Espaces de Hilbert, bases hilbertiennes

Exercice 1. Toute isométrie A d’un espace de Hilbert réel telle que A0 = 0 est linéaire.

i) Commencer par montrer que A conserve le angles, i.e. (Ax, Ay) = (x, y). ii) Conclure en développant ||(A(x + y) − Ax − Ay||^{2} et ||A(λx) − λAx||^{2}. iii) En examinant les isométries de H = C, montrer que le résultat n’est plus vrai quand H est un Hilbert complexe. Montrer que l’on a néanmoins A(x+y) = Ax+Ay et A(λx) = λAx si λ ∈ IR. iv) Toute isométrie d’un espace de Hilbert est-elle une bijection ?

Exercice 2. Systèmes totaux dans un Hilbert

i) Pour quelles valeurs de r > 0 le système (e_{n})_{n} défini par e_{1} = (r, −1, 0, ....), e_{2} = (0, r, −1, 0, ...), etc... est-il total dans l^{2}(IN) ? ii) En examinant le cas de x = (1, 0, 0, ...) et r = 1, montrer que si un système (e_{k}) est total, cela n’implique pas que pour tout autre élément du Hilbert, x, on ait x = ∑_{k} λ_{k}e_{k}, la série convergeant dans H. iii) Le système e_{1} = (1, −2, 1, 0, ...), e_{2} = (0, 1, −2, 1, 0, ....), etc... est-il total ? Rappel : un système est total si et seulement si son orthogonal est réduit à zéro.

Exercice 3. Complétude de l^{2}(IN), compacité dans l^{2}(IN). On va montrer que l^{2}(IN) est complet.

i) Soit une suite a^{N} qui est de Cauchy dans l^{2}. En appliquant le lemme de Fatou, montrer que la limite terme à terme de a^{N} est bien dans l^{2}. ii) En appliquant à nouveau le lemme de Fatou au développement en série de ||a^{N} − a^{K}||^{2} et en faisant tendre K vers l’infini, montrer que a^{N} tend vers a. iii) Soit H le sous-espace de l^{2}(IN) composé des suites (a_{1}, ..., a_{n}, ...) telles que ∑_{n=1}^{∞} na_{n}^{2} < ∞. Montrer qu’il est complet pour la norme ||a||_{H}^{2} =: ∑_{n=1}^{∞} na_{n}^{2} et dense dans l^{2}(IN). Montrer que la boule unité de H est un compact de l^{2}(IN). Généraliser ce résultat. On rappelle que de toute suite de suites a^{N} telle que ∀n|a_{n}^{N}| ≤ c_{n} on peut extraire une sous-suite convergente terme à terme. (Démonstration : procédé d’extraction diagonale de Cantor.)

Exercice 4. Une base hilbertienne de L^{2}(0, 1) : le système de Walsh

i) On pose v_{n}(x) = sin(2^{n}πx) pour x ∈ [0, 1]. Montrer que ces fonctions forment un système orthonormal, mais pas une base hilbertienne de L^{2}([0, 1]). (On cherchera une fonction simple orthogonale aux v_{n}.) ii) On pose v_{n}(x) = signe(sin(2^{n}πx)) pour x ∈ [0, 1], n ∈ IN, v_{n}(x) = 0 sinon. Dessiner ces fonctions pour n = 0, 1, 2, 3. Montrer à nouveau qu’elles forment un système orthonormal, mais pas une base hilbertienne de L^{2}([0, 1]). iii) On pose maintenant (c’est le "système de Walsh") w_{0} = 1 sur [0, 1], w_{0} = 0 ailleurs et

w_{2n}(x) = w_{n}(2x) + w_{n}(2x − 1), w_{2n+1}(x) = w_{n}(2x) − w_{n}(2x − 1).

Dessiner w_{0}, w_{1}, ..., w_{8}. Démontrer que le système de Walsh est orthonormal. On raisonnera par récurrence sur le système S_{k} = (w_{0}, ..., w_{2^{k}−1}). iv) En déduire que le système S_{j} = (w_{n})_{n≤2^{j}−1} est une base de l’espace W_{j} des fonctions en escalier dyadiques, constantes sur les intervalles du type [k2^{−j}, (k + 1)2^{−j}] avec 0 ≤ k < 2^{j}.

v) Conclure que les fonctions de Walsh w_{n} forment une base hilbertienne de L^{2}([0, 1]).

Exercice 5 (Densité des fonctions à moyenne nulle)

i) Soit la fonction χ_{n}(x) = \frac{1}{2n} sur [−n, n], χ_{n}(x) = 0 ailleurs. Etudier sa limite dans L^{1}(IR) et dans L^{2}(IR) quand n → ∞. ii) Utiliser cette suite de fonctions pour montrer que le sous-espace de L^{2}(IR) constituédes fonctions de L^{2} ∩ L^{1}(IR) telles que ∫ f(x)dx = 0 est dense dans L^{2}(IR).

Exercice 6. Une base hilbertienne de L^{2}(IR) : le système de Haar

i) On pose H(x) = 1 si 0 ≤ x < \frac{1}{2} et H(x) = −1 si \frac{1}{2} ≤ x ≤ 1. C’est la "fonction de Haar". La dessiner. On pose H_{k}^{l}(x) = 2^{\frac{l}{2}} H(2^{l}x − k), l, k ∈ Z.

i) Dessiner les fonctions de Haar pour l = 1, 2. Démontrer que ces fonctions forment un système orthonormal de L^{2}(IR). ii) Compter les fonctions de Haar qui sont à support dans [0, 1] et qui sont constantes sur les intervalles dyadiques de longueur 2^{−j}. On appelle S_{j} le système qu’elles forment. Remarquer qu’elles sont toutes d’intégrale nulle et déduire qu’elles forment une base de W̃_{j}, l’espace des fonctions en escalier dyadiques, constantes sur des intervalles de longueur 2^{−j} et à moyenne nulle. iii) En utilisant le résultat de l’exercice précédent, conclure que le système de Haar est une base hilbertienne de L^{2}(IR). On commencera par montrer qu’une partie de la base de Haar engendre l’espace V_{j} des fonctions à moyenne nulle, constantes sur des intervalles dyadiques de longueur 2^{−j} et à support dans [−2^{j}, 2^{j}]. iv) A titre d’illustration, calculer et dessiner le développement de la fonction caractéristique de [−1, 1] sur la base de Haar.

Exercice 7. Convergence faible, convergence forte.

i) On dit que u_{n} tend faiblement vers u dans un Hilbert H si ||u_{n}|| est bornée et si pour tout y ∈ H, on a (u_{n}, v) → (u, v). On écrit alors u_{n} ⇀ u. Montrer que si dans un Hilbert H, une suite u_{n} vérifie u_{n} ⇀ u faiblement et si ||u_{n}|| → ||u||, alors la convergence est forte. ii) Montrer que u_{n} ⇀ u dans L^{2}(IR^{N}) si et seulement si (u_{n}, v) → (u, v) pour toute fonction v dans un sous-espace dense V de H. iii) Calculer, si elles existent, les limites faibles dans L^{2}(0, 2π) des suites qui suivent et montrer qu’elles ne convergent pas fortement.

u_{n}(x) = sin(nx) + (−1)^{n}cos(x/n)
u_{n}(x) = |sin(nx)|
u_{n}(x) = nsin(nx)

Exercice 8. Encore une base hilbertienne : les polynômes d’Hermite

i) Montrer que la dérivée n-ième de e^{−x^{2}} est (e^{−x^{2}})^{(n)} = (−1)^{n}H_{n}(x)e^{−x^{2}}, où H_{n} est un polynôme de degré exactement n dont on calculera le terme de plus haut degré. ii) On pose ψ_{n}(x) = c_{n}e^{− \frac{x^{2}}{2}} H_{n}(x), où c_{n} est une constante que l’on choisira plus tard. Montrer que ψ_{n} ∈ L^{2}, et calculer les produits scalaires (ψ_{p}, ψ_{q})_{L^{2}}. iii) En déduire que, pour c_{n} = π^{− \frac{1}{4}} 2^{− \frac{n}{2}} (n!)^{− \frac{1}{2}} , les fonctions ψ_{n}, pour n ∈ IN, forment un système orthonormal dans L^{2}. On désire maintenant montrer que ce système est total, et forme donc une base hilbertienne. On considère pour cela une fonction f ∈ L^{2} telle que ∫ e^{− \frac{x^{2}}{2}} P (x)f(x)dx = 0 pour tout polynôme P. On pose g(x) = e^{− \frac{x^{2}}{2}} f(x). iv) Montrer que g ∈ L^{1}.

v) Montrer qu’il existe une suite de polynômes Q_{n} telle que |Q_{n}| ≤ e|xξ| et que Q_{n}(x) → e^{−ixξ} en chaque point. vi) En déduire que ĝ(ξ) = 0, et donc que f = 0. (On rappelle que si la transformée de Fourier φ̂ est identiquement nulle, φ est presque partout nulle). vii) Conclure que les fonctions d’Hermite ψ_{n} forment une base hilbertienne de L^{2}(IR).

Espaces de Hilbert, Corrigé.

Exercice 1. i)Remarquons que comme A0 = 0, on a ||Ax|| = ||x|| pour tout x ∈ H. On a en développant le produit scalaire et en utilisant la remarque précédente, ||Ax−Ay||^{2} = ||x||^{2} + ||y||^{2} − 2(Ax, Ay). Comme A est une isométrie, on a aussi ||Ax − Ay||^{2} = ||x − y||^{2} = ||x||^{2} + ||y||^{2} − 2(x, y). En substituant une relation dans l’autre, on obtient (Ax, Ay) = (x, y). ii) En utilisant le résultat du i) et en développant, ||A(x + y) − Ax − Ay||^{2} = ||x + y||^{2} + ||x||^{2} + ||y||^{2} − 2(A(x + y), Ax) − 2(A(x + y), Ay) + 2(Ax, Ay) = ||x||^{2} + ||y||^{2} + 2(x, y) + ||x||^{2} + ||y||^{2} − 2(x + y, x) − 2(x + y, y) + 2(x, y) = 0. Par le même procédé, ||A(λx) − λAx||^{2} = ||λx||^{2} + |λ|^{2}||x||^{2} − 2(A(λx), λAx) = 0. iii) Les isométries de C telles que A0 = 0 sont toutes des rotations ou des symétries. Les rotations sont bien linéaires sur C car elles sont de la forme z → e^{iθ}z, mais pas les symétries. Par exemple, la conjugaison z → \overline{z} n’est pas linéaire sur C. (Mais elle l’est sur IR. En reprenant les calculs du i) et ii), on voit aisément que Re(Ax, Ay) = Re(x, y), et qu’en utilisant cette relation on obtient encore A(x+y) = Ax+Ay et A(λx) = λAx, mais seulement quand λ est réel. iv) On prend H = l^{2}(IN) et A : (x_{0}, x_{1}, ....) → (0, x_{0}, x_{1}, ...). C’est une isométrie qui n’est pas bijective.

Exercice 2.

i) Si x = (x_{0}, x_{1}, ..) est orthogonal à tous les e_{k}, on a x_{k+1} = rx_{k}, et donc x = x_{0}(1, r, r^{2}, ..., r^{k}, ...). Si r ≥ 1, comme on doit avoir Σ_{k}x_{k}^{2} < ∞, ceci n’est possible que si x_{0} = 0 et donc x = 0. Le système est donc total. Si r < 1, x est bien dans L^{2} et il est orthogonal à tous les e_{i}. Le système n’est donc pas total. ii) Si on avait x = (1, 0, 0, ...) = Σ_{k}λ_{k}e_{k}, on en déduirait par identification que 1 = λ_{1} = λ_{2} = .... Ceci est impossible pour une série convergente dans H, car la norme de son terme général doit tendre vers zéro. On remarque du même coup que l’impossibilité de développer en série sur un système n’implique pas que ce système ne soit pas total. iii) Si x est orthogonal au système proposé, on a x_{k} − 2x_{k+1} + x_{k+2} = 0 pour tout k ≥ O. Donc x_{k} est de la forme x_{k} = kc + d. Une telle suite n’est dans l^{2} que si c = d = 0. Le système est donc total.

Exercice 3. i-ii) Soit (a^{N}) une suite de Cauchy dans l^{2}(IN). On pose a^{N} = (a_{1}^{N}, ..., a_{n}^{N}, ..). Chacun des éléments (a_{n}^{N})_{n∈IN} forme une suite de Cauchy dans IR et a donc une limite que nous notons a_{n}. La suite a^{N} converge donc terme à terme vers la suite a = (a_{n})_{n}. En appliquant le théorème de Beppo-Levi, on a

||a||^{2} = Σ_{n}| lim_{N→∞} a_{n}^{N}|^{2} = lim_{N→∞} Σ_{n}|a_{n}^{N}|^{2} < ∞.

Donc a ∈ l^{2} et il nous reste à montrer que a^{N} converge effectivement vers a dans l^{2}. On considère K et N assez grands pour que ||a^{N} − a^{K}||^{2} ≤ ε et on applique encore le théorème de Beppo-Levi :

||a^{N} − a||^{2} = Σ_{n} lim_{K→∞} |a_{n}^{N} − a_{n}^{K}|^{2} = lim_{K→∞} Σ_{n}|a_{n}^{N} − a_{n}^{K}|^{2} ≤ ε.

iii) L’application (a_{1}, ..., a_{n}, ..) → (a_{1}, ..., \sqrt{n}a_{n}, ...) est un isomorphisme de H sur l^{2}. H est donc complet comme l^{2}. Par ailleurs, H contient l’ensemble des suites nulles à partir d’un certain rang, qui est dense dans l^{2}. H est donc dense dans l^{2}. Soit a^{N} une suite contenue dans la boule unité de H. Fixons ε et k tel que \frac{1}{k} < ε. On a Σ_{n}n|a_{n}^{N}|^{2} < 1 et donc Σ_{n=k}^{∞}|a_{n}^{N}|^{2} < ε. Par le procédé diagonal de Cantor, on peut supposer que la suite a^{N} converge terme à terme vers une suite a. On voit, par le lemme de Fatou, que cette suite a appartient à la boule unité de H. On a alors : ||a^{N} − a||_{l^{2}}^{2} ≤ Σ_{n=1}^{k−1}|a_{n}^{N} − a_{n}|^{2} + Σ_{n=k}^{∞}|a_{n}^{N} − a_{n}|^{2}. La seconde somme est plus petite que 4ε et la première l’est aussi pour N assez grand. La suite a^{N} converge donc dans l^{2} vers a. Généralisation : on voit que la démonstration marche encore si on se donne une suite λ_{n} > 0, λ_{n} → ∞ et qu’on définit H comme l’ensemble des suites a telles que Σ_{n}λ_{n}|a_{n}|^{2} < ∞.

Exercice 4.

i) On remarque que les fonctions considérées sont toutes orthogonales à sin3πx, par exemple. Donc elles ne forment pas un système total et donc pas une base hilbertienne. ii) Les fonctions v_{n}(x) sont toutes orthogonales à la fonction v(x) qui vaut 1 sur [0, \frac{1}{4}] et sur [\frac{3}{4}, 1], et qui vaut -1 sur ]\frac{1}{4}, \frac{3}{4}[. Elles ne forment donc pas non plus une base hilbertienne. iii) On montre par récurrence que les systèmes S_{k} sont orthonormés. C’est évident pour S_{0}. Supposons le vrai pour S_{k}. Remarquons qu’alors les fonctions w_{n}(2x), w_{n}(2x−1) pour n ≤ 2^{k} −1 forment un système orthogonal. Prenons w_{n}, w_{m} ∈ S_{k+1}, n > m. Si n ≠ m + 1, w_{n} et w_{m} sont combinaisons linéaires de fonctions du type w_{p}(2x), w_{p}(2x − 1), p ≤ 2^{k} qui sont orthogonales par la remarque précédente. Elles sont donc orthogonales. Si n = m + 1, posons par exemple n = 2p et m = 2p + 1. Alors (w_{n}, w_{m}) = (w_{p}(2x)+w_{p}(2x−1), w_{p}(2x)−w_{p}(2x−1)) = ||w_{p}(2x)||^{2}−||w_{p}(2x− 1)||^{2} = 0. Finalement ||w_{2n}||^{2} = (w_{n}(2x) + w_{n}(2x − 1), w_{n}(2x) + w_{n}(2x − 1)) = ||w_{n}(2x)||^{2} +||w_{n}(2x−1)||^{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1. Le système S_{k+1} est donc bien orthonormé.

iv) La dimension de W_{j} est 2^{j}. Les fonctions w_{n}, n ≤ 2^{j} − 1 sont au nombre de 2^{j} et sont toutes contenues dans W_{j}. Comme elles sont orthogonales, elles forment un système libre. Le système S_{j} est donc un système libre de W_{j} ayant la dimension de W_{j}. C’est donc une base.

v) Le système de Walsh engendre toutes les fonctions en escalier dyadiques. Celles-ci forment évidemment un sous-système dense de l’espace des fonctions en escalier qui à leur tour forment un système dense dans L^{2}(0, 1). Le système de Walsh engendre donc un sous-espace dense de L^{2}. Comme il est orthonormé, c’est une base hilbertienne.

Exercice 5.

i) La suite de fonctions χ_{n} est de norme 1 dans L^{1} et converge ponctuellement vers zéro. Elle n’a donc pas de limite dans L^{1} (Car, par la réciproque du théorème de Lebesgue, si elle convergeait, ce serait vers zéro et elle ne peut tendre vers zéro si sa norme ne tend pas vers zéro.) Elle converge par contre vers 0 dans L^{2}(IR). ii) On sait que L^{1} ∩ L^{2} est dense dans L^{2} car il contient par exemple toutes les fonctions continues à support borné. Si maintenant f ∈ L^{1}∩L^{2}, on pose f_{n} = f−(∫ f)χ_{n}. Alors f_{n} converge vers f dans L^{2} et est à moyenne nulle.

Exercice 6.

i) Les fonctions de Haar sont toutes à moyenne nulle et leur norme dans L^{2} est 1. Soient deux fonctions H_{k}^{l} et H_{k′}^{l′}. Supposons d’abord que l′ > l. Alors la première fonction est constante sur tous les intervalles dyadiques de longueur 2^{−l} tandis que la seconde est à moyenne nulle sur tout intervalle dyadique de longueur supérieure ou égale à 2^{l′−1} ≥ 2^{l}. Donc le produit scalaire des deux fonctions est nul. Si maintenant l = l′ et k ≠ k′, les supports des deux fonctions sont disjoints et elles sont donc à nouveau orthogonales. ii) Les fonctions de Haar constantes sur les intervalles dyadiques de longueur 2^{−j} et à support dans [0, 1] sont :

H_{0}^{0}, constante sur les intervalles de longueur \frac{1}{2}, H_{0}^{1} et H_{1}^{1}, constantes sur les intervalles de longueur \frac{1}{4},... H_{0}^{2^{j−1}}, ..., H_{2^{j−1}−1}^{2^{j−1}}, constantes sur les intervalles de longueur 2^{−j}, soit 1 + 2 + ... + 2^{j−1} = 2^{j} − 1 fonctions. L’ensemble des fonctions dyadiques de W_{j} a pour dimension 2^{j} et son sous-espace de fonctions à moyenne nulle W̃_{j} a une dimension de moins, soit 2^{j} − 1. On voit que les fonctions de Haar considérées forment une base de W̃_{j}. iii) Considérons maintenant l’espace V_{j} des fonctions dyadiques à moyenne nulle dont le support est contenu dans [2^{−j}, 2^{j}] et qui sont constantes sur des intervalles de longueur 2^{−j}. Cet espace peut s’écrire V_{j}^{+} + V_{j}^{−}, où V_{j}^{+} = {v(2^{j}x), v ∈ W_{j}} et V_{j}^{−} = {v(−x), v ∈ V_{j}^{+}}. Comme le système de Haar est invariant par les transformations v(x) → v(2^{j}x) et que si H est une fonction de Haar, −H(−x) aussi, on voit que les systèmes (v(2^{j}x), v ∈ S_{2j}) et (v(−2^{j}x), v ∈ S_{2j}) engendrent respectivement V_{j}^{+} et V^{−}j. Le système de Haar engendre donc V_{j}. Le système ∪_{j∈IN}V_{j} contient toutes les fonctions dyadiques à moyenne nulle et à support compact. Il engendre donc un sous-espace dense de l’espace des fonctions continues, à support compact et à moyenne nulle, qui est lui-même dense dans L^{2}(IR).

Exercice 7.

i) On a ||u_{n} − u||^{2} = ||u_{n}||^{2} + ||u||^{2} − (u_{n}, u) − (u, u_{n}) → 0. ii) Comme V est dense dans H, on peut pour tout v ∈ H trouver w ∈ V tel que ||v − w||_{H} < ε. Donc |(u_{n} − u, v)| ≤ |(u_{n} − u, v − w)| + |(u_{n} − u, w)| ≤ ε sup_{n} ||u_{n} − u|| + |(u_{n} − u, w)|. Comme (u_{n}, w) → (u, w), on obtient |(u_{n} − u, v)| ≤ Cε pour n assez grand. iii)-1 Par une simple intégration par parties, on voit que ∫ sinnxv(x)dx tend vers zéro pour tout v ∈ V = C_{0}^{∞}. Comme V est dense dans L^{2}, la première suite considérée tend faiblement vers 0. Elle ne tend pas fortement vers zéro car sa norme dans L^{2} ne tend pas vers zéro. iii)-2 On choisit pour V l’ensemble des fonctions en escalier, qui est dense dans L^{2}(0, 2π). Soit v la fonction caractéristique d’un intervalle [a, b]. On choisit k, l ∈ IN tels que |a − k \frac{π}{n}| < \frac{π}{n} et |b − l\frac{π}{n}| < \frac{π}{n}. On a alors

| ∫ v(x)|sin(nx)|dx − (k − l) ∫0^{\frac{π}{n}} sin(nx)dx| ≤ 2 ∫0^{\frac{π}{n}} |sinnx|dx.

Donc ∫ v(x)|sin(nx)dx ≡ \frac{k−l}{n} ∫_{0}^{π} sinxdx ≡ (b − a)\frac{2}{π}. Donc

(u_{n}, v) → (\frac{2}{π} , v),

et ceci vaut pour n’importe quelle fonction en escalier. D’où u_{n} ⇀ \frac{2}{π}. Il est facile de calculer que cette convergence n’est pas forte. iii)-3 La suite nsin(nx) n’est pas bornée dans L^{2} et donc ne converge pas faiblement.

Exercice 8. L’énoncé de cet exercice est suffisamment détaillé pour ne pas nécessiter de corrigé.