Cours d’Analyse. Exercices sur Fubini et Lebesgue (II)

On se place dans le cadre d’un espace mesuré (X, A, μ).

Lorsque X est une partie de IR, on suppose toujours que A est la tribu borélienne et μ la mesure de Lebesgue. Les fonctions considérées sont à valeurs dans IR.

Exercice 1 Calculer

I = lim_{n} ∫_{0}^{+∞}(1 + x/n)^{n}e^{−2x}dx

J = lim_{n} ∫_{0}^{n}(1 − x/n)^{n}e^{x/2}dx

(On pourra utiliser le théorème de convergence dominée de Lebesgue).

Exercice 2. Soit (f_{n}) une suite de fonctions mesurables. Montrer que l’ensemble des points x de X tels que la suite (f_{n}(x)) converge est mesurable.

Exercice 3. Soit (f_{n}) une suite de fonctions mesurables positives sur X. Construire des exemples où l’on n’a pas ∫_{X}(lim sup f_{n}) dμ ≥ lim sup(∫_{X} f_{n} dμ). Sous quelle hypothèse a-t-on cette inégalité ?

Exercice 4. Soit f : IR → IR une fonction dérivable en tout point.

a) Montrer que f′ est mesurable.

b) On suppose en outre que f′ est bornée sur tout compact de IR. Montrer que pour tout (a, b) ∈ IR^{2}

∫_{a}^{b} f′(x) dx = f(b) − f(a) .

Exercice 5. Soit f_{n} une suite de fonctions mesurables positives sur X convergeant presque partout vers la fonction mesurable f. On suppose que la suite ∫_{X} f_{n}dμ converge dans IR vers ℓ < +∞.

a) Montrer que f est intégrable, mais qu’en général on n’a pas ∫_{X} f dμ = ℓ (construire un contre-exemple approprié).

b) Montrer que

lim_{n} ∫_{X} |f_{n} − f|dμ = l − ∫_{X} fdμ .

On pourra poser |f_{n} − f| = 2max(f − f_{n}, 0) + (f_{n} − f).

c) Montrer que cette équivalence n’est plus vraie si l’on ne suppose plus f_{n} ≥ 0.

Exercice 6 Soit A un sous-ensemble mesurable de [0, 2π] muni de la mesure de Lebesgue.

1) Montrer que lim_{n} ∫_{A} sinnxdx = 0, de même que lim_{n} ∫_{A} cosnxdx = 0. (On pourra se servir de la Proposition VI.4.7 pour approcher au sens L^{1} la fonction caractéristique de A par une suite de fonctions continues uniformément bornée).

2) En déduire que si {n_{k}} est une suite strictement croissante d’entiers, l’ensemble des points x tels que la suite sinn_{k}x converge est de mesure nulle.

Exercice 7 Soit f_{n} une suite de fonctions mesurables. On dit que cette suite converge en mesure vers f si

∀α > 0 lim_{n} μ({x ∈ X | |f_{n}(x) − f(x)| > α}) = 0.

a) Montrer que la convergence en mesure entraîne la convergence simple presque partout pour une suite extraite. En déduire que si f_{n} converge en mesure vers f ou g alors f = g presque partout.

b) On suppose que f_{n} est intégrable pour tout n, ainsi que f. Montrer que la convergence au sens L^{1} implique la convergence en mesure. Que dire de la réciproque ?

c) Montrer que la convergence au sens L^{1} implique la convergence simple presque partout. Donner un exemple de convergence L^{1} sans convergence presque partout.

d) Montrer que si μ(X) < +∞, alors la convergence simple presque partout implique la convergence en mesure.