\documentstyle[12pt,leqno]{article}
\textwidth 15cm
\oddsidemargin 0.96cm
\evensidemargin 0.96cm

\def\real{I\!\!R}
\def\natural{I\!\!N}
\def\rational{{\cal Z}}

\def\sin{\hbox{sin}}
\def\cos{\hbox{cos}}
%rappel : \overline{cequ'onveut}
\def\fxx{\hbox{\bf x}}          % point x dans R2
\def\fyx{\hbox{\bf y}}          % point y dans R2
\def\fxy{\hbox{\bf y}}
\def\fxc{\hbox{\bf c}}
\def\fxz{\hbox{\bf z}}
\def\fxz{\hbox{\bf z}}
\def\fxq{\hbox{\bf q}}
\def\fxp{\hbox{\bf p}}
\def\fxn{\hbox{\bf n}}
\def\fxh{\hbox{\bf h}}
\def\fxk{\hbox{\bf k}}
\def\fxa{\hbox{\bf a}}
\def\fxb{\hbox{\bf b}}



\def\fb&{\begin{equation}}
\def\fe&{\end{equation}}
\def\e {\'{e}}
\def\ee {\`{e}}
\def\eee {\^{e}}
\def\e {\'{e}}
\def\ea {\'{e} }
\def\ee {\`{e}}
\def\eee {\^{e}}
\def\a {\`{a} }
\def\u {\`{u} }
\def\skipaline{\vspace{4 mm}\noindent}
\def\mes{\hbox{mes}}
%\magnification\magstep1
%\hsize 15.5truecm
%\scrollmode
%\overfullrule=0pt
%\input amssym.def
%\input amssym.tex
%%\hsize=16truecm
%%\vsize=24truecm
%\parindent=0.5cm


%\def\aire{\mathop{\rm aire}\nolimits}
%\def\trace{\mathop{\rm trace}\nolimits}
%\def\real{\Bbb R}

%\font\sc=cmcsc10 at 12pt
%\line{\sc Calcul diff{\'e}rentiel}
%\vskip 8truemm

\begin{document}
\centerline{\bf Feuille 1 }
\vskip 0.5truecm 
\centerline{\sc Applications diff\e rentiables}

\smallskip
\noindent
{\it Notations : $\fxx$, $\fxh$, etc. d\e signent des vecteurs de $\real^N$ ; $\fxx$
a 
des coordonn\e es $(x_i)_{i=1,...N}$ et une norme euclidienne $|\fxx|=\sqrt{\sum x_i^2}.$}
\newline
{\bf Exercice 1.} Donner un exemple simple de fonction 
continue $f(x,y)$ telle que 
$\lim_{t\to 0}\frac {f(t(x,y))-f(0,0)}{t}$ existe pour tout 
$(x, y)\in \real^2$ et telle que $f$ ne soit pas diff\e rentiable en 0.
Donner un exemple de fonction r\e elle d'une variable r\e elle diff\e rentiable en tout point de $\real$, mais pas $C^1$ en 0.

\smallskip
\noindent
{\bf Exercice 2.} On note $(\fxx, \fxy)$ le produit scalaire euclidien canonique de $\real^N$. Si $A$ est un endomorphisme de $\real^N$, on appelle endomorphisme adjoint de $A$ l'unique endomorphisme satisfaisant $(A\fxx, \fxy)=(\fxx, ^tA\fxy)$ pour tous $\fxx$, $\fxy\in \real^N$. Soit $u(\fxx)$ une fonction réelle, $C^2$, définie sur $\real^N$.  On identifie \a la diff\e rentielle $Du(\fxx)$ le vecteur de $\real^N$, encore not\ea $Du(\fxx)$, tel que
$(Du(\fxx), \fxh)=Du(\fxx)(\fxh).$
On identifie de m\eee me \a la diff\e rentielle seconde, $D^2u(\fxx)$, l'unique endomorphisme sym\e trique de $\real^N$ tel que $D^2u(\fxx)(\fxh, \fxk)=(D^2u(\fxx)\fxh, \fxk).$

(a) Avec ces notations, montrer que si $A$ est un endomorphisme quelconque de $\real^N$, 
$D(u\circ A) =^tA Du\circ A$ et $D^2(u\circ A)=^tA(D^2u\circ A)A.$

(b) En déduire que le Laplacien $\Delta u=\sum_{i=1}^N \frac{\partial^2u}{\partial x_i^2}$ est isotrope, c'est \a dire que $\Delta(u\circ R)=(\Delta u)\circ R$ pour toute isom\e trie de $\real^N$.


\medskip
\noindent
{\bf Exercice 3.} 

(a) Si $\fxa\in \real^N$, on consid\ee re l'endomorphisme de $\real^N$ d\e fini par $\fxa\otimes \fxa(\fxx)=(\fxx, \fxa)\fxa$. Ecrire la matrice de cet endomorphisme dans la base canonique. 

(b) Soient $u(\fxx)$ une fonction r\e elle  $C^2$ d\e finie dans $\real^N$ et $g(s)$ une fonction $C^2$ de $\real $ dans $\real$. Avec les identifications de l'exercice 2, montrer que 
$D^2(g\circ u)=g'(u)D^2u +g''(u)Du\otimes Du$.
Ecrire le r\e sultat dans la base canonique sous forme matricielle.

(c) Calculer $Dv(\fxx)$ et $D^2v(\fxx)$ pour $v(\fxx)=|\fxx|$ et $\fxx\neq 0$.


\medskip

\noindent

{\bf Exercice 4. }
Soit $u$ : $ \real^N \to \real$ une fonction $C^2$ telle que $f(t\fxx)=t^2f(\fxx)$ pour tout $\fxx\in \real^N$ et $t\geq 0$. Démontrer que $f(\fxx)$ est une forme quadratique et la calculer.  On rappelle la formule de Taylor 
$$u(\fxx+\fxh)-u(\fxx)=Du(\fxx)(\fxh)+\frac 12D^2u(\fxx+\theta\fxh)(\fxh, \fxh),$$
o\u $0\leq \theta\leq 1$  (et $\theta$ d\e pend de $\fxx$ et $\fxh$).


\medskip
\noindent
{\bf Exercice 5.} 
Soit $k(\fxx)$ une fonction r\e elle de $\fxx\in \real^N$, continue, radiale $(k(\fxx)=k(\fxy)$ si $|\fxx|=|\fxy|$), \a support compact et d'int\e grale \e gale \a 1. 
 On pose pour toute fonction  r\e elle $u(\fxx)$, 
$(k\ast u)(\fxx)=\int_{\real^N}k(\fxy)u(\fxx-\fxy)d\fxy.$

(a) On pose $k_h(\fxx)=\frac 1 {h^N}k(\frac{\fxx}{h}).$  Calculer  $\int k_h(\fxx)d\fxx$.  Quel est son support ? Montrer que 
$\int k(\fxz)z_id\fxz=0$, $\int k(\fxz)z_iz_jd\fxz=0$ si $i\neq j$ et que 
$\int k(\fxz)z_i^2d\fxz=\int k(\fxz)z_j^2d\fxz.$

(b)
Montrer que 
$(k_h\ast u)(0)-u(0)= C{h^2}\Delta u(0)+o(h^2)$ et exprimer $C$.
Indications~: on commencera par montrer que 
$k_h\ast u(\fxx)=\int k(\fxz)u(\fxx-h\fxz)d\fxz.$
Ensuite, on effectuera un d\e veloppement de Taylor de $u(\fxx-h\fxz)$ au voisinage de 
$\fxx$.  

(c) En d\e duire que pour toute isom\e trie $R$ 
de $\real^N$, $\Delta (u\circ R)=(\Delta u)\circ R$. 


\medskip
\noindent
{\bf Exercice 6.} Soit $u$ : $\real^N\to \real$ une fonction $C^2$ et $\fxx$ tel que $Du(\fxx)\neq 0$.

(a)

Calculer $\frac{\partial }{\partial t}(|Du(\fxx + t\frac{Du(\fxx)}{|Du(\fxx)|})|^2)$ en $t=0$. 

(b) Calculer $D^2u(Du, Du)$ pour les fonctions suivantes de $\real^2 $ dans $\real$ :
$f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$,  $f(x,y)= Arctg (\frac yx)$ pour $ x \neq 0$

(c)
On appelle ligne de gradient ou ligne de plus grande pente d'une fonction $u$ toute courbe maximale tangente en chacun de ses points $\fxx$ \a $Du(\fxx)\neq 0$. Quelles sont les lignes de plus grande pente des fonctions du (b) ?  
Interprétation géométrique du r\e sultat du (b) ?
       








\medskip
\noindent
{\bf Exercice 7. }
Soit $\fxx(s)$ une courbe $C^2$, i.e.  une application injective, 
$C^2$,  de $[0,1]$ dans $\real^2$ telle que $\fxx'(s)\neq 0$ pour tout $s$. 
 Montrer qu'il existe une unique reparamétrisation de la courbe, $\tilde {\fxx}
 (t)=\fxx(\varphi(t))$, telle que 
$\tilde {\fxx}(0)=\fxx(0)$ et $|\tilde{\fxx}'(t)|=1$.

\medskip
\noindent
{\bf Exercice 8.} 
On considère dans le demi-plan $\{\fxx=(x,y), y\geq 0\}$ les courbes de la forme $y=(x-\lambda)^2$, $x \leq \lambda$, 
$y=0$ pour $x\geq \lambda$, o\u $\lambda\in \real$.  Vérifier que par chaque point du demi-plan ouvert passe une seule de ces courbes.  Proposer une équation différentielle $\fxx'(t)=g(\fxx)$ dont ces courbes sont les trajectoires. Est-il possible de choisir $g$ localement lipschitzienne ?



\medskip
\noindent
{\bf Exercice 9.} 
On consid\ee re l'espace $F$ des fonctions $u$, $C^2$, d\e finies sur le carr\ea $C=[0,1]^2$ 
muni de la norme $||u||= \sup_{\fxx\in C}( |u(\fxx)|+|Du(\fxx)|+|D^2u(\fxx)|.)$
Calculer les diff\e rentielles premi\ee re et seconde de 
$$E(u)=\int_C |Du(\fxx)|^3 d\fxx.$$
V\e rifier qu'elles sont continues.




\bigskip
\hfill Ecole Normale Supérieure de Cachan, Département de Mathématiques.
\end{document}

