Examen d’analyse, magistère de Mathématiques, ENS Cachan 97-98. Le polycopié et les notes sont autorisés. Ne pas redémontrer ce qui est prouvé dans le polycopié. Se contenter de citer précisément les passages du polycopié utilisés.

Exercice 1 (J.M. Bony, Ecole Polytechnique). On se fixe une fonction G ∈ L^{1}(IR). Pour toute fonction f définie sur IR, et pour tout entier n ≥ 1, on pose, lorsque l’intégrale est définie,

T_{n}(f)(x) = ∫_{IR} f(x − y^{n})G(y)dy.

(a) On suppose que f ∈ L^{1}(IR). Montrer que la fonction T_{n}(f) est définie pour presque tout x et appartient à L^{1}(IR).

(b) Montrer que T_{n} est une application linéaire continue de L^{1}(IR) dans lui-même.

(c) On suppose maintenant que f est continue et bornée sur IR. Montrer que T_{n}f est définie en tout point, et est elle-même continue et bornée.

(d) On suppose que f est continue et bornée sur IR et que f(x) → 0. Montrer qu’en chaque point x, on a

T_{n}f(x) → Cf(x)

quand n → ∞, où C est une constante que l’on précisera.

Exercice 2 Trouver la valeur maximale de ∫_{0}^{1} xf(x)dx quand f est une fonction réelle telle que ∫_{0}^{1} f(x) = 0 et ∫_{0}^{1} |f(x)|^{2}dx = 1. On donnera la fonction f pour laquelle cette valeur maximale est atteinte.

Exercice 3 Donner des exemples de fonctions f et de suites de fonctions f_{n} telles que

(a) f ∈ W^{1,2}(0, 1), f ∉ W^{1,3}(0, 1) ;

(c) f_{n} ⇀ f dans L^{p}(0, 1), (1 ≤ p < ∞), mais pas fortement ;

(d) f_{n}(x) → \frac{1}{1+x^{2}} uniformément mais pas dans L^{2}(IR).

Exercice 4 Approximation des dérivées de la masse de Dirac par des fonctions.

(a) On pose f_{n}(x) = −n si −\frac{1}{n} ≤ x ≤ 0, f_{n}(x) = n si 0 < x ≤ \frac{1}{n}, f_{n}(x) = 0 ailleurs. Calculer la limite de f_{n} au sens des distributions dans IR.

(b) Trouver une suite de fonctions f_{n} qui tend au sens des distributions vers δ′′_{0}.

Problème

Première partie : une base hilbertienne : le système de Haar.

(Densité des fonctions à moyenne nulle)

1) Soit la fonction χ_{n}(x) = \frac{1}{2n} sur [−n, n], χ_{n}(x) = 0 ailleurs. Etudier sa limite dans L^{1}(IR) et dans L^{2}(IR) quand n → ∞.

2)

2-i) Utiliser cette suite de fonctions pour montrer que le sous-espace de L^{2}(IR) constitué des fonctions de L^{2} ∩ L^{1}(IR) telles que ∫ f(x)dx = 0 est dense dans L^{2}(IR).

2-ii) Ce résultat est-il encore vrai si on remplace IR par [0, 1] ?

3) On pose H(x) = 1 si 0 ≤ x < \frac{1}{2} et H(x) = −1 si \frac{1}{2} ≤ x ≤ 1. C’est la ”fonction de Haar”. La dessiner. On pose H_{i}^{k}(x) = 2^{\frac{k}{2}} H(2^{k}x − i), i, k ∈ Z. k est appelée l’échelle dyadique de la fonction de Haar H_{i}^{k}.

3-i) Dessiner les fonctions de Haar pour k = 1, 2. Quel est le support de H_{i}^{k} ?

3-ii) Démontrer que ces fonctions forment un système orthonormal de L^{2}(IR).

4) On fixe k ≥ 1. On appelle W_{k} l’espace des fonctions en escalier de [0, 1] dyadiques et d’échelle dyadique inférieure ou égale à k.

4-i) Compter les fonctions de Haar qui sont à support dans [0, 1] et qui sont d’échelle dyadique inférieure ou égale à k. On appelle S_{k} le système qu’elles forment.

4-ii) Remarquer qu’elles sont toutes d’intégrale nulle et déduire qu’elles forment une base de W̃_{k} le sous-espace de W_{k} des fonctions à moyenne nulle.

4-iii) Compléter le système ⋃_{k∈Z} S_{k} par la fonction 1 sur l’intervalle [0, 1] et montrer qu’on obtient ainsi une base hilbertienne de L^{2}([0, 1]).

5) Montrer que le système de Haar est une base hilbertienne de L^{2}(IR). On commencera par montrer qu’une partie de la base de Haar engendre l’espace V_{k} des fonctions à moyenne nulle, constantes sur des intervalles dyadiques de longueur 2^{−k} et à support dans [−2^{k}, 2^{k}].

6) A titre d’illustration, écrire le développement de la fonction caractéristique de [−1, 1] sur la base de Haar de L^{2}(IR) et en dessiner les premiers termes.

B Deuxième partie : La dualité L^{p} − L^{p′} pour 1 ≤ p ≤ 2.

On considère dans toute la suite un réel 1 ≤ p ≤ 2 et on pose p′ = \frac{p}{p−1} si 1 < p, p′ = +∞ si p = 1. L’objet des questions qui suivent est de donner une démonstration simple, pour p ≤ 2, de la relation (L^{p})′ = L^{p′}. Pour simplifier les notations (mais sans perte de généralité), on considérera seulement C = [0, 1] et L^{p}([0, 1] = L^{p}(C). On note V_{k} le sous-espace de L^{p}(C) constitué des fonctions en escalier dyadiques à support dans C et d’échelle inférieure ou égale à k, c’est-à-dire constantes sur les intervalles du type C_{i}^{k} = (i2^{−k}, (i + 1)2^{−k}). Si v ∈ V_{k}, on note v(i) ou v_{i} la valeur de v sur C_{i}^{k}.

7) Montrer que

∀v = (v(i))_{i} ∈ V_{k}, ||v||_{L^{p}} = (2^{\frac{−k}{p}})(∑_{i} |v(i)|^{p})^{\frac{1}{p}} . (1)

8) Soit f̃ ∈ (L^{p})′. Montrer qu’il existe f_{k} = (f_{k}(i)) ∈ V_{k} telle que

∀v ∈ V_{k}, f̃(v) = 2^{−k} ∑_{i} f_{k}(i)v(i) = ∫_{C} f_{k}(x)v(x)dx. (2)

9) On considère V_{k} comme un sous-espace de L^{p}, muni de la norme induite. Montrer que l’on a ||f̃||_{(V_{k})′} = ||f_{k}||_{L^{p′}}. Conseil : utiliser l’inégalité de Hölder et la fonction v = (v(i))_{i} ∈ V_{k} définie par v(i) = Signe(f_{k}(i))|f_{k}(i)|^{p′−1}.

10) En déduire que

||f_{k}||_{L^{p′}} ≤ ||f̃||_{(L^{p})′}.

11) Démontrer que

f_{k}(i) = \frac{1}{2}(f_{k+1}(2i) + f_{k+1}(2i + 1)), (3)

c’est-à-dire que f_{k}(i) est donc égale à la valeur moyenne de f_{k+1} sur C_{i}^{k}.

12) En déduire que f_{k+1} − f_{k} est une somme de fonctions de Haar dont on précisera l’échelle dyadique (voir question 3).

13) Montrer que ∫_{[0,1]}(f_{k+1} − f_{k})(f_{l+1} − f_{l}) = 0 si k ≠ l. (4)

14) Déduire de l’identité |f_{k+1}(2i) + f_{k+1}(2i + 1)|^{2} + |f_{k+1}(2i) − f_{k+1}(2i + 1)|^{2} = 2(|f_{k+1}(2i)|^{2} + |f_{k+1}(2i + 1)^{2}). que ∫_{[0,1]} |f_{k}(x)|^{2}dx + ∫_{C} |f_{k} − f_{k+1}|^{2}dx = ∫_{C} |f_{k+1}(x)|^{2}dx. (5)

15) En déduire que

∑_{k∈IN} ||f_{k+1} − f_{k}||_{L^{2}(C)}^{2} ≤ lim_{k} sup ||f_{k}||_{L^{2}(C)}^{2} − ||f_{1}||_{L^{2}(C)}^{2} < ∞,

puis que la suite f_{k} converge fortement dans L^{2}([0, 1]). Soit f ∈ L^{2}(C) sa limite.

16) Démontrer que f appartient à L^{p′}([0, 1]).

17) Démontrer que pour tout v dans un sous espace dense de L^{p}(C), on a f̃(v) = ∫ fv et en déduire que f̃ et f définissent la même forme linéaire sur L^{p}([0, 1]).

18) Conclure.

Corrigé du problème

Première partie : une base hilbertienne : le système de Haar.

1) La suite de fonctions χ_{n} est de norme 1 dans L^{1} et converge ponctuellement vers zéro. Elle n’a donc pas de limite dans L^{1} (Car, par la réciproque du théorème de Lebesgue, si elle convergeait, ce serait vers zéro et elle ne peut tendre vers zéro si sa norme ne tend pas vers zéro.) Elle converge par contre vers 0 dans L^{2}(IR).

2) On sait que L^{1} ∩ L^{2} est dense dans L^{2} car il contient par exemple toutes les fonctions continues à support borné. Si maintenant f ∈ L^{1} ∩ L^{2}, on pose f_{n} = f − (∫ f)χ_{n}. Alors f_{n} converge vers f dans L^{2} et est à moyenne nulle.

3) Les fonctions de Haar sont toutes à moyenne nulle et leur norme dans L^{2} est 1. Soient deux fonctions H_{i}^{k} et H_{i′}^{k′}. Supposons d’abord que k′ > k. Alors la première fonction est constante sur tous les intervalles dyadiques de longueur 2^{−k} tandis que la seconde est à moyenne nulle sur tout intervalle dyadique de longueur supérieure ou égale à 2^{k′−1} ≥ 2^{k}. Donc le produit scalaire des deux fonctions est nul. Si maintenant k = k′ et i ≠ i′, les supports des deux fonctions sont disjoints et elles sont donc à nouveau orthogonales.

4) Les fonctions de Haar constantes sur les intervalles dyadiques de longueur 2^{−k} et à support dans [0, 1] sont : H_{0}^{0}, constante sur les intervalles de longueur \frac{1}{2}, H_{0}^{1} et H_{1}^{1}, constantes sur les intervalles de longueur \frac{1}{4},... H_{0}^{2^{k−1}}, ..., H_{2^{k−1}−1}^{2^{k−1}}, constantes sur les intervalles de longueur 2^{−k}, soit 1 + 2 + ... + 2^{k−1} = 2^{k} − 1 fonctions. L’ensemble des fonctions dyadiques de W_{k} a pour dimension 2^{k} et son sous-espace de fonctions à moyenne nulle W̃_{k} a une dimension de moins, soit 2^{k} − 1. On voit que les fonctions de Haar considérées forment une base de W̃_{k}. Si on leur adjoint la fonction 1 qui est bien orthogonale aux précédentes, on obtient une base orthonormée de V_{k}, espace des fonctions dyadiques d’échelle 2^{−}k sur [0, 1]. Par ailleurs, ⋃_{k} V_{k} est dense dans L^{2}([0, 1]). Le système ⋃_{k≥0} S_{k} ∪ {1} est donc total dans L^{2}([0, 1]). Comme il est orthonormé, c’est une base hilbertienne.

5) Par un raisonnement de dimension identique à celui utilisé pour [0, 1], on voit que les fonctions de Haar forment une base des fonctions dyadiques d’échelle inférieure ou égale à k, à moyenne nulle dont le support est contenu dans [2^{−k}, 2^{k}]. Le système de Haar engendre donc V_{k}. Le système ∪_{k∈IN}V_{k} contient toutes les fonctions dyadiques à moyenne nulle et à support compact. Il engendre donc un sous-espace dense de l’espace des fonctions continues, à support compact et à moyenne nulle, qui est lui-même dense dans L^{2}(IR) (question 2).

6) Calculons les premiers termes du développement de la fonction caractéristique de [−1, 1] sur la base de Haar. On pourrait calculer tous les produits scalaires, mais il est plus commode de remarquer que

11_{[0,1]} = \frac{1}{2}11_{[0,2]} + H_{0}^{−1}, puis que

11_{[0,2]} = \frac{1}{2}11_{[0,4]} + H_{0}^{−2}, etc.. Donc

11_{[0,1]} = H_{0}^{−1} + \frac{1}{2}H_{0}^{−2} + ... + \frac{1}{2^{k}} H_{0}^{n} + ...

7) Evident !

8) f̃ est considérée comme une forme linéaire sur V_{k}, qui est de dimension finie. En choisissant la base canonique sur V_{k} des fonctions e_{i}^{k} égales à 2^{k} sur [i2^{−k}, (i + 1)2^{−k}], on a pour tout v = (v_{i}) dans V_{k} par linéarité,

f̃(v) = ∑_{i} 2^{−k}v_{i}f̃(e_{i}^{k}) = ∫_{C} f_{k}(x)v(x)dx

si on pose f_{k} = (f̃(e_{i}^{k}))_{i} ∈ V_{k}.

9) On applique l’inégalité de Hölder, en notant que V_{k} est aussi bien un sous-espace de L^{p} que de L^{p′} : |f̃(v)| = | ∫ f_{k}v| ≤ ||f_{k}||_{L^{p′}}||v||_{L^{p}}. (6)

Comme V_{k} a été muni de la norme L^{p}, on déduit immédiatement que ||f̃||_{V′_{k}} ≥ ||f_{k}||_{L^{p′}}. Montrons qu’on a égalité. Il suffit de trouver v = v(i) ∈ V_{K} tel que l’égalité soit réalisée dans (??). On pose simplement v(i) = Signe(f_{k}(i))|f_{k}(i)|^{p′−1}. Alors

f̃(v) = 2^{−k} ∑_{i} |f_{k}(i)|^{p′−1}|f_{k}(i)| = ||f_{k}||_{L^{p′}}^{p′},

tandis que

||v||_{L^{p}} = (2^{−k} ∑_{i} |f_{k}(i)|^{(p′−1)p})^{\frac{1}{p}} = ||f_{k}||L^{p′}^{\frac{p′}{p}}.

De ces deux dernières relations, on déduit que

\frac{|f̃(v)|}{||v||_{L^{p}}} = \frac{||f_{k}||_{L^{p′}}^{p′}}{||f_{k}||L^{p′}^{\frac{p′}{p}}} = ||f_{k}||_{L^{p′}}.

On a donc bien égalité possible dans (??).

10) Comme V_{k} ⊂ L^{p}, on a évidemment (définition de la norme d’une application linéaire) :

||f̃||_{(V_{k})′} ≤ ||f̃||_{(L^{p})′}

et donc, par la question précédente

||f_{k}||_{L^{p′}} ≤ ||f̃||_{(L^{p})′}.

11) Ceci découle immédiatement de la relation de martingale appliquée à l’intervalle de V_{k}, C_{i}^{k} = [i2^{−k}, (i + 1)2^{−k}]. On peut aussi revenir à la relation définissant f_{k}, à savoir f_{k} = (f̃(e_{i}^{k}))_{i}. Comme e_{i}^{k} = \frac{1}{2}(e_{2i}^{k+1} + e_{2i+1}^{k+1}), simple relation de subdivision d’intervalle, on tire la relation demandée en appliquant f̃ aux deux membres.

12) Sur l’intervalle [2^{−k}i, 2^{−k−1}(2i + 1)], la fonction f_{k+1} − f_{k} vaut donc \frac{1}{2}(f_{k+1}(2i) − f_{k+1}(2i + 1)) et l’opposé sur l’intervalle suivant [2^{−k−1}(2i + 1), 2^{−k}(i + 1)]. C’est donc bien une fonction de Haar, dyadique et d’échelle k. On en déduit que f_{k+1} − f_{k} est une somme de 2^{k} fonctions de Haar.

13) La relation (??)

∫_{[0,1]}(f_{k+1} − f_{k})(f_{l+1} − f_{l}) = 0 si k ≠ l.

découle immédiatement de l’orthogonalité des fonctions de Haar d’échelles dyadiques différentes.

14) La relation |a + b|^{2} + |a − b|^{2} = 2(|a|^{2} + |b|^{2}) donne

|f_{k+1}(2i) + f_{k+1}(2i + 1)|^{2} + |f_{k+1}(2i) − f_{k+1}(2i + 1)|^{2} = 2(|f_{k+1}(2i)|^{2} + |f_{k+1}(2i + 1)|^{2}).

On somme l’identité en question en i = 0, 2, ..., 2^{k} − 1 et on multiplie les deux membres par 2^{−k} ce qui donne le résultat à condition de remarquer que par la question 12),

∫_{C} |f_{k+1} − f_{k}|^{2} = ∑_{i=0,...,2^{k}−1} 2^{−k} \frac{1}{4}|f_{k+1}(2i) − f_{k+1}(2i + 1)|^{2},

et par la question 11), f_{k}(i) = \frac{1}{2}(f_{k+1}(2i) + f_{k+1}(2i + 1)), et donc

∫ |f_{k}|^{2} = ∑_{i=0}^{i=2^{k}−1} 2^{−k} \frac{1}{4}|f_{k+1}(2i) + f_{k+1}(2i + 1)|^{2}dx

et qu’enfin

∫ |f_{k+1}|^{2} = ∑_{i=0}^{i=2^{k}−1} 2^{−k} \frac{1}{2}(|f_{k+1}(2i)|^{2} + |f_{k+1}(2i + 1)|^{2}.

On obtient donc (??),

∫_{[0,1]} |f_{k}(x)|^{2}dx + ∫_{C} |f_{k} − f_{k+1}|^{2}dx = ∫_{C} |f_{k+1}(x)|^{2}dx.

15) En effet, C étant borné, l’inégalité de Hölder nous donne ||f_{k}||_{L^{2}(C)} ≤ c||f_{k}||_{L^{p′}(C)} puisque p′ > 2. Comme la suite f_{k+1} − f_{k} est un système orthogonal, la relation (??) implique que la suite f_{k} converge dans L^{2}(C) : en effet, on somme cette relation en k et en simplifiant, il vient

∑_{1}^{∞} ||f_{k} − f_{k+1}||_{L^{2}}^{2} ≤ lim sup_{k} ||f_{k+1}||^{2} − ||f_{0}||^{2} ≤ C,

car f_{k} est bornée dans L^{p′}(C) et p′ > 2, ce qui implique, C étant borné, que ||f_{k}||_{L^{2}} ≤ C. Comme la suite f_{k} − f_{k+1} est une suite orthogonale dans un Hilbert, on déduit que la série f_{k} −f_{k+1} converge dans L^{2}(C) et donc que f_{k} converge dans L^{2}(C) vers une fonction f ∈ L^{2}(C).

16) On considère une sous-suite de f_{φ(k)} = g_{k} qui converge presque partout vers f (réciproque du théorème de Lebesgue). Alors, par le Lemme de Fatou, ∫_{C} lim_{k} |f(x)|^{p′} ≤ lim inf_{k} ∫ |g_{k}(x)|^{p′}dx.

17) La relation f̃(v) = ∫_{C} fv pour v ∈ L^{p}(C) est vraie si v est dans un quelconque V_{k}, car on a alors f̃(v) = ∫ f_{k}v → ∫ fv, v étant bornée et f_{k} convergeant dans L^{2}. Les formes linéaires continues f̃ et f coïncident sur un sous espace dense de L^{p}(C), l’union des V_{k}, et donc partout.