
\documentstyle[12pt,leqno]{article}
\textwidth 15cm
\oddsidemargin 0.96cm
\evensidemargin 0.96cm



%NOTA BENE :  "\pmatrix et \endpmatrix, non compris en latex,
% sont remplaces 
%par \matrice et \findematrice dont la definition suit
%exemple d'utilisation :
%$A=\matrice
%a  & b  \\
%c & d  \\ \findematrice $

\def\matrice{\left(\begin{array}{cccccccccc}}
\def\findematrice{\end{array}\right)}

\def\aligne{\begin{array}{cccccccccc}}
\def\findaligne{\end{array}}

\def\systeme{\left\{\begin{array}{ccccccccc}}
\def\findesysteme{\end{array}\right}




\def\nin{\not\in}                 % la negation de \in
\def\indic{1\!\!1}                % fonction indicatrice
\def\levelset{\chi}           % la surface de niveau
\def\meas{\mathop{\rm meas}}      % mesure de
\def\setB{\SetB}

\def\complex{l\!\!\!C}
\def\mes{\hbox{mes}}
\def\sin{\hbox{sin}}
\def\cos{\hbox{cos}}
%rappel : \overline{cequ'onveut}

\def\real{I\!\!R}
\def\natural{I\!\!N}
\def\relative{{\bf Z}}
\def\rational{{\bf Q}}
\def\complex{{\bf C}}
\def\mes{\hbox{mes}}
\def\sin{\hbox{sin}}
\def\cos{\hbox{cos}}
\def\med{\hbox{med}}
\def\interieur{\hbox{\rm Int\'{e}rieur}}
\def\signe{\hbox{\rm Signe}}
\def\vect{\hbox{\rm Vect}}
\def\Re{\hbox{\rm Re}}
\def\support{\hbox{\rm Support}}
\def\supp{\hbox{\rm Support}}

\def\fb&{\begin{equation}}
\def\fe&{\end{equation}}

%rappel : \overline{cequ'onveut}
\newtheorem{thf}{Th\e or\ee me}%[chapter]
\newtheorem{cor}{Corollaire}%[chapter]
\newtheorem{pro}{Proposition}%[chapter]
\newtheorem{Def}{D\e finition}%[chapter]
\newtheorem{lem}{Lemme}%[chapter]
\newtheorem{exa}{Exemple}%[chapter]

\newtheorem{rem}{Remarque}%[chapter]%  remarque 
\def\drem{\begin{rem}\rm}%  sans
\def\frem{\end{rem}}%      		italique !

\newtheorem{exo}{Exercice}%[chapter]
\newtheorem{propr}{Propri\e t\e}%[chapter]
\newtheorem{Exer}{Exercice}%[chapter]  %Exercice

\def\dexer{\begin{Exer}\rm}    %sans
\def\fexer{\end{Exer}}        %italique !

\def\skipaline{\vspace{4 mm}\noindent}

\def\fb& {\begin{equation}}       % debut d'une equation
\def\fe& {\end{equation}}         % fin d'une equation
\def\enddemo{\hfill $\large\circ$ \newline\newline}     % fin de preuve
\def\Varphi{{\bf \varphi}}
\def\e {\'{e}}
\def\ee {\`{e}}
\def\eee {\^{e}}
\def\e {\'{e}}
\def\ea {\'{e} }
\def\ee {\`{e}}
\def\eee {\^{e}}
\def\a {\`{a} }
\def\aa {\^{a}}
\def\ii {\^{\i}}
\def\iii {\"{\i}}
\def\ccaadd{ c'est-\`{a}-dire }

\def\u {\`{u} }

\def\uu {\^{u}}

\def\oo {\^{o}}
\def\ooo {\"{o}}


\def\skipaline{\vspace{4 mm}\noindent}





\begin{document}
\noindent{\bf Partiel d'analyse, magist\ee re de Math\e matiques, ENS Cachan,
Novembre 2000
}

\noindent {\it  Le polycopi\ea et les notes sont autoris\e s. Ne pas red\e
montrer ce qui est prouv\ea dans le polycopi\ea  ou dans un exercice 
corrig\e .  Se contenter de citer pr\e cis\e ment les passages du polycopi\ea utilis\e s.}

\dexer
\label{exercice1} {\bf G\e n\e ralisation de H\ooo lder.}
\newline
Soit $u$ : $[0, +\infty[\to [0, +\infty[$, une bijection strictement croissante.
\newline
(a) Montrer qu'il existe une suite $u_n$ de fonctions du m\eee me type que $u$,
mais $C^\infty$,  
 qui convergent uniform\e ment vers $u$ sur tout compact.
 \newline
 Conseil : \e tendre $u$ par imparit\ea en posant $u(-x)=-u(-x)$ pour $x\neq 0$.
\newline
\newline
(b) Montrer que $xu(x)=\int_0^xu(t)dt+\int_0^{u(x)} u^{-1}(t)dt.$
On recommande de dessiner le graphe de $u$ et de hachurer les aires 
correspondant aux trois termes.
\newline
\newline
(c) On pose $U(x)=\int_0^xu(t)dt$ et $V(y)=\int_0^yu^{-1}(t)dt$. D\e duire que
$xy\leq U(x)+V(y)$. Que donne cette formule si $u(s)=s^\alpha $, $0<s<+\infty$ ?
\newline
Conclure que si $U(f)\in L^1$ et $V(g)\in L^1$, alors $fg\in L^1$.
\newline
\newline
\fexer

\dexer {\bf La fonction $p\to ||f||_p^p$.}\newline
Soit $f$ une fonction mesurable \a valeurs r\e elles. On consid\ee re 
$h : ]0, +\infty[\to \real^+$ d\e finie par 
$h(p)=||f||_{L^p}^p.$ On note $E=\{p, \; h(p)<+\infty.\}$. On suppose 
que $f\neq 0$ (p.p.).
\newline
\newline 
(a) Montrer que $E$ est un intervalle.
\newline
\newline
(b) Montrer que $\hbox {Log } h$ est convexe dans l'int\e rieur de $E$ et que 
$h$ est continue sur $E$.
\newline\newline
  (c) $E$ est-il n\e cessairement ouvert ? ferm\ea ? Peut-il \eee tre r\e duit 
  \a un point ? Peut-il \eee tre n'importe quel intervalle de $[0, +\infty[$ ?
  \newline
  \newline 
  \fexer
\newpage
\dexer {\bf Application du th\e or\ee me de Banach-Steinhaus \a l'\e tude de 
s\e ries.}
\newline
\newline
(a)  Soient $c_0$ l'ensemble des suites de complexes $(\xi_n)_n$ convergeant
vers 0, muni de la norme $||\xi||_\infty=\sup_n |\xi_n|$
 et soit $l^1$ l'ensemble des suites $\alpha_n$ telles que 
$\sum_n |\alpha_n|<+\infty.$ Montrer que ce sont des espaces de Banach 
et que $c_0'=l^1$.
\newline
\newline
(b)
Montrer que si $\sum_n \alpha_n \xi_n$ converge pour toute suite 
$\xi_n$ telle que $\xi_n\to 0$ quand $n\to \infty$, alors 
$\sum_n |\alpha_n|<+\infty.$
\newline
\newline
 
 \fexer 
 
 \dexer {\bf Application du th\e or\ee me de Banach-Steinhaus \a l'\e tude des
 s\e ries de Fourier.}
 \newline
 \newline
Dans un espace topologique, on appelle $G_\delta$ toute intersection 
d\e nombrable d'ouverts. On appelle de m\eee me $F_\sigma$ toute
union d\e nombrable de ferm\e s  (Notations dues
 \a Hausdorff ; en  allemand Gebiet = ouvert, Summe = somme
et Durchschnitt = 
intersection.)  Les $G_\delta$ denses sont intuitivement des ensembles "gros".
On va en particulier donner une condition simple pour qu'ils ne soient pas 
d\e nombrables :
\newline
\newline 
(a) Montrer que dans un espace m\e trique complet $E$ sans point isol\e , aucun ensemble
dense et d\e nombrable ne peut \eee tre un $G_\delta$. 
\newline
\newline
(b) Formulation pr\e cis\e e du th\e or\ee me de Banach-Steinhaus : En reprenant la d\e monstration 
du th\e or\ee me de Banach-Steinhaus, montrer  que si $E$ et 
$F$ sont deux espaces de Banach et $T_i$ une famille d'op\e rateurs lin\e aires
continus de $E$ dans $F$, on a l'alternative suivante :
\newline
-ou bien $\sup_{i\in I} ||T_i||<+\infty$
\newline
-ou bien  $\sup_{i\in I} ||T_i(x)||=+\infty$ pour $x$ dans un $G_\delta$ dense de 
$E$.
\newline
\newline
(c) On note $C(T)$ l'espace des fonctions  $f:\real\to \complex$  continues et 
$2\pi$-p\e riodiques, muni de la norme de la convergence uniforme et 
$L^1(T)=L^1(0, 2\pi)$.
Pour $f\in C(T)$,  on  consid\ee re pour $n\in \natural$ 
les sommes partielles de la s\e rie de 
Fourier de $f$, 
$$
s_nf(x)=\frac 1 {2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)D_n(x-t)dt, 
$$
o\u 
$$
D_n(t)=\sum_{-n}^n e^{ikt}.
$$
Connaissez-vous des conditions suffisantes sur $f$ pour que 
$s_nf(x)$ tende vers $f(x)$ ?
\newline
\newline
(d)
On va montrer qu'il n'est pas vrai que $s_nf(x)$ converge vers $f(x)$ pour tout 
$f\in C(T)$ et pour tout $x$.
On pose 
$$s^\star f(x)=\sup_n|s_nf(x)|, \;\; \hbox{ et } S_nf=s_nf(0).$$
Montrer que la forme lin\e aire sur $C(T)$,
$f\to S_nf$, v\e rifie
\fb&
 \label{majoration1}
||S_n||\leq \frac 1{2\pi}||D_n||_{L^1}.
\fe&
Montrer que cette in\e galit\ea est la meilleure possible, c'est-�-dire 
qu'il existe  pour tout $n$ une suite de fonctions $f_k\in C(T)$ telles que 
$||S_nf_k||\to \frac 1{2\pi}||D_n||_{L^1}.$
\newline
\newline
(e) Montrer que 
$$D_n(t)=\frac{\sin(n+\frac 12)t}{\sin \frac t2}.$$
Dessiner $D_n(t)$ pour $n=4$. 
\newline
\newline
(f) D\e montrer que $||D_n||_{L^1}\to \infty$ quand $n\to \infty.$
\newline
\newline
(g)  D\e duire que $||S_n||\to \infty$ quand $n\to \infty$, puis que  pour tout $x$ 
dans $\real$,
$s^\star f(x)=\infty$ pour tout $f$ dans un $G_\delta$ dense de $C(T)$, not\ea 
$E_x$.
\newline
\newline
(h) Montrer que les fonctions $x\to s_nf(x)$ sont continues.
 Montrer que $s^\star f(x)$ est une fonction semicontinue inf\e rieurement et en 
d\e duire que $A_f=\{x, \; s^\star f(x)=\infty\}$ est un $G_\delta.$
\newline
\newline
(i) Soit $x_k$ une suite dense de $\real$ et $E=\bigcap E_{x_i}$, o\u les 
$E_{x_i} $ sont d\e finis \a la question (g).  Montrer que $E$ est  un 
$G_\delta$ dense de $C(T)$.
\newline
\newline
(j) Conclure qu'il existe un $G_\delta$ dense de $C(T)$ tel que pour tout $f\in E$, 
la s\e rie de Fourier diverge sur un $G_\delta$ dense, et donc non d\e nombrable,
de $\real$. 
\fexer  

\dexer
{\bf Techniques d'espaces de Banach appliqu\e es \a l'\e tude des s\e ries
de Fourier (II).}
\newline
Si $f\in L^1(0, 2\pi)$, on consid\ee re ses coefficients de Fourier, pour 
$n\in \relative$,
$$c_n(f)=\frac 1 {2\pi}\int_0^{2\pi} f(t)e^{-int}dt.$$
On appelle $c(f)=(c_n(f))_{n\in \relative}$ la suite des coefficients de Fourier,
index\e e par $\relative$.  On note $C_0(\relative)$ l'ensemble des suites $c$ index\e es
par $\relative$ telles que $c_n\to 0$ quand $n\to \pm \infty$, muni de la 
norme $||c||_\infty=\sup_n |c_n|.$
\newline
\newline
(a) Montrer que si $f\in L^1(0, 2\pi)$ v\e rifie $\int f(x)p(x)=0$ pour 
tout polyn\oo me 
trigonom\e trique, alors $f(x)=0$ p.p..
\newline
\newline
(b) Montrer que l'application $f\to c(f)$ est une application lin\e aire 
continue de $L^1(0, 2\pi)$ dans $C(\relative)$.  
\newline
\newline
(c) Montrer que l'application $f\to c(f)$ est injective.
\newline
\newline
(d) En utilisant les propri\e t\e s des fonctions $D_n(t)$ de l'exercice pr\e c\e dent,
notamment le r\e sultat de la question (e), montrer que l'application 
$f\to c(f)$ ne peut pas \eee tre surjective de  $L^1(T) $ dans $C_0(\relative).$
\newline
\newline 

\fexer

\dexer {\bf Et pour quelques points de plus...}\newline
D\e montrer le th\e or\ee me d'Egoroff.
\fexer


\end{document}