
%%%%%%
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\newcommand{\om}{\omega}
\newcommand{\vfi}{\varphi}
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\newcommand{\Ep}{E^{\prime}}
\newcommand{\LL}{L^2(\Omega)}
\newcommand{\vois}{{\cal V}(x)}
\newtheorem{lem}{Lemma}
\newtheorem{theo}{Th\'eor\`eme}
\newtheorem{theor}{Theorem}
\newtheorem{prop}{Proposition}
\newtheorem{defi}{D\'efinition}
\newtheorem{rem}{Remarque}
\newtheorem{nb}{NB}
% ensembles Q R N Z C
\gdef\RR{\hbox{\rm I\kern-.25em\hbox{R}}}
\gdef\NN{\hbox{\rm I\kern-.25em\hbox{N}}}
\gdef\LLI{\hbox{\rm I\kern-.25em\hbox{L}}}
\gdef\ZZ{{\sl Z\hskip -1ex Z} }
\gdef\CC{\rm \hbox{C\kern-.56em\raise.4ex
         \hbox{$\scriptscriptstyle |$}\kern+0.5 em }}
\gdef\QQ{\rm \hbox{Q\kern-.35em\raise.4ex
         \hbox{$\scriptscriptstyle |$}\kern+0.5 em }}
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}
\begin{document}
\author{}
 \date{}
\title{Analyse  Partiel du 26/11/99} 
\maketitle
{\it Les notes de cours et de TD sont autoris\'ees.}
\\ \\
{\bf Exercice 1} 
\\ \\
Soit E un espace de Banach. On note $B_{\Ep} = \{ f \in \Ep : {\Vert f \Vert}_{\Ep} 
\leq 1\}.$ On suppose que $(B_{\Ep},\sigma(\Ep,E))$ est m\'etrisable, c'est \`a 
dire, 
qu'il existe une distance d sur $B_{\Ep}$ dont la topologie est \'equivalente \`a la 
topologie faible $\star$ sur $B_{\Ep}$. On se propose de montrer que E est 
s\'eparable.\\
1) Montrer qu'il existe une suite $(x_n)_{n \geq 1}$ d\'el\'ements de E telle 
que \\
$\forall k \in \NN^{\star},\quad \exists I_k \in P.F.\NN^{\star},\quad \exists 
{\ep}_k 
> 0$ tels que
$$ \bigcap_{i \in I_k} \{f \in B_{\Ep} : \vert <f,x_i> \vert < {\ep}_k \} \subset 
B_d(0, \frac{1}{k}),$$
o\`u $B_d(0,\frac{1}{k}) = \{g \in B_{\Ep} : d(0,g) < \frac{1}{k} \}.$\\
On pose $$X_n = \mbox{vect}_{\RR}\{x_1,x_2,...,x_n\}, \quad Y_n = 
\mbox{vect}_{\QQ}\{x_1,x_2,...,x_n\}, \quad X = \bigcup_{n \geq 1} X_n \,\mbox{ et 
}\, 
Y = \bigcup_{n \geq 1} Y_n.$$
Pour $A \subset E$, on note $\overline A$ l'adh\'erence de A pour la topologie de la 
norme.\\
2) V\'erifier que $X \subset \overline Y$.\\
3) En supposant que $\overline X \not= E$, montrer que $\exists f \in \Ep$, $f 
\not\equiv 0$, telle que $<f,x> = 0$, $\forall x \in X.$\\
En d\'eduire une contradiction.\\
4) Montrer que E est s\'eparable.
\\ \\
{\bf Exercice 2}
\\ \\
Soit V un espace de Hilbert r\'eel tel que $\mbox{dim V} = \infty$.\\
Soit $a : V\times V \longrightarrow \RR$ une application bilin\'eaire continue et 
coercive c'est \`a dire telle que $ \exists \beta > 0,\; \vert a(u,v) \vert \leq 
\beta 
\Vert u \Vert\,\Vert v \Vert$, $\forall u,v \in V$ et $\exists \alpha > 0 $ tel que 
$a(v,v) \geq \alpha {\Vert v \Vert}^2$, $\forall v \in V$.\\
Soit $\ell \in V^{\prime}$.\\
1) Montrer que $\exists!u \in V$ tel que $a(u,v)=\ell(v)$, $\forall v \in V$ et que 
$\Vert u \Vert \leq \frac{1}{\alpha} {\Vert \ell \Vert}_{V^{\prime}}$.\\
2) On suppose dans toute la suite de l'exercice que V satisfait l'hypoth\`ese 
suivante 
:\\
il existe une suite de sous-espaces $(V_n)_{n \geq 1}$ de V telle que
\[ (H) : \left\{ \begin{array}{ll}
(i) & \mbox{dim} V_n = p_n, \\
(ii) & V_n \subset V_{n+1},\\
(iii) & \bigcup_n V_n \mbox{ est dense dans V.}
                \end{array}
\right. \]                
V\'erifier que $\exists!u_n \in V_n$ tel que $a(u_n,v) = \ell(v)$, $\forall v 
\in V_n$ et que l'on peut extraire de $(u_n)_n$ une sous-suite qui converge 
faiblement 
dans V vers une limite $u\star$.\\
3) D\'emontrer que $u = u\star$. En d\'eduire que toute la suite $(u_n)_n$ converge 
faiblement dans V vers u.\\
On veut montrer que  $(u_n)_n$ converge fortement vers u dans V.\\
4) Premi\`ere d\'emonstration : En d\'eveloppant $a(u_n-u,u_n-u)$, montrer que 
$\Vert 
u_n-u \Vert \longrightarrow 0$ quand $n \rightarrow \infty$.\\
5) Deuxi\`eme d\'emonstration : On note $\delta_n = \inf \{ \Vert u - w \Vert,\;w 
\in 
V_n \}.$

a) Montrer que $\delta_n$ est atteint.

b) Montrer (sans utiliser la forme bilin\'eaire $a$) que $\delta_n \longrightarrow 
0$.

c) Montrer que $\Vert u_n -u \Vert \leq \frac{\beta}{\alpha} \delta_n$ et en 
d\'eduire 
que $u_n$ converge fortement vers $u$ dans V.
\\
Questions subsidiaires :\\
1) Montrer que $p_n \rightarrow +\infty$ quand $n \rightarrow +\infty$.\\
2) Montrer que l'hypoth\`ese (H) $\Longrightarrow$ V s\'eparable.
\\ \\
{\bf Exercice 3}
\\ \\
Soit $\Om = ]0,1[$ et soit $f_n(x) = n^{\frac{1}{p}} e^{-nx}$ o\`u $1 \leq p < 
+\infty$. \\
1) Montrer que $f_n \rightarrow 0$ p.p. dans $\Om$, $(f_n)_n$ est born\'ee dans 
$L^P(\Om)$ et $f_n \not\rightarrow 0$ dans $L^P(\Om)$.\\
2) Soit $\vfi \in {\cal C}_c(\Om)$ et soit T l'application d\'efinie sur $L^P(\Om)$ 
par $T(g) = \int_0^1 g\,\vfi\; dx$, montrer que $T \in (L^P(\Om))^{\prime}$.\\
3) On admettra les deux r\'esultats suivants : \\
- Si $g \in L^1(\Om)$ v\'erifie $\int_0^1 g\,\vfi\; dx = 0$, $\forall \vfi \in {\cal 
C}_c(\Om)$ alors $g = 0$ p.p.\\
- Pour $1<p<+\infty$, l'espace $L^P(\Om)$ est r\'eflexif.

a) Si $1<p<+\infty$, montrer que $f_n \rightharpoonup 0$ dans $L^P(\Om)$ faible.

b) Si $p=1$, montrer que $f_n \not\rightharpoonup 0$ dans $L^1(\Om)$ faible et qu'il 
n'existe aucune sous-suite de $(f_n)_n$ convergeant faiblement dans $L^1(\Om)$. Que 
pouvez-vous conclure ?\\
 \end{document}

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\documentstyle[12pt,leqno]{article}
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\textwidth 15cm
\oddsidemargin 0.96cm
\evensidemargin 0.96cm



\def\Abstract{\small\noindent\bf Abstract. \rm}
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\vspace{4 mm}\noindent}

 \begin{document}  
\def\aire{\mathop{\rm aire}\nolimits}
\def\trace{\mathop{\rm trace}\nolimits}
\def\epi{\mathop{\rm Epi}\nolimits}
{\it Ecole Normale Sup\e rieure de Cachan.  Magist\ee re de Math\e matiques, cours
d'Analyse Fonctionnelle}

\vskip 0.5truecm 
\centerline{\sc Transformée de Fenchel}

\vskip 0.5truecm
