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%rappel : \overline{cequ'onveut}
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\begin{document}
\noindent {\bf Examen de Licence de Math\e matiques, Ecole Normale Sup\e rieure
de Cachan.  Analyse Fonctionnelle, Janvier 2000.}  {\it Dur\e e : quatre heures.
Polycopi\ea et notes autoris\e s.  
Attention \a la pr\e cision des r\e ponses.}
\newline\newline
\noindent
{\bf Partie I}\newline
Propri\e t\e s de convergence (tr\ee s faibles) d'une suite born\e e de $L^1([0,1])$,
intervalles dyadiques et martingales. 
\newline
\newline
On consid\ee re une
suite $f^l \in L^1([0,1])$ telle que $$f^l\geq 0, \;\; \int_{[0,1]} f^l(m)dm\leq C.$$
\newline\newline
1) On consid\ee re les intervalles dyadiques de $[0,1]$,
$$I_{N,k} = [k2^{-N}, (k+1)2^{-N}[, \;\; N\in \natural, \; k\in \natural,
0\leq k2^{-N}\leq (k+1)2^{-N}\leq 1$$
On pose, pour tout $N\in \natural$ et tout $m\in [0,1]$,
$$f_N^l(m) =2^N \int_{I_{N,k}} f^l(n) dn\; \hbox{ si } m\in
I_{N,k}.$$
$f_N^l$ s'appelle la moyenne de $f^l$ \a l'\e chelle $N$. Par un proc\e d\ea
d'extraction diagonale,
montrer que l'on peut extraire de $f^l$ une sous-suite, que nous noterons
encore $f^l$ par commodit\e , et telle que
$$\forall (N,k),\; \; \forall m\in I_{N,k}, \;\; f_{N}^l(m)\to f_N(m).$$
2) Ceci nous d\e finit une suite $f_N$ de fonctions, chacune est
 constante par morceaux
sur les $I_{N,k}, 0\leq k\leq 2^{N}-1$.
Montrer que
$$f_N(m) =2^N \int_{I_{N,k}} f_{N+1}(n)dn$$
si $m\in I_{N,k}$,
$$f_N\geq 0, \;\; \int f_N =Cte$$
En d\e duire que les $(f_N)_N$ forment une martingale born\e e pour une suite de
tribus emboit\e es
de $[0,1]$ que l'on pr\e cisera.
\newline\newline
3) Conclure qu'il existe $f\in L^1$ telle que $f_N\to f$ presque partout.
Montrer que
$\int f dm\leq \int f_N dm.$
\newline\newline
4) Donner un exemple de suite born\e e $f^l\in L^1([0,1])$ telle que
$f^l$ ne converge pas dans $L^1$ et calculer explicitement une sous-suite
permettant de d\e finir
$f_N$, puis $f$.
\newline
\newline
\newline
{\bf Partie II}
\newline D\e finition d'une barre \e lastique de longueur $L$.  On suppose une telle
barre suffisamment fine pour que l'on puisse assimiler sa position \a une courbe de l'espace
$\real^2$.  Ses extr\e mit\e s sont fix\e es en $y_0$ et $y_1$, points de $\real^2$.
On suppose toujours que $L\geq \vert y_0-y_1\vert$. 
Chaque point de la barre est associ\ea \a  son abcisse curviligne $s$ le long de la 
barre.  Aussi, on le note $x(s)$, avec $x(0)=y_0$, $x(L)=y_1$.  Dans toute la suite,
on dira qu'on a d\e fini une barre  $x(s)$ de longueur $L$, si on s'est donn\ea
une application $x\in L^1(0,1)$,
$s \in [0,L]\to  x(s)\in\real^2$ dont
 les d\e riv\e es premi\ee re et seconde au sens des distributions satisfont
$$\vert x'(s)\vert =1$$
$$x''\in L^2([0,L]).$$
(On pose $x=(x_1, x_2) \in \real^2$ et $\vert x\vert$ d\e note 
la norme euclidienne de $x\in \real^2$).
L'\e nergie de flexion de la barre est d\e finie par 
$$E(x) = \int_{[0,L]} \vert x''(s)\vert^2 ds.$$
\newline\newline
a)
D\e montrer que si son \e nergie est nulle, alors la barre est droite.
\newline
\newline
b) On consid\ee re la barre "rompue", de longueur $2\sqrt 2$, d\e finie par
$$y_0 =(-1,0), \;\; y_1=(1,0),$$
$$x(s) =y_0 +\frac s{\sqrt 2}(1,1) \hbox{  pour  } s\in[0,\sqrt 2],$$
$$x(s)= (0,1) + \frac{s-\sqrt 2}{\sqrt 2}(1,-1) \hbox { pour  } s\in [\sqrt 2,
\sqrt 2].$$
Calculer $x'$ et $x''$ et en d\e duire que l'\e nergie $E(x)$ est infinie.
\newline
\newline
c) On consid\ee re $W^{2,2}(0,L)=\{x\in L^2(0,L),\; x'\in L^2, \; x''\in L^2.\}.$
  Trouver des constantes $c_1$ et $c_2$ (d\e pendant de $y_0$, $y_1$)  telles que pour toute barre de longueur 
  $L$,
$$ \vert\vert x\vert\vert^2_{W^{2,2}}\leq c_1 E(x) +c_2$$
\newline
\newline
d) Si $x\in W^{2,2}$, montrer que 
$$\sup_{[0,L]} \vert x'\vert \leq C_1(E(x))^\frac 12 +\vert x'(0)\vert
$$
et que 
$$\vert x'(s)-x'(t)\vert \leq C_2\vert s-t\vert^\frac 12.
$$
Pr\e ciser $C_1$ et $C_2$. En d\e duire que toute barre est $C^1$.
\newline
\newline
e) Interpr\e tation g\e om\e trique : montrer que si $x$ est une barre et de plus $C^2$, $x''(s)$ est la 
courbure de la barre, c'est-\a -dire, au signe pr\ee s,
 l'inverse du rayon du cercle osculateur.
 \newline
 \newline
f) Soit $x^n$ une suite de barres de longueur $L$ telles que $E(x_n)\leq C$,
$x_n(0)=y_0,$ $x_n(1)=y_1$.  Montrer qu'il existe une sous-suite, not\e e encore
$x_n$ par commodit\e , qui converge vers une barre $x$ au sens suivant :
$$\exists x\in W^{2,2}(0,L),\; x_n\to x \hbox { dans } L^\infty, \; x'_n\to x' 
\hbox { dans } L^\infty, \;
x_n''\to x \hbox { dans }L^2 \; \hbox{faiblement}.$$
En d\e duire que $\vert x'\vert =1$, que donc la longueur de la barre est bien $L$
et que $$E(x) \leq \lim\inf E(x_n).$$
\newline
\newline
g) Soit une forme lin\e aire $f$ continue sur $W^{2,2}$.
Montrer qu'une telle forme lin\e aire continue est aussi une distribution.
\newline
\newline
h) Montrer que l'on peut prendre pour $f$ une masse de Dirac
 $f(x) =a x_1(s_0)+bx_2(s_0)$ et aussi la 
d\e riv\e e d'une masse de Dirac, $f(x) =a x_1'(s_0)+bx_2'(s_0)$
\newline
\newline
i) Montrer  que le minimum de $E(x)-f(x)$ est 
atteint : on considérera une "suite minimisante" $x_n$ pour la pr\e c\e dente
\e nergie et on montrera qu'elle a une sous-suite convergente, en un sens que 
l'on pr\e cisera.
\newline
\newline
j) Montrer par un exemple simple que le minimum de la précédente énergie
 n'est pas nécessairement atteint
pour une position unique de la barre.
\newline
\newline
k) On minimise maintenant l'\e nergie $E(x)-f(x)$ pour 
$x$ quelconque dans $W^{2,2}$ tel que $x(0)=y_0$, $x(L)=y_1$. Montrer que l'on a, au sens des distributions, 
$2x''''-f=0.$
\newline
\newline
l) Calculer explicitement une solution du probl\ee me k) dans le cas o\u  les extr\e mit\e s de la barre 
sont fixes en $(0,0)$ et $(1,0)$, o\u $L=2$ et o\u
$f(x) = x_2(\frac L2)$ repr\e sente une \e nergie potentielle
de chargement au centre de la barre. (On pose $x(s) =(x_1(s), x_2(s))$.
\newline
\newline
m) Donner l'interpr\e tation physique (quel type de contrainte est exerc\ea sur 
la barre) d'une \e nergie potentielle du type $f=x_1'(\frac L2)$.
\newline
\newline
\newline
{\bf Partie 3}\newline
Dans cette partie, on mod\e lise un mat\e riau laminaire, form\ea de plaques 
minces \e lastiques qui peuvent glisser les unes sur les autres 
avec un frottement n\e gligeable. Exemple : un cahier \a couverture souple. On va s'int\e resser
\a des d\e formations du cahier  que l'on applique par la tranche sur  une table.

On d\e crit les trois dimensions comme suit :
 chaque feuille, infiniment mince, est de "num\e ro" $m\in M$.
On suppose que chaque feuille se d\e forme de mani\ee re cylindrique, chaque coupe
transversale donnant le m\eee me profil.  La longueur des feuilles n'est donc 
pas une donn\e e utile et on d\e crit les feuilles uniquement par leur profil.
Chaque feuille est de largeur $L$ et on param\ee tre les points d'un profil de
 la feuille par 
leur abcisse curviligne $s\in [0,L]$.  L'\e nergie de flexion de chaque feuille
\e tant nulle en longueur (puisque dans cette direction les feuilles sont droites), 
l'\e nergie \e lastique des feuilles est donn\e e est \e quivalente \a celle 
de leur profil.
On donne donc l'\e nergie pour chaque feuille
$$f(m) =E(x(m))=\int_0^L \vert x''(m,s)\vert ^2ds,$$
o\u  $s\to x(m,s)$ est le profil de la feuille, dont le comportement est \e quivalent 
\a celui d'une barre \e lastique.
On appelle $x=x(m,s)$ le cahier, i.e. cette collection finie ou infinie de barres \e lastiques, 
et on d\e finit son \e nergie par 
$$E(x) =\sum_{m \in M} f(m).$$
Notre but est de montrer l'existence d'une position d'\e quilibre, i.e. d'une 
position commune des feuilles où l'\e nergie soit minimale quand on assigne pour 
chaque feuille la position de ses deux bords correspondant \a $s=0 $ et $s=1$.
On impose donc : 
$$\forall m, \; x(m,0)=x_0(m),\;\; x(m,1) =x_1(m).$$
\newline
\newline
a) Dans toute la suite, on suppose qu'il existe au moins une configuration
des feuilles qui soit d'\e nergie finie et telle que les contraintes de bord 
pr\e c\e dentes soient respect\e es. Remarquer que la construction math\e matique 
d'une telle configuration n'est pas imm\e diate si le nombre des feuilles est 
infini puisque,
 les feuilles se repoussant les unes les autres, il faut trouver une disposition
 commune qui reste d'\e nergie finie. 
On consid\ee re une suite minimisante
$x^l$ telle que $E(x^l)\to \inf E(x)$.  On se propose d'extraire de 
$x^l$ une sous-suite convergeante vers une configuration d'\e nergie minimale 
$x$ pour le cahier.
Montrer d'abord que si $M$ est fini (nombre fini de feuilles), on peut 
reprendre  les arguments de la deuxi\ee me partie et conclure
\a l'existence d'une position commune des feuilles qui soit d'\e nergie minimale.
\newline
\newline
b) Montrer que si les feuilles  sont en nombre d\e nombrable ($m\in \natural$)
 on peut 
encore, par un proc\e d\ea d'extraction diagonale, s'assurer l'existence 
d'un cahier limite $x$ tel
que
$$x^l(m) \to x(m)$$
dans $C^1(0,L)$, que $$E(x(m))\leq \lim\inf E(x^l(m)),$$ et finalement que
$$E(x)=\sum_m E(x(m))\leq \lim\inf E(x^l).$$
(Justifier chacun des passages !).
\newline\newline
c) On suppose maintenant que $m\in [0,1]$, un continuum de feuilles minces.
On suppose que les contraintes de bord $x_0(m)$ et $x_1(m)$ sont continues 
sur $[0,1]$.  Soit $x^l(m)$ une suite minimisante, i.e. telle que 
$$E(x^l)=\int_{[0,1]} f^l(m)dm\to \inf_x E,$$
l'infimum \e tant pris sur tous les cahiers v\e rifiant les contraintes de bord.
On a pos\e , comme pr\e c\e demment, 
$$f^l(m)=E(x^l(m)) = \int_{[0,L]}\vert x''(m,s)\vert ^2 ds.$$
On reprend tels quels les notations et r\e sultats de la partie I. On peut 
supposer que 
$$\forall (N,k), \; 2^N\int_{I_{N,k}}f^l(m)dm=f_N^l(m)\to f_N(m) \hbox{ si } m\in 
I_{N,k}.$$
\newline
\newline
c)
Montrer qu'il existe au moins une feuille $m_{N,k}^l\in I_{N,k}$ telle que
$$f^l(m^l_{N,k})=E(x(m^l_{N,k}))\leq 2^N\int_{I_{N,k}}f^l(m)dm.$$
\newline
\newline
d) Par un nouveau proc\e d\ea d'extraction diagonale, montrer que l'on peut supposer
que pour tout $N,k$, la feuille $x(m^l_{N,k})$ converge vers une
feuille limite $x(m_{N,k})$, que l'on a  
$$f(m_{N,k})=E(x(m_{N,k}))\leq 2^N\int_{I_{N,k}}f(m)dm=f_N(m_{N,k}).$$
et que les feuilles $x(m_{N,k})$ ne se croisent pas entre elles.
\newline
\newline
e) Pour tout $m\in M$, on consid\ee re la suite unique d'intervalles 
$I_{N,k(N)}$ contenant $m$. On associe \a $m$ une nouvelle feuille, d\e finie
de la mani\ee re suivante : on consid\ee re les feuilles $x(m_{N,k(N)})$
d\e finies en question d) et on remarque que 
$$E(x(m_{N,k(N)}))\leq f_N(m_{N,k(N)})=f_N(m)\to f(m)$$
pour presque tout $m$ (en vertu de la partie I).
Comme la suite de feuilles $x(m_{N,k(N)})$ est donc pour presque tout $m$ 
d'\e nergie born\e e, on en extrait une sous-suite convergente vers une
feuille $x(m)$. De plus, $E(x(m))\leq f(m).$
D\e montrer que si $m_1 \neq m_2$, alors $x(m_1)$ et $x(m_2)$ ne se croisent pas
(mais peuvent se toucher).
\newline\newline
f) Conclure : le "cahier" $x(m)$, d\e fini pour presque tout $m$, v\e rifie
 $E(x(m))\leq f(m)$ pour presque tout $m$ et donc 
 $$E(x)\leq \int_{[0,1]}f(m)dm\leq \lim\inf\int f^l(m)dm=\lim E(x^l)=\inf_x E,$$
 et $x$ est bien une configuration d'\e nergie minimale !






\end{document}