\documentclass[11pt,a4paper]{article}
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\newcommand{\vois}{{\cal V}(x)}
\newtheorem{lem}{Lemma}
\newtheorem{theo}{Th\'eor\`eme}
\newtheorem{theor}{Theorem}
\newtheorem{prop}{Proposition}
\newtheorem{defi}{D\'efinition}
\newtheorem{rem}{Remarque}
% ensembles Q R N Z C
\gdef\RR{\hbox{\rm I\kern-.25em\hbox{R}}}
\gdef\ind{\hbox{\rm I\kern-.25em\hbox{I}}}
\gdef\NN{\hbox{\rm I\kern-.25em\hbox{N}}}
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\gdef\ZZ{{\sl Z\hskip -1ex Z} }
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         \hbox{$\scriptscriptstyle |$}\kern+0.5 em }}
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         \hbox{$\scriptscriptstyle |$}\kern+0.5 em }}
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\begin{document}
\author{}
 \date{}
\title{} 
\maketitle
\section{Rappels de topologie g\'en\'erale }
Dans ce paragraphe, nous nous contentons de rappeler des d\'efinitions et des r\'esultats 
utiles pour la suite de cet ouvrage. Le lecteur pourra trouver les d\'emonstrations de tous 
les \'enonc\'es cit\'es dans [Choquet] et [Dixmier].\\
%\begin{thf} {\bf (Ascoli-Arzela)}
Soit E un espace topologique. On appelle voisinage de $x \in E$, tout 
sous-ensemble de E contenant un ouvert contenant x. 
On note ${\cal V}(x)$ l'ensemble des voisinages de x.\\
Cons\'equences :\\
1) Un ouvert est voisinage de chacun de ses points.\\
2) Un ensemble voisinage de chacun de ses points est ouvert. En effet, si $x 
\in A$ voisinage de chacun de ses points, alors 
$\exists W_x$ ouvert tel que $x \in W_x \subset A$. Par suite $A = \bigcup_{x 
\in A} W_x$ donc est ouvert.\\
3) Les ouverts sont connus d\'es que sont connus pour tout x les voisinages de 
x.\\
\begin{defi} On dit qu'une partie $\cal B$ de ${\cal V}(x)$ est une base de 
voisinages de ${\cal V}(x)$ si 
$\forall V \in {\cal V}(x)$, $\exists W \in {\cal B}$ tel que $W \subset V$.
\end{defi}
Donc connaissant ${\cal B}$, on obtient les \'el\'ements de $\vois$ comme 
sur-ensembles quelconques des \'el\'ements 
de ${\cal B}$.
\begin{defi} On dit que l'espace $E$ est s\'epar\'e si $\forall x,y \in E$, $x\not= y$, 
$\exists V \in {\cal V}(x)$ et $\exists U \in {\cal V}(y)$ tels que $U\cap V = \emptyset$.
\end{defi}
Dans cet ouvrage, nous ne consid\'ererons que des espaces topologiques s\'epar\'es. 
\begin{defi} {\bf Adh\'erence} \\
Soit $A$ une partie de $E$, on dit que $x \in E$ est adh\'erent \`a $A$ si $\forall V \in 
{\cal V}(x)$, $V\cap A \not= \emptyset$. On appellera adh\'erence de $A$, l'ensemble des 
points de $E$ adh\'erents \`a $A$.
\end{defi}
Si on note $\overline{A}$ le plus petit ferm\'e de $E$ contenant $A$, on peut montrer que 
$\overline{A}$ et l'adh\'erence de $A$ sont identiques et que la relation $A=\overline{A}$ 
caract\'erise les ensembles ferm\'es (voir [Choquet] ou [Dixmier]).
\begin{defi} {\bf Int\'erieur} \\
On appelle int\'erieur de d'un sous-ensemble $A$ de $E$, le plus grand ouvert contenu dans 
$A$; on le note $\mbox{int}(A)$.
\end{defi}
Il est clair que la relation $A=\mbox{int}(A)$ caract\'erise les ouverts.
\begin{defi} {\bf Partie dense et ensemble s\'eparable} \\
Soit $A$ une partie de $E$, on dit que $A$ est dense dans $E$ si $\overline{A} = E$ donc si 
$\forall O$ ouvert non vide de $E$, on a $O\cap A \not= \emptyset$. On dit que l'espace 
topologique $E$ est s\'eparable si il existe une partie $D$ dans $E$ \`a la fois d\'enombrable 
et dense dans $E$.
\end{defi}
\begin{defi} {\bf Continuit\'e} \\
Soient $E$ et $F$ deux espaces topologiques et $f$ une appplication de $E$ dans $F$. Soit $x_0 
\in E$, on dit que $f$ est continue en $x_0$ si $\forall V \in {\cal V}(f(x_0))$, $\exists U 
\in {\cal V} (x_0)$ tel que $f(U) \subset V$.
\end{defi}
On peut montrer que $f$ est continue si et seulement si $\forall O$ ouvert de $F$, $f^{-1}(O)$ 
est un ouvert de $E$ ou bien, de fa\c{c}on \'equivalente, si $\forall A$ ferm\'e de $F$, 
$f^{-1}(A)$ est un ferm\'e de $E$.
\begin{defi} {\bf Convergence de suite de points} \\
Soit $(x_n)_n$ une suite de points de $E$, on dit que la suite $(x_n)_n$ converge vers $x$ 
dans $E$, et on note $x_n \rightarrow x$, si $\forall V \in {\cal V}(x)$, $\exists N \in \NN$ 
tel que $\forall n \geq N$, $x_n \in V$.
\end{defi}
\begin{defi} {\bf Valeur d'adh\'erence d'une suite}\\
Soit $(x_n)_n$ une suite de points de $E$, on dit que $x \in E$ est valeur d'adh\'erence de 
$(x_n)_n$ si $\forall n$, $\forall V \in {\cal V}(x)$, $\exists i \geq n$ tel que $x_i \in V$.
\end{defi}
Si on note $A_n = \{ x_i,\;i\geq n\}$ alors $x$ est valeur d'adh\'erence de $(x_n)_n$ si et 
seulement si $x \in \bigcap_n \overline{A_n}$.\\ \\
{\bf Espaces compacts}
\begin{defi} Soit $E$ un espace topologique, on dit que $E$ est compact si $E$ est s\'epar\'e 
et si de tout recouvrement de $E$ par des ouverts on peut extraire un sous-recouvrement fini 
(ou bien si pour toute famille de ferm\'es de $E$ \`a intersection vide, on peut extraire une 
sous-famille finie d'intersection vide).
\end{defi}
Cons\'equences : \\
1) Si $E$ est compact et si $E= \bigcup_n \uparrow O_n$ o\`u $O_n$ est ouvert alors $\exists 
n_0$ tel que $E=O_{n_0}$.\\
2) Si $E$ est compacte et si $(F_n)_n$ est une famille d\'ecroissante de ferm\'es non vides 
alors $\bigcap_n F_n \not= \emptyset$.
\begin{prop} Si $E$ est un espace topologique compact, toute suite de points de $E$ poss\`ede 
une valeur d'adh\'erence.
\end{prop}
\begin{theo} 
1) Si $E$ est compact, $\forall F$ ferm\'e de $E$, $F$ est compact.\\
2) Si $E$ est s\'epar\'e, $\forall K$ compact de $E$, $K$ est ferm\'e.\\
3) Une union finie de compacts est compacte, une intersection quelconque de compacts est 
compacte.\\
4) Soient $E$ un espace compact et $F$ un espace topologique s\'epar\'e. Soit $f$ une 
application continue de $E$ dans $F$ alors $f(E)$ est compact.\\
5) Soient $E$ un espace compact et $f$ une application continue de $E$ dans $\RR$ alors $f$ 
est born\'ee et atteint ses bornes.
\end{theo}
Nous terminons ce sous-paragraphe par l'\'enonc\'e du th\'eor\'eme de Tychonov.
\begin{theo} {\bf Th\'eor\'eme de Tychonov}
Tout produit d'espaces compacts est compact.
\end{theo} 
{\bf Cas des espaces m\'etriques}\\
Nous rappelons ici un certain nombres de propri\'et\'es vraies dans les espaces m\'etriques. 
Dans tout ce qui suit le couple $(E,d)$, ou plus simplement $E$, d\'esignera un espace 
m\'etrique. On rappelle aussi qu'un espace m\'etrique est dit complet si toute suite de Cauchy 
converge. 
\begin{prop} 
1) Un espace m\'etrique est s\'epar\'e.\\
2) Soient $A$ une partie de $E$ et $x \in E$ alors $x \in \overline{A}$ $\Longleftrightarrow$ 
$d(x,A) =0$ $\Longleftrightarrow$ $\exists (x_n)_n \subset A$ telle que $x_n \rightarrow x$.\\
\end{prop}
\begin{prop} {\bf Valeur d'adh\'erence} \\
Soient $(x_n)_n$ une suite dans $E$ et $x \in E$. Alors $x$ est valeur d'adh\'erence de la 
suite $(x_n)_n$ si et seulement si il existe une sous-suite $(x_{n_k})_k$ qui converge vers 
$x$.
\end{prop}
Nous attirons l'attention sur le fait que le sens direct est vrai dans les espaces m\'etriques 
mais que l'on ne peut rien dire a priori dans un espace topologique quelconque.
\begin{theo}
Soit $E$ un espace m\'etrique, les conditions suivantes sont \'equivalentes :\\
(i) L'espace $E$ est compact.\\
(ii) Toute suite de points de $E$ admet une valeur d'adh\'erence.\\
(iii) Toute suite de points de $E$ a une sous-suite convergente.
\end{theo}
\begin{theo}
Un espace m\'etrique compact est complet.
\end{theo} 
Pour les d\'emonstrations de tous ces r\'esultats, nous renvoyons aux ouvrages de G.Choquet et 
J.Dixmier.

 \end{document}