1 Intégration, Lebesgue, Fubini

Exercice 1 Démontrer que le graphe d’une application continue de IR dans IR est un sous-ensemble de mesure nulle dans IR^{2}. (On montrera que la portion du graphe comprise entre les abcisses −k et k peut être recouverte par des rectangles dont la somme des mesures est arbitrairement petite).

Exercice 2 Soit A ⊂ IR^{N} et soit h égale à +∞ dans A et à 0 dans son complémentaire. Démontrer que l’on a

∫_{IR^{N}} h(x)dx = 0 si μ(A) = 0, ∫_{IR^{N}} h(x)dx = +∞ si μ(A) = +∞.

Exercice 3 Soit f et g deux fonctions continues telles que f(x) = g(x) p.p.. Montrer que f et g sont égales partout.

Exercice 4 Soit f une fonction positive sommable sur IR. Démontrer que

∫_{a}^{b} f(x)dx → ∫_{IR} f(x)dx quand a → −∞, b → +∞.

Généralisation : soit A_{n} une suite croissante d’ensembles tels que ⋃_{n} A_{n} = IR^{N}. Demontrer que ∫_{IR^{N}} f(x)dx = lim_{n→∞} ∫_{A_{n}} f(x)dx.

Exercice 5 Soit f une fonction positive sommable sur IR^{N} et A_{n} des sous-ensembles de IR^{N} tels que μ(A_{n}) → 0. Démontrer que ∫_{A_{n}} h(x)dx → 0 quand n → ∞.

Exercice 6 Calculer ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n+1}}{n} à l’aide de l’intégrale ∫_{0}^{1} \frac{dx}{1+x}. Indications : on posera f_{n}(x) = Σ_{0}^{n}(−1)^{k}x^{k} pour x ∈ [0, 1]. On trouvera un chapeau intégrable pour les f_{n} et on appliquera le théorème de Lebesgue.

Exercice 7 Soit f ∈ L^{1}(IR). Calculer la limite de n ∫_{1}^{∞} f(nx)dx quand n → +∞.

Exercice 8 (Lemme de Fatou) On rappelle la définition de la limite inférieure d’une suite a_{n} de réels : lim inf_{n→∞} a_{n} = lim_{N→∞} inf_{n≥N} a_{n}. Cette limite est une limite croissante et donc elle existe toujours dans IR ∪ {+∞}.

i) Remarquer que si g_{n} est une suite de fonctions sommables positives, alors ∫ inf_{n} g_{n} ≤ inf_{n} ∫ g_{n}. ii) Soit f_{n} une suite de fonctions à valeurs dans IR∪{+∞}. On pose g_{N} = inf_{n≥N} f_{n}. Montrer que lim_{N→∞} ∫ g_{N} = ∫ lim_{N→∞} g_{N}. iii) Déduire des questions précédentes le lemme de Fatou :

∫ lim inf f_{n} ≤ lim inf ∫ f_{n}.

Exercice 9 : contrexemples. Donner des exemples de suites de fonctions f_{n} ∈ L^{1}(0, 1) telles que

• f_{n} → f dans L^{1} et f_{n}(x) ne tend pas presque partout vers f(x).

• f_{n} ne tend pas vers f dans L^{1} et f_{n}(x) tend vers f(x) presque partout.

Exercice 10 Coupes d’un ensemble mesurable. Soit E un sous-ensemble de mesure bornée de IR^{N}. Démontrer que pour tout 1 ≥ α ≥ 0, E contient un sous-ensemble de mesure α.mes(E).

Exercice 11 Convergence L^{1} quand il y a ”conservation de la masse” (Lemme de Scheffer ?). Montrer que si une suite de fonctions w_{n} ∈ L^{1} vérifie w_{n} ≥ 0, w_{n}(x) → w(x) presque partout, w ∈ L^{1} et ∫ w_{n} → ∫ w, alors w_{n} → w dans L^{1}. Indication: écrire ∫ w − w_{n} = ∫ (w − w_{n})^{+} − ∫ (w − w_{n})^{−} et ∫ |w − w_{n}| = ∫ (w − w_{n})^{+} + ∫ (w − w_{n})^{−} et appliquer le théorème de Lebesgue.

Exercice 12 Critère d’intégrabilité sur un borné B de IR^{N}. On va montrer dans cet exercice que f ∈ L^{1}(B) si et seulement si ∀ε ∃η, ∀K ⊂ B, mes(K) ≤ η ⇒ ∫_{K} |f| ≤ ε.

i) Montrer que si le critère d’intégration est vérifié, alors f est intégrable. ii) Pour la réciproque, on raisonne par contradiction et on suppose qu’il existe f ∈ L^{1}(B) telle que le critère d’intégration ne soit pas vérifié. Montrer qu’il existe alors ε > 0 et une suite K_{n} de sous-ensembles de B tels que ∫_{K_{n}} |f| ≥ ε et mes(K_{n}) ≤ \frac{1}{2^{n}}. On pose J_{n} = ∪_{n+1}^{∞}K_{k}. Montrer que ∫_{J_{n}} |f| → 0 et conclure. Autre méthode : appliquer directement le résultat de l’exercice 5 ! iii) (facultatif) Adapter le critère d’intégrabilité à IR^{N}.

Exercice 13 Réciproque du Théorème de Lebesgue. On va montrer que si f_{n} est une suite convergente dans L^{1}, alors il existe une soussuite qui converge presque partout et qui a un chapeau intégrable.

i) Montrer que si la suite f_{n} converge vers f dans L^{1}, on peut en extraire une soussuite telle que ||f_{i_{n+1}} − f_{i_{n}}||_{L^{1}} < 2^{−n}. ii) On pose g_{n} = f_{i_{n+1}} − f_{i_{n}} ; montrer en appliquant le théorème de convergence monotone que la série Σ|g_{n}(x)| appartient à L^{1} et converge donc pour presque tout x. En déduire que f_{i_{n}} converge presque partout. iii) Déduire aussi que f_{i_{n}} a un chapeau intégrable et conclure que f_{i_{n}}(x) → f(x) presque partout. iv) Adapter le raisonnement précédent à une suite f_{n} qui est de Cauchy dans L^{1} pour montrer que L^{1} est un espace complet.

Exercice 14 Calculer la dérivée à droite en zéro de la fonction

t → ∫_{0}^{1}(f(x) + t^{2})^{\frac{1}{2}} dx = φ(t),

où f vérifie 0 ≤ f ≤ 1. Indication : pour évaluer la limite du rapport \frac{φ(t)−φ(0)}{t}, penser à utiliser le théorème de Lebesgue.

Exercice 15 Calculer lim_{n→+∞} Γ_{n}, où Γ_{n} = ∫_{0}^{n}(1 − \frac{x}{n})^{n}e^{\frac{x}{2}} dx.

Exercice 16 Soit f une fonction sommable. Démontrer que lim_{α→+∞} αmes({x, |f(x)| ≥ α}) = 0.

Exercice 17 On pose, pour x > 0, Γ(x) = ∫_{0}^{∞} e^{−t}t^{x−1}dt. Démontrer que Γ est de classe C^{∞} sur ]0, +∞[. Démontrer que Γ(x) → +∞ quand x → 0. Pour la deuxième question, penser à utiliser le lemme de convergence monotone !

Exercice 18 Si f ∈ L^{1}(IR), montrer que f̃(x) = Σ_{n∈Z}f(x + n) ∈ L^{1}([0, 1]) et que ∫_{[0,1]} f̃(x)dx = ∫_{IR} f(x)dx.

Exercice 19 (Fubini, changement de coordonnées en ”polaires”) Démontrer que ∫_{IR} e^{−x^{2}}dx = \sqrt{π}. On prendra le carré de cette intégrale, le considérera par Fubini comme une intégrale sur IR^{2} que l’on calculera en coordonnées polaires. Penser à justifier rigoureusement le changement de coordonnées effectué dans l’intégrale à l’aide du théorème de changement de variables.

Exercice 20 (Propriétés de la convolution)

a) Si f et g appartiennent à L^{1}(IR^{n}), alors on peut définir une fonction L^{1}, f ∗ g définie presque partout par

f ∗ g(x) = ∫_{IR^{n}} f(x − y)g(y)dy

aussi, et ||f ∗ g||_{L^{1}} ≤ ||f||_{L^{1}}||g||_{L^{1}}. (Application directe du théorème de Fubini.)

b) On appelle L_{loc}^{1}(IR^{n}) l’ensemble des fonctions L^{1} sur tout borné de IR^{n}. Montrer que si f ∈ L_{loc}^{1}(IR^{n}), et si g ∈ L^{1}(IR^{n}) est nulle en dehors d’un borné, alors on peut définir f ∗ g et f ∗ g ∈ L_{loc}^{1}.

c) Si f ∈ L_{loc}^{1}(IR^{n}), φ ∈ C_{0}^{m}(IR^{n}), alors f ∗ φ ∈ C^{m}(IR^{n}) et,

∀|α| ≤ m, ∂^{α}(f ∗ φ) = f ∗ ∂^{α}φ.

Exemple où f ∗ g n’est pas définie partout : poser f(x) = g(x) = |x|^{− \frac{1}{2}} si |x| ≤ 1, et 0 sinon. Remarquer que f ∗ g(0) = +∞.

Exercice 21 (Un contrexemple à méditer au théorème de dérivation sous le signe somme). Soit φ une fonction continue sur [0, 1]. On considère, dans [0, 1] × [0, 1] la fonction f définie par f(x, λ) = ϕ(x) si x ≤ λ et f(x, λ) = 0 sinon. On pose F (λ) = ∫_{0}^{1} f(x, λ)dx. Pour chaque λ, la dérivée partielle existe sauf en un point, et elle est majorée par une fonction sommable fixe : la fonction 0. Déterminer la dérivée de F.

2 Rappel des principaux théorèmes

Théorème 1 (Beppo Levi, ou convergence monotone) Si f_{n} est une suite croissante de fonctions définies sur IR^{N} et à valeurs dans IR^{+} ∪ {+∞}, on a

∫ lim_{n→∞} f_{n}(x)dx = lim_{n→∞} ∫ f_{n}(x)dx ≤ +∞.

Corollaire 1 Soit u_{n}(x) une suite de fonctions définies sur IR^{N} et à valeurs dans IR^{+} ∪ {+∞}. On peut alors l’intégrer terme à terme, c’est-à -dire que

∫ Σ_{n=1}^{∞}u_{n}(x)dx = Σ_{n=1}^{∞} ∫ u_{n}(x)dx ≤ +∞.

Théorème 2 (Théorème de Lebesgue) Soit f_{n}(x) une suite de fonctions qui converge presque partout vers une fonction f. On suppose qu’il existe une fonction positive sommable fixe h telle que pour tout n, |f_{n}(x)| ≤ h(x) pour presque tout x. Alors

∫ |f_{n}(x) − f(x)| → 0, ∫ f_{n}(x)dx → ∫ f(x)dx.

Théorème 3 (Réciproque du théorème de Lebesgue). Si f_{n} → f dans L^{1}, alors il existe une sous-suite f_{n_{k}} de la suite f_{n} qui converge presque partout vers f et un chapeau intégrable h tel que ∀k, |f_{n_{k}}(x)| ≤ h(x) p.p..

Théorème 4 (Théorème de dérivation sous le signe somme) Soient I un intervalle de IR et A un sous-ensemble de IR^{n}. On se donne une fonction f définie sur A × I vérifiant les trois hypothèses suivantes.

(a) Pour tout λ ∈ I, la fonction x → f(x, λ) est sommable sur A.

(b) La dérivée partielle \frac{∂f}{∂λ}(x, λ) existe en tout point de A × I.

(c) Il existe une fonction h positive et sommable sur A telle que l’on ait |\frac{∂f}{∂λ}(x, λ)| ≤ h(x) pour tous x et λ. Alors la fonction F définie par

F (λ) = ∫_{A} f(x, λ)dx

est dérivable dans I et on a

F′(λ) = ∫_{A} \frac{∂f}{∂λ}(x, λ)dx.

Théorème 5 (Fubini) Soit f(x, y) une fonction définie dans IR^{p} × IR^{q}.

(a) Si f est à valeurs dans IR^{+} ∪{+∞}, on a l’égalité suivante, où les trois membres définissent un élément de IR^{+} ∪ {+∞},

∫_{IR^{p+q}} f(x, y)dxdy = ∫_{IR^{p}}(∫_{IR^{q}} f(x, y)dy) = ∫_{IR^{q}}(∫_{IR^{p}} f(x, y)dx)dy.

Si f est sommable dans IR^{p+q}, les trois membres de l’égalité précédente ont un sens et sont égaux. Plus précisément, dire que le troisième membre a un sens signifie :

• pour presque tout y, la fonction x → f(x, y) est sommable dans IR^{p},

• la fonction φ(y) = ∫ f(x, y)dx qui est ainsi définie presque partout est sommable dans IR^{q}.

Théorème 6 (de changement de variable) Soient Ω_{1} et Ω_{2} deux ouverts de IR^{n} et φ un difféomorphisme entre Ω_{1} et Ω_{2}. On notera J_{φ}(x) le déterminant de la matrice jacobienne de φ au point x. Soit f une fonction définie sur Ω_{2}.

(a) Si la fonction f est à valeurs dans IR^{+} ∪ {+∞}, on a l’égalité suivante, où les deux membres ont un sens dans IR^{+} ∪ {+∞},

∫_{Ω_{2}} f(y)dy = ∫_{Ω_{1}} f(φ(x))|J_{φ}(x)|dx.

(b) Si f est à valeurs complexes, elle est sommable dans Ω_{2} si et seulement si f(φ(x))J_{φ}(x) est sommable dans Ω_{1}, et les deux membres de l’égalité précédente sont alors égaux.