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\def\R\'esum\'e{\small\noindent\bf R\'esum\'e. \rm}
\def\Abstract{\small\noindent\bf Abstract. \rm}

\def\nin{\not\in}                 % la negation de \in
\def\indic{1\!\!1}                % fonction indicatrice
\def\levelset{\chi}           % la surface de niveau
\def\meas{\mathop{\rm meas}}      % mesure de
\def\setB{\SetB}
\def\real{I\!\!R}
\def\natural{I\!\!N}
\def\relative{{\bf Z}}
\def\rational{{\bf Q}}
\def\complex{{\bf C}}
\def\mes{\hbox{mes}}
\def\sin{\hbox{sin}}
\def\cos{\hbox{cos}}
\def\med{\hbox{med}}
\def\interieur{\hbox{\rm Int\'{e}rieur}}
\def\signe{\hbox{\rm Signe}}
\def\vect{\hbox{\rm Vect}}
\def\Re{\hbox{\rm Re}}
\def\support{\hbox{\rm Support}}
\def\supp{\hbox{\rm Support}}

\def\fb&{\begin{equation}}
\def\fe&{\end{equation}}

%rappel : \overline{cequ'onveut}
\newtheorem{thf}{Th\e or\ee me}%[chapter]
\newtheorem{cor}{Corollaire}%[chapter]
\newtheorem{pro}{Proposition}%[chapter]
\newtheorem{Def}{D\e finition}%[chapter]
\newtheorem{lem}{Lemme}%[chapter]
\newtheorem{exa}{Exemple}%[chapter]

\newtheorem{rem}{Remarque}%[chapter]%  remarque 
\def\drem{\begin{rem}\rm}%  sans
\def\frem{\end{rem}}%      		italique !

\newtheorem{exo}{Exercice}%[chapter]
\newtheorem{propr}{Propri\e t\e}%[chapter]
\newtheorem{Exer}{Exercice}%[chapter]  %Exercice

\def\dexer{\begin{Exer}\rm}    %sans
\def\fexer{\end{Exer}}        %italique !

\def\skipaline{\vspace{4 mm}\noindent}

\def\fb& {\begin{equation}}       % debut d'une equation
\def\fe& {\end{equation}}         % fin d'une equation
\def\enddemo{\hfill $\large\circ$ \newline\newline}     % fin de preuve
\def\Varphi{{\bf \varphi}}
\def\e {\'{e}}
\def\ee {\`{e}}
\def\eee {\^{e}}
\def\e {\'{e}}
\def\ea {\'{e} }
\def\ee {\`{e}}
\def\eee {\^{e}}
\def\a {\`{a} }
\def\aa {\^{a}}
\def\ii {\^{\i}}
\def\iii {\"{\i}}
\def\ccaadd{ c'est-\`{a}-dire }
\def\u {\`{u} }
\def\uu {\^{u}}
\def\oo {\^{o}}
\def\ooo {\"{o}}

%\newcommand\contentsname{Table des Mati\ee res}
%\newcommand\chaptername{Chapitre}
%\newcommand\today{\ifcase\month\or
%  Janvier\or F\'{e}vrier\or Mars\or Avril\or Mai\or Juin\or
%  Juillet\or Ao\^{u}t\or Septembre\or Octobre\or Novembre\or D\'{e}cembre\fi
%  \space\number\day, \number\year}

\def\gmoins{g^+_{-1}}
%rappel pour la c\e dille : fran\c cais
\def\indexentry#1#2{\noindent #1, #2 \newline}
\makeindex


\begin{document}
\noindent{\bf Examen d'analyse, magist\ee re de Math\e matiques, ENS Cachan 97-98.
}

\noindent {\it  Le polycopi\ea et les notes sont autoris\e s. Ne pas red\e
montrer ce qui est prouv\ea dans le polycopi\e .  Se contenter de citer pr\e cis\e
ment les passages du polycopi\ea utilis\e s.}

\dexer
\label{exercice1} (J.M. Bony, Ecole Polytechnique).
On se fixe une fonction $G\in L^1(\real)$.  Pour toute fonction $f$ d\e finie sur
$\real$, et pour tout entier $n\geq 1$, on pose, lorsque l'int\e grale est d\e finie,
$$T_n(f)(x)=\int_{\real} f(x-y^n)G(y)dy.$$

\noindent(a) On suppose que $f\in L^1(\real)$.  Montrer que la fonction $T_n(f)$ est
d\e finie pour presque tout  $x$ et appartient \a $L^1(\real)$.
\newline\newline
(b) Montrer que $T_n$ est une application lin\e aire continue de $L^1(\real)$ dans
lui-m\eee me. 
\newline\newline
(c) On suppose maintenant que $f$ est continue et born\e e sur $\real$.  Montrer que
$T_nf$ est d\e finie en tout point, et est elle-m\eee me continue et born\e e.
\newline\newline
(d) On suppose que $f$ est continue et born\e e sur $\real$ et que $f(x)\to 0$. 
Montrer qu'en chaque point $x$, on a
$$T_nf(x)\to Cf(x)$$
quand $n\to \infty$, o\u $C$ est une constante que l'on pr\e cisera.
\fexer

\dexer
Trouver la valeur maximale de $\int_0^1 xf(x)dx$ quand $f$ est une fonction r\e elle
telle que
$\int_0^1f(x)=0$ et $\int_0^1 |f(x)|^2dx=1$.  On donnera la fonction $f$ pour laquelle
cette valeur maximale est atteinte.
\fexer

\dexer Donner des exemples de fonctions $f$ et de suites de fonctions  $f_n$ telles
que
\newline\newline (a) $f\in W^{1,2}(0,1), f\notin W^{1, 3}(0,1)$ ;
\newline\newline (c) $f_n\rightharpoonup f$ dans $L^p(0,1)$, $(1\leq p<\infty)$, mais
pas fortement ;
\newline\newline (d) $f_n(x)\to \frac 1 {1+x^2}$ uniform\e ment mais pas dans
$L^2(\real)$.
\fexer

\dexer Approximation des d\e riv\e es de la masse de Dirac par des fonctions.

\skipaline
 (a) On pose $f_n(x)=-n $ si $-\frac 1 n \leq x\leq 0$, $f_n(x)=n$
si
$0< x\leq
\frac 1 n$, $f_n(x)=0$ ailleurs.
Calculer la limite  de $f_n$ au sens des distributions dans $\real$.
\newline\newline
(b) Trouver une suite de fonctions $f_n$ qui tend au sens des distributions vers
$\delta_0''$. 

\fexer

\newpage
\noindent{\bf  Probl\ee me}

\skipaline {\bf Premi\ee re partie  : une base hilbertienne : le syst\ee me de Haar.}

\skipaline
 (Densit\ea des fonctions \a moyenne nulle)

\skipaline
{\bf 1)} Soit la fonction $\chi_n(x)= \frac 1{2n}$ sur $[-n, n]$, $\chi_n(x)=0$
ailleurs.  Etudier sa limite dans $L^1(\real) $ et dans $L^2(\real)$ quand
$n\to \infty$.


\skipaline
{\bf 2)} 

2-i) Utiliser cette suite de fonctions pour montrer que le sous-espace de
$L^2(\real)$ constitu\ea des fonctions de
$L^2\cap L^1(\real)$ telles que $\int f(x)dx = 0$ est dense dans $L^2(\real)$. 

2-ii) Ce
r\e sultat est-il encore vrai si on remplace $\real$ par $[0,1]$ ?

\skipaline
{\bf 3)} On pose $H(x)=1$ si $0\leq x < \frac{1}{2}$ et  $H(x) = -1$ si $\frac
{1}{2} \leq x\leq 1$.  C'est la "fonction de
 Haar".  La dessiner.  On pose 
$H_i^k(x) = 2^\frac {k}{2}H(2^kx-i), i, k \in \cal Z$.  
$k$ est appel\e e {\it l'\e chelle dyadique} de la fonction de Haar $H_i^k$.
 

 {\bf 3-i)} Dessiner les fonctions de Haar pour $k= 1, 2$.  Quel est
le support de
$H_i^k$ ? 


 {\bf 3-ii)}  D\'{e}montrer que
ces fonctions forment un syst\`{e}me orthonormal de $L^2(\real)$.


\skipaline
{\bf 4)}  On fixe $k\geq 1$. On appelle $W_k$  l'espace des fonctions en
escalier de $[0,1]$ dyadiques et d'\e chelle dyadique inf\e rieure ou \e gale \a $k$.


 {\bf 4-i)} Compter les fonctions de Haar qui sont \a support dans
$[0,1]$ et qui sont d'\e chelle dyadique inf\e rieure ou \e gale \a $k$. On appelle
$S_k$ le syst\ee me qu'elles forment.  


 {\bf 4-ii)} Remarquer qu'elles sont toutes d'int\e grale nulle et
d\e duire qu'elles forment une base de $\tilde W_k$ le sous-espace de $W_k$ des
fonctions
\a moyenne nulle.  


 {\bf 4-iii)} Compl\e ter le syst\ee me
$\bigcup_{k\in \relative}  S_k$ par la fonction 1 sur l'intervalle $[0,1]$ et montrer
qu'on obtient ainsi une base hilbertienne de
$L^2([0,1])$.


\skipaline
{\bf 5)}  Montrer que
le syst\ee me de Haar est une base hilbertienne de $L^2(\real)$.  On commencera
par montrer qu'une partie de la base de Haar engendre l'espace $V_k$ des
fonctions \a moyenne nulle,  constantes sur des intervalles dyadiques de longueur
$2^{-k}$ et \a support dans $[-2^k, 2^k]$. 


\skipaline
{\bf 6) } A titre d'illustration, \e crire le d\e
veloppement de  la fonction caract\e ristique de $[-1, 1]$ sur la base de Haar de
$L^2(\real)$ et en dessiner les premiers termes. 


\skipaline  {\bf B Deuxi\ee me partie : La dualit\ea $L^p-L^{p'}$ pour $1\leq p\leq
2$. }

\skipaline
On consid\ee re dans toute la suite un r\e el
$1\leq p
\leq 2$ et on pose
$p'=\frac p{p-1}$ si $1<p$, $p'=+\infty$ si $p=1$. L'objet des questions qui suivent
est de donner une d\e monstration simple, pour $p\leq 2$, de la relation
$(L^p)'=L^{p'}$. Pour simplifier les notations (mais sans perte de g\e n\e ralit\e ),
on consid\e rera seulement
$C=[0,1]$ et
$L^p([0,1]=L^p(C)$. On note $V_k$ le sous-espace de $L^p(C)$ constitu\ea des 
fonctions en escalier dyadiques \a support dans $C$ et {\it d'\e chelle inf\e rieure
ou
\e gale
\a}
$k$,
\ccaadd constantes sur les intervalles du type
$C_i^k= (i2^{-k},(i+1)2^{-k})$.  Si $v\in V_k$, on note $v(i)$ ou $v_i$ la
valeur de
$v$ sur  
$C_i^k$. 

\skipaline
{\bf 7)}  Montrer que 
\fb& \label{normesurVk}
\forall v=(v(i))_i\in V_k, \; ||v||_{L^p} = (2^{\frac {-k}p} )(\sum_i
|v(i)|^p)^\frac 1 p.
\fe&

\skipaline 
{\bf 8) }  Soit $\tilde f\in (L^p)'$. Montrer qu'il
existe  
$f_k=(f_k(i))\in V_k$ telle que
\fb& \label{dualitedeVk}
\forall v\in V_k, \; \tilde f(v) =2^{-k}\sum_i f_k(i)v(i)=\int_C f_k(x)v(x)dx .
\fe&


\skipaline 
{\bf 9)} On consid\ee re $V_k$ comme un sous-espace de $L^p$, muni de la norme
induite. Montrer que l'on a
$||\tilde f||_{(V_k)'}=||f_k||_{L^{p'}}$. Conseil : utiliser l'in\e galit\ea de
H\ooo lder et la fonction 
$v=(v(i))_i\in V_k$ d\e finie par
$v(i) = \signe(f_k(i))|f_k(i)|^{p'-1}.$


\skipaline
{\bf 10)} En d\e duire que 
$$||f_k||_{L^{p'}} \leq ||\tilde f||_{(L^p)'}.$$




\skipaline
{\bf 11)} D\e montrer que
\fb&
\label{relationsdemoyenne}
f_k(i)=\frac 1 2(f_{k+1}(2i)+f_{k+1}(2i+1)),
\fe&
\ccaadd que $f_k(i)$ est donc \e gale \a la valeur moyenne de $f_{k+1}$ sur $C_i^k$.


\skipaline  
{\bf 12)} En d\e duire que $f_{k+1}-f_k$ est une somme de fonctions de Haar
dont on pr\e cisera l'\e chelle dyadique (voir question 3).  

\skipaline  
{\bf 13)}
 Montrer que 
\fb&  \label{orthogonalite}
\int_{[0,1]}(f_{k+1}-f_k)(f_{l+1}-f_l)=0\hbox{ si } k\neq l.
\fe&

\skipaline
{\bf 14)} D\e duire de l'identit\e
$$|f_{k+1}(2i)+f_{k+1}(2i+1)|^2+|f_{k+1}(2i)-f_{k+1}(2i+1)|^2= 2
(|f_{k+1}(2i)|^2+|f_{k+1}(2i+1)^2).$$
que
\fb& \label{convergenceL2desfk}
\int_{[0,1]} |f_k(x)|^2dx + \int_C |f_k-f_{k+1}|^2dx = \int_C|f_{k+1}(x)|^2dx.
\fe&

\skipaline {\bf 15) }En d\e duire que
$$\sum_{k\in \natural} ||f_{k+1}-f_k||_{L^2(C)}^2 \leq \lim_k\sup
||f_k||_{L^2(C)}^2-||f_1||_{L^2(C)}^2<\infty,$$
puis  que la suite $f_k$ converge fortement dans $L^2([0,1])$. Soit
$f\in L^2(C)$ sa limite. 

\skipaline
{\bf 16)} D\e montrer que $f$ appartient \a $L^{p'}([0,1])$.

\skipaline
{\bf 17)}
D\e montrer que pour tout $v$ dans un sous espace dense de $L^p(C) $, on a
$\tilde f(v)=\int fv$ et en d\e duire que $\tilde f$ et $f$ d\e finissent la m\eee
me forme lin\e aire sur $L^p([0,1]).$

\skipaline
{\bf 18)} Conclure.


\newpage
\noindent{\bf  Corrig\ea du probl\ee me}

\skipaline {\bf Premi\ee re partie  : une base hilbertienne : le syst\ee me de Haar.}

\skipaline
{\bf 1) } La suite de fonctions $\chi_n$ est de norme 1 dans $L^1$ et converge
ponctuellement vers z\e ro. Elle n'a donc pas de limite dans $L^1$  (Car, par la
r\e ciproque du th\e or\ee me de Lebesgue, si elle convergeait, ce serait vers
z\e ro et elle ne peut tendre vers z\e ro si sa norme ne tend pas vers z\e ro.)
Elle converge par contre vers 0 dans $L^2(\real)$.

\skipaline
{\bf 2)}   On sait que $L^1\cap L^2$ est dense dans $L^2$ car il contient par exemple
toutes les fonctions continues \a support born\e .  Si maintenant $f\in L^1\cap
L^2$, on pose $f_n  = f-(\int f)\chi_n$.  Alors $f_n$ converge vers $f$ dans 
$L^2$ et est \a moyenne nulle.

\skipaline
{\bf 3)}  Les fonctions de Haar sont toutes \a moyenne nulle et leur norme dans $L^2$
est 1. Soient deux fonctions $H_i^k$ et $H_{i'}^{k'}$.  Supposons d'abord 
que $k'>k$.  Alors la premi\ee re fonction est constante  sur tous les 
intervalles dyadiques de longueur $2^{-k}$ tandis que la seconde est \a moyenne
nulle sur tout intervalle dyadique de longueur sup\e rieure ou \e gale \a 
$2^{k'-1}\geq 2^k$.  Donc le produit scalaire des deux fonctions est nul. Si
maintenant  $k=k'$ et $i\neq i'$, les supports des deux fonctions sont disjoints et
elles sont donc \a nouveau orthogonales.

\skipaline
{\bf 4) }  Les fonctions de Haar constantes sur les intervalles dyadiques de longueur
$2^{-k}$ et \a support dans $[0, 1]$ sont :
\newline
$H_0^0$, constante sur les intervalles de longueur $\frac 1 2$, 
\newline $H_0^1$  et
$H_1^1$, constantes sur les intervalles de longueur $\frac 1 4$,...
\newline
$H_0^{2^{k-1}}, ..., H_{2^{k-1}-1}^{2^{k-1}}$, constantes sur les intervalles
de longueur $2^{-k}$,
\newline soit $1 +2 +...+ 2^{k-1}=2^{k}-1$ fonctions.  L'ensemble des
fonctions dyadiques de $W_k$ a pour dimension $2^k$ et son sous-espace de
fonctions \a moyenne nulle $\tilde W_k$ a une dimension de moins, soit $2^k-1$. 
On voit que
 les fonctions de Haar consid\e r\e es forment une base de $\tilde
W_k$.  Si on leur adjoint la fonction 1 qui est bien orthogonale aux pr\e c\e
dentes, on obtient une base orthonorm\e e de $V_k$, espace des fonctions dyadiques 
d'\e chelle $2^-k$ sur $[0,1]$.  Par ailleurs, $\bigcup_k V_k$ est dense dans
$L^2([0,1])$.  Le syst\ee me $\bigcup_{k\geq 0} S_k\cup \{1\}$ est donc total dans
$L^2([0,1])$.  Comme il est orthonorm\e , c'est une base hilbertienne.

\skipaline
{\bf 5)} Par un raisonnement de dimension identique \a celui utilis\ea pour $[0,1]$,
on voit que les fonctions de Haar forment une base des fonctions dyadiques
d'\e chelle inf\e rieure ou \e gale \a $k$,
\a moyenne nulle dont le support est contenu dans $[2^{-k}, 2^k]$.   Le syst\ee me de
Haar engendre donc 
$V_k$. 
Le syst\ee me $\cup_{k\in \natural}V_k$  contient toutes les
fonctions dyadiques \a moyenne nulle et \a support compact.  Il engendre donc
un sous-espace dense de l'espace des fonctions continues, \a support compact
et \a moyenne nulle, qui est lui-m\eee me dense dans $L^2(\real)$ (question 2).


\skipaline
{\bf 6)} Calculons les premiers termes du d\e
veloppement de  la fonction caract\e ristique de $[-1, 1]$ sur la base de Haar. On
pourrait calculer tous les produits scalaires, mais il est plus commode de remarquer
que
$$\indic_{[0,1]}= \frac 1 2 \indic_{[0,2]} + H_0^{-1}, \hbox{ puis que}$$
$$\indic_{[0,2]}= \frac 1 2 \indic_{[0,4]} + H_0^{-2}, \hbox { etc.. Donc }$$
$$\indic_{[0,1]}= H_0^{-1}+ \frac 1 2H_0^{-2}+... +\frac 1{2^k}H_0^{n}+...$$

\skipaline
{\bf 7)} 
Evident !

\skipaline 
8)  $\tilde f$ est consid\e r\e e comme une forme lin\e aire sur $V_k$, qui est de
dimension finie.  En choisissant la base canonique sur $V_k$ des fonctions 
$e_i^k$ \e gales \a $2^k$ sur $[i2^{-k}, (i+1)2^{-k}]$, on a pour tout $v=(v_i)$ dans 
$V_k$ par lin\e arit\e , $$\tilde f(v)=\sum_i 2^{-k}v_i\tilde f(e^k_i)=
\int_C f_k(x)v(x)dx$$
si on pose $f_k = (\tilde f(e_i^k))_i \in V_k$.


\skipaline 
{\bf 9) }
  On applique l'in\e galit\ea de H\"{o}lder, en notant que
$V_k$ est aussi bien un sous-espace de $L^p$ que de $L^{p'}$ :
\fb& \label{hoeldersurVk}
|\tilde f(v)|=|\int f_kv|\leq ||f_k||_{L^{p'}}||v||_{L^p}.
\fe&
Comme $V_k$ a \e t\ea muni de la norme $L^p$, on d\e duit imm\e diatement que 
$||\tilde f||_{V_k'}\geq ||f_k||_{L^{p'}}$.  Montrons qu'on a \e galit\e . Il
suffit de trouver $v=v(i)\in V_K$ tel que l'\e galit\ea soit r\e alis\e e dans
(\ref{hoeldersurVk}).  On pose simplement $v(i) = \signe(f_k(i))|f_k(i)|^{p'-1}.$
Alors
$$\tilde f(v) = 2^{-k}\sum_i |f_k(i)|^{p'-1}|f_k(i)| = ||f_k||_{L^{p'}}^{p'},$$
tandis que $$||v||_{L^p}= (2^{-k}\sum_i |f_k(i)|^{(p'-1)p})^\frac 1 p =
||f_k||_{L^{p'}}^\frac{p'}p.$$
De ces deux derni\ee res relations, on d\e duit que 
$$\frac {|\tilde f(v)|}{||v||_{L^p}} = \frac
{||f_k||_{L^{p'}}^{p'}}{||f_k||_{L^{p'}}^\frac{p'}p} = ||f_k||_{L^{p'}}.$$  On a donc
bien \e galit\ea possible dans (\ref{hoeldersurVk}).

\skipaline
{\bf 10) }
Comme $V_k\subset L^p$, on a \e videmment (d\e finition de la norme d'une
application lin\e aire)~: $$||\tilde f||_{(V_k)'}\leq ||\tilde f||_{(L^p)'}$$ et
donc, par la question pr\e c\e dente 
$$||f_k||_{L^{p'}}\leq ||\tilde f||_{(L^p)'}.$$



\skipaline
{\bf 11) }
Ceci d\e coule imm\e diatement de la relation de martingale appliqu\e e \a
l'intervalle de $V_k$, $C_i^k=[i2^{-k}, (i+1)2^{-k}]$.  On peut aussi revenir \a la
relation d\e finissant $f_k$, \a savoir $f_k = (\tilde f(e_i^k))_i $.  Comme
$e_i^k = \frac 1 2(e_{2i}^{k+1}+e_{2i+1}^{k+1})$, simple relation de subdivision
d'intervalle, on tire  la relation demand\e e en appliquant $\tilde f$ aux deux
membres.

\skipaline  
{\bf 12)}
Sur l'intervalle $[2^{-k}i, 2^{-k-1}(2i+1)]$, la fonction $f_{k+1}-f_k$ vaut donc 
$\frac 1 2(f_{k+1}(2i)- f_{k+1}(2i+1))$ et l'oppos\ea sur l'intervalle suivant
$[2^{-k-1}(2i+1), 2^{-k}(i+1)]$.  C'est donc bien une fonction de Haar, dyadique
et d'\e chelle $k$.   On en d\e duit que $f_{k+1}-f_k$ est une somme de
$2^k$ fonctions de Haar.

\skipaline  
{\bf 13)}
 La relation (\ref{orthogonalite})
$$  
\int_{[0,1]}(f_{k+1}-f_k)(f_{l+1}-f_l)=0\hbox{ si } k\neq l.
$$
d\e coule imm\e diatement de l'orthogonalit\ea des fonctions de Haar d'\e chelles
dyadiques diff\e rentes.

\skipaline
{\bf 14) }
La relation $|a+b|^2+|a-b|^2= 2(|a|^2+|b|^2)$ donne
$$|f_{k+1}(2i)+f_{k+1}(2i+1)|^2+|f_{k+1}(2i)-f_{k+1}(2i+1)|^2= 2
(|f_{k+1}(2i)|^2+|f_{k+1}(2i+1)|^2).$$
On somme l'identit\ea en question en $i=0, 2, ..., 2^k-1$ et on multiplie les deux
membres par $2^{-k}$ ce qui donne le r\e sultat \a condition de remarquer que par la
question 12), 
$$\int_C |f_{k+1}-f_k|^2 = \sum_{i=0,...,2^k-1}2^{-k}\frac 1 4|f_{k+1}(2i)-
f_{k+1}(2i+1)|^2,$$
 et par la question 11), 
$f_k(i)=\frac 1
2(f_{k+1}(2i)+f_{k+1}(2i+1)),$ et donc
$$\int |f_k|^2 =  \sum_{i=0}^{i=2^k-1}
2^{-k}\frac 1 4|f_{k+1}(2i)+f_{k+1}(2i+1)|^2dx$$
et qu'enfin
$$\int |f_{k+1}|^2 =\sum_{i=0}^{i=2^k-1}2^{-k}\frac 12
(|f_{k+1}(2i)|^2+|f_{k+1}(2i+1)|^2.$$
On obtient donc (\ref{convergenceL2desfk}),
$$
\int_{[0,1]} |f_k(x)|^2dx + \int_C |f_k-f_{k+1}|^2dx = \int_C|f_{k+1}(x)|^2dx.
$$



\skipaline {\bf 15) }
En effet, $C$ \e tant born\e ,  l'in\e galit\ea de H\ooo lder nous donne
$||f_k||_{L^2(C)}\leq c||f_k||_{L^{p'}(C)}$ puisque 
$p'>2$.
Comme la   suite $f_{k+1}-f_k$ est un syst\ee me orthogonal, la relation 
(\ref{convergenceL2desfk}) implique que  la suite $f_k$ converge dans $L^2(C)$ : en
effet, on somme cette relation en $k$ et en simplifiant, il vient 
$$\sum_1^\infty ||f_k-f_{k+1}||_{L^2}^2\leq \lim\sup_k ||f_{k+1}||^2-||f_0||^2 \leq 
C,$$
car $f_k$ est born\e e dans $L^{p'}(C)$ et $p'>2$,  ce qui implique, $C$ \e tant
born\e , que $||f_k||_{L^2}\leq C$.  Comme la suite $f_k-f_{k+1}$ est une suite
orthogonale dans un Hilbert, on d\e duit que la s\e rie $f_k-f_{k+1}$ converge dans
$L^2(C)$ et donc que $f_k$ converge dans $L^2(C)$ vers une fonction $f\in L^2(C)$.


\skipaline
{\bf 16)} On consid\ee re une sous-suite de $f_{\varphi(k)}=g_k$ qui
converge presque partout vers $f$ (r\e ciproque du th\e or\ee me de Lebesgue).  Alors,
par le Lemme de Fatou,
$\int_C
\lim_k |f(x)|^{p'}\leq
\lim\inf_k
\int |g_k(x)|^{p'}dx.$
 
\skipaline
{\bf 17)}
La relation $\tilde f(v)=\int_C fv$ pour $v\in L^p(C)$ est vraie si $v $ est dans un
quelconque $V_k$, car on a alors $\tilde f(v) = \int f_kv \to \int fv$, $v$ \e tant
born\e e et $f_k$ convergeant dans
$L^2$. Les formes lin\e aires continues  $\tilde f$ et $f$ co\iii ncident sur un
sous espace dense de $L^p(C)$, l'union des $V_k$, et donc partout.






\end{document}