
\documentstyle[12pt,leqno]{article}
\textwidth 15cm
\oddsidemargin 0.96cm
\evensidemargin 0.96cm



%NOTA BENE :  "\pmatrix et \endpmatrix, non compris en latex,
% sont remplaces 
%par \matrice et \findematrice dont la definition suit
%exemple d'utilisation :
%$A=\matrice
%a  & b  \\
%c & d  \\ \findematrice $

\def\matrice{\left(\begin{array}{cccccccccc}}
\def\findematrice{\end{array}\right)}

\def\aligne{\begin{array}{cccccccccc}}
\def\findaligne{\end{array}}

\def\systeme{\left\{\begin{array}{ccccccccc}}
\def\findesysteme{\end{array}\right}




\def\nin{\not\in}                 % la negation de \in
\def\indic{1\!\!1}                % fonction indicatrice
\def\levelset{\chi}           % la surface de niveau
\def\meas{\mathop{\rm meas}}      % mesure de
\def\setB{\SetB}

\def\complex{l\!\!\!C}
\def\mes{\hbox{mes}}
\def\sin{\hbox{sin}}
\def\cos{\hbox{cos}}
%rappel : \overline{cequ'onveut}

\def\real{I\!\!R}
\def\natural{I\!\!N}
\def\relative{{\bf Z}}
\def\rational{{\bf Q}}
\def\complex{{\bf C}}
\def\mes{\hbox{mes}}
\def\sin{\hbox{sin}}
\def\cos{\hbox{cos}}
\def\med{\hbox{med}}
\def\interieur{\hbox{\rm Int\'{e}rieur}}
\def\signe{\hbox{\rm Signe}}
\def\vect{\hbox{\rm Vect}}
\def\Re{\hbox{\rm Re}}
\def\support{\hbox{\rm Support}}
\def\supp{\hbox{\rm Support}}

\def\fb&{\begin{equation}}
\def\fe&{\end{equation}}

%rappel : \overline{cequ'onveut}
\newtheorem{thf}{Th\e or\ee me}%[chapter]
\newtheorem{cor}{Corollaire}%[chapter]
\newtheorem{pro}{Proposition}%[chapter]
\newtheorem{Def}{D\e finition}%[chapter]
\newtheorem{lem}{Lemme}%[chapter]
\newtheorem{exa}{Exemple}%[chapter]

\newtheorem{rem}{Remarque}%[chapter]%  remarque 
\def\drem{\begin{rem}\rm}%  sans
\def\frem{\end{rem}}%      		italique !

\newtheorem{exo}{Exercice}%[chapter]
\newtheorem{propr}{Propri\e t\e}%[chapter]
\newtheorem{Exer}{Exercice}%[chapter]  %Exercice

\def\dexer{\begin{Exer}\rm}    %sans
\def\fexer{\end{Exer}}        %italique !

\def\skipaline{\vspace{4 mm}\noindent}

\def\fb& {\begin{equation}}       % debut d'une equation
\def\fe& {\end{equation}}         % fin d'une equation
\def\enddemo{\hfill $\large\circ$ \newline\newline}     % fin de preuve
\def\Varphi{{\bf \varphi}}
\def\e {\'{e}}
\def\ee {\`{e}}
\def\eee {\^{e}}
\def\e {\'{e}}
\def\ea {\'{e} }
\def\ee {\`{e}}
\def\eee {\^{e}}
\def\a {\`{a} }
\def\aa {\^{a}}
\def\ii {\^{\i}}
\def\iii {\"{\i}}
\def\ccaadd{ c'est-\`{a}-dire }

\def\u {\`{u} }

\def\uu {\^{u}}

\def\oo {\^{o}}
\def\ooo {\"{o}}



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\def\R\'esum\'e{\small\noindent\bf R\'esum\'e. \rm}
\def\Abstract{\small\noindent\bf Abstract. \rm}

\def\real{I\!\!R}
\def\natural{I\!\!N}
\def\rational{{\cal Z}}

\def\sin{\hbox{sin}}
\def\cos{\hbox{cos}}
%rappel : \overline{cequ'onveut}

\def\e {\'{e}}
\def\ee {\`{e}}
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\def\skipaline{\vspace{4 mm}\noindent}
\def\mes{\hbox{mes}}

\begin{document}


\noindent{\LARGE\bf Espaces de Hilbert, bases hilbertiennes}
\newline
\newline
Exercice 1.  
\newline Toute isom\'{e}trie $A$ d'un espace de Hilbert r\'{e}el
telle que $A0=0$ est lin\'{e}aire. 
\newline
i) Commencer par montrer que
$A$ conserve le angles, i.e.  $(Ax, Ay)= (x,y)$.
\newline
ii) Conclure en d\e veloppant $||(A(x+y)-Ax-Ay||^2$ et 
$||A(\lambda x)-\lambda Ax||^2$.
\newline
iii) En examinant les isom\e tries de $H=\cal C$, montrer que le r\e sultat n'est
plus vrai quand $H$ est un Hilbert complexe.  Montrer que l'on a n\e anmoins
$A(x+y)=Ax+Ay$ et $A(\lambda x) = \lambda Ax$ si $\lambda\in  \real$.
\newline
iv)
 Toute isom\e trie d'un espace de Hilbert
est-elle une bijection ?
\newline\newline
Exercice 2.
Syst\`{e}mes totaux dans un Hilbert  
\newline
i) Pour quelles valeurs de $r>0$ le
syst\`eme 
$(e_n)_n$ d\'{e}fini par 
$e_1 = (r, -1, 0, ....), e_2 = (0, r, -1 , 0,...), $ etc... est-il 
total dans $l^2(\natural)$ ?  
\newline
ii)  En examinant le cas de $x= (1, 0, 0, ...)$ et $r=1$, montrer que si
un syst\`{e}me
$(e_k)$ est total, cela n'implique pas que pour tout
 autre \'{e}l\'{e}ment du Hilbert, $x$, on ait $x=\sum_k \lambda_k e_k$, la
 s\'{e}rie convergeant dans $H$.
\newline
iii)
Le
 syst\`eme $e_1=(1, -2, 1, 0, ...),  e_2=(0, 1, -2, 1, 0, ....),$ etc... est-il
total ?
\newline
Rappel : un syst\`{e}me est total si et seulement si son orthogonal 
est r\'{e}duit \`{a} z\'{e}ro.
\newline\newline
Exercice 3.  Compl\'{e}tude de $l^2(\natural)$, compacit\'{e} dans
$l^2(\natural)$.
\newline
On va montrer que
$l^2(\natural)$ est complet.  
\newline
i) Soit une suite $a^N$ qui est de Cauchy dans $l^2$.  En appliquant le
lemme de Fatou,  montrer que la  limite terme \a terme de $a^N$ est
bien dans
$l^2$.
\newline
ii)  En appliquant \a nouveau le lemme de Fatou au d\e veloppement en s\e rie de
$||a^N-a^K||^2$  et en faisant tendre $K$ vers l'infini, montrer que $a^N$ tend
vers
$a$.
\newline
iii) Soit $H$ le
sous-espace de 
$l^2(\natural)$ compos\'{e}
  des suites $( a_1, ..., a_n,...)$
telles que $\sum_{n=1}^{\infty} na_n^2 < \infty$.  Montrer 
qu'il est complet pour la norme 
$||a||_H^2 = : \sum_{n=1}^{\infty}na_n^2$ 
 et  dense dans $l^2(\natural)$.  Montrer que la boule unit\'{e}
  de  $H$ est un compact de $l^2(\natural)$. 
G\'{e}n\'{e}raliser ce
 r\'{e}sultat. 
On rappelle que de toute suite de suites $a^N$ telle que $\forall n |a^N_n|\leq
c_n$ on peut extraire une sous-suite convergente terme \a terme.  (D\e
monstration : proc\e d\ea d'extraction diagonale de Cantor.)
\newline
\newline
Exercice 4.  Une base hilbertienne de $L^2(0,1)$ : le syst\`{e}me de
Walsh\newline
i)  On pose $v_n(x) = \sin (2^n\pi x)$ pour $x\in [0, 1]$.  Montrer que ces
fonctions forment un syst\ee me orthonormal, mais pas une base hilbertienne
de $L^2([0,1])$. (On cherchera une fonction simple orthogonale aux $v_n$.)
\newline
 ii) On pose $v_n(x) = signe(\sin ( 2^n\pi x) )$ pour 
 $x\in \lbrack 0, 1\rbrack , n\in \natural$, $v_n(x)=0$ sinon.  Dessiner ces
fonctions pour $n=0,1, 2, 3$.  Montrer
\a nouveau qu'elles
 forment un syst\`{e}me orthonormal, mais pas une base hilbertienne
 de $L^2(\lbrack 0, 1\rbrack )$.
\newline
iii) On pose maintenant (c'est le "syst\`{e}me de Walsh")
$w_0=1$ sur $[0, 1]$, $w_0=0$ ailleurs et    $$w_{2n}(x) = w_n(2x)+w_n(2x-1),  
\; w_{2n+1}(x)=w_n(2x)-w_n(2x-1).$$
Dessiner $w_0, w_1, ..., w_8$.  D\'{e}montrer que le syst\`{e}me de 
Walsh est 
orthonormal.  On raisonnera par r\e currence sur le syst\ee me
$S_k = (w_0, ..., w_{2^k-1})$.
\newline
iv)   En d\'{e}duire que le syst\ee me $S_j = (w_n)_{n\leq 2^j-1}$ est
 une base de l'espace $W_j$ des fonctions en escalier dyadiques, constantes
 sur les intervalles du type $\lbrack k2^{-j}, (k+1)2^{-j}\rbrack $ avec 
$0\leq k<2^j$.  
\newline
v)
 Conclure que les fonctions de Walsh $w_n$ forment une base
hilbertienne de 
$L^2(\lbrack 0,1\rbrack )$.
\newline\newline
Exercice 5 (Densit\ea des fonctions \a moyenne nulle)
\newline
i) Soit la fonction $\chi_n(x)= \frac 1{2n}$ sur $[-n, n]$, $\chi_n(x)=0$
ailleurs.  Etudier sa limite dans $L^1(\real) $ et dans $L^2(\real)$ quand
$n\to \infty$.
\newline
ii) Utiliser cette suite de fonctions pour montrer que le sous-espace de
$L^2(\real)$ constitu\e des fonctions de
$L^2\cap L^1(\real)$ telles que $\int f(x)dx = 0$ est dense dans $L^2(\real)$.
\newline\newline
 Exercice 6. Une base hilbertienne de $L^2(\real)$ :
le syst\`{e}me de Haar
\newline
i) On pose $H(x)=1$ si $0\leq x < \frac{1}{2}$ et  $H(x) = -1$ si $\frac
{1}{2} \leq x\leq 1$.  C'est la "fonction de
 Haar".  La dessiner.  On pose 
$H_k^l(x) = 2^\frac {l}{2}H(2^l x-k), l, k \in \cal Z$.
\newline i) Dessiner les fonctions de Haar pour $l= 1, 2$.  
D\'{e}montrer que
ces fonctions forment un syst\`{e}me orthonormal de $L^2(\real)$.
\newline
ii)  Compter les fonctions de Haar qui sont \a support dans $[0,1]$ et qui
sont constantes sur les intervalles dyadiques de longueur $2^{-j}$.  On
appelle $S_j$ le syst\ee me qu'elles forment.  Remarquer qu'elles sont toutes
d'int\e grale nulle et d\e duire qu'elles forment une base de $\tilde W_j$,
l'espace des fonctions en escalier dyadiques, constantes sur des intervalles de
longueur
$2^{-j}$ et \a moyenne nulle.
\newline
iii)  En utilisant le r\e sultat de l'exercice pr\e c\e dent, conclure que
le syst\ee me de Haar est une base hilbertienne de $L^2(\real)$.  On commencera
par montrer qu'une partie de la base de Haar engendre l'espace $V_j$ des
fonctions \a moyenne nulle,  constantes sur des intervalles dyadiques de longueur
$2^{-j}$ et \a support dans $[-2^j, 2^j]$. 
\newline
iv)  A titre d'illustration, calculer et dessiner le d\e veloppement de 
la fonction caract\e ristique de $[-1, 1]$ sur la base de Haar. 
\newline
\newline
Exercice 7.  Convergence faible, convergence forte.
\newline
i) On dit que $u_n$ tend faiblement vers $u$ dans un Hilbert $H$ si $||u_n||$
est born\e e et si  pour tout 
$y\in H$, on a $(u_n, v)\to (u,v)$.   On \e crit alors $u_n\rightharpoonup u$.
Montrer que
 si dans un Hilbert $H$,
une suite $u_n$ v\'{e}rifie  $u_n \rightharpoonup u$ faiblement et si
$\vert\vert u_n\vert\vert \to \vert\vert u \vert \vert$, alors la
convergence est forte.
\newline
ii) Montrer que $u_n\rightharpoonup u$ dans $L^2(\real^N)$ si et seulement si
$(u_n, v)\to (u, v)$ pour toute fonction $v$ dans un sous-espace dense $V$ de
$H$.
\newline
iii)
Calculer, si elles existent, les limites faibles dans $L^2(0,2\pi)$
des suites qui suivent et montrer qu'elles ne convergent pas fortement.
$$u_n(x) = \sin(nx) + (-1)^n \cos(x/n)$$
$$u_n(x) = |\sin (nx)|$$
$$u_n(x) = n  \sin(nx)$$
\newline
Exercice 8.  Encore une base hilbertienne : les polyn\o mes d'Hermite
\newline
i) Montrer que la d\e riv\e e n-i\ee me de $e^{-x^2}$ est $(e^{-x^2})^{(n)}=
(-1)^nH_n(x)e^{-x^2},$ o\u $H_n$ est un polyn\o me de degr\ea exactement $n$
dont on calculera le terme de plus haut degr\e .
\newline
ii) On pose $\psi_n(x) = c_n e^{-\frac {x^2}2}H_n(x)$, o\u $c_n$ est une
constante que l'on choisira plus tard.  Montrer que $\psi_n\in L^2$, et
calculer les produits scalaires $(\psi_p, \psi_q)_{L^2}$.
\newline
iii) En d\e duire que, pour $c_n=\pi^{-\frac 1 4}2^{-\frac n 2}(n!)^{-\frac 1
2}$, les fonctions $\psi_n$, pour $n\in \natural, $ forment un syst\ee me
orthonormal dans $L^2$.
\newline   On d\e sire maintenant montrer que ce syst\ee me est total, et forme
donc une base hilbertienne.  On consid\ee re pour cela une fonction $f\in L^2$
telle que $\int e^{-\frac {x^2}2}P(x)f(x)dx=0$ pour tout polyn\o me $P$.  On
pose $g(x)=e^{-\frac{x^2}2}f(x).$
\newline
iv) Montrer que $g\in L^1$.
\newline
v) Montrer qu'il existe une suite de polyn\o mes $Q_n$ telle que $|Q_n|\leq
e{|x\xi|}$ et que 
$Q_n(x)\to e^{-ix\xi}$ en chaque point.
\newline
vi) En d\e duire que 
$\hat{g}(\xi)=0$, et donc que $f=0$.  (On rappelle que si la transform\e e de
Fourier $\hat{\varphi}$ est identiquement nulle, $\varphi$ est presque partout
nulle).
\newline
vii) Conclure que les fonctions d'Hermite $\psi_n$ forment une base
hilbertienne de $L^2(\real)$.





\newpage
\noindent{\LARGE \bf Espaces de Hilbert, Corrig\e .}
\newline\newline
Exercice 1.
\newline 
i)Remarquons que comme $A0=0$, on a $||Ax||=||x||$ pour tout $x\in H$.
On a en d\e veloppant le produit scalaire et en utilisant la remarque pr\e c\e
dente, 
$||Ax-Ay||^2=||x||^2+||y||^2-2(Ax,Ay)$. Comme $A$ est une isom\e trie, on a
aussi $||Ax-Ay||^2=||x-y||^2 = ||x||^2+||y||^2-2(x,y)$.  En substituant une
relation dans l'autre, on obtient $(Ax,Ay)=(x,y)$.
\newline
ii) En utilisant le r\e sultat du i) et en d\e veloppant, 
$||A(x+y)-Ax-Ay||^2=||x+y||^2+||x||^2+||y||^2-2(A(x+y),Ax)-2(A(x+y),Ay)+2(Ax,Ay)
= ||x||^2+||y||^2+2(x,y)+ ||x||^2+||y||^2-2(x+y,x)-2(x+y,y)+2(x,y)=0$.
\newline
Par le m\eee me proc\e d\e , $||A(\lambda x)-\lambda Ax||^2=
||\lambda x||^2 + |\lambda|^2||x||^2-2(A(\lambda x), \lambda Ax)=0$.
\newline
iii) Les isom\e tries de $\cal C$ telles que $A0=0$ sont toutes des rotations
ou des sym\e tries.  Les rotations sont bien lin\e aires sur $\cal C$ car elles
sont de la forme $z\to e^{i\theta}z$, mais pas les sym\e tries.  Par exemple, 
la conjugaison $z\to \overline{z}$ n'est pas lin\e aire sur $\cal C$. (Mais
elle l'est sur $\real$.
\newline
En reprenant les calculs du i) et ii), on voit ais\e ment que 
$Re(Ax,Ay)=Re(x,y)$, et qu'en utilisant cette relation on obtient encore
$A(x+y)=Ax+Ay$ et $A(\lambda x) = \lambda Ax$, mais seulement quand 
$\lambda $ est r\e el.
\newline
iv)  On prend $H=l^2(\natural)$ et $A : (x_0, x_1, ....) \to (0, x_0, x_1,
...)$.  C'est  une isom\e trie qui n'est pas bijective.
\newline
\newline
Exercice 2.\newline
i) Si $x=(x_0, x_1, ..)$ est orthogonal \a tous les $e_k$, on a 
$x_{k+1}=rx_k$, et donc $x = x_0(1, r, r^2, ..., r^k, ...)$.  Si
$r\geq1$, comme on doit avoir $\Sigma_k x_k^2<\infty$,  ceci n'est possible que
si
$x_0=0$ et donc $x=0$.  Le syst\ee me est donc total. Si $r<1$, $x$ est bien dans
$L^2$ et il est orthogonal
\a tous les $e_i$.  Le syst\ee me n'est donc pas total.  
\newline
ii)  Si on avait $x=(1,0,0,...)=\Sigma_k \lambda_k e_k$, on en d\e duirait
par identification que $1=\lambda_1=\lambda_2=...$.  Ceci est impossible pour
une s\e rie convergente dans $H$, car la norme de son terme g\e n\e ral doit
tendre vers z\e ro.  On remarque du m\eee me coup que l'impossibilit\ea de
d\e velopper en s\e rie sur un syst\ee me n'implique pas que ce syst\ee me ne
soit pas total.
\newline
iii)  Si $x$ est orthogonal au syst\ee me propos\e , on a
$x_k-2x_{k+1}+x_{k+2}=0$ pour tout $k\geq O$.  Donc 
$x_k$ est de la forme $x_k = kc+d$.  Une telle suite n'est dans 
$l^2$ que si $c=d=0$.  Le syst\ee me est donc total.
\newline 
\newline
Exercice 3.  
\newline
i-ii) Soit $(a^N)$ une suite de Cauchy dans $l^2(\natural)$.  On pose
$a^N = ( a_1^N, ...,a_n^N,..)$.  Chacun des \e l\e ments
$(a^N_n)_{n\in\natural}$ forme une suite de Cauchy dans $\real $ et a donc une
limite que nous notons $a_n$.  La suite $a^N$ converge donc terme \a terme vers
la suite $a=(a_n)_n$.  En appliquant le th\e or\ee me de Beppo-Levi, on a
$$||a||^2=\Sigma_n|\lim_{N\to \infty}a_n^N|^2= \lim_{N\to
\infty}\Sigma_n|a_n^N|^2<\infty.$$
Donc $a\in l^2$ et il nous reste \a montrer que $a^N$ converge effectivement
vers $a$ dans $l^2$.  On  consid\ee re $K$ et $N$ assez grands pour que
$||a^N-a^K||^2\leq \varepsilon$ et on
applique encore
le th\e or\ee me de Beppo-Levi :
$$||a^N-a||^2=\Sigma_n \lim_{K\to \infty}|a_n^N-a^K_n|^2=\lim_{K\to\infty}
\Sigma_n|a_n^N-a^K_n|^2\leq \varepsilon.$$
\newline iii)  L'application $(a_1, ...,a_n,..)\to (a_1, ..., \sqrt{n}a_n,
...)$ est un isomorphisme de $H$ sur $l^2$.  $H$ est donc complet comme
$l^2$.  Par ailleurs, $H$ contient l'ensemble des suites nulles \a partir d'un
certain rang, qui est dense dans $l^2$.  $H$ est donc dense dans $l^2$.
Soit $a^N$ une suite contenue dans la boule unit\ea de $H$.  Fixons
$\varepsilon$ et 
$k$ tel que $\frac 1 k<\varepsilon$. On a
$\Sigma_n n|a^N_n|^2<1$ et donc $\Sigma_{n=k}^{\infty}|a^N_n|^2<\varepsilon$.
Par le proc\e d\ea diagonal de Cantor, on peut supposer que la suite $a^N$
converge terme \a terme vers une suite $a$.  On voit, par le lemme de Fatou,
que cette suite $a$ appartient \a la boule unit\ea de $H$. On a alors~:
$||a^N-a||_{l^2}^2\leq\Sigma_{n=1}^{k-1}|a^N_n-a_n|^2+\Sigma_{n=k}^\infty
|a^N_n-a_n|^2.$ La seconde somme est plus petite que $4\varepsilon$ et la
premi\ee re l'est aussi pour $N$ assez grand.  La suite $a^N$ converge donc dans
$l^2$ vers
$a$.  \newline
G\e n\e ralisation : on voit que la d\e monstration marche encore si on 
se donne une suite $\lambda_n>0$, $\lambda_n\to \infty$ et qu'on d\e finit $H$
comme l'ensemble des suites $a$ telles que $\Sigma_n\lambda_n|a_n|^2<\infty$.
\newline
\newline
Exercice 4.
\newline i) On remarque que les fonctions consid\e r\e es sont toutes
orthogonales
\a $\sin 3\pi x$, par exemple.  Donc elles ne forment pas un syst\ee me total
et donc pas une base hilbertienne.
\newline
ii)  Les fonctions $v_n(x)$ sont toutes orthogonales \a la fonction $v(x)$ qui
vaut 1 sur $[0, \frac 1 4]$ et sur $[\frac 3 4, 1]$, et qui vaut -1 sur
$]\frac 1 4, \frac 3 4[$.  Elles ne forment donc pas non plus une base
hilbertienne.
\newline 
iii)   On montre par r\e currence que les syst\ee mes
$S_k$ sont orthonorm\e s. C'est \e vident pour $S_0$.  Supposons le vrai pour
$S_k$.  Remarquons qu'alors les fonctions $w_n(2x)$, $w_n(2x-1)$ pour $n\leq
2^k-1$ forment un syst\ee me orthogonal. Prenons 
$w_n, \, w_m\in S_{k+1}$, $n>m$.  Si $n\neq m+1$, $w_n$ et $w_m$ sont
combinaisons lin\e aires de fonctions du type $w_p(2x)$, $w_p(2x-1)$, $p\leq
2^k$ qui sont  orthogonales par la remarque pr\e c\e dente.  Elles sont donc
orthogonales.  Si
$n=m+1$, posons par exemple $n=2p$ et
$m=2p+1$.  Alors $(w_n, w_m) = (w_p(2x)+w_p(2x-1), w_p(2x)-w_p(2x-1))  =
||w_p(2x)||^2-||w_p(2x-1)||^2 = 0$.  Finalement 
$||w_{2n}||^2 = (w_n(2x)+w_n(2x-1), w_n(2x) + w_n(2x-1)) = ||w_n(2x)||^2+
||w_n(2x-1)||^2 = \frac 1 2 +\frac 1 2 = 1$.  Le syst\ee me $S_{k+1}$ est
donc bien orthonorm\e .
\newline\newline
iv) La dimension de $W_j$ est $2^j$.  Les fonctions $w_n, n\leq 2^j-1$ sont au
nombre de $2^j$ et sont toutes contenues dans $W_j$.  Comme elles sont
orthogonales, elles forment un syst\ee me libre.  Le syst\ee me $S_j$ est donc
un syst\ee me libre de $W_j$ ayant la dimension de $W_j$.  C'est donc une base.
\newline
v) Le syst\ee me de Walsh engendre toutes les fonctions en escalier dyadiques. 
Celles-ci forment \e videmment un sous-syst\ee me dense de l'espace des
fonctions en escalier qui \a leur tour forment un syst\ee me dense dans
$L^2(0,1)$.  Le syst\ee me de Walsh engendre donc un sous-espace dense de
$L^2$.  Comme il est orthonorm\e , c'est une base hilbertienne.
\newline\newline
Exercice 5.\newline
i) La suite de fonctions $\chi_n$ est de norme 1 dans $L^1$ et converge
ponctuellement vers z\e ro. Elle n'a donc pas de limite dans $L^1$  (Car, par la
r\e ciproque du th\e or\ee me de Lebesgue, si elle convergeait, ce serait vers
z\e ro et elle ne peut tendre vers z\e ro si sa norme ne tend pas vers z\e ro.)
Elle converge par contre vers 0 dans $L^2(\real)$.
\newline
ii) On sait que $L^1\cap L^2$ est dense dans $L^2$ car il contient par exemple
toutes les fonctions continues \a support born\e .  Si maintenant $f\in L^1\cap
L^2$, on pose $f_n  = f-(\int f)\chi_n$.  Alors $f_n$ converge vers $f$ dans 
$L^2$ et est \a moyenne nulle.
\newline
\newline
Exercice 6.
\newline
i) Les fonctions de Haar sont toutes \a moyenne nulle et leur norme dans $L^2$
est 1. Soient deux fonctions $H_k^l$ et $H_{k'}^{l'}$.  Supposons d'abord 
que $l'>l$.  Alors la premi\ee re fonction est constante  sur tous les 
intervalles dyadiques de longueur $2^{-l}$ tandis que la seconde est \a moyenne
nulle sur tout intervalle dyadique de longueur sup\e rieure ou \e gale \a 
$2^{l'-1}\geq 2^l$.  Donc le produit scalaire des deux fonctions est nul. Si
maintenant 
$l=l'$ et $k\neq k'$, les supports des deux fonctions sont disjoints et elles
sont donc \a nouveau orthogonales.
\newline
ii) Les fonctions de Haar constantes sur les intervalles dyadiques de longueur
$2^{-j}$ et \a support dans $[0, 1]$ sont :
\newline
$H_0^0$, constante sur les intervalles de longueur $\frac 1 2$, 
\newline $H_0^1$  et
$H_1^1$, constantes sur les intervalles de longueur $\frac 1 4$,...
\newline
$H_0^{2^{j-1}}, ..., H_{2^{j-1}-1}^{2^{j-1}}$, constantes sur les intervalles
de longueur $2^{-j}$,
\newline soit $1 +2 +...+ 2^{j-1}=2^{j}-1$ fonctions.  L'ensemble des
fonctions dyadiques de $W_j$ a pour dimension $2^j$ et son sous-espace de
fonctions \a moyenne nulle $\tilde W_j$ a une dimension de moins, soit $2^j-1$. 
On voit que les fonctions de Haar consid\e r\e es forment une base de $\tilde
W_j$.  
\newline iii)  Consid\e rons maintenant l'espace $V_j$  des fonctions dyadiques
\a moyenne nulle dont le support est contenu dans $[2^{-j}, 2^j]$ et qui sont
constantes sur  des intervalles de longueur 
$2^{-j}$.  Cet espace  peut s'\e crire $V^+_j+V^-_j$, o\u 
$V^+_j = \{v(2^jx), \; v\in W_j\}$ et $V^-_j= \{v(-x), \; v\in V^+_j\}.$
Comme le syst\ee me de Haar est invariant par les transformations $v(x)\to
v(2^jx)$ et que si H est une fonction de Haar, $-H(-x)$ aussi, on voit que
les syst\ee mes $(v(2^jx), \; v\in S_{2j})$ et $(v(-2^jx),\; v\in S_{2j})$
engendrent respectivement $V^+_j$ et $V^-j$.  Le syst\ee me de Haar engendre
donc 
$V_j$.  Le syst\ee me $\cup_{j\in \natural}V_j$  contient toutes les
fonctions dyadiques \a moyenne nulle et \a support compact.  Il engendre donc
un sous-espace dense de l'espace des fonctions continues, \a support compact
et \a moyenne nulle, qui est lui-m\eee me dense dans $L^2(\real)$.
\newline
\newline
Exercice 7. 
\newline  i)
On a $||u_n-u||^2 = ||u_n||^2+||u||^2-(u_n, u)-(u, u_n)\to 0$.
\newline 
ii) Comme $V$ est dense dans $H$, on peut pour tout $v\in H$
trouver $w\in V$ tel que $||v-w||_{H}<\varepsilon$. Donc 
\newline $|(u_n-u,v)|\leq |(u_n-u, v-w)|+|(u_n-u,w)|\leq
\varepsilon\sup_n||u_n-u|| + |(u_n-u,w)|$. Comme $(u_n,w)\to (u,w)$, on obtient
$|(u_n-u,v)|\leq C\varepsilon$ pour $n$ assez grand.
\newline
iii)-1 Par une simple int\e gration par parties, on voit que $\int \sin nx
v(x)dx$ tend vers z\e ro pour tout $v\in V=C_0^\infty$.  Comme $V$ est dense
dans $L^2$,  la premi\ee re  suite consid\e r\e e tend faiblement vers 0.  Elle
ne tend pas fortement vers z\e ro car sa norme dans $L^2$ ne tend pas vers z\e
ro.
\newline
iii)-2  On choisit pour $V$ l'ensemble des fonctions en escalier, qui est dense
dans $L^2(0, 2\pi)$. Soit $v$  la fonction caract\e ristique d'un intervalle 
$[a, b]$.  On choisit $k, l\in \natural $ tels que $|a-k\frac \pi n|<\frac \pi
n$ et $|b-l\frac \pi n| <\frac \pi n$.  On a alors
$$|\int v(x)|\sin (nx)|dx - (k-l)\int_0^{\frac \pi n}\sin (nx)dx|\leq
2\int_0^{\frac \pi n}|\sin nx |dx.$$  Donc $\int v(x)|\sin (nx)dx\equiv \frac
{k-l}n\int_0^\pi\sin x dx \equiv (b-a)\frac 2 \pi.$  Donc
$$(u_n, v)\to (\frac 2\pi, v),$$ et ceci vaut pour n'importe quelle fonction en
escalier. D'o\u $u_n \rightharpoonup\frac 2\pi$.  Il est facile de calculer que
cette convergence n'est pas forte.
\newline
iii)-3 La suite $n\sin (nx)$ n'est pas born\e e dans $L^2$ et donc ne converge
pas faiblement.
\newline
\newline
Exercice 8. L'\e nonc\ea de cet exercice est suffisamment d\e taill\ea
pour ne pas n\e cessiter de corrig\e .

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