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\textwidth 15cm
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\def\Abstract{\small\noindent\bf Abstract. \rm}
\def\real{I\!\!R}
\def\natural{I\!\!N}
%\input {macro.tex}
\def\rational{{\cal Z}}
\def\e {\'{e}}
\def\o {\^{o}}
\def\ea {\'{e} }
\def\ee {\`{e}}
\def\eee {\^{e}}
\def\a {\`{a} }
\def\u {\`{u} }
\def\skipaline{
\vspace{4 mm}\noindent}

 \begin{document}  
\def\aire{\mathop{\rm aire}\nolimits}
\def\trace{\mathop{\rm trace}\nolimits}

\vskip 0.5truecm 
\centerline{\sc espaces m{\'e}triques}

\smallskip
\noindent
{\bf Exercice 1.} Soit $\varphi$~: ${\Bbb R}_{+} \to {\Bbb R}_{+}$ une
application croissante telle que $\varphi (u) = 0 \Leftrightarrow u = 0$ et
$\varphi (u+v) \leq \varphi (u) + \varphi (v)$ pour tout $u, v \in {\Bbb
R}_{+}$.

(a) Si $d_{1}$ est une distance sur  $X$, montrer que $d_{2} =
\varphi \circ d_{1}$ est une distance sur~$X$.

(b) Si $\varphi$ est continue en $0$, montrer que toute $d_{1}$-boule
ouverte contient une $d_{2}$-boule ouverte et {\it vice-versa}.

(c) Traiter les exemples~: $\varphi (u) = \min (1, u), \varphi (u) =
{u\over 1+u}$.

\medskip
\noindent
{\bf Exercice 2.} Soit $A$ une partie de ${\Bbb R}^{n}$. On pose pour $x
\in {\Bbb R}^{n}$
\vskip-5pt $$
d (x, A) = \inf_{a\in A} \{ d(x, a)\}\ .
$$

(a) Montrer que $x \mapsto d (x, A)$ est 1-lipschitzienne et que $\{x {\in}
{\Bbb R}^{n} \mid d (x, A) {=}0\} {=} \overline{A}$.

(b) Soient $F$ et $G$ deux ferm{\'e}s de ${\Bbb R}^{n}$. Si
$G$ est born{\'e} et $F \cap G = \emptyset$, montrer que 
\vskip-8
pt$$
d (F, G) := \inf_{x \in F,~ y \in G} d (x, y) > 0\ .
$$
Donner deux ferm{\'e}s disjoints de ${\Bbb R}^{n}$ tels que $d (F, G)
=0$.

(c) Soient $A$ et $B$ deux parties de ${\Bbb R}^{n}$ telles que
$\overline{A} \cap B = A \cap \overline{B}= \emptyset$. Montrer que $A$
et $B$ admettent des voisinages disjoints.

\medskip
\noindent
{\bf Exercice 3.} Soit $X$ un espace m{\'e}trique compact, $f$~: $X
\to X$ une application telle que $d (f(x), f(y))< d (x, y)$ pour tout
$x, y \in X$, $x \not= y$. Montrer que $f$ admet un unique point fixe.

\medskip
\noindent
{\bf Exercice 4.} Soit $T$ un endomorphisme de norme strictement
inf{\'e}rieure {\`a} $1$ d'un espace vectoriel $E$ de dimension
finie. Montrer que $L=Id-T$ est 
un isomorphisme, o{\`u} $Id$ d{\'e}signe l'identit{\'e} de $E$.
\medskip
\noindent
{\bf Exercice 5~: la distance hyperbolique.}
Soit ${\Bbb R}^2$ muni de sa norme euclidienne canonique, not{\'e}e
$q_0$. On consid{\`e}re l'ensemble  suivant ${\cal Q} = \{$formes
quadratiques d{\'e}finies positives sur ${\Bbb R}^2 \}$; on note $B_q$, pour
$q\in {\cal Q}$, l'ellipse $\{ q(x)\leq 1\}$.

(a) Pour $q_1$, $q_2\in {\cal Q}$, on pose
$d(q_1,q_2)=\log({\aire(B_{q_2})\over 
\aire(B'_{q_1})})$ o{\`u} $B'_{q_1}$ est la plus grande ellipse
homoth{\'e}tique 
de $B_{q_1}$ incluse dans $B_{q_2}$ (un dessin pourra aider). Montrer que
$d$ est sym{\'e}trique et v{\'e}rifie l'in{\'e}galit{\'e} triangulaire. Montrer
qu'elle d{\'e}finit une distance sur ${\cal E}=\{ q\in {\cal Q} , \trace(q)=2
\}$ (la trace est calcul{\'e}e par rapport au produit scalaire canonique).\hfill\break
{\sl Indication}~: pour la sym{\'e}trie on pourra montrer que
\vskip-8pt$$\sup_{q_2(x)=1}\{ q_1(x)\} \times  \inf_{q_2(x)=1}\{q_1(x)\}
=\Big({\aire(B_{q_2})\over \aire(B_{q_1})}\Big)^2$$

(b) Calculer $d(q,q_0)$ pour $q\in {\cal E}$ en fonction des longueurs
des axes de $B_q$.

\medskip
\noindent
{\bf Exercice 6~: les nombres p-adiques}. Soit ${\Bbb Q}$
l'ensemble des nombres rationnels et 
$p$ un nombre premier. On rappelle que tout rationnel $q$ non nul peut
s'{\'e}crire sous la 
forme $q=p^{r}(m/n)$ , o{\`u} $r\in {\Bbb Z}$, et o{\`u} $m$ et $n$
appartiennent 
tous deux {\`a} ${\Bbb Z}$ et ne sont pas divisibles par $p$. 

\noindent
Dans ce cas on pose
$\vert q \vert_{p}=1/p^{r}$, par ailleurs on pose $\vert 0\vert_{p}=0$.

(a) Montrer que $\vert xy\vert_{p}=\vert x\vert_{p}\vert y\vert_{p}$ et
$\vert x+y\vert_{p}\leq \sup (\vert x\vert_{p};\vert y\vert_{p})$.

(b) Montrer que $d_{p}$ d{\'e}finie par $d_{p}(x-y)=\vert x-y\vert_{p}$ est
une m{\'e}trique sur ${\Bbb Q}$. 

(c) Montrer  que l'identit{\'e} de  ${\Bbb Q}$ avec sa
topologie usuelle dans ${\Bbb Q}$ muni de $d_{p}$ n'est
pas continue, non plus que son inverse. 

(d) Soit $B_{p}$ la boule ferm{\'e}e de centre $0$ et de rayon $1$ pour $d_{p}$,
montrer que l'ap\-pli\-ca\-tion $f$, d{\'e}finie par $t\mapsto f(t)=1+pt+p^{2}t^{2}$,
v{\'e}rifie $f(B_{p})\subset B_{p}$ et que sa restriction {\`a} $B_{p}$ est une
contraction.

(e) En utilisant la question pr{\'e}c{\'e}dente, montrer que ${\Bbb Q}$ muni de sa m{\'e}trique $d_{p}$ n'est pas complet.

{\sl La ``norme'' $\vert ~\vert_{p}$ s'appelle la valuation
$p$-adique de ${\Bbb Q}$. Le ``compl{\'e}t{\'e}'', not{\'e}
${\Bbb Q}_{p}$,  de ${\Bbb Q}$ pour la
distance $d_{p}$ est l'ensemble des nombres $p$-adiques. Ce ``compl{\'e}t{\'e}'' --analogue de ${\Bbb R}$ pour la
norme usuelle-- joue un grand r{\^o}le en th{\'e}orie des nombres.}



\bigskip
\end{document}