Séries de Fourier

Exercice 1 Rappels sur les noyaux de convolution.

i) Si f et g ∈ L^{1}(IR), on pose f_{∗}g(x) = ∫_{IR} f(y)g(x − y)dy. Montrer que f_{∗}g(x) est une fonction définie presque partout et sommable sur IR. Montrer que ||f_{∗}g||_{L^{1}} ≤ ||f||_{L^{1}}||g||_{L^{1}}. ii) Montrer que pour toute fonction f sommable sur IR, on a ||f(.−y)−f(.)||_{L^{1}(IR)} → 0 quand |y| → 0. On utilisera la densité de l’ensemble des fonctions continues à support compact dans L^{1}. iii) Soit (K_{n})_{n∈IN} une suite de fonctions positives sommables définies sur IR et vérifiant ∫_{IR} K_{n}(x)dx = 1, et pour tout ε > 0, lim_{n→∞} ∫_{IR\[−ε,ε]} K_{n}(x)dx = O. Montrer qu’alors pour toute fonction sommable f, K_{n} ∗ f converge vers f dans L^{1}. iv) Si maintenant f ∈ L^{1}([−π, π]) et g ∈ L^{1}([−π, π]), on prolonge f et g en des fonctions 2π-périodiques sur IR et on pose f_{∗}g(x) = ∫_{−π}^{π} f(y)g(x − y)dy. Montrer que f_{∗}g ainsi définie appartient à L^{1}(−π, π) et est 2π-périodique. Donner un théorème analogue à ii)

v) Soit (K_{n})_{n∈IN} une suite de fonctions positives et 2π-périodiques vérifiant ∫_{−π}^{π} K_{n}(x)dx = 1, et pour tout ε > 0, lim_{n→∞} ∫_{[−π,π]\[−ε,ε]} K_{n}(x)dx = O. En reprenant brièvement le raisonnement du iii), montrer qu’alors pour toute fonction f sommable sur [−π, π] et 2π-périodique, K_{n} ∗ f converge vers f dans L^{1}([−π, π]). Montrer que si f est continue, alors K_{n} ∗ f converge uniformément vers f. vi) On appelle polynøme trigonométrique toute expression de la forme P (t) = Σ_{k=N}^{N}a_{k}e^{ikt}, où les a_{k} sont des nombres complexes. Montrer que si f est sommable et 2π-périodique, alors f_{∗}P est un polynøme trigonométrique.

Exercice 2 Transformée de Fourier discrète

i) On pose, pour k ∈ IN, S_{k}(t) = \frac{1}{2πk}|1 + e^{it} + ... + e^{i(k−1)t}|^{2}. Démontrer que S_{k}(t) est un polynôme trigonométrique, et que

∫_{−π}^{π} S_{k}(t) = 1, S_{k}(t) = \frac{1}{2πk} \begin{matrix}sin & 2 & \frac{kt}{2} \\ sin & 2 & \frac{t}{2} \end{matrix} .

∀ε > 0, sup_{[−π,π]\[−ε,ε]} S_{k}(t) → 0.

Dessiner S_{k}(t), appelé ”noyau de Féjer”. ii) Soit f(t) une fonction continue sur [−π, π] et 2π- périodique. On pose f ∗S_{k}(t) = ∫_{−π}^{π} f(s)S_{k}(t − s)ds. Démontrer que f ∗ S_{k}(t) → f(t) uniformément et donc aussi dans L^{2}(−π, π). Remarquer que f ∗ S_{k}(t) est un polynome trigonométrique et en déduire que le système \frac{1}{(2π)^{\frac{1}{2}}} (e^{ikt})_{k∈Z} est une base hilbertienne de L^{2}(0, 2π).

Exercice 3 Convolution et Fourier

i) On pose c_{n}(f) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} e^{−inx}f(x)dx. Remarquer que l’on a pour f ∈ L^{2}(0, 2π), f = ∑_{k∈Z} c_{n}(f)e^{int}. Démontrer que si f, g ∈ L^{2}(0, 2π), alors f ∗ g est bornée et c_{n}(f ∗ g) = 2πc_{n}(f)c_{n}(g). ii) En déduire que la série de Fourier de f ∗ g est uniformément convergente et que donc la convolée de deux fonctions de L^{2}(0, 2π) est une fonction continue.

Exercice 4 Autres bases de Fourier Montrer que les fonctions

\frac{1}{\sqrt{T}} , \sqrt{\frac{2}{T}} cos(\frac{2kπt}{T}), \sqrt{\frac{2}{T}} sin(\frac{2kπt}{T}), k = 1, 2, ...

forment une base hilbertienne de L^{2}(0, T). ii) Montrer qu’il en est de même pour les fonctions

\frac{1}{\sqrt{T}} , \sqrt{\frac{2}{T}} cos(\frac{kπt}{T}), k = 1, 2, ...

Indication : Si f ∈ L^{2}(0, T), lui associer la fonction paire f̃ sur [−T, T] qui coïncide avec f sur [0, T]. Décomposer f̃ sur la base de Fourier de [−T, T]. La transformée associée à la base en cosinus s’appelle la ”transformée en cosinus.” iii) Quelle base trouve-t-on en appliquant la variante du procédé précédent consistant à prendre f̃ impaire ? La transformée obtenue s’appelle la ”transformée en sinus”.

Exercice 5 Lemme de Riemann-Lebesgue

i) On pose

f̂(ξ) = ∫_{IR} f(x)e^{−iξx}dx.

Montrer que si f est k fois différentiable et telle que f^{(p)} ∈ L^{1} pour p ≤ k, alors |f̂(ξ)| ≤ \frac{C_{k}}{|ξ|^{k}}, C_{k} constante à préciser.

ii) Montrer que si f ∈ L^{1}(IR) alors ∫_{IR} f(x)e^{iax}dx → 0 quand |a| → ∞. iii) Application aux coefficients de Fourier : montrer que pour toute fonction dans L^{1}(0, 2π), on a la relation

lim_{|n|→∞} c_{n}(f) = 0,

où c_{n}(f) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} e^{−inx}f(x)dx. On remarquera que l’on peut utiliser la question précédente, mais que l’on peut aussi montrer directement que c_{n}(f) → 0 quand f est L^{2} et ensuite utiliser le fait que L^{2}(0, 2π) est dense dans L^{1}(0, 2π).

iv) On regardera aussi le comportement des coefficients de Fourier quand la 2π périodisée de f est C^{1}, C^{2}, etc... Montrer que si f est C^{1} sur [0, 2π] mais pas 2πpériodique, alors c_{k}(f) = 0(\frac{1}{k}). Estimer le reste de la série de Fourier (en norme L^{2}).

v) Même calcul pour les coefficients de Fourier c_{k,l} d’une ”image”, c’est-à-dire une fonction f(x, y) définie sur un carré [0, 2π]x[0, 2π], C^{1}, mais pas 2π × 2π-périodique.

vi) Mêmes calculs que dans les deux questions précédentes, mais en considérant les coefficients de f sur la base en cosinus, c_{k}(f) = \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π} coskxf(x)dx. En déduire pourquoi la technologie actuelle préfère la ”transformée en cosinus” pour coder les images de télévision.

Exercice 6 Principe de localisation Ce principe dit que si f ∈ L^{1}(0, 2π) et si la fonction y → \frac{f(y)−f(x)}{y−x} est intégrable sur un voisinage de x, alors lim_{N→∞} s_{N}f(x) = f(x), où on a noté : s_{N}f(x) =: ∑_{|n|≤N} c_{n}(f)e^{inx}.

i) Se ramener au cas f(x) = 0, x = 0.

ii) s_{N}f(0) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} f(y)\frac{sin(N+ \frac{1}{2} )y}{sin\frac{y}{2}}dy.

iii) Conclure en appliquant le lemme de Riemann-Lebesgue (exercice précédent).

iv) Application : si f ∈ L^{1}(0, 2π) est Höldérienne d’exposant 0 < α ≤ 1 en x (i.e. |f(x) − f(y)| ≤ C|x − y|^{α} ), alors s_{N}f(x) → f(x).

v) Expliquer pourquoi le résultat précédent s’appelle ”principe de localisation”.

vi) Exemple. Soit f une fonction qui est la primitive sur [0, 2π] d’une fonction de L^{2}(0, 2π). Appliquer le principe de localisation.

Exercice 7 Phénomène de Gibbs Ce phénomène est observé à la sortie de tout système physique ou numérique mesurant ou calculant une fonction f. Si la fonction f(t) (t désignant par exemple le temps) “saute” brusquement d’une valeur à une autre, alors l’expérimentateur observe une série d’oscillations avant et après le saut. Il se gardera bien de les interpréter comme faisant partie du signal. En effet, le phénomène est dû au fait que les appareils de mesure (et les programmes numériques sur ordinateur) “tronquent” nécessairement les hautes fréquences. Cela veut aussi dire que l’on n’observe jamais les fonctions elles mêmes, mais des sommes partielles de leur série de Fourier. Et on observe donc aussi les “parasites” dûs à cette troncature en fréquence ; en particulier, le phénomène de Gibbs. Du point de vue mathématique, on peut énoncer le phénomène comme suit : “ Si une fonction f, par ailleurs régulière, présente un saut en un point, alors les sommes partielles s_{N}f de sa série de Fourier accentuent ce saut en le multipliant par un facteur qui ne dépend pas de N.” En fait, l’accentuation du saut n’est qu’une partie du phénomène et nous allons voir comment calculer le détail des oscillations.

i) Démontrer la formule \frac{1}{2} + ∑_{1}^{n} cos(kx) − \frac{1}{2}cos(nx) = \frac{sin(nx)}{2tg\frac{x}{2}}.

ii) On considère la fonction ”en dents de scie” s(x), 2π-périodique et telle que s(x) = \frac{π−x}{2} sur [0, 2π[. Tracer s(x), montrer que s(x)”=”∑_{k=1}^{∞} \frac{sin(kx)}{k}. En quels sens cette relation est-elle vraie ? (Utiliser les résultats des exercices précédents). Dans la suite, on considère les sommes partielles de cette série de Fourier, s_{n}(x) =: ∑_{k=1}^{n} \frac{sin(kx)}{k}.

iii) Montrer la relation

s_{n}(x) − ∫_{0}^{x} \frac{sin(nt)}{t}dt = ∫_{0}^{x} ((sin(nt))(\frac{cotg(\frac{t}{2})}{2} − \frac{1}{t}) + \frac{cos(nt)}{2}) − \frac{x}{2}.

En déduire que pour |x| ≤ 1 et uniformément en x,

s_{n}(x) = ∫_{0}^{x} \frac{sin(nt)}{t}dt − \frac{x}{2} + O(x, \frac{1}{n}).

iv) Etudier les variations de la fonction G(a) =: ∫_{0}^{a} \frac{sin(t)}{t}dt et en déduire que G(π) > G(+∞). Indications numériques que vous pouvez retrouver sur une calculette :

G(π) = 1, 851, G(2π) = 1, 428, \frac{π}{2} = 1, 57.

v) Comment se comporte la suite s_{n}(\frac{π}{n}) quand n → ∞ ? On rappelle que G(+∞) = \frac{π}{2}. En déduire que

lim sup_{n→∞,x→0^{+}} s_{n}(x) = (1 + c)s(0^{+}); lim inf_{n→∞,x→0^{+}} s_{n}(x) = (1 − c′)s(0^{+}).

Estimer les constantes (positives) c et c′. Tracer sur un même graphe les fonctions s_{n}(x) pour n grand et s(x) en utilisant la formule s_{n}(x) = G(nx) − G(∞) + s(x) + O(\frac{1}{n}).

vi) Généraliser au cas d’une fonction C^{1} sur [0, 2π], mais pas 2π périodique. (Soustraire à la fonction une fonction en “‘dents de scie”, de manière à la rendre Lipschitzienne, et appliquer à la différence le principe de localisation).

Exercice 8 Calcul de quelques sériesSi 0 < r < 1, on note le ”noyau de Poisson” par

P_{r}(θ) = 1 + 2 ∑_{n=1}^{∞} r^{n}cos(nθ) = \frac{1 − r^{2}}{1 − 2rcos(θ) + r^{2}} .

1) Montrer que 0 ≤ θ ≤ π et \frac{1}{2} ≤ r ≤ 1 impliquent r^{2} + (1 − 2r)cos(θ) ≥ 0. En déduire que θ^{2}P_{r}(θ) ≤ \frac{(1−r^{2})θ^{2}}{1−cos(θ)} et calculer lim_{r→1} ∫_{0}^{π} θ^{2}P_{r}(θ)dθ.

2) Montrer que

∫_{0}^{π} θ^{2}P_{r}(θ)dθ = \frac{π^{3}}{3} + 4π ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−r)^{n}}{n^{2}}

et en déduire une autre expression de lim_{r→1} ∫_{0}^{π} θ^{2}P_{r}(θ)dθ.

3) A l’aide des deux précédentes questions, calculer les sommes des séries

∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n^{2}} , ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{(2n − 1)^{2}} , ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} .

Exercice 9 Séries lacunairesVoilà qui conclut la ”pathologie” de la convergence des séries de Fourier : il peut se produire qu’une série de Fourier converge très bien (géométriquement par exemple) tandis que sa dérivée ne converge presque nulle part. On appelle ”série lacunaire” toute série de la forme : f(x) = ∑_{k=1}^{∞} a_{k}cos(n_{k}x) + b_{k}sin(n_{k}x), où \frac{n_{k+1}}{n_{k}} > q > 1. Exemple : La fonction de Weierstrass, f(x) =

∑_{k=1}^{∞} 2^{−k}cos(3^{k}x). On va montrer que la série de Fourier associée à f′(x) diverge dans L^{2}(E) pour tout E ⊂ [0, 2π] de mesure strictement positive.

1) Soit un polynôme trigonométrique (obtenu en tronquant une série lacunaire), P (x) = ∑ a_{k}cos(n_{k}x) + b_{k}sin(n_{k}x). On peut écrire P (x) = ∑ c_{k}e^{in_{k}x} avec c_{k} = \overline{c}_{−k} et ∑ |c_{k}|^{2} = \frac{1}{2} ∑ |a_{k}|^{2} + |b_{k}|^{2}.

2) ∫_{E} P^{2}(x)dx = ∑ |c_{k}|^{2}|E| + 2π ∑_{k≠l} c_{k}\overline{c}_{l}γ_{n_{l}−n_{k}}, où γ_{k} = c_{k}(X_{E}) est la suite des coefficients de Fourier de la fonction caractéristique de E.

3) Montrer que

|E| ∑ |c_{k}|^{2} − 2π(∑ |c_{k}|^{2})(∑_{k≠l} |γ_{n_{l}−n_{k}}|^{2})^{\frac{1}{2}} ≤ ∫_{E} P^{2}(x)dx ≤

|E| ∑ |c_{k}|^{2} + 2π(∑ |c_{k}|^{2})(∑_{k≠l} |γ_{n_{l}−n_{k}}|^{2})^{\frac{1}{2}} .

4) Il existe un nombre Δ(q) tel que tout entier N se représente au plus Δ(q) fois sous la forme n_{l} − n_{k}.

5) Il existe un entier m_{1} ne dépendant que de q > 1 et E tel que si la première fréquence de P, m_{1}, vérifie n_{1} ≥ m_{1}, on a

\frac{1}{4}|E| ∑ |c_{k}|^{2} ≤ ∫_{E} P^{2}(x)dx ≤ \frac{1}{2}|E| ∑ |c_{k}|^{2}.

6) Application à la dérivée de la fonction de Weierstrass.

Exercice 10 Opérateurs autoadjoints compacts et bases hilbertiennes : La base de Fourier comme ensemble de vecteurs propres d’un opérateur d’intégration On dit qu’un opérateur d’un espace vectoriel normé E dans un autre F si l’image de la boule unité de E est compacte dans F. On dit qu’un opérateur A d’un espace vectoriel E muni d’un produit scalaire E dans lui-même est autoadjoint si (Ax, y) = (y, Ax) pour tous x, y dans E.

1) Soit une suite (a_{n})_{n∈Q} de nombres complexes non nuls tels que la suite |a_{n}| croît et tend vers l’infini quand n → +∞ ou −∞. Montrer que l’ensemble H des suites de l^{2}(Q^{∗}), (c_{n})_{n∈Q^{∗}} telles que ∑_{n∈Q^{∗}} |a_{n}||c_{n}|^{2} ≤ C est un compact de l^{2}(Q) pour tout C > 0. Marche à suivre : montrer d’abord, par le procédé de diagonalisation de Cantor, que l’on peut extraire une sous-suite c^{φ(p)} telle que c_{n}^{φ(p)} converge vers un nombre c_{n} pour tout n. Montrer ensuite que la suite c = (c_{n})_{n} vérifie ∑_{n∈Q^{∗}} |a_{n}||c_{n}|^{2} ≤ C et conclure en montrant qu’on peut majorer les restes de série ∑_{n∈Q^{∗},n≥N} |c_{n}|^{2} et ∑_{n∈Q^{∗},n≥N} |c_{n}^{φ(p)}|^{2}.

2) On considère l’opérateur d’“intégration” de l^{2}(Q^{∗}) dans lui même défini par Ac = (\frac{c_{n}}{n})_{n∈Q^{∗}}. Démontrer qu’il est autoadjoint et compact.

3) Soit V le sous-espace de L^{2}(0, 2π) des fonctions d’intégrale nulle sur (0, 2π). On pose pour u dans V,

Ãu(x) = ∫_{0}^{x} u(t)dt − \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}(2π − t)u(t)dt.

Démontrer que Ã applique V dans lui-même.

4) Calculer les fonctions propres et valeurs propres de Ã.

5) Démontrer que V est isomorphe à L^{2}(Q^{∗}). Déduire que Ã est autoadjoint et compact.