\documentstyle[12pt,leqno]{article}
\textwidth 15cm
\oddsidemargin 0.96cm
\evensidemargin 0.96cm



%NOTA BENE :  "\pmatrix et \endpmatrix, non compris en latex,
% sont remplaces 
%par \matrice et \findematrice dont la definition suit
%exemple d'utilisation :
%$A=\matrice
%a  & b  \\
%c & d  \\ \findematrice $

\def\matrice{\left(\begin{array}{cccccccccc}}
\def\findematrice{\end{array}\right)}

\def\aligne{\begin{array}{cccccccccc}}
\def\findaligne{\end{array}}

\def\systeme{\left\{\begin{array}{ccccccccc}}
\def\findesysteme{\end{array}\right}




\def\nin{\not\in}                 % la negation de \in
\def\indic{1\!\!1}                % fonction indicatrice
\def\levelset{\chi}           % la surface de niveau
\def\meas{\mathop{\rm meas}}      % mesure de
\def\setB{\SetB}

\def\complex{l\!\!\!C}
\def\mes{\hbox{mes}}
\def\sin{\hbox{sin}}
\def\cos{\hbox{cos}}
%rappel : \overline{cequ'onveut}

\def\real{I\!\!R}
\def\natural{I\!\!N}
\def\relative{{\bf Z}}
\def\rational{{\bf Q}}
\def\complex{{\bf C}}
\def\mes{\hbox{mes}}
\def\sin{\hbox{sin}}
\def\cos{\hbox{cos}}
\def\med{\hbox{med}}
\def\interieur{\hbox{\rm Int\'{e}rieur}}
\def\signe{\hbox{\rm Signe}}
\def\vect{\hbox{\rm Vect}}
\def\Re{\hbox{\rm Re}}
\def\support{\hbox{\rm Support}}
\def\supp{\hbox{\rm Support}}

\def\fb&{\begin{equation}}
\def\fe&{\end{equation}}

%rappel : \overline{cequ'onveut}
\newtheorem{thf}{Th\e or\ee me}%[chapter]
\newtheorem{cor}{Corollaire}%[chapter]
\newtheorem{pro}{Proposition}%[chapter]
\newtheorem{Def}{D\e finition}%[chapter]
\newtheorem{lem}{Lemme}%[chapter]
\newtheorem{exa}{Exemple}%[chapter]

\newtheorem{rem}{Remarque}%[chapter]%  remarque 
\def\drem{\begin{rem}\rm}%  sans
\def\frem{\end{rem}}%      		italique !

\newtheorem{exo}{Exercice}%[chapter]
\newtheorem{propr}{Propri\e t\e}%[chapter]
\newtheorem{Exer}{Exercice}%[chapter]  %Exercice

\def\dexer{\begin{Exer}\rm}    %sans
\def\fexer{\end{Exer}}        %italique !

\def\skipaline{\vspace{4 mm}\noindent}

\def\fb& {\begin{equation}}       % debut d'une equation
\def\fe& {\end{equation}}         % fin d'une equation
\def\enddemo{\hfill $\large\circ$ \newline\newline}     % fin de preuve
\def\Varphi{{\bf \varphi}}
\def\e {\'{e}}
\def\ee {\`{e}}
\def\eee {\^{e}}
\def\e {\'{e}}
\def\ea {\'{e} }
\def\ee {\`{e}}
\def\eee {\^{e}}
\def\a {\`{a} }
\def\aa {\^{a}}
\def\ii {\^{\i}}
\def\iii {\"{\i}}
\def\ccaadd{ c'est-\`{a}-dire }

\def\u {\`{u} }

\def\uu {\^{u}}

\def\oo {\^{o}}
\def\ooo {\"{o}}

\begin{document}
{\bf S\'{e}ries de Fourier}
\newline\newline
\dexer  Rappels sur les noyaux de convolution.
\newline
i) Si $f$ et $g \in L^1(\real)$, on pose $f _* g(x)=\int_{\real}f(y)g(x-y)dy.$  Montrer que
$f _* g(x)$ est une fonction d\e finie presque partout et sommable sur $\real$.
\newline
 Montrer que $||f _* g||_{L^1}\leq ||f||_{L^1}||g||_{L^1}$.
\newline
ii) Montrer que pour toute fonction $f$ sommable sur $\real$, on a
$||f(.-y)-f(.)||_{L^1(\real)}\to 0$ quand $|y|\to 0$.  On utilisera la densit\ea de l'ensemble des fonctions continues \a
support compact dans $L^1$.
\newline
iii) Soit $(K_n)_{n\in \natural}$ une suite de fonctions positives sommables
d\e finies sur 
$\real$ et v\e rifiant $\int_{\real}K_n(x)dx=1$, et pour tout $\varepsilon>0$,
$\lim_{n\to\infty}\int_{\real\setminus [-\varepsilon, \varepsilon]}K_n(x)dx = O$.  Montrer
qu'alors pour toute fonction sommable $f$, $K_{n}\ast  f$ converge vers $f$ dans $L^1$. 
\newline
iv)  Si maintenant $f\in L^1([-\pi, \pi])$ et $g\in L^1([-\pi, \pi])$, on prolonge $f$ et $g$
en des fonctions $2\pi $-p\e riodiques sur $\real$ et on pose
$f _* g(x)=\int_{-\pi}^\pi f(y)g(x-y)dy$. Montrer que $f _* g$ ainsi d\e finie appartient \a 
$L^1(-\pi,\pi)$ et est
$2\pi$-p\e riodique.  Donner un th\e or\ee me analogue \a ii)
\newline
v) Soit $(K_n)_{n\in \natural}$ une suite de fonctions positives  et
$2\pi$-p\e riodiques v\e rifiant $\int_{-\pi}^\pi K_n(x)dx=1$, et pour tout $\varepsilon>0$,
$\lim_{n\to\infty}\int_{[-\pi, \pi]\setminus [-\varepsilon, \varepsilon]}K_n(x)dx = O$. 
En reprenant bri\ee vement le raisonnement du iii), montrer qu'alors pour toute fonction $f$
sommable sur
$[-\pi,
\pi]$ et
$2\pi$-p\e riodique,
$K_{n}\ast  f$ converge vers
$f$ dans
$L^1([-\pi, \pi])$. Montrer que si $f$ est continue, alors $K_{n}\ast f$ converge uniform\e
ment vers $f$.
\newline
vi)
On appelle polyn\o me trigonom\e trique toute expression de la forme
$P(t)=\Sigma_{k=N}^N a_k e^{ikt},$ o\u les $a_k$ sont des nombres complexes. Montrer que 
si $f$ est sommable et 2$\pi$-p\e riodique, alors $f_*P$ est un polyn\o me trigonom\e
trique.
\fexer

\dexer
  Transform\'{e}e
de Fourier discr\`{e}te
\newline
i)  On pose, pour $k\in \natural$, 
$S_k(t)=\frac{1}{2\pi k}\vert 1+e^{it}+...+e^{i(k-1)t}\vert ^2$.  
D\'{e}montrer que $S_k(t)$ est un polyn\^{o}me trigonom\'{e}trique,
 et que
$$\int_{-\pi}^\pi S_k(t)=1, \quad S_k(t)=\frac {1}{2\pi k}
\frac {\sin^2 \frac {kt}{2}}{\sin^2 \frac {t}{2}}.$$
$$\forall \varepsilon >0, \quad \sup_{\lbrack -\pi, \pi\rbrack \setminus
\lbrack -\varepsilon, \varepsilon\rbrack } S_k(t) \to 0.$$
Dessiner $S_k(t)$, appel\'{e} "noyau de F\'{e}jer".
\newline
ii)  Soit $f(t)$ une fonction continue sur $[-\pi, \pi]$ et $2\pi$-
p\'{e}riodique.  On pose 
$f\ast S_k(t) = \int_{-\pi}^{\pi} f(s)S_k(t-s)ds.$  D\'{e}montrer que 
$f\ast S_k(t) \to f(t)$ uniform\e ment et donc aussi dans $L^2(-\pi, \pi)$. Remarquer que
$f\ast S_k(t)$ est un polynome  trigonom\'{e}trique et en d\'{e}duire que le syst\`{e}me 
$\frac {1}{(2\pi)^\frac {1}{2}}(e^{ikt})_{k\in \cal Z}$
 est une base hilbertienne de $L^2(0, 2\pi)$.
\fexer

\dexer
 Convolution et Fourier
\newline 
i) On pose
$c_n(f) = \frac {1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}e^{-inx}f(x)dx$.  Remarquer que
l'on a pour $f\in L^2(0, 2\pi)$, $f=\sum_{k\in {\cal Z}} c_n(f)e^{int}$.
 D\'{e}montrer que si $f, g \in L^2(0, 2\pi)$, alors $f\ast g$ est born\e e  et
$c_n(f\ast g) = 2\pi c_n(f)c_n(g)$.
\newline
ii)  En d\'{e}duire que la s\'{e}rie de Fourier de $f\ast g$ est uniform\e ment convergente
et que donc la convol\'{e}e de deux fonctions de $L^2(0, 2\pi)$ est une fonction
continue.
\fexer

\dexer
  Autres bases de Fourier
Montrer que les fonctions
$$\frac{1}{\sqrt T},    \sqrt \frac{2}{T} \cos(\frac {2k\pi t}{T}),
  \sqrt \frac{2}{T} \sin(\frac {2k\pi t}{T}),   k=1, 2, ... $$
forment une base hilbertienne de $L^2(0,T)$.  
\newline
ii) Montrer qu'il en est de m\eee me pour  les fonctions
$$\frac{1}{\sqrt T},    \sqrt \frac{2}{T} \cos(\frac {k\pi t}{T}),   k=1,
2, ...  $$
Indication : Si $f\in L^2(0,T)$, lui associer la fonction paire $\tilde f$ sur $[-T, T]$ qui
co\"{i}ncide avec $f$ sur $[0,T]$.  D\e composer $\tilde f$ sur la base de Fourier de
$[-T,T]$.  La transform\e e associ\e e \a la base en cosinus s'appelle la "transform\e e en
cosinus."
\newline
iii)  Quelle base trouve-t-on en appliquant la variante du proc\e d\ea pr\e c\e dent
consistant \a prendre $\tilde f$ impaire ?  La transform\e e obtenue s'appelle la "transform\e
e en sinus".
\fexer

\dexer
   Lemme de Riemann-Lebesgue
\newline
i)  On pose $$\hat f(\xi) =
\int_{\real} f(x) e^{-i\xi x}dx.$$  Montrer que si $f$ est  $k$ fois diff\e rentiable et
 telle que $f^{(p)}\in L^1$ pour $p\leq k$,  alors $|\hat f(\xi)|\leq \frac {C_k}
{|\xi|^k}$, $C_k$ constante \`{a} pr\'{e}ciser.
\newline
\newline
ii) Montrer que si $f\in
L^1(\real)$ alors $\int_{\real} f(x)e^{iax}dx \to 0 $ quand $|a|\to \infty$.    
\newline
\newline
iii) Application aux coefficients de Fourier : montrer que pour toute
fonction dans $L^1(0, 2\pi)$, on a la relation $$\lim_{\vert n\vert\to \infty} c_n(f) =
0,$$ o\`{u} $c_n(f) = \frac {1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}e^{-inx}f(x)dx$.
On remarquera que l'on peut utiliser la question pr\'{e}c\'{e}dente, mais que l'on peut
aussi  montrer directement que $c_n(f)\to 0$ quand $f$ est $L^2$ et ensuite utiliser le
fait que $L^2(0, 2\pi)$ est dense dans $L^1(0, 2\pi)$.
\newline
\newline
iv) On regardera aussi
 le comportement des coefficients de Fourier quand la $2\pi$ p\'{e}riodis\'{e}e de  $f$
est $C^1, C^2,$ etc...  Montrer que si $f$ est $C^1$ sur $[0, 2\pi]$ mais pas 
$2\pi$-p\'{e}riodique, alors $c_k(f)=0(\frac 1 k)$. Estimer le reste de la s\'{e}rie de
Fourier (en norme  $L^2$).
\newline
\newline
v)
 M\^{e}me calcul pour les coefficients de Fourier $c_{k,l}$ d'une ''image",
c'est-\`{a}-dire une fonction $f(x,y)$ d\'{e}finie sur un carr\'{e} $[0, 2\pi]\rm{x}[0,
2\pi]$, $C^1$, mais pas $2\pi\times 2\pi$-p\'{e}riodique.
\newline
\newline
vi)
 M\^{e}mes calculs que dans les deux questions pr\'{e}c\'{e}dentes, mais en
consid\'{e}rant les coefficients de $f$ sur la base en cosinus, 
$c_k(f) =\frac 1 \pi \int _0^{2\pi} \hbox{cos}kx f(x) dx$. En d\e duire  pourquoi la
technologie actuelle pr\'{e}f\`{e}re la "transform\'{e}e en cosinus" pour coder les images
de t\'{e}l\'{e}vision.
\fexer

\dexer
  Principe de localisation
\newline
 Ce principe dit que
si $f\in L^1(0, 2\pi)$ et si la fonction $y\to\frac {f(y)-f(x)}
{y-x}$ est int\'{e}grable sur un voisinage de $x$, alors 
$\lim_{N\to \infty} s_Nf(x) = f(x), $ o\`{u} on a 
not\'{e} : $s_Nf(x)= : \sum_{\vert n\vert \leq N} c_n(f)e^{inx}.$
\newline
i)
Se ramener au cas $f(x)=0,   x=0$.
\newline
\newline
ii)
 $s_Nf(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(y)
\frac{\sin (N+\frac{1}{2})y}{\sin\frac{y}{2}}dy.$
\newline
\newline
iii)
 Conclure en appliquant le lemme de Riemann-Lebesgue
 (exercice pr\'{e}c\'{e}dent).
\newline
\newline
iv)
 Application : 
si $f\in L^1(0,2\pi)$ est H\"{o}ld\'{e}rienne d'exposant
 $0<\alpha\leq 1$ en $x$ (i.e. $\vert f(x)-f(y)\vert \leq C\vert x-y
\vert^\alpha $ ), alors $s_Nf(x)\to f(x)$.
\newline
\newline
v) Expliquer pourquoi le r\'{e}sultat pr\'{e}c\'{e}dent s'appelle
 "principe de localisation".
\newline
\newline
vi)
 Exemple. Soit $f$ une fonction qui est la primitive sur $[0, 2\pi]$ d'une fonction de
$L^2(0, 2\pi)$.  Appliquer le principe de localisation.
\fexer

\dexer
 Ph\'{e}nom\`{e}ne de Gibbs
\newline
Ce ph\'{e}nom\`{e}ne est observ\'{e} \`{a} la sortie de tout syst\`{e}me physique ou
num\'{e}rique  mesurant ou calculant  une fonction $f$. Si la fonction $f(t)$ ($t$
d\'{e}signant par exemple le temps) ``saute" brusquement d'une valeur \`{a} une autre,
alors l'exp\'{e}rimentateur observe une s\'{e}rie d'oscillations avant et apr\`{e}s le
saut.  Il se gardera bien de les interpr\'{e}ter comme faisant partie du signal.  En
effet, le ph\'{e}nom\`{e}ne est  d\^{u} au fait que les appareils de
mesure (et les programmes num\'{e}riques sur ordinateur) ``tronquent" n\'{e}cessairement
les hautes fr\'{e}quences.  Cela veut aussi dire que l'on n'observe jamais les fonctions
elles m\^{e}mes, mais des sommes partielles de leur s\'{e}rie de Fourier.  Et on observe
donc aussi les ``parasites" d\^{u}s \`{a} cette troncature en fr\'{e}quence ; en
particulier, le ph\'{e}nom\`{e}ne de Gibbs.
Du point de vue math\'{e}matique, on peut \'{e}noncer le ph\'{e}nom\`{e}ne comme suit :
  \newline
`` Si une fonction $f$, par ailleurs r\'{e}guli\`{e}re,   pr\'{e}sente un saut en un
point, alors les sommes partielles $s_Nf$ de sa  s\'{e}rie de  Fourier accentuent ce saut
en le multipliant par un facteur qui ne  d\'{e}pend pas de $N$." En fait, l'accentuation
du saut n'est qu'une partie du ph\'{e}nom\`{e}ne et nous allons voir comment calculer le
d\'{e}tail des oscillations.
\newline
i) D\'{e}montrer la formule
 $\frac{1}{2}+\sum_1^n \cos(kx) - \frac 1 2 \cos(nx) = \frac{\sin(nx)}{2\hbox{tg}\frac
{x}{2}}.$
\newline
\newline
ii) On consid\`{e}re la fonction "en dents de scie" 
$s(x)$, $2\pi$-p\'{e}riodique et telle que $s(x)=\frac{\pi-x}{2}$ sur 
$\lbrack 0, 2\pi\lbrack$.  Tracer $s(x)$,  montrer que 
$s(x)$"="$\sum_{k=1}^\infty \frac {\sin(kx)}{k}$.  En quels sens cette
 relation est-elle vraie ? (Utiliser les r\'{e}sultats des exercices 
pr\'{e}c\'{e}dents).  Dans la suite, on consid\`{e}re les sommes partielles de
cette s\'{e}rie de Fourier, $s_n(x) = : \sum_{k=1}^n \frac {\sin(kx)}{k}$.
\newline
\newline
iii) Montrer la relation
$$s_n(x)-\int_0^x \frac{\sin(nt)}{t}dt = 
\int_0^x\left ((\sin(nt))(\frac{\hbox{cotg}(\frac{t}{2})}{2}-\frac{1}{t})
+ \frac{\cos(nt)}{2}\right ) -\frac {x}{2}.$$
En d\'{e}duire que pour $\vert x\vert \leq 1$ et uniform\'{e}ment en $x$, 
$$s_n(x) = 
\int_0^x\frac {\sin(nt)}{t}dt -\frac{x}{2} + O(x,\frac{1}{n}).$$
\newline
\newline
iv) Etudier les variations de la fonction
$G(a)=: \int_0^a\frac{\sin(t)}{t}dt$ et en d\'{e}duire que
 $G(\pi)>G(+\infty)$. 
\newline Indications num\e riques que vous pouvez retrouver sur une calculette :
$$G(\pi) = 1,851,\; G(2\pi) = 1,428, \; \frac \pi 2 = 1, 57.$$
\newline
\newline
v) Comment se comporte la suite $s_n(\frac{\pi}{n})$
 quand $n\to\infty$ ?  On rappelle  que 
$G(+\infty)=\frac{\pi}{2}$.  En d\'{e}duire que
$$\limsup_{n\to \infty, x\to 0^+} s_n(x) =(1+c) s(0^+); \quad
\liminf_{n\to \infty, x\to 0^+} s_n(x) =(1-c') s(0^+).$$
Estimer les constantes (positives) $c$ et $c'$.
 Tracer sur un m\^{e}me graphe les fonctions $s_n(x)$ pour $n$ grand
 et $s(x)$ en utilisant la formule $s_n(x)= G(nx)-G(\infty)+s(x) + O(\frac 1 n)$.
\newline
\newline
vi) G\'{e}n\'{e}raliser au cas d'une fonction $C^1$ sur
$[0, 2\pi]$, mais pas $2\pi$ p\'{e}riodique. (Soustraire \`{a} la fonction une fonction en
```dents de scie", de mani\`{e}re \`{a} la rendre Lipschitzienne, et appliquer \`{a} la
diff\'{e}rence le principe de localisation).
\fexer



\dexer {\bf Calcul de quelques s\'{e}ries}{\it   Si $0<r<1,$ on note le "noyau de Poisson" par
$$P_r(\theta) = 1+2\sum_{n=1}^\infty r^n \cos(n\theta) 
= \frac {1-r^2}{1-2r\cos(\theta)+r^2}.$$

\skipaline
1)  Montrer que $0\leq \theta\leq
\pi$ et $\frac {1}{2} \leq r\leq 1$ impliquent $r^2+(1-2r)\cos(\theta)\geq
0.$  En d\'{e}duire que $\theta^2 P_r(\theta)\leq \frac
{(1-r^2)\theta^2}{1-\cos(\theta)}$ et calculer $lim_{r\to
1}\int_0^\pi\theta^2 P_r(\theta)d\theta.$

\skipaline
2)  Montrer que
$$\int_0^\pi\theta^2 P_r(\theta)d\theta = \frac{\pi^3}{3}
+4\pi\sum_{n=1}^\infty \frac {(-r)^n}{n^2}$$ et en d\'{e}duire une 
autre expression de
 $lim_{r\to 1}\int_0^\pi\theta^2 P_r(\theta)d\theta.$

\skipaline
3)  A l'aide des deux pr\'{e}c\'{e}dentes questions, 
calculer les sommes des s\'{e}ries }
$$\sum_{n=1}^\infty \frac {(-1)^n}{n^2}, \quad
\sum_{n=1}^\infty \frac {1}{(2n-1)^2}, \quad 
\sum_{n=1}^\infty \frac {1}{n^2}.$$
\fexer

\dexer
 {\bf S\'{e}ries lacunaires}{\it
Voil\`{a} qui conclut la "pathologie" de la convergence des s\'{e}ries
 de Fourier : il peut se produire qu'une s\'{e}rie de Fourier converge 
 tr\`{e}s bien (g\'{e}om\'{e}triquement par exemple) tandis que sa d\'{e}riv\'{e}e ne 
 converge presque nulle part.  
On appelle "s\'{e}rie lacunaire" toute s\'{e}rie de la forme :
$f(x)=\sum_{k=1}^\infty a_k\cos(n_kx)+b_k\sin(n_kx)$, o\`{u}
$\frac{n_{k+1}}{n_k}>q>1$.  
\skipaline
{\rm Exemple} : La fonction de Weierstrass, 
$f(x) = \sum_{k=1}^\infty 2^{-k}\cos(3^kx).$  On va montrer que la 
s\'{e}rie de Fourier associ\'{e}e \`{a} $f'(x)$ diverge dans $L^2(E)$ pour 
tout $E\subset \lbrack 0, 2\pi\rbrack$ de mesure strictement positive.


\skipaline
1) 
Soit un polyn\^{o}me trigonom\'{e}trique (obtenu en tronquant une s\'{e}rie
 lacunaire),
 $P(x) = \sum a_k\cos(n_kx)+b_k\sin(n_kx)$.  On peut \'{e}crire
$P(x) = \sum c_ke^{in_kx}$ avec $c_k=\overline{c}_{-k}$ et 
$\sum \vert c_k\vert^2
=\frac{1}{2} \sum\vert a_k\vert^2+\vert b_k\vert^2.$


\skipaline
2) $\int_E P^2(x)dx=\sum\vert c_k\vert^2\vert E\vert 
+ 2\pi \sum_{k\neq l}c_k\overline{c}_l\gamma_{n_l-n_k}$, o\`{u}
 $\gamma_k = c_k({\cal X}_E)$ est la suite des coefficients de Fourier
 de la fonction caract\'{e}ristique de $E$.



\skipaline
3) Montrer que $$\vert E\vert \sum \vert c_k\vert^2 -2\pi(\sum\vert c_k\vert
^2) (\sum_{k\neq l}\vert \gamma_{n_l -n_k}\vert^2)^{\frac{1}{2}}\leq
\int_E P^2(x)dx \leq$$
$$\quad\quad\vert E\vert \sum \vert c_k\vert^2 +2\pi(\sum\vert c_k\vert ^2)
(\sum_{k\neq l}\vert \gamma_{n_l -n_k}\vert^2)^{\frac{1}{2}}.$$


\skipaline
4) Il existe un nombre $\Delta (q)$ tel que tout entier $N$ se 
repr\'{e}sente au plus $\Delta(q)$ fois sous la forme $n_l-n_k$.


\skipaline
5) Il existe un entier $m_1$ ne d\'{e}pendant que de $q>1$ et $E$ tel que 
si la premi\`{e}re fr\'{e}quence de $P$, $m_1$, v\'{e}rifie $n_1\geq m_1$, 
on a
$$\frac{1}{4}\vert E\vert \sum \vert c_k\vert ^2 \leq 
\int_E P^2(x)dx 
\leq \frac{1}{2}\vert E\vert \sum \vert c_k\vert ^2.$$

\skipaline
6) Application \`{a} la d\'{e}riv\'{e}e de la fonction de Weierstrass.
}

\fexer
\newpage
\dexer
 {\bf  Op\'{e}rateurs autoadjoints compacts et bases
hilbertiennes : La base de Fourier comme ensemble de vecteurs propres d'un
op\'{e}rateur d'int\'{e}gration
}
\newline  On dit qu'un op\e rateur d'un espace vectoriel norm\ea $E$ dans un autre $F$ si 
l'image de la boule unit\ea de $E$  est compacte dans $F$. On dit 
qu'un op\e rateur $A$ d'un espace vectoriel $E$ muni d'un produit scalaire $E$ dans
lui-m\eee me est autoadjoint si $(Ax, y)=(y, Ax)$ pour tous $x, y$ dans $E$. 
 \newline\newline

%�{\it
1) Soit une suite $(a_n)_{n\in \rational}$ de nombres complexes non nuls tels que la
suite $|a_n|$ cro\^{i}t et tend vers l'infini quand $n\to +\infty$ ou $-\infty$.
Montrer que l'ensemble $H$ des suites de $l^2(\rational^*)$, $(c_n)_{n\in
\rational^*}$ telles que  $\sum_{n \in \rational^*}|a_n||c_n|^2\leq C$ est un compact
de $l^2(\rational)$ pour tout $C>0$.  Marche \`{a}  suivre : montrer d'abord, par le
proc\e d\'{e}   de diagonalisation de Cantor, que l'on peut extraire une sous-suite 
$c^{\varphi (p)}$ telle que $c^{\varphi(p)}_n$ converge vers un nombre $c_n$ pour tout
$n$.  Montrer ensuite que la suite $c=(c_n)_n$ v\e rifie 
 $\sum_{n \in \rational^*}|a_n||c_n|^2\leq C$
et conclure en montrant qu'on peut majorer  les restes de s\e rie 
 $\sum_{n \in \rational^*, n\geq N}|c_n|^2$ et
 $\sum_{n \in \rational^*, n\geq N}|c^{\varphi(p)}_n|^2$.
%�}

%�\skipaline
%�On consid\`{e}re une suite d'\e l\e ments de $l^2(\rational)$, $c^p =
%�(c^p_n)_{n\in \rational}$ satisfaisant $\sum_{n \in \rational^*}|a_n| |c_n|^2\leq C$ 
%�et on montre que la suite admet une sous-suite convergente dans $l^2(\rational)$. 
%�On commence par extraire une sous-suite convergente de la suite born\e e
%�$(c^p_1)_p$, que l'on appelle $c_1^{\varphi_1(p)}$.  Soit $c_1$ sa limite.  Ensuite,
%�on extrait une sous-suite convergente 
%�de la suite $(c_{-1}^{\varphi_1(p)})_p$, que l'on appelle
%�$(c_{-1}^{\varphi_2(p)})$.  Soit $c_{-1}$ sa limite.  On d\e finit ainsi par 
%�r\e currence pour tout $k\in \natural$ une suite $c^{\varphi_k(p)}$ extraite de $c^p$,
%�et telle que  $c_n^{\varphi_{2k}(p)}\to c_n$
%� quand $p\to \infty$ pour tout $|n|\leq k$.  On applique alors le proc\e d\'{e} 
%� de
%�diagonalisation de Cantor : on consid\ee re la suite diagonale
%�$d^p=c^{\varphi_p(p)}$. 
%� Cette suite appara\^{i}t pour  $p\geq k$ comme une suite extraite de la suite
%�$c^{\varphi_k(p)}$.  On en d\e duit que $d^p_n\to c_n$ pour tout $n\in \rational$.
%�Montrons que $\sum |a_n||c_n|^2 \leq C$.  On a $\sum_{n\in \rational^*, |n|\leq N}
%�|a_n||c_n^p|^2\leq C$.  En faisant tendre $p$ vers l'infini, 
%�$\sum_{n\in \rational^*, |n|\leq N}
%�|a_n||c_n|^2\leq C$, et en faisant ensuite tendre $N$ vers l'infini on d\e duit que 
%�la suite limite $c = (c_n)_n$ est dans $H$ et $\sum_{n\in \rational^*}
%�|a_n||c_n|^2\leq C$.
%�Reste \`{a} 
%� v\e rifier que la suite $d^p$ tend vers $c$.  Or, 
%�$$\sum_{n\in \rational^*, |n|\geq N} |d^p_n-c_n|^2 \leq \frac 1{|a_N|}\sum_{|n|\geq N}
%�|a_n||d^p_n-c_n|^2 \leq  \frac{4C}{|a_N|}.$$
%�Pour conclure, on fixe $N$ assez grand pour que ce dernier terme soit plus petit que
%�$\varepsilon$, puis on rend $p$ assez grand pour que 
%�$$\sum_{n\in \rational^*, |n|< N} |d^p_n-c_n|^2 \leq \varepsilon.$$

\skipaline
%�{\it
2) On consid\ee re l'op\e rateur d'``int\e gration" de $l^2(\rational^*)$ dans lui
 m\eee me d\e fini par $Ac = (\frac {c_n}n)_{n\in \rational^*}.$
D\e montrer qu'il est autoadjoint et compact.
%�}

%�\skipaline
%�L'op\e rateur $A$ est directement d\e fini comme un op\e rateur diagonal sur une
%�base orthonorm\e e  et est donc autoadjoint.  Sa compacit\'{e} 
%�  d\e coule imm\e diatement
%�de la question 1),  en posant $a_n=n^2$.

\skipaline
%�{\it
3) Soit $V$ le sous-espace de $L^2(0, 2\pi)$ des fonctions d'int\e grale nulle sur $(0,
2\pi)$.  On pose pour $u$ dans $V$, 
$$\tilde Au(x) = \int_0^xu(t)dt - \frac 1{2\pi}\int_0^{2\pi}(2\pi -t)u(t)dt.$$
D\e montrer que $\tilde A $ applique $V$ dans lui-m\eee me.
%�}

%�\skipaline 
%�En appliquant l'in\e galit\'{e} 
%� de Cauchy-Schwartz, on voit que $\tilde Au(x)$ peut 
%�\eee tre major\'{e}  par $ (2\pi)^{\frac 1 2}(1+ 2\pi)||u||_{L^2}.$ La fonction
%�$\tilde A u(x)$ est donc born\e e et donc appartient \a  $L^2(0, 2\pi)$.  Pour montrer
%�que $\tilde A u(x)$ est bien dans $V$, il reste \`{a} 
%� montrer qu'elle est d'int\e grale
%�nulle : le faire ! 

\skipaline
%�{\it
4)  Calculer les fonctions propres et valeurs propres de $\tilde A$.
%�}

%�\skipaline
%�On peut deviner, et ensuite v\e rifier, que ce sont tout bonnement les fonctions de la
%�base de Fourier,  
%�$e^{ikx}, k\in \rational^*$ avec pour valeurs propres associ\e es
%�$\frac 1 {ik}$. 
%�Comme ces fonctions forment une base hilbertienne de $V$, on est
%�certain de n'avoir 
%�omis aucune  fonction propre~: s'il y en avait une de plus, elle
%�serait orthogonale 
%�aux pr\e c\e dentes, et donc nulle, ce qui est impossible.
%�On pourra aussi r\e soudre l'\e quation diff\e rentielle associ\e e : on \e crit
%�$\tilde A u(x) = \lambda u(x)$.  On remarque que si $u(x)$ est dans $L^2$, alors
%�la d\'{e}finition de $\tilde A u$ implique que cette fonction est continue.  Donc
%�$\lambda u(x)$ est continue et donc aussi $u(x)$ si $\lambda \neq 0$.  Mais si
%�$u$ est continue, on voit que $\tilde Au$ est $C^1$, et donc $u$ aussi.  On peut alors
%�d\e river \`{a}  
%� gauche et \`{a} 
%� droite et on obtient
%�$u(x) = \lambda u'(x)$.  Les fonctions propres sont donc de la forme $Ce^{\frac x
%�\lambda}$.  Comme elles doivent \eee tre d'int\e grale nulle, on a en sommant sur
%�$(0, 2\pi)$,
%�$2\pi e^{\frac {2\pi}{\lambda}}=0$ et donc $\lambda = \frac 1 {ik}$ pour $k\in 
%�\rational^*$.  Reste \`{a}  
%� r\e gler le cas $\lambda = 0$.  On va montrer que 0 n'est
%�pas valeur propre, c'est \a   dire que $u\in L^2$ et $\int_0^x u(t)dt = C$ impliquent
%�$u=0$.  Attention : on n'a pas {\it a priori} le droit de d\e river par rapport 
%�\`{a}  
%� $x$ les deux membres pour en d\e duire le r\e sultat : il faudrait que 
%�$u$ soit continue (ou que l'on connaisse le th\e or\ee me de densit\'{e} 
%� de Lebesgue :
%�Si $f\in L^1$, alors $\int_0^x f(t)dt$ est d\e rivable p.p. et sa d\e riv\e e est $f$.)
%�Une m\e thode simple est de remarquer par simple soustraction  que $\int_x^yu(t)dt=0$
%�pour tous $x$ et $y$.  Donc $u$ est orthogonale \`{a}  
%� toutes les fonctions en 
%�escalier, et comme celles-ci forment un syst\ee me total de $L^2$, on d\e duit
%�que $u=0$.

 
\skipaline
%�{\it
5)  D\e montrer que $V$ est isomorphe \`{a}
 $L^2(\rational^*)$.  D\e duire que
$\tilde A$ est autoadjoint et compact.
%�}

%�\skipaline
%�L'isomorphisme est sombrement \e vident : c'est la restriction de l'isomorphisme
%�de Fourier qui associe \'{a} toute fonction $f$ \`{a}  
%� moyenne nulle (v\e rifiant donc 
%�$c_0(f)=0$)  la suite de carr\'{e} 
%� sommable $c_n(f), n\in \rational^*$.  On voit que
%�sur la base de Fourier, l'op\e rateur $\tilde A$ a la forme d\e crite au 2) (\`{a} 
%�la multiplication par $i$ pr\ee s.)   Il est donc autoadjoint et compact.
\fexer


 \end{document}


\section{Distributions p\'{e}riodiques et leur transform\'{e}de Fourier}
(Voir Bony 6.3)

On se donne un nombre $T>0$, la "p\'{e}riode", et lui associe la "fr\'{e}quence" $\omega
= \frac {2\pi}{T}$.  On dit qu'une distribution $u$ est $T$-p\'{e}riodique si sa
translat\'{e}e $\tau_T u$ est \'{e}gale \`{a} $u$. Le but de cette section est
d'obtenir, comme dans le cas des fonctions de carr\'{e} sommable, une caract\'{e}risation
compl\`{e}te des distributions p\'{e}riodiques en termes de leur s\'{e}rie de Fourier.
 
\subsection{S\'{e}ries de Fourier convergentes au sens des distributions}
Soit $(\gamma_p)_{p\in Z}$ une suite \`{a} croissance lente, c'est-\`{a}-dire
v\'{e}rifiant une estimation du type
$$\forall p \in Z, |\gamma_p|\leq C(1+|p|)^N.$$
D\'{e}montrer que la s\'erie $\sum_{-\infty}^{+\infty} \gamma_p e^{ip\omega t}$ converge
au sens des  distributions et d\'{e}finit une distribution $T$-p\'{e}riodique.
(Indication : on int\'{e}grera terme \`{a} terme la s\'{e}rie jusqu'\`{a} obtenir une
s\'{e}rie uniform\'{e}ment convergente.

\subsection{S\'{e}ries de Fourier des distributions p\'{e}riodiques}  On va montrer la
r\'{e}ciproque du th\'{e}or\`{e}me  pr\'{e}c\'{e}dent, \`{a} savoir que toute
distribution p\'{e}riodique est la somme d'une unique s\'{e}rie de Fourier dont les
coefficients sont \`{a} croissance lente.

\skipaline
1)  Montrer que si $f$ est $T$-p\'{e}riodique et de classe $C^\infty$, la
suite des $c_p(f)$ est \`{a} d\'{e}croissance rapide, c'est-\`{a}-dire que l'on a
$c_p(f)\leq C_N(1+|p|)^{-N}$ pour tout $N$ et que la diff\'{e}rence
$$f-\sum_k^{k'}c_p(f)e^{ip\omega t}$$ tend vers 0 uniform\'{e}ment ainsi que chacune de ses
d\'{e}riv\'{e}es lorsque $k$ et $k'$ tendent vers $+\infty$.
(On utilisera la convergence dans $L^2$ de la s\'{e}rie de Fourier vers $f$, la convergence
uniforme de cette m\^{e}me  s\'{e}rie, due \`{a} la d\'{e}croissance rapide, et
l'unicit\'{e} de la limite!)

\skipaline
2) Montrer qu'il existe $\chi\in C_0^\infty(\real)$ telle que 
$\sum_{k\in Z}\tau_{kT}\chi = 1$.  (Prendre $\phi \in C_0^\infty$ positive partout et
strictement positive sur $[O,T]$, et poser $\chi = \frac {\phi}{\sum \tau_{kT}\phi}.$

\skipaline
3)  Soit $\alpha \in C_0^\infty(\real).$  On pose $\tilde\alpha = \sum \tau_{kT}\alpha$,
qui s'appelle la $T$-p\'{e}riodis\'{e}e de $\alpha$.  Montrer que
$c_p(\tilde\alpha)=\frac 1 T \int_{\real} \alpha(t)e^{-ip\omega t}dt.$

\skipaline
4) Montrer que si $\gamma_p$ est une suite \`{a} croissance lente et pour  $\alpha \in
C_0^\infty(\real),$ on a
$$\frac 1 T <\sum \gamma_p e^{ip\omega t},  \alpha> = \sum \gamma_p c_p(\tilde
\alpha),$$
 et en d\'{e}duire que l'application qui \`{a} une suite \`{a} croissance lente $\gamma_p$ associe
la distribution $\sum \gamma_p e^{ip\omega t}$ est injective. (Consid\'{e}rer 
$\alpha = \chi e^{ip_0\omega t}$.)

\skipaline
5) Soit $U$ une distribution $T$-p\'{e}riodique.  Montrer qu'il existe $u\in {\cal
E}'(\real)$ telle que $U=\sum \tau_{kT}u$.  On pose
$$\beta_p = \frac 1 T <u, e^{-ip\omega t}>_{\\`{a} E', C^\infty}. $$
Montrer que la suite $\beta_p$ est \`{a} croissance lente et que l'on a
$$<U,\alpha> = <u, \tilde \alpha> = \sum \beta_p c_p(\tilde\alpha).$$
En d\'{e}duire que $U=\sum \beta_p e^{ip\omega t}$.

\skipaline
6)  Conclure : Toute distribution $T$-p\'{e}riodique $U$ peut s'\'{e}crire  de
mani\`{e}re unique sous la forme d'une s\'{e}rie de Fourier convergente dans $\cal D'$, 
$$U=\sum_{p\in Z} c_p(U)e^{ip\omega t},$$
o\'{u} la suite $(c_p(U))$ est \`{a} croissance lente.  Les coefficients de Fourier peuvent se
calculer par $c_p(U)=\frac 1 T <u, e^{-ip\omega t}>$ o\`{u} $u$ est une distribution \`{a}
support compact telle que $U=\sum \tau_{kT}u$.

\skipaline
7) Application : Formule sommatoire de Poisson.  Montrer que
$$\sum_{k=-\infty}^{k=+\infty}\delta_{kT} = \frac 1 T
\sum_{p=-\infty}^{p=+\infty}e^{ip\omega t}.$$
En d\'{e}duire que si $\phi\in C_0^\infty(\real)$, on a
$$\sum_{k=-\infty}^{k=+\infty}\phi(2k\pi) = \frac {1} {2\pi}
\sum_{p=-\infty}^{p=+\infty}\hat \phi(p).$$









\end{document}






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\section{Distributions p\'{e}riodiques et leur transform\'{e}de Fourier}
(Voir Bony 6.3)

On se donne un nombre $T>0$, la "p\'{e}riode", et lui associe la "fr\'{e}quence" $\omega
= \frac {2\pi}{T}$.  On dit qu'une distribution $u$ est $T$-p\'{e}riodique si sa
translat\'{e}e $\tau_T u$ est \'{e}gale \`{a} $u$. Le but de cette section est
d'obtenir, comme dans le cas des fonctions de carr\'{e} sommable, une caract\'{e}risation
compl\`{e}te des distributions p\'{e}riodiques en termes de leur s\'{e}rie de Fourier.
 
\subsection{S\'{e}ries de Fourier convergentes au sens des distributions}
Soit $(\gamma_p)_{p\in Z}$ une suite \`{a} croissance lente, c'est-\`{a}-dire
v\'{e}rifiant une estimation du type
$$\forall p \in Z, |\gamma_p|\leq C(1+|p|)^N.$$
D\'{e}montrer que la s\'erie $\sum_{-\infty}^{+\infty} \gamma_p e^{ip\omega t}$ converge
au sens des  distributions et d\'{e}finit une distribution $T$-p\'{e}riodique.
(Indication : on int\'{e}grera terme \`{a} terme la s\'{e}rie jusqu'\`{a} obtenir une
s\'{e}rie uniform\'{e}ment convergente.

\subsection{S\'{e}ries de Fourier des distributions p\'{e}riodiques}  On va montrer la
r\'{e}ciproque du th\'{e}or\`{e}me  pr\'{e}c\'{e}dent, \`{a} savoir que toute
distribution p\'{e}riodique est la somme d'une unique s\'{e}rie de Fourier dont les
coefficients sont \`{a} croissance lente.

\skipaline
1)  Montrer que si $f$ est $T$-p\'{e}riodique et de classe $C^\infty$, la
suite des $c_p(f)$ est \`{a} d\'{e}croissance rapide, c'est-\`{a}-dire que l'on a
$c_p(f)\leq C_N(1+|p|)^{-N}$ pour tout $N$ et que la diff\'{e}rence
$$f-\sum_k^{k'}c_p(f)e^{ip\omega t}$$ tend vers 0 uniform\'{e}ment ainsi que chacune de ses
d\'{e}riv\'{e}es lorsque $k$ et $k'$ tendent vers $+\infty$.
(On utilisera la convergence dans $L^2$ de la s\'{e}rie de Fourier vers $f$, la convergence
uniforme de cette m\^{e}me  s\'{e}rie, due \`{a} la d\'{e}croissance rapide, et
l'unicit\'{e} de la limite!)

\skipaline
2) Montrer qu'il existe $\chi\in C_0^\infty(\real)$ telle que 
$\sum_{k\in Z}\tau_{kT}\chi = 1$.  (Prendre $\phi \in C_0^\infty$ positive partout et
strictement positive sur $[O,T]$, et poser $\chi = \frac {\phi}{\sum \tau_{kT}\phi}.$

\skipaline
3)  Soit $\alpha \in C_0^\infty(\real).$  On pose $\tilde\alpha = \sum \tau_{kT}\alpha$,
qui s'appelle la $T$-p\'{e}riodis\'{e}e de $\alpha$.  Montrer que
$c_p(\tilde\alpha)=\frac 1 T \int_{\real} \alpha(t)e^{-ip\omega t}dt.$

\skipaline
4) Montrer que si $\gamma_p$ est une suite \`{a} croissance lente et pour  $\alpha \in
C_0^\infty(\real),$ on a
$$\frac 1 T <\sum \gamma_p e^{ip\omega t},  \alpha> = \sum \gamma_p c_p(\tilde
\alpha),$$
 et en d\'{e}duire que l'application qui \`{a} une suite \`{a} croissance lente $\gamma_p$ associe
la distribution $\sum \gamma_p e^{ip\omega t}$ est injective. (Consid\'{e}rer 
$\alpha = \chi e^{ip_0\omega t}$.)

\skipaline
5) Soit $U$ une distribution $T$-p\'{e}riodique.  Montrer qu'il existe $u\in {\cal
E}'(\real)$ telle que $U=\sum \tau_{kT}u$.  On pose
$$\beta_p = \frac 1 T <u, e^{-ip\omega t}>_{\\`{a} E', C^\infty}. $$
Montrer que la suite $\beta_p$ est \`{a} croissance lente et que l'on a
$$<U,\alpha> = <u, \tilde \alpha> = \sum \beta_p c_p(\tilde\alpha).$$
En d\'{e}duire que $U=\sum \beta_p e^{ip\omega t}$.

\skipaline
6)  Conclure : Toute distribution $T$-p\'{e}riodique $U$ peut s'\'{e}crire  de
mani\`{e}re unique sous la forme d'une s\'{e}rie de Fourier convergente dans $\cal D'$, 
$$U=\sum_{p\in Z} c_p(U)e^{ip\omega t},$$
o\'{u} la suite $(c_p(U))$ est \`{a} croissance lente.  Les coefficients de Fourier peuvent se
calculer par $c_p(U)=\frac 1 T <u, e^{-ip\omega t}>$ o\`{u} $u$ est une distribution \`{a}
support compact telle que $U=\sum \tau_{kT}u$.

\skipaline
7) Application : Formule sommatoire de Poisson.  Montrer que
$$\sum_{k=-\infty}^{k=+\infty}\delta_{kT} = \frac 1 T
\sum_{p=-\infty}^{p=+\infty}e^{ip\omega t}.$$
En d\'{e}duire que si $\phi\in C_0^\infty(\real)$, on a
$$\sum_{k=-\infty}^{k=+\infty}\phi(2k\pi) = \frac {1} {2\pi}
\sum_{p=-\infty}^{p=+\infty}\hat \phi(p).$$







\subsection {Formulaire sur Fourier}
On suppose toujours que $f$ (et donc $\hat f$) est \`{a} d\'{e}croissance 
rapide.  Montrer que

\skipaline $\bullet$  Si $f$ est r\'{e}elle et paire, $\hat f(\xi)$ est
r\'{e}elle et $\hat f(\xi) = 2\int_0^{+\infty}f(x)\cos (\xi x) dx.$


\skipaline $\bullet$ Si $f$ est r\'{e}elle et impaire, $\hat f(\xi)$ est
imaginaire et $\hat f(\xi) = -2i\int_0^{+\infty}f(x)\sin (\xi x) dx.$


\skipaline $\bullet$ Sym\'{e}trie : Si $f(x)\leftrightarrow \hat f(\xi)$, 
$\hat f(x) \leftrightarrow 2\pi f(-\xi)$


\skipaline $\bullet$  Conjugu\'{e}es : $\overline{f}(x) \leftrightarrow 
\overline{\hat f}(-\xi)$

\skipaline $\bullet$  Formule d'inversion (autre forme) : 
$$f(x) = \frac {1}{(2\pi)^N}{\cal F}(\hat f(-\xi))(x).$$


\skipaline $\bullet$ Changement d'\'{e}chelle : 
$f(ax) \leftrightarrow \frac {1}{\vert a\vert^N}\hat f(\frac {\xi}{a})$. Autre forme :
$${\cal F}(f(ax))(\xi)= \frac {1}{a^N} {\hat f(\frac \xi a )}.$$


\skipaline $\bullet$ "Shift" : $f(x-a)\leftrightarrow e^{-ia\xi}\hat
f(\xi)$, $e^{iax}f(x)\leftrightarrow \hat f(\xi -a).$


\skipaline $\bullet$ "Modulation" : $f(x)\cos(\xi_0t)\leftrightarrow \frac
{1}{2}\left ( \hat f(\xi+\xi_0) + \hat f(\xi -\xi_0)\right ).$


\skipaline $\bullet$  D\'{e}riv\'{e}es : $(-ix)^nf(x)\leftrightarrow \hat
f^{(n)}(\xi)$,   $f^{n}(x) \leftrightarrow (i\xi)^n\hat f(\xi)$.

\skipaline $\bullet$  Plus pr\'{e}cis\'{e}ment: si $f$ est une fonction r\'{e}elle d'une
variable,  $k$ fois diff\'{e}rentiable et telle que $f^{(k)}\in L^1$, alors
$$(i\xi)^k\hat f(\xi)=\hat{f^{(k)}}(\xi).$$
Cela se d\'{e}montre par simple int\'{e}gration par parties.  Plus g\'{e}n\'{e}ralement,
et dans la mesure o\`{u} les int\'{e}grations par parties sont licites, 
$$(i\xi_j)^k\hat f(\xi) = \hat {\frac {\partial^k f}{\partial \xi_j^k}}(\xi),$$ et
des relations analogues pour toutes les autres d\'{e}rivations crois\'{e}es.


\skipaline $\bullet$  Th\'{e}or\`{e}me des moments : On appelle "moment d'ordre
$n$" de $f$, $m_n = \int _{-\infty}^{+\infty}x^nf(x)dx$.  Alors $\hat
f^{(n)}(0)=(-i)^nm_n$.

\skipaline $\bullet$  Transform\'{e}e de Fourier de la gaussienne : 
$e^{-a\vert x\vert^2}\leftrightarrow
(\frac{\pi}{a})^{\frac{n}{2}}e^{-\frac {\vert \xi\vert ^2}{4a}}$.
  On
commencera par poser, en dimension 1, $g(\xi)=\int e^{-ix\xi}e^{-x^2}dx$
et on montrera que $2g'(\xi)+\xi g(\xi)=0$, de sorte que $g(\xi) =
\sqrt\pi e^{-\frac{\xi^2}{4}}$.  On rappelle que $\int_{\real}
e^{-x^2}dx=\sqrt \pi$, ce qui se d\'{e}montre facilement en prenant le
carr\'{e} de cette int\'{e}grale, le consid\'{e}rant par Fubini comme une
int\'{e}grale sur $\real^2$ que l'on calcule en coordonn\'{e}es polaires.

\skipaline $\bullet$   Convolution : $f\ast g \leftrightarrow \hat f\hat
g$.


\skipaline $\bullet$  Formule de Parseval.  En d\'{e}duire que
$\int_{-\infty}^{\infty}f(y)g(x-y) dy = 
\frac {1}{(2\pi)^N}\int_{-\infty}^{\infty}\hat f(\xi)\hat
g(\xi)e^{ix\xi}d\xi,$ puis la formule de Parseval, 
$$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\overline{g}(x)dx = 
\frac {1}{(2\pi)^N}\int_{-\infty}^{\infty}\hat f(\xi)\overline{\hat
g}(\xi)d\xi.$$

\subsection {Transform\'{e}e de Fourier dans $L^2(\real ^n)$}
D\'{e}duire de la Formule de Parseval, que la transform\'{e}e de Fourier
peut-\^{e}tre prolong\'{e}e de ${\cal S}(\real^n)$ \`{a} $L^2(\real^n)$ et
qu'elle est un isomorphisme de $L^2$.  V\'{e}rifier que {\bf toutes} les
formules pr\'{e}c\'{e}dentes (\`{a} l'exception de celles concernant les d\'{e}riv\'{e}es)
peuvent \^{e}tre imm\'{e}diatement \'{e}tendues \`{a} $L^2$.  On pourra \'{e}tendre aussi
les formules concernant la d\'{e}riv\'{e}e quand on aura d\'{e}fini la transform\'{e}e de
Fourier d'une distribution.

\subsection {Transform\'{e}e de Fourier dans $L^1(\real^n)$}  Si $f\in
L^1(\real^n)$, d\'{e}montrer que $\hat f$ est bien d\'{e}finie et appartient \`{a}
l'espace $C_0(\real^n)$ des fonctions continues tendant vers 0 \`{a} l'infini.

\subsection {R\'{e}gularit\'{e} et d\'{e}croissance \`{a} l'infini}
Si $f$ est \`{a} support compact, $\hat f$ est $C^\infty$.  Que peut-on dire
de $\hat f$ si $\vert x\vert ^mf(x)\leq C$ , si $\vert x\vert ^mf(x)\in
L^1$ ?

