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\def\R\'esum\'e{\small\noindent\bf R\'esum\'e. \rm}
\def\Abstract{\small\noindent\bf Abstract. \rm}

\def\nin{\not\in}                 % la negation de \in
\def\indic{1\!\!1}                % fonction indicatrice
\def\levelset{\chi}           % la surface de niveau
\def\meas{\mathop{\rm meas}}      % mesure de
\def\setB{\SetB}
\def\real{I\!\!R}
\def\natural{I\!\!N}
\def\relative{{\bf Z}}
\def\rational{{\bf Q}}
\def\complex{{\bf C}}
\def\mes{\hbox{mes}}
\def\sin{\hbox{sin}}
\def\cos{\hbox{cos}}
\def\med{\hbox{med}}
\def\interieur{\hbox{\rm Int\'{e}rieur}}
\def\signe{\hbox{\rm Signe}}
\def\vect{\hbox{\rm Vect}}
\def\Re{\hbox{\rm Re}}
\def\support{\hbox{\rm Support}}
\def\supp{\hbox{\rm Support}}

\def\fb&{\begin{equation}}
\def\fe&{\end{equation}}

%rappel : \overline{cequ'onveut}
\newtheorem{thf}{Th\e or\ee me}%[chapter]
\newtheorem{cor}{Corollaire}%[chapter]
\newtheorem{pro}{Proposition}%[chapter]
\newtheorem{Def}{D\e finition}%[chapter]
\newtheorem{lem}{Lemme}%[chapter]
\newtheorem{exa}{Exemple}%[chapter]

\newtheorem{rem}{Remarque}%[chapter]%  remarque 
\def\drem{\begin{rem}\rm}%  sans
\def\frem{\end{rem}}%      		italique !

\newtheorem{exo}{Exercice}%[chapter]
\newtheorem{propr}{Propri\e t\e}%[chapter]
\newtheorem{Exer}{Exercice}%[chapter]  %Exercice

\def\dexer{\begin{Exer}\rm}    %sans
\def\fexer{\end{Exer}}        %italique !

\def\skipaline{\vspace{4 mm}\noindent}

\def\fb& {\begin{equation}}       % debut d'une equation
\def\fe& {\end{equation}}         % fin d'une equation
\def\enddemo{\hfill $\large\circ$ \newline\newline}     % fin de preuve
\def\Varphi{{\bf \varphi}}
\def\e {\'{e}}
\def\ee {\`{e}}
\def\eee {\^{e}}
\def\e {\'{e}}
\def\ea {\'{e} }
\def\ee {\`{e}}
\def\eee {\^{e}}
\def\a {\`{a} }
\def\aa {\^{a}}
\def\ii {\^{\i}}
\def\iii {\"{\i}}
\def\ccaadd{ c'est-\`{a}-dire }
\def\u {\`{u} }
\def\uu {\^{u}}
\def\oo {\^{o}}
\def\ooo {\"{o}}

%\newcommand\contentsname{Table des Mati\ee res}
%\newcommand\chaptername{Chapitre}
%\newcommand\today{\ifcase\month\or
%  Janvier\or F\'{e}vrier\or Mars\or Avril\or Mai\or Juin\or
%  Juillet\or Ao\^{u}t\or Septembre\or Octobre\or Novembre\or D\'{e}cembre\fi
%  \space\number\day, \number\year}

\def\gmoins{g^+_{-1}}
%rappel pour la c\e dille : fran\c cais
\def\indexentry#1#2{\noindent #1, #2 \newline}
\makeindex


\begin{document}
\noindent{\bf Examen d'analyse, magist\ee re de Math\e matiques, ENS Cachan 98-99.
}

\noindent {\it  Le polycopi\ea et les notes sont autoris\e s. Ne pas red\e
montrer ce qui est prouv\ea dans le polycopi\e .  Se contenter de citer pr\e cis\e
ment les passages du polycopi\ea utilis\e s.}
\newline
\newline
\noindent{\bf Probl\ee me : \e lasticit\ea non lin\e aire.}
\newline\newline
Soient $E$ et $F$ deux espaces de Banach, dont on notera les  normes $||x||_E$ et
$||y||_F$.  On munit $E\times F$ de la norme $||(x,y)||= ||x||_E+||y||_F$.
\newline\newline
1) D\e montrer bri\ee vement  que $E\times F$ est un espace de Banach.
\newline\newline
2-a) Soit $f$ une forme lin\e aire continue sur $E\times F$. D\e montrer qu'il existe 
$g\in E'$ et $h\in F'$ tels que $f(x,y)=g(x)+h(y)$.  Donner la norme de $f$ en
fonction de celles de $g$ et $h$.  
\newline\newline
2-b) Application : d\e crire le dual de $L^p(\real)\times
L^p(\real)$ et exprimer la mise en dualit\ea sous forme d'int\e grale sur $\real$.
\newline\newline
3) Soit $I= [a, b]$ un intervalle born\ea de $\real$. On dira qu'une fonction $u$
appartient donc
\a
$W^{1,p}(I)$ si $u\in L^p(I)$ et si  sa ``d\e riv\e e au sens des distributions" dans
$I$ est dans $L^p$.  Cela veut dire que
$$\exists v(=u')\in L^p, \; \forall \varphi\in C_0^\infty(I), \; \int_I
v(x)\varphi(x)dx=-\int_I u(x)\varphi'(x)dx.
$$
D\e montrer que si $u\in C^1(I)$, alors $u\in W^{1,p}(I)$ pour tout $1\leq p\leq
\infty.$ On munit $W^{1,p}$ de la norme $||u||_{W^{1,p}}=||u||_{L^p}+||u'||_{L^p}.$
\newline\newline
4) D\e montrer que $W^{1,p}(I)$ est un espace de Banach pour $1\leq p\leq +\infty$.
\newline\newline
5)  Quand $p=2$, montrer que $W^{1,2}(I)$ est muni naturellement d'une structure
hilbertienne, donner son produit scalaire et montrer que la norme hilbertienne
associ\e e est \e quivalente \a celle donn\e e au 3).
%Soit $u_n$ une suite de Cauchy dans $W^{1,p}$. Il existe donc $(u,g)\in
%(L^p(I))^2$ tels que 
%$$u_n\to u \hbox{ dans } L^p, \; u'_n\to g \hbox{ dans } L^p.$$
%Comme pour tout $\varphi \in C_0^\infty(I),$ on a
%$$\int_I u_n\varphi' + \int_I u'_n\varphi=0,$$
%on obtient en passant \a la limite $\int_Iu\varphi'+\int_Ig\varphi=0,$ ce qui veut
%dire que $u'=g$ et donc que $u\in W^{1,p}$. On conclut que $u_n\to u$ dans
%$W^{1,p}$.
\newline\newline
6) Dual de $W^{1,p}(I)$).  Si $1\leq p<\infty$, montrer que
toute forme lin\e aire
$f$ sur
$W^{1,p}(I)$ peut s'\e crire sous la forme 
\fb& \label{dualdeW1p}
f(u)= \int_I gu+\int_I hu', \hbox{ o\u } g,h\in L^{p'}.
\fe& 
Marche \a suivre : On consid\e rera  le plongement $u\in W^{1,p}\to I(u)=(u,u')\in
(L^p)^2$. Si $f$ est une forme lin\e aire continue sur $W^{1,p}$, on posera $\tilde
f=f\circ I$. On v\e rifiera que $\tilde f$ est une forme lin\e aire continue sur 
un sous-espace vectoriel de 
l'image
$I(W^{1,p})$. On appliquera alors le th\e or\ee me de Hahn-Banach et le r\e sultat
du 2-b).
\newline\newline
6) R\e ciproquement, montrer que l'on peut associer \a tout couple $g,h\in
L^{p'}(I)$ une forme lin\e aire sur $W^{1,p}(I)$ par la formule (\ref{dualdeW1p}).
%On a $f(u)\leq C(||u||_{L^p}+||u'||_{L^p})$.
%On consid\ee re le plongement $u\in W^{1,p}\to I(u)=(u,u')\in (L^p)^2$.  Donc 
%$\tilde f=f\circ I$ v\e rifie, sur l'image $I(W^{1,p})$, 
%$$
%|\tilde f(v,w)|\leq
%C(||v||_{L^p}+||w||_{L^p}).
%$$ 
% Par le th\e or\ee me de Hahn-Banach, on peut \e
%tendre $\tilde f $ \a $(L^p)^2$ et par le th\e or\ee me de Riesz il existe donc
%des fonctions $g, h\in (L^p)'=L^{p'}$ telles que $\tilde f(v,w)=\int gv+\int hw$.
%Donc $f(u) = \int gu + \int hu'$. La r\e ciproque est imm\e diate.  Remarquer que 
%$||f||_{(W^{1,p})'}= \max (||g||_{L^{p'}}, ||h||_{L^{p'}})$.
%\enddemo
\newline\newline
7) D\e montrer que $W^{1,p}$ est r\e flexif et s\e parable.
\newline\newline
8) Application \a l'\e lasticit\ea non lin\e aire.  On consid\ee re, pour un terme
for\c cant 
$g\in L^{p'}$ ($1<p<+\infty$), la fonctionnelle d'\e nergie d'un \e lastique (de
longueur au repos
\e gale \a 1, d'extr\e mit\e s libres)
$$E(u) = \int_0^1 |u'(x)|^p + |u(x)|^p dx -\int_0^1g(x)u(x)dx.$$
Le premier terme est l'\e nergie \e lastique proprement dite, qui augmente avec 
l'\e longation $u'$, le second terme est un terme de rappel qui augmente avec l'\e
loignement de 0 et le troisi\ee me terme est l'\e nergie potentielle d'une densit\ea
de charge $g$.
\newline\newline
8-a) V\e rifier que $E$ est bien d\e finie sur $W^{1,p}$ et que $E(u)\to +\infty$ 
quand $||u||_{W^{1,p}}\to +\infty$.  On dit que $E$ est "coercive".
\newline\newline
8-b) Montrer que $E$ est strictement convexe. En d\e duire que si $E$ atteint son
minimum, il est atteint en un unique point $u\in W^{1,p}$ qui est donc l'\e tat d'\e
quilibre.
\newline\newline
8-c) Montrer que $E$ atteint son minimum $u$ dans $W^{1,p}$.  
\newline\newline
8-d) Soit $\varphi\in C_0^\infty(I)$ et $u$ r\e alisant le minimum de $E$.  En
exprimant que
$E(u+t\varphi)\geq E(u)$ pour tout $t\in \real$ et en faisant tendre $t$ vers z\e ro,
montrer que $u$ satisfait pour tout $\varphi\in C_0^\infty$ la relation
variationnelle : 
$$\int_0^1 (|u'(x)|^{p-2}u'(x)\varphi'(x) + |u(x)|^{p-2}u(x)\varphi(x))dx = \frac 1 p
\int_0^1 g(x)\varphi(x)dx.$$
9)
On dit alors (et c'est une d\e finition) que ``$u$ est solution au sens des
distributions" de l'\e quation nonlin\e aire d'\e quilibre
$$-(|u'(x)|^{p-2}u'(x))'+ |u(x)|^{p-2}u = \frac 1p g(x).$$
Justifier cette expression, en montrant que si le minimum $u$ de $E$ est $C^2$,
alors il v\e rifie effectivement l'\e quation pr\e c\e dente.

\dexer
\label{exercice1}
On se donne une fonction $f$ sommable sur $\real$ et on pose
$$g(x)=\int_{\real}\frac{(x+y)^2}{1+(x-y)^2}f(y)dy.$$


\skipaline 1) Montrer que l'on a 
$$(x+y)^2\leq 2(x-y)^2+8x^2$$
quels que soient $x$ et $y$.

\skipaline 2) D\e montrer que la fonction $g$ est d\e finie et continue en tout
point $x\in \real$.

\skipaline 3) D\e montrer que la fonction $x\to \frac{g(x)}{(1+x^2)}$ est int\e
grable sur $\real$.

\skipaline 4) D\e montrer que la fonction $g$ est d\e rivable en tout point de
$\real$.

 \fexer

\dexer
1) Si $V$ est un sous-espace ferm\ea d'un espace de Hilbert  $H$, montrer que pour
$v\in H$, $$d(v,V)= \hbox{Max}(Re(u,v), \; u\in V^\perp, \; ||u||=1).$$
\newline\newline 2) En d\e duire $\hbox{Max}\int_{-1}^1 x^2g(x)dx$ o\u $g:\; [-1,
+1]\to
\real$ est soumis aux contraintes
$$\int_{-1}^1 |g(x)|^2=1, \; \int_{-1}^1 g(x)dx=0, \; \int_{-1}^1xg(x)dx=0.$$
\fexer

\dexer Y-a-t-il des fonctions $f_n$ et $f$ telles que : 
\newline (si "oui", donner un exemple ;  si "non", dire pourquoi).
\newline\newline (a) $f_n\rightharpoonup f$ dans $L^p(0,1)$, $(1\leq p<\infty)$, mais
pas fortement ;
\newline\newline (b)  $f_n\in L^3(0, 1),$ $f_n\to 0$ fortement dans
$L^2(0,1)$ et
$f_n\to 1$ faiblement dans $L^3(0,1)$.
\newline\newline (c) $f_n$ tend faiblement vers $f$ dans $L^2(0,1)$ mais $f_n(x)$ ne
tend vers $f(x)$ en aucun point.
\newline\newline (d) $f_n(x)\to \frac 1 {1+x^2}$ uniform\e ment mais pas dans
$L^2(\real)$.
\newline\newline
(e) On suppose que $f_n\in L^2(\real)\cap L^3(\real)$ converge faiblement dans
$L^2(\real)$ vers une fonction $f$ et aussi faiblement vers une fonction $g$ dans
$L^3(\real)$.  A-t-on $f=g$ ?
\fexer

\dexer Soit une suite de r\e els $\alpha_i$ tels que $\sum_i \alpha_i \xi_i$ soit
une s\e rie convergente pour toute suite $\xi_i$ tendant vers O.  D\e montrer
que  $\sum_i |\alpha_i|<\infty.$
\fexer

\dexer  Soit $g$ une fonction croissante de $\real^+$ dans $\real^+$ telle que
$$\lim_{s\to +\infty}\frac{g(s)}s=+\infty.$$
Soit une suite de fonctions $f_n $ mesurables  telles que  $\int_0^1
g(f_n)<C$ pour une constante ind\e pendante de $n$.  On suppose que $f_n$ converge
 presque partout vers une fonction $f$. D\e montrer que $f_n$ converge vers 
$f$ dans $L^1(0,1)$.
\fexer

\end{document}
\dexer \label{equationdelachaleur} {\bf Equation de la chaleur}
On pose $G_t(x)  = (4\pi t)^{-\frac N 2}e^{-\frac{|x|^2}{4t}}$.  On appelle
${\cal F}_k(\real^N)$  l'espace des fonctions localement born\e es  $f$ sur
$\real^N$ telles que
$|f(x)|\leq  C(1 + |x|^k)$.


\skipaline
1)   Proposer une norme ``naturelle" pour les fonctions
dans cet espace et montrer qu'il est complet.  On note $\cal
F$ l'union des espaces ${\cal F}_k$. Une fonction de $\cal F$ est  appel\e ee
``fonction
\`{a} croissance lente". 

\skipaline
2)  Montrer que si $u$ appartient \`{a} ${\cal F}_k$ et si $g\geq 0$ satisfait 
$\int (1+|x|^k)g(x)dx = C(g) < \infty$,
alors $u\ast g_t\in {\cal F}$ et $||g_t\ast u||_{{\cal F}_k} \leq  2^kC(g)||u||_{{\cal
F}_k}$, pour $t\leq 1$,  o\`{u} $g_t$ d\e signe
 $g_t(x)=\frac {1}{t^{\frac N 2}}g(\frac x
{t^{\frac 1 2}})$.  (Remarquer que $\int g_t(x) dx = \int g(x) dx$.) Application 
\a la gaussienne.


\skipaline 
3)  On suppose que la donn\e e initiale $u_0$ de l'\e quation de la chaleur est
dans
${\cal F}_k$. On pose
$u(t,x) =  (G_t \ast u_0)(x)$.  D\e montrer que la fonction $x\to u(t,x)$ est
dans ${\cal F}_k$,  et qu'il 
en est de m\eee me de toutes ses d\e riv\e es partielles pour $t>0$.  D\e montrer
que $u(t,x)$ est solution de l'\e quation de la chaleur pour $t>0$.
\fexer