Exercices sur Lebesgue et Fubini (III)

Fonctions définies par des intégrales

Exercice 1. Soit f ∈ L^{1}(IR), montrer que la fonction définie par F (x) = ∫_{I} f(x−t)dt est continue, pour tout intervalle I.

Exercice 2. Soit f une fonction réelle intégrable sur IR. On pose pour tout λ ∈ IR,

g(λ) = ∫_{IR} e^{2iπλx}f(x)dx

1) Montrer que g est une fonction continue.

2) Montrer que lim_{+∞} g = 0. Pour cela, utiliser le changement de variables y = x − 1/(2λ) et étudier tout d’abord le cas où f est continue à support compact .

3) Montrer que si f est de classe C^{∞} et à support compact alors, pour tout n ∈ IN, ∫_{IR} e^{2iπλx}f(x) = O(λ^{−n}).

Exercice 3. Pour (x, y) ∈ [0, 1] × [0, 1], on définit la fonction f par f(x, y) = 0 si x ≤ y et f(x, y) = 1 si x > y. On pose F (x) = ∫_{0}^{1} f(x, y)dy. Comparer F′(x) et ∫_{0}^{1} \frac{∂}{∂x}f(x, y)dy. Qu’observe-t-on ?

Exercice 4. Soit f une fonction mesurable positive bornée sur ]0, 1[. Calculer la dérivée à droite en 0 de la fonction

x ↦ ∫_{0}^{1}(f(t) + x^{2})^{1/2}dt .

Exercice 5. Cet exercice utilise l’exercice 1

1) Soit A un sous-ensemble mesurable d’un intervalle I, on suppose que 2μ(A) > μ(I), où μ est la mesure de Lebesgue. On note f_{A} la fonction caractéristique de A. Montrer que l’on a l’inégalité

∀x, ∫_{I} f_{A}(t)f_{A}(x − t)dt ≥ ∫_{I} f_{A}(x − t)dt − μ(I) + μ(A).

2) En déduire, sous les hypothèses de la question précédente, et en utilisant l’exercice 1, que l’ensemble A + A = {z = x + y, x ∈ A, y ∈ A} contient un ouvert.

3) Soit C un ensemble mesurable quelconque de mesure non nulle, montrer qu’il existe I tel que 2μ(C ∩ I) > μ(I). En déduire que C + C contient un intervalle ouvert.

4) Montrer de même que si A est symétrique et de mesure non nulle, alors A + A + A + A contient un voisinage de 0 (en se fatiguant, on pourrait montrer que A + A contient un voisinage de 0, mais cela ne nous sera pas utile).

5) Montrer que si f est mesurable et vérifie f(x + y) = f(x) + f(y), alors f est continue. Pour cela, on montrera que l’image inverse de tout intervalle symétrique est de mesure non nulle, puis la continuité en zéro, puis la continuité en tout point.

6) Compléments : construire en utilisant une base de IR sur le corps Q, une fonction non mesurable vérifiant f(x + y) = f(x) + f(y), ainsi que des ensembles non mesurables.

Exercice 6. Soit f une fonction réelle intégrable sur IR et g une fonction C^{∞} à support compact sur IR. On définit

(f ∗ g)(x) = ∫_{IR} f(x − y)g(y)dy .

1) Montrer que (f ∗ g)(x) = ∫_{IR} f(y)g(x − y)dy et en déduire que f ∗ g est de classe C^{∞} sur IR.

2) On suppose que f est de plus continue sur IR. Soit δ une fonction C^{∞}, positive, à support compact telle que ∫_{IR} δ(y)dy = 1. On pose δ_{ϵ}(y) = \frac{1}{ϵ}δ(y/ϵ), pour ϵ ∈ IR, et f_{ϵ} = f ∗ δ_{ϵ}. Montrer que f_{ϵ} converge, uniformément sur tout compact, vers f lorsque ϵ tend vers 0.

3) En déduire que les fonctions C^{∞} à support compact forment un sous-espace dense de L^{1}(IR, dx).

Exercice 7. Une intégrale oscillante

On se propose d’étudier le comportement de l’intégrale suivante lorsque t tend vers l’infini :

J(t) = ∫_{IR} e^{itx^{2}}f(x)dx

où f est une fonction de classe C^{∞} à support compact sur IR à valeurs réelles. 1) Montrer que J(t) = ∫_{0}^{∞} e^{itx^{2}}(f(x) + f(−x))dx.

2) On note R(t) la partie réelle de J(t) et I(t) sa partie imaginaire. Montrer que R(t) et I(t) sont équivalents à \frac{C_{R}}{\sqrt{t}} et \frac{C_{I}}{\sqrt{t}}, où C_{R} et C_{I} sont des constantes que l’on calculera en fonction de g(0). En déduire un équivalent de J(t) lorsque t tend vers l’infini.

Indication : Dans chacune des intégrales R(t) et I(t) on pourra faire le changement de variable u = x^{2} et ensuite intégrer par parties en intégrant la fonction oscillante.