
\def\matrice{\left(\begin{array}{cccccccccc}}
\def\findematrice{\end{array}\right)}
\def\real{I\!\!R}
\def\natural{I\!\!N}
\def\rational{{Z\!\!Z}}


\def\dist{\hbox{ dist}}
\def\sin{\hbox{sin}}
\def\cos{\hbox{cos}}
%rappel : \overline{cequ'onveut}
\def\fxx{\hbox{\bf x}}          % point x dans R2
\def\fyx{\hbox{\bf y}}          % point y dans R2
\def\fxy{\hbox{\bf y}}
\def\fxc{\hbox{\bf c}}
\def\fxz{\hbox{\bf z}}
\def\fxz{\hbox{\bf z}}
\def\fxq{\hbox{\bf q}}
\def\fxp{\hbox{\bf p}}
\def\fxn{\hbox{\bf n}}
\def\fxh{\hbox{\bf h}}
\def\fxk{\hbox{\bf k}}
\def\fxa{\hbox{\bf a}}
\def\fxb{\hbox{\bf b}}
\def\fxv{\hbox{\bf v}}



\def\fb&{\begin{equation}}
\def\fe&{\end{equation}}
\def\e {\'{e}}
\def\ee {\`{e}}
\def\eee {\^{e}}
\def\e {\'{e}}
\def\ea {\'{e} }
\def\ee {\`{e}}
\def\eee {\^{e}}
\def\a {\`{a} }
\def\u {\`{u} }
\def\o{\^{o}}
\def\skipaline{\vspace{4 mm}\noindent}
\def\mes{\hbox{mes}}

\def\complex {\bf C}
\documentstyle[12pt,leqno]{article}
\textwidth 15cm
\oddsidemargin 0.96cm
\evensidemargin 0.96cm
\begin{document}

\noindent{\bf  Cours d'Analyse. Exercices sur Fubini et Lebesgue (II), Corrig\e . }
\def\R{{\real}}

\vskip 1truecm
\noindent
{\bf  Exercice 1} On a convergence monotone croissante
de $(1+x/n)^{n}$ vers $e^{x}$, donc $I=1$ par Lebesgue (ou par Beppo-Levi).
\medskip
\noindent
De m{\^e}me, pour montrer que $J=2$ par Lebesgue, il suffit de majorer
$(1-x/n)^{n}e^{x/2} {  1}_{[0,n]}$ par $K e^{-x/2}$, et une petite {\'e}tude montre que $K=1$ convient.




\vskip 5mm  \noindent
{\bf Exercice 2.} C'est l'ensemble des points o\`u la suite est de Cauchy,
c'est-\`a-dire
$$\bigcap_{m>0}\bigcup_{N\ge 0}\bigcap_{p,q\ge N}\{\ x\in X\mid
|f_p(x)-f_q(x)|<{1\over m}\ \}\ .$$\vskip 5mm




\noindent
{\bf Exercice 3.} On peut prendre par exemple $f_n=\chi_{[n,n+1]}$ sur
$\real$, ou encore  $f_n=n\chi_{]0,1/n]}$, avec $\limsup f_n=0$.
La limite sup\'erieure est la limite de la suite d\'ecroissante
$g_k=\sup_{n\ge k}f_n$; le th\'eor\`eme de convergence monotone donne
$\int_X\limsup f_n\,d\mu=\lim_k\int_Xg_k\,d\mu$, si $\int_Xg_k\,d\mu$
est fini pour un $k$. Avec cette derni{\`e}re hypoth{\`e}se, on a bien l'in{\'e}galit{\'e} en terminant la
d\'emonstration comme dans le
lemme de Fatou (p. 148).
\vskip 5mm
\noindent
{\bf  Exercice 4}
\medskip
a) $f'$ est limite simple de fonctions mesurables telles que 
$n(f(x+1/n)-f(x))$, donc mesurable (Proposition VI.1.8).
\medskip
b) L'in{\'e}galit{\'e} des accroissements finis donne, pour tout $x$ et $y$
dans $[a,b]$, l'in{\'e}galit{\'e}  $|f(x)-f(y)|\leq K|x-y|$.
On peut alors {\'e}crire gr{\^a}ce {\`a} Lebesgue~:
$$
\int_{a}^{b}f'(x) dx = \lim_{n} n\int_{a}^{b} (f(x+1/n) - f(x) )dx
$$
$$ 
= \lim_{n} n \biggl[ \int_{b}^{b+1/n}f(x)dx -\int_{a}^{a+1/n} f(x) dx
\biggr] = f(b) -f(a)
$$ 

\bigskip
\noindent{\bf  Exercice 5.}

a) D'apr{\`e}s Fatou on a $\int_{X} f d\mu \le \lim \inf \int_{X} f_{n} d\mu =l$.
L'in{\'e}galit{\'e} peut {\^e}tre stricte, par exemple pour $f_{n}= n {  1} _{[0,1/n]}$
et $f=0$.

\medskip
b) On a toujours $f\leq max((-f_n +f),0)\leq 0$ et d'o{\`u}
 par Lebesgue $\int_X max(f-f_n )=0$ ce qui entra{\^\i}ne imm{\'e}diatement
 le r{\'e}sultat.


\medskip
c) Si on ne suppose pas $f_{n}\ge 0$, cette implication n'est plus vraie,
comme on le voit en prenant $f_{n} = n ({  1} _{[0,1/n]}-{  1}_{[1-1/n ,1]})$.
\medskip
\noindent

\noindent
{\bf  Exercice 6} 
\medskip
1) D'apr{\`e}s la d{\'e}monstration de la Proposition VI.4.2, on peut
approcher, dans $L^1 ([0,2\pi ])$,
${  1}_{A}$ par une suite de fonctions $f_{n}$ continues sur $[0,2\pi]$
{\`a} valeur dans $[0,1]$, donc toutes uniform{\'e}ment born{\'e}es par 1.
\medskip
\noindent
Soit $A_{n}= \int_{A} \sin nx \; dx$,
$A_{n,p} = \int_{0}^{2\pi} f_{p}(x) \sin nx \; dx$, et $\epsilon_{p}
=\int_{0}^{2\pi} |f_{p}(x) -{  1}_{A}(x)|dx$. La suite
$\epsilon_{p}$ tend vers 0 par d{\'e}finition des $f_{p}$, et 
$|A_{n}-A_{n,p}|\le \epsilon_{p}$. Pour montrer que $\lim_{n}A_{n}=0$
il suffit donc de montrer que $\lim_{n}A_{n,p}=0$ $\forall p$.
\medskip
\noindent
Soit donc $p$ fix{\'e} et $\epsilon >0$.
Par continuit{\'e} uniforme de $f_{p}$, pour $n$ assez grand
on a $|f_{p}(x+\pi/n) -f_{p}(x)| \le \epsilon$. Comme
$\sin(nx +\pi) = -\sin nx$, on peut dire que
$$ 
\int_{0}^{2\pi}  f_{p}(x) \sin nx \; dx = -\int_{-\pi/n}^{2\pi-\pi/n}
f_{p}(x+\pi/n) \sin nx \; dx
$$
on en d{\'e}duit que  
$$ 
\int_{0}^{2\pi}f_{p}(x)sin nx dx+\int_{0}^{2\pi}f_{p}(x+\pi/n)sin(nx)dx
$$
$$
=-\int_{-\pi/n}^{0}f_{p}(x+\pi/n) \sin nx dx + 
\int_{2\pi-\pi/n}^{2\pi}f_{p}(x+\pi/n) \sin nx dx
$$
Le second membre est born{\'e} en valeur absolue par $2\pi/n$, donc
tend vers 0. 
Le premier membre diff{\`e}re de $2A_{n,p}$ par au plus 
$2\pi\epsilon$, donc $\lim_{n} A_{n,p}=0$ $\forall p$.
\medskip
2) Si sur $A_{+}$ on a $\lim_{k}\sin n_{k}x =f_{+}(x) >0$
et sur $A_{-}$ on a $\lim_{k}\sin n_{k}x =f_{-}(x) <0$,
on a $\int_{A_{+}}f_{+}=\int_{A_{-}}f_{-}=0$ par le th{\'e}or{\`e}me de Lebesgue
 et le 1), donc $A_{+}$ et $A_{-}$ sont de mesure nulle. Enfin
si sur $A_{0}$ on a $\lim_{k}\sin n_{k}x = 0$, on a sur $A_{0}$
$\lim_{k}\cos 2 n_{k}x = 1$. Visiblement le 1) reste vrai si l'on change
$\sin$ en $\cos$. Donc on peut encore conclure que $\mu (A_{0})=0$.


\bigskip
\noindent
{\bf  Exercice 7} 

a) Notons $A_k(n)=\{  x\in X\mid
|f(x)-f_n(x)|\ge   2^{-k}
\}\bigr)
$; il existe une suite d'entiers $(n_k)$ strictement croissante telle
que $\mu (A_k(n))<2^{-k}$ pour tout $n\ge n_k$. Posons
$B_k=A_k(n_k)$, de sorte que $\mu(B_k)\le
2^{-k}$ et
$$\mu\Bigl(\bigcup_{k\ge N}B_k\Bigr)\le\sum_{k\ge
N}2^{-k}=2^{-N+1}\ .$$En particulier
$B=\bigcap_N \bigcup_{k\ge N}B_k$ est de mesure nulle. Si $x\notin
B$, il existe $N$ tel que, pour tout $k\ge N$, on ait $x\notin
B_k$, c'est-\`a-dire
$$
|f_{n_k}(x)-f(x)|<   2^{-k}
$$
en particulier la suite $f_{n_{k}}(x)$ converge vers $f(x)$.

b) La convergence $L^{1}$ implique la convergence en mesure puisque
$$
\mu \{x / |f_n (x) -f(x)|> a\}\geq 1/a \int_X |f_n -f| d\mu \ ,
$$
mais l'inverse est faux, comme on le voit avec $X=\real$, et
$f_{n}= (1/n) {\bf 1}_{[0,n]}$ qui tend en mesure vers 0 mais pas au
sens $L^{1}$.
\medskip


c) Pour un exemple de convergence $L^{1}$ sans 
convergence simple on peut prendre $X=[0,1]$
et $f_{n} = {\bf 1}_{[p/2^{q}, p+1/2^{q}]}$,
si $n = 2^{q} +p$ avec $p \le 2^{q}-1$.


d) Soit $\alpha >0$ et ${\bf 1}_{\alpha , n}$ la fonction indicatrice de 
l'{\'e}v{\'e}nement $|f_{n}-f|>\alpha$. Cette fonction tend presque
partout vers 0 
puisque $f_{n}$ converge pp vers $f$. D'autre part elle est born{\'e}e
par ${\bf 1}_{X}$ qui est int{\'e}grable. Donc Lebesgue implique
que $\lim_{n}\int_{X} {\bf 1}_{\alpha,n}=0$, CQFD.
 
 

\end{document}

