Partiel d’analyse, magistère de Mathématiques, ENS Cachan, Novembre 2000 Le polycopié et les notes sont autorisés. Ne pas redémontrer ce qui est prouvé dans le polycopié. Se contenter de citer précisément les passages du polycopié utilisés.

Exercice 1 Soit u : [0, +∞[→ [0, +∞[, une bijection strictement croissante.

a) Montrer que xu(x) = ∫_{0}^{x} u(t)dt + ∫_{0} u(x)u^{−1}(t)dt.

b) On pose U(x) = ∫_{0}^{x} u(t)dt et V (y) = ∫_{0}^{y} u^{−1}(t)dt. Déduire que xy ≤ U(x) + V (y).

c) Que donne cette formule si u(s) = s^{α}, 0 < s < +∞ ? Conclure que si U(f) ∈ L^{1} et V (g) ∈ L^{1}, alors fg ∈ L^{1}.

Exercice 2 Soit f une fonction mesurable à valeurs réelles. On considère h : [1, +∞] → IR^{+} définie par h(p) = ||f||_{L^{p}}.

(a) Montrer qu’il existe p_{0} tel que h soit continue sur [1, p_{0}], et h(p) = ∞ pour p > p_{0}.

(b) Montrer que p → Logh(p) est convexe sur [1, p_{0}].

Exercice 3 Applications du théorème de Banach-Steinhaus à l’étude de propriétés génériques de suites et séries (I)

(a) Soient c_{0} l’ensemble des suites de complexes (ξ_{n})_{n} convergeant vers 0, muni de la norme ||ξ||_{∞} = sup_{n} |ξ_{n}|etsoitl^{1} l’ensemble des suites α_{n} telles que ∑_{n} |α_{n}| < +∞. Montrer que ce sont des espaces de Banach et que c′_{0} = l^{1}.

(b) Montrer que si ∑_{n} α_{n}ξ_{n} converge pour toute suite ξ_{n} telle que ξ_{n} → 0 quand n → ∞, alors ∑_{n} |α_{n}| < +∞.

(b) On considère les opérateurs T_{n}(ξ) = ∑_{i=1}^{n} α_{i}ξ_{i}. Par hypothèse, on a sup_{n} T_{n}(ξ) < +∞ pour tout x. Par le théome de Banach-Steinhaus, on en déduit que sup_{n} ||T_{n}|| < +∞. Mais

||T_{n}|| = sup_{sup_{i} |ξ_{i}|≤1} | ∑_{i}^{n} α_{i}ξ_{i}| = ∑_{i}^{n} |α_{i}|.

Donc sup_{n} ∑_{1}^{n} |α_{n}| < +∞, soit ∑_{i} |α_{i}| < +∞.

Exercice 4 Dans un espace topologique, on appelle G_{δ} toute intersection dénombrable d’ouverts. On appelle de même F_{σ} toute union dénombrable de fermés (Notations dues à Hausdorff ; en allemand Gebiet = ouvert, Summe = somme et Durschnitt = intersection.) Les G_{δ} denses sont intuitivement des ensembles ”gros”. On va en particulier donner une condition simple pour qu’ils ne soient pas dénombrables :

(a) Montrer que dans un espace métrique complet E sans point isolé, aucun ensemble dénse et dénombrable ne peut être un G_{δ}. (Supposer le contraire et

(a) Soit x_{n} les points d’un ensemble dénombrable dense de E. Supposons que E soit un G_{δ}. Alors E = ⋂ O_{n}, où chaque O_{n} est ouvert et dense. Soit U_{n} = O_{n} \ ⋃_{k=1}^{n}{x_{k}. Alors U_{n} est aussi un ouvert dense, mais ⋂ V_{n} = ∅, ce qui contredit le théorème de Baire.

(b) Formulation précisée du théorème de Banach-Steinhaus : En reprenant la démonstration du théorème de Banach-Steinhaus, montrer que si E et F sont deux espaces de Banach et T_{i} une famille d’opérateurs linéaires continus de E dans F, on a l’alternative suivante : -ou bien sup_{i∈I} ||T_{i}|| < +∞ -ou bien sup_{i∈I} ||T_{i}(x)|| = +∞ pour x dans un G_{δ} dense de E.

(c) On note C(T) l’espace des fonctions f : IR → C continues et 2π−périodique, munidelanormedelaconvergenceuniformeetL^{1}(T) = L^{1}(0, 2π). Pour f ∈ C(T), on considère pour n ∈ IN les sommes partielles de la série de Fourier de f,

s_{n}f(x) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} f(t)D_{n}(x − t)dt,

où

D_{n}(t) = ∑_{−n}^{n} e^{ikt}.

Connaissez-vous des conditions suffisantes sur f pour que s_{n}f(x) tende vers f(x) ?

(b)

(c) On va montrer qu’il n’est pas vrai que s_{n}f(x) converge vers f(x) pour tout f ∈ C(T). et pour tout x. On pose

s^{⋆}f(x) = sup_{n} |s_{n}f(x)|, et S_{n}f = s_{n}f(0).

Montrer que la forme linéaire sur C(T), f → S_{n}f, vérifie

——S_{n}f|| ≤ ||D_{n}||_{L^{1}}.(1) Montrer que cette inégalité est la meilleure possible, c’est--dire qu’il existe pour tout n une suite de fonctions f_{k} ∈ C(T) telles que ||S_{n}f_{k}|| → ||D_{n}||_{L^{1}}.

(c)

(d) Montrer que

D_{n}(t) = \frac{sin(n + \frac{1}{2})t}{sint}.

Dessiner D_{n}(t) pour n = 4.

(d) Démontrer que ||D_{n}||_{L^{1}} → ∞ quand n → ∞.

(d) Compte tenu de |sinx| ≤ |x|, on a

||D_{n}||_{L^{1}} ≥ \frac{2}{π} ∫_{0}^{π} |sin(n + \frac{1}{2})t|\frac{dt}{t} = \frac{2}{π} ∫_{0}^{(n+ \frac{1}{2} )π} |sint|\frac{dt}{t}

> \frac{2}{π} ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{kπ} ∫_{(k−1)π}^{kπ} |sint|dt = \frac{4}{π^{2}} ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k} → ∞.

(e) Déduire que ||S_{n}|| → ∞ quand n → ∞, puis que pour tout x dans IR, s^{⋆}f(0) = ∞ pour tout f dans un G_{δ} dense de C(T), notéE_{x}.

(e) La première relation découle immédiatement des questions (?) et (?). Les opérateurs S_{n} étant continus sur C(T) et vérifiant sup_{n} ||S_{n}|| = +∞, il existe par la formulation précisée (a) du théorème de Banach-Steinhaus un G_{δ} dense E_{0} de C(T) tel que s^{⋆}f(0) = +∞ pour tout élément de E_{0}. Mais on peut appliquer ce même résultat à tout point x de IR, ce qui permet de conclure.

(f) Déduire de (?) et de (?) qu’il existe un G_{δ} dense E de C(T) tel que pour tout f dans E, l’ensemble {x, s^{⋆}f(x) = ∞} est un G_{δ} dense de IR. Exercice 5 (a) (b) (c) (d) Exercice 6 (a) (b) (c) (d) Exercice 7 (a) (b) (c) (d) Exercice 8 (a) (b) (c) (d)