


\documentclass[11pt,a4paper]{article}
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% ensembles Q R N Z C
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\begin{document}
\author{}
 \date{}
\title{Analyse  TD1} 
\maketitle

{\bf Exercice 1} 
\\ \\
Soient E un e.v.n. de dimension finie et F un e.v.n.\\
a) Montrer que toutes les normes sur E sont \'equivalentes.\\
b) Soit $u : E \rightarrow F$ lin\'eaire, montrer que u est continue.
\\ \\
{ \bf Exercice 2} 
\\ \\
Soient E et F deux e.v.n. \\
a) Montrer que F complet $\Rightarrow$ ${\cal {L}}(E,F)$ complet (donc $E^{\prime}$ 
est toujours complet).\\
b) Montrer que ${\overline {B}}_E(0,1)$ compacte $\Rightarrow$ $dimE < \infty$.
\\ \\
{ \bf Exercice 3} Identifications utiles en calcul diff\'erentiel
\\ \\
1) Soit $F$ un e.v.n., on d\'efinit 
\begin{eqnarray*}
j : {\cal L}(\RR,F) & \rightarrow& F\\
       \Phi  &\mapsto& \Phi(1),
       \end{eqnarray*}
montrer que $j$ est une isom\'etrie lin\'eaire bijective. (Cela permet d'identifier 
${\cal L}(\RR,F)$ et $F$.)\\  
2) Soient $E,F,G$ trois e.v.n. On rappelle que ${\cal L}(E\times F,G)$ d\'esigne 
l'espace des applications bilin\'eaires continues $u$ de $E\times F \rightarrow G$, 
muni de la norme
$$\Vert u \Vert = \sup \{ \Vert u(x,y) \Vert_G \,; \,\Vert x \Vert_E \leq 1,\,\, 
\Vert y \Vert_F \leq 1 \}.$$

a) Soit $x \in E$ et soit $u_x : F \rightarrow G$ definie par $u_x(y) = u(x,y)$. 
V\'erifier que $u_x$ est lin\'eaire continue. On pose
\begin{eqnarray*}
\mbox{\~{u}} : E&\rightarrow&{\cal L}(F,G)\\
      x&\mapsto&u_x.
\end{eqnarray*}
V\'erifier que \~{u} est lin\'eaire continue.

b) Soit enfin 
\begin{eqnarray*}
j : {\cal L}(E\times F,G)&\rightarrow&{\cal L}(E,{\cal L}(F,G))\\
      u&\mapsto&j(u) = \mbox{\~{u}},
\end{eqnarray*}
montrer que $j$ est lin\'eaire, isom\'etrique et bijective.
\\ \\
{ \bf Exercice 4} D\'eriv\'ee selon un vecteur
\\ \\
Soient $E$ et $F$ 2 e.v.n. et $U$ un ouvert de $E$. Soit $f : U \rightarrow F$, on 
dit que $f$ admet une d\'eriv\'ee en $x_0$ le long de $y$ si
$$\lim_{t \rightarrow 0} \frac{f(x_0+ty) - f(x_0)}{t} \qquad \mbox{existe.}$$
On la note $d_y f(x_0)$.\\
1) Montrer que si $f$ est diff\'erentiable en $x_0$ alors $\forall y \in E$, $d_y 
f(x_0) = f^{\prime}(x_0).y$.\\
2) Soit
\[ \left\{ \begin{array}{llll}
f(x,y) &=& \frac{x\vert y \vert}{\sqrt{x^2+y^2}} & \mbox{si $(x,y) \not= (0,0)$,} 
\\
f(0,0) &=& 0. & 
\end{array}
\right. \]
Montrer que : $f$ est continue en $(0,0)$, $f$ admet en $(0,0)$ une d\'eriv\'ee 
selon tout vecteur, $f$ n'est pas diff\'erentiable en $(0,0)$.
\\ \\
{ \bf Exercice 5}
\\ \\
Soient $E,F,G$ 3 e.v.n. \\
1) Soient $u \in {\cal L}(E,f)$ et $B \in {\cal L}(E\times F,G)$. Montrer que $u$ 
et $B$ sont ${\cal C}^{\infty}$ et calculer leurs d\'eriv\'ees.\\
2) Soit $N$ la norme sur $E$, v\'erifier que $N$ n'est pas diff\'erentiable en $0$. 
Si $N$ d\'erive d'un produit scalaire, calculer $N^{\prime}(x)$ pour $x \not= 0$.\\
3) On suppose que $E = \RR^n$ muni du produit scalaire usuel et on d\'efinit sur 
$E$ la fonction 
$$r(x) = \frac{(Ax,x)}{(x,x)},$$
o\`u $A$ d\'esigne une matrice r\'eelle sym\'etrique quelconque. Calculer 
$r^{\prime}(x)$ pour $x \not= 0$ et en d\'eduire que $x$ est vecteur propre de $A$ 
$\Longleftrightarrow$ $r^{\prime}(x) = 0$, $x \not= 0$.
\\ \\ 
{ \bf Exercice 6}
\\ \\
On consid\`ere l'\'equation : $e^x + e^y + x + y = 2, \qquad (1)$.\\
Montrer que dans un voisinage de $(0,0)$, $(1) \Longleftrightarrow$ $\exists \vfi 
\in {\cal C}^{\infty}(I)$ telle que $y = \vfi(x)$ o\`u $I$ d\'esigne un voisinage 
de $0$. Calculer $\vfi^{\prime}(0)$ et $\vfi^{\prime \prime}(0)$.
\\ \\
{ \bf Exercice 7} M\'ethode de Newton
\\ \\
Soit $f : \RR^N \rightarrow \RR^N$ et soit \={x} un z\'ero de $f$.\\
On suppose que $f \in {\cal C}^1$, $f^{\prime}($\={x}$)$ est inversible et que 
$\exists \rho > 0$ tel que $x \mapsto f^{\prime}(x)$ est K-lipschitzienne dans 
\={B} $($\={x},$\rho)$.\\
Montrer que $\exists 0< \rho_1 \leq \rho$ tel que $\forall x_0 \in$ \={B} 
$($\={x},$\rho_1)$, la suite $(x_k)_k$ d\'efinie par
$$x_{k+1} = x_k - {f^{\prime}(x_k)}^{-1} f(x_k),$$
v\'erifie
\begin{eqnarray*}
\forall k,\,\,\, x_k \in \overline{B} (\overline{x},\rho_1),\\
\exists C >0,\,\,\forall k,\,\,\, \Vert x_{k+1} - \overline{x} \Vert \leq C\; \Vert 
x_{k} - \overline{x} \Vert^2,\\
x_k \longrightarrow \overline{x}.
\end{eqnarray*}
On pourra utiliser le Th\'eor\`eme d'inversion locale et consid\'erer la fonction 
$G(x) = f(x) - f^{\prime}(x_k) x$.
\\ \\
{ \bf Exercice 8}
\\ \\
Soient E un e.v.n. et $f \in E^{\prime}$, $f \not\equiv 0$. Soit $H = \{ x \in E : 
f(x) = 0 \}$, on se propose de montrer
 que
 $$ \forall x \in E, \quad \, \, d(x,H) =  \inf_{y \in H} \Vert x-y \Vert = \frac 
{\vert f(x)\vert}{\Vert f \Vert}\qquad \,(\star)$$
1) V\'erifier que $\vert f(x)\vert \leq \Vert f \Vert \;d(x,H),\,\;\,\forall x \in 
E.$\\
2) Soit $u \in E \backslash H$, en notant que $y=x- \frac {f(x)}{f(u)} \, u$ est 
dans H, montrer que
$d(x,H) \leq \frac {\vert f(x) \vert}{\vert f(u) \vert} \; \Vert u \Vert$ et 
prouver $(\star)$.\\
3) Soit $E=C_0=\{x=(x_n)_{n \geq 1} \in \RR^{\NN^{\star}} \mbox{ tel que } x_n 
\rightarrow 0\}$ que l'on munit
 de $${\Vert x \Vert}_{\infty} = \sup_n \vert x_n \vert .$$
 a) V\'erifier que $(E,{\Vert \,\, \Vert}_{\infty})$ est un espace de Banach.\\
 b) Soient $f : E \rightarrow \RR$, d\'efinie par $f(x) = \sum_{1}^{\infty} 
\frac{x_n}{2^n}$ et $ H = Kerf.$ V\'erifier que $f \in E^{\prime}$, donner une 
expression de $d(x,H)$. 
${\Vert f \Vert}_{E^{\prime}}$ est-elle atteinte ?
\\ \\
{ \bf Exercice 9} Th\'eor\`emes du point fixe
\\ \\
1) Soit (E,d) un espace m\'etrique complet et soit $f : E \rightarrow E$ une 
application 
k-lipschitzienne avec k$<$1.
Montrer que f admet un unique point fixe $x = f(x)$.\\
2) Soit (E,d) un espace m\'etrique complet et soit $\Lambda$ un espace topologique. 
Soit $f : E \times \Lambda \rightarrow
E$ telle que\\
- $\forall x \in E, \quad \lambda \rightarrow f(x,\lambda)$ est continue de 
$\Lambda$ dans E,\\
- $\exists k < 1, \quad \forall \lambda \in \Lambda, \quad x \rightarrow 
f(x,\lambda)$ est k-lipschitzienne de E dans E.
On pose $f_\lambda(x) = f(x,\lambda)$. Si $a_\lambda$ est l'unique point fixe de 
$f_\lambda$, montrer que $\lambda \rightarrow a_\lambda$ 
est continue de $\Lambda$ dans E.\\
3) Soit (E,d) un espace m\'etrique compact et $f : E \rightarrow E$ telle que
$$\forall x,y \in E, \qquad d(f(x),f(y)) < d(x,y).$$
Montrer que f admet un unique point fixe.\\
4) Soit C un convexe compact dans E e.v.n. et soit $f : C \rightarrow C$ 
1-lipschitzienne. Montrer que f admet 
un point fixe ( pour z fix\'e dans C, consid\'erer $f_n(x)=\frac {1}{n+1} z + 
\frac{n}{n+1} f(x)$).
\\ \\
{ \bf Exercice 10} 
\\ \\
Soit $E={\cal C}^1 ([0,1])$. Pour $f \in E$, on pose $N(f) = { ({f(0)}^2 + \int_0^1 
f^{\prime}(t)^2 dt)}^{1/2}$ et 
$\Vert f {\Vert}_{\infty} = \sup_{[0,1]} \vert f(x) \vert.$
a) V\'erifier que N est une norme sur E.\\
b) Montrer que $\forall f \in E \quad {\Vert f \Vert}_{\infty} \leq \sqrt {2} \; 
N(f)$.\\
c) Montrer que ${\Vert \, \Vert}_{\infty}$ et N ne sont pas \'equivalentes sur E.
\\ \\
{ \bf Exercice 11} 
\\ \\
Soit E un espace m\'etrique complet tel que $\forall \eps > 0$, il existe un 
recouvrement fini de E
par des boules de rayon $\eps$, montrer que E est compact.
\\ \\
{ \bf Exercice 12} Th\'eor\`eme d'Ascoli
\\ \\
Soient X et Y deux espaces m\'etriques avec X compact et Y complet. Soit A une 
partie \'equicontinue de 
${\cal C}(X,Y)$ (muni de la topologie de la convergence uniforme). On suppose que 
$\forall x \in X,\quad A_x =\{f(x),\;f \in A\}$ est d'adh\'erence compacte dans Y.
Montrer que $\overline A$ est compact dans ${\cal C}(X,Y)$. (Montrer que $\forall 
\eps > 0$, A peut
\^etre recouvert par un nombre fini de boules de rayon $\eps$.)\\
Remarque : en particulier de toutes suites d'\'el\'ements de A on peut extraire une 
sous-suite 
convergeant uniform\'ement dans ${\cal C}(X,Y)$.\\
Une application : Soient $M >0$ et $B = \{f \in {\cal C} ([0,1],\RR) \mbox{ de 
classe }{\cal C}^1 \mbox{ telle que } 
{\Vert f \Vert}_{\infty} + {\Vert f^{\prime} \Vert}_{\infty} \leq M \}$, v\'erifier 
que $\overline B$ est compact 
dans ${\cal C} ([0,1],\RR)$.
\\ \\
{ \bf Exercice 13}
\\ \\
Montrer qu'un espace m\'etrique compact est s\'eparable.
\\ \\
{ \bf Exercice 14}
\\ \\
Soit E un e.v.n. et soit K une partie convexe de E avec $0 \in K$. On pose 
$$ \,\,\; K^{\star} = \{ f \in \Ep;\,\, \forall x \in K,\,\,\; <f,x> \leq 1 \} 
\mbox{  et}$$
$$ K^{\star \star}\!= \{y \in E;\,\, \forall f \in K^{\star},\,\,<f,y> \leq 1 \}.$$
Montrer que $ \overline {K} = K^{\star \star}$.
\\ \\
{ \bf Exercice 15}
\\ \\
Soit E un espace vectoriel et soit $\cal P$ une famille quelconque de semi-normes 
sur E. 
Soit $p \in \cal P$, on appelle  
p-boule ouverte de centre $x \in E$ et de rayon r l'ensemble $B(x,r)$ des points $y 
\in E$ tels que 
$p(x-y) < r$. Enfin on appelle $\cal P$-boule ouverte de centre x toute 
intersection finie de $p_i$-boules ouvertes 
de centre x.\\
1) Soit $r > 0$ et soit p une semi-norme, montrer que p est une norme si et 
seulement si B(0,r) ne contient aucun s.e.v. de 
dimension 1.\\
D\'efinition : Une partie U de E est ouverte si ou bien $U = \emptyset$, ou bien 
$\forall x \in U$, il existe 
une $\cal P$-boule ouverte de centre x contenue dans U. On note $(E,\cal P)$ 
l'espace E muni de cette topologie.
\\
2) V\'erifier que l'on d\'efinit bien ainsi une topologie sur E.\\
3) Soit $f \in E^{\star}$, montrer que f est continue sur $(E,\cal P)$ si et 
seulement si il existe une constante $C > 0$ et 
une sous-famille finie $(p_i)_{i \in I}$ de $\cal P$ telles que
$$ \vert f \vert \;\leq\; C \sup_{i \in I} (p_i).$$
4) Montrer que l'espace $(E,\cal P)$ est s\'epar\'e si et seulement si $\forall x 
\neq 0,$ $\exists p \in \cal P$ telle que 
$p(x) \neq 0$.\\
5) Montrer que si $\cal P$ est fini et si $(E,\cal P)$ est s\'epar\'e, la topologie 
associ\'ee \`a $\cal P$
 est normable.


 \end{document}

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\textwidth 15cm
\oddsidemargin 0.96cm
\evensidemargin 0.96cm
\def\real{I\!\!R}
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%rappel : \overline{cequ'onveut}

\def\Varphi{{\bf \varphi}}
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\def\e {\'{e}}
\def\ea {\'{e} }
\def\ee {\`{e}}
\def\eee {\^{e}}
\def\a {\`{a} }
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\def\skipaline{\vspace{4 mm}\noindent}



%NOTA BENE :  "\pmatrix et \endpmatrix, non compris en latex,
% sont remplaces 
%par \matrice et \findematrice dont la definition suit
%exemple d'utilisation :
%$A=\matrice
%a & b  \cr
%c & d  \cr \findematrice $

\def\matrice{\left(\begin{array}{cccccccccc}}
\def\findematrice{\end{array}\right)}

