Analyse TD1

Exercice 1

Soient E un e.v.n. de dimension finie et F un e.v.n.

a) Montrer que toutes les normes sur E sont équivalentes.

b) Soit u : E → F linéaire, montrer que u est continue.

Exercice 2

Soient E et F deux e.v.n.

a) Montrer que F complet ⇒ L(E, F) complet (donc E′ est toujours complet).

b) Montrer que \overline{B}_{E}(0, 1) compacte ⇒ dimE < ∞.

Exercice 3 Identifications utiles en calcul différentiel

1) Soit F un e.v.n., on définit

j : L(IR, F) → F
Φ ↦ Φ(1),

montrer que j est une isométrie linéaire bijective. (Cela permet d’identifier L(IR, F) et F.)

2) Soient E, F, G trois e.v.n. On rappelle que L(E × F, G) désigne l’espace des applications bilinéaires continues u de E × F → G, muni de la norme

∥u∥ = sup{∥u(x, y)∥_{G}; ∥x∥_{E} ≤ 1, ∥y∥_{F} ≤ 1}.

a) Soit x ∈ E et soit u_{x} : F → G definie par u_{x}(y) = u(x, y). Vérifier que u_{x} est linéaire continue. On pose

ũ : E → L(F, G)
x ↦ u_{x}.

Vérifier que ũ est linéaire continue.

b) Soit enfin

j : L(E × F, G) → L(E, L(F, G))
u ↦ j(u) = ũ,

montrer que j est linéaire, isométrique et bijective.

Exercice 4 Dérivée selon un vecteur

Soient E et F 2 e.v.n. et U un ouvert de E. Soit f : U → F, on dit que f admet une dérivée en x_{0} le long de y si

lim_{t→0} \frac{f(x_{0} + ty) − f(x_{0})}{t}  existe.

On la note d_{y}f(x_{0}).

1) Montrer que si f est différentiable en x_{0} alors ∀y ∈ E, d_{y}f(x_{0}) = f′(x_{0}).y.

2) Soit

\{ \begin{matrix}f(x, y) & = & \frac{x|y|}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} & si (x, y) ≠ (0, 0), \\ f(0, 0) & = & 0. \end{matrix}

Montrer que : f est continue en (0, 0), f admet en (0, 0) une dérivée selon tout vecteur, f n’est pas différentiable en (0, 0).

Exercice 5

Soient E, F, G 3 e.v.n.

1) Soient u ∈ L(E, f) et B ∈ L(E × F, G). Montrer que u et B sont C^{∞} et calculer leurs dérivées.

2) Soit N la norme sur E, vérifier que N n’est pas différentiable en 0. Si N dérive d’un produit scalaire, calculer N′(x) pour x ≠ 0.

3) On suppose que E = IR^{n} muni du produit scalaire usuel et on définit sur E la fonction

r(x) = \frac{(Ax, x)}{(x, x)},

où A désigne une matrice réelle symétrique quelconque. Calculer r′(x) pour x ≠ 0 et en déduire que x est vecteur propre de A ⟺ r′(x) = 0, x ≠ 0.

Exercice 6

On considère l’équation : e^{x} + e^{y} + x + y = 2, (1). Montrer que dans un voisinage de (0, 0), (1) ⟺ ∃φ ∈ C^{∞}(I) telle que y = φ(x) où I désigne un voisinage de 0. Calculer φ′(0) et φ′′(0).

Exercice 7 Méthode de Newton

Soit f : IR^{N} → IR^{N} et soit x̄ un zéro de f. On suppose que f ∈ C^{1}, f′(x̄) est inversible et que ∃ρ > 0 tel que x ↦ f′(x) est K-lipschitzienne dans B̄ (x̄,ρ).

Montrer que ∃0 < ρ_{1} ≤ ρ tel que ∀x_{0} ∈ B̄ (x̄,ρ_{1}), la suite (x_{k})_{k} définie par

x_{k+1} = x_{k} − f′(x_{k})^{−1}f(x_{k}),

vérifie

∀k, x_{k} ∈ \overline{B}(\overline{x}, ρ_{1}),
∃C > 0, ∀k, ∥x_{k+1} − \overline{x}∥ ≤ C ∥x_{k} − \overline{x}∥^{2},
x_{k} ⟶ \overline{x}.

On pourra utiliser le Théorème d’inversion locale et considérer la fonction G(x) = f(x) − f′(x_{k})x.

Exercice 8

Soient E un e.v.n. et f ∈ E′, f ≢ 0. Soit H = {x ∈ E : f(x) = 0}, on se propose de montrer que

∀x ∈ E, d(x, H) = inf_{y∈H} ∥x − y∥ = \frac{|f(x)|}{∥f∥} (⋆)

1) Vérifier que |f(x)| ≤ ∥f∥ d(x, H), ∀x ∈ E.

2) Soit u ∈ E\H, en notant que y = x − \frac{f(x)}{f(u)} u est dans H, montrer que

d(x, H) ≤ \frac{|f(x)|}{|f(u)|} ∥u∥ et prouver (⋆).

3) Soit E = C_{0} = {x = (x_{n})_{n≥1} ∈ IR^{IN^{⋆}} tel que x_{n} → 0} que l’on munit de

∥x∥_{∞} = sup_{n} |x_{n}|.

a) Vérifier que (E, ∥ ∥_{∞}) est un espace de Banach.

b) Soient f : E → IR, définie par f(x) = ∑_{1}^{∞} \frac{x_{n}}{2^{n}} et H = Kerf. Vérifier que f ∈ E′, donner une expression de d(x, H). ∥f∥_{E′} est-elle atteinte ?

Exercice 9 Théorèmes du point fixe

1) Soit (E,d) un espace métrique complet et soit f : E → E une application k-lipschitzienne avec k<1. Montrer que f admet un unique point fixe x = f(x).

2) Soit (E,d) un espace métrique complet et soit Λ un espace topologique. Soit f : E × Λ → E telle que

- ∀x ∈ E, λ → f(x, λ) est continue de Λ dans E,

- ∃k < 1, ∀λ ∈ Λ, x → f(x, λ) est k-lipschitzienne de E dans E. On pose f_{λ}(x) = f(x, λ). Si a_{λ} est l’unique point fixe de f_{λ}, montrer que λ → a_{λ} est continue de Λ dans E.

3) Soit (E,d) un espace métrique compact et f : E → E telle que

∀x, y ∈ E, d(f(x), f(y)) < d(x, y).

Montrer que f admet un unique point fixe.

4) Soit C un convexe compact dans E e.v.n. et soit f : C → C 1-lipschitzienne. Montrer que f admet un point fixe ( pour z fixé dans C, considérer f_{n}(x) = \frac{1}{n+1}z + \frac{n}{n+1}f(x)).

Exercice 10

Soit E = C^{1}([0, 1]). Pour f ∈ E, on pose N(f) = (f(0)^{2} + ∫_{0}^{1} f′(t)^{2}dt)^{1/2} et ∥f∥_{∞} = sup_{[0,1]} |f(x)|. a) Vérifier que N est une norme sur E.

b) Montrer que ∀f ∈ E ∥f∥_{∞} ≤ \sqrt{2} N(f).

c) Montrer que ∥ ∥_{∞} et N ne sont pas équivalentes sur E.

Exercice 11

Soit E un espace métrique complet tel que ∀ε > 0, il existe un recouvrement fini de E par des boules de rayon ε, montrer que E est compact.

Exercice 12 Théorème d’Ascoli

Soient X et Y deux espaces métriques avec X compact et Y complet. Soit A une partie équicontinue de C(X, Y) (muni de la topologie de la convergence uniforme). On suppose que ∀x ∈ X, A_{x} = {f(x), f ∈ A} est d’adhérence compacte dans Y. Montrer que \overline{A} est compact dans C(X, Y). (Montrer que ∀ε > 0, A peut être recouvert par un nombre fini de boules de rayon ε.) Remarque : en particulier de toutes suites d’éléments de A on peut extraire une sous-suite convergeant uniformément dans C(X, Y). Une application : Soient M > 0 et B = {f ∈ C([0, 1], IR) de classe C^{1} telle que ∥f∥_{∞}+ ∥f′∥_{∞} ≤ M\}, vérifier que \overline{B} est compact dans C([0, 1], IR).

Exercice 13

Montrer qu’un espace métrique compact est séparable.

Exercice 14

Soit E un e.v.n. et soit K une partie convexe de E avec 0 ∈ K. On pose

K^{⋆} = {f ∈ E′; ∀x ∈ K, < f, x >≤ 1} et
K^{⋆⋆} = {y ∈ E; ∀f ∈ K^{⋆}, < f, y >≤ 1}.

Montrer que \overline{K} = K^{⋆⋆}.

Exercice 15 Soit E un espace vectoriel et soit P une famille quelconque de semi-normes sur E. Soit p ∈ P, on appelle p-boule ouverte de centre x ∈ E et de rayon r l’ensemble B(x, r) des points y ∈ E tels que p(x − y) < r. Enfin on appelle P-boule ouverte de centre x toute intersection finie de p_{i}-boules ouvertes de centre x.

1) Soit r > 0 et soit p une semi-norme, montrer que p est une norme si et seulement si B(0,r) ne contient aucun s.e.v. de dimension 1. Définition : Une partie U de E est ouverte si ou bien U = ∅, ou bien ∀x ∈ U, il existe une P-boule ouverte de centre x contenue dans U. On note (E, P) l’espace E muni de cette topologie.

2) Vérifier que l’on définit bien ainsi une topologie sur E.

3) Soit f ∈ E^{⋆}, montrer que f est continue sur (E, P) si et seulement si il existe une constante C > 0 et une sous-famille finie (p_{i})_{i∈I} de P telles que

|f| ≤ C sup_{i∈I}(p_{i}).

4) Montrer que l’espace (E, P) est séparé si et seulement si ∀x ≠ 0, ∃p ∈ P telle que p(x) ≠ 0.

5) Montrer que si P est fini et si (E, P) est séparé, la topologie associée à P est normable.