t) & = & \frac{1}{n+1} \sum_0^n S_j(f,t).
\end{eqnarray*}
1) On pose $D_N(t) = \sum_{-N}^N e^{ikt}$ et $K_N(t)= \frac{1}{N+1} \sum_0^N
D_j(t)$, pour $N \in \NN$.\\
Montrer que
\begin{eqnarray*}
D_N(t) & = & \frac{\sin(N+\frac{1}{2})t}{\sin\frac{t}{2}},\;\;t \not=
0,\;\;D_N(0) = 2N+1,\\
K_N(t) & = & \frac{1}{N+1} {\left( \frac {\sin \frac{N+1}{2}t}{\sin
\frac{t}{2}} \right)}^2 ,\;\;t\not=0,\;\;K_N(0) = N+1.
\end{eqnarray*}
2) V{\'e}rifier que $K_N(t) \geq 0$, $\forall t \in \RR$, ${\Vert K_N \Vert}_1 =
1$ et
que $\forall \delta > 0$, $K_N \longrightarrow 0$ uniform{\'e}ment sur $\delta
\leq \vert t \vert \leq \pi$.\\
3) Montrer que si $f \in {\cal C}(\Pi)$, $\sigma_n(f) \longrightarrow f$
uniform{\'e}ment sur $[-\pi,\pi]$. (Remarquer
que $\sigma_n(f,t) = \frac{1}{2\pi} \int _{-\pi}^{\pi} f(x) K_n(t-x) dx = K_n
\star f(t) = f \star K_n(t).)$\\
4) On appelle polynome trigonom{\'e}trique, toute fonction de la forme
$\sum_{-n}^n a_k e^{ikt}.$\\
En d{\'e}duire que les ploynomes trigonom{\'e}triques sont denses dans ${\cal
C}(\Pi)$ et que si $f,g \in {\cal C}(\Pi)$ sont telles
que $\forall n \in \ZZ$, $\widehat{f} (n)=\widehat{g} (n)$ alors $f=g.$\\
5) Th{\'e}or{\`e}me de Du Bois-Reymond :\\
$\exists f \in {\cal C}(\Pi)$ telle que $\lim \sup \vert S_n(f,0) \vert = +
\infty.$\\
Pour d{\'e}montrer ce r{\'e}sultat, on d{\'e}finit $\Lambda_n : {\cal C}(\Pi)
\longrightarrow \CC$ telle que
$\Lambda_n(f) = S_n(f,0).$\\
\indent a) V{\'e}rifier que $\Lambda_n \in ({\cal C}(\Pi))^{\prime}$.\\
\indent b) Montrer que $\Vert \Lambda_n \Vert = {\Vert D_n \Vert}_1.$\\
\indent c) Montrer que ${\Vert D_n \Vert}_1 \longrightarrow + \infty$ (par
exemple : ${\Vert D_n \Vert}_1 \geq \frac{4}{\pi^2} \log (n+1)).$\\
\indent d) En d{\'e}duire que $\exists f \in {\cal C}(\Pi)$ telle que $\sup_n
\vert S_n(f,0) \vert = + \infty$.\\
6) Soit $f \in L^1(-\pi,\pi)$, on note $c(f) = (\widehat{f}(n))_{n \in \ZZ}$.
V{\'e}rifier que
$$c(f) \in C_0(\ZZ) = \left\{ c = (c_n)_n : c_n \rightarrow 0\,\,
\mbox{quand}\,\, n \rightarrow \pm \infty \right\}.$$
7)  Soit $f \in L^1(-\pi,\pi)$ telle que $\int_{-\pi}^{\pi} f(x)p(x) dx =0$ pour
tout
polyn{\^o}me $p$ trigonom{\'e}trique, v{\'e}rifier que $f = 0$ p.p.\\
8) Montrer que l'application $T : L^1(-\pi,\pi) \rightarrow C_0(\ZZ)$ telle que
$T(f)
= (\widehat{f}(n))_{n \in \ZZ}$ est lin{\'e}aire continue injective mais non
surjective.

%marque1








\chapter{S\e ries de Fourier et distributions p\e riodiques}
Dans toute la suite, $I$ d\e signe un intervalle ouvert de $\RR$, born\ea ou
pas.
 On note ${\cal C}_0^\infty(I)$ l'ensemble des fonctions r\e elles ${\cal
C}^{\infty}$
\a
support compact dans $I$.  On appelle distribution dans $I$ toute forme
lin\e aire $u$ sur ${\cal C}_0^\infty(I)$ ayant la propri\e t\ea de continuit\ea
suivante
: Pour tout intervalle compact $J\subset \RR$ il existe un entier $p$ et
une constante $C$ tels que pour toute fonction
$\varphi\in {\cal C}_0^\infty(J)$ \a support inclus dans $J$,
$$|<u,\varphi>|\leq C\max_{i\leq p}\max_{x\in J}|\varphi^{(i)}(x)|.$$
Cette relation exprime que la forme lin\e aire $u$ n'agit que sur $\varphi$ et ses
d\e riv\e
es d'ordre inf\e rieur ou \e gal \a $p$. Si $u\in L^1_{loc}(I)$ est une fonction
int\e
grable sur tout born\ea de
$I$, on voit imm\e diatement que l'on peut l'identifier \a une distribution
$\tilde u$ dans $I$ en posant, pour $\varphi$ dans ${\cal C}_0^\infty(I)$,
$$<\tilde u,
\varphi>=\int_{I}u(x)\varphi(x)dx.$$
\dexer \index{Distributions associ\e es \a des fonctions $L^1_{loc}$}
 Montrer que si deux distributions $\tilde u$ et $\tilde v$ dans $I$ sont associ\e
es \a des fonctions $u$ et $v$ appartenant \a $L^1_{loc}(I)$ et si elles sont deux
distributions
\e gales, alors
$u=v$.
\fexer
\dexer \index{Masse de Dirac} \index{Peigne de Dirac}Montrer que $<\delta_x,
\varphi>=\varphi(x)$ est une distribution dans $\RR$, appel\e e masse de Dirac en
$x$.  Montrer qu'il en est de m\eee me pour le ``peigne de Dirac'' $u=\sum_n
\delta_{2k\pi}$ et pour
$<\delta_x^{(k)},\varphi>=(-1)^k\varphi^{(k)}(x)$.
\fexer

\noindent On admettra le th\e or\ee me suivant, qui est une cons\e quence du th\e
or\ee me de Banach-Steinhaus :
\begin{thf} \index{Convergence des distributions}
 si $u_n$ est une suite de distributions dans $I$ telle que $\forall
\varphi \in {\cal C}_0^\infty$, $<u_n, \varphi>$ converge vers une valeur que l'on
note
$<u,\varphi>$, alors $u$ est aussi une distribution dans $I$.
\end{thf}
Voir l'exercice 2 {\`a} la fin de ce chapitre.
\dexer Montrer que si $u_n \in L^1_{loc}$ converge vers $u$ dans $L^1_{loc}$, alors
aussi $u_n\to u$ au sens des distributions.
\fexer

\begin{Def} {\bf et proposition} \index{D\e riv\e e d'une distribution} Si $u$ est
une distribution dans $I$, alors on appelle d\e riv\e e $k$-i\ee me de $u$ la
distribution dans $I$ d\e finie par
$<u^{(k)},\varphi>=(-1)^k<u, \varphi^{(k)}>$. Si $u$ est ${\cal C}^k$ dans $I$,
alors
sa
d\e riv\e e classique, not\e e $\{u\}^{(k)}$ co\iii ncide avec sa d\e riv\e e au
sens des distributions, $u^{(k)}$.
\end{Def}
\paragraph{D\e monstration}
Si $u$ est ${\cal C}^k$ dans $I$, on a $<\{u\}^{(k)},\varphi>=\int_I
\{u\}^{(k)}(x)\varphi(x)$ et en int\e grant par parties $k$ fois, on obtient
$$<\{u\}^{(k)},\varphi>=(-1)^k\int_I u(x)\varphi^{(k)}(x)dx=<u^{(k)}, \varphi>.$$
\enddemo
\begin{thf} {\bf (formule des sauts)}\label{formuledessauts} \index{Formule
des sauts}Soit
$f$  une fonction
${\cal C}^1$ par morceaux sur
$I$ et
$(a_n)_{n\in \relative}$ la suite discr\ee te de ses sauts.  On d\e signe par
$\{f\}'$ la d\e riv\e e ponctuelle de $f$ et par $f(a_n^\pm)$ les limites \a
gauche et \a droite de $f$ en $a_n$. Alors la d\e riv\e e distributionnelle $f'$
de
$f$ est donn\e e  par
$$f'= \{f\}'+\sum_n (f(a_n^+)-f(a_n^-))\delta_{a_n}.$$
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
Prendre $\varphi$ dans ${\cal C}_0^\infty$ et int\e grer par parties
$<f', \varphi>=-\int f\varphi'.$
\enddemo
Que se passe-t-il quand la d\e riv\e e au sens des distributions d'une fonction
est nulle~?
\begin{lem}\index{Constance d'une fonction \a d\e riv\e e distributionnelle
nulle}
\label{deriveenulleimpliquenulle} Soit $f\in L^1(I)$ telle que $f'=0$,
\ccaadd
\fb& \label{orthogonaleauxderivees}\forall \varphi\in {\cal C}_0^\infty(I),
\int_If(x)\varphi'(x)dx=0.
\fe&
Alors il existe une constante $C$ telle que $f=C$ presque partout.
\end{lem}
\paragraph{D\e monstration}  Voir l'exercice 3 {\`a} la fin de ce chapitre.
%Comme ${\cal C}_0^\infty(I)$ est dense dans ${\cal C}_c^1(I)$
%(Corollaire \ref{densiteC0infiniCc}), la relation (\ref{orthogonaleauxderivees})
%est encore vraie si
%$\varphi\in {\cal C}_c^1(I)$. Fixons $\psi\in {\cal C}_c(I)$ telle que
$\int_I\psi(x)dx=1$.
%Alors pour toute fonction
%$w\in {\cal C}_c(I)$, il existe  une ``pseudo-primitive''  de $w$, $\varphi\in
{cal
%C}_c^1(I)$,
%satisfaisant
%$$\varphi'(x)=w(x)-(\int_Iw)\psi(x).$$
%Il suffit de choisir pour $\varphi$  la primitive \a support compact de
%$w-(\int_Iw)\psi$, qui est d'int\e grale nulle.  Donc
%$$\forall w\in {\cal C}_c(I),\;\int_I f(x)(w(x)-(\int_Iw)\psi)=0 \hbox{ et par
Fubini
%}$$
%$$\forall w\in {\cal C}_c(I), \; \int_I(f(x)-\int_If\psi)w(x)dx=0,$$
%ce qui implique par le lemme \ref{orthogonalaCcimpliquenul} que $f(x)=\int_If\psi$
%est constante.
\enddemo


\begin{pro} \index{D\e rivation d'une s\e rie de Fourier}Soit
$f$ une fonction d\e finie sur $\RR$, $2\pi$-p\e riodique et telle que $f\in
L^2(0,2\pi)$.  On a le droit de d{\'e}river  la s{\'e}rie de Fourier de
$f$ autant de fois que l'on veut et on
 a donc
\fb&
\label{deriveeseriedefourier}f^{(p)} = \sum_{-\infty}^{+\infty}
(ik)^pc_k(f)e^{ikt},
\fe&
  cette \e galit\ea \e tant  valide comme \e galit\ea de
deux distributions dans $\RR$.
\end{pro}
\drem L'\e galit\ea est aussi valide comme \e galit\ea de deux distributions dans
$]0,\pi[$ ou en fait dans tout intervalle ouvert de $\RR$.
\frem
\paragraph{D\e monstration}
\skipaline  On remarque d'abord que si $I$ est un ouvert et $u$ une fonction  dans
$L^2(I)$, dans
$L^1$, ou dans $L^p_{loc}$, alors elle est une distribution dans $I$, car toute
fonction
de $L^1_{loc}(I)$ est une distribution dans $I$.  De plus, si une suite de
fonctions $u_n$
converge dans l'un des ces espaces, elle converge aussi
 au sens des distributions dans $I$. Si
$f\in L^2(0,2\pi)$ et est $2\pi$-p\e riodique,
elle est  une distribution qui est la somme (au sens $L^2_{loc}$ et donc au sens
des
distributions dans $\RR$) de la s\e rie $\sum_kc_k(f)e^{ikt}.$  Soient
$s_{n,m}(f)=\sum_{-m}^nc_k(f)e^{ikt}$ les sommes partielles de la s\e rie de
Fourier. Comme $s_{n,m}(f)$ tend vers
$f$ au sens des distributions quand $n$ et $m$ tendent vers l'infini,
$s_{n,m}(f)^{(p)}$ tend vers
$ f^{(p)}$ au sens des distributions.
D\e rivant  terme \a terme $s_{n,m}(f)$, on obtient
$$f^{(p)}=\sum_k (ik)^{p}c_k(f)e^{ikt},$$
la convergence de la s\e rie se faisant au sens des distributions dans $\RR$.
\enddemo
\dexer Montrer que si $u$ est une distribution et $f\in {\cal C}^{\infty}(\RR)$,
alors
$fu$ d\e finie par
$$<fu, \varphi> = <u, f\varphi>$$
est bien une distribution
\fexer

\dexer \index{D\e riv\e e de la masse de Dirac}D\e riv\e e de la masse de Dirac
\newline D{\'e}montrer que $x\delta_0'=-\delta_0$.
\fexer
\paragraph{Solution}  On calcule
$$<x\delta_0', \varphi>=<\delta_0',
x\varphi>= -<\delta_0, (x\varphi)'>=-<\delta_0, \varphi +  x\varphi'>=$$
$$-\varphi(0) = <-\delta_0, \varphi>.$$
\enddemo


\begin{pro}\index{Peigne de Dirac}\index{Formule de Poisson}
(Peigne de Dirac et formule sommatoire de Poisson)
On pose $$<\tilde{\delta}, \varphi> =
\sum_{n\in {\cal Z}} \varphi(2n\pi).$$  On l'appelle la
"$2\pi$-p{\'e}riodis{\'e}e" de la masse de Dirac, ou "peigne de Dirac".
Alors $2\pi\tilde{\delta}-1=s'$ est la d{\'e}riv{\'e}e de la
fonction "en dents de scie", $2\pi$-p{\'e}riodique, d{\'e}finie sur
$\lbrack 0, 2\pi \lbrack$ par $s(x)=\pi-x$ et on a
$$\tilde{\delta} = \frac{1}{2\pi}\sum_n e^{inx},$$
ce qui se traduit pour $\varphi \in {\cal C}_0^\infty$ par la formule sommatoire de
Poisson,
$$\sum_{k=-\infty}^{k=+\infty}\varphi(2k\pi)= \frac{1}{2\pi}\sum_
{p=-\infty}^{p=+\infty} \hat{\varphi}(p).$$
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
Par int\e gration par parties, $c_n(s) = \frac
1 {2\pi}\int_0^{2\pi}(\pi-x)e^{inx}dx = \frac 1 {in}.$  Donc le d\e veloppement
en s\e rie de Fourier de $s$ est
$$s = \sum_{n\in \relative\setminus\{0\}} \frac 1 {in}e^{inx},$$
la convergence se faisant au sens $L^2_{loc}$, donc aussi au sens $L^1_{loc}$
et donc aussi au sens des distributions.  On d\e rive terme \a terme cette
derni\ee re formule (au sens des distributions) et on obtient donc
$$s'= \sum_{n\in \relative\setminus\{0\}}e^{inx}.$$
La formule des sauts (th\e or\ee me \ref{formuledessauts}) nous donne
$s'=-1+\sum_{n\in\relative}2\pi\delta_{2\pi n}$, les sauts de $s$ aux points
$2\pi n$ \e tant de $+2\pi$ et $s$ \e tant
${\cal C}^1$ aux autres points et de d\e riv\e e ponctuelle \e gale \a  -1.  On
obtient
donc
$$\sum_{n\in\relative}2\pi\delta_{2\pi n}=1+\sum_{n\neq 0}e^{inx}=\sum_{n\in
\relative} e^{inx},$$
soit la formule annonc\e e,
$$\sum_{n\in\relative}\delta_{2\pi n}=\frac 1{2\pi}\sum_{n\in
\relative} e^{inx}.$$
La formule de Poisson s'obtient en appliquant cette derni\ee re formule \a une
fonction $\varphi \in {\cal C}_0^\infty$ arbitraire.
\enddemo

\section{Distributions p\e riodiques et leurs s\e ries de Fourier}
\begin{Def}\index{Translat\e e d'une fonction et d'une distribution}
Si $T\in \RR$, on note $\tau_T u$ et on appelle "translat\e e de $u$ de $T$" la
fonction $\tau_Tu(x)= u(x-T)$.  Si $u$ est une distribution, on pose
$$<\tau_T u, \varphi>=<u, \tau_{-T}\varphi>.$$
On voit ais\e ment que ces deux d\e finitions sont compatibles quand $u$ est
une fonction de $L^1_{loc}$.
\end{Def}
\begin{Def}\index{Distribution p\e riodique}
On se donne un nombre $T>0$,  la "p{\'e}riode", et lui associe la
"fr{\'e}quence" $\omega = \frac {2\pi}{T}$.  On dit  qu'une distribution $u$ est
$T$-p{\'e}riodique si sa translat{\'e}e $\tau_T u$ est  {\'e}gale {\`a} $u$.
 \end{Def}
\begin{pro}\index{Croissance lente (suite \a )}
Soit $(\gamma_k)_{k\in Z}$ une suite {\`a} croissance lente, c'est-{\`a}-dire
v{\'e}rifiant une in\e galit\ea du type
$$\forall k \in Z,\; |\gamma_k|\leq C(1+|k|)^N.$$
Alors la s{\'e}rie  $\sum_{-\infty}^{+\infty} \gamma_k e^{ik\omega t}$
converge au sens des  distributions et d{\'e}finit une distribution
$T$-p{\'e}riodique. \end{pro}

\paragraph{D\e monstration} On pose  $$u(t)=\sum_{k\neq 0}\frac 1{(ik\omega)^{N+2}}
\gamma_k e^{ik\omega t}.$$
Il s'agit d'une s\e rie uniform\e ment convergente, son terme g\e n\e ral \e
tant major\ea par $\frac C{(1+|k|)^2}$. L'\e galit\ea pr\e c\e dente est donc
valide au sens des distributions. En la d\e rivant $n+2$ fois au sens des
distributions, on obtient une nouvelle distribution et l'\e galit\ea
$$\sum_{-\infty}^{+\infty} \gamma_k e^{ik\omega t}=u^{(n+2)}.$$
  Comme $u(t)$ est une fonction $2\pi$-p\e riodique,
il est imm\e diat que $u^{(n+2)}$ est une distribution $2\pi$-p\e riodique.
\enddemo
\begin{pro}\label{decroissancerapidedescoefficients} \index{D\e croissance
rapide (de coefficients de Fourier)} Si
$f$ est
$T$-p{\'e}riodique  et de classe
${\cal C}^{\infty}$, la suite des $c_k(f)=\frac 1{T}\int_0^T f(t)e^{ik\omega t}$
est
{\`a}
d{\'e}croissance  rapide, c'est-{\`a}-dire que l'on a
$|c_k(f)|\leq C_N(1+|k|)^{-N}$ pour tout  $N$ et  la diff{\'e}rence
$$f-\sum_L^{L'}c_k(f)e^{ik\omega t}$$  tend vers 0 uniform{\'e}ment ainsi que
chacune de ses d{\'e}riv{\'e}es lorsque $L$ et $L'$ tendent vers $+\infty$.
\end{pro}


\paragraph{D\e monstration}  On obtient l'estimation $|c_k(f)|\leq
C_N(1+|k|)^{-N}$ en int\e grant par parties $N$ fois $ c_k(f)
=\frac 1 T\int_0^{T}f(t)e^{-ik\omega t}dt$.  Gr\aa ce
\a cette estimation, la s\e rie $\sum_k c_k(f)e^{ik\omega t}$ et toutes ses
d\e riv\e es terme \a terme sont uniform\e ment convergentes.  On peut donc
intervertir sommation et d\e rivation.
\enddemo

\begin{thf}\label{unicitedescoefficientsdefourier}\index{Unicit\ea des
coefficients de Fourier d'une distribution} (Unicit\ea des coefficients de
Fourier) Si
$\gamma_k$ est une suite
\a croissance lente telle que l'on ait
$u=\sum_k \gamma_k e^{ik\omega t}=0$  au sens des distributions, alors $\forall
k,
\gamma_k=0$.
\end {thf}
\paragraph{D\e monstration}
Pour tout $\varphi\in {\cal C}_0^\infty$,
$$<\sum_k \gamma_ke^{ik\omega t}, \varphi>=\sum_k \gamma_k<e^{ik\omega t},
\varphi>= \sum_k \gamma_k\int_{\RR} \varphi(t)e^{ik\omega t}.$$
Le th\e or\ee me r\e sulte alors imm\e diatement du lemme qui suit.

\enddemo
\begin{lem} \index{Fonctions tests pour Fourier}\label{fonctiontestfourier}
$\forall k_0\in\relative,\;
\exists
\varphi\in {\cal C}_0^\infty,\;
\int
\varphi(t)e^{ik\omega t}dt=\delta_{k,k_0}.$
\end{lem}

\begin{lem} \index{Partition p\e riodique de l'unit\ea }
Il existe $\chi\in {\cal C}_0^\infty(\RR)$ telle que
\fb& \label{partitiondeluniteperiodique}
\sum_{l\in Z}\chi(t+lT)= 1.
\fe&
\end{lem}
\paragraph{D\e monstration} Il suffit de prendre    $\phi \in {\cal C}_0^\infty$
positive
partout et strictement positive sur $[0,T]$, puis de poser
$\chi(t) =
\frac {\phi(t)}{\sum_{l\in \relative}\varphi(t+lT)}.$
\enddemo
\paragraph{D\e monstration du Lemme \ref{fonctiontestfourier}.}
On pose simplement $\varphi(t)=\chi(t)e^{-ik_0\omega t}$, o\u $\chi(t)$ d\e
finit une partition de l'unit\ea (Lemme\ref{partitiondeluniteperiodique}).  Alors
$$
\int \varphi(t)e^{ik\omega t}dt= \int \chi(t)e^{i(k-k_0)\omega t}dt=
$$
$$\sum_{l\in
\relative}
\int_{lT}^{(l+1)T}\chi(t)e^{i(k-k_0)\omega t}dt=\sum_l\int_0^T
\chi(t+lT)e^{i(k-k_0)\omega t}dt =$$
$$\int_0^T \sum_{l\in \relative}
\chi(t+lT)e^{i(k-k_0)\omega t}dt=\int_0^T e^{i(k-k_0)\omega
t}dt=\delta_{k,k_0}.$$
\enddemo

\section{Espaces de Sobolev p\e riodiques $H^m_{per}(0, 2\pi)$}


\begin{Def}\index{Espace de Sobolev p\e riodique} On appelle espace de Sobolev p\e
riodique
d'ordre
$m\geq 1$ et on note $H^m_{per}(0, 2\pi)$ l'ensemble des fonctions $2\pi$ p\e
riodiques sur $\RR$, appartenant \a
$L^2(0,
2\pi)$ et telles que leurs d\e riv\e es au sens des distributions d'ordre $1,
...,m$ appartiennent
\a $L^2(I)$. On le munit de la norme
$$||u||_{H^{m}_{per}}= (\sum_{n\leq m} ||u^{(n)}||_{L^2})^\frac 12$$
associ\e e au produit hermitien
$$(u,v)_{H^m_{per}}=\sum_{n\leq m} \int_{[0,2\pi]}
u^{(n)}(x)\overline{v^{(n)}(x)}dx.$$
\end{Def}


Les espaces $H^m_{per}(0,2\pi)$ sont particuli\ee rement faciles \a \e tudier gr\aa
ce au fait qu'ils sont caract\e ris\e s par le comportement de leur s\e rie de
Fourier.  Dans toute la suite de ce chapitre, on note $I=]0,2\pi[$.

\begin{pro} \index{Coefficients de Fourier d'une d\e riv\e e}
Si $u\in H^m_{per}$, alors pour tout $n\leq m$, les coefficients de $u^{(n)}$ v\e
rifient $$c_k(u^{(n)})=(ik)^nc_k(u).$$
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
En effet, on a vu que si $u\in L^2(I)$, alors
on peut \e crire
$$u=\sum_k c_k(u)e^{ikt}, \; c_k(f)=\frac 1{2\pi}\int_{[0,2\pi]}u(t)dt,$$
cette \e galit\ea s'\e tendant \a $\RR$ \a condition de p\e riodiser $u$.
En cons\e quence,
$$u^{(n)}=\sum_k c_k(u)(ik)^ne^{ikt},$$
la convergence se faisant au sens des distributions dans $\RR$.  Comme on a
suppos\ea que
$u^{(n)}$ est dans $L^2(I)$, $u^{(n)}$ admet un d\e veloppement en s\e rie de
Fourier dont les coefficients $(c_k(u^{(n)}))_k$ appartiennent \a $L^2(\relative)$.
Par unicit\ea du d\e veloppement de Fourier (th\e or\ee me
\ref{unicitedescoefficientsdefourier}), on a
$$c_k(u)(ik)^n=c_k(u^{(n)}).$$
\enddemo
\begin{pro}
 \index{R\e gularit\ea des fonctions de $H^m_{per}$}Les fonctions de
$H^m_{per}$ appartiennent
\a
$C^{m-1}$. En particulier, les fonctions de $H^1_{per}(I)$ sont continues.
\end{pro}

\paragraph{D\e monstration}
Prenons $n=1$.  Alors $c_k(u)= \frac 1{ik}c_k(u')$ est le produit de deux s\e
ries appartenant \a  $l^2(\relative)$.  Donc $c_k(u)\in l^1$ et donc la s\e rie
$\sum_k c_ke^{ikt}$ converge uniform\e ment sur $\RR$. La limite est donc
continue et donc
$u$ est continue (ou, pour \eee tre exact, $u$ est \e gale presque
partout \a une fonction continue et est donc continue).  On conclut la d\e
monstration en remarquant que si
$u^{(m-1)}$ est dans
$H^1_{per}$, alors  $u$ est dans $H^m_{per}$.
\enddemo

\begin{pro} \index{Espaces de Hilbert $H^m_{per}$} \label{H1norme} Les espaces $H^m_{per}(0,2\pi)$
sont des espaces de Hilbert et leur norme peut s'\e crire
$$||u||^2_{H^m_{per}}=\sum_{n\leq m}
||u^{(n)}||^2_{L^2}=\sum_k|c_k(u)|^2(1+|k|^2+...+|k|^{2m}).$$
Une norme hilbertienne \e quivalente est
$|u|_{H^m_{per}}^2=\sum_k|c_k(u)|^2(1+|k|^{2m}).$
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
L'application $u\in H^m_{per}\to (c_k(u)(1+|k|^2+...+|k|^{2m})^\frac 12$ est une
isom\e
trie de
$H^m_{per}(0,2\pi)$ sur $l^2(\relative)$ qui est un espace de Hilbert. $H^m_{per}$
est donc aussi un espace de Hilbert. L'\e quivalence des normes est imm\e diate.
\enddemo
\begin{thf} (premi\ee re application) \index{Elastique charg\ea }
On consid\ee re le probl\ee me de l'\e lastique charg\e ,
\fb& \label{equationbarreelastique}
-u''+u = f, \; u(0)=v(2\pi)=0,
\fe&
o\u $f\in L^2([0, 2\pi]).$  Alors il existe une unique  $u\in L^2([0,2\pi])$
solution (au sens des distributions !) de (\ref{equationbarreelastique}).  Cette
solution appartient en fait
\a $H^2_{per}([0,2\pi])$
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}  Pour avoir de mani\ee re naturelle les conditions
aux limites $u(0)=u(2\pi)=0$, il est convenable d'utiliser la  base en sinus
$(\sin(\frac{kt}2)), \; k\in \NN^*$. On d\e veloppe
$u$ et
$f$ dans cette base de Fourier et on identifie les coefficients de Fourier \a
droite et \a gauche de l'\e quation, comme on le peut en vertu de l'unicit\ea des
coefficients de Fourier d'une distribution.  (Cette unicit\ea entra\ii ne imm\e
diatement l'unicit\ea des coefficients sur la base en sinus, puisque les
coefficients en sinus de $u$ ne sont autres que les coefficients de Fourier
classiques sur
$[-2\pi, 2\pi]$ de $u$ prolong\e e en une fonction impaire).  On pose donc
$c_k(u)=\frac 1\pi \int_0^{2\pi}u(t)\sin\frac{kt}2 dt$ et on a $u=\sum_{k\in
\NN^*}c_k(u)\sin\frac{kt}2.$  L'\e quation (\ref{equationbarreelastique})
est alors
\e quivalente
\a
$$\forall k\in\NN^*,\; (k^2+1)c_k(u)=c_k(f), \hbox{ soit }$$
$$c_k(u)=\frac {c_k(f)}{1+k^2}.$$
Donc $u = \sum_{k\in \NN^*}\frac {c_k(f)}{1+k^2}\sin{\frac k2t},$ qui
appartient bien
\a
$H^2_{per}$. Remarquer que $u$ n'est pas n\e cessairement ${\cal C}^2$ et que donc
l'\e
quation n'a pas de sens classique !  Par contre, comme $u\in H^2_{per}$, $u$ est
${\cal C}^1$. Comme
$u$ est impaire, on a bien $u(0)=u(2\pi)=0$.
\enddemo
\\ \\

\paragraph{Exemple de fonction continue et juste en dehors de $H^1_{per}$}

Afin de donner une id{\'e}e concr{\`e}te du type de fonction appartenant {\`a}
l'espace $H^1_{per}$, nous allons donner plusieurs exemples de fonctions dont le module des coefficients de Fourier d\'ecroit \`a une vitesse donn\'ee,
caract\'erisant leur appartenance \`a ces espaces. Dans le cas de la dimension 1, nous montrons, figure
\ref{pasH11D}, trois exemples de fonctions de $\R$ dans $\R$, dont les
coefficients v\'erifient $|c_k(f)|=(|k|+1)^{-\alpha}$, avec
respectivement $\alpha=1,01$, $\alpha=1,5$, $\alpha=2$. Remarquons qu'une
fonction avec de tels coefficients est continue si $\alpha>1$, puisqu'alors la
s\'erie $\sum |c_k|$ converge, et qu'il y a donc convergence uniforme de la
s\'erie de Fourier. D'autre part, la fonction est dans $H^1_{per}$ d\`es que
$\alpha>\frac  3 2$, en vertue de la proposition \ref{H1norme}, et n'y
appartient pas dans le cas contraire. Dans le cas des fonctions de la figure
\ref{pasH11D}, seule la derni\`ere fonction est dans $H_1$, la deuxi\`eme
\'etant ``juste en dehors'' de cet espace. Num\'eriquement, ces fonctions sont
discr\`etes, c'est \`a dire que leurs valeurs ne sont connues qu'en un nombre
fini de points, et sont obtenues par Transform\'ee de Fourier Discr\`ete
inverse (voir le paragraphe \ref{TFD}). Un signal dont les termes
d\'ecroissent en $k^\alpha$ est g\'en\'er\'e, puis ses termes sont
multipli\'es par des phases (nombres complexes de modules 1) al\'eatoires
(uniform\'ement tir\'ees pour les exp\'eriences pr\'esent\'ees) respectant les
propri\'et\'es de symm\'etrie des transform\'ees de Fourier des signaux
r\'eels (voir paragraphe \ref{TFD}). Les fonctions sont alors obtenues par
transform\'ee de Fourier inverse.


Pour illustrer l'appartenance aux espaces $H^1_{per}$ dans le cas de fonctions
de $\R^2$ dans $\R$, nous g{\'e}n{\'e}ralisons les d{\'e}finitions et
propri\'et\'es pr\'ec\'edentes. Une fonction $u$ de $\RR^2$ est
dite $2\pi$-p{\'e}riodique si elle est $2\pi$-p{\'e}rodique en chacune de ses variables.

\begin{Def}\index{Espace de Sobolev p\e riodique 2} On appelle espace de Sobolev p\e
riodique
d'ordre
$1$ et on note $H^1_{per}(I^2)$ l'ensemble des fonctions $u$, $2\pi$ p\e
riodiques sur $\RR^2$, appartenant \a
$L^2(I^2)$ et telles que leurs d\e riv\e es (au sens des distributions) d'ordre $1$,
$$\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}$$
 appartiennent
\a $L^2(I^2)$. On note ces deux d{\'e}riv{\'e}es respectivement $u_x$ et $u_y$. On
 munit cet espace de la norme
$$||u||_{H^{1}_{per}}=\left(||u||^2_{L^2} +||u_x||^2_{L^2}+||u_y||^2_{L^2}\right)^\frac 12$$
associ\e e au produit hermitien
$$(u,v)_{H^1_{per}}=\int_{[0,2\pi]^2}
\left(u(x,y)\overline{v}(x,y)+u_x(x,y)\overline{v_x}(x,y)+u_y(x,y)\overline{v_y}(x,y)\right)dxdy.$$
\end{Def}

On a alors l'{\'e}quivalent de la proposition \ref{H1norme} (la preuve est
identique {\`a} celle de la dimension 1):

\begin{pro} \label{H1norme2} Les espaces $H^m_{per}(0,2\pi)$
sont des espaces de Hilbert et leur norme peut s'\e crire
$$||u||^2_{H^1_{per}}=||u||^2_{L^2}+||u_x||^2_{L^2}+||u_y||^2_{L^2}=\sum_{i,j}|c_{i,j}(u)|^2(1+i^2+j^2).$$
\end{pro}

En particulier, si une fonction $u$ de $L^2(I^2)$ a les coefficients $c_{i,j}$
de sa
s{\'e}rie de Fourier tels que la s{\'e}rie $\sum_{i,j}|c_{i,j}(u)|^2(1+i^2+j^2)$
diverge, elle n'est pas dans $H^1_{per}$. La figure \ref{pasH12D} pr{\'e}sente plusieurs
exemples de fonctions $u$ dont les coefficients de Fourier v{\'e}rifient
$|c_{i,j}|=\frac{1}{1+(i^2+j^2)^{\alpha/2}}$. Ces fonctions sont continues (leur
s{\'e}rie de Fourier converge uniform{\'e}ment) si $\alpha>1$, et ces fonctions
ne sont pas dans
l'espace $H^1_{per}$ si $\alpha<1.5$, d'apr{\`e}s la proposition \ref{H1norme2}. Comme en
dimension 1, ces images sont obtenues par Transformation de Fourier Dicr{\`e}te inverse, en imposant
le module des coefficients de la transform{\'e}e, et en tirant des phases
al{\'e}atoires.
\begin{figure}
\begin{center}

\includegraphics[width=7cm]{alpha_1.ps}

\includegraphics[width=7cm]{alpha_1.5.ps}

\includegraphics[width=7cm]{alpha_2.ps}

\end{center}
\caption{fonctions continues de $\R$ dans $\R$ dont les coefficients de Fourier v{\'e}rifient
$|c_k(f)|=(k+1)^{-\alpha}$. Haut: $\alpha=1$, la fonction est en dehors de
$H^1_{per}$, milieu: $\alpha=1,5$, et la fonction est donc ``juste'' en dehors
de l'espace $H^1_{per}$, bas: $\alpha=2$, la fonction est dans $H^1_{per}$.}
\label{pasH11D}
\end{figure}

\begin{figure}
\begin{center}

\includegraphics[width=7cm]{alpha2_1.ps}

\includegraphics[width=7cm]{alpha2_1.5.ps}

\includegraphics[width=7cm]{alpha2_2.ps}

\end{center}
\caption{fonctions continues dont les coefficients de Fourier v{\'e}rifient
$|c_{i,j}|=(1+i^2+j^2)^{-\alpha/2}$. Haut: $\alpha=1$, la fonction est en dehors de
$H^1_{per}$, milieu: $\alpha=1.5$, et la fonction est donc ``juste'' en dehors de l'espace $H^1_{per}$, bas: $\alpha=2$, la fonction est dans $H^1_{per}$.}
\label{pasH12D}
\end{figure}




\section{Exercices}
{ \bf Exercice 1}
\\ \\
1) Les applications suivantes d{\'e}finissent-elles des distributions sur $\RR$
?\\
$$\vfi \rightarrow \sum_{n\geq0} \vfi^{(n)}(n),\qquad \vfi
\rightarrow \sum_{n\geq0} \vfi^{(n)}(0).$$
2) Soit $f \in \Lun(\RR)$, montrer que $T_f : \vfi \mapsto \int_{\RR} f\vfi$ est
dans $\Di(\RR)$,
 et qu'il n'existe pas $f \in L^1_{loc}(\RR)$ telle que $\delta_0 = T_f.$\\
D{\'e}finition : Les distributions du type $T_f$ sont appel{\'e}es "fonctions".\\
\\ \\
{ \bf Exercice 2}
\\ \\
{ \bf Rappel }:\\
Pour $K$ compact de $\RR$, on note $\DD_K(\RR) = \{ \vfi \in {\cal
C}^{\infty}(\RR),\,\mbox{supp }\vfi \in K \}$ qui est naturellement muni de la
topologie d{\'e}finie par la famille de semi-normes $p_j(\vfi) = \sup_{m \leq j}
\sup_K \vert \vfi^{m}(x) \vert$. On rappelle qu'une partie $U$ de $\DD_K(\RR)$
est
ouverte si ou bien $U = \emptyset$ ou bien $\forall \vfi \in U$, $\exists j,r$
tels
que la boule $B_j(\vfi,r) = \{ \psi \in \DD_K(\RR), p_j(\vfi - \psi) < r \}
\subset
U$. (on pourra v{\'e}rifier que l'on d{\'e}finit bien ainsi une topologie.)\\
Soit $(T_n)_n$ une suite de distributions dans $\Di(\RR)$ telle que, $\forall
\vfi
\in \DD(\RR)$ la suite $<T_n,\vfi>$ converge vers une limite que l'on note
$<T,\vfi>$, on veut montrer que la forme lin{\'e}aire $T$ est une distribution.\\
Avec les notations du rappel, on pose $E = \DD_K (\RR)$ et
$$d(f,g) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{2^n} \inf(1,p_n(f-g)).$$
1) V{\'e}rifier que d est une distance sur E. Montrer que sur E, la topologie de
la
distance d est {\'e}quivalente {\`a} la topologie d{\'e}finie par la famille de
semi-normes $(p_n)_n$. \\
2) V{\'e}rifier que $(E,d)$ est complet. On pose $F_k = \{ \vfi \in E\,:\,\forall
n,\, \vert<T_n,\vfi>\vert \leq k \}$. Montrer que $\exists k_0, i_0,\vfi,r$ tels
que $B_{i_0}(\vfi,r) \subset F_{k_0}$. En d{\'e}duire que $T$ est continue sur E
et
donc que $T$ est bien une distribution.\\
Remarque : On peut remplacer $\RR$ par un ouvert quelconque de $\RR^N$.
\\ \\
{ \bf Exercice 3}
\\ \\
Soit I un intervalle ouvert de $\RR$ et $\theta_0 \in \DD(I)$ telle que $\int_I
\theta_0 = 1$.

a) V{\'e}rifier que $\forall \vfi \in \DD(I)$, $\exists (\lambda,\psi) \in
\RR\times
\DD(I)$ tel que
$\vfi = \lambda\theta_0+\psi^{\prime}$.

b) En d{\'e}duire que si $T \in \Di(I)$ v{\'e}rifie $T^{\prime} =0$ alors T est une
fonction constante.

c) Soit $T \in \Di(I)$ telle que $T^{\prime} \in {\cal C}^{\infty}(I)$, montrer
que
$T \in {\cal C}^{\infty}(I)$.
\\ \\
{ \bf Exercice 4}
\\ \\
Soit $\psi$ solution de $\sum_{j=0}^k a_j \psi^{(j)}(x) = 0$ pour $x \in \RR$,
o{\`u}
$a_j \in \RR$ et $a_k \not=0$,
satisfaisant \\
$\psi(0)=\psi^{\prime}(0)=...=\psi^{k-2}(0)=0$ et
$\psi^{k-1}(0)=\frac{1}{a_k}$.\\
1) Soit $Y= 1_{\RR^+}$, on pose $E=T_{Y\psi}$. V{\'e}rifier que $E \in \Di(\RR)$
et
calculer
$\sum_{j=0}^k a_j E^{(j)}$.\\
2) Donner une solution dans $\Di(\RR)$ de
$E^{\prime\prime}+E^{\prime}+E=\delta_0$.
\\ \\


%\include{chap1112}
\chapter{Espaces de Sobolev sur l'intervalle}

Dans toute la suite, $I=]a,b[$ repr\e sente un intervalle ouvert de $\RR$,
born\ea ou non.

\begin{Def}\index{Espace de Sobolev} On appelle espace de Sobolev  d'ordre
$m\geq 1$ et d'exposant $p\geq 1$ sur l'intervalle
$I=[0, 2\pi]$ l'ensemble des fonctions de $L^p(I)$ telles que leurs d\e riv\e es
au sens des distributions d'ordre $1, ...,m$ appartiennent \a $L^p(I)$.  On note
cet espace $W^{m,p}(I)$ et on le munit de la norme
$$||u||_{W^{m,p}}= \sum_{n\leq m} ||u^{(n)}||_{L^p}.$$
Si $p=2$, on note  $H^m=W^{m,2}$ et on prend pour norme
$$||u||_{H^m} = (\sum_{n\leq m} ||u^{(n)}||^2_{L^2})^\frac 1 2,$$
associ\e e au produit hermitien
$$(u,v)_{H^m}=\sum_{n\leq m} \int_I u^{(n)}(x)\overline{v^{(n)}(x)}dx.$$
\end{Def}


 Une fonction $u$ appartient donc \a
$W^{1,p}(I)$ si $u\in L^p(I)$ et sa d\e riv\e e au sens des distributions dans
$I$ est dans $L^p$.  Cela veut dire
$$\exists v(=u')\in L^p, \; \forall \varphi\in {\cal C}_0^\infty(I), \; \int_I
v(x)\varphi(x)dx=-\int_I u(x)\varphi'(x)dx.
$$

\begin{thf}\label{fonctionsdeW1psontC1} \index{Continuit\ea des fonctions de
$W^{1,p}$} Si $u\in W^{1,p}(I)$, il existe $\tilde u\in C^0(I)$
(\ccaadd continue dans
$I$) telle que $u=\tilde u$ presque partout dans $I$ et
\fb& \label{integrationdeladeriveedansW1p}
\forall x,y \in \overline{I},\;\int_x^yu'(t)dt=\tilde u(y)-\tilde u(x)
\fe&
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
Comme ${\cal C}_0^\infty(I)$ est dense dans $L^1(I)$ (Corollaire
\ref{densiteC0infiniCc}), on peut  choisir une suite $v_\varepsilon\in
{\cal C}_0^\infty(I)$ qui converge vers
$u'$ dans
$L^1(I)$.  On pose $u_\varepsilon(x)=\int_a^xv_\varepsilon(x)dx.$ La
suite
$u_\varepsilon$ converge uniform\e ment sur tout compact de $I$ vers une fonction
$w$ continue sur
$I$. Alors d'une part, si $\varphi\in {\cal C}_0^\infty$,
$$\int_Iu_\varepsilon \varphi'=-\int v_\varepsilon \varphi \to -\int u'\varphi=
\int u\varphi'$$
$$\hbox{et d'autre part  } \int_Iu_\varepsilon\varphi'\to\int w\varphi'.$$
 $$\hbox{Donc  }\forall \varphi\in {\cal C}_0^\infty(I), \; \int (w-u)\varphi'=0,$$
ce qui prouve  par le lemme \ref{deriveenulleimpliquenulle} que $w-u$ est \e gale
presque partout \a une constante $C$.  On conclut en posant $\tilde u=w-C$.
\enddemo

\begin{cor}\label{densiteCzeroinfiniW1ploc}
Si $u\in W^{1,p}(I)$, il existe une suite $u_\varepsilon\in C^\infty (\real)$ convergeant
vers $u$ dans $W^{1, p}(K)$ pour tout compact $K\subset I$.

\end{cor}
\paragraph{D\e monstration} Il suffit de reprendre la d\e monstration pr\e c\e dente en rappelant
que $C_0^\infty$ est aussi dense dans $L^p(I)$.  Donc on a $v_\varepsilon\to u'$ dans $L^p(I)$,
et donc $u_\varepsilon$ tend vers $u+C$ uniform\e ment sur tout compact (et donc aussi dans
$L^p$ de tout compact inclus dans $I$.
\enddemo
\begin{pro} \label{continuiteauxbordsdeudansW1p}\index{Continuit\ea aux extr\e
mit\e s des fonctions de $W^{1,p}$} Si $p<\infty$, alors toute fonction $u\in
W^{1,p}$ se prolonge en une fonction continue sur la fermeture $\overline{I}$. Si
$a=-\infty$ ou
$b=+\infty$, on a de plus $u(x)\to 0$ quand $x\to \infty$.
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
Si $p<\infty$ et si $I$ est  born\e , on d\e duit imm\e diatement de la
relation\linebreak
$|u(x)-u(y)|\leq \int_x^y|u'(t)|dt$ que $u(x)$
est une suite de Cauchy quand $x$ tend vers $a$ ou $b$ et on peut donc d\e finir
$u$ comme une fonction continue sur $[a,b]$. Si $I$ est non born\ea et $u\in
W^{1,1}(I)$, on d\e duit par la m\eee me in\e galit\ea que $u(x)$ a une limite
quand $x\to +\infty$ (par exemple). Cette limite ne peut \eee tre que z\e ro,
puisque $u$ est int\e grable.  Si
$p>1$, on commence par remarquer que si $u$ est $C^1$, on peut \e crire,
 par l'in\e galit\ea de H\ooo lder,

\fb&
\label{doublehoelder}
|u|^p(x)-|u|^p(y)=p\int_x^y u'|u|^{p-2}u(x)dx\leq p(\int_x^y|u'|^p)^\frac 1
p(\int_x^y|u|^p)^\frac 1{p'},
\fe&
ce qui implique encore que $u(x)\to 0$ quand $x\to \infty$.
Si maintenant $u$ est seulement dans $W^{1,p}$, on utilise le corollaire
\ref{densiteCzeroinfiniW1ploc} : on prend $u_\varepsilon$ r\e guli\ee re et
approximant dans $W^{1,p}([x,y])$. L'in\e galit\ea \ref{doublehoelder} s'applique
\a $u_\varepsilon$ et, par densit\e , aussi \a $u$.
\enddemo
\begin{Def} \index{Espace $W^{1,p}(I)$} Si $I=]a,b[$ et que $a$ ou $b$ est fini, on
note
$W^{1,p}_0(I)$ le sous-espace des fonctions
$u\in$ $W^{1,p}(I)$ telles que $u(a)=u(b)=0$.  Cette d\e finition a un sens gr\aa
ce \a la
proposition pr\e c\e dente : on prend pour $u(a)$ et $u(b)$ les valeurs limites du
repr\e
sentant continu de $u$. Dans le cas particulier o\u $p=2$, on note
$H_0^1(I)=W_0^{1,2}(I)$.
\end{Def}
\drem
Rappelons qu'en vertu de la proposition \ref{continuiteauxbordsdeudansW1p}, si $I$
est non
born\e ,
$u(x)$ tend  vers 0 quand $x\to \infty$.
\frem
\begin{thf} \label{densitedeC0infinidansW01p}
%\index{Densit\ea de ${\cal C}_0^\infty$ dans $W_0^{1,p}$}
${\cal C}_0^\infty(I)$ est dense dans $W_0^{1,p}(I)$.  En particulier, ${\cal
C}_0^\infty(\RR)$
est
dense dans $W^{1,p}(\RR)$ et ${\cal C}_0^\infty(I)$ est dense dans $H_0^1(I)$.
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
{\bf Etape 1}  Regardons d'abord le cas o\u $I$ est un intervalle born\ea de
$\RR$.
Soit $u\in W_0^{1,p}(I)$ et $g_\varepsilon \in {\cal C}_0^\infty(I)$ telle que
$g_\varepsilon \to u'$ dans $L^p(I)$.  Comme $\int_I u'(x)dx=0$, il en r\e
sulte que $\int_Ig_\varepsilon(x)dx\to 0$.  Fixons
$\varphi\in {\cal C}_0^\infty(I)$ telle que
$\int \varphi(x)dx=1$.  Alors aussi
$$v_\varepsilon=g_\varepsilon -\varphi \int_I g_\varepsilon \to u'$$ et on a
maintenant $\int_I v_\varepsilon =0$. On voit imm\e diatement que sa primitive
$u_\varepsilon(x)=\int_a^xv_\varepsilon(x)dx$ est dans ${\cal C}_0^\infty(I)$ et
par la relation (\ref{integrationdeladeriveedansW1p}) on d\e duit que
$u_\varepsilon$
converge uniform\e ment (et donc dans $W^{1,p}$) vers $u_0$.
\newline
\newline {\bf Etape 2}  Supposons maintenant que $I$ est non born\ea et  traitons
sans
perte de g\e n\e ralit\ea le cas $I=]0, +\infty[$. Gr\aa ce \a l'\e tape 1, il
suffit que
nous montrions que toute fonction $u\in W^{1,p}(]0, +\infty[)$ est approchable par
des
fonctions $u_n$ dans $W^{1,p}(]0,n[)$.  Pour cela, on consid\ee re une fonction
$\varphi\in {\cal C}_0^\infty(\RR)$ telle que $\varphi(0)=1$, $|\varphi(x)|\leq 1$
et
\a
support
dans $]-1, 1[$ et on pose simplement $u_n = u\varphi(\frac x n)$.  Par le th\e
or\ee me de
Lebesgue, $u_n \to u$ dans $L^p$ ($|u|^p$ est chapeau int\e grable) et on a aussi
$u_n'\to u'$ dans $L^p$.  En effet,
$$u'_n= \frac 1 n \varphi'(\frac x n)u +
u'\varphi(\frac x n).$$
Or, le premier terme tend vers 0 dans $L^p$,  $\varphi'$ \e tant born\e e, et le
second terme tend vers $u'$, \a nouveau par le th\e or\ee me de Lebesgue. On
conclut que
$u_n$ tend vers $u$ dans $W^{1,p}(\RR)$.
\enddemo
L'introduction de $W_0^{1,p}$ nous permet d'introduire un nouveau point de vue
sur l'\e quation de la corde \e lastique charg\e e.

\begin{thf} (Le point de vue variationnel) \index{M\e thode variationnelle
(pour l'\e lastique charg\ea )} La solution de l'\e quation
(\ref{equationbarreelastique}) se caract\e rise comme l'unique minimum de la
fonction continue et coercive sur $H_0^1(I)$ d\e finie par
$$E(u)=\frac 1 2\int_I ((u'(x)^2+u(x)^2)-\int_If(x)u(x)dx.$$
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration} On consid\ee re la forme bilin\e aire
sur $H_0^1([0,2\pi])$,
$$
a(u,v)=\int_I (u'(x)v'(x)+u(x)v(x))dx.
$$
 Comme $a(u,u)=
||u||_{H_0^1}^2$ est coercive, on peut appliquer le th\e or\ee me  de
Lax-Milgram (th\e or\ee me \ref{laxmilgram}) et il existe un unique minimum de
$\frac 12a(u,u)-(f,u)$, qui satisfait de plus
$$\forall v\in H_0^1(I), \int_I (u'(x)v'(x)+u(x)v(x))dx=\int_If(x)u(x)dx.$$
Comme ${\cal C}_0^\infty(I) $ est contenu dans $H_0^1(I)$, on a aussi
$$\forall \varphi\in {\cal C}_0^\infty(I), \int_I
(u'(x)\varphi'(x)+u(x)\varphi(x))dx=\int_If(x)\varphi(x)dx$$
$$\hbox{et donc  }\forall \varphi\in {\cal C}_0^\infty, \; <-u''+u, \varphi>=<f,
\varphi>,$$
 ce qui veut dire que $u$ v\e rifie l'\e quation
$-u''+u=f$ au sens des distributions.
\enddemo
\section{Les espaces $W^{1,p}(I)$ comme espaces de Banach}
\begin{thf}\label{SobolevsontBanach} \index{Compl\e tude des espaces de Sobolev}
$W^{1,p}(I)$ est un espace de Banach pour $1\leq p\leq +\infty$.
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
Soit $u_n$ une suite de Cauchy dans $W^{1,p}$. Il existe donc $(u,g)\in
(L^p(I))^2$ tels que
$$u_n\to u \hbox{ dans } L^p, \; u'_n\to g \hbox{ dans } L^p.$$
Comme pour tout $\varphi \in {\cal C}_0^\infty(I),$ on a
$$\int_I u_n\varphi' + \int_I u'_n\varphi=0,$$
on obtient en passant \a la limite $\int_Iu\varphi'+\int_Ig\varphi=0,$ ce qui veut
dire que $u'=g$ et donc que $u\in W^{1,p}$. On conclut que $u_n\to u$ dans
$W^{1,p}$.

\enddemo
\begin{thf} (Dual de $W^{1,p}(I)$)\index{Dual de $W^{1,p}$} Si $1\leq p<\infty$,
toute forme lin\e aire
$f$ sur
$W^{1,p}(I)$ peut s'\e crire sous la forme
\fb& \label{dualdeW1p}
f(u)= \int_I gu+\int_I hu', \hbox{ o\u } g,h\in L^{p'}.
\fe&
R\e ciproquement on peut associer \a tout couple $g,h\in L^{p'}(I)$ une forme
lin\e aire sur $W^{1,p}(I)$ par la formule (\ref{dualdeW1p}).
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
On a $f(u)\leq C(||u||_{L^p}+||u'||_{L^p})$.
On consid\ee re le plongement $u\in W^{1,p}\to I(u)=(u,u')\in (L^p)^2$.  Donc
$\tilde f=f\circ I$ v\e rifie, sur l'image $I(W^{1,p})$,
$$
|\tilde f(v,w)|\leq
C(||v||_{L^p}+||w||_{L^p}).
$$
 Par le th\e or\ee me de Hahn-Banach, on peut \e
tendre $\tilde f $ \a $(L^p)^2$ et par le th\e or\ee me de Riesz il existe donc
des fonctions $g, h\in (L^p)'=L^{p'}$ telles que $\tilde f(v,w)=\int gv+\int hw$.
Donc $f(u) = \int gu + \int hu'$. La r\e ciproque est imm\e diate.  Remarquer que
$||f||_{(W^{1,p})'}= \max (||g||_{L^{p'}}, ||h||_{L^{p'}})$.
\enddemo

\drem La formule (\ref{dualdeW1p}) appliqu\e e avec $u\in {\cal C}_0^\infty(\RR)$
montre que la restriction $\tilde f$ de $f$ \a
${\cal C}_0^\infty(I)$ est une distribution sur
$I$ et que l'on a
$\tilde f= g-h'$. On peut donc consid\e rer, en identifiant
 $f$ et $\tilde f$, les \e l\e ments de $W^{1,p}$ comme des distributions et on \e
crit
donc
$$(W^{1,p}(I))'=\{g-h',\; g,h\in L^{p'}(I)\}.$$
\frem


\begin{cor} \index{R\e flexivit\ea de $W^{1,p}$}$W^{1,p}$ est r\e flexif pour
$1<p<\infty$ et s\e parable pour
$1\leq p<\infty$.
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
En effet, le plongement de $W^{1,p}$ dans $(L^p)^2$ en fait un sous-espace
ferm\ea d'un espace r\e flexif si $1<p<\infty$ et s\e parable si $1\leq p<\infty$.
\enddemo
\dexer \index{Prolongement des fonctions de $W^{1,p}(I)$}\label{prolongementdeW1p}
Montrer que toute fonction de $ W^{1,p}([a,b])$ peut se prolonger en une fonction
$Pu$
de
$W^{1,p}(\RR)$. On sym\e trisera $u\in W^{1,p}(]a,b[)$  en posant
par exemple $Pu(a-x)=u(a+x)$ si $0\leq x\leq b-a$, on p\e riodisera ensuite la
fonction
obtenue (p\e riode $2(b-a)$) et on la multipliera finalement par une fonction de
${\cal C}_0^\infty(\RR)$
\e gale \a 1 sur
$I$. On v\e rifiera que le prolongement $P: u \to Pu$ ainsi obtenu est une
application
continue de
$W^{1,p}(I)$ dans
$W^{1,p}(\RR)$. Dans le cas o\u $a=-\infty$ ou $b=+\infty$, il suffit bien-s\uu r
de faire
une sym\e trisation par rapport \a la borne finie de l'intervalle.
\fexer
\dexer \index{Densit\ea de ${\cal C}^{\infty}(I)$ dans $W^{1,p}(I)$ quand $I$ est
born\e }.
D\e duire
de l'exercice pr\e c\e dent et du th\e or\ee me
\ref{densitedeC0infinidansW01p} que si $I=]a,b[$ est  un intervalle born\e , alors
les
fonctions
${\cal C}^{\infty}$ sont denses dans $W^{1,p}(I)$.
\fexer

\dexer (In\e galit\ea de Poincar\ea )\index{In\e galit\ea de Poincar\ea }
Si $u\in W_0^{1,p}(]a,b[), $ $-\infty<a<b<+\infty$, alors
$$||u||_{W^{1,p}}\leq (1+b-a)||u'||_{L^p}.$$
Marche \a suivre : utiliser l'in\e galit\ea de H\ooo lder et le fait que $u$ est
une
primitive de $u'$.
\fexer
\dexer Produit de deux fonctions de $W^{1,p}$.  \index{Produit de deux fonctions
de $W^{1,p}$} Soient $u,v\in W^{1,p}(I)$, $1\leq p\leq\infty$. Alors $uv\in
W^{1,p}(I)$ et
$(uv)'=u'v+uv'$.  On dit que $W^{1,p}$ est une alg\ee bre de fonctions. \newline
Si $G\in {\cal C}^1(\RR),$ $G(0)=0$, alors $G(u)\in
W^{1,p}(I)$ et $(G(u))'=G'(u)u'$.
\newline Si $\eta\in {\cal C}^1(\overline{I})$ est born\e e et de d\e riv\e e
born\e
e,
alors $\eta u\in W^{1,p}(I)$ et $(\eta u)'=\eta  u'+ \eta' u$.
Indication~: commencer par remarquer (exercice \ref{prolongementdeW1p}) qu'il
suffit de
montrer les \e nonc\e s pr\e c\e dents quand $I=\RR$. Utiliser des arguments de
densit\e
:
${\cal C}_0^\infty$ est dense dans
$W^{1,p}(\RR)$.
\fexer
\dexer \index{Plongements continus et compacts d'espaces de Sobolev}
Montrer que, si $I$ est born{\'e}, les inclusions suivantes sont continues et
compactes :
$$W^{1,p}(I)\subset C(\overline{I}), \; 1<p\leq +\infty,$$
$$W^{1,1}(I)\subset L^q(I), \; 1\leq q<\infty.$$
Pour la premi\ee re, on appliquera le th\e or\ee me d'Ascoli, pour la seconde le
th\e or\ee me de Riesz-Fr\e chet-Kolmogorov.
\fexer

\dexer
Soit $u\in L^p(I)$, $1<p\leq +\infty$.  Alors
(i)$\Leftrightarrow$(ii)$\Leftrightarrow$(iii), o\u
\newline (i) $u\in W^{1,p}$.
\newline (ii) $\exists C>0$, $\forall \varphi\in {\cal C}_c^1(I)$, $|\int_I
u\varphi'|\leq C||\varphi||_{L^{p'}(I)}$,
\newline (iii) $\exists C$, $\forall \omega\subset\subset I$, $\forall h, |h|\leq
distance(\omega, I^C)$, $||\tau_hu-u||_{L^p(\omega)}\leq C |h|.$
\fexer

\section{Exercices}
{ \bf Exercice 1}
\\ \\
1) Montrer que l'injection $H^1(0,1) \longrightarrow {\cal C}[0,1]$ est
compacte.\\
2) Montrer que $\forall u,v \in H^1(0,1)$,
$$\int_0^1 u^{\prime}v + \int_0^1 uv^{\prime} = u(1)v(1) - u(0)v(0).$$
(On pourra d'abord le d{\'e}montrer pour des fonctions de $H_0^1(0,1)$ en
utilisant la densit{\'e} de fonctions r{\'e}guli{\`e}res.)
\\ \\
{ \bf Exercice 2}
\\ \\
Soit $f \in L^2(0,1)$ et $a(u,v)=\int_0^1 u^{\prime}v^{\prime} + (\int_0^1
u)(\int_0^1 v).$

1) Montrer qu'il existe un unique $u \in H^1(0,1)$ tel que $a(u,v)=\int_0^1 fv$,
$\forall v \in H^1(0,1).$

2) V{\'e}rifier que $u \in H^2(0,1)$ et interpreter le probl{\`e}me diff{\'e}rentiel
r{\'e}solu (i.e.
trouver l'{\'e}quation diff{\'e}rentielle et les conditions aux limites satisfaites
par
u).
\\ \\
{ \bf Exercice 3}
\\ \\
Soit $V=\{ u \in H^1(0,1)\,:\,u(\frac{1}{2}) = 0 \}$.

1) Montrer que V est un sous-espace vectoriel ferm{\'e} de $H^1(0,1)$ et que $v
\rightarrow
{\Vert
v^{\prime} \Vert}_{L^2}$
est une norme sur V {\'e}quivalente {\`a} la norme usuelle de $H^1$.

2) Montrer qu'il existe un unique  $u \in V$ tel que $\int_0^1
u^{\prime}v^{\prime} =v(0)$ pour tout $v \in V$.

3) Interpreter le probl{\`e}me r{\'e}solu, d{\'e}terminer explicitement $u$ et
calculer $
u^{\prime \prime}$ au sens
des distributions. $u \in H^2(0,1)$ ??
\\ \\
{ \bf Exercice 4}
\\ \\
V{\'e}rifier que $v \rightarrow {\Vert v^{\prime} \Vert}_{L^2}$
est une norme sur $H^1(0,+\infty)$. Est-elle {\'e}quivalente {\`a} $\Vert v
\Vert_{H^1}$ ?
\\ \\
{ \bf Exercice 5}
\\ \\
Soit $E = \{f \in {\cal C}^1(\RR)\,\,t.q.\,\,f^{\prime} \in \Linf(\RR) \}.$ Soient
 $f \in E$ et I un intervalle ouvert de $\RR$. Si $\vert I \vert = + \infty$, on
suppose de plus que $f(0)=0$. Enfin, soit $u \in \Hun$.\\
1) Montrer que $f(u) \in \Ld$.\\
2) Soit $u_n \in \DD(\RR)$ tel que $u_n \rightarrow u$ dans $\Hun$.

a) V{\'e}rifier que $f(u_n) \rightarrow f(u)$ dans $\Ld$.

b) Soient $\alpha_n = f^{\prime}(u_n)(u_n^{\prime} - u^{\prime})$ et $\beta_n =
(f^{\prime}(u_n) - f^{\prime}(u))u^{\prime}.$ V{\'e}rifier que $\alpha_n \rightarrow
0$ dans $\Ld$ et qu'il existe une sous-suite $(\beta_{n_k})_{k}$ telle que
$\beta_{n_k} \rightarrow 0$ dans $\Ld$.

c) Montrer que $\forall \vfi \in \DD(I)$, on a
$$\int_I f(u) \vfi^{\prime}\,= - \int_I f^{\prime}(u)u^{\prime} \vfi.$$
En d{\'e}duire que $f(u) \in \Hun$ et que ${(f(u))}^{\prime} = f^{\prime}(u)
u^{\prime}.$\\
3) Soit $\eps > 0$, on note $\feps(t) = \sqrt {t^2+\eps^2} -\eps$ si $t>0$ et
$\feps \equiv 0$ ailleurs. V{\'e}rifier que $\feps \in E$ et que $\feps(u)
\rightarrow u^+$ dans $\Ld$.\\
4) En passant {\`a} la limite $\eps \rightarrow 0$ dans
$$ \int_I \feps(u) \vfi^{\prime}\,= - \int_I \feps^{\prime}(u)u^{\prime} \vfi,$$
o{\`u} $\vfi \in \DD(I)$, montrer que $u^+ \in \Hun$ et que $(u^+)^{\prime} =
1_{[u>0]} u^{\prime}.$\\
5) En d{\'e}duire que $\vert u \vert \in \Hun.$
\\ \\
{ \bf Exercice 6}
\\ \\
Soit $N$ une norme d{\'e}rivant d'un produit scalaire, montrer que $N^2$ est
strictement convexe i.e. $\forall u \not= v$, $\forall t \in ]0,1[$, $N^2(tu +
(1-t)v) < tN^2(u) + (1-t) N^2(v).$ (une norme est-elle strictement convexe ?)
\\ \\
{ \bf Exercice 7}
\\ \\
On note $\Hnulo = \{u \in \Huno\,:\,u(0)=u(1)=0 \}.$\\
1) V{\'e}rifier que ${\Vert u \Vert}_2 \leq \frac {1}{\sqrt 2} {\Vert u^{\prime}
\Vert}_2$ si $u \in \Hnulo$ et en d{\'e}duire que $\Hnulo$ muni de ${\Vert u^{\prime}
\Vert}_2$ est un Hilbert.\\
2) Soit $f \in L^2(0,1)$. Pour $v \in \Huno$ on d{\'e}finit
$$ F(v) = \frac{1}{2} \int_0^1 {\vert v^{\prime} \vert}^2 \,+\, \frac{1}{4}
\int_0^1 {\vert v \vert}^4\,-\,\int_0^1 fv.$$
V{\'e}rifier que $F(v)$ a bien un sens si $u \in \Huno$ et que $\exists C$ tel que
$\forall v \in \Hnulo$, $F(v) \geq C.$\\
Montrer qu'il existe un unique $u \in \Hnulo$ tel que $F(u) = \inf_{v \in \Hnulo}
F(v)$  $\,\,\,(\star)$.\\
3) Montrer que si u est solution de $(\star)$ alors
$$\int_0^1 u^{\prime} v^{\prime} + \int_0^1 u^3 v = \int_0^1 fv,\quad\forall v \in
\Hnulo.$$
(Ecrire $F(u+tv) \geq F(u)$, $\forall t>0$ et $\forall v \in \Hnulo.$)\\
4) En d{\'e}duire que $u$ satisfait : $-u^{\prime \prime} + u^3 = f$ p.p.
$(\star\star)$ et que $u \in H^2(0,1)$.\\
5) R{\'e}ciproquement : montrer que si $u \in H^2\cap\Hnulo$ v{\'e}rifie $(\star\star)$
alors u est solution de $(\star)$.\\
6) Montrer que si $f \geq 0$ p.p. alors u solution de $(\star)$ est telle que $u
\geq 0$ p.p.
\\ \\
{\bf Exercice 8}
\\ \\
Sur l'espace de Sobolev $H^1(0,1)$, on consid{\`e}re la forme bilin{\'e}aire
$$a(u,v) = \int_0^1 u^{\prime} v^{\prime} + \int_0^1 uv - \left(\int_0^1 u \right)
\left(\int_0^1 v \right).$$
Pour $k \in \RR$, $k \not=1$, on note $V = \{ u \in H : u(0) = k u(1) \}$.\\
1) V{\'e}rifier que $V$ est un sous-espace ferm{\'e} de $H^1(0,1)$.\\
2) Montrer qu'il existe une constante $C_1>0$ telle que $\forall v \in V$, $\vert
v(0)
\vert \leq C_1 \Vert v^{\prime} \Vert_2$ puis qu'il existe une constante $C$ telle
que
$\forall v \in V$, $\Vert v \Vert_{\infty} \leq C\,\Vert v^{\prime} \Vert_2$.\\ \\
3) En d{\'e}duire que $a(.,.)$ est un produit scalaire sur $V$ et que la norme
associ{\'e}e
(not{\'e}e $\Vert\,\,\Vert_a$) est {\'e}quivalente sur $V$ {\`a} la norme de
$H^1(0,1)$.\\ \\
4) Soit $f \in L^2(0,1)$, montrer qu'il existe un unique $u \in V$ tel que
$$(\star)\qquad a(u,v) = \int_0^1 fv,\,\,\,\forall v \in V.$$
5) Caract{\'e}riser la solution de ($\star$) par l'{\'e}quation diff{\'e}rentielle
qu'elle
satisfait ainsi que les conditions aux limites.\\
(V{\'e}rifier que $u \in H^2(0,1)$ pour int{\'e}grer par parties.)\\ \\
6) Soit $(k_n)_n \subset \RR$ une suite de r{\'e}els telle que $\forall n$, $k_n
\not=1$ et
$k_n \rightarrow k$ o{\`u} $k \in \RR$ avec $k \not=1$.\\
On note $V_n = \{ v \in H^1(0,1) : v(0) = k_n v(1) \}$ et $u_n$ l'unique solution
dans $V_n$ de
$$(\star)_n \qquad a(u_n,v) = \int_0^1 fv,\,\,\,\forall v \in V_n.$$
Prouver que $(u_n)_n$ est born{\'e}e dans $H^1(0,1)$.\\ \\
7) En d{\'e}duire que l'on peut extraire une sous-suite $(u_{n_k})_k$ qui converge
faiblement
dans $H^1(0,1)$ et uniform{\'e}ment dans ${\cal C}([0,1])$ vers une limite not{\'e}e
$u\star$.\\
V{\'e}rifier que $u\star \in V$.\\ \\
8) Soit $v \in V$, on d{\'e}finit
$$v_n(t) = v(t) + \frac{k - k_n}{k_n - 1} v(1).$$
Montrer que $v_n \in V_n$ et que $v_n \longrightarrow v$ dans $H^1(0,1)$.\\
Utiliser ce fait pour passer {\`a} la limite dans $(\star)_n$ et conclure que $u =
u\star$.\\
\\
9) En d{\'e}veloppant $a(u_{n_k} - u,u_{n_k} - u)$, montrer que $\Vert u_{n_k} - u
\Vert_{H^1} \longrightarrow 0$.\\ \\
10) Montrer qu'en fait, toute la suite $(u_n)_n$ converge vers $u$ dans
$H^1(0,1)$.\\ \\
11) On d{\'e}signe par $T$ l'op{\'e}rateur : $f \in L^2(0,1) \mapsto T(f)=u \in
L^2(0,1)$, $u$
{\'e}tant la solution de ($\star$).\\
Montrer que $\forall f,g \in L^2(0,1)$,  $\int_0^1 f\,T(g) = \int_0^1 g\,T(f)$ et
que $T$
est un op{\'e}rateur compact de $L^2(0,1)$ dans $L^2(0,1)$.


\chapter{Corrig{\'e}s des exercices}
\section{Chapitres I et II}
{\bf Exercice 1}
\\ \\
1) a)Soient $n = \dim E$ et $e_1,...,e_n$ une base de E. On d{\'e}finit pour $x =
\sum_1^n x_ie_i \in E$, la norme ${\Vert x \Vert}_1 = \sum_1^n \vert x_i \vert$.
Soit $S_1 = \{x \in E : {\Vert x \Vert}_1 = 1 \}$ et soit $N$ une autre norme sur
E, de $N(x) \leq (\sup_i N(e_i)) {\Vert x \Vert}_1$ on d{\'e}duit la continuit{\'e} de
N sur $(S_1,{\Vert \, \Vert}_1)$ compact, donc N est born{\'e}e et atteint ses
bornes. Il existe $\alpha$ et $\beta \geq 0$ tels que $\forall x \in S_1$,
$\alpha \leq N(x) \leq \beta$. Comme $\alpha = N(y)$ pour un $y \in S_1$, $y
\not= 0$ et $\alpha > 0$. Enfin, $\forall x \not= 0$, $\frac{x}{{\Vert x
\Vert}_1} \in S_1$ donc $\alpha {\Vert x \Vert}_1 \leq N(x) \leq \beta {\Vert x
\Vert}_1$.\\
b) Soit $x = \sum_1^n x_ie_i \in E$, on a ${\Vert u(x) \Vert}_F \leq (\sup_i
{\Vert u(e_i) \Vert}_F) {\Vert x \Vert}_1$ donc u est continue.\\
2) a) Il est clair que $N_0$ et $N_1$ sont des normes sur $E$ (elles le sont sur
$\RR$ et $\sqrt{2} \not\in \QQ$.)\\
On raisonne par r{\'e}currence, pour $n=1$, on a $a_1=-1$ et $b_1=1$ donc $a_1b_1
<0$. On suppose que $x^n \in E$ et $a_nb_n < 0$ alors $x^{n+1} = a_{n+1} + b_{n+1}
\sqrt{2}$ o{\`u} $a_{n+1} = 2b_n-a_n$ et $b_{n+1} = a_n - b_n$ donc $a_{n+1}b_{n+1}
= b_n(a_n - b_n) - (a_n - b_n)^2 < 0$. \\
Enfin si $(\sqrt{2}+1)^n = \vert a_n \vert + \vert b_n \vert \sqrt{2}$ alors
$(\sqrt{2}+1)^{n+1} = (2\vert b-n \vert + \vert a_n \vert) + \sqrt{2} (\vert a_n
\vert + \vert b_n \vert)$. Or $a_{n+1} = 2b_n-a_n$ et $a_nb_n < 0$ montre que
$\vert a_{n+1} \vert = 2\vert b-n \vert + \vert a_n \vert$. De m{\^e}me pour
$b_{n+1}$, $\vert b_{n+1} \vert = \vert a_n \vert + \vert b_n \vert$, donc
$\forall n \geq 1$, $(\sqrt{2}+1)^n = \vert a_n \vert + \vert b_n \vert
\sqrt{2}$.\\
b) D'une part, $N_0(x^n) = \vert \sqrt{2}-1 \vert^n \rightarrow 0$ et d'autre
part, $N_1(x^n)(1+\sqrt{2}) \geq (\sqrt{2}+1)^n = \vert a_n \vert + \vert b_n
\vert \sqrt{2} \rightarrow +\infty$ donc les deux normes ne sont pas
{\'e}quivalentes.
\\ \\
{ \bf Exercice 2}
\\ \\
a) Soit ${(f_n)}_n \subset {\cal {L}}(E,F)$ une suite de Cauchy alors
$$\forall \eps >0,\,\exists N \mbox{ tel que } \forall p,q \geq N,\quad \Vert f_p
- f_q \Vert \leq \eps. $$
En particulier, $\forall x \in E,$ ${\Vert f_p(x) - f_q(x) \Vert}_F \leq \eps
{\Vert x \Vert}_E. \qquad (1)$. \\
Et $\forall x \in E$, la suite ${(f_n(x))}_n$ est de Cauchy dans F complet
donc converge vers un {\'e}l{\'e}ment not{\'e} $f(x)$. la fonction $f$ est lin{\'e}aire
comme limite simple de fonctions lin{\'e}aires. On fixe $p$ dans $(1)$ et on laisse
$q \rightarrow \infty$, on obtient alors ${\Vert f_p(x) - f(x) \Vert}_F \leq \eps
{\Vert x \Vert}_E$, $\forall x \in E$, d'o{\`u} $f=f-f_p+f_p$ est continue et
$\Vert f_p - f\Vert \leq \eps.,$ d{\`e}s que $p \geq N$ donc $f_n \rightarrow f$ dans
${\cal {L}}(E,F)$.\\
b) Par hypoth{\`e}se $\overline {B_E}$ est compact donc il existe $a_1,...,a_n \in
E$ tels que $\overline {B_E} \subset \cup_1^n B(a_i,\frac{1}{2})$. Soit $V =
\mbox{vect} \{a_1,...,a_n \}$, montrons que $E=V$. On raisonne par l'absurde, s'il
existe $x \in E$ tel que $d(x,V) = \alpha >0$ alors $\exists y \in V$ tel que
$\alpha \leq d(x,y) \leq \frac{3}{2} \alpha.$\\
Soit $z = \frac{x-y}{\Vert x-y\Vert} \in \overline {B_E}$ alors pour un certain
$i_0$, $z \in B(a_{i_0}, \frac{1}{2})$ et on a $$\Vert x-y-a_{i_0} \Vert x-y
\Vert\,\Vert \leq \frac{1}{2} \Vert x-y\Vert \leq \frac{3}{4}\, \alpha$$ donc il
existerait un $y_0 \in V$ tel que $d(x,y_0) < \alpha$, ce qui est absurde.
\\ \\
{ \bf Exercice 3}
\\ \\
1) $\forall x \in E$ et $\forall y \in H$, on a $\vert f(x)\vert = \vert
f(x-y)\vert\leq \Vert f \Vert  \Vert x-y \Vert$ d'o{\`u} le r{\'e}sultat.\\
2) $d(x,H) \leq \Vert x-y \Vert \leq \frac {\vert f(x) \vert}{\vert f(u) \vert} \;
\Vert u \Vert$ o{\`u} $u \in E\setminus H$. Comme $ f\not\equiv 0$, on peut remarquer
que
$\Vert f \Vert = \sup_{u \in E \setminus H} \frac {\vert f(u) \vert}{\Vert u
\Vert}$.
\\
3) a) Soit $(x^p)_p$ une suite de Cauchy dans $E={\cal C}_0$ alors
$$\forall \ep >0,\,\exists N,\,\forall p,q \geq N,\,\forall n\quad \Vert x_n^p -
x_n^q
\Vert_{\infty} \leq \ep.\qquad (\star)$$
Donc $\forall n$, la suite $(x_n^p)_p$ est de Cauchy dans $\RR$ et converge vers un
$x_n$. Posons $x=(x_n)_n$, alors de $(\star)$ on d{\'e}duit que $\forall n$, $\forall
q
\geq N$, $\vert x_n-x_n^q\vert \leq \ep$ donc la suite $(x^p)$ converge vers $x$ en
norme $\Vert\,\Vert_{\infty}$. Il reste {\`a} voir que $x \in E$. De l'in{\'e}galit{\'e}
pr{\'e}c{\'e}dente on tite $\vert x_n \vert \leq \ep + \vert x_n^N \vert$ donc pour n
assez
grand $\vert x_n \vert \leq 2\ep,$ et $x \in E$.\\
 b) On a facilement $\vert f(x) \vert \leq \Vert x \Vert_{\infty}$ et f lin{\'e}aire
donc $f \in E^{\prime}$ et $\Vert f \Vert \leq 1$.\\
Soit $x^N \in E$ d{\'e}fini par $x_n^N = 1$ si $n \leq N$ et $x_n^N = 0$ sinon, alors
$\vert f(x^N) \vert = 1 - \frac{1}{2^N} \leq \Vert f \Vert$ et ceci $\forall N \geq
1$
d'o{\`u} $\Vert f \Vert = 1$.\\
S'il existe $x = (x_n)_n \in E$ avec $\Vert x \Vert = 1$ et tel que $\vert f(x)
\vert
=
\Vert f \Vert =1$ alors $$ 1 = \vert f(x) \vert \leq \sum_1^{\infty} \frac{1}{2^n}
\vert x_n \vert \Longrightarrow \sum_1^{\infty} \frac{1}{2^n} (1-\vert x_n \vert)
\leq
0  \Longrightarrow \vert x_n \vert = 1,\,\forall n,$$
et $ x \not\in E$. Donc $\Vert f \Vert$ n'est pas atteint. Enfin $d(x,H)=\vert
\sum_1^{\infty} \frac{x_n}{2^n} \vert$.
\\ \\
{ \bf Exercice 4} Th{\'e}or{\`e}mes du point fixe
\\ \\
1) On v{\'e}rifie facilement que si $x_{n+1} = f(x_n)$, $x_0 \in E$, on a
$d(x_{n+1},x_n)
\leq k^n d(x_1,x_0)$ et $$d(x_{n+p},x_n) \leq
d(x_{n+p},x_{n+p-1})+...+d(x_{n+1},x_n)
\leq k^n(k^{p-1}+...+k+1) d(x_1,x_0) \leq \frac{k^n}{1-k} d(x_1,x_0).$$
Comme $k<1$, la suite $(x_n)_n$ est de Cauchy donc converge vers $x \in E$. De
$x_{n+1}
= f(x_n)$ on d{\'e}duit $x = f(x)$ puisque $f$ est continue, et $x$ est un point
fixe.\\
Si $d(f(a),f(b)) = d(a,b) \leq k d(a,b)$ avec $k<1$, n{\'e}cessairement $a = b$,
d'o{\`u}
l'unicit{\'e} du point fixe.\\
2) $\forall \lambda,\,\lambda_0$, on a
\begin{eqnarray*}
d(a_{\lambda},a_{\lambda_0}) &=&
d(f_{\lambda}(a_{\lambda}),f_{\lambda_0}(a_{\lambda_0}))\\
 &\leq& d(f_{\lambda}(a_{\lambda}),f_{\lambda}(a_{\lambda_0})) +
d(f_{\lambda}(a_{\lambda_0}),f_{\lambda_0}(a_{\lambda_0})) \\
 &\leq& kd(a_{\lambda},a_{\lambda_0}) +
d(f_{\lambda}(a_{\lambda_0}),f_{\lambda_0}(a_{\lambda_0})),
 \end{eqnarray*}
 donc
 $$d(a_{\lambda},a_{\lambda_0}) \leq
\frac{1}{1-k}d(f_{\lambda}(a_{\lambda_0}),f_{\lambda_0}(a_{\lambda_0})).$$
 Ce qui montre que l'application
$\lambda \rightarrow a_{\lambda}$ est continue en $\lambda_0$.\\
3) Soit $\vfi(x) = d(x,f(x))$, $\vfi$ est continue sur $E$ compact donc atteint son
inf : $\exists x_0 \in E$ tel que $\vfi(x_0) \leq \vfi(x)$, $\forall x\in E$. Si
$\vfi(x_0) \not= 0$, on a $\vfi(f(x_0)) < \vfi(x_0)$ ce qui est absurde, donc
$\vfi(x_0) = 0$ et $x_0$ est un point fixe de $f$. Si il y en a un autre, $x_1$,
alors
$d(f(x_0),f(x_1)) = d(x_0,x_1) < d(x_0,x_1)$ donc necessairement $x_0=x_1$.
\\
4) Soit z fix{\'e} dans C, $f_n(C) \subset C$, $\forall n$, car C est convexe et
$f_n$
est $\frac{n}{n+1}$-lipschitzienne sur C. Donc, par 1), $\exists x_n \in C$ tel que
$x_n=f(x_n)$, $\forall n$. Maintenant C est compact donc il existe une sous-suite
not{\'e}e $(x_{n_k})_k$ telle que $x_{n_k} \rightarrow x \in C$, alors en passant {\`a}
la
limite dans $x_{n_k}= f_{n_k}(x_{n_k})=\frac{1}{n_k+1} z + \frac{n_k}{n_k+1}
f(x_{n_k})$, on obtient $x=f(x)$ et $x$ est un point fixe de $f$.
\\ \\
{ \bf Exercice 5}
\\ \\
a) Il est clair que N d{\'e}rive d'un produit scalaire.\\
b) Par l'in{\'e}galit{\'e} de Cauchy-Schwarz, on a $\vert f(x) \vert \leq \vert f(0)
\vert
+ {(\int_0^1 f^{\prime}(t)^2 dt)}^{\frac{1}{2}}$. En {\'e}levant au carr{\'e} et en
utilisant l'in{\'e}galit{\'e} $2ab \leq a^2+b^2$, on obtient facilement ${\vert f(x)
\vert}^2 \leq 2 N(f)$, $\forall x \in [0,1]$.\\
c) On choisit $f_n(x) = x^n$. Alors $\forall n$, $\Vert f_n {\Vert}_{\infty} =1$ et
$N(f_n) = \frac{n}{\sqrt{2n-1}} \rightarrow + \infty$. Donc ces deux normes ne sont
pas {\'e}quivalentes.
\\ \\
{ \bf Exercice 6}
\\ \\
Comme E est m{\'e}trique, on va montrer que de toute suite de E, on peut extraire une
sous-suite convergente.
Soit $(x_n)_n$ une suite de points de E. Pour $\ep=\frac{1}{2}$, E est recouvert
par
un nombre fini de boules de rayon $\frac{1}{2}$ donc l'une d'entre elles contient
une
infinit{\'e} de $x_n$. On peut donc extraire une sous-suite $(x_{\vfi_{1}(n)})_n$
telle
que $d(x_{\vfi_{1}(n)},x_{\vfi_{1}(p)}) \leq 1$. Et on recommence ce processus,
pour
$\ep = \frac{1}{2p}$, E est recouvert par un nombre fini de boules de rayon
$\frac{1}{2p}$ donc l'une d'entre elles contient une infinit{\'e} de
$x_{\vfi_{1}o...o\vfi_{p-1}}(n)$. On peut donc en extraire une sous-suite
$(x_{\vfi_{1}o...o\vfi_{p}}(n))_n$ telle que
$d(x_{\vfi_{1}o...o\vfi_{p}}(n),x_{\vfi_{1}o...o\vfi_{p}}(m)) \leq \frac{1}{p}$.
Soit
$(x_{\vfi_{1}o...o\vfi_{n}}(n))_n$ la suite diagonale, elle est bien extraite de
$(x_n)_n$ et v{\'e}rifie
$$d(x_{\vfi_{1}o...o\vfi_{n}}(n),x_{\vfi_{1}o...o\vfi_{m}}(m)) \leq
\frac{1}{m},\qquad
\forall m,n,\,\,m \leq n.$$
Cette suite est donc de Cauchy dans E complet, elle converge, d'o{\`u} E est compact.
\\ \\
{ \bf Exercice 7}
\\ \\
Pour n fix{\'e}, $E \subset \cup_{x \in E} B(x,\frac{1}{n})$ et E est compact donc
$\exists k_n$ tel que $E \subset \cup_{i=1}^{k_n} B(x_i^n,\frac{1}{n})$. Soit $D=\{
x_i^n, i=1,...,k_n, n \in \NN^{\star}\}$, $D$ est bien d{\'e}nombrable, v{\'e}rifions
que
$D$ est dense dans $E$. Soient $x \in E$ et $r>0$, $\exists N \in \NN^{\star}$ tel
que
$\frac{1}{N} < r$ et $\exists x_i^N$ tel que $x \in B(x_i^N,\frac{1}{N})$ alors
$x_i^N
\in B(x,r)\cap D$.
\\ \\
{ \bf Exercice 8}
\\ \\
Les ensembles $K^{\star}$ et $K^{\star\star}$ sont ferm{\'e}s comme intersection
d'images r{\'e}ciproques de ferm{\'e}s par des applications continues, donc de $K
\subset
K^{\star\star}$ on d{\'e}duit $\overline{K} \subset K^{\star\star}$. Si $\overline{K}
\not= K^{\star\star}$, $\exists y_0 \in K^{\star\star}\setminus \overline{K}$ et
par
Hahn-Banach, $\exists f \in E^{\prime}$, $f\not\equiv 0$, $\exists \alpha \in \RR$
tels que
$$<f,x>\,< \alpha <\,<f,y_0>,\qquad \forall x \in K.$$
Comme $0 \in K$, on a $\alpha > 0$ et $\forall x \in K$, $<\frac{f}{\alpha},x> <
1$,
donc $\frac{f}{\alpha} \in K^{\star}$ or $y_0 \in K^{\star\star}$ donc
$<\frac{f}{\alpha},y_0> \leq 1$, c'est absurde. D'o{\`u}
$K^{\star\star}=\overline{K}$.
\\ \\
{ \bf Exercice 9}
\\ \\
1) On d{\'e}finit les deux formes lin{\'e}aires continues suivantes
\[ \begin{array}{rclcrcl}
f_{2n} : {\ell}^1 &\rightarrow& \RR &\,\,\mbox{et}\,\,& g_{2n} : {\ell}^1
&\rightarrow& \RR \\
            x      &\mapsto& x_{2n}  & &                               x &\mapsto&
x_{2n} - 2^{-n}x_{2n-1}.
\end{array} \]
Alors $A_0 = \cap_n f_{2n}^{-1}(\{0\})$ et $B = \cap_n g_{2n}^{-1}(\{0\})$ sont
ferm{\'e}s comme intersection de ferm{\'e}s.\\
Soit $e^n = {(\delta_{ni})}_{i \geq 1}$ o{\`u} ${\delta}_{ni} = 1$ si i
=n, ${\delta}_{ni} = 0$ sinon, alors si $F_k = \mbox{vect}\{e^1,...,e^k\}$ et si
$F=\cup_k F_k$, on a $\overline{F} = {\ell}^1$. Donc pour montrer que ${\ell}^1 =
\overline{A_0+B}$, il suffit de montrer que $\forall k$, $F_k \subset A_0+B$.\\
Soit $x \in F_k$, on d{\'e}finit $a,b$ de la fa{\c c}on suivante,
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
b_{2n} = x_{2n} & b_{2n-1} = 2^nx_{2n}\\
a_{2n-1} = x_{2n-1}-2^nx_{2n} & a_{2n} = 0
\end{array} \right. \]
alors $x = a+b$ et comme $x_n = 0$ si $n>k$, $a,b \in {\ell}^1$ et $(a,b) \in A_0
\times B$. Donc ${\ell}^1 = \overline{A_0+B}$.\\
2) Si $c = a+b$ alors n{\'e}cessairement $a_{2n} = 0$, $b_{2n} = 2^{-n}$, $b_{2n-1} =
1$ et $a_{2n-1} = -1$ donc $a,b \not\in {\ell}^1$ et $c \not\in A_0+B$. Il est
clair
alors que $A \cap B = \emptyset$.\\
Supposons qu'il existe $f \in ({\ell}^1)^{\prime}$, $f \not\equiv 0$ et $\alpha \in
\RR$ tels que
$$<f,a>\,\leq \alpha \leq \,<f,b>,\quad \forall a \in A,\,\,\forall b \in B.$$
Comme $B$ est vectoriel, n{\'e}cessairement $<f,b> = 0$, $\forall b \in B$. De
m{\^e}me,
de $<f,a_0> \leq \alpha +f(c)$, $\forall a_0 \in A_0$, on en d{\'e}duit que $<f,a_0>
=
0$, $\forall a_0 \in A_0$. Donc $f \equiv 0$ sur $A_0+B$ dense dans ${\ell}^1$, par
continuit{\'e} on en conclut que $f$ est identiquement nulle, ce qui est contraire
{\`a}
l'hypoth{\`e}se. On ne peut donc pas s{\'e}parer $A$ et $B$.
\\ \\
{ \bf Exercice 10}
\\ \\
1) Soit $F_n = n \overline{T(B(0,1))}$ alors $F_n$ est ferm{\'e} et $F = \cup_n
F_n$ car $T$ est surjective. Par le lemme de Baire, on sait qu'il existe $n_0$
tel que int($F_{n_0}$)$\not= \emptyset$ et donc int$\left( \overline{T(B(0,1))}
\right) \not= \emptyset$. Alors il existe $r>0$ et $y_0 \in F$ tels que
$B(y_0,r) \subset \overline{T(B(0,1))}$. Si $y_0 \in \overline{T(B(0,1))}$
alors $- y_0$ aussi et $B(y_0,r) = y_0+B(0,r) \subset \overline{T(B(0,1))}$
donc $B(0,r) \subset \overline{T(B(0,1))}+\overline{T(B(0,1))} \subset
2\overline{T(B(0,1))}$ d'o{\`u} $B(0,\frac{r}{2}) \subset \overline{T(B(0,1))}$
et $2C = \frac{r}{2}$ convient.\\
2) Soit $y \in B(0,C)$ fix{\'e}, on cherche $x \in B(0,1)$ tel que $y = Tx$. On
sait que $B(0,C) \subset \frac{1}{2} B(0,2C) \subset \overline{T(\frac{1}{2}
B(0,1))}$ donc $\forall \ep>0$, $\exists z_{\ep}$, $\Vert z_{\ep} \Vert <
\frac{1}{2}$ tel que $\Vert y -Tz_{\ep} \Vert < \ep$.\\
On choisit $\ep = \frac{C}{2}$, cela nous donne un $z_1$ tel que $\Vert z_1
\Vert < \frac{1}{2}$ et $\Vert y -Tz_1 \Vert < \frac{C}{2}$. Alors $y -Tz_1 \in
B(0, \frac{C}{2}) \subset \overline{T(\frac{1}{4} B(0,1))}$ et on recommence,
pour $\ep = \frac{C}{4}$, $\exists z_2$ tel que $\Vert z_2 \Vert < \frac{1}{4}$
et $\Vert y -Tz_1 -Tz_2 \Vert < \frac{C}{4}$, etc...\\
On construit ainsi une
suite $(z_n)_n$ telle que $\Vert z_n \Vert < \frac{1}{2^n}$ et $\Vert y - Tz_1
- ...- Tz_n \Vert < \frac{C}{2^n}$, $\forall n$.\\
La suite $x_n = z_1+...+z_n$ est de Cauchy dans $E$ donc converge vers un $x
\in E$, comme $T$ est continue, $Tx_n \rightarrow Tx$, donc $y = Tx$. Il reste
{\`a} voir que $\Vert x \Vert < 1$.\\
Par exemple, $\exists \ep>0$ tel que $\Vert z_1 \Vert \leq \frac{1}{2} - \ep$
alors
$$\Vert x_n \Vert \leq \sum_1^n \Vert z_k \Vert \leq \sum_1^n \frac{1}{2^k} -
\ep \leq 1 - \ep,$$
d'o{\`u} le r{\'e}sultat.
\\ \\
{ \bf Exercice 11} Th{\'e}or{\`e}me d'isomorphisme d'espaces de Banach
\\ \\
Par le Th{\'e}or{\`e}me de l'application ouverte, $\exists C>0$ tel que $B_F(0,C)
\subset T(B_E(0,1))$. Comme $T$ est bijective, $\forall x \in E$ tel que $\Vert
Tx \Vert < C$ on a $\Vert x \Vert < 1$. Donc $\Vert x \Vert \leq \frac{1}{C}
\Vert Tx \Vert$ et $T^{-1}$ est continue.
\\ \\
{ \bf Exercice 12}
\\ \\
On applique le r{\'e}sultat pr{\'e}c{\'e}dent {\`a} $id : E,\Vert x \Vert_2 \rightarrow
E, \Vert x \Vert_1$.
\\ \\
{ \bf Exercice 13} Th{\'e}or{\`e}me du graphe ferm{\'e}
\\ \\
Sur $E$, on consid{\`e}re $\Vert x \Vert_1 = \Vert x \Vert_E$ et $\Vert x \Vert_2
=
\Vert x \Vert_E + \Vert Tx \Vert_F$. Si $(E,\Vert x \Vert_2)$ est complet,
comme
$\Vert x \Vert_1 \leq \Vert x \Vert_2$, $\forall x\in E$, en appliquant
l'exercice ci-dessus, on obtient l'{\'e}quivalence des normes $\Vert x \Vert_1$
et
$\Vert x \Vert_2$ et donc $T$ est continue.\\
V{\'e}rifions que $(E,\Vert x \Vert_2)$ est complet. Soit $(x_n)_n$ une suite de
Cauchy pour $\Vert x \Vert_2$, alors $(x_n)_n$ est de Cauchy pour $\Vert x
\Vert_1$ donc elle converge vers un $x \in E$ au sens de la norme $\Vert x
\Vert_1$. La suite $(Tx_n)_n$ est aussi de Cauchy dans $F$ complet donc
converge
vers un certain $y \in F$. Or $(x_n,Tx_n)_n \in G(T)$ ferm{\'e}, donc $y=Tx$ et
$(E,\Vert x \Vert_2)$ est complet.
\\ \\
{ \bf Exercice 14}
\\ \\
Montrons que le graphe de $T$, $G(T)$, est ferm{\'e}. Soit $(x_n,Tx_n)_n \in G(T)$
telle que $x_n
\rightarrow x$ et $Tx_n \rightarrow y$, a-t'on $y=Tx$ ?\\
Soit $f \in F^{\prime}$, comme $foT \in E^{\prime}$, on a d'une part $f(Tx_n)
\rightarrow f(Tx)$ et $f(Tx_n) \rightarrow f(y)$ donc $f(Tx)=f(y)$ et ceci
$\forall f \in F^{\prime}$, n{\'e}cessairement $Tx=y$ sinon par Hahn-Banach, on
pourrait s{\'e}parer strictement $Tx$ et $y$ par un hyperplan ferm{\'e}, c'est {\`a}
dire il existerait $f \in F^{\prime}$, $f \not\equiv 0$, telle que $f(Tx) \not=
f(y)$.
\\ \\
{ \bf Exercice 15}
\\ \\
1) Pour $y \not= x_0$, $\Lambda_y \in E^{\prime}$ et $\Vert \Lambda_y \Vert
\leq
\frac{2}{\vert y-x_0 \vert} \Vert f \Vert_{\infty}$. Soit $f \in F$ alors
$\vert
\Lambda_y (f) \vert < \infty$, $\forall y \not=x_0$ car $y \mapsto
\Lambda_y(f)$
est continue sur $[0,1]$. Comme $F$ est un Banach, on peut appliquer
Banach-Steinhaus et $\exists M > 0$ tel que $\forall f \in F$, $\forall y \not=
x_0$, $\vert \Lambda_y (f) \vert \leq M \Vert f \Vert$.\\
2) En particulier si $f \in B_F$, $\vert \Lambda_y (f) \vert \leq M$, $\forall
y
\not= x_0$. Donc $\vert f(y) - f(x_0) \vert \leq M \vert y-x_0 \vert$, $\forall
y$ et $\forall f \in B_F$. Ce qui montre que $B_F$ est {\'e}quicontinue.\\
Soit $B_F(x) = \{ f(x), f \in B_F \}$. Pour pouvoir appliquer Ascoli, il reste
{\`a} v{\'e}rifier que $\forall x \in [0,1]$, $\overline{B_F(x)}$ est compact dans
$\RR$, ce qui est imm{\'e}diat puisque $B_F(x) \subset [-1,1]$. D'o{\`u} $B_F$ est
compact et par suite $F$ est de dimension finie.
\\ \\
{ \bf Exercice 16}
\\ \\
1) On pose $G ={ ^c}\!\left( \bigcup_n \stackrel{o}{F_n} \right)$ et on veut
montrer que $\stackrel{o}{G} = \emptyset$. $G$ est ferm{\'e} donc complet et
$\forall n$, $F_n\cap G$ est ferm{\'e} et d'int{\'e}rieur vide donc le Lemme de Baire
montre que $\bigcup_n\left(F_n\cap G\right)$ est d'int{\'e}rieur vide. Or,
$\bigcup_n \left(F_n\cap G\right) = G \cap \left(\bigcup_n F_n\right) = G$,
d'o{\`u} $\stackrel{o}{G} = \emptyset$ et $\bigcup_{n\geq 1} \stackrel{o}{F_n}$ est
dense (et ouvert comme union d'ouverts).\\
2) $\forall n,\delta$, $F_{n,\delta}$ est ferm{\'e} comme intersection de ferm{\'e}s
($f_i$ et $f_j$ sont continues $\forall i,j$). Comme $f_n$ converge simplement sur
$\RR$ vers $f$, $\RR = \bigcup F_{n,\delta}$. Donc la question pr{\'e}c{\'e}dente
montre que $U_{\delta} = \bigcup_n \stackrel{o}{F_{n,\delta}}$ est un ouvert dense
de $\RR$. Le Lemme de Baire assure alors que $U = \bigcap_{k\geq
1}U_{\frac{1}{k}}$ est dense dans $\RR$.\\
Soit $x_0 \in U$, montrons que $f$ est continue en $x_0$.\\
$x_0 \in U \Longrightarrow \forall k \geq 1, \,\exists n$ tel que $x_0 \in
\stackrel{o}{F_{n,\frac{1}{k}}}$ donc $\exists V_1 \in {\cal V}(x_0)$ tel que $V_1
\subset F_{n,\frac{1}{k}}$. En particulier $\forall x \in V_1$, $\vert f_i(x)
-f_n(x)
\vert \leq \frac{1}{k}$, $\forall i \geq n$. On fait tendre $i$ vers $+\infty$, on
obtient $\forall x \in V_1$, $\vert f(x) -f_n(x) \vert \leq \frac{1}{k}$. On
{\'e}crit
ensuite que $f_n$ est continue en $x_0$, $\exists V_2 \in {\cal V}(x_0)$ tel que
$\forall x \in V_2$, $\vert f_n(x) -f_n(x_0) \vert \leq \frac{1}{k}$.\\
Alors $\forall x \in V_1\cap V_2$,
$$\vert f(x) -f(x_0) \vert \leq \vert f(x) - f_n(x) \vert + \vert f_n(x) -f_n(x_0)
\vert + \vert f_n(x_0) -f(x_0) \vert \leq \frac{3}{k}.$$
Donc on a montr{\'e} que $\forall k \geq 1$, $\exists W (= V_1\cap V_2) \in {\cal
V}(x_0)$ tel que $\forall x \in W$, $\vert f(x)-f(x_0) \vert \leq \frac{3}{k}$,
d'o{\`u}
$f$ est continue sur $U$.\\
3) On pose $g_n(x) = n(f(x+\frac{1}{n})-f(x))$ alors $\forall n$, $g_n \in {\cal
C}(\RR)$ et $g_n \rightarrow f^{\prime}$ simplement sur $\RR$. La question 2)
montre
alors que $f^{\prime}$ est continue sur une partie dense de $\RR$.\\
\section{Chapitre III}
{ \bf Exercice 1}
\\ \\
1) Montrons d'abord que si $\forall x \not= 0$, $\exists p$ semi-norme telle
que $p(x) \not= 0$ alors $(E,\cal P)$ est s{\'e}par{\'e}. Soit donc $x \not= 0$, et
$p$ telle que $p(x) \not= 0$ alors si $r= \frac{1}{2} p(x)$ on a $B(x,r) \cap
B(0,r) = \emptyset$ et on s{\'e}pare $0$ et $x$. Si $x \not= y$, on peut {\'e}crire
$y = x+z$ avec $z \not= 0$ et on a $B(x,r) \cap B(x+z,r) = \emptyset$. (la
r{\'e}ciproque est vraie).\\
Utilisons ce crit{\`e}re, soit donc $x \not= 0$, par Hahn-Banach, $\exists f \in
E^{\prime}$, $f \not\equiv 0$ telle que $f(x) > 0 =f(0)$ donc $p_f (x) \not= 0$
et la topologie faible est s{\'e}par{\'e}e.\\
2) Soit $U$ un ouvert faible non vide, pour montrer qu'il est un ouvert fort,
il faut montrer que $\forall x \in U$, $\exists r > 0$ tel que $B(x,r) \subset
U$. Soit donc $x_0 \in U$ par hypoth{\`e}se, $\exists \ep > 0$ et $\exists J \in
P.F.I.$ tels que $V(x_0,J,\ep) \subset U$. Cherchons $r$ tel que $B(x_0,r)
\subset V(x_0,J,\ep)$. On a
$$\vert < f_i,x-x_0> \vert < \Vert f_i \Vert\, \Vert x-x_0 \Vert \leq (\sup_J
\Vert f_i \Vert) \Vert x-x_0 \Vert.$$
Cela sugg{\`e}re de choisir $r< \frac{\ep}{\sup_J \Vert f_i \Vert}$, ce qui donne
le r{\'e}sultat. (si $\forall i$, $f_i \equiv 0$, alors $E=V(x_0,J,\ep)$ est bien
un ouvert fort.)\\
3) Si $f \in (E_w)^{\prime}$ alors $\forall U$ ouvert de $\RR$, $f^{-1}(U)$ est
un ouvert faible et la question pr{\'e}c{\`e}dente montre que $f \in E^{\prime}$.\\
Si $f \in E^{\prime}$, soit $x_0 \in E$, montrons que $f$ est continue
faiblement en $x_0$, c'est {\`a} dire que $\forall \ep > 0$, $\exists V \in {\cal
V}_{\omega}(x_0)$ tel que $x \in V$ $\Longrightarrow$ $\vert f(x)-f(x_0)\vert <
\ep$. Il est clair que $V=V(x_0,f,\ep)$ convient.\\
4) On suppose dim$E < \infty$. D'apr{\`e}s la question 2), il reste {\`a} montrer
que $U$ ouvert fort est un ouvert faible. Soit $x_0 \in U$ suppos{\'e} non vide,
alors $\exists r > 0$ tel que $B(x_0,r) \subset U$. On va montrer que $\exists
\ep>0$ et $\exists J \in P.F.I.$ tels que $V(x_0,J,\ep) \subset B(x_0,r)$.\\
Soit $(e_1,...,e_n)$ une base de $E$ telle que $\forall i$  $\Vert e_i \Vert =
1$. Tout $x$ de $E$ s'{\'e}crit $x = \sum_1^n x_ie_i$, soit $f_i : E \rightarrow \RR$
d{\'e}finie par $f(x) =x_i$ alors $f_i \in E^{\prime}$ et on a
$$\Vert x - x_0 \Vert \leq \sum_1^n \vert x_i - x_{0i} \vert = \sum_1^n \vert <
f_i, x-x_0 > \vert.$$
D'o{\`u} si $x \in V=V(x_0,\{1,...,n\},\ep)$ alors $\Vert x - x_0 \Vert < n\ep$,
on choisit donc $\ep \leq \frac{r}{n}$ et on a bien $V \subset B(x_0,r)$.
\\ \\
{\bf Exercice 2}
\\ \\
On suppose  que dim$E = + \infty$ et que les applications
\begin{eqnarray*}
id :&(E,\sigma(E,E^{\prime}))& \rightarrow \, (E,d),\\
id :&(E,d)& \rightarrow \, (E,\sigma(E,E^{\prime}))
\end{eqnarray*}
sont continues.\\
1) $\forall k \in \NN^{\star}$, $B_d(0,\frac{1}{k})$ est un voisinage de $0$
pour d, donc $\exists V(0,I_k,\ep_k) \subset B_d(0,\frac{1}{k})$ o{\`u} $\ep_k >
0$ et $I_k$ est un ensemble fini d'indices. L'ensemble $\{ f_j, j \in I_k, k
\in \NN^{\star} \}$ est d{\'e}nombrable et constitue la suite cherch{\'e}e.\\
2) L'ensemble $V=V(0,g,1)$ est un voisinage de $0$ pour la topologie faible,
par hypoth{\`e}se $\exists k_0 \in \NN^{\star}$ tel que $B_d(0,\frac{1}{k_0})
\subset V$. Alors d'apr{\`e}s 1),
$$ \bigcap_{i \in I_{k_0}} \{x \in E : \vert < f_i,x > \vert < \ep_{k_0} \}
\subset V.$$
On pose $I=I_{k_0}$ alors $\bigcap_{i \in I} \ker f_i \subset V$. Et $\vert <
g,x > \vert < 1$ sur un espace vectoriel, donc n{\'e}cessairement $g(x) = 0$,
$\forall x \in \bigcap_{i \in I} \ker f_i$, par suite $\bigcap_{i \in I} \ker
f_i \subset \ker g$.\\
3) Pour simplifier les notations, on notera $I = \{ 1,2,...,k \}$, et soit
\begin{eqnarray*}
F : E & \longrightarrow & {\RR}^{k+1} \\
    x & \longmapsto & (g(x),f_{1} (x),...,f_{k} (x)).
\end{eqnarray*}
ImF est convexe ferm{\'e} (car vectoriel de dimension finie) et $e_1=(1,0...0)
\not\in $ImF car $\bigcap_{i \in I} \ker f_i \subset \ker g$. D'apr{\`e}s le
Th{\'e}or{\`e}me
d'Hahn-Banach, $\exists h \in (\RR^{k+1})^{\prime}$, $h \not\equiv 0$ et $\exists
\alpha \in \RR$ tels que $h(F(x)) < \alpha < h(e_1)$, $\forall x \in E$.
Comme ImF est vectoriel, on en d{\'e}duit que $h(F(x)) = 0$, $\forall x \in E$ et
comme $h \in (\RR^{k+1})^{\prime}$, $h \not\equiv 0$, $\exists
(\mu_0,...,\mu_k) \in {\RR}^{k+1} \setminus \{0\}$ tel que $h(x) = \sum_0^k
\mu_i x_i$ si $x=(x_0,...,x_k) \in {\RR}^{k+1}$. D'o{\`u} on obtient
$$ \mu_0 g(x) + \sum_1^{k} \mu_i f_i(x) = 0 < \alpha < \mu_0,\quad \forall x
\in E.$$
Donc $\mu_0 \not= 0$ et $g(x) = \sum (-\frac{\mu_i}{\mu_0}) f_i(x)$ pour tout
$x$. (On peut d{\'e}montrer ce r{\'e}sultat par une preuve purement alg{\'e}brique,
par exemple un raisonnement par recurrence sur $k$.)\\
4) Soit $F_n = \mbox{vect} \{ f_1,...,f_n \}$, d'apr{\`e}s 2) et 3), $\forall g
\in E^{\prime}$, $\exists N$ tel que $g \in F_N$ donc $E^{\prime} = \bigcup
F_n$. Comme $E^{\prime}$ est complet, $F_n$ ferm{\'e} (car dim$F_n < \infty$), on
peut appliquer le lemme de Baire et $\exists n_0$ tel que int$(F_{n_0}) \not=
\emptyset$.
Si $f \in \mbox{int}F_{n_0}$ alors $\exists r>0$ tel que $B(f,r) \subset
F_{n_0}$ par suite $E^{\prime}=F_{n_0}$ car $F_{n_0}$ est vectoriel et donc
dim$E^{\prime} \leq n_0$.\\
5) On en conclut que dim$E < \infty$, en effet soit
\begin{eqnarray*}
\Phi :& E &\rightarrow \RR^{n_0}\\
      & x &\mapsto (f_1(x),...,f_{n_0}(x)).
\end{eqnarray*}
$\Phi$ est lin{\'e}aire et injective (car $\Phi(x)=0$ $\Longrightarrow$ $\forall
f \in E^{\prime}$, $f(x)=0$ $\Longrightarrow$ $x=0$ par Hahn-Banach) donc dim$E
\leq n_0$ ce qui est contraire {\`a} l'hypoth{\`e}se.
\\ \\
{ \bf Exercice 3}
\\ \\
1) On montre que $(1) \Longrightarrow (2) \Longrightarrow (3) \Longrightarrow
(1)$. Pour simplifier les notations on montrera que $T$ est continue en $0$, le
lecteur se convaincra que la continuit{\'e} de $T$ en $0$ implique la
continuit{\'e} de $T$ partout.\\
$(1) \Longrightarrow (2)$ :\\
$\forall \Omega \in {\cal V}_{w}(0)$, existe-t'il $\omega \in {\cal V}_{w}(0)$
tel que $x \in \omega$ $\Longrightarrow$ $Tx \in \Omega$ ?
On peut toujours choisir $\Omega = \{ y \in F : \vert < f_i,y > \vert < \ep,
\forall i=1,...,n \}$ o{\`u} $f_i \in F^{\prime}$ et $\ep > 0$. Maintenant,
\begin{eqnarray*}
Tx \in \Omega &\Longleftrightarrow& \vert < f_i,Tx> \vert < \ep,\,\forall
i=1,...,n,\\
 &\Longleftrightarrow& \vert < f_ioT,x> \vert < \ep,\,\forall i=1,...,n.
 \end{eqnarray*}
Si $\omega = \{x \in E : \vert < f_ioT,x> \vert < \ep,\,\forall i=1,...,n \}$
o{\`u} $f_ioT \in E^{\prime}$, alors $\omega$ est bien un voisinage faible de $0$
donc $(2)$.\\
$(2) \Longrightarrow (3)$ :\\
$\forall \Omega \in {\cal V}_{w}(0)$, existe-t'il $r>0$ tel que $x \in B(x,r)
\Longrightarrow Tx \in \Omega$ ?\\
On sait par hypoth{\`e}se qu'il existe un voisinage faible de $0$, $\omega$, tel
que $x \in \omega \Longrightarrow Tx \in \Omega$ et on a vu dans l'exercice 1
ci-dessus, qu'un ouvert faible est un ouvert fort donc $(3)$.\\
$(3) \Longrightarrow (1)$ :\\
On utilise le Th{\'e}or{\`e}me du graphe ferm{\'e} (voir l'exercice 13 chap.II), soit
$(x_n,y_n)_n \in
G(T)=\{(x,y) \in E\times F, y=Tx \}$ telle que $x_n \rightarrow x$ et $y_n=Tx_n
\rightarrow y$, a-t'on $y=Tx$ ? \\
Comme $T$ est continue de $E$ fort dans $F$ faible, $Tx_n \rightharpoonup Tx$
et d'autre part la convergence forte impliquant la convergence faible $Tx_n
\rightharpoonup y$, donc n{\'e}cessairement $y=Tx$. D'o{\`u} le graphe de $T$ est
ferm{\'e} et $T$ est continue (pour les topologies fortes).\\
2) Soit $T : E_w \longrightarrow F$ lin{\'e}aire continue. La continuit{\'e} en $0$
implique que $\exists \ep > 0$, $\exists f_1,..,f_n \in E^{\prime}$ tels que
$$ \vert < f_i,x > \vert < \ep,\quad \forall i=1,...,n \Longrightarrow \Vert Tx
\Vert_F < 1.
$$
Alors $\bigcap_i \ker f_i \subset \ker T$. On va montrer que dim(Im$T$)$\leq
n$. Soit $y_1 =Tx_1,...,y_{n+1}=Tx_{n+1} \in $ Im$T$, existe-t'il
$(\lambda_1,...,\lambda_{n+1})$ non tous nuls tels que $\sum_1^{n+1} \lambda_k
Tx_k = 0$ ?\\
Ou encore tels que $T(\sum_1^{n+1} \lambda_k x_k) = 0$ ? On
remarque que si il existe $(\lambda_1,...,\lambda_{n+1})$ non tous nuls tels
que $ \sum_1^{n+1} \lambda_k x_k \in \bigcap_i \ker f_i$, c'est fini. Donc on
veut
$$ \sum_1^{n+1} \lambda_k < f_i,x_k > = 0,\quad 1\leq i \leq n.
$$
C'est un syst{\`e}me lin{\'e}aire de $n$ {\'e}quations {\`a} $n+1$ inconnues dont on
sait qu'il existe des solutions non triviales, d'o{\`u} le r{\'e}sultat.
\\ \\
{ \bf Exercice 4}
\\ \\
1) ${\Vert x^N -x \Vert}_1$ = reste d'une s{\'e}rie convergente.\\
2) f est lin{\'e}aire et $\vert f(x) \vert \leq \Vert y \Vert_{\infty} \Vert x
\Vert_1$ donc $f \in (\lun)^{\prime}$.\\
a) On a montr{\'e} que $\Vert \Lambda_y \Vert \leq \Vert y \Vert_{\infty}$. On a
$\Lambda_y(e^N)=y_N$ donc $\Vert \Lambda \Vert \geq \Vert y \Vert_{\infty}$,
d'o{\`u}
$\Lambda$ est une isom{\'e}trie.\\
b) $\Lambda$ est injective car isom{\'e}trique. Montrons qu'elle est surjective.
Soit
$\ell \in (\lun)^{\prime}$ alors par lin{\'e}arit{\'e} et continuit{\'e} de $\ell$, on
a
$< \ell,x > = \sum_1^{\infty} x_ny_n$ si $x=(x_n)_n \in \lun$ et $\exists M>0$
tel
que $\forall x \in \lun$, $\vert <\ell,x > \vert \leq M \Vert x \Vert_1$. En
particulier pour $x=e^n$, on obtient $\vert <\ell,e^n>\vert = \vert y_n \vert
\leq
M$ et $y \in \linf$. Donc $\ell = \Lambda_y$ et $\Lambda$ est bijective. Par
l'exercice 11 chap.II, on conclut que $\Lambda$ est un isomorphisme d'espaces de
Banach.\\
3) Soit $(x^n)_{n \geq 1}$ une suite d'{\'e}l{\'e}ments de $\lun$ telle que $x^n
\rightharpoonup 0$ dans $\lun$ faible $\Longleftrightarrow$ $\forall y \in \linf
<y,x^n> \rightarrow <y,0>=0$ $\Longleftrightarrow$ $\sum_1^{\infty} x_i^n y_i
\rightarrow 0$, $\forall y=(y_i)_i \in \linf$.\\
4) Soit $(x^n)_{n \geq 1}$ une suite d'{\'e}l{\'e}ments de
$\lun$ telle que $x^n \rightharpoonup 0$ dans $\lun$ faible.\\

a) On montre facilement que $d$ est une distance sur $K$.\\

b) On veut montrer que $\exists \ep > 0$ et $\exists y^1,...,y^n \in \lun$ tels
que
$$V=\{ g \in K : \vert < g-f,y^i> \vert < \ep, \forall i=1,...,n \} \subset
\Omega.$$
On a $$d(f,g) = \sum_1^n \frac{1}{2^i} \vert f_i-g_i \vert + \sum_{i \geq n+1}
\frac{1}{2^i} \vert f_i-g_i \vert\,\, \mbox{et}\,\, \sum_{i \geq n+1}
\frac{1}{2^i} \vert f_i-g_i
\vert \leq 2 \sum_{i \geq n+1} \frac{1}{2^i} = \frac{1}{2^{n-1}},$$ pour $f,g \in
K$.
Soient donc $\ep$ et $n$ tels que $\ep + \frac{1}{2^{n-1}} < r$ et $y^i=e^i$ pour
$1\leq i \leq n$, alors
$$\sum_1^n \frac{1}{2^i} \vert f_i-g_i \vert = \sum_1^n \frac{1}{2^i} \vert
<f-g,e^i> \vert \leq \ep \sum_1^n \frac{1}{2^i} \leq \ep,$$ si $g \in V$. D'o{\`u}
$d(f,g) \leq \ep + \frac{1}{2^{n-1}} < r$, $\forall g \in V$ donc $V \subset
\Omega$.\\

c) La question pr{\'e}c{\`e}dente montre que l'application $id :
(K,\sigma(\linf,\lun))
\rightarrow (K,d)$ est continue. Or $K$ est compacte faible $\star$, donc$(K,d)$
est
compact.\\

d) Soit $\ep > 0$ fix{\'e}. Soit $A_n = \{ f \in \linf : \vert <f,x^n > \vert \leq
\ep
\}$ alors $A_n$ est ferm{\'e} faible $\star$, et $F_k = K \cap \bigcap_{n \geq k}
A_n$
est aussi ferm{\'e} faible $\star$ dans $K$ compact donc $F_k$ est compact
faible $\star$. Son image par $id : (K,\sigma(\linf,\lun)) \rightarrow (K,d)$
(qui
est continue) est compacte donc ferm{\'e}e dans $(K,d)$. \\
$K = \bigcup_k F_k $ car $<f,x^n> \rightarrow 0$, $\forall f \in \linf$. Enfin,
$(K,d)$ m{\'e}trique compact est complet, on peut donc appliquer le lemme de Baire :
il
existe
$k_0$ tel que Int$F_{k_0} \not= \emptyset$. Donc il existe $f_0 \in K$, $\exists
\rho > 0$ tels que $K \cap B_d(f_0,\rho) \subset F_{k_0}$.\\

e) En choisissant $f$ comme dans l'{\'e}nonc{\'e}, on a,
$$d(f,f^0) \leq 2 \sum_{i=N+1}^{\infty} \frac{1}{2^i} = \frac{1}{2^{N-1}} <
\rho.$$
Donc $f \in F_{k_0}$ et
$$\vert <f,x^n> \vert = \vert \sum_1^N f_0^i x_i^n + \sum_{i=N+1}^{\infty} (\pm
x_i^n) \vert \leq \ep,\quad \forall n \geq k_0.$$
$\Longrightarrow$
$$\sum_{i=N+1}^{\infty} \vert x_i^n \vert \leq \ep + \sum_1^N \vert f_0^i x_i^n
\vert \leq \ep + \sum_1^N \vert x_i^n \vert,$$
car $f^0 \in K$, d'o{\`u}
$$\sum_{i=1}^{\infty} \vert x_i^n \vert \leq \ep + 2 \sum_1^N \vert x_i^n
\vert,\quad \forall n \geq k_0.$$

f) i {\'e}tant fix{\'e}, $x_i^n \rightarrow 0$ car $x_i^n = < e^i,x^n >$, donc
$\exists I$ tel que $\forall n \geq I$, $\vert x_i^n \vert \leq \frac{\ep}{2N}$.
D{\`e}s que $n \geq \max(k_0,I)$, on a $\Vert x^n \Vert_1 \leq 2\ep$ d'o{\`u} $x^n
\rightarrow 0$ dans $\lun$. \\
5) Comme $\lun$ n'est pas de dimension finie, les topologies faibles et fortes ne
sont pas {\'e}quivalentes et cette application ne peut donc pas {\^e}tre continue.
\\ \\
\section{Chapitre IV}
{ \bf Exercice 1}
\\ \\
$E \subset {(E_{w\star}^{\prime})}^{\prime}$ :\\
Soit $x \in E$ alors $V = \{ f \in E^{\prime} : \vert <f,x> \vert < \ep \}$ est
un voisinage faible-$\star$ de $0$ dans $E^{\prime}$. Donc $f \mapsto <f,x>$ est
continue sur $E_{w\star}^{\prime}$, d'o{\`u} $x \cong J(x) \in
{(E_{w\star}^{\prime})}^{\prime}$.\\
${(E_{w\star}^{\prime})}^{\prime} \subset E$ :\\
Soit $\vfi \in {(E_{w\star}^{\prime})}^{\prime}$ et soit $\ep > 0$ alors $\exists
\Omega$ voisinage faible-$\star$ de $0$ dans $E^{\prime}$ tel que
$$ f \in \Omega \Longrightarrow \vert <\vfi,f> \vert < \ep.$$
On peut toujours choisir $\Omega = \{ g \in E^{\prime} : \vert <g,x_i> \vert <
\beta,\,i=1,...,n \}$ o{\`u} $\beta > 0$ et pour $i=1,...,n$, $x_i \in E$. Mais
$J(x_i) \in E^{\prime \prime}$ et $$\vert < J(x_i),g> \vert < \beta,\, \forall
i=1,...,n \Longrightarrow \vert <\vfi,g> \vert < \ep.$$
Donc $g \in \bigcap_i \ker J(x_i)$ $\Longrightarrow$ $\vert <\vfi,g> \vert <
\ep$,
d'o{\`u} $\bigcap_i \ker J(x_i) \subset \ker \vfi$. D'apr{\`e}s l'exercice 2, question
3), $\exists
\lambda_1,...,\lambda_n \in \RR$ tels que $\vfi = \sum_1^n \lambda_i J(x_i) =
J(\sum_1^n \lambda_i x_i).$ Soit $x = \sum_1^n \lambda_i x_i \in E$ alors $\vfi =
J(x)$, d'o{\`u} le r{\'e}sultat.
\\ \\
{ \bf Exercice 2}
\\ \\
Soit $f_n : E \longrightarrow \RR$ telle que $f_n(x)=x_n$ si $x=(x_n)_n$. Alors
$f_n \in E^{\prime}$ et $\Vert f_n \Vert = 1$. S'il existe une sous-suite
$(f_{nk})_{nk}$ qui converge vers un $f$ dans $E_{w\star}^{\prime}$ alors
$\forall x \in E$, $<f_{nk},x> = x_{nk} \longrightarrow <f,x>$ quand $k$ tend
vers $+ \infty$. Donc en fait il s'agit de trouver une suite de r{\'e}els qui ne
converge pas...c'est facile. Par exemple, soit $x = (x_n)_n$ tel que
$x_{nk}=(-1)^k$ et $x_n = 0$ ailleurs, alors $x \in \linf$ et $<f_{nk},x> =
(-1)^k$ ne converge pas. Donc il n'existe pas de sous-suites faiblement-$\star$
convergentes bien que $(f_n)_n$ soit dans un compact faible-$\star$. Mais ce
compact n'est pas m{\'e}trisable, on peut en conclure par exemple que $\linf$ n'est
pas s{\'e}parable ni r{\'e}flexif. En effet, $\ell^1$ est s\e parable et si $\ell^\infty$
\e tait r\e flexif, il serait donc aussi s\e parable.
\\ \\
{ \bf Exercice 3}
\\ \\
1) $K \subset \bigcup_{n>0} B(0,n)$ et K compact $\Longrightarrow$ $\exists N$
tel que $K \subset B(0,N)$.\\
2) $\forall x \in B_E$, $Tx$ est dans un compact donc $\exists N$ tel que $Tx \in
B(0,N)$ $\Longrightarrow$ $\Vert Tx \Vert \leq N$.\\
3) Soit $(x_n)_n \in E$ telle que $x_n$ converge faiblement vers $x \in E$, alors
$\Vert x_n \Vert$ est born{\'e}e car $E$ est un Banach et donc $\exists R>0$ tel que $\forall n$, $x_n \in
\overline{B} (0,R)$. Comme $T$ est compacte, $(Tx_n)_n$ est dans un compact fort
et il existe une sous-suite $(Tx_{nk})_{k}$ qui converge fortement vers $y \in
F$. D'autre part $T$ est lin{\'e}aire continue donc continue de E faible dans F
faible et $Tx_{nk} \rightharpoonup Tx$ d'o{\`u} $y = Tx$. $Tx$ est la seule valeur
d'adh{\'e}rence de la suite $(Tx_n)_n$ donc toute la suite converge vers $Tx$
d'o{\`u} ($\star$).\\
4) Montrons que $T(B_E)$ est ferm{\'e}. Soit $y_n =Tx_n \in T(B_E)$, on suppose que
$Tx_n \longrightarrow y$, a-t-on $y=Tx$ o{\`u} $x \in B_E$ ?\\
Comme E est  r{\'e}flexif et que $\Vert x_n \Vert \leq 1$, $\forall n$,  il existe
une sous-suite $(x_{nk})_{k}$ telle que $x_{nk} \rightharpoonup x$. Alors
($\star$) $\Longrightarrow$ $Tx_{nk} \longrightarrow Tx$ donc $y=Tx$ et $\Vert x
\Vert \leq \liminf \Vert x_{nk} \Vert \leq 1$ et $T(B_E)$ est ferm{\'e}.\\
Soit encore $y_n =Tx_n \in T(B_E)$, alors E r{\'e}flexif $\Longrightarrow$ $x_{nk}
\rightharpoonup x$ et $Tx_{nk} \longrightarrow Tx$ donc $Tx$ est valeur
d'adh{\'e}rence de $(y_n)_n$ et $T(B_E)$ est compact.\\
5) Soit $B = \{x \in \ker (Id-T) : \Vert x \Vert \leq 1 \}$. Soit $(x_n)_n \in B$
alors de $\Vert x_n \Vert \leq 1$ et $T$ compact, on d{\'e}duit qu'il existe une
sous-suite $x_{nk}=Tx_{nk}$ qui converge vers $y$. Il est clair que $y \in B$
donc $B$ est compact et $dim(\ker (Id-T)) < \infty$.
\\ \\
{ \bf Exercice 4}
\\ \\
On d{\'e}finit $J : E \longrightarrow \Epp$ par
$${<Jx,f>}_{\Epp,\Ep} = {<f,x>}_{\Ep,E} \quad \forall x \in E,\,\,\forall f \in
\Ep.$$
On a $\Vert Jx \Vert = \sup_{\Vert f \Vert \leq 1} \vert <f,x> \vert = \Vert x
\Vert$ par Hahn-Banach,
donc J est lin{\'e}aire isom{\'e}trique. \\
Ici, E est r{\'e}flexif donc J est surjective i.e. $J(E)= \Epp$.\\
Si $f \in E^{\prime}$ alors $\Vert f \Vert = \sup_{\Vert x \Vert \leq 1} \vert
<f,x> \vert = \sup_{\Vert \xi \Vert \leq 1} \vert <\xi,f> \vert$ car $J$ est
isom{\'e}trique et surjective. \\
Par Hahn-Banach, $\sup_{\Vert \xi \Vert \leq 1} \vert <\xi,f> \vert = \max_{\Vert
\xi \Vert \leq 1} \vert <\xi,f> \vert$ et donc $\exists x_0 \in E$ tel que $\Vert
x_0 \Vert \leq 1$ et $\Vert f \Vert = \vert <f,x_0> \vert$.
\\ \\
{ \bf Exercice 5}
\\ \\
On peut v{\'e}rifier facilement que si $\vfi_n$ converge faiblement vers $\vfi$
alors elle converge simplement sur $[0,1]$ vers $\vfi$ et donc n{\'e}cessairement
$\vfi(x) = 0$ si $x \not= 0$ et $\vfi(0) = 1$, donc $\vfi$ n'est pas continue, ce
qui est impossible. On peut en conclure que E n'est pas r{\'e}flexif.
\\ \\
{ \bf Exercice 6}
\\ \\
1) $B_d(0,\frac{1}{n})$ est un voisinage de $0$ dans $(B_{E^{\prime}},d)$. Par
{\'e}quivalence dess topologies, $\exists V_n$ voisinage faible $\star$ de $0$ tel
que
$V_n \subset B_d(0,\frac{1}{n})$. On peut supposer que
$$V_n = \bigcap_{i \in I_n} \left\{ f \in B_{E^{\prime}} : \vert < f,x_i > \vert <
\ep_n \right\},$$
o{\`u} $\ep_n > 0$, $T_n$ est une partie finie de $\NN^{\star}$ et $x_i \in E$.\\
L'ensemble $\left\{ x_i, i \in I_n, n \in \NN^{\star} \right\}$ constitue une suite
d{\'e}nombrable de points de $E$.\\
2) Si $x \in X$, $\exists n$ tel que $x \in X_n$ donc $x = \sum_1^n \lambda_i x_i$
o{\`u}
$\lambda_i \in \RR$. Comme $\QQ$ est dense dans $\RR$, pour $\ep > 0$, $\exists
r_1,...,r_n \in \QQ$ tels que $\vert r_i - \lambda_i \vert \leq \ep$. Si $y =
\sum_1^n
r_i x_i$ alors $y \in Y_n \subset Y$ et on a $\Vert x-y \Vert \leq \ep \sum_1^n
\Vert
x_i \Vert$. Donc on a montr{\'e} que $\forall V \in {\cal V}(x)$, $V \cap Y \not=
\emptyset$. D'o{\`u} $X \subset \overline{Y}$.\\
3) Si $\overline{X} \not= E$, $\exists x_0 \in E\setminus \overline{X}$ et par
Hahn-Banach, $\exists f \in E^{\prime}$, $f \not\equiv 0$, $\exists \alpha \in
\RR$,
tels que $<f,x>\;< \alpha <\;<f,x_0>$, $\forall x \in \overline{X}$. Comme $X$ est
vectoriel, on en d{\'e}duit que $f \equiv 0$ sur $X$. On peut supposer que $\Vert f
\Vert
= 1$, alors $f \in V_n$, $\forall n$ donc $f \in B_d(0,\frac{1}{n})$, $\forall n$
d'o{\`u} $f \equiv 0$ et c'est absurde.
\section{Chapitres V et VI}
{ \bf Exercice 1}
\\ \\
1) Sur $[0,1]$, $(1-t^2)^n \geq 1 -nt^2$ et $\int_0^1 (1-t^2)^n dt \geq
\int_0^{\frac{1}{\sqrt{n}}} (1 - nt^2) dt$ (puisqu'on ne consid{\`e}re que la partie
positive de l'aire constitu{\'e}e par le graphe de $1 -nt^2$ sur $[0,1]$.) Donc,
$$ 1 = c_n \int_{-1}^1 (1-t^2)^n dt = 2c_n \int_0^1 (1-t^2)^n dt \geq
2c_n\int_0^{\frac{1}{\sqrt{n}}} (1 - nt^2) dt = \frac{4c_n}{3\sqrt{n}},$$
on en d{\'e}duit que $c_n \leq \frac{3}{4} \sqrt{n}$.\\
2) Pour $x \in [0,1]$, on a
$$P_n(x) = \int_{-1}^1 f(x-y) Q_n(y) dy = \int_0^1 Q_n(x-y) f(y) dy.$$
Si $Q_n(x) = \sum_0^{d_n} a_p x^p$ alors
\begin{eqnarray*}
\int_0^1 Q_n(x-y)f(y) dy &=& \int_0^1 \sum_{p=0}^{d_n} a_p \sum_{k=0}^p C_p^k x^k
(-y)^{p-k} f(y) dy,\\
 &=& \sum_{p=0}^{d_n} a_p \sum_{k=0}^p C_p^k x^k (-1)^{p-k}
\underbrace{\int_0^1y^{p-k}f(y) dy}_{\mbox{constante}}.
 \end{eqnarray*}
Ce qui montre que $P_n$ est polynomial.\\
L'application $f$ est uniform{\'e}ment continue sur $\RR$ donc pour $\ep >0$ fix{\'e},
il existe $\delta >0$ tel que $\forall x \in [0,1]$ et $\forall y$ tel que $\vert
y \vert \leq \delta$, $\vert f(x-y) - f(x) \vert \leq \ep$. Comme $\int_{-1}^1 Q_n
dt =1$, on a
\begin{eqnarray*}
\vert P_n(x) - f(x) \vert &=& \vert \int_{-1}^1 (f(x-y) - f(x)) Q_n(y) dy \vert,\\
 &\leq& \int_{[\vert y \vert \leq \delta]} \vert f(x-y) - f(x) \vert Q_n(y) dy + 2
\Vert f \Vert_{\infty} \int_{[1 \geq \vert y \vert \geq \delta]} Q_n(y) dy.
 \end{eqnarray*}
Enfin, comme $(1-t^2)^n \geq (1 - \delta^2)^n$ si $1 \geq t \geq \delta$, on a
$$\int_{\delta}^1 Q_n(y) dy \leq Q_n(\delta) \leq \sqrt{n} (1 - \delta^2)^n
\rightarrow 0,$$
donc $\exists N$ tel que $\forall n \geq N$,  $\int_{\delta}^1 Q_n(y) dy \leq
\ep$. D'o{\`u} $\vert P_n(x) - f(x) \vert \leq (1+4\Vert f \Vert_{\infty}) \ep$ et
ceci $\forall x \in [0,1]$, on en d{\'e}duit que $\Vert f - P_n \Vert_{\infty}
\rightarrow 0$ quand $n \rightarrow +\infty$.\\
3) Soit $f \in {\cal C}([0,1])$, alors $\widehat{f} = f - f(0) - x(f(1)-f(0))$ est
continue et v{\'e}rifie $\widehat{f}(0) = \widehat{f}(1) = 0$, donc par 2), $\forall
\ep > 0$, $\exists \widehat{P_{\ep}}$ polyn{\^o}me tel que $\Vert \widehat{f} -
\widehat{P_{\ep}} \Vert_{\infty} \leq \ep.$\\
Soit $P_{\ep} = \widehat{P_{\ep}}- f(0) - x(f(1)-f(0))$ alors $P_{\ep}$ est
polynomial et $f - P_{\ep} = \widehat{f} - \widehat{P_{\ep}}$ ce qui montre que
les polyn{\^o}mes sont denses dans ${\cal C}([0,1])$.
\\ \\
{ \bf Exercice 2}
\\ \\
1) On a $\chi_n(x) \geq 0$, $\int_{\RR} \chi_n = 1$, $\chi_n \longrightarrow 0$
p.p. et $\int_{\RR} \chi_n^2 = \frac{1}{2n} \longrightarrow 0$. Donc $\chi_n
\longrightarrow 0$ dans $L^2(\RR)$ et $\chi_n \not\longrightarrow 0$ dans
$L^1(\RR)$.\\
2) L'ensemble $L^1(\RR)\cap L^2(\RR)$ est dense dans $L^2(\RR)$ car contient
${\cal C}_c(\RR)$ par exemple. Soit $E = \{ f \in L^1(\RR)\cap L^2(\RR) :
\int_{\RR} f(x)\;dx = 0 \}$. Si $f \in L^1(\RR)\cap L^2(\RR)$ alors $g_n = f -
(\int_{\RR} f) \chi_n \in E$ et $f-g_n = (\int_{\RR} f) \chi_n \longrightarrow 0$
dans $L^2(\RR)$. Donc $E$ est dense dans $L^2(\RR)$.
\\ \\
{ \bf Exercice 3}
\\ \\
Soit $ f \in L^1(\Om)$ avec $\vert f \vert \leq M$ p.p. alors $\int_A \vert f
\vert dx \leq M \vert A \vert$ donc pour $\ep>0$, on choisit $\delta \leq
\frac{\ep}{M}$ et $\vert A \vert \leq \delta \Longrightarrow \int_A \vert f \vert
dx \leq \ep.$\\
En utilisant le fait que les fonctions continues et born{\'e}es sont denses dans
$L^1$, on en d{\'e}duit le cas g{\'e}n{\'e}ral.
\\ \\
{ \bf Exercice 4} (J.M.Bony, Ecole Polytechnique)
\\ \\
1) Soit $F(x,y)=f(x-y^n)g(y)$ alors $\int_{\RR} \vert F(x,y) \vert dx = \Vert f
\Vert_{L^1} \vert g(y) \vert$ et
$$\int_{\RR} (\int_{\RR} \vert F(x,y) \vert dx) dy = \Vert f \Vert_{L^1}\Vert g
\Vert_{L^1},$$
donc par le Th{\'e}or{\`e}me de Fubini-Tonelli, $F \in L^1(\RR \times \RR)$. De plus,
p.p. x, $x \mapsto \int_{\RR} F(x,y) dy$ est d{\'e}finie et est dans $L^1(\RR)$.
Enfin, $\Vert T_n(f) \Vert_{L^1} \leq \Vert f \Vert_{L^1}\Vert g \Vert_{L^1}$.\\
2) On a
\begin{eqnarray*}
\forall x,\quad y&\mapsto& f(x-y^n)g(y) \in L^1(\RR),\\
\mbox{p.p.}y,\quad x&\mapsto& f(x-y^n)g(y) \in {\cal C}(\RR),
\end{eqnarray*}
et $\forall x$, $\vert f(x-y^n)g(y) \vert \leq \Vert f \Vert_{\infty} \vert g(y)
\vert \in L^1(\RR)$, donc par le Th{\'e}or{\`e}me de continuit{\'e} des int{\'e}grales
d{\'e}pendant d'un param{\`e}tre, $T_n(f) \in {\cal C}(\RR)$ et $\forall x$, $\vert
T_n(f)(x) \vert \leq \Vert f \Vert_{\infty} \Vert g \Vert_{L^1}$ donc $T_n(f)$
est born{\'e}e.\\
3) On {\'e}crit $T_n(f)(x) = A_n + B_n$ o{\`u} $A_n = \int_{\vert y \vert < 1}
f(x-y^n)g(y) dy$ et $B_n = \int_{\vert y \vert > 1} f(x-y^n)g(y) dy$.\\
Etude de $A_n$ :\\

Quand $n \rightarrow \infty$, $f(x-y^n)g(y) \longrightarrow f(x)g(y)$ p.p. et
$\vert f(x-y^n)g(y) \vert \leq M \vert g(y) \vert \in L^1$. Par le Th{\'e}or{\`e}me
de convergence domin{\'e}e, $A_n \longrightarrow f(x) \int_{\vert y \vert < 1} g(y)
dy$.\\
Etude de $B_n$ :\\

Quand $n \rightarrow \infty$, $x-y^n \longrightarrow \pm \infty$ et par
hypoth{\`e}se $f(x-y^n) \longrightarrow 0$ donc $f(x-y^n)g(y) \longrightarrow 0$
p.p. Enfin, $\vert f(x-y^n)g(y) \vert \leq M \vert g(y) \vert \in L^1$, donc le
Th{\'e}or{\`e}me de convergence domin{\'e}e montre que $B_n \longrightarrow 0$.\\
\\
D'o{\`u} $T_n(f)(x) \longrightarrow C\; f(x)$ avec $C = \int_{\vert y \vert < 1}
g(y) dy$.
\\ \\
{ \bf Exercice 5}
\\ \\
On note $Tf$ l'application $x \mapsto Tf(x) = \int_0^1 \sin(x+f^2(t)) dt$. Alors,
par le Th{\'e}ro{\`e}me de convergence domin{\'e}e on v{\'e}rifie facilement que $Tf \in
E$. Montrons que $T : E \rightarrow E$ est continue. Si $f_n \rightarrow f$ dans
$E$ alors $\forall x \in [0,1]$,
\begin{eqnarray*}
\vert Tf_n(x) - Tf(x) \vert & \leq & \int_0^1 \vert f_n^2(t) - f^2(t) \vert dt,\\
 & \leq & \Vert f_n+f \Vert_{\infty}\Vert f_n - f \Vert_{\infty}.
 \end{eqnarray*}
La quantit{\'e} $\Vert f_n+f \Vert_{\infty}$ est born{\'e}e donc $\Vert Tf_n - Tf
\Vert_{\infty} \rightarrow 0$ et $T$ est continue.\\
Soit $A = T(E)$, montrons que $\overline{A}$ est compact dans $E$. Pour cela on
utilise le Th{\'e}or{\`e}me d'Ascoli.\\
$A$ est {\'e}quicontinue car $\forall f \in E$, $\vert Tf(x) - Tf(y) \vert \leq
\vert x-y \vert$.\\
Pour $x \in [0,1]$, si $A_x = \left\{ Tf(x), f \in E \right\}$ alors $A_x \subset
[-1,1]$ donc $\overline{A_x}$ est compact (dans $\RR$). \\
Le Th{\'e}or{\`e}me d'Ascoli montre que $\overline{A}$ est compact dans $E$ et le
Th{\'e}or{\`e}me de
Shauder donne l'existence d'un point fixe de $T$.
\\ \\
{ \bf Exercice 6}
\\ \\
Par le Th{\'e}or{\`e}me de Fubini, $f,g \in L^1(\RR) \Longrightarrow f\star g \in
L^1(\RR)$ et $\Vert f\star g \Vert_1 \leq \Vert f \Vert_1 \Vert g \Vert_1$.\\
$(f,g) \mapsto (f\star g)$ est bilin{\'e}aire donc $\star$ est distributive par
rapport {\`a} l'addition. Enfin, il est {\'e}vident que $\star$ est commutative, donc
il reste {\`a} voir que $\star$ est associative. Soit $f,g,h \in L^1(\RR)$, en
appliquant le Th{\'e}or{\`e}me de Fubini et en effectuant un changement de variables,
on a
\begin{eqnarray*}
(f\star g)\star h(x) &=& \int_{\RR} f\star g(x-y) h(y) dy = \int_{\RR} \int_{\RR}
f(x-y-u)g(u)h(y)dy du,\\
&=& \int_{\RR} \int_{\RR} h(y) g(v-y) f(x-v) dv dy,\\
&=& \int_{\RR} f(x-v) g\star h(v) dv = f\star (g\star h)(x).
\end{eqnarray*}
Supposons maintenant qu'il existe un {\'e}l{\'e}ment neutre $\delta$ pour la
convolution dans $L^1(\RR)$. Soit $f_n \in {\cal C}(\RR)$, $f_n \geq 0$, de
support $[-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}]$ et telle que $f_n(0)= \Vert f_n
\Vert_{\infty} = 1$. Alors $\delta\star f_n \in {\cal C}(\RR)$ et $\forall x \in
\RR$, $\delta\star f_n(x) = f_n\star \delta (x) = f_n(x)$, donc en particulier
$$f_n\star \delta (0) = f_n(0) = 1 = \int_{\RR} f_n(-y) \delta(y) dy.$$
Soit $g_n(y) = f_n(-y) \delta(y)$ alors $g_n(y) \longrightarrow 0$ p.p. et $\vert
g_n(y) \vert \leq \vert \delta(y) \vert \in L^1(\RR)$. Le Th{\'e}or{\`e}me de
convergence domin{\'e}e montre que $\int_{\RR} g_n \longrightarrow 0$, d'o{\`u}
contradiction.
\\ \\
{\bf Exercice 7}
\\ \\
Comme la suite $f_n$ est de Cauchy, on peut reprendre la d{\'e}monstration du
Th{\'e}or{\`e}me 6.3 chap. VI,
et extraire une sous-suite $f_{n_k}$ qui converge p.p. vers une limite not{\'e}e
$h_0$
(on ne sait pas a priori que $f=h_0$ p.p.). En reprenant les m{\^e}mes notations que
dans
 la d{\'e}monstration du Th{\'e}or{\`e}me 6.3, on a de plus,
p.p. x, $\forall k$, $\vert f_{n_k}(x) - h_0(x) \vert  \leq g(x)$ qui est chapeau
int{\'e}grable. Par le Th{\'e}or{\`e}me de convergence domin{\'e}e, il en r{\'e}sulte que
$h_0
\in L^1$
 et $f_{n_k} \longrightarrow h_0$ dans $L^1$. Par cons{\'e}quent $f=h_0$ p.p.
 La sous-suite est clairement domin{\'e}e par $h = \vert h_0 \vert +g$.
 \\ \\
{ \bf Exercice 8}
\\ \\
$\forall t>0$, $x \mapsto e^{-t}\, t^{x-1}$ est ${\cal C}^{\infty}$ sur
${\RR}^{+\star}$ et pour $x>0$ fix{\'e}, $t \mapsto e^{-t}\, t^{x-1} \in
L^1(]0,+\infty[)$. Enfin, $\forall [a,b] \subset ]0,+\infty[$ et pour tout $x \in
[a,b]$,
on a,
$$\vert e^{-t}\, t^{x-1} \vert \leq \ind_{(0,1)} e^{-t}\, t^{a-1} +
\ind_{(1,+\infty)} e^{-t}\, t^{b-1} \in L^1(0,+\infty).$$
Par le Th{\'e}or{\`e}me de continuit{\'e} des int{\'e}grales d{\'e}pendant d'un
param{\`e}tre, on conclut que $\Gamma$ est continue sur $]0,+\infty[$.\\
$\forall k$, $\frac{\partial}{\partial x^k} (e^{-t}\, t^{x-1}) = e^{-t}(\log t)^k
t^{x-1}$ et
$$\vert \frac{\partial}{\partial x^k} (e^{-t}\, t^{x-1}) \vert \leq \ind_{(0,1)}
e^{-t}\vert \log t\vert^k t^{a-1} + \ind_{(1,+\infty)} e^{-t}\vert \log t \vert^k
t^{b-1} \in L^1(0,+\infty),$$
$\forall x \in [a,b] \subset ]0,+\infty[$. Donc le Th{\'e}or{\`e}me de d{\'e}rivation
sous le signe somme montre que $\Gamma$ est ${\cal C}^k$ sur $]0,+\infty[$,
$\forall k$, donc est ${\cal C}^{\infty}$ sur $\RR^{+\star}$.
\\ \\
{ \bf Exercice 9}
\\ \\
1) On suppose $\theta \in ]0,1[$. On peut toujours {\'e}crire
$$\int \vert f \vert^r = \int \vert f \vert^{r\theta} \vert f
\vert^{(1-\theta)r}.$$
Posons $g = \vert f \vert^{r\theta}$ et $h = \vert f \vert^{(1-\theta)r}$ alors
$g
\in
L^{\frac{p}{r\theta}}$ et $h \in L^{\frac{q}{(1-\theta)r}}$ o{\`u}
$\frac{r\theta}{p}
+
\frac{(1-\theta)r}{q} = 1$. Par l'in{\'e}galit{\'e} de H{\"o}lder, on obtient
$$\int gh \leq \Vert g \Vert_{\frac{p}{r\theta}}\,\Vert h
\Vert_{\frac{q}{(1-\theta)r}},$$
c'est {\`a} dire
$$ \int \vert f \vert^r \leq {(\int \vert f \vert^p)}^{\frac{r\theta}{p}} +
{(\int
\vert f \vert^q)}^{\frac{(1-\theta)r}{q}}.$$
2) Si $E = \bigcup_n E_n$ et $E_n$ ferm{\'e} dans $(E,\Vert\,\Vert_1)$ alors
$(E,\Vert\,\Vert_1)$ {\'e}tant complet, on peut appliquer le lemme de Baire et
$\exists n_0$ tel que int$(E_{n_0}) \not= \emptyset$. Donc $\exists f \in E$ et
$\exists r>0$ tels que $B(f,r) \subset E_{n_0}$. Si $g \in E$, $g \not= 0$ alors
$f+ \frac{r}{2} \frac{g}{\Vert g \Vert_1} \in B(f,r) \subset E_{n_0}$ donc $g
\in
L^{1+\frac{1}{n_0}}$ et $\vert \frac{r}{2} \frac{1}{\Vert g \Vert_1} \Vert g
\Vert_{1+\frac{1}{n_0}} - \Vert f \Vert_{1+\frac{1}{n_0}} \vert \leq n_0$
$\Longrightarrow$ $\Vert g \Vert_{1+\frac{1}{n_0}} \leq \frac{4n_0}{r} \Vert g
\Vert_1$.\\
D'o{\`u} $id : E, \Vert\,\Vert_1 \longrightarrow L^{1+\frac{1}{n_0}}$ est
continue.\\
Montrons que $E = \bigcup_n E_n$. Si $f \in E$ alors $\exists q>1$ tel que $f
\in
L^1 \cap L^q$. Donc $\exists N_0$ tel que {\`a} la fois $\Vert f \Vert_1 \leq N_0$
et
$\forall n \geq N_0$, $1+ \frac{1}{n} < q$. Soit $r_n=1+ \frac{1}{n}$ alors par
1),
$$\Vert f \Vert_{1+\frac{1}{n}} \leq \Vert f \Vert_1^{\theta_n} \Vert f
\Vert_q^{(1-\theta_n)},\;\;\mbox{o{\`u}}\;\; \frac{1}{r_n} = \frac{n}{n+1} =
\theta_n
+ \frac{1-\theta_n}{q}.$$
Or $\theta_n (1- \frac{1}{q})=\frac{n}{n+1} - \frac{1}{q}$ o{\`u} $q>1$ donc
$\theta_n \longrightarrow 1$ et $\Vert f \Vert_1^{\theta_n} \Vert f
\Vert_q^{(1-\theta_n)} \longrightarrow \Vert f \Vert_1$. Donc $\exists N \geq
N_0+1$ tel que $\forall n \geq N$ $\Vert f \Vert_{1+\frac{1}{n}} \leq \Vert f
\Vert_1 + 1 \leq N_0+1 \leq N$ et $f \in E_N$ par exemple. D'o{\`u} $E = \bigcup_n
E_n$.\\
Montrons que $\forall n$, $E_n$ est ferm{\'e} dans $(E,\Vert\,\Vert_1)$. Soit
$(f_p)_p \subset E_n$ telle que $f_p \longrightarrow f$ dans
$(E,\Vert\,\Vert_1)$.
A-t'on $f \in E_n$ ?\\
$\Vert f_p - f \Vert_1 \longrightarrow 0$ $\Longrightarrow$ il existe une
sous-suite $(f_{p_k})_k$ telle que $f_{p_k} \longrightarrow f$ p.p. (voir
l'exercice
5
chap.VI), donc
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\vert f_{p_k} \vert^{1+\frac{1}{n}} \longrightarrow \vert f
\vert^{1+\frac{1}{n}}\;\;\mbox{p.p.},\\
\vert f_{p_k} \vert^{1+\frac{1}{n}} \in L^1,\;\vert f_{p_k}
\vert^{1+\frac{1}{n}}
\geq 0\;\;\mbox{p.p.},\\
\forall k,\;\;\int \vert f_{p_k} \vert^{1+\frac{1}{n}} \leq n^{1+\frac{1}{n}}.
\end{array}   \right. \]
Le lemme de Fatou montre que $\vert f \vert^{1+\frac{1}{n}} \in L^1$, soit $f
\in
L^{1+\frac{1}{n}}$, et
$$\int \vert f \vert^{1+\frac{1}{n}} \leq \liminf \int \vert f_{p_k}
\vert^{1+\frac{1}{n}} \leq n^{1+\frac{1}{n}}.$$
Donc $f \in E_n$, et $E_n$ est ferm{\'e}.
\\ \\
{ \bf Exercice 10}
\\ \\
1) On a $\Vert f \Vert_p \leq \Vert f \Vert_{\infty} \vert \Om
\vert^{\frac{1}{p}}$
donc $\limsup \Vert f \Vert_p \leq \Vert f \Vert_{\infty}$.\\
Soient $0<k<\Vert f \Vert_{\infty}$ et $A = \{x \in \Om : \vert f(x) \vert > k
\}$,
alors $\vert A \vert \not= 0$ et $\Vert f \Vert_p \geq k\,\vert A
\vert^{\frac{1}{p}}$. Donc $\liminf \Vert f \Vert_p \geq k$ et ceci $\forall k <
\Vert f \Vert_{\infty}$. D'o{\`u} $\liminf \Vert f \Vert_p \geq \Vert f
\Vert_{\infty}$ et $\lim \Vert f \Vert_p  = \Vert f \Vert_{\infty}$.\\
2) Soit $k>C$ et soit $A = \{x \in \Om : \vert f(x) \vert > k \}$ alors
$$k^p \vert A \vert \leq \Vert f \Vert_p^p \leq C^p\;\;\Longrightarrow \;\;
\vert A
\vert \leq \left( \frac{C}{k} \right)^p,\;\;\forall p.$$
Quand $p \rightarrow \infty$, on obtient $\vert A \vert = 0$, donc p.p. x $\vert
f(x) \vert \leq k$ et $f \in L^{\infty}$.\\
3) Soit $f(x) = \log x$, alors $f \not\in L^{\infty}(0,1)$. Soit $1 \leq p <
+\infty$
comme $\sqrt{x} \vert \log x \vert^p \longrightarrow 0$ quand $x \rightarrow 0$,
$\exists \ep>0$ tel que $\vert x \vert \leq \ep$ $\Longrightarrow$ $\vert \log x
\vert^p \leq \frac{1}{\sqrt{x}}$. Alors
$$\vert f(x) \vert^p \leq \frac{1}{\sqrt{x}} \ind_{(0,\ep)} + \vert \log x
\vert^p
\ind_{(\ep,1)} \in L^1(0,1),$$
donc $f \in \bigcap_{1 \leq p < \infty} L^p(\Om)$.
\\ \\
{ \bf Exercice 11}
\\ \\
1) Soit $h : \xi \rightarrow e^{-ix\xi} f(x)$, $h \in {\cal C}^{\infty}(\RR)$ et
$h^{(k)}(\xi) = (-ix)^k h(\xi)$ donc $\vert h^{(k)}(\xi) \vert \leq \vert x^k f(x)
\vert
\leq g(x) \in L^1(\RR)$ o{\`u} par exemple $$g(x) = \vert f(x) \vert \ind_{[\vert x
\vert
\leq 1]} + \frac{M_k}{\vert x \vert^2} \ind_{[\vert x \vert > 1]}$$
et o{\`u} $M_k = \Vert x^{k+2} f \Vert_{\infty}$.\\
Le Th{\'e}or{\`e}me de d{\'e}rivation sous le signe somme donne alors : $\widehat{f} \in
{\cal
C}^{\infty}(\RR)$ et $\forall k$, $\widehat{f}^{(k)} = \widehat{g}$ avec $g(x) =
(-ix)^k
f(x)$.\\
2) Comme $f^{\prime} \in L^1$, on a
$$\widehat{f^{\prime}} (\xi) = \lim_{R \rightarrow +\infty} \int_{-R}^R e^{-ix\xi}
f^{\prime}(x) dx\,\,\mbox{et}$$
$$\int_{-R}^R e^{-ix\xi} f^{\prime}(x) dx = \left[ f(x)e^{-ix\xi} \right]_{-R}^R +
\int_{-R}^R i \xi e^{-ix\xi} f(x) dx.$$
Comme $f$ est ${\cal C}^{\infty}$, $f(R) = f(0) + \int_0^R f^{\prime} dt$ et
$\int_0^R
f^{\prime} dt$ converge vers $\int_0^{\infty} f^{\prime} dt$ car $f^{\prime} \in
L^1$.
On en d{\'e}duit que $\lim_{R\infty} f(R)$ existe et de m{\^e}me $\lim_{R\infty} f(-R)$
existe. Enfin, $f \in L^1 \Longrightarrow \lim_{R\infty} f(R) = \lim_{R\infty}
f(-R)
=0$. Donc par passage {\`a} la limite, et par r{\'e}currence sur $k$, on obtient
$\widehat{f^{(k)}} = (i\xi)^k \widehat{f}$.\\
3) Si $f \in {\cal S}$, $\forall P$ polyn{\^o}me, $Pf \in {\cal C}^{\infty}(\RR)$ et
$\forall q$, $x^q (Pf)^k (x)= \sum_0^k P_j(x) f^{(j)}(x)$ o{\`u} $P_j$ est un
polyn{\^o}me
(voir la formule de Leibniz). Donc
$$\vert x^q (Pf)^k (x) \vert \leq (k+1) \max_j \left(\sup_{\RR} \vert P_j(x)
f^{(j)}(x)
\vert \right) < \infty.$$
Ensuite, $f \in {\cal S} \Longrightarrow f^{\prime} \in {\cal C}^{\infty}$ et
$\Vert
x^q
(f^{\prime})^{(k)} \Vert_{\infty} = \Vert x^q f^{(k+1)} \Vert_{\infty} < \infty$.\\
Enfin,
$$f \in {\cal S} \Longrightarrow \vert f(x) \vert \leq \vert f(x) \vert
\ind_{[\vert x
\vert \leq 1]} + \frac{M}{\vert x \vert^2} \ind_{[\vert x \vert > 1]} \in L^1.$$
4) Si $f \in {\cal S}$, on sait d{\'e}j{\`a} que $\widehat{f} \in {\cal C}^{\infty}$
par
1).
En utlisant 1) et 2), on a, si $g(x) = (-ix)^kf(x)$,
\begin{eqnarray*}
\xi^q \widehat{f}^{(k)} &=& \xi^q \widehat{g} = \frac{1}{i^q} \widehat{g^{(q)}}\\
 &=& (-i)^{k+q} \int_{\RR} e^{-ix\xi} \frac{d}{dx^q} (x^k f(x)) dx,
 \end{eqnarray*}
et la question 3) montre que $x^k f \in {\cal S}$ donc $(x^k f)^q \in {\cal S}$. On
en
d{\'e}duit que $(x^k f)^q \in L^1$ et donc que $\xi^q \widehat{f}^{(k)} \in
L^{\infty}(\RR)$, $\forall q,k$. D'o{\`u} $\widehat{f} \in {\cal S}$.\\
5) On suppose que $\forall p,q$, $\lim_{n\infty} \Vert x^p f_n^{(q)} \Vert_{\infty}
=
0$.\\
$ x^p (f_n^{\prime})^{(q)} = x^p f_n^{(q+1)}$ donc $f_n^{\prime}$ converge vers $0$
dans
$\cal S$.\\
En utilisant la formule de Leibniz et le fait que $f_n$ tend vers $0$ dans $\cal
S$, on
voit facilement que $\Vert x^p (x^k f_n)^{(q)} \Vert_{\infty} \rightarrow 0$ et
donc
que
$\forall P$ polyn{\^o}me, $Pf_n$ tend vers $0$ dans $\cal S$.\\
Enfin, si $f_n$ tend vers $0$ dans $\cal S$ alors $\forall \ep > 0$, $\exists N$
tel
que
$\forall n \geq N$, $\forall x \in \RR$, $\vert (1+x^2)f_n(x) \vert \leq \ep$.
Alors
$\forall n \geq N$,$$\int_{\RR} \vert f_n \vert \leq \ep \int_{\RR}
\frac{dx}{1+x^2} =
\ep \pi,$$
donc $f_n \rightarrow 0$ dans $L^1$.\\
On a $\xi^p \widehat{f_n}^{(q)} = (-i)^{p+q} \widehat{g_n}$ o{\`u} $g_n(x) = (x^q
f_n)^{(p)} (x)$. Par 3) $g_n \in {\cal S}$ et $f_n \rightarrow 0$ dans ${\cal S}$
$\Longrightarrow$ $g_n \rightarrow 0$ dans ${\cal S}$ $\Longrightarrow$ $g_n
\rightarrow
0$ dans $L^1$. Or $\vert \widehat{g_n}(\xi) \vert \leq \Vert g_n \Vert_1$ donc
$\widehat{f_n} \rightarrow 0$ dans ${\cal S}$.\\
6) Il est clair que la fonction $\psia$ est dans ${\cal S}$ et elle est l'unique
solution de l'{\'e}quation diff{\'e}rentielle $u^{\prime} + 2ax u = 0$ v{\'e}rifiant
$\int_{\RR} u(x) dx = \sqrt{\frac{\pi}{a}}$. En multilpliant l'{\'e}quation
diff{\'e}rentielle par $(-i)$ et en prenant sa transform{\'e}e de Fourier, on voit
imm{\'e}diatement que $\widehat{\psia}$ est l'unique solution de $2a v^{\prime} + \xi
v
=0$ v{\'e}rifiant $v(0) = \sqrt{\frac{\pi}{a}}$, d'o{\`u} l'expression de
$\widehat{\psia}$.
Enfin $\int_{\RR} \widehat{\psia} d\xi = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \int_{\RR}
\psi_{1/4a}
d\xi = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \sqrt{4\pi a} = 2\pi$.\\
7) a) Par le Th{\'e}or{\`e}me de Fubini, on a
\begin{eqnarray*}
\int_{\RR} e^{ix\xi} \widehat{f}(\xi) \Phi(\xi) d\xi &=& \int_{\RR} \int_{\RR}
e^{i(x-y)\xi} f(y) \Phi(\xi) d\xi dy,\\
 &=& \int_{\RR} \widehat{\Phi}(y-x) f(y) dy = \int_{\RR} \widehat{\Phi}(y) f(x+y)
dy.
\end{eqnarray*}
b) Si $\Phi(t) = \Phi_0(\ep t)$ alors $\widehat{\Phi} (\xi) = \frac{1}{\ep}
\widehat{\Phi_0}(\frac{\xi}{\ep})$ donc apr{\'e}s changement de variable :
$$\int e^{ix\xi} \widehat{f}(\xi) \Phi_0(\ep\xi) d\xi = \int \widehat{\Phi_0}(y)
f(x+\ep
y) dy,$$
quand $\ep \rightarrow 0$, on obtient par le Th{\'e}ror{\`e}me de convergence domin{\'e}e
:
$$\Phi_0(0) \int e^{ix\xi} \widehat{f}(\xi) d\xi = f(x) \int \widehat{\Phi_0}(y)
dy.$$
c) On choisit $\Phi_0 = \psi_{a=1}$ alors la question 6) entrainne que
$$f(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{\RR} e^{ix\xi} \widehat{f}(\xi) d\xi,\,\,\forall x
\in
\RR>$$
8) V{\'e}rifions que ${\cal S} \subset L^2$. $f \in {\cal S}$ $\Longrightarrow$
$\exists
A
> 0$ tel que $\forall x \in \RR$, $\vert (1+x^2)f(x) \vert \leq A$. Alors, $$\int
\vert
f \vert^2 dx \leq A^2 \int \frac{dx}{(1+x^2)^2} < \infty.$$
Comme ${\cal D}(\RR) \subset {\cal S}$ et que ${\cal D}(\RR)$ est dense dans $L^2$,
${\cal S}$ est dense dans $L^2$.\\
9) On choisit $x=0$ dans $(\star)$, on obtient a).\\
b) Soit $\psi \in {\cal S}$ alors $\widehat{\psi} \in {\cal S}$ et on choisit $f =
\widehat{\psi}$ dans $(\star)$. Alors $\psi(x) = \frac{1}{2\pi} \widehat{f}(-x)$ et
\begin{eqnarray*}
\int f \overline{\phi} &=& \int \widehat{\psi} \overline{\phi} dx \\
 &=&  \int \psi(\xi) \widehat{\overline{\phi}} d\xi\,\,\mbox{par a),}\\
 &=& \frac{1}{2\pi} \int \widehat{f}(-\xi) \overline{\widehat{\phi}}(-\xi) d\xi \\
  &=& \frac{1}{2\pi} \int \widehat{f} \overline{\widehat{\phi}} d\xi.
 \end{eqnarray*}
c) Si $\phi,\,\psi \in {\cal S} \subset L^1$ alors $\phi \ast \psi \in L^1$ et par
le
Th{\'e}or{\`e}me de Fubini
\begin{eqnarray*}
\widehat{\phi \ast \psi}(\xi) &=& \int \int e^{-ix\xi} \phi(y) \psi(x-y) dy dx,\\
 &=& \int e^{-iy\xi} \phi(y) \left( \int e^{-i(x-y)\xi} \psi(x-y) dx \right) dy,\\
  &=& \widehat{\phi}(\xi) \widehat{\psi}(\xi).
\end{eqnarray*}
10) Soit $f \in E$, comme $\overline{G} = E$, $\exists (f_n)_n \subset G$ telle que
$\lim_n \Vert f-f_n \Vert = 0$. En particulier, $(f_n)_n$ est de Cauchy dans $E$ et
$A$
lin{\'e}aire continue $\Longrightarrow$ $\Vert Af_n - Af \Vert \leq  \Vert A  \Vert
\Vert
f_n-f_m  \Vert$. Donc $(Af_n)_n$ est Cauchy dans $F$ complet donc converge vers un
$g$
dans $F$.\\
On v{\'e}rifie facilement que $g$ ne d{\'e}pend pas de la suite $(f_n)_n$ et on pose
$\tilde{A} f = g$. L'application $\tilde{A}$ est lin{\'e}aire par construction et
$$\Vert \tilde{A} f \Vert = \lim_{n\infty} \Vert Af_n \Vert \leq \lim_{n\infty}
\Vert A
\Vert \Vert f_n \Vert = \Vert A \Vert \Vert f \Vert,$$
donc $\tilde{A}$ est continue et $\Vert \tilde{A} \Vert = \Vert A \Vert$.\\
Comme $\tilde{A} f = Af$, $\forall f \in G$, on a
$$\Vert \tilde{A} \Vert = \sup_{f \in E,f\not=0} \frac{ \Vert \tilde{A} f
\Vert}{\Vert
f
\Vert} \geq \sup_{f \in G,f\not=0} \frac{ \Vert {A} f \Vert}{\Vert f \Vert} =
\Vert A
\Vert.$$
D'o{\`u} $\Vert \tilde{A} \Vert = \Vert A \Vert$. Enfin $G$ {\'e}tant dense dans $E$,
il
est
clair que $\tilde{A}$ est unique.\\
11) On applique 10) avec $E = F = L^2(\RR)$, $G = {\cal S}$ et $A = {\cal F}$. $A$
est
lin{\'e}aire et 9)b) avec $\phi = \psi$ montre que $\Vert Af \Vert^2_2 = 2\pi \Vert f
\Vert^2_2$. Donc ${\cal F}$ se prolonge {\`a} $L^2(\RR)$ en une application
lin{\'e}aire
continue (encore not{\'e}e ${\cal F}$) et $\forall f \in L^2$,
$$\Vert {\cal F}f \Vert_2 = \lim_n \Vert {\cal F}f_n \Vert_2 = \sqrt{2\pi} \lim_n
\Vert
f_n \Vert_2 = \sqrt{2\pi} \Vert f \Vert_2.$$
D'autre part, si on note $\overline{{\cal F}} (f)(\xi) = \int e^{ix\xi} f(x) dx$,
on a
montr{\'e} en 7) que $\forall f \in {\cal S}$, $\frac{1}{2\pi} \overline{{\cal F}}o
{\cal
F} (f) = f$. Si $\tilde{f}(x) = f(-x)$, on remarque que $\forall f \in {\cal S}$,
$\overline{{\cal F}}(f) = {\cal F}(\tilde{f})$ et que $\frac{1}{2\pi} {\cal
F}o{\cal
F}(\tilde{f}) = f = \frac{1}{2\pi} {\cal F}o\overline{{\cal F}}(f)$. Donc
$\frac{1}{2\pi} \overline{{\cal F}}$ qui se prolonge {\`a} $L^2$ de la m{\^e}me
mani{\`e}re
que ${\cal F}$ v{\'e}rifie : $\forall f \in {\cal S}$,\\
$\frac{1}{2\pi} \overline{{\cal F}}o {\cal F} (f) = f = {\cal F}o\frac{1}{2\pi}
\overline{{\cal F}}(f)$. Par densit{\'e} de ${\cal S}$ dans $L^2$ et continuit{\'e} de
ces
deux applications, on en d{\'e}duit que $\forall f \in L^2$, $\frac{1}{2\pi}
\overline{{\cal F}}o {\cal F} (f) = f = {\cal F}o\frac{1}{2\pi} \overline{{\cal
F}}(f)$
donc ${\cal F}^{-1} = \frac{1}{2\pi} \overline{{\cal F}}$ et ${\cal F}$ est bien un
isomorphisme d'espaces de Banach.


\section{Chapitre VII}
{ \bf Exercice 1}
\\ \\
1) Soit $(f_n)_n$ une suite de Cauchy dans $E$ alors $(f_n)_n$ est une suite de
Cauchy
dans $L^1$ et $L^2$. Donc $\exists f \in L^1$, $\exists g \in L^2$ telles que $f_n
\longrightarrow f$ dans $L^1$ et $f_n \longrightarrow g$ dans $L^2$. En utilisant
la
"r{\'e}ciproque" du Th{\'e}or{\`e}me de convergence domin{\'e}e, on en d{\'e}duit qu'il
existe
une sous-suite $(f_{n_k})_{k}$ telle que $f_{n_k} \longrightarrow f$ p.p. et
$f_{n_k}
\longrightarrow g$ dans $L^2$, donc il existe une sous-suite $(f_{n_{k_l}})_{l}$
telle
que $f_{n_{k_l}} \longrightarrow g$ p.p. D'o{\`u} $f=g$ p.p. et $f_n \longrightarrow
f$
dans $E$, donc $E$ est un espace de Banach.\\
En appliquant l'in{\'e}galit{\'e} de H{\"o}lder, on obtient
$$\vert \int_{\RR} f(x) u(x) dx \vert \leq \Vert f_1 \Vert_{\infty} \Vert u \Vert_1
+
\Vert f_2 \Vert_2 \,\Vert u \Vert_2 \leq (\Vert f_1 \Vert_{\infty}+\Vert f_2
\Vert_2)\,
\Vert u \Vert.$$
Donc $u \mapsto \int fu dx \in \Ep$.\\
2) Soit $0 < \alpha < \frac{1}{2}$, on peut toujours {\'e}crire
$$\int_{\RR} \frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}}\, u dx = \int_{[\vert x \vert > M]}
\frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}}\, u dx + \int_{[\vert x
\vert \leq M]} \frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}}\, u dx.$$
Soient $f_1(x) = \frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}} \ind_{[\vert x \vert > M]}$ et
$f_2(x) = \frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}} \ind_{[\vert x \vert \leq M]}$, alors
$\alpha > 0 \Longrightarrow f_1 \in \Linf(\RR)$ et $2\alpha < 1 \Longrightarrow f_2
\in L^2(\RR)$. La question 1) permet alors de conclure.\\
3) $K$ est {\'e}videmment convexe, montrons qu'il est ferm{\'e}. Soit $(u_n)_n \subset
K$
telle que $u_n \longrightarrow u$ dans $E$, alors $u_n \longrightarrow u$ dans
$L^1$
donc $\int u_n \longrightarrow \int u$ et on en d{\'e}duit que $\int u \leq 1$. La
convergence dans $L^1$ implique aussi qu'il existe une sous-suite $(u_{n_k})_{k}$
telle que $u_{n_k} \longrightarrow u$ p.p. donc $u \geq 0$ p.p. et on en conclut
que
$u
\in K$. Donc $K$ est ferm{\'e}.\\
4) Posons $K_0 = \{ u \in L^2 : u \geq 0 \,\mbox{p.p.} \}$ alors $K_0$ est un
convexe
ferm{\'e} fort de $L^2$ donc ferm{\'e} faible de $L^2$, donc $u \in K_0$. Il reste {\`a}
montrer que $u \in L^1$ et $\int u \leq 1$.\\
Soit $A$ un ensemble mesurable de mesure finie (notation $\vert A \vert < \infty$),
alors $\ind_A \in L^2$ et $u_n \rightharpoonup u$ dans $L^2$ faible
$\Longrightarrow$
$\int \ind_A u_n \longrightarrow \int \ind_A u$. Or $\int \ind_A u_n \leq \int u_n
\leq
1$ donc $\forall A$ tel que $\vert A \vert < \infty$, $\int_A u \leq 1$. Pour
passer
{\`a} $\RR$ tout entier, on utilise le lemme de Fatou.\\
Soit $v_n = \ind_{(-n,n)} u$ alors $v_n \in L^1$, $v_n \geq 0$ p.p., $v_n
\longrightarrow u$ p.p. et $\sup_n \int v_n \leq 1$, donc par le lemme de Fatou, on
en
d{\'e}duit que $u \in L^1$ et $\int u \leq \liminf \int v_n \leq 1$. Donc $u \in
K$.\\
5) Soit $M>0$, alors
\begin{eqnarray*}
\vert  \int_{\RR} \frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}} \,(u_n - u) \vert &\leq& \vert
\int_{[\vert x \vert \leq M]} \frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}} \,(u_n - u) \vert +
\vert \int_{[\vert x \vert > M]} \frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}}\, (u_n - u)
\vert,\\
&\leq& \vert \int_{[\vert x \vert \leq M]} \frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}}\, (u_n
-
u) \vert + \frac{1}{M^{\alpha}} (\Vert u_n \Vert_1 + \Vert u \Vert_1),\\
&\leq& \vert \int_{[\vert x \vert \leq M]} \frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}}\, (u_n
-
u) \vert + \frac{2}{M^{\alpha}},
\end{eqnarray*}
puisque $u_n,u \in K$. \\
Comme $u_n$ converge faiblement vers $u$ dans $L^2$, $$\int_{[\vert x \vert \leq
M]}
\frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}}\, (u_n - u) \longrightarrow 0.$$
Donc en prenant la lim sup sur $n$, on obtient
$$\limsup \vert  \int_{\RR} \frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}} \,(u_n - u) \vert \leq
\frac{2}{M^{\alpha}},$$ et ceci $\forall M>0$. En faisant tendre $M$ vers
$+\infty$, on
a $\limsup \vert  \int \frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}} \,(u_n - u) \vert = 0$
d'o{\`u}
$$\int \frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}}\, u_n \longrightarrow \int \frac{1}{\vert x
\vert^{\alpha}}\, u.$$
6) On peut {\'e}crire, par exemple, pour $u \in K$,
$$\int_{\RR} \frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}}\, u = \int_{[\vert x \vert \leq 1]}
\frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}}\, u + \int_{[\vert x \vert > 1]} \frac{1}{\vert x
\vert^{\alpha}}\, u \leq {\cal C}_0\,\Vert u \Vert_2 + \Vert u \Vert_1 \leq
{\cal C}_0\,\Vert
u
\Vert_2 + 1,$$
o{\`u} ${\cal C}_0 = \Vert \ind_{[\vert x \vert \leq 1]} \frac{1}{\vert x
\vert^{\alpha}}
\Vert_2$. Alors pour $u \in K$, on a
$$J(u) \geq \Vert u \Vert_2^2 - {\cal C}_0\,\Vert u \Vert_2 - 1 \geq C,$$
o{\`u} $C$ est une constante ind{\'e}pendante de $u \in K$. (Par exemple $C =
-(1+\frac{{\cal C}_0^2}{4})$ convient.)\\
7) Soit $(u_n)_n \subset K$, une suite minimisante, par exemple telle que $m \leq
J(u_n) \leq m + \frac{1}{n}$. D'apr{\`e}s la question 6), on a
$$\Vert u_n \Vert_2^2 - {\cal C}_0\,\Vert u_n \Vert_2 - 1 \leq J(u_n) \leq
m+1,\quad
\forall
n,$$
donc n{\'e}cessairement $\Vert u_n \Vert_2$ reste born{\'e}e, donc $\exists M_0$ tel
que
$\forall n$, $\Vert u_n \Vert_2 \leq M_0$ alors $\Vert u_n \Vert \leq M_0 + 1$.\\
8) La suite $(u_n)_n$ est born{\'e}e dans $L^2$ r{\'e}flexif, donc il existe une
sous-suite $(u_{n_k})_{k}$ telle que $u_{n_k} \rightharpoonup u$ dans $L^2$ faible
et
$u_{n_k} \in K$. Alors la question 4) montre que $u \in K$ et la question 5) montre
que $\int \frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}} u_{n_k} \longrightarrow \int
\frac{1}{\vert
x \vert^{\alpha}} u$. \\
D'autre part,
$$J(u_{n_k}) \leq m + \frac{1}{n_k}\;\;\mbox{donc}\;\; \Vert u_{n_k} \Vert_2^2 \leq
m
+ \frac{1}{n_k} + \int \frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}} u_{n_k}.$$
On prend les lim inf dans cette in{\'e}galit{\'e}, on obtient $\liminf \Vert u_{n_k}
\Vert_2^2 \leq m + \int \frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}} u$. Comme $\Vert \;
\Vert_2^2$ est s.c.i. faible, on a $\Vert u \Vert_2^2 \leq \liminf \Vert u_{n_k}
\Vert_2^2$, donc finalement $\Vert u \Vert_2^2 \leq m + \int \frac{1}{\vert x
\vert^{\alpha}} u$, soit $J(u) \leq m$. D'o{\`u} $J(u) = m$.\\
9) La r{\'e}ponse est non. En effet supposons $E$ r{\'e}flexif. Soit $f_n =
\ind_{(n,n+1)}$ alors $\Vert f_n \Vert_1 = \Vert f_n \Vert_2 = 1$ donc $\Vert f_n
\Vert = 2$. Si $E$ est r{\'e}flexif alors il existe une sous-suite $(f_{n_k})_{k}$
telle
que $f_{n_k} \rightharpoonup f$ dans $E$ faible.\\
Soit $g \equiv 1$ alors $g \in \Linf(\RR)$ et $u \mapsto \int gu \in \Ep$ donc $ 1
=
\int f_{n_k} \longrightarrow \int f$, d'o{\`u} $\int f = 1$.\\
Soit $g \in {\cal C}_c(\RR)$ alors $u \mapsto \int gu \in \Ep$ et $\int g f_{n_k}
\longrightarrow \int gf$. Or, $\exists N$ tel que supp$(g) \subset
\overline{B}(0,N)$
et si $k \geq k_0$, $n_k > N$, donc $f_{n_k} \equiv 0$ sur supp$(g)$ et $\int g
f_{n_k} = 0$, ceci pour tout $k \geq k_0$. On en d{\'e}duit que $\int fg = 0$,
$\forall
g \in {\cal C}_c(\RR)$ donc $f = 0$ p.p. or $\int f = 1$, c'est absurde.
\\ \\
{ \bf Exercice 2}
\\ \\
On pose $K = \{ u \in L^p(\Om);\, u \geq f\,p.p.\,\}$.\\
1) $K$ est convexe ferm{\'e} fort donc ferm{\'e} faible.\\
2) a) Posons $K_{\vfi} = \{ u \in L^{\infty}(\Om) : \int_{\Om} u\vfi \geq
\int_{\Om} f\vfi \}$ o{\`u} $\vfi \in L^1$, $\vfi \geq 0$ p.p. et est telle que
$f\vfi
\in L^1$.\\
Soit $K_0 = \bigcap_{\vfi \in \Phi} K_{\vfi}$ o{\`u} l'intersection est prise sur
l'ensemble $\Phi = \{ \vfi \in L^1,\,\vfi \geq 0,\,f\vfi \in L^1 \}$. \\
Montrons que $K = K_0$. Il est clair que $K \subset K_0$. Soit donc $u \in K_0$,
alors $\forall \vfi \in L^1$ telles que $\vfi \geq 0$ p.p. et  $f\vfi \in L^1$,
on
a $\int u \vfi \geq \int f \vfi$.\\
Soit $\Om_n = \{ x : \vert f(x) \vert < n \}$ et soit $E = \{ x : u(x) < f(x)
\}$,
on
va montrer que $\vert E \vert = 0$.\\
Supposons d'abord $\vert \Om \vert < \infty$.\\
On a $\Om = \bigcup_n\! \!\uparrow\!\Om_n$. Soit $\vfi = \ind_{E\cap \Om_n}$,
alors
$\vfi
\in L^1(\Om)$ car $\vert \Om \vert < \infty$, $\vfi \geq 0$ p.p. et $f\vfi \in
L^1$
car $\vert f \vert < n$. Alors
$$\int_{E\cap \Om_n} (u - f) \vfi = \int_{\Om} (u - f) \vfi \geq 0.$$
Or $u-f < 0$ sur $E\cap \Om_n$ donc n{\'e}cessairement $\vert E\cap \Om_n \vert =
0$
et ceci $\forall n$, donc $E = \cup_n (E\cap \Om_n)$ est n{\'e}gligeable.\\
Si $\vert \Om \vert = + \infty$, alors $\Om = \cup_k \!\!\uparrow\! \om_k$ o{\`u}
$\om_k
=
\Om \cap B(0,k)$. On se restreint donc {\`a} $\om_k$, $\vert \om_k \vert < \infty$
et
$E = \bigcup_{n,k} E_{n,k}$ o{\`u} $E_{n,k} = E\cap \Om_n \cap \om_k$.\\
Soit $\vfi = \ind_{E_{n,k}}$ alors comme tout {\`a} l'heure, $\vfi \in L^1(\Om)$,
$\vfi \geq 0$ p.p., $f\vfi \in L^1$ et on montre de la m{\^e}me fa{\c c}on que
ci-dessus que $E_{n,k}$ est n{\'e}gligeable. Donc $E$ est n{\'e}gligeable comme
union
d{\'e}nombrable d'ensembles n{\'e}gligeables. On en conclut que $u \in K$ d'o{\`u} $K
=
K_0$.\\
b) Si $\vfi \in L^1$, $u \mapsto \int u\vfi$ est continue sur $\linf$ pour la
topologie faible $\star$ donc $K_{\vfi}$ est ferm{\'e} faible $\star$ et $K =
\bigcap_{\vfi \in \Phi} K_{\vfi}$ est ferm{\'e} faible $\star$.\\
c) Les boules ferm{\'e}es sont compactes faible $\star$ et $K \subset
\overline{B}(0,
\Vert f_1 \Vert_{\infty} + \Vert f_2 \Vert_{\infty})$ donc $K$ est compact
faible
$\star$.\\
\\ \\
{ \bf Exercice 3}
\\ \\
Soit $\ep>0$, $\exists g \in {\cal C}_c^{\infty}(\RR)$ telle que $\Vert f-g
\Vert_1
\leq \ep$ et supp$(g) \subset K$ compact fixe. On peut {\'e}crire
$$\Vert \tau_{y_1}f - \tau_{y_2} f \Vert _1 \leq \Vert \tau_{y_1}f - \tau_{y_1}g
\Vert _1 + \Vert \tau_{y_1}g - \tau_{y_2}g \Vert _1 + \Vert \tau_{y_2}g -
\tau_{y_2}
f \Vert _1.$$
L'invariance de la mesure de Lebesgue par translation entraine que $\Vert
\tau_{y}f
- \tau_{y}g \Vert_1 = \Vert f-g \Vert_1$, $\forall y$, donc on obtient
$$\Vert \tau_{y_1}f - \tau_{y_2} f \Vert _1 \leq 2\ep + \Vert \tau_{y_1}g -
\tau_{y_2}g \Vert _1.$$
La fonction $g$ {\'e}tant uniform{\'e}ment continue, $\exists \delta>0$ (on peut
supposer $\delta \leq 1$), tel que $\forall x$,\\
$\forall \vert y_1 - y_2 \vert \leq
\delta$, $\vert g(x-y_1) - g(x-y_2) \vert \leq \frac{\ep}{C}$ o{\`u} $C = \vert
K+\overline{B}(0,1)\vert$. Alors
$$\int_{\RR} \vert \tau_{y_1}g - \tau_{y_2}g \vert dx =
\int_{K+\overline{B}(0,1)} \vert g(x+y_2-y_1)-g(x) \vert dx \leq \ep.$$
(Si $x \not\in K+\overline{B}(0,1)$, alors $x \not\in K$ et $\forall \vert y_1 -
y_2
\vert \leq \delta$, $x+y_2-y_1 \not\in K+\overline{B}(0,\delta)$ donc
l'int{\'e}grale
ci-dessus est nulle.)
\\ \\
{ \bf Exercice 4}
\\ \\
1) Par la propri{\'e}t{\'e} d'absolue continuit{\'e}, on sait que si $\ep>0$, $\exists
\delta>0$ tel que $\forall A$ mesurable $\subset \Om$
avec
$\vert A \vert \leq \delta$, on ait $\int_A \vert f \vert^p \leq \ep$.\\
Pour ce $\delta$, on applique le Th{\'e}or{\`e}me d'Egoroff, comme $f_n
\longrightarrow
f$ p.p., $\exists A$ mesurable $\subset \Om$ tel que $\vert A \vert \leq \delta$
et
$f_n \longrightarrow f$ uniform{\'e}ment sur $\Om \setminus A$. Donc,
$$\int_{\Om \setminus A} \vert f_n -f \vert^p \leq \vert \Om \setminus A \vert
\Vert
f_n -f \Vert_{L^{\infty}(\Om \setminus A)} \longrightarrow 0,$$
puisque $\vert \Om \setminus A \vert < \infty$.
$$\int_A \vert f_n -f \vert^p \leq 2^p \int_A \vert f_n \vert^p + 2^p \int_A
\vert f
\vert^p \leq 2^p \int_A \vert f_n \vert^p + 2^p \ep.$$
Mais,
$$\int_A \vert f_n \vert^p = \int_{\Om} \vert f_n \vert^p - \int_{\Om \setminus
A}
\vert f_n \vert^p,$$
avec $\int_{\Om} \vert f_n \vert^p \longrightarrow \int_{\Om} \vert f \vert^p$
par
hypoth{\`e}se et $\int_{\Om \setminus A} \vert f_n \vert^p \longrightarrow
\int_{\Om
\setminus A} \vert f \vert^p$ car il y a convergence uniforme sur $\Om \setminus
A$.
Donc $\int_A \vert f_n \vert^p \longrightarrow \int_A \vert f \vert^p \leq \ep$.
D'o{\`u} pour $n$ assez grand $\int_A \vert f_n \vert^p \leq 2\ep$ et $\int_{\Om
\setminus A} \vert f_n -f \vert^p \leq \ep$, on en d{\'e}duit que $\int_{\Om}
\vert
f_n -f \vert^p \leq 2^p(2\ep) + 2^p \ep + \ep$. \\
Remarque : \\
Sans supposer $\Om$ born{\'e}, on peut d{\'e}montrer ce r{\'e}sultat de la fa{\c c}on
suivante :\\
Soit $g_n = \alpha_p (\vert f \vert^p + \vert f_n \vert^p) - \vert f-f_n
\vert^p$ o{\`u} $\alpha_p = 2^{p-1}$, on lui applique le lemme de Fatou et on
obtient $\limsup \Vert f-f_n \Vert_p^p \leq 0$ d'o{\`u} la convergence dans
$L^p$.\\
2) Soit $\vfi \in L^{p^\prime}$, on veut montrer que $\int_{\Om} (f_n-f) \vfi
\longrightarrow 0$.\\
Soit $\ep>0$, $\exists \delta>0$ tel que $\forall A$ mesurable $\subset \Om$
avec
$\vert A \vert \leq \delta$, on ait $\Vert \vfi \Vert_{L^{p^{\prime}}(A)} \leq
\ep$
et par le Th{\'e}or{\`e}me d'Egoroff, $\exists A$ mesurable $\subset \Om$ tel que
$\vert
A \vert \leq \delta$ et $f_n \longrightarrow f$ uniform{\'e}ment sur $\Om
\setminus A$.
Alors
$$\int_{\Om \setminus A} \vert f_n -f \vert \vert \vfi \vert \leq \Vert f_n -f
\Vert_{L^{\infty}(\Om \setminus A)} \Vert \vfi \Vert_{p^{\prime}} \vert \Om
\setminus
A
\vert^{\frac{1}{p}} \leq \ep,$$
si $n$ est assez grand. D'autre part,
$$\int_A \vert f_n -f \vert \vert \vfi \vert \leq \Vert f_n -f \Vert_p\, \ep
\leq (C+
\Vert f \Vert_p) \ep.$$
Donc pour $n$ assez grand, $\vert \int_{\Om} (f_n - f) \vfi \vert \leq \ep + (C+
\Vert f \Vert_p) \ep$ donc $f_n \rightharpoonup f$ dans $L^p$ faible.\\
3) Soit $f_n = n \ind_{(0,\frac{1}{n})}$ alors $f_n \longrightarrow 0$ p.p. et
$\Vert f_n \Vert_1 = 1$. Si $f_n$ converge faiblement vers $0$ alors $\forall
\vfi
\in L^{\infty}$, $\int_0^1 f_n \vfi \longrightarrow 0$, or pour $\vfi \equiv 1$, on
a
$\int f_n \vfi = 1$, c'est absurde.
\\ \\
{ \bf Exercice 5}
\\ \\
Premi{\`e}re partie :\\
1) Comme $\Om$ est born{\'e}, on peut recouvrir $\Om$ par un nombre fini de boules
de
mesure $< \delta$ o{\`u} $\delta$ correspond {\`a} $\ep = 1$ par exemple.\\
2) On suppose que que $(f_n)_n$ est {\'e}qui-int{\'e}grable. Soient $\ep>0$ et
$\delta>0$
donn{\'e}s par l'{\'e}qui-int{\'e}grabilit{\'e}, on a
$$\mbox{mes}[\vert f_n \vert > k ] \leq \frac{1}{k} \int_{\Om} \vert f_n \vert
\leq
\frac{1}{k} \sup_n \Vert f_n \Vert_1 \leq \frac{C}{k},$$
par 1). Et $\exists k_0$ tel que $\forall k \geq k_0$, $\frac{C}{k} < \delta$
alors
$\forall n$,
$$\int_{[\vert f_n \vert > k]} \vert f_n \vert < \ep,\;\;\forall k \geq k_0.$$
D'o{\`u} le r{\'e}sultat.\\
On suppose maintenant que
$$\lim_{k \rightarrow +\infty} (\sup_{n \geq 1} \int_{[\vert f_n \vert > k]}
\vert
f_n
\vert dx) = 0.$$
Soit $\ep>0$ donn{\'e}, alors
\begin{eqnarray*}
\int_E \vert f_n \vert &=& \int_{E\cap [\vert f_n \vert > k]} \vert f_n \vert +
\int_{E\cap [\vert f_n \vert \leq k]} \vert f_n \vert,\\
&\leq& \int_{[\vert f_n \vert > k]} \vert f_n \vert + k \vert E \vert.
\end{eqnarray*}
On fixe $k = k_0$ tel que $\forall n \geq 1$, $\int_{[\vert f_n \vert > k_0]}
\vert
f_n \vert < \frac{\ep}{2}$ et on choisit $\delta = \frac{\ep}{2k_0}$ alors
$\vert E
\vert < \delta$ $\Longrightarrow$ $\int_E \vert f_n \vert < \ep$, $\forall n
\geq
1$.\\
3) Soit $\ep>0$ donn{\'e}, l'ensemble $\{f_n, n\geq 1\}$ {\'e}tant relativement
compacte
dans $L^1(\Om)$, est inclus dans une union finie de boules de centre $g_i$ et de
rayon $\frac{\ep}{2}$. Donc si $f_n \in B(g_i,\frac{\ep}{2})$ alors
\begin{eqnarray*}
 \int_E \vert f_n \vert &\leq& \Vert f_n - g_i \Vert_1 + \int_E \vert g_i
\vert,\\
 &<& \frac{\ep}{2} + \int_E \vert g_i \vert.
\end{eqnarray*}
Or l'ensemble fini des $g_i$ est {\'e}qui-int{\'e}grable (il suffit d'appliquer la
propri{\'e}t{\'e} d'absolue continuit{\'e} {\`a} $g = \sum \vert g_i \vert$)
donc
$\exists \delta > 0$ tel que $\forall \vert E \vert < \delta$,
$$ \int_E \vert f_n \vert \leq \frac{\ep}{2} + \int_E \vert g_i \vert < \ep.$$
Deuxi{\`e}me partie :\\
1) X est ferm{\'e} car si $\ind_{A_n} \rightarrow f$ dans $L^1$ alors pour une
sous-suite, $\ind_{A_{n_k}} \rightarrow f$ p.p. Maintenant si $A = \{x : f(x) = 1
\}$
alors $f = \ind_A$ donc $f \in X$.\\
Les applications $\ind_A \mapsto \int_A f_k dx$ sont continues sur $X$ donc $X_n$
est
ferm{\'e}. Enfin $\forall A \subset \Om$ mesurable, $\lim_n \int_A f_n = 0$
$\Longrightarrow$ $X = \cup_n X_n$. On peut donc appliquer le lemme de Baire et
$\exists n_0$, $\exists R>0$, $\exists \ind_{A_0} \in X_{n_0}$ tels que si $\ind_A
\in X$ et $\Vert \ind_A - \ind_{A_0} \Vert_{L^1} < R$ alors $\forall k \geq n_0$,
$\vert \int_A f_k \vert \leq \ep$.\\
Soit donc $E$ mesurable, $E \subset \Om$ avec $\vert E \vert < R$, posons $E_k = E
\cap [f_k \geq 0]$ alors $A = A_0 \cup E_k$ v{\'e}rifie $\Vert \ind_A - \ind_{A_0}
\Vert_{L^1} < R$ donc
$$\vert \int_{A_0 \cup E_k} f_k \vert \leq \ep.$$
De m{\^e}me, si $A = A_0 \setminus E_k$ alors $\Vert \ind_A - \ind_{A_0} \Vert_{L^1}
<
R$ et
$$\vert \int_{A_0 \setminus E_k} f_k \vert \leq \ep.$$
Or $\int_{E_k} f_k = \int_{A_0 \cup E_k} f_k + \int_{A_0 \setminus E_k} f_k$ donc
$$\vert \int_E f_k^+ \vert = \vert \int_{E_k} f_k \vert \leq 2 \ep.$$
On montre de la m{\^e}me fa{\c c}on, en consid{\`e}rant $E_K = E \cap [f_k \leq 0]$, que
$$\vert \int_E f_k^- \vert \leq 2 \ep.$$
D'o{\`u}, $\forall k \geq n_0$, $\int_E \vert f_k \vert \leq 4 \ep$. En utilisant de
nouveau le fait que $\{f_1,...,f_{n_0}\}$ est {\'e}qui-int{\'e}grable, on conclut.\\
2) La suite $(f_n - f)_n$ v{\'e}rifie les hypoth{\`e}ses de la question pr{\'e}c{\`e}dente,
elle est donc {\'e}qui-int{\'e}grable. Comme $\int_E \vert f_n \vert \leq \int_E \vert
f_n - f \vert + \int_E \vert f \vert$, on conclut en utilisant la propri{\'e}t{\'e}
d'absolue continuit{\'e} appliqu{\'e}e {\`a} $\vert f \vert$.\\
3) D'apr{\`e}s ci-dessus, $(f_n - f)_n$ est {\'e}qui-int{\'e}grable. Soit $\ep>0$ fix{\'e},
et soit $\delta>0$ donn{\'e} par l'{\'e}qui-int{\'e}grabilit{\'e}. D'apr{\`e}s le
Th{\'e}or{\`e}me
d'Egoroff, $\exists A \subset \Om$ tel que $\vert A \vert < \delta$ et $f_n
\rightarrow f$ uniform{\'e}ment sur $\Om \setminus A$. Alors,
\begin{eqnarray*}
\int_{\Om} \vert f_n - f \vert &=& \int_A \vert f_n - f \vert + \int_{\Om \setminus
A} \vert f_n - f \vert,\\
 &\leq& \ep + \vert \Om \setminus A \vert \Vert f_n - f \Vert_{L^{\infty}(\Om
\setminus A)},
 \end{eqnarray*}
et pour $n$ assez grand le deuxi{\`e}me terme est plus petit que $\ep$.
\\ \\
{ \bf Exercice 6}
\\ \\
1) $f_n(x) = n^{\frac{1}{p}} e^{-nx}$ avec $1 \leq p < \infty$.\\
$f_n \rightarrow 0$ p.p. sur $]0,1[$ car par exemple $f_n \rightarrow 0$
uniform{\'e}ment
sut tout compact de $]0,1[$. On a \\
$$\int_0^1 \vert f_n \vert^p = \Vert f_n \Vert_p^p = \frac{1}{p} (1 - e^{-np})
\longrightarrow_{n\infty} \frac{1}{p}.$$
Donc la suite $(f_n)$ est born{\'e}e dans $L^p$ et $f_n \not\rightarrow 0$ dans $L^p$
car
$\Vert f_n \Vert_p^p \rightarrow \frac{1}{p} \not= 0$.\\
2) Appliquer l'in{\'e}galit{\'e} de H{\"o}lder.\\
3) Si $1<p<\infty$, $L^p$ est r{\'e}flexif et $(f_n)_n$ est born{\'e}e donc il existe
une
sous-suite $(f_{n_k})_k$ telle que $f_{n_k} \rightharpoonup f$ dans $L^p$ faible.
En
particulier, $\forall \vfi \in {\cal C}_c(]0,1[)$, $\int_0^1 f_{n_k} \vfi
\rightarrow
\int_0^1 f \vfi$. Or $f_{n_k} \rightarrow 0$ uniform{\'e}ment sur le support compact
de
$\vfi$ donc $\int_0^1 f\vfi = 0$ et ceci $\forall \vfi \in {\cal C}_c(]0,1[)$. On
en
d{\'e}duit que $f = 0$ p.p. et c'est toute la suite $f_n$ qui converge faiblement
vers
$0$ (raisonner par l'absurde).\\
Si $p=1$, supposons que la suite $f_n$ converge faiblement vers $0$ dans $L^1$
faible.
Comme $f \mapsto \int_0^1 f \in (L^1)^{\prime}$, on aurait $\int_0^1 f_n
\rightarrow 0$
or $\int_0^1 f_n \rightarrow 1$ donc c'est absurde et $f_n \not\rightharpoonup 0$
dans
$L^1$ faible.\\
Si $f_{n_k} \rightharpoonup f$ dans $L^1$ faible alors comme ci-dessus : $\forall
\vfi
\in {\cal C}_c(]0,1[)$, $\int_0^1 f_{n_k} \vfi \rightarrow \int_0^1 f \vfi$ et
$f_{n_k}
\rightarrow 0$ uniform{\'e}ment sur le support compact de $\vfi$ donc $\int_0^1 f\vfi
=
0$. On en d{\'e}duit que $f=0$ p.p. mais $\int_0^1 f_{n_k} \rightarrow 1 \not= 0$,
donc
c'est impossible.\\
On peut en conclure que $L^1(0,1)$ n'est pas r{\'e}flexif.
\section{Chapitre VIII}
{ \bf Exercice 1}
\\ \\
1) On note $\PP_2 = $vect$\{1,x,x^2\}$, c'est un espace vectoriel de dimension
finie donc ferm{\'e}. Par le Th{\'e}or{\`e}me de projection dans $L^2(-1,1)$, $\exists
! P \in \PP_2$ tel que $d(x^3,\PP_2) = \Vert x^3 -P \Vert$ et $(x^3 -P,v) = 0$,
$\forall v \in \PP_2$ o{\`u} $( , )$ d{\'e}note le produit scalaire usuel dans $L^2$.
En choisissant successivement $v=1,x,x^2$, on determine explicitement $P$ et on
trouve $P(x) = \frac{3}{5} x$ d'o{\`u} $\Vert x^3 -P \Vert^2 = \int_{-1}^1 {\vert
x^3 - \frac{3}{5} x \vert}^2 dx = \frac{8}{175}$.\\
Si $g \in \PP_2^{\perp}$ alors
\begin{eqnarray*}
(x^3,g) &=& (x^3 - q,g),\quad \forall q \in \PP_2,\\
        &\leq& d(x^3,\PP_2) \Vert g \Vert,
\end{eqnarray*}
donc finalement si $g \in \PP_2^{\perp}$ et $\Vert g \Vert = 1$ alors $(x^3,g)
\leq \Vert x^3 -P \Vert$ o{\`u} $P(x)=\frac{3}{5} x$. Soit $g_0 = \frac{x^3 -
P}{\Vert x^3 -P \Vert}$ alors $g_0 \in \PP_2^{\perp}$, $\Vert g_0 \Vert =1$ et
$(x^3,g_0)=(x^3-P,g_0)=\Vert x^3 -P \Vert=\frac{2\sqrt{2}}{5\sqrt{7}}$ donc
$$ \max \{\int_{-1}^1 x^3 g(x) dx\,:\, g \in \PP_2^{\perp}, \Vert g \Vert = 1 \}
= (x^3,g_0) = d(x^3,\PP_2).$$
2) Si $x_0 \in M$ o{\`u} M est un sous-espace vectoriel ferm{\'e} de H alors
$d(x_0,M) = \Vert x_0 - P_Mx_0 \Vert$ o{\`u} $P_Mx_0$ est la projection orthogonale
de $x_0$ sur $M$ et $(x_0-P_Mx_0,v) = 0$, $\forall v \in M$. Si $y \in
M^{\perp}$, $\Vert y \Vert = 1$ alors $(x_0,y) = (x_0 - P_Mx_0,y) \leq \Vert x_0
- P_Mx_0 \Vert$ donc
$$ \max \{ (x_0,y) : y \in M^{\perp}, \Vert y \Vert = 1 \} \leq \Vert x_0 -
P_Mx_0 \Vert = \min \{ \Vert x_0 - x \Vert, x \in M \},$$
et
$$(x_0-P_Mx_0,\frac{x_0-P_Mx_0}{\Vert x_0 - P_Mx_0 \Vert}) = (x_0, \frac{x_0 -
P_Mx_0}{\Vert x_0 - P_Mx_0 \Vert}) = \Vert x_0 - P_Mx_0 \Vert.$$
Donc le max est atteint en $y = \frac{x_0 - P_Mx_0}{\Vert x_0 - P_Mx_0 \Vert}$ et
sa valeur est {\'e}gale {\`a} $d(x_0,M)$ d'o{\`u}
$$\max \{ (x_0,y) : y \in M^{\perp}, \Vert y \Vert = 1 \} = \min \{ \Vert x_0 - x
\Vert, x \in M \}.$$
\\ \\
{ \bf Exercice 2}
\\ \\
1) $(S,\Vert\,\Vert_1)$ est un Banach et on veut montrer que $i :
(S,\Vert\,\Vert_1)
\longrightarrow \Linf$ est continue, pour cela on utilise le Th{\'e}or{\`e}me du
graphe
ferm{\'e}. Soit $f_n \longrightarrow f$ dans $(S,\Vert\,\Vert_1)$ et $f_n
\longrightarrow g$ dans $\linf$, a-t'on $f=g$ p.p. ? oui, car il existe une
sous-suite de $f_n$ qui converge p.p. vers $f$.\\
D'autre part, on a $\Vert f \Vert_1 \leq \Vert f \Vert_2$ donc $S$ est ferm{\'e}
dans
$L^2$ et $\Vert f \Vert_{\infty} \leq M \Vert f \Vert_2$.\\
2)On vient de voir que $(S,\Vert\,\Vert_2)$ est un espace de Hilbert. On
consid{\`e}re
la fonction $f_c(x) = \sum_1^n c_i \Phi_i(x)$ o{\`u} $c=(c_i)_i \in B=
\overline{B}(0,1)$ alors $f_c \in S$ et $\Vert f_c \Vert_2^2 = \sum_i \vert c_i
\vert^2 \leq 1$, $\forall c \in B$. Donc $\forall c \in B$, $\Vert f_c
\Vert_{\infty} \leq M$. Soit $D$ une partie d{\'e}nombrable et dense dans $B$.
Comme
$D$ est d{\'e}nombrable, $\exists \Om^{\prime} \subset \Om$ tel que
$\mu(\Om^{\prime})=1$ et tel que $\forall x \in \Om^{\prime}$, $\forall c \in
D$,
$\vert f_c(x) \vert \leq M$.\\
Pour $x$ fix{\'e} dans $\Om^{\prime}$, $c \mapsto f_c(x)$ est continue sur $B$, et
par
 densit{\'e} de $D$ dans $B$, on a \\
 $\vert f_c(x) \vert \leq M$, $\forall c \in B$ et
$\forall x \in \Om^{\prime}$. En choisissant convenablement $c$, on peut
facilement
montrer que $\sup_{c \in B} \vert f_c(x) \vert = (\sum_1^n \vert \Phi_i(x)
\vert^2)^{\frac{1}{2}}$. Donc
$$\forall x \in \Om^{\prime},\quad \sum_1^n \vert \Phi_i(x) \vert^2 \leq M^2.$$
On int{\`e}gre cette in{\'e}galit{\'e} et on obtient $n \leq M^2$. Donc
n{\'e}cessairement
dim$S < \infty$.
\\ \\
{ \bf Exercice 3} Base de Haar
\\ \\
$$H_k^l (x) = 2^{\frac{l}{2}} H(2^l x - k),\quad l,k \in \ZZ.$$
1) Le support de $H_k^l$ est $I_k^l = [\frac{k}{2^l}, \frac{k+1}{2^l}]$. Donc si
$l=l^{\prime}$ et $k \not= k^{\prime}$, les supports de $H_k^l$ et
$H_{k^{\prime}}^{l^{\prime}}$ sont disjoints donc $(H_k^l,
H_{k^{\prime}}^{l^{\prime}})_{L^2} = 0$. Si $l\not=l^{\prime}$, par exemple
$l>l^{\prime}$ alors $H_{k^{\prime}}^{l^{\prime}}$ est constante sur les
intervalles dyadiques de longueur $2^{-l^{\prime}-1}$ donc est constante sur le
support de $H_k^l$. Comme $H_k^l$ est de moyenne nulle, on en d{\'e}duit que
$(H_k^l, H_{k^{\prime}}^{l^{\prime}})_{L^2} = 0$. Enfin $\Vert H_k^l
\Vert_{L^2}^2 = 2^l \int_{I_k^l} 1 dx = 1$. Donc $(H_k^l)_{l,k}$ forme un
syst{\`e}me orthonormal de $L^2(\RR)$.\\
2) Il y a
\begin{eqnarray*}
1 & \mbox{fonction constante par morceaux sur les intervalles de longueur}&
\frac{1}{2},\\
1+2 &.............................................. & \frac{1}{4},\\
... &.............................................. &..,\\
1+2+...+2^{j-1}&..............................................& \frac{1}{2^j}.
\end{eqnarray*}
Donc card($S_j$)$=2^j-1$. Or $W_j$ est un espace de codimension 1 dans un espace
de dimension $2^j$, l'espace des fonctions constantes par morceaux sur les
intervalles dyadiques de longueur $2^{-j}$, donc le syst{\`e}me $S_j$ forme une
base de $W_j$.\\
3) Les fonctions indicatrices des intervalles dyadiques sont denses dans
$L^2(0,1)$ donc $\{1, H_k^l, l \geq 0, k=0,...,2^l-1 \}$ forme une base
orthogonale de $L^2(0,1)$. Si on enl{\`e}ve la fonction {\'e}gale {\`a} 1, les $H_k^l$
forment une base orthogonale de $\{f \in L^2(0,1),$ f {\`a} moyenne nulle $\}$, et
par sym{\'e}trie par rapport {\`a} $0$ et dilatations, les $H_k^l$, $l \geq -j$, $k=
-2^l,...,2^l-1$ forment une base orthogonale des fonctions de $L^2(-2^l,2^l)$
d'int{\'e}grale nulle sur $[-2^j,0]$ et $[0,2^j]$.\\
3) Soit maintenant $f \in L^2(\RR)$, comme les fonctions {\`a} supports compacts sont
denses dans $L^2$, on peut supposer que $f$ est {\`a} support compact. On d{\'e}coupe
$f$
en $f= \ind_{(0,+\infty)} f + \ind_{(-\infty,0)} f$. Soit $g = \ind_{(0,+\infty)}
f$
alors $g$ est {\`a} support compact dans $\RR^+$, soit $[0,A]$ son support alors $A
\leq
2^j$ pour un $j$. On connait une base de $L^2(0,2^j)$ en ajoutant aux $H_k^l$ la
fonction $e_1= 2^{-\frac{j}{2}} \ind_{(0,2^j)}$ donc $g= (g,e_1) e_1 + \sum_{i \geq
2}
(g,e_i) e_i$ o{\`u} les $e_i$ pour $i \geq 2$ sont les $H_k^l$. Alors $\Vert g -
\sum_{i
\geq 2} (g,e_i) e_i \Vert_2 = \vert (g,e_1) \vert$. Montrons que pour $\ep > 0$ on
peut choisir $j$ tel que $\vert (g,e_1) \vert \leq \ep$. On a
$$\vert (g,e_1) \vert = \vert \int_0^A 2^{-\frac{j}{2}} g(x) dx \vert \leq
2^{-\frac{j}{2}} \Vert g \Vert_2 \sqrt{A},$$
et on veut rendre ce terme plus petit que $\ep$, il est clair que c'est vrai pour
$j$
assez grand. On raisonne de la m{\^e}me fa{\c c}on pour le terme $\ind_{(-\infty,0)}
f$,
donc on approxime arbitrairement bien toute fonction {\`a} support compact et par
densit{\'e} toute fonction de $L^2(\RR)$.
\\ \\
{\bf Exercice 4}
\\ \\
1) Pour montrer que $(x,2y)=2(x,y)$, on applique l'identit{\'e} du parall{\'e}logramme
avec
$a=x+y$ et $b=y$.\\
2) On forme $(1)-(2)+(3)$.\\
3) Il est facile de voir que $(nx,y) = n(x,y)$ si $n \in \ZZ$. Si $p,q \in \ZZ$
avec
$q
\not= 0$, alors $p(x,y)=(px,y)=(\frac{pq}{q}x,y)=pq(\frac{1}{q}x,y)$ donc
$(\frac{1}{q}x,y)=\frac{1}{q}(x,y)$ et on en d{\'e}duit que
$(\frac{p}{q}x,y)=\frac{p}{q}(x,y)$. Enfin, par d{\'e}finition de $(\,,\,)$,
l'application $\lambda \mapsto (\lambda x,y)$ est continue donc on conclut
ais{\'e}ment.
\\ \\
{\bf Exercice 5}
\\ \\
1) Il suffit de voir que $\forall n$, $\int_0^{\infty} x^n w(x) dx < \infty$.\\
On pose $u = \log x$ alors
$$\int_0^{\infty} x^n w(x) dx = \int_{\RR} e^{(n+1)u} e^{-u^2} du < \infty.$$
2) Avec le m{\^e}me changement de variable, on montre que $f \in L^2_w(0,+\infty)$,
et
$\forall n \geq 0$,
\begin{eqnarray*}
\int_0^{\infty} x^n f(x) w(x) dx & = & \int_{\RR} e^{(n+1)u} e^{-u^2} \sin(2\pi u)
du,\\
 & = & e^{\left(\frac{n+1}{2}\right)^2} \int_{\RR} \sin(2\pi u) e^{-(u -
\frac{n+1}{2})^2} du,\\
  & = & (-1)^{n+1}e^{\left(\frac{n+1}{2}\right)^2} \int_{\RR} \sin(2\pi u) e^{-u^2}
du = 0,
  \end{eqnarray*}
car la fonction int{\'e}gr{\'e}e est impaire. Donc $(f,p) = 0$, $\forall p \in \PP$. Si
$\PP$ est dense dans $L^2_w(0,+\infty)$, on en d{\'e}duit que $f \equiv 0$ ce qui est
absurde.
\\ \\
{\bf Exercice 6}
\\ \\
On note ${\cal V} = \bigcup_n V_n$.\\
1) $V$ est un Hilbert et $a$ v{\'e}rifie les hypoth{\`e}ses du Th{\'e}or{\`e}me de
Lax-Milgram,
donc il existe un unique $u$ dans $V$ tel que $a(u,v) = \ell(v)$, $\forall v \in
V$.
Et,
$\alpha \Vert u \Vert^2 \leq a(u,u) \leq \Vert \ell \Vert \Vert u \Vert$
$\Longrightarrow$ $\Vert u \Vert \leq \frac{1}{\alpha} \Vert \ell
\Vert_{V^{\prime}}$.\\
2) $V_n$ est ferm{\'e} dans $V$ donc Lax-Milgram s'applique et il existe un unique
$u_n
\in V_n$ tel que $\forall v_n \in V_n$, $a(u_n,v_n) = \ell(v_n)$ et comme en 1), on
montre que $\Vert u_n \Vert \leq \frac{1}{\alpha} \Vert \ell \Vert_{V^{\prime}}$.
$V$
est r{\'e}flexif, donc il existe une sous-suite $(u_{n_k})_k$ telle que $u_{n_k}
\rightharpoonup u\star$ dans $V$ faible.\\
3) Soit $n_0$ fix{\'e}, comme $V_{n_0} \subset V_n$, $\forall n \geq n_0$, on a
$a(u_n,v)
= \ell(v)$, $\forall v \in V_{n_0}$. Or $a(.,v) \in V^{\prime}$ donc $a(u_{n_k},v)
\rightarrow a(u\star,v)$, $\forall v \in V$. D'o{\`u} $a(u\star,v) = \ell(v)$,
$\forall v
\in V_{n_0}$ et ceci $\forall n_0 \geq 1$ donc $a(u\star,v)=\ell(v)$, $\forall v
\in
{\cal V}$. Mais ${\cal V}$ est dense dans $V$, $a(u\star,.) \in V^{\prime}$ et
$\ell
\in
V^{\prime}$ donc $a(u\star,v)=\ell(v)$, $\forall v \in V$ et par unicit{\'e} dans
Lax-Milgram, on en d{\'e}duit que $u = u\star$.\\
En raisonnant par l'absurde, on voit facilement que $u_n \rightharpoonup u$
faiblement
dans $V$.\\
4) $a(u_n - u,u_n - u) = a(u_n - u,u_n) - a(u_n - u,u)$. Le terme $a(u_n - u,u)$
tend
vers $0$ car $u_n \rightharpoonup u$ faiblement. $a(u_n - u,u_n) =
\ell(u_n)-a(u,u_n) =
0$, donc $$\alpha \left( \Vert u_n-u \Vert\right)^2 \leq a(u_n - u,u_n - u)
\longrightarrow 0.$$
5) $\delta_n = d(u,V_n) = \inf_{V_n} \Vert u-v_n \Vert$.\\
a) $V_n$ est convexe ferm{\'e} donc par le Th{\'e}or{\`e}me de projection il existe un
unique
$v_n \in V_n$ tel que $\delta_n = \Vert u-v_n \Vert$.\\
b) Comme $V_n \subset V_{n+1}$, $\delta_{n+1} \leq \delta_n$. La suite
$(\delta_n)_n$
est d{\'e}croissante positive donc elle converge. D'autre part, $\overline{\bigcup
V_n} =
V$ donc $\forall \ep>0$, $\exists N$ tel que $\Vert u-w_N \Vert \leq \ep$ o{\`u} $w_N
\in
V_N$. Donc $\delta_n \leq \ep$ et ceci $\forall n \geq N$, d'o{\`u} $\delta_n
\rightarrow
0$.\\
c) $\forall w \in V_n$, $a(u_n,w) = \ell(w) = a(u,w)$ donc $a(u_n-u,w) = 0$. Donc
si $w
\in V_n$,
$$a(u_n-u,u-u_n) = a(u_n-u,u) = a(u_n-u, u-w)$$
$$\Longrightarrow \alpha \Vert u_n-u \Vert^2 \leq a(u-u_n,u-w) \leq \beta \Vert
u_n-u
\Vert\; \Vert u-w \Vert,\,\,\forall w \in V_n,$$
$$\Longrightarrow \Vert u_n-u \Vert \leq \frac{\beta}{\alpha} \delta_n.$$
Questions subsidiaires :\\
1) $\dim V = + \infty \Longrightarrow p_n \rightarrow_{n\infty} + \infty$. En
effet,
sinon $\exists A>0$, $\exists (p_{n_k})_k$ une sous-suite telle que $p_{n_k} \leq
A$,
$\forall k$. Or $V_n \subset V_{n+1} \Longrightarrow p_n \leq p_{n+1}$ donc
$\forall
n$,
$\exists k$ tel que $v_n \subset V_{n_k}$ d'o{\`u} $p_n \leq A$, $\forall n$ alors
$\dim
{\cal V} \leq A$ et $\overline{{\cal V}} = V$ $\Longrightarrow$ $\dim V \leq A$, ce
qui
est absurde.\\
2) Comme chaque $V_n$ est s{\'e}parable, que leur union est dense dans $V$ et qu'une
union
d'ensembles d{\'e}nombrables est d{\'e}nombrable, on voit facilement que $V$ est
s{\'e}parable.
\section{Chapitre IX}
{ \bf Exercice 1}
\\ \\
Soit $\ep > 0$, $\exists N$ tel que $\forall n \geq N$, $\vert s_j-s \vert \leq
\ep$ et
$$ \frac{1}{n+1} \sum_0^n s_j - s = \frac{1}{n+1} \sum_0^n (s_j - s).$$
Donc pour $n \geq N$, on a
\begin{eqnarray*}
\vert \frac{1}{n+1} \sum_0^n s_j - s \vert &\leq & \frac{1}{n+1}(\sum_0^N \vert
s_j
- s \vert + \sum_{N+1}^n \vert s_j - s \vert ),\\
   &\leq& \frac{1}{n+1}(\sum_0^N \vert s_j - s \vert + (n-N) \ep).
   \end{eqnarray*}
   Pour cet $\ep > 0$, $\exists N_1 \geq N$ tel que $\sum_0^N \vert s_j - s \vert
\leq N_1 \ep$, donc si $n \geq N_1$, on a $\sum_0^N \vert s_j - s \vert \leq N_1
\ep \leq (n+1) \ep$ et d'autre part $(n-N) \ep \leq (n+1) \ep$ d'o{\`u}
   $$\vert \frac{1}{n+1} \sum_0^n s_j - s  \vert \leq 2 \ep.$$
\\
{ \bf Exercice 2}
\\ \\
Soit $s_n = (-1)^n$ alors ${(s_n)}_n$ ne converge
pas et $\vert \sum_0^n s_j \vert \leq 1$ donc
$$\vert \frac{1}{n+1} \sum_0^n (-1)^j \vert \leq \frac{1}{n+1} \longrightarrow
0.$$
\\ \\
{ \bf Exercice 3}
\\ \\
1) On a directement $D_N(0) = 2N+1$ et $K_N(0) = N+1$. \\
D'autre part, $e^{i\frac{t}{2}}D_N(t) = \sum_{-N}^N e^{i(k+\frac{1}{2})t}$ et
$e^{-i\frac{t}{2}}D_N(t) = \sum_{-N}^N e^{i(k-\frac{1}{2})t}$ donc
$2i \sin(\frac{t}{2}) D_N(t) = \sum_{-N}^N (e^{i(k+\frac{1}{2})t} -
e^{i(k-\frac{1}{2})t}) = e^{i(N+\frac{1}{2})t} - e^{-i(N+\frac{1}{2})t}.$\\
D'o{\`u} $D_N(t) = \frac{\sin((N+\frac{1}{2})t)}{\sin(\frac{t}{2})}$ si $t \not=
0$.\\
On multiplie maintenant $K_N(t)$ par
$\frac{2\sin(\frac{t}{2})}{2\sin(\frac{t}{2})}$ alors
$$K_N(t) = \frac{1}{2(N+1)} \frac{1}{{\sin}^2(\frac{t}{2})}
(2\sin(\frac{t}{2})\sin(\frac{t}{2}) + 2\sin(\frac{t}{2})\sin(\frac{3t}{2})+...+
2\sin(\frac{t}{2})\sin((N+\frac{1}{2})t)).$$
On utilise ensuite l'{\'e}galit{\'e} $2 \sin a \sin b = \cos(a-b) \cos(a+b)$ pour
obtenir
$$K_N(t) = \frac{1}{2(N+1)} \frac{1}{{\sin}^2(\frac{t}{2})} (1-\cos(N+1)t) =
\frac{1}{N+1} \frac{{\sin}^2(\frac{N+1}{2}t)}{{\sin}^2(\frac{t}{2})},$$
pour $t \not= 0$.\\
2) Il est clair que $K_N(t) \geq 0$, $\forall t \in \RR$ et que $K_N$ est
$2\pi$-p{\'e}riodique. De $\int_0^{2\pi} e^{ikt} dt = 2\pi \delta_{k,0}$ on
d{\'e}duit
que $\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} D_j(t) dt = 1$ et ${\Vert K_N \Vert}_1 =
1$. Enfin si $\delta \leq \vert t \vert \leq \pi$ o{\`u} $\delta > 0$, on a
$$K_N(t) \leq \frac{1}{N+1} {(\frac{1}{\sin(\frac{\delta}{2})})}^2
\longrightarrow
0,$$
quand $N \rightarrow \infty$.\\
3) On a
\begin{eqnarray*}
S_n(f,t) & = & \sum_{-n}^n \widehat{f}(k)e^{ikt},\\
         & = & \sum_{-n}^n \frac{1}{2\pi} \int _{-\pi}^{\pi} f(x) e^{ik(t-x)} dx
=
\frac{1}{2\pi} \int _{-\pi}^{\pi} f(x) D_n(t-x) dx.
\end{eqnarray*}
Donc
\begin{eqnarray*}
\sigma_n(f,t) &=& \frac{1}{2\pi} \int _{-\pi}^{\pi} f(x) K_n(t-x) dx,\\
              &=& \frac{1}{2\pi} \int _{-\pi}^{\pi} f(t-x) K_n(x) dx,
\end{eqnarray*}
car $f$ et $K_n$ sont $2\pi$-p{\'e}riodiques. Comme ${\Vert K_N \Vert}_1 = 1$, on
peut {\'e}crire
\begin{eqnarray*}
\vert \sigma_n(f,t) - f(t) \vert & = & \frac{1}{2\pi} \vert \int _{-\pi}^{\pi}
(f(t-x) - f(t)) K_n(x) dx \vert,\\
 & \leq & \frac{1}{2\pi} \vert \int _{\vert x \vert \leq \delta} \vert
f(t-x)-f(t) \vert K_n(x) dx + \frac{1}{2\pi} \int _{\delta \leq \vert x \vert
\leq \pi} 2 \Vert f \Vert_{\infty} K_n(x) dx.
\end{eqnarray*}
La fonction $f$ {\'e}tant uniform{\'e}ment continue, pour $\ep > 0$, $\exists \delta
> 0$ tel que $\vert f(x)-f(y) \vert \leq \frac{\ep}{2}$ d{\`e}s que $\vert x-y
\vert \leq \delta$. Pour ce $\delta$, d'apr{\`e}s 2), $\exists N$ tel que $\forall
n \geq N$ $\vert K_n(x) \vert \leq \frac{\ep}{4 \Vert f \Vert_{\infty}}$,
$\forall x$ tel que $\delta \leq \vert x \vert \leq \pi$, d'o{\`u}
$$\vert \sigma_n(f,t) - f(t) \vert \leq \frac{\ep}{2} {\Vert K_N \Vert}_1 +
\frac{\ep}{2} \, \frac{1}{2\pi} \int _{\delta \leq \vert x \vert \leq \pi} dx
\leq \ep,$$
et ceci $\forall t$, donc $\sigma_n(f) \longrightarrow f$ uniform{\'e}ment sur
$[-\pi,\pi]$.\\
4) $\sigma_n(f,t) = \frac{1}{2\pi} \int _{-\pi}^{\pi} f(x) K_n(t-x) dx$ est un
polynome trigonom{\'e}trique, donc 3) montre que les polynomes trigonom{\'e}triques
sont denses dans ${\cal C}(\Pi)$.\\
Si $f,g \in {\cal C}(\Pi)$ sont telles que $\forall n \in \ZZ$, $\widehat{f}
(n)=\widehat{g} (n)$ alors $0 = \sigma_n(f,t) - \sigma_n(g,t) \longrightarrow
f(t)-g(t)$, $\forall t$, donc $f(t)=g(t)$, $\forall t \in [-\pi,\pi]$.\\
5) a) $\Lambda_n(f) = S_n(f,0) = \frac{1}{2\pi} \int _{-\pi}^{\pi} f(t) D_n(-t)
dt$, pour $n \geq 0$ donc $\Lambda_n$ est lin{\'e}aire et $\vert \Lambda_n(f) \vert
\leq {\Vert D_n \Vert}_1 \Vert f \Vert_{\infty}$. Donc $\Lambda_n \in ({\cal
C}(\Pi))^{\prime}$ et $\Vert \Lambda_n \Vert \leq {\Vert D_n \Vert}_1$.\\
  b) Soit $g_n(t) = \mbox{sign}(D_n(-t))$ alors il existe une suite $(f_j)_j$
dans ${\cal C}(\Pi)$ telle que $-1 \leq f_j \leq 1$, $\forall j$ et $f_j(t)
\longrightarrow g_n(t)$ p.p. quand $j \rightarrow \infty$. Le Th{\'e}or{\`e}me de
convergence domin{\'e}e s'applique et donne
  $$\frac{1}{2\pi} \int _{-\pi}^{\pi} f_j(t) D_n(-t) dt \longrightarrow
\frac{1}{2\pi} \int _{-\pi}^{\pi} \vert D_n(-t) \vert dt = {\Vert D_n \Vert}_1.$$
De $\vert \Lambda_n(f_j) \vert \leq \Vert \Lambda_n \Vert$, on d{\'e}duit $\Vert
\Lambda_n \Vert = {\Vert D_n \Vert}_1$.\\
  c) Comme $\vert \sin \frac{t}{2} \vert \leq \frac{\vert t \vert}{2}$, pour $0
\leq t \leq \pi$,
$${\Vert D_n \Vert}_1 = \frac{1}{2\pi} \int _{-\pi}^{\pi} \vert D_n(t) \vert dt =
\frac{1}{\pi} \int _{0}^{\pi} \vert D_n(t) \vert dt \geq \frac{2}{\pi}
\int_0^{\pi} \vert \sin(n+\frac{1}{2})t \vert \,\frac{dt}{t}.$$
Donc on a
\begin{eqnarray*}
{\Vert D_n \Vert}_1 &\geq& \frac{2}{\pi} \int_0^{(n+\frac{1}{2})\pi} \vert \sin x
\vert \frac{dx}{x} \geq \frac{2}{\pi} \sum_{k=1}^n \int_{(k-1)\pi}^{k\pi} \vert
\sin x \vert \frac{dx}{x},\\
&\geq& \frac{2}{\pi} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k\pi} \int_{(k-1)\pi}^{k\pi} \vert
\sin x \vert dx = \frac{4}{\pi^2} \sum_1^n \frac{1}{k} \geq \frac{4}{\pi^2}
\log(n+1),
\end{eqnarray*}
D'o{\`u} ${\Vert D_n \Vert}_1 \longrightarrow + \infty$ quand $n \rightarrow
\infty$.\\
  d) Si $\forall f \in {\cal C}(\Pi)$, $\exists C_f$ tel que $\forall n$, $\vert
S_n(f,0) \vert \leq C_f$ alors par le Th{\'e}or{\`e}me de Banach-Steinhaus $\exists
M$ tel que $\forall n$, $\Vert \Lambda_n \Vert \leq M$ or c'est impossible
d'apr{\`e}s la question pr{\'e}c{\'e}dente. Donc $\exists f \in {\cal C}(\Pi)$ telle
que $\sup_n \vert S_n(f,0) \vert = + \infty.$\\
Remarque : Soit $E=\{f \in {\cal C}(\Pi) : \sup_n \vert S_n(f,0) \vert = + \infty
\}$. On peut montrer que $E$ est dense dans ${\cal C}(\Pi)$ voir $[Ru1]$ par
exemple.\\
6) Par le Lemme de Riemann-Lebesgue, on sait d{\'e}j{\`a} que $\widehat{f}(n)
\rightarrow
0$ quand $n \rightarrow \pm \infty$. On a aussi imm{\'e}diatement $\vert
\widehat{f}(n)
\vert \leq \Vert f \Vert_1$ donc $c(f) \in C_0(\ZZ)$.\\
7) D'apr{\'e}s la question 4), on en d{\'e}duit que $\int fg dx =0$ pour toute fonction
continue $g \in {\cal C}(\Pi)$. On conclut en utilisant la densit{\'e} des fonctions
continues dans $L^1(-\pi,\pi)$.\\
8) L'application $T$ est clairement lin{\'e}aire et la question 6) ci-dessus montre
qu'elle est continue. Si $\widehat{f}(n) = 0$ pour tout $n$ alors
$\int_{-\pi}^{\pi}
fp dx = 0$, pour tout polyn{\^o}me trigonom{\'e}trique $p$ donc $f = 0$ p.p. et $T$ est
injective. $T$ ne peut {\^e}tre surjective sinon par le Th{\'e}or{\`e}me de l'application
ouverte ($ C_0(\ZZ)$ est un espace de Banach), elle serait d'inverse continue et il
existerait une constante $M>$ telle que $\Vert f \Vert_1 \leq M \Vert c(f)
\Vert_{\infty}$. Mais une telle in{\'e}galit{\'e} est contredite par les $D_n$, en
effet
$\widehat{D_n}(k) = 0$ ou $1$, donc $\Vert c(D_n) \Vert_{\infty} = 1$ alors qu'on a
vu
ci-dessus que $\Vert D_n \Vert_1 \rightarrow +\infty$.
\\ \\
%{ \bf Exercice 4}
%\\ \\
%Comme $\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{inx}e^{imx} dx = \delta_{n,m}$, le
%syst{\`e}me ${(e^{inx})}_{n \in \ZZ}$ est orthogonal. Soit
%$E=\mbox{vect}\{{(e^{inx})}_{n \in \ZZ}\}$, montrons que $E$ est dense dans
%$L^2(-\pi,\pi)$. Soit $f \in L^2(-\pi,\pi)$ et soit $\ep>0$. Comme les fonctions
%continues sont denses dans $L^2(-\pi,\pi)$, $\exists g \in {\cal C}(\Pi)$ telle
%que $\Vert f-g \Vert_2 \leq \ep$. On a vu en **** que les polynomes
%trigonom{\'e}triques sont denses dans ${\cal C}(\Pi)$ donc $\exists P \in E$ tel
%que $\Vert g-P \Vert_{\infty} \leq \ep$ alors $\Vert f-P \Vert_2 \leq 2\ep$
%d'o{\`u} le r{\'e}sultat.
%\\ \\
{ \bf Exercice 5}
\\ \\
Supposons que $f \in {\cal C}_c^1(]-\pi,\pi[)$ alors
$\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(ax) dx = \int_{-\pi}^{\pi} f^{\prime}(x) \frac{1}{a}
\cos(ax) dx,$ donc $\vert \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(ax) dx \vert \leq
\frac{1}{\vert a \vert} \Vert f^{\prime} \Vert_{\infty} 2\pi \longrightarrow 0$
quand $\vert a \vert \rightarrow + \infty$.\\
Si $f \in L^1(-\pi,\pi)$, $\exists g \in {\cal C}_c^1(]-\pi,\pi[)$ telle que
$\Vert f-g \Vert_{L^1} \leq \ep$. Alors
$$\vert \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(ax) dx \vert \leq \Vert f-g \Vert_{L^1} +
\vert \int_{-\pi}^{\pi} g(x)\sin(ax) dx \vert,$$
d'o{\`u} $\lim \int_{-\pi}^{\pi} f \sin(ax) dx = 0$ quand $\vert a \vert
\longrightarrow + \infty$.
\\ \\
\section{Chapitre X}
{ \bf Exercice 1}
\\ \\
1) Les deux applications propos{\'e}es sont bien lin{\'e}aires par rapport {\`a}
$\vfi$.\\
On pose $<T,\vfi> = \sum_{n\geq0} \vfi^{(n)}(n)$ pour $\vfi \in \DD(\RR)$.\\
Soit $K$ un compact de $\RR$ alors $\vert K \cap \NN \vert < \infty$ et
$\exists
N_K$ tel que $K \cap \NN \subset \overline{B}(0,N_K)$. Si $\vfi \in \DD(\RR)$
est
{\`a} support dans $K$, alors $\vert <T,\vfi> \vert \leq \sum_0^{N_K} \Vert
\vfi^{(n)} \Vert_{\infty}$ donc $T \in \Di(\RR)$.\\
Soit $<T,\vfi> = \sum_{n\geq0} \vfi^{(n)}(0)$. Il existe $\theta \in \DD(\RR)$
telle que $0 \leq \theta \leq 1$ et $\theta \equiv 1$ sur $[-1,1]$. Soit alors
$\vfi(x) = e^x \theta(x)$, alors $\vfi \in \DD(\RR)$ et $\forall n$,
$\vfi^{(n)}(0)
= 1$ donc $T \not\in \Di(\RR)$.\\
2) Soit $K$ un compact de $\RR$ et $\vfi \in \DD(\RR)$ {\`a} support dans $K$
alors
$\vert <T_f,\vfi> \vert \leq \Vert f \Vert_{L^1(K)} \Vert \vfi \Vert_{\infty}$
donc
$T_f \in \Di(\RR)$.\\
Supposons qu'il existe $f \in L^1_{loc}(\RR)$ telle que $<\delta_0,\vfi> =
\vfi(0)
= \int f \vfi$, $\forall \vfi \in \DD(\RR)$. Par un m{\^e}me raisonnement qu'{\`a}
l'exercice 4 du chap.VI, on montre que c'est impossible.
\\ \\
{ \bf Exercice 2}
\\ \\
Comme les semi-normes $p_j$, pour $j \geq 0$, forment une suite croissante, on
a
bien d{\'e}fini une topologie.\\
1) Il est clair que $d(f,g) = d(g,f)$ et que $d(f,g)=0 \Longleftrightarrow
f=g$.\\
Soit $\Phi(x) = \inf(1,x)$ pour $x \geq 0$. On peut v{\'e}rifier facilement que
$\Phi$ est croissante et que $\Phi(x+y) \leq \Phi(x) + \Phi(y)$, $\forall x,y
\in
\RR^+$ donc $d$ est bien une distance sur E. Pour montrer que les topologies
sont
{\'e}quivalentes, il suffit de montrer que\\

a) $\forall n$, $\forall r>0$, $\forall x \in E$, $\exists r_0>0$ tel que
$B_d(x,r_0) \subset B_n(x,r)$,\\

b) $\forall x \in E$, $\forall r>0$, $\exists N$, $\exists r_0>0$ tel que
$B_N(x,r_0) \subset B_d(x,r)$,\\
o{\`u} on a not{\'e} $B_d(x,r)$ la boule de centre $x$ et rayon $r$ pour la
distance
$d$ et $B_n(x,r)$ celle associ{\'e}e {\`a} la semi-norme $p_n$.\\
Soient donc $n,r,x$ donn{\'e}s alors $\exists \ep>0$ tel que $2^n \ep < \inf(1,r)$
et
\\
$d(x,y) < \ep \Longrightarrow \forall k,\,\, \frac{1}{2^k} \Phi(p_k(x-y)) <
\ep$
donc $p_n(x-y) < 2^n \ep < r$ par choix de $\ep$. D'o{\`u} $B_d(x,\ep) \subset
B_n(x,r)$.\\
Soient $x,r$ donn{\'e}s et soit $N$ tel que $\sum_{n \geq N+1} \frac{1}{2^n} <
\frac{r}{2}$.\\
Si $p_N(x-y) < r_0 < 1 \Longrightarrow \forall n \leq N,\, p_n(x-y) < r_0$ et
$$\sum_0^N \frac{1}{2^n} \inf(1,p_n(x-y)) \leq r_0 \sum_0^N \frac{1}{2^n} \leq
2r_0.$$
On choisit $r_0 < 1$ tel que $2 r_0 < \frac{r}{2}$ alors $y \in B_N(x,r_0)
\Longrightarrow d(x,y) < \frac{r}{2} + \frac{r}{2}$,  ($\Phi(x) \leq
1,\,\forall x
\geq 0$) donc $B_N(x,r_0) \subset B_d(x,r)$.\\
Donc les topologies sont {\'e}quivalentes.\\
2) Soit $(f_n)_n$ une suite de Cauchy dans $(E,d)$ alors $\lim_{n,m \rightarrow
+\infty} p_j(f_n-f_m) = 0$ pour chaque $j \geq 0$, et donc $\sup_K \vert
f_n^{(j)}(x) - f_m^{(j)}(x) \vert \longrightarrow 0$ pour chaque j. La suite
$(f_n^{(j)})_n$ est donc de Cauchy pour la convergence uniforme et elle tend
donc
uniform{\'e}ment vers une limite $f_j$ qui est continue et {\`a} support dans $K$.
On
utilise maintenant le th{\'e}or{\`e}me classique assurant que si $f_n$ converge
uniform{\'e}ment vers $u$ et si les d{\'e}riv{\'e}es $f_n^{\prime}$ sont continues et
convergent uniform{\'e}ment vers $v$ alors $u$ est ${\cal C}^1$ et $u^{\prime} =
v$. En
appliquant ce r{\'e}sultat par r{\'e}currence aux d{\'e}riv{\'e}es successives de $u$,
on
obtient que $f_n^{(j)}$ converge uniform{\'e}ment vers $u^{(j)}$, $\forall j$ et
donc
que $p_j(f_n-u) \longrightarrow 0$, $\forall j$. On en d{\'e}duit facilement que
$(E,d)$ est complet.\\
Pour tout $n$, $T_n$ est continue sur $(E,(p_j)_j)$ donc sur $(E,d)$ donc $F_k$
est
ferm{\'e} dans $(E,d)$ comme intersection d'images r{\'e}ciproques de ferm{\'e}s de
$\RR$. Comme $(<T_n,\vfi>)_n$ converge $\forall \vfi$, $E = \cup_k F_k$, par le
Lemme de Baire, on en d{\'e}duit que $\exists k_0$, $\exists \vfi$ et $\exists
r_0>0$
tels que $B_d(\vfi,r_0) \subset F_{k_0}$. \\
D'apr{\`e}s 1), $\exists N \geq 0$, $\exists r>0$ tels que $B_N(\vfi,r) \subset
F_{k_0}$. Alors $B_N(0,\frac{r}{2}) \subset F_{k_0}$, en effet, si $\psi \in
B_N(0,\frac{r}{2})$ alors $\psi = \frac{1}{2} (-\vfi +(\vfi +2\psi))$ or $-\vfi
\in
F_{k_0}$ et $\vfi+2\psi \in F_{k_0}$, par convexit{\'e} de $F_{k_0}$, on a $\psi
\in
F_{k_0}$.\\
Donc on a montr{\'e} que $\forall \vfi \in E$ telle que $p_N(\vfi)<\frac{r}{2}$,
on a
$\vert <T_n,\vfi> \vert \leq k_0$, $\forall n$. Par homog{\'e}n{\'e}ite, on en
conclut
que $\forall n$, $\vert <T_n,\vfi> \vert \leq \frac{2k_0}{r} p_N(\vfi)$,
$\forall
\vfi \in E$.\\
Maintenant on fait tendre $n$ vers l'infini, on en d{\'e}duit que $\vert <T,\vfi>
\vert \leq \frac{2k_0}{r} p_N(\vfi)$. Finalement, on a montr{\'e} que $\forall K$
compact $\subset \RR$, $\exists C_K = \frac{2k_0}{r}$, $\exists N(K)$ tels que
$\forall \vfi \in \DD_K(\RR)$, $\vert <T,\vfi> \vert \leq C_K \,p_N(\vfi)$ ce
qui
est exactement la continuit{\'e} de $T$ sur $\DD(\RR)$.
\\ \\
{ \bf Exercice 3}
\\ \\
a) Si $\vfi = \lambda\theta_0+\psi^{\prime}$, o{\`u} $\lambda \in \RR$ et $\vfi
\in
\DD(I)$ alors $\int_I \vfi = \lambda \int_I \theta_0 + \int_I \psi^{\prime}$
donc
n{\'e}cessairement $\lambda = \int_I \vfi$. Avec ce choix de $\lambda$, trouvons
$\psi$.\\
$\exists a,b$ tels que supp$(\vfi)$$ \cup$supp$(\theta_0) \subset [a,b] \subset
I$
(I connexe). Soit $\psi(x) = \int_a^x (\vfi(t) -(\int_I \vfi)\theta_0(t)) dt$
alors
$\psi^{\prime} = \vfi - (\int_I \vfi)\theta_0$ et $\psi \in {\cal
C}^{\infty}(I)$.
V{\'e}rifions que $\psi$ est {\`a} support compact. Si $x \in ]-\infty,a[ \cap I$
alors
$\forall t \in [a,x]$ $\vfi(t)= \theta_0(t) = 0$ et $\psi(x) = 0$. Si $x \in
]b,\infty[ \cap I$ alors $\psi(x) = 0$ donc supp$(\psi) \subset [a,b]$ et $\psi
\in
\DD(I)$. (On peut remarquer que le couple $(\lambda,\psi)$ est unique.)\\
b) Soit $T \in \Di(I)$ telle que $T^{\prime} =0$, on veut montrer que $\exists
C
\in \RR$ telle que $\forall \vfi \in \DD(I)$, $<T,\vfi> = C \int_I \vfi$,
ce qui veut bien dire que $T=C$ au sens des distributions\\
Soit $\vfi \in \DD(I)$ alors $\exists \psi \in \DD(I)$ telle que $\vfi =
(\int_I
\vfi)  \theta_0+\psi^{\prime}$ et $<T,\vfi> = (\int_I \vfi) <T,\theta_0> +
<T,\psi^{\prime}>$. Or par hypoth{\`e}se $<T,\psi^{\prime}> = <T^{\prime},\psi> =
0$
donc $\forall \vfi \in \DD(I)$, $<T,\vfi> = <T,\theta_0>\; \int_I \vfi$ donc
$C=<T,\theta_0>$ convient.\\
c) Par hypoth{\`e}se $T^{\prime} = v \in {\cal C}^{\infty}(I)$, c'est {\`a} dire
$\forall \vfi \in \DD(I)$, $<T^{\prime},\vfi> = \int_I v\vfi$. La fonction $v$
admet une primitive au sens usuel $V$ et $v = V^{\prime}$ alors $(T-V)^{\prime}
=
0$ donc $T-V = c$ constante par b) et $T= V+c \in {\cal C}^{\infty}(I)$.
\\ \\
{ \bf Exercice 4}
\\ \\

Soit $\psi$ solution de $\sum_{j=0}^k a_j \psi^{(j)}(x) = 0$ pour $x \in \RR$,
o{\`u}
$a_j \in \RR$ et $a_k \not=0$,
satisfaisant \\
$\psi(0)=\psi^{\prime}(0)=...=\psi^{k-2}(0)=0$ et $\psi^{k-1}(0)=\frac{1}{a_k}$
alors $\psi \in {\cal C}^{\infty}(\RR)$.\\
1) $Y\psi \in L^1_{loc}(\RR)$ donc $E \in \Di(\RR)$. Calculons les d{\'e}riv{\'e}es
au
sens des distributions de $E$ et montrons par r{\'e}currence que
$$E^{(p)} = Y_{Y\psi^{(p)}} + \psi^{(p-1)}(0) \delta_0 + \psi^{(p-2)}(0)
\delta_0^{\prime} +...+ \psi(0) \delta_0^{(p-1)}.$$
On calcule d'abord $E^{\prime}$,
\begin{eqnarray*}
<E^{\prime},\vfi> &=& - <E,\vfi^{\prime}> = - \int_0^{\infty} \psi
\vfi^{\prime},\\
                  &=& \int_0^{\infty} \psi^{\prime} \vfi + \psi(0) \vfi(0),\\
                  &=& <T_{Y\psi^{\prime}},\vfi> + <\psi(o) \delta_0,\vfi>.
                  \end{eqnarray*}
Donc le propri{\'e}t{\'e} est vraie pour $p=1$, on la suppose vraie jusqu'au rang
$p$
et d{\'e}montrons la pour $p+1$. On a
\begin{eqnarray*}
<E^{(p+1)},\vfi> &=& -<E^{(p)}, \vfi^{\prime}> = - \int_0^{\infty} \psi^{(p)}
\vfi^{\prime} - <\psi^{(p-1)}(0) \delta_0, \vfi^{\prime}> -...- <\psi(0)
\delta_0^{(p-1)}, \vfi^{\prime}>,\\
&=& \int_0^{\infty} \psi^{(p+1)} \vfi + <\psi^{(p)}(0) \delta_0, \vfi> + <
\psi^{(p-1)}(0) \delta_0^{\prime}+...+ \psi(0) \delta_0^{(p)},\vfi>.
\end{eqnarray*}
D'o{\`u} le r{\'e}sultat.\\
Ici $E^{(j)} = T_{Y\psi^{(j)}}$, $\forall j \leq k-1$ car $\psi^{(p)}(0) = 0$,
$\forall p \leq k-2$, et
$$E^{(k)} = T_{Y\psi^{(k)}} + \psi^{(k-1)}(0) \delta_0 = T_{Y\psi^{(k)}} +
\frac{1}{a_k} \delta_0.$$
Donc $\sum_{j=0}^k a_j E^{(j)} + a_k E^{(k)} = \delta_0$ par hypoth{\`e}se sur
$\psi$. \\
2) On cherche $\psi$ telle que
\[ (\star) \quad \left\{ \begin{array}{lll}
\psi^{\prime\prime} + \psi^{\prime} + \psi = 0 \\
\psi(0) = 0 \\
\psi^{\prime}(0) = 1
\end{array} \right. \]
Les solutions g{\'e}n{\'e}rales du syst{\`e}me ($\star$) sont donn{\'e}es par
$$\psi(x) = e^{-\frac{x}{2}} (a e^{i\frac{\sqrt{3}}{2}x} + b
e^{-i\frac{\sqrt{3}}{2}x}),\quad a,b \in \CC.$$
Ici les donn{\'e}es initiales impliquent que $a = -b = \frac{1}{i\sqrt{3}}$, donc
$\psi(x) = \frac{2}{\sqrt{3}} e^{-\frac{x}{2}} \sin(\frac{\sqrt{3}}{2}x)$ et $E
= T_{Y\psi}$ convient.
\\ \\
\section{Chapitre XI}
{ \bf Exercice 1}
\\ \\
1) En vertu du Th{\'e}or{\`e}me 11.1 et de la Proposition 11.1 du ch.11, si $u \in
H^1(0,1)$ alors $u \in {\cal C}[0,1]$ et $\forall x,y \in [0,1]$, $u(x) - u(y)
= \int_y^x u^{\prime}(t) dt$.\\
Avec l'in{\'e}galit{\'e} de Cauchy-Schwarz, on obtient
$$\vert u(x) \vert \leq \vert u(y) \vert + \Vert u^{\prime} \Vert_2 {\vert x-y
\vert }^{\frac{1}{2}} \leq \vert u(y) \vert + \Vert u^{\prime} \Vert_2.$$
On int{\`e}gre cette in{\'e}galit{\'e} par rapport {\`a} $y$ et on applique encore
Cauchy-Schwarz, on a
\begin{eqnarray*}
\vert u(x) \vert &\leq& \int_0^1 \vert u(y) \vert dy + \Vert u^{\prime} \Vert_2
\\
&\leq& \Vert u \Vert_2 + \Vert u^{\prime} \Vert_2 \\
&\leq& 2 \Vert u \Vert_{H^1}.
\end{eqnarray*}
Donc $\Vert u \Vert_{\infty} \leq 2 \Vert u \Vert_{H^1}$ et l'injection $id :
H^1(0,1) \longrightarrow {\cal C}[0,1]$ est continue.\\
De $\vert u(x) - u(y) \vert \leq \Vert u^{\prime} \Vert_2 {\vert x-y \vert
}^{\frac{1}{2}}$, on d{\'e}duit que la boule unit{\'e} ferm{\'e}e $B_{H^1}$ de
$H^1(0,1)$ est {\'e}quicontinue. Enfin, $B_x = \{ u(x),\,u \in B_{H^1} \} \subset
[-2,2]$ donc $\overline{B_x}$ est compact. Par le Th{\'e}or{\`e}me d'Ascoli, on en
conclut que $B_{H^1}$ est d'adh{\'e}rence compacte dans ${\cal C}[0,1]$, d'o{\`u}
l'injection $id : H^1(0,1) \longrightarrow {\cal C}[0,1]$ est compacte. \\
L'int{\^e}ret majeur de ce r{\'e}sultat est que l'on pourra transformer toute suite
faiblement convergente de $H^1(0,1)$ en une suite fortement convergente de
${\cal C}[0,1]$. (Voir l'exercice 3, chap. IV)\\
2) Soient $u, v \in H_0^1(0,1)$ et $f \in {\cal C}^{\infty}(\RR)$ alors par le
Th{\'e}or{\`e}me 11.2, il existe $u_n, v_n \in \DD(]0,1[)$ tels que $u_n
\rightarrow u$ et $v_n \rightarrow v$ pour la norme $H^1$. Comme $u_n,v_n$ sont
r{\'e}guli{\`e}res et nulles au bord, on a evidemment $\int_0^1 u_n^{\prime}v_n +
\int_0^1 u_nv_n^{\prime} = 0$ et $\int_0^1 u_n^{\prime}f + \int_0^1
u_nf^{\prime} = 0$. Le produit scalaire $(f,g) =  \int_0^1 fg dx$ {\'e}tant
continu sur $(L^2)^2$, il n'y a aucuns probl{\`e}mes pour passer {\`a} la limite
dans ces {\'e}galit{\'e}s et on obtient donc
\begin{eqnarray*}
(1)\qquad\quad\int_0^1 u^{\prime}v + \int_0^1 uv^{\prime} &=& 0, \\
(2)\qquad\quad\int_0^1 u^{\prime}f + \int_0^1 uf^{\prime} &=& 0,
\end{eqnarray*}
et ceci $\forall u,v \in  H_0^1(0,1)$.\\
Si $u \in H^1(0,1)$, on note $p_u(x) = xu(1) + (1-x)u(0) \in {\cal
C}^{\infty}(\RR)$ alors $u - p_u \in H_0^1(0,1)$. En appliquant la formule
d'int{\'e}gration par parties $(2)$ {\`a} $u - p_u$ et $p_u$, on obtient
$$\int_0^1 u^{\prime}f + \int_0^1 uf^{\prime} = \int_0^1 p_u^{\prime}f +
\int_0^1 p_uf^{\prime} = u(1)f(1) - u(0)f(0).$$
Maintenant si $u,v \in H^1(0,1)$, alors de $\int_0^1 (u-p_u)^{\prime}(v-p_v) +
\int_0^1 (u-p_u)(v-p_v)^{\prime} = 0$, on d{\'e}duit que $\int_0^1
(u-p_u)^{\prime}v + \int_0^1 (u-p_u)v^{\prime} = 0$  (car $\int_0^1
(u-p_u)^{\prime}p_v + \int_0^1 (u-p_u)p_v^{\prime} = 0$). Donc, en
d{\'e}veloppant,
$$\int_0^1 u^{\prime}v + \int_0^1 uv^{\prime} = \int_0^1 p_u^{\prime}v +
\int_0^1 p_uv^{\prime} = u(1)v(1) - u(0)v(0).$$
\\ \\
{ \bf Exercice 2}
\\ \\
1) Soit $a(u,v)=\int_0^1 u^{\prime}v^{\prime} + (\int_0^1 u)(\int_0^1 v)$, alors
$a$
est bilin{\'e}aire sym{\'e}trique et $\vert a(u,v) \vert \leq \Vert u \Vert_{H^1}\Vert
v
\Vert_{H^1} + \Vert u \Vert_2\Vert u \Vert_2 \leq 2 \Vert u \Vert_{H^1} \Vert v
\Vert_{H^1}$ donc $a$ est continue sur $H^1(0,1) \times H^1(0,1)$. Montrons que $a$
est coercive, c'est {\`a} dire, $\exists \alpha>0$ tel que $\forall u \in H^1(0,1)$,
$a(u,u) \geq \alpha \Vert u \Vert_{H^1}^2$.\\
On raisonne par l'absurde, sinon, $\forall n$, $\exists u_n \in H^1(0,1)$ tel que
$a(u_n,u_n) < \frac{1}{n} \Vert u_n \Vert_{H^1}^2$. On peut toujours supposer que
$\Vert u_n \Vert_{H^1} = 1$, comme $H^1(0,1)$ est r{\'e}flexif, il existe une
sous-suite
encore not{\'e}e $u_n$ telle que $u_n \rightharpoonup u$ dans $H^1(0,1)$ faible.
L'injection $H^1(0,1) \longrightarrow {\cal C}[0,1]$ {\'e}tant compacte (voir
l'exercice
pr{\'e}c{\`e}dent), $u_n \rightarrow u$ pour $\Vert . \Vert_{\infty}$ et en particulier
$u_n \rightarrow u$ dans $L^1$ et $L^2$. D'autre part, $\Vert u_n^{\prime} \Vert_2
<
\frac{1}{n}$ $\Longrightarrow$ $u_n^{\prime} \rightarrow 0$ dans $L^2$, donc
finalement $u_n$ est de Cauchy dans $H^1(0,1)$ donc converge et $\exists v \in
H^1(0,1)$ tel que $u_n \rightarrow v$ dans $H^1(0,1)$. Alors, $\Vert v \Vert_{H^1}
=
1$ et $v^{\prime} = 0$ p.p. donc d'apr{\`e}s l'exercice 3, $v$ est constante. Enfin,
de
$\left(\int_0^1 u_n\right)^2 < \frac{1}{n}$ et $u_n \rightarrow v$ dans $L^1$, on
d{\'e}duit que $\int_0^1 v =0$ donc n{\'e}cessairement $v=0$ or $\Vert v \Vert_{H^1} =
1$,
c'est absurde.\\
D'apr{\`e}s le Th{\'e}or{\`e}me de Lax-Milgram (Th.8.5,ch.8), il existe un unique $u \in
H^1(0,1)$ tel que $a(u,v)=\int_0^1 fv$, $\forall v \in H^1(0,1)$.\\
2) Comme $\DD(]0,1[) \subset H^1(0,1)$, si $\vfi \in \DD(]0,1[)$, $a(u,\vfi) =
\int_0^1 f\vfi = <f,\vfi>$ en terme de distributions. Et,
\begin{eqnarray*}
a(u,\vfi) &=& \int_0^1 u^{\prime}\vfi^{\prime} + \int_0^1 \left(\int_0^1 u\right)
\vfi,\\
&=& <u^{\prime},\vfi^{\prime}> + <\int_0^1 u,\vfi>,\\
&=& -<u^{\prime \prime},\vfi> + <\int_0^1 u,\vfi>.
\end{eqnarray*}
D'o{\`u} $< - u^{\prime \prime} + \int_0^1 u - f,\vfi > = 0$, $\forall \vfi \in
\DD(]0,1[)$, donc $- u^{\prime \prime} + \int_0^1 u = f$ au sens des distributions,
mais $f \in L^2(0,1)$ et $\int_0^1 u \in L^2(0,1)$ montre que $u \in H^2(0,1)$ et
v{\'e}rifie $$(\star) \qquad \quad - u^{\prime \prime} + \int_0^1 u = f \quad
\mbox{p.p.}$$
Pour trouver les conditions aux limites, on multiplie $(\star)$ par $v \in
H^1(0,1)$
et on int{\`e}gre sur $(0,1)$ alors $- \int_0^1 u^{\prime \prime} v + \left(\int_0^1
u\right)\left(\int_0^1 v\right) = \int_0^1 fv$. Comme $u \in H^2$ et $v \in H^1$,
l'exercice pr{\'e}c{\`e}dent nous permet de faire une int{\'e}gration par parties et on
obtient $a(u,v) - \int_0^1 fv = [u^{\prime} v]_0^1$.\\
Or $u$ est solution de la formulation variationnelle ( i.e. $a(u,v) = \int_0^1 fv$,
$\forall v \in H^1(0,1)$), donc $u^{\prime}(1) v(1) - u^{\prime}(0) v(0) = 0$ et
ceci
$\forall v \in H^1(0,1)$. Donc n{\'e}cessairement $u^{\prime}(1) = u^{\prime}(0) =
0$.\\
D'o{\`u} $u$ est solution du probl{\`e}me suivant, $u \in H^2(0,1)$ et
\[ \left\{ \begin{array}{lcc}
 - u^{\prime \prime} + \int_0^1 u &=& f \quad \mbox{p.p.}\\
 u^{\prime}(1) = u^{\prime}(0) &=& 0
 \end{array} \right. \]
Et r{\'e}ciproquement.
\\ \\
{ \bf Exercice 3}
\\ \\
Soit $V=\{ u \in H^1(0,1)\,:\,u(\frac{1}{2}) = 0 \}$.\\
1) Comme $id : H^1(0,1) \longrightarrow {\cal C}[0,1]$ est continue, $u \mapsto
u\left(\frac{1}{2}\right)$ est continue sur $H^1(0,1)$ et $V$ est ferm{\'e} dans
$H^1(0,1)$.\\
${\Vert v^{\prime} \Vert}_{L^2}$ est bien une semi-norme sur $V$ et si pour un $v
\in
V$, ${\Vert v^{\prime} \Vert}_{L^2} = 0$ alors, d'apr{\`e}s l'exercice 3, $v$ est
constante sur $(0,1)$ et de $v\left(\frac{1}{2}\right) = 0$, on en d{\'e}duit que $v
=
0$. Donc, on a bien {\`a} faire {\`a} une norme sur $V$. On a {\'e}videmment ${\Vert
v^{\prime} \Vert}_{L^2} \leq {\Vert v \Vert}_{H^1}$.\\
A-t'on $\exists C>0$ tel que ${\Vert v^{\prime} \Vert}_{L^2} \geq C\,{\Vert v
\Vert}_{H^1}$ sur $V$ ?\\
Sinon, $\forall n$, $\exists u_n \in V$ avec ${\Vert u_n \Vert}_{H^1} = 1$ tel que
${\Vert u_n^{\prime} \Vert}_{L^2} < \frac{1}{n} \rightarrow 0$. Alors comme dans
l'exercice pr{\'e}c{\`e}dent, on en d{\'e}duit qu'il existe une sous-suite $u_{n_k}$ de
Cauchy dans $H^1(0,1)$ donc convergente vers un $v \in H^1(0,1)$. De
$u_{n_k}^{\prime}
\rightarrow 0$ dans $L^2$, on tire $v^{\prime}=0$ p.p. et donc $v$ est constante
sur
$(0,1)$. Mais $u_{n_k} \rightarrow v$ dans $H^1(0,1)$ $\Longrightarrow$  $0 =
u_{n_k}\left(\frac{1}{2}\right) \rightarrow v\left(\frac{1}{2}\right)$ par
continuit{\'e} de l'injection $H^1(0,1) \longrightarrow {\cal C}[0,1]$. Donc $v = 0$
or
${\Vert v \Vert}_{H^1} = 1$, c'est absurde, ces deux normes sont donc
{\'e}quivalentes
sur $V$.\\
2) Soit $a(u,v) = \int_0^1 u^{\prime}v^{\prime}$, alors $a$ est une forme
bilin{\'e}aire
sym{\'e}trique continue sur $V$ et $v \mapsto v(0)$ est continue sur $V$ puisque $id
:
H^1(0,1) \longrightarrow {\cal C}[0,1]$ est continue sur $H^1(0,1)$. Du
Th{\'e}or{\`e}me
de Lax-Milgram (Th.8.5,ch.8), on d{\'e}duit qu'il existe un unique $u \in V$ tel que
$a(u,v)=v(0)$, $\forall v \in V$.\\
3) $\DD(]0,1[) \not\subset V$ donc on ne peut pas exactement raisonner comme dans
l'exercice pr{\'e}c{\`e}dent, mais on peut remarquer que $\DD(]0,\frac{1}{2}[)\cup
\DD(]\frac{1}{2},1[) \subset V$ (en prolongeant ces fonctions par $0$ {\`a} $]0,1[$
tout
entier).\\
Soit donc $\vfi \in \DD(]0,\frac{1}{2}[)$ alors $a(u,\vfi) = \int_0^{\frac{1}{2}}
u^{\prime}\vfi^{\prime} = \vfi(0) = 0$, c'est {\`a} dire $<u^{\prime},\vfi^{\prime}>
= 0
= - <u^{\prime \prime},\vfi>$ et ceci $\forall \vfi \in \DD(]0,\frac{1}{2}[)$, donc
$u^{\prime \prime} = 0$ dans $\Di(]0,\frac{1}{2}[)$ et donc dans
$L^2(0,\frac{1}{2})$.\\
On obtient par un m{\^e}me raisonnement, $u^{\prime \prime} = 0$ dans
$\Di(]\frac{1}{2},1[)$ et donc dans $L^2(\frac{1}{2},1)$. Donc finalement $u \in
H^2(0,\frac{1}{2})\cap H^2(\frac{1}{2},1)$. On peut alors faire des int{\'e}grations
par
parties sur les deux sous-intervalles $(0,\frac{1}{2})$ et $(\frac{1}{2},1)$. Si $v
\in V$ alors
\[ \begin{array}{cclclcl}
0&=& -\int_0^{\frac{1}{2}} u^{\prime \prime}v&=&
\int_0^{\frac{1}{2}}u^{\prime}v^{\prime} -[u^{\prime}v]_0^{\frac{1}{2}}&=&
\int_0^{\frac{1}{2}}u^{\prime}v^{\prime} + u^{\prime}(0)v(0),\\
\\
0&=& -\int_{\frac{1}{2}}^1 u^{\prime \prime}v&=& \int_{\frac{1}{2}}^1
u^{\prime}v^{\prime} -[u^{\prime}v]_{\frac{1}{2}}^1&=& \int_{\frac{1}{2}}^1
u^{\prime}v^{\prime} - u^{\prime}(1)v(1).
\end{array} \]
On ajoute ces deux {\'e}galit{\'e}s, alors $a(u,v) + u^{\prime}(0)v(0) -
u^{\prime}(1)v(1)
= 0$ $\Longrightarrow$ $\left(1+u^{\prime}(0)\right)v(0) = u^{\prime}(1)v(1)$,
$\forall v\in V$. Donc n{\'e}cessairement $u^{\prime}(0) = -1$ et $u^{\prime}(1) =
0$.
Donc on a r{\'e}solu
\[ \left\{ \begin{array}{lcl}
u^{\prime \prime} &=& 0 \,\,\,\mbox{sur }(0,\frac{1}{2})\\
u\left(\frac{1}{2}\right) &=& 0\\
u^{\prime}(0) &=& -1
\end{array} \right. \qquad \mbox{et}\qquad \left\{ \begin{array}{lcl}
u^{\prime \prime} &=& 0 \,\,\,\mbox{sur }(\frac{1}{2},1)\\
u\left(\frac{1}{2}\right) &=& 0\\
u^{\prime}(1) &=& 0
\end{array} \right. \]
de solutions respectives  :
\begin{eqnarray*}
u(x) &=& - x + \frac{1}{2} \quad \mbox{sur}\,\, [0,\frac{1}{2}]\\
u(x) &=& 0 \quad \mbox{sur}\,\, [\frac{1}{2},1]
\end{eqnarray*}
On voit tout de suite que $u \not\in H^2(0,1)$ (sinon elle serait ${\cal C}^1$). \\
Au sens des distributions, il est clair que $u^{\prime} = -\ind_{(0,\frac{1}{2})}
\in
L^2(0,1)$ et que $u^{\prime \prime} = \delta_{\frac{1}{2}} \not\in L^2(0,1)$.
\\ \\
{ \bf Exercice 4}
\\ \\
$v \rightarrow {\Vert v^{\prime} \Vert}_{L^2}$ est bien une semi-norme sur
$H^1(0,+\infty)$. Si ${\Vert v^{\prime} \Vert}_{L^2} = 0$ alors $v^{\prime} = 0$
p.p.
et donc $v$ est une constante. Or la seule constante de $L^2(0,+\infty)$ est la
constante nulle donc c'est bien une norme sur $H^1(0,+\infty)$. On a {\'e}videmment
${\Vert v^{\prime} \Vert}_{L^2} \leq {\Vert v \Vert}_{H^1}$.\\
Soit $u_n(x) = n-x$ si $x \leq n$ et $u_n(x) = 0$ sinon. Alors $u_n \in
H^1(0,+\infty)$, ${\Vert u_n^{\prime} \Vert}_{L^2}^2 = n$ et ${\Vert u_n
\Vert}_{L^2}^2 = \frac{n^3}{3}$ donc les deux normes ne peuvent pas {\^e}tre
{\'e}quivalentes sur $H^1(0,+\infty)$.
\\ \\
{ \bf Exercice 5}
\\ \\
1) Par le Th{\'e}or{\`e}me des accroissements finis, il existe $C>0$ tel que $\forall u
\in \Hun$, $\vert f(u) \vert \leq \vert f(0) \vert + C\,\vert u \vert \in \Ld$ donc
$f(u) \in \Ld$.\\
2) Soit $u_n \in \DD(\RR)$ tel que $u_n \rightarrow u$ dans $\Hun$.

a) De la m{\^e}me fa{\c c}on, on a : $\vert f(u_n) - f(u) \vert \leq C\,\vert u_n -u
\vert$ donc $u_n \rightarrow u$ dans $\Ld$ $\Longrightarrow$ $f(u_n) \rightarrow
f(u)$ dans $\Ld$.

b) On a $\vert \alpha_n \vert \leq C\,\vert u_n^{\prime} - u^{\prime} \vert$ donc
$u_n^{\prime} \rightarrow u^{\prime}$ dans $\Ld$ $\Longrightarrow \alpha_n
\rightarrow 0$ dans $\Ld$. Comme $u_n \rightarrow u$ dans $\Ld$, il existe une
sous-suite $u_{n_k}$ telle que $u_{n_k} \rightarrow u$ p.p. Par continuit{\'e} de
$f^{\prime}$, $f^{\prime}(u_n) \rightarrow f^{\prime}(u)$ p.p. D'o{\`u} finalement,
\[ \left. \begin{array}{l}
\beta_{n_k} \rightarrow 0 \quad \mbox{p.p.}\\
\vert \beta_{n_k} \vert \leq 2 \Vert f^{\prime} \Vert_{\infty} \vert u^{\prime}
\vert \in \Ld
\end{array}  \right\} \Longrightarrow \beta_{n_k} \longrightarrow 0 \mbox{ dans }
\Ld, \]
par le Th{\'e}or{\`e}me de convergence domin{\'e}e.

c)Soit $\vfi \in \DD(I)$, alors
$$(\star) \qquad \int_I f(u_n) \vfi^{\prime}\,= - \int_I
f^{\prime}(u_n)u_n^{\prime} \vfi,$$
puisque toutes les fonctions consid{\'e}r{\'e}es sont assez r{\'e}guli{\`e}res. Comme
$f(u_n) \rightarrow f(u)$ dans $\Ld$, $\int_I f(u_n) \vfi^{\prime} \longrightarrow
\int_I f(u) \vfi^{\prime}$.\\
D'autre part, $f^{\prime}(u_n)u_n^{\prime} - f^{\prime}(u)u^{\prime} = \alpha_n +
\beta_n$ donc
\[ \left.
\begin{array}{lll}
\alpha_n \rightarrow 0 \mbox{ dans } \Ld & \Longrightarrow & \int_I \alpha_n \vfi
\longrightarrow 0 \\
\beta_{n_k} \rightarrow 0 \mbox{ dans } \Ld & \Longrightarrow & \int_I \beta_{n_k}
\vfi \longrightarrow 0
\end{array} \right\} \Longrightarrow \int_I (\alpha_{n_k}+\beta_{n_k}) \vfi
\longrightarrow 0. \]
D'o{\`u} en passant {\`a} la limite dans ($\star$), pour une sous-suite, on obtient :
$$\int_I f(u) \vfi^{\prime}\,= - \int_I f^{\prime}(u)u^{\prime} \vfi,$$
et ceci $\forall \vfi \in \DD(I)$. Or $f^{\prime}(u)u^{\prime} \in \Ld$ car
$f^{\prime} \in \Linf(I)$ et $u^{\prime} \in \Ld$, donc $f(u) \in \Hun$ et
${(f(u))}^{\prime} = f^{\prime}(u)u^{\prime}$. \\
3) Soit $\eps > 0$ fix{\'e}, $\feps(t) \rightarrow 0$ quand $t \rightarrow 0$ par
valeurs positives, donc $\feps \in {\cal C}(\RR)$. De plus, si $t>0$,
$\feps^{\prime}(t) = \frac{t}{\sqrt{(t^2+\ep^2)}} \longrightarrow 0$ quand $t
\rightarrow 0$, donc $\feps \in {\cal C}^1(\RR)$. Enfin, $\forall \ep>0$ et
$\forall t \in \RR$, $\vert \feps^{\prime}(t) \vert \leq 1$ donc $\feps \in E$ et
$\forall \ep>0$ et $\forall t$, $\vert \feps(t) \vert \leq \vert t \vert$.\\
Quand $\ep \rightarrow 0$, $\feps(t) \rightarrow 0$ si $t \leq 0$ et $\feps(t)
\rightarrow t$ si $t \geq 0$ donc $\feps(t) \rightarrow t^+$. D'o{\`u}
\[ \left.  \begin{array}{l}
\feps(u) \rightarrow u^+ \mbox{ p.p.}\\
\vert \feps(u) \vert \leq \vert u \vert \in \Ld
\end{array} \right\} \Longrightarrow \feps(u) \longrightarrow u^+ \mbox{ dans }
\Ld,
\]
par le Th{\'e}or{\`e}me de convergence domin{\'e}e.\\
4) D'apr{\`e}s 2), $\feps(u) \in \Hun$ et $\forall \ep>0$, $\forall \vfi \in \DD(I)$,
$ \int_I \feps(u) \vfi^{\prime}\,= - \int_I \feps^{\prime}(u)u^{\prime} \vfi$. On
sait que $\feps(u) \rightarrow u^+$ dans $\Ld$ donc $\int_I \feps(u) \vfi^{\prime}
\longrightarrow \int_I u^+ \vfi^{\prime}$. D'autre part,
\[ \left.
\begin{array}{llll}
\feps^{\prime}(t) &=& \frac{t}{\sqrt{t^2+\ep^2}}, &t>0\\
                  &=& 0,&t \leq 0
                  \end{array} \right\} \stackrel{\ep \rightarrow
0}{\longrightarrow}
                   \left\{ \begin{array}{ll}
                  1&\mbox{si } t>0\\
                  0&\mbox{sinon}
                  \end{array} \right\} = \ind_{[t>0]},\]
donc
\[ \left.
\begin{array}{l}
\feps^{\prime}(u) \rightarrow \ind_{[u>0]} \mbox{ p.p.}\\
\vert \feps^{\prime}(u)u^{\prime} \vert \leq \vert u^{\prime} \vert \in \Ld
\end{array} \right\} \Longrightarrow  \feps^{\prime}(u)u^{\prime} \longrightarrow
\ind_{[u>0]}u^{\prime} \mbox{ dans } \Ld,\]
par le Th{\'e}or{\`e}me de convergence domin{\'e}e. D'o{\`u}
$$\int_I \feps^{\prime}(u)u^{\prime} \vfi\,\longrightarrow \int_I
\ind_{[u>0]}u^{\prime} \vfi.$$
A la limite, on obtient : $\int u^+ \vfi = - \int \ind_{[u>0]}u^{\prime} \vfi$,
$\forall \vfi \in \DD(I)$, donc $u^+ \in \Hun$ et $(u^+)^{\prime} =
\ind_{[u>0]}u^{\prime}$.\\
5) On a $u^- = (-u)^+$ donc $u^- \in \Hun$, $(u^-)^{\prime} = -
\ind_{[u<0]}u^{\prime}$ et $\vert u \vert = u^+ + u^- \in \Hun.$\\
(La d{\'e}monstration est la m{\^e}me en dim$\,>1$, en rempla{\c c}ant $u^{\prime}$ par
$\frac{\partial}{\partial x_i}u$.)
\\ \\
{ \bf Exercice 6}
\\ \\
Soit $N$ une norme d{\'e}rivant d'un produit scalaire, alors $N^2$ est ${\cal
C}^{\infty}$ et sa d{\'e}riv{\'e}e seconde est une forme bilin{\'e}aire sym{\'e}trique
d{\'e}finie positive (c'est {\`a} une constante positive pr{\`e}s le produit scalaire)
donc $N^2$ est strictement convexe.\\
Une norme est convexe et non strictement convexe car $N(tu)=tN(u)$ si $t>0$.
\\ \\
{ \bf Exercice 7}
\\ \\
On note $\Hnulo = \{u \in \Huno\,:\,u(0)=u(1)=0 \}.$\\
1) Si $u \in \Hnulo$ alors on peut {\'e}crire $u(x) = \int_0^x u^{\prime}(t) dt$
(voir le Th{\'e}or{\`e}me 11.1, ch.11). En
appliquant Cauchy-Schwarz, on en d{\'e}duit que $\vert u(x) \vert \leq \sqrt{x} \Vert
u^{\prime} \Vert_2$. On {\'e}l{\`e}ve cette derni{\`e}re in{\'e}galit{\'e} au carr{\'e} et on
int{\`e}gre, on obtient alors $\Vert u \Vert^2 \leq \frac{1}{2} \Vert u^{\prime}
\Vert_2^2$, d'o{\`u} $\Vert u^{\prime} \Vert_2^2 \leq \Vert u \Vert_{H^1}^2 \leq
\frac{3}{2} \Vert u^{\prime} \Vert_2^2$. On en conclut que $(\Hnulo,\Vert
u^{\prime} \Vert_2)$ est un espace de Hilbert.\\
2) Si $v \in \Huno$ alors $v \in L^2 \cap L^{\infty}$ car $\Huno \subset {\cal
C}[0,1]$. Donc $v \in L^q$, $\forall q \geq 2$ et $F(v)$ a bien un sens. Comme
$\vert \int_0^1 fv \vert \leq \Vert f \Vert_2 \Vert v \Vert_2 \leq
\frac{1}{\sqrt{2}} \Vert f \Vert_2 \Vert v^{\prime} \Vert_2$ si $v \in \Hnulo$, il
existe $C>0$ tel que $F(v) \geq \frac{1}{2} \Vert v^{\prime} \Vert_2^2 -
\frac{1}{\sqrt{2}} \Vert f \Vert_2 \Vert v^{\prime} \Vert_2 \geq C$, $\forall v \in
\Hnulo$. De plus $F(v) \longrightarrow +\infty$ quand $\Vert v^{\prime} \Vert_2
\rightarrow \infty$.\\
D'autre part, comme $\Huno \subset {\cal C}[0,1]$ avec injection continue, il
existe $M>0$ tel que $\forall v \in \Huno$, $\Vert v \Vert_4 \leq M \Vert v
\Vert_{H^1}$, ce qui montre que $F$ est continue sur $\Hnulo$. Enfin $F$ est
convexe ($\Vert v \Vert_4^4$= compos{\'e}e de $x \mapsto x^4$, croissante et convexe
sur $\RR^+$ et d'une norme est convexe). Donc $F$ est s.c.i. faible et le
Th{\'e}or{\`e}me sur l'inf des fonctions s.c.i. (Corollaire 4.5, ch.4) montre qu'il
existe $u \in \Hnulo$ tel
que $F(u) \leq F(v)$, $\forall v \in \Hnulo$. L'unicit{\'e} provient du fait que $F$
est strictement convexe car le terme $\Vert v^{\prime} \Vert_2^2$ l'est d'apr{\`e}s
l'exercice pr{\'e}c{\'e}dent.\\
3) Soient $t>0$ et $v \in \Hnulo$ alors $F(u+tv) - F(u) \geq 0$ donc
$$\frac{F(u+tv) - F(u)}{t} = \int_0^1 u^{\prime}v^{\prime} + \int_0^1 u^3 v -
\int_0^1 fv + t \,{\cal O}(1) \geq 0.$$
Quand $t \rightarrow 0$, on obtient
$$\int_0^1 u^{\prime}v^{\prime} + \int_0^1 u^3 v - \int_0^1 fv \geq 0,$$
et en changeant $v$ en $-v$,
$$\int_0^1 u^{\prime}v^{\prime} + \int_0^1 u^3 v - \int_0^1 fv = 0,$$
pour tout $v \in \Hnulo$.\\
4) En particulier, comme $\DD(]0,1[) \subset \Hnulo$, on a
$$\int_0^1 u^{\prime}\vfi^{\prime} + \int_0^1 u^3 \vfi = \int_0^1 f\vfi,\quad
\forall \vfi \in \DD(]0,1[).$$
On utilise maintenant le fait que $u^{\prime},\,u^3,\,f$ sont dans $L_{loc}^1$ et
d{\'e}finissent des distributions pour {\'e}crire que
 \begin{eqnarray*}
\int_0^1 u^{\prime}\vfi^{\prime} &=& <u^{\prime},\vfi^{\prime}> = -<u^{\prime
\prime},\vfi>,\\
\int_0^1 u^3 \vfi &=& <u^3,\vfi>,\\
\int_0^1 f\vfi &=& <f,\vfi>,
\end{eqnarray*}
et donc $<-u^{\prime \prime} + u^3 - f,\vfi> = 0$, $\forall \vfi \in \DD(]0,1[)$.
D'o{\`u} $-u^{\prime \prime} + u^3 = f$ dans $\Di(]0,1[)$. Comme $f$ et $u^3$ sont
dans $\Ld$, on en d{\'e}duit que $u^{\prime \prime} \in \Ld$ donc l{\'e}galit{\'e} a lieu
p.p et $u \in H^2(0,1)$.\\
5) Comme $F$ est convexe, on a : $\forall t \in ]0,1]$, $F(u+t(v-u))\leq
F(u)+t[F(v)-F(u)]$, $\forall v \in \Hnulo$. Donc
$$\frac{F(u+t(v-u)) - F(u)}{t} \leq F(v)-F(u),\quad \forall t>0.$$
On a vu en 3) que
$$\frac{F(u+t(v-u)) - F(u)}{t} = \int_0^1 u^{\prime}(v-u)^{\prime} + \int_0^1 u^3
(v-u) - \int_0^1 f(v-u) + t \,{\cal O}(1).$$
Comme $u \in H^2\cap\Hnulo$ et $v\in \Hnulo$, on a $\int_0^1
u^{\prime}(v-u)^{\prime} = - \int_0^1 u^{\prime \prime} (v-u)$ donc
$$\frac{F(u+t(v-u)) - F(u)}{t} = \int_0^1 (\underbrace{- u^{\prime \prime} + u^3
-f}_{= 0})(v-u) + t {\cal O}(1),\quad \forall t>0.$$
En particulier, $F(v)-F(u) \geq t {\cal O}(1)$ et quand $t \rightarrow 0$, on
obtient $F(v) \geq F(u)$, $\forall v \in \Hnulo$. Donc $u$ est solution de
$(\star)$.\\
6) On suppose que $f \geq 0$ p.p. Si u est solution de $(\star)$ alors on a vu que
$\forall v \in \Hnulo$,  $\int_0^1 u^{\prime}v^{\prime} + \int_0^1 u^3 v = \int_0^1
fv$. On choisit $v = u^- = - \inf(0,u)$ alors $v \in \Hnulo$ (voir l'exercice 5),
$v \geq 0$ et on
obtient $ - \int_0^1 (u^-)^{\prime 2}  - \int_0^1 (u^-)^4 = \int_0^1 fu^- \geq 0$.
On en d{\'e}duit par exemple que $\int_0^1 (u^-)^4 \leq 0$ et donc que $u^- = 0$ p.p.
D'o{\`u} $u \geq 0$ p.p.
\\ \\
{\bf Exercice 8}
\\ \\
1) $V$ est un sous-espace vectoriel de $H^1(0,1)$. On pose $L(v) = v(0) -kv(1)$
alors $\vert L(v) \vert \leq (1+ \vert k \vert)\sup_{[0,1]} \vert v(x) \vert$.
Comme $H^1(0,1)$ s'injecte de fa{\c c}on continue dans ${\cal C}([0,1])$, $\exists
C$ constante telle que $\forall v \in H^1(0,1)$, $\sup_{[0,1]} \vert v(x) \vert
\leq \Vert v \Vert_{H^1}$. Donc $\vert L(v) \vert \leq (1+ \vert k \vert) C \Vert v
\Vert_{H^1}$. Ainsi $V$, noyau d'une forme lin{\'e}aire continue, est ferm{\'e}.\\
2) Pour $v \in H^1(0,1)$, on {\'e}crit que $v(x) = v(0) + \int_0^x v^{\prime}(t) dt$.
En particulier si $v \in V$ alors $v(1) = kv(1) + \int_0^1 v^{\prime}(t) dt$. Donc,
$$\vert 1-k \vert \;\vert v(1) \vert \leq \int_0^1 \vert v^{\prime}(t) \vert dt
\leq \Vert v^{\prime} \Vert_2,$$
par Cauchy-Schwarz.  Alors,
$$ \vert v(1) \vert \frac{1}{\vert 1-k \vert} \Vert v^{\prime}
\Vert_2\,\,\mbox{et}\,\, \vert v(0) \vert \leq \frac{\vert k \vert}{\vert 1-k
\vert} \Vert v^{\prime} \Vert_2.$$
D'o{\`u}
$$ \vert v(x) \vert \leq \left( 1+ \frac{\vert k \vert}{\vert 1-k \vert} \right)
\Vert v^{\prime} \Vert_2,$$
et $\Vert v \Vert_{\infty} \leq C \Vert v^{\prime} \Vert_2$.\\
3) $a(.,.)$ est clairement bilin{\'e}aire et sym{\'e}trique. Soit $v \in V$, comme
$\left( \int_0^1 v \right)^2 \leq \int_0^1 \vert v \vert^2$, on a $a(v,v) \geq
\Vert v^{\prime} \Vert_2^2 \geq 0$. Si $a(v,v) = 0$ alors $\Vert v^{\prime} \Vert_2
= 0$ et d'apr{\`e}s 2), $\Vert v \Vert_{\infty} = 0$ donc $v=0$. On en conclut que
$a(.,.)$ est bien un produit scalaire sur $V$. \\
Soit $\Vert v \Vert_a = \sqrt{a(v,v)}$. On a {\'e}videmment $\Vert v \Vert_a^2 \leq
\Vert v \Vert_{H^1}^2$.\\
D'autre part si $v \in V$, $\Vert v \Vert_2 \leq \Vert v \Vert_{\infty} \leq C
\Vert v^{\prime} \Vert_2$ par 2). Donc,
$$\Vert v \Vert_{H^1}^2 = \Vert v \Vert_2^2 + \Vert v^{\prime} \Vert_2^2 \leq (C^2
+1) \Vert v^{\prime} \Vert_2^2 \leq \Vert v \Vert_a^2.$$
D'o{\`u},
$$\left(\frac{1}{C^2+1}\right) \Vert v \Vert_{H^1}^2 \leq \Vert v \Vert_a^2 \leq
\Vert v \Vert_{H^1}^2,$$
et les deux normes sont {\'e}quivalentes.\\
4) Soit $\ell(v) = \int_0^1 fv$, alors $\ell$ est une forme lin{\'e}aire sur $V$. Et
$$\vert \ell(v) \vert \leq \Vert f \Vert_2\;\Vert v \Vert_2 \leq
(C^2+1)^{\frac{1}{2}} \Vert f \Vert_2\;\Vert v \Vert_a,$$
montre que $\ell$ est continue sur $V$ pour $\Vert \,\, \Vert_a$.\\
$V$ est ferm{\'e} dans $H^1$ donc complet pour la norme $H^1$. Par {\'e}quivalence des
normes, on d{\'e}duit que $\left( V, a(.,.)\right)$ est un espace de Hilbert. Le
Th{\'e}or{\`e}me de Riesz s'applique {\`a} $\ell$ donc il existe un unique $u \in V$ tel
que $\ell(v) = a(u,v)$, $\forall v \in V$.\\
5) Soit $u$ solution de $(\star)$ alors :
$$\forall v \in V,\qquad \int_0^1 u^{\prime} v^{\prime} = \int_0^1 \left( f - u +
\int_0^1 u \right) v.$$
En particulier, $\forall \vfi \in {\cal C}_c^{\infty}(]0,1[)$,
$$<-u^{\prime\prime},\vfi> = \int_0^1 u^{\prime} \vfi^{\prime} = \int_0^1 \left( f
- u + \int_0^1 u \right) \vfi = < \left( f - u + \int_0^1 u \right),\vfi >,$$
donc $-u^{\prime\prime} = f -u + \int_0^1 u$ au sens des distributions. Comme
$f,\;u,\;\int_0^1 u \in L^2$, on a $u^{\prime\prime} \in L^2$ donc $u \in H^2(0,1)$
et $-u^{\prime\prime} = f -u + \int_0^1 u$ p.p.  $(\star\star)$.\\
Si $v \in V$, comme $u \in H^2$, on peut int{\'e}grer par parties et on a
\begin{eqnarray*}
\int_0^1 u^{\prime} v^{\prime}&=& - \int_0^1 u^{\prime\prime} v + u^{\prime}(1)v(1)
-  u^{\prime}(0)v(0),\\
 &=& - \int_0^1 u^{\prime\prime} v + (u^{\prime}(1)-ku^{\prime}(0)) v(1).
 \end{eqnarray*}
Alors, en tenant compte de l'{\'e}quation $(\star \star)$, $a(u,v) = \int_0^1 fv$
$\Longrightarrow$ $(u^{\prime}(1)-ku^{\prime}(0)) v(1) = 0$ et ceci pour tout $v
\in V$, donc n{\'e}cessairement $u^{\prime}(1)=ku^{\prime}(0)$. Les conditions aux
limites satisfaites par $u$ sont donc
\[(\star\star\star)\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
u^{\prime}(1)=ku^{\prime}(0)\\
u(0) = ku(1).\,\,(u \in V)
\end{array} \right. \]
Et r{\'e}ciproquement, si $u \in H^2(0,1)$ satisfait l'{\'e}quation $(\star\star)$ et
les conditions aux limites $(\star\star\star)$ ci-dessus, alors $u$ v{\'e}rifie
$(\star)$.\\
6) On a vu en 2) que $\vert u_n(x) \vert^2 \leq \left( 1+\frac{\vert k_n
\vert}{\vert 1-k_n \vert} \right) \Vert u_n^{\prime} \Vert_2^2$ avec $k_n \not= 1$.
La suite $\left( 1+\frac{\vert k_n \vert}{\vert 1-k_n \vert} \right)_n$ est
born{\'e}e et non nulle car elle converge vers $1+\frac{\vert k \vert}{\vert 1-k
\vert}$. Donc $\exists M>0$ tel que $\Vert u_n \Vert_2^2 \leq M\;\Vert u_n^{\prime}
\Vert_2^2$, $\forall n$. De plus,
$$\frac{1}{M} \Vert u_n \Vert_2^2 \leq \Vert u_n^{\prime} \Vert_2^2 \leq \vert
a(u_n,u_n) \vert = \vert \int_0^1 fu_n \vert \leq \Vert f \Vert_2\;\Vert u_n
\Vert_2.$$
Donc,
\[\begin{array}{lllll}
\Vert u_n \Vert_2^2 &\leq& M\;\Vert f \Vert_2\;\Vert u_n \Vert_2 &\leq& M\;\Vert f
\Vert_2\;\Vert u_n \Vert_{H^1}\,\,\mbox{et}\\
\Vert u_n^{\prime} \Vert_2^2 &\leq& \Vert f \Vert_2\;\Vert u_n \Vert_2 &\leq& \Vert
f \Vert_2\;\Vert u_n \Vert_{H^1}.
\end{array}\]
Donc $\Vert u_n \Vert_{H^1}^2 \leq (M+1) \Vert f \Vert_2\;\Vert u_n \Vert_{H^1}$
d'o{\`u} la suite $(u_n)_n$ est born{\'e}e dans $H^1$.\\
7) Comme $H^1$ est r{\'e}flexif, on peut extraire une sous-suite $(u_{n_p})_p$
convergeant faiblement dans $H^1$ vers $u\star$. Avec l'injection compacte de
$H^1(0,1)$ dans ${\cal C}([0,1])$, on en d{\'e}duit que $u_{n_p} \rightarrow u\star$
uniform{\'e}ment sur $[0,1]$. Comme $u_{n_p} \in V_{n_p}$, $u_{n_p}(0) = k_{n_p}
u_{n_p}(1)$ et chaque terme converge. A la limte, on a $u\star(0) = k u\star(1)$
donc $u\star \in V$.\\
8) On v{\'e}rifie facilement que $v_n \in V_n$ et $\vert v_n(t) - v(t) \vert^2 =
\vert \frac{k-k_n}{k_n -1} \vert \,\vert v(1) \vert^2$. Donc $\Vert v_n-v \Vert_2^2
= \vert \frac{k-k_n}{k_n -1} \vert \,\vert v(1) \vert^2 \rightarrow 0$. D'autre
part, $v_n^{\prime} = v^{\prime}$ donc $v_n \rightarrow v$ dans $H^1$.\\
Comme $u_{n_p} \rightharpoonup u\star$ dans $H^1$ faible et $v_{n_p} \rightarrow v$
dans $H^1$ fort, $(u_{n_p},v_{n_p})_{H^1} \rightarrow (u\star,v)_{H^1}$. Les autres
termes de $(\star)_{n_p}$ passent {\`a} la limite sans probl{\`e}mes et on obtient
$a(u\star,v) = \int_0^1 fv$, ceci $\forall v \in V$, par unicit{\'e} de $u$,
$u\star=u$.\\
9) Comme $u_{n_p} \rightarrow u$ uniform{\'e}ment sur $[0,1]$, $\left(\int_0^1
(u_{n_p}-u) \right)^2 \rightarrow 0$. D'autre part, on peut {\'e}crire $a(u_{n_p} -
u,u_{n_p}-u) = \int_0^1 fu_{n_p} -2a(u_{n_p},u) +a(u,u)$ et chaque terme converge
car $u_{n_p}$ converge faiblement dans $H^1$. Donc,
$$\Vert u_{n_p}-u \Vert_{H^1}^2 = a(u_{n_p}-u,u_{n_p}-u) + \left(\int_0^1
(u_{n_p}-u) \right)^2 \rightarrow \int_0^1 fu - a(u,u) = 0.$$
10) Sinon, $\exists A>0$, il existe une sous-suite $(u_{n_p})_p$ telle que $\Vert
u_{n_p}-u \Vert_{H^1} \geq A > 0$.\\
On sait alors qu'il existe une sous-suite de $(u_{n_p})_p$, encore not{\'e}e
$(u_{n_p})_p$, qui converge vers $u$ dans $H^1$ faible. Comme en 9), on montre
qu'en fait, elle converge fortement vers $u$ dans $H^1$, d'o{\`u} contradiction.\\
11) $T$ est bien d{\'e}finie et lin{\'e}aire par unicit{\'e} de la solution de $(\star)$
et par sym{\'e}trie de $a$, on a $\int_0^1 fTg = \int_0^1 gTf$. V{\'e}rifions que $T$
est continue. Par 3), $\exists C>0$ tel que $\forall u \in V$, $C\;\Vert u
\Vert_{H^1}^2 \leq a(u,u)$ donc en choisissant $u = Tf$, on obtient : $C\;\Vert Tf
\Vert_{H^1}^2 \leq \int_0^1 fTf \leq \Vert f \Vert_2 \;\Vert Tf \Vert_2$. Comme
$\Vert\,\,\Vert_2 \leq \Vert \,\,\Vert_{H^1}$, on en d{\'e}duit que $\Vert Tf \Vert_2
\leq \frac{1}{C} \Vert f \Vert_2$ et $T$ est continue.\\
Pour montrer que $T$ est compacte, on va utiliser le crit{\`e}re d{\'e}montr{\'e} dans
l'exercice 3 du Chapitre IV. $L^2$ {\'e}tant r{\'e}flexif, il suffit de montrer que si
$f_n \rightharpoonup f$ dans $L^2$ faible, $Tf_n \rightarrow Tf$ dans $L^2$ fort.
Comme $C\;\Vert Tf_n \Vert_{H^1}^2 \leq \Vert f_n \Vert_2 \;\Vert Tf_n
\Vert_{H^1}$, on en d{\'e}duit que $(Tf_n)_n$ est born{\'e}e dans $H^1(0,1)$
r{\'e}flexif, donc il existe une sous-suite $(Tf_{n_k})_k$ qui converge faiblement
vers un $g \in H^1$. Alors $Tf_{n_k} \rightarrow g$ dans ${\cal C}([0,1])$ et donc
dans $L^2$ fortement et faiblement. Comme $T$ est lin{\'e}aire continue, on en
d{\'e}duit que $g=Tf$ (voir l'exercice 3 Chapitre III). Donc toute la suite
$(Tf_n)_n$ converge vers $Tf$ dans $L^2$.


\chapter{Notations}
$E_{\om} =$ l'espace $E$ muni de la topologie faible $\sigma(E,\Ep)$.\\
$E_{\om\star} =$ l'espace $E$ muni de la topologie faible $\star$
$\sigma(\Ep,E)$.\\
$L(E,F) =$ l'espace des applications lin{\'e}aires de $E$ dans $F$.\\
${\cal L}(E,F) =$ l'espace des applications lin{\'e}aires continues de $E$ dans
$F$.\\
$\Ep = {\cal L}(E,\RR)$\\
$(E_{\om})^{\prime} =$ l'espace des applications lin{\'e}aires continues de $E$ muni
de la toplogie faible {\`a} valeurs dans $\RR$.\\
$(E_{\om\star})^{\prime} =$ l'espace des applications lin{\'e}aires continues de $E$
muni de la toplogie faible $\star$ {\`a} valeurs dans $\RR$.\\
$<f,x> = f(x)$ est le crochet de dualit{\'e} $\Ep,E$.\\
int($A$) = int{\'e}rieur de $A$.\\
$\vert A \vert =$ la mesure de $A$ si $A$ est un ensemble.\\
$E \setminus F = \{ x\in E : x \not\in F \}$.\\
vect$\{a_1,...,a_n \}$ est l'espace vectoriel engendr{\'e} par $a_1,...,a_n$, on
pourrait l'{\'e}crire $\RR a_1+...+\RR a_n$.\\
$\vois =$ l'ensemble des voisinages de $x$ pour la topologie consid{\'e}r{\'e}e.\\
${\cal V}_{\om}(x) =$ l'ensemble des voisinages de $x$ pour la topologie faible.\\
$\rightharpoonup$ signifie convergence pour la topologie faible, c'est en
g{\'e}n{\'e}ral pr{\'e}cis{\'e} dans le texte.\\
P.F.I $=$ l'ensemble des parties finies de $I$.\\
$\ind_A =$ la fonction indicatrice de l'ensemble $A$.\\
$\Vert . \Vert_p =$ la norme usuelle des espaces $L^p$ ou bien $\ell^p$.\\
${\cal C}(\Om) =$ l'ensemble des fonctions {\`a} valeurs r{\'e}elles, continues sur
$\Om$.\\
${\cal C}_c(\Om) =$ l'ensemble des fonctions continues et {\`a} support compact dans
$\Om$.\\
$\DD(\Om)$ ou ${\cal C}^{\infty}_0(\Om)$ est l'ensemble des fonctions de classe
${\cal C}^{\infty}$ {\`a} support compact dans $\Om$.\\
$\Di(\Om) =$ l'ensemble des distributions sur $\Om$.

\appendix

\chapter{Exemple de travaux pratiques}


Dans tout le TD, on consid\`ere une image digitale $a(i,j)$ de taille $256
\times 256$ (i.e. $i,j \in \{1,2,...,256\}$), \`a 256 niveaux de gris
(i.e. $a(i,j) \in \{1,2,...,256\}$). Commencez, \`a partir d'une des machines
du d\'epartement, par choisir votre image parmi
celles disponibles dans le r\'ep\'ertoire $\sim$gousseau/images/ (\'evitez l'image
{\it mouche.tif} pour des raisons qui apparaitront plus loin). Pour la lire sous
matlab, tapez

\com{a=imread('image.tif');}

\noindent la variable $a$ est alors une matrices de valeur enti\`eres. Visualisez a comme
une image (les valeurs correspondent \`a des niveaux de gris, 1 est le noir et
256 le blanc)

\com{imagesc(a); colormap gray;}

\noindent puis comme une surface

\com{view(-45+180,30);}

\com{surfl(double(a));}

\com{colormap gray; shading interp; axis equal;}


\section{Manipulation de l'histogramme}

On appelle histogramme de $a$ le vecteur $h(x), 1\leq x\leq 256$
$$h(x)=\#\{  (i,j) / a(i,j)=x  \}.$$
On appelle fonction de distribution de l'image le vecteur de m\^eme taille
$$H(x)=\#\{  (i,j) / a(i,j)\leq x  \}.$$
Visualisez les vecteurs h et H correspondant a votre image

\com{[m,n]=size(a);}

\com{a=double(a);}

\com{b=reshape(a,m*n,1);}

\com{h=hist(b,255);}

\com{h=h/(m*n);}

\com{H=cumsum(h);}

\com{plot(h);figure;plot(H);}

\noindent {\it Egalisation d'histogramme:} on modifie les niveaux de gris de
l'image de mani\`ere \`a ce que sa nouvelle fonction de distribution soit le plus proche
possible de l'identit\'e. L'algorithme tr\`es simple fourni ci-dessous est une adaptation en discret de la
remarque suivante: si une variable al\'eatoire $X$ \`a valeurs dans [0,1] a
pour fonction de distribution $F$, alors la variable al\'eatoire $F(X)$ a pour
fonction de distribution l'identit\'e (le v\'erifier). Visualisez la nouvelle fonction de distribution, ainsi que le
nouvel histogramme. Qu'en pensez-vous ?

\com{H(256)=1;}

\com{b=zeros(m,n);}

\com{b=round((H(a+1)*255));}


%\section{Convergence au sens des distributions}

%On consid\`ere le signal discret $s$=(1 0 3 0 0 0 1). En utilisant un r\'esul%tat de vos TD pr\'ec\'edents, vers quoi doit converger la
%suite des convolutions de ce signal avec lui-m\^eme? Effectuez l'exp\'erience
%num\'eriquement \`a l'aide de la fonction {\it conv} (quelques convolutions
%suffisent).

%\com{s=[1 0 2 0 0 1];t=s;}

%\com{t=conv(t,s);  \% quelques fois}

%\com{plot(t,'*');}

%\noindent Qu'en pensez-vous ? Convoluez le r\'esultat avec une
%fonction porte (par exemple le signal (1 1 1 1 1)). Qu'observe-t-on ?

\section{Echantillonnage et transform\'ee de Fourier}


Calculez la transform\'ee de Fourier discr\`ete (TFD) de l'image $a$ \`a
l'aide de la fonction
{\it fft2} (se r\'ef\'erer \`a la feuille jointe pour la
d\'efinition de la TFD). La fonction {\it fftshift} sert a placer les basses
fr\'equences au centre de l'image.

\com{A=fft2(a);}

\com{A=fftshift(A);}

\com{imagesc(log(1+abs(A))); colormap(jet); colorbar }

\noindent R\'ep\'etez l'exp\'erience avec l'image {\it mouche.tif}.


\noindent Sous-echantillonnez l'image $a$ d'un facteur 2 (i.e. gardez un pixel sur
2 dans chaque direction). Qu'observe-t-on ?

\com{b=zeros(128);}

\com{for k=1:128;for l=1:128; b(k,l)=a(2*k,2*l); end; end;}

\noindent M\^eme exp\'erience avec l'image de la mouche.

\noindent Effectuez la m\^eme exp\'erience en filtrant pr\'ealablement l'image
(en la convoluant avec une fonction r\'eguli\`ere). Le
r\'esultat est-il meilleur ? pourquoi ?

\section{Zoom par 0-padding (prolongement du spectre par des z\'eros)}

On se propose de zoomer l'image $a$, par exemple d'un facteur deux dans chaque
dimension. L'id\'ee est d'ajouter des z\'eros \`a la TFD de l'image de mani\`ere \`a
augmenter sa taille tout en pr\'eservant son contenu aux faibles fr\'equences, puis
de reconstruire une image \`a partir de cette transform\'ee.

\noindent Commencez par regarder la feuille sur la TFD, et effectuez le
calcul en dimension 1.

\noindent Puis zoomez l'image $a$ d'un facteur deux:
\begin{itemize}
\item calculez $A$, la TFD de $a$
\item prolongez $A$ en une image $512 \times 512$ par ajout de z\'eros aux
hautes fr\'equences
(attention: les hautes fr\'equences sont au centre de $A$, et il est pr\'ef\'erable
d'utiliser la fonction {\it fftshift} avant de prolonger par des z\'eros). Pour
\'eviter les probl\`emes d\^us au r\^ole particulier des \'el\'ements $A(i,j)$, avec $i$
ou $j$ valant $N/2$ on peut tout simplement
annuler ces coefficients.
\item calculez $b$, TFD inverse de $A$.
\end{itemize}

Qu'observe-t-on ? En particulier aux bords de l'image ? pourquoi ?
Effectuez la m\^eme experience avec une image comportant une discontinuit\'e
nette (par exemple un carr\'e noir sur fond blanc). M\^eme questions.

\section{Translations}

On cherche \`a effectuer une translation non enti\`ere sur une image, c'est \`a dire
\`a calculer des valeurs en des points situ\'es ``entre les pixels''. On utilise le fait que si une fonction $f$
$p$-periodique est translat\'ee, les coefficients de sa s\'erie de Fourier sont
multipli\'es par une exponentielle complexe.

Calculez la valeur de cette exponentielle correspondant \`a une translation de
$t \in ]0,1[$. Fabriquez le signal $f=\chi_{[60,80]}$, ($\chi$ \'etant la
fonction indicatrice) consid\'er\'e comme
p\'eriodique sur l'intervalle $[0,128]$, translatez le de $1/2$ en multipliant
les coefficients de sa TFD par les exponentielle ad\'equates. Attention, il
faut se rappeler que les valeurs de la TFD comprise entre $N/2+1$ et $N$ ($N$
\'etant la taille du signal) correspondent en fait aux coefficients de la s\'erie de
Fourier d'indices compris entre $-N/2$ et $-1$. Visualisez le r\'esultat comme
une image (en utilisant simplement la commande {\it
imagesc}). Qu'observe-t-on?

\noindent Effectuer une nouvelle translation de $1/2$. Retrouve-t-on le signal
original? pourquoi?

\section{Phase et module de la TFD}

Nous allons maintenant illustrer l'importance respective de la phase et du
module des coefficients de la TFD. Nous commen\c{c}ons par echanger les phases
des TFD de deux images. Choisissez une image $b$ diff\'erente de $a$ (de
m\^eme taille). Calculez les TFD $A$
et $B$ respectivement de $a$
et $b$. Remplacez les coefficients de $B$ par leur modules, puis multipliez les par la phase des coefficients correspondants de A. Utilisez {\it ifft2}
et affichez le r\'esultat. Essayez avec une image de texture pour $a$, puis pour
$b$.

\com{A=fft2(a); B=fft2(b);}

\com{B=abs(B).*exp(i*angle(A));}

\com{c=ifft2(B); imagesc(real(c));}

\noindent Pour illustrer le r\^ole du module des coefficients, on effectue l'experience
suivante:
partant d'une image synth\'etique simple (un carr\'e, un disque...) on change la
phase des coefficients de sa TFD de mani\`ere al\'eatoire, puis on on calcule
l'image correspondante. Attention, lors de la modification de la phase il faut
prendre garde \`a respecter les sym\'etries de la TFD, ainsi qu'a ne pas modifier
les coefficient r\'eels $A(0,0), A(N/2,N/2), A(N/2,0), A(0,N/2)$. Une
possibilit\'e est de partir d'un bruit blanc et d'utiliser les phases de sa
TFD. Qu'observe-t-on? Effectuez la m\^eme exp\'erience \`a
partir de la texture {\it strawmat.tif}.

\section{Codes Matlab}

\vskip .5 cm
\%visualisation histogramme

a=double(a);

[m,n]=size(a);

b=reshape(a,m*n,1);

h=hist(b,256);

h=h/(m*n);

H=cumsum(h);

plot(h);

figure; plot(H);


\vskip .5 cm
\%egalisation

b=zeros(m,n);

b=round((H(a+1)*255));

b=double(b);

c=reshape(b,m*n,1);

h=hist(c,255);

h=h/(m*n);

H=cumsum(h);

figure;plot(h);figure;plot(H);



\vskip .5 cm
\%visualisation TFD

b=fft2(a);

b=fftshift(b);

imagesc(log(abs(b)+1)); colormap(jet); colorbar;

\vskip .5 cm
\%sous echantillonage brutal de a (d'un facteur 2)

M=floor(m/2); N=floor(n/2);

b=zeros(M,N);

for i=1:M;

for j=1:N;

b(i,j)=a(2*i,2*j);

end

end


\vskip .5 cm
\%zoom image

\%ATTENTION: M ET N DOIVENT ETRE PAIRS

M=m/2; N=n/2;

imagesc(a); colormap gray;

b=fft2(a);

b=fftshift(b);

c=zeros(2*m,2*n);

c(M+1:M+m,N+1:N+n)=b(:,:);

c=fftshift(c);

e=ifft2(c);

figure;

imagesc(real(e)); colormap gray;

\vskip .5 cm
\%effet de gibbs par zoom

n=128;

a=zeros(n);

a(n/4:3*n/4,n/4:3*n/4)=255;

imagesc(a);colormap gray;

b=fft2(a);

b=fftshift(b);

c=zeros(2*n);

c(n/2+1:n/2+n,n/2+1:n/2+n)=b(:,:);

c=fftshift(c);

e=ifft2(c);

figure;

imagesc(real(e)); colormap gray;

\vskip .5 cm
\%translation

taille=128; \% taille doit etre paire

a=zeros(1,taille);

a(taille/4:3*taille/4)=1;

imagesc(a); colormap gray;

b=fft(a);

omeg=exp(2*i*pi/taille);

angle=.5;

for n=1:taille/2;

b(n)=b(n)*omeg $\hat{}$ ((n-1)*angle);

end;

b(taille/2+1)=cos(pi*angle)*b(taille/2+1);

for n=taille/2+2:taille;

b(n)=b(n)*omeg $\hat{}$ ((n-taille-1)*angle);

end;

d=ifft(b);

figure;

imagesc(real(d));colormap gray;

\vskip .5 cm
\%echange de phases

\%b DOIT CONTENIR UNE IMAGE DE MEME TAILLE QUE a

A=fft2(a);

B=fft2(b);

B=abs(B).*exp(i*angle(A));

c=ifft2(B);

imagesc(real(c));

\vskip .5 cm
\%synthese de texture a partir d'un carre

a=zeros(256);

a(:,:)=256;

a(120:130,120:130)=0;

imagesc(a);colormap gray;

b=randn(256);

B=fft2(b);

A=fft2(a);

C=abs(A).*exp(i*angle(B));

c=ifft2(C);

figure;imagesc(real(c));colormap gray

\% essayez avec d'autres formes...


%\printindex
\input {last.ind}

%\chapter{Index}
%\input{newpol.idx}
\end{document}
