
\def\real{I\!\!R}
\def\natural{I\!\!N}
\def\rational{{\cal Z}}

%NOTA BENE :  "\pmatrix et \endpmatrix, non compris en latex,
% sont remplaces 
%par \matrice et \findematrice dont la definition suit
%exemple d'utilisation :
%$A=\matrice
%a & b  \cr
%c & d  \cr \findematrice $

\def\matrice{\left(\begin{array}{cccccccccc}}
\def\findematrice{\end{array}\right)}

\def\dist{\hbox{ dist}}
\def\sin{\hbox{sin}}
\def\cos{\hbox{cos}}
%rappel : \overline{cequ'onveut}
\def\fxx{\hbox{\bf x}}          % point x dans R2
\def\fyx{\hbox{\bf y}}          % point y dans R2
\def\fxy{\hbox{\bf y}}
\def\fxc{\hbox{\bf c}}
\def\fxz{\hbox{\bf z}}
\def\fxz{\hbox{\bf z}}
\def\fxq{\hbox{\bf q}}
\def\fxp{\hbox{\bf p}}
\def\fxn{\hbox{\bf n}}
\def\fxh{\hbox{\bf h}}
\def\fxk{\hbox{\bf k}}
\def\fxa{\hbox{\bf a}}
\def\fxb{\hbox{\bf b}}
\def\Bbb {I\!\! }


\def\fb&{\begin{equation}}
\def\fe&{\end{equation}}
\def\e {\'{e}}
\def\ee {\`{e}}
\def\eee {\^{e}}
\def\e {\'{e}}
\def\ea {\'{e} }
\def\ee {\`{e}}
\def\eee {\^{e}}
\def\a {\`{a} }
\def\u {\`{u} }
\def\skipaline{\vspace{4 mm}\noindent}
\def\mes{\hbox{mes}}

\def\complex {\bf C}
\documentstyle[12pt,leqno]{article}
\textwidth 15cm
\oddsidemargin 0.96cm
\evensidemargin 0.96cm
\begin{document}

\noindent{\bf Cours d'Analyse. Exercices sur Fubini et Lebesgue (II)}
\vskip 1truecm
\def\R{{\Bbb R}}
\noindent

\vskip 1truecm
On se place dans le cadre d'un espace mesur{\'e} $(X,  {\cal A} , \mu)$.

Lorsque $X$ est une partie de ${\Bbb R}$, on suppose toujours que
${\cal A}$ est la tribu bor{\'e}lienne et $\mu$ la mesure de Lebesgue.
Les fonctions consid{\'e}r{\'e}es sont {\`a} valeurs dans ${\Bbb R}$.

\vskip 1cm
\noindent{\bf  Exercice 1}\ \
Calculer

$$ I = \lim_{n} \int_{0}^{+\infty} (1+x/n)^{n} e^{-2x} dx
$$
$$ J = \lim_{n} \int_{0}^{n} (1-x/n)^{n} e^{x/2} dx
$$
(On pourra utiliser
le th{\'e}or{\`e}me de convergence domin{\'e}e de Lebesgue).

\vskip 1cm

\noindent{\bf Exercice 2.} Soit $(f_n)$ une suite de fonctions
mesurables. Montrer
que l'ensemble des points $x$ de $X$ tels que la suite $\bigl(
f_n(x)\bigr)$ converge est mesurable.
\vskip 1truecm

\noindent{\bf Exercice 3.} Soit $(f_n)$ une suite de fonctions
mesurables
positives sur $X$. Construire des exemples o\`u l'on n'a pas
  $\int_X (\limsup f_n)\,d\mu\ge \limsup \bigl(\int_X
f_n\,d\mu\bigr)$. Sous quelle hypoth\`ese a-t-on cette in\'egalit\'e ?
\vskip 1truecm

\noindent{\bf  Exercice 4.} Soit $f: {\Bbb R} \to {\Bbb R}$ une fonction
d{\'e}rivable en tout point.

a) Montrer que $f'$ est mesurable.

b) On suppose en outre que $f'$ est born{\'e}e sur tout compact de
${\Bbb R}$.
Montrer que pour tout $(a,b)\in {\Bbb R}^{2}$

$$
\int_{a}^{b} f' (x)\, dx = f(b) - f(a) \ \  .
$$

\noindent{\bf  Exercice 5.} Soit $f_{n}$ une suite de fonctions
mesurables positives sur $X$
convergeant presque partout vers la
fonction mesurable $f$. On suppose que la suite $\int_{X} f_{n}d\mu$
converge dans ${\Bbb R}$ vers $\ell < +\infty$.

\medskip
a) Montrer que $f$ est int{\'e}grable, mais qu'en g{\'e}n{\'e}ral
on n'a pas $\int_{X} f \; d\mu  = \ell$ (construire
un contre-exemple appropri{\'e}).
\medskip

b) Montrer que
$$
\lim_{n} \int_{X} |f_{n} -f | d\mu =l- \int_{X} f d\mu\ .
$$
On pourra poser $|f_n -f|=2max(f-f_n, 0) + (f_n
-f)$.
\medskip

c)
Montrer que cette {\'e}quivalence n'est plus vraie si l'on ne suppose
plus $f_{n} \ge 0$.

\vskip 1cm
\noindent{\bf  Exercice 6}\ \
Soit $A$ un sous-ensemble mesurable de $[0,2\pi]$ muni
de la mesure de Lebesgue.
\medskip

1) Montrer que
$\lim_{n} \int_{A} \sin nx dx =0$, de m\^{e}me que
$\lim_{n}\int_{A} \cos nx dx =0$. (On pourra se servir
de la Proposition VI.4.7 pour approcher au sens $L^{1}$
la fonction caract{\'e}ristique de $A$
par une suite de fonctions continues uniform{\'e}ment born{\'e}e).
\medskip

2) En d{\'e}duire que si $\{n_{k}\}$ est une suite strictement
croissante
d'entiers, l'ensemble des points $x$ tels que la suite $\sin n_{k}x$
converge est de mesure nulle.

\vskip 1cm
\noindent{\bf  Exercice 7}\ \  Soit $f_{n}$ une suite de fonctions
mesurables. On dit que cette suite converge en mesure vers $f$ si

$$ \forall \alpha >0 \quad \lim_{n} \ \mu (\{x\in X \; |
\quad |f_{n}(x) -f(x) | > \alpha \}) = 0.
$$
\medskip

a) Montrer que la convergence en mesure entra\^\i ne la convergence
simple presque partout
pour une suite extraite. En d\'eduire que si $f_{n}$ converge en mesure
vers $f$ ou $g$ alors
$f=g$ presque partout.

b) On suppose que $f_{n}$ est int{\'e}grable pour tout $n$, ainsi que
$f$.
Montrer que la convergence au sens $L^1$ implique la convergence en
mesure.
Que dire de la r\'eciproque~?

c) Montrer que la convergence au sens $L^1$ implique la convergence
simple presque partout.
Donner un exemple de convergence $L^1$ sans convergence presque partout.

d) Montrer que si $\mu(X) < +\infty$, alors la convergence simple
presque partout implique la convergence en mesure.






\end{document}

