Notes du cours d’analyse, ENS Cachan première année

Jean-Michel Morel June 29, 2000

Contents

1 Les théorèmes de séparation de Hahn-Banach 3

2 Le théorème de Banach-Steinhaus 9 2.1 Conséquences du théorème de Banach-Steinhaus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Topologies faibles 13 3.1 Topologie faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.2 La topologie ⋆σ(E′, E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 Espaces réflexifs, espaces séparables 21 4.1 Espaces réflexifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.2 Espaces séparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5 L’intégrale de Lebesgue 27

6 Les espaces de Lebesgue, L^{1}, L^{p}, L^{∞} 33 6.1 Convolution et régularisation des fonctions de L^{p} . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 6.2 Théorèmes classiques de compacité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

7 Réflexivité, séparabilité, dualité des L^{p} 43 7.1 Martingales à temps discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

8 Espaces de Hilbert 49 8.1 Bases hilbertiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

9 Séries de Fourier 55 9.1 Convolution des fonctions périodiques et séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . 58

10 Séries de Fourier et distributions périodiques 61 10.1 Distributions périodiques et leurs séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 10.2 Espaces de Sobolev périodiques H_{per}^{m}(0, 2π) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

11 Espaces de Sobolev sur l’intervalle 69 11.1 Les espaces W^{1,p}(I) comme espaces de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

12 Index 75 Traités recommandés :

H. Brezis, Analyse fonctionnelle, Masson, 1983. J.M. Bony, Cours d’analyse de l’Ecole Polytechnique, Ecole Polytechnique, 1994 (polycopié). J. Neveu, Bases mathématiques du calcul des probabilités, Masson, 1970. W. Rudin, Real and complex analysis, Mc-Graw-Hill, 1966, traduction française Masson 1980.

Autres sources

F. Hélein, Notes de cours, ENS Cachan, 1996 (manuscrit). Y. Meyer, cours de DEA ondelettes 94-97 (manuscrits).

Chapter 1

Les théorèmes de séparation de Hahn-Banach

Définition 1.1 Un espace de Banach est un espace vectoriel sur IR, normé, complet.

Exemples : IR^{N}, C^{N}, l^{p}, 1 ≤ p ≤ +∞, l^{p} = {a = (a_{i})_{i∈IN}, a_{i} ∈ IR, ∑_{i=0}^{∞} |a_{i}|^{p} < ∞}, C^{0}(IR^{N}), espace des fonctions continues tendant vers zéro à l’infini. Si E est un espace vectoriel muni d’un produit scalaire non dégénéré < x, y >, il est alors normé par ||x|| = \sqrt{< x, x >}. On dit alors que E est préhilbertien. Si de plus il est complet, on dit que c’est un espace de Hilbert. Exemple canonique : l^{2}.

Théorème 1.1 de Hahn-Banach. Soit E un espace vectoriel normé. Soit G un sous-espace vectoriel de E et g : G → IR une application linéaire continue de norme

||g||_{G′} = sup_{x∈G,||x||≤1} g(x).

Alors il existe f ∈ E′, le dual topologique de E, qui prolonge g et telle que ||f||_{E′} = ||g||_{G′}.

Exercice : le montrer en dimension finie.

Définition 1.2 (Zorn.) Soit P un ensemble muni d’une relation d’ordre partiel notée ≤. On dit que Q ⊂ P est totalement ordonné si ∀a, b ∈ Q, a ≤ b ou b ≤ a. On dit que c ∈ P est un majorant de Q ⊂ P si ∀a ∈ Q, a ≤ c. On dit que m ∈ P est maximal si ∀x ∈ P tel que m ≤ x, alors m = x. On dit que P est inductif si tout sous-ensemble totalement ordonné de P admet un majorant.

Lemme 1.1 de Zorn. Tout ensemble ordonné, inductif et non vide admet un élément maximal.

Théorème 1.2 de Hahn-Banach (version analytique) Soit p : E → IR^{+} une application vérifiant ∀λ > 0, ∀x ∈ E, p(λx) = λp(x) et ∀x, y ∈ E, p(x+y) ≤ p(x)+p(y). Soit G ⊂ E un sousespace vectoriel et soit g : G → IR une application linéaire telle que g(x) ≤ p(x), ∀x ∈ G. Alors il existe une forme linéaire f sur E qui prolonge g, i.e. g(x) = f(x), ∀x ∈ G, f(x) ≤ p(x), ∀x ∈ E.

Démonstration On considère P = {h : D(h) → IR, D(h) s.e.v. de E, h linéaire , G ⊂ D(h), h prolonge g et h(x) ≤ p(x), ∀x ∈ D(h).}. P est muni de la relation d’ordre

h_{1} ≤ h_{2} ⇔ [D(h_{1}) ⊂ D(h_{2}) et h_{2} prolonge h_{1}].

On vérifie que P ≠ ∅ car g ∈ P, que P est inductif car si Q ⊂ P est un sous-ensemble totalement ordonné, alors D(h_{1}) = ⋃_{h∈Q} D(h) et h_{1}(x) = h(x) si x ∈ D(h) est un majorant pour Q. Donc, d’après le lemme de Zorn, il existe un élément maximal que l’on appelle f. On va vérifier que D(f) = E. Sinon, il existerait x_{0} ∉ D(f). Posons D(h) = D(h) + IRx_{0} et ∀x ∈ D(f), h(x + tx_{0}) = f(x) + tα, α ∈ IR. Alors h est un prolongement de f et si on arrive à trouver α tel que h(x) ≤ p(x), ∀x ∈ D(h), on aura f ≤ h en contradiction avec la maximalité de h. Il faut choisir α ∈ IR en sorte que

∀x ∈ D(f), ∀t ∈ IR, h(x + tx_{0}) = f(x) + tα ≤ p(x + tx_{0}).

Cela revient à chercher α tel que

∀x ∈ D(f), ∀t > 0, f(x) + tα ≤ p(x + tx_{0}), f(x) − tα ≤ p(x − tx_{0}).

On cherche donc s’il existe α tel que

∀x ∈ D(f), ∀t > 0, \frac{f(x) − p(x − tx_{0})}{t} ≤ α ≤ \frac{p(x + tx_{0}) − f(x)}{t}, ou encore :

[ sup_{x∈D(f),t>0} \frac{f(x) − p(x − tx_{0})}{t}, inf_{x∈D(f),t′>0} \frac{p(x + t′x_{0}) − f(x)}{t}] ≠ ∅, ce qui veut dire

∀x, y ∈ D(f), ∀t, t′ > 0, t′f(y) − t′p(y − tx_{0}) ≤ tp(x + t′x_{0}) − tf(x), ou encore

∀x, y ∈ D(f), ∀t, t′ > 0, tf(x) + t′f(y) ≤ tp(x + t′x_{0}) + t′p(y − tx_{0}). Or,

tf(x)+t′f(y) = f(tx+t′y) ≤ p(tx+t′y) ≤ p(tx+tt′x_{0})+p(t′y−tt′x_{0}) = tp(x+t′x_{0})+t′p(y−tx_{0}).

∘

Démonstration du théorème 1.1. On considère p(x) = ||g||_{G′}||x||. On vérifie que p satisfait les hypothèses du théorème 1.2. Donc en appliquant le théorème 1.2, on construit f prolongeant g avec ∀x, f(x) ≤ ||g||_{G′}||x||. Donc, ||f||_{E′} ≤ ||g||_{G′}. ∘

Corollaire 1.1 (application de "dualité"). Si E est un espace vectoriel normé, il existe pour tout x ∈ E une forme linéaire f ∈ E′ telle que ||f_{0}|| = ||x_{0}|| et f(x_{0}) = ||x_{0}||^{2}.

Démonstration Prendre G = IRx, g(tx) = t||x||^{2}, de sorte que ||g||_{G′} = ||x||. ∘

Exercice 1.1 Montrer le corollaire précédent directement quand E est de dimension finie et euclidien. Regarder également le cas E = IR^{N} muni de la norme ||x||_{p} = (|x_{1}|^{p} + ... + |x_{N}|^{p})^{\frac{1}{p}} .

Corollaire 1.2 Soit E un espace vectoriel normé. Alors

||x|| = sup_{f∈E′, ||f||≤1} |f(x)| = max_{f∈E′, ||f||≤1} |f(x)|.

Démonstration En effet, l’inégalité (||x|| ≥ f(x) si ||f|| ≤ 1) est immédiate et l’égalité est obtenue grâce à l’application de dualité (corollaire 1.1). ∘

Définition 1.3 Un hyperplan affine est un ensemble de la forme

H = {x ∈ E, f(x) = α},

où f est une forme linéaire sur E, non identiquement nulle, et α ∈ IR.

Proposition 1.1 L’hyperplan d’équation f = α est fermé si et seulement f est continue.

Démonstration Si f est continue, alors H = f^{−1}(α) est un fermé. Réciproquement, supposons H fermé. Soit x_{0} ∈ H^{c}. Supposons pour fixer les idées que f(x_{0}) < α. Alors, puisque H^{c} est ouvert, il existe r > 0, tel que B(x_{0}, r) = {x ∈ E, ||x − x_{0}|| < r} ⊂ H^{c}, et on va en déduire que

∀x ∈ B(x_{0}, r), f(x) < α.

En effet, si on avait un point x_{1} de la boule où f(x_{1}) ≥ α, on trouverait par interpolation, f étant linéaire, un point x du segment [x_{0}, x_{1}] où f(x) = α, en contradiction avec B(x_{0}, r) ⊂ H^{c}. Finalement, ∀x ∈ B(x_{0}, r), f(x) < α et donc

∀z ∈ B(0, 1), f(x_{0}) + rf(z) < α, soit

∀z ∈ B(0, 1), f(z) ≤ \frac{α − f(x_{0})}{r}.

Cela entraîne ||f|| ≤ \frac{α−f(x_{0})}{r}, et donc que f est continue. ∘

Définition 1.4 Soit E un espace vectoriel normé et A, B ⊂ E. On dit que l’hyperplan H d’équation f(x) = α sépare A et B au sens large si

f(x) ≤ α, ∀x ∈ A et f(x) ≥ α, ∀x ∈ B.

On dit que H sépare A et B au sens strict si

∃ε > 0, f(x) ≤ α − ε, ∀x ∈ A et f(x) ≥ α + ε, ∀x ∈ B.

Théorème 1.3 de Hahn-Banach (version géométrique) Soit E un espace vectoriel normé et A, B ⊂ E deux ensembles convexes non vides et disjoints. On suppose que A est ouvert. Alors il existe un hyperplan fermé qui sépare A et B au sens large.

Lemme 1.2 Soit C ⊂ E un convexe ouvert, avec 0 ∈ C. Pour tout x ∈ E, on pose p(x) = inf\{α > 0, \frac{x}{α} ∈ C\}. On dit que p est la jauge de C. Alors p vérifie ∀λ > 0, p(λx) = λx, l’inégalité triangulaire p(x + y) ≤ p(x) + p(y) et

(i) ∃M, 0 ≤ p(x) ≤ M||x||, ∀x ∈ E. (ii) C = {x ∈ E, p(x) < 1}.

Démonstration On a immédiatement p(λx) = |λ|p(x). Montrons l’inégalité triangulaire p(x+ y) ≤ p(x) + p(y) pour x et y dans E. Elle découle de la convexité de C. On a évidemment x̃ = \frac{x}{p(x)+ε} ∈ C et ỹ = \frac{y}{p(y)+ε} ∈ C. Puisque C est convexe, on a donc \frac{p(x)+ε}{p(x)+p(y)+2ε} x̃+ \frac{p(y)+ε}{p(x)+p(y)+2ε} ỹ ∈ C, c’est-à-dire

z = \frac{x + y}{p(x) + p(y) + 2ε} ∈ C.

Mais z ∈ C ⇒ p(z) ≤ 1. Donc

p(x + y) ≤ p(x) + p(y) + 2ε,

ce qui prouve l’inégalité triangulaire. Montrons maintenant (i). Comme C est ouvert et 0 ∈ C, il existe r > 0 tel que B(0, r) ⊂ C. Donc ∀x ≠ 0, r \frac{x}{||x||} ∈ C et donc p(x) ≤ \frac{||x||}{r}. Terminons en montrant (ii), C = \{x ∈ E, p(x) < 1\}. Si x ∈ C, comme C est ouvert, ∃ε, (1 + ε)x ∈ C. Donc p(x) ≤ \frac{1}{1+ε} < 1. Réciproquement, si p(x) < 1, ∃α, 0 ≤ p(x) < α < 1, et donc \frac{x}{α} ∈ C. Comme C est convexe et que x appartient au segment [0, αx] il est aussi dans C.

∘

Exercice 1.2 Montrer la réciproque du théorème précédent : si p : E → IR^{+} est une application vérifiant p(λx) = λx, λ > 0, p(x + y) ≤ p(x) + p(y), la relation (i), ∃M, 0 ≤ p(x) ≤ M||x||, alors C = {x ∈ E, p(x) < 1} est un convexe ouvert contenant 0 dont p est la jauge.

Lemme 1.3 Soit E un espace vectoriel normé , C ⊂ E un convexe ouvert non vide et x_{0} ∈ E, x_{0} ∉ C. Alors ∃f ∈ E′, f(x) < f(x_{0}), ∀x ∈ C. En particulier, l’hyperplan {x, f(x) = f(x_{0})} sépare x_{0} et C au sens large.

Démonstration On peut toujours se ramener au cas où 0 ∈ C et introduire la jauge p de C. On considère G = IRx_{0}, et g : IRx_{0} → IR définie par tx_{0} → t, de sorte que g(x_{0}) = 1. Comme x_{0} ∉ C, on a g(x) ≤ p(x), ∀x ∈ G. En effet, x_{0} ∉ C ⇔ p(x_{0}) ≥ 1 et si t ≥ 0, g(tx_{0}) − p(tx_{0}) = t(1 − p(x_{0})) ≤ 0. Si t < 0, g(tx_{0}) < 0 ≤ p(tx_{0}). On applique le théorème de Hahn-Banach à g. Il existe f linéaire sur E qui prolonge g, telle que f(x) ≤ p(x), ∀x ∈ E. En particulier, f(x_{0}) = 1 et f est continue car f(x) ≤ p(x) ≤ M||x||, C étant ouvert (Lemme 1.2(i)). Finalement, f(x) ≤ p(x) < 1 pour tout x dans C en vertu du Lemme 1.2-(ii).

Démonstration du théorème 1.3 On pose C = A−B qui est un convexe ouvert car A−B = ⋃_{y∈B}(A − y) est une union d’ouverts. Comme 0 ∉ C, car A ∩ B = ∅, on utilise le lemme 1.3 pour séparer C et 0. Donc

∃f ∈ E′, f(z) < 0, ∀z ∈ C, soit
f(x) < f(y), ∀x ∈ A, y ∈ B.

On choisit α ∈ [sup_{x∈A} f(x), inf_{x∈B} f(x)] ≠ ∅ et H = {x, f(x) = α} sépare A et B. ∘

Théorème 1.4 de Hahn-Banach, version fermé-compact. Soit E un espace vectoriel normé et A ⊂ E, B ⊂ E, deux sous-ensembles convexes non vides, disjoints. On suppose que A est fermé, B est compact. Alors il existe un hyperplan H fermé qui sépare A et B au sens strict.

Démonstration Posons A_{ε} = A + B(0, ε), B_{ε} = B + B(0, ε). On commence par montrer que ∃ε, A_{ε} ∩ B_{ε} = ∅. En effet, dans le cas contraire, on peut trouver pour tout ε un élément z_{ε} tel que ∃x_{ε} ∈ A, ||z_{ε} − x_{ε}|| ≤ ε et ∃y_{ε} ∈ B, ||z_{ε} − y_{ε}|| ≤ ε. Comme B est compact, une sous-suite y_{ε′} de y_{ε} tend vers y ∈ B. La sous-suite correspondante x_{ε′} tend aussi vers y, et comme A est supposé fermé, on a y ∈ A ∩ B, en contradiction avec l’hypothèse que A et B sont disjoints. On applique le théorème 1.3 à A_{ε} et B_{ε}. Il existe donc un hyperplan {x, f(x) = α} qui sépare A_{ε} et B_{ε} :

∀x ∈ A, ∀y ∈ B, ∀z, z′ ∈ B(0, ε), f(x + εz) ≤ α ≤ f(y + εz′).

D’où ,

f(x) + ε||f|| ≤ α ≤ f(y) − ε||f||

et A et B sont bien séparés au sens strict. ∘

Exercice 1.3 En dimension finie, montrer par un argument constructif le théorème de Hahn-Banach, version fermé-compact : on montrera qu’il existe x ∈ A et y ∈ B tels que ||x − y|| = d(A, B) et considérera l’hyperplan orthogonal à [x, y] passant par \frac{x+y}{2} .

Lemme 1.4 Soit E un espace vectoriel normé, E′ son dual et L un sous-espace vectoriel de E. Alors L est dense si et seulement si son orthogonal est réduit à zéro. En d’autres termes, L est dense si et seulement si

∀f ∈ E′, (∀x ∈ L, f(x) = 0) ⇒ f = 0).  (1.1)

Démonstration En effet, si L est dense et si ∀x ∈ L, f(x) = 0, on déduit par continuité de f que ∀x ∈ E, f(x) = 0 et donc f = 0. Réciproquement, supposons que la relation (1.1) soit satisfaite. Supposons par contradiction que L ne soit pas dense. Sa fermeture est alors un sous-espace vectoriel strict de E. Montrons qu’il est contenu dans un hyperplan fermé de E. On prend x_{0} ∈ E, x_{0} ∉ \overline{L}. On applique le théorème de Hahn-Banach (version fermé-compact) avec A = \overline{L}, B = \{x_{0}\}. Donc il existe f ∈ E′, f ≠ 0,

∀x ∈ \overline{L}, f(x) < α < f(x_{0}).

8 CHAPTER 1. LES THÉORÈMES DE SÉPARATION DE HAHN-BANACH D’où nécessairement f(x) = 0 pour tout x dans L, puisque λf(x) < α pour tout λ ∈ IR. Il existe donc f ∈ E′ tel que ∀x ∈ L, f(x) = 0 avec f ≠ 0. Ceci contredit (1.1). ∘

Le théorème de Banach-Steinhaus

Lemme 2.1 de Baire. Soit X un \underline{espace métrique complet}. Soit X_{n} une suite de fermés. On suppose que IntérieurX_{n} = ∅. Alors

Intérieur( ⋃_{n=1}^{∞} X_{n}) = ∅.

En d’autres termes, "une union dénombrable de fermés d’intérieurs vides reste d’intérieur vide". De manière équivalente, "une intersection dénombrable d’ouverts denses reste dense".

Remarque 2.1 Enoncé à relier au suivant : une union dénombrable d’ensembles de mesure nulle est de mesure nulle.

Démonstration Nous allons montrer la deuxième forme. Soit O_{n} une suite d’ouverts denses et G = ⋂_{n} O_{n}. Montrons que G rencontre un ouvert arbitraire O. Pour cela, on choisit une boule fermée

B_{0} = B(x_{0}, r_{0}) = {x, d(x, x_{0}) ≤ r_{0}} ⊂ O.

Comme O_{1} est dense, on peut choisir x_{1} ∈ B_{0} et r_{1} tels que

B(x_{1}, r_{1}) ⊂ B(x_{0}, r_{0}) ∩ O_{1} et r_{1} ≤ \frac{r_{0}}{2} .

On construit de même par récurrence une suite B(x_{n}, r_{n}) telle que

B(x_{n}, r_{n}) ⊂ B(x_{n−1}, r_{n−1}) ∩ O_{n} et r_{n} ≤ \frac{r_{n−1}}{2} .

La suite x_{n} est de Cauchy car d(x_{n}, x_{n−1}) ≤ \frac{r_{0}}{2^{n}}. Soit x = lim_{n→∞} x_{n}. Alors x ∈ O ∩ ⋂_{n} O_{n}. ∘

Remarque : le théorème précédent est valable dans tout espace métrique complet. La structure d’espace vectoriel n’intervient pas. Soient maintenant E, F deux espaces vectoriels normés. On note L(E, F) l’espace vectoriel normé des opérateurs linéaires continus de E dans F, muni de la norme

||T ||_{L(E,F)} = sup_{x∈E,||x||≤1} ||T (x)||.

On note L(E) = L(E, E).

Théorème 2.1 de Banach-Steinhaus. Soient E, F deux espaces de Banach. Soit (T_{i})_{i∈I} ⊂ L(E, F) une famille (non nécessairement dénombrable) d’opérateurs linéaires et continus de E dans F. On suppose que

∀x ∈ E, sup_{i∈I} ||T_{i}x|| < ∞.

Alors,

sup_{i∈I} ||T_{i}||_{L(E,F)} < ∞,

c’est-à-dire qu’il existe c > 0 tel que

∀i ∈ I, ∀x ∈ E, ||T_{i}x|| ≤ c||x||.

Démonstration Pour tout n ≥ 1, on pose X_{n} = {x ∈ E, ∀i, ||T_{i}x|| ≤ n}, en sorte que chaque X_{n} est une intersection de fermés et est donc fermé. Par hypothèse, ⋃_{n} X_{n} = E et donc Intérieur(⋃_{n} X_{n}) ≠ ∅. Par le lemme de Baire 2.1, l’un des X_{n} doit être d’intérieur non vide : Intérieur(X_{n_{0}}) ≠ ∅. Soit x_{0} ∈ X_{n_{0}} et r > 0 tel que B(x_{0}, r) ⊂ X_{n_{0}}. Alors

∀i ∈ I, ∀z ∈ B(0, 1), ||T_{i}(x_{0} + rz)|| ≤ n_{0},

et donc par l’inégalité triangulaire,

∀z ∈ B(0, 1), r||T_{i}(z)|| ≤ n_{0} + ||T_{i}(x_{0})|| ≤ 2n_{0}, soit

||T_{i}||_{L(E,F)} ≤ \frac{2n_{0}}{r} .

∘

2.1 Conséquences du théorème de Banach-Steinhaus.

Corollaire 2.1 Soient E et F deux espaces de Banach. Soit (T_{n}) une suite d’opérateurs linéaires et continus de E dans F, tels que pour tout x ∈ E, T_{n}x converge quand n → ∞ vers une limite notée T x. Alors on a

sup_{n} ||T_{n}||_{L(E,F)} < +∞,

T ∈ L(E, F),

||T ||_{L(E,F)} ≤ lim inf_{n→+∞} ||T_{n}||_{L(E,F)}.

Démonstration La première relation est une conséquence directe du théorème 2.1 (de Banach-Steinhaus). On a donc

∃c > 0, ∀x ∈ E, ∀n ∈ IN, ||T_{n}x|| ≤ c||x||.

On en déduit que ∀x ∈ E, ||T x|| ≤ c||x||, et donc T ∈ L(E, F). Comme ||T_{n}x|| ≤ ||T_{n}||||x||, on obtient par passage à la limite inférieure, ||T x|| ≤ lim inf_{→∞} ||T_{n}||||x||, ce qui donne bien la dernière relation annoncée. ∘

Corollaire 2.2 Soit G un espace de Banach, B un sous-ensemble de G. On suppose que pour tout f ∈ G′, f(B) = {f(x), x ∈ B} est borné. Alors B est borné.

Démonstration On applique le théorème de Banach-Steinhaus (Thm 2.1) avec E = G′, F = IR, I = B. Pour b ∈ B et f ∈ E = G′, on pose T_{b}(f) = f(b). On a donc par hypothèse

∀f ∈ E, sup_{b∈B} |T_{b}(f)| < +∞.

On en déduit qu’il existe c > 0 tel que

∀b ∈ B, ∀f ∈ E, ||T_{b}(f)|| ≤ c||f||_{G′}, soit
∀f ∈ G′, |f(b)| ≤ c||f||_{G′}.

Comme par le corollaire 1.2, on a ||b|| = sup_{f∈G′,||f||≤1} f(b), on conclut que ||b|| ≤ c. B est donc borné. ∘

Ce théorème nous dit qu’un ensemble est borné si et seulement si ses projections sur des axes de coordonnées arbitraires sont bornées.

12 CHAPTER 2. LE THÉORÈME DE BANACH-STEINHAUS

Topologies faibles

Rappels de topologie générale : une topologie sur E est définie comme une partie O de P(E) stable par intersection finie et union quelconque et contenant E et ∅. Les éléments de O sont appelés les ouverts de la topologie. On appelle voisinage ouvert de x ∈ E tout ouvert O ∈ O contenant x. On appelle base de voisinages ouverts de la topologie toute partie U de O telle que si x ∈ O ∈ O, alors il existe U ∈ U tel que x ∈ U ⊂ O. Conséquence : tout ouvert est une union de voisinages ouverts de la base. On appelle base de voisinages ouverts d’un point x ∈ E toute partie U de O telle que si un ouvert O contient x, alors il existe U dans U tel que x ∈ U ⊂ O. Exemple classique : une topologie O sur E est dite métrisable s’il existe une distance sur E telle que O coïncide avec l’ensemble des unions arbitraires de boules. Une base de voisinages ouverts commode est alors constituée par les boules ouvertes elles-mêmes. Les boules ouvertes centrées en x forment une base de voisinages ouverts de x et également les boules ouvertes contenant x. On appelle fermeture d’un ensemble A, notée \overline{A}, l’intersection de tous les fermés contenant A. On appelle ouverture, ou intérieur, de A l’union de tous les ouverts contenus dans A, noté Intérieur(A). Convergence d’une suite. On dit qu’une suite x_{n} tend vers x pour la topologie O si pour tout voisinage O de x il existe n_{0} tel que n ≥ n_{0} ⇒ x_{n} ∈ O.

Proposition 3.1 Tout fermé F est séquentiellement fermé, c’est-à-dire que si x_{n} ∈ F, fermé, et si x_{n} → x pour la topologie, alors x ∈ F.

Démonstration Si on avait x ∈ F^{c}, qui est ouvert, il existerait un voisinage ouvert U de x tel que U ⊂ F^{c}. Mais x_{n} → x implique que ∃n_{0}, n ≥ n_{0} ⇒ x_{n} ∈ U, ce qui contredirait x_{n} ∈ F. ∘

Application continue. Une application d’un espace topologique dans un autre est dite continue si l’image réciproque de tout ouvert par l’application est un ouvert, ou de manière équivalente, si l’image réciproque de tout fermé est un fermé. Si on a une base de voisinages ouverts U, on voit aisément que f est continue si et seulement si f^{−1}(U) est un ouvert pour tout U ∈ U. Un exemple que nous utiliserons souvent : une application f de E dans IR est continue si et seulement si pour tout intervalle ouvert I de IR, l’ensemble f^{−1}(I) est un ouvert. En effet, les intervalles ouverts forment une base de voisinages ouverts de IR. Il convient de vérifier que notre définition de la continuité généralise bien la notion de continuité séquentielle pour f ( c’est-à-dire : x_{n} → x ⇒ f(x_{n}) → f(x).)

Proposition 3.2 Si f : (E, ′) → (F, U) est continue, alors elle est séquentiellement continue.

Démonstration Soit x_{n} tendant vers x pour O. Fixons U ∈ U tel que f(x) ∈ U et montrons que ∃n_{0}, n ≥ n_{0} ⇒ f(x_{n}) ∈ U. Or, f étant continue, f^{−1}(U) est un voisinage de x. Donc ∃n_{0}, n ≥ n_{0} ⇒ x_{n} ∈ f^{−1}(U) et on a donc, comme désiré, f(x_{n}) ∈ U.

∘

Rappelons un résultat classique, qui n’est pas toujours vrai quand les topologies ne sont pas métrisables :

Exercice 3.1 Si E et F sont métrisables, alors f : E → F est continue si et seulement si elle est séquentiellement continue, c’est-à-dire si x_{n} → x ⇒ f(x_{n}) → f(x).

Les compacts On dit qu’un sous-ensemble K d’un espace topologique (E, O) est compact si de tout recouvrement de K on peut extraire un recouvrement fini. Si la topologie E est métrisable, tout compact est séquentiellement compact, c’est-à-dire que K est compact si et seulement si toute suite x_{n} contenue dans K a un point d’accumulation. L’image d’un compact par une fonction continue est un compact. En conséquence, toute fonction réelle continue sur un compact atteint son maximum et son minimum. Topologie produit Soit (E_{i}, O_{i}) des espaces topologiques. L’espace topologique produit E = Π_{i}E_{i} peut être muni de la topologie produit, définie comme la moins fine rendant les projections de E sur chaque E_{i} continues. Par topologie la moins fine rendant des applications continues, on entend la topologie ayant cette propriété qui a le moins d’ouverts possible. En termes formels, cette topologie U est telle que pour toute autre topologie O rendant également ces applications continues on ait O ⊂ U. On la trouve en prenant tout simplement l’intersection de toutes les topologies rendant les applications continues : c’est encore une topologie, le vérifier !

Théorème 3.1 de Tikhonov Soit K = Π_{i}K_{i} un produit de compacts. On note ses éléments ω = (ω_{i})_{i} et on le munit de la topologie produit, c’est-à-dire la moins fine rendant les projections ω → w_{i} ∈ K_{i} continues. Alors K est compact.

Exercice 3.1 Montrer ce théorème dans le cas un peu moins général suivant : K = Π_{n∈IN}K_{n} (produit dénombrable) et on suppose que K_{n} est métrisable et donc muni d’une distance d_{n}. Commencer par montrer que K est métrisable en posant

d(x, y) = ∑_{n∈IN} \frac{d_{n}(x_{n}, y_{n})}{2^{n}diam(K_{n})},

où diam(K_{n}) = max{d(x_{n}, y_{n}), x_{n}, y_{n} ∈ K_{n}} est le diamètre de K_{n} et x = (x_{n})_{n}, y = (y_{n})_{n}.

3.1 Topologie faible

On note E un espace de Banach, E′ son dual et f ∈ E′.

Définition 3.1 On appelle topologie faible σ(E, E′) la topologie sur E la moins fine rendant toutes les applications f : x → f(x) ∈ IR continues.

On peut recenser les ouverts qui doivent appartenir à la topologie faible σ(E, E′) de la manière suivante : si f ∈ E′ et U ⊂ IR est un ouvert, il faut que f^{−1}(U) soit un ouvert de σ(E, E′). Mais comme les intervalles sont une base de voisinages de IR, on voit que ceci revient à dire que pour tout intervalle I et tout f ∈ E′, f^{−1}(I) est dans σ(E, E′). En résumé, on vient de montrer que :

Proposition 3.3 La topologie σ(E, E′) est la moins fine contenant tous les ensembles f^{−1}(I) pour tout f ∈ E′ et tout intervalle I de IR.

Proposition 3.4 Tout ouvert O de σ(E, E′) peut s’écrire sous la forme

O = ⋃_{i∈I} ⋂_{f∈F_{i}} f^{−1}(I_{f}),  (3.1)

où I est un ensemble d’indices quelconque, chaque F_{i} un sous-ensemble fini de E′ et I_{f} un intervalle quelconque de IR.

Démonstration Tout élément O de la forme (3.1) est bien un ouvert de σ(E, E′), puisqu’il est obtenu par intersection finie et union dénombrable d’éléments de σ(E, E′). Appelons O l’ensemble des éléments de la forme (3.1). Cet ensemble est évidemment stable par union quelconque. Il l’est aussi par intersection finie en vertu de la formule de distribution

⋂_{i∈F} ⋃_{j∈J_{i}} A_{j} = ⋃_{φ∈Φ} ⋂_{i∈F} A_{φ(i)},

où Φ est l’ensemble de toutes les applications i ∈ F → φ(i) ∈ J_{i}. Cette dernière formule prouve que si A est une famille d’ensembles, alors “toute intersection finie d’unions d’intersections finies d’éléments de A est une union d’intersections finies d’éléments de A". ∘

Donnons une base de voisinages commode pour σ(E, E′).

Corollaire 3.1 Les ouverts de la forme ⋂_{i=1,...,k} f_{i}^{−1}(I_{i}), où k ∈ IN, f_{i} ∈ E′ et I_{i} sont des intervalles ouverts quelconques de IR, forment une base de voisinages de σ(E, E′). Les ouverts de la forme U = ⋂_{i=1,...,k} f_{i}^{−1}(]f(x) − ε, f(x) + ε[), k ∈ IN, f_{i} ∈ E′, ε > 0 forment une base de voisinages de x ∈ E.

Démonstration Le premier énoncé est immédiat. Pour montrer que les ouverts de la forme U forment une base de voisinages de x, on remarque que si I est un intervalle ouvert et f^{−1}(I) contient x, alors I contient un intervalle ]f(x) − ε, f(x) + ε[. Donc f^{−1}(I) contient f^{−1}(]f(x) − ε, f(x) + ε[). ∘

Proposition 3.5 La topologie σ(E, E′) est séparée, c’est-à-dire que si x, y ∈ E, alors il existe deux ouverts U ∋ x, V ∋ y, tels que U ∩ V = ∅.

Démonstration Appliquer Hahn-Banach, version compact-fermé: il existe f ∈ E′ et α tels que l’hyperplan {z, f(z) = α} sépare au sens strict x et y et donc on peut prendre U = f^{−1}(]−∞, α[) et V = f^{−1}(]α, +∞[). ∘

Définition 3.2 Si x_{n} → x dans σ(E, E′), on dit que x_{n} converge faiblement vers x dans E et on note x_{n} ⇀ x, σ(E, E′).

Proposition 3.6 Soit E un espace de Banach. Soit (x_{n}) une suite de E. Alors

(i) x_{n} ⇀ x dans σ(E, E′) si et seulement si ∀f ∈ E′, f(x_{n}) → f(x).

(ii) Si x_{n} → x fortement, alors x_{n} ⇀ x dans σ(E, E′).

(iii) Si x_{n} ⇀ x dans σ(E, E′), alors ||x_{n}|| est bornée et ||x|| ≤ lim inf_{n→+∞} ||x_{n}||.

(iv) Si x_{n} ⇀ x dans σ(E, E′) et si f_{n} → f fortement, alors f_{n}(x_{n}) → f(x).

Démonstration Montrons l’équivalence (i). La topologie σ(E, E′) ayant été construite pour que les éléments de E′ soient continus, l’implication directe (⇒) est claire, puisque la continuité des f ∈ E′ entraine leur continuité séquentielle. La réciproque découle de la forme des voisinages dans la topologie faible. On doit montrer que si f(x_{n}) → f(x) pour tout f, alors pour tout U voisinage de x pour σ(E, E′), il existe n_{0} tel n ≥ n_{0} implique x_{n} ∈ U. Or on a vu (Corollaire 3.1) qu’on peut choisir des voisinages U de x de la forme U = ⋂_{i=1,...,k} f_{i}^{−1}(]f_{i}(x) − ε, f_{i}(x) + ε[). On choisit n_{0} assez grand pour que n ≥ n_{0} ⇒ |f_{i}(x_{n}) − f_{i}(x)| < ε, i = 1, ..., k. Alors x_{n} ∈ U. On a donc bien x_{n} ⇀ x pour σ(E, E′).

La relation (ii) résulte de |f(x_{n})−f(x)| ≤ ||f||||x−x_{n}||. Pour montrer (iii), on considère les x_{n} comme des formes linéaires sur E′ et on applique le théorème de Banach-Steinhaus (Théorème 2.1). Les opérateurs continus de E′ dans IR définis par T_{n}(f) = f(x_{n}) vérifient ∀f ∈ E′, sup_{n} |T_{n}(f)| < +∞, car T_{n}(f) = f(x_{n}) a une limite, f(x). Donc sup_{n} ||T_{n}|| ≤ C < +∞. Mais, (corollaire 1.2), ||x|| = sup_{f∈E′} f(x)) et donc

||T_{n}|| = sup_{||f||_{E′}≤1} f(x_{n}) = ||x_{n}||.

La suite x_{n} est donc bornée. On a

∀f ∈ E′, ||f||_{E′} ≤ 1, |f(x)| = lim |f(x_{n})| ≤ lim inf_{n} ||x_{n}||, et donc

∀f ∈ E′, |f(x)| ≤ lim inf_{n} ||x_{n}||, soit ||x|| ≤ lim inf_{n} ||x_{n}||.

On termine en montrant (iv) par la simple inégalité

|f_{n}(x_{n}) − f(x)| ≤ ||f_{n} − f||||x_{n}|| + |f(x_{n} − x)|.
∘

Proposition 3.7 Si la dimension de E est finie, la topologie faible et la topologie forte coïncident.

Remarque 3.1 En dimension infinie, les ouverts faibles sont des ouverts forts, mais il y a plus d’ouverts forts que d’ouverts faibles. De même, tous les fermés faibles sont des fermés forts, mais il y a plus de fermés forts que de fermés faibles.

Exemple 3.1 La boule unité B(0, 1) = {x, ||x|| < 1} est un ouvert de la topologie forte mais n’est pas un ouvert de la topologie faible. (Et donc son complémentaire est un fermé de la topologie forte, mais pas de la topologie faible).

Démonstration En effet, tous les ouverts de la topologie faible contiennent des ensembles de la forme U = ⋂_{i=1,...,k} f_{i}^{−1}(]f_{i}(x) − ε, f_{i}(x) + ε[). Montrons que de tels ensembles sont non bornés. On choisit, dans E, y ≠ 0 tel que f_{i}(y) = 0, i = 1, ..., k. Comme E est de dimension infinie et donc supérieure à k, c’est possible. On remarque que x + ty ∈ U pour tout t > 0. Mais ||x + ty|| ≥ |t|||y|| − ||x|| tend vers l’infini quand t → +∞. Donc U n’est pas inclus dans la boule unité, qui n’est donc pas ouverte pour la topologie faible. ∘

Exercice 3.2 Montrer que la fermeture de S(0, 1) = {x, ||x|| = 1} pour la topologie faible est B(0, 1) = {x, ||x|| ≤ 1}.

Théorème 3.2 Soit E un espace vectoriel normé et C ⊂ E convexe. Alors, C est faiblement fermé pour la topologie faible si et seulement si il est fortement fermé.

Démonstration Si C est faiblement fermé, il est fortement fermé puisque la convergence forte implique la convergence faible. Réciproquement, supposons C fortement fermé et montrons qu’il est faiblement fermé. Il suffit de montrer que C est une intersection de fermés pour la topologie faible. Mais par le théorème de Hahn-Banach (version compact-fermé, théorème 1.4), il existe pour tout y ∈ C^{c} un hyperplan {x, f_{y}(x) = α_{y}} séparant x et C, c’est-à-dire f_{y}(y) > α_{y} et f_{y}(x) ≤ α_{y} pour tout x dans C. On en déduit que

C = ⋂_{y∈C^{c}} f_{y}^{−1}(] − ∞, α_{y}],

qui est une intersection de fermés faibles.

∘

Corollaire 3.2 (Théorème de Mazur) Soit E un espace vectoriel normé. Si x_{n} → x, σ(E, E′), il existe une suite y_{n} de combinaisons convexes des x_{k}, k ≥ n, qui converge fortement vers x.

Démonstration On considère C_{k} = \overline{Conv\{x_{k}, k ≥ n\}}^{σ(E,E′)}, la fermeture pour la topologie faible de l’enveloppe convexe des x_{k}, k ≥ n. D’après le théorème 3.2, C_{k} est aussi fermé pour la topologie forte. Puisque x_{n} ⇀ x, on a donc aussi

x ∈ C_{k} = \overline{Conv\{x_{k}, k ≥ n\}},

où la fermeture s’entend pour la topologie forte. Il existe donc, pour tout n, y_{n} ∈ Conv{x_{k}, k ≥ n\} tel que ||y_{n} − x|| ≤ \frac{1}{n}. ∘

Définition 3.3 On dit qu’une fonction φ définie sur un espace topologique est semicontinue inférieurement si les ensembles de niveau inférieurs, {x, φ(x) ≤ λ} sont fermés pour tout λ ∈ IR. On dit de même que φ est semi continue supérieurement (s.c.s.) si les ensembles de niveau supérieurs, {x, φ(x) ≥ λ} sont tous fermés.

Proposition 3.8 Si φ est s.c.i., et si x_{n} est une suite convergeant vers x, on a

φ(x) ≤ lim inf_{n→∞} φ(x_{n}).  (3.2)

Si φ est s.c.s.,

φ(x) ≥ lim sup_{n→∞} φ(x_{n}).  (3.3)

Démonstration Si φ est s.c.i., soit m = lim inf_{n→∞} φ(x_{n}). Par définition de la limite inférieure, on peut trouver pour tout voisinage V (x) un entier n_{0} tel que n ≥ n_{0} ⇒ φ(x_{n}) ≤ m + ε. L’ensemble de niveau {y, φ(y) ≤ m + ε} étant fermé, on en déduit que φ(x) ≤ m + ε. Mais ε est arbitrairement petit et on obtient (3.2). La relation (3.3) peut s’obtenir en remarquant que φ est s.c.i. si et seulement si −φ est s.c.s.. ∘

Corollaire 3.3 Soit φ : E →] − ∞, +∞], convexe, semicontinue inférieurement (s.c.i.) pour la topologie forte. Alors φ est aussi s.c.i. pour la topologie faible et donc si x_{n} ⇀ x, σ(E, E′), alors

φ(x) ≤ lim inf_{n→+∞} φ(x_{n}).

Démonstration Il suffit de vérifier que chaque ensemble

X_{λ}φ = {x ∈ E, φ(x) ≤ λ}

est fermé pour la topologie faible σ(E, E′). Or, par le théorème 3.2, c’est un convexe fermé fort. ∘ 3.2. LA TOPOLOGIE ⋆σ(E′, E) 19

3.2 La topologie ⋆σ(E′, E)

Soit E un espace de Banach, E′ son dual, E′′ son bidual topologique, muni de la norme

||ξ||_{E′′} = sup_{f∈E′,||f||_{E′}≤1} ξ(f).

On a une injection canonique J : E → E′′. En effet, tout élément x ∈ E définit un élément Jx ∈ E′′ par Jx(f) = f(x). Jx est bien une forme linéaire continue sur E′, puisque |Jx(f)| = |f(x)| ≤ ||x||_{E}||f||_{E′}. En fait, ||Jx||_{E′′} = ||x||_{E} car, grâce au Corollaire 1.2,

||Jx|| = sup_{||f||≤1} |Jx(f)| = sup_{||f||≤1} |f(x)| = ||x||.

On a donc JE ⊂ E′′. Cela va nous permettre de définir une nouvelle topologie sur E′.

Définition 3.4 La topologie ⋆σ(E′, E) est la moins fine rendant continues les formes linéaires f → f(x), pour tout x ∈ E.

Cette topologie est donc a priori moins fine que σ(E′, E′′).

Proposition 3.9 On a la base de voisinages en f_{0} ∈ E′ pour la topologie faible-⋆ :

U = {f ∈ E′, |(f − f_{0})(x_{i})| < ε}, i = 1, ..., n, x_{i} ∈ E, n ∈ IN.

Proposition 3.10 Soit E un espace de Banach. Si (f_{n}) est une suite de E′,

(i) (f_{n} ⇀ f, ⋆σ(E′, E)) ⇔ (∀x ∈ E f_{n}(x) → f(x)). (ii) Si f_{n} → f fortement, alors f_{n} ⇀ f, ⋆σ(E′, E). (iii) Si f_{n} ⇀ f, ⋆σ(E′, E), alors ||f_{n}|| est bornée et

||f|| ≤ lim inf_{n→+∞} ||f_{n}||.

(iv) Si f_{n} ⇀ f, ⋆σ(E′, E), si x_{n} → x fortement, alors f_{n}(x_{n}) → f(x).

Démonstration Pour (i), (i), (iv), les mêmes que pour la proposition 3.6. ∘

Proposition 3.11 La topologie σ(E′, E) est séparée.

Démonstration En effet, si deux formes linéaires f et g sur E sont distinctes, il existe x ∈ E tel que f(x) ≠ g(x). ∘

Théorème 3.3 (Banach-Alaoglu-Bourbaki).l L’ensemble \overline{B_{E′}} = \{f ∈ E′, ||f|| ≤ 1\} est compact pour la topologie ⋆σ(E′, E).

Démonstration On plonge E′ dans Y = IR^{E}, l’espace des applications de E dans IR muni de la topologie produit, c’est-à-dire la topologie la moins fine rendant continues les projections Y → IR, ω = (ω_{x})_{x∈E} → E. En clair, la topologie sur Y = IR^{E} est la topologie de la convergence simple. On appelle le plongement Φ : (E′, σ(E′, E)) → Y, f → (f(x))_{x∈E} ∈ Y. L’application Φ est continue et injective et d’inverse continue sur son image. On peut le vérifier en regardant les images et images réciproques des ouverts, mais on peut aussi simplement remarquer que les topologies sur Y et sur E′, ⋆σ(E′, E) sont la même, puisque la topologie ⋆σ(E, E′) n’est autre que la topologie de la convergence simple (restreinte aux formes linéaires sur E). Montrons que l’image K de \overline{B_{E′}} par Φ est un compact. On a

K = {ω ∈ Y, ∀x ∈ E, |ω_{x}| ≤ ||x||, ω_{x+y} = ω_{x} + ω_{y}, ω_{λx} = λω_{x}}.

On écrit K = K_{1} ∩ K_{2}, avec

K_{1} = {ω ∈ Y, ∀x ∈ E, |ω_{x}| ≤ ||x||} et
K_{2} = {ω ∈ Y, ∀x, y ∈ E, ∀λ ∈ IR, ω_{x+y} = ω_{x} + ω_{y}, ω_{λx} = λω_{x}.}

On voit que K_{1} = Π_{x∈E}[−||x||, ||x||] est compact et que K_{2} est fermé. Donc K est compact et donc \overline{B_{E′}} aussi. ∘

Remarque 3.2 Le théorème précédent n’est réellement utilisable que si la boule unité \overline{B_{E′}} est métrisable. On verra plus loin que c’est le cas quand E est séparable.

Espaces réflexifs, espaces séparables

4.1 Espaces réflexifs

Soit E un espace de Banach. Commençons par quelques remarques sur la dualité.

Proposition 4.1 Si E ⊂ F, alors F′ ⊂ E′ et E′′ ⊂ F′′. Si M ⊂ E est un sous-espace fermé de E et si M′ = E′, alors M = E.

Démonstration Les deux premiers énoncés sont évidents, mais attention, les inclusions en question sont des plongements : en effet F′ ⊂ E′ veut dire que les formes linéaires continues sur F peuvent être restreintes à E et apparaissent alors comme des formes linéaires continues sur E. Si M′ = E′, l’orthogonal de M dans E′ est {0}. Par le Lemme 1.4, M est dense dans E. Comme M est fermé, on a donc M = E. ∘

Soit J : E → E′′ l’injection canonique de E dans E′′, définie par Jx(f) = f(x) pour tout x ∈ E, f ∈ E′.

Définition 4.1 E est réflexif si J(E) = E′′.

Théorème 4.1 (Kakutani). Soit E un espace de Banach. Alors E est réflexif si et seulement si \overline{B_{E}} = \{x ∈ E, ||x|| ≤ 1\} est compact pour la topologie σ(E, E′).

Démonstration très abrégée Si E est réflexif, on a E = J^{−1}(E′′) et, avec cette identification, σ(E, E′) = σ(E′′, E′) et \overline{B_{E}} = \overline{B_{E′′}}. Comme cette dernière boule est compacte pour σ(E′′, E′), on déduit que \overline{B_{E}} est compacte pour σ(E, E′). Pour la réciproque, voir Brezis pages 44 et 45. ∘

Proposition 4.2 Soit M ⊂ E un sous-espace vectoriel fermé de E, espace de Banach, muni de la norme induite. Alors si E est réflexif, M est réflexif.

Démonstration Montrons que la topologie σ(M, M′) est une restriction à M de la topologie σ(E, E′). Cela provient du fait que, par le théorème de Hahn-Banach, toute forme linéaire continue sur M peut se prolonger en une forme linéaire continue sur E. Inversement, toute forme linéaire continue sur E est continue sur M. On applique le théorème de Kakutani : la boule \overline{B_{M}} = \{x ∈ M ||x|| ≤ 1\} est un fermé de \overline{B_{E}} qui est un compact pour σ(E, E′). Donc c’est aussi un compact pour σ(E, E′). Donc, à nouveau par le théorème 4.1, M est réflexif. ∘

Proposition 4.3 Soit E un espace de Banach. Alors E est réflexif si et seulement si E′ est réflexif.

Démonstration Supposons que E soit réflexif. On sait que \overline{B_{E′}} est compact pour la topologie σ(E′, E) (Théorème 3.3 de Alaoglu). Comme E est réflexif, on a σ(E′, E) = σ(E′, E′′). Donc \overline{B_{E′}} est aussi compact pour σ(E′, E′′), ce qui implique par le théorème de Kakutani que E′ est réflexif.

Réciproquement, Si E′ est réflexif, alors par l’étape précédente, E′′ est réflexif. Donc J(E), qui est un sous-espace fermé (fort) de E′′, est aussi réflexif par la proposition 4.2, et donc E est réflexif. ∘

Corollaire 4.1 Soit K ⊂ E un sous-ensemble convexe, fermé, borné d’un espace de Banach réflexif. Alors K est compact pour la topologie σ(E, E′).

Démonstration K est fermé dans σ(E, E′), et K ⊂ \overline{B(0, M)} est compact dans σ(E, E′) = σ(E′′, E′). ∘

4.2 Espaces séparables

Un espace séparable est un espace métrique qui contient un sous-ensemble D dense et dénombrable.

Proposition 4.4 Soit E un espace métrique séparable et F un sous-espace de E. Alors F est séparable.

Démonstration Considérons d(x_{n}, F), la distance de x_{n} à F. On choisit y_{n} ∈ F tel que d(y_{n}, x_{n}) ≤ 2d(x_{n}, F). Montrons que y_{n} est dense dans F. Soit y ∈ F. Comme

d(x_{n}, y) ≥ d(x_{n}, F) ≥ \frac{1}{2}d(y_{n}, x_{n}),

on obtient d(y, y_{n}) ≤ d(y, x_{n}) + d(x_{n}, y_{n}) ≤ 3d(x_{n}, y). Comme x_{n} est dense, on en déduit que lim inf d(y, y_{n}) ≤ 3 lim inf d(x_{n}, y) = 0. ∘

Théorème 4.2 Soit E un espace métrique tel que E′ soit séparable. Alors E est séparable.

Attention : la réciproque est fausse. On verra que (L^{1}(IR))′ = L^{∞}(IR), mais L^{∞} n’est pas séparable.

Démonstration du théorème 4.2. Soit f_{n} une suite dénombrable de E′ dense dans E′. A tout f_{n}, on associe x_{n} ∈ E tel que

||x_{n}|| = 1 et f_{n}(x_{n}) ≥ \frac{1}{2}||f_{n}||.

Ces x_{n} sont donc choisis pour être des éléments duaux approximatifs des f_{n} (voir le corollaire 1.2 sur l’application de dualité). On considère L_{0}, l’espace vectoriel sur Q engendré par les x_{n} et L celui engendré sur IR. L_{0} est dénombrable et dense dans L. Montrons que L est à son tour dense dans E. Remarquons qu’il suffit par le lemme 1.4 de démontrer que

∀f ∈ E′, (∀x ∈ L, f(x) = 0) ⇒ f = 0.  (4.1)

Soit donc f ∈ E′ tel que f(x) = 0 pour tout x ∈ L_{0}. Montrons que f = 0. Or, ∀ε > 0, ∃n, ||f − f_{n}|| < ε et f(x_{n}) = 0, ∀n. Donc

\frac{1}{2}||f_{n}|| ≤ f_{n}(x_{n}) = (f_{n} − f)(x_{n}) + f(x_{n}) ≤ ε.

Donc ||f|| ≤ ||f_{n} − f|| + ||f_{n}|| ≤ 3ε et donc f = 0. ∘

Corollaire 4.2 Si E est un espace de Banach, alors E est réflexif et séparable si et seulement si E′ est réflexif et séparable.

Démonstration On sait déja que si E′ est réflexif et séparable, alors E aussi. Réciproquement, si E est réflexif et séparable, alors E′′ = J(E) aussi, et donc E′ aussi.

∘

Théorème 4.3 Soit E un espace de Banach séparable. Alors la boule unité fermée \overline{B_{E′}} est métrisable pour la topologie σ(E′, E).

Démonstration Soit (x_{n}) une suite de B_{E} dense dans \overline{B_{E}}. On définit une distance sur E′ par

∀f, g ∈ E′, d(f, g) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{2^{n}} |(f − g)(x_{n})|.

Il faut montrer que les voisinages pour σ(E′, E) et pour cette distance sont les mêmes.

a) Soit f_{0} ∈ B_{E′} et V un voisinage de f_{0} pour σ(E′, E). On montre que ∃r > 0, U = {f ∈ \overline{B_{E′}}, d(f, f_{0}) < r\} ⊂ V. On peut supposer (Proposition 3.10) que V est de la forme

V = \{f ∈ \overline{B_{E′}}, (f − f_{0})(y_{i}) < ε, i = 1, ..., n\}, avec ||y_{i}|| ≤ 1.

Comme la suite x_{n} est dense dans \overline{B_{E}}, on peut trouver x_{n_{i}} tels que ||y_{i} − x_{n_{i}}|| < \frac{ε}{4}. On choisit r tel que 2^{n_{i}}r < \frac{ε}{2}. Alors

d(f, f_{0}) < r ⇒ \frac{1}{2^{n_{i}}} |(f − f_{0})(x_{n_{i}})| < r, i = 1, ..., n.

⇒ |(f − f_{0})(y_{i})| ≤ |(f − f_{0})(y_{i} − x_{n_{i}})| + |(f − f_{0})(x_{n_{i}})| < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} ⇒ f ∈ V.

Donc U ⊂ V.

b) Réciproquement, soit f_{0} ∈ \overline{B_{E′}}. Fixons r > 0 et considérons

U = \{f ∈ \overline{B_{E′}}, d(f, f_{0}) < r\}.

On va montrer qu’il existe un voisinage V de f_{0} pour σ(E′, E) dans B_{E′} tel que V ⊂ U. On cherche V de la forme

V = \{f ∈ \overline{B_{E′}}, |(f − f_{0})(x_{i})| < ε, i = 1, ..., k\}.

Choisissons k et ε pour que V ⊂ U : on a, si f ∈ V,

d(f, f_{0}) = ∑_{n=1}^{k} \frac{1}{2^{n}} |(f − f_{0})(x_{n})| + ∑_{n=k+1}^{∞} \frac{1}{2^{n}} |(f − f_{0})(x_{n})| < ε + 2 ∑_{n=k+1}^{∞} \frac{1}{2^{n}}

= ε + \frac{1}{2^{k}} .

On choisit donc ε < \frac{r}{2} et k suffisamment grand pour que \frac{1}{2^{k}} < \frac{r}{2}. ∘

Une adaptation immédiate de la démonstration précédente donne le résultat dual :

Théorème 4.4 Soit E un espace de Banach tel que E′ soit séparable. Alors \overline{B_{E}} est métrisable pour σ(E, E′).

Théorème 4.5 Soit E un espace de Banach séparable, f_{n} une suite bornée dans E′. Alors il existe une sous-suite extraite f_{n_{k}} qui converge pour σ(E′, E).

Démonstration En effet, par le théorème 3.3 (Théorème d’Alaoglu), la boule unité de E′ est compacte pour la topologie σ(E′, E) et par le théorème 4.3, cette topologie est métrisable. Or, dans un compact métrique, toute suite a un point d’accumulation.

∘

Corollaire 4.3 Soit E un espace de Banach et réflexif. Soit x_{n} une suite bornée dans E. Alors il existe une sous-suite x_{n_{k}} qui converge pour σ(E, E′).

Démonstration Soit F le plus petit sous-espace fermé contenant la suite x_{n}. F étant réflexif, il est le dual de F′ et σ(F, F′) = σ(F′′, F′). Donc le théorème 4.5 s’applique. ∘

Corollaire 4.4 Soit K ⊂ E un sous-ensemble convexe, fermé et borné d’un espace de Banach réflexif. Alors K est compact pour la topologie σ(E, E′).

Corollaire 4.5 Soit E un espace de Banach réflexif et φ : E →]−∞, +∞] une fonction convexe s.c.i. sur un convexe fermé A telle que

lim_{x∈A,||x||→∞} φ(x) = +∞, et ∃x_{0}, |φ(x)| < ∞.

Alors φ atteint son minimum sur A.

Démonstration L’ensemble convexe K = {x, φ(x) ≤ φ(x_{0})} est convexe, fermé, borné, non vide. Donc c’est un compact pour σ(E, E′). Comme φ est aussi s.c.i. pour la topologie σ(E, E′), φ atteint son minimum sur K en vertu du lemme qui suit. ∘

Lemme 4.1 Soit φ une fonction s.c.i. sur un espace topologique compact K. Alors φ atteint sa borne inférieure.

Démonstration Supposons par contradiction que φ n’atteigne pas son infimum m sur K. Alors les ouverts O_{ε} =]m + ε, +∞[ recouvrent φ(K). Comme φ est s.c.i., les ensembles φ^{−1}(O_{ε}) sont ouverts. De plus, ils recouvrent K et on peut donc en extraire un sous-recouvrement fini. On en déduit un recouvrement fini O_{ε_{1}}, ..., O_{ε_{k}} de φ(K). Donc φ(K) ⊂] min(ε_{1}, ..., ε_{k}), +∞[, ce qui contredit la définition de m.

∘

26 CHAPTER 4. ESPACES RÉFLEXIFS, ESPACES SÉPARABLES

L’intégrale de Lebesgue

On admet l’existence d’une classe de fonctions f : IR^{N} → [−∞, +∞] que l’on appelle mesurables au sens de Borel-Lebesgue. Si f = 11_{E} est une fonction caractéristique d’un sous-ensemble E de IR^{N}, c’est-à-dire f(x) = 1 si x ∈ E, f(x) = 0 sinon et si f est mesurable, on dit que E est mesurable, ou Lebesgue-mesurable. Dans tout ce qui suit, nous admettrons que les fonctions et les ensembles considérés sont mesurables et nous admettons l’existence d’une application qui à toute fonction f mesurable et à valeurs dans [0, +∞] associe son intégrale de Lebesgue que l’on notera de manière plus ou moins abrégée

∫_{IR^{N}} f(x)dx = ∫ f(x)dx = ∫ f ∈ [0, +∞].

Si f = 11_{E} est une fonction caractéristique, on note μ(E) = ∫ 11_{E} que l’on appelle mesure de E. En l’absence d’une construction explicite, les propriétés qui suivent doivent être considérées comme des axiomes vérifiés par l’intégrale de Lebesgue. A partir de ces axiomes, nous démontrerons les autres propriétés dont nous aurons besoin.

Propriété 5.1 Linéarité : pour f et g à valeurs dans [0, +∞], et λ, μ ∈ IR^{+}, ∫ λf + μg = λ ∫ f + μ ∫ g.

Remarquons que l’en déduit la croissance de l’intégrale : si f ≤ g, alors ∫ f ≤ ∫ g

Propriété 5.2 . Si f ≥ 0 est Riemann-intégrable elle est Lebesgue mesurable et son intégrale au sens de Lebesgue est égale à son intégrale au sens de Riemann.

Propriété 5.3 (Théorème de Beppo-Levi ou de la convergence monotone) Si f_{n} est une suite croissante de fonctions mesurables définies sur IR^{N} et à valeurs dans [0, +∞], on a

∫ lim_{n→∞} f_{n}(x)dx = lim_{n→∞} ∫ f_{n}(x)dx ≤ +∞.

Exercice 5.1 Si ∑ u_{n} est une série de fonctions IR^{N} → [0, +∞], on peut intervertir sommation et intégration : ∫ ∑_{n} u_{n}(x)dx = ∑ ∫ u_{n}(x)dx.

Il suffit d’appliquer le théorème de Beppo-Levi à la suite croissante des sommes partielles ∑_{n=1}^{k} u_{n}.

Proposition 5.1 Si A et B sont deux ensembles mesurables, alors A ⊂ B ⇒ μ(A) ≤ μ(B). Si A_{n} sont des ensembles disjoints, μ(⋃_{n} A_{n}) = ∑_{n} μ(A_{n}). (Appliquer de nouveau Beppo-Levi aux fonctions caractéristiques des ensembles). Si les A_{n} ne sont pas disjoints, on a μ(∪_{n}A_{n}) ≤ ∑_{n} μ(A_{n}).

Définition 5.1 On appelle ensemble négligeable tout ensemble de mesure nulle. On dit qu’une propriété est vérifiée presque partout si elle est vraie sauf sur un ensemble négligeable.

En vertu de la proposition 5.1, toute union dénombrable d’ensembles négligeables est négligeable.

Proposition 5.2 Soit f définie sur IR^{N} et à valeurs dans [0, +∞]. On a

∫ f(x)dx = 0 ⇔ f(x) = 0 p.p..

Démonstration On pose A = {x, f(x) ≠ 0}. On a

f(x) ≤ lim_{j→∞} j11_{A}(x).

Si μ(A) = 0, on obtient par le théorème de la convergence monotone (Beppo-Levi),

∫ f(x)dx ≤ lim_{j→∞} j ∫ 11_{A}(x)dx = 0.

Réciproquement, si ∫ f(x)dx = 0, remarquons que 11_{A}(x) ≤ lim_{j→∞} jf(x) et donc, à nouveau par Beppo-Levi,

μ(A) = ∫ 11_{A}(x)dx ≤ lim_{j→∞} ∫ jf(x)dx = 0.

∘

Définition 5.2 Soit f une fonction définie dans IR^{N} et à valeurs dans C. On dit que f est sommable (ou intégrable au sens de Lebesgue) si on a

∫_{IR^{N}} |f(x)|dx < ∞.

L’espace des fonctions sommables est noté L^{1}(IR^{N}). Si f(x) ∈ IR, on note f = f^{+} − f^{−}, où f^{+} = max(f, 0), f^{−} = max(−f, 0). Ces deux fonctions sont intégrables si |f| l’est et on pose

∫ f = ∫ f^{+} − ∫ f^{−}.

Si f = f_{1} + if_{2} est à valeurs complexes, on pose

∫ f = ∫ f_{1} + i ∫ f_{2}.

Exercice 5.1 Si une fonction f à valeurs réelles vérifie f = g − h, avec g ≥ 0, h ≥ 0, alors ∫ f = ∫ g − ∫ h.

Proposition 5.3 L’application f → ∫ f est linéaire de L^{1}(IR^{N}) dans C. Si f et g sont sommables et à valeurs complexes,

| ∫ f(x)dx| ≤ ∫ |f(x)|dx, | ∫ f(x) + g(x)|dx ≤ ∫ |f(x)|dx + ∫ |g(x)|dx.  (5.1)

Démonstration On montre l’additivité pour des fonctions réelles : on a f + g = f^{+} + g^{+} − (f^{−} + g^{−}) et donc, en vertu de l’exercice 5.1, et de l’additivité de l’intégrale pour les fonctions positives,

∫ (f + g) = ∫ (f^{+} + g^{+}) − ∫ (f^{−} + g^{−}) = ∫ f + ∫ g.

On montre la première relation de (5.1), qui entraîne aisément la seconde. On choisit un nombre complexe θ de module 1 tel que θ ∫ f soit un réel positif. Donc

| ∫ f(x)dx| = ∫ Re(θf(x))dx ≤ ∫ (Re(θf(x)))^{+}dx ≤ ∫ |f(x)|dx.
∘

Définition 5.3 L’espace L^{1}(IR^{N}). Une conséquence de la proposition 5.2 est que si f et g sont égales presque partout, elles ont la même intégrale. A partir de maintenant on identifie les fonctions égales presque partout entre elles. On note L^{1}(IR^{N}) l’espace vectoriel des classes d’équivalence de fonctions pour cette relation d’équivalence. Tous les énoncés qui suivent concerneront désormais ces classes. On choisira souvent par commodité une représentante u de la classe, ce qui sera licite à condition de la considérer comme “définie presque partout" (p.p.). On s’autorisera donc à écrire u(x), mais cette écriture n’aura jamais un sens ponctuel (à moins qu’un élément de la classe ne s’avère continu). Les énoncés portant sur u(x) n’auront de sens que si on leur ajoute la mention “presque partout”.

Théorème 5.1 (de Lebesgue, ou de la convergence dominée) Soit f_{n} une suite de fonctions qui converge presque partout vers une fonction f. On suppose qu’il existe une fonction positive sommable fixe h telle que l’on ait pour tout n, |f_{n}(x)| ≤ h(x) p.p.. (Cette fonction h(x) s’appelle un chapeau intégrable de la suite f_{n}). On a alors

∫ |f_{n}(x) − f(x)| → 0, ∫ f_{n}(x)dx → ∫ f(x)dx  (5.2)

Démonstration On remarque que la conclusion (5.2) ne dépend pas du choix des représentants des fonctions f_{n} et de f. Soit A_{n} = {x, |f_{n}(x)| > h(x)} et B l’ensemble des points où f_{n} ne converge pas vers f. Alors C = B∪(⋃_{n} A_{n}) est négligeable. On peut donc supposer, en changeant de représentants pour f_{n} et f, que f_{n}(x) → f(x) partout et que |f_{n}(x)| ≤ h(x) partout (pour tout x).

On pose g_{n}(x) = |f_{n}(x)−f(x)| et h_{n}(x) = sup_{k≥n} g_{k}(x). Alors h_{n} est une suite décroissante de fonctions positives qui tend vers zéro partout. De plus, h_{n}(x) ≤ 2h(x) partout. On va montrer que ∫ h_{n}(x)dx tend vers zéro, ce qui nous donnera (5.2). Or, le théorème de la convergence monotone (Beppo-Levi) s’applique à la suite croissante de fonctions positives 2h − h_{n} et donne

lim_{n→+∞} ∫ (2h(x) − h_{n}(x))dx = 2 ∫ h(x)dx.

Donc ∫ h_{n}(x)dx → 0. ∘

Théorème 5.2 (Réciproque du théorème de Lebesgue). Si f_{n} → f dans L^{1}, alors il existe une sous-suite f_{n_{k}} de la suite f_{n} qui converge presque partout vers f et un chapeau intégrable h tel que ∀k, |f_{n_{k}}(x)| ≤ h(x) p.p..

Démonstration Voir l’exercice qui porte ce nom. ∘

Théorème 5.3 (Théorème de dérivation sous le signe somme) Soient I un intervalle de IR et A un sous-ensemble de IR^{n}. On se donne une fonction f définie sur A × I vérifiant les trois hypothèses suivantes.

(a) Pour tout λ ∈ I, la fonction x → f(x, λ) est sommable sur A.

(b) La dérivée partielle \frac{∂f}{∂λ}(x, λ) existe en tout point de A × I.

(c) Il existe une fonction h positive et sommable sur A telle que l’on ait |\frac{∂f}{∂λ}(x, λ)| ≤ h(x) pour tous x et λ. Alors la fonction F définie par

F (λ) = ∫_{A} f(x, λ)dx

est dérivable dans I et on a

F′(λ) = ∫_{A} \frac{∂f}{∂λ}(x, λ)dx.

Démonstration On a, à λ fixé,

\frac{1}{l}[F (λ + l) − F (λ)] = ∫_{A} g_{l}(x)dx,

où l’on a posé

g_{l}(x) = \frac{1}{l}[f(x, λ + l) − f(x, λ)].

La fonction g_{l} converge en tout point vers \frac{∂f}{∂λ}. D’autre part,

|g_{l}(x)| ≤ sup_{0≤θ≤1} |\frac{∂f}{∂λ}(x, λ + θl)| ≤ h(x)

d’après le théorème des accroissements finis. Le théorème résulte alors de l’application du théorème de Lebesgue. ∘

L’avant-dernière propriété de l’intégrale de Lebesgue que nous admettrons est la suivante. Comme précédemment, on suppose que les fonctions considérées sont mesurables.

Définition 5.4 On considère un quadrillage de taille a de l’espace IR^{N} par des hypercubes de longueur d’arète a. Posant C = [0, a[^{N}, ce quadrillage peut se définir par le recouvrement disjoint

IR^{N} = ⋃_{n∈Z^{N}}(an + C).

On appelle fonction en escalier une fonction à laquelle on peut associer un quadrillage de taille a tel que f soit constante sur chacun des hypercubes du quadrillage et à support borné .

Définition 5.5 On appelle fonction en escalier dyadique une fonction en escalier associée à un quadrillage de taille a = 2^{k}, k ∈ Z.

Propriété 5.4 Pour toute fonction f sommable sur IR^{N}, il existe une suite de fonctions en escalier qui converge vers f dans L^{1}(IR^{N}). Cette propriété reste vraie si on impose aux fonctions en escaliers d’être dyadiques.

On va déduire de la proposition 5.4 une propriété de densité plus forte concernant les fonctions continues à support compact.

Définition 5.6 Soit f une fonction continue et nulle en dehors d’une boule. On appelle support de f la fermeture de l’ensemble {x, f(x) > 0} qui est fermé et borné et donc compact. Si Ω est un ouvert de IR^{N}, on note C_{c}(Ω) l’ensemble des fonctions C^{∞} à support compact contenu dans Ω.

Corollaire 5.1 Pour toute fonction f sommable sur IR^{N} il existe une suite de fonctions f_{n} ∈ C_{c}(IR^{N}), c’est-à-dire continues et à support compact, telles que

∫_{IR^{N}} |f_{n} − f| → 0.

Démonstration On commence par montrer que si C est un hypercube de IR^{N} et 11_{C} sa fonction caractéristique, alors il existe des fonctions continues f_{N} à support compact telles que ∫ |f_{N} − 11_{C}|(x)dx soit arbitrairement petit. On peut bien sûr se ramener au cas où C = [−1, 1]^{N}. Commençons par le cas N = 1. On considère l’unique fonction continue et affine sur [−1 − ε, −1] et sur [1, 1+ε] telle que f_{1}(x) = 0 si |x| ≥ 1+ε et f(x) = 1 si |x| ≤ 1. La fonction f_{N}(x_{1}, ..., x_{N}) = f_{1}(x_{1})...f_{N}(x_{N}) convient en dimension N. En considérant les supports de f_{N} et de 11_{C}, on voit en effet que ||11_{C} − f_{N}||_{L^{1}} ≤ (1 + 2ε)^{N} − 1 qui tend vers 0 quand ε → 0.

Toute combinaison linéaire finie de fonctions caractéristiques d’hypercubes est donc approchable dans L^{1} par une combinaison linéaire finie de fonctions continues à support compact. Il en résulte que toute fonction en escalier est approchable par des fonctions à support compact dans L^{1}. On conclut en utilisant la propriété 5.4.

∘

L’espace L^{1}(IR^{N}) apparaît donc comme la complétion de C_{c}(IR^{N}) pour la norme

||f||_{L^{1}} = ∫_{IR^{N}} |f(x)|dx,

mais il faudra montrer qu’il est effectivement complet. Voyons tout de suite deux conséquences importantes de cette propriété de densité.

Théorème 5.4 (équicontinuité en moyenne des fonctions sommables) Pour tout f ∈ L^{1}(IR^{N}), on a

lim_{y→0} ∫_{IR^{N}} |f(x + y) − f(x)|dx = 0.

Démonstration On fixe ε > 0 et on choisit grâce à la proposition 5.1 une fonction f_{ε}, continue et à support compact inclus dans une boule B(0, R), telle que ||f_{ε} − f||_{L^{1}} ≤ ε. La fonction f_{ε} est uniformément continue. Il existe donc η tel que |y| ≤ η ⇒ |f_{ε}(x + y) − f_{ε}(x)| ≤ \frac{ε}{mes(B(0,2R)}. Ceci implique en intégrant ∫ |f_{ε}(x + y) − f_{ε}(x)|dx ≤ ε pour y ≤ min(η, R). On a donc

∫ |f(x) − f(x + y)|dx ≤
∫ |f − f_{ε}|(x)dx + ∫ |f_{ε}(x) − f_{ε}(x + y)|dx + + ∫ |f_{ε}(x + y) − f(x + y)|dx ≤ 3ε.
∘

Théorème 5.5 (de changement de variable) Soient Ω_{1} et Ω_{2} deux ouverts de IR^{n} et φ un difféomorphisme entre Ω_{1} et Ω_{2}. On notera J_{φ}(x) le déterminant de la matrice jacobienne de φ au point x. Soit f une fonction définie sur Ω_{2}.

(a) Si la fonction f est à valeurs dans IR^{+} ∪ {+∞}, on a l’égalité suivante, où les deux membres ont un sens dans IR^{+} ∪ {+∞},

∫_{Ω_{2}} f(y)dy = ∫_{Ω_{1}} f(φ(x))|J_{φ}(x)|dx.  (5.3)

(b) Si f est à valeurs complexes, elle est sommable dans Ω_{2} si et seulement si f(φ(x))J_{φ}(x) est sommable dans Ω_{1}, et les deux membres de l’égalité précédente sont alors égaux.

Démonstration : La formule (5.3) est vraie si f est intégrable au sens de Riemann, continue à support compact par exemple. Si f est sommable, on considère des fonctions continues f_{n} à support compact qui approchent f dans L^{1}. On a donc

∫_{Ω_{2}} f_{n}(y)dy = ∫_{Ω_{1}} f_{n}(φ(x))|J_{φ}(x)|dx  (5.4)

et on peut écrire une formule analogue pour |f_{n} − f_{p}|. Il en résulte que les fonctions f_{n}(x)|J_{φ}(x)| forment une suite de Cauchy dans L^{1}. Leur limite f(x)|J_{φ}(x)| est donc bien sommable et en passant à la limite dans (5.4), on obtient la formule de changement de variable (5.3). ∘

La dernière propriété de l’intégrale de Lebesgue que nous admettons est la suivante (nous supposons toutes les fonctions considérées mesurables).

Propriété 5.5 (Théorème de Fubini-Tonelli) Soit f(x, y) une fonction définie dans IR^{p} × IR^{q}.

(a) (Tonelli) Si f est à valeurs dans IR^{+} ∪ {+∞}, on a l’égalité suivante, où les trois membres définissent un élément de IR^{+} ∪ {+∞},

∫_{IR^{p+q}} f(x, y)dxdx = ∫_{IR^{p}}(∫_{IR^{q}} f(x, y)dy) = ∫_{IR^{q}}(∫_{IR^{p}} f(x, y)dx)dy.

(b) (Fubini) Si f est sommable dans IR^{p+q}, les trois membres de l’égalité précédente ont un sens et sont égaux. Plus précisément, dire que le troisième membre a un sens signifie :

• pour presque tout y, la fonction x → f(x, y) est sommable dans IR^{p},

• la fonction φ(y) = ∫ f(x, y)dx qui est ainsi définie presque partout est sommable dans IR^{q}.

Les espaces de Lebesgue, L^{1}, L^{p}, L^{∞}

On appelle, pour 1 ≤ p < ∞, L^{p}(IR^{N}) l’ensemble des fonctions définies presque partout et telles que

∫_{IR^{N}} |f(x)|^{p}dx < ∞.

On appelle L^{∞}(IR^{N}) l’espace des fonctions définies presque partout et telles qu’il existe C > 0 tel que |f(x)| ≤ C pour presque tout x. La plus petite constante C pour laquelle cette relation est vraie s’appelle le “sup essentiel” de |f(x)| et on le note ||f||_{L^{∞}}. On dit que f est "essentiellement bornée."

Exercice 6.1 Vérifier que les espaces L^{1} et L^{∞} sont des espaces vectoriels normés: leurs normes sont

||f||_{L^{1}} = ∫ |f(x)|dx et ||f||_{L^{∞}} = supess_{x∈IR^{N}} |f(x)|.

On note parfois ces normes ||f||_{1} et ||f||_{∞}. On va aussi poser pour 1 < p < ∞

||f||_{p} = ||f||_{L^{p}} = (∫ |f(x)|^{p}dx)^{\frac{1}{p}} ,

mais il faudra montrer que c’est une norme. On montrera aussi que les espaces L^{p} sont complets et donc des espaces de Banach. On pose p′ = \frac{p}{p−1}, en sorte que \frac{1}{p} + \frac{1}{p′} = 1. On appelle p′ "l’exposant conjugué" de p. On va aussi montrer dans ce chapitre que les espaces L^{p} et L^{p′} sont duaux l’un de l’autre.

Théorème 6.1 (Inégalité de Hölder) Pour tout f ∈ L^{p} et g ∈ L^{p′}, la fonction fg est sommable et

∫ |fg| ≤ ||f||_{p}||f||_{p′}.

Démonstration On utilise la concavité du logarithme. Si a > 0, b > 0,

log(\frac{1}{p}a^{p} + \frac{1}{p′} b^{p′}) ≥ \frac{1}{p} log(a^{p}) + \frac{1}{p′} log(b^{p′}) = log(ab). D’où

ab ≤ \frac{1}{p}a^{p} + \frac{1}{p′} b^{p′} et donc

|f(x)g(x)| ≤ \frac{1}{p}|f(x)|^{p} + \frac{1}{p′} |g(x)|^{p′}, qui donne

34 CHAPTER 6. LES ESPACES DE LEBESGUE, L^{1}, L^{P}, L^{∞}

∫ |f(x)g(x)| ≤ \frac{1}{p}||f||_{L^{p}}^{p} + \frac{1}{p′} ||g||_{L^{p′}}^{p′} .

Pour trouver l’inégalité recherchée, on remplace le couple (f, g) par (λf, \frac{g}{λ}), où λ > 0. On choisit

λ = \frac{||g||p′^{\frac{1}{p}}}{||f||p^{\frac{1}{p′}}} . Alors

∫ |fg| ≤ (\frac{1}{p} + \frac{1}{p′})||f||_{p}||g||_{p′},

qui est bien l’inégalité annoncée. ∘

Théorème 6.2 L^{p}(IR^{N}) est un espace vectoriel et ||f||_{p} est une norme pour tout 1 < p < ∞.

Démonstration On applique l’inégalité de Hölder :

||f + g||_{p}^{p} = ∫ |f + g|^{p} = ∫ |f + g|^{p−1}|f| + ∫ |f + g|^{p−1}|g| ≤
|||f + g|^{p−1}||_{p′}||f||_{p} + |||f + g|^{p−1}||_{p′}||g||_{p} = (||f||_{p} + ||g||_{p})||f + g||_{p}^{p−1},

soit ||f + g||_{p} ≤ ||f||_{p} + ||g||_{p}. Les autres relations caractérisant une norme (||λf|| = |λ|||f||, ||f|| = 0 ⇒ f = 0 presque partout) sont immédiates pour 1 ≤ p ≤ ∞. ∘

Théorème 6.3 Les espaces L^{p}(IR^{N}), (1 ≤ p ≤ +∞) sont des espaces de Banach.

Démonstration Soit h_{k} une suite de Cauchy dans L^{p}. Si p = +∞, il est immédiat de voir que h_{k}(x) est de Cauchy pour presque tout x et converge uniformément vers une fonction essentiellement bornée h(x). Soit maintenant 1 ≤ p < ∞. Il existe une suite extraite de la suite de Cauchy h_{k}, que nous noterons par commodité f_{n} = h_{k_{n}}, telle que

q, r ≥ n ⇒ ||f_{q} − f_{r}||_{L^{p}} ≤ \frac{1}{2^{n}} .

On pose g_{n}(x) = ∑_{1}^{n} |f_{k+1}(x) − f_{k}(x)|. La suite de fonctions g_{n}(x)^{p} est croissante. Notons g(x)^{p} sa limite. Par l’inégalité triangulaire,

∫ |g_{n}|^{p} ≤ (∑_{1}^{n} ||f_{k+1} − f_{k}||_{p})^{p} ≤ 1.

Donc, par le théorème de convergence monotone,

∫ |g(x)|^{p} = lim_{n} ∫ |g_{n}|^{p} ≤ 1.

Il en résulte que g(x) est presque partout finie, appartient à L^{p} et que g_{n}(x) tend presque partout vers g(x). Comme (pour n ≥ m), ∑_{m}^{n} |f_{k+1} − f_{k}|(x) ≤ g_{n}(x) − g_{m}(x), la série ∑_{1}^{∞}(f_{k+1} − f_{k}) converge également presque partout. Donc f_{n}(x) − f_{1}(x) converge presque partout vers une limite que l’on appelle f(x) − f_{1}(x) ∈ L^{p}. La suite f_{n}(x) converge donc presque partout vers f(x) ∈ L^{p}. De plus, |f_{n}(x) − f(x)|^{p} ≤ (∑_{n}^{∞} |f_{k+1} − f_{k}(x)|)^{p} ≤ g(x)^{p} qui est chapeau intégrable. Donc f_{n} − f converge vers 0 dans L^{p}. Rappelons que f_{n} = h_{n_{k}} est une sous-suite extraite de la suite de Cauchy h_{k}. Mais si une sous-suite d’une suite de Cauchy converge, toute la suite converge. ∘

On a vu (Propriété 5.1) que les fonctions continues à support compact forment un sous-ensemble dense de L^{1}. C’est encore vrai pour les espaces L^{p}, avec la restriction p < ∞.

Théorème 6.4 Les fonctions continues à support compact sont denses dans L^{p}(IR^{N}) pour tout 1 ≤ p < ∞.

Démonstration On commence par montrer que l’on peut approcher une fonction f de L^{p} par des fonctions bornées et à support compact. L’approximation se fait par simple troncature : on pose f_{k}(x) = f(x) si ||x|| ≤ k et |f(x)| ≤ k, f_{k}(x) = 0 sinon. La suite |f(x) − f_{k}(x)|^{p} a |f(x)|^{p} pour chapeau intégrable et tend presque partout vers 0. Par le théorème de Lebesgue, elle converge donc vers 0 et il en résulte que f_{k} → f dans L^{p}.

Reste à montrer que si une fonction f est bornée (|f| ≤ k) et à support compact (|f(x)| = 0 si ||x|| ≥ k), alors elle est approchable dans L^{p} par des fonctions continues. Mais comme f ∈ L^{1}, il existe une suite de fonctions continues et à support compact f_{n} convergeant vers f dans L^{1}. Quitte à extraire une sous-suite, on peut suppposer que la suite f_{n} converge presque partout vers f (réciproque du théorème de Lebesgue). En remplaçant f_{n} par la nouvelle fonction continue max(−k, min(k, f_{n}(x)), qui converge aussi presque partout vers f et a un un chapeau intégrable, on peut finalement supposer que |f_{n}(x)| ≤ k. Utilisons une fonction g continue et à support compact valant 1 sur B(0, k). La suite de fonctions h_{n} = gf_{n} converge presque partout vers f et a la fonction bornée k11_{B(0,k)}g comme chapeau intégrable dans tout L^{p}. Elle converge donc vers f dans tous les L^{p} tels que 1 ≤ p < ∞. ∘

Corollaire 6.1 Soit f ∈ L_{loc}^{1}(IR^{N}) telle que pour toute fonction continue à support compact u ∈ C_{c}(IR^{N}) on ait ∫ f(x)u(x) = 0. Alors f = 0.

Démonstration En reprenant exactement le même raisonnement que dans la démonstration précédente, on voit qu’il existe pour toute boule B(0, R) ⊂ IR^{N} une suite u_{n} ∈ C_{c}(B(0, R + 1)) qui converge vers Signe(f) dans L^{1}(B(0, R)) et presque partout et vérifie |u_{n}| ≤ 1. Il vient alors

0 = ∫_{B(0,R)} f(x)v_{n}(x) → ∫_{B(0,R)} f(x)Signe(f(x)) = ∫_{B(0,R)} |f(x)|dx.

Donc f = 0.

∘

Théorème 6.5 Pour tout f ∈ L^{p}(IR^{N}), 1 ≤ p < ∞, on a

lim_{y→0} ∫_{IR^{N}} |f(x + y) − f(x)|^{p}dx = 0.

Démonstration : Exercice. C’est vrai pour les fonctions continues à support compact car elles sont uniformément continues et on le montre pour une fonction arbitraire de L^{1}(IR^{N}) en utilisant la densité de C_{c} dans L^{p} (Proposition 6.4).

∘

6.1 Convolution et régularisation des fonctions de L^{p}

Théorème 6.6 et définition Si f et g appartiennent à L^{1}(IR^{N}), alors le produit de convolution f ∗ g est défini par

(f ∗ g)(x) = ∫ f(x − y)g(y)dy = ∫ g(x − y)f(y)dy,

la fonction de y figurant sous le signe somme étant sommable pour presque tout x. En outre, la fonction f ∗ g appartient à L^{1} et on a

||f ∗ g||_{1} ≤ ||f||_{1}||g||_{1}.

Démonstration On montre d’abord en appliquant le théorème de Fubini et le théorème de changement de variable que la fonction |f(x − y)g(y)| est sommable. En effet,

∫ ∫ |f(x − y)g(y)|dxdy = ∫ |g(y)|(∫ |f(x − y)|dx)dy =
∫ |g(y)|(∫ |f(x)|dx)dy = ||f||_{L^{1}}||g||_{L^{1}}.

La fonction f(x − y)g(y) est donc sommable sur IR^{2N} et le théorème de Fubini assure que la fonction y → f(x − y)g(y) est sommable pour presque tout x et que la fonction alors définissable par f ∗ g(x) = ∫ f(x − y)g(y)dy est elle-même sommable sur IR^{N}. On a finalement

||f ∗ g||_{L^{1}} = ∫ |f ∗ g|(x)dx ≤ ∫ |g(y)|(∫ |f(x − y)|dx)dy = ||f||_{L^{1}}||g||_{L^{1}}.
∘

Exercice 6.2 Démontrer en appliquant le théorème de Fubini que le produit de convolution est associatif,

(f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h).

On montrera que la fonction (y, z) → f(x−y)g(y−z)h(z) est sommable dans IR^{2N} et on calculera son intégrale de deux manières différentes.

Théorème 6.7 (régularisation par convolution) Soit f ∈ L^{1}(IR^{N}) et soit g une fonction continue et bornée dans IR^{N}. Alors la fonction f ∗ g définie \underline{en tout point} par f ∗ g(x) = ∫ g(x − y)f(y)dy est continue et bornée. Si de plus les dérivées partielles de g existent et sont continues et bornées, il en est de même pour f ∗ g et l’on a

\frac{∂(f ∗ g)}{∂x_{j}} = f ∗ \frac{∂g}{∂x_{j}} , \frac{∂(f ∗ g)}{∂x_{j}∂x_{k}} = f ∗ \frac{∂g}{∂x_{j}∂x_{k}} , ...

6.1. CONVOLUTION ET RÉGULARISATION DES FONCTIONS DE L^{P} 37

Démonstration On remarque d’abord que la fonction g(x − y)f(y) est sommable pour tout x. En effet, |g(x − y)f(y)| ≤ ||g||_{∞}|f(y)|. La continuité découle du théorème de Lebesgue. En effet, si x_{n} → x, alors g(x_{n} − y)f(y) tend partout vers g(x − y)f(y) et ||g||_{∞}|f(y)| est chapeau intégrable. Donc

f ∗ g(x_{n}) = ∫ g(x_{n} − y)f(y)dy → ∫ g(x − y)f(y)dy = f ∗ g(x).

Si g est dérivable par rapport à x_{j} et de dérivée continue et bornée, appliquons le théorème de dérivation sous le signe somme. On a

\frac{∂}{∂x_{j}} (g(x − y)f(y)) = \frac{∂g}{∂x_{j}} (x − y)f(y)

et cette fonction est majorée en module par ||\frac{∂g}{∂x_{j}} ||_{∞}f(y), qui est indépendante de x et sommable.

Le théorème de dérivation sous le signe somme s’applique donc et donne bien \frac{∂(f∗g)}{∂x_{j}} = f ∗ \frac{∂g}{∂x_{j}}. ∘

Théorème 6.8 Soient f ∈ L^{1}(IR^{N}) et g ∈ L^{2}(IR^{N}). Alors (f ∗ g)(x) est défini pour presque tout x et c’est une fonction de carré sommable vérifiant

||f ∗ g||_{2} ≤ ||f||_{1}||g||_{2}.  (6.1)

Soient f et g deux fonctions de L^{2}(IR^{N}). Alors f ∗g(x) est défini pour tout x et c’est une fonction continue, tendant vers zéro à l’infini et satisfaisant

||f ∗ g||_{∞} ≤ ||f||_{2}||g||_{2}.  (6.2)

Démonstration Pour évaluer

∫ (|f| ∗ |g|)^{2}(x)dx,

on remarque que cette intégrale est égale grâce au théorème de Tonelli à

I = ∫ ∫ ∫ |g(x − y)||g(x − z)||f(y)||f(z)|dxdydz.  (6.3)

(intègrer I d’abord par rapport à y, puis par rapport à z). On applique à nouveau le le théorème de Fubini pour intégrer I d’abord en x, puis on utilise l’inégalité de Cauchy-Schwartz, ce qui donne

I = ∫ ∫ |f(y)||f(z)|(∫ |g(x − y)||g(x − z)|dx)dydz ≤ ||f||_{1}^{2}||g||_{2}^{2}.  (6.4)

La relation (6.1) vient immédiatement des relations (6.3) et (6.4).

Si maintenant f et g sont de carré sommable, on déduit de l’inégalité de Cauchy-Schwartz que (f ∗ g)(x) est défini pour tout x et on obtient la relation (6.2). Montrons maintenant que f ∗ g est continue et tend vers zéro à l’infini. On considère deux suites approximantes continues à support compact f_{n} et g_{n} telles que f_{n} → f et g_{n} → g dans L^{2}(IR^{N}). Par le théorème 6.7, f_{n} ∗ g_{n} est continue et il est immédiat que f_{n} ∗ g_{n} est encore à support compact. Finalement on a, grâce à l’inégalité de Cauchy-Schwartz,

|f ∗ g(x) − f_{n} ∗ g_{n}(x)| ≤ (|f − f_{n}| ∗ |g|)(x) + (|f_{n}| ∗ |g − g_{n}|)(x) ≤

||f − f_{n}||_{2}||g||_{2} + ||f_{n}||_{2}||g − g_{n}||_{2} → 0.

Donc la suite de fonctions f_{n} ∗ g_{n}, continues et tendant vers zéro à l’infini, tend uniformément vers f ∗ g. Il en résulte que f ∗ g est continue et tend vers zéro à l’infini. ∘

Définition 6.1 Si f ∈ L_{loc}^{1}(IR^{N}), on appelle support de f et on note Support(f) le complémentaire du plus grand ouvert O tel que f(x) = 0 presque partout sur 0. Le support de f est donc un fermé. S’il est de plus borné, on dit que f est à support compact.

Proposition 6.1 Si f et g sont deux fonctions de L^{1}(IR^{N}),

Support(f ∗ g) ⊂ \overline{Support(f) + Support(g)}.

Démonstration Soit x ∉ Support(f) + Support(g), alors (x − Support(f)) ∩ Support(g) = ∅ et donc

(f ∗ g)(x) = ∫ f(x − y)g(y)dy = ∫_{(x−Support(f))∩Support(g)} f(x − y)g(y)dy = 0.

Donc (f ∗ g)(x) = 0 en tout point n’appartenant pas à Support(f) + Support(g) et donc aussi en tout point n’appartenant pas à sa fermeture \overline{Support(f) + Support(g)}, ce qui donne le résultat. ∘

Théorème 6.9 (Approximations de l’identité) Soit k ∈ L^{1}(IR^{N}) telle que ∫ k(x)dx = 1 et k(x) ≥ 0 presque partout. On pose pour tout h > 0,

k_{h}(x) = h^{−N}k(\frac{x}{h}).

Alors, pour toute fonction f ∈ L^{p}(IR^{N}), 1 ≤ p < ∞, les fonctions f ∗ k_{h} convergent vers f dans L^{1}.

Démonstration On remarque d’abord que

∫ k_{h}(x)dx = ∫ k(x)dx = 1,  (6.5)

k_{h} ∗ f(x) − f(x) = ∫ (k_{h}(y)(f(x − y) − f(x))dy,  (6.6)

on rappelle que comme f ∈ L^{p}, on peut choisir η assez petit pour que

|y| ≤ η ⇒ ∫ |f(x − y) − f(x)|^{p}dx ≤ ε  (6.7)

et que (une conséquence du théorème de Lebesgue), pour h assez petit,

∫_{|y|≥η} |k_{h}(y)|dy ≤ ε  (6.8)

Enfin, la convexité de la fonction r → |r|^{p} et le fait que k_{h} ≥ 0, ∫ k_{h} = 1 impliquent que pour toute fonction f dans L^{p}, on ait

(∫ k_{h}(x)|f(x)|dx)^{p} ≤ ∫ k_{h}(x)|f(x)|^{p}dx.  (6.9)

En utilisant les relations (6.5)-(6.9) et le théorème de Fubini,

∫ |k_{h}∗f(x)−f(x)|^{p}dx = ∫ | ∫ (k_{h}(y)(f(x−y)−f(x))dy|^{p}dx ≤ ∫ ∫ k_{h}(y)|f(x−y)−f(x))|^{p}dydx ≤

2^{p} ∫ |f(x)|^{p}dx ∫_{|y|≥η} |k_{h}(y)|dy + ∫_{|y|≤η} |k_{h}(y)|dy ∫ |f(x − y) − f(x)|^{p}dx ≤
2^{p}||f||_{L^{p}}^{p}ε + ∫ |k_{h}(y)|ε = (2^{p}||f||_{L^{p}}^{p} + ||k||_{L^{1}})ε.

∘

Exercice 6.3 Reprendre la démonstration précédente dans le cas p = 1 et montrer que l’on peut se passer de l’hypothèse que k est positive.

Proposition 6.2 Si f est uniformémement continue et bornée sur IR^{N}, alors f ∗ k_{h} converge vers f uniformément.

Démonstration C’est le même raisonnement, en plus simple que pour le théorème 6.9 : On écrit simplement

|(k_{h} ∗ f)(x) − f(x)| = | ∫ k_{h}(y)|f(x − y) − f(x))dy|

≤ 2 sup |f| ∫_{|y|≥η} |k_{h}(y)|dy + sup_{|y|≤η} |f(x − y) − f(x)| ∫ |k_{h}(y)|dy.

∘

Corollaire 6.2 Soit Ω un ouvert de IR^{N}. On appelle C_{0}^{∞}(Ω) l’ensemble des fonctions C^{∞} à support compact dans Ω et on munit C_{c}(Ω), l’espace des fonctions continues à support compact dans Ω, de la topologie suivante : on dit que u_{n} tend vers u si pour tout ε > 0 il existe n_{0} tel que pour n ≥ n_{0}, on ait Support(u_{n}) ⊂ Support(u) + B(0, ε) et sup_{x∈Ω} |u_{n}(x) − u(x)| < ε. Alors C_{0}^{∞}(Ω) est dense dans C_{c}(Ω).

Démonstration Si f ∈ C_{c}(Ω), alors elle est uniformément continue et k_{h} ∗ f tend vers f uniformément. De plus, par la proposition 6.1, Support(k_{h} ∗ f) ⊂ Support(f) + B(0, h). Donc k_{h} ∗ f tend bien vers f dans C_{c}(Ω). Enfin, par le théorème 6.7, on a bien k_{h} ∗ f ∈ C^{∞}. ∘

Pour compléter la démonstration précédente, il nous reste à montrer qu’il existe des fonctions C^{∞} à support compact.

Lemme 6.1 Il existe une fonction f_{N} ∈ C^{∞}(IR^{N}), à support compact, positive et de support contenu dans \overline{B}(0, 1).

Démonstration On pose simplement, en dimension 1, f_{1}(x) = e^{\frac{1}{x^{2}−1}} si |x| ≤ 1, f(x) = 0 sinon. Il est facile de voir que f^{(k)}(−1) = f^{(k)}(1) = 0 pour tout ordre k et que donc f est C^{∞}. En dimension N, on pose simplement g_{N}(x_{1}, ..., x_{N}) = f_{1}(x_{1})...f_{N}(x_{N}) qui est a support dans l’hypercube [−1, 1]^{N} puis f_{N}(x) = g_{N}(2\sqrt{N}x) pour ramener le support dans B(0, 1). ∘

Exercice 6.4 Construire une fonction radiale f_{N} ∈ C^{∞}(IR^{N}) telle que f_{N}(x) = 1 si |x| ≤ 1, f_{N}(x) = 0 si |x| ≥ 2.

(i) Commencer par le cas de la dimension 1 : Soit f une fonction positive, C^{∞}, à support compact dans [−1, 1] et d’intégrale 1. On peut construire une telle fonction par le lemme 6.1. Poser h(x) = f_{1}(x + 3) − f_{1}(x − 3), puis g(x) = ∫_{−∞}^{x} h(t)dt. Dessiner h(x) et g(x), montrer que f_{1}(x) = h(2x) répond à la question en dimension 1. (ii) Montrer que f_{N}(x) = f_{1}(||x||) convient en dimension N.

Proposition 6.3 Soit Ω un ouvert de IR^{N}. Alors C_{0}^{∞}(Ω) est dense dans L^{p}(Ω) pour tout 1 ≤ p < ∞.

Démonstration On considère les voisinages intérieurs de Ω, Ω_{r} = {x, B(x, r) ⊂ Ω}. Comme Ω = ∪_{r>0}Ω_{r}, on a par le théorème de Lebesgue

∀ε∃r, ∫_{Ω} |f(x) − f(x)11_{Ω_{r}}|dx < ε.

On choisit alors r′ < r tel que

||(f11_{Ω_{r}}) ∗ h_{r′} − f11_{Ω_{r}}||_{L^{1}(Ω)} < ε.

On obtient donc ||f − (f11_{Ω_{r}}) ∗ h_{r′}||_{L^{1}(Ω)} < 2ε. Comme r′ < r, le lemme 6.1 et le théorème 6.7 impliquent que (f11_{Ω_{r}}) ∗ h_{r′} ∈ C_{0}^{∞}(Ω). ∘

6.2 Théorèmes classiques de compacité

Théorème 6.10 (Ascoli-Arzela) Soit f_{n} une suite de fonctions définies sur un espace métrique compact et à valeurs réelles. On suppose que la suite f_{n} a les deux propriétés suivantes :

• f_{n} est équicontinue : ∀ε, ∃η, ∀x, y ∈ K, ∀n ∈ IN, |f_{n}(x) − f_{n}(y)| ≤ η.

• La suite (f_{n}(x))_{n} est bornée pour tout x ∈ K. Alors il existe une sous-suite de f_{n} qui converge vers une fonction continue f.

Démonstration Remarquons d’abord qu’il existe une suite de points (x_{k})_{k} qui est dense dans K. En effet, K est compact et donc on peut le recouvrir pour tout n par un nombre fini de boules de rayon plus petit que \frac{1}{n}. L’union des centres de ces boules est un ensemble dénombrable qui répond à la question. On va alors extraire pour tout k de la suite f_{n} une sous-suite f_{φ_{k}(n)} telle que f_{φ_{k}(n)}(x_{l}) converge pour l ≤ k et telle que f_{φ_{k}(n)} soit une sous-suite de f_{φ_{k−1}(n)}. On procède par extractions successives. Comme la suite f_{n}(x_{1}) est bornée, la suite f_{n} admet une sous-suite convergente en x_{1} que nous notons f_{φ_{1}(n)}. On extrait de cette sous-suite une nouvelle sous-suite f_{φ_{2}(n)} qui converge aussi en x_{2}, etc.. On applique alors le procédé dit d’extraction diagonale : on considère la suite de fonctions g_{n} = f_{φ_{n}(n)}. Elle converge en tout point de la suite x_{k}. On appelle g(x_{k}) sa limite en x_{k}. Dès que n ≥ k, la suite f_{φ_{n}(n)} devient une sous-suite de f_{φ_{k}(n)}. Elle converge donc en x_{k}. La suite g_{n} converge donc en tout x_{k}. En fait, la fonction g est équicontinue et se prolonge d’une manière unique en une fonction continue sur K, que nous noterons encore g. Voyons pourquoi. On a

|g(x_{l}) − g(x_{k})| ≤ |g(x_{l}) − g_{n}(x_{l})| + |g(x_{k}) − g_{n}(x_{k})| + |g_{n}(x_{l}) − g_{n}(x_{k})|.

Le troisième terme est rendu inférieur à ε pour tout n si on impose ||x_{l} − x_{k}|| < η(ε). Les deux premiers termes tendent vers zéro quand n → ∞. On obtient donc |g(x_{l}) − g(x_{k})| ≤ ε si ||x_{k} − x_{l}|| < η(ε). Donc g est uniformément continue sur la suite x_{k} et a d’ailleurs le même module d’uniforme continuité que la suite f_{n}. On montre ensuite que g_{n} converge uniformément vers g. La fonction g est uniformément continue sur un ensemble dense dans K. Elle se prolonge donc de manière unique en une fonction uniformément continue sur K, avec le même module de continuité uniforme. Montrons pour finir que g_{n} → g uniformément. On fixe ε > 0, puis k assez grand pour

∀x ∈ K, ∃l ≤ k, ||x − x_{l}|| ≤ η(ε).

On fixe finalement n_{0} assez grand pour que

n ≥ n_{0} ⇒ ∀l ≤ k,; |g_{n}(x_{l}) − g(x_{l})| ≤ ε.

En combinant les deux dernières inégalités, on a pour n ≥ n_{0} et x dans K,

|g_{n}(x) − g(x)| ≤ |g_{n}(x) − g_{n}(x_{l})| + |g_{n}(x_{l}) − g(x_{l})| + |g(x_{l}) − g(x)| ≤ 3ε.
∘

Corollaire 6.3 Toute famille f_{n} de fonctions L-lipschitziennes, définies sur un compact K et telle que pour un certain point x_{0}, f_{n}(x_{0}) soit borné admet une sous-suite uniformément convergente vers une fonction également L-lipschitzienne.

Démonstration Comme K est compact, il est borné et on a donc ||x − x_{0}|| ≤ M pour tout x dans K. D’où ||f_{n}(x)|| ≤ ||f_{n}(x_{0})|| + LM est aussi borné. On peut donc appliquer le théorème d’Ascoli-Arzela. ∘

Exercice 6.5 (longueur d’un arc rectifiable) On appelle arc rectifiable un sous-ensemble C de IR^{N} qui est l’image d’une application Lipschitz c : s ∈ [0, 1] → c(s) ∈ IR^{N}. On appelle longueur de l’arc, l(C), l’infimum des constantes de Lipschitz des applications surjectives c : [0, 1] → C. Montrer que cet infimum est atteint. Marche à suivre : considérer une suite c_{n} dont les constantes de Lipschitz tendent vers l(C). Extraire une sous-suite convergeant uniformément vers un arc c et montrer que c est Lipschitz et que sa constante de Lipschitz est égale à l(C).

Théorème 6.11 (Riesz-Fréchet-Kolmogorov) Soit Ω ⊂ IR^{N} un ouvert et ω ⊂⊂ Ω un ouvert contenu dans un compact, lui même contenu dans Ω. Soit F un sous-ensemble borné de L^{p}(Ω) avec 1 ≤ p < ∞. On suppose que

∀ε > 0, ∃δ < dist(ω, Ω^{c}), ∀f ∈ F, ∀h < δ, ||τ_{h}f − f||_{L^{p}(Ω)} < ε.

Alors F est relativement compacte dans L^{p}(ω). (Il existe une suite f_{n} ∈ F qui converge dans L^{p}(ω)).

Démonstration On considère des noyaux régularisants ρ_{r}, r > 0 tels que ∫ ρ_{r}(x)dx = 1, ρ ≥ 0, support(ρ) ⊂ B(0, r). On commence par montrer que le théorème d’Ascoli-Arzela s’applique à la famille (ρ_{r} ∗ f), f ∈ F. En effet, si f ∈ F et |z|, r ≤ \frac{1}{2}dist(ω, Ω^{c}), x ∈ ω, on a par l’inégalité de Hölder,

|(ρ_{r} ∗ f)(x + z) − (ρ_{r} ∗ f)(x)| ≤ ∫ ρ_{r}(y)|f(x − y) − f(x − y + z)|dy ≤ ||ρ_{r}||_{L^{p′}}^{p′} ||τ_{z}f − f||_{L^{p}(Ω)}.

La famille ρ_{r} ∗ f est donc équicontinue sur ω. Montrons que la famille ρ_{r} ∗ f(x) est bornée. En reprenant les calculs précédents on a aussi pour r < \frac{1}{2}dist(ω, Ω^{c}),

|ρ_{r} ∗ f(x)| ≤ ∫ ρ_{r}(y)|f(x − y)|dy ≤ ||ρ_{r}||_{L^{p′}}^{p′} ||f||_{L^{p}(Ω)}.

On conclut que la famille ρ_{r} ∗ F est relativement compacte pour la topologie de la convergence uniforme sur ω et donc aussi pour la norme L^{p}(ω), ω étant borné.

On montre ensuite que l’on peut approcher \underline{uniformément} les éléments de F par les fonctions ρ_{r} ∗ f. On choisit r < dist(ω, Ω^{c}), de sorte que ω + B(0, r) ⊂ Ω. En utilisant la convexité de la fonction s → s^{p},

|ρ_{r} ∗ f(x) − f(x)| ≤ ∫_{ω} ρ_{r}(y)|f(x − y) − f(x)|dy ≤ (∫_{ω} ρ_{r}(y)|f(x − y) − f(x)|^{p}dy)^{\frac{1}{p}}

ce qui donne

|ρ_{r} ∗ f(x) − f(x)|^{p} ≤ ∫_{B(0,r)} ρ_{r}(y)|f(x − y) − f(x)|^{p}dy.

Par le théorème de Fubini-Tonelli et si r < δ(ε), on obtient

∫_{ω} |ρ_{r} ∗ f(x) − f(x)|^{p}dx ≤ ∫_{B(0,r)} ρ_{r}(y)||τ_{y}f − f||_{L^{p}(Ω)}^{p}dy ≤ ε^{p}.  (6.10)

Pour conclure, on montre que la famille F peut être pour tout ε recouverte par un nombre fini de boules de rayon arbitrairement petit. On commence par recouvrir la famille ρ_{r} ∗ f par des boules en nombre fini B(f_{i} ∗ ρ_{r}, ε). Grâce à (6.10), on en déduit que F est recouverte par les boules en nombre fini B(f_{i}, ε + 2ε^{p}). En effet, si f ∈ F, il existe i tel que ρ_{r} ∗ f ∈ B(ρ_{r} ∗ f_{i}, ε) et on a donc

||f − f_{i}|| ≤ ||ρ ∗ f − ρ ∗ f_{i}|| + ||ρ ∗ f − f|| + ||ρ ∗ f_{i} − f_{i}|| ≤ ε + 2ε^{p}.
∘

Réflexivité, séparabilité, dualité des L^{p}

Remarque 7.1 préliminaire : si f ∈ L^{p′}, alors pour tout u ∈ L^{p} on a par l’inégalité de Hölder | ∫ fu| ≤ ||f||_{L^{p′}} ||u||_{L^{p}}. Donc on a l’inclusion L^{p′} ⊂ (L^{p})′. On va montrer dans ce chapitre l’inclusion inverse.

Théorème 7.1 Pour tout 1 ≤ p < ∞, L^{p′}(IR^{N}) est le dual topologique de L^{p}. Pour toute forme linéaire continue f̃ sur L^{p}, il existe donc une fonction f ∈ L^{p′} telle que

∀u ∈ L^{p}, f̃(u) = ∫ gu

et

||f̃||_{(L^{p})′} = ||f||_{L^{p′}} .

La stratégie que nous adoptons pour montrer ce théorème consiste à approcher L^{p} par des espaces de dimension finie emboités, que l’on notera V_{k}. Pour avoir des V_{k} commodes, il est bon de montrer d’abord le théorème précédent pour L^{p}(C), où C est un borné que l’on rendra ensuite de plus en plus grand.

Soit C = [−a, a]^{N} un hypercube de IR^{N}. On considère une suite d’espaces emboités V_{k} de fonctions en escalier constantes sur des hypercubes (C_{i}^{k})_{i}. Les hypercubes (C_{i}^{k+1}) sont obtenus en subdivisant en 2^{N} hypercubes égaux chaque hypercube C_{i}^{k}. On note T_{k} la tribu engendrée, c’est-à-dire l’ensemble des unions quelconques d’hypercubes C_{i}^{k}.

Si v_{k} ∈ V_{k}, on note v_{k}(i) sa valeur, constante, sur C_{i}^{k}. On associe à f̃ ∈ (L^{p})′ sa “projection" f_{k} sur V_{k}, définie par

f_{k}(i) = f̃(\frac{1}{mes(C_{i}^{k})}11_{C_{i}^{k}}).

La fonction f_{k} est en fait la restriction de f̃ à V_{k} car elle vérifie

Lemme 7.1

∀v ∈ V_{k}, f̃(v) = ∫ f_{k}v. De plus,  (7.1)
||f_{k}||_{L^{p′}} ≤ ||f̃||_{(L^{p})′}.  (7.2)

44 CHAPTER 7. RÉFLEXIVITÉ, SÉPARABILITÉ, DUALITÉ DES L^{P}

Démonstration Si v ∈ V_{k}, on a v = ∑_{i} v(i)11_{C_{i}^{k}}. Donc

f̃(v) = ∑_{i} v(i)f̃(11_{C_{i}^{k}}) = ∑_{i} v(i)f_{k}(i)mes(C_{i}^{k}) = ∫_{C} f_{k}(x)v(x)dx,

ce qui prouve (7.1). Pour montrer (7.2), posons, pour v ∈ L^{p}, v_{k}(i) = _{\frac{1}{mes(C_{i}^{k})}} ∫_{C_{i}^{k}} v(x)dx. En utilisant l’inégalité de Hölder, on remarque que

||v_{k}||_{L^{p}} ≤ ||v||_{L^{p}}.  (7.3)

Comme f_{k} est constante sur chaque cube, C_{i}^{k}, on a en utilisant (7.1-7.3),

∀v ∈ L^{p}, ∫_{C} f_{k}v = ∫ f_{k}v_{k} = f̃(v_{k}) ≤ ||f̃||||v_{k}||_{L^{p}} ≤ ||f̃||||v||_{L^{p}}.

Comme ||f_{k}||_{L^{p′}} = sup_{v∈L^{p}} ^{\frac{∫ f_{k}v}{||v||_{L^{p}}}}, on obtient (7.2). ∘

Lemme 7.2 La suite (f_{k}, T_{k}) est une martingale, c’est-à-dire que l’on a

∀E ∈ T_{k}, ∀l ≥ k, ∫_{E} f_{l} = ∫_{E} f_{k}.  (7.4)

Démonstration En effet, si E ∈ T_{k}, sa fonction indicatrice 11_{E} est dans V_{k} ⊂ V_{l} et on a donc en utilisant deux fois (7.1)

∀l ≥ k, ∫_{E} f_{l} = ∫_{C} f_{l}11_{E} = f̃(11_{E}) = ∫_{C} f_{k}11E = ∫_{E} f_{k}.
∘

Lemme 7.3 Soit f_{k} une suite de fonctions telles que ||f_{k}||_{L^{p′}} ≤ c et que f_{k}(x) converge presque partout vers une fonction f(x). Alors f appartient aussi à L^{p′}.

Démonstration En appliquant le lemme de Fatou, on a

c ≥ lim inf ∫ |f_{k}|^{p′} ≥ ∫ lim inf |f_{k}(x)|^{p′} = ∫ |f(x)|^{p′}.
∘

Lemme 7.4 Si (f_{k}, T_{k}) est une martingale à temps discret, et si sup_{k} ∫ f_{k}^{+} < +∞, alors la suite f_{k}(x) converge presque partout.

Nous allons démontrer ce lemme dans la sous-section suivante sur les martingales à temps discret.

Lemme 7.5 (Vitali) Soit C un borné de IR^{N} et f_{k} est une suite de fonctions équiintégrable dans L^{1}(C) qui converge presque partout vers une fonction f. Alors f_{k} converge vers f dans L^{1}(C).

Rappel : une suite de fonctions f_{k} est dite équiintégrable si

∀ε > 0∃η, mes(K) < η ⇒ ∫_{K} |f_{k}(x)|dx < ε.

Démonstration du Lemme de Vitali On a

Mmes({|f_{k}| ≥ M}) ≤ ∫ |f_{k}(x)| ≤ c

et donc mes({|f_{k}| ≥ M}) ≤ η pour M assez grand. En prenant η = η(ε) et en utilisant l’équiintégrabilité, on en déduit que ∫_{{|f_{k}|≥M}} |f_{k}(x)|dx ≤ ε pour M assez grand. La suite f_{k}^{M} = max(−M, min(M, f)) converge par le théorème de Lebesgue dans L^{1}(C) vers f_{M} = max(−M, min(M, f)). Donc on a pour k assez grand

∫ |f − f_{k}| ≤ ∫ |f − f^{M}| + ∫ |f^{M} − f_{k}^{M}| + ∫ |f_{k}^{M} − f_{k}| ≤ 3ε.
∘

Lemme 7.6 La suite des restrictions f_{k} de f̃ à V_{k} converge presque partout vers une fonction f ∈ L^{p′}(C) telle que

∀v ∈ L^{p}(C), f̃(v) = ∫_{C} f(x)v(x)dx  (7.5)

Cette fonction f satisfaisant (7.5) est unique.

Démonstration Par l’inégalité de Hölder et par (7.2), on obtient ||f_{k}||_{L^{1}} ≤ c||f_{k}||_{L^{p′}} ≤ c||f̃||_{(L^{p})′}. On peut appliquer le lemme 7.4. Donc f_{k}(x) converge presque partout et par le lemme 7.3 on conclut que f est dans L^{p′}(C). Comme la suite f_{k} est bornée dans L^{p′}(C) et que p′ > 1, elle est équiintégrable. En effet, par l’inégalité de Hölder,

∫_{K} |f_{k}(x)|dx ≤ (mes(K))^{\frac{1}{p}} ||f_{k}||_{L^{p′}} ≤ cmes(K).

Par le lemme de Vitali, f_{k} converge donc vers f dans L^{1}(C). Reste à montrer que f̃(v) = ∫_{C} fv pour tout v ∈ L^{p}(C). Mais cette relation est vraie si v est dans un quelconque V_{k}. En effet, f̃(v) = ∫_{C} f_{k}v et f_{k} tend vers f ∈ L^{1}(C). Comme les fonctions de V_{k} sont bornées, on peut passer à la limite quand k → ∞. Cela prouve que les formes linéaires f̃ et f coïncident sur un sous-espace dense de L^{p}(C), l’union des V_{k}, et donc partout.

Montrons que la fonction f est unique. Si on a pour toute fonction v dans L^{p}(C), ∫_{C} f_{1}v = ∫_{C} f_{2}v, alors ∫ (f_{1} − f_{2})v = 0 et en choisissant v = Signe(f_{1} − f_{2}) on obtient f_{1} = f_{2} presque partout. ∘

Lemme 7.7 L^{p}(IR^{N}) est réflexif et (L^{p})′ = L^{p′}.

Démonstration On considère les espaces emboités V_{l} = L^{p}(C_{l}), où C_{l} = [−l, l]^{N}, l ∈ IN. Par le lemme 7.6 il existe des fonctions f ∈ L^{p′}(C_{l}) telles que

∀v ∈ L^{p}(C_{l}), f̃(v) = ∫_{C} f_{l}(x)v(x)dx  (7.6)

et on a, par unicité de f_{l}, f_{k+l} = f_{l} sur C_{l} et

||f_{l}||_{L^{p′}} ≤ ||f̃||_{(L^{p})′}.  (7.7)

On peut donc poser f(x) = f_{l}(x) si x ∈ C_{l}. En appliquant le théorème de Beppo-Levi, on déduit de (7.7) que f ∈ L^{p′} et ||f||_{L^{p′}} ≤ ||f̃||_{(L^{p})′}. Comme f (considérée comme une forme linéaire sur L^{p}) et f̃ coïncident sur le sous-espace dense de L^{p}(IR^{N}), ∪_{l}V_{l}, elles sont égales. ∘

Proposition 7.1 L^{1}(IR^{N}) n’est pas réflexif.

Démonstration Supposons le contraire et soit

f_{n} = \frac{11_{B(0, \frac{1}{n})}}{mes(B(0, \frac{1}{n}))}.

On a ||f_{n}||_{1} = 1. Comme L^{1} est supposé réflexif et que L^{∞} est son dual, il existe une sous-suite f_{n_{k}} et f ∈ L^{1} telles que f_{n_{k}} ⇀ f, σ(L^{1}, L^{∞}), ou encore ∫ f_{n_{k}}φ → ∫ fφ pour toute fonction φ ∈ L^{∞}. On peut donc prendre φ = 1 et on trouve ∫ fφ = ∫ f = 1. Mais on peut aussi prendre φ = 11_{||x||≥ε} et on trouve pour tout ε, ∫_{||x||≥ε} f = 0. En faisant tendre ε vers zéro, on obtient par le théorème de Lebesgue ∫ f = 0, contradiction. ∘

Remarque 7.2 L^{1} n’est donc pas le dual de L^{∞} et on a seulement L^{1} ⊂ (L^{∞})′.

Proposition 7.2 L^{p}(IR^{N}) est séparable pour 1 ≤ p < ∞ et non séparable pour p = +∞.

Démonstration On rappelle (Proposition 5.4) que les fonctions en escalier dyadiques sont denses dans L^{p}(IR^{N}). Soit Ṽ_{k} ⊂ V_{k} l’ensemble des fonctions dyadiques sur [−2^{k}, 2^{k}]^{N}, à valeurs rationnelles. Alors ⋃_{k} Ṽ_{k} est à la fois dénombrable et dense dans L^{p}(IR^{N}).

Considérons les fonctions f_{r} = 11_{B(0,r)}, r ∈ IR^{+}. On ||f_{r} − f_{r′}||_{L^{∞}} = 1 dès que r ≠ r′. S’il y avait une suite g_{n} dense dans L^{∞}, on pourrait pour tout r trouver n(r) ∈ IN tel que ||f_{r} − g_{n(r)}|| < \frac{1}{2}. Par l’inégalité triangulaire, ||g_{n(r)} − g_{n(r′)}||_{L^{∞}} > 0 si r ≠ r′. L’application r → n(r) est donc injective, une contradiction.

∘

7.1 Martingales à temps discret

Dans cette sous-section, nous démontrons le résultat de convergence presque partout de martingale que nous avons utilisé pour montrer la dualité L^{p} − L^{p′}.

Définition 7.1 On dira qu’une suite de fonctions f_{k}, k ∈ IN sommables sur un espace de probabilité C muni d’une tribu T et d’une suite croissante de sous-tribus, T_{k} ⊂ T est une martingale à temps discret si pour tout k f_{k} est T_{k}-mesurable et

∀E ∈ T_{k}, ∀l ≥ k, ∫_{E} f_{l} = ∫_{E} f_{k}.  (7.8)

Définition 7.2 On appelle temps d’arrêt associé à la martingale (f_{k}, T_{k}) une fonction à valeurs entières, k(x) ∈ IN, définie sur une partie de C et telle que pour tout k_{0} ∈ IN, les ensembles {x, k(x) = k_{0}} appartiennent à T_{k_{0}}. On prendra la convention commode de poser k(x) = +∞ quand x n’est pas dans le domaine de k.

Lemme 7.8 Si k(x) et l(x) sont deux temps d’arrêt associés à une martingale (f_{k}, T_{k}), alors

∫_{{x,k(x)≤p}} f_{k(x)}(x)dx = ∫_{{x,k(x)≤p}} f_{min(l(x),p)}(x)dx.  (7.9)

Démonstration En effet, l’ensemble {k(x) ≤ p} est une union d’ensembles {k(x) = k_{0}} ∈ T_{k}. Par additivité de l’intégrale, il suffit de montrer (7.9) pour ces ensembles. Or, en utilisant deux fois la relation de martingale (7.8),

∀k_{0} ≤ p, ∫_{k(x)=k_{0}} f_{k_{0}} = ∫_{k(x)=k_{0}} f_{p} = ∑_{l_{0}≤p} ∫_{k(x)=k_{0}, l(x)=l_{0}} f_{p} + ∫_{k(x)=k_{0}, l(x)>p} f_{p} =

∑_{l_{0}≤p} ∫_{k(x)=k_{0}, l(x)=l_{0}} f_{l_{0}} + ∫_{k(x)=k_{0}, l(x)>p} f_{p} = ∫_{k(x)=k_{0}} f_{min(l(x),p}.

∘

On définit les temps d’arrêts suivants, sur l’intervalle [0, p] ⊂ IN associés à deux réels b > a.

• k_{1}^{p}(x) = premier k, s’il existe dans [0, p], tel que f_{k}(x) > b.

• k_{2}^{p}(x) = premier k > k_{1}^{p}, s’il existe dans [0, p], tel que f_{k}(x) < a. .............

• k_{2m−1}^{p}(x) = premier k ≥ k_{2m−2}, s’il existe dans [0, p], tel que f_{k}(x) > b.

• k_{2m}^{p}(x) = premier k > k_{2m−1}^{p}, s’il existe dans [0, p], tel que f_{k}(x) < a.

Il est immédiat que les k_{m} sont des temps d’arrêt pour la martingale (f_{k}, T_{k}). On peut interpréter leur domaine ainsi :

• Ω_{2m} = {x, k_{2m}(x) ≤ p} est l’ensemble des x ∈ C tels que f_{k}(x) traverse exactement m fois l’intervalle [a, b] dans le sens descendant pour 1 ≤ k ≤ p.

• Ω_{2m+1} = {x, k_{2m+1}(x) ≤ p) est l’ensemble des x ∈ C tels que f_{k}(x) traverse exactement m ≥ 1 fois l’intervalle [a, b] dans le sens descendant et puis encore une fois de plus dans le sens ascendant pour 1 ≤ k ≤ p.

On définit enfin γ_{a,b}^{p}(x) comme le nombre de passages de f_{k}(x) par [a, b] dans le sens descendant pour k ≤ p et γ_{a,b}(x) le nombre de passages, éventuellement infini, de f_{k} par [a, b] dans le sens descendant. On a bien-sûr

∀m ∈ IN, {x, γ_{a,b}^{p}(x) ≥ m} = {x, k_{2m}(x) ≤ p} = Ω_{2m}  (7.10)

et on peut donc calculer l’espérance du nombre de passages par [a, b] :

∫ γ_{a,b}^{p}(x)dx = ∑_{m} mes{x, γ_{a,b}^{p}(x) ≥ m} = ∑_{m} mesΩ_{2m},  (7.11)

en vertu de (7.10) et de la remarque suivante :

Remarque 7.3 Si γ(x) est une fonction à valeurs dans IN, ∫ γ(x)dx = ∑_{m∈IN} mes{x, g(x) ≥ m}. En effet,

∫ γ(x)dx = ∑_{m} mmes{x, γ(x) = m} = ∑_{m} ∑_{k≥m} mes{x, γ(x) = k} = ∑_{m} mes{x, γ(x) ≥ m}.

Lemme 7.9

(b − a) ∫_{C} γ_{a,b}(x)dx ≤ sup_{p} ∫_{C}(f_{p}^{+}(x) − b).  (7.12)

Démonstration Comme sur Ω_{2m−1} = {k_{2m−1}^{p}(x) ≤ p} on a f_{k_{2m−1}(x)} ≥ b, on obtient en utilisant (7.9),

0 ≤ ∫_{Ω_{2m−1}}(f_{k_{2m−1}}(x) − b)dx = ∫_{k_{2m−1}^{p}(x)≤p}(f_{k_{2m−1}}(x) − b)dx =

∫_{k_{2m−1}^{p}(x)≤p}(f_{min(2m,p)}(x) − b)dx ≤ (a − b)mes(Ω_{2m}) + ∫_{Ω_{2m−1}\Ω_{2m}}(f_{p}(x) − b)dx.

D’où

(b − a)mes(Ω_{2m}) ≤ ∫_{Ω_{2m−1}\Ω_{2m}}(f_{p}(x) − b)dx.

et en sommant sur m et en utilisant (7.11), on obtient

(b − a) ∫_{C} γ_{a,b}^{p}(x)dx ≤ ∫_{C}(f_{p}(x) − b).  (7.13)

La relation (7.12) vient car γ_{a,b} est la limite croissante des γ_{a,b}^{p}. ∘

Démonstration du lemme 7.4 On choisit une suite (a_{n}) dense dans IR. Considérons les ensembles N_{n,m} = {x, γ_{a_{n},a_{m}} = +∞}. Ces ensembles sont négligeables par le lemme 7.13, ainsi que leur union N. Si x est dans le complémentaire de N, la suite f_{k}(x) ne peut osciller indéfiniment. Elle converge donc soit vers une valeur finie f(x), soit vers +∞, soit vers −∞. Mais comme sup_{k} ∫ f_{k}^{+} < ∞, on déduit du lemme de Fatou que l’ens emble des x où la limite est +∞ est aussi négligeable. En effet, le lemme de Fatou donne ∫ lim inf_{k} f_{k}^{+}(x)dx ≤ sup ∫ f_{k}^{+}. Comme ∫_{C} f_{k}(x)dx = ∫_{C} f_{1}(x)dx est constante, on a aussi sup_{k} ∫ f^{−}(x)dx < ∞ et l’ensemble des points où f_{k}(x) tend vers −∞ est également négligeable.

∘

Espaces de Hilbert

Définition 8.1 Un espace de Hilbert réel est un espace vectoriel réel muni d’un produit scalaire (u, v) et tel que ||u|| = \sqrt{(u, u)} soit une norme pour laquelle H soit complet. Un espace de Hilbert hermitien est un espace vectoriel sur C muni d’un produit hermitien (u, v) c’est-à-dire vérifiant

(u, v) = \overline{(v, u)}, (λu, v) = λ(u, v), (u + v, w) = (u, w) + (v, w).

et tel que ||u|| = \sqrt{(u, u)} soit une norme rendant H complet. Remarquons aussi que

(f, λg) = \overline{λ}(f, g) et (u, v + w) = (u, v) + (u, w).

Exemple 8.1 On pose l^{2}(IN) l’ensemble des suites u = (u_{1}, ..., u_{n}, ...) avec u_{n} ∈ C et vérifiant ∑_{n} |u_{n}|^{2} < ∞. Muni du produit scalaire (u, v) = ∑_{n} u_{n}\overline{v_{n}}, c’est un espace de Hilbert. L^{2}(IR^{N}), muni du produit scalaire (f, g) = ∫ f(x)\overline{g(x)}dx est également un espace de Hilbert : on a vu qu’il est complet. Remarquer que l^{2}(IN) peut être plongé naturellement dans L^{2}(IR) en posant u(x) = u_{n} si x ∈ [n, n + 1[ et qu’il apparaît alors sous-espace fermé de L^{2}(IR). La complétude de L^{2}(IR) implique donc la complétude de l^{2}(IN).

Proposition 8.1 Nous avons toujours l’inégalité de Cauchy-Schwartz

|(f, g)| ≤ ||f||||g||.

Démonstration la démonstration est la même qu’en dimension finie : elle se fait dans le plan de f et g. On pose (f, g) = e^{iθ}|(f, g)| et on développe ||f + te^{iθ}g||^{2} ≥ 0, ce qui donne

||f||^{2} + t(f, e^{iθ}g) + t(e^{iθ}g, f) + t^{2}||g||^{2} ≥ 0, soit
||f||^{2} + 2t|(f, g)| + t^{2}||g||^{2} ≥ 0.

L’inégalité de Cauchy-Schwartz exprime que le discriminant de ce trinôme est négatif. ∘

La relation de Pythagore reste valable : si f et g sont orthogonaux, alors

||f + g||^{2} = ||f||^{2} + ||g||^{2}.

Cette relation s’étend à une suite de vecteurs orthogonaux deux à deux, f_{k}. On a alors

|| ∑_{k} f_{k}||^{2} = ∑_{k} ||f_{k}||^{2}.

Grâce à la complétude, le premier membre de cette égalité, ∑_{k} f_{k}, est bien un élément de H si le deuxième membre est une série convergente. On a donc

Proposition 8.2 Soit H un Hilbert et f_{n} une suite d’éléments de H. Si la série u_{n} est composée d’éléments orthogonaux deux à deux et si ∑_{n} ||u_{n}||^{2} converge, alors la série ∑_{n} u_{n} converge dans H. Si la série de terme général ||u_{n}|| est convergente, la série ∑_{n} u_{n} converge dans H.

Démonstration La deuxième partie de l’énoncé se déduit de la complétude de H. En effet, la suite v_{k} = ∑_{0}^{k} v_{n} est de Cauchy puisque ||v_{k} − v_{l}|| ≤ ∑_{l}^{k} ||u_{n}||. ∘

Théorème 8.1 Soit H un espace de Hilbert et C un convexe fermé et non vide de H. Pour tout f ∈ H il existe un unique point de C, appelé projection de f sur H dont la distance à f soit minimum. Cette projection se caractérise comme l’unique point g de C tel que

∀h ∈ C, Re(f − g, h − g) ≤ 0.  (8.1)

Si C est un sous-espace vectoriel fermé de H, la projection de f est l’unique point g ∈ C tel que f − g soit orthogonal à tous les éléments de C.

Lemme 8.1 L’identité du parallélogramme :

||u||^{2} + ||v||^{2} = \frac{1}{2}(||u + v||^{2} + ||u − v||^{2}).

La somme des carrés des longueurs des cotés d’un parallélogramme est égale à la demi-somme des carrés de ses diagonales.

Démonstration du théorème 8.1 Montrons d’abord l’unicité. S’il existait deux éléments g_{1} et g_{2} réalisant la projection de f sur C, on aurait en considérant leur milieu \frac{g_{1}+g_{2}}{2} et en appliquant l’identité du parallélogramme à u = f − g_{1} et v = f − g_{2},

\frac{1}{2}||2f − (g_{1} + g_{2})||^{2} = ||f − g_{1}||^{2} + ||f − g_{2}||^{2} − \frac{1}{2}||g_{1} − g_{2}||^{2}.

Donc ||f − \frac{g_{1}+g_{2}}{2} ||^{2} < d(f, C)^{2}. Mais comme \frac{g_{1}+g_{2}}{2} est dans C, c’est impossible. On montre maintenant l’existence de la projection. Soit g_{n} une suite de C telle que ||f − g_{n}|| → d(f, C). En utilisant de nouveau l’inégalité du parallélogramme,

\frac{1}{2}||g_{n} − g_{m}||^{2} = ||f − g_{n}||^{2} + ||f − g_{m}||^{2} − 2||f − \frac{g_{n} + g_{m}}{2} ||^{2}.

Quand n et m tendent vers l’infini, le membre de droite tend vers 0. La suite g_{n} est donc de Cauchy et converge vers un élément g de C, car C est fermé. Montrons l’inégalité variationnelle (8.1). Pour tout h ∈ C, et t ∈ [0, 1], les points g + t(h − g) du segment [g, h] appartiennent à C. On a donc

∀t ∈ [0, 1], ||g − f||^{2} ≤ ||f − g − t(h − g)||^{2} ce qui est équivalent à  (8.2)
∀t ∈ [0, 1], t^{2}||h − g||^{2} − 2tRe(f − g, h − g) ≥ 0.

On divise par t et on fait tendre t vers 0^{±} pour obtenir (8.1). Réciproquement, si (8.1) est vérifiée pour tout h ∈ C, (8.2) aussi et en faisant t = 1 on voit que ||f − g|| réalise la distance minimale de f à un point de C.

Considérons pour terminer le cas où C est un sous-espace vectoriel fermé de H. Soit g la projection de f. Pour tout v dans C, g + e^{iθ}v appartient à C. On a donc Re(e^{iθ}(v, g − f)) ≤ 0 pour tout θ et donc (v, g − f) = 0. Réciproquement, si g ∈ C vérifie (v, g − f) = 0 pour tout v ∈ C, on a (v − g, g − f) = 0 pour tout v dans C et par la deuxième partie du théorème 8.1, g est bien la projection de f sur C. ∘

Exercice 8.1 Démontrer en utilisant (8.1) que la projection P sur un convexe est une application contractante : ||P f_{1} − P f_{2}|| ≤ ||f_{1} − f_{2}||.

Définition 8.2 On appelle orthogonal d’un sous-ensemble A de H et note A^{⊥} l’ensemble

A^{⊥} = {v, ∀f ∈ A, (v, f) = 0}.

C’est un sous-espace vectoriel fermé de H.

Corollaire 8.1 Si F un sous-espace vectoriel fermé d’un espace de Hilbert H, alors tout élément de H se décompose de manière unique sous la forme

f = g + h, g ∈ F, h ∈ F^{⊥}  (8.3)

où g est la projection de h sur F et h la projection de h sur F^{⊥}. On a donc

H = F + F^{⊥}, (F^{⊥})^{⊥} = F, H^{⊥} = {0}.

Si A ⊂ H, on a toujours

(A^{⊥})^{⊥} = \overline{Vect(A)}.

Démonstration La relation (8.3) est une conséquence du théorème 8.1 : si f ∈ H on note g sa projection orthogonale sur F. Alors f − g = h appartient à F^{⊥} par (8.1). On remarque enfin que A^{⊥} = \overline{Vect(A)}^{⊥}. En effet, si un élément f est orthogonal à A, il est orthogonal aux combinaisons linéaires d’éléments de A et donc à Vect(A) et par un passage à la limite immédiat à \overline{Vect(A)}. ∘

Corollaire 8.2 et définition On dit qu’un sous-ensemble A de l’espace de Hilbert H est total si l’espace vectoriel Vect(A) engendré par A est dense dans H. Pour que A soit dense dans H, il faut et il suffit que A^{⊥} soit réduit à {0}.

Démonstration Si A est total, \overline{Vect(A)} est égal à H et donc A^{⊥} = \overline{Vect(A)}^{⊥} = H^{⊥} = \{0\}. Réciproquement, si A^{⊥} = 0, on a \overline{Vect(A)}^{⊥} = \{0\} et donc \overline{Vect(A)} = H, ce qui signifie que A est total. ∘ Théorème 8.2 (Riesz) Pour tout f ∈ H, l’application v ∈ H → (v, f) est une forme linéaire continue sur H. Réciproquement, si f̃ est une forme linéaire continue sur H, il existe un unique élément f ∈ H tel que

f̃(v) = (v, f).

En d’autres termes, H est son propre dual. Tout espace de Hilbert est donc réflexif.

Remarque 8.1 On connaît déja ce résultat dans le cas où H = L^{2}(IR^{N}).

Démonstration La première assertion découle de l’inégalité de Cauchy-Schwartz. Réciproquement, soit f̃ une forme linéaire continue et non nulle sur H et L son noyau, qui est un espace vectoriel fermé. Comme f̃ ≠ 0, L est un sous-espace strict et donc F^{⊥} n’est pas réduit à {0}. Soit g ∈ L^{⊥}, non nul. On a donc f̃(g) ≠ 0 et on pose pour tout v ∈ H

v = \frac{f̃(v)}{f̃(g)}g + (v − \frac{f̃(v)}{f̃(g)}g) = v_{1} + v_{2}.

Le second terme vérifie f̃(v_{2}) = 0 et appartient donc à L. Comme g ∈ L^{⊥}, on a donc

(v, g) = \frac{f̃(v)}{f̃(g)}||g||^{2}.

Il en résulte que

f̃(v) = (v, \frac{\overline{f̃(g)}}{||g||^{2}} g).

∘

Théorème 8.3 (L’Universalité de la convolution) Soit T : L^{2}(IR^{N}) → C^{0}(IR^{N}) un opérateur linéaire, invariant par translation et continu. Alors il existe g dans L^{2}(IR^{N}) telle que T (f) = g∗f.

Démonstration On considère la forme linéaire f → (T f)(O), qui appartient par hypothèse à (L^{2}(IR^{N}))′. Il existe donc une fonction g_{0} ∈ L^{2} telle que

(T f)(O) = ∫_{IR^{N}} f(x)\overline{g_{0}}(x)dx.  (8.4)

Par hypothèse aussi, T (τ_{x}f) = τ_{x}T f, où l’on rappelle que l’on note τ_{x}f(y) = f(y + x). Donc par (8.4),

T f(x) = (τ_{x}(T f))(0) = T (τ_{x}f)(0) = ∫_{IR^{N}} f(x + y)\overline{g_{0}}(y)dy = ∫_{IR^{N}} f(x − y)\overline{g_{0}}(−y)dy = f ∗ g(x),

où g(y) = \overline{g_{0}}(−y).

∘

8.1 Bases hilbertiennes

Définition 8.3 On dit qu’un espace de Hilbert est séparable s’il admet une suite dénombrable et dense.

Définition 8.4 Soit un espace de Hilbert séparable. On appelle base hilbertienne de H un système orthonormé fini ou infini (e_{n})_{n∈IN} qui est total. On a donc (e_{n}, e_{m}) = δ_{n,m} et \overline{Vect((e_{n})_{n})} = H.

Théorème 8.4 Tout espace de Hilbert séparable admet une base hilbertienne.

Démonstration Soit (f_{n})_{n} une suite dense de H. On en extrait par récurrence sur n un soussystème libre (que nous appellerons encore par commodité (f_{n})), c’est-à-dire tel qu’aucun vecteur de la suite n’est combinaison linéaire des autres. Le système obtenu n’est plus nécessairement dense, mais il reste total. On applique alors le procédé de Hilbert-Schmidt à la suite f_{n}. On pose par récurrence

g_{n+1} = f_{n+1} − ∑_{k=1}^{n}(f_{n+1}, g_{k})g_{k},

ce qui donne un système orthogonal et on pose finalement e_{n} = \frac{g_{n}}{||g_{n}||}, ce qui donne une suite e_{n} orthonormée. Le système est bien total puisque les e_{n} engendrent les f_{n} et c’est donc une base hilbertienne. ∘

Théorème 8.5 Soit H un espace de Hilbert séparable et (e_{n})_{n∈IN} une base hilbertienne de H. Alors tout élément de H peut s’écrire comme la somme d’une série convergente

f = ∑_{n}(f, e_{n})e_{n} = ∑_{n} c_{n}(f)e_{n}  (8.5)

et les coordonnées sur la base vérifient l’égalité de Parseval

||f||^{2} = ∑_{n} |c_{n}(f)|^{2}.  (8.6)

Réciproquement, si c_{n} est une suite vérifiant ∑_{n} |c_{n}|^{2} < ∞, la série ∑_{n} c_{n}e_{n} converge dans H et sa somme f vérifie c_{n}(f) = c_{n}.

Démonstration On pose f_{m} = ∑_{1}^{m} c_{n}(f)e_{n}. On vérifie que (f − f_{m}, e_{n}) = 0 pour n ≤ m. Donc f_{m} est la projection orthogonale de f sur l’espace engendré par les e_{n} pour 0 ≤ n ≤ m. Donc ||f_{m}||^{2} ≤ ||f||^{2}. Par le théorème de Pythagore, on obtient

||f_{m}||^{2} = ∑_{1}^{n} |c_{n}(f)|^{2} ≤ ||f||^{2},  (8.7)

ce qui prouve que la série ∑_{n} c_{n}(f)e_{n} est convergente dans H (proposition 8.2). Appelons g sa somme. Reste à montrer que f = g. Mais si n ≤ m, on voit que (f_{m} − g, e_{n}) = 0 et en passant à la limite quand m → ∞, on obtient (f − g, e_{n}) = 0. Donc f − g est orthogonal à un système total et est donc nul. La relation de Parseval s’obtient en passant à la limite dans (8.7).

La réciproque du théorème est immédiate en reprenant les arguments précédents. ∘ Exercice 8.2 (Inégalité de Parseval) Montrer que si (e_{n}) est un système orthonormé quelconque de H, alors ∑_{n} |(e_{n}, f)|^{2} ≤ ||f||^{2}. Montrer que si cette inégalité est une égalité, alors (e_{n}) est une base hilbertienne. Montrer que tout système orthonormé peut être complété en une base hibertienne.

Corollaire 8.3 Tout espace de Hilbert séparable est isométrique à l^{2}(IN). Il suffit d’associer à f ∈ H son vecteur de coordonnées sur une base hilbertienne, c = (c_{1}(f), ..., c_{n}(f), ...). En particulier, on a

(f, g) = ∑_{n} c_{n}(f)\overline{c_{n}(g)}.

Exercice 8.3 Montrer qu’une forme bilinéaire a(u, v) sur un espace vectoriel normé est continue si et seulement si il existe C tel que |a(u, v)| ≤ C||u||||v||.

Théorème 8.6 (Lax-Milgram) Soit H un espace de Hilbert réel et soit a(u, v) une forme bilinéaire sur H continue et coercive, c’est-à-dire satisfaisant

|a(u, v)| ≤ C||u||||v||, ∃c > 0, a(u, u) ≥ c||u||^{2}

et f ∈ H′. Alors il existe un unique élément u de H tel que

∀v ∈ H, a(u, v) = f(v).

De plus, u est l’unique minimum de φ(v) = \frac{1}{2}a(v, v) − f(v).

Démonstration On applique le corollaire 4.5 à la fonction φ(v), qui est convexe, coercive et continue (et donc s.c.i. !) sur l’espace réflexif H. Il existe donc u ∈ H qui minimise φ. Comme φ est strictement convexe, ce minimum est unique, car si u_{1} et u_{2} réalisent le minimum on a φ(\frac{u_{1}+u_{2}}{2} ) < \frac{1}{2}(φ(u_{1}) + φ(u_{2})) si u_{1} ≠ u_{2}. On a pour tout v dans H et t ∈ IR, \frac{1}{2}a(u+tv, u+tv)−f(u+tv) ≥ \frac{1}{2}a(u, u)−f(u), soit \frac{1}{2}t^{2}a(v, v)+ta(u, v)−tf(v) ≥ 0. En divisant par t et en passant à la limite quand t → 0^{±}, on obtient a(u, v) = f(v). ∘

Terminons par quelques remarques sur la convergence faible dans un espace de Hilbert.

Proposition 8.3 (i) Si u_{n} ∈ H est bornée et H séparable, alors il existe une sous-suite qui converge faiblement :

∀v ∈ H, (u_{n}, v) → (u, v).

(ii)Réciproquement, si u_{n} → u, alors u_{n} est bornée et

||u|| ≤ lim inf_{n} ||u_{n}||.

Démonstration (i) C’est une conséquence directe de la réflexivité de H séparable, qui implique la compacité séquentielle de la boule unité. (ii) Conséquence immédiate du théorème de Banach-Steinhaus. ∘

Exercice 8.4 On pose dans H = L^{2}(0, 2π), u_{n}(x) = sinnx et v_{n}(x) = |sin(nx)|. Montrer que ces suites convergent faiblement dans H mais pas fortement. Calculer leur limite faible.

Exercice 8.5 Calculer dans L^{2}(0, 1) le maximum de ∫_{0}^{1} f(x)dx sujet aux contraintes ∫_{0}^{1} |f|^{2}(x)dx = 1 et ∫_{0}^{1} f(x)dx = 0. On se raménera au calcul d’une projection sur un convexe fermé.

Séries de Fourier

On considère l’espace de Hilbert L^{2}([−π, π]) que l’on notera aussi L^{2}(−π, π). On va montrer que le système orthonormé

\frac{1}{(2π)^{\frac{1}{2}}} (e^{ikt})_{k∈Z}

est une base hilbertienne de L^{2}(−π, π). Cette base s’appelle la base de Fourier. On notera

c_{n}(f) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} f(x)e^{−inx}dx,

en sorte que pour toute f dans L^{2}([−π, π]) on puisse écrire

f(x) = ∑_{n∈Z} c_{n}(f)e^{inx},

la série précédente convergeant au sens L^{2}. Les c_{n}(f) s’appellent les coefficients de Fourier de f et sont proportionnels aux coordonnées de f dans la base de Fourier.

Pour montrer ce résultat, on va commencer par analyser le comportement des coefficients de Fourier selon la régularité de f.

Lemme 9.1 (Lemme de Riemann-Lebesgue)

i) On pose pour f ∈ L^{1}(IR),

f̂(ξ) = ∫_{IR} f(x)e^{−iξx}dx.

Si f ∈ C_{c}(IR) est k fois différentiable et telle que f^{(k)} ∈ L^{1}(IR), alors

|f̂(ξ)| ≤ \frac{||f^{(k)}||_{L^{1}}}{|ξ|^{k}} .

ii) Si f ∈ L^{1}(IR) alors ∫_{IR} f(x)e^{iax}dx → 0 quand |a| → ∞. iii) Application aux coefficients de Fourier : si f ∈ L^{1}(−π, π),

lim_{|n|→∞} c_{n}(f) = 0.

Remarque 9.1 Si f ∈ L^{2}, on sait immédiatement que c_{n}(f) → 0 car c_{n}(f) s’interprètent comme les coordonnées de f sur un système orthonormé.

Démonstration i) En intégrant par parties k fois l’intégrale définissant f̂, on obtient pour ξ ≠ 0,

|f̂(ξ)| = |\frac{1}{(iξ)^{k}} ∫ f^{(k)}(x)e^{−ixξ}dx| ≤ \frac{||f^{(k)}||_{L^{1}}}{|ξ|^{k}} .

ii) Soit f_{n} une suite de fonctions C^{∞} et à support compact qui tendent vers f dans L^{1} (proposition 6.3). On a, pour n fixé assez grand : ||f_{n} − f||_{1} ≤ ε, ce qui implique |f̂_{n}(ξ) − f̂(ξ)| ≤ ε pour tout ξ. En utilisant (i), on voit que |f̂_{n}(ξ)| → 0 quand n est fixé et |ξ| → ∞. Donc |f̂_{n}(ξ)| ≤ ε pour ξ assez grand. Finalement,

|f̂(ξ)| ≤ |f̂(ξ) − f̂_{n}(ξ)| + |f̂_{n}(ξ)| ≤ 2ε

pour ξ assez grand. ∘

La proposition suivante nous dit que la série de Fourier de f converge vers f(x) en tout point x où f est suffisamment régulière.

Proposition 9.1 ( Principe de localisation) Si f ∈ L^{1}(−π, π) et si la fonction y → \frac{f(y)−f(x)}{y−x} est intégrable sur un voisinage de x, alors lim_{N→∞} s_{N}f(x) = f(x), où on a noté : s_{N}f(x) =: ∑_{|n|≤N} c_{n}(f)e^{inx}.

Expliquons pourquoi le résultat précédent s’appelle principe de localisation. Alors que s_{N}(f) est le résultat d’un calcul intégral sur tout l’intervalle [−π, π], et donc d’un calcul global, le comportement de s_{N}f(x) dépend du comportement local de f au voisinage de x. Il y a donc “localisation".

Démonstration Etape 1 On se ramène au cas f(x) = 0, x = 0. Supposons la proposition démontrée pour x = 0, f(x) = 0. Soit maintenant g ∈ L^{1}(−π, π) telle que \frac{g(y)−g(x)}{y−x} soit intégrable au voisinage de x. Alors on pose f(y) = g(x + y) − g(x). On

a bien f(0) = 0 et \frac{f(y)}{y} = \frac{g(x+y)−g(x)}{y} est intégrable au voisinage de 0. Donc, par hypothèse, s_{N}f(0) → f(0) = 0. Mais

s_{N}f(0) = ∑_{|n|≤N} c_{n}(g(x + y) − g(x)) = ∑_{|n|≤N} \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π}(g(x + y) − g(x))e^{−iny}dy

= ( ∑_{|n|≤N} \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} g(z)e^{−in(z−x)}dz) − g(x) = ( ∑_{|n|≤N} \frac{1}{2π} e^{inx} ∫_{−π}^{π} g(z)e^{−inz}dz) − g(x)

= s_{N}g(x) − g(x).

Donc s_{N}g(x) → g(x). En fait, l’argument précédent montre que s_{N} commute avec les translations :

s_{N}[g(. + x)] = (s_{N}g)(. + x).

Etape 2 On a

s_{N}f(0) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} f(y)\frac{sin(N + \frac{1}{2})y}{sin\frac{y}{2}} dy.  (9.1)

En effet, ∑_{−N}^{N} e^{iky} = \frac{sin(N+ \frac{1}{2} )y}{sin\frac{y}{2}} , ce qui se prouve aisément en sommant la suite géométrique.

Etape 3 Par l’étape 1 il suffit de montrer que si f ∈ L^{1}(−π, π) et si \frac{f(y)}{y} est intégrable au-

tour de 0, alors s_{N}f(0) → 0. Comme sur [−π, π], |sin\frac{y}{2}| ≥ \frac{|y|}{π}, on a

|\frac{f(y)}{sin\frac{y}{2}}| ≤ \frac{π|f(y)|}{|y|} ∈ L^{1}(−π, π).

Donc on peut appliquer le lemme de Riemann-Lebesgue à la fonction \frac{f(y)}{sin\frac{y}{2}} . On conclut que l’intégrale de (9.1) définissant s_{N}f(0) tend vers 0 quand N tend vers l’infini. ∘

Corollaire 9.1 Le système

\frac{1}{(2π)^{\frac{1}{2}}} (e^{ikt})_{k∈Z}

est une base hilbertienne de L^{2}(−π, π). Notant c_{n}(f) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} e^{−inx}f(x)dx, on a donc pour toute f dans L^{2}([−π, π]),

f(x) = ∑_{n∈Z} c_{n}(f)e^{inx},

la série précédente convergeant au sens L^{2}.

Démonstration On appelle polynôme trigonométrique toute expression de la forme P (t) = ∑_{k=−N}^{N} a_{k}e^{ikt}, où les a_{k} sont des nombres complexes. Pour montrer que le système de Fourier est une base hilbertienne, il nous suffit de montrer que c’est un système total, c’est-à-dire que les polynômes trigonométriques forment un sous-espace vectoriel dense de L^{2}(−π, π). Mais le lemme 9.1 ( Principe de localisation) nous assure que si f est (e.g.) C^{2} et 2π-périodique sur IR, alors s_{N}(f)(x) → f(x) en tout point. Comme de plus les coefficients de la série de Fourier de f vérifient |c_{k}(f)| ≤ \frac{C}{k^{2}} , la série de Fourier est en fait uniformément convergente et donc converge aussi dans L^{2}([−π, π]) vers f. Or, les fonctions C^{2} et 2π-périodiques forment un sous-espace dense de L^{2}([−π, π]). En effet, par le corollaire 6.3, les fonctions C^{∞} à support compact dans [−π, π] sont denses dans L^{2}(−π, π). On conclut que le système de Fourier est total, et donc une base hilbertienne. ∘

Corollaire 9.2 si f ∈ L^{1}([−π, π]) est Höldérienne d’exposant 0 < α ≤ 1 en x ( c’est-à-dire |f(x) − f(y)| ≤ C|x − y|^{α} ), alors s_{N}f(x) → f(x). Cette conclusion s’applique si f est une primitive sur [−π, π] d’une fonction de L^{2}(−π, π).

Démonstration L’application du principe de localisation est immédiate : |\frac{f(y)−f(x)}{y−x}| ≤ |x − y|^{α−1} qui est bien intégrable au voisinage de x. Soit maintenant f une fonction qui est la primitive sur [−π, π] d’une fonction de L^{2}(−π, π). En appliquant l’inégalité de Cauchy-Schwartz,

|f(x) − f(y)| = | ∫_{y}^{x} f′(t)dt| ≤ |y − x|^{\frac{1}{2}} (∫_{−π}^{π} |f′(t)|^{2}dt)^{\frac{1}{2}} .

La fonction f est donc Hölderienne d’exposant \frac{1}{2} et le principe de localisation s’applique. ∘

Remarque 9.2 (importante) Le principe de localisation, quand il s’applique, nous assure que les sommes symétriques, s_{n}f(x) = ∑_{|k|≤n} c_{k}(f)e^{ikx} de la série de Fourier convergent vers f(x). Le fait que le système de Fourier soit une base hilbertienne nous en dit plus, et moins. En effet, si f ∈ L^{2}([−π, π]), on peut assurer que les sommes asymétriques, s_{m,n}f(x) = ∑_{−m≤k≤n} c_{k}(f)e^{ikx} convergent dans L^{2} vers f quand n, m → +∞. Mais, attention : cette convergence n’est pas ponctuelle.

9.1 Convolution des fonctions périodiques et séries de Fourier

La décomposition en série de Fourier d’une fonction f ∈ L^{2}([−π, π]) implique qu’on la considère comme une fonction 2π−périodique, puisque la série de Fourier l’est.

Définition 9.1 et proposition Si f ∈ L^{1}([−π, π]) et g ∈ L^{1}([−π, π]), on prolonge f et g en des fonctions 2π-périodiques sur IR et on pose f ∗ g(x) = ∫_{−π}^{π} f(y)g(x − y)dy. La fonction f ∗ g ainsi définie appartient à L^{1}(−π, π) et est 2π-périodique.

Exercice 9.1 En reprenant l’argument du théorème 8.3, montrer que si T : L_{periodique}^{2}([−π, π]) → C_{periodique}^{0}([−π, π]) est linéaire, continu et commute avec les translations, alors il existe une fonction g ∈ L^{2}([−π, π]) telle que T f = g ∗ f, où "∗" désigne la convolution périodique.‘

Théorème 9.1 Si f, g ∈ L^{2}(−π, π), alors f ∗ g est continue et c_{n}(f ∗ g) = 2πc_{n}(f)c_{n}(g). De plus, la série de Fourier de f ∗ g converge uniformément vers f ∗ g.

Remarquons que la relation précédente montre l’effet régularisant de la convolution : les hautes fréquences de f ∗ g sont plus faibles que celles de f, puisque c_{n}(g) tend vers zéro.

Démonstration i) On a par l’inégalité de Cauchy Schwartz

|(f ∗ g)(t)| ≤ ∫ |f(t − s)||g(s)|ds ≤ ||f||_{L^{2}}||g||_{L^{2}}.

Donc f ∗ g ∈ L^{2}(−π, π) et on a, en appliquant plusieurs fois le théorème de Fubini (les intégrales se font sur [−π, π] ou, indifféremment, sur n’importe quel intervalle de longueur 2π) :

c_{n}(f ∗ g) = \frac{1}{2π} ∫ ∫ f(t − s)g(s)e^{−int}dsdt = \frac{1}{2π} ∫ ∫ f(t − s)e^{−in(t−s)}g(s)e^{−ins}dsdt

= \frac{1}{2π} (∫ g(s)e^{−ins}ds)(∫ f(u)e^{−inu}du) = c_{n}(f)c_{n}(g).

Le terme général de la série de Fourier de f ∗ g vérifie

|c_{n}(f ∗ g)e^{inx}| = |c_{n}(f)||c_{n}(g)| ≤ |c_{n}(f)|^{2} + |c_{n}(f)|^{2}.

Cette dernière série est convergente. La série de Fourier de f ∗ g est donc uniformément convergente. Sa limite est donc continue. Remarquer que si f_{n} → f dans L^{2} et si f_{n} → g presque 9.1. CONVOLUTION DES FONCTIONS PÉRIODIQUES ET SÉRIES DE FOURIER 59

partout, alors f = g : c’est une conséquence de la réciproque du théorème de Lebesgue. ∘

Corollaire 9.3 Autres bases de Fourier. Les fonctions

\frac{1}{\sqrt{T}} , \sqrt{\frac{2}{T}} cos(\frac{2kπt}{T}), \sqrt{\frac{2}{T}} sin(\frac{2kπt}{T}), k = 1, 2, ...

forment une base hilbertienne de L^{2}(0, T). ii) Il en est de même pour les fonctions

\frac{1}{\sqrt{T}} , \sqrt{\frac{2}{T}} cos(\frac{kπt}{T}), k = 1, 2, ...

La transformée associée à la base en cosinus s’appelle la "transformée en cosinus." La "base en sinus", \sqrt{\frac{2}{T}} sin(\frac{kπt}{T}), k = 1, 2, ....

Démonstration i) Cette première base résulte de l’application à la base de Fourier de la remarque générale suivante. Si (e_{k})_{k∈Z} est une base hilbertienne, alors le système f_{0} = e_{0},..., f_{2k} = \frac{e_{k}+e_{−k}}{\sqrt{2}} , f_{2k+1} = \frac{e_{k}−e_{−k}}{\sqrt{2}} , ... aussi. ii) Si f ∈ L^{2}(0, T), on lui associe la fonction paire f̃ sur [−T, T] qui coïncide avec f sur [0, T]. On décompose f̃ sur la base de Fourier de [−T, T]. La base de Fourier sur [−T, T] est formée des fonctions \frac{1}{\sqrt{2T}} e^{\frac{iπkt}{T}}. Donc on a

f̃(x) =_{L^{2}} ∑_{n∈Z} \frac{1}{2T} (∫_{−T}^{T} f̃(t)e^{\frac{−iπkt}{T}} dt)e^{\frac{iπkx}{T}} . Comme f̃ est paire, on voit en faisant le changement de variables t → −t dans les intégrales que les coefficients de e^{\frac{iπkt}{T}} et e^{\frac{−iπkt}{T}} sont égaux. On remarque aussi que ∫_{−T}^{T} f̃(t)e^{\frac{iπkt}{T}} dt = 2 ∫_{0}^{T} f(t)cos(\frac{πkt}{T})dt. Aussi, f̃(x) =_{L^{2}} \frac{1}{2T} ∫_{−T}^{T} f̃(t)dt + ∑_{n∈IN^{∗}} \frac{1}{2T} (∫_{−T}^{T} f̃(t)e^{\frac{−iπkt}{T}})(e^{\frac{iπkx}{T}} + e^{\frac{iπkx}{T}}), et donc f(x) =_{L^{2}} \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} f(t)dt + ∑_{n∈IN} \frac{2}{T} (∫_{0}^{T} f(t)cos(\frac{πkt}{T}))cos(\frac{πkx}{T}). Comme les fonctions \frac{1}{\sqrt{T}} , \sqrt{\frac{2}{T}} cos(\frac{πkx}{T}) forment un système orthonormé de L^{2}(0, T), l’égalité précédente exprime qu’elles forment en fait une base hilbertienne.

(iii) Si on prolonge la fonction f en une fonction impaire sur [−T, T] et que l’on reprend le raisonnement précédent, on trouve la base en sinus. Cette base a la propriété, utile pour modéliser les cordes vibrantes, que ses éléments valent 0 aux extrémités de l’intervalle.

∘

60 CHAPTER 9. SÉRIES DE FOURIER

Séries de Fourier et distributions périodiques

Dans toute la suite, I désigne un intervalle ouvert de IR, borné ou pas. On note C_{0}^{∞}(I) l’ensemble des fonctions réelles C^{∞} à support compact dans I. On appelle distribution dans I toute forme linéaire u sur C_{0}^{∞}(I) ayant la propriété de continuité suivante : Pour tout intervalle compact J ⊂ IR il existe un entier p et une constante C tels que pour toute fonction φ ∈ C_{0}^{∞}(J) à support inclus dans J,

| < u, φ > | ≤ C max_{i≤p} max_{x∈J} |φ^{(i)}(x)|.

Cette relation exprime que la forme linéaire u n’agit que sur φ et ses dérivées d’ordre inférieur ou égal à p. Si u ∈ L_{loc}^{1}(I) est une fonction intégrable sur tout borné de I, on voit immédiatement que l’on peut l’identifier à une distribution ũ dans I en posant, pour φ dans C_{0}^{∞}(I),

< ũ, φ >= ∫_{I} u(x)φ(x)dx.

Exercice 10.1 Montrer que si deux distributions ũ et ṽ dans I sont associées à des fonctions u et v appartenant à L_{loc}^{1}(I) et si elles sont deux distributions égales, alors u = v.

Exercice 10.2 Montrer que < δ_{x}, φ >= φ(x) est une distribution dans IR, appelée masse de Dirac en x. Montrer qu’il en est de même pour le “peigne de Dirac" u = ∑_{n} δ_{2kπ} et pour < δ_{x}^{(k)}, φ >= (−1)^{k}φ^{(k)}(x).

On admettra le théorème suivant, qui est une conséquence du théorème de Banach-Steinhaus :

Théorème 10.1 si u_{n} est une suite de distributions dans I telle que ∀φ ∈ C_{0}^{∞}, < u_{n}, φ > converge vers une valeur que l’on note < u, φ >, alors u est aussi une distribution dans I.

Exercice 10.3 Montrer que si u_{n} ∈ L_{loc}^{1} converge vers u dans L_{loc}^{1}, alors aussi u_{n} → u au sens des distributions.

Définition 10.1 et proposition Si u est une distribution dans I, alors on appelle dérivée kième de u la distribution dans I définie par < u^{(k)}, φ >= (−1)^{k} < u, φ^{(k)} >. Si u est C^{k} dans I, alors sa dérivée classique, notée {u}^{(k)} coïncide avec sa dérivée au sens des distributions, u^{(k)}.

Démonstration Si u est C^{k} dans I, on a < {u}^{(k)}, φ >= ∫_{I}{u}^{(k)}(x)φ(x) et en intégrant par parties k fois, on obtient

< {u}^{(k)}, φ >= (−1)^{k} ∫_{I} u(x)φ^{(k)}(x)dx =< u^{(k)}, φ > .
∘

Théorème 10.2 (formule des sauts) Soit f une fonction C^{1} par morceaux sur I et (a_{n})_{n∈Z} la suite discrète de ses sauts. On désigne par {f}′ la dérivée ponctuelle de f et par f(a_{n}^{±}) les limites à gauche et à droite de f en a_{n}. Alors la dérivée distributionnelle f′ de f est donnée par

f′ = {f}′ + ∑_{n}(f(a_{n}^{+}) − f(a_{n}^{−}))δ_{a_{n}}.

Démonstration Prendre φ dans C_{0}^{∞} et intégrer par parties < f′, φ >= − ∫ fφ′. ∘

Que se passe-t-il quand la dérivée au sens des distributions d’une fonction est nulle ?

Lemme 10.1 Soit f ∈ L^{1}(I) telle que f′ = 0, c’est-à-dire

∀φ ∈ C_{0}^{∞}(I), ∫_{I} f(x)φ′(x)dx = 0.  (10.1)

Alors il existe une constante C telle que f = C presque partout.

Démonstration Comme C_{0}^{∞}(I) est dense dans C_{c}^{1}(I) (Corollaire 6.2), la relation (10.1) est encore vraie si φ ∈ C_{c}^{1}(I). Fixons ψ ∈ C_{c}(I) telle que ∫_{I} ψ(x)dx = 1. Alors pour toute fonction w ∈ C_{c}(I), il existe une “pseudo-primitive” de w, φ ∈ C_{c}^{1}(I), satisfaisant

φ′(x) = w(x) − (∫_{I} w)ψ(x).

Il suffit de choisir pour φ la primitive à support compact de w −(∫_{I} w)ψ, qui est d’intégrale nulle. Donc

∀w ∈ C_{c}(I), ∫_{I} f(x)(w(x) − (∫_{I} w)ψ) = 0 et par Fubini
∀w ∈ C_{c}(I), ∫_{I}(f(x) − ∫_{I} fψ)w(x)dx = 0,

ce qui implique par le lemme 6.1 que f(x) = ∫_{I} fψ est constante. ∘

Proposition 10.1 Soit f une fonction définie sur IR, 2π-périodique et telle que f ∈ L^{2}(0, 2π). On a le droit de dériver la série de Fourier de f autant de fois que l’on veut et on a donc

f^{(p)} = ∑_{−∞}^{+∞}(ik)^{p}c_{k}(f)e^{ikt},  (10.2)

cette égalité étant valide comme égalité de deux distributions dans IR.

Remarque 10.1 L’égalité est aussi valide comme égalité de deux distributions dans ]0, π[ ou en fait dans tout intervalle ouvert de IR.

Démonstration On remarque d’abord que si I est un ouvert et u une fonction dans L^{2}(I), dans L^{1}, ou dans L_{loc}^{p}, alors elle est une distribution dans I, car toute fonction de L_{loc}^{1}(I) est une distribution dans I. De plus, si une suite de fonctions u_{n} converge dans l’un des ces espaces, elle converge aussi au sens des distributions dans I. Si f ∈ L^{2}(0, 2π) et est 2π-périodique, elle est une distribution qui est la somme (au sens L_{loc}^{2} et donc au sens des distributions dans IR) de la série ∑_{k} c_{k}(f)e^{ikt}. Soient s_{n,m}(f) = ∑_{−m}^{n} c_{k}(f)e^{ikt} les sommes partielles de la série de Fourier. Comme s_{n,m}(f) tend vers f au sens des distributions quand n et m tendent vers l’infini, s_{n,m}(f)^{(p)} tend vers f^{(p)} au sens des distributions. Dérivant terme à terme s_{n,m}(f), on obtient

f^{(p)} = ∑_{k}(ik)^{p}c_{k}(f)e^{ikt},

la convergence de la série se faisant au sens des distributions dans IR. ∘

Exercice 10.4 Montrer que si u est une distribution et f ∈ C^{∞}(IR), alors fu définie par

< fu, φ >=< u, fφ >

est bien une distribution

Exercice 10.5 Dérivée de la masse de Dirac Démontrer que xδ′_{0} = −δ_{0}.

Solution On calcule

< xδ′_{0}, φ >=< δ′_{0}, xφ >= − < δ_{0}, (xφ)′ >= − < δ_{0}, φ + xφ′ >=
−φ(0) =< −δ_{0}, φ > .
∘

Proposition 10.2 (Peigne de Dirac et formule sommatoire de Poisson) On pose

< δ̃, φ >= ∑_{n∈Z} φ(2nπ).

On l’appelle la "2π-périodisée" de la masse de Dirac, ou "peigne de Dirac". Alors 2πδ̃ − 1 = s′ est la dérivée de la fonction "en dents de scie", 2π-périodique, définie sur [0, 2π[ par s(x) = π −x et on a

δ̃ = \frac{1}{2π} ∑_{n} e^{inx},

ce qui se traduit pour φ ∈ C_{0}^{∞} par la formule sommatoire de Poisson,

∑_{k=−∞}^{k=+∞} φ(2kπ) = \frac{1}{2π} ∑_{p=−∞}^{p=+∞} φ̂(p).

Démonstration Par intégration par parties, c_{n}(s) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π}(π − x)e^{inx}dx = \frac{1}{in}. Donc le développement en série de Fourier de s est

s = ∑_{n∈Z\\{0\}} \frac{1}{in}e^{inx},

la convergence se faisant au sens L_{loc}^{2}, donc aussi au sens L_{loc}^{1} et donc aussi au sens des distributions. On dérive terme à terme cette dernière formule (au sens des distributions) et on obtient donc

s′ = ∑_{n∈Z\{0}} e^{inx}.

La formule des sauts (théorème 10.2) nous donne s′ = −1 + ∑_{n∈Z} 2πδ_{2πn}, les sauts de s aux points 2πn étant de +2π et s étant C^{1} aux autres points et de dérivée ponctuelle égale à -1. On obtient donc

∑_{n∈Z} 2πδ_{2πn} = 1 + ∑_{n≠0} e^{inx} = ∑_{n∈Z} e^{inx},

soit la formule annoncée,

∑_{n∈Z} δ_{2πn} = \frac{1}{2π} ∑_{n∈Z} e^{inx}.

La formule de Poisson s’obtient en appliquant cette dernière formule à une fonction φ ∈ C_{0}^{∞} arbitraire. ∘

10.1 Distributions périodiques et leurs séries de Fourier

Définition 10.2 Si T ∈ IR, on note τ_{T} u et on appelle "translatée de u de T " la fonction τ_{T} u(x) = u(x − T). Si u est une distribution, on pose

< τ_{T} u, φ >=< u, τ_{−T} φ > .

On voit aisément que ces deux définitions sont compatibles quand u est une fonction de L_{loc}^{1}.

Définition 10.3 On se donne un nombre T > 0, la "période", et lui associe la "fréquence" ω = \frac{2π}{T}. On dit qu’une distribution u est T -périodique si sa translatée τ_{T} u est égale à u.

Proposition 10.3 Soit (γ_{k})_{k∈Z} une suite à croissance lente, c’est-à-dire vérifiant une inégalité du type

∀k ∈ Z, |γ_{k}| ≤ C(1 + |k|)^{N}.

Alors la série ∑_{−∞}^{+∞} γ_{k}e^{ikωt} converge au sens des distributions et définit une distribution T - périodique.

Démonstration On pose

u(t) = ∑_{k≠0} \frac{1}{(ikω)^{N+2}} γ_{k}e^{ikωt}.

Il s’agit d’une série uniformément convergente, son terme général étant majoré par \frac{C}{(1+|k|)^{2}} . L’égalité précédente est donc valide au sens des distributions. En la dérivant n + 2 fois au sens des distributions, on obtient une nouvelle distribution et l’égalité

∑_{−∞}^{+∞} γ_{k}e^{ikωt} = u^{(n+2)}.

Comme u(t) est une fonction 2π-périodique, il est immédiat que u^{(n+2)} est une distribution 2πpériodique. ∘

Proposition 10.4 Si f est T -périodique et de classe C^{∞}, la suite des c_{k}(f) = \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} f(t)e^{ikωt} est à décroissance rapide, c’est-à-dire que l’on a |c_{k}(f)| ≤ C_{N}(1+|k|)^{−N} pour tout N et la différence

f − ∑_{L}^{L′} c_{k}(f)e^{ikωt}

tend vers 0 uniformément ainsi que chacune de ses dérivées lorsque L et L′ tendent vers +∞.

Démonstration On obtient l’estimation |c_{k}(f)| ≤ C_{N}(1 + |k|)^{−N} en intégrant par parties N fois c_{k}(f) = \frac{1}{T} ∫_{0}^{T} f(t)e^{−ikωt}dt. Grâce à cette estimation, la série ∑_{k} c_{k}(f)e^{ikωt} et toutes ses dérivées terme à terme sont uniformément convergentes. On peut donc intervertir sommation et dérivation. ∘

Théorème 10.3 (Unicité des coefficients de Fourier) Si γ_{k} est une suite à croissance lente telle que l’on ait u = ∑_{k} γ_{k}e^{ikωt} = 0 au sens des distributions, alors ∀k, γ_{k} = 0.

Démonstration Pour tout φ ∈ C_{0}^{∞},

< ∑_{k} γ_{k}e^{ikωt}, φ >= ∑_{k} γ_{k} < e^{ikωt}, φ >= ∑_{k} γ_{k} ∫_{IR} φ(t)e^{ikωt}.

Le théorème résulte alors immédiatement du lemme qui suit.

∘

Lemme 10.2 ∀k_{0} ∈ Z, ∃φ ∈ C_{0}^{∞}, ∫ φ(t)e^{ikωt}dt = δ_{k,k_{0}}.

Lemme 10.3 Il existe χ ∈ C_{0}^{∞}(IR) telle que

∑_{l∈Z} χ(t + lT) = 1.  (10.3)

Démonstration Il suffit de prendre ϕ ∈ C_{0}^{∞} positive partout et strictement positive sur [0, T], puis de poser χ(t) = \frac{ϕ(t)}{∑_{l∈Z} φ(t+lT)}. ∘

Démonstration du Lemme 10.2. On pose simplement φ(t) = χ(t)e^{−ik_{0}ωt}, où χ(t) définit une partition de l’unité (Lemme10.3). Alors

∫ φ(t)e^{ikωt}dt = ∫ χ(t)e^{i(k−k_{0})ωt}dt =

∑_{l∈Z} ∫_{lT}^{(l+1)T} χ(t)e^{i(k−k_{0})ωt}dt = ∑_{l} ∫_{0}^{T} χ(t + lT)e^{i(k−k_{0})ωt}dt =

∫_{0}^{T} ∑_{l∈Z} χ(t + lT)e^{i(k−k_{0})ωt}dt = ∫_{0}^{T} e^{i(k−k_{0})ωt}dt = δ_{k,k_{0}}.

∘

10.2 Espaces de Sobolev périodiques H_{per}^{m}(0, 2π)

Définition 10.4 On appelle espace de Sobolev périodique d’ordre m ≥ 1 et on note H_{per}^{m}(0, 2π) l’ensemble des fonctions 2π périodiques sur IR, appartenant à L^{2}(0, 2π) et telles que leurs dérivées au sens des distributions d’ordre 1, ..., m appartiennent à L^{2}(I). On le munit de la norme

||u||_{H_{per}^{m}} = ( ∑_{n≤m} ||u^{(n)}||_{L^{2}})^{\frac{1}{2}}

associée au produit hermitien

(u, v)_{H_{per}^{m}} = ∑_{n≤m} ∫_{[0,2π]} u^{(n)}(x)\overline{v^{(n)}(x)}dx.

Les espaces H_{per}^{m}(0, 2π) sont particulièrement faciles à étudier grâce au fait qu’ils sont caractérisés par le comportement de leur série de Fourier. Dans toute la suite de ce chapitre, on note I =]0, 2π[.

Proposition 10.5 Si u ∈ H_{per}^{m}, alors pour tout n ≤ m, les coefficients de u^{(n)} vérifient

c_{k}(u^{(n)}) = (ik)^{n}c_{k}(u).

Démonstration En effet, on a vu que si u ∈ L^{2}(I), alors on peut écrire

u = ∑_{k} c_{k}(u)e^{ikt}, c_{k}(f) = \frac{1}{2π} ∫_{[0,2π]} u(t)dt,

10.2. ESPACES DE SOBOLEV PÉRIODIQUES H_{P ER}^{M}(0, 2π) 67

cette égalité s’étendant à IR à condition de périodiser u. En conséquence,

u^{(n)} = ∑_{k} c_{k}(u)(ik)^{n}e^{ikt},

la convergence se faisant au sens des distributions dans IR. Comme on a supposé que u^{(n)} est dans L^{2}(I), u^{(n)} admet un développement en série de Fourier dont les coefficients (c_{k}(u^{(n)}))_{k} appartiennent à L^{2}(Z). Par unicité du développement de Fourier (théorème 10.3), on a

c_{k}(u)(ik)^{n} = c_{k}(u^{(n)}).
∘

Proposition 10.6 Les fonctions de H_{per}^{m} appartiennent à C^{m−1}. En particulier, les fonctions de H_{per}^{1}(I) sont continues.

Démonstration Prenons n = 1. Alors c_{k}(u) = \frac{1}{ik}c_{k}(u′) est le produit de deux séries appartenant à l^{2}(Z). Donc c_{k}(u) ∈ l^{1} et donc la série ∑_{k} c_{k}e^{ikt} converge uniformément sur IR. La limite est donc continue et donc u est continue (ou, pour être exact, u est égale presque partout à une fonction continue et est donc continue). On conclut la démonstration en remarquant que u est dans H_{per}^{m} si et seulement si u^{(m−1)} est dans H_{per}^{1}. ∘

Proposition 10.7 Les espaces H_{per}^{m}(0, 2π) sont des espaces de Hilbert et leur norme peut s’écrire

||u||_{H_{per}^{m}}^{2} = ∑_{n≤m} ||u^{(n)}||_{L^{2}}^{2} = ∑_{k} |c_{k}(u)|^{2}(1 + |k|^{2} + ... + |k|^{2m}).

Une norme hilbertienne équivalente est |u|_{H_{per}^{m}}^{2} = ∑_{k} |c_{k}(u)|^{2}(1 + |k|^{2m}).

Démonstration L’application u ∈ H_{per}^{m} → (c_{k}(u)(1 + |k|^{2} + ... + |k|^{2m})^{\frac{1}{2}} est une isométrie de H_{per}^{m}(0, 2π) sur l^{2}(Z) qui est un espace de Hilbert. H_{per}^{m} est donc aussi un espace de Hilbert. L’équivalence des normes est immédiate. ∘

Théorème 10.4 (première application) On considère le problème de l’élastique chargé,

−u′′ + u = f, u(0) = v(2π) = 0,  (10.4)

où f ∈ L^{2}([0, 2π]). Alors il existe une unique u ∈ L^{2}([0, 2π]) solution (au sens des distributions !) de (10.4). Cette solution appartient en fait à H_{per}^{2}([0, 2π])

Démonstration Pour avoir de manière naturelle les conditions aux limites u(0) = u(2π) = 0, il est convenable d’utiliser la base en sinus (sin(\frac{kt}{2})), k ∈ IN^{∗}. On développe u et f dans cette base de Fourier et on identifie les coefficients de Fourier à droite et à gauche de l’équation, comme on le peut en vertu de l’unicité des coefficients de Fourier d’une distribution. (Cette unicité entraîne immédiatement l’unicité des coefficients sur la base en sinus, puisque les coefficients en sinus de u ne sont autres que les coefficients de Fourier classiques sur [−2π, 2π] de u prolongée en une fonction impaire). On pose donc c_{k}(u) = \frac{1}{π} ∫_{0}^{2π} u(t)sin\frac{kt}{2}dt et on a u = ∑_{k∈IN^{∗}} c_{k}(u)sin\frac{kt}{2}. L’équation (10.4) est alors équivalente à

∀k ∈ IN^{∗}, (k^{2} + 1)c_{k}(u) = c_{k}(f), soit

c_{k}(u) = \frac{c_{k}(f)}{1 + k^{2}} .

Donc u = ∑_{k∈IN^{∗}} \frac{c_{k}(f)}{1+k^{2}}sin\frac{k}{2}t, qui appartient bien à H_{per}^{2}. Remarquer que u n’est pas nécessairement C^{2} et que donc l’équation n’a pas de sens classique ! Par contre, comme u ∈ H_{per}^{2}, u est C^{1}. Comme u est impaire, on a bien u(0) = u(2π) = 0. ∘

Espaces de Sobolev sur l’intervalle

Dans toute la suite, I =]a, b[ représente un intervalle ouvert de IR, borné ou non.

Définition 11.1 On appelle espace de Sobolev d’ordre m ≥ 1 et d’exposant p ≥ 1 sur l’intervalle I = [0, 2π] l’ensemble des fonctions de L^{p}(I) telles que leurs dérivées au sens des distributions d’ordre 1, ..., m appartiennent à L^{p}(I). On note cet espace W^{m,p}(I) et on le munit de la norme

||u||_{W^{m,p}} = ∑_{n≤m} ||u^{(n)}||_{L^{p}}.

Si p = 2, on note H^{m} = W^{2,m} et on prend pour norme

||u||_{H^{m}} = ( ∑_{n≤m} ||u^{(n)}||_{L^{2}}^{2})^{\frac{1}{2}} ,

associée au produit hermitien

(u, v)_{H^{m}} = ∑_{n≤m} ∫_{I} u^{(n)}(x)\overline{v^{(n)}(x)}dx.

Une fonction u appartient donc à W^{1,p}(I) si u ∈ L^{p}(I) et sa dérivée au sens des distributions dans I est dans L^{p}. Cela veut dire

∃v(= u′) ∈ L^{p}, ∀φ ∈ C_{0}^{∞}(I), ∫_{I} v(x)φ(x)dx = − ∫_{I} u(x)φ′(x)dx.

Théorème 11.1 Si u ∈ W^{1,p}(I), il existe ũ ∈ C^{0}(I) ( c’est-à-dire continue dans I) telle que u = ũ presque partout dans I et

∀x, y ∈ \overline{I}, ∫_{x}^{y} u′(t)dt = ũ(y) − ũ(x)  (11.1)

Démonstration Comme C_{0}^{∞}(I) est dense dans L^{1}(I) (Corollaire 6.2), on peut choisir une suite v_{ε} ∈ C_{0}^{∞}(I) qui converge vers u′ dans L^{1}(I). On pose u_{ε}(x) = ∫_{a}^{x} v_{ε}(x)dx. La suite u_{ε} converge uniformément sur tout compact de I vers une fonction w continue sur I. Alors d’une part, si φ ∈ C_{0}^{∞},

∫_{I} u_{ε}φ′ = − ∫ v_{ε}φ → − ∫ u′φ = ∫ uφ′

et d’autre part ∫_{I} u_{ε}φ′ → ∫ wφ′.
Donc ∀φ ∈ C_{0}^{∞}(I), ∫ (w − u)φ′ = 0,

ce qui prouve par le lemme 10.1 que w − u est égale presque partout à une constante C. On conclut en posant ũ = w − C. ∘

Proposition 11.1 Si p < ∞, alors toute fonction u ∈ W^{1,p} se prolonge en une fonction continue sur la fermeture \overline{I}. Si a = −∞ ou b = +∞, on a de plus u(x) → 0 quand x → ∞.

Démonstration Si p < ∞ et si I est borné, on déduit immédiatement de la relation |u(x) − u(y)| ≤ ∫_{x}^{y} |u′(t)|dt que u(x) est une suite de Cauchy quand x tend vers a ou b et on peut donc définir u comme une fonction continue sur [a, b]. Si I est non borné et u ∈ W^{1,1}(I), on déduit par la même inégalité que u(x) a une limite quand x → +∞ (par exemple). Cette limite ne peut être que zéro, puisque u est intégrable. Si p > 1, on écrit, par l’inégalité de Hölder,

|u|^{p}(x) − |u|^{p}(y) = p ∫_{x}^{y} u′|u|^{p−2}u(x)dx ≤ p(∫_{x}^{y} |u′|^{p})^{\frac{1}{p}} (∫_{x}^{y} |u|^{p})^{\frac{1}{p′}} ,

ce qui implique encore que u(x) → 0 quand x → ∞. ∘

Définition 11.2 Si I =]a, b[ et que a ou b est fini, on note W_{0}^{1,p}(I) le sous-espace des fonctions u ∈ W^{1,p}(I) telles que u(a) = u(b) = 0. Cette définition a un sens grâce à la proposition précédente : on prend pour u(a) et u(b) les valeurs limites du représentant continu de u. Dans le cas particulier où p = 2, on note H_{0}^{1}(I) = W_{0}^{1,2}(I).

Remarque 11.1 Rappelons qu’en vertu de la proposition 11.1, si I est non borné, u(x) tend vers 0 quand x → ∞.

Théorème 11.2 C_{0}^{∞}(I) est dense dans W_{0}^{1,p}(I). En particulier, C_{0}^{∞}(IR) est dense dans W^{1,p}(IR) et C_{0}^{∞}(0, 2π) est dense dans H_{0}^{1}(I).

Démonstration Etape 1 Regardons d’abord le cas où I est un intervalle borné de IR. Soit u ∈ W_{0}^{1,p}(I) et g_{ε} ∈ C_{0}^{∞}(I) telle que g_{ε} → u′ dans L^{p}(I). Comme ∫_{I} u′(x)dx = 0, il en résulte que ∫_{I} g_{ε}(x)dx → 0. Fixons φ ∈ C_{0}^{∞}(I) telle que ∫ φ(x)dx = 1. Alors aussi

v_{ε} = g_{ε} − φ ∫_{I} g_{ε} → u′

et on a maintenant ∫_{I} v_{ε} = 0. On voit immédiatement que sa primitive u_{ε}(x) = ∫_{a}^{x} v_{ε}(x)dx est dans C_{0}^{∞}(I) et par la relation (11.1) on déduit que u_{ε} converge uniformément (et donc dans W^{1,p}) vers u_{0}.

11.1. LES ESPACES W^{1,P} (I) COMME ESPACES DE BANACH 71

Etape 2 Supposons maintenant que I est non borné et traitons sans perte de généralité le cas I =]0, +∞[. Grâce à l’étape 1, il suffit que nous montrions que toute fonction u ∈ W^{1,p}(]0, +∞[) est approchable par des fonctions u_{n} dans W^{1,p}(]0, n[). Pour cela, on considère une fonction φ ∈ C_{0}^{∞}(IR) telle que φ(0) = 1, |φ(x)| ≤ 1 et à support dans ] − 1, 1[ et on pose simplement u_{n} = uφ(\frac{x}{n}). Par le théorème de Lebesgue, u_{n} → u dans L^{p} (|u|^{p} est chapeau intégrable) et on a aussi u′_{n} → u′ dans L^{p}. En effet,

u′_{n} = \frac{1}{n}φ′(\frac{x}{n})u + u′φ(\frac{x}{n}).

Or, le premier terme tend vers 0 dans L^{p}, φ′ étant bornée, et le second terme tend vers u′, à nouveau par le théorème de Lebesgue. On conclut que u_{n} tend vers u dans W^{1,p}(IR). ∘

L’introduction de W_{0}^{1,p} nous permet d’introduire un nouveau point de vue sur l’équation de la corde élastique chargée.

Théorème 11.3 (Le point de vue variationnel) La solution de l’équation (10.4) se caractérise comme l’unique minimum de la fonction continue et coercive sur H_{0}^{1}(I) définie par

E(u) = \frac{1}{2} ∫_{I}((u′(x)^{2} + u(x)^{2}) − ∫_{I} f(x)u(x)dx.

Démonstration On considère la forme bilinéaire sur H_{0}^{1}([0, 2π]),

a(u, v) = ∫_{I}(u′(x)v′(x) + u(x)v(x))dx.

Comme a(u, u) = ||u||_{H_{0}^{1}}^{2} est coercive, on peut appliquer le théorème de Lax-Milgram (théorème 8.6) et il existe un unique minimum de \frac{1}{2}a(u, u) − (f, u), qui satisfait de plus

∀v ∈ H_{0}^{1}(I), ∫_{I}(u′(x)v′(x) + u(x)v(x))dx = ∫_{I} f(x)u(x)dx.

Comme C_{0}^{∞}(I) est contenu dans H_{0}^{1}(I), on a aussi

∀φ ∈ C_{0}^{∞}(I), ∫_{I}(u′(x)φ′(x) + u(x)φ(x))dx = ∫_{I} f(x)φ(x)dx

et donc ∀φ ∈ C_{0}^{∞}, < −u′′ + u, φ >=< f, φ >,

ce qui veut dire que u vérifie l’équation −u′′ + u = f au sens des distributions. ∘

11.1 Les espaces W^{1,p}(I) comme espaces de Banach

Théorème 11.4 W^{1,p}(I) est un espace de Banach pour 1 ≤ p ≤ +∞.

Démonstration Soit u_{n} une suite de Cauchy dans W^{1,p}. Il existe donc (u, g) ∈ (L^{p}(I))^{2} tels que

u_{n} → u dans L^{p}, u′_{n} → g dans L^{p}.

Comme pour tout φ ∈ C_{0}^{∞}(I), on a

∫_{I} u_{n}φ′ + ∫_{I} u′_{n}φ = 0,

on obtient en passant à la limite ∫_{I} uφ′ + ∫_{I} gφ = 0, ce qui veut dire que u′ = g et donc que u ∈ W^{1,p}. On conclut que u_{n} → u dans W^{1,p}.

∘

Théorème 11.5 (Dual de W^{1,p}(I)) Si 1 ≤ p < ∞, toute forme linéaire f sur W^{1,p}(I) peut s’écrire sous la forme

f(u) = ∫_{I} gu + ∫_{I} hu′, où g, h ∈ L^{p′}.  (11.2)

Réciproquement on peut associer à tout couple g, h ∈ L^{p′}(I) une forme linéaire sur W^{1,p}(I) par la formule (11.2).

Démonstration On a f(u) ≤ C(||u||_{L^{p}} + ||u′||_{L^{p}}). On considère le plongement u ∈ W^{1,p} → I(u) = (u, u′) ∈ (L^{p})^{2}. Donc f̃ = f ∘ I vérifie, sur l’image I(W^{1,p}),

|f̃(v, w)| ≤ C(||v||_{L^{p}} + ||w||_{L^{p}}).

Par le théorème de Hahn-Banach, on peut étendre f̃ à (L^{p})^{2} et par le théorème de Riesz il existe donc des fonctions g, h ∈ (L^{p})′ = L^{p′} telles que f̃(v, w) = ∫ gv + ∫ hw. Donc f(u) = ∫ gu+ ∫ hu′. La réciproque est immédiate. Remarquer que ||f||_{(W^{1,p})′} = max(||g||_{L^{p′}} , ||h||_{L^{p′}}). ∘

Remarque 11.2 La formule (11.2) appliquée avec u ∈ C_{0}^{∞}(IR) montre que la restriction f̃ de f à C_{0}^{∞}(I) est une distribution sur I et que l’on a f̃ = g − h′. On peut donc considérer, en identifiant f et f̃, les éléments de W^{1,p} comme des distributions et on écrit donc

(W^{1,p}(I))′ = {g − h′, g, h ∈ L^{p′}(I)}.

Corollaire 11.1 W^{1,p} est réflexif pour 1 < p < ∞ et séparable pour 1 ≤ p < ∞.

Démonstration En effet, le plongement de W^{1,p} dans (L^{p})^{2} en fait un sous-espace fermé d’un espace réflexif si 1 < p < ∞ et séparable si 1 ≤ p < ∞. ∘

Exercice 11.1 Montrer que toute fonction de W^{1,p}([a, b]) peut se prolonger en une fonction P u de W^{1,p}(IR). On symétrisera u ∈ W^{1,p}(]a, b[) en posant par exemple P u(a − x) = u(a + x) si 0 ≤ x ≤ b − a, on périodisera ensuite la fonction obtenue (période 2(b − a)) et on la multipliera finalement par une fonction de C_{0}^{∞}(IR) égale à 1 sur I. On vérifiera que le prolongement P : u → P u ainsi obtenu est une application continue de W^{1,p}(I) dans W^{1,p}(IR). Dans le cas où a = −∞ ou b = +∞, il suffit bien-sûr de faire une symétrisation par rapport à la borne finie de l’intervalle.

Exercice 11.2 . Déduire de l’exercice précédent et du théorème 11.2 que si I =]a, b[ est un intervalle borné, alors les fonctions C^{∞} sont denses dans W^{1,p}(I).

Exercice 11.3 (Inégalité de Poincaré ) Si u ∈ W^{1,p}(]a, b[), −∞ < a < b < +∞, alors

||u||_{W^{1,p}} ≤ (1 + b − a)||u′||_{L^{p}}.

Marche à suivre : utiliser l’inégalité de Hölder et le fait que u est une primitive de u′.

Exercice 11.4 Produit de deux fonctions de W^{1,p}. Soient u, v ∈ W^{1,p}(I), 1 ≤ p ≤ ∞. Alors uv ∈ W^{1,p}(I) et (uv)′ = u′v + uv′. On dit que W^{1,p} est une algèbre de fonctions. Si G ∈ C^{1}(IR), G(0) = 0, alors G(u) ∈ W^{1,p}(I) et (G(u))′ = G′(u)u′. Si η ∈ C^{1}(\overline{I}) est bornée et de dérivée bornée, alors ηu ∈ W^{1,p}(I) et (ηu)′ = ηu′ +η′u. Indication : commencer par remarquer (exercice 11.1) qu’il suffit de montrer les énoncés précédents quand I = IR. Utiliser des arguments de densité: C_{0}^{∞} est dense dans W^{1,p}(IR).

Exercice 11.5 Montrer que les inclusions suivantes sont continues et compactes :

W^{1,p}(I) ⊂ C(\overline{(}I)), 1 < p ≤ +∞,
W^{1,1}(I) ⊂ L^{q}(I), 1 ≤ q < ∞.

Pour la première, on appliquera le théorème d’Ascoli, pour la seconde le théorème de Riesz-Fréchet-Kolmogorov.

Exercice 11.6 Soit u ∈ L^{p}(I), 1 < p ≤ +∞. Alors (i)⇔(ii)⇔(iii), où

(i) u ∈ W^{1,p}. (ii) ∃C > 0, ∀φ ∈ C_{c}^{1}(I), | ∫_{I} uφ′| ≤ C||φ||_{L^{p′}(I)}, (iii) ∃C, ∀ω ⊂⊂ I, ∀h, |h| ≤ distance(ω, I^{C}), ||τ_{h}u − u||_{L^{p}(ω)} ≤ C|h|.

74 CHAPTER 11. ESPACES DE SOBOLEV SUR L’INTERVALLE

Index

Espace de Banach, 3 Hahn-Banach (Théorème), 3 Lemme de Zorn, 3 Hahn-Banach (version analytique), 3 Dualité (application de), 4 Norme par dualité , 5 Théorème de Hahn-Banach géométrique, 6 Hahn-Banach (version géométrique), 6 Jauge d’un convexe, 6 Séparation (d’un point et d’un convexe), 6 Hahn-Banach, version fermé-compact., 7 Densité et orthogonalité dans un e.v.n., 7 Baire (lemme de), 9 Banach-Steinhaus (Théorème de), 10 Convergence simple d’opérateurs linéaires, 10 Borné d’un espace de Banach (caractérisation duale), 10 Continuité séquentielle (d’une application continue), 14 Tikhonov (théorème de), 14 Tikhonov (théorème de) : cas d’un produit dénombrable de compacts métrisables, 14 Topologie faible, 14 Topologie σ(E, E′) (caractérisation), 15 Ouverts (de la topologie faible), 15 Base de voisinages pour la topologie faible, 15 Séparation (de la topologie faible), 15 Convergence faible, 16 Convergence faible d’une suite (caractérisations), 16 Exemple d’ouvert fort mais pas faible, 17 Fermeture faible de la sphère unité , 17 Fermeture d’un convexe, 17 Mazur (théorème de), 17 Semicontinuité inférieure, supérieure, 18 Limite inférieure, supérieure, 18 Semicontinuité inférieure faible (des fonctions fortement s.c.i.), 18 Topologie faible-⋆, 19 Base de voisinages (pour la topologie faible-⋆), 19 Convergence d’une suite (pour la topologie faible-⋆), 19 Séparation de la topologie σ(E′, E), 19 Banach-Alaoglu-Bourbaki (théorème de), 19 Bidual d’un espace de Banach, 21 Réflexivité , 21 Kakutani (théorème de), 21 Réflexivité (d’un sous-espace fermé ), 21 Réflexivité (du dual d’un espace réflexif), 22 Compacité faible (d’un convexe fermé borné ), 22 Séparabilité (d’un sous-espace d’espace séparable), 22 Métrisabilité (de la boule unité), 23 Métrisabilité de la boule unité, 24 Compacité séquentielle de la boule unité, 24 Compacité séquentielle (dans un séparable réflexif), 24 Minimisation (d’une fonction convexe s.c.i.), 24 Fonction semicontinue inférieurement sur un compact, 25 Beppo-Levi (théorème de la convergence monotone), 27 Additivité (de la mesure), 28 Négligeable (ensemble), 28 Sommabilité d’une fonction, 28 Linéarité de l’intégrale, 28 Espace des fonctions sommables L^{1}(IR^{N}), 29 Lebesgue (théorème de la convergence dominée), 29 Réciproque du théorème de Lebesgue, 29 Dérivation sous le signe somme (Théorème de), 30 Fonction en escalier, 30 Fonction en escalier dyadique, 30 Densité des fonctions en escalier dans L^{1}, 31 Support d’une fonction, 31 Densité de C_{c} dans L^{1}, 31 Equicontinuité en moyenne des fonctions sommables, 31 Changement de variable (théorème de), 32 Fubini-Tonelli (théorème de), 32 Inégalité de Hölder, 33 Norme de L^{p}, 34 Complétude des L^{p}, 34 Densité de C_{c} dans L^{p}, 35 Uniforme continuité en moyenne des fonctions de L^{p}, 35 Convolution de deux fonctions de L^{1}, 36 Associativité (de la convolution), 36 Régularisation par convolution, 36 Convolution d’une fonction de L^{1} avec une fonction de L^{2}, 37 Support d’une fonction, 38 Support de la convolée de deux fonctions, 38 Approximation de l’identité , 38 Approximation par convolution des fonctions uniformément continues, 39 Nullité (d’une fonction de L^{1} orthogonale à C_{c}), 39 Fonctions C^{∞} à support compact, 39 Fonctions C_{0}^{∞} radiales, 40 Densité de C_{0}^{∞}(Ω) dans L^{p}(Ω), 40 Ascoli-Arzela (théorème de), 40 Compacité (d’une famille de fonctions Lipschitz), 41 Longueur d’un arc rectifiable, 41 Riesz-Fréchet-Kolmogorov (théorème de compacité de), 42 Réflexivité de L^{p}, 43 Convergence presque partout (de martingale), 44 Vitali (lemme de), 44 Equiintégrabilité d’une suite de L^{1}, 44 Non réflexivité de L^{1}, 46 Séparabilité de L^{p} pour 1 ≤ p < ∞, 46 Martingale, 46 Temps d’arrêt, 47 Nombre de passages (d’une martingale), 48 Espace de Hilbert, 49 Exemples de Hilbert, 49 Inégalité de Cauchy-Schwartz, 49 Convergence d’une série dans un Hilbert, 50 Projection sur un convexe dans un Hilbert, 50 Identité du parallélogramme, 50 Contractante (projection sur un convexe), 51 Orthogonal d’un sous-ensemble, 51 Décomposition orthogonale (dans un Hilbert), 51 Totalité (d’un système dans un Hilbert), 51 Riesz (théorème de), 52 Convolution (Universalité de la), 52 Séparabilité d’un espace, 53 Base hilbertienne, 53 Egalité de Parseval, 53 Inégalité de Parseval, 54 Isométrie (d’un Hilbert séparable à l^{2}), 54 Continuité d’une forme bilinéaire, 54 Lax-Milgram (théorème de), 54 Convergence faible dans un espace de Hilbert, 54 Riemann-Lebesgue (Lemme de), 55 Principe de localisation, 56 Base de Fourier, 57 Principe de localisation (pour une fonction Hölderienne), 57 Convolution périodique, 58 Base de Fourier en sinus et cosinus, 59 Base en cosinus, 59 Base en sinus, 59 Distributions associées à des fonctions L_{loc}^{1}, 61 Masse de Dirac, 61 Peigne de Dirac, 61 Convergence des distributions, 61 Dérivée d’une distribution, 61 Formule des sauts, 62 Constance d’une fonction à dérivée distributionnelle nulle, 62 Dérivation d’une série de Fourier, 62 Dérivée de la masse de Dirac, 63 Peigne de Dirac, 63 Formule de Poisson, 63 Translatée d’une fonction et d’une distribution, 64 Distribution périodique, 64 Croissance lente (suite à ), 64 Décroissance rapide (de coefficients de Fourier), 65 Unicité des coefficients de Fourier d’une distribution, 65 Fonctions tests pour Fourier, 65 Partition périodique de l’unité , 65 Espace de Sobolev périodique, 66 Coefficients de Fourier d’une dérivée, 66 Régularité des fonctions de H_{per}^{m}, 67 Espaces de Hilbert H_{per}^{m}, 67 Elastique chargé , 67 Espace de Sobolev, 69 Continuité des fonctions de W^{1,p}, 69 Continuité aux extrémités des fonctions de W^{1,p}, 70 Espace W^{1,p}(I), 70