\documentstyle[12pt,leqno]{article}
\textwidth 15cm
\oddsidemargin 0.96cm
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%NOTA BENE :  "\pmatrix et \endpmatrix, non compris en latex,
% sont remplaces 
%par \matrice et \findematrice dont la definition suit
%exemple d'utilisation :
%$A=\matrice
%a  & b  \\
%c & d  \\ \findematrice $

\def\matrice{\left(\begin{array}{cccccccccc}}
\def\findematrice{\end{array}\right)}

\def\aligne{\begin{array}{cccccccccc}}
\def\findaligne{\end{array}}

\def\systeme{\left\{\begin{array}{ccccccccc}}
\def\findesysteme{\end{array}\right}




\def\nin{\not\in}                 % la negation de \in
\def\indic{1\!\!1}                % fonction indicatrice
\def\levelset{\chi}           % la surface de niveau
\def\meas{\mathop{\rm meas}}      % mesure de
\def\setB{\SetB}

\def\complex{l\!\!\!C}
\def\mes{\hbox{mes}}
\def\sin{\hbox{sin}}
\def\cos{\hbox{cos}}
%rappel : \overline{cequ'onveut}

\def\real{I\!\!R}
\def\natural{I\!\!N}
\def\relative{{\bf Z}}
\def\rational{{\bf Q}}
\def\complex{{\bf C}}
\def\mes{\hbox{mes}}
\def\sin{\hbox{sin}}
\def\cos{\hbox{cos}}
\def\med{\hbox{med}}
\def\interieur{\hbox{\rm Int\'{e}rieur}}
\def\signe{\hbox{\rm Signe}}
\def\vect{\hbox{\rm Vect}}
\def\Re{\hbox{\rm Re}}
\def\support{\hbox{\rm Support}}
\def\supp{\hbox{\rm Support}}

\def\fb&{\begin{equation}}
\def\fe&{\end{equation}}

%rappel : \overline{cequ'onveut}
\newtheorem{thf}{Th\e or\ee me}%[chapter]
\newtheorem{cor}{Corollaire}%[chapter]
\newtheorem{pro}{Proposition}%[chapter]
\newtheorem{Def}{D\e finition}%[chapter]
\newtheorem{lem}{Lemme}%[chapter]
\newtheorem{exa}{Exemple}%[chapter]

\newtheorem{rem}{Remarque}%[chapter]%  remarque 
\def\drem{\begin{rem}\rm}%  sans
\def\frem{\end{rem}}%      		italique !

\newtheorem{exo}{Exercice}%[chapter]
\newtheorem{propr}{Propri\e t\e}%[chapter]
\newtheorem{Exer}{Exercice}%[chapter]  %Exercice

\def\dexer{\begin{Exer}\rm}    %sans
\def\fexer{\end{Exer}}        %italique !

\def\skipaline{\vspace{4 mm}\noindent}

\def\fb& {\begin{equation}}       % debut d'une equation
\def\fe& {\end{equation}}         % fin d'une equation
\def\enddemo{\hfill $\large\circ$ \newline\newline}     % fin de preuve
\def\Varphi{{\bf \varphi}}
\def\e {\'{e}}
\def\ee {\`{e}}
\def\eee {\^{e}}
\def\e {\'{e}}
\def\ea {\'{e} }
\def\ee {\`{e}}
\def\eee {\^{e}}
\def\a {\`{a} }
\def\aa {\^{a}}
\def\ii {\^{\i}}
\def\iii {\"{\i}}
\def\ccaadd{ c'est-\`{a}-dire }

\def\u {\`{u} }

\def\uu {\^{u}}

\def\oo {\^{o}}
\def\ooo {\"{o}}

\begin{document}

\noindent{ \bf S\e ries de Fourier, Corrig\e .}

\dexer Convolution et approximation. \newline
 i)  Application directe du th\e or\ee me de Fubini. Remarquer que si $f, g\geq 0$,
on a en fait par ce th\e or\ee me $\int f_*g=\int f\int g$.
\newline 
ii)
 Si $f$ est continue \a support compact, elle est uniform\e ment continue et 
donc $f(.-y)\to f(.)$ uniform\e ment quand $y\to 0$.  Comme les fonctions $f(.-y)$ ont pour
$|y|\leq 1$ leurs supports contenus dans un born\ea commun, on d\e duit que $f(.-y)\to f(.)$
dans $L^1$.  Si
$f\in L^1$, on choisit pour tout 
$\varepsilon$ une fonction $g$ continue \a support compact telle que
$||f-g||_{L^1}<\varepsilon$.  On fixe $\eta$ tel que $|y|<\eta\Rightarrow
||g(.-y)-g(.)||_{L^1}||<\varepsilon$.  On a alors
$||f(.-y)-f(.)||\leq ||f(.-y)-g(.-y)||+||f(.)-g(.)||+||g(.-y)-g(.)||<3\varepsilon$.
\newline
iii)  On fixe $\eta$ tel que $|y|<\eta\Rightarrow
||f(.-y)-f(.)||_{L^1}||<\varepsilon$ et ensuite $n_0$ assez grand pour que 
$n\geq n_0\Rightarrow\int_{\real\setminus [-\eta, +\eta]}K_n(x)dx<\varepsilon$.  On obtient
alors, en utilisant l'in\e galit\ea prouv\e e au i) :
\newline
$||f(x)-(K_{n}\ast f)(x)||_{L^1}=\int\int_{|y|\leq \eta}|K_n(y)||f(x-y)-f(x)|dydx$\newline
$\quad\quad+\int\int_{|y|\geq \eta}K_n(y)|f(x-y)-f(x)|dydx = I_1 + I_2$
\newline
Dans la premi\ee re int\e grale, on int\ee gre d'abord en $x$, par Fubini et on utilise le
fait que
$|y|\leq
\eta$ implique
$||f(.-y)-f(.)||_{L^1}\leq \varepsilon$.  On obtient,  comme la masse totale de $K_n$ est 1  :
\newline
$I_1 \leq \int_{|y|\leq \eta} K_n(y)(\int |f(x-y)-f(x)|dx)dy\leq
\varepsilon\int_{\real}K_n=\varepsilon $, pour tout $n$.
\newline
Dans la seconde int\e grale, on int\ee gre aussi d'abord en $y$ et on utilise le fait que la
masse de
$K_n$ en dehors d'un intervalle fixe tend vers z\e ro :
\newline
$I_2\leq 2||f||_{L^1}\int_{|y|\geq \eta}K_n(y)dy\leq 2||f||_{L^1}\varepsilon.$
pour $n\geq n_0$. 
\newline
iv)-v)  La p\e riodicit\ea de $f_*g$ est \e vidente.  Tous les r\e sultats et d\e
monstrations de ii)-iii) s'adaptent imm\e diatement \a la convolution $2\pi$-p\e riodique :
il suffit de remplacer dans les raisonnements pr\e c\e dents "$\real$" par "$[-\pi, \pi]$" et
"$L^1(\real)$" par "$L^1(-\pi, \pi)$ avec $2\pi$-p\e riodicit\e ".  En ce qui 
concerne la
convergence uniforme quand $f$ est continue, on 
reprend le raisonnement en \e crivant\newline
$|f(x)-(K_{n}\ast f)(x)|=\int_{|y|\leq \eta}|K_n(y)||f(x-y)-f(x)|dy
+\int_{|y|\geq \eta}K_n(y)|f(x-y)-f(x)|dy = I_1 + I_2$.
\newline  $\eta $ a \e t\ea choisi en utilisant l'uniforme continuit\ea de $f$ en sorte que
$\sup_x |f(x-y)-f(x)|\leq \varepsilon$ si $|y|\leq \eta$ et $n$ a \e t\e choisi comme au iii)
On a alors
\newline
$I_1 \leq \sup_x|f(x-y)-f(x)|\int_{\real}K_n\leq \varepsilon$, pour tout $n$, car
$|y|\leq \eta$ et
\newline
 $I_2\leq 2\sup |f| \int_{|y|\geq \eta}K_n(y)dy\leq 2\sup
|f|\varepsilon$ si $n\geq n_0$.
\newline
vi)  Il suffit de montrer que la convolution de $f$ avec $e^{ikt}$ est un polyn\o me
trigonom\e trique.  Or, $(f_*e^{ik.})(t)=\int f(s)e^{ik(t-s)}ds = e^{ikt}\int f(s)e^{-iks}ds,$
qui est un mon\o me trigonom\e trique.
\fexer

\newpage
\dexer
i) $S_k(t)=\frac 1 {2\pi k}(1+e^{it}+....+e^{i(k-1)t})(1+e^{-it}+...+e^{-i(k-1)t})$
est bien un polyn\o me trigonom\e trique et, en sommant la s\e rie g\e om\e trique,
\newline
$S_k(t)=\frac 1 {2\pi k}|\frac{e^{ikt}-1}{e^{it}-1}|^2=\frac 1 {2\pi k}|\frac{e^{\frac
{ikt}2}-e^{\frac {-ikt}2}}{e^{i\frac t 2}-e^{-i\frac t 2}}|^2= \frac 1 {2\pi k}\frac{\sin^2
\frac {kt} 2}{\sin^2\frac t 2}.$  En calculant la constante dans le d\e veloppement en
polyn\o me trigonom\e trique de $S_k$, on voit que $\int_{-\pi}^\pi S_k(t)dt=1$.
\newline 
ii)
$S_k$ v\e rifie toutes les propri\e t\e s des noyaux convoluants $K_n$ consid\e
r\e s dans l'exercice pr\e c\e dent : positifs, d'int\e grale 1 et tendant uniform\e ment
vers z\e ro sur tout intervalle ferm\ea de $[-\pi, \pi]$ ne contenant pas l'origine.
En appliquant le r\e sultat v) de l'exercice pr\e c\e dent, on d\e duit que $S_{k}\ast f$ tend 
$f$ uniform\e ment sur $[-\pi, \pi]$ et donc aussi dans $L^2$.  On sait par l'exercice pr\e
c\e dent vi) que $S_{k}\ast f$ est un polyn\o me trigonom\e trique.  Donc les polyn\o mes
trigonom\e triques forment un sous-ensemble dense de $L^2(-\pi, \pi)$.  Il en r\e sulte que
le syst\ee me de Fourier est un syst\ee me total de $L^2(-\pi, \pi)$ et donc, comme il est
orthonorm\e , une base hilbertienne.
\fexer

\dexer
 Convolution et Fourier
\newline
i) On a par l'in\e galit\ea de Cauchy Schwartz \newline
$|(f\ast g)(t)|\leq
\int|f(t-s)||g(s)|ds\leq ||f||_{L^2}||g||_{L^2}.$  
\newline Donc $f\ast g\in L^2(0, 2\pi)$ et on a, en
appliquant plusieurs fois le th\e or\ee me de Fubini (les int\e grales se font sur $[0, 2\pi]$
ou, indiff\e remment, sur n'importe quel intervalle de longueur $2\pi$) :
\newline
$c_n(f\ast g)=\frac 1{2\pi}\int\int f(t-s)g(s)e^{-int}dsdt = 
\frac 1 {2\pi}\int\int f(t-s)e^{-in(t-s)}g(s)e^{-ins}dsdt = \frac 1 {2\pi}(\int g(s)e^{-ins}ds
)(\int f(u)e^{-inu}du)=c_n(f)c_n(g).$
\newline
ii) Le terme g\e n\e ral de s\e rie de Fourier de $f\ast g$ v\e rifie
$|c_n(f\ast g)e^{inx}|=|c_n(f)||c_n(g)|\leq |c_n(f)|^2+|c_n(f)|^2.$ Cette derni\ee re s\e rie
est convergente.  La s\e rie de Fourier de $f\ast g$ est donc uniform\e ment convergente.  Sa
limite est donc continue, ce qui veut dire en utilisant le d\e veloppement de Fourier de
$f\ast g$, convergeant dans $L^2$, que
$f\ast g$ est \e gale presque partout \a une fonction continue.
\fexer

\dexer
i) Cette premi\ee re base r\e sulte de l'application \a la base de Fourier de la
remarque g\e n\e rale suivante.  Si $(e_k)_{k\in \rational}$ est une base hilbertienne, alors
le syst\ee me $f_0=e_0$,..., $f_{2k}=\frac{e_k+e_{-k}}{\sqrt 2}$,
$f_{2k+1}=\frac{e_k-e_{-k}}{\sqrt 2}$, ... aussi. 
\newline
ii) La base de Fourier sur $[-T, T]$ est form\e e des fonctions $\frac 1{\sqrt {2T}}e^{i\pi
kt\over T}$. Donc on a 
\newline
$\tilde f(x) =_{\small L^2} \Sigma_{n\in \rational}\frac 1 {2T}(\int_{-T}^{T}\tilde
f(t)e^{-i\pi kt\over T}dt )e^{i\pi kx\over T}.$  
Comme $\tilde f$ est paire, on voit en faisant le changement de variables $t\to -t$ dans les
int\e grales que les coefficients de $e^{i\pi kt \over T}$ et $e^{-i\pi kt \over T}$ sont \e
gaux.  On remarque aussi que $\int_{-T}^T\tilde f(t)e^{i\pi k t\over T}dt =2
\int_0^T f(t)\cos(\frac{i\pi kt}T)dt$.  Aussi,
\newline
$\tilde f(x) =_{\small L^2}\frac 1 {2T}\int_{-T}^T\tilde f(t)dt + \Sigma_{n\in \natural}\frac 1
{2T}(\int_{-T}^{T}\tilde f(t)e^{-i\pi kt\over T}) (e^{i\pi kx\over T}+e^{i\pi kx \over T}),$
et donc
\newline
$\tilde f(x) =_{\small L^2}\frac 1 {T}\int_{0}^T\tilde f(t)dt + \Sigma_{n\in \natural}\frac
2 {T}(\int_{0}^{T}\tilde f(t)\cos(\frac{\pi kt}T)) \cos(\frac{\pi kx}T).$
 Comme les fonctions $\frac 1 {\sqrt T},\;\sqrt{\frac 2 T} \cos(\frac{\pi kx}T)$ forment un
syst\ee me orthonorm\ea de
$L^2(0,T)$, l'\e galit\ea  pr\e c\e dente exprime qu'elles forment en fait une base
hilbertienne.
\newline
iii)  La base que l'on trouve est $\sqrt \frac{2}{T} \sin(\frac {k\pi t}{T}),   k=1,
2, ...  $.  Cette base a l'inconv\e nient que les sommes partielles valent toujours 0
aux extr\e mit\e s de l'intervalle.
\fexer

\dexer
  Lemme de Riemann-Lebesgue
\newline
i)
 En int\'{e}grant par parties $k$  fois l'int\'{e}grale d\'{e}finissant $\hat f$, on
 obtient pour $\xi \neq 0$, 
 $$|\hat f(\xi)| = |\frac 1 {(i\xi)^k}\hat{f^{(k)}}(\xi)|\leq \frac
 {||f^{(k)}||_{L^1}}{|\xi|^k}.$$
Ces int\e grations par parties sont valides car  $f(x)\to 0$ (ainsi que ses d\e riv\e es)
quand $x\to \infty$.  En effet, $f(x)=f(0)+\int_0^xf'(t)dt$ est de Cauchy et a une limite
quand $x\to infty$.  Comme $f$ est sommable, cette limite ne peut \eee tre que 0.
\newline
ii)
 Soit $f_n$ une suite de fonctions $C^\infty$ et \`{a} support compact qui tendent vers
 $f$ dans $L^1$.  On a, pour $n$ fix\'{e} assez grand : $||f_n -f||_1\leq \varepsilon$,
 ce qui implique $|\hat f_n(\xi)-\hat f(\xi)|\leq \varepsilon$ pour tout $\xi$. En
 vertu de la question pr\'{e}c\'{e}dente, $|\hat f_n(\xi)|\to 0$ quand $n$ est fix\'{e}
 et $|\xi|\to \infty$.  Donc $|\hat f_n(\xi)|\leq \varepsilon$  pour $\xi $ assez grand.
 Finalement,  
 $$|\hat f(\xi)| \leq |\hat f(\xi)-\hat f_n(\xi)| + |\hat f_n(\xi)|\leq 2\varepsilon$$
 pour $\xi$ assez grand.
\newline
iii)
 On a $c_n(f)\to 0$ si $f\in L^2(0, 2\pi)$ parce que ce sont les coordonn\'{e}es de $f$
 sur un syst\`{e}me orthonormal.  Pour montrer la densit\'{e} de $L^2(0, 2\pi)$ dans
 $L^1$, on remarque que  si $f\in L^1$, alors les tronqu\'{e}es de $f$, $f_n = \sup (-n,
 \inf (f, n))$ sont dans $L^2$ et convergent vers $f$ dans $L^1$, par le th\'{e}or\`{e}me
 de Lebesgue.
\newline
iv)
 Si $f$ est $C^p$ et $2\pi$-p\'{e}riodique, en int\'{e}grant par parties $p$ fois sur
 $[0, 2\pi]$,  $$c_k(f) = \int e^{-ikx}f(x)dx = \frac 1 {(ik)^p} \int
 e^{-ikx}f^{(p)}(x)dx.$$
 Donc, les coefficients d\'{e}croissent d'autant plus vite que $f$ est plus
 r\'{e}guli\`{e}re.  
 Si maintenant $f$ pr\'{e}sente un saut en 0, nous notons $f(0^+)$ la valeur en 0 par la
 droite et $f(2\pi^-)$ la valeur en $2\pi$ par la gauche. En int\'{e}grant par parties une
 fois,  
$$c_k(f) = \frac 1 {ik}\int_0^{2\pi} e^{-ikx}f'(x)dx +
\frac{f(0^+)-f(2\pi^-)}{ik}.$$
 Par le lemme de Riemann-Lebesgue appliqu\'{e} \`{a} $f'$, le
 premier terme est $o(\frac 1 k)$, ce qui prouve le r\'{e}sultat demand\'{e}.  On sait que
 $\sum_{k\geq N} \frac 1{k^2} = O(\frac 1 k)$.  Donc la convergence de la s\'{e}rie de
 Fourier vers $f$ pour la norme $L^2$ est en $O(\frac 1 k)$, et donc tr\`{e}s lente : 1000
 termes pour une pr\'{e}cision de  $10^{-3}$.
\newline
v)
 On obtient $c_{k, l} = 0(\frac 1 {kl})$ et le reste (pour la  norme $L^2$) de la
 s\'{e}rie double est donc en $O(\frac 1 {kl})$.  Donc, pour 
 une pr\'{e}cision de $10^3$,
 il faut encore 1000 termes.
\newline
vi)
 On a en int\'{e}grant par parties et en remarquant que $\hbox {sin}kx$ s'annule en 0 et 
 $2\pi$, $$c_k(f) = \frac 1 {i\pi k}\int_0^{2\pi} \hbox{sin}kxf'(x)dx.$$
 Donc, par le lemme de Riemann-Lebesgue, $c_k(f) = o(\frac 1 k)$.  Les coefficients de
 Fourier d\'{e}croissent donc plus vite qu'avec la transform\'{e}e de Fourier classique
 et on peut donc en transmettre moins pour une qualit\'{e} d'image \'{e}gale. Pour
 transmettre une image, on la d\'{e}coupe en petits carr\'{e}s et on transmet une partie
 des coefficients de Fourier de chaque imagette.  On augmente ainsi la probabilit\'{e}
 qu'une imagette pr\'{e}sente une couleur homog\`{e}ne et soit donc r\'{e}guli\`{e}re.
 L'utilisation de la tranform\'{e}e en cosinus permet donc de comprimer l'information dans
 les sous-carr\'{e}s de l'image o\`{u} celle-ci est r\'{e}guli\`{e}re.  Par contre, les
 calculs pr\'{e}c\'{e}dents prouvent qu'on ne gagne rien quand un ``bord" est pr\'{e}sent
 dans l'imagette. En effet, (on pourra expliciter le calcul pour une image blanche au
 dessus de la diagonale et noire en dessous), un calcul du m\^{e}me type qu'au 5) implique
 que les coefficients d\'{e}croissent en $0(\frac 1 {kl})$. C'est ce qui explique les
 ph\'{e}nom\`{e}nes de ``halo" autour des objets sur un fond contrast\'{e} : le petit
 nombre de coefficients transmis ne suffit pas \`{a} approcher bien  l'imagette. Il y a
 une autre raison \`{a} cela : comme nous verrons plus bas dans l'exercice sur le
 ph\'{e}nom\`{e}ne de Gibbs, les bords pr\'{e}sentent toujours un halo r\'{e}siduel, quel
 que soit le nombre de coefficients transmis.
\fexer

\dexer
 Principe de localisation
\newline
i)
  Supposons le r\'{e}sultat d\'{e}montr\'{e} pour $x=0$, $f(x)=0$.  Soit maintenant 
 $g\in L^1(0, 2\pi)$ telle que $\frac{g(y)-g(x)}{y-x}$ soit int\'{e}grable au voisinage
 de $x$. Alors on pose $f(y)= g(x+y)-g(x) $.  On a bien $f(0)=0$ et 
$\frac{f(y)}{y}=\frac {g(x+y)-g(x)}{y}$ est int\'{e}grable au voisinage de 0.  Donc, par
 hypoth\`{e}se, $s_Nf(0)\to f(0)=0$.  Or
 $$s_Nf(0)=\sum_{|n|\leq N}c_n(g(x+y)-g(x))=\sum_{|n|\leq N}
\frac 1{2\pi}\int_0^{2\pi}(g(x+y)-g(x))e^{-iny}dy$$
 $$=(\sum_{|n|\leq N}\frac 1
 {2\pi}\int_0^{2\pi}g(z)e^{-in(z-x)}dz) -g(x)=(\sum_{|n|\leq N}
\frac 1 {2\pi}e^{inx}\int_0^{2\pi}g(z)e^{-inz}dz)-g(x)$$
 $$= s_Ng(x)-g(x).$$
 Donc $s_Ng(x)\to g(x).$
\newline
ii)
 En effet, $\sum_{-N}^Ne^{iky}=\frac {\hbox{sin}(N+\frac {1} {2})y}{\hbox{sin}\frac {y}
 {2}}$, ce qui se prouve ais\'{e}ment en sommant la suite g\'{e}om\'{e}trique.
\newline
iii)
Par le 1) il suffit de montrer que si $f\in L^1(0, 2\pi)$  et si $\frac {f(y)}{y}$ est
 int\'{e}grable autour de 0, alors $s_Nf(0)\to 0$.  Comme sur $[-\pi, \pi]$,
 $|\hbox{sin}y|\geq \frac {|y|} {\pi}$, on a
 $$|\frac {f(y)}{\hbox{sin}\frac y 2}|\leq \frac {\pi |f(y)|}{|y|}\in L^1(0, 2\pi).$$
 Donc on peut appliquer le lemme de Riemann-Lebesgue aux  fonctions 
 $f(y)$ et 
$\frac {f(y)}{\hbox{sin}\frac y 2}$.  On conclut que l'int\'{e}grale du
 2) tend vers 0 quand $N$ tend vers l'infini.
\newline
iv)
 L'application est imm\'{e}diate : $|\frac {f(y)-f(x)}{y-x} |\leq |x-y|^{\alpha -1}$ qui
 est bien int\'{e}grable au voisinage de $x$.
\newline
v)
 Alors que $s_N(f)$ est le r\'{e}sultat d'un calcul int\'{e}gral sur tout l'intervalle
 $[0, 2\pi]$, et donc d'un calcul global, le comportement de $s_Nf(x)$ d\'{e}pend du
 comportement local de $f$ au voisinage de $x$. Il y a donc ``localisation".  On rappelle
 que si on sait seulement que $f\in L^2$, alors nous sommes assur\'{e}s de la convergence
 quadratique de $s_Nf$ vers $f$, mais nullement de la convergence point par point.
\newline
vi)
 Exemple. Soit $f$ une fonction qui est la primitive sur $[0, 2\pi]$ d'une fonction de
$L^2(0, 2\pi)$.  Appliquer le principe de localisation.
\newline
vi)
 En appliquant l'in\'{e}galit\'{e} de Cauchy-Schwartz, 
  $$|f(x)-f(y)| = |\int_y^x f'(t)dt|
 \leq |y-x|^{\frac 1 2}|\int_0^{2\pi} |f'(t)|^2dt|^{\frac 1 2}.$$
 La fonction $f$ est donc H\"{o}lderienne d'exposant $\frac 1 2$ et le principe de
 localisation s'applique.
\fexer

\dexer
Ph\'{e}nom\`{e}ne de Gibbs
\newline
i)
 $$\frac 1 2 + \sum_1^n \hbox{cos} nx = \frac 1 2 \sum_{-n}^n e^{ikx} = \frac 1 2
 e^{-inx}(\frac {e^{(2n+1)ix}-1}{e^{ix}-1})$$
 $$=\frac 1 2 \frac{e^{ix(n+\frac 1 2)}-e^{-ix(n+\frac 1 2)}}{e^{i\frac x 2}-e^{-i\frac x
 2}} = \frac {\hbox{sin}nx\hbox{cos}\frac x 2 + \hbox{sin}
\frac x 2\hbox{cos}nx}{2\hbox{sin}\frac x 2}$$
 $$=\frac 1 2 \frac {\hbox{sin}nx}{\hbox{tg}\frac x 2} + \frac {\hbox{cos}nx}{2}.$$
\newline
ii)
 Comme $s \in L^2(0, 2\pi)$, on a 
 $s(x)=\sum_k c_k(s)e^{ikx}$, la convergence se v\'{e}rifiant au sens de $L^2$ et, en
 vertu du principe de localisation, en tout point de l'intervalle ouvert $]0, 2\pi[$.
 On calcule les coefficients de Fourier $c_k(s)$.
 $$c_k(s)=\frac 1 {2\pi}\int_0^{2\pi}(\frac {\pi -x} 2)e^{-ikx}dx=
-\frac 1{4\pi}\int_0^{2\pi}xe^{-ikx}dx=\frac 1 {2ik}$$
 si $k\neq 0$, en int\'{e}grant par parties.  
 D'o\`{u}
 $$s(x)=\sum_{k\neq 0}\frac {e^{ikx}}{2ik} = \sum_{k=1}^\infty \frac {\hbox{sin}kx}{k}.$$
\newline
iii)
 Cette relation s'obtient en int\'{e}grant la relation du 1) entre 0 et $x$ et en
 soustrayant des deux cot\'{e}s $\frac x 2 + \int_0^x\frac {\hbox{sin}nt}tdt$.
 On remarque que la fonction $\frac {\hbox{cos}\frac t 2}{2\hbox{sin}\frac t 2}-\frac 1 t$ 
est
$C^1$.  En effet, en d\'{e}veloppant au voisinage de 0,
  $$\frac {\hbox{cos}\frac t 2}{2\hbox{sin}\frac t 2}-
\frac 1 t = \frac {t\hbox{cos}\frac t 2 - 2\hbox{sin}\frac t 2}{2t \hbox {sin} \frac t 2}$$
 $$=\frac {t(1-\frac{t^2}8)-2(\frac t 2 -\frac {t^3}{48}) +o(t^3)}
{t^2-\frac{t^4}{24}+o(t^4)}=\frac {t^3(-\frac 1 8 + \frac 1 {24})+o(t^3)}
{t^2-\frac{t^4}{24}+o(t^4)}$$
 $$=-\frac t {12} +o(t).$$
 On peut donc int\'{e}grer par parties 
  $\int_0^x  ((\sin(nt))(\frac{\hbox{cotg}(\frac{t}{2})}{2}-\frac{1}{t})
 + \frac{cos(nt)}{2})$, et  cette expression est donc major\'{e}e par $\frac C n$
 pour une constante $C$ ad\'{e}quate.
\newline
iv)
 La fonction $G(a)$ est croissante sur les intervalles pairs $[2k\pi, (2k+1)\pi]$ et
 d\'{e}croissante sur les intervalles impairs.  On voit ais\'{e}ment que 
 $|G((n+1)\pi)-G(n\pi)|$ est une suite d\'{e}croissante.  Il en r\'{e}sulte que 
 la suite $G(2n\pi)$ est une suite croissante strictement, la suite $G((2n+1)\pi)$ une
 suite strictement d\'{e}croissante, et les deux convergent vers une valeur commune
 not\'{e}e $G(+\infty)$.  On a donc $G(\pi)>G(+\infty)$.
\newline
v)
 On a $$s_n(\frac {\pi} n) =\int_0^{\frac {\pi} n} \frac {\hbox{sin}nt}{t}dt
 -\frac{\pi}{2n} + O(\frac 1 n)=\int_0^{\pi} \frac {\hbox{sin}u}{u}du$$
 $$=G(\pi) > G(+\infty)=\frac {\pi} 2 = s(0^+),$$
 car $s(0^+)=\frac {\pi}{2}=\int_0^{+\infty}\frac {\hbox{sin}u}{u}du$.
 Donc pour tout $n$, il y a une valeur tr\`{e}s  proche de 0, en l'occurrence $\frac \pi n$,
telle que la somme partielle de la s\'{e}rie de Fourier d\'{e}passe d'un facteur
 constant $\frac {G(\pi)}{G(+\infty)}$ la valeur de la limite $s(0^+)$.  Pour raisons de
 sym\'{e}trie, la m\^{e}me chose se produit en $0^-$ avec la suite $s_n(-\frac \pi n)$.
 On remarquera l'existence d'oscillations plus amorties un peu plus loin de 0, elles
 aussi pr\'{e}dictibles et observables : 
 $$s_n(\frac {\pi}{2n}) = G(2\pi)+O(\frac 1 n)<G(+\infty) = s(0^+),$$
 etc...
\newline
vi) G\'{e}n\'{e}ralisation au cas d'une fonction $f$, $C^1$ sur
$[0, 2\pi]$, mais pas $2\pi$ p\'{e}riodique : on soustrait \`{a} la fonction $f$ une fonction
en ```dents de scie" $\lambda s + \mu = \tilde s$, o\u $\lambda$ et $\mu$ ont \e t\ea choisis
de mani\`{e}re
\`{a} la rendre Lipschitzienne  et on applique
\`{a} la diff\'{e}rence $f-\tilde s$ le principe de localisation).  Il y a donc convergence
uniforme de la s\e rie de Fourier de $f-\tilde s$ vers $f-\tilde s$, alors que la s\e rie de
Fourier de $\tilde s$ pr\e sente le ph\e nom\ee ne de Gibbs.  Le d\e veloppement de Fourier
de $f$ pr\e sente donc aussi le ph\e nom\ee ne de Gibbs.
\fexer



\dexer {\bf Calcul de quelques s\'{e}ries}   Si $0<r<1,$ on note le "noyau de Poisson" par
$$P_r(\theta) = 1+2\sum_{n=1}^\infty r^n \cos(n\theta) 
= \frac {1-r^2}{1-2r\cos(\theta)+r^2}.$$

\skipaline
1)  Montrer que $0\leq \theta\leq
\pi$ et $\frac {1}{2} \leq r\leq 1$ impliquent $r^2+(1-2r)\cos(\theta)\geq
0.$  En d\'{e}duire que $\theta^2 P_r(\theta)\leq \frac
{(1-r^2)\theta^2}{1-\cos(\theta)}$ et calculer $lim_{r\to
1}\int_0^\pi\theta^2 P_r(\theta)d\theta.$

\skipaline
2)  Montrer que
$$\int_0^\pi\theta^2 P_r(\theta)d\theta = \frac{\pi^3}{3}
+4\pi\sum_{n=1}^\infty \frac {(-r)^n}{n^2}$$ et en d\'{e}duire une 
autre expression de
 $lim_{r\to 1}\int_0^\pi\theta^2 P_r(\theta)d\theta.$

\skipaline
3)  A l'aide des deux pr\'{e}c\'{e}dentes questions, 
calculer les sommes des s\'{e}ries 
$$\sum_{n=1}^\infty \frac {(-1)^n}{n^2}, \quad
\sum_{n=1}^\infty \frac {1}{(2n-1)^2}, \quad 
\sum_{n=1}^\infty \frac {1}{n^2}.$$
\fexer

\dexer
 {\bf S\'{e}ries lacunaires}
Voil\`{a} qui conclut la "pathologie" de la convergence des s\'{e}ries
 de Fourier : il peut se produire qu'une s\'{e}rie de Fourier converge 
 tr\`{e}s bien (g\'{e}om\'{e}triquement par exemple) tandis que sa d\'{e}riv\'{e}e ne 
 converge presque nulle part.  
On appelle "s\'{e}rie lacunaire" toute s\'{e}rie de la forme :
$f(x)=\sum_{k=1}^\infty a_k\cos(n_kx)+b_k\sin(n_kx)$, o\`{u}
$\frac{n_{k+1}}{n_k}>q>1$.  
\skipaline
{\rm Exemple} : La fonction de Weierstrass, 
$f(x) = \sum_{k=1}^\infty 2^{-k}\cos(3^kx).$  On va montrer que la 
s\'{e}rie de Fourier associ\'{e}e \`{a} $f'(x)$ diverge dans $L^2(E)$ pour 
tout $E\subset \lbrack 0, 2\pi\rbrack$ de mesure strictement positive.


\skipaline
1) 
Soit un polyn\^{o}me trigonom\'{e}trique (obtenu en tronquant une s\'{e}rie
 lacunaire),
 $P(x) = \sum a_k\cos(n_kx)+b_k\sin(n_kx)$.  On peut \'{e}crire
$P(x) = \sum c_ke^{in_kx}$ avec $c_k=\overline{c}_{-k}$ et 
$\sum \vert c_k\vert^2
=\frac{1}{2} \sum\vert a_k\vert^2+\vert b_k\vert^2.$


\skipaline
2) $\int_E P^2(x)dx=\sum\vert c_k\vert^2\vert E\vert 
+ 2\pi \sum_{k\neq l}c_k\overline{c}_l\gamma_{n_l-n_k}$, o\`{u}
 $\gamma_k = c_k({\cal X}_E)$ est la suite des coefficients de Fourier
 de la fonction caract\'{e}ristique de $E$.



\skipaline
3) Montrer que $$\vert E\vert \sum \vert c_k\vert^2 -2\pi(\sum\vert c_k\vert
^2) (\sum_{k\neq l}\vert \gamma_{n_l -n_k}\vert^2)^{\frac{1}{2}}\leq
\int_E P^2(x)dx \leq$$
$$\quad\quad\vert E\vert \sum \vert c_k\vert^2 +2\pi(\sum\vert c_k\vert ^2)
(\sum_{k\neq l}\vert \gamma_{n_l -n_k}\vert^2)^{\frac{1}{2}}.$$


\skipaline
4) Il existe un nombre $\Delta (q)$ tel que tout entier $N$ se 
repr\'{e}sente au plus $\Delta(q)$ fois sous la forme $n_l-n_k$.


\skipaline
5) Il existe un entier $m_1$ ne d\'{e}pendant que de $q>1$ et $E$ tel que 
si la premi\`{e}re fr\'{e}quence de $P$, $m_1$, v\'{e}rifie $n_1\geq m_1$, 
on a
$$\frac{1}{4}\vert E\vert \sum \vert c_k\vert ^2 \leq 
\int_E P^2(x)dx 
\leq \frac{1}{2}\vert E\vert \sum \vert c_k\vert ^2.$$

\skipaline
6) Application \`{a} la d\'{e}riv\'{e}e de la fonction de Weierstrass.


\fexer
\newpage
\dexer
 {\bf Corrig\e ,op\'{e}rateurs autoadjoints compacts et bases
hilbertiennes.  La base de Fourier comme ensemble de vecteurs propres d'un
op\'{e}rateur d'int\'{e}gration
}

 {\it
1) Soit une suite $(a_n)_{n\in \rational}$ de nombres complexes non nuls tels que la
suite $|a_n|$ cro\^{i}t et tend vers l'infini quand $n\to +\infty$ ou $-\infty$.
Montrer que l'ensemble $H$ des suites de $l^2(\rational^*)$, $(c_n)_{n\in
\rational^*}$ telles que  $\sum_{n \in \rational^*}|a_n||c_n|^2\leq C$ est un compact
de $l^2(\rational)$ pour tout $C>0$.  Marche \`{a}  suivre : montrer d'abord, par le
proc\e d\'{e}   de diagonalisation de Cantor, que l'on peut extraire une sous-suite 
$c^{\varphi (p)}$ telle que $c^{\varphi(p)}_n$ converge vers un nombre $c_n$ pour tout
$n$.  Montrer ensuite que la suite $c=(c_n)_n$ v\e rifie 
 $\sum_{n \in \rational^*}|a_n||c_n|^2\leq C$
et conclure en montrant qu'on peut majorer  les restes de s\e rie 
 $\sum_{n \in \rational^*, n\geq N}|c_n|^2$ et
 $\sum_{n \in \rational^*, n\geq N}|c^{\varphi(p)}_n|^2$.
 }

 \skipaline
 On consid\`{e}re une suite d'\e l\e ments de $l^2(\rational)$, $c^p =
 (c^p_n)_{n\in \rational}$ satisfaisant $\sum_{n \in \rational^*}|a_n| |c_n|^2\leq C$ 
 et on montre que la suite admet une sous-suite convergente dans $l^2(\rational)$. 
 On commence par extraire une sous-suite convergente de la suite born\e e
 $(c^p_1)_p$, que l'on appelle $c_1^{\varphi_1(p)}$.  Soit $c_1$ sa limite.  Ensuite,
 on extrait une sous-suite convergente 
 de la suite $(c_{-1}^{\varphi_1(p)})_p$, que l'on appelle
 $(c_{-1}^{\varphi_2(p)})$.  Soit $c_{-1}$ sa limite.  On d\e finit ainsi par 
 r\e currence pour tout $k\in \natural$ une suite $c^{\varphi_k(p)}$ extraite de $c^p$,
 et telle que  $c_n^{\varphi_{2k}(p)}\to c_n$
  quand $p\to \infty$ pour tout $|n|\leq k$.  On applique alors le proc\e d\'{e} 
  de
 diagonalisation de Cantor : on consid\ee re la suite diagonale
 $d^p=c^{\varphi_p(p)}$. 
  Cette suite appara\^{i}t pour  $p\geq k$ comme une suite extraite de la suite
 $c^{\varphi_k(p)}$.  On en d\e duit que $d^p_n\to c_n$ pour tout $n\in \rational$.
 Montrons que $\sum |a_n||c_n|^2 \leq C$.  On a $\sum_{n\in \rational^*, |n|\leq N}
 |a_n||c_n^p|^2\leq C$.  En faisant tendre $p$ vers l'infini, 
 $\sum_{n\in \rational^*, |n|\leq N}
 |a_n||c_n|^2\leq C$, et en faisant ensuite tendre $N$ vers l'infini on d\e duit que 
 la suite limite $c = (c_n)_n$ est dans $H$ et $\sum_{n\in \rational^*}
 |a_n||c_n|^2\leq C$.
 Reste \`{a} 
  v\e rifier que la suite $d^p$ tend vers $c$.  Or, 
 $$\sum_{n\in \rational^*, |n|\geq N} |d^p_n-c_n|^2 \leq \frac 1{|a_N|}\sum_{|n|\geq N}
 |a_n||d^p_n-c_n|^2 \leq  \frac{4C}{|a_N|}.$$
 Pour conclure, on fixe $N$ assez grand pour que ce dernier terme soit plus petit que
 $\varepsilon$, puis on rend $p$ assez grand pour que 
 $$\sum_{n\in \rational^*, |n|< N} |d^p_n-c_n|^2 \leq \varepsilon.$$

\skipaline
 {\it
2) On consid\ee re l'op\e rateur d'``int\e gration" de $l^2(\rational^*)$ dans lui
 m\eee me d\e fini par $Ac = (\frac {c_n}n)_{n\in \rational^*}.$
D\e montrer qu'il est autoadjoint et compact.
 }

 \skipaline
 L'op\e rateur $A$ est directement d\e fini comme un op\e rateur diagonal sur une
 base orthonorm\e e  et est donc autoadjoint.  Sa compacit\'{e} 
   d\e coule imm\e diatement
 de la question 1),  en posant $a_n=n^2$.

\skipaline
 {\it
3) Soit $V$ le sous-espace de $L^2(0, 2\pi)$ des fonctions d'int\e grale nulle sur $(0,
2\pi)$.  On pose pour $u$ dans $V$, 
$$\tilde Au(x) = \int_0^xu(t)dt - \frac 1{2\pi}\int_0^{2\pi}(2\pi -t)u(t)dt.$$
D\e montrer que $\tilde A $ applique $V$ dans lui-m\eee me.
 }

 \skipaline 
 En appliquant l'in\e galit\'{e} 
  de Cauchy-Schwartz, on voit que $\tilde Au(x)$ peut 
 \eee tre major\'{e}  par $ (2\pi)^{\frac 1 2}(1+ 2\pi)||u||_{L^2}.$ La fonction
 $\tilde A u(x)$ est donc born\e e et donc appartient \a  $L^2(0, 2\pi)$.  Pour montrer
 que $\tilde A u(x)$ est bien dans $V$, il reste \`{a} 
  montrer qu'elle est d'int\e grale
 nulle : le faire ! 

\skipaline
 {\it
4)  Calculer les fonctions propres et valeurs propres de $\tilde A$.
 }

 \skipaline
 On peut deviner, et ensuite v\e rifier, que ce sont tout bonnement les fonctions de la
 base de Fourier,  
 $e^{ikx}, k\in \rational^*$ avec pour valeurs propres associ\e es
 $\frac 1 {ik}$. 
 Comme ces fonctions forment une base hilbertienne de $V$, on est
 certain de n'avoir 
 omis aucune  fonction propre~: s'il y en avait une de plus, elle
 serait orthogonale 
 aux pr\e c\e dentes, et donc nulle, ce qui est impossible.
 On pourra aussi r\e soudre l'\e quation diff\e rentielle associ\e e : on \e crit
 $\tilde A u(x) = \lambda u(x)$.  On remarque que si $u(x)$ est dans $L^2$, alors
 la d\'{e}finition de $\tilde A u$ implique que cette fonction est continue.  Donc
 $\lambda u(x)$ est continue et donc aussi $u(x)$ si $\lambda \neq 0$.  Mais si
 $u$ est continue, on voit que $\tilde Au$ est $C^1$, et donc $u$ aussi.  On peut alors
 d\e river \`{a}  
  gauche et \`{a} 
  droite et on obtient
 $u(x) = \lambda u'(x)$.  Les fonctions propres sont donc de la forme $Ce^{\frac x
 \lambda}$.  Comme elles doivent \eee tre d'int\e grale nulle, on a en sommant sur
 $(0, 2\pi)$,
 $2\pi e^{\frac {2\pi}{\lambda}}=0$ et donc $\lambda = \frac 1 {ik}$ pour $k\in 
 \rational^*$.  Reste \`{a}  
  r\e gler le cas $\lambda = 0$.  On va montrer que 0 n'est
 pas valeur propre, c'est \a   dire que $u\in L^2$ et $\int_0^x u(t)dt = C$ impliquent
 $u=0$.  Attention : on n'a pas {\it a priori} le droit de d\e river par rapport 
 \`{a}  
  $x$ les deux membres pour en d\e duire le r\e sultat : il faudrait que 
 $u$ soit continue (ou que l'on connaisse le th\e or\ee me de densit\'{e} 
  de Lebesgue :
 Si $f\in L^1$, alors $\int_0^x f(t)dt$ est d\e rivable p.p. et sa d\e riv\e e est $f$.)
 Une m\e thode simple est de remarquer par simple soustraction  que $\int_x^yu(t)dt=0$
 pour tous $x$ et $y$.  Donc $u$ est orthogonale \`{a}  
  toutes les fonctions en 
 escalier, et comme celles-ci forment un syst\ee me total de $L^2$, on d\e duit
 que $u=0$.

 
\skipaline
 {\it
5)  D\e montrer que $V$ est isomorphe \`{a}
 $L^2(\rational^*)$.  D\e duire que
$\tilde A$ est autoadjoint et compact.
 }

 \skipaline
 L'isomorphisme est sombrement \e vident : c'est la restriction de l'isomorphisme
 de Fourier qui associe \'{a} toute fonction $f$ \`{a}  
  moyenne nulle (v\e rifiant donc 
 $c_0(f)=0$)  la suite de carr\'{e} 
  sommable $c_n(f), n\in \rational^*$.  On voit que
 sur la base de Fourier, l'op\e rateur $\tilde A$ a la forme d\e crite au 2) (\`{a} 
 la multiplication par $i$ pr\ee s.)   Il est donc autoadjoint et compact.
 \fexer
 \end{document}


\section{Distributions p\'{e}riodiques et leur transform\'{e}de Fourier}
(Voir Bony 6.3)

On se donne un nombre $T>0$, la "p\'{e}riode", et lui associe la "fr\'{e}quence" $\omega
= \frac {2\pi}{T}$.  On dit qu'une distribution $u$ est $T$-p\'{e}riodique si sa
translat\'{e}e $\tau_T u$ est \'{e}gale \`{a} $u$. Le but de cette section est
d'obtenir, comme dans le cas des fonctions de carr\'{e} sommable, une caract\'{e}risation
compl\`{e}te des distributions p\'{e}riodiques en termes de leur s\'{e}rie de Fourier.
 
\subsection{S\'{e}ries de Fourier convergentes au sens des distributions}
Soit $(\gamma_p)_{p\in Z}$ une suite \`{a} croissance lente, c'est-\`{a}-dire
v\'{e}rifiant une estimation du type
$$\forall p \in Z, |\gamma_p|\leq C(1+|p|)^N.$$
D\'{e}montrer que la s\'erie $\sum_{-\infty}^{+\infty} \gamma_p e^{ip\omega t}$ converge
au sens des  distributions et d\'{e}finit une distribution $T$-p\'{e}riodique.
(Indication : on int\'{e}grera terme \`{a} terme la s\'{e}rie jusqu'\`{a} obtenir une
s\'{e}rie uniform\'{e}ment convergente.

\subsection{S\'{e}ries de Fourier des distributions p\'{e}riodiques}  On va montrer la
r\'{e}ciproque du th\'{e}or\`{e}me  pr\'{e}c\'{e}dent, \`{a} savoir que toute
distribution p\'{e}riodique est la somme d'une unique s\'{e}rie de Fourier dont les
coefficients sont \`{a} croissance lente.

\skipaline
1)  Montrer que si $f$ est $T$-p\'{e}riodique et de classe $C^\infty$, la
suite des $c_p(f)$ est \`{a} d\'{e}croissance rapide, c'est-\`{a}-dire que l'on a
$c_p(f)\leq C_N(1+|p|)^{-N}$ pour tout $N$ et que la diff\'{e}rence
$$f-\sum_k^{k'}c_p(f)e^{ip\omega t}$$ tend vers 0 uniform\'{e}ment ainsi que chacune de ses
d\'{e}riv\'{e}es lorsque $k$ et $k'$ tendent vers $+\infty$.
(On utilisera la convergence dans $L^2$ de la s\'{e}rie de Fourier vers $f$, la convergence
uniforme de cette m\^{e}me  s\'{e}rie, due \`{a} la d\'{e}croissance rapide, et
l'unicit\'{e} de la limite!)

\skipaline
2) Montrer qu'il existe $\chi\in C_0^\infty(\real)$ telle que 
$\sum_{k\in Z}\tau_{kT}\chi = 1$.  (Prendre $\phi \in C_0^\infty$ positive partout et
strictement positive sur $[O,T]$, et poser $\chi = \frac {\phi}{\sum \tau_{kT}\phi}.$

\skipaline
3)  Soit $\alpha \in C_0^\infty(\real).$  On pose $\tilde\alpha = \sum \tau_{kT}\alpha$,
qui s'appelle la $T$-p\'{e}riodis\'{e}e de $\alpha$.  Montrer que
$c_p(\tilde\alpha)=\frac 1 T \int_{\real} \alpha(t)e^{-ip\omega t}dt.$

\skipaline
4) Montrer que si $\gamma_p$ est une suite \`{a} croissance lente et pour  $\alpha \in
C_0^\infty(\real),$ on a
$$\frac 1 T <\sum \gamma_p e^{ip\omega t},  \alpha> = \sum \gamma_p c_p(\tilde
\alpha),$$
 et en d\'{e}duire que l'application qui \`{a} une suite \`{a} croissance lente $\gamma_p$ associe
la distribution $\sum \gamma_p e^{ip\omega t}$ est injective. (Consid\'{e}rer 
$\alpha = \chi e^{ip_0\omega t}$.)

\skipaline
5) Soit $U$ une distribution $T$-p\'{e}riodique.  Montrer qu'il existe $u\in {\cal
E}'(\real)$ telle que $U=\sum \tau_{kT}u$.  On pose
$$\beta_p = \frac 1 T <u, e^{-ip\omega t}>_{\\`{a} E', C^\infty}. $$
Montrer que la suite $\beta_p$ est \`{a} croissance lente et que l'on a
$$<U,\alpha> = <u, \tilde \alpha> = \sum \beta_p c_p(\tilde\alpha).$$
En d\'{e}duire que $U=\sum \beta_p e^{ip\omega t}$.

\skipaline
6)  Conclure : Toute distribution $T$-p\'{e}riodique $U$ peut s'\'{e}crire  de
mani\`{e}re unique sous la forme d'une s\'{e}rie de Fourier convergente dans $\cal D'$, 
$$U=\sum_{p\in Z} c_p(U)e^{ip\omega t},$$
o\'{u} la suite $(c_p(U))$ est \`{a} croissance lente.  Les coefficients de Fourier peuvent se
calculer par $c_p(U)=\frac 1 T <u, e^{-ip\omega t}>$ o\`{u} $u$ est une distribution \`{a}
support compact telle que $U=\sum \tau_{kT}u$.

\skipaline
7) Application : Formule sommatoire de Poisson.  Montrer que
$$\sum_{k=-\infty}^{k=+\infty}\delta_{kT} = \frac 1 T
\sum_{p=-\infty}^{p=+\infty}e^{ip\omega t}.$$
En d\'{e}duire que si $\phi\in C_0^\infty(\real)$, on a
$$\sum_{k=-\infty}^{k=+\infty}\phi(2k\pi) = \frac {1} {2\pi}
\sum_{p=-\infty}^{p=+\infty}\hat \phi(p).$$









\end{document}






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\section{Distributions p\'{e}riodiques et leur transform\'{e}de Fourier}
(Voir Bony 6.3)

On se donne un nombre $T>0$, la "p\'{e}riode", et lui associe la "fr\'{e}quence" $\omega
= \frac {2\pi}{T}$.  On dit qu'une distribution $u$ est $T$-p\'{e}riodique si sa
translat\'{e}e $\tau_T u$ est \'{e}gale \`{a} $u$. Le but de cette section est
d'obtenir, comme dans le cas des fonctions de carr\'{e} sommable, une caract\'{e}risation
compl\`{e}te des distributions p\'{e}riodiques en termes de leur s\'{e}rie de Fourier.
 
\subsection{S\'{e}ries de Fourier convergentes au sens des distributions}
Soit $(\gamma_p)_{p\in Z}$ une suite \`{a} croissance lente, c'est-\`{a}-dire
v\'{e}rifiant une estimation du type
$$\forall p \in Z, |\gamma_p|\leq C(1+|p|)^N.$$
D\'{e}montrer que la s\'erie $\sum_{-\infty}^{+\infty} \gamma_p e^{ip\omega t}$ converge
au sens des  distributions et d\'{e}finit une distribution $T$-p\'{e}riodique.
(Indication : on int\'{e}grera terme \`{a} terme la s\'{e}rie jusqu'\`{a} obtenir une
s\'{e}rie uniform\'{e}ment convergente.

\subsection{S\'{e}ries de Fourier des distributions p\'{e}riodiques}  On va montrer la
r\'{e}ciproque du th\'{e}or\`{e}me  pr\'{e}c\'{e}dent, \`{a} savoir que toute
distribution p\'{e}riodique est la somme d'une unique s\'{e}rie de Fourier dont les
coefficients sont \`{a} croissance lente.

\skipaline
1)  Montrer que si $f$ est $T$-p\'{e}riodique et de classe $C^\infty$, la
suite des $c_p(f)$ est \`{a} d\'{e}croissance rapide, c'est-\`{a}-dire que l'on a
$c_p(f)\leq C_N(1+|p|)^{-N}$ pour tout $N$ et que la diff\'{e}rence
$$f-\sum_k^{k'}c_p(f)e^{ip\omega t}$$ tend vers 0 uniform\'{e}ment ainsi que chacune de ses
d\'{e}riv\'{e}es lorsque $k$ et $k'$ tendent vers $+\infty$.
(On utilisera la convergence dans $L^2$ de la s\'{e}rie de Fourier vers $f$, la convergence
uniforme de cette m\^{e}me  s\'{e}rie, due \`{a} la d\'{e}croissance rapide, et
l'unicit\'{e} de la limite!)

\skipaline
2) Montrer qu'il existe $\chi\in C_0^\infty(\real)$ telle que 
$\sum_{k\in Z}\tau_{kT}\chi = 1$.  (Prendre $\phi \in C_0^\infty$ positive partout et
strictement positive sur $[O,T]$, et poser $\chi = \frac {\phi}{\sum \tau_{kT}\phi}.$

\skipaline
3)  Soit $\alpha \in C_0^\infty(\real).$  On pose $\tilde\alpha = \sum \tau_{kT}\alpha$,
qui s'appelle la $T$-p\'{e}riodis\'{e}e de $\alpha$.  Montrer que
$c_p(\tilde\alpha)=\frac 1 T \int_{\real} \alpha(t)e^{-ip\omega t}dt.$

\skipaline
4) Montrer que si $\gamma_p$ est une suite \`{a} croissance lente et pour  $\alpha \in
C_0^\infty(\real),$ on a
$$\frac 1 T <\sum \gamma_p e^{ip\omega t},  \alpha> = \sum \gamma_p c_p(\tilde
\alpha),$$
 et en d\'{e}duire que l'application qui \`{a} une suite \`{a} croissance lente $\gamma_p$ associe
la distribution $\sum \gamma_p e^{ip\omega t}$ est injective. (Consid\'{e}rer 
$\alpha = \chi e^{ip_0\omega t}$.)

\skipaline
5) Soit $U$ une distribution $T$-p\'{e}riodique.  Montrer qu'il existe $u\in {\cal
E}'(\real)$ telle que $U=\sum \tau_{kT}u$.  On pose
$$\beta_p = \frac 1 T <u, e^{-ip\omega t}>_{\\`{a} E', C^\infty}. $$
Montrer que la suite $\beta_p$ est \`{a} croissance lente et que l'on a
$$<U,\alpha> = <u, \tilde \alpha> = \sum \beta_p c_p(\tilde\alpha).$$
En d\'{e}duire que $U=\sum \beta_p e^{ip\omega t}$.

\skipaline
6)  Conclure : Toute distribution $T$-p\'{e}riodique $U$ peut s'\'{e}crire  de
mani\`{e}re unique sous la forme d'une s\'{e}rie de Fourier convergente dans $\cal D'$, 
$$U=\sum_{p\in Z} c_p(U)e^{ip\omega t},$$
o\'{u} la suite $(c_p(U))$ est \`{a} croissance lente.  Les coefficients de Fourier peuvent se
calculer par $c_p(U)=\frac 1 T <u, e^{-ip\omega t}>$ o\`{u} $u$ est une distribution \`{a}
support compact telle que $U=\sum \tau_{kT}u$.

\skipaline
7) Application : Formule sommatoire de Poisson.  Montrer que
$$\sum_{k=-\infty}^{k=+\infty}\delta_{kT} = \frac 1 T
\sum_{p=-\infty}^{p=+\infty}e^{ip\omega t}.$$
En d\'{e}duire que si $\phi\in C_0^\infty(\real)$, on a
$$\sum_{k=-\infty}^{k=+\infty}\phi(2k\pi) = \frac {1} {2\pi}
\sum_{p=-\infty}^{p=+\infty}\hat \phi(p).$$







\subsection {Formulaire sur Fourier}
On suppose toujours que $f$ (et donc $\hat f$) est \`{a} d\'{e}croissance 
rapide.  Montrer que

\skipaline $\bullet$  Si $f$ est r\'{e}elle et paire, $\hat f(\xi)$ est
r\'{e}elle et $\hat f(\xi) = 2\int_0^{+\infty}f(x)\cos (\xi x) dx.$


\skipaline $\bullet$ Si $f$ est r\'{e}elle et impaire, $\hat f(\xi)$ est
imaginaire et $\hat f(\xi) = -2i\int_0^{+\infty}f(x)\sin (\xi x) dx.$


\skipaline $\bullet$ Sym\'{e}trie : Si $f(x)\leftrightarrow \hat f(\xi)$, 
$\hat f(x) \leftrightarrow 2\pi f(-\xi)$


\skipaline $\bullet$  Conjugu\'{e}es : $\overline{f}(x) \leftrightarrow 
\overline{\hat f}(-\xi)$

\skipaline $\bullet$  Formule d'inversion (autre forme) : 
$$f(x) = \frac {1}{(2\pi)^N}{\cal F}(\hat f(-\xi))(x).$$


\skipaline $\bullet$ Changement d'\'{e}chelle : 
$f(ax) \leftrightarrow \frac {1}{\vert a\vert^N}\hat f(\frac {\xi}{a})$. Autre forme :
$${\cal F}(f(ax))(\xi)= \frac {1}{a^N} {\hat f(\frac \xi a )}.$$


\skipaline $\bullet$ "Shift" : $f(x-a)\leftrightarrow e^{-ia\xi}\hat
f(\xi)$, $e^{iax}f(x)\leftrightarrow \hat f(\xi -a).$


\skipaline $\bullet$ "Modulation" : $f(x)\cos(\xi_0t)\leftrightarrow \frac
{1}{2}\left ( \hat f(\xi+\xi_0) + \hat f(\xi -\xi_0)\right ).$


\skipaline $\bullet$  D\'{e}riv\'{e}es : $(-ix)^nf(x)\leftrightarrow \hat
f^{(n)}(\xi)$,   $f^{n}(x) \leftrightarrow (i\xi)^n\hat f(\xi)$.

\skipaline $\bullet$  Plus pr\'{e}cis\'{e}ment: si $f$ est une fonction r\'{e}elle d'une
variable,  $k$ fois diff\'{e}rentiable et telle que $f^{(k)}\in L^1$, alors
$$(i\xi)^k\hat f(\xi)=\hat{f^{(k)}}(\xi).$$
Cela se d\'{e}montre par simple int\'{e}gration par parties.  Plus g\'{e}n\'{e}ralement,
et dans la mesure o\`{u} les int\'{e}grations par parties sont licites, 
$$(i\xi_j)^k\hat f(\xi) = \hat {\frac {\partial^k f}{\partial \xi_j^k}}(\xi),$$ et
des relations analogues pour toutes les autres d\'{e}rivations crois\'{e}es.


\skipaline $\bullet$  Th\'{e}or\`{e}me des moments : On appelle "moment d'ordre
$n$" de $f$, $m_n = \int _{-\infty}^{+\infty}x^nf(x)dx$.  Alors $\hat
f^{(n)}(0)=(-i)^nm_n$.

\skipaline $\bullet$  Transform\'{e}e de Fourier de la gaussienne : 
$e^{-a\vert x\vert^2}\leftrightarrow
(\frac{\pi}{a})^{\frac{n}{2}}e^{-\frac {\vert \xi\vert ^2}{4a}}$.
  On
commencera par poser, en dimension 1, $g(\xi)=\int e^{-ix\xi}e^{-x^2}dx$
et on montrera que $2g'(\xi)+\xi g(\xi)=0$, de sorte que $g(\xi) =
\sqrt\pi e^{-\frac{\xi^2}{4}}$.  On rappelle que $\int_{\real}
e^{-x^2}dx=\sqrt \pi$, ce qui se d\'{e}montre facilement en prenant le
carr\'{e} de cette int\'{e}grale, le consid\'{e}rant par Fubini comme une
int\'{e}grale sur $\real^2$ que l'on calcule en coordonn\'{e}es polaires.

\skipaline $\bullet$   Convolution : $f\ast g \leftrightarrow \hat f\hat
g$.


\skipaline $\bullet$  Formule de Parseval.  En d\'{e}duire que
$\int_{-\infty}^{\infty}f(y)g(x-y) dy = 
\frac {1}{(2\pi)^N}\int_{-\infty}^{\infty}\hat f(\xi)\hat
g(\xi)e^{ix\xi}d\xi,$ puis la formule de Parseval, 
$$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\overline{g}(x)dx = 
\frac {1}{(2\pi)^N}\int_{-\infty}^{\infty}\hat f(\xi)\overline{\hat
g}(\xi)d\xi.$$

\subsection {Transform\'{e}e de Fourier dans $L^2(\real ^n)$}
D\'{e}duire de la Formule de Parseval, que la transform\'{e}e de Fourier
peut-\^{e}tre prolong\'{e}e de ${\cal S}(\real^n)$ \`{a} $L^2(\real^n)$ et
qu'elle est un isomorphisme de $L^2$.  V\'{e}rifier que {\bf toutes} les
formules pr\'{e}c\'{e}dentes (\`{a} l'exception de celles concernant les d\'{e}riv\'{e}es)
peuvent \^{e}tre imm\'{e}diatement \'{e}tendues \`{a} $L^2$.  On pourra \'{e}tendre aussi
les formules concernant la d\'{e}riv\'{e}e quand on aura d\'{e}fini la transform\'{e}e de
Fourier d'une distribution.

\subsection {Transform\'{e}e de Fourier dans $L^1(\real^n)$}  Si $f\in
L^1(\real^n)$, d\'{e}montrer que $\hat f$ est bien d\'{e}finie et appartient \`{a}
l'espace $C_0(\real^n)$ des fonctions continues tendant vers 0 \`{a} l'infini.

\subsection {R\'{e}gularit\'{e} et d\'{e}croissance \`{a} l'infini}
Si $f$ est \`{a} support compact, $\hat f$ est $C^\infty$.  Que peut-on dire
de $\hat f$ si $\vert x\vert ^mf(x)\leq C$ , si $\vert x\vert ^mf(x)\in
L^1$ ?

