Analyse Partiel du 26/11/99

Les notes de cours et de TD sont autorisées.

Exercice 1

Soit E un espace de Banach. On note B_{E′} = {f ∈ E′ : ∥f∥_{E′} ≤ 1}. On suppose que (B_{E′}, σ(E′, E)) est métrisable, c’est à dire, qu’il existe une distance d sur B_{E′} dont la topologie est équivalente à la topologie faible ⋆ sur B_{E′}. On se propose de montrer que E est séparable.

1) Montrer qu’il existe une suite (x_{n})_{n≥1} déléments de E telle que ∀k ∈ IN^{⋆}, ∃I_{k} ∈ P.F.IN^{⋆}, ∃ε_{k} > 0 tels que

⋂_{i∈I_{k}}\{f ∈ B_{E′} : | < f, x_{i} > | < ε_{k}\} ⊂ B_{d}(0, \frac{1}{k}),

où B_{d}(0, \frac{1}{k}) = \{g ∈ B_{E′} : d(0, g) < \frac{1}{k}\}. On pose

X_{n} = vectIR{x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}}, Y_{n} = vectQ_{|} {x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}}, X = ⋃_{n≥1} X_{n} et Y = ⋃_{n≥1} Y_{n}.

Pour A ⊂ E, on note \overline{A} l’adhérence de A pour la topologie de la norme.

2) Vérifier que X ⊂ \overline{Y}.

3) En supposant que \overline{X} ≠ E, montrer que ∃f ∈ E′, f ≢ 0, telle que < f, x >= 0, ∀x ∈ X. En déduire une contradiction.

4) Montrer que E est séparable.

Exercice 2

Soit V un espace de Hilbert réel tel que dim V = ∞. Soit a : V × V ⟶ IR une application bilinéaire continue et coercive c’est à dire telle que ∃β > 0, |a(u, v)| ≤ β∥u∥ ∥v∥, ∀u, v ∈ V et ∃α > 0 tel que a(v, v) ≥ α∥v∥^{2}, ∀v ∈ V. Soit ℓ ∈ V′.

1) Montrer que ∃!u ∈ V tel que a(u, v) = ℓ(v), ∀v ∈ V et que ∥u∥ ≤ \frac{1}{α}∥ℓ∥_{V′}.

2) On suppose dans toute la suite de l’exercice que V satisfait l’hypothèse suivante : il existe une suite de sous-espaces (V_{n})_{n≥1} de V telle que

(H) : \{ \begin{matrix}(i) & dimV_{n} = p_{n}, \\ (ii) & V_{n} ⊂ V_{n+1}, \\ (iii) & ⋃_{n} V_{n} est dense dans V. \end{matrix}

Vérifier que ∃!u_{n} ∈ V_{n} tel que a(u_{n}, v) = ℓ(v), ∀v ∈ V_{n} et que l’on peut extraire de (u_{n})_{n} une sous-suite qui converge faiblement dans V vers une limite u⋆.

3) Démontrer que u = u⋆. En déduire que toute la suite (u_{n})_{n} converge faiblement dans V vers u. On veut montrer que (u_{n})_{n} converge fortement vers u dans V.

4) Première démonstration : En développant a(u_{n} − u, u_{n} − u), montrer que ∥u_{n} − u∥ ⟶ 0 quand n → ∞.

5) Deuxième démonstration : On note δ_{n} = inf{∥u − w∥, w ∈ V_{n}}. a) Montrer que δ_{n} est atteint.

b) Montrer (sans utiliser la forme bilinéaire a) que δ_{n} ⟶ 0.

c) Montrer que ∥u_{n} − u∥ ≤ \frac{β}{α}δ_{n} et en déduire que u_{n} converge fortement vers u dans V. Questions subsidiaires :

1) Montrer que p_{n} → +∞ quand n → +∞.

2) Montrer que l’hypothèse (H) ⟹ V séparable.

Exercice 3

Soit Ω =]0, 1[ et soit f_{n}(x) = n^{\frac{1}{p}} e^{−nx} où 1 ≤ p < +∞.

1) Montrer que f_{n} → 0 p.p. dans Ω, (f_{n})_{n} est bornée dans L^{P} (Ω) et f_{n} ↛ 0 dans L^{P} (Ω).

2) Soit φ ∈ C_{c}(Ω) et soit T l’application définie sur L^{P} (Ω) par T (g) = ∫_{0}^{1} g φ dx, montrer que T ∈ (L^{P} (Ω))′.

3) On admettra les deux résultats suivants :

- Si g ∈ L^{1}(Ω) vérifie ∫_{0}^{1} g φ dx = 0, ∀φ ∈ C_{c}(Ω) alors g = 0 p.p.

- Pour 1 < p < +∞, l’espace L^{P} (Ω) est réflexif.

a) Si 1 < p < +∞, montrer que f_{n} ⇀ 0 dans L^{P} (Ω) faible.

b) Si p = 1, montrer que f_{n} ⇀̸ 0 dans L^{1}(Ω) faible et qu’il n’existe aucune sous-suite de (f_{n})_{n} convergeant faiblement dans L^{1}(Ω). Que pouvezvous conclure ?