Exercice 1 Soient f et g deux fonctions de L^{2}(0, a). On veut calculer le développement en série de Fourier du produit fg.

a) Vérifier que fg ∈ L^{1}(0, a).

b) On considère les sommes partielles

f_{N} = ∑_{−N}^{N} c_{n}(f)e^{2iπn \frac{t}{a}} et g_{N} = ∑_{−N}^{N} c_{n}(g)e^{2iπn \frac{t}{a}} .

Montrer que f_{N}g_{N} tend vers fg dans L^{1}. Calculer les coefficients de Fourier de f_{N}g_{N}.

c) Montrer que les coefficients de Fourier de f_{N}g_{N} tendent vers ceux de fg et en déduire l’expression des coefficients de Fourier de fg en fonction de ceux de f et de g.

d) Soit c = (c_{n})_{n∈Z} ∈ l^{1}(Z). On lui associe sa fonction caractéristique f_{c}(t) = ∑_{n∈Z} c_{n}e^{int}, définie sur [0, 2π]. On définit la convolution discrète c∗d de deux suites c = (c_{n}) et d = (d_{n}) de l^{1}(Z) par (c ∗ d)_{n} = ∑_{k∈Z} c_{k}d_{n−k}.

e) Montrer que c ∗ d ∈ l^{1}(Z). Montrer que f_{c∗d} = f_{c}f_{d}. Que peut-on dire sur c ∗ d, f_{c∗d} si c ∈ l^{2} et d ∈ l^{2} ?

f) Si f_{c} est dans L^{1}, peut-on en déduire que c ∈ l^{1}?

Exercice 2 Caractérisation des distributions périodiques par leur série de Fourier Le but de cet exercice est de compléter le chapitre 11.1 sur les distributions périodiques en montrant que :

1) Toute distribution u 2π-périodique est la somme d’une série de Fourier dont les coefficients c_{k}(u) sont à croissance lente,

u = ∑_{k∈Z} c_{k}(u)e^{ik.x}.

Réciproquement, toute série de Fourier à coefficients à croissance lente est une distribution 2π-périodique.

2) Les coefficients de Fourier de u se calculent avec une quelconque fonction χ donnant lieu à une partition de l’unité 2π-périodique (∑_{γ∈2πZ} χ(x + γ) = 1) par la formule

c_{k}(u) = \frac{1}{2π} < u, χe^{−ik.x} >

3) La dualité entre distributions périodiques u et fonctions tests φ ∈ C_{0}^{∞} s’exprime grâce aux coefficients de Fourier de u et de la 2π-périodisée φ̃ par

< u_{1}, φ >= 2π ∑_{k∈Z} c_{k}(u)c_{−k}(φ̃).

4) Cette dernière formule traduit donc la dualité distributions périodiques-fonctions test en une dualité entre suites indexées par Z à croissance lente et suites à décroissance rapide.

On rappelle la proposition suivante :

Proposition 1 Soit (c_{k})_{k∈Z} une suite à croissance lente, c’est-à-dire vérifiant pour au moins une valeur de M ∈ IN une inégalité du type

∀k ∈ Z, |c_{k}| ≤ C(1 + |k|)^{M}.

Alors la série

∑_{k∈Z} c_{k}e^{ik.x} (1)

converge au sens des distributions et définit une distribution 2π-périodique.

La proposition 1 nous permet de construire des distributions périodiques comme sommes de séries de Fourier. Rappelons aussi qu’une telle décomposition en série de Fourier est unique :

Théorème 1 (Unicité des coefficients de Fourier) Si c_{k}, k ∈ Z est une suite à croissance lente telle que l’on ait ∑_{k∈Z} c_{k}e^{ik.x} = 0 au sens des distributions, alors ∀k, c_{k} = 0.

a) Si u est une distribution 2π-périodique, on définit ses coefficients de Fourier c_{k}(u), k ∈ Z par

c_{k}(u) = \frac{1}{2π} < u, χe^{−ik.x} > (2)

où χ est une partition de l’unité 2π-périodique. Démontrer que c_{k}(u), k ∈ Z est à croissance lente.

b) Notons Soit φ ∈ C_{0}^{∞}. On note φ̃ la 2π-périodisée de φ, φ̃(x) = ∑_{γ∈2πZ} φ(x). Démontrer que

φ̃(x) = ∑_{k∈Z} c_{k}(φ̃)e^{ik.x} avec c_{k}(φ̃) = \frac{1}{2π} ∫_{IR} φ(x)e^{−ik.x}dx. (3)

Montrer que les coefficients de Fourier c_{k}(φ̃) sont à décroissance rapide.

c) On considère la distribution

u_{1} = ∑_{k∈Z} c_{k}(u)e^{ik.x}.

On va montrer que u = u_{1}. Pour cela, appliquer u et u_{1} à φ et montrer que < u_{1}, φ > et < u, φ > sont tous deux égaux à

2π ∑_{k∈Z} c_{k}(u)c_{−k}(φ̃).

Conseil : écrire u = ∑_{γ∈2πZ} τ_{γ}(χu), où τ_{γ} désigne la τ-translatée de u.

d) Conclure : passer en revue les points 1, 2, 3, 4 du début de l’exercice et vérifier qu’ils ont bien été montrés.

Exercice 3 L’élastique chargé

a) On dit que f ∈ H^{−1}(0, L) si on peut écrire f = g + h′, avec g, h ∈ L^{2}(0, L). Montrer que l’on peut alors écrire f = h′_{1}, h_{1} ∈ L^{2}(0, L).

b) Montrer que f ∈ H^{−1} définit une forme linéaire continue sur H^{1}(0, L), définie par < f, u >= − ∫_{[0,L]} h_{1}(x)u′(x)dx.

c) Exemple : montrer que si f = ∑_{i=1}^{n} δ_{x_{i}}, x_{i} ∈]0, L[, est une somme finie de masses de Dirac, alors f ∈ H^{−1}. Calculer alors < f, u > pour u ∈ H^{1}(0, L). Dans l’exemple d’application physique que nous allons considérer, les masses de Dirac représentent des masses ponctuelles suspendues à une corde à linge. d) Soit f ∈ H^{−1}(0, L). On veut minimiser l’énergie de la corde à linge chargée par f,

E(u) = \frac{1}{2} ∫_{[0,L]} u^{′2}− < f, u >,

pour u ∈ H_{0}^{1}(0, L). (La corde est fixée en 0 et en L, u représente le décalage vertical de la corde à partir du niveau 0. Montrer que E est strictement convexe et coercive sur H_{0}^{1}. Rappel : dans H_{0}^{1}(0, L), (∫_{[0,L]} u^{′2})^{\frac{1}{2}} est une norme équivalente à la norme de H^{1}(0, L).

e) Montrer que E atteint un minimum u_{0} unique dans H_{0}^{1} et que ce minimum vérifie

∫ u′v′ =< f, v >

pour tout v ∈ H_{0}^{1}(0, L).

f) En déduire que −u′′ = f au sens des distributions sur ]0, L[.

g) Unicité. Soit réciproquement u ∈ H_{0}^{1}(0, L) tel que −u′′ = f au sens des distributions de ]0, L[. Montrer que l’on a ∫ u′v′ =< f, v > pour tout v ∈ H_{0}^{1}. En déduire que l’équation −u′′ = f a une unique solution dans H_{0}^{1}.

h) Montrer que f ∈ H^{−1}(0, L) si et seulement si f = ∑_{k∈Z} c_{k}(f)sin\frac{kπ}{L} avec \frac{c_{k}}{k} ∈ l^{2}(Z \ {0}). Donner une formule pour calculer c_{k}(f).

i) Calculer c_{k}(f) quand f = δ_{\frac{L}{2}} .

j) Montrer à nouveau, cette fois-ci en utilisant directement les développements en série de Fourier, qu’il existe une unique fonction u ∈ H_{0}^{1}(0, L) telle que −u′′ = f. On posera u = ∑_{k∈Z} c_{k}(u)sin\frac{kπx}{L} et on calculera c_{k}(u) en fonction de c_{k}(f). Bien justifier le raisonnement.

k) Dessiner la solution de −u′′ = δ_{\frac{L}{3}} + δ_{\frac{2L}{3}} .

Exercice 4 Corde vibrante On considère une corde élastique, fixée aux deux extrémités situées en deux points de l’espace distants de L. On note pour tout temps t ≥ 0 et 0 ≤ x ≤ L, y(t, x) l’écartement de la corde par rapport à sa position de repos. Les points de la corde sont donc paramétrés par (x, y(t, x)). On note y_{t}(t, x) la dérivée partielle première de y par rapport à t et on notera de même y_{x}(t, x), y_{xx}, y_{tt}, etc.

L’énergie de la corde est, à un facteur près, égale à

F (t, y) = \frac{1}{2} ∫_{0}^{T} |y_{t}|^{2}(t, x)dx + ω^{2} ∫_{0}^{T} \sqrt{1 + |y_{x}|^{2}}dx,

où le premier terme est l’énergie cinétique et le second l’énergie potentielle, proportionnelle à l’élongation de la corde. On suppose que la corde vibre depuis un moment, de sorte que y_{x} est devenu petit et on linéarise l’énergie potentielle. On appelle énergie linéarisée :

E(t, y) = ∫_{0}^{T} |y_{t}|^{2}(t, x)dx + ω^{2} ∫_{0}^{T} |y_{x}|^{2}dx. (4)

a) Montrer que 2F (t, y) = E(t, y) + C + o(∫ |y_{x}|^{2}).

b) On note y(0, x) = y_{0}(x) la position initiale de la corde et on considère l’équation d’évolution, de la corde vibrante,

y_{tt} − ω^{2}y_{xx} = 0, avec y(t, 0) = y(t, L) = 0 et y(0, x) = y_{0}(x), y_{t}(0, x) = (y_{0})_{t}. (5)

Justifier l’équation (5) en utilisant la loi de Newton, Force=masse × accélération. Pour les raisonnements, on supposera toujours que y_{x} est suffisamment petit.

c) Supposons que y soit C^{2} et vérifie l’équation de la corde vibrante (5). Montrer que l’énergie (4) ne dépend pas de t.

d) Vérifier que les solutions C^{2} de (5) sont des combinaisons linéaires infinies de fonctions de la forme

f_{k}(t, x) = (acos(k \frac{πωt}{L}) + bsin(k \frac{πωt}{L}))sin(k \frac{πx}{L}), k ∈ IN^{∗}.

On pourra considérer les fonctions y(t) : x → y(t, x) et décomposer y(t) = ∑_{k} c_{k}(t)e_{k}(x) sur le système de fonctions e_{k}(x) = sin(k \frac{πx}{L}). On justifiera bien sûr cette décomposition. On pourra démontrer que c′′_{k}(t) = −(\frac{kπωt}{L})^{2}c_{k}(t). A quels types de conditions initiales correspondent les cas a = 0, b = 0? Interpréter. e) Condition initiale corde pincée (guitarre, harpe, clavecin). Si nous pinçons une corde, nous avons une condition initiale du type y_{0}(x) = λ(αL−|x−αL|−(2α−1)x)., (y_{0})_{t} = 0. Dessiner y_{0} et calculer son énergie. Donner la relation entre α et λ pour que l’énergie de la corde soit égale à 1.

f) En utilisant la formule du d), proposer un développement en série pour la solution de (5) avec comme condition initiale le ”pincement de corde” du 4). On sera amené à calculer les coefficients de Fourier de y_{0} et de y(t) : en profiter pour examiner en quel sens la série de Fourier de y(t) converge vers y(t). Comment ces coefficients de Fourier dépendent-ils de l’endroit où la corde a été pincée? La solution trouvée est-elle C^{2} ? Quelle est la régularitéde x → y(t, x) ?

g) Corde frappée (piano). La condition initiale est maintenant y_{0}(0, x) = 0, (y_{0})_{t}(0, x) = λχ_{[ \frac{L}{2} −β, \frac{L}{2} +β]}, où 2β est la longueur de corde frappée par le marteau à l’instant t = 0. Interpréter cette condition initiale. Normaliser la relation entre λ et β pour que l’énergie initiale de la corde soit égale à 1.

h) Comparer la répartition des harmoniques (les amplitudes respectives de c_{k}(t) quand k varie) pour la corde frappée et la corde pincée.

On fera les comparaisons suivantes, à énergie initiale constante :

• h1-Corde pincée au milieu ou plutôt sur le bord, à énergie égale : dans quel cas la corde a-t-elle le plus d’aigus ?

• h2-Corde frappée sur un intervalle large (β grand) ou étroit : dans quel cas a-t-on le plus d’aigus ?

• h3- A énergie constante, cordes frappées ou pincées au milieu, β = \frac{L}{20}.