Examen d’analyse, magistère de Mathématiques, ENS Cachan 98-99. Le polycopié et les notes sont autorisés. Ne pas redémontrer ce qui est prouvé dans le polycopié. Se contenter de citer précisément les passages du polycopié utilisés.

Problème : élasticité non linéaire.

Soient E et F deux espaces de Banach, dont on notera les normes ||x||_{E} et ||y||_{F}. On munit E × F de la norme ||(x, y)|| = ||x||_{E} + ||y||_{F}.

1) Démontrer brièvement que E × F est un espace de Banach.

2-a) Soit f une forme linéaire continue sur E × F. Démontrer qu’il existe g ∈ E′ et h ∈ F′ tels que f(x, y) = g(x) + h(y). Donner la norme de f en fonction de celles de g et h.

2-b) Application : décrire le dual de L^{p}(IR) × L^{p}(IR) et exprimer la mise en dualité sous forme d’intégrale sur IR.

3) Soit I = [a, b] un intervalle borné de IR. On dira qu’une fonction u appartient donc à W^{1,p}(I) si u ∈ L^{p}(I) et si sa “dérivée au sens des distributions” dans I est dans L^{p}. Cela veut dire que

∃v(= u′) ∈ L^{p}, ∀φ ∈ C_{0}^{∞}(I), ∫_{I} v(x)φ(x)dx = − ∫_{I} u(x)φ′(x)dx.

Démontrer que si u ∈ C^{1}(I), alors u ∈ W^{1,p}(I) pour tout 1 ≤ p ≤ ∞. On munit W^{1,p} de la norme ||u||_{W^{1,p}} = ||u||_{L^{p}} + ||u′||_{L^{p}}.

4) Démontrer que W^{1,p}(I) est un espace de Banach pour 1 ≤ p ≤ +∞.

5) Quand p = 2, montrer que W^{1,2}(I) est muni naturellement d’une structure hilbertienne, donner son produit scalaire et montrer que la norme hilbertienne associée est équivalente à celle donnée au 3).

6) Dual de W^{1,p}(I)). Si 1 ≤ p < ∞, montrer que toute forme linéaire f sur W^{1,p}(I) peut s’écrire sous la forme

f(u) = ∫_{I} gu + ∫_{I} hu′, où g, h ∈ L^{p′}. (1)

Marche à suivre : On considérera le plongement u ∈ W^{1,p} → I(u) = (u, u′) ∈ (L^{p})^{2}. Si f est une forme linéaire continue sur W^{1,p}, on posera f̃ = f ∘ I. On vérifiera que f̃ est une forme linéaire continue sur un sous-espace vectoriel de l’image I(W^{1,p}). On appliquera alors le théorème de Hahn-Banach et le résultat du 2-b).

6) Réciproquement, montrer que l’on peut associer à tout couple g, h ∈ L^{p′}(I) une forme linéaire sur W^{1,p}(I) par la formule (??).

7) Démontrer que W^{1,p} est réflexif et séparable.

8) Application à l’élasticité non linéaire. On considère, pour un terme forçant g ∈ L^{p′} (1 < p < +∞), la fonctionnelle d’énergie d’un élastique (de longueur au repos égale à 1, d’extrémités libres)

E(u) = ∫_{0}^{1} |u′(x)|^{p} + |u(x)|^{p}dx − ∫_{0}^{1} g(x)u(x)dx.

Le premier terme est l’énergie élastique proprement dite, qui augmente avec l’élongation u′, le second terme est un terme de rappel qui augmente avec l’éloignement de 0 et le troisième terme est l’énergie potentielle d’une densité de charge g.

8-a) Vérifier que E est bien définie sur W^{1,p} et que E(u) → +∞ quand ||u||_{W^{1,p}} → +∞. On dit que E est ”coercive”.

8-b) Montrer que E est strictement convexe. En déduire que si E atteint son minimum, il est atteint en un unique point u ∈ W^{1,p} qui est donc l’état d’équilibre.

8-c) Montrer que E atteint son minimum u dans W^{1,p}.

8-d) Soit φ ∈ C_{0}^{∞}(I) et u réalisant le minimum de E. En exprimant que E(u+tφ) ≥ E(u) pour tout t ∈ IR et en faisant tendre t vers zéro, montrer que u satisfait pour tout φ ∈ C_{0}^{∞} la relation variationnelle :

∫_{0}^{1}(|u′(x)|^{p−2}u′(x)φ′(x) + |u(x)|^{p−2}u(x)φ(x))dx = \frac{1}{p} ∫_{0}^{1} g(x)φ(x)dx.

9) On dit alors (et c’est une définition) que “u est solution au sens des distributions” de l’équation nonlinéaire d’équilibre

−(|u′(x)|^{p−2}u′(x))′ + |u(x)|^{p−2}u = \frac{1}{p}g(x).

Justifier cette expression, en montrant que si le minimum u de E est C^{2}, alors il vérifie effectivement l’équation précédente.

Exercice 1 On se donne une fonction f sommable sur IR et on pose

g(x) = ∫_{IR} \frac{(x + y)^{2}}{1 + (x − y)^{2}} f(y)dy.

1) Montrer que l’on a

(x + y)^{2} ≤ 2(x − y)^{2} + 8x^{2}

quels que soient x et y.

2) Démontrer que la fonction g est définie et continue en tout point x ∈ IR.

3) Démontrer que la fonction x → \frac{g(x)}{(1+x^{2})} est intégrable sur IR.

4) Démontrer que la fonction g est dérivable en tout point de IR.

Exercice 2 1) Si V est un sous-espace fermé d’un espace de Hilbert H, montrer que pour v ∈ H,

d(v, V) = Max(Re(u, v), u ∈ V^{⊥}, ||u|| = 1).

2) En déduire Max ∫_{−1}^{1} x^{2}g(x)dx où g : [−1, +1] → IR est soumis aux contraintes

∫_{−1}^{1} |g(x)|^{2} = 1, ∫_{−1}^{1} g(x)dx = 0, ∫_{−1}^{1} xg(x)dx = 0.

Exercice 3 Y-a-t-il des fonctions f_{n} et f telles que : (si ”oui”, donner un exemple ; si ”non”, dire pourquoi).

(a) f_{n} ⇀ f dans L^{p}(0, 1), (1 ≤ p < ∞), mais pas fortement ;

(b) f_{n} ∈ L^{3}(0, 1), f_{n} → 0 fortement dans L^{2}(0, 1) et f_{n} → 1 faiblement dans L^{3}(0, 1).

(c) f_{n} tend faiblement vers f dans L^{2}(0, 1) mais f_{n}(x) ne tend vers f(x) en aucun point.

(d) f_{n}(x) → \frac{1}{1+x^{2}} uniformément mais pas dans L^{2}(IR).

(e) On suppose que f_{n} ∈ L^{2}(IR)∩L^{3}(IR) converge faiblement dans L^{2}(IR) vers une fonction f et aussi faiblement vers une fonction g dans L^{3}(IR). A-t-on f = g ?

Exercice 4 Soit une suite de réels α_{i} tels que ∑_{i} α_{i}ξ_{i} soit une série convergente pour toute suite ξ_{i} tendant vers O. Démontrer que ∑_{i} |α_{i}| < ∞.

Exercice 5 Soit g une fonction croissante de IR^{+} dans IR^{+} telle que

lim_{s→+∞} \frac{g(s)}{s} = +∞.

Soit une suite de fonctions f_{n} mesurables telles que ∫_{0}^{1} g(f_{n}) < C pour une constante indépendante de n. On suppose que f_{n} converge presque partout vers une fonction f. Démontrer que f_{n} converge vers f dans L^{1}(0, 1).