Calcul différentiel et intégral Promotion 1999

Petite classe n^{∘} 6 du 29 septembre 2000

Exercice 1 Soit T une application C^{∞} de IR^{n} dans lui-mme, telle que T (0) = 0. On suppose de plus que 1 n’est pas valeur propre de DT (0).

1) Montrer qu’il existe un voisinage U de 0, sur lequel 0 est l’unique point fixe de T, c’est-à-dire l’unique x tel que T (x) = x (on utilisera le thorme d’inversion locale).

2) Soit S une application C^{∞} de IR^{n} dans lui-mme quelconque. Montrer, en utilisant le théorème des fonctions implicites, qu’il existe un voisinage V de 0, un nombre λ_{0} strictement positif tel que pour tout |λ| ≤ λ_{0}, T_{λ}(x) = T (x) + λS(x) ait un unique point fixe x_{λ} sur V. On montrera de plus que λ ↦ x_{λ} est C^{∞}.

Exercice 2. Soit c(s) une application de [0, L] dans IR^{2}, injective sur ]0, L[ et telle que c(0) = c(L). On note C l’image de c(s). On suppose que c est C^{∞} au voisinage de tout point s ∈ [0, L], y compris en 0 et L, que l’on identifie et pour lesquels on a c^{(n)+}(0) = c^{(n)−}(L) pour tout n. On suppose de plus que |c′(s)| = 1 pour tout s. On dit alors que ”la courbe C, image de c(s), est paramétrée par sa longueur.” Si x = (x, y) est un vecteur de IR^{2}, on note x^{⊥} = (−y, x), le vecteur x tourné de \frac{π}{2}.

(a) Montrer que (c′(s), c′′(s)) = 0. On appelle centre de courbure en s le point γ(s) = c(s) + dc′(s)^{⊥} où d est choisi pour que γ′(s) = 0. Montrer que γ(s) = c(s) − \frac{c′(s)^{⊥}}{(c′(s),c′′(s)^{⊥})}. A quoi est égal le rayon de courbure R(s) en s ?

(b) Soient y ∈ IR^{2} et c(t_{0}) réalisant la distance de y à C : dist(y, C) = |y−c(t_{0})|. Montrer que y − c(t_{0}) = ϵ dist(y, C)c^{′⊥}(t_{0}), où ϵ = ±1.

(c) On considère l’application y de [0, L] × IR dans IR^{2} définie par y(s, d) = c(s) + dc′(s)^{⊥}. Calculer Dy(s, d).

(d) En déduire que si d_{0} ≠ f(s_{0}), f(s) étant une fonction que l’on explicitera, y(s, d) est un difféomorphisme local au voisinage de (s_{0}, d_{0}) et que donc les fonctions inverses s(y) et d(y) forment un système de coordonnées locales. Interprétation géométrique. On pose δ = max_{s∈[0,L]} \frac{1}{|c′′(s)|}.

(e) Montrer que si dist(y, C) < δ, et si y = c(s) ± dist(y, C)c^{′⊥} et z = c(t) ± dist(z, C)c′(t)^{⊥}, alors z tend vers y si et seulement si t tend vers s.

(f) En déduire que si dist(y_{0}, C) < δ, l’application y → (s, dist(y, C)), où s est l’unique valeur telle que y = c(s) + dist(y, C)c′(s)^{⊥}, est un homomorphisme d’un voisinage de y_{0} sur un voisinage de (s_{0}, dist(y_{0}, C).

(g) Conclure que si 0 < d(y_{0}) < δ, les fonctions d(y) (définie au (d)) et dist(y, C) coincident au signe près sur un voisinage de y_{0}. En déduire que dist(y, C) est une fonction C^{∞} sur un ouvert U de la forme V \ C, où V contient C.

(h) Remarquer que l’on a aussi montré que C est une sous-variété et qu’il en est de même pour les ensembles C_{ε} = {y, dist(y, C) = ε} pour ε < δ.

Exercice 3. Soit V une sous-variété de IR^{n}, et f : IR^{n} → IR une fonction de classe C^{1} telle que f(x) = c pour tout x ∈ V, montrer que Df(x)(X) = 0 pour tout x ∈ V et tout X ∈ T_{x}V.

Exercice 4.

(a) Soit E un ensemble et x ∈ E ⊂ IR^{n}. On note Dir(x, E) l’ensemble des demidroites, appelées directions limites, IR^{+} lim_{z_{n}→x,z_{n}≠x,z_{n}∈E} \frac{z_{n}−x}{|z_{n}−x|}. Démontrer que si u est un difféomorphisme défini dans un voisinage de x ∈ E, alors Dir(u(x), u(E)) = Du(x)(Dir(x, E)). En déduire la forme de Dir(x, E) quand E est une sous-variété de dimension p.

(b) Les sous-ensembles suivants sont-ils des sous-variétés ? {(x, y) ∈ IR^{2} ; xy = 0} , {(t^{3}, t^{2}) ∈ IR^{2} ; t ∈ IR} , {(x, y, z) ∈ IR^{3} ; z = |(x, y)|}.

Exercice 5. Soit a ∈ IR^{3}, on considère une fonction f : IR^{3} → IR de classe C^{2}, sans point critique et vérifiant: f(a) = 0, \frac{∂f}{∂x}(a) = 0, \frac{∂f}{∂y} (a) = 0. On note S = f^{−1}(0).

1) Montrer que S est une surface et que son plan tangent vectoriel en a est le plan d’équation z = 0.

2) Montrer que si \frac{∂^{2}f}{∂x^{2}} (a)\frac{∂^{2}f}{∂y^{2}} (a) − (\frac{∂^{2}f}{∂x∂y}(a))^{2} ≠ 0 alors il existe un voisinage ouvert de a dans IR^{3}, dans lequel a est l’unique point dont le plan tangent est horizontal.

Exercice 6.

1) Soit f : IR^{n} → IR une fonction de classe C^{∞} telle que, pour un entier m, f(λx) = λ^{m}f(x), ∀x ∈ IR^{n}, ∀λ ∈ IR . Montrer que f^{−1}({c}) est une sous-variété de IR^{n} pour tout c ∈ f(IR^{n}) \ {0}.

Exercice 7. On note 0(n) ⊂ M_{n}(IR) l’ensemble des matrices à coefficients réels telles que ^{t}AA = Id.

1) Montrer que 0(n) est une sous-variété de M_{n}(IR). Quelle est sa dimension ?

2) Déterminer son espace tangent en A ∈ 0(n).

Exercice 8. Soit S^{n−1} = {(x_{1}, …, x_{n}) ∈ IR^{n} | ∑_{i=1}^{n} x_{i}^{2} = 1}. Soient a_{1} < a_{2} < … < a_{n} et f : S^{n−1} → IR définie par f(x_{1}, …, x_{n}) = ∑_{i=1}^{n} a_{i}x_{i}^{2}.

1) Montrer que S^{n−1} est une sous-variété de IR^{n}, et que f est différentiable sur S^{n−1}.

2) Montrer que les points critiques de f sont non-dégénérés et trouver leurs indices.

Rédigé par François Labourie. Exercice 2 de J.M. Morel