

\documentstyle[12pt,leqno]{article}
\textwidth 15cm
\oddsidemargin 0.96cm
\evensidemargin 0.96cm
\def\real{I\!\!R}
\def\natural{I\!\!N}
\def\rational{{\cal Q}}
\def\mes{\hbox{mes}}
\def\sin{\hbox{sin}}
\def\cos{\hbox{cos}}
%rappel : \overline{cequ'onveut}

\def\Varphi{{\bf \varphi}}
\def\e {\'{e}}
\def\ee {\`{e}}
\def\eee {\^{e}}
\def\e {\'{e}}
\def\ea {\'{e} }
\def\ee {\`{e}}
\def\eee {\^{e}}
\def\a {\`{a} }
\def\u {\`{u} }
\def\skipaline{\vspace{4 mm}\noindent}



%NOTA BENE :  "\pmatrix et \endpmatrix, non compris en latex,
% sont remplaces 
%par \matrice et \findematrice dont la definition suit
%exemple d'utilisation :
%$A=\matrice
%a & b  \cr
%c & d  \cr \findematrice $

\def\matrice{\left(\begin{array}{cccccccccc}}
\def\findematrice{\end{array}\right)}



\begin{document}

\noindent
{\bf Exercices sur Lebesgue et Fubini (III)}
\vskip 1truecm

\centerline{\bf Fonctions d\'{e}finies par des int\'{e}grales}
\vskip 1truecm
\noindent
{\bf Exercice 1.} Soit  $f\in L^1 ({\real})$, montrer que la fonction
 d\'{e}finie par $F(x)=\int_I f(x-t)dt$
est continue, pour tout intervalle $I$.


\bigskip 
\noindent
{\bf Exercice 2.} Soit $f$ une fonction r\'{e}elle int\'{e}grable 
sur ${\real}$. On pose pour tout 
$\lambda\in{\real}$,
$$
g(\lambda )=\int_{\real} e^{2i\pi \lambda x}f(x) dx
$$

1) Montrer que $g$ est une fonction continue.

2) Montrer que $\lim_{+\infty} g=0$. Pour cela, utiliser le changement de 
variables $y=x-1/(2 \lambda)$ et \'{e}tudier tout d'abord le cas o\`{u}
$f$ est continue \`{a} support compact .

3) Montrer que si $f$ est de classe $C^{\infty}$ et {\`a} support compact
alors, pour tout $n\in \natural$, $\int_{\real} e^{2i\pi \lambda x}
f(x) = O(\lambda ^{-n}).$


\bigskip
\noindent
{\bf Exercice 3.} Pour $(x, y) \in [0, 1]\times [0, 1]$, on d{\'e}finit
la fonction $f$ par $f (x, y) =0$ si $x \leq y$ et $f (x, y) =1$ si $x >
y$. On pose $F (x) = \int^{1}_{0} f (x, y) dy$. Comparer $F' (x)$ et
$\int^{1}_{0}{\partial\over \partial x} f (x, y)
dy$. Qu'observe-t-on~?


\bigskip
\noindent
{\bf Exercice 4.} Soit $f$ une fonction mesurable positive born{\'e}e
sur $]0, 1[$. Calculer la d{\'e}riv{\'e}e {\`a} droite en 0 de la
fonction 
$$
x \mapsto \int_{0}^{1} (f (t) + x^{2})^{1/2} dt\ .
$$
{\bf Exercice 5.} {\sl Cet exercice utilise  l'exercice 1}

\noindent
1) Soit $A$ un sous-ensemble mesurable d'un intervalle $I$, on suppose que
$2\mu(A)>\mu(I)$, o\`{u} $\mu$ est la mesure de Lebesgue. On note $f_A$ la fonction 
caract\'{e}ristique de $A$.
Montrer que l'on a l'in\'{e}galit\'{e} 
$$
\forall x,~~~ \int_I f_A (t) f_A (x-t)dt\geq \int_I f_A (x-t)dt - \mu(I)+\mu(A).
$$

\noindent
2) En d\'{e}duire, sous 
les hypoth\`{e}ses de la question pr\'{e}c\'{e}dente, et en 
utilisant l'exercice 1, que 
l'ensemble $A+A=\{z=x+y,~x\in A, ~y \in A\}$ contient un ouvert.

\noindent
3) Soit $C$ un ensemble mesurable quelconque de mesure non nulle,
montrer qu'il existe $I$ tel que  $2 \mu (C\cap I)>\mu (I)$. En d\'{e}duire que $C+C$ contient 
un intervalle ouvert.

\noindent
4) Montrer de m\^{e}me que si $A$ est sym\'{e}trique et de mesure non nulle, 
alors $A+A+A+A$ contient un voisinage de $0$ (en se fatiguant, 
on pourrait montrer que $A+A$ contient un voisinage de $0$, mais
cela ne nous sera pas utile).

\noindent
5) Montrer que si $f$ est mesurable et v\'{e}rifie 
$f(x+y)=f(x)+f(y)$, alors $f$ est continue. 
Pour cela, on montrera que l'image inverse 
de tout intervalle sym\'{e}trique est de mesure non nulle,
puis la continuit\'{e} en z\'{e}ro, puis la continuit\'{e} en tout point.

\noindent
6) {\sl Compl\'{e}ments :} construire 
en utilisant une base de ${\real}$ sur le corps ${\rational}$, 
une fonction non mesurable  v\'{e}rifiant 
 $f(x+y)=f(x)+f(y)$, ainsi que des ensembles non 
mesurables.


\bigskip
\noindent
{\bf Exercice 6.} Soit $f$ une fonction r{\'e}elle int{\'e}grable sur
${\real}$ et $g$ une fonction $C^{\infty}$ {\`a} support compact sur
${\real}$. On d{\'e}finit
$$
(f *g) (x) = \int_{\real} f (x-y) g (y) dy\ .
$$
1) Montrer que $(f *g) (x) = \int_{\real} f(y)g (x-y) dy$ et en
d{\'e}duire que $f * g$ est de classe $C^{\infty}$ sur ${\real}$.

\noindent
2) On suppose que $f$ est de plus continue sur ${\real}$. Soit $\delta$
une fonction $C^{\infty}$, positive, {\`a} support compact telle que
$\int_{\real} \delta (y) dy =1$. On pose $\delta_{\epsilon} (y) =
{1\over \epsilon} \delta (y/\epsilon)$, pour $\epsilon \in {\real}$, et
$f_{\epsilon} = f * \delta_{\epsilon}$. Montrer que $f_{\epsilon}$
converge, uniform{\'e}ment sur tout compact, vers $f$ lorsque
$\epsilon$ tend vers 0.

\noindent
3) En d{\'e}duire que les fonctions $C^{\infty}$ {\`a} support compact
forment un sous-espace dense de $L^{1} ({\real}, dx)$. 


\bigskip
\noindent
{\bf Exercice 7. Une int{\'e}grale oscillante}

On se propose d'{\'e}tudier le comportement de l'int{\'e}grale suivante
lorsque $t$ tend vers l'infini :
$$J(t)=\int_{\real} e^{itx^2}f(x)dx$$
o{\`u} $f$ est une fonction de classe $C^{\infty }$ {\`a} support compact sur
$\real$ {\`a} valeurs r{\'e}elles.

1) Montrer que $J(t)=\int_0^{\infty } e^{itx^2}(f(x)+f(-x))dx$.

2) On note $R(t)$ la partie r{\'e}elle de $J(t)$ et  $I(t)$ sa partie
imaginaire. Montrer que $R(t)$ et $I(t)$ sont {\'e}quivalents {\`a} $C_R\over
\sqrt t$ et $C_I\over \sqrt t$, o{\`u} $C_R$ et $C_I$ sont des constantes
que l'on calculera en fonction de $g(0)$. En d{\'e}duire un {\'e}quivalent de
$J(t)$ lorsque $t$ tend vers l'infini.

{\sl Indication : } Dans chacune des int{\'e}grales $R(t)$ et $I(t)$ on
pourra faire le changement de variable $u=x^2$ et ensuite int{\'e}grer par
parties en int{\'e}grant la fonction oscillante.



\end{document}





















