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\def\real{I\!\!R}
\def\natural{I\!\!N}
\def\rational{{\cal Z}}

%NOTA BENE :  "\pmatrix et \endpmatrix, non compris en latex,
% sont remplaces 
%par \matrice et \findematrice dont la definition suit
%exemple d'utilisation :
%$A=\matrice
%a & b  \cr
%c & d  \cr \findematrice $

\def\matrice{\left(\begin{array}{cccccccccc}}
\def\findematrice{\end{array}\right)}

\def\dist{\hbox{ dist}}
\def\sin{\hbox{sin}}
\def\cos{\hbox{cos}}
%rappel : \overline{cequ'onveut}
\def\fxx{\hbox{\bf x}}          % point x dans R2
\def\fyx{\hbox{\bf y}}          % point y dans R2
\def\fxy{\hbox{\bf y}}
\def\fxc{\hbox{\bf c}}
\def\fxz{\hbox{\bf z}}
\def\fxz{\hbox{\bf z}}
\def\fxq{\hbox{\bf q}}
\def\fxp{\hbox{\bf p}}
\def\fxn{\hbox{\bf n}}
\def\fxh{\hbox{\bf h}}
\def\fxk{\hbox{\bf k}}
\def\fxa{\hbox{\bf a}}
\def\fxb{\hbox{\bf b}}
\def\fxv{\hbox{\bf v}}



\def\fb&{\begin{equation}}
\def\fe&{\end{equation}}
\def\e {\'{e}}
\def\ee {\`{e}}
\def\eee {\^{e}}
\def\e {\'{e}}
\def\ea {\'{e} }
\def\ee {\`{e}}
\def\eee {\^{e}}
\def\a {\`{a} }
\def\u {\`{u} }
\def\o{\^{o}}
\def\skipaline{\vspace{4 mm}\noindent}
\def\mes{\hbox{mes}}

\def\complex {\bf C}
\documentstyle[12pt,leqno]{article}
\textwidth 15cm
\oddsidemargin 0.96cm
\evensidemargin 0.96cm
\begin{document}

\centerline{\bf ENS Cachan. Licence de Math\e matiques. Corrig{\'e} de la feuille 2 de Cacul Diff\e rentiel}
\vskip 1truecm 



\vskip 1truecm 
\noindent{\bf Exercice 1.}

\noindent
Pour 1) on applique le théorème d'inversion locale à $T(x)-x$, pour 2)
le théorème des fonction implicites à $F(\lambda,x)=T(x)-x+\lambda S(x)$.

\vskip 1truecm
\noindent
{\bf Exercice 2.} 
Soit $\fxc(s) $ une application de $[0, L]$ dans $\real^2$, injective sur $]0,L[$ et telle que $\fxc(0)=\fxc(L)$. On note $C$ l'image de $\fxc(s)$.  On suppose que $\fxc$ est $C^\infty$ au voisinage de tout point $s\in [0,L]$, y compris en 0 et $L$, que l'on identifie et pour lesquels on a  $\fxc^{(n)+}(0)=\fxc^{(n)-}(L)$ pour tout $n$. 
On suppose de plus que $|\fxc'(s)|=1$ pour tout $s$. On dit alors que "la courbe
$C$, image de $\fxc(s)$, est param\e tr\e e par sa longueur."  Si $\fxx=(x,y)$ est un vecteur de $\real^2$, on note $\fxx^\perp=(-y, x)$, le vecteur $\fxx$ tourn\ea de $\frac \pi 2$.


(a) Par simple d\e rivation de $|\fxc'(s)|^2=1$. En d\e rivant par rapport \a $s$,
on a $\gamma'(s)=0\Rightarrow \fxc'(s)+d\fxc''(s)^\perp=0$. En multipliant par 
$c'(s)$ il vient $d=-\frac 1{(c'(s), c''(s)^\perp)}$.  Le rayon de courbure 
est donc le module de $d$, et comme $c'$ et $c''^\perp$ sont colin\e aires, 
c'est donc $R=\frac 1{|c''(s)|}.$


(b) Comme la distance est un minimum de $|\fxy-\fxc(t)|,$ on a 
$\frac {\partial (|\fxy-\fxc|^2)}{\partial t}(t_0)=0,$ ce qui donne
$(\fxy-\fxc(t_0), \fxc'(t_0))=0$. Il existe donc $\lambda\in\real$ tel que
$\fxy-\fxc(t_0)=\lambda \fxc'^\perp(t_0)$. On d\e duit que $|\lambda|=\dist(\fxy, C)$.

 (c)  On a $\frac{\partial\fxy}{\partial s}(s,d)=\fxc'(s)+d\fxc''^\perp(s)$ et
 $\frac{\partial \fxy}{\partial d}(s,d)=\fxc'^\perp(s).$  Donc $D\fxy(s,d)$ peut s'\e crire
 $D\fxy(s, d)=(\fxc'(s)+d\fxc''^\perp(s), \fxc'^\perp(s)).$
 
 (d) Comme $\fxc''^\perp$ est colin\e aire \a $\fxc'(s)$, le syst\ee me de vecteurs colonne de $D\fxy(s_0, d_0)$ est de rang $<2$ si et seulement si 
 $\fxc'(s_0)+d\fxc''^\perp(s_0)=0,$ soit en multipliant par $\fxc'(s_0)$, 
 $1+d(\fxc''^\perp(s_0), \fxc'(s_0))=0$, soit 
 $d=-\frac 1{(\fxc''^\perp(s_0), \fxc'(s_0))}.$
  On a bien un syst\ee me de coordonn\e es locales en $\fxy$ si $\fxy$ n'est pas situ\ea  au centre de courbure de la courbe. Dans le cas d'un cercle, on voit qu'en ce point, la coordonn\e e $s$ "d\e g\e n\ee re" puisque le point ne bouge pas quand $s$ varie. Les courbes le long desquelles les coordonn\e es $s, d$ sont constantes sont les  droites orthogonales \a la courbe pour $s$ et les courbes parall\ee les, \a distance $d$ fixe, \a la courbe $C$. Ces derni\ee res courbes pr\e sentent une singularit\ea quand elles passent par un centre de courbure de la courbe $C$ (Dessin !).

 (e) Fixons par exemple $\pm=+1$ et supposons que $\fxz\to \fxy$ et que  $t$ ne tende pas vers $s$.   Quitte \a extraire une sous-suite, on peut supposer que $t\to t_0\neq s$.  On a donc en passant \a la limite
 $\fxc(t_0)+\dist(\fxy, C)\fxc'(t_0)^\perp =\fxc(s)+\dist(\fxy, C)c'(s)^\perp.$
 Par le th\e or\ee me des accroissements finis, on d\e duit qu'il existe $s_0$ entre 
 $s$ et $t_0$ tel que 
 $\fxc'(s_0)+\dist(\fxy, C)c''(s_0)^\perp=0.$
 En multipliant par $c'(s_0)$, comme \a la question pr\e c\e dente, il vient 
 $1+\dist(\fxy, C)|c''(s_0)^\perp|=0$, qui est impossible si $\dist(\fxy, C)<\delta.$
 
 
 (f) En effet, l'application est par le (e) bien d\e finie et continue si $\fxy-\fxy_0<\delta-\dist(\fxy_0, C)$.  Son inverse est \e videmment continue.
 
 (g) Par la question (b), on a $\fxy_0=\fxc(s_0)\pm \dist(\fxy, C)\fxc'(s_0)^\perp.$ Supposons par exemple que le signe de $\pm$ dans cette relation soit $-$. 
 Par la question (d), l'application 
 $(s, d)\to \fxc(s)+d\fxc'(s)^\perp$ est un diff\e omorphisme entre un voisinage 
 de $(s(\fxy_0), -\dist(\fxy_0))$ et un voisinage de $\fxy_0$ et l'inverse de cette
 application est par le (f)
 $\fxy\to (s(\fxy), -\dist(\fxy, C))$. Donc $d(\fxy, C)$ et $-d(\fxy)$ coincident sur un voisinage de $\fxy_0$ et $\dist(\fxy, C)$ est donc $C^\infty$.
 
 (h) En effet, 
 $C=C_0$ et les $C_\varepsilon$ sont d\e finies par les \e quations non singuli\ee res $d(\fxy)=\pm \varepsilon$. (Voir III.1.5). On remarque 
 que $d(\fxy)$ est une "distance sign\e e", \e gale \a la distance \a la courbe \a l'int\e rieur de la courbe, et \a moins cette distance \a l'ext\e rieur, ou vice-versa.


 
\noindent
{\bf Exercice 3.} 
La fonction $f$ est constante sur $V$, donc le long d'un chemin $\gamma$ de vecteur
tangent $X\in T_xV$ en $t=0$, on a $Df(x)(X)={d\over dt}f(\gamma(t))_{t=0}=0$.
\vskip 1truecm

\noindent
{\bf Exercice 4.}
(a) On prend sans perte de g\e n\e ralit\ea $\fxx=0$ et $u(0)=0$.  Si 
$\fxv=\lambda\lim_{n\to\infty}\frac{\fxz_n}{|\fxz_n|}$ appartient \a $Dir(E,0)$, on a
donc $u(\fxz_n)=Du(0)\fxz_n+o(|\fxz_n|)$. Donc
$$\frac{u(\fxz_n)}{|u(\fxz_n)|}=Du(0)(\frac{\fxz_n}{|\fxz_n|})\frac{|\fxz_n|}
{|u(\fxz_n)|}
 +\varepsilon(|\fxz_n|)$$
 $$
\to \frac{Du(0)(v)}{|Du(0)(v)|},$$
ce qui prouve que $Du(0)(\fxv)\in Dir(u(E), 0).$

Quand $E$ est une vari\e t\ea de dimension $p$,
$Dir(\fxx, E)$ est l'image par $Du(\fxx)$ d'un espace vectoriel de dimension $p$. C'est donc 
un espace de dimension vectoriel de dimension $p$.  

(b) Pour tous les ensembles consid\e r\e s, $Dir(E,0)$ n'est pas un espace vectoriel :
Dans le premier cas c'est une union de quatre demi-droites, dans le second une unique demi-droite,
dans le troisi\ee me un c\o ne de r\e volution.
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\noindent
{\bf Exercice 5.} 1) D\'apr\`s III.1.5 du cours, $S$ est une surface. Le plan
tangent vectoriel en $a$ a pour \'equation
$$x {\partial f\over \partial x}(a)+y {\partial f\over \partial y}(a)
+z {\partial f\over \partial z}(a)=0$$
D'apr\`es les hypoth\`eses, cette \'equation se r\'eduit \`a $z=0$.
2) Le point $u$ est dans $V$, avec un plan tangent d'\'equation $z=0$
si et seulement si
$$ {\partial f\over \partial x}(u)= {\partial f\over \partial x}(u)=f(u)=0$$
ou encore $g(u)=0$ avec $g:\real^3\to\real^3$ donn\'ee par 
$g= ({\partial f\over \partial x}, {\partial f\over \partial y},f)$.
Or $a$ v\'erifie $g(a)=0$, donc si $Dg(a)$ est inversible, $a$ sera l'unique
solution de $g=0$ dans un voisinage de $a$. La matrice jacobienne de $g$ en $a$
est




$$
Dg(a)=\left(\begin{array}{ccc} {\partial^2 f\over \partial x^2}(a)&
 {\partial^2 f\over \partial x\partial y}(a)& {\partial^2 f\over \partial x
 \partial z}(a)\cr
 {\partial^2 f\over \partial x\partial y}(a)&{\partial^2 f\over \partial
  y^2}(a)&{\partial^2 f\over \partial y\partial z}(a)\cr
 {\partial f\over \partial x}(a)&
 {\partial f\over \partial y}(a)&
 {\partial f\over \partial z}(a)  \end{array}  \right)$$
 La condition donn\'ee dans l'exercice entra\^{\i}ne
  la non-nullit\'e du d\'eterminant de $Dg(a)$.
\vskip 1truecm
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\noindent
{\bf Exercice 6.} 
\noindent 1)\
$Q^{-1}(c)$ est une une sous-vari{\'e}t{\'e} si
$DQ(x)\neq 0$ pour tout $x\in Q^{-1}(c)$. Soit $x$ tel que
$Q(x)=c$. On a 
${\partial Q \over \partial x_i}=\sum_{1\leq j \leq
n}(a_{ji}+a_{ij})x_j$, donc
$$ D Q(x)(x)=
\sum_{1\leq i \leq n} x_i(\sum_{1\leq j \leq n}(a_{ji}+a_{ij})x_j)=
\sum_{1\leq i\leq n\atop 1\leq j \leq n} (a_{ji}+a_{ij}) x_{i}x_{j}=
2Q(x).$$ En particulier, si $Q(x)=c\neq 0$, on voit que 
$ D Q(x)(x)=2c\neq 0$, donc $Q^{-1}(c)$ est une une sous-vari{\'e}t{\'e}.
\medskip

\noindent 2)\ $D f(x)(x)=g'(1)$, o{\`u} 
$g(\lambda)= f(\lambda x)=\lambda^m f(x)$, donc $g'(1)=mf(x)$ et si 
$f(x)\neq 0$ on voit que $D f(x)\neq 0$, donc $f^{-1}(c)$ est une
sous-vari{\'e}t{\'e} si $c\neq 0$.
\vskip 1truecm

\noindent
{\bf Exercice 7.} 
\noindent 1)\ Soit $S(n,\real)$ l'espace des matrices 
sym\'etriques r\'eelles. On d{\'e}finit l'application 
$\Phi: \hbox{GL}(n, \real)\rightarrow S(n, \real)$ par
$\Phi(A)={}^{t}{}AA$, on a donc $O(n)=\Phi^{-1}(\hbox{Id})$. Montrons que
$\Phi$ est une submersion. On a $\hbox{Id}\in
O(n)$ et $\Phi(\hbox{Id}+tH)= {}^{t}{}(\hbox{Id} +tH) (\hbox{Id} +tH) =
\hbox{Id} +t({}^{t}{}H +H) + t^2 ({}^{t}{}H H)$. 
Donc $D\Phi(\hbox{Id})(H)= {}^{t}{}H+ H$ et 
$\ker D\Phi(\hbox{Id})(H)=\{H\in M_n(\real);\; {}^{t}{}H=- H\}$
(les matrices  
antisym{\'e}triques). On a alors  rang $D\Phi(\hbox{Id})={n(n+1)\over
2}=dim(S(n,\real))$. Soit $A\in \hbox{GL}(n,\real)$. 
D'apr{\`e}s le calcul de $D\Phi(A)$, on a 
$D\Phi(A)=^{t}A H+ {}^{t}{}HA=^{t}{}A(H A^{-1}+ {}^{t}{}(HA^{-1}))A$. On voit
que $D\Phi(A)$ est le compos{\'e} de l'isomorphism lin{\'e}aire 
$H\mapsto HA^{-1}$ avec $D\Phi(\hbox{Id})$, suivi de l'isomorphisme
lin{\'e}aire $H\mapsto {}^{t}{}AHA$. Alors 
dim $\ker D\Phi(A)=$ dim $\ker D\Phi(\hbox{Id})$. Donc $O(n)$ est
une sous-vari{\'e}t{\'e} de $\hbox{GL}(n, \real)$ et 
dim $O(n)=$ dim $\ker D\Phi(\hbox{Id})= {n(n-1)\over 2}$.
\medskip

\noindent 2)\ L'espace tangent en $A$ est 
$$T_A O(n)=\ker D\Phi(A)=\{H\in M_n(\real);\;
HA^{-1}+^{t}(HA^{-1})\}.$$ Soit 
$R_A: T_{Id} O(n)\rightarrow M_n(\real)$ l'application
d{\'e}finie par $R_A(H)=HA$, alors
$T_A O(n) = R_A(T_{Id} O(n))$.




\vskip 1truecm

\noindent
{\bf Exercice 8.} C'est (presque) 
l'exemple III.4.9; on   v\'erifie 
avec la condition $df(x)=\lambda x$ 
que les points critiques sont les $\pm e_j\in S^{n-1}$. Au point $\pm e_j$, la
courbe 
$$
\gamma(s)= (su_1,su_2,\ldots, su_{j-1},\pm
\sqrt{1-s^2(\sum_{i\ne j} u_j^2)},
su_{j+1},\ldots, su_n),
$$ 
pour $s$ petit a pour vecteur tangent en $s=0$
le vecteur
$(u_1,\ldots,u_{j-1},0,u_{j+1},\ldots, u_n)$. La d\'eriv\'ee seconde en 0 donne
${d^2\over ds^2}f(\gamma(s))=\sum_{i\ne j}(a_i-a_j)u^2_i$. Le point critique 
$\pm e_j$
est
non-d\'eg\'en\'er\'e, d'indice 
 $j-1$. 


\vskip 3truecm
\hfill R{\'e}dig{\'e} par François Labourie et Jean-Michel Morel



\end{document}






\noindent, soit $x_0$ quelconque  
alors $K=\{x/ \vert Q(x)\vert \leq 2\vert Q(x_0)\vert \}$ est compact (en particulier non vide). Soit $y$ un point où la fonction
$x\mapsto \vert Q(x)\vert$ atteint son minimum sur $K$. On remarque que en fait $y$ est un minimum sur 
$C$ tout entier car si $z\notin K$, $\vert Q(z)\vert > \vert Q(x_0)\vert\geq \vert Q(y)\vert$ et la conclusion.

















