Séries de Fourier, Corrigé.

Exercice 1 Convolution et approximation.

i) Application directe du théorème de Fubini. Remarquer que si f, g ≥ 0, on a en fait par ce théorème ∫ f_{∗}g = ∫ f ∫ g. ii) Si f est continue à support compact, elle est uniformément continue et donc f(. − y) → f(.) uniformément quand y → 0. Comme les fonctions f(. − y) ont pour |y| ≤ 1 leurs supports contenus dans un borné commun, on déduit que f(.−y) → f(.) dans L^{1}. Si f ∈ L^{1}, on choisit pour tout ε une fonction g continue à support compact telle que ||f − g||_{L^{1}} < ε. On fixe η tel que |y| < η ⇒ ||g(. − y) − g(.)||_{L^{1}}|| < ε. On a alors ||f(.−y)−f(.)|| ≤ ||f(.−y)−g(.−y)||+||f(.)−g(.)||+||g(.−y)−g(.)|| < 3ε. iii) On fixe η tel que |y| < η ⇒ ||f(. − y) − f(.)||_{L^{1}}|| < ε et ensuite n_{0} assez grand pour que n ≥ n_{0} ⇒ ∫_{IR\[−η,+η]} K_{n}(x)dx < ε. On obtient alors, en utilisant l’inégalité prouvée au i) : ||f(x) − (K_{n} ∗ f)(x)||_{L^{1}} = ∫ ∫_{|y|≤η} |K_{n}(y)||f(x − y) − f(x)|dydx + ∫ ∫_{|y|≥η} K_{n}(y)|f(x − y) − f(x)|dydx = I_{1} + I_{2} Dans la première intégrale, on intègre d’abord en x, par Fubini et on utilise le fait que |y| ≤ η implique ||f(. − y) − f(.)||_{L^{1}} ≤ ε. On obtient, comme la masse totale de K_{n} est 1 : I_{1} ≤ ∫_{|y|≤η} K_{n}(y)(∫ |f(x − y) − f(x)|dx)dy ≤ ε ∫_{IR} K_{n} = ε, pour tout n. Dans la seconde intégrale, on intègre aussi d’abord en y et on utilise le fait que la masse de K_{n} en dehors d’un intervalle fixe tend vers zéro : I_{2} ≤ 2||f||_{L^{1}} ∫_{|y|≥η} K_{n}(y)dy ≤ 2||f||_{L^{1}}ε. pour n ≥ n_{0}. iv)-v) La périodicité de f_{∗}g est évidente. Tous les résultats et démonstrations de ii)- iii) s’adaptent immédiatement à la convolution 2π-périodique : il suffit de remplacer dans les raisonnements précédents "IR" par "[−π, π]" et "L^{1}(IR)" par "L^{1}(−π, π) avec 2π-périodicité". En ce qui concerne la convergence uniforme quand f est continue, on reprend le raisonnement en écrivant |f(x) − (K_{n} ∗ f)(x)| = ∫_{|y|≤η} |K_{n}(y)||f(x − y) − f(x)|dy + ∫_{|y|≥η} K_{n}(y)|f(x − y) − f(x)|dy = I_{1} + I_{2}. η a été choisi en utilisant l’uniforme continuité de f en sorte que sup_{x} |f(x − y) − f(x)| ≤ ε si |y| ≤ η et n a étéchoisi comme au iii) On a alors I_{1} ≤ sup_{x} |f(x − y) − f(x)| ∫_{IR} K_{n} ≤ ε, pour tout n, car |y| ≤ η et I_{2} ≤ 2 sup |f| ∫_{|y|≥η} K_{n}(y)dy ≤ 2 sup |f|ε si n ≥ n_{0}. vi) Il suffit de montrer que la convolution de f avec e^{ikt} est un polynøme trigonométrique. Or, (f_{∗}e^{ik.})(t) = ∫ f(s)e^{ik(t−s)}ds = e^{ikt} ∫ f(s)e^{−iks}ds, qui est un monøme trigonométrique.

Exercice 2 i) S_{k}(t) = \frac{1}{2πk}(1 + e^{it} + .... + e^{i(k−1)t})(1 + e^{−it} + ... + e^{−i(k−1)t}) est bien un polynøme trigonométrique et, en sommant la série géométrique,

S_{k}(t) = \frac{1}{2πk}|\frac{e^{ikt}−1}{e^{it}−1}|^{2} = \frac{1}{2πk}|\frac{e^{\frac{ikt}{2}} −e^{\frac{−ikt}{2}}}{e^{i \frac{t}{2}} −e^{−i \frac{t}{2}}} |^{2} = \frac{1}{2πk} \begin{matrix}sin & ^{2} & \frac{kt}{2} \\ sin & ^{2} & \frac{t}{2} \end{matrix} . En calculant la constante dans le

développement en polynøme trigonométrique de S_{k}, on voit que ∫_{−π}^{π} S_{k}(t)dt = 1. ii) S_{k} vérifie toutes les propriétés des noyaux convoluants K_{n} considérés dans l’exercice précédent : positifs, d’intégrale 1 et tendant uniformément vers zéro sur tout intervalle fermé de [−π, π] ne contenant pas l’origine. En appliquant le résultat v) de l’exercice précédent, on déduit que S_{k} ∗ f tend f uniformément sur [−π, π] et donc aussi dans L^{2}. On sait par l’exercice précédent vi) que S_{k} ∗ f est un polynøme trigonométrique. Donc les polynømes trigonométriques forment un sous-ensemble dense de L^{2}(−π, π). Il en résulte que le système de Fourier est un système total de L^{2}(−π, π) et donc, comme il est orthonormé, une base hilbertienne.

Exercice 3 Convolution et Fourier

i) On a par l’inégalité de Cauchy Schwartz |(f ∗ g)(t)| ≤ ∫ |f(t − s)||g(s)|ds ≤ ||f||_{L^{2}}||g||_{L^{2}}. Donc f ∗ g ∈ L^{2}(0, 2π) et on a, en appliquant plusieurs fois le théorème de Fubini (les intégrales se font sur [0, 2π] ou, indifféremment, sur n’importe quel intervalle de longueur 2π) : c_{n}(f ∗ g) = \frac{1}{2π} ∫ ∫ f(t − s)g(s)e^{−int}dsdt = \frac{1}{2π} ∫ ∫ f(t − s)e^{−in(t−s)}g(s)e^{−ins}dsdt = \frac{1}{2π}(∫ g(s)e^{−ins}ds)(∫ f(u)e^{−inu}du) = c_{n}(f)c_{n}(g). ii) Le terme général de série de Fourier de f ∗g vérifie |c_{n}(f ∗g)e^{inx}| = |c_{n}(f)||c_{n}(g)| ≤ |c_{n}(f)|^{2} + |c_{n}(f)|^{2}. Cette dernière série est convergente. La série de Fourier de f ∗ g est donc uniformément convergente. Sa limite est donc continue, ce qui veut dire en utilisant le développement de Fourier de f ∗ g, convergeant dans L^{2}, que f ∗ g est égale presque partout à une fonction continue.

Exercice 4 i) Cette première base résulte de l’application à la base de Fourier de la remarque générale suivante. Si (e_{k})_{k∈Q} est une base hilbertienne, alors le système f_{0} = e_{0},..., f_{2k} = \frac{e_{k}+e_{−k}}{\sqrt{2}} , f_{2k+1} = \frac{e_{k}−e_{−k}}{\sqrt{2}} , ... aussi. ii) La base de Fourier sur [−T, T] est formée des fonctions \frac{1}{\sqrt{2T}} e^{\frac{iπkt}{T}}. Donc on a

f̃(x) =_{L^{2}} Σ_{n∈Q} \frac{1}{2T} (∫_{−T}^{T} f̃(t)e^{\frac{−iπkt}{T}} dt)e^{\frac{iπkx}{T}} . Comme f̃ est paire, on voit en faisant le changement de variables t → −t dans les intégrales que les coefficients de e^{\frac{iπkt}{T}} et e^{\frac{−iπkt}{T}} sont égaux. On remarque aussi que ∫_{−T}^{T} f̃(t)e^{\frac{iπkt}{T}} dt = 2 ∫_{0}^{T} f(t)cos(\frac{iπkt}{T})dt. Aussi, f̃(x) =_{L^{2}} \frac{1}{2T} ∫_{−T}^{T} f̃(t)dt + Σ_{n∈IN} \frac{1}{2T} (∫_{−T}^{T} f̃(t)e^{\frac{−iπkt}{T}})(e^{\frac{iπkx}{T}} + e^{\frac{iπkx}{T}}), et donc f̃(x) =_{L^{2}} \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} f̃(t)dt+Σ_{n∈IN} \frac{2}{T} (∫_{0}^{T} f̃(t)cos(\frac{πkt}{T}))cos(\frac{πkx}{T}). Comme les fonctions \frac{1}{\sqrt{T}} , \sqrt{\frac{2}{T}} cos(\frac{πkx}{T}) forment un système orthonormé de L^{2}(0, T), l’égalité précédente exprime qu’elles forment en fait une base hilbertienne. iii) La base que l’on trouve est \sqrt{\frac{2}{T}} sin(\frac{kπt}{T}), k = 1, 2, .... Cette base a l’inconvénient que les sommes partielles valent toujours 0 aux extrémités de l’intervalle.

Exercice 5 Lemme de Riemann-Lebesgue

i) En intégrant par parties k fois l’intégrale définissant f̂, on obtient pour ξ ≠ 0,

|f̂(ξ)| = |\frac{1}{(iξ)^{k}} f̂^{(k)}(ξ)| ≤ \frac{||f^{(k)}||_{L^{1}}}{|ξ|^{k}} .

Ces intégrations par parties sont valides car f(x) → 0 (ainsi que ses dérivées) quand x → ∞. En effet, f(x) = f(0) + ∫_{0}^{x} f′(t)dt est de Cauchy et a une limite quand x → infty. Comme f est sommable, cette limite ne peut être que 0. ii) Soit f_{n} une suite de fonctions C^{∞} et à support compact qui tendent vers f dans L^{1}. On a, pour n fixé assez grand : ||f_{n} −f||_{1} ≤ ε, ce qui implique |f̂_{n}(ξ)−f̂(ξ)| ≤ ε pour tout ξ. En vertu de la question précédente, |f̂_{n}(ξ)| → 0 quand n est fixé et |ξ| → ∞. Donc |f̂_{n}(ξ)| ≤ ε pour ξ assez grand. Finalement,

|f̂(ξ)| ≤ |f̂(ξ) − f̂_{n}(ξ)| + |f̂_{n}(ξ)| ≤ 2ε

pour ξ assez grand. iii) On a c_{n}(f) → 0 si f ∈ L^{2}(0, 2π) parce que ce sont les coordonnées de f sur un système orthonormal. Pour montrer la densité de L^{2}(0, 2π) dans L^{1}, on remarque que si f ∈ L^{1}, alors les tronquées de f, f_{n} = sup(−n, inf(f, n)) sont dans L^{2} et convergent vers f dans L^{1}, par le théorème de Lebesgue. iv) Si f est C^{p} et 2π-périodique, en intégrant par parties p fois sur [0, 2π],

c_{k}(f) = ∫ e^{−ikx}f(x)dx = \frac{1}{(ik)^{p}} ∫ e^{−ikx}f^{(p)}(x)dx.

Donc, les coefficients décroissent d’autant plus vite que f est plus régulière. Si maintenant f présente un saut en 0, nous notons f(0^{+}) la valeur en 0 par la droite et f(2π^{−}) la valeur en 2π par la gauche. En intégrant par parties une fois,

c_{k}(f) = \frac{1}{ik} ∫_{0}^{2π} e^{−ikx}f′(x)dx + \frac{f(0^{+}) − f(2π^{−})}{ik}.

Par le lemme de Riemann-Lebesgue appliqué à f′, le premier terme est o(\frac{1}{k}), ce qui prouve le résultat demandé. On sait que ∑_{k≥N} \frac{1}{k^{2}} = O(\frac{1}{k}). Donc la convergence de la série de Fourier vers f pour la norme L^{2} est en O(\frac{1}{k}), et donc très lente : 1000 termes pour une précision de 10^{−3}.

v) On obtient c_{k,l} = 0(\frac{1}{kl}) et le reste (pour la norme L^{2}) de la série double est donc en O(\frac{1}{kl}). Donc, pour une précision de 10^{3}, il faut encore 1000 termes. vi) On a en intégrant par parties et en remarquant que sinkx s’annule en 0 et 2π,

c_{k}(f) = \frac{1}{iπk} ∫_{0}^{2π} sinkxf′(x)dx.

Donc, par le lemme de Riemann-Lebesgue, c_{k}(f) = o(\frac{1}{k}). Les coefficients de Fourier décroissent donc plus vite qu’avec la transformée de Fourier classique et on peut donc en transmettre moins pour une qualité d’image égale. Pour transmettre une image, on la découpe en petits carrés et on transmet une partie des coefficients de Fourier de chaque imagette. On augmente ainsi la probabilité qu’une imagette présente une couleur homogène et soit donc régulière. L’utilisation de la tranformée en cosinus permet donc de comprimer l’information dans les sous-carrés de l’image où celle-ci est régulière. Par contre, les calculs précédents prouvent qu’on ne gagne rien quand un “bord" est présent dans l’imagette. En effet, (on pourra expliciter le calcul pour une image blanche au dessus de la diagonale et noire en dessous), un calcul du même type qu’au 5) implique que les coefficients décroissent en 0(\frac{1}{kl}). C’est ce qui explique les phénomènes de “halo" autour des objets sur un fond contrasté : le petit nombre de coefficients transmis ne suffit pas à approcher bien l’imagette. Il y a une autre raison à cela : comme nous verrons plus bas dans l’exercice sur le phénomène de Gibbs, les bords présentent toujours un halo résiduel, quel que soit le nombre de coefficients transmis.

Exercice 6 Principe de localisation

i) Supposons le résultat démontré pour x = 0, f(x) = 0. Soit maintenant g ∈ L^{1}(0, 2π) telle que \frac{g(y)−g(x)}{y−x} soit intégrable au voisinage de x. Alors on pose f(y) = g(x + y) − g(x). On a bien f(0) = 0 et \frac{f(y)}{y} = \frac{g(x+y)−g(x)}{y} est intégrable au voisinage de 0. Donc, par hypothèse, s_{N}f(0) → f(0) = 0. Or

s_{N}f(0) = ∑_{|n|≤N} c_{n}(g(x + y) − g(x)) = ∑_{|n|≤N} \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}(g(x + y) − g(x))e^{−iny}dy

= ( ∑_{|n|≤N} \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} g(z)e^{−in(z−x)}dz) − g(x) = ( ∑_{|n|≤N} \frac{1}{2π} e^{inx} ∫_{0}^{2π} g(z)e^{−inz}dz) − g(x)

= s_{N}g(x) − g(x).

Donc s_{N}g(x) → g(x). ii) En effet, ∑_{−N}^{N} e^{iky} = \frac{sin(N+ \frac{1}{2} )y}{sin\frac{y}{2}}, ce qui se prouve aisément en sommant la suite géométrique. iii) Par le 1) il suffit de montrer que si f ∈ L^{1}(0, 2π) et si \frac{f(y)}{y} est intégrable autour de 0, alors s_{N}f(0) → 0. Comme sur [−π, π], |siny| ≥ \frac{|y|}{π}, on a

|\frac{f(y)}{sin\frac{y}{2}}| ≤ \frac{π|f(y)|}{|y|} ∈ L^{1}(0, 2π).

Donc on peut appliquer le lemme de Riemann-Lebesgue aux fonctions f(y) et \frac{f(y)}{sin\frac{y}{2}} . On conclut que l’intégrale du 2) tend vers 0 quand N tend vers l’infini. iv) L’application est immédiate : |\frac{f(y)−f(x)}{y−x}| ≤ |x − y|^{α−1} qui est bien intégrable au voisinage de x.

v) Alors que s_{N}(f) est le résultat d’un calcul intégral sur tout l’intervalle [0, 2π], et donc d’un calcul global, le comportement de s_{N}f(x) dépend du comportement local de f au voisinage de x. Il y a donc “localisation". On rappelle que si on sait seulement que f ∈ L^{2}, alors nous sommes assurés de la convergence quadratique de s_{N}f vers f, mais nullement de la convergence point par point. vi) Exemple. Soit f une fonction qui est la primitive sur [0, 2π] d’une fonction de L^{2}(0, 2π). Appliquer le principe de localisation. vi) En appliquant l’inégalité de Cauchy-Schwartz,

|f(x) − f(y)| = | ∫_{y}^{x} f′(t)dt| ≤ |y − x|^{\frac{1}{2}} | ∫_{0}^{2π} |f′(t)|^{2}dt|^{\frac{1}{2}} .

La fonction f est donc Hölderienne d’exposant \frac{1}{2} et le principe de localisation s’applique.

Exercice 7 Phénomène de Gibbs i)

\frac{1}{2} + ∑_{1}^{n} cosnx = \frac{1}{2} ∑_{−n}^{n} e^{ikx} = \frac{1}{2}e^{−inx}(\frac{e^{(2n+1)ix} − 1}{e^{ix} − 1})

= \frac{1}{2} \frac{e^{ix(n+ \frac{1}{2} )} − e^{−ix(n+ \frac{1}{2} )}}{e^{i \frac{x}{2}} − e^{−i \frac{x}{2}}} = \frac{sinnxcos\frac{x}{2} + sin\frac{x}{2}cosnx}{2sin\frac{x}{2}}

= \frac{1}{2} \frac{sinnx}{tg\frac{x}{2}} + \frac{cosnx}{2}.

ii) Comme s ∈ L^{2}(0, 2π), on a s(x) = ∑_{k} c_{k}(s)e^{ikx}, la convergence se vérifiant au sens de L^{2} et, en vertu du principe de localisation, en tout point de l’intervalle ouvert ]0, 2π[. On calcule les coefficients de Fourier c_{k}(s).

c_{k}(s) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}(\frac{π − x}{2})e^{−ikx}dx = −\frac{1}{4π} ∫_{0}^{2π} xe^{−ikx}dx = \frac{1}{2ik}

si k ≠ 0, en intégrant par parties. D’où

s(x) = ∑_{k≠0} \frac{e^{ikx}}{2ik} = ∑_{k=1}^{∞} \frac{sinkx}{k}.

iii) Cette relation s’obtient en intégrant la relation du 1) entre 0 et x et en soustrayant des deux cotés \frac{x}{2} + ∫_{0}^{x} \frac{sinnt}{t}dt. On remarque que la fonction \frac{cos\frac{t}{2}}{2sin\frac{t}{2}} − \frac{1}{t} est C^{1}. En effet, en développant au voisinage de 0,

\frac{cos\frac{t}{2}}{2sin\frac{t}{2}} − \frac{1}{t} = \frac{tcos\frac{t}{2} − 2sin\frac{t}{2}}{2tsin\frac{t}{2}}

= \frac{t(1 − \frac{t^{2}}{8} ) − 2(\frac{t}{2} − \frac{t^{3}}{48}) + o(t^{3})}{t^{2} − \frac{t^{4}}{24} + o(t^{4})} = \frac{t^{3}(−\frac{1}{8} + \frac{1}{24}) + o(t^{3})}{t^{2} − \frac{t^{4}}{24} + o(t^{4})}

= −\frac{t}{12} + o(t).

On peut donc intégrer par parties ∫_{0}^{x}((sin(nt))(\frac{cotg( \frac{t}{2} )}{2} − \frac{1}{t}) + \frac{cos(nt)}{2}), et cette expression est donc majorée par \frac{C}{n} pour une constante C adéquate. iv) La fonction G(a) est croissante sur les intervalles pairs [2kπ, (2k+1)π] et décroissante sur les intervalles impairs. On voit aisément que |G((n + 1)π) − G(nπ)| est une suite décroissante. Il en résulte que la suite G(2nπ) est une suite croissante strictement, la suite G((2n + 1)π) une suite strictement décroissante, et les deux convergent vers une valeur commune notée G(+∞). On a donc G(π) > G(+∞).

v) On a

s_{n}(\frac{π}{n}) = ∫0^{\frac{π}{n}} \frac{sinnt}{t}dt − \frac{π}{2n} + O(\frac{1}{n}) = ∫_{0}^{π} \frac{sinu}{u}du

= G(π) > G(+∞) = \frac{π}{2} = s(0^{+}),

car s(0^{+}) = \frac{π}{2} = ∫_{0}^{+∞} \frac{sinu}{u}du. Donc pour tout n, il y a une valeur très proche de 0, en l’occurrence \frac{π}{n}, telle que la somme partielle de la série de Fourier dépasse d’un facteur constant \frac{G(π)}{G(+∞)} la valeur de la limite s(0^{+}). Pour raisons de symétrie, la même chose se produit en 0^{−} avec la suite s_{n}(−\frac{π}{n}). On remarquera l’existence d’oscillations plus amorties un peu plus loin de 0, elles aussi prédictibles et observables :

s_{n}(\frac{π}{2n}) = G(2π) + O(\frac{1}{n}) < G(+∞) = s(0^{+}),

etc... vi) Généralisation au cas d’une fonction f, C^{1} sur [0, 2π], mais pas 2π périodique : on soustrait à la fonction f une fonction en “‘dents de scie" λs + μ = s̃, où λ et μ ont été choisis de manière à la rendre Lipschitzienne et on applique à la différence f − s̃ le principe de localisation). Il y a donc convergence uniforme de la série de Fourier de f − s̃ vers f − s̃, alors que la série de Fourier de s̃ présente le phénomène de Gibbs. Le développement de Fourier de f présente donc aussi le phénomène de Gibbs.

Exercice 8 Calcul de quelques séries Si 0 < r < 1, on note le "noyau de Poisson" par

P_{r}(θ) = 1 + 2 ∑_{n=1}^{∞} r^{n}cos(nθ) = \frac{1 − r^{2}}{1 − 2rcos(θ) + r^{2}} .

1) Montrer que 0 ≤ θ ≤ π et \frac{1}{2} ≤ r ≤ 1 impliquent r^{2} + (1 − 2r)cos(θ) ≥ 0. En déduire que θ^{2}P_{r}(θ) ≤ \frac{(1−r^{2})θ^{2}}{1−cos(θ)} et calculer lim_{r→1} ∫_{0}^{π} θ^{2}P_{r}(θ)dθ.

2) Montrer que

∫_{0}^{π} θ^{2}P_{r}(θ)dθ = \frac{π^{3}}{3} + 4π ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−r)^{n}}{n^{2}}

et en déduire une autre expression de lim_{r→1} ∫_{0}^{π} θ^{2}P_{r}(θ)dθ.

3) A l’aide des deux précédentes questions, calculer les sommes des séries

∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n^{2}} , ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{(2n − 1)^{2}} , ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} .

Exercice 9 Séries lacunaires Voilà qui conclut la "pathologie" de la convergence des séries de Fourier : il peut se produire qu’une série de Fourier converge très bien (géométriquement par exemple) tandis que sa dérivée ne converge presque nulle part. On appelle "série lacunaire" toute série de la forme : f(x) = ∑_{k=1}^{∞} a_{k}cos(n_{k}x) + b_{k}sin(n_{k}x), où \frac{n_{k+1}}{n_{k}} > q > 1. Exemple : La fonction de Weier-

strass, f(x) = ∑_{k=1}^{∞} 2^{−k}cos(3^{k}x). On va montrer que la série de Fourier associée à f′(x) diverge dans L^{2}(E) pour tout E ⊂ [0, 2π] de mesure strictement positive.

1) Soit un polynôme trigonométrique (obtenu en tronquant une série lacunaire), P (x) = ∑ a_{k}cos(n_{k}x) + b_{k}sin(n_{k}x). On peut écrire P (x) = ∑ c_{k}e^{in_{k}x} avec c_{k} = \overline{c}_{−k} et ∑ |c_{k}|^{2} = \frac{1}{2} ∑ |a_{k}|^{2} + |b_{k}|^{2}.

2) ∫_{E} P^{2}(x)dx = ∑ |c_{k}|^{2}|E| + 2π ∑_{k≠l} c_{k}\overline{c}_{l}γ_{n_{l}−n_{k}}, où γ_{k} = c_{k}(X_{E}) est la suite des coefficients de Fourier de la fonction caractéristique de E.

3) Montrer que

|E| ∑ |c_{k}|^{2} − 2π(∑ |c_{k}|^{2})(∑_{k≠l} |γ_{n_{l}−n_{k}}|^{2})^{\frac{1}{2}} ≤ ∫_{E} P^{2}(x)dx ≤

|E| ∑ |c_{k}|^{2} + 2π(∑ |c_{k}|^{2})(∑_{k≠l} |γ_{n_{l}−n_{k}}|^{2})^{\frac{1}{2}} .

4) Il existe un nombre Δ(q) tel que tout entier N se représente au plus Δ(q) fois sous la forme n_{l} − n_{k}.

5) Il existe un entier m_{1} ne dépendant que de q > 1 et E tel que si la première fréquence de P, m_{1}, vérifie n_{1} ≥ m_{1}, on a

\frac{1}{4}|E| ∑ |c_{k}|^{2} ≤ ∫_{E} P^{2}(x)dx ≤ \frac{1}{2}|E| ∑ |c_{k}|^{2}.

6) Application à la dérivée de la fonction de Weierstrass.

Exercice 10 Corrigé,opérateurs autoadjoints compacts et bases hilbertiennes. La base de Fourier comme ensemble de vecteurs propres d’un opérateur d’intégration

1) Soit une suite (a_{n})_{n∈Q} de nombres complexes non nuls tels que la suite |a_{n}| croît et tend vers l’infini quand n → +∞ ou −∞. Montrer que l’ensemble H des suites de l^{2}(Q^{∗}), (c_{n})_{n∈Q^{∗}} telles que ∑_{n∈Q^{∗}} |a_{n}||c_{n}|^{2} ≤ C est un compact de l^{2}(Q) pour tout C > 0. Marche à suivre : montrer d’abord, par le procédé de diagonalisation de Cantor, que l’on peut extraire une sous-suite c^{φ(p)} telle que c_{n}^{φ(p)} converge vers un nombre c_{n} pour tout n. Montrer ensuite que la suite c = (c_{n})_{n} vérifie ∑_{n∈Q^{∗}} |a_{n}||c_{n}|^{2} ≤ C et conclure en montrant qu’on peut majorer les restes de série ∑_{n∈Q^{∗},n≥N} |c_{n}|^{2} et ∑_{n∈Q^{∗},n≥N} |c_{n}^{φ(p)}|^{2}.

On considère une suite d’éléments de l^{2}(Q), c^{p} = (c_{n}^{p})_{n∈Q} satisfaisant ∑_{n∈Q^{∗}} |a_{n}||c_{n}|^{2} ≤ C et on montre que la suite admet une sous-suite convergente dans l^{2}(Q). On commence par extraire une sous-suite convergente de la suite bornée (c_{1}^{p})_{p}, que l’on appelle c_{1}^{φ_{1}(p)}. Soit c_{1} sa limite. Ensuite, on extrait une sous-suite convergente de la suite (c_{−1}^{φ_{1}(p)})_{p}, que l’on appelle (c_{−1}^{φ_{2}(p)}). Soit c_{−1} sa limite. On définit ainsi par récurrence pour tout k ∈ IN une suite c^{φ_{k}(p)} extraite de c^{p}, et telle que c_{n}^{φ_{2k}(p)} → c_{n} quand p → ∞ pour tout |n| ≤ k. On applique alors le procédé de diagonalisation de Cantor : on considère la suite diagonale d^{p} = c^{φ_{p}(p)}. Cette suite apparaît pour p ≥ k comme une suite extraite de la suite c^{φ_{k}(p)}. On en déduit que d_{n}^{p} → c_{n} pour tout n ∈ Q. Montrons que ∑ |a_{n}||c_{n}|^{2} ≤ C. On a ∑_{n∈Q^{∗},|n|≤N} |a_{n}||c_{n}^{p}|^{2} ≤ C. En faisant tendre p vers l’infini, ∑_{n∈Q^{∗},|n|≤N} |a_{n}||c_{n}|^{2} ≤ C, et en faisant ensuite tendre N vers l’infini on déduit que la suite limite c = (c_{n})_{n} est dans H et ∑_{n∈Q^{∗}} |a_{n}||c_{n}|^{2} ≤ C. Reste à vérifier que la suite d^{p} tend vers c. Or,

∑_{n∈Q^{∗},|n|≥N} |d_{n}^{p} − c_{n}|^{2} ≤ \frac{1}{|a_{N}|} ∑_{|n|≥N} |a_{n}||d_{n}^{p} − c_{n}|^{2} ≤ \frac{4C}{|a_{N}|}.

Pour conclure, on fixe N assez grand pour que ce dernier terme soit plus petit que ε, puis on rend p assez grand pour que

∑_{n∈Q^{∗},|n|<N} |d_{n}^{p} − c_{n}|^{2} ≤ ε.

2) On considère l’opérateur d’“intégration" de l^{2}(Q^{∗}) dans lui même défini par Ac = (\frac{c_{n}}{n})_{n∈Q^{∗}}. Démontrer qu’il est autoadjoint et compact.

L’opérateur A est directement défini comme un opérateur diagonal sur une base orthonormée et est donc autoadjoint. Sa compacité découle immédiatement de la question 1), en posant a_{n} = n^{2}.

3) Soit V le sous-espace de L^{2}(0, 2π) des fonctions d’intégrale nulle sur (0, 2π). On pose pour u dans V,

Ãu(x) = ∫_{0}^{x} u(t)dt − \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}(2π − t)u(t)dt.

Démontrer que Ã applique V dans lui-même.

En appliquant l’inégalité de Cauchy-Schwartz, on voit que Ãu(x) peut être majoré par (2π)^{\frac{1}{2}} (1 + 2π)||u||_{L^{2}}. La fonction Ãu(x) est donc bornée et donc appartient à L^{2}(0, 2π). Pour montrer que Ãu(x) est bien dans V, il reste à montrer qu’elle est d’intégrale nulle : le faire !

4) Calculer les fonctions propres et valeurs propres de Ã.

On peut deviner, et ensuite vérifier, que ce sont tout bonnement les fonctions de la base de Fourier, e^{ikx}, k ∈ Q^{∗} avec pour valeurs propres associées \frac{1}{ik}. Comme ces fonctions forment une base hilbertienne de V, on est certain de n’avoir omis aucune fonction propre : s’il y en avait une de plus, elle serait orthogonale aux précédentes, et donc nulle, ce qui est impossible. On pourra aussi résoudre l’équation différentielle associée : on écrit Ãu(x) = λu(x). On remarque que si u(x) est dans L^{2}, alors la définition de Ãu implique que cette fonction est continue. Donc λu(x) est continue et donc aussi u(x) si λ ≠ 0. Mais si u est continue, on voit que Ãu est C^{1}, et donc u aussi. On peut alors dériver à gauche et à droite et on obtient u(x) = λu′(x). Les fonctions propres sont donc de la forme Ce^{\frac{x}{λ}}. Comme elles doivent être d’intégrale nulle, on a en sommant sur (0, 2π), 2πe^{\frac{2π}{λ}} = 0 et donc λ = \frac{1}{ik} pour k ∈ Q^{∗}. Reste à régler le cas λ = 0. On va montrer que 0 n’est pas valeur propre, c’est à dire que u ∈ L^{2} et ∫_{0}^{x} u(t)dt = C impliquent u = 0. Attention : on n’a pas a priori le droit de dériver par rapport à x les deux membres pour en déduire le résultat : il faudrait que u soit continue (ou que l’on connaisse le théorème de densité de Lebesgue : Si f ∈ L^{1}, alors ∫_{0}^{x} f(t)dt est dérivable p.p. et sa dérivée est f.) Une méthode simple est de remarquer par simple soustraction que ∫_{x}^{y} u(t)dt = 0 pour tous x et y. Donc u est orthogonale à toutes les fonctions en escalier, et comme celles-ci forment un système total de L^{2}, on déduit que u = 0.

5) Démontrer que V est isomorphe à L^{2}(Q^{∗}). Déduire que Ã est autoadjoint et compact.

L’isomorphisme est sombrement évident : c’est la restriction de l’isomorphisme de Fourier qui associe á toute fonction f à moyenne nulle (vérifiant donc c_{0}(f) = 0) la suite de carré sommable c_{n}(f), n ∈ Q^{∗}. On voit que sur la base de Fourier, l’opérateur Ã a la forme décrite au 2) (à la multiplication par i près.) Il est donc autoadjoint et compact.