Cours d’Analyse. Exercices sur Fubini et Lebesgue (II), Corrigé.

Exercice 1 On a convergence monotone croissante de (1 + x/n)^{n} vers e^{x}, donc I = 1 par Lebesgue (ou par Beppo-Levi). De même, pour montrer que J = 2 par

Lebesgue, il suffit de majorer (1 − x/n)^{n}e^{x/2}1_{[0,n]} par Ke^{−x/2}, et une petite étude montre que K = 1 convient.

Exercice 2. C’est l’ensemble des points où la suite est de Cauchy, c’est-à-dire

⋂_{m>0} ⋃_{N≥0} ⋂_{p,q≥N}\{ x ∈ X | |f_{p}(x) − f_{q}(x)| < \frac{1}{m} \} .

Exercice 3. On peut prendre par exemple f_{n} = χ_{[n,n+1]} sur IR, ou encore f_{n} = nχ_{]0,1/n]}, avec lim sup f_{n} = 0. La limite supérieure est la limite de la suite décroissante g_{k} = sup_{n≥k} f_{n}; le théorème de convergence monotone donne ∫_{X} lim sup f_{n} dμ = lim_{k} ∫_{X} g_{k} dμ, si ∫_{X} g_{k} dμ est fini pour un k. Avec cette dernière hypothèse, on a bien l’inégalité en terminant la démonstration comme dans le lemme de Fatou (p. 148).

Exercice 4 a) f′ est limite simple de fonctions mesurables telles que n(f(x+1/n)−

f(x)), donc mesurable (Proposition VI.1.8). b) L’inégalité des accroissements finis

donne, pour tout x et y dans [a, b], l’inégalité |f(x) − f(y)| ≤ K|x − y|. On peut alors écrire grâce à Lebesgue :

∫_{a}^{b} f′(x)dx = lim_{n} n ∫_{a}^{b}(f(x + 1/n) − f(x))dx

= lim_{n} n[∫_{b}^{b+1/n} f(x)dx − ∫_{a}^{a+1/n} f(x)dx] = f(b) − f(a)

Exercice 5.

a) D’après Fatou on a ∫_{X} fdμ ≤ lim inf ∫_{X} f_{n}dμ = l. L’inégalité peut être stricte, par exemple pour f_{n} = n1_{[0,1/n]} et f = 0.

b) On a toujours f ≤ max((−f_{n} + f), 0) ≤ 0 et d’où par Lebesgue ∫_{X} max(f − f_{n}) = 0 ce qui entraîne immédiatement le résultat.

c) Si on ne suppose pas f_{n} ≥ 0, cette implication n’est plus vraie, comme on le voit en prenant f_{n} = n(1_{[0,1/n]} − 1_{[1−1/n,1]}).

Exercice 6 1) D’après la démonstration de la Proposition VI.4.2, on peut approcher,

dans L^{1}([0, 2π]), 1_{A} par une suite de fonctions f_{n} continues sur [0, 2π] à valeur dans [0, 1], donc toutes uniformément bornées par 1. Soit A_{n} = ∫_{A} sinnx dx, A_{n,p} =

∫_{0}^{2π} f_{p}(x)sinnx dx, et ϵ_{p} = ∫_{0}^{2π} |f_{p}(x)−1_{A}(x)|dx. La suite ϵ_{p} tend vers 0 par définition des f_{p}, et |A_{n} − A_{n,p}| ≤ ϵ_{p}. Pour montrer que lim_{n} A_{n} = 0 il suffit donc de montrer que lim_{n} A_{n,p} = 0 ∀p. Soit donc p fixé et ϵ > 0. Par continuité uniforme de f_{p}, pour

n assez grand on a |f_{p}(x + π/n) − f_{p}(x)| ≤ ϵ. Comme sin(nx + π) = −sinnx, on peut dire que

∫_{0}^{2π} f_{p}(x)sinnx dx = − ∫_{−π/n}^{2π−π/n} f_{p}(x + π/n)sinnx dx

on en déduit que

∫_{0}^{2π} f_{p}(x)sinnxdx + ∫_{0}^{2π} f_{p}(x + π/n)sin(nx)dx

= − ∫_{−π/n}^{0} f_{p}(x + π/n)sinnxdx + ∫_{2π−π/n}^{2π} f_{p}(x + π/n)sinnxdx

Le second membre est borné en valeur absolue par 2π/n, donc tend vers 0. Le premier membre diffère de 2A_{n,p} par au plus 2πϵ, donc lim_{n} A_{n,p} = 0 ∀p. 2) Si sur

A_{+} on a lim_{k} sinn_{k}x = f_{+}(x) > 0 et sur A_{−} on a lim_{k} sinn_{k}x = f_{−}(x) < 0, on a ∫_{A_{+}} f_{+} = ∫_{A_{−}} f_{−} = 0 par le théorème de Lebesgue et le 1), donc A_{+} et A_{−} sont de mesure nulle. Enfin si sur A_{0} on a lim_{k} sinn_{k}x = 0, on a sur A_{0} lim_{k} cos2n_{k}x = 1. Visiblement le 1) reste vrai si l’on change sin en cos. Donc on peut encore conclure que μ(A_{0}) = 0.

Exercice 7

a) Notons A_{k}(n) = {x ∈ X | |f(x) − f_{n}(x)| ≥ 2^{−k}}); il existe une suite d’entiers (n_{k}) strictement croissante telle que μ(A_{k}(n)) < 2^{−k} pour tout n ≥ n_{k}. Posons B_{k} = A_{k}(n_{k}), de sorte que μ(B_{k}) ≤ 2^{−k} et

μ( ⋃_{k≥N} B_{k}) ≤ ∑_{k≥N} 2^{−k} = 2^{−N+1} .

En particulier B = ⋂_{N} ⋃_{k≥N} B_{k} est de mesure nulle. Si x ∉ B, il existe N tel que, pour tout k ≥ N, on ait x ∉ B_{k}, c’est-à-dire

|f_{n_{k}}(x) − f(x)| < 2^{−k}

en particulier la suite f_{n_{k}}(x) converge vers f(x).

b) La convergence L^{1} implique la convergence en mesure puisque

μ{x/|f_{n}(x) − f(x)| > a} ≥ 1/a ∫_{X} |f_{n} − f|dμ ,

mais l’inverse est faux, comme on le voit avec X = IR, et f_{n} = (1/n)1_{[0,n]} qui tend en mesure vers 0 mais pas au sens L^{1}.

c) Pour un exemple de convergence L^{1} sans convergence simple on peut prendre X = [0, 1] et f_{n} = 1_{[p/2^{q},p+1/2^{q}]}, si n = 2^{q} + p avec p ≤ 2^{q} − 1.

d) Soit α > 0 et 1_{α,n} la fonction indicatrice de l’événement |f_{n} − f| > α. Cette fonction tend presque partout vers 0 puisque f_{n} converge pp vers f. D’autre part elle est bornée par 1_{X} qui est intégrable. Donc Lebesgue implique que lim_{n} ∫_{X} 1_{α,n} = 0, CQFD.