Feuille 1

Applications différentiables

Notations : x, h, etc. désignent des vecteurs de IR^{N} ; x a des coordonnées (x_{i})_{i=1,...N} et une norme euclidienne |x| = \sqrt{∑ x_{i}^{2}}. Exercice 1. Donner un exemple simple de fonction continue f(x, y) telle que lim_{t→0} \frac{f(t(x,y))−f(0,0)}{t} existe pour tout (x, y) ∈ IR^{2} et telle que f ne soit pas différentiable en 0. Donner un exemple de fonction réelle d’une variable réelle différentiable en tout point de IR, mais pas C^{1} en 0. Exercice 2. On note (x, y) le produit scalaire euclidien canonique de IR^{N}. Si A est un endomorphisme de IR^{N}, on appelle endomorphisme adjoint de A l’unique endomorphisme satisfaisant (Ax, y) = (x,^{t} Ay) pour tous x, y ∈ IR^{N}. Soit u(x) une fonction relle, C^{2}, dfinie sur IR^{N}. On identifie à la différentielle Du(x) le vecteur de IR^{N}, encore noté Du(x), tel que (Du(x), h) = Du(x)(h). On identifie de même à la différentielle seconde, D^{2}u(x), l’unique endomorphisme symétrique de IR^{N} tel que D^{2}u(x)(h, k) = (D^{2}u(x)h, k).

(a) Avec ces notations, montrer que si A est un endomorphisme quelconque de IR^{N}, D(u ∘ A) =^{t} ADu ∘ A et D^{2}(u ∘ A) =^{t} A(D^{2}u ∘ A)A.

(b) En dduire que le Laplacien Δu = ∑_{i=1}^{N} \frac{∂^{2}u}{∂x_{i}^{2}} est isotrope, c’est à dire que Δ(u ∘ R) = (Δu) ∘ R pour toute isométrie de IR^{N}.

Exercice 3.

(a) Si a ∈ IR^{N}, on considère l’endomorphisme de IR^{N} défini par a ⊗ a(x) = (x, a)a. Ecrire la matrice de cet endomorphisme dans la base canonique.

(b) Soient u(x) une fonction réelle C^{2} définie dans IR^{N} et g(s) une fonction C^{2} de IR dans IR. Avec les identifications de l’exercice 2, montrer que D^{2}(g ∘ u) = g′(u)D^{2}u + g′′(u)Du ⊗ Du. Ecrire le résultat dans la base canonique sous forme matricielle.

(c) Calculer Dv(x) et D^{2}v(x) pour v(x) = |x| et x ≠ 0.

Exercice 4. Soit u : IR^{N} → IR une fonction C^{2} telle que f(tx) = t^{2}f(x) pour tout x ∈ IR^{N} et t ≥ 0. Dmontrer que f(x) est une forme quadratique et la calculer. On rappelle la formule de Taylor

u(x + h) − u(x) = Du(x)(h) + \frac{1}{2}D^{2}u(x + θh)(h, h),

où 0 ≤ θ ≤ 1 (et θ dépend de x et h).

Exercice 5. Soit k(x) une fonction réelle de x ∈ IR^{N}, continue, radiale (k(x) = k(y) si |x| = |y|), à support compact et d’intégrale égale à 1. On pose pour toute fonction réelle u(x), (k ∗ u)(x) = ∫_{IR^{N}} k(y)u(x − y)dy.

(a) On pose k_{h}(x) = \frac{1}{h^{N}} k(\frac{x}{h}). Calculer ∫ k_{h}(x)dx. Quel est son support ? Montrer que ∫ k(z)z_{i}dz = 0, ∫ k(z)z_{i}z_{j}dz = 0 si i ≠ j et que ∫ k(z)z_{i}^{2}dz = ∫ k(z)z_{j}^{2}dz.

(b) Montrer que (k_{h}∗u)(0)−u(0) = Ch^{2}Δu(0)+o(h^{2}) et exprimer C. Indications : on commencera par montrer que k_{h}∗u(x) = ∫ k(z)u(x−hz)dz. Ensuite, on effectuera un développement de Taylor de u(x − hz) au voisinage de x.

(c) En déduire que pour toute isométrie R de IR^{N}, Δ(u ∘ R) = (Δu) ∘ R.

Exercice 6. Soit u : IR^{N} → IR une fonction C^{2} et x tel que Du(x) ≠ 0. (a) Calculer \frac{∂}{∂t}(|Du(x + t\frac{Du(x)}{|Du(x)|})|^{2}) en t = 0.

(b) Calculer D^{2}u(Du, Du) pour les fonctions suivantes de IR^{2} dans IR : f(x, y) = \sqrt{x^{2} + y^{2}}, f(x, y) = Arctg(\frac{y}{x}) pour x ≠ 0

(c) On appelle ligne de gradient ou ligne de plus grande pente d’une fonction u toute courbe maximale tangente en chacun de ses points x à Du(x) ≠ 0. Quelles sont les lignes de plus grande pente des fonctions du (b) ? Interprtation gomtrique du résultat du (b) ?

Exercice 7. Soit x(s) une courbe C^{2}, i.e. une application injective, C^{2}, de [0, 1] dans IR^{2} telle que x′(s) ≠ 0 pour tout s. Montrer qu’il existe une unique reparamtrisation de la courbe, x̃(t) = x(φ(t)), telle que x̃(0) = x(0) et |x̃′(t)| = 1.

Exercice 8. On considre dans le demi-plan {x = (x, y), y ≥ 0} les courbes de la forme y = (x − λ)^{2}, x ≤ λ, y = 0 pour x ≥ λ, où λ ∈ IR. Vrifier que par chaque point du demi-plan ouvert passe une seule de ces courbes. Proposer une quation diffrentielle x′(t) = g(x) dont ces courbes sont les trajectoires. Est-il possible de choisir g localement lipschitzienne ?

Exercice 9. On considère l’espace F des fonctions u, C^{2}, définies sur le carré C = [0, 1]^{2} muni de la norme ||u|| = sup_{x∈C}(|u(x)| + |Du(x)| + |D^{2}u(x)|.) Calculer les différentielles première et seconde de

E(u) = ∫_{C} |Du(x)|^{3}dx.

Vérifier qu’elles sont continues.

Ecole Normale Suprieure de Cachan, Dpartement de Mathmatiques.