Examen de Licence de Mathématiques, Ecole Normale Supérieure de Cachan. Analyse Fonctionnelle, Janvier 2000. Durée : quatre heures. Polycopié et notes autorisés. Attention à la précision des réponses.

Partie I Propriétés de convergence (très faibles) d’une suite bornée de L^{1}([0, 1]), intervalles dyadiques et martingales.

On considère une suite f^{l} ∈ L^{1}([0, 1]) telle que

f^{l} ≥ 0, ∫_{[0,1]} f^{l}(m)dm ≤ C.

1) On considère les intervalles dyadiques de [0, 1],

I_{N,k} = [k2^{−N}, (k + 1)2^{−N}[, N ∈ IN, k ∈ IN, 0 ≤ k2^{−N} ≤ (k + 1)2^{−N} ≤ 1

On pose, pour tout N ∈ IN et tout m ∈ [0, 1],

f_{N}^{l}(m) = 2^{N} ∫_{I_{N,k}} f^{l}(n)dn si m ∈ I_{N,k}.

f_{N}^{l} s’appelle la moyenne de f^{l} à l’échelle N. Par un procédé d’extraction diagonale, montrer que l’on peut extraire de f^{l} une sous-suite, que nous noterons encore f^{l} par commodité, et telle que

∀(N, k), ∀m ∈ I_{N,k}, f_{N}^{l}(m) → f_{N}(m).

2) Ceci nous définit une suite f_{N} de fonctions, chacune est constante par morceaux sur les I_{N,k}, 0 ≤ k ≤ 2^{N} − 1. Montrer que

f_{N}(m) = 2^{N} ∫_{I_{N,k}} f_{N+1}(n)dn

si m ∈ I_{N,k},

f_{N} ≥ 0, ∫ f_{N} = Cte

En déduire que les (f_{N})_{N} forment une martingale bornée pour une suite de tribus emboitées de [0, 1] que l’on précisera.

3) Conclure qu’il existe f ∈ L^{1} telle que f_{N} → f presque partout. Montrer que ∫ fdm ≤ ∫ f_{N}dm.

4) Donner un exemple de suite bornée f^{l} ∈ L^{1}([0, 1]) telle que f^{l} ne converge pas dans L^{1} et calculer explicitement une sous-suite permettant de définir f_{N}, puis f.

Partie II Définition d’une barre élastique de longueur L. On suppose une telle barre suffisamment fine pour que l’on puisse assimiler sa position à une courbe de l’espace IR^{2}. Ses extrémités sont fixées en y_{0} et y_{1}, points de IR^{2}. On suppose toujours que L ≥ |y_{0} − y_{1}|. Chaque point de la barre est associé à son abcisse curviligne s le long de la barre. Aussi, on le note x(s), avec x(0) = y_{0}, x(L) = y_{1}. Dans toute la suite, on dira qu’on a défini une barre x(s) de longueur L, si on s’est donné une application x ∈ L^{1}(0, 1), s ∈ [0, L] → x(s) ∈ IR^{2} dont les dérivées première et seconde au sens des distributions satisfont

|x′(s)| = 1
x′′ ∈ L^{2}([0, L]).

(On pose x = (x_{1}, x_{2}) ∈ IR^{2} et |x| dénote la norme euclidienne de x ∈ IR^{2}). L’énergie de flexion de la barre est définie par

E(x) = ∫_{[0,L]} |x′′(s)|^{2}ds.

a) Démontrer que si son énergie est nulle, alors la barre est droite.

b) On considère la barre "rompue", de longueur 2\sqrt{2}, définie par

y_{0} = (−1, 0), y_{1} = (1, 0),

x(s) = y_{0} + \frac{s}{\sqrt{2}}(1, 1) pour s ∈ [0, \sqrt{2}],

x(s) = (0, 1) + \frac{s − \sqrt{2}}{\sqrt{2}}(1, −1) pour s ∈ [\sqrt{2}, \sqrt{2}].

Calculer x′ et x′′ et en déduire que l’énergie E(x) est infinie.

c) On considère W^{2,2}(0, L) = {x ∈ L^{2}(0, L), x′ ∈ L^{2}, x′′ ∈ L^{2}.}. Trouver des constantes c_{1} et c_{2} (dépendant de y_{0}, y_{1}) telles que pour toute barre de longueur L,

||x||_{W^{2,2}}^{2} ≤ c_{1}E(x) + c_{2}

d) Si x ∈ W^{2,2}, montrer que

sup_{[0,L]} |x′| ≤ C_{1}(E(x))^{\frac{1}{2}} + |x′(0)|

et que

|x′(s) − x′(t)| ≤ C_{2}|s − t|^{\frac{1}{2}} .

Préciser C_{1} et C_{2}. En déduire que toute barre est C^{1}.

e) Interprétation géométrique : montrer que si x est une barre et de plus C^{2}, x′′(s) est la courbure de la barre, c’est-à -dire, au signe près, l’inverse du rayon du cercle osculateur.

f) Soit x^{n} une suite de barres de longueur L telles que E(x_{n}) ≤ C, x_{n}(0) = y_{0}, x_{n}(1) = y_{1}. Montrer qu’il existe une sous-suite, notée encore x_{n} par commodité, qui converge vers une barre x au sens suivant :

∃x ∈ W^{2,2}(0, L), x_{n} → x dans L^{∞}, x′_{n} → x′ dans L^{∞}, x′′_{n} → x dans L^{2} faiblement.

En déduire que |x′| = 1, que donc la longueur de la barre est bien L et que

E(x) ≤ lim inf E(x_{n}).

g) Soit une forme linéaire f continue sur W^{2,2}. Montrer qu’une telle forme linéaire continue est aussi une distribution.

h) Montrer que l’on peut prendre pour f une masse de Dirac f(x) = ax_{1}(s_{0})+bx_{2}(s_{0}) et aussi la dérivée d’une masse de Dirac, f(x) = ax′_{1}(s_{0}) + bx′_{2}(s_{0}) i) Montrer que le minimum de E(x) − f(x) est atteint : on considérera une "suite minimisante" x_{n} pour la précédente énergie et on montrera qu’elle a une sous-suite convergente, en un sens que l’on précisera.

j) Montrer par un exemple simple que le minimum de la précédente énergie n’est pas nécessairement atteint pour une position unique de la barre.

k) On minimise maintenant l’énergie E(x) − f(x) pour x quelconque dans W^{2,2} tel que x(0) = y_{0}, x(L) = y_{1}. Montrer que l’on a, au sens des distributions, 2x′′′′−f = 0.

l) Calculer explicitement une solution du problème k) dans le cas où les extrémités de la barre sont fixes en (0, 0) et (1, 0), où L = 2 et où f(x) = x_{2}(\frac{L}{2}) représente une énergie potentielle de chargement au centre de la barre. (On pose x(s) = (x_{1}(s), x_{2}(s)).

m) Donner l’interprétation physique (quel type de contrainte est exercé sur la barre) d’une énergie potentielle du type f = x′_{1}(\frac{L}{2}).

Partie 3 Dans cette partie, on modélise un matériau laminaire, formé de plaques minces élastiques qui peuvent glisser les unes sur les autres avec un frottement négligeable. Exemple : un cahier à couverture souple. On va s’intéresser à des déformations du cahier que l’on applique par la tranche sur une table.

On décrit les trois dimensions comme suit : chaque feuille, infiniment mince, est de "numéro" m ∈ M. On suppose que chaque feuille se déforme de manière cylindrique, chaque coupe transversale donnant le même profil. La longueur des feuilles n’est donc pas une donnée utile et on décrit les feuilles uniquement par leur profil. Chaque feuille est de largeur L et on paramètre les points d’un profil de la feuille par leur abcisse curviligne s ∈ [0, L]. L’énergie de flexion de chaque feuille étant nulle en longueur (puisque dans cette direction les feuilles sont droites), l’énergie élastique des feuilles est donnée est équivalente à celle de leur profil. On donne donc l’énergie pour chaque feuille

f(m) = E(x(m)) = ∫_{0}^{L} |x′′(m, s)|^{2}ds,

où s → x(m, s) est le profil de la feuille, dont le comportement est équivalent à celui d’une barre élastique. On appelle x = x(m, s) le cahier, i.e. cette collection finie ou infinie de barres élastiques, et on définit son énergie par

E(x) = ∑_{m∈M} f(m).

Notre but est de montrer l’existence d’une position d’équilibre, i.e. d’une position commune des feuilles où l’énergie soit minimale quand on assigne pour chaque feuille la position de ses deux bords correspondant à s = 0 et s = 1. On impose donc :

∀m, x(m, 0) = x_{0}(m), x(m, 1) = x_{1}(m).

a) Dans toute la suite, on suppose qu’il existe au moins une configuration des feuilles qui soit d’énergie finie et telle que les contraintes de bord précédentes soient respectées. Remarquer que la construction mathématique d’une telle configuration n’est pas immédiate si le nombre des feuilles est infini puisque, les feuilles se repoussant les unes les autres, il faut trouver une disposition commune qui reste d’énergie finie. On considère une suite minimisante x^{l} telle que E(x^{l}) → inf E(x). On se propose d’extraire de x^{l} une sous-suite convergeante vers une configuration d’énergie minimale x pour le cahier. Montrer d’abord que si M est fini (nombre fini de feuilles), on peut reprendre les arguments de la deuxième partie et conclure à l’existence d’une position commune des feuilles qui soit d’énergie minimale.

b) Montrer que si les feuilles sont en nombre dénombrable (m ∈ IN) on peut encore, par un procédé d’extraction diagonale, s’assurer l’existence d’un cahier limite x tel que

x^{l}(m) → x(m)

dans C^{1}(0, L), que

E(x(m)) ≤ lim inf E(x^{l}(m)),

et finalement que

E(x) = ∑_{m} E(x(m)) ≤ lim inf E(x^{l}).

(Justifier chacun des passages !).

c) On suppose maintenant que m ∈ [0, 1], un continuum de feuilles minces. On suppose que les contraintes de bord x_{0}(m) et x_{1}(m) sont continues sur [0, 1]. Soit x^{l}(m) une suite minimisante, i.e. telle que

E(x^{l}) = ∫_{[0,1]} f^{l}(m)dm → inf_{x} E,

l’infimum étant pris sur tous les cahiers vérifiant les contraintes de bord. On a posé, comme précédemment,

f^{l}(m) = E(x^{l}(m)) = ∫_{[0,L]} |x′′(m, s)|^{2}ds.

On reprend tels quels les notations et résultats de la partie I. On peut supposer que

∀(N, k), 2^{N} ∫_{I_{N,k}} f^{l}(m)dm = f_{N}^{l}(m) → f_{N}(m) si m ∈ I_{N,k}.

c) Montrer qu’il existe au moins une feuille m_{N,k}^{l} ∈ I_{N,k} telle que

f^{l}(m_{N,k}^{l}) = E(x(m_{N,k}^{l})) ≤ 2^{N} ∫_{I_{N,k}} f^{l}(m)dm.

d) Par un nouveau procédé d’extraction diagonale, montrer que l’on peut supposer que pour tout N, k, la feuille x(m_{N,k}^{l}) converge vers une feuille limite x(m_{N,k}), que l’on a

f(m_{N,k}) = E(x(m_{N,k})) ≤ 2^{N} ∫_{I_{N,k}} f(m)dm = f_{N}(m_{N,k}).

et que les feuilles x(m_{N,k}) ne se croisent pas entre elles.

e) Pour tout m ∈ M, on considère la suite unique d’intervalles I_{N,k(N)} contenant m. On associe à m une nouvelle feuille, définie de la manière suivante : on considère les feuilles x(m_{N,k(N)}) définies en question d) et on remarque que

E(x(m_{N,k(N)})) ≤ f_{N}(m_{N,k(N)}) = f_{N}(m) → f(m)

pour presque tout m (en vertu de la partie I). Comme la suite de feuilles x(m_{N,k(N)}) est donc pour presque tout m d’énergie bornée, on en extrait une sous-suite convergente vers une feuille x(m). De plus, E(x(m)) ≤ f(m). Démontrer que si m_{1} ≠ m_{2}, alors x(m_{1}) et x(m_{2}) ne se croisent pas (mais peuvent se toucher).

f) Conclure : le "cahier" x(m), défini pour presque tout m, vérifie E(x(m)) ≤ f(m) pour presque tout m et donc

E(x) ≤ ∫_{[0,1]} f(m)dm ≤ lim inf ∫ f^{l}(m)dm = lim E(x^{l}) = inf_{x} E,

et x est bien une configuration d’énergie minimale !