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\def\real{I\!\!R}
\def\natural{I\!\!N}
\def\rational{{\cal Z}}

%NOTA BENE :  "\pmatrix et \endpmatrix, non compris en latex,
% sont remplaces 
%par \matrice et \findematrice dont la definition suit
%exemple d'utilisation :
%$A=\matrice
%a & b  \cr
%c & d  \cr \findematrice $

\def\matrice{\left(\begin{array}{cccccccccc}}
\def\findematrice{\end{array}\right)}

\def\dist{\hbox{ dist}}
\def\sin{\hbox{sin}}
\def\cos{\hbox{cos}}
%rappel : \overline{cequ'onveut}
\def\fxx{\hbox{\bf x}}          % point x dans R2
\def\fyx{\hbox{\bf y}}          % point y dans R2
\def\fxy{\hbox{\bf y}}
\def\fxc{\hbox{\bf c}}
\def\fxz{\hbox{\bf z}}
\def\fxz{\hbox{\bf z}}
\def\fxq{\hbox{\bf q}}
\def\fxp{\hbox{\bf p}}
\def\fxn{\hbox{\bf n}}
\def\fxh{\hbox{\bf h}}
\def\fxk{\hbox{\bf k}}
\def\fxa{\hbox{\bf a}}
\def\fxb{\hbox{\bf b}}



\def\fb&{\begin{equation}}
\def\fe&{\end{equation}}
\def\e {\'{e}}
\def\ee {\`{e}}
\def\eee {\^{e}}
\def\e {\'{e}}
\def\ea {\'{e} }
\def\ee {\`{e}}
\def\eee {\^{e}}
\def\a {\`{a} }
\def\u {\`{u} }
\def\skipaline{\vspace{4 mm}\noindent}
\def\mes{\hbox{mes}}

\def\complex {\bf C}
\documentstyle[12pt,leqno]{article}
\textwidth 15cm
\oddsidemargin 0.96cm
\evensidemargin 0.96cm
\begin{document}
\noindent ENS de Cachan. Licence de Mathématiques.
 Calcul diff\'{e}rentiel. Feuille 2
\vskip 0.1truecm
\noindent
{\bf Exercice 1} Soit $T$ une application $C^{\infty}$ de $\real^n$ dans lui-même, telle
que $T(0)=0$. On suppose de plus que 1 n'est pas valeur propre de $DT(0)$.

\noindent
1) Montrer qu'il existe un voisinage $U$ de $0$, sur lequel $0$ est l'unique point fixe de $T$, 
c'est-\`a-dire l'unique $x$ tel que $T(x)=x$ (on utilisera le théorème d'inversion locale).

\noindent
2) Soit $S$ une application $C^{\infty}$ de $\real^n$ dans lui-même quelconque. Montrer, 
en utilisant le
th\'eor\`eme des fonctions implicites, qu'il existe un voisinage $V$ de $0$, un nombre $\lambda_0$
strictement positif tel que pour tout $\vert\lambda\vert\leq\lambda_0$, $T_\lambda (x)=T(x)+\lambda S(x)$ 
ait un unique point fixe $x_\lambda$ sur $V$. On montrera de plus que $\lambda\mapsto x_\lambda$ est
$C^\infty$.

\vskip 0.2truecm
\noindent
{\bf Exercice 2.} 
Soit $\fxc(s) $ une application de $[0, L]$ dans $\real^2$, injective sur $]0,L[$ et telle que $\fxc(0)=\fxc(L)$. On note $C$ l'image de $\fxc(s)$.  On suppose que $\fxc$ est $C^\infty$ au voisinage de tout point $s\in [0,L]$, y compris en 0 et $L$, que l'on identifie et pour lesquels on a  $\fxc^{(n)+}(0)=\fxc^{(n)-}(L)$ pour tout $n$. 
On suppose de plus que $|\fxc'(s)|=1$ pour tout $s$. On dit alors que "la courbe
$C$, image de $\fxc(s)$, est param\e tr\e e par sa longueur."  Si $\fxx=(x,y)$ est un vecteur de $\real^2$, on note $\fxx^\perp=(-y, x)$, le vecteur $\fxx$ tourn\ea de $\frac \pi 2$.

(a)  Montrer que $(\fxc'(s), \fxc''(s))=0$. On appelle centre de courbure en $s$ le point $\gamma(s)=\fxc(s)+d\fxc'(s)^\perp$ o\u $d$ est choisi pour que $\gamma'(s)=0$.
Montrer que $\gamma(s)=\fxc(s)-\frac{\fxc'(s)^\perp}{(\fxc'(s), c''(s)^\perp)}.$  A quoi est \e gal le rayon de courbure $R(s)$ en $s$ ?

(b) Soient $\fxy\in \real^2$ et $\fxc(t_0)$ r\e alisant la distance de $\fxy$ \a 
$C$ : $dist(\fxy, C)=|\fxy -\fxc(t_0)|$.   Montrer que $\fxy-\fxc(t_0)=\epsilon \dist(\fxy, C)\fxc'^\perp(t_0)$, o\u $\epsilon =\pm 1$.

(c) On consid\ee re l'application $\fxy$
 de $[0,L]\times\real$ dans $\real^2$ d\e finie par
 $\fxy(s,d)=\fxc(s)+d\fxc'(s)^\perp.$ Calculer $D\fxy(s, d)$.
 
(d) En d\e duire que si $d_0\neq f(s_0)$, $f(s)$ \e tant une fonction que l'on explicitera, $\fxy(s, d)$ est un diff\e omorphisme local au voisinage de $(s_0, d_0)$ et que donc les fonctions inverses $s(\fxy)$ et $d(\fxy)$ forment un syst\ee me de coordonn\e es locales. Interpr\e tation g\e om\e trique. On pose
  $\delta =\max_{s\in [0, L]}\frac 1{|\fxc''(s)|}$. 
  
(e) Montrer que si $\dist(\fxy, C)<\delta$, et si $\fxy=\fxc(s)\pm\dist(\fxy, C)c'^\perp$ et  $\fxz=\fxc(t)\pm\dist(\fxz,C)c'(t)^\perp$, alors
  $\fxz$ tend vers $\fxy$ si et seulement si $t$ tend vers $s$.
  
 (f) En d\e duire que si $\dist(\fxy_0, C)<\delta,$ l'application $\fxy\to (s, \dist(\fxy, C))$, o\u $s$ est l'unique valeur telle que $\fxy=\fxc(s)+\dist(\fxy, C)c'(s)^\perp$, est un homéomorphisme d'un voisinage de $\fxy_0$ sur un voisinage 
 de $(s_0, \dist(\fxy_0, C)$.
  
 
 (g) Conclure que si $0<d(\fxy_0)<\delta$, les fonctions $d(\fxy) $ (d\e finie au (d)) et $\dist(\fxy, C)$ coincident au signe pr\ee s sur un voisinage de $\fxy_0$. En d\e duire 
 que $\dist(\fxy, C)$ est une fonction $C^\infty$ sur un ouvert $U$ de la forme $V\setminus C$, o\u $V$ contient $C$.
 
 
 (h) Remarquer que l'on a aussi montr\ea que $C$ est une sous-vari\e t\ea et qu'il en est de m\eee me pour les ensembles $C_\varepsilon=\{\fxy,\dist(\fxy, C)=\varepsilon\}$
 pour $\varepsilon<\delta$.
 
\vskip 0.2truecm
\noindent
{\bf Exercice 3.} Soit $V$ une sous-vari\'et\'e de $\real^n$, et $f:
\real^n\to \real$ une fonction de classe $C^1$ telle que $f(x)=c$
pour tout $x\in V$, montrer que $Df(x)(X)=0$ pour tout $x\in V$ et tout $X\in
T_xV$.

\vskip 0.2truecm
\noindent
{\bf Exercice 4.}  

(a) Soit $E$ un ensemble et $\fxx\in E\subset \real^n$.  On note $Dir(\fxx, E)$ 
l'ensemble des demi-droites, appel\e es directions limites, 
$\real^+\lim_{\fxz_n\to \fxx, \fxz_n\neq\fxx, \fxz_n\in E} 
\frac{\fxz_n-\fxx}{|\fxz_n-\fxx|}.$  D\e montrer que si $u$ est un diff\e omorphisme
d\e fini dans un voisinage de $\fxx\in  E$, alors 
$Dir(u(\fxx), u(E))=Du(\fxx)(Dir(\fxx, E)).$
En d\e duire la forme de $Dir(\fxx, E)$ quand $E$ est une sous-vari\e t\ea de dimension $p$.

(b) Les sous-ensembles suivants sont-ils des 
sous-vari{\'e}t{\'e}s ?
 $\{ (x, y) \in \real^{2}\ ; xy =0\}\quad$, 
$\{ (t^3, t^2) \in \real^{2}\ ; t \in \real\}\quad$, $\{ (x, y, z) \in \real^{3}\ ; z=|(x,y)|\}$.


\vskip 0.2truecm
\noindent
{\bf Exercice 5.}  Soit $a\in\real^3$, on consid\`ere une fonction $f:\real^3\to \real$ de classe $C^2$, sans point critique et v\'erifiant:
$f(a)=0,\quad {\partial f\over \partial x}(a)=0,\quad {\partial 
f\over \partial
y}(a)=0.$ On note $S=f^{-1}(0)$.

\noindent
1) 
Montrer que $S$ est une surface et que son plan tangent
vectoriel en $a$ est le plan d'\'equation $z=0$.

\noindent
2) Montrer que si 
${\partial^2f\over \partial x^2}(a){\partial^2f\over \partial y^2}(a)
-\left({\partial^2f\over \partial x\partial y}(a)\right)^2\ne 0$
alors il existe un voisinage ouvert de $a$ dans $\real^3$,
 dans lequel  $a$ est l'unique point dont le plan tangent est horizontal.

\vskip 0.2truecm
\noindent
{\bf Exercice 6.}

\noindent
1) Soit $f$~: $\real^{n} \to \real$ une fonction de classe $C^{\infty}$ telle que, pour un entier $m$,
$
f (\lambda x) = \lambda^{m} f (x),\ \forall x \in \real^{n},\ \forall
\lambda \in \real\ .
$
Montrer que $f^{-1}(\{c\})$ est une sous-vari{\'e}t{\'e} de $\real^{n}$ pour tout $c \in f (\real^{n})\setminus \{0\}$.
\vskip 0.3truecm
\noindent
{\bf Exercice 7.} On note $0 (n) \subset M_{n} (\real)$ l'ensemble
des matrices {\`a} coefficients r{\'e}els telles que $^{t}AA = $ Id.

\noindent
1) Montrer que $0 (n)$ est une sous-vari{\'e}t{\'e} de $M_{n} (\real)$. Quelle est sa dimension~?

\noindent
2) D{\'e}terminer son espace tangent en $A \in 0 (n)$.

\vskip 0.2truecm
\noindent
{\bf Exercice 8.} Soit $S^{n-1}=\{(x_1,\ldots, x_n)\in\real^n\,\vert\,\sum_{i=1}^nx_i^2=1\}$. Soient $a_1<a_2<\ldots <a_n$ et  $f:S^{n-1}\to\real$ d\'efinie par
$f(x_1,\ldots,x_n)=\sum_{i=1}^na_ix_i^2.$

\noindent
1) Montrer que $S^{n-1}$ est une sous-vari\'et\'e de $\real^n$, et que
 $f$ est
diff\'erentiable sur $S^{n-1}$.

\noindent
2) Montrer que les points critiques de $f$
sont non-d\'eg\'en\'er\'es et trouver leurs indices.
\vskip 0.2truecm
\hfill R{\'e}dig{\'e} par Fran{\c c}ois Labourie et J.M. Morel

\end{document}



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\vskip 0.5truecm
\noindent
{\bf Exercice 2-bis.} ({\it Forme normale des polyn\^{o}mes au voisinage
d'un z\'ero multiple}) Soit $m>n\geq 0$ deux entiers, et soit $P$ un
polyn\^{o}me de la forme $P(z)=z^{n}+\sum_{n<i\leq m}a_{i}z^{i}$, o\`u $z$
est une variable complexe.

\noindent
1) On suppose tout d'abord que $n=0$, et soit $p\geq 0$ un entier quelconque,
montrer qu'il existe une application $C^\infty$, $F$, d'un voisinage de $0$ dans
$\complex$ sur un voisinage de $1$ dans $\complex$ tel que
$P(z)=F(z)^{p}$ : on appliquera le th\'eor\`eme des fonctions implicites \`a
$P(z)-y^{p}$.

\noindent
2) On suppose dans cette question que $n>0$, montrer qu'il  existe un diff\'eomorphisme $\phi$ 
d'un voisinage de $0$
sur un voisinage de $0$ tel que $P(z)=\phi(z)^{n}$.

\noindent
3) En déduire que si $Q$ est une fonction polynomiale non constante $Q:\complex
\rightarrow \complex$, alors l'image par $Q$ de tout voisinage de 0, contient un voisinage de 
$Q(0)$; puis que, pour tout $z$,  l'image par $Q$ de tout voisinage de $z$, contient un voisinage de 
$Q(z)$; enfin, on montrera que si $z_{0}$ est un mimimum local
de la
fonction $z\rightarrow \vert Q(z)\vert$, alors $Q(z_{0})=0$.

\noindent
4) En d\'eduire le th\'eor\`eme fondamental de l'alg\`ebre : tout polynome 
admet une racine complexe.
\vskip 0.5truecm

\vskip 0.5truecm
\noindent
{\bf Exercice 8.} Soit $V_{r}\subset M_{n} (\real)$ l'ensemble des
matrices $n \times n$ {\`a} coefficients r{\'e}els de rang $r$, $0 \leq
r \leq n$.

\noindent
1) Soit
$$
M = \matrice A &B\cr C &D \findematrice \in M_{n} (\real)\ \hbox{o{\`u}}\ A
\subset M_{r} (\real)\ .
$$
On suppose $A$ inversible. Montrer que
$$
M \in V_{r} \Longleftrightarrow D = CA^{-1}B\ .
$$
2) d{\'e}duire de 1) que $V_{r}$ est une sous-vari{\'e}t{\'e} de $M_{n}
(\real)$. Quelle est sa dimension~?

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