espaces métriques

Exercice 1. Soit φ : IR_{+} → IR_{+} une application croissante telle que φ(u) = 0 ⇔ u = 0 et φ(u + v) ≤ φ(u) + φ(v) pour tout u, v ∈ IR_{+}.

(a) Si d_{1} est une distance sur X, montrer que d_{2} = φ ∘ d_{1} est une distance sur X.

(b) Si φ est continue en 0, montrer que toute d_{1}-boule ouverte contient une d_{2}-boule ouverte et vice-versa.

(c) Traiter les exemples : φ(u) = min(1, u), φ(u) = \frac{u}{1+u}.

Exercice 2. Soit A une partie de IR^{n}. On pose pour x ∈ IR^{n}

d(x, A) = inf_{a∈A}{d(x, a)} .

(a) Montrer que x ↦ d(x, A) est 1-lipschitzienne et que \{x∈IR^{n} | d(x, A)=0\}=\overline{A}.

(b) Soient F et G deux fermés de IR^{n}. Si G est borné et F ∩ G = ∅, montrer que

d(F, G) := inf_{x∈F, y∈G} d(x, y) > 0 .

Donner deux fermés disjoints de IR^{n} tels que d(F, G) = 0.

(c) Soient A et B deux parties de IR^{n} telles que \overline{A} ∩ B = A ∩ \overline{B} = ∅. Montrer que A et B admettent des voisinages disjoints.

Exercice 3. Soit X un espace métrique compact, f : X → X une application telle que d(f(x), f(y)) < d(x, y) pour tout x, y ∈ X, x ≠ y. Montrer que f admet un unique point fixe.

Exercice 4. Soit T un endomorphisme de norme strictement inférieure à 1 d’un espace vectoriel E de dimension finie. Montrer que L = Id−T est un isomorphisme, où Id désigne l’identité de E.

Exercice 5 : la distance hyperbolique. Soit IR^{2} muni de sa norme euclidienne canonique, notée q_{0}. On considère l’ensemble suivant Q = {formes quadratiques définies positives sur IR^{2}}; on note B_{q}, pour q ∈ Q, l’ellipse {q(x) ≤ 1}.

(a) Pour q_{1}, q_{2} ∈ Q, on pose d(q_{1}, q_{2}) = log(\frac{aire(B_{q_{2}})}{aire(B′_{q_{1}})}) où B′_{q_{1}} est la plus grande ellipse homothétique de B_{q_{1}} incluse dans B_{q_{2}} (un dessin pourra aider). Montrer que d est symétrique et vérifie l’inégalité triangulaire. Montrer qu’elle définit une distance sur E = {q ∈ Q, trace(q) = 2} (la trace est calculée par rapport au produit scalaire canonique). Indication : pour la symétrie on pourra montrer que

sup_{q_{2}(x)=1}\{q_{1}(x)\} × inf_{q_{2}(x)=1}\{q_{1}(x)\} = (\frac{aire(B_{q_{2}})}{aire(B_{q_{1}})})^{2}

(b) Calculer d(q, q_{0}) pour q ∈ E en fonction des longueurs des axes de B_{q}.

Exercice 6 : les nombres p-adiques. Soit Q l’ensemble des nombres rationnels et p un nombre premier. On rappelle que tout rationnel q non nul peut s’écrire sous la forme q = p^{r}(m/n) , où r ∈ Z, et où m et n appartiennent tous deux à Z et ne sont pas divisibles par p. Dans ce cas on pose |q|_{p} = 1/p^{r}, par ailleurs on pose |0|_{p} = 0.

(a) Montrer que |xy|_{p} = |x|_{p}|y|_{p} et |x + y|_{p} ≤ sup(|x|_{p}; |y|_{p}).

(b) Montrer que d_{p} définie par d_{p}(x − y) = |x − y|_{p} est une métrique sur Q.

(c) Montrer que l’identité de Q avec sa topologie usuelle dans Q muni de d_{p} n’est pas continue, non plus que son inverse.

(d) Soit B_{p} la boule fermée de centre 0 et de rayon 1 pour d_{p}, montrer que l’application f, définie par t ↦ f(t) = 1 + pt + p^{2}t^{2}, vérifie f(B_{p}) ⊂ B_{p} et que sa restriction à B_{p} est une contraction.

(e) En utilisant la question précédente, montrer que Q muni de sa métrique d_{p} n’est pas complet.

La “norme” | |_{p} s’appelle la valuation p-adique de Q. Le “complété”, noté Q_{p}, de Q pour la distance d_{p} est l’ensemble des nombres p-adiques. Ce “complété” –analogue de IR pour la norme usuelle– joue un grand rôle en théorie des nombres.