\newtheorem{Exer}{Exercice}
\def\dexer{\begin{Exer}\rm}
\def\fexer{\end{Exer}}

\dexer
 D\e montrer que le graphe d'une application continue de $\real$ dans
$\real$ est un sous-ensemble de mesure nulle dans $\real^2$.  (On montrera que
la portion du graphe comprise entre les abcisses $-k$ et $k$ peut \eee tre
recouverte par des rectangles dont la somme des mesures est arbitrairement
petite).
\fexer

\dexer Soit $A\subset \real^N et soit $h$ \e gale \a $+\infty$ dans $A$ et \a 0
dans son compl\e mentaire.  D\e montrer que l'on a
$$\int_{\real^N}h(x)dx = 0 \hbox { si } \mu(A)=0,\;
\int_{\real^N}h(x)dx=+\infty
\hbox{ si } \mu(A)=+\infty.$$
\fexer

\dexer Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues telles que $f(x)=g(x)$ p.p.. 
Montrer que $f$ et $g$ sont \e gales partout.
\fexer

\dexer Soit $f$ une fonction positive sommable sur $\real$.  D\e montrer 
que $$\int_a^b f(x)dx \to \int_{\real}f(x)dx \hbox{ quand } a\to -\infty,\; b\to
+\infty.$$
G\e n\e ralisation : soit $A_n$ une suite croissante d'ensembles tels que
$\bigcup_n A_n = \real^N$.  Demontrer que $\int_{\real^N}f(x)dx=\lim_{n\to
\infty}\int_{A_n}f(x)dx. 
\fexer

\dexer
Soit $f$ une fonction positive sommable sur $\real^N$ et $A_n$ des
sous-ensembles de $\real^N$ tels que $\mu (A_n) \to 0$.  D\e montrer que 
$\int_{A_n}h(x)dx\to 0$ quand $n\to \infty$.
\fexer

\dexer (Un contrexemple \a m\e diter au th\e or\ee me de d\e rivation sous le
signe somme).  Soit $\varphi$ une fonction continue sur $[0,1]$.  On consid\ee
re, dans $[0,1]\times [0,1]$ la fonction $f$ d\e finie par $f(x,\lambda) =
\phi(x)$ si $x\leq \lambda$ et $f(x,\lambda)=0$ sinon.  On pose
$F(\lambda)=\int_0^1f(x,\lambda)dx$. Pour chaque $\lambda$, la d\e riv\e e
partielle existe sauf en un point, et elle est major\e e par une fonction
sommable fixe : la fonction 0. D\e terminer la d\e riv\e e de $F$.
\fexer