


\documentstyle[11pt]{book}
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\def\R\'esum\'e{\small\noindent\bf R\'esum\'e. \rm}
\def\Abstract{\small\noindent\bf Abstract. \rm}

\def\nin{\not\in}                 % la negation de \in
\def\indic{1\!\!1}                % fonction indicatrice
\def\levelset{\chi}           % la surface de niveau
\def\meas{\mathop{\rm meas}}      % mesure de
\def\setB{\SetB}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%\RR
\def\real{I\!\!R}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\def\NN{I\!\!N}
\def\relative{{\bf Z}}
\def\QQ{{\bf Q}}
\def\complex{{\bf C}}
\def\mes{\hbox{mes}}
\def\sin{\hbox{sin}}
\def\cos{\hbox{cos}}
\def\interieur{\hbox{\rm Int\'{e}rieur}}
\def\signe{\hbox{\rm Signe}}
\def\vect{\hbox{\rm Vect}}
\def\Re{\hbox{\rm Re}}
\def\support{\hbox{\rm Support}}
\def\supp{\hbox{\rm Support}}

\def\fb&{\begin{equation}}
\def\fe&{\end{equation}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ajouts sylvie
\newcommand{\ep}{\varepsilon}
\newcommand{\Om}{\Omega}
\newcommand{\om}{\omega}
\newcommand{\vfi}{\varphi}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\newcommand{\psieps}{\psi_{\varepsilon}}
\newcommand{\grad}{\nabla}
\newcommand{\Ep}{E^{\prime}}
\newcommand{\vois}{{\cal V}(x)}
\newcommand{\lun}{{\ell}^1}
\newcommand{\linf}{{\ell}^{\infty}}
\newcommand{\Epp}{E^{\prime \prime}}
\newcommand{\Linf}{L^{\infty}}
\newcommand{\Di}{{\cal D}^{\prime}} 
\newcommand{\DD}{{\cal D}}
\newcommand{\Lun}{L_{loc}^1} 
\newcommand{\feps}{f_{\varepsilon}}
\newcommand{\Ld}{L^2(I)}
\newcommand{\Hun}{H^1(I)}
\newcommand{\Huno}{H^1(0,1)}
\newcommand{\Hnul}{H_0^1(I)}
\newcommand{\Hnulo}{H_0^1(0,1)}  

% ensembles Q R N Z C indicatrice polynomes
\gdef\PP{\hbox{\rm I\kern-.25em\hbox{P}}}
\gdef\ind{\hbox{\rm I\kern-.25em\hbox{I}}} 
\gdef\RR{\hbox{\rm I\kern-.25em\hbox{R}}}
\gdef\NN{\hbox{\rm I\kern-.25em\hbox{N}}}
\gdef\LLI{\hbox{\rm I\kern-.25em\hbox{L}}}
\gdef\ZZ{{\sl Z\hskip -1ex Z} }
\gdef\CC{\rm \hbox{C\kern-.56em\raise.4ex
         \hbox{$\scriptscriptstyle |$}\kern+0.5 em }}
\gdef\QQ{\rm \hbox{Q\kern-.35em\raise.4ex
         \hbox{$\scriptscriptstyle |$}\kern+0.5 em }}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%rappel : \overline{cequ'onveut}
\newtheorem{thf}{Th\e or\ee me}[chapter]
\newtheorem{cor}{Corollaire}[chapter]
\newtheorem{pro}{Proposition}[chapter]
\newtheorem{Def}{D\e finition}[chapter]
\newtheorem{lem}{Lemme}[chapter]
\newtheorem{exa}{Exemple}[chapter]

\newtheorem{rem}{Remarque}[chapter]%  remarque 
\def\drem{\begin{rem}\rm}%  sans
\def\frem{\end{rem}}%      		italique !

\newtheorem{exo}{Exercice}[chapter]
\newtheorem{propr}{Propri\e t\e}[chapter]

\newtheorem{Exer}{Exercice}[chapter]  %Exercice
\def\dexer{\begin{Exer}\rm}    %sans
\def\fexer{\end{Exer}}        %italique !

\def\skipaline{\vspace{4 mm}\noindent}

\def\fb& {\begin{equation}}       % debut d'une equation
\def\fe& {\end{equation}}         % fin d'une equation
\def\enddemo{\hfill $\large\circ$ \newline\newline}     % fin de preuve
\def\Varphi{{\bf \varphi}}
\def\e {\'{e}}
\def\ee {\`{e}}
\def\eee {\^{e}}
\def\e {\'{e}}
\def\ea {\'{e} }
\def\ee {\`{e}}
\def\eee {\^{e}}
\def\a {\`{a} }
\def\aa {\^{a}}
\def\ii {\^{\i}}
\def\iii {\"{\i}}
\def\ccaadd{ c'est-\`{a}-dire }
\def\u {\`{u} }
\def\uu {\^{u}}
\def\oo {\^{o}}
\def\ooo {\"{o}}

%\newcommand\contentsname{Table des Mati\ee res}
%\newcommand\chaptername{Chapitre}
%\newcommand\today{\ifcase\month\or
%  Janvier\or F\'{e}vrier\or Mars\or Avril\or Mai\or Juin\or
%  Juillet\or Ao\^{u}t\or Septembre\or Octobre\or Novembre\or D\'{e}cembre\fi
%  \space\number\day, \number\year}


%rappel pour la c\e dille : fran\c cais
\def\indexentry#1#2{\noindent #1, #2 \newline}
\makeindex
\begin{document}
\title{Notes du cours d'analyse, ENS Cachan premi\ee re ann\e e}
\author{Jean-Michel Morel}
\maketitle
\tableofcontents
%\listoftables
%\listoffigures
%\noindent{\bf Notes du cours d'analyse, ENS Cachan premi\ee re ann\e e.}

 \vskip 1.5em
\newpage
\noindent{\bf Trait\e s recommand\e s :}
\newline
\newline
H. Brezis, Analyse fonctionnelle, Masson, 1983.
\newline
J.M. Bony, Cours d'analyse de l'Ecole Polytechnique, Ecole Polytechnique, 1994
(polycopi\e ).
\newline
G. Choquet, Cours de Topologie, seconde \'edition, Masson, 1992.
\newline
T.W. K\ooo rner, Fourier Analysis, Cambridge University Press, 1988.
\newline
J. Neveu,  Bases math\e matiques du calcul des probabilit\e s, Masson, 1970.
\newline
W. Rudin, Real and complex analysis, Mc-Graw-Hill, 1966, traduction fran\c caise
Masson 1980.
\newline
W. Rudin, Functional Analysis, Mc-Graw-Hill, 1980.
\newline
\newline
\noindent{\bf Autres sources}
\newline
\newline
F. H\e lein, Notes de cours, ENS Cachan, 1996 (manuscrit).
\newline
Y. Meyer, cours de DEA ondelettes 94-97 (manuscrits).


\chapter{Les Th\e or\ee mes de s\e paration de Hahn-Banach}

\begin{Def} Un espace de Banach est un espace vectoriel sur $\RR$, norm\e ,
complet. \index{Espace de Banach}
\end{Def}

\noindent Exemples : $\RR^N$, $\complex^N$, $l^p$, $1\leq p\leq +\infty$, 
$l^p=\{a=(a_i)_{i\in\NN}, a_i\in \RR,
\sum_{i=0}^{\infty}|a_i|^p<\infty\}$,
$C^0(\RR^N)$, espace des fonctions continues tendant vers z\e ro \a l'infini.
Si $E$ est un espace vectoriel muni d'un produit scalaire non d\e g\e n\e r\ea
$<x,y>$, il est alors norm\ea par $||x|| = \sqrt{<x,x>}$.  On dit alors que $E$
est pr\e hilbertien.  Si de plus il est complet, on dit que c'est un espace de
Hilbert.  Exemple canonique : $l^2$.

\begin{thf}{\bf de Hahn-Banach.}\label{hahn-banach}\index{Hahn-Banach (Th\e
or\ee me)}  Soit
$E$ un espace vectoriel norm\e . Soit
$G$ un sous-espace vectoriel de $E$ et $g:G\to \RR$ une application lin\e aire
continue de norme $$||g||_{G'}=\sup_{x\in G, ||x||\leq 1} g(x).$$  Alors il existe
$f\in E'$, le dual topologique de $E$, qui prolonge $g$ et telle que
$||f||_{E'}=||g||_{G'}.$
\end{thf}
Exercice : le montrer en dimension finie.
\begin{Def} {\bf (Zorn.)}
Soit $P$ un ensemble muni d'une relation d'ordre partiel not\e e $\leq$.  On dit
que $Q\subset P$ est totalement ordonn\ea  si $\forall a, b \in Q$, $a\leq b$ ou 
$b\leq a$.  On dit que $c\in P$ est un majorant de $Q\subset P$ si $\forall a \in
Q$, $a\leq c$.  On dit que $m\in P$ est maximal si $\forall x\in P$ tel que $m\leq
x$, alors $m=x$.  On dit que $P$ est inductif si tout sous-ensemble totalement
ordonn\ea de $P$ admet un majorant.
\end{Def}

\begin{lem} {\bf de Zorn.}\index{Lemme de Zorn}
Tout ensemble ordonn\e , inductif et non vide admet un \e l\e ment maximal.
\end{lem}

\begin{thf} \label{hahn-banachanalytique}\index{Hahn-Banach (version
analytique)}{\bf de Hahn-Banach (version analytique)} Soit $p : E\to \RR^+$ 
une application v\e rifiant
$\forall
\lambda>0,
\forall x\in E, p(\lambda x) = \lambda p(x)$ et $\forall x, y \in E, p(x+y)\leq
p(x)+p(y)$.  Soit $G\subset E$ un sous-espace vectoriel et soit $g : G\to \RR$
une application lin\e aire telle que $g(x)\leq p(x), \forall x\in G.$  Alors il
existe une forme lin\e aire $f$ sur $E$ qui prolonge $g$, i.e.
$g(x)=f(x), \forall x\in G$, $f(x)\leq p(x), \forall x\in E$.
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
On consid\ee re 
\newline $P=\{h : D(h)\to \RR, D(h) \hbox{ s.e.v. de } E, h \hbox{
lin\e aire }, G\subset D(h), \; h \hbox{  prolonge } g \hbox{ et } h(x)\leq p(x), 
\; \forall x \in D(h). \}.$\newline  $P$ est muni de la relation d'ordre 
$$h_1\leq h_2 \Leftrightarrow [ D(h_1)\subset D(h_2) \hbox{ et } h_2 \hbox{ 
prolonge
} h_1].$$
On v\e rifie que $P\neq \emptyset$ car $g\in P$, que $P$ est inductif car si
$Q\subset P$ est un sous-ensemble totalement ordonn\e , alors $D(h_1)=
\bigcup_{h\in Q} D(h)$ et $h_1(x) = h(x) $ si $x\in D(h)$ est un majorant pour
$Q$.  Donc, d'apr\ee s le lemme de Zorn, il existe un \e l\e ment maximal que
l'on appelle $f$.  On va v\e rifier que $D(f)=E$.  Sinon, il existerait
$x_0\notin D(f)$.  Posons $D(h) = D(h) + \RR x_0$ et $\forall x\in D(f)$, 
$h(x+tx_0) = f(x) + t\alpha$, $\alpha \in \RR$.  Alors $h$ est un prolongement
de $f$ et si on arrive \a trouver $\alpha$ tel que $h(x)\leq p(x), \forall x
\in D(h)$, on aura $f\leq h$ en contradiction avec la maximalit\ea de $h$.
Il faut choisir $\alpha \in \RR$ en sorte que 
$$\forall x\in D(f),\forall t\in \RR,\; h(x+tx_0) = f(x) + t\alpha \leq
p(x+tx_0).
$$
Cela revient \a chercher $\alpha$ tel que
$$\forall x \in D(f),\;\forall t>0, \; \; f(x) + t\alpha \leq p(x+tx_0), \;\;
f(x)-t\alpha
\leq p(x-tx_0).$$
On cherche donc s'il existe $\alpha$ tel que 
$$\forall x\in D(f),\forall t>0, \;\; \frac{f(x) -p(x-tx_0)}t \leq \alpha \leq
\frac{p(x+tx_0) -f(x)}t,
\hbox{ ou encore :}$$
$$[\sup_{x\in D(f), t>0}\frac{f(x)-p(x-tx_0)}t, \inf_{x\in
D(f), t'>0}\frac{p(x+t'x_0)-f(x)}t]\neq
\emptyset, 
\hbox{ce qui veut dire}$$
$$\forall x, y \in D(f), \forall t,t'>0, \; t'f(y)-t'p(y-tx_0)\leq
tp(x+t'x_0)-tf(x),\hbox { ou encore }$$
$$\forall x, y \in D(f),  \forall t,t'>0, \; tf(x)+t'f(y)\leq
tp(x+t'x_0)+t'p(y-tx_0).  \hbox{ Or,}$$
$$tf(x)+t'f(y) = f(tx+t'y) \leq p(tx+t'y) \leq p(tx+tt'x_0) +
p(t'y-tt'x_0) = tp(x+t'x_0) +t'p(y-tx_0).$$

\enddemo
\paragraph{D\e monstration du th\e or\ee me \ref{hahn-banach}.}
On consid\ee re $p(x) = ||g||_{G'}||x||$.  On v\e rifie que 
$p$ satisfait les hypoth\ee ses du th\e or\ee me \ref{hahn-banachanalytique}. Donc
en appliquant le th\e or\ee me
\ref{hahn-banachanalytique}, on construit  $f$ prolongeant $g$ avec 
$\forall x, \; f(x)\leq ||g||_{G'}||x||$.  Donc, $||f||_{E'}\leq ||g||_{G'}.$
\enddemo
\begin{cor} \label{applicationdedualite}\index{Dualit\ea (application de)}
(application de "dualit\e ").  Si E est un espace vectoriel norm\e , il existe
pour tout $x\in E$ une forme lin\e aire
$f\in E'$ telle que $||f_0|| = ||x_0||$ et $f(x_0) = ||x_0||^2$.
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration} Prendre  
$G = \RR x$, $g(tx) = t||x||^2,$ de sorte que 
$||g||_{G'}=||x||$. 
\enddemo
\begin{exo} 
Montrer le corollaire pr\e c\e dent directement quand $E$ est de dimension finie
et euclidien.  Regarder \e galement le cas $E=\RR^N$ muni de la norme
$||x||_p = (|x_1|^p+...+|x_N|^p)^\frac 1 p.$
\end{exo}
%Remarque  : si $E'$ est strictement convexe, $f$ est unique
% et l'application $x\to f$ est appel\e e application de dualit\e . 
\begin{cor} \label{normepardualite}\index{Norme par dualit\ea } Soit $E$ un
espace vectoriel norm\e .  Alors
$$||x||= \sup_{f\in E',\; ||f||\leq 1} |f(x)| = \max_{f\in E', \; ||f||\leq
1}|f(x)|.$$
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
En effet, l'in\e galit\ea ($||x||\geq f(x)$ si $||f||\leq 1$) est imm\e diate et
l'\e galit\ea est obtenue gr\aa ce
\a l'application de dualit\ea  (corollaire \ref{applicationdedualite}). 
\enddemo
\begin{Def}
Un hyperplan affine est un ensemble de la forme
$$H=\{x\in E, \; f(x) = \alpha\},$$
o\u $f$ est une forme lin\e aire sur $E$, non identiquement nulle, et $\alpha\in
\RR$.
\end{Def}

\begin{pro}
L'hyperplan d'\e quation $f=\alpha$ est ferm\ea si et seulement $f$ est continue.
\end{pro}

\paragraph{D\e monstration}
Si $f$ est continue, alors $H=f^{-1}(\alpha)$ est un ferm\e . R\e ciproquement,
supposons $H$ ferm\e .  Soit $x_0\in H^c$.  Supposons pour fixer les id\e es que 
$f(x_0)<\alpha$. Alors, puisque $H^c$ est ouvert, il existe $r>0$, tel que
$B(x_0,r) = \{x\in E, ||x-x_0||<r\} \subset H^c$, et on va en d\e duire que 
$$\forall x\in B(x_0, r), \; f(x)<\alpha.$$
En effet, si on avait un point $x_1$ de la boule o\u  $f(x_1)\geq \alpha$, on
trouverait par interpolation, $f$ \e tant lin\e aire, un point $x$ du segment 
$[x_0,
x_1]$ o\u
$f(x)=\alpha$, en contradiction avec $B(x_0,r)\subset H^c$.
Finalement, $\forall x\in B(x_0,r), \;f(x)<\alpha$ et donc
$$\forall z\in B(0,1), \; f(x_0) + rf(z)<\alpha, \hbox{ soit }$$
$$\forall z\in B(0,1), \;  f(z) \leq \frac {\alpha - f(x_0)}{r}.$$
Cela entra\ii ne  $||f||\leq \frac {\alpha-f(x_0)}{r}$, et donc que $f$ est
continue. 
\enddemo

\begin{Def}
Soit $E$ un espace vectoriel norm\ea et  $A, B \subset E$. On dit que l'hyperplan
$H$ d'\e quation $f(x)=\alpha$ s\e pare $A$ et $B$ au sens large si 
$$f(x)\leq \alpha, \; \forall x \in A\; \; \hbox{ et } \; 
f(x)\geq \alpha, \forall x \in B.$$
On dit que $H$ s\e pare $A$ et $B$ au sens strict si 
$$\exists \varepsilon >0, \;\;f(x)\leq \alpha -\varepsilon, \; \forall x \in A\; \;
\hbox{ et }
\;  f(x)\geq \alpha + \varepsilon, \forall x \in B.$$


\end{Def}\index{Th\e or\ee me de Hahn-Banach g\e om\e trique}

\begin{thf}\label{hahn-banachgeometrique}\index{Hahn-Banach (version g\e
om\e trique)} {\bf de Hahn-Banach (version g\e
om\e trique)} Soit $E$ un espace vectoriel  norm\ea et $A, B\subset E$ deux
ensembles convexes non vides et disjoints.   On suppose que $A$ est ouvert. 
Alors il existe un hyperplan ferm\ea  qui s\e pare $A$ et $B$ au sens large.
\end{thf}

\begin{lem} \label{jauge}\index{Jauge d'un convexe}
Soit $C\subset E$ un convexe ouvert, avec $0\in C$.  Pour tout $x\in E$, on pose
$p(x) = \inf\{\alpha >0, \; \frac x {\alpha} \in C\}$.  On dit que $p$ est la jauge
de
$C$. Alors $p$ v\e rifie $\forall \lambda >0,\;p(\lambda x) = \lambda x,$ 
l'in\e galit\ea triangulaire $p(x+y)\leq p(x)+p(y)$ et
\newline (i) $\exists M, 0\leq p(x) \leq M ||x||, \forall x \in E$.
\newline (ii) 
$C = \{x\in E, \; p(x) <1\}.$
\end{lem}
\paragraph{D\e monstration}
  On a imm\e diatement 
$p(\lambda x) = |\lambda| p(x).$  Montrons l'in\e galit\ea triangulaire 
$p(x+y)\leq p(x)+p(y)$ pour $x$ et $y$ dans $E$.  Elle d\e coule de la
convexit\ea de $C$.  On a
\e videmment
$\tilde x =\frac {x}{p(x)+\varepsilon}\in C$ et $\tilde y=\frac 
{y}{p(y)+\varepsilon
}\in C$. Puisque 
$C$ est convexe, on a donc
$\frac{p(x)+\varepsilon}{p(x)+p(y)+2\varepsilon}\tilde x +
\frac{p(y)+\varepsilon}{p(x)+p(y) + 2\varepsilon} \tilde y \in C$, \ccaadd
$$z=\frac {x+y}{p(x)+p(y) + 2\varepsilon} \in C.$$
Mais $z\in C \Rightarrow p(z)\leq 1$.   Donc 
$$p(x+y) \leq p(x) + p(y) + 2\varepsilon,$$
ce qui prouve l'in\e galit\ea triangulaire.
\newline
Montrons maintenant (i).  Comme $C$ est ouvert et $0\in C$, il existe $r>0$ tel 
que  $B(0,r)\subset C$.  Donc $\forall x\neq 0$, $r \frac {x}{||x||} \in C$ et
donc 
$p(x) \leq \frac {||x||}r.$
Terminons en montrant (ii), $C= \{x\in E,\; p(x)<1\}$.  Si $x\in C$, comme $C$ est
ouvert, $\exists \varepsilon, \; (1+\varepsilon) x \in C$. Donc 
$p(x) \leq \frac 1 {1+\varepsilon}<1$.   R\e ciproquement, si $p(x)<1$, $\exists 
\alpha, \; 0\leq p(x) <\alpha <1$, et donc $\frac x \alpha \in C$. Comme $C$ est
convexe et que $x$ appartient au segment $[0, \alpha x]$ il est aussi dans $C$.

\enddemo
\begin{exo} Montrer la r\e ciproque du th\e or\ee me pr\e c\e dent : si $p:E\to
\RR^+$ est une application v\e rifiant $p(\lambda x) = \lambda x$, $\lambda>0$,
$p(x+y)\leq p(x)+p(y)$, la relation (i), $\exists M, 0\leq p(x) \leq M ||x||$,
alors 
$C = \{x\in E, \; p(x) <1\}$ est un convexe ouvert contenant 0 dont $p$ est la
jauge.
\end{exo}
\begin{lem}\label{separationpointconvexe}\index{S\e paration (d'un point et
d'un convexe)} Soit $E$ un espace vectoriel norm\ea , $C\subset E$ un
convexe ouvert non vide et
$x_0\in E$,
$x_0\notin C$. Alors 
$\exists f\in E'$, $f(x)<f(x_0), \forall x \in C$.  En particulier, l'hyperplan
$\{x, f(x) = f(x_0)\}$ s\e pare $x_0 $ et $C$ au sens large. 

\end{lem}
\paragraph{D\e monstration}
On peut toujours se ramener au cas o\u $0\in C$ et introduire la jauge $p$ de $C$.
On consid\ee re $G=\RR x_0$, et $g : \; \RR x_0 \to \RR$ d\e finie par
$tx_0 \to t$, de sorte que $g(x_0)=1$.  Comme $x_0\notin C$, on a  $g(x)\leq p(x),
\forall x
\in G$. En effet,
$x_0
\notin C\Leftrightarrow p(x_0)\geq 1$ et si $t\geq 0$, $g(tx_0)-p(tx_0) =
t(1-p(x_0))\leq 0$. Si $t<0$, $g(tx_0)<0\leq p(tx_0).$  On applique le th\e or\ee
me de Hahn-Banach \a $g$.  Il existe $f$ lin\e aire sur $E$ qui prolonge $g$, telle
que
$f(x)\leq p(x), \forall x\in E$.  En particulier, $f(x_0) = 1$ et $f$ est continue
car $f(x)\leq p(x)\leq M||x||$, $C$ \e tant ouvert (Lemme \ref{jauge}(i)).
Finalement,
$f(x)\leq p(x)<1$ pour tout
$x$ dans
$C$ en vertu du Lemme \ref{jauge}-(ii).


\paragraph{D\e monstration du th\e or\ee me \ref{hahn-banachgeometrique}}
On pose $C = A-B$ qui est un convexe ouvert car $A-B=\bigcup_{y\in B}(A-y)$ est une
union d'ouverts. Comme
$0\notin C$, car $A\cap B = \emptyset$, on utilise le lemme
\ref{separationpointconvexe} pour s\e parer $C$ et $0$. Donc 
$$\exists f\in E', \; f(z)< 0, \forall z\in C, \hbox{ soit }$$
$$f(x)<f(y), \forall x\in A, y\in B.$$
On choisit $\alpha \in [\sup_{x\in A}f(x), \inf_{x\in B}f(x)]\neq \emptyset$
et $H=\{x, f(x)=\alpha\}$ s\e pare $A$ et $B$.
\enddemo


\begin{thf} {\bf de Hahn-Banach, version ferm\e -compact.}\index{Hahn-Banach,
version ferm\e -compact.}
\label{hahn-banachfermecompact} Soit $E$ un espace vectoriel norm\ea et $A\subset
E$,
$B\subset E$, deux sous-ensembles convexes non vides, disjoints. On suppose que $A$
est ferm\e ,
$B$ est compact.  Alors il existe un hyperplan $H$ ferm\ea qui s\e pare  $A$ et $B$
au sens strict.
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}  Posons $A_\varepsilon = A + B(0, \varepsilon)$, 
$B_\varepsilon= B + B(0, \varepsilon)$.
 On commence par montrer que $\exists \varepsilon, A_\varepsilon\cap B_\varepsilon
= \emptyset$.   En effet, dans le cas contraire, on peut trouver pour tout 
$\varepsilon$ un \e l\e ment $z_\varepsilon$ tel que $\exists x_\varepsilon \in A,
||z_\varepsilon-x_\varepsilon||\leq \varepsilon$ et $\exists y_\varepsilon \in B$,
$||z_\varepsilon -y_\varepsilon ||\leq \varepsilon.$ Comme $B$ est compact, une
sous-suite $y_{\varepsilon'}$ de $y_\varepsilon $ tend vers $y\in B$.  La
sous-suite correspondante $x_{\varepsilon'}$ tend aussi vers $y$, et comme $A$ est
suppos\ea ferm\e , on a $y\in A\cap B$, en contradiction avec l'hypoth\ee se que 
$A$ et $B$ sont disjoints.
On applique le th\e or\ee me \ref{hahn-banachgeometrique} \a $A_\varepsilon$ et
$B_\varepsilon$. Il existe donc un hyperplan $\{x, f(x)=\alpha\}$ qui s\e pare 
$A_\varepsilon$ et $B_\varepsilon$ : 
$$\forall x\in A, \forall y \in B, \forall z, z'\in B(0,\varepsilon), \;
f(x+\varepsilon z)
\leq
\alpha\leq f(y+\varepsilon z').$$
D'o\u ,
$$f(x)+\varepsilon ||f|| \leq \alpha \leq f(y) -\varepsilon ||f||$$ et 
$A$ et $B$ sont bien s\e par\e s au sens strict.
\enddemo
\begin{exo}
En dimension finie, montrer par un argument constructif le th\e or\ee me de
Hahn-Banach, version ferm\e -compact : on montrera qu'il existe $x\in A$ et $y\in
B$ tels que $||x-y||= d(A,B)$ et consid\e rera l'hyperplan orthogonal \a $[x,y]$
passant par $\frac{x+y}2$.
\end{exo}

\begin{lem}\label{densite-orthogonalite}\index{Densit\ea et orthogonalit\ea
dans un espace vectoriel norm\'e} Soit $E$ un espace vectoriel norm\e , $E'$ son 
dual et $L$ un
sous-espace vectoriel de $E$.  Alors $L$ est dense si et seulement si son
orthogonal est r\e duit \a z\e ro. En d'autres termes, $L$ est dense si et
seulement si 
\fb& \label{orthogonalite}
\forall f\in E', \; (\forall x\in L, \;f(x)=0) \Rightarrow f=0).
\fe&
\end{lem}
\paragraph{D\e monstration}
En effet, si $L$ est dense et si $\forall x\in L$, $f(x)=0$, on d\e duit par
continuit\ea de $f$ que $\forall x \in E, f(x)=0$ et donc $f=0$. R\e ciproquement,
supposons que la relation (\ref{orthogonalite}) soit satisfaite.  Supposons par
contradiction que
$L$ ne soit pas dense. Sa fermeture est alors un sous-espace vectoriel strict de
$E$. Montrons qu'il est contenu dans un hyperplan ferm\ea de
$E$. On prend $x_0\in E$, $x_0\notin \overline{L}$.  On applique le th\e or\ee me
de Hahn-Banach (version ferm\e -compact) avec $A=\overline{L}$, $B=\{x_0\}$.  Donc
il existe $f\in E'$, $f\neq 0$, 
$$\forall x\in \overline {L}, \; f(x)<\alpha<f(x_0).$$
D'o\u n\e cessairement $f(x)=0$ pour tout $x$ dans $L$, puisque 
$\lambda f(x)<\alpha$ pour tout $\lambda \in \RR$.
Il existe donc
$f\in E'$ tel que $\forall x\in L, \;f(x)=0$ avec $f\neq 0$. Ceci contredit
(\ref{orthogonalite}). 
\enddemo

\newpage
\chapter{Le Th\e or\ee me de Banach-Steinhaus}
\begin{lem} {\bf de Baire.}\label{lemmedeBaire} \index{Baire (lemme de)} Soit $X$
un
\underline{espace m\e trique complet}.  Soit
$X_n$ une suite de ferm\e s.  On suppose que  $\interieur X_n = \emptyset$.  Alors 
$$\interieur (\bigcup_{n=1}^\infty X_n ) = \emptyset.$$
En d'autres termes, "une union {\rm d\e nombrable }de ferm\e s d'int\e rieurs vides
reste d'int\e rieur vide".  De mani\ee re \e quivalente, "une intersection d\e
nombrable d'ouverts denses reste dense".
\end{lem}

\drem Enonc\ea \a relier au suivant : une union d\e nombrable d'ensembles de
mesure nulle est de mesure nulle.
\frem

\paragraph{ D\e monstration}
Nous allons montrer la deuxi\ee me forme.  Soit $O_n$ une suite d'ouverts denses et
$G=\bigcap_n O_n$.  Montrons que $G$ rencontre un ouvert arbitraire $O$.  Pour
cela, on choisit une boule ferm\e e
$$B_0=B(x_0,r_0) = \{x, d(x,x_0)\leq r_0\}\subset O.$$ Comme $O_1$ est dense, on
peut choisir
$x_1\in B_0$ et
$r_1$ tels que
$$B(x_1, r_1)\subset  B(x_0,r_0)\cap O_1\hbox{ et }r_1\leq \frac {r_0}2.$$ 
On construit de m\eee me par r\e currence une suite $B(x_n, r_n)$ telle que
$$B(x_n,r_n)
\subset B(x_{n-1}, r_{n-1})\cap O_n \hbox { et }r_n \leq \frac {r_{n-1}} 2.$$  La
suite 
$x_n$ est de Cauchy car $d(x_n, x_{n-1})\leq \frac{r_0}{2^n}$.  Soit 
$x=\lim_{n\to \infty} x_n$. Alors $x\in O\cap \bigcap_n O_n$.
\enddemo

\noindent Remarque : le th\e or\ee me pr\e c\e dent est valable dans tout espace
m\e trique complet.  La structure d'espace vectoriel n'intervient pas. Soient
maintenant
$E, F$ deux espaces vectoriels norm\e s.  On note
$ {\cal L}(E,F)$ l'espace vectoriel norm\ea  des op\e rateurs lin\e aires continus 
de $E$
dans $F$, muni de la norme
$$||T||_{{\cal L}(E,F)} = \sup_{x\in E, ||x||\leq 1} ||T(x)||.$$
On note ${\cal L}(E) = {\cal L}(E, E)$.

\begin{thf}{\bf de
Banach-Steinhaus.}\label{banach-steinhaus}\index{Banach-Steinhaus (Th\e or\ee
me de)} Soient
$E, F$ deux espaces de Banach.  Soit $(T_i)_{i\in I}\subset {\cal L}(E,F)$ une 
famille
(non n\e cessairement d\e nombrable) d'op\e rateurs lin\e aires et continus de
$E$ dans
$F$.  On suppose que
$$\forall x\in E, \; \sup_{i\in I} ||T_ix||<\infty .$$
Alors, 
$$\sup_{i\in I}||T_i||_{{\cal L}(E,F)} <\infty, $$
 \ccaadd qu'il existe  $c>0$ tel que 
$$\forall i \in I, \; \forall x\in
E, \; ||T_ix||\leq c ||x||.$$

\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
Pour tout $n \geq 1$, on pose $X_n = \{ x\in E, \; \forall i, \; ||T_ix||\leq n\},$
en sorte que chaque $X_n$ est une intersection de ferm\e s et est donc ferm\e .
Par hypoth\ee se, $\bigcup_{n} X_n = E$ et donc $\interieur(\bigcup_n X_n)\neq
\emptyset$. Par le lemme de Baire \ref{lemmedeBaire}, l'un des $X_n$ doit \eee tre
d'int\e rieur non vide : $\interieur(X_{n_0})\neq \emptyset$.  Soit $x_0\in
X_{n_0}$ et
$r>0$ tel que $B(x_0, r)\subset X_{n_0}$.  Alors 
$$\forall i\in I, \; \forall z\in B(0,1), \; ||T_i(x_0 +rz)||\leq n_0,$$
et donc par l'in\e galit\ea triangulaire,
$$\forall z\in B(0,1), \; r||T_i(z)||\leq n_0 + ||T_i(x_0)||\leq 2n_0, \hbox{ soit
}$$
$$||T_i||_{{\cal L}(E,F)} \leq \frac {2n_0}r.$$
\enddemo

\section{Cons\e quences du Th\e or\ee me de Banach-Steinhaus.}
\begin{cor} \index{Convergence simple d'op\e rateurs lin\e aires}
Soient $E$ et $F$ deux espaces de Banach.  Soit $(T_n)$ une suite d'op\e rateurs
lin\e aires et continus de $E$ dans $F$, tels que pour tout $x\in E,$ $ T_nx$
converge quand $n\to \infty$ vers une limite not\e e $Tx$.  Alors on a
$$\sup_n ||T_n||_{{\cal L}(E,F)} <+\infty,$$
$$ T\in {\cal L}(E, F),$$
$$||T||_{{\cal L}(E,F)}\leq \lim\inf_{n\to +\infty}||T_n||_{{\cal L}(E,F)}.$$
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
La premi\ee re relation est une cons\e quence directe du th\e or\ee me
\ref{banach-steinhaus} (de Banach-Steinhaus).  On a donc 
$$\exists c>0, \;\forall x\in E, \; \forall n\in \NN,\; ||T_nx||\leq c||x||.$$
On en d\e duit que $\forall x\in E, \;||Tx||\leq c||x||$, et donc $T\in {\cal 
L}(E,F)$.
Comme $||T_nx||\leq ||T_n||||x||$, on obtient par passage \a la limite inf\e
rieure, $||Tx||\leq \lim\inf_{\to \infty}||T_n||||x||$, ce qui donne bien la
derni\ee re relation annonc\e e.
\enddemo

\begin{cor}\index{Born\ea d'un espace de Banach (caract\e risation duale)}
Soit $G$ un espace de Banach, $B$ un sous-ensemble de $G$.  On suppose que pour
tout $f\in G'$, $f(B)=\{f(x), \; x\in B\}$ est born\e .  Alors $B$ est born\e .
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
On applique le th\e or\ee me de Banach-Steinhaus (Thm \ref{banach-steinhaus}) 
avec $E=G'$, $F=\RR$, $I=B$.  Pour $b\in B$ et $f\in E=G'$, on pose $T_b(f) =
f(b).$  On a donc par hypoth\ee se 
$$\forall f \in E,\; \sup_{b\in B} |T_b(f)|<+\infty .$$
On en d\e duit qu'il  existe $c>0$ tel que 
$$\forall b\in B,\; \forall f\in E, \; ||T_b(f)||\leq c||f||_{G'}, \hbox{ soit }$$
$$\forall f\in G', |f(b)|\leq c||f||_{G'}.$$
Comme par le corollaire \ref{normepardualite}, on a $||b||= \sup_{f\in G',
||f||\leq 1}f(b), $ on conclut que
$||b||\leq c$.
$B$ est donc born\e .
\enddemo
Ce th\e or\ee me nous dit qu'un ensemble est born\ea si et seulement si ses
projections sur des axes de coordonn\e es arbitraires sont born\e es.
\\ \\
\section{Exercices}
{\bf Exercice 1} 
\\ \\
Soient E un espace vectoriel norm\'e de dimension finie et F un espace vectoriel 
norm\'e\\
a) Montrer que toutes les normes sur E sont \'equivalentes.\\
b) Soit $u : E \rightarrow F$ lin\'eaire, montrer que u est continue.
\\ \\
{ \bf Exercice 2} 
\\ \\
Soient E et F deux espaces vectoriels norm\'es \\
a) Montrer que F complet $\Rightarrow$ ${\cal {L}}(E,F)$ complet (donc $E^{\prime}$ 
est toujours complet).\\
b) Montrer que ${\overline {B}}_E(0,1)$ compacte $\Rightarrow$ dim$E < \infty$.
\\ \\
{ \bf Exercice 3} 
\\ \\
Soient E un espace vectoriel norm\'e et $f \in E^{\prime}$, $f \not\equiv 0$. Soit 
$H = \{ x \in E : 
f(x) = 0 \}$, on se propose de montrer
 que
 $$ \forall x \in E, \quad \, \, d(x,H) =  \inf_{y \in H} \Vert x-y \Vert = \frac 
{\vert f(x)\vert}{\Vert f \Vert}\qquad \,(\star)$$
1) V\'erifier que $\vert f(x)\vert \leq \Vert f \Vert \;d(x,H),\,\;\,\forall x \in 
E.$\\
2) Soit $u \in E \backslash H$, en notant que $y=x- \frac {f(x)}{f(u)} \, u$ est 
dans 
H, montrer que
$d(x,H) \leq \frac {\vert f(x) \vert}{\vert f(u) \vert} \; \Vert u \Vert$ et 
prouver 
$(\star)$.\\
3) Soit $E={\cal C}_0=\{x=(x_n)_{n \geq 1} \in \RR^{\NN^{\star}} \mbox{ tel que } x_n 
\rightarrow 0\}$ que l'on munit
 de $${\Vert x \Vert}_{\infty} = \sup_n \vert x_n \vert .$$
 a) V\'erifier que $(E,{\Vert \,\, \Vert}_{\infty})$ est un espace de Banach.\\
 b) Soient $f : E \rightarrow \RR$, d\'efinie par $f(x) = \sum_{1}^{\infty} 
\frac{x_n}{2^n}$ et $ H = Kerf.$ V\'erifier que $f \in E^{\prime}$, donner une 
expression de $d(x,H)$. 
${\Vert f \Vert}_{E^{\prime}}$ est-elle atteinte ?\\ \\
{ \bf Exercice 4} Th\'eor\`emes du point fixe
\\ \\
1) Soit (E,d) un espace m\'etrique complet et soit $f : E \rightarrow E$ une 
application 
k-lipschitzienne avec k$<$1.
Montrer que f admet un unique point fixe $x = f(x)$.\\
2) Soit (E,d) un espace m\'etrique complet et soit $\Lambda$ un espace topologique. 
Soit $f : E \times \Lambda \rightarrow
E$ telle que\\
- $\forall x \in E, \quad \lambda \rightarrow f(x,\lambda)$ est continue de 
$\Lambda$ 
dans E,\\
- $\exists k < 1, \quad \forall \lambda \in \Lambda, \quad x \rightarrow 
f(x,\lambda)$ est k-lipschitzienne de E dans E.
On pose $f_\lambda(x) = f(x,\lambda)$. Si $a_\lambda$ est l'unique point fixe de 
$f_\lambda$, montrer que $\lambda \rightarrow a_\lambda$ 
est continue de $\Lambda$ dans E.\\
3) Soit (E,d) un espace m\'etrique compact et $f : E \rightarrow E$ telle que
$$\forall x,y \in E, \qquad d(f(x),f(y)) < d(x,y).$$
Montrer que f admet un unique point fixe.\\
4) Soit C un convexe compact dans E espace vectoriel norm\'e et soit $f : C 
\rightarrow C$ 
1-lipschitzienne. Montrer que f admet 
un point fixe ( pour z fix\'e dans C, consid\'erer $f_n(x)=\frac {1}{n+1} z + 
\frac{n}{n+1} f(x)$).\\ \\
{ \bf Exercice 5} 
\\ \\
Soit $E={\cal C}^1 ([0,1])$. Pour $f \in E$, on pose $N(f) = { ({f(0)}^2 + \int_0^1 
f^{\prime}(t)^2 dt)}^{1/2}$ et 
$\Vert f {\Vert}_{\infty} = \sup_{[0,1]} \vert f(x) \vert.$
a) V\'erifier que N est une norme sur E.\\
b) Montrer que $\forall f \in E, \quad {\Vert f \Vert}_{\infty} \leq \sqrt {2} \; 
N(f)$.\\
c) Montrer que ${\Vert \, \Vert}_{\infty}$ et N ne sont pas \'equivalentes sur E.
\\ \\
{ \bf Exercice 6} 
\\ \\
Soit E un espace m\'etrique complet tel que $\forall \eps > 0$, il existe un 
recouvrement fini de E
par des boules de rayon $\eps$, montrer que E est compact.
\\ \\
{ \bf Exercice 7}
\\ \\
Montrer qu'un espace m\'etrique compact est s\'eparable.
\\ \\
{ \bf Exercice 8}
\\ \\
Soit E un espace vectoriel norm\'e et soit K une partie convexe de E avec $0 \in 
K$. On pose 
$$ \,\,\; K^{\star} = \{ f \in \Ep;\,\, \forall x \in K,\,\,\; <f,x> \leq 1 \} 
\mbox{ 
 et}$$
$$ K^{\star \star}\!= \{y \in E;\,\, \forall f \in K^{\star},\,\,<f,y> \leq 1 \}.$$
Montrer que $ \overline {K} = K^{\star \star}$.
\\ \\
{ \bf Exercice 9}
\\ \\
L'objet de cet exercice est de montrer qu'en dimension $\infty$, on ne peut pas 
s\'eparer deux convexes ferm\'es.\\
On note $ {\ell}^1 = \{ x = {(x_n)}_{n \geq 1} \subset \RR \mbox { tel que } 
\sum_{n=1}^{+ \infty} \vert x_n \vert < \infty \}$ qui muni de $ {\Vert x \Vert}_1 
= 
\sum_{n=1}^{+ \infty} \vert x_n \vert$ est un espace de Banach.\\
On consid\`ere les ensembles
\[ \begin{array}{rcl}
A_0 &=& \{ x=(x_n)_n \in {\ell}^1 :\,\,\forall n \geq 1,\,\,x_{2n} = 0 \}\,\,\,\mbox{et 
}\\
B &=& \{ x=(x_n)_n \in {\ell}^1 :\,\,\forall n \geq 1,\,\,x_{2n} = 
2^{-n}\,x_{2n-1} \}.
\end{array} \]
1) V\'erifier que $A_0$ et $B$ sont des sous-espaces ferm\'es de ${\ell}^1$ et que 
${\ell}^1 = \overline{A_0+B}$.\\
2) Soit $c=(c_n)_n \in {\ell}^1$ tel que $\forall n \geq 1$, $c_{2n-1} = 0$ et 
$c_{2n} = 2^{-n}$. V\'erifier que $c \not\in A_0+B$ et que si $A = A_0 - c 
=\{a-c,\,a 
\in 
A_0 \}$, on a $A \cap B = \emptyset$. Montrer que $A$ et $B$ ne peuvent pas \^etre 
s\'epar\'es au sens large.
\\ \\
{ \bf Exercice 10} Th\'eor\`eme de l'application ouverte
\\ \\
Soient E et F deux espaces de Banach et $T \in {\cal L}(E,F)$ surjective alors \\
1) Montrer qu'il existe $C>0$ tel que $B(0,2C) \subset \overline {T(B(0,1))}$. Pour 
cela utiliser 
les ensembles 
$F_n = n \overline{T(B(0,1))}$.\\
2) D\'emontrer qu'en fait $B(0,C) \subset T(B(0,1))$.
\\ \\
{ \bf Exercice 11} Th\'eor\`eme d'isomorphisme d'espaces de Banach
\\ \\
Soient E et F deux espaces de Banach et $T \in {\cal L}(E,F)$ bijective, montrer 
que $T^{-1}$ est continue.
\\ \\
{ \bf Exercice 12}
\\ \\ 
Soit E un espace vectoriel norm\'e muni de ${\Vert\,\Vert}_1$ et 
${\Vert\,\Vert}_2$. Si E est 
complet pour les deux normes 
et si ${\Vert\,\Vert}_1 \leq \; C \;{\Vert\,\Vert}_2$, montrer que les deux 
normes sont \'equivalentes.
\\ \\
{ \bf Exercice 13} Th\'eor\`eme du graphe ferm\'e
\\ \\
Soient E et F deux espaces de Banach et $T \in {\cal L}(E,F)$. On suppose que le 
graphe 
de T, G(T)$= \{(x,y) \in E \times F,
\quad y=Tx \}$, est ferm\'e dans $E \times F$, montrer que T est continue.\\
(On pourra consid\'erer la norme du graphe $\Vert x \Vert = \Vert x \Vert_E + \Vert 
Tx \Vert_F$.)
\\ \\
{ \bf Exercice 14}
\\ \\
Soient E et F deux espaces de Banach et $T \in {\cal L}(E,F)$. On suppose que 
$\forall f 
\in F^{\prime}$, $f \circ T \in E^{\prime}$. 
Montrer que T est continue.
\\ \\
{ \bf Exercice 15}
\\ \\
Soit $E = {\cal C}[0,1]$ muni de $\Vert \,\Vert_{\infty}$. Soit $F$ un 
sous-espace vectoriel de $E$ tel que $\forall f \in F$, $f$ est d\'erivable. 
L'objet de cet exercice est de montrer que dim$F < \infty$.\\

1) Soit $x_0 \in [0,1]$ fix\'e. On d\'efinit l'op\'erateur $\Lambda_y : f \mapsto 
\frac{f(y)-f(x_0)}{y-x_0}$. Montrer que $\Lambda_y \in E^{\prime}$ et que 
$\exists M>0$ tel que $\forall f \in F$, $\vert \Lambda(f) \vert \leq M \Vert f 
\Vert$.\\

2) Soit $B_F$ la boule unit\'e ferm\'ee de $F$, montrer que $B_F$ est 
\'equicontinue puis que $B_F$ est compacte. Conclure.
\\ \\


\chapter{Topologies faibles}

\paragraph{Rappels de topologie g\e n\e rale} : une {\it topologie} sur $E$ est d\e
finie comme une partie
$\cal O$ de
${\cal P}(E)$ stable par intersection finie et union quelconque et contenant $E$
et $\emptyset$.  Les
\e l\e ments de 
$\cal O$ sont appel\e s les {\it ouverts} de la topologie.  On appelle {\it
voisinage ouvert} de
$x\in E$ tout ouvert $O\in \cal O$ contenant $x$.  On appelle {\it base de
voisinages ouverts} de la topologie toute partie
$\cal U$ de
$\cal O$ telle que si
$x\in O\in \cal O$, alors il existe $U\in \cal U$ tel que $x\in U\subset O$.  
\newline
{\bf Cons\e
quence :} tout  ouvert est une union de voisinages ouverts de la base. On appelle
base de voisinages ouverts d'un point $x\in E$ toute partie $\cal U$ de $\cal O$
telle que si un ouvert $O$ contient $x$, alors il existe $U$ dans $\cal U$ tel
que $x\in U\subset O$. 
\newline 
{\bf Exemple classique }: une  topologie $\cal O$ sur $E$ est dite m\e trisable
s'il existe une distance sur
$E$ telle que $\cal O$ co\"{\i}ncide  avec l'ensemble des unions arbitraires de
boules.  Une base de voisinages ouverts commode est alors constitu\e e par les
boules ouvertes elles-m\eee mes. Les boules ouvertes centr\e es en $x$ forment une
base de voisinages ouverts de $x$ et \e galement les boules ouvertes contenant
$x$.
On appelle fermeture d'un ensemble $A$, not\e e $\overline{A}$, l'intersection de
tous les ferm\e s contenant $A$. On appelle ouverture, ou int\e rieur, de $A$
l'union de tous les ouverts contenus dans $A$, not\ea $\interieur (A)$.
\newline {\it Convergence d'une suite}.  On dit
qu'une suite
$x_n$ {\it tend vers} $x$ pour  la topologie $\cal O$ si pour tout voisinage $O$ de
$x$ il existe $n_0$ tel que $n\geq n_0\Rightarrow x_n\in O$.  
\begin{pro}\label{sequentiellementferme}
Tout ferm\ea $F$ est s\e quentiellement ferm\e , \ccaadd que si $x_n\in F$,
ferm\e , et si $x_n\to x$ pour la topologie, alors $x\in F$.  

\end{pro}
\paragraph{D\e monstration} Si on avait $x\in F^c$, qui est ouvert, il existerait
un voisinage ouvert $U$ de $x$ tel que $U\subset F^c$.  Mais $x_n\to x$
implique  que $\exists n_0, n\geq n_0 \Rightarrow x_n \in U$, ce qui
contredirait $x_n\in F$.
\enddemo
\newline
{\it Application continue}.
  Une
application d'un espace topologique dans un autre est dite {\it continue} si
l'image r\e ciproque de tout ouvert par l'application est un ouvert, ou de
mani\ee re \e quivalente, si l'image r\e ciproque de tout ferm\ea est un ferm\e . 
Si on a une base de voisinages ouverts
$\cal U$, on voit ais\e ment que
$f$ est continue si et  seulement si $f^{-1}(U)$ est un ouvert pour tout $U\in
\cal U$. 
\newline Un exemple
que nous utiliserons souvent : une application $f$ de $E$ dans $\RR$ est
continue si et seulement si pour tout intervalle ouvert $I$ de $\RR$, l'ensemble
$f^{-1}(I)$ est un ouvert.  En effet, les intervalles ouverts forment une base de 
voisinages ouverts de $\RR$.  Il convient de v\e rifier que notre d\e
finition de la continuit\ea g\e n\e ralise bien la notion de continuit\ea s\e
quentielle pour $f$ (\ccaadd : $x_n\to x\Rightarrow f(x_n)\to f(x)$.)  

\begin{pro}\index{Continuit\ea s\e quentielle (d'une application continue)} Si $f
: (E, {\cal O})\to (F, {\cal U})$ est continue, alors elle est s\e quentiellement
continue.
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}  Soit $x_n$ tendant vers $x$ pour $\cal O$. Fixons
$U\in \cal U$ tel que $f(x)\in U$ et montrons que $\exists n_0, n\geq n_0
\Rightarrow f(x_n)\in U$. Or, $f$ \e tant continue, $f^{-1}(U)$ est un voisinage 
de $x$. Donc $\exists n_0, n\geq n_0\Rightarrow x_n\in f^{-1}(U)$ et on a donc,
comme d\e sir\e ,
$f(x_n)\in U$.

\enddemo
Rappelons un r\e sultat classique, qui  n'est pas toujours vrai quand les
topologies ne sont pas m\e trisables :
\begin{exo} Si $E$ et $F$ sont m\e trisables, alors $f : E\to F$ est
continue si et seulement si elle est {\it s\e quentiellement continue}, \ccaadd
si $x_n\to x $ $\Rightarrow$ $f(x_n)\to f(x)$.
\end{exo}
{\it Les  compacts}  On dit qu'un sous-ensemble $K$ d'un espace topologique $(E,
{\cal O})$ est compact si de tout recouvrement de $K$ on peut extraire un
recouvrement fini.  Si la topologie $E$ est m\e trisable, tout compact est s\e
quentiellement compact,
\ccaadd que $K$ est compact si et seulement si toute suite
$x_n$ contenue dans $K$ a un point d'accumulation.
L'image d'un compact par une fonction continue est un compact.  En cons\e quence,
toute fonction r\e elle continue sur un compact atteint son maximum et son minimum.
\newline
{\it Topologie produit}  Soit $(E_i, {\cal O}_i)$ des espaces topologiques. 
L'espace topologique produit $E=\Pi_i E_i$ peut \eee tre muni de la {\it topologie
produit}, d\e finie comme la moins fine rendant les projections de $E$ sur chaque
$E_i$ continues.
\newline
Par {\it topologie la moins fine rendant des applications continues}, on entend la
topologie ayant cette propri\e t\ea qui a le moins d'ouverts possible.
En termes formels, cette topologie
$\cal U$ est telle que pour toute autre topologie $\cal O$ rendant \e
galement ces  applications continues on ait $ {\cal O}\subset \cal U$.  On la
trouve en  prenant tout simplement l'intersection de toutes les topologies
rendant les applications continues : c'est encore une topologie, le v\e rifier !
\begin{thf}{\bf de Tikhonov} \index{Tikhonov (th\e or\ee me de)} Soit $K=\Pi_i
K_i$ un produit de compacts.  On note ses \e l\e ments $\omega =(\omega_i)_i$ et
on le munit de la topologie produit,
\ccaadd la moins fine rendant les projections
$\omega\to w_i\in K_i$ continues. Alors $K$ est compact.
\end{thf}

\dexer \index{Tikhonov (th\e or\ee me de) : cas d'un produit d\e nombrable de
compacts m\e trisables} Montrer ce th\e or\ee me dans le cas un peu moins g\e n\e
ral suivant : 
$K=\Pi_{n\in \NN}K_n$ (produit d\e nombrable) et on suppose que $K_n$ est
m\e trisable et donc muni d'une distance $d_n$.  Commencer par montrer que $K$
est m\e trisable en posant 
$$d(x,y)=\sum_{n\in \NN} \frac {d_n(x_n,y_n)}{2^n diam(K_n)},$$
o\u $diam(K_n)=\max\{d(x_n,y_n), x_n,y_n\in K_n\}$ est le diam\ee tre de $K_n$ et 
$x=(x_n)_n$, $y=(y_n)_n$.
\fexer
\section{Topologie faible}
On note $E$ un espace de Banach, $E'$ son dual et $f\in E'$.  
\begin{Def} \index{Topologie faible} On appelle topologie faible $\sigma(E,E')$ la 
topologie sur $E$ la
moins fine rendant toutes les applications $f: \; x\to f(x)\in \RR$ continues.
\end{Def}

 On peut
recenser les ouverts qui doivent appartenir \a la topologie faible
$\sigma(E,E')$ de la mani\ee re suivante : si $f\in E'$ et $U\subset \RR$ est un
ouvert, il faut que $f^{-1}(U)$ soit un ouvert de $\sigma(E,E')$. Mais
comme les intervalles sont une base de voisinages de $\RR$, on voit que ceci
revient
\a dire que pour tout intervalle $I$ et tout $f\in E'$, $f^{-1}(I)$ est dans
$\sigma(E,E')$.  En r\e sum\e , on vient de montrer que : 

\begin{pro} \index{Topologie $\sigma(E,E')$ (caract\e risation)} La topologie
$\sigma(E,E')$ est la moins fine contenant tous les ensembles $f^{-1}(I)$ pour
tout $f\in E'$ et tout intervalle $I$ de $\RR$.  
\end{pro}
\begin{pro} \index{Ouverts (de la topologie faible)}
Tout ouvert $O$ de $\sigma(E, E')$ peut s'\e crire sous la forme 
\fb& \label{based'ouverts} O=\bigcup_{i\in I}\bigcap_{f\in F_i } f^{-1}(I_f),\fe&
o\u $I$ est un ensemble d'indices quelconque, chaque $F_i$ un sous-ensemble fini
de $E'$ et $I_f$ un intervalle quelconque de $\RR$.
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
Tout \e l\e ment $O$ de la forme (\ref {based'ouverts}) est bien un
ouvert de $\sigma(E,E')$, puisqu'il est obtenu par intersection finie et union d\e
nombrable d'\e l\e ments de $\sigma(E,E')$.  Appelons $\cal O$
l'ensemble des \e l\e ments de la forme (\ref{based'ouverts}).  Cet ensemble est \e
videmment stable par union quelconque.  Il l'est aussi par intersection finie en
vertu de la formule de distribution 
$$\bigcap_{i\in F}\bigcup_{j\in J_i}A_{j} = \bigcup_{\varphi \in
\Phi}\bigcap_{i\in F}A_{\varphi(i)},$$ o\u 
$\Phi$ est l'ensemble de toutes les applications  $i\in F\to \varphi(i)\in J_i$.
Cette derni\ee re formule prouve que si $\cal A$ est une famille d'ensembles,
alors ``toute intersection finie d'unions d'intersections finies d'\e l\e ments 
de $\cal A$ est une union d'intersections finies d'\e l\e ments de $\cal A$".
\enddemo
Donnons une base de voisinages commode pour $\sigma(E,E')$.

\begin{cor} \label{basedevoisinagesdex}\index{Base de voisinages pour la
topologie faible} Les ouverts de la forme
$\bigcap_{i=1,...,k } f_i^{-1}(I_i)$, o\u
$k\in \NN$,
$f_i\in E'$ et $I_i$ sont des intervalles ouverts quelconques de $\RR$, forment
une base de voisinages de $\sigma(E,E')$.\newline
Les ouverts de la forme $U=\bigcap_{i=1,...,k}f_i^{-1}(]f(x)-\varepsilon,
f(x)+\varepsilon[)$, $k\in \NN$, $f_i\in E'$, $\varepsilon>0$ forment une base
de voisinages de $x\in  E$.
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
 Le premier \e nonc\ea est imm\e diat. Pour montrer que les ouverts de la forme $U$
forment une base de voisinages de $x$, on remarque que si 
$I$ est un intervalle ouvert et
$f^{-1}(I)$ contient $x$, alors $I $ contient un intervalle $]f(x)-\varepsilon,
f(x)+\varepsilon[$.  Donc $f^{-1}(I)$ contient $f^{-1}(]f(x)-\varepsilon,
f(x)+\varepsilon[)$.
\enddemo
\begin{pro} \index{S\e paration (de la topologie faible)}La topologie $\sigma(E,
E')$ est s\e par\e e,
\ccaadd que si
$x, y\in E$, alors il existe deux ouverts $U\owns x$, $V\owns y$, tels que
$U\cap V =
\emptyset$.
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
Appliquer Hahn-Banach, version compact-ferm\e : il existe $f\in E'$ et $\alpha$
tels que l'hyperplan $\{z, \;f(z)=\alpha\}$ s\e pare au sens strict $x$ et $y$ et
donc on peut prendre  $U=f^{-1}(]-\infty, \alpha[)$  et $V=f^{-1}(]\alpha,
+\infty[).$
\enddemo
\begin{Def}\index{Convergence faible}
Si $x_n\to x$ dans $\sigma(E,E')$, on dit que $x_n$ converge faiblement vers
$x$ dans $E$ et on note $x_n \rightharpoonup x$, $\sigma(E,E')$.
\end{Def}
\begin{pro} \index{Convergence faible d'une suite
(caract\e risations)}\label{liensentreconvergences} Soit
$E$ un espace de Banach. Soit $(x_n)$ une suite de $E$.  Alors
\newline\newline
(i) $x_n\rightharpoonup x$ dans $\sigma(E,E')$ si et seulement si 
$\forall f \in E', \; f(x_n)\to f(x)$.
\newline\newline
 (ii) Si $x_n\to x$ fortement, alors $x_n\rightharpoonup x$ dans
$\sigma(E,E')$.
\newline\newline
(iii) Si $x_n\rightharpoonup x$ dans $\sigma(E,E')$, alors $||x_n||$ est born\e e
et
$||x||\leq \lim\inf_{n\to +\infty}||x_n||.$
\newline\newline
(iv) Si $x_n\rightharpoonup x$  dans $\sigma(E,E')$ et si $f_n \to f$ fortement,
alors $f_n(x_n)\to f(x).$
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
 Montrons l'\e quivalence (i). La
topologie $\sigma (E, E')$ ayant \e t\ea construite pour que les \e l\e ments de
$E'$ soient continus, l'implication directe  ($\Rightarrow$) est claire,
puisque la continuit\ea des $f\in E'$ entraine leur continuit\ea s\e
quentielle.  La r\e ciproque  d\e coule de la forme des voisinages dans la
topologie faible.  On doit montrer que si
$f(x_n)\to f(x)$ pour tout $f$, alors pour tout $U$
 voisinage de $x$ pour $\sigma(E,E')$, il existe $n_0$ tel $n\geq n_0$ implique 
$x_n\in U$.  Or on a vu (Corollaire \ref{basedevoisinagesdex}) qu'on peut choisir
des voisinages $U$ de $x$ de la forme
$U=\bigcap_{i=1, ...,k}f_i^{-1}(]f_i(x)-\varepsilon, f_i(x)+\varepsilon[)$.  On
choisit $n_0$ assez grand pour que $n\geq n_0\Rightarrow
|f_i(x_n)-f_i(x)|<\varepsilon$, $i= 1, ...,k$.  Alors $x_n\in U$.  On a donc bien
$x_n\rightharpoonup x$ pour
$\sigma(E,E')$. 



  La relation (ii) r\e sulte de
$|f(x_n)-f(x)|\leq ||f||||x-x_n||.$ Pour montrer (iii), on consid\ee re les $x_n$
comme des formes lin\e aires sur $E'$ et on applique le th\e or\ee me de
Banach-Steinhaus  (Th\e or\ee me
\ref{banach-steinhaus}).  Les op\e rateurs continus de $E'$ dans $\RR$ d\e finis
par $T_n(f)=f(x_n)$ v\e rifient $\forall f\in E',$ $\sup_n |T_n(f)|<+\infty$, car
$T_n(f)=f(x_n) $ a une limite, $f(x)$.  Donc $\sup_n ||T_n|| \leq C<+\infty$. 
Mais, 
 (corollaire \ref{normepardualite}),  $||x||=\sup_{f\in
E'}f(x)$) et donc
$$||T_n|| =
\sup_{||f||_{E'}\leq 1}f(x_n) = ||x_n||.$$
  La suite $x_n$ est donc born\e e. 
On a
$$\forall f\in E', \; ||f||_{E'}\leq 1,\; |f(x)|=\lim |f(x_n)|\leq \lim\inf_n
||x_n||, \hbox{  et donc  }$$
$$\forall f\in E', \;|f(x)|\leq \lim\inf_n ||x_n||, \hbox{ soit } ||x||\leq
\lim\inf_n||x_n||.$$ On termine en montrant (iv) par la simple in\e galit\ea
$$|f_n(x_n)-f(x)|\leq ||f_n - f||||x_n|| + |f(x_n-x)|.$$

\enddemo

\begin{pro}  Si la dimension de $E$ est finie, la topologie faible et la topologie
forte co\"{\i}ncident.

\end{pro}

\begin{rem}  En dimension infinie, les ouverts faibles sont des ouverts forts,
mais il y a plus d'ouverts forts que d'ouverts faibles.  De m\eee me, tous les
ferm\e s faibles sont des ferm\e s forts, mais il y a plus de ferm\e s forts que
de ferm\e s faibles.

\end{rem}
%\begin{exa}  La sph\ee re unit\ea $S=\{x\in E,\; ||x||=1\}$ est ferm\e e pour la
%topologie forte, mais pas pour la topologie faible : en effet sa fermeture pour la
%topologie faible est $B(0,1)=\{x\in E, \; ||x||\leq 1\}$.
%
%\end{exa}

\begin{exa} \index{Exemple d'ouvert fort mais pas faible} La boule unit\ea
$B(0,1)=\{x, ||x||<1\}$ est un ouvert de la topologie forte mais n'est pas un
ouvert de la topologie faible.  (Et donc son compl\e mentaire est un ferm\ea de
la topologie forte, mais pas de la topologie faible).
\end{exa}
\paragraph{D\e monstration}
En effet, tous les ouverts de la topologie faible contiennent des ensembles de la
forme $U=\bigcap_{i=1, ...,k}f_i^{-1}(]f_i(x)-\varepsilon,
f_i(x)+\varepsilon[)$.  Montrons que de tels ensembles sont non born\e s. On
choisit, dans $E$, $y\neq 0$ tel que $f_i(y)=0, i=1,..., k$.  Comme $E$ est de
dimension infinie et donc sup\e rieure \a $k$, c'est possible.  On remarque 
que $x+ty\in U$ pour tout $t>0$.  Mais $||x+ty|| \geq |t| ||y|| -||x||$ tend vers
l'infini quand $t\to +\infty$.  Donc $U$ n'est pas inclus dans la boule unit\e ,
qui n'est donc pas ouverte pour la topologie faible.  
\enddemo

\dexer \index{Fermeture faible de la sph\ee re unit\ea }
Montrer que la fermeture de $S(0,1)=\{x, ||x||=1\}$ pour la topologie faible est
$B(0,1)=\{x, ||x||\leq 1\}.$
\fexer
\begin{thf} \label{convexefortfaible} \index{Fermeture d'un convexe} Soit $E$ un
espace vectoriel norm\ea et
$C\subset E$ convexe.  Alors,
$C$ est faiblement ferm\ea pour la topologie faible si et seulement si il est
fortement ferm\e .
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
Si $C$ est faiblement ferm\e , il est fortement ferm\ea puisque la convergence
forte implique la convergence faible.  R\e ciproquement, supposons $C$ fortement
ferm\ea et montrons qu'il est faiblement ferm\e .  Il suffit de montrer que $C$
est une intersection de ferm\e s pour la topologie faible.  Mais par le th\e or\ee
me de Hahn-Banach (version compact-ferm\e , th\e or\ee me
\ref{hahn-banachfermecompact}), il existe pour tout $y\in C^c$ un hyperplan 
$\{x, f_y(x)=\alpha_y\}$ s\e parant $x$ et $C$, \ccaadd $f_y(y)>\alpha_y$ et
$f_y(x)\leq
\alpha_y$ pour tout $x$ dans $C$.   On en d\e
duit que 
$$C=\bigcap_{y\in C^c} f_y^{-1}(]-\infty, \alpha_y],$$
qui est une intersection de ferm\e s faibles.

\enddemo
\begin{cor}{\bf (Th\e or\ee me de Mazur)}\index{Mazur (th\e or\ee me de)} Soit
$E$ un espace vectoriel norm\e .  Si $x_n\to x$, $\sigma(E,E')$, il existe une
suite
$y_n$ de combinaisons convexes des $x_k$, $k\geq n$, qui converge fortement vers
$x$.

\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
On consid\ee re $C_k = \overline{Conv\{x_k, \; k\geq n\}}^{\sigma(E,E')}$, la
fermeture pour la topologie faible de l'enveloppe convexe des $x_k,$ $k\geq n$.
D'apr\ee s le th\e or\ee me
\ref{convexefortfaible}, $C_k$  est aussi ferm\ea pour la topologie forte. 
Puisque $x_n\rightharpoonup x$, on a donc aussi $$x\in C_k = \overline{Conv\{x_k,
\; k\geq n\}},$$ o\u la fermeture s'entend pour la topologie forte. Il existe
donc, pour tout $n,$ $y_n\in Conv\{x_k,
\; k\geq n\}$ tel que
$||y_n-x||\leq \frac 1 n$.
\enddemo
\begin{Def} \index{Semicontinuit\ea inf\e rieure, sup\e rieure} On dit qu'une 
fonction $\varphi$ d\e finie sur un espace topologique
est semicontinue inf\e rieurement si les ensembles de niveau inf\e rieurs, $\{x,
\varphi(x)\leq
\lambda\}$ sont ferm\e s pour tout $\lambda \in \RR$.  On dit de m\eee me que 
$\varphi$ est semi continue sup\e rieurement (s.c.s.) si les ensembles de niveau
sup\e rieurs, $\{x, \varphi(x)\geq \lambda\}$ sont tous ferm\e s. 
\end{Def}
\begin{pro} \index{Limite inf\e rieure, sup\e rieure} Si $\varphi$ est s.c.i., et
si
$x_n$ est une suite convergeant vers
$x$, on a
\fb& \label{sciliminf}\varphi(x)\leq \lim\inf_{n\to \infty}\varphi(x_n).
\fe& 
Si $\varphi$ est s.c.s., 
\fb& \label{scilimsup}
\varphi(x)\geq \lim\sup_{n\to \infty}\varphi(x_n).
\fe&

\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
Si $\varphi$ est s.c.i.,  soit
$m=\lim\inf_{n\to \infty}\varphi(x_n)$.  Par d\e finition de la limite inf\e
rieure, on peut trouver pour tout
 voisinage $V(x)$ un entier $n_0$ tel que
$n\geq n_0\Rightarrow \varphi(x_n)\leq
m+\varepsilon$.  L'ensemble de niveau $\{y,\; \varphi(y)\leq m+\varepsilon\}$ \e
tant ferm\e , on en d\e duit que $\varphi(x)\leq m+\varepsilon$.  Mais
$\varepsilon$ est arbitrairement petit et on obtient (\ref{sciliminf}). La
relation (\ref{scilimsup}) peut s'obtenir en remarquant que $\varphi$ est s.c.i.
si et seulement si $-\varphi$ est s.c.s..
\enddemo


\begin{cor}\label{convexescifortimpliquescifaible}\index{Semicontinuit\ea inf\e
rieure faible (des fonctions fortement s.c.i.)} Soit $\varphi : E \to ]-\infty,
+\infty]$, convexe, semicontinue inf\e rieurement (s.c.i.)   pour la topologie
forte.  Alors
$\varphi$ est aussi s.c.i. pour la topologie faible et donc si
$x_n\rightharpoonup x$,
$\sigma(E,E')$, alors 
$$\varphi(x) \leq \lim\inf_{n\to +\infty} \varphi(x_n).$$
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
Il suffit de v\e rifier que chaque ensemble $$X_\lambda \varphi = \{x\in E, \;
\varphi(x)\leq \lambda\}$$
est ferm\ea pour la topologie faible $\sigma(E,E')$.  Or, par le th\e or\ee me
\ref{convexefortfaible}, c'est un convexe ferm\ea fort.
\enddemo

\section{La topologie $\star \sigma(E',E)$}
Soit $E$ un espace de Banach, $E'$ son dual, $E''$ son bidual topologique, muni de
la norme $$||\xi||_{E''}=\sup_{f\in E', ||f||_{E'}\leq 1}\xi(f).$$
On a une {\it injection canonique} $J : \; E \to E''$. En effet, tout \e l\e ment
$x\in E$ d\e finit un \e l\e ment $Jx\in E''$ par $Jx(f)=f(x)$.  $Jx$ est bien
une forme lin\e aire continue sur $E'$, puisque $|Jx(f)| = |f(x)|\leq
||x||_E||f||_{E'}.$  En fait, 
$||Jx||_{E''}=||x||_E$ car, gr\aa ce au Corollaire \ref{normepardualite},
$$||Jx||=\sup_{||f||\leq 1} |Jx(f)| = \sup_{||f||\leq 1}|f(x)| = ||x||.$$
On a donc $JE\subset E''$. Cela va nous permettre de d\e finir une nouvelle
topologie sur $E'$.

\begin{Def} \index{Topologie faible-$\star$}
La topologie $\star \sigma(E',E)$ est la moins fine rendant continues les
formes lin\e aires $f\to f(x)$, pour tout $x\in E$.

\end{Def}
Cette topologie est donc {\it a priori} moins fine que $\sigma(E',E'')$.
\begin{pro}\index{Base de voisinages (pour la topologie faible-$\star$)}
On a la base de voisinages en $f_0\in E'$ pour la topologie faible-$\star$ :
$$U= \{f\in E', \; |(f-f_0)(x_i)|<\varepsilon\},\; i=1, ...,n, \; x_i\in E,\; n\in
\NN .$$ 
\end{pro}
\begin{pro}\label{voisinagesfaibleetoile} \index{Convergence d'une suite (pour
la topologie faible-$\star$)} Soit
$E$ un espace de Banach. Si $(f_n)$ est une suite de $E'$, 
\newline (i) $(f_n\rightharpoonup f$, $\star\sigma(E',E))$ $\Leftrightarrow$
$(\forall x\in E\; f_n(x)\to f(x)).$
\newline
(ii) Si $f_n\to f$ fortement, alors $f_n\rightharpoonup f$, $\star \sigma(E',E)$.
\newline
(iii) Si $f_n\rightharpoonup f$, $\star\sigma(E',E)$, alors $||f_n||$ est born\e e
et $$||f||\leq \lim\inf_{n\to +\infty}||f_n||.$$ 
(iv) Si $f_n\rightharpoonup f$,
$\star
\sigma(E',E)$, si
$x_n\to x$ fortement, alors $f_n(x_n)\to f(x)$.
\end{pro}

\paragraph{D\e monstration}
Pour (i), (i), (iv), les m\eee mes que pour la proposition
\ref{liensentreconvergences}. 
\enddemo
\begin{pro} \index{S\e paration de la topologie $\sigma(E',E)$}
La topologie $\sigma(E',E)$ est s\e par\e e.
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
En effet, si deux formes lin\e aires $f$ et $g$ sur $E$ sont distinctes, il existe
$x\in E$ tel que $f(x)\neq g(x) $.
\enddemo
\begin{thf}
(Banach-Alaoglu-Bourbaki).\label{alaoglu}l\index{Banach-Alaoglu-Bourbaki (th\e
or\ee me de)}  L'ensemble
$\overline{B_{E'}}=\{f\in E',
\; ||f||\leq 1\}$ est compact pour la topologie $\star\sigma(E',E)$.
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
On  plonge
$E'$ dans
$Y=\RR^E$, l'espace des applications de
$E$ dans
$\RR$ muni de la topologie produit, \ccaadd la topologie la moins fine rendant
continues les projections $Y\to \RR$, $\omega = (\omega_x)_{x\in E}\to E$. En
clair, la topologie sur $Y=\RR^E$ est la topologie de la convergence simple.  On
appelle le plongement
$\Phi : (E',
\sigma(E',E))\to Y$,
$f\to (f(x))_{x\in E}\in Y$.  L'application $\Phi$ est continue et injective et
d'inverse  continue sur son image. On peut le v\e rifier en regardant les images
et images r\e ciproques des ouverts, mais on peut aussi simplement remarquer que
les topologies sur 
$Y$ et sur $E', \; \star\sigma(E',E)$ sont la m\eee me, puisque la topologie
$\star\sigma(E,E')$ n'est autre que la topologie de la convergence simple
(restreinte aux formes lin\e aires sur $E$).  Montrons que l'image $K$ de
$\overline{B_{E'}}$ par $\Phi$ est un compact.  On a
$$K=\{\omega\in Y, \;\forall x\in E,\; |\omega_x|\leq ||x||,\;
\omega_{x+y}=\omega_x+\omega_y,
\;
\omega_{\lambda x}=\lambda\omega_x\}.$$
On \e crit $K=K_1\cap K_2$, avec $$K_1=\{\omega\in Y, \; \forall x\in E,
|\omega_x|\leq ||x||\}\hbox{  et }$$
$$K_2 = \{\omega \in Y, \; \forall x, y\in E,\;\forall \lambda \in \RR, 
\omega_{x+y}=\omega_x+\omega_y, \; \omega_{\lambda x}=\lambda\omega_x.\}$$
On voit que $K_1=\Pi_{x\in E}[-||x||, ||x||]$ est compact et que $K_2$ est ferm\e .
Donc $K$ est compact et donc $\overline{B_{E'}}$ aussi.
\enddemo
\drem Le th\e or\ee me pr\e c\e dent n'est r\e ellement utilisable que si la boule 
unit\ea  $\overline{B_{E'}}$ est m\e trisable.  On verra plus loin que c'est le
cas quand $E$ est s\e parable.
\frem
\section{Exercices}
{\bf Rappels}
\\ \\
Soit E un espace topologique. On appelle voisinage de $x \in E$, tout 
sous-ensemble de E contenant un ouvert contenant x. 
On note ${\cal V}(x)$ l'ensemble des voisinages de x.\\
Cons\'equences :\\
1) Un ouvert est voisinage de chacun de ses points.\\
2) Un ensemble voisinage de chacun de ses points est ouvert. En effet, si $x 
\in A$ voisinage de chacun de ses points, alors 
$\exists W_x$ ouvert tel que $x \in W_x \subset A$. Par suite $A = \bigcup_{x 
\in A} W_x$ donc est ouvert.\\
3) Les ouverts sont connus d\'es que sont connus pour tout x les voisinages de 
x.\\
D\'efinition : On dit qu'une partie $\cal B$ de ${\cal V}(x)$ est une base de 
voisinages de ${\cal V}(x)$ si 
$\forall V \in {\cal V}(x)$, $\exists W \in {\cal B}$ tel que $W \subset V$.\\
Donc connaissant ${\cal B}$, on obtient les \'el\'ements de $\vois$ comme 
sur-ensembles quelconques des \'el\'ements 
de ${\cal B}$.
\\ \\
{\bf Introduction} D\'efinition de la topologie faible
\\ \\
Dans tout ce qui suit E d\'esignera un espace de Banach. Pour $f \in 
E^{\prime}$, on d\'efinit 
$p_f(x) = \vert f(x) \vert$, c'est bien une semi-norme sur E. On note ${\cal 
P}={(p_f)}_{f \in E^{\prime}}$.
Soit $p \in \cal P$, on appelle  
p-boule ouverte de centre $x \in E$ et de rayon r l'ensemble $B(x,r)$ des 
points $y \in E$ tels que 
$p(x-y) < r$. Enfin on appelle $\cal P$-boule ouverte de centre x toute 
intersection finie de $p_i$-boules ouvertes.\\ 
D\'efinition : Une partie U de E est ouverte si ou bien $U = \emptyset$, ou 
bien $\forall x \in U$, il existe 
une $\cal P$-boule ouverte de centre x contenue dans U. On peut v\'erifier 
facilement que l'on d\'efinit bien ainsi une topologie sur E.\\
On note $(E,\cal P)$ l'espace E muni de cette topologie. La topologie (E,${\cal 
P}$) s'appelle la topologie faible sur E (par "opposition" \`a la topologie de 
la norme 
qui est dite topologie forte). Elle est souvent not\'ee $\sigma (E,E^{\prime})$ 
ou bien $E_w$ 
(w=weak) dans la litt\'erature.\\
Pour simplifier les notations, on pose $E^{\prime}=(f_i)_{i \in I}$ et on 
notera P.F.I l'ensemble des parties finies de I. Par d\'efinition de la 
topologie associ\'ee \`a une famille de semi-normes, 
les ensembles $V(x,J,\ep) = \{ y \in E, \vert <f_i,x-y> \vert < \ep, \forall i 
\in J \}$ 
o\`u $J \in P.F.I$ et $\ep > 0$ constituent une base de voisinages (ouverts) de 
x dans E.
\\ \\
{ \bf Exercice 1} 
\\ \\
1) V\'erifier que la topologie faible est s\'epar\'ee.\\
2) Montrer qu'un ouvert faible est un ouvert fort.\\
3) Montrer que $E^{\prime}= (E_w)^{\prime}$. En particulier les ensembles $\{ x 
\in E, <f,x> < \alpha \}$ 
o\`u $f \in E^{\prime}$ et $\alpha \in \RR$ sont des ouverts faibles.\\
4) Montrer que si dim$E < \infty$, $\sigma(E,E^{\prime})$ est \'equivalente 
\`a $(E,\Vert \;\Vert)$ (pour 
cela montrer que toute boule $B(x,r)$ contient un $V(x,J,\ep)$).
\\ \\
{\bf Exercice 2} 
\\ \\
On suppose dim$E = + \infty$. On se propose de montrer que la topologie faible 
n'est pas m\'etrisable. Pour cela on raisonne par l'absurde et on suppose qu'il 
existe une distance
 d sur E dont la topologie est \'equivalente \`a $\sigma(E,E^{\prime})$.\\
1) Montrer qu'il existe une suite $(f_n)_{n \geq 1}$ d'\'el\'ements de 
$E^{\prime}$ telle 
que \\
$\forall k \in \NN^{\star},\quad \exists I_k \in P.F.\NN^{\star},\quad \exists 
{\ep}_k > 0$ tels que
$$ \bigcap_{i \in I_k} \{x \in E : \vert <f_i,x> \vert < {\ep}_k \} \subset 
B_d(0, \frac{1}{k}),$$
o\`u $B_d(0,\frac{1}{k}) = \{x \in E : d(0,x) < \frac{1}{k} \}.$\\
2) Soient $g \in E^{\prime}$ et $V = \{ x \in E :\, \vert <g,x> \vert < 1 \}$. 
Montrer que $\exists I 
\in P.F.\NN^{\star}$ tel que $$\bigcap_{i \in I} \ker f_i \subset V,\mbox{ puis 
que } \bigcap_{i \in I} \ker f_i \subset 
\ker g.$$
On note $I = \{ n_1,n_2,...,n_k \}$.\\
3) On consid\`ere 
\begin{eqnarray*}
F : E & \longrightarrow & {\RR}^{k+1} \\
    x & \longmapsto & (g(x),f_{n_1} (x),...,f_{n_k} (x)).
\end{eqnarray*}
S\'eparer ImF de (1,0,...,0) dans ${\RR}^{k+1}$. En d\'eduire que $\exists 
{({\lambda}_i)_i} \in {\RR}^{k}$ tel 
que $g = \sum_{i=1}^{k} {\lambda}_i f_{n_i}$.\\
4) Soit $F_n = \mbox{vect} \{ f_1,...,f_n \}$. Montrer que $\exists n_0 \in 
\NN^{\star}$ tel que $E^{\prime} = F_{n_0}$. 
(remarquer que $E^{\prime} = \bigcup_{n} F_n$).\\
5) Conclure.
\\ \\
{ \bf Exercice 3} 
\\ \\
Soient E et F deux espaces de Banach et $T : E \longrightarrow F$ \underline 
{lin\'eaire}.\\
1) Montrer l'\'equivalence des propri\'et\'es suivantes :
$$
\begin{array}{clll}
(1) &  T : E     & \longrightarrow & F \mbox{  continue.} \\
(2) &  T : E_w   & \longrightarrow & F_w \mbox{  continue.} \\
(3) &  T : E     & \longrightarrow & F_w \mbox{  continue.}
\end{array} 
$$
2) Montrer que $T : E_w \longrightarrow F$ lin\'eaire continue 
$\Longrightarrow$ $\dim Im(T) < \infty.$
\\ \\
{ \bf Exercice 4}
\\ \\
On note $ {\ell}^1 = \{ x = {(x_n)}_{n \geq 1} \subset \RR \mbox { tel que } 
\sum_{n=1}^{+ \infty} \vert x_n \vert < \infty \}$ que 
l 'on munit de $ {\Vert x \Vert}_1 = \sum_{n=1}^{+ \infty} \vert x_n \vert$, et 
$ {\ell}^{\infty} = \{ x = {(x_n)}_{n \geq 1} \subset \RR \mbox { tel que } 
\sup_n \vert x_n \vert < \infty \}$ que l'on munit de $ {\Vert x 
\Vert}_{\infty} = \sup_{n \geq 1} \vert x_n \vert.$\\
On admettra que ${\ell}^1$ et ${\ell}^{\infty}$ sont des espaces de Banach. \\
Enfin on note $e^n = {(\delta_{ni})}_{i \geq 1}$ o\`u ${\delta}_{ni} = 1$ si i 
=n, ${\delta}_{ni} = 0$ sinon.\\
1) Pour $x = (x_n) \in \lun$ on note $x^N = \sum_{n=1}^N x_n e^n$. V\'erifier 
que ${\Vert x^N -x \Vert}_1 \longrightarrow 0$ quand $N \rightarrow + \infty$. 
(On \'ecrira alors $x = \sum_{n=1}^{+ \infty} x_n e^n$.)\\
2) Soit $y \in \linf$ avec $y = (y_n)$. On consid\`ere 
\begin{eqnarray*}
f : \lun & \longrightarrow & \RR \\
      x & \mapsto & f(x) = \sum_{n \geq 1} x_n y_n,
\end{eqnarray*}
avec $x=(x_n)$. Montrer que $f \in {(\lun)^{\prime}}$. On pose ${\Lambda}_y = 
f$ et on d\'efinit ainsi 
une application
\begin{eqnarray*}
\Lambda : \linf & \longrightarrow & {(\lun)^{\prime}} \\
      y & \mapsto & {\Lambda}_y,
\end{eqnarray*}
o\`u $<{\Lambda}_y,x> = \sum x_n y_n$,  $\forall x \in \lun$.\\
a) Montrer que $\Lambda$ est une isom\'etrie.\\
b) Montrer que $\Lambda$ est un isomorphisme.\\ \\
Dans la suite on identifiera $\linf$ et ${(\lun)^{\prime}}$ \`a l'aide de 
$\Lambda$, c'est \`a dire que si $y \in \linf$, on 
\'ecrira $<y,x> = \sum_n x_n y_n$ $\forall x \in \lun$. De plus, $<y,e^i> = < 
e^i,y> = y_i$, $\forall i \geq 1$ et $ \forall y \in \lun$ ou $\linf$.\\
3) Soit $(x^n)_{n \geq 1}$ une suite d'\'el\'ements de $\lun$, exprimer le fait 
que $x^n \rightharpoonup 0$ 
dans $\lun$ muni de la topologie faible.\\
4) On se propose de d\'emontrer le th\'eor\`eme suivant :\\
Si $x^n \rightharpoonup 0$ dans $\lun$ pour la topologie faible 
$\sigma(\lun,\linf)$ alors $x^n \rightarrow 0$ pour la 
topologie forte i.e. $\Vert x^n \Vert \rightarrow 0$.\\
NB : C'est un cas TRES PATHOLOGIQUE.\\
Soit donc $(x^n)_{n \geq 1}$ une suite d'\'el\'ements de 
$\lun$ telle que $x^n \rightharpoonup 0$ dans $\lun$ faible.\\

a) Soit $K = {\overline B}_{\linf} = \{ f \in \linf : {\Vert f \Vert}_{\infty} 
\leq 1\}$. On note
$$d(f,g) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac {\vert f_n - g_n \vert}{2^n} .$$
Montrer que (K,d) est un espace m\'etrique.\\

b)Montrer que $\forall r > 0$ et $\forall f \in K$, 
$$\Omega = \{ g \in K : d(f,g) < r\} = B_d(f,r) \cap K $$
est un voisinage de f dans K pour la topologie faible $\star$ 
$\sigma(\linf,\lun)$.\\

c) En d\'eduire que (K,d) est un espace m\'etrique compact.\\

d) Soit $\ep > 0$ fix\'e. On pose
$$F_k = \{ f \in K : \vert <f,x^n> \vert \leq \ep,\,\forall n \geq k \}.$$
Montrer que $\exists f^0 \in K$, $\exists \rho > 0$ et $\exists k_0$ tels que 
$$ f \in K \mbox {  et  } d(f^0,f) < \rho \, \Longrightarrow \, f \in 
F_{k_0},$$
(appliquer le lemme de Baire).\\

e) Soit $N \in {\NN}^{\star}$ tel que $\frac {1}{2^{N-1}} < \rho$, montrer que 
$\forall n \geq k_0$,
$${\Vert x^n \Vert}_1 \leq \ep + 2\, \sum_{i=1}^{N} \vert x_i^n \vert,$$
(choisir $f = (f_1^0,f_2^0,...,f_N^0, \pm 1,\pm 1,...,\pm 1,...)$ et utiliser 
le fait que 
$f \in F_{k_0}$.\\

f) Conclure.\\
5) On vient de d\'emontrer que l'application, id : $\lun$ faible $\rightarrow$ 
$\lun$ fort, est s\'equentiellement 
continue. Est-elle continue ? 
\\ \\
\chapter{Espaces r\e flexifs, espaces s\e parables}
\section{Espaces r\e flexifs}
Soit $E$ un espace de Banach.  Commen\c cons par quelques remarques sur la
dualit\e.
\begin{pro} \index{Bidual d'un espace de Banach} Si $E\subset F$, alors
$F'\subset E'$  et
$E''\subset F''$.  Si
$M\subset E$ est un sous-espace ferm\ea de $E$ et si $M'=E'$, alors $M=E$.
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration} Les deux premiers \e nonc\e s sont \e vidents, mais
attention, les inclusions en question sont des plongements : en effet $F'\subset
E'$ veut dire que les formes lin\e aires continues sur $F$ peuvent \eee tre
restreintes
\a
$E$ et apparaissent alors comme des formes lin\e aires continues sur $E$.
 Si
$M'=E'$,  l'orthogonal de $M$ dans $E'$ est $\{0\}$.  Par le Lemme
\ref {densite-orthogonalite}, $M$ est dense dans $E$.  Comme $M$ est ferm\e , on a
donc $M=E$.
\enddemo
%
Soit $J : E\to E''$ l'injection canonique de $E$
dans $E''$, d\e finie par $Jx(f) = f(x)$ pour tout $x\in E$, $f\in E'$.
\begin{Def} \index{R\e flexivit\ea } $E$ est r\e flexif si $J(E)=E''$. 
\end{Def}
\begin{thf} (Kakutani).\label{kakutani} \index{Kakutani (th\e or\ee me de)}Soit
$E$ un espace de Banach.  Alors
$E$ est r\e flexif si et seulement si $\overline{B_E}=\{x\in E, \; ||x||\leq
1\}$ est compact pour la topologie $\sigma(E,E')$.
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration tr\ee s abr\e g\e e}  
Si $E$ est r\e flexif, on  a $E=J^{-1}(E'')$ et, avec cette identification,
$\sigma(E,E')=\sigma(E'',E')$ et $\overline{B_E}=\overline{B_{E''}}$. Comme cette
derni\ee re boule est compacte pour $\sigma(E'', E')$, on d\e duit que 
$\overline{B_E}$ est compacte pour $\sigma(E,E')$.  Pour la r\e ciproque, voir
 Brezis pages 44 et 45.
\enddemo
%
%\dexer Trouver la faute : Nous allons montrer que tout espace vectoriel norm\ea
%est r\e flexif. On commence par remarquer que si $E\subset F$, alors $F'\subset
%E'$.  Par plongement, on a $E\subset E''$.  Donc $(E'')'\subset E'$, soit
%$E'''\subset E'$.  Par plongement, on a \e galement $E'\subset (E')''$ et donc
%$E'\subset E'''$.  Finalement, $E' = E'''= (E')''$, ce qui veut dire que $E'$ est
%r\e flexif.  Donc tout dual est r\e flexif.  Mais comme $E$ est r\e flexif si et
%seulement si $E'$ l'est, on conclut que tout espace vectoriel norm\ea est r\e
%flexif.
%
%\fexer
%
\begin{pro} \label{sousespacereflexif} \index{R\e flexivit\ea (d'un sous-espace
ferm\ea )} Soit
$M\subset E$ un sous-espace vectoriel ferm\ea de
$E$, espace de Banach, muni de la norme induite.  Alors si $E$ est r\e flexif, $M$
est r\e flexif.
\end{pro}
%
\paragraph{D\e monstration}
Montrons que la topologie $\sigma(M,M')$ est une restriction \a $M$ de la
topologie $\sigma (E,E')$.  Cela provient du fait que, par le th\e or\ee me de
Hahn-Banach, toute forme lin\e aire continue sur $M$ peut se prolonger en une forme
lin\e aire continue sur
$E$.  Inversement, toute forme lin\e aire continue sur $E$ est continue sur $M$. 
On applique le th\e or\ee me de Kakutani : la boule $\overline{B_M}=\{x\in M\; 
||x||\leq 1\}$ est un ferm\ea de $\overline{B_E}$ qui est un compact pour
$\sigma(E,E')$.  Donc c'est aussi un compact pour $\sigma(E,E')$.  Donc, \a
nouveau par le th\e or\ee me \ref{kakutani}, $M$ est r\e flexif.
\enddemo
%
%\paragraph{Autre d\e monstration directe, \a arranger}
%Par hypoth\ee se, $JE=E''$. Comme $M\subset E$, on a aussi $M''\subset E''$ et le
%plongement $JM\subset M''$ est une restriction du plongement $JE\subset E''$.  On
%a donc $JM\subset M''\subset E'' = JE$ et donc $M\subset J^{-1}(M'')\subset E$.
%On veut montrer que $JM=M''$, ou de mani\ee re \e quivalente que
%$M=J^{-1}(M'')$.  Par le corollaire ??, $M$ \e tant ferm\e , il suffit de montrer
%que $M'=J^{-1}(M'')'$. Comme $M\subset J^{-1}(M'')$, on a bien
%$J^{-1}(M'')'\subset M'$.  Il suffit donc de montrer l'inclusion inverse. Soit
%$f\in M'$.  Alors, 
%$$\forall x\in J^{-1}(M'')\subset E, \; |Jx(f)|\leq
%||Jx||_{M''}||f||_{M'}= ||f||_{M'}||Jx||_{E''}=||f||_{M'}||x||_E.$$
%Donc $f\in (J^{-1}(M''))'$ et donc $M'\subset J^{-1}(M'')'$.
%\enddemo
%
\begin{pro}  \index{R\e flexivit\ea (du dual d'un espace r\e flexif)}Soit $E$ un
espace de Banach.  Alors
$E$ est r\e flexif si et seulement si $E'$ est r\e flexif.

\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
Supposons que $E$ soit r\e flexif.  On sait que $\overline{B_{E'}}$ est compact
pour la topologie $\sigma(E',E)$ (Th\e or\ee me \ref{alaoglu} de Alaoglu).  Comme
$E$ est r\e flexif, on a $\sigma(E',E) = \sigma(E',E'')$.  Donc
$\overline{B_{E'}}$ est aussi compact pour $\sigma(E',E'')$, ce qui implique par le
th\e or\ee me de Kakutani que $E'$ est r\e flexif.


R\e ciproquement, Si $E'$ est r\e flexif, alors par l'\e tape pr\e c\e dente,
$E''$ est r\e flexif. Donc $J(E)$, qui est un sous-espace ferm\ea (fort) de $E''$,
est aussi r\e flexif par la proposition \ref{sousespacereflexif}, et donc $E$ est
r\e flexif.
\enddemo
%
%\paragraph{Autre d\e monstration directe}  Supposons d'abord que $E$ est r\e
%flexif. Par hypoth\ee se, on a $JE=E''$ et donc $(JE)'=E'''$.  Appelons $J_1$ le
%plongement
%$J_1E'\subset E'''$. On doit montrer qu'en fait $J_1E'=E'''$.  Comme
%$(JE)'=E'''$,  Il suffit de montrer que $(JE)'\subset J_1E'$. Or
%$$f\in (JE)'\Leftrightarrow \forall x\in E, |Jx(f)|\leq ||f||_{(JE)'}||Jx||_{E''}
%=||f||_{(JE)'}||x||_{E}.$$
%En posant $f_1(x)=Jx(f)$, on en d\e duit que $f_1\in E'$ et $f=J_1f_1$.  Donc 
%$f\in J_1E'$.  
%Pour la r\e ciproque, on proc\ee de comme
%dans la d\e monstration pr\e c\e dente.
%\enddemo
%
\begin{cor}\index{Compacit\ea faible (d'un convexe ferm\ea born\ea )}
Soit $K\subset E$ un sous-ensemble convexe, ferm\e , born\ea d'un espace de Banach
r\e flexif.   Alors $K$ est compact pour la topologie $\sigma (E,E')$.
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
$K$ est ferm\ea dans $\sigma(E,E')$, et $K\subset \overline{B(0,M)}$ est compact
dans $\sigma(E,E')=\sigma(E'',E')$. 
\enddemo


\section{Espaces s\e parables}
Un espace s\e parable est un espace m\e trique qui contient un sous-ensemble $D$
dense et d\e nombrable.
\begin{pro} \index{S\e parabilit\ea (d'un sous-espace d'espace s\e parable)}
Soit $E$ un espace m\e trique s\e parable et $F$ un sous-espace de $E$.  Alors $F$
est s\e parable.
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
Consid\e rons $d(x_n, F)$, la distance de $x_n$ \a  $F$.    On choisit $y_n\in F$
tel que
$d(y_n, x_n)\leq 2 d(x_n,F)$. Montrons que $y_n$ est dense dans $F$. Soit $y\in
F$. Comme
$$
d(x_n,y)\geq d(x_n, F)\geq\frac 1 2 d(y_n, x_n),
$$
on obtient $ d(y,y_n)\leq d(y,x_n)+d(x_n, y_n)\leq 3
d(x_n, y)$. Comme $x_n$ est dense, on en d\e duit que $\lim\inf d(y,y_n)
\leq 3\lim\inf d(x_n,y)=0$.
\enddemo
\begin{thf} \label{separabledonneseparable}
Soit $E$ un espace m\e trique tel que $E'$ soit s\e parable.  Alors
$E$ est s\e parable.

\end{thf}
Attention : la r\e ciproque est fausse.  On verra que $(L^1(\RR))' =
L^\infty(\RR)$, mais $L^\infty$ n'est pas s\e parable.


\paragraph{D\e monstration du th\e or\ee me \ref{separabledonneseparable}.}
Soit $f_n$ une suite d\e nombrable de $E'$ dense dans $E'$.  A tout $f_n$, on
associe $x_n\in E$ tel que $$||x_n||=1 \hbox{ et }f_n(x_n)\geq \frac 1 2 ||f_n||.$$
Ces $x_n$ sont donc choisis pour \eee tre des \e l\e ments duaux approximatifs des
$f_n$ (voir le corollaire \ref{normepardualite} sur l'application de dualit\e
).    On consid\ee re $L_0$, l'espace vectoriel sur $\QQ$ engendr\ea par les
$x_n$ et
$L$ celui engendr\ea sur $\RR$.  $L_0$ est d\e nombrable et dense dans $L$. 
Montrons que $L$ est \a son tour dense dans $E$.   Remarquons qu'il suffit par le
lemme \ref{densite-orthogonalite} de d\e montrer que 
\fb& 
\forall f\in E', \; (\forall x\in L, \;f(x)=0) \Rightarrow f=0.
\fe&
Soit donc $f\in E'$ tel que $f(x)=0$ pour tout $x\in L_0$.  Montrons que $f=0$.
Or, 
$\forall \varepsilon >0$, $\exists n$, $||f-f_n||<\varepsilon$ et $f(x_n)=0,\;
\forall n.$  Donc
$$\frac 1 2 ||f_n||\leq f_n(x_n) = (f_n-f)(x_n) + f(x_n) \leq \varepsilon.$$
Donc $||f||\leq ||f_n-f|| +||f_n||\leq 3\varepsilon$ et donc $f=0$.
\enddemo
\begin{cor} 
Si $E$ est un espace de Banach, alors $E$ est r\e flexif et s\e parable si et
seulement si $E'$ est r\e flexif et s\e parable.

\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
On sait d\e ja que si $E'$ est r\e flexif et s\e parable, alors $E$ aussi.  R\e
ciproquement, si $E$ est r\e flexif et s\e parable, alors $E''=J(E)$ aussi, et
donc $E'$ aussi. 

\enddemo

\begin{thf} \label{separable-metrisable}\index{M\e trisabilit\ea (de la boule
unit\e )} Soit $E$ un espace de Banach s\e parable. Alors la boule
unit\ea ferm\e e $\overline{B_{E'}}$ est m\e trisable pour la topologie $\sigma
(E',E)$. 
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
Soit $(x_n)$ une suite de $B_E$ dense dans $\overline{B_E}$.  On d\e finit une
distance sur $E'$ par 
$$\forall f, g\in E', \; d(f,g)=\sum_{n=1}^\infty \frac 1 {2^n} |(f-g)(x_n)|.$$
Il faut montrer que les voisinages pour $\sigma(E',E)$ et pour cette distance sont
les m\eee mes.  
\newline
\newline
a) Soit $f_0\in B_{E'}$ et $V$ un voisinage de $f_0$ pour $\sigma(E',E)$. On
montre que $\exists r>0,\; U=\{f\in \overline{B_{E'}},\; d(f,f_0)<r\} \subset V.$
On peut supposer (Proposition \ref{voisinagesfaibleetoile}) que $V$ est de la
forme 
$$V=\{f\in \overline{B_{E'}}, \;
(f-f_0)(y_i)<\varepsilon, \; i=1,..., n\}, \hbox{ avec } ||y_i||\leq 1.
$$
Comme la suite $x_n$ est dense dans $\overline{B_{E}}$, on peut trouver $x_{n_i}$
tels que $||y_i-x_{n_i}||<\frac \varepsilon 4.$  On choisit $r$ tel que 
$2^{n_i}r<\frac \varepsilon 2$.  Alors 
$$
d(f,f_0)<r\Rightarrow \frac 1{2^{n_i}}|(f-f_0)(x_{n_i})|<r, \; i= 1, ...,n.
$$
$$\Rightarrow |(f-f_0)(y_i)| \leq |(f-f_0)(y_i-x_{n_i})|+|(f-f_0)(x_{n_i})|<\frac 
\varepsilon 2 +\frac \varepsilon 2\Rightarrow f\in V.$$
Donc $U\subset V$.
\newline
b) R\e ciproquement, soit $f_0\in \overline{B_{E'}}$. Fixons $r>0$ et consid\e rons
$$U=\{f\in \overline{B_{E'}}, \; d(f,f_0)<r\}.$$
On va montrer qu'il existe un voisinage $V$ de $f_0$ pour $\sigma(E',E)$ dans 
$B_{E'}$ tel que $V\subset U.$  On cherche $V$ de la forme
$$V=\{f\in \overline{B_{E'}}, \; |(f-f_0)(x_i)|<\varepsilon, \; i = 1,..., k\}.$$
Choisissons  $k$ et $\varepsilon$ pour que $V\subset U$ : on a, si $f\in V$,
$$d(f,f_0)=\sum_{n=1}^k \frac 1 {2^n}|(f-f_0)(x_n)|+\sum_{n=k+1}^\infty \frac 1
{2^n} |(f-f_0)(x_n)| <\varepsilon + 2 \sum_{n=k+1}^\infty \frac 1 {2^n}
$$
$$ =
\varepsilon + \frac 1 {2^{k}}.$$
 On choisit  donc $\varepsilon <\frac r 2 $ et $k$ suffisamment grand pour que 
$\frac 1 {2^{k}} <\frac r 2$.
\enddemo
Une adaptation imm\e diate de la d\e monstration pr\e c\e dente donne le r\e
sultat dual :
\begin{thf} \index{M\e trisabilit\ea de la boule unit\e }
Soit $E$ un espace de Banach tel que $E'$ soit s\e parable.  Alors
$\overline{B_E}$ est m\e trisable pour $\sigma(E,E')$.

\end{thf}



\begin{thf} \label{compacitesequentielle} \index{Compacit\ea s\e quentielle de
la boule unit\e} Soit $E$ un espace de Banach s\e parable, $f_n$  une suite
born\e e dans
$E'$.  Alors il existe une sous-suite extraite $f_{n_k}$ qui converge pour
$\sigma (E',E)$.
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
En effet, par le th\e or\ee me \ref{alaoglu} (Th\e or\ee me d'Alaoglu), la boule
unit\ea de $E'$ est compacte pour la topologie $\sigma(E',E)$ et par le th\e
or\ee me \ref{separable-metrisable}, cette topologie est m\e trisable.  Or, dans
un compact m\e trique, toute suite a un point d'accumulation.

\enddemo
\begin{cor} \index{Compacit\ea s\e quentielle (dans un s\e parable r\e flexif)}
Soit $E$ un espace de Banach et r\e flexif.  Soit $x_n$ une suite
born\e e dans
$E$. Alors il existe une sous-suite $x_{n_k}$ qui converge pour $\sigma (E,E').$

\end{cor}

\paragraph{D\e monstration} Soit $F$ le plus petit sous-espace ferm\ea contenant la 
suite $x_n$.
$F$ \e tant r\e flexif, il est le dual de $F'$ et
$\sigma(F,F')=\sigma(F'', F').$  Donc le th\e or\ee me \ref{compacitesequentielle}
s'applique.
%On consid\ee re l'espace vectoriel $M_0$ engendr\ea par $x_n$ et sa fermeture
%$M$.  Alors $M$ est s\e parable et r\e flexif.  Donc $\overline{B_M}$ est m\e
%trisable et compact pour la topologie $\sigma(M,M')$.  Donc il existe une
%sous-suite qui converge pour $\sigma(M,M')$, et donc aussi pour $\sigma(E,E')$.
\enddemo

\begin{cor} Soit $K\subset E$ un sous-ensemble convexe, ferm\ea et born\ea d'un
espace de Banach r\e flexif.  Alors $K$ est compact pour la topologie
$\sigma(E,E')$.
\end{cor}

\begin{cor}\label{convexecoerciveminimum}\index{Minimisation (d'une fonction
convexe s.c.i.)}
 Soit $E$ un espace de Banach r\e flexif et  $\varphi : E\to ]-\infty,
+\infty]$ une fonction convexe s.c.i. sur
un  convexe ferm\ea $A$  telle que  
$$\lim_{x\in A, ||x||\to \infty} \varphi(x) = +\infty, \hbox{  et  } \exists x_0,
|\varphi(x)|<\infty.$$ Alors $\varphi$ atteint son minimum sur $A$.
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
L'ensemble convexe $K=\{x, \varphi(x)\leq \varphi(x_0)\}$ est convexe, ferm\e ,
born\e , non vide. Donc c'est un compact pour $\sigma(E,E')$.   Comme $\varphi$ est 
aussi s.c.i. pour la topologie 
$\sigma(E,E')$, $\varphi$ atteint
 son minimum sur $K$ en vertu du lemme qui suit.
\enddemo
\begin{lem} \index{Fonction semicontinue inf\e rieurement sur un compact}
Soit $\varphi$ une fonction s.c.i. sur un espace topologique compact $K$.  Alors
$\varphi$ atteint sa borne inf\e rieure.

\end{lem}
\paragraph{D\e monstration}
Supposons par contradiction que $\varphi$ n'atteigne pas son infimum $m$ sur $K$.
Alors les ouverts 
$O_\varepsilon = ]m+\varepsilon, +\infty[$ recouvrent $\varphi(K)$.  Comme
$\varphi$ est s.c.i., les ensembles $\varphi^{-1}(O_\varepsilon)$ sont ouverts. 
De plus, ils recouvrent $K$ et on peut donc en extraire un sous-recouvrement
fini. On en d\e duit un recouvrement fini
$O_{\varepsilon_1},...,O_{\varepsilon_k}$ de $\varphi(K)$.  Donc 
$\varphi(K)\subset ]\min(\varepsilon_1, ..., \varepsilon_k), +\infty[$, ce qui
contredit la d\e finition de $m$.

\enddemo
\\ \\
\section{Exercices}
{ \bf Rappel}
\\ \\
On d\'efinit $J : E \longrightarrow \Epp$ par
$${<Jx,f>}_{\Epp,\Ep} = {<f,x>}_{\Ep,E} \quad \forall x \in E,\,\,\forall f \in 
\Ep.$$
On a $\Vert Jx \Vert = \sup_{\Vert f \Vert \leq 1} \vert <f,x> \vert = \Vert x 
\Vert$ par Hahn-Banach, 
donc J est lin\'eaire isom\'etrique. \\
(On peut donc identifier E et J(E) quand on le souhaite.)
\\ \\
{ \bf Exercice 1} 
\\ \\
Montrer que $E = {(E_{w\star}^{\prime})}^{\prime}$.
\\ \\
{ \bf Exercice 2}
\\ \\
Soit $E = {\ell}^{\infty}$ que l'on munit de $ {\Vert x \Vert}_{\infty} = \sup_{n 
\geq 1} \vert x_n \vert.$\\
Trouver une suite ${(f_n)}_n$ de $\Ep$ telle que $\Vert f_n \Vert_{\Ep} = 1$ et 
${(f_n)}_n$ ne poss\`ede aucune 
sous-suite convergente pour la topologie faible $\star$. Y a t'il contradiction 
avec le fait que $(B_{\Ep},w\star)$ 
est compact ? Que pouvez-vous en conclure sur E ?
\\ \\
{ \bf Exercice 3} 
\\ \\
Soient E et F deux espaces de Banach, on note $B_E = \{ x \in E : \Vert x \Vert 
\leq 1 
\}$. Soit 
$T : E \longrightarrow F$ une application lin\'eaire. On dit que T est compacte 
si 
$\overline{T(B_E)}$ 
est compact dans F (pour la norme).\\
1) V\'erifier qu'un compact dans un espace vectoriel norm\'e est born\'e.\\
2) Montrer que T compacte $\Longrightarrow$ T continue.\\
3) Montrer que T compacte $\Longrightarrow$ T v\'erifie ($\star$),
$$(\star)\qquad [x_n \rightharpoonup x \mbox{ dans }E_w \Longrightarrow Tx_n 
\longrightarrow Tx 
\mbox{ dans }F]$$
4) R\'eciproquement : si de plus E est r\'eflexif, montrer que T v\'erifie 
($\star$) 
$\Longrightarrow$ T compacte (on 
pourra d'abord v\'erifier que $T(B_E)$ est ferm\'e).\\
5) On suppose que $E=F$. Montrer que T compacte $\Longrightarrow$ dim ker(Id-T)$< 
\infty$.
\\ \\
{ \bf Exercice 4} 
\\ \\ 
Soit $E$ un espace r\'eflexif et soit $f \in \Ep$, montrer que $\Vert f 
\Vert_{\Ep}$ est atteinte.\\
(C'est un crit\`ere simple pour montrer qu'un espace n'est pas r\'eflexif.)
\\ \\
{ \bf Exercice 5}
\\ \\
Soit $E = {\cal C}[0,1]$ muni de ${\Vert \, \Vert}_{\infty}$ et soit 
$\varphi_n(x) = 1 - nx$ si $x \leq 1/n$ et nulle ailleurs. 
V\'erifier que $({\varphi_n})_n$ n'a aucune sous-suite faiblement convergente. 
Que pouvez-vous conclure sur $E$ ?
%
%\begin{Def}  On dit qu'un espace de Banach $E$ est uniform\e ment convexe si 
%$$\forall \varepsilon>0, \; \exists \delta>0, \; (x,y\in E, ||x||\leq 1, \;
%||y||\leq 1) \; \Rightarrow ||\frac {x+y}2||<1-\delta.$$
%
%\end{Def}
%\begin{exa}et contrexemples : $||x||_2 = (\sum_1^n |x_i|^2)^\frac 1 2,$ $||x||_1 =
%\sum_1^n|x_i|,
%$
%$||x||_\infty = \sup_{i=1, ..., n} |x_i|$.
%
%\end{exa}
%\begin{thf} (Milman-Pettis)
%Tout espace de Banach uniform\e ment convexe est r\e flexif.
%\end{thf}
%\paragraph{D\e monstration}
%Voir Brezis.   Nous n'utiliserons
%pas ce r\e sultat pour montrer la r\e flexivit\ea des espaces consid\e r\e s
%plus loin (espaces de Hilbert, $L^p$, etc.) mais il est bon de conna\ii tre
%l'existence  de cet \e nonc\ea g\e n\e ral.
%
%\enddemo
%\begin{pro}
%Soit $E$ un espace de Banach uniform\e ment convexe.  Soit $(x_n)$ une suite dans
%$E$ telle que $x_n\to x$ dans $\sigma(E, E')$ et 
%$$\lim\sup_n ||x_n||\leq ||x||.$$
%Alors $x_n$ converge vers $x$ fortement.
%
%\end{pro}
% \paragraph{D\e monstration}
%Supposons $x\neq 0$.  Soit $\lambda_n = \max(||x_n||, ||x||)$.  Alors
%$\lambda_n\to ||x||$.  On pose
%$$y_n = \frac {x_n}{\lambda_n}, \; \; y=\frac x {||x||}.$$
%Alors $y_n\to y$ dans $\sigma(E,E')$.  Donc
%$$1=||y|| \leq \lim\inf_n ||\frac {y+y_n}2||.$$
%Mais, puisque $||y||=1$, $||y_n||\leq 1 \Rightarrow \lim\sup ||\frac
%{y+y_n}2||\leq 1.$
%Donc $||\frac{y_n+y}2||\to 1$ et par uniforme convexit\e , on d\e duit que 
%$||y_n-y||\to 0$. 
%
%\enddemo
%
%
\chapter{L'int\e grale de Lebesgue}

On admet l'existence d'une classe de fonctions $f : \RR^N\to [-\infty, +\infty]$
que l'on appelle mesurables au sens de Borel-Lebesgue.  Si
$f= \indic_E$ est une fonction caract\e ristique d'un sous-ensemble $E$ de
$\RR^N$, \ccaadd $f(x)=1$ si $x\in E$, $f(x)=0$ sinon et si $f$ est mesurable, on
dit que $E$ est mesurable, ou Lebesgue-mesurable.
 Dans tout ce
qui suit, nous admettrons que les fonctions et les ensembles  consid\e r\e s sont
mesurables et nous admettons l'existence d'une application qui \a toute fonction
$f$ mesurable et \a valeurs dans $[0, +\infty]$ associe son {\it int\e grale de
Lebesgue} que l'on notera de mani\ee re plus ou moins abr\e g\e e
$$\int_{\RR^N}f(x)dx = \int f(x)dx = \int f \in [0, +\infty].$$
Si $f=\indic_E $ est une fonction caract\e ristique, on note $\mu (E) = \int
\indic_E$ que l'on appelle {\it mesure de} $E$. En l'absence d'une construction
explicite, les {\bf propri\e t\e s} qui suivent doivent
\eee tre consid\e r\e es comme des axiomes v\e rifi\e s par l'int\e grale de
Lebesgue.  A partir de ces axiomes, nous d\e montrerons les autres propri\e t\e s
dont nous aurons besoin. 
\begin{propr}
Lin\e arit\ea : pour $f$ et $g$ \a valeurs dans $[0,+\infty]$, et $\lambda,
\mu\in \RR^+$, \newline
$\int \lambda f+\mu g = \lambda \int f +  \mu \int g$.
\end{propr}
Remarquons que l'en d\e duit la croissance de l'int\e grale :
si $f\leq g$, alors $\int f \leq \int g$
\begin{propr}.
Si $f\geq 0$ est Riemann-int\e grable elle est Lebesgue mesurable et 
son int\e grale au sens de Lebesgue est \e gale \a son int\e grale au sens de
Riemann.

\end{propr}
\begin{propr}\index{Beppo-Levi (th\e or\ee me de la convergence monotone)} (Th\e
or\ee me de Beppo-Levi ou de la convergence monotone) Si $f_n$ est une suite
croissante de fonctions mesurables d\e finies sur
$\RR^N$ et \a valeurs dans $[0,+\infty]$, on a
$$\int \lim_{n\to \infty}f_n(x)dx = \lim_{n\to \infty}\int f_n(x)dx\leq +\infty.$$
\end {propr}
\begin{exo}  Si $\sum u_n$ est une s\e rie de fonctions $\RR^N\to [0,
+\infty]$, on peut intervertir sommation et int\e gration :
$\int \sum_n u_n(x) dx = \sum \int u_n(x)dx.$
\end{exo}
Il suffit d'appliquer le th\e or\ee me de Beppo-Levi \a la suite croissante des
sommes partielles 
$\sum_{n=1}^k u_n$.
\begin{pro} \label {additivite}\index{Additivit\ea (de la mesure)} Si $A$ et $B$
sont deux ensembles mesurables, alors $A\subset B\Rightarrow \mu(A)\leq
\mu(B).$  Si
$A_n$ sont des ensembles disjoints, 
$\mu(\bigcup_n A_n) = \sum_n \mu(A_n)$.  (Appliquer de nouveau Beppo-Levi aux
fonctions caract\e ristiques des ensembles).  Si les $A_n$ ne sont pas
disjoints, on a $\mu(\cup_n A_n)\leq \sum_n \mu(A_n).$

\end{pro}
\begin{Def} \index{N\e gligeable (ensemble)}  On appelle ensemble n\e gligeable 
tout ensemble de mesure nulle. 
On dit qu'une propri\e t\ea est v\e rifi\e e presque partout si elle est vraie
sauf sur un ensemble n\e gligeable.
\end{Def}
En vertu de la proposition \ref{additivite}, toute union d\e nombrable
d'ensembles n\e gligeables est n\e gligeable.   
\begin{pro}\label{nullepresquepartout} 
Soit $f$ d\e finie sur $\RR^N$ et \a valeurs dans $[0, +\infty]$. On a
$$\int f(x)dx = 0 \Leftrightarrow f(x)=0 \hbox { p.p..}$$
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
On pose $A=\{x, f(x)\neq 0\}.$  On a $$f(x)\leq \lim_{j\to \infty}
j\indic_A(x).$$
Si $\mu(A)=0$, on obtient par le th\e or\ee me de la convergence monotone
(Beppo-Levi), 
$$\int f(x)dx \leq \lim_{j\to \infty} j\int \indic_A(x)dx=0.$$
R\e ciproquement,  si $\int f(x)dx=0$, remarquons que $\indic_A(x)\leq \lim_{j\to
\infty} jf(x)$ et donc, \a nouveau par Beppo-Levi,
$$\mu(A)=\int \indic_A(x)dx \leq \lim_{j\to \infty}\int jf(x)dx=0.$$
\enddemo

\begin{Def} \index{Sommabilit\ea d'une fonction}
Soit $f$ une fonction d\e finie dans $\RR^N$ et \a valeurs dans $\complex$. On
dit que $f$ est sommable (ou int\e grable au sens de Lebesgue) si on a 
$$\int_{\RR^N}|f(x)|dx <\infty.$$
L'espace des fonctions sommables est not\ea ${\cal L}^1(\RR^N)$.  Si $f(x)\in
\RR$, on note $f=f^+-f^-$, o\u $f^+=\max (f, 0)$, $f^-=\max(-f,0)$. Ces deux
fonctions sont int\e grables si $|f|$ l'est et on pose
$$\int f = \int f^+-\int f^-.$$
Si $f= f_1 + i f_2$ est \a valeurs complexes, on pose
$$\int f = \int f_1 + i\int f_2.$$
\end{Def}

\dexer \label{independancedeladecomposition}Si une fonction $f$ \a valeurs r\e
elles v\e rifie
$f=g-h$, avec
$g\geq 0$,
$h\geq 0$, alors $\int f = \int g -\int h.$
\fexer
\begin{pro} \index{Lin\e arit\ea de l'int\e grale}L'application $f\to \int f $
est lin\e aire de
${\cal L}^1(\RR^N)$ dans $\complex$.  Si $f$ et $g$ sont sommables et \a
valeurs complexes,
\begin{equation}
\label{sousadditivite}
|\int f(x)dx| \leq \int |f(x)|dx, \; |\int f(x)+g(x)|dx\leq
\int |f(x)|dx +
\int |g(x)|dx.
\end{equation}
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
On montre l'additivit\ea pour des fonctions r\e elles : 
on a $f+g = f^++g^+ -(f^-+g^-)$ et donc, en vertu de l'exercice
\ref{independancedeladecomposition}, et de l'additivit\ea de l'int\e grale pour
les fonctions positives,
$$\int (f+g)=\int (f^++g^+) -\int (f^-+g^-)=\int f + \int g.
$$
On montre la premi\ee re relation de (\ref{sousadditivite}), qui entra\ii ne
ais\e ment la seconde. 
On choisit un nombre complexe $\theta$ de module 1 tel que $\theta \int f$ soit
un r\e el positif.  Donc
$$|\int f(x)dx|=\int \hbox{Re}(\theta f(x))dx \leq \int (\hbox{Re}(\theta
f(x)))^+ dx \leq \int |f(x)|dx.$$
\enddemo
\begin{Def} \index{Espace des fonctions sommables $L^1(\RR^N)$} L'espace 
$L^1(\RR^N)$.
Une cons\e quence de la proposition
\ref{nullepresquepartout} est que si
$f$ et
$g$ sont
\e gales presque partout, elles ont la m\eee me int\e grale.   A partir de
maintenant on identifie les fonctions \e gales presque partout entre elles.  On
note
$L^1(\RR^N)$ l'espace vectoriel des classes d'\e quivalence de fonctions pour
cette relation d'\e quivalence.  Tous les \e nonc\e s qui suivent concerneront
d\e sormais ces classes.  On choisira souvent par commodit\ea une repr\e sentante
$u$ de la classe, ce qui sera licite \a condition de la consid\e rer comme ``d\e
finie presque partout" (p.p.). On s'autorisera donc \a \e crire $u(x)$, mais
cette \e criture n'aura jamais un sens ponctuel (\a moins qu'un \e l\e ment de la
classe ne s'av\ee re continu). Les \e nonc\e s portant sur $u(x)$ n'auront de sens
que si on leur ajoute la mention ``presque partout''.  
\end{Def}

\begin{thf} ({\bf de Lebesgue, ou de la convergence domin\e e)} \index{Lebesgue
(th\e or\ee me de la convergence domin\e e)}
 Soit $f_n$ une suite de fonctions qui converge presque partout vers une
fonction $f$. On suppose qu'il existe une fonction positive sommable fixe $h$
telle que l'on ait pour tout $n$, $|f_n(x)|\leq h(x)$ p.p..  (Cette fonction
$h(x)$ s'appelle un {\rm chapeau int\e grable de la suite} $f_n$).  On a alors
\begin{equation}\label{convergenceenmoyenne}
\int |f_n(x)-f(x)|\to 0,\; \; \int f_n(x)dx \to \int f(x)dx
\end{equation}
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
On remarque que la conclusion (\ref{convergenceenmoyenne}) ne d\e pend pas 
du choix des repr\e sentants des fonctions $f_n$ et de $f$. 
Soit $A_n=\{x, |f_n(x)|>h(x)\}$ et $B$ l'ensemble des points o\u  $f_n$ ne
converge pas vers $f$.  Alors $C=B \cup(\bigcup_n A_n )$ est n\e gligeable.  On
peut donc supposer, en changeant de repr\e sentants  pour $f_n$ et $f$, que 
$f_n(x)\to f(x)$ partout et que $|f_n(x)|\leq h(x)$ partout (pour  tout $x$).


On pose $g_n(x)=|f_n(x)-f(x)|$ et $h_n(x) = \sup_{k\geq n}g_k(x)$.  Alors $h_n$
est une suite d\e croissante de fonctions positives qui tend vers z\e ro
partout. De plus, $h_n(x)\leq 2h(x)$ partout.  On va montrer que 
$\int h_n(x)dx$ tend vers z\e ro, ce qui nous donnera
(\ref{convergenceenmoyenne}).  Or, le th\e or\ee me de la convergence monotone
(Beppo-Levi) s'applique \a la suite croissante de fonctions positives $2h-h_n$
et donne $$\lim_{n\to +\infty} \int (2h(x)-h_n(x))dx = 2\int h(x)dx.$$
Donc $\int h_n(x)dx \to 0$.
\enddemo

\begin{thf}  (R\e ciproque du th\e or\ee me de Lebesgue).\index{R\e
ciproque du th\e or\ee me de Lebesgue}
\newline Si $f_n\to f$ dans $L^1$, alors il
existe une sous-suite
$f_{n_k}$ de la suite 
$f_n$ qui converge presque partout vers $f$ et un chapeau int\e grable $h$ tel que
$\forall k, \; |f_{n_k}(x)|\leq h(x)$ p.p..
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}  Voir l'exercice 5 \`a la fin du chapitre VI. 
\enddemo

\begin{thf} (Th\e or\ee me de d\e rivation sous le signe somme)\index{D\e
rivation sous le signe somme (Th\e or\ee me de)} Soient $I$ un intervalle de
$\RR$ et
$A$ un sous-ensemble de $\RR^n$. On se donne une fonction $f$ d\e finie sur
$A\times I$ v\e rifiant les trois hypoth\ee ses  suivantes.
\newline
(a) Pour tout $\lambda\in I$, la fonction $x\to f(x,\lambda)$ est sommable sur $A$.
\newline
(b) La d\e riv\e e partielle $\frac{\partial f}{\partial \lambda}(x, \lambda)$
existe en {\rm tout} point de $A\times I$.
\newline
(c) Il existe une fonction $h$ positive et sommable sur $A$ telle que l'on ait 
$|\frac{\partial f}{\partial \lambda}(x, \lambda)|\leq h(x)$ pour tous $x$ et
$\lambda$. Alors la fonction $F$ d\e finie par
$$F(\lambda)=\int_A f(x, \lambda)dx$$ est d\e rivable dans $I$ et on a
$$F'(\lambda) = \int_A \frac{\partial f}{\partial \lambda}(x,\lambda)dx.$$
\end{thf}

\paragraph{D\e monstration}
On a, \a $\lambda$ fix\e ,
$$\frac 1 l [F(\lambda +l )-F(\lambda)] = \int_A g_l(x)dx,$$
o\u l'on a pos\ea
$$g_l(x) = \frac 1 l[f(x,\lambda+l)-f(x,\lambda)].$$
La fonction $g_l$ converge en tout point vers $\frac {\partial f}{\partial
\lambda}.$  D'autre part,  $$|g_l(x)|\leq \sup_{0\leq\theta\leq
1}|\frac{\partial f}{\partial \lambda}(x, \lambda+\theta l)|\leq h(x)$$
d'apr\ee s le th\e or\ee me des accroissements finis.  Le th\e or\ee me r\e sulte
alors de l'application du th\e or\ee me de Lebesgue.
\enddemo



L'avant-derni\ee re propri\e t\ea de l'int\e grale de Lebesgue que nous
admettrons est la suivante.  Comme pr\e c\e demment, on suppose que les
fonctions consid\e r\e es sont mesurables. 

\begin{Def} \index{Fonction en escalier} On consid\ee re un quadrillage de taille 
$a$ de
l'espace
$\RR^N$ par des hypercubes de longueur d'ar\ee te $a$. Posant $C=[0,a[^N$, ce
quadrillage peut se d\e finir par le  recouvrement disjoint 
$$\RR^N=\bigcup_{\hbox{\bf n}\in \relative^N}
(a\hbox{\bf n}+C).$$
 On appelle fonction en escalier une fonction \a laquelle on peut associer un 
quadrillage
de taille $a$ tel que $f$ soit
constante sur chacun des hypercubes du quadrillage et \a support born\ea.
\end{Def}
\begin{Def} \index{Fonction en escalier dyadique} On appelle fonction en escalier 
dyadique
une fonction en escalier associ\e e 
\a un quadrillage de taille $a=2^k$, $k\in \relative$.
\end{Def}

\begin{propr} \label{densiteescalierL^1}  \index{Densit\ea des fonctions en
escalier dans $L^1$}
 Pour toute fonction $f$ sommable sur $\RR^N$, il existe une suite de
fonctions en escalier qui converge vers $f$ dans $L^1(\RR^N)$. Cette propri\e 
t\ea reste
vraie si on impose aux fonctions en escaliers d'\eee tre dyadiques.
\end{propr}

On va  d\e duire de la proposition \ref{densiteescalierL^1} une propri\e t\ea de
densit\ea plus forte concernant les fonctions continues \a support compact.

\begin{Def} \index{Support d'une fonction} Soit $f$ une fonction continue et nulle 
en dehors d'une boule. On
appelle support de $f$ la  fermeture de l'ensemble $\{x, f(x)> 0\}$ qui est
ferm\ea et born\ea et donc compact. Si $\Omega $ est un ouvert de $\RR^N$, on
note
${\cal C}_c(\Omega)$ l'ensemble des fonctions coninues \a support compact contenu dans
$\Omega$.
\end{Def}

\begin{cor}\label{densiteCoL^1}\index{Densit\ea de ${\cal C}_c$ dans $L^1$}
Pour toute fonction $f$ sommable sur
$\RR^N$ il existe une suite de fonctions $f_n\in {\cal C}_c(\RR^N)$, \ccaadd
continues et \a support compact, telles que
$$\int_{\RR^N}|f_n-f|\to 0.$$
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
On commence par montrer que si $C$ est un hypercube de $\RR^N$ et $\indic_C$ sa
fonction caract\e ristique, alors il existe des fonctions continues $f_N$ \a
support compact telles que $\int |f_N-\indic_C|(x)dx$ soit arbitrairement petit. On
peut bien s\uu r se ramener au cas o\u $C=[-1,1]^N$. Commen\c cons par le cas
$N=1$. On consid\ee re l'unique fonction continue et affine sur
$[-1-\varepsilon, -1]$ et sur $[1, 1+\varepsilon]$  telle que
$f_1(x) = 0$ si
$|x|\geq 1 +\varepsilon$ et
$f(x)=1$ si 
$|x|\leq 1$.  La fonction $f_N(x_1, ..., x_N)=f_1(x_1)...f_N(x_N)$
convient en dimension $N$.  En consid\e rant les supports de $f_N$ et de
$\indic_C$, on voit  en effet que 
$||\indic_C -f_N||_{L^1}\leq (1+2\varepsilon)^N -1$ qui tend vers 0 quand
$\varepsilon \to 0$.

Toute combinaison lin\e aire finie de fonctions caract\e ristiques d'hypercubes
est donc approchable dans $L^1$ par une combinaison lin\e aire finie de fonctions
continues \a support compact. Il en r\e sulte que toute fonction en escalier est
approchable par des fonctions \a support compact dans $L^1$. On conclut en
utilisant la propri\e t\ea \ref{densiteescalierL^1}.

\enddemo


L'espace $L^1(\RR^N)$ appara\ii t donc comme  la compl\e tion de ${\cal C}_c(\RR^N)$
pour la norme $$||f||_{L^1}=\int_{\RR^N}|f(x)|dx,$$ mais il faudra montrer
qu'il est effectivement complet. Voyons tout de suite deux cons\e quences
importantes de cette propri\e t\ea de densit\e .

\begin{thf} (\e quicontinuit\ea en moyenne des fonctions sommables)
\index{Equicontinuit\ea en moyenne des fonctions sommables}
Pour tout $f\in L^1(\RR^N),$ on a 
$$\lim_{y\to 0}\int_{\RR^N}|f(x+y)-f(x)|dx = 0.$$
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
On fixe $\varepsilon>0$ et on choisit gr\aa ce \a la proposition
\ref{densiteCoL^1} une fonction $f_\varepsilon$, continue et \a support compact 
inclus dans une boule $B(0,R)$, telle que 
$||f_\varepsilon -f||_{L^1}\leq \varepsilon.$  La fonction $f_\varepsilon$ est
uniform\e ment continue. Il existe donc $\eta$ tel que $|y|\leq \eta \Rightarrow
|f_\varepsilon(x+y)-f_\varepsilon(x)|\leq \frac{\varepsilon}{\mes(B(0,2R)}.$  Ceci
implique en int\e grant 
$\int |f_\varepsilon(x+y)-f_\varepsilon(x)|dx \leq \varepsilon$ pour
$y\leq
\min(\eta, R).$
   On a donc
$$\int |f(x)-f(x+y)|dx\leq$$
$$\int |f-f_\varepsilon|(x)dx+\int |f_\varepsilon(x)-f_\varepsilon(x+y)|dx+
+\int |f_\varepsilon(x+y)-f(x+y)|dx\leq 3\varepsilon.$$
\enddemo


\begin{thf} (de changement de variable) \index{Changement de variable
(th\e or\ee me de)}\newline Soient $\Omega_1$ et $\Omega_2$ deux ouverts de
$\RR^n$ et
$\Varphi$ un diff\e omorphisme entre $\Omega_1$ et $\Omega_2$. On notera
$J_\Varphi(x)$ le d\e terminant de la matrice jacobienne de $\Varphi$ au point
$x$.  Soit $f$ une fonction d\e finie sur $\Omega_2$.
\newline (a) Si la fonction $f$ est \a valeurs dans $\RR^+\cup \{+ \infty\}$, on 
a
l'\e galit\ea suivante, o\u les deux membres  ont un sens dans
$\RR^+\cup\{+\infty\},$
\fb&
\label{changementdevariable}
\int_{\Omega_2}f(y)dy=\int_{\Omega_1}f(\Varphi(x))|J_\varphi(x)|dx.
\fe&
\newline (b)  Si $f$ est \a valeurs complexes, elle est sommable dans $\Omega_2$
si et seulement si $f(\Varphi(x))J_{\Varphi}(x)$ est sommable dans $\Omega_1$, et
les deux membres de l'\e galit\ea pr\e c\e dente sont alors \e gaux.
\end{thf}

\paragraph{D\e monstration} : La formule (\ref{changementdevariable}) est vraie si
$f$ est int\e grable au sens de Riemann, continue \a support compact par exemple. 
Si
$f$ est sommable, on consid\ee re des fonctions continues $f_n$ \a support compact
qui approchent $f$ dans $L^1$.  On a donc
\begin{equation}\label{changementdevariableapproche}
\int_{\Omega_2}f_n(y)dy=\int_{\Omega_1}
f_n(\Varphi(x))|J_\Varphi(x)|dx
\end{equation}
et on peut \e crire une formule analogue pour $|f_n-f_p|$.  Il en r\e sulte que 
les fonctions $f_n(x)|J_\Varphi(x)|$ forment une suite de Cauchy dans $L^1$. 
Leur limite $f(x)|J_\Varphi(x)|$ est donc bien sommable et en passant \a la limite
dans (\ref{changementdevariableapproche}), on obtient la formule de changement de
variable (\ref{changementdevariable}).
\enddemo
La derni\ee re propri\e t\ea de l'int\e grale de Lebesgue que nous admettons est
la suivante (nous supposons toutes les fonctions consid\e r\e es mesurables).
\begin{propr} \index{Fubini-Tonelli (th\e or\ee me de)}{\bf (Th\e or\ee me de
Fubini-Tonelli)}\newline Soit $f(x,y)$ une fonction d\e finie dans
$\RR^p\times\RR^q$.  
\newline
(a) (Tonelli) Si $f$ est \a valeurs dans $\RR^+\cup\{+\infty\}$, on a l'\e
galit\ea suivante, o\u les trois membres d\e finissent un \e l\e ment de
$\RR^+\cup\{+\infty\}$,
$$\int_{\RR^{p+q}}f(x,y)dxdx=\int_{\RR^p}(\int_{\RR^q}f(x,y)dy)
=\int_{\RR^q}(\int_{\RR^p}f(x,y)dx)dy.$$
(b) (Fubini) Si $f$ est sommable dans $\RR^{p+q}$, les trois membres de l'\e
galit\ea pr\e c\e dente ont un sens et sont \e gaux.  Plus pr\e cis\e ment, dire
que le troisi\ee me membre a un sens signifie :
\newline $\bullet$ pour presque tout $y$, la fonction $x\to f(x,y)$ est sommable
dans $\RR^p$,
\newline $\bullet$ la fonction $\varphi(y)=\int f(x,y)dx$ qui est ainsi d\e finie
presque partout est sommable dans $\RR^q$.
\end{propr}

\chapter{Les espaces de Lebesgue, $L^1$, $L^p$, $L^\infty$}

On appelle, pour $1\leq p<\infty$, $L^p(\RR^N)$ l'ensemble des fonctions d\e
finies presque partout et telles que $$\int_{\RR^N}|f(x)|^p dx<\infty.$$
On appelle $L^\infty(\RR^N)$ l'espace des fonctions d\e finies presque partout
et telles qu'il existe $C>0$ tel que $|f(x)|\leq C$  pour presque tout $x$.  La
plus petite constante $C$ pour laquelle cette relation est vraie s'appelle le
``sup essentiel'' de $|f(x)|$ et on le note $||f||_{L^\infty}.$   On dit  que
$f$ est "essentiellement born\e e." 
\dexer  V\e rifier que les espaces
$L^1$ et
$L^\infty$ sont des espaces vectoriels norm\e s: leurs normes sont
$$||f||_{L^1}=\int |f(x)|dx \hbox{ et } \;
||f||_{L^\infty}=\hbox{supess}_{x\in\RR^N}|f(x)|.$$
\fexer
On  note parfois ces normes $||f||_1$ et $||f||_\infty$. On va aussi poser pour
$1<p<\infty$
$$||f||_p =||f||_{L^p}=(\int |f(x)|^pdx)^\frac 1 p,$$
mais il faudra montrer que c'est une norme. On montrera aussi que les espaces
$L^p$ sont complets et donc des espaces de Banach.  On pose $p' = \frac{p}{p-1}$,
en sorte que $\frac 1 p + \frac 1{p'} =1$. On appelle $p'$ "l'exposant conjugu\e
" de $p$.  On va aussi montrer dans ce chapitre que les espaces $L^p$ et $L^{p'}$
sont duaux l'un de l'autre.
\begin{thf}\label{hoelder} (In\e galit\ea de H\ooo lder)\index{In\e galit\ea de
H\ooo lder} Pour tout $f\in L^p$ et $g\in L^{p'}$, la fonction $fg$ est sommable
et
$$\int |fg|\leq ||f||_p||f||_{p'}.$$
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
On utilise la concavit\ea du logarithme.  Si $a>0$, $b>0$, 
$$\log(\frac 1 p a^p + \frac 1{p'}b^{p'})\geq \frac 1 p \log(a^p) +\frac 1 {p'}\log
(b^{p'})=\log (ab). \hbox { D'o\u  }$$
$$ab \leq \frac 1 p a^p +\frac 1 {p'}b^{p'} \hbox {  et donc  }$$
$$|f(x)g(x)|\leq \frac 1 p |f(x)|^p + \frac 1{p'}|g(x)|^{p'}, \hbox{ qui donne }$$
$$\int |f(x)g(x)|\leq \frac 1 p ||f||^p_{L^p} + \frac 1{p'}||g||_{L^{p'}}^{p'}.$$
Pour trouver l'in\e galit\ea recherch\e e, on remplace le couple $(f, g)$ par
$(\lambda f, \frac g \lambda), $ o\u $\lambda >0.$ On choisit 
$$\lambda = \frac {||g||_{p'}^\frac 1 p} {||f||_p^\frac 1{p'}}. \hbox{ Alors }$$
$$\int |fg|\leq (\frac 1 p +\frac 1{p'})||f||_p||g||_{p'},$$
qui est bien l'in\e galit\ea annonc\e e.
\enddemo
\begin{thf} \index{Norme de $L^p$}
$L^p(\RR^N)$ est un espace vectoriel et $||f||_p$ est une norme pour tout
$1< p<\infty.$
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration} On applique l'in\e galit\ea de H\ooo lder :
$$||f+g||_p^p=\int |f+g|^p = \int |f+g|^{p-1}|f| + \int |f+g|^{p-1}|g|\leq$$
$$|| |f+g|^{p-1}||_{p'}||f||_p + || |f+g|^{p-1}||_{p'} ||g||_p =
(||f||_p + ||g||_p)||f+g||_p^{p-1},$$
soit $||f+g||_p \leq ||f||_p +  ||g||_p$.  Les autres relations caract\e risant
une norme ($||\lambda f|| = |\lambda| ||f|| $, $||f||=0 \Rightarrow f=0$ presque
partout) sont imm\e diates pour $1\leq p\leq \infty$.
\enddemo

\begin{thf} \index{Compl\e tude des $L^p$}
Les espaces $L^p(\RR^N)$,  ($1\leq p\leq +\infty$) sont  des espaces de Banach.
\end{thf}

\paragraph{D\e monstration}
Soit $h_k$ une suite de Cauchy dans $L^p$.  Si $p=+\infty$, il est imm\e diat de
voir que $h_k(x)$ est de Cauchy pour presque tout $x$ et converge uniform\e ment
vers une fonction essentiellement born\e e $h(x)$.  Soit maintenant $1\leq
p<\infty.$ Il existe
 une suite extraite de la suite de Cauchy $h_k$, que nous noterons par commodit\ea 
$f_n=h_{k_n}$, telle que 
$$q, r \geq n \Rightarrow
||f_q-f_r||_{L^p}\leq \frac 1 {2^n}.$$
On pose $g_n(x) = \sum_1^n |f_{k+1}(x)-f_k(x)|$.  La suite de fonctions $g_n(x)^p
$ est croissante.  Notons $g(x)^p$ sa limite. Par l'in\e galit\ea
triangulaire,
$$\int |g_n|^p\leq (\sum_1^n ||f_{k+1}-f_k||_p)^ p\leq 1.$$ Donc, par le
th\e or\ee me de convergence monotone, 
$$\int |g(x)|^p = \lim_n \int |g_n|^p \leq 1.$$
Il en r\e sulte que $g(x)$ est presque partout finie, appartient \a $L^p$ et
que $g_n(x)$ tend presque partout vers $g(x)$.  Comme (pour $n\geq m$),
$\sum_m^{n}|f_{k+1}-f_k|(x)\leq g_n(x)-g_m(x)$, la s\e rie
$\sum_1^\infty(f_{k+1}-f_k)$ converge \e galement presque partout. Donc 
$f_n(x)-f_1(x)$ converge presque partout vers une limite que l'on appelle
$f(x)-f_1(x)\in L^p$.  La suite $f_n(x)$  converge donc presque partout vers
$f(x)\in L^p$. De plus,
$|f_n(x)-f(x)|^p\leq (\sum_n^\infty |f_{k+1}-f_k(x)|)^p\leq g(x)^p$ qui est
chapeau int\e grable.  Donc
$f_n-f$  converge vers 0 dans $L^p$.
  Rappelons que $f_n=h_{n_k}$ est une sous-suite
extraite de la suite de Cauchy $h_k$.  Mais si une sous-suite d'une suite de
Cauchy converge, toute la suite converge.
\enddemo
On a  vu (Propri\e t\ea \ref{densiteCoL^1}) que les fonctions continues \a support
compact forment un sous-ensemble dense de $L^1$.  C'est encore vrai pour les
espaces
$L^p$, avec la restriction
$p<\infty$.

\begin{thf} \label{densiteC0Lp}\index{Densit\ea de ${\cal C}_c$ dans $L^p$}
Les fonctions continues \a support compact sont
denses dans
$L^p(\RR^N)$ pour tout $1\leq p<\infty$.

\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
On commence par montrer que l'on peut approcher une fonction $f$ de $L^p$ par des
fonctions born\e es et \a support compact.   L'approximation se fait par
simple  troncature~: on pose
$f_k(x) = f(x)$ si $||x||\leq k$ et $|f(x)|\leq k$, $f_k(x)=0$ sinon.  La suite
$|f(x)-f_k(x)|^p$ a $|f(x)|^p$ pour chapeau int\e grable et tend presque partout
vers 0. Par le th\e or\ee me de Lebesgue, elle converge donc vers 0 et il en r\e
sulte que  $f_k\to f$ dans $L^p$.  

Reste \a montrer que si une fonction $f$ est
born\e e  ($|f|\leq k$) et
\a support compact ($|f(x)|=0$ si $||x||\geq k$), alors elle est approchable dans
$L^p$ par des fonctions continues. Mais comme $f\in L^1$, il existe une suite de
fonctions continues et 
\a support compact $f_n$ convergeant vers $f$ dans $L^1$. Quitte \a extraire une
sous-suite, on peut suppposer que la suite $f_n$ converge presque partout vers $f$
(r\e ciproque du th\e or\ee me de Lebesgue). En rempla\c cant $f_n$ par la
nouvelle fonction continue
$\max(-k, \min(k, f_n(x))$, qui converge aussi presque partout vers $f$ et a un
un chapeau int\e grable, on peut finalement supposer que $|f_n(x)|\leq k$. 
Utilisons une 
 fonction $g$ continue  et \a support compact   valant 1 sur $B(0,k)$. La suite
de fonctions 
$h_n=gf_n $ converge presque partout vers $f$ et a la fonction born\e e
$k\indic_{B(0,k)}g$ comme chapeau int\e grable dans tout $L^p$.  Elle converge donc
vers
$f$ dans tous les $L^p$ tels que $1\leq p<\infty$. 
\enddemo
\begin{cor} \label{orthogonalaCcimpliquenul}
Soit $f\in L^1_{loc}(\RR^N)$ telle que pour toute fonction continue \a support
compact $u\in {\cal C}_c(\RR^N)$ on ait $\int f(x)u(x)=0$.  Alors $f=0$ p.p.
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
En reprenant exactement le m\eee me raisonnement que dans la d\e monstration pr\e
c\e dente, on voit qu'il existe pour toute boule
$B(0,R)\subset
\RR^N$ une suite $u_n\in {\cal C}_c(B(0,R+1))$ qui converge vers $\signe(f)$ dans 
$L^1(B(0,R))$ et presque partout et v\e rifie $|u_n|\leq 1$.  Il vient alors
$$0=\int_{B(0,R)}f(x)v_n(x)\to
\int_{B(0,R)}f(x)\signe(f(x))=\int_{B(0,R)}|f(x)|dx.$$
Donc $f=0$.

\enddemo


\begin{thf} \index{Uniforme continuit\ea  en moyenne des fonctions de $L^p$}
Pour tout $f\in L^p(\RR^N),$ $1\leq p<\infty,$ on a 
$$\lim_{y\to 0}\int_{\RR^N}|f(x+y)-f(x)|^pdx = 0.$$
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration} : Exercice.
C'est vrai pour les fonctions continues \a support compact car elles sont
uniform\e ment continues et on le montre pour une fonction arbitraire de
$L^1(\RR^N)$ en utilisant la densit\ea de ${\cal C}_c$ dans $L^p$ (Proposition
\ref{densiteC0Lp}).

\enddemo
\section{Convolution et r\e gularisation des fonctions de $L^p$}

\begin{thf} {\bf et d\e finition} \index{Convolution de deux fonctions de $L^1$}
Si
$f$ et
$g$ appartiennent
\a
$L^1(\RR^N)$, alors le produit de convolution $f\ast g$ est d\e fini par
$$(f\ast g)(x)=\int f(x-y)g(y)dy = \int g(x-y)f(y)dy,$$
la fonction de $y$ figurant sous le signe somme \e tant sommable pour presque
tout $x$.  En outre, la fonction $f\ast g$ appartient \a $L^1$ et on a
$$||f\ast g||_1\leq ||f||_1||g||_1.$$
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
On montre d'abord en appliquant le th\e or\ee me de Fubini et le th\e or\ee me de
changement de variable que la fonction $|f(x-y)g(y)|$ est sommable.  En effet,
$$\int\int |f(x-y)g(y)|dxdy=\int |g(y)|(\int |f(x-y)|dx)dy=$$
$$
\int |g(y)|(\int
|f(x)|dx)dy=||f||_{L^1}||g||_{L^1}.$$
La fonction $f(x-y)g(y)$ est donc sommable sur $\RR^{2N}$ et le th\e or\ee me
de Fubini assure que la fonction $y\to f(x-y)g(y)$ est sommable pour presque tout
$x$ et que la fonction alors d\e finissable par $f\ast g(x)=\int f(x-y)g(y)dy$
est elle-m\eee me sommable sur $\RR^N$. On a finalement 
$$||f\ast g||_{L^1}=\int |f\ast g|(x)dx\leq\int |g(y)|(\int
|f(x-y)|dx)dy=||f||_{L^1}||g||_{L^1}.$$
\enddemo
%
%\dexer \index{Associativit\ea (de la convolution)}D\e montrer en appliquant le
%th\e or\ee me de Fubini que le produit de convolution est associatif, 
%$$(f\ast g)\ast h= f\ast (g\ast h).
%$$
%On montrera que la fonction
%$(y,z)\to f(x-y)g(y-z)h(z)$ est sommable dans $\RR^{2N}$ et on calculera son
%int\e grale de deux mani\ee res diff\e rentes.
%\fexer
\begin{thf} {\bf (r\e gularisation par
convolution)}\label{regularisationparconvolution}\index{R\e gularisation par
convolution} Soit
$f\in L^1(\RR^N)$ et soit
$g$ une fonction continue et born\e e dans
$\RR^N$.  Alors la fonction $f\ast g$ d\e finie \underline{en tout point} par 
$f\ast g (x)= \int g(x-y)f(y)dy$ est continue et born\e e. Si de plus les d\e
riv\e es partielles de $g$ existent et sont continues et born\e es, il en est de
m\eee me pour $f\ast g$ et l'on a 
$$\frac{\partial(f\ast g)}{\partial x_j} = f\ast \frac{\partial g}{\partial x_j}, 
\; \; \frac{\partial(f\ast g)} {\partial x_j\partial x_k} = f\ast \frac{\partial
g}{\partial x_j\partial x_k},\; ...
$$
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
On remarque d'abord que la fonction $g(x-y)f(y)$ est sommable pour tout $x$.  En
effet, $|g(x-y)f(y)|\leq ||g||_{\infty}|f(y)|$. La continuit\ea d\e coule du th\e
or\ee me de Lebesgue.  En effet, si $x_n\to x$, alors $g(x_n-y)f(y)$ tend partout
vers $g(x-y)f(y)$ et $||g||_\infty |f(y)|$ est chapeau int\e grable.  Donc
$$f\ast g(x_n)=\int g(x_n-y)f(y)dy\to \int g(x-y)f(y)dy=f\ast g(x).$$
Si $g$ est d\e rivable par rapport \a $x_j$ et de d\e riv\e e continue et born\e
e, appliquons le th\e or\ee me de d\e rivation sous le signe somme.  On a 
$$\frac {\partial}{\partial x_j}(g(x-y)f(y)) = \frac{\partial g}{\partial
x_j}(x-y)f(y)$$
et cette fonction est major\e e en module par $||\frac{\partial g}{\partial
x_j}||_\infty f(y)$, qui est ind\e pendante de $x$ et sommable.  Le th\e or\ee
me de d\e rivation sous le signe somme s'applique donc et donne bien
$\frac{\partial(f\ast g)}{\partial x_j} = f\ast \frac{\partial g}{\partial x_j}$.
\enddemo
\begin{thf} \index{Convolution d'une fonction de $L^1$ avec une fonction
de $L^2$}Soient
$f\in L^1(\RR^N)$ et
$g\in L^2(\RR^N)$. Alors
$(f\ast g)(x)$ est d\e fini pour presque tout $x$ et c'est une fonction de
carr\ea sommable v\e rifiant 
\begin{equation}\label{convolutionL1L2}
||f\ast g||_2\leq ||f||_1||g||_2.
\end{equation}
Soient $f$ et $g$ deux fonctions de  $L^2(\RR^N)$.  Alors $f\ast g(x)$ est
d\e fini pour tout $x$ et c'est une fonction continue, tendant vers z\e ro \a
l'infini et satisfaisant

\begin{equation}
\label{convolutionL2L2}
||f\ast g||_\infty\leq ||f||_2||g||_2.
\end{equation}
\end{thf}

\paragraph{D\e monstration} Pour \e valuer
$$
 \int (|f|\ast |g|)^2(x)dx,
$$
on remarque  que cette int\e grale est \e gale gr\aa ce au th\e or\ee me de
Tonelli
\a
\begin{equation}\label{integraleaucarre}
I=\int\int\int |g(x-y)||g(x-z)||f(y)||f(z)|dxdydz.\end{equation}
(int\ee grer $I$  d'abord par rapport
\a
$y$, puis par rapport \a $z$).  On applique \a nouveau le 
  le th\e or\ee me de Fubini pour
int\e grer $I$ d'abord en
$x$,  puis on utilise l'in\e galit\ea de Cauchy-Schwarz, ce qui donne
\begin{equation}\label{appliquecauchyschwartz}
I=\int\int |f(y)||f(z)|(\int |g(x-y)||g(x-z)|dx)dydz\leq ||f||_1^2||g||_2^2.
\end{equation}
La relation (\ref{convolutionL1L2}) vient imm\e diatement des relations
(\ref{integraleaucarre}) et (\ref{appliquecauchyschwartz}).


Si maintenant $f$ et $g$ sont de carr\ea sommable, on d\e duit  de  l'in\e
galit\ea de Cauchy-Schwarz que $(f\ast g)(x)$ est d\e fini  pour tout $x$ et on
obtient la relation
(\ref{convolutionL2L2}).  Montrons maintenant que $f\ast g $ est continue et tend
vers z\e ro \a l'infini.  On consid\ee re deux suites approximantes continues \a
support compact $f_n$ et $g_n$ telles que $f_n\to f$ et $g_n \to g$ dans
$L^2(\RR^N)$.
Par le th\e or\ee me \ref{regularisationparconvolution}, $f_n\ast g_n$ est
continue et il est imm\e diat que $f_n\ast g_n$ est encore \a support compact. 
Finalement on a, gr\aa ce \a l'in\e galit\ea de Cauchy-Schwarz,
$$|f\ast g(x)-f_n\ast g_n(x)|\leq (|f-f_n|\ast |g|)
(x)+(|f_n|\ast |g-g_n|)(x)\leq$$
$$||f-f_n||_2||g||_2 + ||f_n||_2||g-g_n||_2 \to 0.$$
Donc la suite de fonctions $f_n\ast g_n$, continues et tendant vers z\e ro \a
l'infini, tend uniform\e ment vers $f\ast g$.  Il en r\e sulte que $f\ast g$ est
continue et tend vers z\e ro \a  l'infini.
\enddemo

\begin{Def}  \index{Support d'une fonction} Si $f\in L^1_{loc}(\RR^N)$, on 
appelle support de $f$ et on note
$\supp(f)$ le compl\e mentaire du plus grand ouvert $O$ tel que  $f(x)
=0$ presque partout sur $0$.  Le support de $f$ est donc un ferm\e .  S'il est de
plus born\e , on dit que $f$ est
\a support compact. 
\end{Def}
\begin{pro}\label{supportdeconvolution}\index{Support de la convol\e e de deux
fonctions} Si
$f$ et
$g$ sont deux fonctions de 
$L^1(\RR^N)$, 
$$\supp(f\ast g) \subset \overline{\supp(f)+\supp(g)}.$$
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
Soit $x\notin \supp(f)+\supp(g)$, alors $(x-\supp(f))\cap \supp (g)=\emptyset$ et 
donc
$$(f\ast g)(x)=\int f(x-y)g(y)dy=\int_{(x-\supp(f))\cap \supp(g)}f(x-y)g(y)dy=0.$$
Donc $(f\ast g)(x)=0$ en tout point n'appartenant pas \a $\supp(f)+\supp(g)$ et
donc aussi en tout point n'appartenant pas \a sa fermeture 
$\overline{\supp(f)+\supp(g)}$,
ce qui donne le r\e sultat.
\enddemo
\begin{thf} (Approximations de l'identit\e
)\index{Approximation de l'identit\ea }\label{approximationsidentite}  Soit
$k\in L^1(\RR^N)$ telle que
$\int k(x)dx =1$ et $k(x)\geq 0$ presque partout.  On pose pour tout $h>0$, 
$$k_h(x) = h^{-N}k(\frac x h).$$
Alors, pour toute fonction $f\in L^p(\RR^N)$, $1\leq p<\infty$, les fonctions
$f\ast k_h$ convergent vers $f$ dans $L^1$.
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
On remarque d'abord que 
\fb& 
\label{convol0}  \int k_h(x)dx=\int k(x)dx=1,
\fe&
\fb& \label{convol1}
k_h \ast f (x) -f(x) = \int( k_h(y)(f(x-y) -f(x))dy,
\fe&
on rappelle que comme $f\in L^p$, on peut choisir $\eta$ assez petit pour
que
\fb&
\label{convol2}
|y|\leq \eta \Rightarrow\int |f(x-y)-f(x)|^pdx \leq \varepsilon
\fe&
et que (une cons\e quence du th\e or\ee me de Lebesgue), pour $h$ assez
petit,
\fb&  \label{convol3}
\int_{|y|\geq \eta}|k_h(y)|dy\leq  \varepsilon
\fe&
Enfin, la convexit\ea de la fonction $r\to |r|^p$ et le fait que $k_h\geq 0$, 
$\int k_h=1$ impliquent que pour toute fonction $f$ dans $L^p$, on ait
\fb&  \label{convol4}
(\int k_h(x)|f(x)|dx)^p\leq \int k_h(x)|f(x)|^pdx.
\fe&
En utilisant les relations (\ref{convol0})-(\ref{convol4}) et le th\e
or\ee me de Fubini, 
$$\int |k_h \ast f (x) -f(x)|^pdx=\int|\int ( k_h(y)(f(x-y)
-f(x))dy|^pdx \leq
\int\int  k_h(y)|f(x-y)-f(x))|^pdydx \leq$$
$$2^p\int |f(x)|^pdx\int_{|y|\geq \eta}|k_h(y)|dy+\int_{|y|\leq \eta}|k_h(y)|dy\int
|f(x-y)-f(x)|^pdx\leq$$
$$2^p||f||_{L^p}^p\varepsilon + \int |k_h(y)|\varepsilon =
(2^p||f||_{L^p}^p+||k||_{L^1})\varepsilon.
$$
\enddemo
\dexer Reprendre la d\e monstration pr\e c\e dente dans le cas $p=1$ et montrer
que l'on peut se passer de l'hypoth\ee se que $k$ est positive.
\fexer
\begin{pro}  \label{convergenceversdelta}\index{Approximation par convolution
des fonctions uniform\e ment continues} Si $f$ est uniform\e
mement continue et born\e e sur $\RR^N$, alors $f\ast k_h$ converge vers $f$ 
uniform\e
ment.
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
C'est le m\eee me raisonnement, en plus simple que pour le th\e or\ee me
\ref{approximationsidentite} : On
\e crit simplement
$$|(k_h\ast f)(x)-f(x)|=|\int k_h(y)|f(x-y)-f(x))dy|$$
$$
\leq 2\sup|f|\int_{|y|\geq
\eta}|k_h(y)|dy+\sup_{|y|\leq \eta} |f(x-y)-f(x)|\int|k_h(y)|dy.$$
\enddemo
\begin{cor}\index{Nullit\ea (d'une fonction de $L^1$ orthogonale \a ${\cal C}_c$)}
 \label{densiteC0infiniCc}Soit $\Omega$ un ouvert de $\RR^N$.
On appelle ${\cal C}_0^\infty(\Omega)$ l'ensemble des fonctions ${\cal C}^{\infty}$ \a 
support
compact dans $\Omega$ et on munit ${\cal C}_c(\Omega)$, l'espace des fonctions 
continues
\a support compact dans $\Omega$, de la topologie suivante : on dit que
$u_n$ tend vers $u$ si pour tout $\varepsilon>0$ il existe $n_0$ tel que pour
$n\geq n_0$, on ait $\support(u_n)\subset \support (u)+B(0,\varepsilon)$ et 
$\sup_{x\in \Omega} |u_n(x)-u(x)|< \varepsilon$.  Alors ${\cal C}_0^\infty(\Omega)$ est 
dense dans
${\cal C}_c(\Omega)$.
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
Si $f\in {\cal C}_c(\Omega)$, alors elle est uniform\e ment continue et $k_h\ast f$ 
tend
vers
$f$ uniform\e ment. De plus, par la proposition \ref{supportdeconvolution}, 
$\support (k_h\ast f)\subset
\support (f) +B(0,h)$. Donc
$k_h\ast f$ tend bien vers $f$ dans ${\cal C}_c(\Omega)$. Enfin, par le th\e or\ee
me 
\ref{regularisationparconvolution}, on a bien $k_h\ast f\in {\cal C}^{\infty}$.
\enddemo

Pour compl\e ter la d\e monstration pr\e c\e dente, il nous reste \a montrer
qu'il existe des fonctions ${\cal C}^{\infty}$ \a support compact.
\begin{lem}\label{Cinfiniasupportcompact}\index{Fonctions ${\cal C}^{\infty}$ \a 
support
compact}  Il existe une fonction
$f_N\in {\cal C}^{\infty}(\RR^N),$
\a support compact,
 positive et de support contenu dans $\overline{B}(0,1)$.
\end{lem}
\paragraph{D\e monstration} On pose simplement, en dimension 1, $f_1(x)=e^{\frac
1 {x^2-1}}$  si $|x|\leq 1$, $f(x)=0$ sinon.  Il est
facile de voir que $f^{(k)}(-1)=f^{(k)}(1)=0$ pour tout ordre $k$ et que donc $f$
est ${\cal C}^{\infty}$.   En dimension $N$, on pose simplement $g_N(x_1,...,
x_N)=f_1(x_1)...f_N(x_N)$ qui est a support dans l'hypercube $[-1,1]^N$ puis
$f_N(x) = g_N(2\sqrt N x)$ pour ramener le support dans $B(0,1)$. 
\enddemo


\dexer \index{Fonctions ${\cal C}_0^\infty$ radiales}Construire une fonction radiale
$f_N\in {\cal C}^{\infty}(\RR^N)$ telle que
$f_N(x)=1$ si
$|x|\leq 1$, $f_N(x) = 0$ si $|x|\geq 2$. 
\newline (i) Commencer par le cas de la dimension 1 : Soit $f$ une fonction
 positive, ${\cal C}^{\infty} $, \a support compact dans $[-1,1]$ et d'int\e grale 1.  
On
peut construire une telle fonction par le lemme
\ref{Cinfiniasupportcompact}.  Poser
$h(x) = f_1(x+3) - f_1(x-3)$, puis $g(x) = \int_{-\infty}^x h(t)dt$. Dessiner
$h(x)$ et $g(x)$, montrer que $f_1(x)= h(2x)$ r\e pond \a la question en
dimension 1.
\newline (ii) Montrer que $f_N(x)= f_1(||x||)$ convient en dimension $N$.
\fexer

\begin{pro}\label{densiteCinfiniL1deomega}\index{Densit\ea de
${\cal C}_0^\infty(\Omega)$ dans $L^p(\Omega)$} Soit $\Omega$ un ouvert de $\RR^N$.
Alors
${\cal C}_0^\infty(\Omega)$ est dense dans
$L^p(\Omega)$ pour tout $1\leq p<\infty.$
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}  On consid\ee re les voisinages int\e rieurs de
$\Omega$,
$\Omega_r=
\{x,B(x,r)\subset \Omega\}.$  Comme $\Omega = \cup_{r>0}\Omega_r,$ on a par le th\e
or\ee me de Lebesgue 
$$\forall\varepsilon\exists r,\;
\int_{\Omega}|f(x)-f(x)\indic_{\Omega_r}|dx<\varepsilon.$$  On choisit alors
$r'<r$ tel que $$||(f\indic_{\Omega_r})\ast
h_{r'}-f\indic_{\Omega_r}||_{L^1(\Omega)}<\varepsilon.$$
On obtient donc $||f-(f\indic_{\Omega_r})\ast
h_{r'}||_{L^1(\Omega)}<2\varepsilon$. Comme 
$r'<r$,  le lemme \ref{supportdeconvolution} et  le th\e or\ee
me 
\ref{regularisationparconvolution} impliquent que  
$(f\indic_{\Omega_r})\ast h_{r'}\in {\cal C}_0^\infty(\Omega).$
\enddemo


\section{Th\e or\ee mes classiques de compacit\ea }


\begin{thf} {\bf (Ascoli-Arzela)}\label{ascoliarzela}\index{Ascoli-Arzela (th\e
or\ee me de)} Soit $f_n$ une suite de fonctions d\e finies sur
un espace m\e trique compact et
\a valeurs r\e elles.  On suppose que la suite $f_n$ a les deux propri\e t\e s 
suivantes
:
\newline
$\bullet$ $f_n$ est \e quicontinue : $\forall \varepsilon, \exists \eta, \; \forall 
x,
y \in K,\;\forall n\in \NN,\; |f_n(x)-f_n(y)|\leq \eta.
$
\newline
$\bullet$ La suite $(f_n(x))_n$ est born\e e pour tout $x\in K$.
\newline
Alors il existe une sous-suite de $f_n$ qui converge vers une fonction
continue $f$.
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
Remarquons d'abord qu'il existe une suite de points $(x_k)_k$
qui est dense dans
$K$.  En effet, $K$ est compact et donc on peut le recouvrir pour tout $n$ par un
nombre fini de boules de rayon plus petit que $\frac 1 n$. L'union des centres de 
ces
boules est un ensemble d\e nombrable qui r\e pond \a la question.
\newline
On va alors extraire pour tout $k$ de la suite $f_n$ une sous-suite
$f_{\varphi_k(n)}$ telle que
$f_{\varphi_k(n)}(x_l)$ converge pour $l\leq k$ et telle que $f_{\varphi_k(n)}$ 
soit une
sous-suite 
de $f_{\varphi_{k-1}(n)}$. 
On proc\ee de par extractions successives. Comme la suite $f_n(x_1)$ est born\e e,
la suite
$f_n$ admet une sous-suite convergente en $x_1$ que nous notons
$f_{\varphi_1(n)}$.  On extrait de cette sous-suite une nouvelle sous-suite 
$f_{\varphi_2(n)}$ qui
converge aussi en
$x_2$, etc..
On applique alors le proc\e d\ea dit d'extraction diagonale : on consid\ee re la
suite de fonctions
$g_n=f_{\varphi_{n}(n)}$. Elle converge en tout point de la suite $x_k$. On appelle
$g(x_k)$ sa limite en $x_k$.
 D\ee s que $n\geq k$, la suite $f_{\varphi_{n}(n)}$ devient une sous-suite de
$f_{\varphi_k(n)}$.  Elle converge donc en $x_k$.  La suite $g_n$ converge donc en
tout $x_k$.
En fait,  la fonction $g$ est \e quicontinue et se prolonge d'une mani\ee
re unique en une fonction continue sur $K$, que nous noterons encore $g$.
Voyons pourquoi. On a 
$$|g(x_l)-g(x_k)|\leq
|g(x_l)-g_n(x_l)|+|g(x_k)-g_n(x_k)|+|g_n(x_l)-g_n(x_k)|.$$
Le troisi\ee me terme
est rendu inf\e rieur \a $\varepsilon$ pour tout $n$ si on  impose
$||x_l-x_k||<\eta(\varepsilon)$.  Les deux premiers termes tendent vers z\e ro 
quand $n\to
\infty$.  On obtient donc $|g(x_l)-g(x_k)|\leq \varepsilon$ si
$||x_k-x_l||<\eta(\varepsilon)$. Donc $g$ est uniform\e ment continue sur la suite 
$x_k$ et
a d'ailleurs le m\eee me module d'uniforme continuit\ea  que la suite $f_n$.
On montre ensuite  que $g_n$ converge uniform\e ment vers $g$. La fonction  $g$ est
uniform\e ment continue sur un ensemble dense dans
$K$. Elle se prolonge donc de mani\ee re unique en une fonction uniform\e ment
continue sur
$K$, avec le m\eee me module de continuit\ea uniforme.  Montrons pour finir que 
$g_n\to g$
uniform\e ment.  On fixe $\varepsilon>0$, puis $k$ assez grand pour 
$$\forall x\in K,\;
\exists l\leq k, \;||x-x_l||\leq \eta(\varepsilon).$$  On fixe finalement $n_0$ 
assez grand
pour que 
$$n\geq n_0\Rightarrow \forall l\leq k, ; |g_n(x_l)-g(x_l)|\leq\varepsilon.$$
En combinant les deux derni\ee res in\e galit\e s, on a pour $n\geq n_0$ et $x$ 
dans $K$,
$$|g_n(x)-g(x)|\leq |g_n(x)-g_n(x_l)|+|g_n(x_l)-g(x_l)|+|g(x_l)-g(x)|\leq 
3\varepsilon.$$
\enddemo
\begin{cor} \index{Compacit\ea (d'une famille de fonctions Lipschitz)}
Toute famille  $f_n$ de fonctions $L$-lipschitziennes, d\e finies
sur un  compact $K$ et telle que pour un certain point $x_0$, $f_n(x_0)$ soit
born\ea admet une sous-suite uniform\e ment convergente vers une fonction \e
galement
$L$-lipschitzienne.
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration} Comme $K$ est compact, il est born\ea et on a donc
$||x-x_0||\leq M$ pour tout
$x$ dans $K$. D'o\u $||f_n(x)||\leq ||f_n(x_0)||+LM$ est aussi born\e .
On peut donc appliquer le th\e or\ee me d'Ascoli-Arzela.
\enddemo
\dexer {\bf (longueur d'un arc rectifiable)} \index{Longueur d'un arc rectifiable}
On appelle arc rectifiable un sous-ensemble $C$ de $\RR^N$ qui est l'image  
d'une  application Lipschitz
$c :$
$s\in[0,1]\to c(s)\in
\RR^N$. On appelle longueur de l'arc, $l(C)$, l'infimum des constantes de
Lipschitz des applications surjectives $c$ : $[0,1]\to C$. Montrer que cet
infimum est atteint. \newline
Marche \a suivre : consid\e rer une suite $c_n$ dont
les constantes de Lipschitz tendent vers $l(C)$.  Extraire une sous-suite
convergeant uniform\e ment vers un arc $c$ et montrer que $c$ est Lipschitz et que
sa constante de Lipschitz est  \e gale \a $l(C)$. 
\fexer

\begin{thf} (Riesz-Fr\e chet-Kolmogorov)\index{Riesz-Fr\e chet-Kolmogorov (th\e
or\ee me de compacit\ea de)}
\label{rieszfrechetkolmogorov}
Soit $\Omega\subset \RR^N$ un ouvert et $\omega\subset\subset \Omega$ un ouvert
contenu dans un compact, lui m\eee me contenu dans $\Omega$.  Soit $\cal F$ un
sous-ensemble born\ea de $L^p(\Omega)$ avec $1\leq p<\infty$. On suppose que
$$\forall \varepsilon>0, \exists \delta<\hbox{dist}(\omega, \Omega^c),
\; \forall f\in{\cal F},\forall h<\delta,\; ||\tau_h
f-f||_{L^p(\Omega)}<\varepsilon.$$
Alors $\cal F$ est relativement compacte dans $L^p(\omega)$. (Il existe une suite
$f_n\in \cal F$ qui converge dans $L^p(\omega)$).
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
On consid\ee re  des noyaux r\e gularisants $\rho_r, r>0$ tels que\linebreak 
$\int \rho_r(x)dx=1$, $\rho\geq 0$, $\hbox{support}(\rho)\subset B(0, r)$.
On commence par montrer que le th\e or\ee me d'Ascoli-Arzela s'applique \a la
famille $(\rho_r\ast f), f\in \cal F$. En effet, si $f\in \cal F$ et
$|z|, r\leq \frac 1 2\hbox{dist}(\omega, \Omega^c)$, $x\in \omega$, on a par l'in\e
galit\ea de H\ooo lder,
$$|(\rho_r\ast f)(x+z)-(\rho_r\ast f)(x)|\leq \int \rho_r(y)|f(x-y)-f(x-y+z)|dy
\leq ||\rho_r||_{L^{p'}}^{p'}||\tau_z f-f||_{L^p(\Omega)}.$$
La famille $\rho_r\ast f $ est donc \e quicontinue sur $\omega$. Montrons que
la famille $\rho_r\ast f(x)$ est born\e e.  En  reprenant les calculs pr\e c\e
dents on a aussi pour $r< \frac 1 2\hbox{dist}(\omega, \Omega^c)$,
$$|\rho_r\ast  f(x)|\leq \int \rho_r(y)|f(x-y)|dy
\leq ||\rho_r||_{L^{p'}}^{p'}||f||_{L^p(\Omega)}.$$
On conclut que la famille $\rho_r\ast \cal F$ est relativement compacte pour la
topologie de la convergence uniforme sur $\omega$ et donc aussi pour la norme
$L^p(\omega)$, $\omega $ \e tant born\e .

On   montre ensuite que l'on peut approcher \underline {uniform\e ment} les
\e l\e ments de $\cal F$ par les fonctions $\rho_r\ast f$. On choisit
$r<\hbox{dist}(\omega, \Omega^c),$ de sorte que $\omega+B(0,r)\subset \Omega$. En
utilisant la convexit\ea de la fonction 
$s\to s^p$,
$$|\rho_r\ast f(x)-f(x)|\leq \int_\omega \rho_r(y)|f(x-y)-f(x)|dy\leq
(\int_\omega \rho_r(y)|f(x-y)-f(x)|^pdy)^\frac 1 p$$
ce qui donne
$$|\rho_r\ast f(x)-f(x)|^p\leq \int_{B(0,r)}\rho_r(y)|f(x-y)-f(x)|^pdy.$$
Par le th\e or\ee me de Fubini-Tonelli et si $r<\delta(\varepsilon)$, on obtient
\fb& \label{approximationuniforme}
\int_\omega |\rho_r\ast f(x)-f(x)|^pdx\leq
\int_{B(0,r)}\rho_r(y)||\tau_yf-f||_{L^p(\Omega)}^pdy\leq \varepsilon^p.
\fe&
%
Pour conclure, on montre que la famille $\cal F$ peut \eee tre pour tout
$\varepsilon$ recouverte par un nombre fini de boules  de
rayon arbitrairement petit. On commence par recouvrir la famille $\rho_r\ast f$ par
des boules en nombre fini
$B(f_i\ast \rho_r, \varepsilon )$.  Gr\aa ce \a 
(\ref{approximationuniforme}), on en d\e duit que $\cal F$ est recouverte par les
boules en nombre fini $B(f_i, \varepsilon+2\varepsilon^p)$. En effet, si $f\in
\cal F$, il existe $i$ tel que $\rho_r\ast f\in B(\rho_r\ast f_i, \varepsilon)$
et on a donc $$||f-f_i||\leq ||\rho\ast f-\rho\ast f_i||+||\rho\ast
f-f||+||\rho\ast f_i-f_i||\leq \varepsilon + 2\varepsilon^p.$$
\enddemo
\\ \\
\section{Exercices}
{ \bf Exercice 1}
\\ \\
1) Soit $\chi_n(x) = \frac{1}{2n}$ sur $[-n,n]$, $\chi_n(x) = 0$ ailleurs. 
Etudier sa 
limite dans $L^1(\RR)$ et dans $L^2(\RR)$ quand $n \rightarrow +\infty$.\\
2) Utiliser cette suite de fonctions pour montrer que 
$$\{ f \in L^1(\RR)\cap L^2(\RR) : \int_{\RR} f(x)\;dx = 0 \}$$
est dense dans $L^2(\RR)$.
\\ \\
{ \bf Exercice 2} Propri\'et\'e d'absolue continuit\'e de l'int\'egrale
\\ \\
Soit $\Om$ un ouvert de $\RR^N$, montrer que
$ f \in L^1(\Om) \Longrightarrow \forall \ep > 0,\,\exists\delta>0,$ si A est 
mesurable et $\vert A \vert \leq \delta$ alors $\int_A \vert f \vert dx \leq 
\ep.$\\
(Le faire d'abord pour une fonction born\'ee et passer au cas g\'en\'eral.)
\\ \\
{ \bf Exercice 3} (J.M.Bony, Ecole Polytechnique)
\\ \\
Soit $g \in L^1(\RR)$ et soit f d\'efinie sur $\RR$. On pose, $\forall n \geq 1$, 
(lorsque cela a un sens),
$$ T_n(f)(x) = \int_{\RR} f(x-y^n) g(y) dy.$$
1) si $f \in L^1(\RR)$, montrer que $T_n(f)$ est d\'efinie p.p. et $T_n(f) \in 
L^1(\RR)$.\\
2) Si f est continue et born\'ee, montrer que $T_n(f)$ est continue et 
born\'ee.\\
3) Si f est continue et $f(x) \longrightarrow 0$ quand $\vert x \vert \rightarrow 
+\infty$, montrer que $\forall x$, $T_n(f)(x) \longrightarrow C\;f(x)$ o\`u C est 
une 
constante \`a d\'eterminer.
\\ \\ 
{ \bf Exercice 4}
\\ \\
On note $\star$ le produit de convolution.\\
Montrer que $(L^1(\RR),+,\star)$ est une alg\`ebre de Banach commutative qui ne 
poss\`ede pas d'\'el\'ement neutre pour $\star$.
\\ \\
{ \bf Exercice 5} R\e ciproque du Th\'eor\`eme de convergence domin\e e
\\ \\
Si $f_n \longrightarrow f$ dans $L^1$, montrer qu'il existe une sous-suite $f_{n_k}$ de 
la suite 
$f_n$ qui converge p.p. vers $f$ et un chapeau int\'egrable $h$ tel que $\forall k$, 
$\vert 
f_{n_k}(x) \vert \leq h(x)$ p.p.
\\ \\
{ \bf Exercice 6}
\\ \\
On note $\Gamma(x) = \int_0^{+\infty} e^{-t}\, t^{x-1} dt$. Montrer que $\Gamma$ 
est 
${\cal C}^{\infty}$ sur $\RR^{+\star}$.
\\ \\
{ \bf Exercice 7} 
\\ \\
1)Soit $f \in L^p \cap L^q$ avec $p<q$. Montrer que
$$ {\Vert f \Vert}_r \leq {\Vert f \Vert}_p^{\theta}\,
\, {\Vert f \Vert}_q^{1-\theta}, \mbox{ o\`u } \frac{1}{r} = \frac{\theta}{p} + 
\frac{1-\theta}{q},$$
avec $\theta \in [0,1]$ et donc $f \in L^r$, $\forall r \in [p,q]$.\\
2) Soit E un sous-espace vectoriel ferm\'e de $L^1$ tel que $E \subset \bigcup_{1< 
q \leq +\infty} 
L^q$, 
montrer que $\exists p > 1$ tel que $E \subset L^p$ avec injection continue 
(consid\`erer 
les ensembles $E_n = \{ f \in E \cap L^{1+\frac{1}{n}},\,{\Vert f 
\Vert}_{1+\frac{1}{n}} 
\leq\,n\}$).
\\ \\
\\ \\
{ \bf Exercice 8} 
\\ \\
Soit $\Om$ un ouvert born\'e de $\RR^N$.\\
1) Soit $f \in L^{\infty}(\Om)$. Montrer que $ \lim_{p \rightarrow \infty}{\Vert f 
\Vert}_p = {\Vert f \Vert}_{\infty}$.\\
2) Soit $f \in \bigcap_{1 \leq p < \infty} L^p(\Om)$, on suppose que $\exists C$ 
telle 
que $\Vert f \Vert_p \leq C$, $\forall p$ tel que $1\leq p < \infty$. Montrer que $ 
f 
\in 
L^{\infty}(\Om)$.\\
3) Soit $\Om = ]0,1[$ et $f(x) = \log x$, v\'erifier que $f \in \bigcap_{1 \leq p < 
\infty} L^p(\Om)$ et que $f \not\in L^{\infty}(\Om)$.
\\ \\
 
\chapter{R\e flexivit\e , s\e parabilit\e , dualit\ea des $L^p$}
\drem {\bf pr\e liminaire :} si $f\in L^{p'}$, alors pour tout $u\in L^p$ on a
par l'in\e galit\ea de H\ooo lder $|\int fu|\leq ||f||_{L^{p'}}||u||_{L^p}$.  Donc 
on a l'inclusion $L^{p'}\subset (L^p)'$.  On va montrer dans ce chapitre
l'inclusion inverse.

\frem
\begin{thf}\label{reflexivitedeLp}\index{R\e flexivit\ea de $L^p$} Pour tout
$1\leq p<\infty$,
$L^{p'}(\RR^N)$ est le dual topologique de
$L^p$.  Pour toute forme lin\e aire continue $\tilde f$ sur $L^p$, il existe donc
une fonction 
$f\in L^{p'}$ telle que $$\forall u\in L^p, \tilde f(u) = \int gu$$ et 
$$||\tilde f||_{(L^p)'}=||f||_{L^{p'}}.$$
\end{thf}


La strat\e gie que nous adoptons pour montrer ce th\e or\ee me consiste \a
approcher $L^p$ par des espaces de dimension finie emboit\e s, que l'on notera
$V_k$. Pour avoir des $V_k$ commodes, il est bon de montrer d'abord le th\e or\ee
me pr\e c\e dent pour $L^p(C)$, o\u $C$ est un born\ea que l'on rendra ensuite de
plus en plus grand. 


Soit $C=[-a,a]^N$ un hypercube de $\RR^N$.    
On consid\ee re une suite d'espaces emboit\e s $V_k$ de
fonctions en escalier constantes sur des hypercubes $(C_i^k)_i$.
Les hypercubes $(C_i^{k+1})$ sont  obtenus en subdivisant en $2^N$ hypercubes \e
gaux
 chaque hypercube $C_i^k$.
 On note ${\cal T}_k$ la tribu
engendr\e e, \ccaadd l'ensemble des unions quelconques d'hypercubes $C_i^k$.

Si $v_k\in V_k$, on note $v_k(i)$ sa valeur, constante, sur $C_i^k$.
On associe \a $\tilde f \in (L^{p})'$ sa ``projection" $f_k$ sur $V_k$,
d\e finie par
$$f_k(i)=\tilde f(\frac
1{\mes(C_i^k)}\indic_{C_i^k}).$$
La fonction $f_k$ est en fait la
restriction de $\tilde f$ \a $V_k$ car elle v\e rifie 
\begin{lem}
\fb& \label{projectionsurVk}
\forall v\in V_k, \tilde f(v) = \int f_kv. \hbox{  De
plus,  }
\fe&
\fb&   \label{comparaisondenormes}
 ||f_k||_{L^{p'}}\leq ||\tilde f||_{(L^p)'}.
\fe&
\end{lem}
\paragraph{D\e monstration}
Si $v\in V_k$, on a $v=\sum_i v(i)\indic_{C_i^k}.$ Donc
$$\tilde f(v)=\sum_i v(i)\tilde f(\indic_{C_i^k})=\sum_i v(i)f_k(i)\mes(C_i^k)=
\int_C f_k(x)v(x)dx,$$
ce qui prouve (\ref{projectionsurVk}). Pour montrer (\ref{comparaisondenormes}),
posons, pour $v\in L^p$, $v_k(i)=\frac 1{\mes (C_i^k)}\int_{C_i^k}v(x)dx$. 
En utilisant l'in\e galit\ea de H\"{o}lder, on remarque que 
\fb& \label{comparaisondesnormes2}||v_k||_{L^p}\leq ||v||_{L^p}.
\fe&
  Comme $f_k$ est
constante sur chaque cube,
$C_i^k$, on a en utilisant (\ref{projectionsurVk}-\ref{comparaisondesnormes2}),
 $$\forall v\in L^p, \; \int_C f_kv = \int f_kv_k = \tilde f(v_k)\leq ||\tilde
f||||v_k||_{L^p}\leq ||\tilde f|| ||v||_{L^p}.$$
Comme $||f_k||_{L^{p'}}=\sup_{v\in L^p}\frac{ \int f_kv}{ ||v||_{L^p}}$, on
obtient 
(\ref{comparaisondenormes}).
\enddemo


\begin{lem}  La suite $(f_k, {\cal T}_k)$ est une {\rm
martingale},
\ccaadd que l'on a
\fb& \label{martingale1}\forall E\in {\cal T}_k, \forall l\geq k,\; \int_E
f_l=\int_E f_k.
\fe&
\end{lem}
\paragraph{D\e monstration}
En effet, si $E\in {\cal T}_k$, sa fonction indicatrice $\indic_E$ est dans
$V_k\subset V_l$ et on a donc en utilisant deux fois (\ref{projectionsurVk})
$$\forall l\geq k, \int_E f_l = \int_C f_l\indic_E=\tilde f(\indic_E)=\int_C
f_k\indic E=\int_E f_k.$$
\enddemo
%
%
\begin{lem}\label{lalimiteppdansLp}
Soit $f_k$ une suite de fonctions  telles que
$||f_k||_{L^{p'}}\leq c$ et que $f_k(x)$ converge presque partout vers une
fonction
$f(x)$. Alors $f$ appartient aussi \a $L^{p'}$.
\end{lem}
%
%
\paragraph{D\e monstration}
En appliquant le lemme de Fatou, on a
$$c\geq \lim\inf \int |f_k|^{p'}\geq \int \lim\inf |f_k(x)|^{p'}=\int 
|f(x)|^{p'}.$$
\enddemo
%
%
\begin{lem}\label{convergenceppdemartingale}\index{Convergence presque partout
(de martingale)} Si
$(f_k, {\cal T}_k)$ est une martingale
\a temps discret, et si 
$\sup_k \int f_k^+<+\infty,$ alors la
suite
$f_k(x)$ converge presque partout.
\end{lem}
Nous allons d\e montrer ce lemme dans la sous-section suivante sur les
martingales \a temps discret.  
%
%
\begin{lem} (Vitali) \index{Vitali (lemme de)}  Soit $C$ un born\ea de $\RR^N$
et
$f_k$ est une suite de fonctions \e quiint\e grable dans
$L^1(C)$ qui converge presque partout vers une fonction $f$.  Alors $f_k$
converge vers $f$ dans $L^1(C)$.
\end{lem}
\noindent{\bf Rappel :}\index{Equiint\e grabilit\ea d'une suite de $L^1$} une
suite de fonctions
$f_k$ est dite {\it
\e quiint\e grable} si 
$$\forall \varepsilon>0 \exists \eta, \; \mes(K)<\eta\Rightarrow\int_K
|f_k(x)|dx<\varepsilon.$$
\paragraph{D\e monstration du Lemme de Vitali}
On a $$M\mes(\{|f_k|\geq M\})\leq \int |f_k(x)|\leq c$$
et donc $\mes(\{|f_k|\geq M\})\leq \eta$  pour $M$ assez grand.  En prenant $\eta
=\eta(\varepsilon)$ et en utilisant l'\e quiint\e grabilit\e , on en d\e duit 
que $\int_{\{|f_k|\geq M\}} |f_k(x)|dx\leq \varepsilon$ pour $M$ assez grand.
La suite $f_k^M =\max(-M, \min(M,f))$ converge par le th\e or\ee me de Lebesgue
dans $L^1(C)$ vers $f_M = \max(-M, \min(M,f))$.  Donc on a pour $k$ assez grand
$$\int |f-f_k|\leq \int |f-f^M|+\int|f^M-f_k^M|+\int |f_k^M-f_k|\leq
3\varepsilon.$$
\enddemo

\begin{lem}\label{caspleq2}  La suite des restrictions $f_k$ de
$\tilde f$ \a $V_k$
 converge presque partout  vers une fonction $f\in L^{p'}(C)$ telle que 
\fb& \label{dualitedansCpleq2}
\forall v\in L^p(C), \;\tilde f(v) = \int_C f(x)v(x)dx
\fe&
Cette fonction $f$ satisfaisant (\ref{dualitedansCpleq2}) est unique.
\end{lem}
%
%
 \paragraph{D\e monstration}
Par l'in\e galit\ea de H\ooo lder et par (\ref{comparaisondenormes}), on obtient
$||f_k||_{L^1}\leq c||f_k||_{L^{p'}}\leq c||\tilde f||_{(L^p)'}$.   On peut
appliquer le lemme
\ref{convergenceppdemartingale}.  Donc
$f_k(x)$ converge presque partout et par le lemme
\ref{lalimiteppdansLp}  on conclut que $f$ est dans $L^{p'}(C)$.  Comme la suite
$f_k$ est born\e e dans $L^{p'}(C)$ et que $p'>1$, elle est \e quiint\e grable. 
En effet, par l'in\e galit\ea de H\ooo lder, $$\int_K |f_k(x)|dx \leq
(\mes(K))^\frac 1 p ||f_k||_{L^{p'}}\leq c\mes(K).$$
Par le lemme de Vitali, $f_k$ converge
donc vers $f$ dans $L^1(C)$. Reste
\a montrer  que $\tilde f(v)=\int_C fv$ pour tout $v\in L^p(C)$.  Mais cette
relation est vraie si $v$ est dans un quelconque $V_k$. En effet, 
$\tilde f(v)=\int_C f_kv$ et $f_k$ tend vers $f\in L^1(C)$. Comme les fonctions
de $V_k$ sont born\e es, on peut passer \a la limite quand $k\to \infty$.
Cela prouve que les formes lin\e aires  $\tilde f$ et $f$ co\iii ncident sur un
sous-espace dense de $L^p(C)$, l'union des $V_k$, et donc partout.

Montrons que la fonction $f$ est unique.  Si on a  pour toute fonction $v$
dans $L^p(C)$, $\int_C f_1v=\int_Cf_2v,$ alors $\int (f_1-f_2)v=0$ et en
choisissant $v=\signe(f_1-f_2)$ on obtient $f_1=f_2$ presque partout.
\enddemo

\begin{lem}  $L^p(\RR^N)$ est r\e flexif et $(L^p)'=L^{p'}$.
\end{lem}
\paragraph{D\e monstration}
On consid\ee re les espaces emboit\e s $V_l=L^p(C_l)$, o\u $C_l=[-l,l]^N$, $l\in
\NN$.  Par le lemme \ref{caspleq2} il existe des fonctions $f\in L^{p'}(C_l)$
telles que 
\fb& \label{dualitedansCl}
\forall v\in L^p(C_l), \;\tilde f(v) = \int_C f_l(x)v(x)dx
\fe&
et on a, par unicit\ea de $f_l$,  $f_{k+l}=f_l$ sur $C_l$ et 
\fb& \label{estimationdesf-l}
||f_l||_{L^{p'}}\leq ||\tilde
f||_{(L^p)'}.
\fe&
  On peut donc poser $f(x) = f_l(x)$ si $x\in C_l$.  En appliquant
le th\e or\ee me de Beppo-Levi, on d\e duit de (\ref{estimationdesf-l}) que 
$f\in L^{p'}$ et $||f||_{L^{p'}}\leq ||\tilde f||_{(L^p)'}.$
Comme $f$ (consid\e r\e e comme une forme lin\e aire sur $L^p$) et $\tilde f$
co\iii ncident sur le sous-espace dense de
$L^p(\RR^N)$, $\cup_l V_l$, elles sont \e gales.
\enddemo


\begin{pro} $L^1(\RR^N)$ n'est pas r\e flexif. \index{Non r\e flexivit\ea de
$L^1$}

\end{pro}
%
\paragraph{D\e monstration}
Supposons le contraire et soit 
$$
f_n = \frac {\indic_{B(0,\frac 1 n)}}{\mes(B(0,\frac 1 n))}.
$$
On a $||f_n||_1=1$. Comme $L^1$ est suppos\ea r\e flexif et que $L^\infty$ est
son dual, il existe une sous-suite $f_{n_k}$ et $f\in L^1$ telles que
$f_{n_k}\rightharpoonup f$,
$\sigma(L^1, L^\infty)$, ou encore $\int f_{n_k}\varphi \to \int f\varphi$ pour
toute fonction $\varphi \in L^\infty$. 
  On peut donc prendre $\varphi=1$ et on trouve $\int f\varphi =
\int f = 1$.  Mais on peut aussi prendre $\varphi = \indic_{||x||\geq
\varepsilon}$ et on trouve pour tout $\varepsilon$, $\int_{||x||\geq
\varepsilon}f=0.$ En faisant tendre $\varepsilon$ vers z\e ro, on obtient par le
th\e or\ee me de Lebesgue $\int f = 0$, contradiction.
\enddemo
\drem  $L^1$ n'est donc pas le dual de $L^\infty$ et on a seulement $L^1\subset
(L^\infty)'$.
\frem
\begin{pro} \index{S\e parabilit\ea de $L^p$ pour $1\leq p<\infty$}
$L^p(\RR^N)$ est s\e parable pour $1\leq p<\infty$ et non s\e parable pour
$p=+\infty$.
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}  On rappelle (Proposition \ref{densiteescalierL^1}) que 
les
fonctions en escalier dyadiques sont denses dans $L^p(\RR^N)$. Soit $\tilde 
V_k\subset
V_k$ l'ensemble des fonctions dyadiques sur
$[-2^k,2^k]^N$, \a valeurs rationnelles.  Alors $\bigcup_k \tilde V_k$ est \a la
fois d\e nombrable et dense dans $L^p(\RR^N)$.

Consid\e rons  les fonctions $f_r=\indic_{B(0,r)}$, $r\in \RR^+$. On 
$||f_r-f_{r'}||_{L^\infty}=1$ d\ee s que $r\neq r'$. S'il y avait une suite $g_n$
dense dans $L^\infty$, on pourrait pour tout $r$ trouver $n(r)\in \NN$ tel
que
$||f_r-g_{n(r)}||<\frac 12$.  Par l'in\e galit\ea triangulaire,
$||g_{n(r)}-g_{n(r')}||_{L^\infty}>0$ si $r\neq r'$.  L'application $r\to n(r)$
est donc injective, une contradiction.

\enddemo


\section{Martingales \a temps discret}
Dans cette sous-section, nous d\e montrons le r\e sultat de convergence presque
partout de martingale que nous avons utilis\ea pour montrer la dualit\ea
$L^p-L^{p'}$.
\begin{Def} \index{Martingale} On dira qu'une suite de fonctions $f_k, k\in 
\NN$ sommables sur
un espace de probabilit\ea $C$ muni d'une tribu $ {\cal T}$ et d'une suite
croissante de sous-tribus,
${\cal T}_k\subset \cal T$ est une {\rm martingale \a temps discret} si
pour  tout $k$ $f_k$ est ${\cal T}_k$-mesurable et
\fb& \label{martingale2}\forall E\in {\cal T}_k, \forall l\geq k,\; \int_E
f_l=\int_E f_k.
\fe&
\end{Def}

\begin{Def}\index{Temps d'arr\eee t} \label{definitiontempsd'arret}
On appelle {\rm temps d'arr\eee t} associ\ea \a la martingale $(f_k, {\cal T}_k)$
une fonction \a valeurs enti\ee res, $ k(x)\in \NN$, d\e finie
sur une partie de
$C$ et telle que pour tout
$k_0\in
\NN$, les ensembles $\{x, k(x)=k_0\}$ appartiennent \a ${\cal T}_{k_0}$.
On prendra la convention commode de poser $k(x)=+\infty$ quand $x$ n'est pas dans
le domaine de $k$.
\end{Def}
\begin{lem}
Si $k(x)\leq l(x)$ sont deux temps d'arr\eee t associ\e s \a une martingale
$(f_k,{\cal T}_k)$, alors
\fb& \label{martingaleetempsd'arret}
\int_{\{x,k(x)\leq p\}} f_{k(x)}(x)dx = \int_{\{ x, k(x)\leq p\}}
f_{\min(l(x),p)}(x)dx.
\fe&
\end{lem} 
%
\paragraph{D\e monstration}
En effet, l'ensemble $\{k(x)\leq p\}$ est une union d'ensembles $\{k(x)=k_0\}\in
{\cal T}_k$.  Par additivit\ea de l'int\e grale, il suffit de montrer
(\ref{martingaleetempsd'arret}) pour ces ensembles.  Or, en utilisant deux fois 
la relation de martingale (\ref{martingale2}),
$$\forall k_0\leq p, \; \int_{k(x)=k_0}
f_{k_0}=\int_{k(x)=k_0}f_p=\sum_{l_0\leq p} \int_{k(x)=k_0,\;l(x)=l_0}
f_p+\int_{k(x)=k_0,\;l(x)>p}f_p=$$
$$\sum_{l_0\leq p} \int_{k(x)=k_0,\; l(x)=l_0}f_{l_0}+ \int_{k(x)=k_0,\;l(x)>p}f_p
=\int_{k(x)=k_0}f_{\min(l(x),p)},$$
car $\{k(x)=k_0,\; l(x)=l_0\}\in {\cal T}_{l_0}$.
  
\enddemo
%
On d\e finit les temps d'arr\eee ts suivants, sur l'intervalle $[0, p]\subset
\NN$ associ\e s \a deux r\e els $b>a$.
\newline\newline
$\bullet$ $k_1^p(x) =$ premier $k$, s'il existe dans $[0,p]$, tel que $f_k(x)>b$.
\newline
$\bullet$ $k_2^p(x) =$ premier $k>k_1^p$, s'il existe dans $[0,p]$, tel que
$f_k(x)<a$.
\newline .............\newline
\newline
$\bullet$ $k_{2m-1}^p(x) =$ premier $k\geq k_{2m-2}$, s'il existe dans $[0,p]$,
tel que
$f_k(x)>b$.
\newline
$\bullet$ $k_{2m}^p(x) =$ premier $k>k_{2m-1}^p$, s'il existe dans $[0,p]$, tel
que $f_k(x)<a$.
\newline\newline
Il est imm\e diat que les $k_m$ sont des temps d'arr\eee t pour la martingale 
$(f_k, {\cal T}_k)$. On peut interpr\e ter leur domaine ainsi :
\newline\newline
$\bullet$ $\Omega_{2m}=\{x, k_{2m}(x)\leq p\}$ est l'ensemble des $x\in C$ tels que
$f_k(x)$ traverse exactement $m$ fois l'intervalle $[a,b]$ dans le sens descendant
pour $1\leq k\leq p$.
\newline
$\bullet$ $\Omega_{2m+1}=\{x, k_{2m+1}(x)\leq p)$ est l'ensemble des $x\in C$ tels
que
$f_k(x)$ traverse exactement $m\geq 1$ fois l'intervalle $[a,b]$ dans le sens 
descendant
et puis encore une fois de plus dans le sens ascendant pour $1\leq k\leq p$.
\newline\newline
On d\e finit enfin $\gamma_{a,b}^p(x)$ comme le nombre de passages de $f_k(x)$
par $[a,b]$ dans le sens descendant pour $k\leq p$ et $\gamma_{a,b}(x)$ le nombre
de passages, \e ventuellement infini, de $f_k$ par $[a,b]$ dans le sens
descendant.  On a bien-s\uu r 
\fb& \label{identifications}
\forall m\in \NN, \{x, \gamma_{a,b}^p(x)\geq m\}= \{x, k_{2m}(x)\leq
p\}=\Omega_{2m}
\fe&
et on peut donc calculer l'esp\e rance du nombre de passages par $[a,b]$ : 
\fb& \label{esperancedunombredepassages}
\int \gamma_{a,b}^p(x)dx=\sum_m \mes\{x, \gamma_{a,b}^p(x)\geq m\}=\sum_m
\mes\Omega_{2m},
\fe&
 en vertu de (\ref{identifications}) et de la
remarque suivante :
\drem Si $\gamma(x)$ est une fonction \a valeurs dans $\NN$, 
$\int \gamma(x)dx=\sum_{m\in \NN}\mes\{x,g(x)\geq m\}.$
En effet, 
$$\int \gamma(x)dx=\sum_mm\mes\{x, \gamma(x)=m\}=\sum_m\sum_{k\geq m} \mes\{x,
\gamma(x)=k\} =\sum_m\mes\{x, \gamma(x)\geq m\}.$$
\frem
%
\begin{lem} \index{Nombre de passages (d'une martingale)}
\fb&
\label{estimationfinaledunombredepassages}
(b-a)\int_C \gamma_{a,b}(x)dx \leq \sup_p\int_C (f_p^+(x)-b).
\fe&
\end{lem}
\paragraph{D\e monstration}
Comme sur
$\Omega_{2m-1}=\{k_{2m-1}^p(x)\leq p\}$ on a $f_{k_{2m-1}(x)}\geq b$, on obtient 
en utilisant (\ref{martingaleetempsd'arret}),
$$
0\leq \int_{\Omega_{2m-1}}(f_{k_{2m-1}}(x)-b)dx = 
\int_{k_{2m-1}^p(x)\leq p}(f_{k_{2m-1}}(x)-b)dx=
$$
$$
\int_{k_{2m-1}^p(x)\leq p}(f_{\min(
k_{2m},p)}(x)-b)dx \leq (a-b)\mes(\Omega_{2m}) +
\int_{\Omega_{2m-1}\setminus\Omega_{2m}}(f_p(x)-b)dx.
$$
D'o\u 
$$(b-a)\mes (\Omega_{2m})\leq
\int_{\Omega_{2m-1}\setminus\Omega_{2m}}(f_p(x)-b)dx.
$$
et en sommant sur $m$ et en utilisant (\ref{esperancedunombredepassages}), on
obtient 
\fb&
\label{estimationdunombredepassages}
(b-a)\int_C \gamma_{a,b}^p(x)dx \leq \int_C (f_p(x)-b).
\fe&
La relation (\ref{estimationfinaledunombredepassages}) 
vient car 
$\gamma_{a,b}$ est la limite croissante des $\gamma_{a,b}^p$.
\enddemo

\paragraph{D\e monstration du lemme \ref{convergenceppdemartingale}} 
On choisit une suite $(a_n)$ dense dans $\RR$ avec $a_n\neq a_m$, quand $n\neq m$. 
Consid\e rons pour $n\neq m$ les ensembles 
 $N_{n,m}= \{x, \gamma_{a_n,a_m}=+\infty\}$.  Ces ensembles sont n\e gligeables par
la relation \ref{estimationfinaledunombredepassages}, ainsi que leur union $N$.  Si $x$
est dans le compl\e mentaire de $N$, la suite $f_k(x)$ ne peut osciller ind\e
finiment.  Elle converge donc soit vers une valeur finie $f(x)$, soit vers
$+\infty$, soit vers $-\infty$. Mais comme $\sup_k \int f_k^+<\infty$, on d\e
duit  du lemme de Fatou que l'ensemble des $x$ o\u la limite est
$+\infty$ est aussi n\e gligeable. En effet, le lemme de Fatou donne $\int
\lim\inf_k f_k^+(x)dx\leq \sup\int f_k^+.$
 Comme $\int_C f_k(x)dx=\int_Cf_1(x)dx$ est constante, on a aussi $\sup_k\int
f^-(x)dx<\infty$  et l'ensemble des points o\u $f_k(x)$ tend vers $-\infty$ est
\e galement n\e gligeable.

\enddemo
\\ \\
\section{Exercices}
{ \bf Exercice 1} 
\\ \\
Soit $E = L^1(\RR) \cap L^2(\RR)$ muni de $\Vert\;\Vert = 
\Vert\;\Vert_1+\Vert\;\Vert_2$.\\
1) V\'erifier que $(E,\Vert\;\Vert)$ est un espace de Banach.\\
Soit $f(x) = f_1(x)+f_2(x)$ avec $f_1 \in \Linf(\RR)$ et $f_2 \in L^2(\RR)$, 
montrer 
que 
$$u \mapsto \int_{\RR} f(x) u(x) dx \in \Ep.$$
2) Soit $0 < \alpha < \frac{1}{2}$, montrer que 
$$u \mapsto \int_{\RR} \frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}}\, u dx \in \Ep.$$
(D\'ecomposer l'int\'egrale suivant les ensembles $[\vert x \vert > M]$ et $[\vert 
x 
\vert \leq M]$.)\\
3) Soit $K = \{ u \in E : u \geq 0 \;\mbox{p.p. et}\; \int_{\RR} u dx \leq 1 \}$.\\
Montrer que $K$ est un convexe ferm\'e de $E$.\\ \\
Soit $(u_n)_n \subset K$ et $u \in L^2(\RR)$ tels que $u_n \rightharpoonup u$ dans 
$L^2(\RR)$ faible.\\
4) Montrer que $u \in K$.\\
5) Montrer que 
$$\int_{\RR} \frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}} u_n dx \longrightarrow \int_{\RR} 
\frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}}\, u dx.$$
6) Pour $u \in E$, on d\'efinit 
$$J(u) = \int_{\RR} u^2 dx - \int_{\RR} \frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}}\, u dx,$$
o\`u $\alpha \in ]0,\frac{1}{2}[$.\\
Montrer que $\exists C \in \RR$ tel que $J(u) \geq C$, $\forall u \in K$.\\
On pose $m = \inf_{u \in K} J(u)$. On cherche \`a prouver que cet inf est 
atteint.\\
7) Soit $(u_n)_n \subset K$ telle que $J(u_n) \longrightarrow m$. Montrer que 
$\Vert 
u_n \Vert$ reste born\'ee.\\
8) Extraire une sous-suite qui converge faiblement dans $L^2(\RR)$ et conclure.\\
9) $E$ est-il r\'eflexif ?
\\ \\
{ \bf Exercice 2}
\\ \\
Soit $\Om$ un ouvert de $\RR^N$ et soit $f$ une fonction mesurable sur $\Om$. 
On pose $K = \{ u \in L^p(\Om);\, u \geq f\,p.p.\,\}$.\\
1) Si $1 \leq p < +\infty$, v\'erifier que K est ferm\'e pour la topologie faible 
de $L^p(\Om)$.\\
2) On consid\`ere le cas $p = +\infty$.

a) Montrer que
$$K = \{ u \in L^{\infty}(\Om);\,\forall \vfi \in L^1(\Om), \,\vfi \geq 0,\, f\vfi 
\in 
L^1(\Om), \mbox{on ait } \int_{\Om} u\vfi \geq \int_{\Om} f\vfi \,\}.$$
(On pourra d'abord supposer que $\vert \Om \vert < \infty$.)

b) En d\'eduire que K est ferm\'e faible $\star$ dans $L^{\infty}(\Om)$.

c) Soient $f_1$ et $f_2$ dans $L^{\infty}(\Om)$ telles que $f_1 \leq f_2$ p.p. 
Montrer 
que "l'intervalle" $\{u \in L^{\infty}(\Om) : f_1 \leq \,u \leq \,f_2\, p.p.\,\}$ 
est 
compact faible $\star$ dans $L^{\infty}(\Om)$.
\\ \\
{ \bf Exercice 3} 
\\ \\
Soit $f \in L^1(\RR)$ fix\'ee, montrer que $y \mapsto \tau_yf$ o\`u $\tau_yf(x) = 
f(x-y)$ 
est uniform\'ement continue de $\RR$ dans $L^1(\RR)$.
\\ \\
{\bf Rappels}
\\ \\
1) Propri\'et\'e d'absolue continuit\'e :\\
Soit $\Om$ un ouvert de $\RR^N$, soit $f \in L^1(\Om)$ alors $\forall \ep > 0$, 
$\exists \delta > 0$ tel que $\forall A$ mesurable avec $\vert A \vert \leq \delta$ 
on a $\int_A \vert f \vert dx \leq \ep.$\\
(Ce r\'esultat a \'et\'e d\'emontr\'e en exercice 2, chap. VI)\\
2) Th\'eor\`eme d'Egoroff : \\
On suppose $\vert \Om \vert < \infty$. \\
Soient $f_n,f:\Om \rightarrow \RR$ mesurables telles que $f_n \rightarrow f$ p.p. 
alors 
$\forall \delta > 0$, $\exists A$ mesurable tel que $\vert A \vert \leq \delta$ et 
$f_n 
\rightarrow f$ uniform\'ement sur $\Om \backslash A$.
\\ \\ 
{ \bf Exercice 4}
\\ \\
Soit $\Om$ un ouvert born\'e de $\RR^N$, soit $(f_n)_n \in L^p(\Om)$ et $f \in 
L^p(\Om)$ 
avec 
$1\leq p < +\infty$. On suppose qu'il existe $C$ tel que $\Vert f_n \Vert_p \leq 
C$, 
$\forall n$ et $f_n \rightarrow f$ p.p.\\
1) Montrer que si ${\Vert f_n \Vert}_p \rightarrow {\Vert f \Vert}_p$ alors ${\Vert 
f_n - 
f \Vert}_p \rightarrow 0$.\\
2) On suppose $1<p<+\infty$. Montrer que $f_n \rightharpoonup f$ dans $L^p(\Om)$ 
faible.\\
3) Lorsque $p=1$, consid\`erer $f_n = n 1_{(0,\frac{1}{n})}$ avec $\Om = ]0,1[$ et 
v\'erifier que $f_n$ ne converge pas faiblement vers $f=\lim f_n$ p.p.
\\ \\
{ \bf Exercice 5}
\\ \\
Soit $\Om$ un ouvert born\'e de $\RR^N$. Une suite $(f_n)_n$ de $L^1(\Om)$ est dite 
\'equi-int\'egrable si elle v\'erifie
$$\forall \ep >0,\,\exists \delta > 0,\,t.q.\,\forall E \subset \Om \mbox{ 
mesurable 
avec} \,\vert E \vert \leq \delta \Longrightarrow \,\forall n\geq 1,\,\int_E \vert 
f_n 
\vert dx < \ep.$$
Premi\`ere partie :\\
1) Montrer que si $(f_n)_n$ est \'equi-int\'egrable alors elle est born\'ee dans 
$L^1(\Om)$.\\
2) Soit $(f_n)_n$ une suite de $L^1(\Om)$. Montrer que $(f_n)_n$ est 
\'equi-int\'egrable 
si et seulement si elle v\'erifie
$$\lim_{k \rightarrow +\infty} (\sup_{n \geq 1} \int_{[\vert f_n \vert > k]} \vert 
f_n 
\vert dx) = 0.$$
3) Montrer que si $(f_n)_n$ est relativement compacte dans $L^1(\Om)$ alors elle 
est 
\'equi-int\'egrable.\\
Deuxi\`eme partie :\\
1) Soit $(f_n)_n$ une suite de $L^1(\Om)$ telle que $\forall A \subset \Om$ 
mesurable, 
$$\lim_{n \rightarrow \infty} \int_A f_n dx = 0.$$
Montrer que $(f_n)_n$ est \'equi-int\'egrable.\\
(Pour $\ep>0$ fix\'e, consid\'erer les ensembles $X = \{\ind_A,\,A 
\mbox{mesurable}\,\subset \Om \}$ et $X_n = \{\ind_A \in X ;\,\forall k \geq n,\,\, 
\vert \int_A f_k dx \vert \leq \ep \}$, v\'erifier que $X$ est ferm\'e dans 
$L^1(\Om)$ et appliquer Baire.)\\
2) En d\'eduire que si $(f_n)_n$ est une suite de $L^1(\Om)$, $f \in L^1(\Om)$ et 
si 
$f_n$ converge faiblement vers $f$ dans $L^1(\Om)$ alors la suite $(f_n)_n$ est 
\'equi-int\'egrable.\\
3) Soit $(f_n)_n$ une suite de $L^1(\Om)$ et soit $f \in L^1(\Om)$. On suppose que 
\[ \left\{ \begin{array}{lll}
f_n &\rightharpoonup& f\,\, \mbox{dans $L^1(\Om)$ faible}\\
f_n &\longrightarrow f& \,\,\mbox{p.p.}
\end{array} \right. \]
Montrer que $\Vert f_n - f \Vert_{L^1} \longrightarrow 0$. (Utiliser le 
Th\'eor\`eme 
d'Egoroff.)
\\ \\

\chapter{Espaces de Hilbert}
\begin{Def}\index{Espace de Hilbert}
Un espace de Hilbert r\e el est un espace vectoriel r\e el muni d'un produit
scalaire
$(u,v)$ et tel que $||u||=\sqrt{(u,u)}$ soit une norme pour laquelle $H$ soit
complet.  Un espace de Hilbert hermitien est un espace vectoriel sur $\complex$
muni d'un produit hermitien $(u,v)$ \ccaadd v\e rifiant
 $$(u,v)=\overline{(v,u)}, \;
(\lambda u, v) =
\lambda (u,v), \; (u+v,w)=(u,w)+(v,w).$$ et tel que $||u||=\sqrt{(u,u)}$ soit une
norme rendant $H$ complet.  Remarquons aussi que
 $$(f,\lambda g)=\overline{\lambda}(f,g)\hbox{ et  } (u, v+w)=(u,v)+(u,w).$$
\end{Def}
\begin{exa} \index{Exemples de Hilbert}On pose $l^2(\NN)$ l'ensemble des
suites
$u=(u_1, ..., u_n, ...)$ avec $u_n\in \complex$ et v\e rifiant $\sum_n
|u_n|^2<\infty$.  Muni du produit scalaire $(u,v) = \sum_n u_n\overline{v_n}$,
c'est un espace de Hilbert.
 $L^2(\RR^N)$, muni du produit scalaire $(f,g)=\int f(x)\overline{g(x)}dx$
est \e galement un espace de Hilbert : on a  vu qu'il est complet.
Remarquer que $l^2(\NN)$ peut \eee tre plong\ea naturellement dans
$L^2(\RR)$ en posant $u(x)=u_n$ si $x\in [n, n+1[$ et qu'il appara\ii t alors
sous-espace ferm\ea de
$L^2(\RR)$.  La compl\e tude de $L^2(\RR)$ implique donc la compl\e tude
de
$l^2(\NN)$.

\end{exa}
\begin{pro}  \index{In\e galit\ea de Cauchy-Schwarz} Nous avons toujours l'in\e 
galit\ea de
Cauchy-Schwarz
$$|(f,g)|\leq ||f|| ||g||.$$
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
la d\e monstration est la m\eee me qu'en dimension finie : elle se fait dans le
plan de
$f$ et
$g$.  On pose $(f,g)=e^{i\theta}|(f,g)|$ et on d\e veloppe 
$||f+te^{i\theta}g||^2\geq 0$,
ce qui donne 
$$||f||^2+t(f, e^{i\theta}g) + t(e^{i\theta}g, f)+t^2||g||^2\geq 0, \hbox{  soit}$$
$$||f||^2 +2t |(f,g)|+t^2||g||^2\geq 0.$$
L'in\e galit\ea de Cauchy-Schwarz exprime que le discriminant de ce trin\oo me est 
n\e
gatif.
\enddemo

  La relation de Pythagore reste valable : si $f$ et $g$ sont orthogonaux,
alors
$$||f+g||^2=||f||^2+||g||^2.$$  Cette relation s'\e tend \a une suite de vecteurs
orthogonaux deux \a deux, $f_k$.  On a alors
$$||\sum_k f_k||^2=\sum_k ||f_k||^2.$$  Gr\aa ce \a la compl\e tude, le premier
membre de cette
\e galit\e , $\sum_k f_k$, est bien un \e l\e ment de $H$ si le deuxi\ee me membre
est une s\e rie convergente.  On a donc 
\begin{pro} \label{convergencedeserie} \index{Convergence d'une s\e rie dans un
Hilbert} Soit $H$ un Hilbert et $f_n$ une suite d'\e l\e ments de $H$.  
 Si la s\e rie $u_n$ est compos\e e d'\e l\e ments
orthogonaux deux \a deux et si $\sum_n||u_n||^2$ converge, alors la s\e rie
$\sum_n u_n$ converge dans $H$. Si la s\e rie de terme g\e n\e ral $||u_n||$ est
convergente, la s\e rie
$\sum_n u_n$ converge dans $H$.
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
La deuxi\ee me partie de l'\e nonc\ea se d\e duit de la compl\e tude de $H$.  En
effet, la suite $v_k = \sum_0^k v_n $ est de Cauchy puisque $||v_k-v_l||\leq
\sum_l^k ||u_n||.$
\enddemo
\begin{thf} \label{desprojections} \index{Projection sur un convexe dans un
Hilbert} Soit $H$ un espace de Hilbert et $C$ un convexe ferm\ea et non vide de
$H$.  Pour tout $f\in H$ il existe un unique point de $C$, appel\ea {\rm
projection de $f$ sur $H$} dont la distance \a $f$ soit minimum.   Cette
projection se caract\e rise comme l'unique point $g$ de $C$ tel que
\fb& \label{inegalitevariationnelle}
\forall h\in C,\; \Re(f-g,h-g)\leq 0.
\fe&
Si $C$ est un sous-espace vectoriel ferm\ea de $H$, la projection de $f$ est
l'unique point $g\in C$ tel que $f-g$ soit orthogonal \a tous les \e l\e ments de
$C$.
\end{thf}

\begin{lem}\index{Identit\ea du parall\e logramme} L'identit\ea du parall\e
logramme :
$$||u||^2+||v||^2 = \frac 1 2(||u+v||^2 + ||u-v||^2).$$
La somme des carr\e s des longueurs des cot\e s d'un parall\e logramme est \e
gale \a la demi-somme des carr\e s de ses diagonales.
\end{lem}

\paragraph{D\e monstration du th\e or\ee me \ref{desprojections}}
Montrons d'abord l'unicit\e .  S'il existait deux \e l\e ments $g_1$ et $g_2$ r\e
alisant la projection de $f$ sur $C$, on aurait en consid\e rant leur milieu
$\frac {g_1+g_2}2$  et en appliquant l'identit\ea du parall\e logramme \a $u=f-g_1$
et
$v=f-g_2$,
$$\frac 1 2||2f-(g_1+g_2)||^2 = ||f-g_1||^2+||f-g_2||^2- \frac 1 2||g_1-g_
2||^2.$$
Donc $||f-\frac{g_1+g_2}2||^2< d(f,C)^2$.  Mais comme $\frac
{g_1+g_2}2$ est dans $C$, c'est impossible.  On montre maintenant  l'existence
de la projection. Soit $g_n$ une suite de $C$ telle que $||f-g_n||\to d(f,C)$. 
En utilisant de nouveau l'in\e galit\ea du parall\e logramme,

$$\frac 1 2 ||g_n-g_m||^2=||f-g_n||^2+||f-g_m||^2-2||f-\frac{g_n+g_m}2||^2.$$
Quand $n$ et $m$ tendent vers l'infini, le membre de droite tend vers 0. La suite
$g_n$ est donc de Cauchy et converge vers un \e l\e ment $g$ de $C$, car $C$  est
ferm\e .  Montrons l'in\e galit\ea variationnelle (\ref{inegalitevariationnelle}).
Pour tout $h\in C$, et $t\in [0,1]$, les points $g+t(h-g)$ du segment $[g,h]$
appartiennent \a $C$. On a donc 
\fb& \label{inegalitevariationnelle2}\forall t\in [0,1],\; ||g-f||^2\leq
||f-g-t(h-g)||^2 \hbox { ce qui est \e quivalent \a }\fe&
$$
\forall t\in [0,1],\; t^2||h-g||^2-2t\Re(f-g,
h-g)\geq 0.
$$
 On divise par $t$ et on fait tendre $t$ vers $0^\pm$ pour obtenir
(\ref{inegalitevariationnelle}).  R\e ciproquement, si
(\ref{inegalitevariationnelle}) est v\e rifi\e e pour tout $h\in C$,
(\ref{inegalitevariationnelle2}) aussi et en faisant $t=1$ on voit que $||f-g||$
r\e alise la distance minimale de $f$ \a un point de $C$.

Consid\e rons pour terminer le cas o\u $C$ est un sous-espace vectoriel ferm\ea
de $H$.  Soit $g$ la projection de $f$. Pour tout $v$ dans $C$, $g+e^{i \theta}v$
appartient \a $C$.  On a donc 
$\Re(e^{i\theta}(v, g-f))\leq 0$ pour tout $\theta$ et donc $(v,g-f)=0$.  R\e
ciproquement, si $g\in C$ v\e rifie $(v,g-f)=0$ pour tout $v\in C$, on a
$(v-g,g-f)=0$ pour tout $v$ dans $C$ et par la deuxi\ee me partie du th\e or\ee
me \ref {desprojections}, $g$ est bien la projection de  $f$ sur $C$.
\enddemo
\dexer \index{Contractante (projection sur un convexe)}D\e montrer en utilisant
(\ref{inegalitevariationnelle}) que la projection
$P$ sur un convexe est une application contractante : $||Pf_1-Pf_2||\leq
||f_1-f_2||$.
\fexer
\begin{Def}\index{Orthogonal d'un sous-ensemble}
On appelle orthogonal d'un sous-ensemble $A$ de $H$ et note $A^\perp$ l'ensemble
$$A^\perp =\{v, \forall f\in A,\; (v,f)=0\}.$$
C'est un sous-espace vectoriel ferm\ea de $H$.
\end{Def}

\begin{cor} \index{D\e composition orthogonale (dans un Hilbert)}Si  $F$ un
sous-espace vectoriel ferm\ea d'un espace de Hilbert
$H$, alors tout
\e l\e ment de $H$ se d\e compose de mani\ee re unique sous la forme 
\fb& \label{decompositionorthogonale}
f=g+h, \; g\in F, \; h\in F^\perp
\fe&
o\u $g$ est la projection de $h$ sur $F$ et $h$ la projection de $h$ sur
$F^\perp$.  On a donc 
$$H=F+F^\perp, \; (F^\perp)^\perp = F, \; H^\perp = \{0\}.$$
Si $A\subset H$, on a toujours
$$(A^\perp)^\perp = \overline{\vect(A)}.$$
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
La relation (\ref{decompositionorthogonale}) est une cons\e quence du th\e or\ee
me \ref{desprojections} : si $f\in H$ on note $g$ sa projection orthogonale sur
$F$. Alors $f-g=h$ appartient \a $F^\perp$ par (\ref{inegalitevariationnelle}).
On remarque enfin que $A^\perp=\overline{\vect(A)}^\perp.$  En effet, si un \e l\e
ment $f$ est orthogonal \a $A$, il est orthogonal aux combinaisons lin\e aires
d'\e l\e ments de $A$ et donc \a $\vect(A)$ et  par un passage \a la limite
imm\e diat \a $\overline{\vect(A)}$.
\enddemo
%
\begin{cor} {\bf et d\e finition} \index{Totalit\ea (d'un syst\ee me dans un
Hilbert)} On dit qu'un sous-ensemble $A$ de l'espace de Hilbert $H$ est total si
l'espace vectoriel $\vect(A)$ engendr\ea par $A$ est dense dans $H$.  Pour que
$A$ soit dense dans $H$, il faut et il suffit que $A^\perp$ soit r\e duit \a
$\{0\}.$
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
  Si $A$ est total, $\overline{\vect(A)}$ est
\e gal \a $H$ et donc $A^\perp=\overline{\vect(A)}^\perp=H^\perp = \{0\}.$
R\e ciproquement, si $A^\perp ={0}$, on a $\overline{\vect(A)}^\perp=\{0\}$ et
donc $\overline{\vect(A)}=H$, ce qui signifie que $A$ est total.
\enddemo
\begin{thf} (Riesz) \index{Riesz (th\e or\ee me de)}Pour tout $f\in H$,
l'application
$v\in H\to (v,f)$ est une forme lin\e aire continue sur $H$. R\e ciproquement, si
$\tilde f$ est une forme lin\e aire continue sur $H$, il existe un unique \e l\e
ment
$f\in H$ tel que
$$\tilde f(v) = (v, f).$$
En d'autres termes, $H$ est son propre dual. Tout espace de Hilbert est donc r\e
flexif.
\end{thf}
\drem  On conna\ii t d\e ja ce r\e sultat dans le cas o\u
$H=L^2(\RR^N)$.
\frem
\paragraph{D\e monstration}
La premi\ee re assertion d\e coule de l'in\e galit\ea de Cauchy-Schwarz.  R\e
ciproquement, soit $\tilde f$ une forme lin\e aire continue et non nulle sur $H$ et
$L$ son noyau, qui est un espace vectoriel ferm\e .  Comme $\tilde f\neq 0$, $L$
est un sous-espace strict et donc $F^\perp$ n'est pas r\e duit \a $\{0\}$.  Soit
$g\in L^\perp,$ non nul.  On a donc $\tilde f(g)\neq 0$ et on pose pour tout $v \in
H$
$$v=\frac{\tilde f(v)}{\tilde f(g)}g +(v-\frac{\tilde f(v)}{\tilde
f(g)}g)=v_1+v_2.$$
Le second terme  v\e rifie $\tilde f(v_2)=0$ et appartient donc \a $L$.  Comme
$g\in L^\perp$, on a donc 
$$(v,g) =
\frac{\tilde f(v)}{\tilde f(g)}||g||^2.$$ Il en r\e sulte que
$$\tilde f(v) = (v, \frac{\overline{\tilde f(g)}}{||g||^2}g).$$
\enddemo
\begin{thf}\label{universalitedelaconvolution} (L'Universalit\ea de la convolution)
\index{Convolution (Universalit\ea de la)} Soit $T  : L^2(\RR^N) \to 
C^0(\RR^N)$ un op\e
rateur lin\e aire, invariant par translation et continu.  Alors il existe $g$ dans
$L^2(\RR^N)$ telle que
$T(f)=g\ast f$.
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
On consid\ee re la forme lin\e aire $f\to (Tf)(O)$, qui appartient par hypoth\ee se 
\a 
$(L^2(\RR^N))'$.  Il existe donc une fonction $g_0\in L^2$ telle que 
\fb& \label{rieszconvolution}
(Tf)(O)=\int_{\RR^N}f(x)\overline{g_0}(x)dx.
\fe&
Par hypoth\ee se aussi, $T(\tau_xf)=\tau_xTf$, o\u l'on rappelle que l'on note
$\tau_xf(y)=f(y+x)$.  Donc par (\ref{rieszconvolution}),
$$
Tf(x) = (\tau_x (Tf))(0)= T(\tau_xf)(0)=\int_{\RR^N}f(x+y)\overline{g_0}(y)dy
= \int_{\RR^N}f(x-y)\overline{g_0}(-y)dy= f\ast g(x),
$$
o\u $g(y) = \overline{g_0}(-y)$.

\enddemo

\section{Bases hilbertiennes}
\begin{Def} \index{S\e parabilit\ea d'un espace} On dit qu'un espace de Hilbert est 
s\e parable s'il admet une suite
d\e nombrable et dense.
\end{Def}
\begin{Def}\index{Base hilbertienne}
Soit un espace de Hilbert s\e parable. On appelle {\rm base hilbertienne} de $H$
un syst\ee me orthonorm\ea  fini  ou infini $(e_n)_{n\in \NN}$ qui est
total.  On a donc $(e_n,e_m)=\delta_{n,m}$ et $\overline{\vect((e_n)_n)}=H$. 
\end{Def}
\begin{thf} 
 Tout
espace de Hilbert s\e parable admet une base hilbertienne.
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
Soit $(f_n)_n$ une suite dense de $H$. On en extrait par r\e currence sur $n$ un
sous-syst\ee me libre (que nous appellerons encore par commodit\ea  $(f_n)$),
\ccaadd tel qu'aucun vecteur de la suite n'est combinaison lin\e aire des autres. 
Le syst\ee  me obtenu n'est plus n\e cessairement dense, mais il reste total.  On
applique alors le proc\e d\ea de Hilbert-Schmidt \a la suite $f_n$.  On pose par
r\e currence 
$$g_{n+1}=f_{n+1}-\sum_{k=1}^n (f_{n+1}, g_k)g_k,$$
ce qui donne un syst\ee me orthogonal et on pose finalement
$e_n=\frac{g_n}{||g_n||}$, ce qui donne une suite
$e_n$ orthonorm\e e.  Le syst\ee me est bien total puisque les $e_n$ engendrent
les $f_n$ et c'est donc une base hilbertienne.
\enddemo
\begin{thf}\index{Egalit\ea de Parseval}
Soit $H$ un espace de Hilbert s\e parable et $(e_n)_{n\in\NN}$ une base
hilbertienne de $H$.  Alors tout \e l\e ment de $H$ peut s'\e crire comme la
somme d'une s\e rie convergente 
\fb& \label{decompositionsurlabase}
f=\sum_n (f, e_n)e_n  = \sum_n c_n(f)e_n
\fe&
et les coordonn\e es sur la base v\e rifient l'\e galit\ea de Parseval 
\fb&
||f||^2 = \sum_n |c_n(f)|^2.
\fe&
R\e ciproquement, si $c_n$ est une suite v\e rifiant $\sum_n |c_n|^2<\infty$, la
s\e rie $\sum_n c_n e_n$ converge dans $H$ et sa somme $f$ v\e rifie $c_n(f)=c_n$.
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
On pose $f_m=\sum_1^m c_n(f)e_n$. On v\e rifie que $(f-f_m, e_n) = 0 $ pour
$n\leq m$.  Donc $f_m$ est la projection orthogonale de $f$ sur l'espace
engendr\ea par les $e_n$ pour $0\leq n\leq m$.  Donc $||f_m||^2\leq ||f||^2$. Par
le th\e or\ee me de Pythagore, on obtient 
\fb& \label{parsevalfini}
||f_m||^2=\sum_1^n|c_n(f)|^2\leq ||f||^2,
\fe&
ce qui prouve que la s\e rie $\sum_n c_n(f)e_n$ est convergente dans
$H$ (proposition
\ref{convergencedeserie}). Appelons $g$ sa somme. Reste \a montrer que $f=g$. 
Mais si $n\leq m$, on voit que $(f_m-g,e_n)=0$ et en passant \a la limite quand
$m\to\infty$, on obtient $(f-g,e_n)=0$. Donc $f-g$ est orthogonal \a un syst\ee me
total et est donc nul.  La relation de Parseval s'obtient en passant \a la limite
dans (\ref{parsevalfini}).  

La r\e ciproque du th\e or\ee me est imm\e diate en reprenant les arguments pr\e
c\e dents.
\enddemo
\dexer (In\e galit\ea de Parseval)  \index{In\e galit\ea de Parseval}Montrer que
si
$(e_n)$ est un syst\ee me orthonorm\ea quelconque de
$H$, alors  $\sum_n |(e_n,f)|^2\leq ||f||^2$.  Montrer que si cette in\e
galit\ea est une \e galit\e , alors $(e_n)$ est une base hilbertienne.  Montrer
que tout syst\ee me orthonorm\ea peut \eee tre compl\e t\ea en une base
hibertienne.
\fexer
\begin{cor} \index{Isom\e trie (d'un Hilbert s\e parable \a $l^2$)}
Tout espace de Hilbert s\e parable est isom\e trique \a $l^2(\NN)$. Il
suffit d'associer \a $f\in H$ son vecteur de coordonn\e es sur une base
hilbertienne, $c = (c_1(f),..., c_n(f),...)$.  En particulier, on a 
$$(f,g) = \sum_n c_n(f)\overline{c_n(g)}.$$
\end{cor}
\dexer \index{Continuit\ea d'une forme bilin\e aire}Montrer qu'une forme bilin\e
aire
$a(u,v)$ sur un espace vectoriel norm\ea est continue si et seulement si il
existe $C$ tel que
$|a(u,v)|\leq C||u||||v||$.
 \fexer
\begin{thf} (Lax-Milgram)\label{laxmilgram}\index{Lax-Milgram (th\e or\ee me
de)} Soit
$H$ un espace de Hilbert r\e el et  soit $a(u,v)$ une forme bilin\e aire sur $H$ 
continue et coercive,
\ccaadd satisfaisant
$$|a(u,v)|\leq C||u||||v||, \;\; \exists c>0, \;a(u,u)\geq c ||u||^2$$  et
$f\in H'$.  Alors il existe un unique \e l\e ment $u$ de $H$ tel que
$$\forall v\in H,\; a(u,v)=f(v).$$
De plus, $u$ est l'unique minimum de $\varphi(v)=\frac 12 a(v,v)-f(v)$.
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
On applique le corollaire \ref{convexecoerciveminimum} \a la fonction
$\varphi(v)$, qui est convexe, coercive et continue (et donc s.c.i. !) sur
l'espace r\e flexif
$H$.  Il existe donc $u\in H$ qui minimise $\varphi$.  Comme $\varphi$ est
strictement convexe, ce minimum est unique, car si $u_1$ et $u_2 $ r\e alisent le
minimum on  a $\varphi(\frac{u_1+u_2}2)<\frac 1 2 (\varphi(u_1) +\varphi(u_2))$ si
$u_1\neq u_2$.  On a pour tout $v$ dans $H$ et $t\in\RR$, $\frac 12a(u+tv,
u+tv)-f(u+tv)\geq \frac 12a(u,u)-f(u)$, soit $\frac 12t^2a(v,v)+
ta(u,v)-tf(v)\geq 0$. En divisant par $t$ et en passant \a la  limite
quand $t\to 0^\pm$, on obtient
$a(u,v)=f(v)$.
\enddemo
Terminons par quelques remarques sur la convergence faible dans un espace de 
Hilbert.
\begin{pro} \index{Convergence faible dans un espace de Hilbert}
(i) Si $u_n\in H$ est born\e e et $H$ s\e parable, alors il existe une sous-suite 
qui 
converge faiblement : $$\forall v\in H, \; (u_n, v)\to (u,v).$$
(ii)R\e ciproquement, si $u_n\to u$, alors $u_n$ est born\e e et 
$$||u||\leq\lim\inf_n ||u_n||.$$
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
(i) C'est une cons\e quence directe de la r\e flexivit\ea de $H$ s\e parable, qui 
implique
la compacit\ea s\e quentielle de la boule unit\e .
\newline
(ii) Cons\e quence imm\e diate du th\e or\ee me de Banach-Steinhaus. 
\enddemo

\dexer On pose dans $H=L^2(0, 2\pi)$, $u_n(x)= \sin nx$ et $v_n(x)=|\sin(nx)|$. 
Montrer que
ces suites convergent faiblement dans $H$ mais pas fortement.  Calculer leur limite 
faible.

\fexer
%\dexer 
%Calculer dans $L^2(0,1)$ le maximum de $\int_0^1 f(x)dx$ sujet aux contraintes
%$\int_0^1|f|^2(x)dx=1$ et $\int_0^1 f(x)dx=0$.  On se ram\e nera au calcul d'une
%projection sur un convexe ferm\e .
%\fexer

\section{Exercices}
{ \bf Exercice 1}
\\ \\
1) Calculer
$$ \min_{a,b,c} \int_{-1}^1 {\vert x^3 -a - bx -cx^2 \vert}^2 dx,$$
et trouver
$$ \max \int_{-1}^1 x^3 g(x) dx,$$
o\`u g est soumis aux contraintes
$$\int_{-1}^1 g(x)dx = \int_{-1}^1 xg(x)dx =\int_{-1}^1 x^2 g(x)dx = 0;\quad 
\int_{-1}^1 
{\vert g(x) \vert}^2 dx =1.$$
2) Si $x_0 \in M$ et si M est un sous-espace vectoriel ferm\'e d'un espace de 
Hilbert H, 
\'enoncer le probl\`eme de maximum correspondant \`a $\min \{ \Vert x_0 - x 
\Vert,\;x \in 
M \}$ comme dans la question pr\'ec\'edente.
\\ \\
{ \bf Exercice 2} (Lemme de Grothendieck)
\\ \\
Soit $\Om$ un espace mesur\'e et $\mu$ une mesure de probabilit\'e sur $\Om$. Soit 
$S$ 
un sous-espace vectoriel ferm\'e de $L^1(\mu)$ tel que $S \subset \Linf(\mu)$. On 
va 
montrer que dim$S < \infty$.\\
1) Montrer que $\exists C, M$ tels que $\forall f \in S$, $\Vert f \Vert_{\infty} 
\leq 
C \, \Vert f \Vert_1$ puis que $\Vert f \Vert_{\infty} \leq M\,\Vert f \Vert_2$.\\
2) V\'erifier que $(S,\Vert\,\Vert_2)$ est un espace de Hilbert. Soit 
$\Phi_1,...,\Phi_n$ une famille orthonorm\'ee quelconque de $S$, montrer que 
$$\sum_1^n \vert \Phi_i(x) \vert^2 \leq M^2,\quad \mbox{p.p.}$$
Conclure. \\
(On pourra consid\`erer la fonction $f_c(x) = \sum_1^n c_i \Phi_i(x)$ o\`u 
$c=(c_i)_i 
\in \overline{B}(0,1) \subset \RR^n$.)
\\ \\
{ \bf Exercice 3} Base de Haar
\\ \\
On pose $H(x) = 1$ si $0 \leq x < \frac{1}{2}$ et $H(x) = -1$ si $\frac{1}{2} 
\leq 
x < 1$. C'est la fonction de Haar. On pose
$$H_k^l (x) = 2^{\frac{l}{2}} H(2^l x - k),\quad l,k \in \ZZ.$$
1) Dessiner les fonctions de Haar pour $l =1,2$. D\'emontrer que ces fonctions 
forment un syst\`eme orthonormal de $L^2(\RR)$.\\
2) Compter les fonctions de Haar qui sont \`a support dans $[0,1]$ et qui sont 
constantes sur les intervalles dyadiques de longueur $\leq 2^{-j}$. On appelle 
$S_j$ 
le syst\`eme qu'elles forment. Remarquer qu'elles sont toutes d'int\'egrale nulle 
et 
d\'eduire qu'elles forment une base de $W_j$, l'espace des fonctions en escalier 
dyadiques, constantes sur des intervalles de longueur $2^{-j}$ et \`a moyenne 
nulle.\\
3) Montrer que le syst\`eme de Haar est une base hilbertienne de $L^2(\RR)$. On 
commencera par montrer qu'une partie de la base de Haar engendre l'espace des 
fonctions de $L^2(-2^j,2^j)$ \`a moyenne nulle sur $(-2^j,0)$ et $(0,2^j)$.
\\ \\
{\bf Exercice 4}
\\ \\
Soit $E$ un espace vectoriel norm\'e dont la norme v\'erifie l'identit\'e du 
parall\'elogramme, c'est \`a dire
$$\Vert a+b \Vert^2 + \Vert a-b \Vert^2 = 2 (\Vert a \Vert^2 + \Vert b \Vert^2),\quad 
\forall a,b \in E.$$
On se propose de montrer que l'expression suivante
$$(x,y) = \frac{1}{2} (\Vert x+y \Vert^2 - \Vert x \Vert^2 - \Vert y \Vert^2),\quad x,y 
\in E,$$
d\'efinit un produit scalaire sur $E$ tel que $(x,x)=\Vert x \Vert^2$.\\
1) V\'erifier que $(x,y) = (y,x)$, $(-x,y) = - (x,y)$ et $(x,2y) = 2(x,y)$, $\forall 
x,y \in E$.\\
2) Montrer que $(x+y,z) = (x,z) + (y,z)$, $\forall x, y, z \in E$.\\
On pourra appliquer l'identit\'e du parall\'elogramme successivement avec 
\begin{eqnarray*}
(1) & a=x,\,\,b=y,\\
(2) & a= x+z,\,\,b=y+z,\\
(3) & a=x+y+z,\,\,b=z.
\end{eqnarray*}
3) Montrer que $(\lambda x,y)=\lambda(x,y)$, $\forall \lambda \in \RR$, $\forall x,y 
\in E$. (Le faire d'abord pour $\lambda \in \NN$, puis $\lambda \in \QQ$ et enfin 
$\lambda \in \RR$.)
\chapter{S\'{e}ries de Fourier}
 On consid\ee re l'espace de Hilbert $L^2([-\pi, \pi])$ que l'on notera aussi 
$L^2(-\pi,\pi)$.  On
va montrer que le syst\ee me orthonorm\ea 
$$\frac {1}{(2\pi)^\frac {1}{2}}(e^{ikt})_{k\in \cal Z}$$
est une base hilbertienne de $L^2(-\pi, \pi)$.  Cette base s'appelle la base de
Fourier.  On notera 
$$c_n(f) = \frac {1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}dx,$$ en sorte que pour
toute $f$ dans $L^2([-\pi, \pi])$ on puisse \e crire

$$ f(x) =  \sum_{n\in \relative} c_n(f)e^{inx},$$
la s\e rie pr\e c\e dente convergeant au sens $L^2$.  Les $c_n(f)$ s'appellent
les coefficients de Fourier de $f$ et sont proportionnels aux coordonn\e es de
$f$ dans la base de Fourier.
 
Pour montrer ce r\e sultat, on va commencer par analyser le comportement des
coefficients de Fourier selon la r\e gularit\ea de $f$.  
\begin{lem} \index{Riemann-Lebesgue (Lemme de)} (Lemme de
Riemann-Lebesgue)\label{riemann-lebesgue}
\newline
i)  On pose pour $f\in L^1(\RR)$, $$\hat f(\xi) =
\int_{\RR} f(x) e^{-i\xi x}dx.$$  Si $f\in {\cal C}_c(\RR)$ est  $k$ fois diff\e
rentiable et
 telle que $f^{(k)}\in L^1(\RR)$,  alors 
$$|\hat f(\xi)|\leq
\frac {||f^{(k)}||_{L^1}} {|\xi|^k}.$$
\newline
ii) Si $f\in
L^1(\RR)$ alors $\int_{\RR} f(x)e^{iax}dx \to 0 $ quand $|a|\to \infty$.    
\newline
iii) Application aux coefficients de Fourier : si $f\in L^1(-\pi, \pi)$,
$$\lim_{\vert n\vert\to \infty} c_n(f) = 0.$$
\end{lem}
\drem
Si $f\in L^2$, on sait imm\e diatement que $c_n(f)\to 0$ car $c_n(f)$ s'interpr\ee 
tent 
comme les coordonn\e es de $f$ sur un syst\ee me orthonorm\e .
\frem

\paragraph{D\e monstration}
i)
 En int\'{e}grant par parties $k$  fois l'int\'{e}grale d\'{e}finissant $\hat f$, 
on
 obtient pour $\xi \neq 0$, 
 $$|\hat f(\xi)| = |\frac 1 {(i\xi)^k}\int f^{(k)}(x)e^{-ix\xi}dx|\leq \frac
 {||f^{(k)}||_{L^1}}{|\xi|^k}.$$
\newline
ii)
 Soit $f_n$ une suite de fonctions ${\cal C}^{\infty}$ et \`{a} support compact qui 
tendent 
vers
 $f$ dans $L^1$ (proposition \ref{densiteCinfiniL1deomega}).  On a, pour $n$
fix\'{e} assez grand :
$||f_n -f||_1\leq
\varepsilon$,
 ce qui implique $|\hat f_n(\xi)-\hat f(\xi)|\leq \varepsilon$ pour tout $\xi$.
En utilisant (i), on voit que $|\hat f_n(\xi)|\to 0$ quand $n$ est fix\'{e}
 et $|\xi|\to \infty$.  Donc $|\hat f_n(\xi)|\leq \varepsilon$  pour $\xi $ assez 
grand.
 Finalement,  
 $$|\hat f(\xi)| \leq |\hat f(\xi)-\hat f_n(\xi)| + |\hat f_n(\xi)|\leq 
2\varepsilon$$
 pour $\xi$ assez grand.
\enddemo

\noindent La proposition suivante nous dit que la s\e rie de Fourier de $f$
converge vers $f(x)$ en tout point $x$ o\u $f$ est suffisamment r\e guli\ee re.

\begin{pro} \label{lemmedelocalisation}\index{Principe de localisation}
( Principe de localisation)
\newline
Si $f\in L^1(-\pi, \pi)$ et si la fonction $y\to\frac {f(y)-f(x)}
{y-x}$ est int\'{e}grable sur un voisinage de $x$, alors 
$\lim_{N\to \infty} s_Nf(x) = f(x), $ o\`{u} on a 
not\'{e} : $s_Nf(x)= : \sum_{\vert n\vert \leq N} c_n(f)e^{inx}.$
\end{pro}
Expliquons pourquoi le r\e sultat pr\e c\e dent s'appelle principe de
localisation.
 Alors que $s_N(f)$ est le r\'{e}sultat d'un calcul int\'{e}gral sur tout 
l'intervalle
 $[-\pi, \pi]$, et donc d'un calcul global, le comportement de $s_Nf(x)$
d\'{e}pend du
 comportement local de $f$ au voisinage de $x$. Il y  a donc ``localisation". 

\paragraph{D\e monstration}
{\bf Etape 1}
 On se ram\ee ne au cas $f(x)=0,   x=0$.  \newline
  Supposons la proposition
d\'{e}montr\'{e}e pour $x=0$, $f(x)=0$.  Soit maintenant 
 $g\in L^1(-\pi, \pi)$ telle que $\frac{g(y)-g(x)}{y-x}$ soit int\'{e}grable au
voisinage
 de $x$. Alors on pose $f(y)= g(x+y)-g(x) $.  On a bien $f(0)=0$ et 
$\frac{f(y)}{y}=\frac {g(x+y)-g(x)}{y}$ est int\'{e}grable au voisinage de 0.  
Donc, par
 hypoth\`{e}se, $s_Nf(0)\to f(0)=0$.  Mais
 $$s_Nf(0)=\sum_{|n|\leq N}c_n(g(x+y)-g(x))=\sum_{|n|\leq N}
\frac 1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(g(x+y)-g(x))e^{-iny}dy$$
 $$=(\sum_{|n|\leq N}\frac 1
 {2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g(z)e^{-in(z-x)}dz) -g(x)=(\sum_{|n|\leq N}
\frac 1 {2\pi}e^{inx}\int_{-\pi}^{\pi}g(z)e^{-inz}dz)-g(x)$$
 $$= s_Ng(x)-g(x).$$
 Donc $s_Ng(x)\to g(x).$
En fait, l'argument pr\e c\e dent montre que $s_N$ commute avec les translations :
$$s_N[g(.+x)] = (s_Ng)(.+x).$$
\newline
\newline
{\bf Etape 2} On a
 \fb& \label{formeFourierRiemann}
s_Nf(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(y)
\frac{\sin (N+\frac{1}{2})y}{\sin\frac{y}{2}}dy.
\fe&
 En effet, $\sum_{-N}^Ne^{iky}=\frac {\hbox{sin}(N+\frac {1} {2})y}{\hbox{sin}\frac 
{y}
 {2}}$, ce qui se prouve ais\'{e}ment en sommant la suite g\'{e}om\'{e}trique.
\newline
\newline
{\bf Etape 3} Par l'\e tape 1 il suffit de montrer que si $f\in L^1(-\pi, \pi)$  et
si
$\frac {f(y)}{y}$ est
 int\'{e}grable autour de 0, alors $s_Nf(0)\to 0$.  Comme sur $[-\pi, \pi]$,
 $|\hbox{sin}\frac y 2|\geq \frac {|y|} {\pi}$, on a
 $$|\frac {f(y)} {\hbox{sin}\frac y 2}|\leq \frac {\pi |f(y)|}{|y|}\in L^1(-\pi,
\pi).$$
 Donc on peut appliquer le lemme de Riemann-Lebesgue \a la  fonction 
$\frac {f(y)}{\hbox{sin}\frac y 2}$.  On conclut que l'int\'{e}grale de
(\ref{formeFourierRiemann}) d\e finissant $s_Nf(0)$ tend vers 0 quand $N$ tend vers
l'infini.
\enddemo

\begin{cor} \index{Base de Fourier} Le syst\ee me   
$$\frac {1}{(2\pi)^\frac {1}{2}}(e^{ikt})_{k\in \cal Z}$$
est une base hilbertienne de $L^2(-\pi, \pi)$. Notant 
$c_n(f) = \frac {1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-inx}f(x)dx,$ on a donc pour toute
$f$ dans
$L^2([-\pi, \pi])$,
$$ f(x) =  \sum_{n\in \relative} c_n(f)e^{inx},$$
la s\e rie pr\e c\e dente convergeant au sens $L^2$.  
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
On appelle polyn\oo me trigonom\e trique toute expression de la forme
$P(t)=\sum_{k=-N}^N a_k e^{ikt},$ o\u les $a_k$ sont des nombres complexes.
Pour montrer que le syst\ee me de Fourier est une base hilbertienne, il nous
suffit de montrer que c'est un syst\ee me total, \ccaadd que les polyn\oo mes
trigonom\e triques forment un sous-espace vectoriel dense de $L^2(-\pi, \pi)$. Mais
le  lemme \ref{lemmedelocalisation}
( Principe de localisation) nous assure que si $f$ est (e.g.) ${\cal C}^2$ et 
$2\pi$-p\e
riodique sur $\RR$, alors $s_N(f)(x)\to f(x)$ en tout point.  Comme de plus les
coefficients de la s\e rie de Fourier de $f$ v\e rifient $|c_k(f)|\leq \frac
C{k^2}$, la s\e rie de Fourier est en fait uniform\e ment convergente et donc
converge  aussi dans $L^2([-\pi, \pi])$ vers $f$.  Or, les fonctions ${\cal C}^2$ et
2$\pi$-p\e riodiques forment un sous-espace dense de $L^2([-\pi, \pi])$.
En effet, par le corollaire \ref{densiteCinfiniL1deomega}, les fonctions ${\cal 
C}^{\infty}$
\a support compact dans $[-\pi,\pi]$ sont denses dans $L^2(-\pi,\pi)$. On conclut
que le syst\ee me de Fourier est total, et donc une base hilbertienne.
\enddemo

\begin{cor} \index{Principe de localisation (pour une fonction H\ooo lderienne)}
si $f\in L^1([-\pi, \pi])$ est H\"{o}ld\'{e}rienne d'exposant
 $0<\alpha\leq 1$ en $x$ (\ccaadd $\vert f(x)-f(y)\vert \leq C\vert x-y
\vert^\alpha $ ), alors $s_Nf(x)\to f(x)$. Cette conclusion s'applique si $f$ est
une primitive sur $[-\pi, \pi]$ d'une fonction de
$L^2(-\pi, \pi)$.
\end{cor} 
\paragraph{D\e monstration}
 L'application du principe de localisation est imm\'{e}diate :\newline $|\frac
{f(y)-f(x)}{y-x} |\leq |x-y|^{\alpha -1}$ qui
 est bien int\'{e}grable au voisinage de $x$.
 Soit maintenant $f$ une fonction qui est la primitive sur $[-\pi, \pi]$ d'une
fonction de
$L^2(-\pi, \pi)$. 
En appliquant l'in\'{e}galit\'{e} de Cauchy-Schwarz, 
  $$|f(x)-f(y)| = |\int_y^x f'(t)dt|
 \leq |y-x|^{\frac 1 2}(\int_{-\pi}^{\pi} |f'(t)|^2dt)^{\frac 1 2}.$$
 La fonction $f$ est donc H\"{o}lderienne d'exposant $\frac 1 2$ et le principe de
 localisation s'applique.
\enddemo

\begin{rem} {\bf (importante)} Le principe de localisation, quand il s'applique,
nous assure que les sommes {\rm sym\e triques}, $s_nf(x)=  \sum_{\vert k\vert
\leq n} c_k(f)e^{ikx}$ de la s\e rie de Fourier convergent vers $f(x)$.  Le fait
que le syst\ee me de Fourier soit une base hilbertienne nous en dit plus, et
moins.  En effet, si $f\in L^2([-\pi, \pi])$, on peut assurer que les sommes {\it
asym\e triques}, 
$s_{m,n}f(x)=  \sum_{-m\leq k\leq n}
c_k(f)e^{ikx}$ convergent dans $L^2$ vers $f$ quand $n,m\to +\infty$.  
Mais, attention : cette convergence n'est pas ponctuelle. 
\end{rem}

\section{ Convolution des fonctions p\e riodiques et s\e ries de Fourier}
La d\e composition en s\e rie de Fourier d'une fonction $f\in L^2([-\pi, \pi])$
implique qu'on la consid\ee re comme une fonction $2\pi-$p\e riodique, puisque la
s\e rie de Fourier l'est. 
\begin{Def}\index{Convolution p\e riodique} {\bf et proposition}
 Si  $f\in L^1([-\pi, \pi])$ et $g\in L^1([-\pi, \pi])$, on prolonge $f$
et $g$ en des fonctions $2\pi $-p\e riodiques sur $\RR$ et on pose
$f \ast g(x)=\int_{-\pi}^\pi f(y)g(x-y)dy$. La fonction $f \ast g$ ainsi d\e finie
appartient
\a 
$L^1(-\pi,\pi)$ et est
$2\pi$-p\e riodique.  
\end{Def}
\dexer  En reprenant l'argument du th\e or\ee me \ref{universalitedelaconvolution},
montrer que si $T: L^2_{periodique}([-\pi, \pi])\to C^0_{periodique}([-\pi,\pi])$ 
est lin\e
aire, continu  et commute avec les translations,
alors il existe une fonction
$g\in L^2([-\pi,
\pi])$ telle que 
 $Tf=g\ast f$, o\u "$\ast$" d\e signe la convolution p\e riodique.`
\fexer

\begin{thf} 
Si $f, g \in L^2(-\pi, \pi)$, alors $f\ast g$ est continue  et
$c_n(f\ast g) = 2\pi c_n(f)c_n(g)$.
De plus, la s\'{e}rie de Fourier de $f\ast g$ converge uniform\e ment vers $f\ast
g$.
\end{thf}
Remarquons que la relation pr\e c\e dente montre l'effet r\e gularisant de la 
convolution
: les hautes fr\e quences de $f\ast g$ sont plus faibles que celles de $f$, puisque 
$c_n(g)$ tend vers z\e ro.
\paragraph{D\e monstration}


\noindent i) On a par l'in\e galit\ea de Cauchy-Schwarz 
$$|(f\ast g)(t)|\leq
\int|f(t-s)||g(s)|ds\leq ||f||_{L^2}||g||_{L^2}.$$  
\newline Donc $f\ast g\in L^2(-\pi, \pi)$ et on a, en
appliquant plusieurs fois le th\e or\ee me de Fubini (les int\e grales se  font
sur $[-\pi, \pi]$ ou, indiff\e remment, sur n'importe quel intervalle de longueur
$2\pi$) :
$$c_n(f\ast g)=\frac 1{2\pi}\int\int f(t-s)g(s)e^{-int}dsdt = 
\frac 1 {2\pi}\int\int f(t-s)e^{-in(t-s)}g(s)e^{-ins}dsdt$$ 
$$= \frac 1 {2\pi}(\int g(s)e^{-ins}ds
)(\int f(u)e^{-inu}du)=c_n(f)c_n(g).$$
\newline
 Le terme g\e n\e ral de la s\e rie de Fourier de $f\ast g$ v\e rifie
$$|c_n(f\ast g)e^{inx}|=|c_n(f)||c_n(g)|\leq |c_n(f)|^2+|c_n(f)|^2.$$
 Cette
derni\ee re s\e rie est convergente.  La s\e rie de Fourier de $f\ast g$ est donc
uniform\e ment convergente.  Sa limite est donc continue.  Remarquer que si
$f_n\to f$ dans $L^2$ et si $f_n\to g$ presque partout, alors $f=g$ : c'est une
cons\e quence de la r\e ciproque du th\e or\ee me de Lebesgue.
\enddemo


\begin{cor} \index{Base de Fourier en sinus et cosinus}Autres bases de Fourier.
Les fonctions
$$\frac{1}{\sqrt T},    \sqrt \frac{2}{T} \cos(\frac {2k\pi t}{T}),
  \sqrt \frac{2}{T} \sin(\frac {2k\pi t}{T}),   k=1, 2, ... $$
forment une base hilbertienne de $L^2(0,T)$.  
\newline
ii) Il en est de m\eee me pour  les fonctions \index{Base en cosinus}
$$\frac{1}{\sqrt T},    \sqrt \frac{2}{T} \cos(\frac {k\pi t}{T}),   k=1,
2, ...  $$
  La transform\e e associ\e e \a la base en cosinus s'appelle la "transform\e e en
cosinus."
\newline La "base en sinus",\index{Base en sinus} $\sqrt
\frac{2}{T}
\sin(\frac {k\pi t}{T}),   k=1, 2, ...  $.  
\end{cor}

\paragraph{D\e monstration}
i) Cette premi\ee re base r\e sulte de l'application \a la base de Fourier de la
remarque g\e n\e rale suivante.  Si $(e_k)_{k\in \relative }$ est une base
hilbertienne, alors le syst\ee me $f_0=e_0$,..., $f_{2k}=\frac{e_k+e_{-k}}{\sqrt
2}$,
$f_{2k+1}=\frac{e_k-e_{-k}}{\sqrt 2}$, ... aussi. 
\newline
ii) Si $f\in L^2(0,T)$, on lui associe la fonction paire $\tilde f$ sur $[-T, T]$
qui co\"{\i}ncide avec $f$ sur $[0,T]$.  On d\e compose $\tilde f$ sur la base de
Fourier de
$[-T,T]$.   La base de Fourier sur $[-T, T]$ est form\e e des fonctions $\frac 
1{\sqrt
{2T}}e^{i\pi kt\over T}$. Donc on a 
\newline
$\tilde f(x) =_{\small L^2} \sum_{n\in \relative}\frac 1 {2T}(\int_{-T}^{T}\tilde
f(t)e^{-i\pi kt\over T}dt )e^{i\pi kx\over T}.$  
Comme $\tilde f$ est paire, on voit en faisant le changement de variables $t\to -t$ 
dans les
int\e grales que les coefficients de $e^{i\pi kt \over T}$ et $e^{-i\pi kt \over 
T}$ sont \e
gaux.  On remarque aussi que $\int_{-T}^T\tilde f(t)e^{i\pi k t\over T}dt =2
\int_0^T f(t)\cos(\frac{\pi kt}T)dt$.  Aussi,
\newline
$\tilde f(x) =_{\small L^2}\frac 1 {2T}\int_{-T}^T\tilde f(t)dt + \sum_{n\in
\NN^*}\frac 1 {2T}(\int_{-T}^{T}\tilde f(t)e^{-i\pi kt\over T}) (e^{i\pi
kx\over T}+e^{i\pi kx \over T}),$ et donc
\newline
$ f(x) =_{\small L^2}\frac 1 {T}\int_{0}^T f(t)dt + \sum_{n\in
\NN}\frac 2 {T}(\int_{0}^{T} f(t)\cos(\frac{\pi kt}T)) \cos(\frac{\pi
kx}T).$
 Comme les fonctions \linebreak $\frac 1 {\sqrt T},\;\sqrt{\frac 2 T}
\cos(\frac{\pi kx}T)$ forment un syst\ee me orthonorm\ea de
$L^2(0,T)$, l'\e galit\ea  pr\e c\e dente exprime qu'elles forment en fait une base
hilbertienne.
\newline\newline
(iii)   Si on prolonge la fonction $f$ en une fonction
impaire sur $[-T, T]$ et que l'on reprend le raisonnement pr\e c\e dent,  on trouve
la base en sinus. Cette base a la propri\e t\e , utile
pour mod\e liser les cordes vibrantes, que ses \e l\e ments valent 0
aux extr\e mit\e s de l'intervalle.

\enddemo
\\ \\
\section{Exercices}
{ \bf Exercice 1} 
\\ \\
Soit ${(s_n)}_n \subset \CC$ telle que $s_n \longrightarrow s$. Montrer que
$$\frac{1}{n+1} \sum_0^n s_j \longrightarrow s.$$
\\ 
{ \bf Exercice 2}
\\ \\
Montrer qu'il existe ${(s_n)}_n \subset \CC$ telle que ${(s_n)}_n$ ne converge 
pas et 
$$\frac{1}{n+1} \sum_0^n s_j \mbox{ converge.}$$
\\ \\
{ \bf Exercice 3}
\\ \\
On note ${\cal C}(\Pi) = \{ f \in {\cal C}(\RR),\;2\pi \mbox{-p\'eriodiques} 
\}$, que l'on munit 
de ${\Vert f \Vert}_{\infty} = \sup_t \vert f(t) \vert$. On notera ${\Vert f 
\Vert}_1 
= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \vert f(t) \vert dt.$ Soit $f \in {\cal 
C}(\Pi)$, on 
d\'efinit les coefficients de Fourier de f par
$$\widehat{f} (n) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(t) e^{-int} dt,\;\; n 
\in \ZZ.$$
On note 
\begin{eqnarray*}
S_n(f,t) & = & \sum_{-n}^n \widehat{f} (k) e^{ikt},\;\;n\in \NN \mbox{ et} \\
\sigma_n(f,t) & = & \frac{1}{n+1} \sum_0^n S_j(f,t).
\end{eqnarray*}
1) On pose $D_N(t) = \sum_{-N}^N e^{ikt}$ et $K_N(t)= \frac{1}{N+1} \sum_0^N 
D_j(t)$, pour $N \in \NN$.\\
Montrer que 
\begin{eqnarray*}
D_N(t) & = & \frac{\sin(N+\frac{1}{2})t}{\sin\frac{t}{2}},\;\;t \not= 
0,\;\;D_N(0) = 2N+1,\\
K_N(t) & = & \frac{1}{N+1} {\left( \frac {\sin \frac{N+1}{2}t}{\sin 
\frac{t}{2}} \right)}^2 ,\;\;t\not=0,\;\;K_N(0) = N+1.
\end{eqnarray*}
2) V\'erifier que $K_N(t) \geq 0$, $\forall t \in \RR$, ${\Vert K_N \Vert}_1 = 
1$ et 
que $\forall \delta > 0$, $K_N \longrightarrow 0$ uniform\'ement sur $\delta 
\leq \vert t \vert \leq \pi$.\\
3) Montrer que si $f \in {\cal C}(\Pi)$, $\sigma_n(f) \longrightarrow f$ 
uniform\'ement sur $[-\pi,\pi]$. (Remarquer 
que $\sigma_n(f,t) = \frac{1}{2\pi} \int _{-\pi}^{\pi} f(x) K_n(t-x) dx = K_n 
\star f(t) = f \star K_n(t).)$\\
4) On appelle polynome trigonom\'etrique, toute fonction de la forme 
$\sum_{-n}^n a_k e^{ikt}.$\\
En d\'eduire que les ploynomes trigonom\'etriques sont denses dans ${\cal 
C}(\Pi)$ et que si $f,g \in {\cal C}(\Pi)$ sont telles 
que $\forall n \in \ZZ$, $\widehat{f} (n)=\widehat{g} (n)$ alors $f=g.$\\
5) Th\'eor\`eme de Du Bois-Reymond :\\
$\exists f \in {\cal C}(\Pi)$ telle que $\lim \sup \vert S_n(f,0) \vert = + 
\infty.$\\
Pour d\'emontrer ce r\'esultat, on d\'efinit $\Lambda_n : {\cal C}(\Pi) 
\longrightarrow \CC$ telle que 
$\Lambda_n(f) = S_n(f,0).$\\
\indent a) V\'erifier que $\Lambda_n \in ({\cal C}(\Pi))^{\prime}$.\\
\indent b) Montrer que $\Vert \Lambda_n \Vert = {\Vert D_n \Vert}_1.$\\
\indent c) Montrer que ${\Vert D_n \Vert}_1 \longrightarrow + \infty$ (par 
exemple : ${\Vert D_n \Vert}_1 \geq \frac{4}{\pi^2} \log (n+1)).$\\
\indent d) En d\'eduire que $\exists f \in {\cal C}(\Pi)$ telle que $\sup_n 
\vert S_n(f,0) \vert = + \infty$.\\ \\

\chapter{S\e ries de Fourier et distributions p\e riodiques}
Dans toute la suite, $I$ d\e signe un intervalle ouvert de $\RR$, born\ea ou
pas.
 On note ${\cal C}_0^\infty(I)$ l'ensemble des fonctions r\e elles ${\cal C}^{\infty}$ 
\a
support compact dans $I$.  On appelle distribution dans $I$ toute forme
lin\e aire $u$ sur ${\cal C}_0^\infty(I)$ ayant la propri\e t\ea de continuit\ea 
suivante
: Pour tout intervalle compact $J\subset \RR$ il existe un entier $p$ et
une constante $C$ tels que pour toute fonction  
$\varphi\in {\cal C}_0^\infty(J)$ \a support inclus dans $J$, 
$$|<u,\varphi>|\leq C\max_{i\leq p}\max_{x\in J}|\varphi^{(i)}(x)|.$$
Cette relation exprime que la forme lin\e aire $u$ n'agit que sur $\varphi$ et ses 
d\e riv\e
es d'ordre inf\e rieur ou \e gal \a $p$. Si $u\in L^1_{loc}(I)$ est une fonction 
int\e
grable sur tout born\ea de
$I$, on voit imm\e diatement que l'on peut l'identifier \a une distribution
$\tilde u$ dans $I$ en posant, pour $\varphi$ dans ${\cal C}_0^\infty(I)$,
$$<\tilde u,
\varphi>=\int_{I}u(x)\varphi(x)dx.$$
\dexer \index{Distributions associ\e es \a des fonctions $L^1_{loc}$}
 Montrer que si deux distributions $\tilde u$ et $\tilde v$ dans $I$ sont associ\e
es \a des fonctions $u$ et $v$ appartenant \a $L^1_{loc}(I)$ et si elles sont deux
distributions
\e gales, alors
$u=v$.
\fexer
\dexer \index{Masse de Dirac} \index{Peigne de Dirac}Montrer que $<\delta_x,
\varphi>=\varphi(x)$ est une distribution dans $\RR$, appel\e e masse de Dirac en
$x$.  Montrer qu'il en est de m\eee me pour le ``peigne de Dirac" $u=\sum_n
\delta_{2k\pi}$ et pour
$<\delta_x^{(k)},\varphi>=(-1)^k\varphi^{(k)}(x)$.
\fexer

\noindent On admettra le th\e or\ee me suivant, qui est une cons\e quence du th\e
or\ee me de Banach-Steinhaus :
\begin{thf} \index{Convergence des distributions}
 si $u_n$ est une suite de distributions dans $I$ telle que $\forall 
\varphi \in {\cal C}_0^\infty$, $<u_n, \varphi>$ converge vers une valeur que l'on note
$<u,\varphi>$, alors $u$ est aussi une distribution dans $I$.
\end{thf}
Voir l'exercice 2 \`a la fin de ce chapitre.
\dexer Montrer que si $u_n \in L^1_{loc}$ converge vers $u$ dans $L^1_{loc}$, alors
aussi $u_n\to u$ au sens des distributions.
\fexer

\begin{Def} {\bf et proposition} \index{D\e riv\e e d'une distribution} Si $u$ est
une distribution dans $I$, alors on appelle d\e riv\e e $k$-i\ee me de $u$ la
distribution dans $I$ d\e finie par
$<u^{(k)},\varphi>=(-1)^k<u, \varphi^{(k)}>$. Si $u$ est ${\cal C}^k$ dans $I$,  alors  
sa
d\e riv\e e classique, not\e e $\{u\}^{(k)}$ co\iii ncide avec sa d\e riv\e e au
sens des distributions, $u^{(k)}$.
\end{Def}
\paragraph{D\e monstration}
Si $u$ est ${\cal C}^k$ dans $I$, on a $<\{u\}^{(k)},\varphi>=\int_I
\{u\}^{(k)}(x)\varphi(x)$ et en int\e grant par parties $k$ fois, on obtient
$$<\{u\}^{(k)},\varphi>=(-1)^k\int_I u(x)\varphi^{(k)}(x)dx=<u^{(k)}, \varphi>.$$ 
\enddemo
\begin{thf} {\bf (formule des sauts)}\label{formuledessauts} \index{Formule
des sauts}Soit
$f$  une fonction
${\cal C}^1$ par morceaux sur
$I$ et
$(a_n)_{n\in \relative}$ la suite discr\ee te de ses sauts.  On d\e signe par
$\{f\}'$ la d\e riv\e e ponctuelle de $f$ et par $f(a_n^\pm)$ les limites \a
gauche et \a droite de $f$ en $a_n$. Alors la d\e riv\e e distributionnelle $f'$
de
$f$ est donn\e e  par
$$f'= \{f\}'+\sum_n (f(a_n^+)-f(a_n^-))\delta_{a_n}.$$
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
Prendre $\varphi$ dans ${\cal C}_0^\infty$ et int\e grer par parties 
$<f', \varphi>=-\int f\varphi'.$
\enddemo
Que se passe-t-il quand la d\e riv\e e au sens des distributions d'une fonction
est nulle~? 
\begin{lem}\index{Constance d'une fonction \a d\e riv\e e distributionnelle
nulle}
\label{deriveenulleimpliquenulle} Soit $f\in L^1(I)$ telle que $f'=0$,
\ccaadd
\fb& \label{orthogonaleauxderivees}\forall \varphi\in {\cal C}_0^\infty(I),
\int_If(x)\varphi'(x)dx=0.
\fe&
Alors il existe une constante $C$ telle que $f=C$ presque partout.
\end{lem}
\paragraph{D\e monstration}  Voir l'exercice 3 \`a la fin de ce chapitre.
%Comme ${\cal C}_0^\infty(I)$ est dense dans ${\cal C}_c^1(I)$
%(Corollaire \ref{densiteC0infiniCc}), la relation (\ref{orthogonaleauxderivees})
%est encore vraie si
%$\varphi\in {\cal C}_c^1(I)$. Fixons $\psi\in {\cal C}_c(I)$ telle que 
$\int_I\psi(x)dx=1$. 
%Alors pour toute fonction
%$w\in {\cal C}_c(I)$, il existe  une ``pseudo-primitive''  de $w$, $\varphi\in {cal 
%C}_c^1(I)$,
%satisfaisant 
%$$\varphi'(x)=w(x)-(\int_Iw)\psi(x).$$
%Il suffit de choisir pour $\varphi$  la primitive \a support compact de 
%$w-(\int_Iw)\psi$, qui est d'int\e grale nulle.  Donc
%$$\forall w\in {\cal C}_c(I),\;\int_I f(x)(w(x)-(\int_Iw)\psi)=0 \hbox{ et par Fubini 
%}$$
%$$\forall w\in {\cal C}_c(I), \; \int_I(f(x)-\int_If\psi)w(x)dx=0,$$
%ce qui implique par le lemme \ref{orthogonalaCcimpliquenul} que $f(x)=\int_If\psi$
%est constante.
\enddemo


\begin{pro} \index{D\e rivation d'une s\e rie de Fourier}Soit 
$f$ une fonction d\e finie sur $\RR$, $2\pi$-p\e riodique et telle que $f\in
L^2(0,2\pi)$.  On a le droit de d\'{e}river  la s\'{e}rie de Fourier de
$f$ autant de fois que l'on veut et on
 a donc
\fb&
\label{deriveeseriedefourier}f^{(p)} = \sum_{-\infty}^{+\infty}
(ik)^pc_k(f)e^{ikt},
\fe&
  cette \e galit\ea \e tant  valide comme \e galit\ea de
deux distributions dans $\RR$. 
\end{pro}
\drem L'\e galit\ea est aussi valide comme \e galit\ea de deux distributions dans
$]0,\pi[$ ou en fait dans tout intervalle ouvert de $\RR$. 
\frem
\paragraph{D\e monstration}
\skipaline  On remarque d'abord que si $I$ est un ouvert et $u$ une fonction  dans
$L^2(I)$, dans
$L^1$, ou dans $L^p_{loc}$, alors elle est une distribution dans $I$, car toute 
fonction
de $L^1_{loc}(I)$ est une distribution dans $I$.  De plus, si une suite de 
fonctions $u_n$
converge dans l'un des ces espaces, elle converge aussi
 au sens des distributions dans $I$. Si
$f\in L^2(0,2\pi)$ et est $2\pi$-p\e riodique,
elle est  une distribution qui est la somme (au sens $L^2_{loc}$ et donc au sens 
des
distributions dans $\RR$) de la s\e rie $\sum_kc_k(f)e^{ikt}.$  Soient
$s_{n,m}(f)=\sum_{-m}^nc_k(f)e^{ikt}$ les sommes partielles de la s\e rie de
Fourier. Comme $s_{n,m}(f)$ tend vers
$f$ au sens des distributions quand $n$ et $m$ tendent vers l'infini, 
$s_{n,m}(f)^{(p)}$ tend vers
$ f^{(p)}$ au sens des distributions. 
D\e rivant  terme \a terme $s_{n,m}(f)$, on obtient
$$f^{(p)}=\sum_k (ik)^{p}c_k(f)e^{ikt},$$
la convergence de la s\e rie se faisant au sens des distributions dans $\RR$.
\enddemo
\dexer Montrer que si $u$ est une distribution et $f\in {\cal C}^{\infty}(\RR)$, alors
$fu$ d\e finie par 
$$<fu, \varphi> = <u, f\varphi>$$ 
est bien une distribution
\fexer

\dexer \index{D\e riv\e e de la masse de Dirac}D\e riv\e e de la masse de Dirac
\newline D\'{e}montrer que $x\delta_0'=-\delta_0$.
\fexer
\paragraph{Solution}  On calcule 
$$<x\delta_0', \varphi>=<\delta_0',
x\varphi>= -<\delta_0, (x\varphi)'>=-<\delta_0, \varphi +  x\varphi'>=$$
$$-\varphi(0) = <-\delta_0, \varphi>.$$
\enddemo


\begin{pro}\index{Peigne de Dirac}\index{Formule de Poisson}
(Peigne de Dirac et formule sommatoire de Poisson)
On pose $$<\tilde{\delta}, \varphi> = 
\sum_{n\in {\cal Z}} \varphi(2n\pi).$$  On l'appelle la 
"$2\pi$-p\'{e}riodis\'{e}e" de la masse de Dirac, ou "peigne de Dirac".  
Alors $2\pi\tilde{\delta}-1=s'$ est la d\'{e}riv\'{e}e de la
fonction "en dents de scie", $2\pi$-p\'{e}riodique, d\'{e}finie sur
$\lbrack 0, 2\pi \lbrack$ par $s(x)=\pi-x$ et on a 
$$\tilde{\delta} = \frac{1}{2\pi}\sum_n e^{inx},$$
ce qui se traduit pour $\varphi \in {\cal C}_0^\infty$ par la formule sommatoire de
Poisson,
$$\sum_{k=-\infty}^{k=+\infty}\varphi(2k\pi)= \frac{1}{2\pi}\sum_
{p=-\infty}^{p=+\infty} \hat{\varphi}(p).$$
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
Par int\e gration par parties, $c_n(s) = \frac
1 {2\pi}\int_0^{2\pi}(\pi-x)e^{inx}dx = \frac 1 {in}.$  Donc le d\e veloppement
en s\e rie de Fourier de $s$ est
$$s = \sum_{n\in \relative\setminus\{0\}} \frac 1 {in}e^{inx},$$
la convergence se faisant au sens $L^2_{loc}$, donc aussi au sens $L^1_{loc}$
et donc aussi au sens des distributions.  On d\e rive terme \a terme cette
derni\ee re formule (au sens des distributions) et on obtient donc 
$$s'= \sum_{n\in \relative\setminus\{0\}}e^{inx}.$$
La formule des sauts (th\e or\ee me \ref{formuledessauts}) nous donne
$s'=-1+\sum_{n\in\relative}2\pi\delta_{2\pi n}$, les sauts de $s$ aux points
$2\pi n$ \e tant de $+2\pi$ et $s$ \e tant
${\cal C}^1$ aux autres points et de d\e riv\e e ponctuelle \e gale \a  -1.  On obtient
donc
$$\sum_{n\in\relative}2\pi\delta_{2\pi n}=1+\sum_{n\neq 0}e^{inx}=\sum_{n\in
\relative} e^{inx},$$
soit la formule annonc\e e,
$$\sum_{n\in\relative}\delta_{2\pi n}=\frac 1{2\pi}\sum_{n\in
\relative} e^{inx}.$$
La formule de Poisson s'obtient en appliquant cette derni\ee re formule \a une
fonction $\varphi \in {\cal C}_0^\infty$ arbitraire.
\enddemo

\section{Distributions p\e riodiques et leurs s\e ries de Fourier}
\begin{Def}\index{Translat\e e d'une fonction et d'une distribution}
Si $T\in \RR$, on note $\tau_T u$ et on appelle "translat\e e de $u$ de $T$" la
fonction $\tau_Tu(x)= u(x-T)$.  Si $u$ est une distribution, on pose
$$<\tau_T u, \varphi>=<u, \tau_{-T}\varphi>.$$
On voit ais\e ment que ces deux d\e finitions sont compatibles quand $u$ est
une fonction de $L^1_{loc}$.
\end{Def}
\begin{Def}\index{Distribution p\e riodique}
On se donne un nombre $T>0$,  la "p\'{e}riode", et lui associe la
"fr\'{e}quence" $\omega = \frac {2\pi}{T}$.  On dit  qu'une distribution $u$ est
$T$-p\'{e}riodique si sa translat\'{e}e $\tau_T u$ est  \'{e}gale \`{a} $u$.
 \end{Def}
\begin{pro}\index{Croissance lente (suite \a )}
Soit $(\gamma_k)_{k\in Z}$ une suite \`{a} croissance lente, c'est-\`{a}-dire
v\'{e}rifiant une in\e galit\ea du type
$$\forall k \in Z,\; |\gamma_k|\leq C(1+|k|)^N.$$
Alors la s\'erie  $\sum_{-\infty}^{+\infty} \gamma_k e^{ik\omega t}$
converge au sens des  distributions et d\'{e}finit une distribution
$T$-p\'{e}riodique. \end{pro}

\paragraph{D\e monstration} On pose  $$u(t)=\sum_{k\neq 0}\frac 1{(ik\omega)^{N+2}}
\gamma_k e^{ik\omega t}.$$
Il s'agit d'une s\e rie uniform\e ment convergente, son terme g\e n\e ral \e
tant major\ea par $\frac C{(1+|k|)^2}$. L'\e galit\ea pr\e c\e dente est donc
valide au sens des distributions. En la d\e rivant $n+2$ fois au sens des
distributions, on obtient une nouvelle distribution et l'\e galit\ea 
$$\sum_{-\infty}^{+\infty} \gamma_k e^{ik\omega t}=u^{(n+2)}.$$
  Comme $u(t)$ est une fonction $2\pi$-p\e riodique,
il est imm\e diat que $u^{(n+2)}$ est une distribution $2\pi$-p\e riodique.
\enddemo
\begin{pro}\label{decroissancerapidedescoefficients} \index{D\e croissance
rapide (de coefficients de Fourier)} Si
$f$ est
$T$-p\'{e}riodique  et de classe
${\cal C}^{\infty}$, la suite des $c_k(f)=\frac 1{T}\int_0^T f(t)e^{ik\omega t}$ est 
\`{a}
d\'{e}croissance  rapide, c'est-\`{a}-dire que l'on a
$|c_k(f)|\leq C_N(1+|k|)^{-N}$ pour tout  $N$ et  la diff\'{e}rence
$$f-\sum_L^{L'}c_k(f)e^{ik\omega t}$$  tend vers 0 uniform\'{e}ment ainsi que
chacune de ses d\'{e}riv\'{e}es lorsque $L$ et $L'$ tendent vers $+\infty$.
\end{pro}


\paragraph{D\e monstration}  On obtient l'estimation $|c_k(f)|\leq
C_N(1+|k|)^{-N}$ en int\e grant par parties $N$ fois $ c_k(f)
=\frac 1 T\int_0^{T}f(t)e^{-ik\omega t}dt$.  Gr\aa ce
\a cette estimation, la s\e rie $\sum_k c_k(f)e^{ik\omega t}$ et toutes ses
d\e riv\e es terme \a terme sont uniform\e ment convergentes.  On peut donc
intervertir sommation et d\e rivation.
\enddemo

\begin{thf}\label{unicitedescoefficientsdefourier}\index{Unicit\ea des
coefficients de Fourier d'une distribution} (Unicit\ea des coefficients de
Fourier) Si
$\gamma_k$ est une suite
\a croissance lente telle que l'on ait
$u=\sum_k \gamma_k e^{ik\omega t}=0$  au sens des distributions, alors $\forall
k,
\gamma_k=0$.
\end {thf}
\paragraph{D\e monstration}
Pour tout $\varphi\in {\cal C}_0^\infty$, 
$$<\sum_k \gamma_ke^{ik\omega t}, \varphi>=\sum_k \gamma_k<e^{ik\omega t},
\varphi>= \sum_k \gamma_k\int_{\RR} \varphi(t)e^{ik\omega t}.$$
Le th\e or\ee me r\e sulte alors imm\e diatement du lemme qui suit. 

\enddemo
\begin{lem} \index{Fonctions tests pour Fourier}\label{fonctiontestfourier}
$\forall k_0\in\relative,\;
\exists
\varphi\in {\cal C}_0^\infty,\;
\int
\varphi(t)e^{ik\omega t}dt=\delta_{k,k_0}.$ 
\end{lem}

\begin{lem} \index{Partition p\e riodique de l'unit\ea }
Il existe $\chi\in {\cal C}_0^\infty(\RR)$ telle que 
\fb& \label{partitiondeluniteperiodique}
\sum_{l\in Z}\chi(t+lT)= 1.
\fe&
\end{lem}
\paragraph{D\e monstration} Il suffit de prendre    $\phi \in {\cal C}_0^\infty$ 
positive
partout et strictement positive sur $[0,T]$, puis de poser
$\chi(t) =
\frac {\phi(t)}{\sum_{l\in \relative}\varphi(t+lT)}.$
\enddemo
\paragraph{D\e monstration du Lemme \ref{fonctiontestfourier}.}
On pose simplement $\varphi(t)=\chi(t)e^{-ik_0\omega t}$, o\u $\chi(t)$ d\e
finit une partition de l'unit\ea (Lemme\ref{partitiondeluniteperiodique}).  Alors
$$
\int \varphi(t)e^{ik\omega t}dt= \int \chi(t)e^{i(k-k_0)\omega t}dt=
$$
$$\sum_{l\in
\relative}
\int_{lT}^{(l+1)T}\chi(t)e^{i(k-k_0)\omega t}dt=\sum_l\int_0^T
\chi(t+lT)e^{i(k-k_0)\omega t}dt =$$
$$\int_0^T \sum_{l\in \relative}
\chi(t+lT)e^{i(k-k_0)\omega t}dt=\int_0^T e^{i(k-k_0)\omega
t}dt=\delta_{k,k_0}.$$
\enddemo

\section{Espaces de Sobolev p\e riodiques $H^m_{per}(0, 2\pi)$}


\begin{Def}\index{Espace de Sobolev p\e riodique} On appelle espace de Sobolev p\e 
riodique 
d'ordre
$m\geq 1$ et on note $H^m_{per}(0, 2\pi)$ l'ensemble des fonctions $2\pi$ p\e
riodiques sur $\RR$, appartenant \a
$L^2(0,
2\pi)$ et telles que leurs d\e riv\e es au sens des distributions d'ordre $1,
...,m$ appartiennent
\a $L^2(I)$. On le munit de la norme 
$$||u||_{H^{m}_{per}}= (\sum_{n\leq m} ||u^{(n)}||_{L^2})^\frac 12$$
associ\e e au produit hermitien
$$(u,v)_{H^m_{per}}=\sum_{n\leq m} \int_{[0,2\pi]}
u^{(n)}(x)\overline{v^{(n)}(x)}dx.$$
\end{Def}


Les espaces $H^m_{per}(0,2\pi)$ sont particuli\ee rement faciles \a \e tudier gr\aa
ce au fait qu'ils sont caract\e ris\e s par le comportement de leur s\e rie de
Fourier.  Dans toute la suite de ce chapitre, on note $I=]0,2\pi[$.

\begin{pro} \index{Coefficients de Fourier d'une d\e riv\e e}
Si $u\in H^m_{per}$, alors pour tout $n\leq m$, les coefficients de $u^{(n)}$ v\e
rifient $$c_k(u^{(n)})=(ik)^nc_k(u).$$
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
En effet, on a vu que si $u\in L^2(I)$, alors 
on peut \e crire
$$u=\sum_k c_k(u)e^{ikt}, \; c_k(f)=\frac 1{2\pi}\int_{[0,2\pi]}u(t)dt,$$
cette \e galit\ea s'\e tendant \a $\RR$ \a condition de p\e riodiser $u$.
En cons\e quence, 
$$u^{(n)}=\sum_k c_k(u)(ik)^ne^{ikt},$$
la convergence se faisant au sens des distributions dans $\RR$.  Comme on a
suppos\ea que
$u^{(n)}$ est dans $L^2(I)$, $u^{(n)}$ admet un d\e veloppement en s\e rie de
Fourier dont les coefficients $(c_k(u^{(n)}))_k$ appartiennent \a $L^2(\relative)$.
Par unicit\ea du d\e veloppement de Fourier (th\e or\ee me
\ref{unicitedescoefficientsdefourier}), on a
$$c_k(u)(ik)^n=c_k(u^{(n)}).$$
\enddemo
\begin{pro}
 \index{R\e gularit\ea des fonctions de $H^m_{per}$}Les fonctions de
$H^m_{per}$ appartiennent
\a
$C^{m-1}$. En particulier, les fonctions de $H^1_{per}(I)$ sont continues.
\end{pro}

\paragraph{D\e monstration}
Prenons $n=1$.  Alors $c_k(u)= \frac 1{ik}c_k(u')$ est le produit de deux s\e
ries appartenant \a  $l^2(\relative)$.  Donc $c_k(u)\in l^1$ et donc la s\e rie 
$\sum_k c_ke^{ikt}$ converge uniform\e ment sur $\RR$. La limite est donc
continue et donc
$u$ est continue (ou, pour \eee tre exact, $u$ est \e gale presque
partout \a une fonction continue et est donc continue).  On conclut la d\e
monstration en remarquant que
$u$ est dans
$H^m_{per}$ si et seulement si $u^{(m-1)}$ est dans $H^1_{per}$.
\enddemo

\begin{pro} \index{Espaces de Hilbert $H^m_{per}$}Les espaces $H^m_{per}(0,2\pi)$
sont des espaces de Hilbert et leur norme peut s'\e crire 
$$||u||^2_{H^m_{per}}=\sum_{n\leq m}
||u^{(n)}||^2_{L^2}=\sum_k|c_k(u)|^2(1+|k|^2+...+|k|^{2m}).$$
Une norme hilbertienne \e quivalente est
$|u|_{H^m_{per}}^2=\sum_k|c_k(u)|^2(1+|k|^{2m}).$
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
L'application $u\in H^m_{per}\to (c_k(u)(1+|k|^2+...+|k|^{2m})^\frac 12$ est une 
isom\e
trie de
$H^m_{per}(0,2\pi)$ sur $l^2(\relative)$ qui est un espace de Hilbert. $H^m_{per}$
est donc aussi un espace de Hilbert. L'\e quivalence des normes est imm\e diate.
\enddemo
\begin{thf} (premi\ee re application) \index{Elastique charg\ea }
On consid\ee re le probl\ee me de l'\e lastique charg\e ,
\fb& \label{equationbarreelastique}
-u''+u = f, \; u(0)=v(2\pi)=0,
\fe&
o\u $f\in L^2([0, 2\pi]).$  Alors il existe une unique  $u\in L^2([0,2\pi])$ 
solution (au sens des distributions !) de (\ref{equationbarreelastique}).  Cette
solution appartient en fait
\a $H^2_{per}([0,2\pi])$
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}  Pour avoir de mani\ee re naturelle les conditions
aux limites $u(0)=u(2\pi)=0$, il est convenable d'utiliser la  base en sinus
$(\sin(\frac{kt}2)), \; k\in \NN^*$. On d\e veloppe
$u$ et
$f$ dans cette base de Fourier et on identifie les coefficients de Fourier \a
droite et \a gauche de l'\e quation, comme on le peut en vertu de l'unicit\ea des
coefficients de Fourier d'une distribution.  (Cette unicit\ea entra\ii ne imm\e
diatement l'unicit\ea des coefficients sur la base en sinus, puisque les
coefficients en sinus de $u$ ne sont autres que les coefficients de Fourier
classiques sur
$[-2\pi, 2\pi]$ de $u$ prolong\e e en une fonction impaire).  On pose donc
$c_k(u)=\frac 1\pi \int_0^{2\pi}u(t)\sin\frac{kt}2 dt$ et on a $u=\sum_{k\in
\NN^*}c_k(u)\sin\frac{kt}2.$  L'\e quation (\ref{equationbarreelastique})
est alors
\e quivalente
\a
$$\forall k\in\NN^*,\; (k^2+1)c_k(u)=c_k(f), \hbox{ soit }$$
$$c_k(u)=\frac {c_k(f)}{1+k^2}.$$
Donc $u = \sum_{k\in \NN^*}\frac {c_k(f)}{1+k^2}\sin{\frac k2t},$ qui
appartient bien
\a
$H^2_{per}$. Remarquer que $u$ n'est pas n\e cessairement ${\cal C}^2$ et que donc l'\e
quation n'a pas de sens classique !  Par contre, comme $u\in H^2_{per}$, $u$ est
${\cal C}^1$. Comme
$u$ est impaire, on a bien $u(0)=u(2\pi)=0$.
\enddemo
\\ \\
\section{Exercices}
{ \bf Exercice 1} 
\\ \\ 
1) Les applications suivantes d\'efinissent-elles des distributions sur $\RR$ 
?\\ 
$$\vfi \rightarrow \sum_{n\geq0} \vfi^{(n)}(n),\qquad \vfi
\rightarrow \sum_{n\geq0} \vfi^{(n)}(0).$$ 
2) Soit $f \in \Lun(\RR)$, montrer que $T_f : \vfi \mapsto \int_{\RR} f\vfi$ est 
dans $\Di(\RR)$,
 et qu'il n'existe pas $f \in L^1_{loc}(\RR)$ telle que $\delta_0 = T_f.$\\
D\'efinition : Les distributions du type $T_f$ sont appel\'ees "fonctions".\\
\\ \\
{ \bf Exercice 2}
\\ \\
{ \bf Rappel }:\\
Pour $K$ compact de $\RR$, on note $\DD_K(\RR) = \{ \vfi \in {\cal 
C}^{\infty}(\RR),\,\mbox{supp }\vfi \in K \}$ qui est naturellement muni de la 
topologie d\'efinie par la famille de semi-normes $p_j(\vfi) = \sup_{m \leq j} 
\sup_K \vert \vfi^{m}(x) \vert$. On rappelle qu'une partie $U$ de $\DD_K(\RR)$ 
est 
ouverte si ou bien $U = \emptyset$ ou bien $\forall \vfi \in U$, $\exists j,r$ 
tels 
que la boule $B_j(\vfi,r) = \{ \psi \in \DD_K(\RR), p_j(\vfi - \psi) < r \} 
\subset 
U$. (on pourra v\'erifier que l'on d\'efinit bien ainsi une topologie.)\\ 
Soit $(T_n)_n$ une suite de distributions dans $\Di(\RR)$ telle que, $\forall 
\vfi 
\in \DD(\RR)$ la suite $<T_n,\vfi>$ converge vers une limite que l'on note 
$<T,\vfi>$, on veut montrer que la forme lin\'eaire $T$ est une distribution.\\
Avec les notations du rappel, on pose $E = \DD_K (\RR)$ et
$$d(f,g) = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{2^n} \inf(1,p_n(f-g)).$$
1) V\'erifier que d est une distance sur E. Montrer que sur E, la topologie de 
la 
distance d est \'equivalente \`a la topologie d\'efinie par la famille de 
semi-normes $(p_n)_n$. \\
2) V\'erifier que $(E,d)$ est complet. On pose $F_k = \{ \vfi \in E\,:\,\forall 
n,\, \vert<T_n,\vfi>\vert \leq k \}$. Montrer que $\exists k_0, i_0,\vfi,r$ tels 
que $B_{i_0}(\vfi,r) \subset F_{k_0}$. En d\'eduire que $T$ est continue sur E 
et 
donc que $T$ est bien une distribution.\\
Remarque : On peut remplacer $\RR$ par un ouvert quelconque de $\RR^N$.
\\ \\
{ \bf Exercice 3}
\\ \\
Soit I un intervalle ouvert de $\RR$ et $\theta_0 \in \DD(I)$ telle que $\int_I 
\theta_0 = 1$.

a) V\'erifier que $\forall \vfi \in \DD(I)$, $\exists (\lambda,\psi) \in 
\RR\times 
\DD(I)$ tel que 
$\vfi = \lambda\theta_0+\psi^{\prime}$.

b) En d\'eduire que si $T \in \Di(I)$ v\'erifie $T^{\prime} =0$ alors T est une 
fonction constante.

c) Soit $T \in \Di(I)$ telle que $T^{\prime} \in {\cal C}^{\infty}(I)$, montrer 
que 
$T \in {\cal C}^{\infty}(I)$.
\\ \\
{ \bf Exercice 4}
\\ \\
Soit $\psi$ solution de $\sum_{j=0}^k a_j \psi^{(j)}(x) = 0$ pour $x \in \RR$, 
o\`u 
$a_j \in \RR$ et $a_k \not=0$, 
satisfaisant \\
$\psi(0)=\psi^{\prime}(0)=...=\psi^{k-2}(0)=0$ et 
$\psi^{k-1}(0)=\frac{1}{a_k}$.\\
1) Soit $Y= 1_{\RR^+}$, on pose $E=T_{Y\psi}$. V\'erifier que $E \in \Di(\RR)$ 
et 
calculer 
$\sum_{j=0}^k a_j E^{(j)}$.\\
2) Donner une solution dans $\Di(\RR)$ de 
$E^{\prime\prime}+E^{\prime}+E=\delta_0$.
\\ \\
\chapter{Espaces de Sobolev sur l'intervalle}
Dans toute la suite, $I=]a,b[$ repr\e sente un intervalle ouvert de $\RR$,
born\ea ou non. 

\begin{Def}\index{Espace de Sobolev} On appelle espace de Sobolev  d'ordre
$m\geq 1$ et d'exposant $p\geq 1$ sur l'intervalle
$I=[0, 2\pi]$ l'ensemble des fonctions de $L^p(I)$ telles que leurs d\e riv\e es
au sens des distributions d'ordre $1, ...,m$ appartiennent \a $L^p(I)$.  On note
cet espace $W^{m,p}(I)$ et on le munit de la norme 
$$||u||_{W^{m,p}}= \sum_{n\leq m} ||u^{(n)}||_{L^p}.$$
Si $p=2$, on note  $H^m=W^{2,m}$ et on prend pour norme 
$$||u||_{H^m} = (\sum_{n\leq m} ||u^{(n)}||^2_{L^2})^\frac 1 2,$$
associ\e e au produit hermitien
$$(u,v)_{H^m}=\sum_{n\leq m} \int_I u^{(n)}(x)\overline{v^{(n)}(x)}dx.$$
\end{Def}


 Une fonction $u$ appartient donc \a
$W^{1,p}(I)$ si $u\in L^p(I)$ et sa d\e riv\e e au sens des distributions dans
$I$ est dans $L^p$.  Cela veut dire
$$\exists v(=u')\in L^p, \; \forall \varphi\in {\cal C}_0^\infty(I), \; \int_I
v(x)\varphi(x)dx=-\int_I u(x)\varphi'(x)dx.
$$

\begin{thf}\label{fonctionsdeW1psontC1} \index{Continuit\ea des fonctions de
$W^{1,p}$} Si $u\in W^{1,p}(I)$, il existe $\tilde u\in C^0(I)$
(\ccaadd continue dans
$I$) telle que $u=\tilde u$ presque partout dans $I$ et 
\fb& \label{integrationdeladeriveedansW1p}
\forall x,y \in \overline{I},\;\int_x^yu'(t)dt=\tilde u(y)-\tilde u(x)
\fe&
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
Comme ${\cal C}_0^\infty(I)$ est dense dans $L^1(I)$ (Corollaire
\ref{densiteC0infiniCc}), on peut  choisir une suite $v_\varepsilon\in
{\cal C}_0^\infty(I)$ qui converge vers
$u'$ dans
$L^1(I)$.  On pose $u_\varepsilon(x)=\int_a^xv_\varepsilon(x)dx.$ La
suite
$u_\varepsilon$ converge uniform\e ment sur tout compact de $I$ vers une fonction
$w$ continue sur
$I$. Alors d'une part, si $\varphi\in {\cal C}_0^\infty$,
$$\int_Iu_\varepsilon \varphi'=-\int v_\varepsilon \varphi \to -\int u'\varphi=
\int u\varphi'$$
$$\hbox{et d'autre part  } \int_Iu_\varepsilon\varphi'\to\int w\varphi'.$$
 $$\hbox{Donc  }\forall \varphi\in {\cal C}_0^\infty(I), \; \int (w-u)\varphi'=0,$$
ce qui prouve  par le lemme \ref{deriveenulleimpliquenulle} que $w-u$ est \e gale
presque partout \a une constante $C$.  On conclut en posant $\tilde u=w-C$.
\enddemo 
\begin{pro} \label{continuiteauxbordsdeudansW1p}\index{Continuit\ea aux extr\e
mit\e s des fonctions de $W^{1,p}$} Si $p<\infty$, alors toute fonction $u\in
W^{1,p}$ se prolonge en une fonction continue sur la fermeture $\overline{I}$. Si
$a=-\infty$ ou
$b=+\infty$, on a de plus $u(x)\to 0$ quand $x\to \infty$.
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
Si $p<\infty$ et si $I$ est  born\e , on d\e duit imm\e diatement de la 
relation\linebreak
$|u(x)-u(y)|\leq \int_x^y|u'(t)|dt$ que $u(x)$
est une suite de Cauchy quand $x$ tend vers $a$ ou $b$ et on peut donc d\e finir
$u$ comme une fonction continue sur $[a,b]$. Si $I$ est non born\ea et $u\in
W^{1,1}(I)$, on d\e duit par la m\eee me in\e galit\ea que $u(x)$ a une limite
quand $x\to +\infty$ (par exemple). Cette limite ne peut \eee tre que z\e ro,
puisque $u$ est int\e grable.  Si
$p>1$, on \e crit, par l'in\e galit\ea de H\ooo lder,
$$|u|^p(x)-|u|^p(y)=p\int_x^y u'|u|^{p-2}u(x)dx\leq p(\int_x^y|u'|^p)^\frac 1
p(\int_x^y|u|^p)^\frac 1{p'},$$
ce qui implique encore que $u(x)\to 0$ quand $x\to \infty$.
\enddemo
\begin{Def} \index{Espace $W^{1,p}(I)$} Si $I=]a,b[$ et que $a$ ou $b$ est fini, on 
note
$W^{1,p}_0(I)$ le sous-espace des fonctions
$u\in$ $W^{1,p}(I)$ telles que $u(a)=u(b)=0$.  Cette d\e finition a un sens gr\aa 
ce \a la
proposition pr\e c\e dente : on prend pour $u(a)$ et $u(b)$ les valeurs limites du 
repr\e
sentant continu de $u$. Dans le cas particulier o\u $p=2$, on note 
$H_0^1(I)=W_0^{1,2}(I)$.
\end{Def}
\drem
Rappelons qu'en vertu de la proposition \ref{continuiteauxbordsdeudansW1p}, si $I$ 
est non
born\e ,
$u(x)$ tend  vers 0 quand $x\to \infty$.
\frem
\begin{thf} \label{densitedeC0infinidansW01p}
%\index{Densit\ea de ${\cal C}_0^\infty$ dans $W_0^{1,p}$}
${\cal C}_0^\infty(I)$ est dense dans $W_0^{1,p}(I)$.  En particulier, ${\cal 
C}_0^\infty(\RR)$ 
est
dense dans $W^{1,p}(\RR)$ et ${\cal C}_0^\infty(I)$ est dense dans $H_0^1(I)$.
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
{\bf Etape 1}  Regardons d'abord le cas o\u $I$ est un intervalle born\ea de 
$\RR$.
Soit $u\in W_0^{1,p}(I)$ et $g_\varepsilon \in {\cal C}_0^\infty(I)$ telle que
$g_\varepsilon \to u'$ dans $L^p(I)$.  Comme $\int_I u'(x)dx=0$, il en r\e
sulte que $\int_Ig_\varepsilon(x)dx\to 0$.  Fixons
$\varphi\in {\cal C}_0^\infty(I)$ telle que
$\int \varphi(x)dx=1$.  Alors aussi
$$v_\varepsilon=g_\varepsilon -\varphi \int_I g_\varepsilon \to u'$$ et on a
maintenant $\int_I v_\varepsilon =0$. On voit imm\e diatement que sa primitive 
$u_\varepsilon(x)=\int_a^xv_\varepsilon(x)dx$ est dans ${\cal C}_0^\infty(I)$ et 
par la relation (\ref{integrationdeladeriveedansW1p}) on d\e duit que 
$u_\varepsilon$
converge uniform\e ment (et donc dans $W^{1,p}$) vers $u_0$.
\newline
\newline {\bf Etape 2}  Supposons maintenant que $I$ est non born\ea et  traitons 
sans
perte de g\e n\e ralit\ea le cas $I=]0, +\infty[$. Gr\aa ce \a l'\e tape 1, il 
suffit que
nous montrions que toute fonction $u\in W^{1,p}(]0, +\infty[)$ est approchable par 
des
fonctions $u_n$ dans $W^{1,p}(]0,n[)$.  Pour cela, on consid\ee re une fonction
$\varphi\in {\cal C}_0^\infty(\RR)$ telle que $\varphi(0)=1$, $|\varphi(x)|\leq 1$ et 
\a 
support
dans $]-1, 1[$ et on pose simplement $u_n = u\varphi(\frac x n)$.  Par le th\e 
or\ee me de
Lebesgue, $u_n \to u$ dans $L^p$ ($|u|^p$ est chapeau int\e grable) et on a aussi 
$u_n'\to u'$ dans $L^p$.  En effet, 
$$u'_n= \frac 1 n \varphi'(\frac x n)u + 
u'\varphi(\frac x n).$$
Or, le premier terme tend vers 0 dans $L^p$,  $\varphi'$ \e tant born\e e, et le
second terme tend vers $u'$, \a nouveau par le th\e or\ee me de Lebesgue. On 
conclut que
$u_n$ tend vers $u$ dans $W^{1,p}(\RR)$.
\enddemo
L'introduction de $W_0^{1,p}$ nous permet d'introduire un nouveau point de vue
sur l'\e quation de la corde \e lastique charg\e e.

\begin{thf} (Le point de vue variationnel) \index{M\e thode variationnelle
(pour l'\e lastique charg\ea )} La solution de l'\e quation 
(\ref{equationbarreelastique}) se caract\e rise comme l'unique minimum de la
fonction continue et coercive sur $H_0^1(I)$ d\e finie par 
$$E(u)=\frac 1 2\int_I ((u'(x)^2+u(x)^2)-\int_If(x)u(x)dx.$$
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration} On consid\ee re la forme bilin\e aire 
sur $H_0^1([0,2\pi])$, 
$$
a(u,v)=\int_I (u'(x)v'(x)+u(x)v(x))dx.
$$
 Comme $a(u,u)=
||u||_{H_0^1}^2$ est coercive, on peut appliquer le th\e or\ee me  de
Lax-Milgram (th\e or\ee me \ref{laxmilgram}) et il existe un unique minimum de
$\frac 12a(u,u)-(f,u)$, qui satisfait de plus
$$\forall v\in H_0^1(I), \int_I (u'(x)v'(x)+u(x)v(x))dx=\int_If(x)u(x)dx.$$
Comme ${\cal C}_0^\infty(I) $ est contenu dans $H_0^1(I)$, on a aussi 
$$\forall \varphi\in {\cal C}_0^\infty(I), \int_I
(u'(x)\varphi'(x)+u(x)\varphi(x))dx=\int_If(x)\varphi(x)dx$$
$$\hbox{et donc  }\forall \varphi\in {\cal C}_0^\infty, \; <-u''+u, \varphi>=<f,
\varphi>,$$
 ce qui veut dire que $u$ v\e rifie l'\e quation 
$-u''+u=f$ au sens des distributions.
\enddemo
\section{Les espaces $W^{1,p}(I)$ comme espaces de Banach}
\begin{thf}\label{SobolevsontBanach} \index{Compl\e tude des espaces de Sobolev}
$W^{1,p}(I)$ est un espace de Banach pour $1\leq p\leq +\infty$.
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
Soit $u_n$ une suite de Cauchy dans $W^{1,p}$. Il existe donc $(u,g)\in
(L^p(I))^2$ tels que 
$$u_n\to u \hbox{ dans } L^p, \; u'_n\to g \hbox{ dans } L^p.$$
Comme pour tout $\varphi \in {\cal C}_0^\infty(I),$ on a
$$\int_I u_n\varphi' + \int_I u'_n\varphi=0,$$
on obtient en passant \a la limite $\int_Iu\varphi'+\int_Ig\varphi=0,$ ce qui veut
dire que $u'=g$ et donc que $u\in W^{1,p}$. On conclut que $u_n\to u$ dans
$W^{1,p}$.

\enddemo
\begin{thf} (Dual de $W^{1,p}(I)$)\index{Dual de $W^{1,p}$} Si $1\leq p<\infty$,
toute forme lin\e aire
$f$ sur
$W^{1,p}(I)$ peut s'\e crire sous la forme 
\fb& \label{dualdeW1p}
f(u)= \int_I gu+\int_I hu', \hbox{ o\u } g,h\in L^{p'}.
\fe& 
R\e ciproquement on peut associer \a tout couple $g,h\in L^{p'}(I)$ une forme
lin\e aire sur $W^{1,p}(I)$ par la formule (\ref{dualdeW1p}).
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
On a $f(u)\leq C(||u||_{L^p}+||u'||_{L^p})$.
On consid\ee re le plongement $u\in W^{1,p}\to I(u)=(u,u')\in (L^p)^2$.  Donc 
$\tilde f=f\circ I$ v\e rifie, sur l'image $I(W^{1,p})$, 
$$
|\tilde f(v,w)|\leq
C(||v||_{L^p}+||w||_{L^p}).
$$ 
 Par le th\e or\ee me de Hahn-Banach, on peut \e
tendre $\tilde f $ \a $(L^p)^2$ et par le th\e or\ee me de Riesz il existe donc
des fonctions $g, h\in (L^p)'=L^{p'}$ telles que $\tilde f(v,w)=\int gv+\int hw$.
Donc $f(u) = \int gu + \int hu'$. La r\e ciproque est imm\e diate.  Remarquer que 
$||f||_{(W^{1,p})'}= \max (||g||_{L^{p'}}, ||h||_{L^{p'}})$.
\enddemo

\drem La formule (\ref{dualdeW1p}) appliqu\e e avec $u\in {\cal C}_0^\infty(\RR)$
montre que la restriction $\tilde f$ de $f$ \a
${\cal C}_0^\infty(I)$ est une distribution sur
$I$ et que l'on a 
$\tilde f= g-h'$. On peut donc consid\e rer, en identifiant
 $f$ et $\tilde f$, les \e l\e ments de $W^{1,p}$ comme des distributions et on \e 
crit
donc 
$$(W^{1,p}(I))'=\{g-h',\; g,h\in L^{p'}(I)\}.$$
\frem


\begin{cor} \index{R\e flexivit\ea de $W^{1,p}$}$W^{1,p}$ est r\e flexif pour
$1<p<\infty$ et s\e parable pour
$1\leq p<\infty$.
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
En effet, le plongement de $W^{1,p}$ dans $(L^p)^2$ en fait un sous-espace
ferm\ea d'un espace r\e flexif si $1<p<\infty$ et s\e parable si $1\leq p<\infty$.
\enddemo
\dexer \index{Prolongement des fonctions de $W^{1,p}(I)$}\label{prolongementdeW1p}
Montrer que toute fonction de $ W^{1,p}([a,b])$ peut se prolonger en une fonction 
$Pu$
de
$W^{1,p}(\RR)$. On sym\e trisera $u\in W^{1,p}(]a,b[)$  en posant 
par exemple $Pu(a-x)=u(a+x)$ si $0\leq x\leq b-a$, on p\e riodisera ensuite la 
fonction
obtenue (p\e riode $2(b-a)$) et on la multipliera finalement par une fonction de
${\cal C}_0^\infty(\RR)$
\e gale \a 1 sur
$I$. On v\e rifiera que le prolongement $P: u \to Pu$ ainsi obtenu est une 
application
continue de
$W^{1,p}(I)$ dans
$W^{1,p}(\RR)$. Dans le cas o\u $a=-\infty$ ou $b=+\infty$, il suffit bien-s\uu r 
de faire
une sym\e trisation par rapport \a la borne finie de l'intervalle.
\fexer
\dexer \index{Densit\ea de ${\cal C}^{\infty}(I)$ dans $W^{1,p}(I)$ quand $I$ est 
born\e }. 
D\e duire
de l'exercice pr\e c\e dent et du th\e or\ee me
\ref{densitedeC0infinidansW01p} que si $I=]a,b[$ est  un intervalle born\e , alors  
les
fonctions
${\cal C}^{\infty}$ sont denses dans $W^{1,p}(I)$.
\fexer

\dexer (In\e galit\ea de Poincar\ea )\index{In\e galit\ea de Poincar\ea }
Si $u\in W^{1,p}(]a,b[), $ $-\infty<a<b<+\infty$, alors 
$$||u||_{W^{1,p}}\leq (1+b-a)||u'||_{L^p}.$$
Marche \a suivre : utiliser l'in\e galit\ea de H\ooo lder et le fait que $u$ est 
une
primitive de $u'$.
\fexer
\dexer Produit de deux fonctions de $W^{1,p}$.  \index{Produit de deux fonctions
de $W^{1,p}$} Soient $u,v\in W^{1,p}(I)$, $1\leq p\leq\infty$. Alors $uv\in
W^{1,p}(I)$ et
$(uv)'=u'v+uv'$.  On dit que $W^{1,p}$ est une alg\ee bre de fonctions. \newline
Si $G\in {\cal C}^1(\RR),$ $G(0)=0$, alors $G(u)\in
W^{1,p}(I)$ et $(G(u))'=G'(u)u'$.
\newline Si $\eta\in {\cal C}^1(\overline{I})$ est born\e e et de d\e riv\e e born\e e, 
alors $\eta u\in W^{1,p}(I)$ et $(\eta u)'=\eta  u'+ \eta' u$.
Indication~: commencer par remarquer (exercice \ref{prolongementdeW1p}) qu'il 
suffit de
montrer les \e nonc\e s pr\e c\e dents quand $I=\RR$. Utiliser des arguments de 
densit\e
:
${\cal C}_0^\infty$ est dense dans
$W^{1,p}(\RR)$. 
\fexer
\dexer \index{Plongements continus et compacts d'espaces de Sobolev}
Montrer que les inclusions suivantes sont continues et compactes :
$$W^{1,p}(I)\subset C(\overline(I)), \; 1<p\leq +\infty,$$
$$W^{1,1}(I)\subset L^q(I), \; 1\leq q<\infty.$$
Pour la premi\ee re, on appliquera le th\e or\ee me d'Ascoli, pour la seconde le
th\e or\ee me de Riesz-Fr\e chet-Kolmogorov.
\fexer

\dexer
Soit $u\in L^p(I)$, $1<p\leq +\infty$.  Alors
(i)$\Leftrightarrow$(ii)$\Leftrightarrow$(iii), o\u
\newline (i) $u\in W^{1,p}$.
\newline (ii) $\exists C>0$, $\forall \varphi\in {\cal C}_c^1(I)$, $|\int_I
u\varphi'|\leq C||\varphi||_{L^{p'}(I)}$,
\newline (iii) $\exists C$, $\forall \omega\subset\subset I$, $\forall h, |h|\leq
distance(\omega, I^C)$, $||\tau_hu-u||_{L^p(\omega)}\leq C |h|.$
\fexer

\section{Exercices}
{ \bf Exercice 1}
\\ \\
1) Montrer que l'injection $H^1(0,1) \longrightarrow {\cal C}[0,1]$ est 
compacte.\\
2) Montrer que $\forall u,v \in H^1(0,1)$,
$$\int_0^1 u^{\prime}v + \int_0^1 uv^{\prime} = u(1)v(1) - u(0)v(0).$$
(On pourra d'abord le d\'emontrer pour des fonctions de $H_0^1(0,1)$ en 
utilisant la densit\'e de fonctions r\'eguli\`eres.)
\\ \\
{ \bf Exercice 2}
\\ \\
Soit $f \in L^2(0,1)$ et $a(u,v)=\int_0^1 u^{\prime}v^{\prime} + (\int_0^1 
u)(\int_0^1 v).$

1) Montrer qu'il existe un unique $u \in H^1(0,1)$ tel que $a(u,v)=\int_0^1 fv$, 
$\forall v \in H^1(0,1).$

2) V\'erifier que $u \in H^2(0,1)$ et interpreter le probl\`eme diff\'erentiel 
r\'esolu (i.e. 
trouver l'\'equation diff\'erentielle et les conditions aux limites satisfaites 
par 
u).
\\ \\
{ \bf Exercice 3}
\\ \\
Soit $V=\{ u \in H^1(0,1)\,:\,u(\frac{1}{2}) = 0 \}$.

1) Montrer que V est un sous-espace vectoriel ferm\'e de $H^1(0,1)$ et que $v 
\rightarrow 
{\Vert 
v^{\prime} \Vert}_{L^2}$ 
est une norme sur V \'equivalente \`a la norme usuelle de $H^1$.

2) Montrer qu'il existe un unique  $u \in V$ tel que $\int_0^1  
u^{\prime}v^{\prime} =v(0)$ pour tout $v \in V$.

3) Interpreter le probl\`eme r\'esolu, d\'eterminer explicitement $u$ et 
calculer $ 
u^{\prime \prime}$ au sens 
des distributions. $u \in H^2(0,1)$ ??
\\ \\
{ \bf Exercice 4}
\\ \\
V\'erifier que $v \rightarrow {\Vert v^{\prime} \Vert}_{L^2}$ 
est une norme sur $H^1(0,+\infty)$. Est-elle \'equivalente \`a $\Vert v 
\Vert_{H^1}$ ?
\\ \\
{ \bf Exercice 5} 
\\ \\ 
Soit $E = \{f \in {\cal C}^1(\RR)\,\,t.q.\,\,f^{\prime} \in \Linf(\RR) \}.$ Soient
 $f \in E$ et I un intervalle ouvert de $\RR$. Si $\vert I \vert = + \infty$, on 
suppose de plus que $f(0)=0$. Enfin, soit $u \in \Hun$.\\
1) Montrer que $f(u) \in \Ld$.\\
2) Soit $u_n \in \DD(\RR)$ tel que $u_n \rightarrow u$ dans $\Hun$.

a) V\'erifier que $f(u_n) \rightarrow f(u)$ dans $\Ld$.

b) Soient $\alpha_n = f^{\prime}(u_n)(u_n^{\prime} - u^{\prime})$ et $\beta_n = 
(f^{\prime}(u_n) - f^{\prime}(u))u^{\prime}.$ V\'erifier que $\alpha_n \rightarrow 
0$ dans $\Ld$ et qu'il existe une sous-suite $(\beta_{n_k})_{k}$ telle que 
$\beta_{n_k} \rightarrow 0$ dans $\Ld$.

c) Montrer que $\forall \vfi \in \DD(I)$, on a
$$\int_I f(u) \vfi^{\prime}\,= - \int_I f^{\prime}(u)u^{\prime} \vfi.$$
En d\'eduire que $f(u) \in \Hun$ et que ${(f(u))}^{\prime} = f^{\prime}(u) 
u^{\prime}.$\\
3) Soit $\eps > 0$, on note $\feps(t) = \sqrt {t^2+\eps^2} -\eps$ si $t>0$ et 
$\feps \equiv 0$ ailleurs. V\'erifier que $\feps \in E$ et que $\feps(u) 
\rightarrow u^+$ dans $\Ld$.\\
4) En passant \`a la limite $\eps \rightarrow 0$ dans
$$ \int_I \feps(u) \vfi^{\prime}\,= - \int_I \feps^{\prime}(u)u^{\prime} \vfi,$$
o\`u $\vfi \in \DD(I)$, montrer que $u^+ \in \Hun$ et que $(u^+)^{\prime} = 
1_{[u>0]} u^{\prime}.$\\
5) En d\'eduire que $\vert u \vert \in \Hun.$
\\ \\
{ \bf Exercice 6}
\\ \\
Soit $N$ une norme d\'erivant d'un produit scalaire, montrer que $N^2$ est 
strictement convexe i.e. $\forall u \not= v$, $\forall t \in ]0,1[$, $N^2(tu + 
(1-t)v) < tN^2(u) + (1-t) N^2(v).$ (une norme est-elle strictement convexe ?)
\\ \\ 
{ \bf Exercice 7}
\\ \\ 
On note $\Hnulo = \{u \in \Huno\,:\,u(0)=u(1)=0 \}.$\\
1) V\'erifier que ${\Vert u \Vert}_2 \leq \frac {1}{\sqrt 2} {\Vert u^{\prime} 
\Vert}_2$ si $u \in \Hnulo$ et en d\'eduire que $\Hnulo$ muni de ${\Vert u^{\prime} 
\Vert}_2$ est un Hilbert.\\
2) Soit $f \in L^2(0,1)$. Pour $v \in \Huno$ on d\'efinit
$$ F(v) = \frac{1}{2} \int_0^1 {\vert v^{\prime} \vert}^2 \,+\, \frac{1}{4} 
\int_0^1 {\vert v \vert}^4\,-\,\int_0^1 fv.$$
V\'erifier que $F(v)$ a bien un sens si $u \in \Huno$ et que $\exists C$ tel que 
$\forall v \in \Hnulo$, $F(v) \geq C.$\\
Montrer qu'il existe un unique $u \in \Hnulo$ tel que $F(u) = \inf_{v \in \Hnulo} 
F(v)$  $\,\,\,(\star)$.\\
3) Montrer que si u est solution de $(\star)$ alors
$$\int_0^1 u^{\prime} v^{\prime} + \int_0^1 u^3 v = \int_0^1 fv,\quad\forall v \in 
\Hnulo.$$
(Ecrire $F(u+tv) \geq F(u)$, $\forall t>0$ et $\forall v \in \Hnulo.$)\\
4) En d\'eduire que $u$ satisfait : $-u^{\prime \prime} + u^3 = f$ p.p.  
$(\star\star)$ et que $u \in H^2(0,1)$.\\
5) R\'eciproquement : montrer que si $u \in H^2\cap\Hnulo$ v\'erifie $(\star\star)$ 
alors u est solution de $(\star)$.\\
6) Montrer que si $f \geq 0$ p.p. alors u solution de $(\star)$ est telle que $u 
\geq 0$ p.p.
\\ \\
\chapter{Corrig\'es des exercices}
\section{Chapitres I et II}
{\bf Exercice 1} 
\\ \\
a)Soient $n = \dim E$ et $e_1,...,e_n$ une base de E. On d\'efinit pour $x = 
\sum_1^n x_ie_i \in E$, la norme ${\Vert x \Vert}_1 = \sum_1^n \vert x_i \vert$. 
Soit $S_1 = \{x \in E : {\Vert x \Vert}_1 = 1 \}$ et soit $N$ une autre norme sur 
E, de $N(x) \leq (\sup_i N(e_i)) {\Vert x \Vert}_1$ on d\'eduit la continuit\'e de 
N sur $(S_1,{\Vert \, \Vert}_1)$ compact, donc N est born\'ee et atteint ses 
bornes. Il existe $\alpha$ et $\beta \geq 0$ tels que $\forall x \in S_1$, 
$\alpha \leq N(x) \leq \beta$. Comme $\alpha = N(y)$ pour un $y \in S_1$, $y 
\not= 0$ et $\alpha > 0$. Enfin, $\forall x \not= 0$, $\frac{x}{{\Vert x 
\Vert}_1} \in S_1$ donc $\alpha {\Vert x \Vert}_1 \leq N(x) \leq \beta {\Vert x 
\Vert}_1$.\\
b) Soit $x = \sum_1^n x_ie_i \in E$, on a ${\Vert u(x) \Vert}_F \leq (\sup_i 
{\Vert u(e_i) \Vert}_F) {\Vert x \Vert}_1$ donc u est continue.
\\ \\
{ \bf Exercice 2} 
\\ \\
a) Soit ${(f_n)}_n \subset {\cal {L}}(E,F)$ une suite de Cauchy alors
$$\forall \eps >0,\,\exists N \mbox{ tel que } \forall p,q \geq N,\quad \Vert f_p 
- f_q \Vert \leq \eps. $$
En particulier, $\forall x \in E,$ ${\Vert f_p(x) - f_q(x) \Vert}_F \leq \eps 
{\Vert x \Vert}_E. \qquad (1)$. \\
Et $\forall x \in E$, la suite ${(f_n(x))}_n$ est de Cauchy dans F complet 
donc converge vers un \'el\'ement not\'e $f(x)$. la fonction $f$ est lin\'eaire 
comme limite simple de fonctions lin\'eaires. On fixe $p$ dans $(1)$ et on laisse 
$q \rightarrow \infty$, on obtient alors ${\Vert f_p(x) - f(x) \Vert}_F \leq \eps 
{\Vert x \Vert}_E$, $\forall x \in E$, d'o\`u $f=f-f_p+f_p$ est continue et 
$\Vert f_p - f\Vert \leq \eps.,$ d\`es que $p \geq N$ donc $f_n \rightarrow f$ in 
${\cal {L}}(E,F)$.\\
b) Par hypoth\`ese $\overline {B_E}$ est compact donc il existe $a_1,...,a_n \in 
E$ tels que $\overline {B_E} \subset \cup_1^n B(a_i,\frac{1}{2})$. Soit $V = 
\mbox{vect} \{a_1,...,a_n \}$, montrons que $E=V$. On raisonne par l'absurde, s'il 
existe $x \in E$ tel que $d(x,V) = \alpha >0$ alors $\exists y \in V$ tel que 
$\alpha \leq d(x,y) \leq \frac{3}{2} \alpha.$\\
Soit $z = \frac{x-y}{\Vert x-y\Vert} \in \overline {B_E}$ alors pour un certain 
$i_0$, $z \in B(a_{i_0}, \frac{1}{2})$ et on a $$\Vert x-y-a_{i_0} \Vert x-y 
\Vert\,\Vert \leq \frac{1}{2} \Vert x-y\Vert \leq \frac{3}{4}\, \alpha$$ donc il 
existerait un $y_0 \in V$ tel que $d(x,y_0) < \alpha$, ce qui est absurde.  
\\ \\
{ \bf Exercice 3} 
\\ \\
1) $\forall x \in E$ et $\forall y \in H$, on a $\vert f(x)\vert = \vert 
f(x-y)\vert\leq \Vert f \Vert  \Vert x-y \Vert$ d'o\`u le r\'esultat.\\
2) $d(x,H) \leq \Vert x-y \Vert \leq \frac {\vert f(x) \vert}{\vert f(u) \vert} \; 
\Vert u \Vert$ o\`u $u \in E\setminus H$. Comme $ f\not\equiv 0$, on peut remarquer 
que 
$\Vert f \Vert = \sup_{u \in E \setminus H} \frac {\vert f(u) \vert}{\Vert u 
\Vert}$. 
\\
3) a) Soit $(x^p)_p$ une suite de Cauchy dans $E={\cal C}_0$ alors
$$\forall \ep >0,\,\exists N,\,\forall p,q \geq N,\,\forall n\quad \Vert x_n^p - 
x_n^q 
\Vert_{\infty} \leq \ep.\qquad (\star)$$
Donc $\forall n$, la suite $(x_n^p)_p$ est de Cauchy dans $\RR$ et converge vers un 
$x_n$. Posons $x=(x_n)_n$, alors de $(\star)$ on d\'eduit que $\forall n$, $\forall 
q 
\geq N$, $\vert x_n-x_n^q\vert \leq \ep$ donc la suite $(x^p)$ converge vers $x$ en 
norme $\Vert\,\Vert_{\infty}$. Il reste \`a voir que $x \in E$. De l'in\'egalit\'e 
pr\'ec\'edente on tite $\vert x_n \vert \leq \ep + \vert x_n^N \vert$ donc pour n 
assez 
grand $\vert x_n \vert \leq 2\ep,$ et $x \in E$.\\
 b) On a facilement $\vert f(x) \vert \leq \Vert x \Vert_{\infty}$ et f lin\'eaire 
donc $f \in E^{\prime}$ et $\Vert f \Vert \leq 1$.\\
Soit $x^N \in E$ d\'efini par $x_n^N = 1$ si $n \leq N$ et $x_n^N = 0$ sinon, alors 
$\vert f(x^N) \vert = 1 - \frac{1}{2^N} \leq \Vert f \Vert$ et ceci $\forall N \geq 
1$ 
d'o\`u $\Vert f \Vert = 1$.\\
S'il existe $x = (x_n)_n \in E$ avec $\Vert x \Vert = 1$ et tel que $\vert f(x) 
\vert 
= 
\Vert f \Vert =1$ alors $$ 1 = \vert f(x) \vert \leq \sum_1^{\infty} \frac{1}{2^n} 
\vert x_n \vert \Longrightarrow \sum_1^{\infty} \frac{1}{2^n} (1-\vert x_n \vert) 
\leq 
0  \Longrightarrow \vert x_n \vert = 1,\,\forall n,$$
et $ x \not\in E$. Donc $\Vert f \Vert$ n'est pas atteint. Enfin $d(x,H)=\vert 
\sum_1^{\infty} \frac{x_n}{2^n} \vert$. 
\\ \\
{ \bf Exercice 4} Th\'eor\`emes du point fixe
\\ \\
1) On v\'erifie facilement que si $x_{n+1} = f(x_n)$, $x_0 \in E$, on a 
$d(x_{n+1},x_n) 
\leq k^n d(x_1,x_0)$ et $$d(x_{n+p},x_n) \leq 
d(x_{n+p},x_{n+p-1})+...+d(x_{n+1},x_n) 
\leq k^n(k^{p-1}+...+k+1) d(x_1,x_0) \leq \frac{k^n}{1-k} d(x_1,x_0).$$
Comme $k<1$, la suite $(x_n)_n$ est de Cauchy donc converge vers $x \in E$. De 
$x_{n+1} 
= f(x_n)$ on d\'eduit $x = f(x)$ puisque $f$ est continue, et $x$ est un point 
fixe.\\
Si $d(f(a),f(b)) = d(a,b) \leq k d(a,b)$ avec $k<1$, n\'ecessairement $a = b$, 
d'o\`u 
l'unicit\'e du point fixe.\\
2) $\forall \lambda,\,\lambda_0$, on a 
\begin{eqnarray*}
d(a_{\lambda},a_{\lambda_0}) &=& 
d(f_{\lambda}(a_{\lambda}),f_{\lambda_0}(a_{\lambda_0}))\\
 &\leq& d(f_{\lambda}(a_{\lambda}),f_{\lambda}(a_{\lambda_0})) + 
d(f_{\lambda}(a_{\lambda_0}),f_{\lambda_0}(a_{\lambda_0})) \\
 &\leq& kd(a_{\lambda},a_{\lambda_0}) + 
d(f_{\lambda}(a_{\lambda_0}),f_{\lambda_0}(a_{\lambda_0})),
 \end{eqnarray*}
 donc 
 $$d(a_{\lambda},a_{\lambda_0}) \leq 
\frac{1}{1-k}d(f_{\lambda}(a_{\lambda_0}),f_{\lambda_0}(a_{\lambda_0})).$$
 Ce qui montre que l'application  
$\lambda \rightarrow a_{\lambda}$ est continue en $\lambda_0$.\\
3) Soit $\vfi(x) = d(x,f(x))$, $\vfi$ est continue sur $E$ compact donc atteint son 
inf : $\exists x_0 \in E$ tel que $\vfi(x_0) \leq \vfi(x)$, $\forall x\in E$. Si 
$\vfi(x_0) \not= 0$, on a $\vfi(f(x_0)) < \vfi(x_0)$ ce qui est absurde, donc 
$\vfi(x_0) = 0$ et $x_0$ est un point fixe de $f$. Si il y en a un autre, $x_1$, 
alors 
$d(f(x_0),f(x_1)) = d(x_0,x_1) < d(x_0,x_1)$ donc necessairement $x_0=x_1$.
\\
4) Soit z fix\'e dans C, $f_n(C) \subset C$, $\forall n$, car C est convexe et 
$f_n$ 
est $\frac{n}{n+1}$-lipschitzienne sur C. Donc, par 1), $\exists x_n \in C$ tel que 
$x_n=f(x_n)$, $\forall n$. Maintenant C est compact donc il existe une sous-suite 
not\'ee $(x_{n_k})_k$ telle que $x_{n_k} \rightarrow x \in C$, alors en passant \`a 
la 
limite dans $x_{n_k}= f_{n_k}(x_{n_k})=\frac{1}{n_k+1} z + \frac{n_k}{n_k+1} 
f(x_{n_k})$, on obtient $x=f(x)$ et $x$ est un point fixe de $f$.
\\ \\
{ \bf Exercice 5} 
\\ \\
a) Il est clair que N d\'erive d'un produit scalaire.\\
b) Par l'in\'egalit\'e de Cauchy-Schwarz, on a $\vert f(x) \vert \leq \vert f(0) 
\vert 
+ {(\int_0^1 f^{\prime}(t)^2 dt)}^{\frac{1}{2}}$. En \'elevant au carr\'e et en 
utilisant l'in\'egalit\'e $2ab \leq a^2+b^2$, on obtient facilement ${\vert f(x) 
\vert}^2 \leq 2 N(f)$, $\forall x \in [0,1]$.\\
c) On choisit $f_n(x) = x^n$. Alors $\forall n$, $\Vert f_n {\Vert}_{\infty} =1$ et 
$N(f_n) = \frac{n}{\sqrt{2n-1}} \rightarrow + \infty$. Donc ces deux normes ne sont 
pas \'equivalentes.
\\ \\
{ \bf Exercice 6} 
\\ \\
Comme E est m\'etrique, on va montrer que de toute suite de E, on peut extraire une 
sous-suite convergente.
Soit $(x_n)_n$ une suite de points de E. Pour $\ep=\frac{1}{2}$, E est recouvert 
par 
un nombre fini de boules de rayon $\frac{1}{2}$ donc l'une d'entre elles contient 
une 
infinit\'e de $x_n$. On peut donc extraire une sous-suite $(x_{\vfi_{1}(n)})_n$ 
telle 
que $d(x_{\vfi_{1}(n)},x_{\vfi_{1}(p)}) \leq 1$. Et on recommence ce processus, 
pour 
$\ep = \frac{1}{2p}$, E est recouvert par un nombre fini de boules de rayon 
$\frac{1}{2p}$ donc l'une d'entre elles contient une infinit\'e de 
$x_{\vfi_{1}o...o\vfi_{p-1}}(n)$. On peut donc en extraire une sous-suite 
$(x_{\vfi_{1}o...o\vfi_{p}}(n))_n$ telle que 
$d(x_{\vfi_{1}o...o\vfi_{p}}(n),x_{\vfi_{1}o...o\vfi_{p}}(m)) \leq \frac{1}{p}$. 
Soit 
$(x_{\vfi_{1}o...o\vfi_{n}}(n))_n$ la suite diagonale, elle est bien extraite de 
$(x_n)_n$ et v\'erifie
$$d(x_{\vfi_{1}o...o\vfi_{n}}(n),x_{\vfi_{1}o...o\vfi_{m}}(m)) \leq 
\frac{1}{m},\qquad 
\forall m,n,\,\,m \leq n.$$
Cette suite est donc de Cauchy dans E complet, elle converge, d'o\`u E est compact.
\\ \\
{ \bf Exercice 7}
\\ \\
Pour n fix\'e, $E \subset \cup_{x \in E} B(x,\frac{1}{n})$ et E est compact donc 
$\exists k_n$ tel que $E \subset \cup_{i=1}^{k_n} B(x_i^n,\frac{1}{n})$. Soit $D=\{ 
x_i^n, i=1,...,k_n, n \in \NN^{\star}\}$, $D$ est bien d\'enombrable, v\'erifions 
que 
$D$ est dense dans $E$. Soient $x \in E$ et $r>0$, $\exists N \in \NN^{\star}$ tel 
que 
$\frac{1}{N} < r$ et $\exists x_i^N$ tel que $x \in B(x_i^N,\frac{1}{N})$ alors 
$x_i^N 
\in B(x,r)\cap D$.
\\ \\
{ \bf Exercice 8}
\\ \\
Les ensembles $K^{\star}$ et $K^{\star\star}$ sont ferm\'es comme intersection 
d'images r\'eciproques de ferm\'es par des applications continues, donc de $K 
\subset 
K^{\star\star}$ on d\'eduit $\overline{K} \subset K^{\star\star}$. Si $\overline{K} 
\not= K^{\star\star}$, $\exists y_0 \in K^{\star\star}\setminus \overline{K}$ et 
par 
Hahn-Banach, $\exists f \in E^{\prime}$, $f\not\equiv 0$, $\exists \alpha \in \RR$ 
tels que
$$<f,x>\,< \alpha <\,<f,y_0>,\qquad \forall x \in K.$$
Comme $0 \in K$, on a $\alpha > 0$ et $\forall x \in K$, $<\frac{f}{\alpha},x> < 
1$, 
donc $\frac{f}{\alpha} \in K^{\star}$ or $y_0 \in K^{\star\star}$ donc 
$<\frac{f}{\alpha},y_0> \leq 1$, c'est absurde. D'o\`u 
$K^{\star\star}=\overline{K}$.
\\ \\
{ \bf Exercice 9}
\\ \\
1) On d\'efinit les deux formes lin\'eaires continues suivantes
\[ \begin{array}{rclcrcl}
f_{2n} : {\ell}^1 &\rightarrow& \RR &\,\,\mbox{et}\,\,& g_{2n} : {\ell}^1 
&\rightarrow& \RR \\
            x      &\mapsto& x_{2n}  & &                               x &\mapsto& 
x_{2n} - 2^{-n}x_{2n-1}.
\end{array} \] 
Alors $A_0 = \cap_n f_{2n}^{-1}(\{0\})$ et $B = \cap_n g_{2n}^{-1}(\{0\})$ sont 
ferm\'es comme intersection de ferm\'es.\\
Soit $e^n = {(\delta_{ni})}_{i \geq 1}$ o\`u ${\delta}_{ni} = 1$ si i 
=n, ${\delta}_{ni} = 0$ sinon, alors si $F_k = \mbox{vect}\{e^1,...,e^k\}$ et si 
$F=\cup_k F_k$, on a $\overline{F} = {\ell}^1$. Donc pour montrer que ${\ell}^1 = 
\overline{A_0+B}$, il suffit de montrer que $\forall k$, $F_k \subset A_0+B$.\\
Soit $x \in F_k$, on d\'efinit $a,b$ de la fa\c{c}on suivante,
\[ \left\{ \begin{array}{ll}
b_{2n} = x_{2n} & b_{2n-1} = 2^nx_{2n}\\
a_{2n-1} = x_{2n-1}-2^nx_{2n} & a_{2n} = 0
\end{array} \right. \]
alors $x = a+b$ et comme $x_n = 0$ si $n>k$, $a,b \in {\ell}^1$ et $(a,b) \in A_0 
\times B$. Donc ${\ell}^1 = \overline{A_0+B}$.\\
2) Si $c = a+b$ alors n\'ecessairement $a_{2n} = 0$, $b_{2n} = 2^{-n}$, $b_{2n-1} = 
1$ et $a_{2n-1} = -1$ donc $a,b \not\in {\ell}^1$ et $c \not\in A_0+B$. Il est 
clair 
alors que $A \cap B = \emptyset$.\\
Supposons qu'il existe $f \in ({\ell}^1)^{\prime}$, $f \not\equiv 0$ et $\alpha \in 
\RR$ tels que
$$<f,a>\,\leq \alpha \leq \,<f,b>,\quad \forall a \in A,\,\,\forall b \in B.$$
Comme $B$ est vectoriel, n\'ecessairement $<f,b> = 0$, $\forall b \in B$. De 
m\^eme, 
de $<f,a_0> \leq \alpha +f(c)$, $\forall a_0 \in A_0$, on en d\'eduit que $<f,a_0> 
= 
0$, $\forall a_0 \in A_0$. Donc $f \equiv 0$ sur $A_0+B$ dense dans ${\ell}^1$, par 
continuit\'e on en conclut que $f$ est identiquement nulle, ce qui est contraire 
\`a 
l'hypoth\`ese. On ne peut donc pas s\'eparer $A$ et $B$.
\\ \\
{ \bf Exercice 10} 
\\ \\
1) Soit $F_n = n \overline{T(B(0,1))}$ alors $F_n$ est ferm\'e et $F = \cup_n 
F_n$ car $T$ est surjective. Par le lemme de Baire, on sait qu'il existe $n_0$ 
tel que int($F_{n_0}$)$\not= \emptyset$ et donc int$\left( \overline{T(B(0,1))} 
\right) \not= \emptyset$. Alors il existe $r>0$ et $y_0 \in F$ tels que 
$B(y_0,r) \subset \overline{T(B(0,1))}$. Si $y_0 \in \overline{T(B(0,1))}$ 
alors $- y_0$ aussi et $B(y_0,r) = y_0+B(0,r) \subset \overline{T(B(0,1))}$ 
donc $B(0,r) \subset \overline{T(B(0,1))}+\overline{T(B(0,1))} \subset 
2\overline{T(B(0,1))}$ d'o\`u $b(0,\frac{r}{2}) \subset \overline{T(B(0,1))}$ 
et $2C = \frac{r}{2}$ convient.\\
2) Soit $y \in B(0,C)$ fix\'e, on cherche $x \in B(0,1)$ tel que $y = Tx$. On 
sait que $B(0,C) \subset \frac{1}{2} B(0,2C) \subset \overline{T(\frac{1}{2} 
B(0,1))}$ donc $\forall \ep>0$, $\exists z_{\ep}$, $\Vert z_{\ep} \Vert < 
\frac{1}{2}$ tel que $\Vert y -Tz_{\ep} \Vert < \ep$.\\
On choisit $\ep = \frac{C}{2}$, cela nous donne un $z_1$ tel que $\Vert z_1 
\Vert < \frac{1}{2}$ et $\Vert y -Tz_1 \Vert < \frac{C}{2}$. Alors $y -Tz_1 \in 
B(0, \frac{C}{2}) \subset \overline{T(\frac{1}{4} B(0,1))}$ et on recommence, 
pour $\ep = \frac{C}{4}$, $\exists z_2$ tel que $\Vert z_2 \Vert < \frac{1}{4}$ 
et $\Vert y -Tz_1 -Tz_2 \Vert < \frac{C}{4}$, etc...\\
On construit ainsi une 
suite $(z_n)_n$ telle que $\Vert z_n \Vert < \frac{1}{2^n}$ et $\Vert y - Tz_1 
- ...- Tz_n \Vert < \frac{C}{2^n}$, $\forall n$.\\
La suite $x_n = z_1+...+z_n$ est de Cauchy dans $E$ donc converge vers un $x 
\in E$, comme $T$ est continue, $Tx_n \rightarrow Tx$, donc $y = Tx$. Il reste 
\`a voir que $\Vert x \Vert < 1$.\\
Par exemple, $\exists \ep>0$ tel que $\Vert z_1 \Vert \leq \frac{1}{2} - \ep$ 
alors 
$$\Vert x_n \Vert \leq \sum_1^n \Vert z_k \Vert \leq \sum_1^n \frac{1}{2^k} - 
\ep \leq 1 - \ep,$$
d'o\`u le r\'esultat.
\\ \\
{ \bf Exercice 11} Th\'eor\`eme d'isomorphisme d'espaces de Banach
\\ \\
Par le Th\'eor\`eme de l'application ouverte, $\exists C>0$ tel que $B_F(0,C) 
\subset T(B_E(0,1))$. Comme $T$ est bijective, $\forall x \in E$ tel que $\Vert 
Tx \Vert < C$ on a $\Vert x \Vert < 1$. Donc $\Vert x \Vert \leq \frac{1}{C} 
\Vert Tx \Vert$ et $T^{-1}$ est continue.
\\ \\
{ \bf Exercice 12}
\\ \\ 
On applique le r\'esultat pr\'ec\'edent \`a $id : E,\Vert x \Vert_2 \rightarrow 
E, \Vert x \Vert_1$.
\\ \\
{ \bf Exercice 13} Th\'eor\`eme du graphe ferm\'e
\\ \\
Sur $E$, on consid\`ere $\Vert x \Vert_1 = \Vert x \Vert_E$ et $\Vert x \Vert_2 
= 
\Vert x \Vert_E + \Vert Tx \Vert_F$. Si $(E,\Vert x \Vert_2)$ est complet, 
comme 
$\Vert x \Vert_1 \leq \Vert x \Vert_2$, $\forall x\in E$, en appliquant 
l'exercice ci-dessus, on obtient l'\'equivalence des normes $\Vert x \Vert_1$ 
et 
$\Vert x \Vert_2$ et donc $T$ est continue.\\
V\'erifions que $(E,\Vert x \Vert_2)$ est complet. Soit $(x_n)_n$ une suite de 
Cauchy pour $\Vert x \Vert_2$, alors $(x_n)_n$ est de Cauchy pour $\Vert x 
\Vert_1$ donc elle converge vers un $x \in E$ au sens de la norme $\Vert x 
\Vert_1$. La suite $(Tx_n)_n$ est aussi de Cauchy dans $F$ complet donc 
converge 
vers un certain $y \in F$. Or $(x_n,Tx_n)_n \in G(T)$ ferm\'e, donc $y=Tx$ et 
$(E,\Vert x \Vert_2)$ est complet.
\\ \\
{ \bf Exercice 14}
\\ \\
Montrons que le graphe de $T$, $G(T)$, est ferm\'e. Soit $(x_n,Tx_n)_n \in G(T)$ 
telle que $x_n 
\rightarrow x$ et $Tx_n \rightarrow y$, a-t'on $y=Tx$ ?\\
Soit $f \in F^{\prime}$, comme $foT \in E^{\prime}$, on a d'une part $f(Tx_n) 
\rightarrow f(Tx)$ et $f(Tx_n) \rightarrow f(y)$ donc $f(Tx)=f(y)$ et ceci 
$\forall f \in F^{\prime}$, n\'ecessairement $Tx=y$ sinon par Hahn-Banach, on 
pourrait s\'eparer strictement $Tx$ et $y$ par un hyperplan ferm\'e, c'est \`a 
dire il existerait $f \in F^{\prime}$, $f \not\equiv 0$, telle que $f(Tx) \not= 
f(y)$.
\\ \\
{ \bf Exercice 15}
\\ \\
1) Pour $y \not= x_0$, $\Lambda_y \in E^{\prime}$ et $\Vert \Lambda_y \Vert 
\leq 
\frac{2}{\vert y-x_0 \vert} \Vert f \Vert_{\infty}$. Soit $f \in F$ alors 
$\vert 
\Lambda_y (f) \vert < \infty$, $\forall y \not=x_0$ car $y \mapsto 
\Lambda_y(f)$ 
est continue sur $[0,1]$. Comme $F$ est un Banach, on peut appliquer 
Banach-Steinhaus et $\exists M > 0$ tel que $\forall f \in F$, $\forall y \not= 
x_0$, $\vert \Lambda_y (f) \vert \leq M \Vert f \Vert$.\\
2) En particulier si $f \in B_F$, $\vert \Lambda_y (f) \vert \leq M$, $\forall 
y 
\not= x_0$. Donc $\vert f(y) - f(x_0) \vert \leq M \vert y-x_0 \vert$, $\forall 
y$ et $\forall f \in B_F$. Ce qui montre que $B_F$ est \'equicontinue.\\
Soit $B_F(x) = \{ f(x), f \in B_F \}$. Pour pouvoir appliquer Ascoli, il reste 
\`a v\'erifier que $\forall x \in [0,1]$, $\overline{B_F(x)}$ est compact dans 
$\RR$, ce qui est imm\'ediat puisque $B_F(x) \subset [-1,1]$. D'o\`u $B_F$ est 
compact et par suite $F$ est de dimension finie.
\\ \\
\section{Chapitre III}
{ \bf Exercice 1} 
\\ \\
1) Montrons d'abord que si $\forall x \not= 0$, $\exists p$ semi-norme telle 
que $p(x) \not= 0$ alors $(E,\cal P)$ est s\'epar\'e. Soit donc $x \not= 0$, et 
$p$ telle que $p(x) \not= 0$ alors si $r= \frac{1}{2} p(x)$ on a $B(x,r) \cap 
B(0,r) = \emptyset$ et on s\'epare $0$ et $x$. Si $x \not= y$, on peut \'ecrire 
$y = x+z$ avec $z \not= 0$ et on a $B(x,r) \cap B(x+z,r) = \emptyset$. (la 
r\'eciproque est vraie).\\
Utilisons ce crit\`ere, soit donc $x \not= 0$, par Hahn-Banach, $\exists f \in 
E^{\prime}$, $f \not\equiv 0$ telle que $f(x) > 0 =f(0)$ donc $p_f (x) \not= 0$ 
et la topologie faible est s\'epar\'ee.\\
2) Soit $U$ un ouvert faible non vide, pour montrer qu'il est un ouvert fort, 
il faut montrer que $\forall x \in U$, $\exists r > 0$ tel que $B(x,r) \subset 
U$. Soit donc $x_0 \in U$ par hypoth\`ese, $\exists \ep > 0$ et $\exists J \in 
P.F.I.$ tels que $V(x_0,J,\ep) \subset U$. Cherchons $r$ tel que $B(x_0,r) 
\subset V(x_0,J,\ep)$. On a
$$\vert < f_i,x-x_0> \vert < \Vert f_i \Vert\, \Vert x-x_0 \Vert \leq (\sup_J 
\Vert f_i \Vert) \Vert x-x_0 \Vert.$$
Cela sugg\`ere de choisir $r< \frac{\ep}{\sup_J \Vert f_i \Vert}$, ce qui donne 
le r\'esultat. (si $\forall i$, $f_i \equiv 0$, alors $E=V(x_0,J,\ep)$ est bien 
un ouvert fort.)\\
3) Si $f \in (E_w)^{\prime}$ alors $\forall U$ ouvert de $\RR$, $f^{-1}(U)$ est 
un ouvert faible et la question pr\'ec\`edente montre que $f \in E^{\prime}$.\\
Si $f \in E^{\prime}$, soit $x_0 \in E$, montrons que $f$ est continue 
faiblement en $x_0$, c'est \`a dire que $\forall \ep > 0$, $\exists V \in {\cal 
V}_{\omega}(x_0)$ tel que $x \in V$ $\Longrightarrow$ $\vert f(x)-f(x_0)\vert < 
\ep$. Il est clair que $V=V(x_0,f,\ep)$ convient.\\
4) On suppose dim$E < \infty$. D'apr\`es la question 2), il reste \`a montrer 
que $U$ ouvert fort est un ouvert faible. Soit $x_0 \in U$ suppos\'e non vide, 
alors $\exists r > 0$ telque $B(x_0,r) \subset U$. On va montrer que $\exists 
\ep>0$ et $\exists J \in P.F.I.$ tels que $V(x_0,J,\ep) \subset B(x_0,r)$.\\
Soit $(e_1,...,e_n)$ une base de $E$ telle que $\forall i$  $\Vert e_i \Vert = 
1$. Tout $x$ de $E$ s'\'ecrit $x = \sum_1^n x_ie_i$, soit $f_i : E \rightarrow \RR$ 
d\'efinie par $f(x) =x_i$ alors $f_i \in E^{\prime}$ et on a 
$$\Vert x - x_0 \Vert \leq \sum_1^n \vert x_i - x_{0i} \vert = \sum_1^n \vert < 
f_i, x-x_0 > \vert.$$
D'o\`u si $x \in V=V(x_0,\{1,...,n\},\ep)$ alors $\Vert x - x_0 \Vert < n\ep$, 
on choisit donc $\ep \leq \frac{r}{n}$ et on a bien $V \subset B(x_0,r)$.
\\ \\
{\bf Exercice 2} 
\\ \\
On suppose  que dim$E = + \infty$ et que les applications
\begin{eqnarray*}
id :&(E,\sigma(E,E^{\prime}))& \rightarrow \, (E,d),\\ 
id :&(E,d)& \rightarrow \, (E,\sigma(E,E^{\prime}))
\end{eqnarray*}
sont continues.\\
1) $\forall k \in \NN^{\star}$, $B_d(0,\frac{1}{k})$ est un voisinage de $0$ 
pour d, donc $\exists V(0,I_k,\ep_k) \subset B_d(0,\frac{1}{k})$ o\`u $\ep_k > 
0$ et $I_k$ est un ensemble fini d'indices. L'ensemble $\{ f_j, j \in I_k, k 
\in \NN^{\star} \}$ est d\'enombrable et constitue la suite cherch\'ee.\\
2) L'ensemble $V=V(0,g,1)$ est un voisinage de $0$ pour la topologie faible, 
par hypoth\`ese $\exists k_0 \in \NN^{\star}$ tel que $B_d(0,\frac{1}{k_0}) 
\subset V$. Alors d'apr\`es 1),
$$ \bigcap_{i \in I_{k_0}} \{x \in E : \vert < f_i,x > \vert < \ep_{k_0} \} 
\subset V.$$
On pose $I=I_{k_0}$ alors $\bigcap_{i \in I} \ker f_i \subset V$. Et $\vert < 
g,x > \vert < 1$ sur un espace vectoriel, donc n\'ecessairement $g(x) = 0$, 
$\forall x \in \bigcap_{i \in I} \ker f_i$, par suite $\bigcap_{i \in I} \ker 
f_i \subset \ker g$.\\
3) Pour simplifier les notations, on notera $I = \{ 1,2,...,k \}$, et soit
\begin{eqnarray*}
F : E & \longrightarrow & {\RR}^{k+1} \\
    x & \longmapsto & (g(x),f_{1} (x),...,f_{k} (x)).
\end{eqnarray*}
ImF est convexe ferm\'e (car vectoriel de dimension finie) et $e_1=(1,0...0) 
\not\in $ImF car $\bigcap_{i \in I} \ker f_i \subset \ker g$. D'apr\`es le 
Th\'eor\`eme 
d'Hahn-Banach, $\exists h \in (\RR^{k+1})^{\prime}$, $h \not\equiv 0$ et $\exists 
\alpha \in \RR$ tels que $h(F(x)) < \alpha < h(e_1)$, $\forall x \in E$.
Comme ImF est vectoriel, on en d\'eduit que $h(F(x)) = 0$, $\forall x \in E$ et 
comme $h \in (\RR^{k+1})^{\prime}$, $h \not\equiv 0$, $\exists 
(\mu_0,...,\mu_k) \in {\RR}^{k+1} \setminus \{0\}$ tel que $h(x) = \sum_0^k 
\mu_i x_i$ si $x=(x_0,...,x_k) \in {\RR}^{k+1}$. D'o\`u on obtient
$$ \mu_0 g(x) + \sum_1^{k} \mu_i f_i(x) = 0 < \alpha < \mu_0,\quad \forall x 
\in E.$$
Donc $\mu_0 \not= 0$ et $g(x) = \sum (-\frac{\mu_i}{\mu_0}) f_i(x)$ pour tout 
$x$. (On peut d\'emontrer ce r\'esultat par une preuve purement alg\'ebrique, 
par exemple un raisonnement par recurrence sur $k$.)\\
4) Soit $F_n = \mbox{vect} \{ f_1,...,f_n \}$, d'apr\`es 2) et 3), $\forall g 
\in E^{\prime}$, $\exists N$ tel que $g \in F_N$ donc $E^{\prime} = \bigcup 
F_n$. Comme $E^{\prime}$ est complet, $F_n$ ferm\'e (car dim$F_n < \infty$), on 
peut appliquer le lemme de Baire et $\exists n_0$ tel que int$(F_{n_0}) \not= 
\emptyset$. 
Si $f \in \mbox{int}F_{n_0}$ alors $\exists r>0$ tel que $B(f,r) \subset 
F_{n_0}$ par suite $E^{\prime}=F_{n_0}$ car $F_{n_0}$ est vectoriel et donc 
dim$E^{\prime} \leq n_0$.\\
5) On en conclut que dim$E < \infty$, en effet soit 
\begin{eqnarray*}
\Phi :& E &\rightarrow \RR^{n_0}\\
      & x &\mapsto (f_1(x),...,f_{n_0}(x)).
\end{eqnarray*}
$\Phi$ est lin\'eaire et injective (car $\Phi(x)=0$ $\Longrightarrow$ $\forall 
f \in E^{\prime}$, $f(x)=0$ $\Longrightarrow$ $x=0$ par Hahn-Banach) donc dim$E 
\leq n_0$ ce qui est contraire \`a l'hypoth\`ese.
\\ \\
{ \bf Exercice 3} 
\\ \\
1) On montre que $(1) \Longrightarrow (2) \Longrightarrow (3) \Longrightarrow 
(1)$. Pour simplifier les notations on montrera que $T$ est continue en $0$, le 
lecteur se convaincra que la continuit\'e de $T$ en $0$ implique la 
continuit\'e de $T$ partout.\\
$(1) \Longrightarrow (2)$ :\\
$\forall \Omega \in {\cal V}_{w}(0)$, existe-t'il $\omega \in {\cal V}_{w}(0)$ 
tel que $x \in \omega$ $\Longrightarrow$ $Tx \in \Omega$ ?
On peut toujours choisir $\Omega = \{ y \in F : \vert < f_i,y > \vert < \ep, 
\forall i=1,...,n \}$ o\`u $f_i \in F^{\prime}$ et $\ep > 0$. Maintenant,
\begin{eqnarray*}
Tx \in \Omega &\Longleftrightarrow& \vert < f_i,Tx> \vert < \ep,\,\forall 
i=1,...,n,\\
 &\Longleftrightarrow& \vert < f_ioT,x> \vert < \ep,\,\forall i=1,...,n.
 \end{eqnarray*}
Si $\omega = \{x \in E : \vert < f_ioT,x> \vert < \ep,\,\forall i=1,...,n \}$ 
o\`u $f_ioT \in E^{\prime}$, alors $\omega$ est bien un voisinage faible de $0$ 
donc $(2)$.\\
$(2) \Longrightarrow (3)$ :\\ 
$\forall \Omega \in {\cal V}_{w}(0)$, existe-t'il $r>0$ tel que $x \in B(x,r) 
\Longrightarrow Tx \in \Omega$ ?\\
On sait par hypoth\`ese qu'il existe un voisinage faible de $0$, $\omega$, tel 
que $x \in \omega \Longrightarrow Tx \in \Omega$ et on a vu dans l'exercice 1 
ci-dessus, qu'un ouvert faible est un ouvert fort donc $(3)$.\\
$(3) \Longrightarrow (1)$ :\\
On utilise le Th\'eor\`eme du graphe ferm\'e (voir l'exercice 13 chap.II), soit 
$(x_n,y_n)_n \in 
G(T)=\{(x,y) \in E\times F, y=Tx \}$ telle que $x_n \rightarrow x$ et $y_n 
\rightarrow y$, a-t'on $y=Tx$ ? \\
Comme $T$ est continue de $E$ fort dans $F$ faible, $Tx_n \rightharpoonup Tx$ 
et d'autre part la convergence forte impliquant la convergence faible $Tx_n 
\rightharpoonup y$, donc n\'ecessairement $y=Tx$. D'o\`u le graphe de $T$ est 
ferm\'e et $T$ est continue (pour les topologies fortes).\\
2) Soit $T : E_w \longrightarrow F$ lin\'eaire continue. La continuit\'e en $0$ 
implique que $\exists \ep > 0$, $\exists f_1,..,f_n \in E^{\prime}$ tels que 
$$ \vert < f_i,x > \vert < \ep,\quad \forall i=1,...,n \Longrightarrow \Vert Tx 
\Vert_F < 1.
$$
Alors $\bigcap_i \ker f_i \subset \ker T$. On va montrer que dim(Im$T$)$\leq 
n$. Soit $y_1 =Tx_1,...,y_{n+1}=Tx_{n+1} \in $ Im$T$, existe-t'il 
$(\lambda_1,...,\lambda_{n+1})$ non tous nuls tels que $\sum_1^{n+1} \lambda_k 
Tx_k = 0$ ?\\
Ou encore tels que $T(\sum_1^{n+1} \lambda_k x_k) = 0$ ? On 
remarque que si il existe $(\lambda_1,...,\lambda_{n+1})$ non tous nuls tels 
que $ \sum_1^{n+1} \lambda_k x_k \in \bigcap_i \ker f_i$, c'est fini. Donc on 
veut
$$ \sum_1^{n+1} \lambda_k < f_i,x_k > = 0,\quad 1\leq i \leq n.
$$
C'est un syst\`eme lin\'eaire de $n$ \'equations \`a $n+1$ inconnues dont on 
sait qu'il existe des solutions non triviales, d'o\`u le r\'esultat.
\\ \\
{ \bf Exercice 4}
\\ \\
On note $ {\ell}^1 = \{ x = {(x_n)}_{n \geq 1} \subset \RR \mbox { tel que } 
\sum_{n=1}^{+ \infty} \vert x_n \vert < \infty \}$ que 
l 'on munit de $ {\Vert x \Vert}_1 = \sum_{n=1}^{+ \infty} \vert x_n \vert$, et 
$ {\ell}^{\infty} = \{ x = {(x_n)}_{n \geq 1} \subset \RR \mbox { tel que } 
\sup_n \vert x_n \vert < \infty \}$ que l'on munit de $ {\Vert x 
\Vert}_{\infty} = \sup_{n \geq 1} \vert x_n \vert.$\\
On admettra que ${\ell}^1$ et ${\ell}^{\infty}$ sont des espaces de Banach. \\
Enfin on note $e^n = {(\delta_{ni})}_{i \geq 1}$ o\`u ${\delta}_{ni} = 1$ si i 
=n, ${\delta}_{ni} = 0$ sinon.\\
1) ${\Vert x^N -x \Vert}_1$ = reste d'une s\'erie convergente.\\
2) f est lin\'eaire et $\vert f(x) \vert \leq \Vert y \Vert_{\infty} \Vert x 
\Vert_1$ donc $f \in (\lun)^{\prime}$.\\
a) On a montr\'e que $\Vert \Lambda_y \Vert \leq \Vert y \Vert_{\infty}$. On a 
$\Lambda_y(e^N)=y_N$ donc $\Vert \Lambda \Vert \geq \Vert y \Vert_{\infty}$, 
d'o\`u 
$\Lambda$ est une isom\'etrie.\\
b) $\Lambda$ est injective car isom\'etrique. Montrons qu'elle est surjective. 
Soit 
$\ell \in (\lun)^{\prime}$ alors par lin\'earit\'e et continuit\'e de $\ell$, on 
a 
$< \ell,x > = \sum_1^{\infty} x_ny_n$ si $x=(x_n)_n \in \lun$ et $\exists M>0$ 
tel 
que $\forall x \in \lun$, $\vert <\ell,x > \vert \leq M \Vert x \Vert_1$. En 
particulier pour $x=e^n$, on obtient $\vert <\ell,e^n>\vert = \vert y_n \vert 
\leq 
M$ et $y \in \linf$. Donc $\ell = \Lambda_y$ et $\Lambda$ est bijective. Par 
l'exercice 11 chap.II, on conclut que $\Lambda$ est un isomorphisme d'espaces de 
Banach.\\
3) Soit $(x^n)_{n \geq 1}$ une suite d'\'el\'ements de $\lun$ telle que $x^n 
\rightharpoonup 0$ dans $\lun$ faible $\Longleftrightarrow$ $\forall y \in \linf 
<y,x^n> \rightarrow <y,0>=0$ $\Longleftrightarrow$ $\sum_1^{\infty} x_i^n y_i 
\rightarrow 0$, $\forall y=(y_i)_i \in \linf$.\\
4) Soit $(x^n)_{n \geq 1}$ une suite d'\'el\'ements de 
$\lun$ telle que $x^n \rightharpoonup 0$ dans $\lun$ faible.\\

a) On montre facilement que $d$ est une distance sur $K$.\\

b) On veut montrer que $\exists \ep > 0$ et $\exists y^1,...,y^n \in \lun$ tels 
que 
$$V=\{ g \in K : \vert < g-f,y^i> \vert < \ep, \forall i=1,...,n \} \subset 
\Omega.$$ 
On a $$d(f,g) = \sum_1^n \frac{1}{2^i} \vert f_i-g_i \vert + \sum_{i \geq n+1} 
\frac{1}{2^i} \vert f_i-g_i \vert\,\, \mbox{et}\,\, \sum_{i \geq n+1} 
\frac{1}{2^i} \vert f_i-g_i 
\vert \leq 2 \sum_{i \geq n+1} \frac{1}{2^i} = \frac{1}{2^{n-1}},$$ pour $f,g \in 
K$. 
Soient donc $\ep$ et $n$ tels que $\ep + \frac{1}{2^{n-1}} < r$ et $y^i=e^i$ pour 
$1\leq i \leq n$, alors 
$$\sum_1^n \frac{1}{2^i} \vert f_i-g_i \vert = \sum_1^n \frac{1}{2^i} \vert 
<f-g,e^i> \vert \leq \ep \sum_1^n \frac{1}{2^i} \leq \ep,$$ si $g \in V$. D'o\`u 
$d(f,g) \leq \ep + \frac{1}{2^{n-1}} < r$, $\forall g \in V$ donc $V \subset 
\Omega$.\\

c) La question pr\'ec\`edente montre que l'application $id : 
(K,\sigma(\linf,\lun)) 
\rightarrow (K,d)$ est continue. Or $K$ est compacte faible $\star$, donc$(K,d)$ 
est 
compact.\\

d) Soit $\ep > 0$ fix\'e. Soit $A_n = \{ f \in \linf : \vert <f,x^n > \vert \leq 
\ep 
\}$ alors $A_n$ est ferm\'e faible $\star$, et $F_k = K \cap \bigcap_{n \geq k} 
A_n$ 
est aussi ferm\'e faible $\star$ dans $K$ compact donc $F_k$ est compact 
faible $\star$. Son image par $id : (K,\sigma(\linf,\lun)) \rightarrow (K,d)$ 
(qui 
est continue) est compacte donc ferm\'ee dans $(K,d)$. \\
$K = \bigcup_k F_k $ car $<f,x^n> \rightarrow 0$, $\forall f \in \linf$. Enfin, 
$(K,d)$ m\'etrique compact est complet, on peut donc appliquer le lemme de Baire : 
il 
existe 
$k_0$ tel que Int$F_{k_0} \not= \emptyset$. Donc il existe $f_0 \in K$, $\exists 
\rho > 0$ tels que $K \cap B_d(f_0,\rho) \subset F_{k_0}$.\\

e) En choisissant $f$ comme dans l'\'enonc\'e, on a,
$$d(f,f^0) \leq 2 \sum_{i=N+1}^{\infty} \frac{1}{2^i} = \frac{1}{2^{N-1}} < 
\rho.$$
Donc $f \in F_{k_0}$ et
$$\vert <f,x^n> \vert = \vert \sum_1^N f_0^i x_i^n + \sum_{i=N+1}^{\infty} (\pm 
x_i^n) \vert \leq \ep,\quad \forall n \geq k_0.$$
$\Longrightarrow$
$$\sum_{i=N+1}^{\infty} \vert x_i^n \vert \leq \ep + \sum_1^N \vert f_0^i x_i^n 
\vert \leq \ep + \sum_1^N \vert x_i^n \vert,$$
car $f^0 \in K$, d'o\`u
$$\sum_{i=1}^{\infty} \vert x_i^n \vert \leq \ep + 2 \sum_1^N \vert x_i^n 
\vert,\quad \forall n \geq k_0.$$

f) i \'etant fix\'e, $x_i^n \rightarrow 0$ car $x_i^n = < e^i,x^n >$, donc 
$\exists I$ tel que $\forall n \geq I$, $\vert x_i^n \vert \leq \frac{\ep}{2N}$. 
D\`es que $n \geq \max(k_0,I)$, on a $\Vert x^n \Vert_1 \leq 2\ep$ d'o\`u $x^n 
\rightarrow 0$ dans $\lun$. \\
5) Comme $\lun$ n'est pas de dimension finie, les topologies faibles et fortes ne 
sont pas \'equivalentes et cette application ne peut donc pas \^etre continue.
\\ \\
\section{Chapitre IV}
{ \bf Exercice 1} 
\\ \\
$E \subset {(E_{w\star}^{\prime})}^{\prime}$ :\\
Soit $x \in E$ alors $V = \{ f \in E^{\prime} : \vert <f,x> \vert < \ep \}$ est 
un voisinage faible-$\star$ de $0$ dans $E^{\prime}$. Donc $f \mapsto <f,x>$ est 
continue sur $E_{w\star}^{\prime}$, d'o\`u $x \cong J(x) \in 
{(E_{w\star}^{\prime})}^{\prime}$.\\
${(E_{w\star}^{\prime})}^{\prime} \subset E$ :\\
Soit $\vfi \in {(E_{w\star}^{\prime})}^{\prime}$ et soit $\ep > 0$ alors $\exists 
\Omega$ voisinage faible-$\star$ de $0$ dans $E^{\prime}$ tel que 
$$ f \in \Omega \Longrightarrow \vert <\vfi,f> \vert < \ep.$$
On peut toujours choisir $\Omega = \{ g \in E^{\prime} : \vert <g,x_i> \vert < 
\beta,\,i=1,...,n \}$ o\`u $\beta > 0$ et pour $i=1,...,n$, $x_i \in E$. Mais 
$J(x_i) \in E^{\prime \prime}$ et $$\vert < J(x_i),g> \vert < \beta,\, \forall 
i=1,...,n \Longrightarrow \vert <\vfi,g> \vert < \ep.$$
Donc $g \in \bigcap_i \ker J(x_i)$ $\Longrightarrow$ $\vert <\vfi,g> \vert < 
\ep$, 
d'o\`u $\bigcap_i \ker J(x_i) \subset \ker \vfi$. D'apr\`es l'exercice 2, question 
3), $\exists 
\lambda_1,...,\lambda_n \in \RR$ tels que $\vfi = \sum_1^n \lambda_i J(x_i) = 
J(\sum_1^n \lambda_i x_i).$ Soit $x = \sum_1^n \lambda_i x_i \in E$ alors $\vfi = 
J(x)$, d'o\`u le r\'esultat.
\\ \\
{ \bf Exercice 2}
\\ \\
Soit $f_n : E \longrightarrow \RR$ telle que $f_n(x)=x_n$ si $x=(x_n)_n$. Alors 
$f_n \in E^{\prime}$ et $\Vert f_n \Vert = 1$. Si il existe une sous-suite 
$(f_{nk})_{nk}$ qui converge vers un $f$ dans $E_{w\star}^{\prime}$ alors 
$\forall x \in E$, $<f_{nk},x> = x_{nk} \longrightarrow <f,x>$ quand $k$ tend 
vers $+ \infty$. Donc en fait il s'agit de trouver une suite de r\'eels qui ne 
converge pas...c'est facile. Par exemple, soit $x = (x_n)_n$ tel que 
$x_{nk}=(-1)^k$ et $x_n = 0$ ailleurs, alors $x \in \linf$ et $<f_{nk},x> = 
(-1)^k$ ne converge pas. Donc il n'existe pas de sous-suites faiblement-$\star$ 
convergente bien que $(f_n)_n$ soit dans un compact faible-$\star$. Mais ce 
compact n'est pas m\'etrisable, on peut en conclure par exemple que $\linf$ n'est 
pas s\'eparable ni r\'eflexif. 
\\ \\
{ \bf Exercice 3} 
\\ \\
1) $K \subset \bigcup_{n>0} B(0,n)$ et K compact $\Longrightarrow$ $\exists N$ 
tel que $K \subset B(0,N)$.\\
2) $\forall x \in B_E$, $Tx$ est dans un compact donc $\exists N$ tel que $Tx \in 
B(0,N)$ $\Longrightarrow$ $\Vert Tx \Vert \leq N$.\\
3) Soit $(x_n)_n \in E$ telle que $x_n$ converge faiblement vers $x \in E$, alors 
$\Vert x_n \Vert$ est born\'ee donc $\exists R>0$ tel que $\forall n$, $x_n \in 
\overline{B} (0,R)$. Comme $T$ est compacte, $(Tx_n)_n$ est dans un compact fort 
et il existe une sous-suite $(Tx_{nk})_{k}$ qui converge fortement vers $y \in 
F$. D'autre part $T$ est lin\'eaire continue donc continue de E faible dans F 
faible et $Tx_{nk} \rightharpoonup Tx$ d'o\`u $y = Tx$. $Tx$ est la seule valeur 
d'adh\'erence de la suite $(Tx_n)_n$ donc toute la suite converge vers $Tx$ 
d'o\`u ($\star$).\\
4) Montrons que $T(B_E)$ est ferm\'e. Soit $y_n =Tx_n \in T(B_E)$, on suppose que 
$Tx_n \longrightarrow y$, a-t'on $y=Tx$ o\`u $x \in B_E$ ?\\
E r\'eflexif et $\Vert x_n \Vert \leq 1$, $\forall n$ $\Longrightarrow$ il existe 
une sous-suite $(x_{nk})_{k}$ telle que $x_{nk} \rightharpoonup x$. Alors 
($\star$) $\Longrightarrow$ $Tx_{nk} \longrightarrow Tx$ donc $y=Tx$ et $\Vert x 
\Vert \leq \liminf \Vert x_{nk} \Vert \leq 1$ et $T(B_E)$ est ferm\'e.\\
Soit encore $y_n =Tx_n \in T(B_E)$, alors E r\'eflexif $\Longrightarrow$ $x_{nk} 
\rightharpoonup x$ et $Tx_{nk} \longrightarrow Tx$ donc $Tx$ est valeur 
d'adh\'erence de $(y_n)_n$ et $T(B_E)$ est compact.\\
5) Soit $B = \{x \in \ker (Id-T) : \Vert x \Vert \leq 1 \}$. Soit $(x_n)_n \in B$ 
alors de $\Vert x_n \Vert \leq 1$ et $T$ compact, on d\'eduit qu'il existe une 
sous-suite $x_{nk}=Tx_{nk}$ qui converge vers $y$. Il est clair que $y \in B$ 
donc $B$ est compact et dim$\ker (Id-T) < \infty$.
\\ \\
{ \bf Exercice 4} 
\\ \\ 
On d\'efinit $J : E \longrightarrow \Epp$ par
$${<Jx,f>}_{\Epp,\Ep} = {<f,x>}_{\Ep,E} \quad \forall x \in E,\,\,\forall f \in 
\Ep.$$
On a $\Vert Jx \Vert = \sup_{\Vert f \Vert \leq 1} \vert <f,x> \vert = \Vert x 
\Vert$ par Hahn-Banach, 
donc J est lin\'eaire isom\'etrique. \\
Ici, E est r\'eflexif donc J est surjective i.e. $J(E)= \Epp$.\\
Si $f \in E^{\prime}$ alors $\Vert f \Vert = \sup_{\Vert x \Vert \leq 1} \vert 
<f,x> \vert = \sup_{\Vert \xi \Vert \leq 1} \vert <\xi,f> \vert$ car $J$ est 
isom\'etrique et surjective. \\
Par Hahn-Banach, $\sup_{\Vert \xi \Vert \leq 1} \vert <\xi,f> \vert = \max_{\Vert 
\xi \Vert \leq 1} \vert <\xi,f> \vert$ et donc $\exists x_0 \in E$ tel que $\Vert 
x_0 \Vert \leq 1$ et $\Vert f \Vert = \vert <f,x_0> \vert$.
\\ \\
{ \bf Exercice 5}
\\ \\
On peut v\'erifier facilement que si $\vfi_n$ converge faiblement vers $\vfi$ 
alors elle converge simplement sur $[0,1]$ vers $\vfi$ et donc n\'ecessairement 
$\vfi(x) = 0$ si $x \not= 0$ et $\vfi(0) = 1$, donc $\vfi$ n'est pas continue, ce 
qui est impossible. On peut en conclure que E n'est pas r\'eflexif.
\\ \\
\section{Chapitres V et VI}
{ \bf Exercice 1}
\\ \\
1) On a $\chi_n(x) \geq 0$, $\int_{\RR} \chi_n = 1$, $\chi_n \longrightarrow 0$ 
p.p. et $\int_{\RR} \chi_n^2 = \frac{1}{2n} \longrightarrow 0$. Donc $\chi_n 
\longrightarrow 0$ dans $L^2(\RR)$ et $\chi_n \not\longrightarrow 0$ dans 
$L^1(\RR)$.\\
2) L'ensemble $L^1(\RR)\cap L^2(\RR)$ est dense dans $L^2(\RR)$ car contient 
${\cal C}_c(\RR)$ par exemple. Soit $E = \{ f \in L^1(\RR)\cap L^2(\RR) : 
\int_{\RR} f(x)\;dx = 0 \}$. Si $f \in L^1(\RR)\cap L^2(\RR)$ alors $g_n = f - 
(\int_{\RR} f) \chi_n \in E$ et $f-g_n = (\int_{\RR} f) \chi_n \longrightarrow 0$ 
dans $L^2(\RR)$. Donc $E$ est dense dans $L^2(\RR)$.
\\ \\
{ \bf Exercice 2}
\\ \\
Soit $ f \in L^1(\Om)$ avec $\vert f \vert \leq M$ p.p. alors $\int_A \vert f 
\vert dx \leq M \vert A \vert$ donc pour $\ep>0$, on choisit $\delta \leq 
\frac{\ep}{M}$ et $\vert A \vert \leq \delta \Longrightarrow \int_A \vert f \vert 
dx \leq \ep.$\\
En utilisant le fait que les fonctions continues et born\'ees sont denses dans 
$L^1$, on en d\'eduit le cas g\'en\'eral.
\\ \\
{ \bf Exercice 3} (J.M.Bony, Ecole Polytechnique)
\\ \\
1) Soit $F(x,y)=f(x-y^n)g(y)$ alors $\int_{\RR} \vert F(x,y) \vert dx = \Vert f 
\Vert_{L^1} \vert g(y) \vert$ et 
$$\int_{\RR} (\int_{\RR} \vert F(x,y) \vert dx) dy = \Vert f \Vert_{L^1}\Vert g 
\Vert_{L^1},$$
donc par le Th\'eor\`eme de Fubini-Tonelli, $F \in L^1(\RR \times \RR)$. De plus, 
p.p. x, $x \mapsto \int_{\RR} F(x,y) dy$ est d\'efinie et est dans $L^1(\RR)$. 
Enfin, $\Vert T_n(f) \Vert_{L^1} \leq \Vert f \Vert_{L^1}\Vert g \Vert_{L^1}$.\\
2) On a
\begin{eqnarray*}
\forall x,\quad y&\mapsto& f(x-y^n)g(y) \in L^1(\RR),\\
\mbox{p.p.}y,\quad x&\mapsto& f(x-y^n)g(y) \in {\cal C}(\RR),
\end{eqnarray*}
et $\forall x$, $\vert f(x-y^n)g(y) \vert \leq \Vert f \Vert_{\infty} \vert g(y) 
\vert \in L^1(\RR)$, donc par le Th\'eor\`eme de continuit\'e des int\'egrales 
d\'ependant d'un param\`etre, $T_n(f) \in {\cal C}(\RR)$ et $\forall x$, $\vert 
T_n(f)(x) \vert \leq \Vert f \Vert_{\infty} \Vert g \Vert_{L^1}$ donc $T_n(f)$ 
est born\'ee.\\
3) On \'ecrit $T_n(f)(x) = A_n + B_n$ o\`u $A_n = \int_{\vert y \vert < 1} 
f(x-y^n)g(y) dy$ et $B_n = \int_{\vert y \vert > 1} f(x-y^n)g(y) dy$.\\
Etude de $A_n$ :\\

Quand $n \rightarrow \infty$, $f(x-y^n)g(y) \longrightarrow f(x)g(y)$ p.p. et 
$\vert f(x-y^n)g(y) \vert \leq M \vert g(y) \vert \in L^1$. Par le Th\'eor\`eme 
de convergence domin\'ee, $A_n \longrightarrow f(x) \int_{\vert y \vert < 1} g(y) 
dy$.\\
Etude de $B_n$ :\\

Quand $n \rightarrow \infty$, $x-y^n \longrightarrow \pm \infty$ et par 
hypoth\`ese $f(x-y^n) \longrightarrow 0$ donc $f(x-y^n)g(y) \longrightarrow 0$ 
p.p. Enfin, $\vert f(x-y^n)g(y) \vert \leq M \vert g(y) \vert \in L^1$, donc le 
Th\'eor\`eme de convergence domin\'ee montre que $B_n \longrightarrow 0$.\\
\\
D'o\`u $T_n(f)(x) \longrightarrow C\; f(x)$ avec $C = \int_{\vert y \vert < 1} 
g(y) dy$.\\
\\ \\ 
{ \bf Exercice 4}
\\ \\
Par le Th\'eor\`eme de Fubini, $f,g \in L^1(\RR) \Longrightarrow f\star g \in 
L^1(\RR)$ et $\Vert f\star g \Vert_1 \leq \Vert f \Vert_1 \Vert g \Vert_1$.\\
$(f,g) \mapsto (f\star g)$ est bilin\'eaire donc $\star$ est distributive par 
rapport \`a l'addition. Enfin, il est \'evident que $\star$ est commutative, donc 
il reste \`a voir que $\star$ est associative. Soit $f,g,h \in L^1(\RR)$, en 
appliquant le Th\'eor\`eme de Fubini et en effectuant un changement de variables, 
on a
\begin{eqnarray*}
(f\star g)\star h(x) &=& \int_{\RR} f\star g(x-y) h(y) dy = \int_{\RR} \int_{\RR} 
f(x-y-u)g(u)h(y)dy du,\\
&=& \int_{\RR} \int_{\RR} h(y) g(v-y) f(x-v) dv dy,\\
&=& \int_{\RR} f(x-v) g\star h(v) dv = f\star (g\star h)(x).
\end{eqnarray*}
Supposons maintenant qu'il existe un \'el\'ement neutre $\delta$ pour la 
convolution dans $L^1(\RR)$. Soit $f_n \in {\cal C}(\RR)$, $f_n \geq 0$, de 
support $[-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}]$ et telle que $f_n(0)= \Vert f_n 
\Vert_{\infty} = 1$. Alors $\delta\star f_n \in {\cal C}(\RR)$ et $\forall x \in 
\RR$, $\delta\star f_n(x) = f_n\star \delta (x) = f_n(x)$, donc en particulier
$$f_n\star \delta (0) = f_n(0) = 1 = \int_{\RR} f_n(-y) \delta(y) dy.$$
Soit $g_n(y) = f_n(-y) \delta(y)$ alors $g_n(y) \longrightarrow 0$ p.p. et $\vert 
g_n(y) \vert \leq \vert \delta(y) \vert \in L^1(\RR)$. Le Th\'eor\`eme de 
convergence domin\'ee montre que $\int_{\RR} g_n \longrightarrow 0$, d'o\`u 
contradiction.
\\ \\
{\bf Exercice 5}
\\ \\ 
Comme la suite $f_n$ est de Cauchy, on peut reprendre la d\'emonstration du 
Th\'eor\`eme 6.3 chap. VI,
et extraire une sous-suite $f_{n_k}$ qui converge p.p. vers une limite not\'ee $h_0$ 
(on ne sait pas a priori que $f=h_0$ p.p.). En reprenant les m\^emes notations que dans
 la d\'emonstration du Th\'eor\`eme 6.3, on a de plus,  
p.p. x, $\forall k$, $\vert f_{n_k}(x) - h_0(x) \vert  \leq g(x)$ qui est chapeau 
int\'egrable. Par le Th\'eor\`eme de convergence domin\'ee, il en r\'esulte que $h_0 
\in L^1$
 et $f_{n_k} \longrightarrow h_0$ dans $L^1$. Par cons\'equent $f=h_0$ p.p. 
 La sous-suite est clairement domin\'ee par $h = \vert h_0 \vert +g$.
 \\ \\ 
{ \bf Exercice 6}
\\ \\
$\forall t>0$, $x \mapsto e^{-t}\, t^{x-1}$ est ${\cal C}^{\infty}$ sur 
${\RR}^{+\star}$ et pour $x>0$ fix\'e, $t \mapsto e^{-t}\, t^{x-1} \in 
L^1(]0,+\infty[)$. Enfin, $\forall [a,b] \subset ]0,+\infty[$ et pour tout $x \in 
[a,b]$, 
on a, 
$$\vert e^{-t}\, t^{x-1} \vert \leq \ind_{(0,1)} e^{-t}\, t^{a-1} + 
\ind_{(1,+\infty)} e^{-t}\, t^{b-1} \in L^1(0,+\infty).$$
Par le Th\'eor\`eme de continuit\'e des int\'egrales d\'ependant d'un 
param\`etre, on conclut que $\Gamma$ est continue sur $]0,+\infty[$.\\
$\forall k$, $\frac{\partial}{\partial x^k} (e^{-t}\, t^{x-1}) = e^{-t}(\log t)^k 
t^{x-1}$ et
$$\vert \frac{\partial}{\partial x^k} (e^{-t}\, t^{x-1}) \vert \leq \ind_{(0,1)} 
e^{-t}\vert \log t\vert^k t^{a-1} + \ind_{(1,+\infty)} e^{-t}\vert \log t \vert^k 
t^{b-1} \in L^1(0,+\infty),$$
$\forall x \in [a,b] \subset ]0,+\infty[$. Donc le Th\'eor\`eme de d\'erivation 
sous le signe somme montre que $\Gamma$ est ${\cal C}^k$ sur $]0,+\infty[$, 
$\forall k$, donc est ${\cal C}^{\infty}$ sur $\RR^{+\star}$.
\\ \\
{ \bf Exercice 7} 
\\ \\
1) On suppose $\theta \in ]0,1[$. On peut toujours \'ecrire
$$\int \vert f \vert^r = \int \vert f \vert^{r\theta} \vert f 
\vert^{(1-\theta)r}.$$
Posons $g = \vert f \vert^{r\theta}$ et $h = \vert f \vert^{(1-\theta)r}$ alors 
$g 
\in 
L^{\frac{p}{r\theta}}$ et $h \in L^{\frac{q}{(1-\theta)r}}$ o\`u 
$\frac{r\theta}{p} 
+ 
\frac{(1-\theta)r}{q} = 1$. Par l'in\'egalit\'e de H\"{o}lder, on obtient
$$\int gh \leq \Vert g \Vert_{\frac{p}{r\theta}}\,\Vert h 
\Vert_{\frac{q}{(1-\theta)r}},$$
c'est \`a dire
$$ \int \vert f \vert^r \leq {(\int \vert f \vert^p)}^{\frac{r\theta}{p}} + 
{(\int 
\vert f \vert^q)}^{\frac{(1-\theta)r}{q}}.$$
2) Si $E = \bigcup_n E_n$ et $E_n$ ferm\'e dans $(E,\Vert\,\Vert_1)$ alors 
$(E,\Vert\,\Vert_1)$ \'etant complet, on peut appliquer le lemme de Baire et 
$\exists n_0$ tel que int$(E_{n_0}) \not= \emptyset$. Donc $\exists f \in E$ et 
$\exists r>0$ tels que $B(f,r) \subset E_{n_0}$. Si $g \in E$, $g \not= 0$ alors 
$f+ \frac{r}{2} \frac{g}{\Vert g \Vert_1} \in B(f,r) \subset E_{n_0}$ donc $g 
\in 
L^{1+\frac{1}{n_0}}$ et $\vert \frac{r}{2} \frac{1}{\Vert g \Vert_1} \Vert g 
\Vert_{1+\frac{1}{n_0}} - \Vert f \Vert_{1+\frac{1}{n_0}} \vert \leq n_0$ 
$\Longrightarrow$ $\Vert g \Vert_{1+\frac{1}{n_0}} \leq \frac{4n_0}{r} \Vert g 
\Vert_1$.\\
D'o\`u $id : E, \Vert\,\Vert_1 \longrightarrow L^{1+\frac{1}{n_0}}$ est 
continue.\\
Montrons que $E = \bigcup_n E_n$. Si $f \in E$ alors $\exists q>1$ tel que $f 
\in 
L^1 \cap L^q$. Donc $\exists N_0$ tel que \`a la fois $\Vert f \Vert_1 \leq N_0$ 
et 
$\forall n \geq N_0$, $1+ \frac{1}{n} < q$. Soit $r_n=1+ \frac{1}{n}$ alors par 
1),
$$\Vert f \Vert_{1+\frac{1}{n}} \leq \Vert f \Vert_1^{\theta_n} \Vert f 
\Vert_q^{(1-\theta_n)},\;\;\mbox{o\`u}\;\; \frac{1}{r_n} = \frac{n}{n+1} = 
\theta_n 
+ \frac{1-\theta_n}{q}.$$
Or $\theta_n (1- \frac{1}{q})=\frac{n}{n+1} - \frac{1}{q}$ o\`u $q>1$ donc 
$\theta_n \longrightarrow 1$ et $\Vert f \Vert_1^{\theta_n} \Vert f 
\Vert_q^{(1-\theta_n)} \longrightarrow \Vert f \Vert_1$. Donc $\exists N \geq 
N_0+1$ tel que $\forall n \geq N$ $\Vert f \Vert_{1+\frac{1}{n}} \leq \Vert f 
\Vert_1 + 1 \leq N_0+1 \leq N$ et $f \in E_N$ par exemple. D'o\`u $E = \bigcup_n 
E_n$.\\
Montrons que $\forall n$, $E_n$ est ferm\'e dans $(E,\Vert\,\Vert_1)$. Soit 
$(f_p)_p \subset E_n$ telle que $f_p \longrightarrow f$ dans 
$(E,\Vert\,\Vert_1)$. 
A-t'on $f \in E_n$ ?\\
$\Vert f_p - f \Vert_1 \longrightarrow 0$ $\Longrightarrow$ il existe une 
sous-suite $(f_{p_k})_k$ telle que $f_{p_k} \longrightarrow f$ p.p. (voir l'exercice 5 
chap.VI), donc
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\vert f_{p_k} \vert^{1+\frac{1}{n}} \longrightarrow \vert f 
\vert^{1+\frac{1}{n}}\;\;\mbox{p.p.},\\
\vert f_{p_k} \vert^{1+\frac{1}{n}} \in L^1,\;\vert f_{p_k} 
\vert^{1+\frac{1}{n}} 
\geq 0\;\;\mbox{p.p.},\\
\forall k,\;\;\int \vert f_{p_k} \vert^{1+\frac{1}{n}} \leq n^{1+\frac{1}{n}}.
\end{array}   \right. \]
Le lemme de Fatou montre que $\vert f \vert^{1+\frac{1}{n}} \in L^1$, soit $f 
\in 
L^{1+\frac{1}{n}}$, et 
$$\int \vert f \vert^{1+\frac{1}{n}} \leq \liminf \int \vert f_{p_k} 
\vert^{1+\frac{1}{n}} \leq n^{1+\frac{1}{n}}.$$
Donc $f \in E_n$, et $E_n$ est ferm\'e.
\\ \\
{ \bf Exercice 8} 
\\ \\
1) On a $\Vert f \Vert_p \leq \Vert f \Vert_{\infty} \vert \Om 
\vert^{\frac{1}{p}}$ 
donc $\limsup \Vert f \Vert_p \leq \Vert f \Vert_{\infty}$.\\
Soient $0<k<\Vert f \Vert_{\infty}$ et $A = \{x \in \Om : \vert f(x) \vert > k 
\}$, 
alors $\vert A \vert \not= 0$ et $\Vert f \Vert_p \geq k\,\vert A 
\vert^{\frac{1}{p}}$. Donc $\liminf \Vert f \Vert_p \geq k$ et ceci $\forall k < 
\Vert f \Vert_{\infty}$. D'o\`u $\liminf \Vert f \Vert_p \geq \Vert f 
\Vert_{\infty}$ et $\lim \Vert f \Vert_p  = \Vert f \Vert_{\infty}$.\\
2) Soit $k>C$ et soit $A = \{x \in \Om : \vert f(x) \vert > k \}$ alors 
$$k^p \vert A \vert \leq \Vert f \Vert_p^p \leq C^p\;\;\Longrightarrow \;\; 
\vert A 
\vert \leq \left( \frac{C}{k} \right)^p,\;\;\forall p.$$
Quand $p \rightarrow \infty$, on obtient $\vert A \vert = 0$, donc p.p. x $\vert 
f(x) \vert \leq k$ et $f \in \linf$.\\
3) Soit $f(x) = \log x$, alors $f \not\in \linf(0,1)$. Soit $1 \leq p < +\infty$ 
comme $\sqrt{x} \vert \log x \vert^p \longrightarrow 0$ quand $x \rightarrow 0$, 
$\exists \ep>0$ tel que $\vert x \vert \leq \ep$ $\Longrightarrow$ $\vert \log x 
\vert^p \leq \frac{1}{\sqrt{x}}$. Alors 
$$\vert f(x) \vert^p \leq \frac{1}{\sqrt{x}} \ind_{(0,\ep)} + \vert \log x 
\vert^p  
\ind_{(\ep,1)} \in L^1(0,1),$$
donc $f \in \bigcap_{1 \leq p < \infty} L^p(\Om)$. 
\\ \\
\section{Chapitre VII}
{ \bf Exercice 1} 
\\ \\
1) Soit $(f_n)_n$ une suite de Cauchy dans $E$ alors $(f_n)_n$ est une suite de 
Cauchy 
dans $L^1$ et $L^2$. Donc $\exists f \in L^1$, $\exists g \in L^2$ telles que $f_n 
\longrightarrow f$ dans $L^1$ et $f_n \longrightarrow g$ dans $L^2$. En utilisant 
la 
"r\'eciproque" du Th\'eor\`eme de convergence domin\'ee, on en d\'eduit qu'il 
existe 
une sous-suite $(f_{n_k})_{k}$ telle que $f_{n_k} \longrightarrow f$ p.p. et 
$f_{n_k} 
\longrightarrow g$ dans $L^2$, donc il existe une sous-suite $(f_{n_{k_l}})_{l}$ 
telle 
que $f_{n_{k_l}} \longrightarrow g$ p.p. D'o\`u $f=g$ p.p. et $f_n \longrightarrow 
f$ 
dans $E$, donc $E$ est un espace de Banach.\\
En appliquant l'in\'egalit\'e de H\"{o}lder, on obtient
$$\vert \int_{\RR} f(x) u(x) dx \vert \leq \Vert f_1 \Vert_{\infty} \Vert u \Vert_1 
+ 
\Vert f_2 \Vert_2 \,\Vert u \Vert_2 \leq (\Vert f_1 \Vert_{\infty}+\Vert f_2 
\Vert_2)\, 
\Vert u \Vert.$$
Donc $u \mapsto \int fu dx \in \Ep$.\\ 
2) Soit $0 < \alpha < \frac{1}{2}$, on peut toujours \'ecrire
$$\int_{\RR} \frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}}\, u dx = \int_{[\vert x \vert > M]} 
\frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}}\, u dx + \int_{[\vert x 
\vert \leq M]} \frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}}\, u dx.$$
Soient $f_1(x) = \frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}} \ind_{[\vert x \vert > M]}$ et 
$f_2(x) = \frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}} \ind_{[\vert x \vert \leq M]}$, alors 
$\alpha > 0 \Longrightarrow f_1 \in \Linf(\RR)$ et $2\alpha < 1 \Longrightarrow f_2 
\in L^2(\RR)$. La question 1) permet alors de conclure.\\
3) $K$ est \'evidemment convexe, montrons qu'il est ferm\'e. Soit $(u_n)_n \subset 
K$ 
telle que $u_n \longrightarrow u$ dans $E$, alors $u_n \longrightarrow u$ dans 
$L^1$ 
donc $\int u_n \longrightarrow \int u$ et on en d\'eduit que $\int u \leq 1$. La 
convergence dans $L^1$ implique aussi qu'il existe une sous-suite $(u_{n_k})_{k}$ 
telle que $u_{n_k} \longrightarrow u$ p.p. donc $u \geq 0$ p.p. et on en conclut 
que 
$u 
\in K$. Donc $K$ est ferm\'e.\\
4) Posons $K_0 = \{ u \in L^2 : u \geq 0 \,\mbox{p.p.} \}$ alors $K_0$ est un 
convexe 
ferm\'e fort de $L^2$ donc ferm\'e faible de $L^2$, donc $u \in K_0$. Il reste \`a 
montrer que $u \in L^1$ et $\int u \leq 1$.\\
Soit $A$ un ensemble mesurable de mesure finie (notation $\vert A \vert < \infty$), 
alors $\ind_A \in L^2$ et $u_n \rightharpoonup u$ dans $L^2$ faible 
$\Longrightarrow$ 
$\int \ind_A u_n \longrightarrow \int \ind_A u$. Or $\int \ind_A u_n \leq \int u 
\leq 
1$ donc $\forall A$ tel que $\vert A \vert < \infty$, $\int_A u \leq 1$. Pour 
passer 
\`a $\RR$ tout entier, on utilise le lemme de Fatou.\\
Soit $v_n = \ind_{(-n,n)} u$ alors $v_n \in L^1$, $v_n \geq 0$ p.p., $v_n 
\longrightarrow u$ p.p. et $\sup_n \int v_n \leq 1$, donc par le lemme de Fatou, on 
en 
d\'eduit que $u \in L^1$ et $\int u \leq \liminf \int v_n \leq 1$. Donc $u \in 
K$.\\
5) Soit $M>0$, alors
\begin{eqnarray*}
\vert  \int_{\RR} \frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}} \,(u_n - u) \vert &\leq& \vert 
\int_{[\vert x \vert \leq M]} \frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}} \,(u_n - u) \vert + 
\vert \int_{[\vert x \vert > M]} \frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}}\, (u_n - u) 
\vert,\\
&\leq& \vert \int_{[\vert x \vert \leq M]} \frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}}\, (u_n 
- 
u) \vert + \frac{1}{M^{\alpha}} (\Vert u_n \Vert_1 + \Vert u \Vert_1),\\
&\leq& \vert \int_{[\vert x \vert \leq M]} \frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}}\, (u_n 
- 
u) \vert + \frac{2}{M^{\alpha}},
\end{eqnarray*}
puisque $u_n,u \in K$. \\
Comme $u_n$ converge faiblement vers $u$ dans $L^2$, $$\int_{[\vert x \vert \leq 
M]} 
\frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}}\, (u_n - u) \longrightarrow 0.$$
Donc en prenant la lim sup sur $n$, on obtient
$$\limsup \vert  \int_{\RR} \frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}} \,(u_n - u) \vert \leq 
\frac{2}{M^{\alpha}},$$ et ceci $\forall M>0$. En faisant tendre $M$ vers 
$+\infty$, on 
a $\limsup \vert  \int \frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}} \,(u_n - u) \vert = 0$ 
d'o\`u
$$\int \frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}}\, u_n \longrightarrow \int \frac{1}{\vert x 
\vert^{\alpha}}\, u.$$
6) On peut \'ecrire, par exemple, pour $u \in K$,
$$\int_{\RR} \frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}}\, u = \int_{[\vert x \vert \leq 1]} 
\frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}}\, u + \int_{[\vert x \vert > 1]} \frac{1}{\vert x 
\vert^{\alpha}}\, u \leq {\cal C}_0\,\Vert u \Vert_2 + \Vert u \Vert_1 \leq C\,\Vert u 
\Vert_1 + 1,$$
o\`u ${\cal C}_0 = \Vert \ind_{[\vert x \vert \leq 1]} \frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}} 
\Vert_2$. Alors pour $u \in K$, on a
$$J(u) \geq \Vert u \Vert_2^2 - {\cal C}_0\,\Vert u \Vert_2 - 1 \geq C,$$
o\`u $C$ est une constante ind\'ependante de $u \in K$. (Par exemple $C = 
-(1+\frac{{\cal C}_0^2}{4})$ convient.)\\
7) Soit $(u_n)_n \subset K$, une suite minimisante, par exemple telle que $m \leq 
J(u_n) \leq m + \frac{1}{n}$. D'apr\`es la question 6), on a 
$$\Vert u_n \Vert_2^2 - {\cal C}_0\,\Vert u_n \Vert_2 - 1 \leq J(u_n) \leq m+1,\quad 
\forall 
n,$$
donc n\'ecessairement $\Vert u_n \Vert_2$ reste born\'ee, donc $\exists M_0$ tel 
que 
$\forall n$, $\Vert u_n \Vert_2 \leq M_0$ alors $\Vert u_n \Vert \leq M_0 + 1$.\\
8) La suite $(u_n)_n$ est born\'ee dans $L^2$ r\'eflexif, donc il existe une 
sous-suite $(u_{n_k})_{k}$ telle que $u_{n_k} \rightharpoonup u$ dans $L^2$ faible 
et 
$u_{n_k} \in K$. Alors la question 4) montre que $u \in K$ et la question 5) montre 
que $\int \frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}} u_{n_k} \longrightarrow \int 
\frac{1}{\vert 
x \vert^{\alpha}} u$. \\
D'autre part,
$$J(u_{n_k}) \leq m + \frac{1}{n_k}\;\;\mbox{donc}\;\; \Vert u_{n_k} \Vert_2^2 \leq 
m 
+ \frac{1}{n_k} + \int \frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}} u_{n_k}.$$
On prend les lim inf dans cette in\'egalit\'e, on obtient $\liminf \Vert u_{n_k} 
\Vert_2^2 \leq m + \int \frac{1}{\vert x \vert^{\alpha}} u$. Comme $\Vert \; 
\Vert_2^2$ est s.c.i. faible, on a $\Vert u \Vert_2^2 \leq \liminf \Vert u_{n_k} 
\Vert_2^2$, donc finalement $\Vert u \Vert_2^2 \leq m + \int \frac{1}{\vert x 
\vert^{\alpha}} u$, soit $J(u) \leq m$. D'o\`u $J(u) = m$.\\
9) La r\'eponse est non. En effet supposons $E$ r\'eflexif. Soit $f_n = 
\ind_{(n,n+1)}$ alors $\Vert f_n \Vert_1 = \Vert f_n \Vert_2 = 1$ donc $\Vert f_n 
\Vert = 2$. Si $E$ est r\'eflexif alors il existe une sous-suite $(f_{n_k})_{k}$ 
telle 
que $f_{n_k} \rightharpoonup f$ dans $E$ faible.\\
Soit $g \equiv 1$ alors $g \in \Linf(\RR)$ et $u \mapsto \int gu \in \Ep$ donc $ 1 
= 
\int f_{n_k} \longrightarrow \int f$, d'o\`u $\int f = 1$.\\
Soit $g \in {\cal C}_c(\RR)$ alors $u \mapsto \int gu \in \Ep$ et $\int g f_{n_k} 
\longrightarrow \int gf$. Or, $\exists N$ tel que supp$(g) \subset 
\overline{B}(0,N)$ 
et si $k \geq k_0$, $n_k > N$, donc $f_{n_k} \equiv 0$ sur supp$(g)$ et $\int g 
f_{n_k} = 0$, ceci pour tout $k \geq k_0$. On en d\'eduit que $\int fg = 0$, 
$\forall 
g \in {\cal C}_c(\RR)$ donc $f = 0$ p.p. or $\int f = 1$, c'est absurde.
\\ \\
{ \bf Exercice 2}
\\ \\ 
On pose $K = \{ u \in L^p(\Om);\, u \geq f\,p.p.\,\}$.\\
1) $K$ est convexe ferm\'e fort donc ferm\'e faible.\\
2) a) Posons $K_{\vfi} = \{ u \in L^{\infty}(\Om) : \int_{\Om} u\vfi \geq 
\int_{\Om} f\vfi \}$ o\`u $\vfi \in L^1$, $\vfi \geq 0$ p.p. et est telle que 
$f\vfi 
\in L^1$.\\
Soit $K_0 = \bigcap_{\vfi \in \Phi} K_{\vfi}$ o\`u l'intersection est prise sur 
l'ensemble $\Phi = \{ \vfi \in L^1,\,\vfi \geq 0,\,f\vfi \in L^1 \}$. \\
Montrons que $K = K_0$. Il est clair que $K \subset K_0$. Soit donc $u \in K_0$, 
alors $\forall \vfi \in L^1$ telles que $\vfi \geq 0$ p.p. et  $f\vfi \in L^1$, 
on 
a $\int u \vfi \geq \int f \vfi$.\\
Soit $\Om_n = \{ x : \vert f(x) \vert < n \}$ et soit $E = \{ x : u(x) < f(x) 
\}$, 
on 
va montrer que $\vert E \vert = 0$.\\
Supposons d'abord $\vert \Om \vert < \infty$.\\
On a $\Om = \bigcup_n\! \!\uparrow\!\Om_n$. Soit $\vfi = \ind_{E\cap \Om_n}$, 
alors 
$\vfi 
\in L^1(\Om)$ car $\vert \Om \vert < \infty$, $\vfi \geq 0$ p.p. et $f\vfi \in 
L^1$ 
car $\vert f \vert < n$. Alors
$$\int_{E\cap \Om_n} (u - f) \vfi = \int_{\Om} (u - f) \vfi \geq 0.$$
Or $u-f < 0$ sur $E\cap \Om_n$ donc n\'ecessairement $\vert E\cap \Om_n \vert = 
0$ 
et ceci $\forall n$, donc $E = \cup_n (E\cap \Om_n)$ est n\'egligeable.\\
Si $\vert \Om \vert = + \infty$, alors $\Om = \cup_k \!\!\uparrow\! \om_k$ o\`u 
$\om_k 
= 
\Om \cap B(0,k)$. On se restreint donc \`a $\om_k$, $\vert \om_k \vert < \infty$ 
et 
$E = \bigcup_{n,k} E_{n,k}$ o\`u $E_{n,k} = E\cap \Om_n \cap \om_k$.\\
Soit $\vfi = \ind_{E_{n,k}}$ alors comme tout \`a l'heure, $\vfi \in L^1(\Om)$, 
$\vfi \geq 0$ p.p., $f\vfi \in L^1$ et on montre de la m\^eme fa\c{c}on que 
ci-dessus que $E_{n,k}$ est n\'egligeable. Donc $E$ est n\'egligeable comme 
union 
d\'enombrable d'ensembles n\'egligeables. On en conclut que $u \in K$ d'o\`u $K 
= 
K_0$.\\
b) Si $\vfi \in L^1$, $u \mapsto \int u\vfi$ est continue sur $\linf$ pour la 
topologie faible $\star$ donc $K_{\vfi}$ est ferm\'e faible $\star$ et $K = 
\bigcap_{\vfi \in \Phi} K_{\vfi}$ est ferm\'e faible $\star$.\\
c) Les boules ferm\'ees sont compactes faible $\star$ et $K \subset 
\overline{B}(0, 
\Vert f_1 \Vert_{\infty} + \Vert f_2 \Vert_{\infty})$ donc $K$ est compact 
faible 
$\star$.\\
\\ \\
{ \bf Exercice 3} 
\\ \\
Soit $\ep>0$, $\exists g \in {\cal C}_c^{\infty}(\RR)$ telle que $\Vert f-g 
\Vert_1 
\leq \ep$ et supp$(g) \subset K$ compact fixe. On peut \'ecrire
$$\Vert \tau_{y_1}f - \tau_{y_2} f \Vert _1 \leq \Vert \tau_{y_1}f - \tau_{y_1}g 
\Vert _1 + \Vert \tau_{y_1}g - \tau_{y_2}g \Vert _1 + \Vert \tau_{y_2}g - 
\tau_{y_2} 
f \Vert _1.$$
L'invariance de la mesure de Lebesgue par translation entrainne que $\Vert 
\tau_{y}f 
- \tau_{y}g \Vert_1 = \Vert f-g \Vert_1$, $\forall y$, donc on obtient
$$\Vert \tau_{y_1}f - \tau_{y_2} f \Vert _1 \leq 2\ep + \Vert \tau_{y_1}g - 
\tau_{y_2}g \Vert _1.$$
La fonction $g$ \'etant uniform\'ement continue, $\exists \delta>0$ (on peut 
supposer $\delta \leq 1$), tel que $\forall x$,\\
$\forall \vert y_1 - y_2 \vert \leq 
\delta$, $\vert g(x-y_1) - g(x-y_2) \vert \leq \frac{\ep}{C}$ o\`u $C = \vert 
K+\overline{B}(0,1)\vert$. Alors
$$\int_{\RR} \vert \tau_{y_1}g - \tau_{y_2}g \vert dx = 
\int_{K+\overline{B}(0,\delta)} \vert g(x+y_2-y_1)-g(x) \vert dx \leq \ep.$$
(Si $x \not\in K+\overline{B}(0,1)$, alors $x \not\in K$ et $\forall \vert y_1 - 
y_2 
\vert \leq \delta$, $x+y_2-y_1 \not\in K+\overline{B}(0,\delta)$ donc 
l'int\'egrale 
ci-dessus est nulle.)
\\ \\ 
{ \bf Exercice 4}
\\ \\
1) Par la propri\'et\'e d'absolue continuit\'e, on sait que si $\ep>0$, $\exists 
\delta>0$ tel que $\forall A$ mesurable $\subset \Om$ 
avec 
$\vert A \vert \leq \delta$, on ait $\int_A \vert f \vert^p \leq \ep$.\\
Pour ce $\delta$, on applique le Th\'eor\`eme d'Egoroff, comme $f_n 
\longrightarrow 
f$ p.p., $\exists A$ mesurable $\subset \Om$ tel que $\vert A \vert \leq \delta$ 
et 
$f_n \longrightarrow f$ uniform\'ement sur $\Om \setminus A$. Donc,
$$\int_{\Om \setminus A} \vert f_n -f \vert^p \leq \vert \Om \setminus A \vert 
\Vert 
f_n -f \Vert_{\linf(\Om \setminus A)} \longrightarrow 0,$$
puisque $\vert \Om \setminus A \vert < \infty$.
$$\int_A \vert f_n -f \vert^p \leq 2^p \int_A \vert f_n \vert^p + 2^p \int_A 
\vert f 
\vert^p \leq 2^p \int_A \vert f_n \vert^p + 2^p \ep.$$
Mais,
$$\int_A \vert f_n \vert^p = \int_{\Om} \vert f_n \vert^p - \int_{\Om \setminus 
A} 
\vert f_n \vert^p,$$
avec $\int_{\Om} \vert f_n \vert^p \longrightarrow \int_{\Om} \vert f \vert^p$ 
par 
hypoth\`ese et $\int_{\Om \setminus A} \vert f_n \vert^p \longrightarrow 
\int_{\Om 
\setminus A} \vert f \vert^p$ car il y a convergence uniforme sur $\Om \setminus 
A$. 
Donc $\int_A \vert f_n \vert^p \longrightarrow \int_A \vert f \vert^p \leq \ep$. 
D'o\`u pour $n$ assez grand $\int_A \vert f_n \vert^p \leq 2\ep$ et $\int_{\Om 
\setminus A} \vert f_n -f \vert^p \leq \ep$, on en d\'eduit que $\int_{\Om} 
\vert 
f_n -f \vert^p \leq 2^p(2\ep) + 2^p \ep + \ep$. \\
Remarque : \\
Sans supposer $\Om$ born\'e, on peut d\'emontrer ce r\'esultat de la fa\c{c}on 
suivante :\\
Soit $g_n = \alpha_p (\vert f \vert^p + \vert f_n \vert^p) - \vert f-f_n 
\vert^p$ o\`u $\alpha_p = 2^{p-1}$, on lui applique le lemme de Fatou et on 
obtient $\limsup \Vert f-f_n \Vert_p^p \leq 0$ d'o\`u la convergence dans 
$L^p$.\\
2) Soit $\vfi \in L^{p^\prime}$, on veut montrer que $\int_{\Om} (f_n-f) \vfi 
\longrightarrow 0$.\\
Soit $\ep>0$, $\exists \delta>0$ tel que $\forall A$ mesurable $\subset \Om$ 
avec 
$\vert A \vert \leq \delta$, on ait $\Vert \vfi \Vert_{L^{p^{\prime}}(A)} \leq 
\ep$ 
et par le Th\'eor\`eme d'Egoroff, $\exists A$ mesurable $\subset \Om$ tel que 
$\vert 
A \vert \leq \delta$ et $f_n \longrightarrow f$ uniform\'ement sur $\Om 
\setminus A$. 
Alors
$$\int_{\Om \setminus A} \vert f_n -f \vert \vert \vfi \vert \leq \Vert f_n -f 
\Vert_{\linf(\Om \setminus A)} \Vert \vfi \Vert_{p^{\prime}} \vert \Om \setminus 
A 
\vert^{\frac{1}{p}} \leq \ep,$$
si $n$ est assez grand. D'autre part,
$$\int_A \vert f_n -f \vert \vert \vfi \vert \leq \Vert f_n -f \Vert_p\, \ep 
\leq (C+ 
\Vert f \Vert_p) \ep.$$
Donc pour $n$ assez grand, $\vert \int_{\Om} (f_n - f) \vfi \vert \leq \ep + (C+ 
\Vert f \Vert_p) \ep$ donc $f_n \rightharpoonup f$ dans $L^p$ faible.\\
3) Soit $f_n = n \ind_{(0,\frac{1}{n})}$ alors $f_n \longrightarrow 0$ p.p. et 
$\Vert f_n \Vert_1 = 1$. Si $f_n$ converge faiblement vers $0$ alors $\forall 
\vfi 
\in \linf$, $\int_0^1 f_n \vfi \longrightarrow 0$, or pour $\vfi \equiv 1$, on a 
$\int f_n \vfi = 1$, c'est absurde. 
\\ \\
{ \bf Exercice 5}
\\ \\
Premi\`ere partie :\\
1) Comme $\Om$ est born\'e, on peut recouvrir $\Om$ par un nombre fini de boules 
de 
mesure $< \delta$ o\`u $\delta$ correspond \`a $\ep = 1$ par exemple.\\
2) On suppose que que $(f_n)_n$ est \'equi-int\'egrable. Soient $\ep>0$ et 
$\delta>0$ 
donn\'e par l'\'equi-int\'egrabilit\'e, on a
$$\mbox{mes}[\vert f_n \vert > k ] \leq \frac{1}{k} \int_{\Om} \vert f_n \vert 
\leq 
\frac{1}{k} \sup_n \Vert f_n \Vert_1 \leq \frac{C}{k},$$
par 1). Et $\exists k_0$ tel que $\forall k \geq k_0$, $\frac{C}{k} < \delta$ 
alors 
$\forall n$,
$$\int_{[\vert f_n \vert > k]} \vert f_n \vert < \ep,\;\;\forall k \geq k_0.$$
D'o\`u le r\'esultat.\\
On suppose maintenant que
$$\lim_{k \rightarrow +\infty} (\sup_{n \geq 1} \int_{[\vert f_n \vert > k]} 
\vert 
f_n 
\vert dx) = 0.$$
Soit $\ep>0$ donn\'e, alors
\begin{eqnarray*}
\int_E \vert f_n \vert &=& \int_{E\cap [\vert f_n \vert > k]} \vert f_n \vert + 
\int_{E\cap [\vert f_n \vert \leq k]} \vert f_n \vert,\\
&\leq& \int_{[\vert f_n \vert > k]} \vert f_n \vert + k \vert E \vert.
\end{eqnarray*}
On fixe $k = k_0$ tel que $\forall n \geq 1$, $\int_{[\vert f_n \vert > k_0]} 
\vert 
f_n \vert < \frac{\ep}{2}$ et on choisit $\delta = \frac{\ep}{2k_0}$ alors 
$\vert E 
\vert < \delta$ $\Longrightarrow$ $\int_E \vert f_n \vert < \ep$, $\forall n 
\geq 
1$.\\
3) Soit $\ep>0$ donn\'e, l'ensemble $\{f_n, n\geq 1\}$ \'etant relativement 
compacte 
dans $L^1(\Om)$, est inclus dans une union finie de boules de centre $g_i$ et de 
rayon $\frac{\ep}{2}$. Donc si $f_n \in B(g_i,\frac{\ep}{2})$ alors
\begin{eqnarray*}
 \int_E \vert f_n \vert &\leq& \Vert f_n - g_i \Vert_1 + \int_E \vert g_i 
\vert,\\
 &<& \frac{\ep}{2} + \int_E \vert g_i \vert.
\end{eqnarray*}
Or l'ensemble fini des $g_i$ est \'equi-int\'egrable (il suffit d'appliquer la 
propri\'et\'e d'absolue continuit\'e \`a $g = \sum \vert g_i \vert$) 
donc 
$\exists \delta > 0$ tel que $\forall \vert E \vert < \delta$, 
$$ \int_E \vert f_n \vert \leq \frac{\ep}{2} + \int_E \vert g_i \vert < \ep.$$
Deuxi\`eme partie :\\
1) X est ferm\'e car si $\ind_{A_n} \rightarrow f$ dans $L^1$ alors pour une 
sous-suite, $\ind_{A_{n_k}} \rightarrow f$ p.p. Maintenant si $A = \{x : f(x) = 1 
\}$ 
alors $f = \ind_A$ donc $f \in X$.\\
Les applications $\ind_A \mapsto \int_A f_k dx$ sont continues sur $X$ donc $X_n$ 
est 
ferm\'e. Enfin $\forall A \subset \Om$ mesurable, $\lim_n \int_A f_n = 0$ 
$\Longrightarrow$ $X = \cup_n X_n$. On peut donc appliquer le lemme de Baire et 
$\exists n_0$, $\exists R>0$, $\exists \ind_{A_0} \in X_{n_0}$ tels que si $\ind_A 
\in X$ et $\Vert \ind_A - \ind_{A_0} \Vert_{L^1} < R$ alors $\forall k \geq n_0$, 
$\vert \int_A f_k \vert \leq \ep$.\\
Soit donc $E$ mesurable, $E \subset \Om$ avec $\vert E \vert < R$, posons $E_k = E 
\cap [f_k \geq 0]$ alors $A = A_0 \cup E_k$ v\'erifie $\Vert \ind_A - \ind_{A_0} 
\Vert_{L^1} < R$ donc 
$$\vert \int_{A_0 \cup E_k} f_k \vert \leq \ep.$$
De m\^eme, si $A = A_0 \setminus E_k$ alors $\Vert \ind_A - \ind_{A_0} \Vert_{L^1} 
< 
R$ et
$$\vert \int_{A_0 \setminus E_k} f_k \vert \leq \ep.$$
Or $\int_{E_k} f_k = \int_{A_0 \cup E_k} f_k + \int_{A_0 \setminus E_k} f_k$ donc
$$\vert \int_E f_k^+ \vert = \vert \int_{E_k} f_k \vert \leq 2 \ep.$$
On montre de la m\^eme fa\c{c}on, en consid\`erant $E_K = E \cap [f_k \leq 0]$, que
$$\vert \int_E f_k^- \vert \leq 2 \ep.$$
D'o\`u, $\forall k \geq n_0$, $\int_E \vert f_k \vert \leq 4 \ep$. En utilisant de 
nouveau le fait que $\{f_1,...,f_{n_0}\}$ est \'equi-int\'egrable, on conclut.\\
2) La suite $(f_n - f)_n$ v\'erifie les hypoth\`eses de la question pr\'ec\`edente, 
elle est donc \'equi-int\'egrable. Comme $\int_E \vert f_n \vert \leq \int_E \vert 
f_n - f \vert + \int_E \vert f \vert$, on conclut en utilisant la propri\'et\'e 
d'absolue continuit\'e appliqu\'ee \`a $\vert f \vert$.\\
3) D'apr\`es ci-dessus, $(f_n - f)_n$ est \'equi-int\'egrable. Soit $\ep>0$ fix\'e, 
et soit $\delta>0$ donn\'e par l'\'equi-int\'egrabilit\'e. D'apr\`es le 
Th\'eor\`eme 
d'Egoroff, $\exists A \subset \Om$ tel que $\vert A \vert < \delta$ et $f_n 
\rightarrow f$ uniform\'ement sur $\Om \setminus A$. Alors,
\begin{eqnarray*}
\int_{\Om} \vert f_n - f \vert &=& \int_A \vert f_n - f \vert + \int_{\Om \setminus 
A} \vert f_n - f \vert,\\
 &\leq& \ep + \vert \Om \setminus A \vert \Vert f_n - f \Vert_{L^{\infty}(\Om 
\setminus A)},
 \end{eqnarray*}
et pour $n$ assez grand le deuxi\`eme terme est plus petit que $\ep$.
\\ \\
\section{Chapitre VIII}
{ \bf Exercice 1}
\\ \\
1) On note $\PP_2 = $vect$\{1,x,x^2\}$, c'est un espace vectoriel de dimension 
finie donc ferm\'e. Par le Th\'eor\`eme de projection dans $L^2(-1,1)$, $\exists 
! P \in \PP_2$ tel que $d(x^3,\PP_2) = \Vert x^3 -P \Vert$ et $(x^3 -P,v) = 0$, 
$\forall v \in \PP_2$ o\`u $( , )$ d\'enote le produit scalaire usuel dans $L^2$. 
En choisissant successivement $v=1,x,x^2$, on determine explicitement $P$ et on 
trouve $P(x) = \frac{3}{5} x$ d'o\`u $\Vert x^3 -P \Vert^2 = \int_{-1}^1 {\vert 
x^3 - \frac{3}{5} x \vert}^2 dx = \frac{8}{175}$.\\
Si $g \in \PP_2^{\perp}$ alors 
\begin{eqnarray*}
(x^3,g) &=& (x^3 - q,g),\quad \forall q \in \PP_2,\\
        &\leq& d(x^3,\PP_2) \Vert g \Vert,
\end{eqnarray*}
donc finalement si $g \in \PP_2^{\perp}$ et $\Vert g \Vert = 1$ alors $(x^3,g) 
\leq \Vert x^3 -P \Vert$ o\`u $P(x)=\frac{3}{5} x$. Soit $g_0 = \frac{x^3 - 
P}{\Vert x^3 -P \Vert}$ alors $g_0 \in \PP_2^{\perp}$, $\Vert g_0 \Vert =1$ et 
$(x^3,g_0)=(x^3-P,g_0)=\Vert x^3 -P \Vert=\frac{2\sqrt{2}}{5\sqrt{7}}$ donc          
$$ \max \{\int_{-1}^1 x^3 g(x) dx\,:\, g \in \PP_2^{\perp}, \Vert g \Vert = 1 \} 
= (x^3,g_0) = d(x^3,\PP_2).$$
2) Si $x_0 \in M$ o\`u M est un sous-espace vectoriel ferm\'e de H alors 
$d(x_0,M) = \Vert x_0 - P_Mx_0 \Vert$ o\`u $P_Mx_0$ est la projection orthogonale 
de $x_0$ sur $M$ et $(x_0-P_Mx_0,v) = 0$, $\forall v \in M$. Si $y \in 
M^{\perp}$, $\Vert y \Vert = 1$ alors $(x_0,y) = (x_0 - P_Mx_0,y) \leq \Vert x_0 
- P_Mx_0 \Vert$ donc
$$ \max \{ (x_0,y) : y \in M^{\perp}, \Vert y \Vert = 1 \} \leq \Vert x_0 - 
P_Mx_0 \Vert = \min \{ \Vert x_0 - x \Vert, x \in M \},$$
et 
$$(x_0-P_Mx_0,\frac{x_0-P_Mx_0}{\Vert x_0 - P_Mx_0 \Vert}) = (x_0, \frac{x_0 - 
P_Mx_0}{\Vert x_0 - P_Mx_0 \Vert}) = \Vert x_0 - P_Mx_0 \Vert.$$
Donc le max est atteint en $y = \frac{x_0 - P_Mx_0}{\Vert x_0 - P_Mx_0 \Vert}$ et 
sa valeur est \'egale \`a $d(x_0,M)$ d'o\`u
$$\max \{ (x_0,y) : y \in M^{\perp}, \Vert y \Vert = 1 \} = \min \{ \Vert x_0 - x 
\Vert, x \in M \}.$$
\\ \\
{ \bf Exercice 2} 
\\ \\
1) $(S,\Vert\,\Vert_1)$ est un Banach et on veut montrer que $i : 
(S,\Vert\,\Vert_1) 
\longrightarrow \Linf$ est continue, pour cela on utilise le Th\'eor\`eme du 
graphe 
ferm\'e. Soit $f_n \longrightarrow f$ dans $(S,\Vert\,\Vert_1)$ et $f_n 
\longrightarrow g$ dans $\linf$, a-t'on $f=g$ p.p. ? oui, car il existe une 
sous-suite de $f_n$ qui converge p.p. vers $f$.\\
D'autre part, on a $\Vert f \Vert_1 \leq \Vert f \Vert_2$ donc $S$ est ferm\'e 
dans 
$L^2$ et $\Vert f \Vert_{\infty} \leq M \Vert f \Vert_2$.\\
2)On vient de voir que $(S,\Vert\,\Vert_2)$ est un espace de Hilbert. On 
consid\`ere 
la fonction $f_c(x) = \sum_1^n c_i \Phi_i(x)$ o\`u $c=(c_i)_i \in B= 
\overline{B}(0,1)$ alors $f_c \in S$ et $\Vert f_c \Vert_2^2 = \sum_i \vert c_i 
\vert^2 \leq 1$, $\forall c \in B$. Donc $\forall c \in B$, $\Vert f_c 
\Vert_{\infty} \leq M$. Soit $D$ une partie d\'enombrable et dense dans $B$. 
Comme 
$D$ est d\'enombrable, $\exists \Om^{\prime} \subset \Om$ tel que 
$\mu(\Om^{\prime})=1$ et tel que $\forall x \in \Om^{\prime}$, $\forall c \in 
D$, 
$\vert f_c(x) \vert \leq M$.\\
Pour $x$ fix\'e dans $\Om^{\prime}$, $c \mapsto f_c(x)$ est continue sur $B$, et 
par 
 densit\'e de $D$ dans $B$, on a \\
 $\vert f_c(x) \vert \leq M$, $\forall c \in B$ et 
$\forall x \in \Om^{\prime}$. En choisissant convenablement $c$, on peut 
facilement 
montrer que $\sup_{c \in B} \vert f_c(x) \vert = (\sum_1^n \vert \Phi_i(x) 
\vert^2)^{\frac{1}{2}}$. Donc
$$\forall x \in \Om^{\prime},\quad \sum_1^n \vert \Phi_i(x) \vert^2 \leq M^2.$$
On int\`egre cette in\'egalit\'e et on obtient $n \leq M^2$. Donc 
n\'ecessairement 
dim$S < \infty$.
\\ \\
{ \bf Exercice 3} Base de Haar
\\ \\
$$H_k^l (x) = 2^{\frac{l}{2}} H(2^l x - k),\quad l,k \in \ZZ.$$
1) Le support de $H_k^l$ est $I_k^l = [\frac{k}{2^l}, \frac{k+1}{2^l}]$. Donc si 
$l=l^{\prime}$ et $k \not= k^{\prime}$, les supports de $H_k^l$ et 
$H_{k^{\prime}}^{l^{\prime}}$ sont disjoints donc $(H_k^l, 
H_{k^{\prime}}^{l^{\prime}})_{L^2} = 0$. Si $l\not=l^{\prime}$, par exemple 
$l>l^{\prime}$ alors $H_{k^{\prime}}^{l^{\prime}}$ est constante sur les 
intervalles dyadiques de longueur $2^{-l^{\prime}-1}$ donc est constante sur le 
support de $H_k^l$. Comme $H_k^l$ est de moyenne nulle, on en d\'eduit que 
$(H_k^l, H_{k^{\prime}}^{l^{\prime}})_{L^2} = 0$. Enfin $\Vert H_k^l 
\Vert_{L^2}^2 = 2^l \int_{I_k^l} 1 dx = 1$. Donc $(H_k^l)_{l,k}$ forme un 
syst\`eme orthonormal de $L^2(\RR)$.\\
2) Il y a 
\begin{eqnarray*}
1 & \mbox{fonction constante par morceaux sur les intervalles de longueur}& 
\frac{1}{2},\\
1+2 &.............................................. & \frac{1}{4},\\
... &.............................................. &..,\\
1+2+...+2^{j-1}&..............................................& \frac{1}{2^j}.
\end{eqnarray*}
Donc card($S_j$)$=2^j-1$. Or $W_j$ est un espace de codimension 1 dans un espace 
de dimension $2^j$, l'espace des fonctions constantes par morceaux sur les 
intervalles dyadiques de longueur $2^{-j}$, donc le syst\`eme $S_j$ forme une 
base de $W_j$.\\
3) Les fonctions indicatrices des intervalles dyadiques sont denses dans 
$L^2(0,1)$ donc $\{1, H_k^l, l \geq 0, k=0,...,2^l-1 \}$ forme une base 
orthogonale de $L^2(0,1)$. Si on enl\`eve la fonction \'egale \`a 1, les $H_k^l$ 
forment une base orthogonale de $\{f \in L^2(0,1),$ f \`a moyenne nulle $\}$, et  
par sym\'etrie par rapport \`a $0$ et dilatations, les $H_k^l$, $l \geq -j$, $k= 
-2^l,...,2^l-1$ forment une base orthogonale des fonctions de $L^2(-2^l,2^l)$ 
d'int\'egrale nulle sur $[-2^j,0]$ et $[0,2^j]$.\\
3) Soit maintenant $f \in L^2(\RR)$, comme les fonctions \`a supports compacts sont 
denses dans $L^2$, on peut supposer que $f$ est \`a support compact. On d\'ecoupe 
$f$ 
en $f= \ind_{(0,+\infty)} f + \ind_{(-\infty,0)} f$. Soit $g = \ind_{(0,+\infty)} 
f$ 
alors $g$ est \`a support compact dans $\RR^+$, soit $[0,A]$ son support alors $A 
\leq 
2^j$ pour un $j$. On connait une base de $L^2(0,2^j)$ en ajoutant aux $H_k^l$ la 
fonction $e_1= 2^{-\frac{j}{2}} \ind_{(0,2^j)}$ donc $g= (g,e_1) e_1 + \sum_{i \geq 
2} 
(g,e_i) e_i$ o\`u les $e_i$ pour $i \geq 2$ sont les $H_k^l$. Alors $\Vert g - 
\sum_{i 
\geq 2} (g,e_i) e_i \Vert_2 = \vert (g,e_1) \vert$. Montrons que pour $\ep > 0$ on 
peut choisir $j$ tel que $\vert (g,e_1) \vert \leq \ep$. On a
$$\vert (g,e_1) \vert = \vert \int_0^A 2^{-\frac{j}{2}} g(x) dx \vert \leq 
2^{-\frac{j}{2}} \Vert g \Vert_2 \sqrt{A},$$
et on veut rendre ce terme plus petit que $\ep$, il est clair que c'est vrai pour 
$j$ 
assez grand. On raisonne de la m\^eme fa\c{c}on pour le terme $\ind_{(-\infty,0)} 
f$, 
donc on approxime arbitrairement bien toute fonction \`a support compact et par 
densit\'e toute fonction de $L^2(\RR)$.
\\ \\
{\bf Exercice 4}
\\ \\
1) Pour montrer que $(x,2y)=2(x,y)$, on applique l'identit\'e du parall\'elogramme avec 
$a=x+y$ et $b=y$.\\
2) On forme $(1)-(2)+(3)$.\\
3) Il est facile de voir que $(nx,y) = n(x,y)$ si $n \in \ZZ$. Si $p,q \in \ZZ$ avec $q 
\not= 0$, alors $p(x,y)=(px,y)=(\frac{pq}{q}x,y)=pq(\frac{1}{q}x,y)$ donc 
$(\frac{1}{q}x,y)=\frac{1}{q}(x,y)$ et on en d\'eduit que 
$(\frac{p}{q}x,y)=\frac{p}{q}(x,y)$. Enfin, par d\'efinition de $(\,,\,)$, 
l'application $\lambda \mapsto (\lambda x,y)$ est continue donc on conclut ais\'ement.
\section{Chapitre IX}
{ \bf Exercice 1} 
\\ \\
Soit $\ep > 0$, $\exists N$ tel que $\forall n \geq N$, $\vert s_j-s \vert \leq 
\ep$ et 
$$ \frac{1}{n+1} \sum_0^n s_j - s = \frac{1}{n+1} \sum_0^n (s_j - s).$$
Donc pour $n \geq N$, on a 
\begin{eqnarray*}
\vert \frac{1}{n+1} \sum_0^n s_j - s \vert &\leq & \frac{1}{n+1}(\sum_0^N \vert 
s_j 
- s \vert + \sum_{N+1}^n \vert s_j - s \vert ),\\
   &\leq& \frac{1}{n+1}(\sum_0^N \vert s_j - s \vert + (n-N) \ep).
   \end{eqnarray*}
   Pour cet $\ep > 0$, $\exists N_1 \geq N$ tel que $\sum_0^N \vert s_j - s \vert 
\leq N_1 \ep$, donc si $n \geq N_1$, on a $\sum_0^N \vert s_j - s \vert \leq N_1 
\ep \leq (n+1) \ep$ et d'autre part $(n-N) \ep \leq (n+1) \ep$ d'o\`u
   $$\vert \frac{1}{n+1} \sum_0^n s_j - s  \vert \leq 2 \ep.$$
\\ 
{ \bf Exercice 2}
\\ \\
Soit $s_n = (-1)^n$ alors ${(s_n)}_n$ ne converge 
pas et $\vert \sum_0^n s_j \vert \leq 1$ donc 
$$\vert \frac{1}{n+1} \sum_0^n (-1)^j \vert \leq \frac{1}{n+1} \longrightarrow 
0.$$
\\ \\
{ \bf Exercice 3}
\\ \\
1) On a directement $D_N(0) = 2N+1$ et $K_N(0) = N+1$. \\
D'autre part, $e^{i\frac{t}{2}}D_N(t) = \sum_{-N}^N e^{i(k+\frac{1}{2})t}$ et 
$e^{-i\frac{t}{2}}D_N(t) = \sum_{-N}^N e^{i(k-\frac{1}{2})t}$ donc
$2i \sin(\frac{t}{2}) D_N(t) = \sum_{-N}^N (e^{i(k+\frac{1}{2})t} - 
e^{i(k-\frac{1}{2})t}) = e^{i(N+\frac{1}{2})t} - e^{-i(N+\frac{1}{2})t}.$\\
D'o\`u $D_N(t) = \frac{\sin((N+\frac{1}{2})t)}{\sin(\frac{t}{2})}$ si $t \not= 
0$.\\
On multiplie maintenant $K_N(t)$ par 
$\frac{2\sin(\frac{t}{2})}{2\sin(\frac{t}{2})}$ alors
$$K_N(t) = \frac{1}{2(N+1)} \frac{1}{{\sin}^2(\frac{t}{2})} 
(2\sin(\frac{t}{2})\sin(\frac{t}{2}) + 2\sin(\frac{t}{2})\sin(\frac{3t}{2})+...+ 
2\sin(\frac{t}{2})\sin((N+\frac{1}{2})t)).$$
On utilise ensuite l'\'egalit\'e $2 \sin a \sin b = \cos(a-b) \cos(a+b)$ pour 
obtenir
$$K_N(t) = \frac{1}{2(N+1)} \frac{1}{{\sin}^2(\frac{t}{2})} (1-\cos(N+1)t) = 
\frac{1}{N+1} \frac{{\sin}^2(\frac{N+1}{2}t)}{{\sin}^2(\frac{t}{2})},$$
pour $t \not= 0$.\\
2) Il est clair que $K_N(t) \geq 0$, $\forall t \in \RR$ et que $K_N$ est 
$2\pi$-p\'eriodique. De $\int_0^{2\pi} e^{ikt} dt = 2\pi \delta_{k,0}$ on 
d\'eduit 
que $\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi} D_j(t) dt = 1$ et ${\Vert K_N \Vert}_1 = 
1$. Enfin si $\delta \leq \vert t \vert \leq \pi$ o\`u $\delta > 0$, on a
$$K_N(t) \leq \frac{1}{N+1} {(\frac{1}{\sin(\frac{\delta}{2})})}^2 
\longrightarrow 
0,$$
quand $N \rightarrow \infty$.\\
3) On a
\begin{eqnarray*}
S_n(f,t) & = & \sum_{-n}^n \widehat{f}(k)e^{ikt},\\
         & = & \sum_{-n}^n \frac{1}{2\pi} \int _{-\pi}^{\pi} f(x) e^{ik(t-x)} dx 
= 
\frac{1}{2\pi} \int _{-\pi}^{\pi} f(x) D_n(t-x) dx.
\end{eqnarray*}
Donc
\begin{eqnarray*}
\sigma_n(f,t) &=& \frac{1}{2\pi} \int _{-\pi}^{\pi} f(x) K_n(t-x) dx,\\
              &=& \frac{1}{2\pi} \int _{-\pi}^{\pi} f(t-x) K_n(x) dx,
\end{eqnarray*}
car $f$ et $K_n$ sont $2\pi$-p\'eriodiques. Comme ${\Vert K_N \Vert}_1 = 1$, on 
peut \'ecrire
\begin{eqnarray*}
\vert \sigma_n(f,t) - f(t) \vert & = & \frac{1}{2\pi} \vert \int _{-\pi}^{\pi} 
(f(t-x) - f(t)) K_n(x) dx \vert,\\
 & \leq & \frac{1}{2\pi} \vert \int _{\vert x \vert \leq \delta} \vert 
f(t-x)-f(t) \vert K_n(x) dx + \frac{1}{2\pi} \int _{\delta \leq \vert x \vert 
\leq \pi} 2 \Vert f \Vert_{\infty} K_n(x) dx.
\end{eqnarray*} 
La fonction $f$ \'etant uniform\'ement continue, pour $\ep > 0$, $\exists \delta 
> 0$ tel que $\vert f(x)-f(y) \vert \leq \frac{\ep}{2}$ d\`es que $\vert x-y 
\vert \leq \delta$. Pour ce $\delta$, d'apr\`es 2), $\exists N$ tel que $\forall 
n \geq N$ $\vert K_n(x) \vert \leq \frac{\ep}{4 \Vert f \Vert_{\infty}}$, 
$\forall x$ tel que $\delta \leq \vert x \vert \leq \pi$, d'o\`u
$$\vert \sigma_n(f,t) - f(t) \vert \leq \frac{\ep}{2} {\Vert K_N \Vert}_1 + 
\frac{\ep}{2} \, \frac{1}{2\pi} \int _{\delta \leq \vert x \vert \leq \pi} dx 
\leq \ep,$$
et ceci $\forall t$, donc $\sigma_n(f) \longrightarrow f$ uniform\'ement sur 
$[-\pi,\pi]$.\\           
4) $\sigma_n(f,t) = \frac{1}{2\pi} \int _{-\pi}^{\pi} f(x) K_n(t-x) dx$ est un  
polynome trigonom\'etrique, donc 3) montre que les polynomes trigonom\'etriques 
sont denses dans ${\cal C}(\Pi)$.\\
Si $f,g \in {\cal C}(\Pi)$ sont telles que $\forall n \in \ZZ$, $\widehat{f} 
(n)=\widehat{g} (n)$ alors $0 = \sigma_n(f,t) - \sigma_n(g,t) \longrightarrow  
f(t)-g(t)$, $\forall t$, donc $f(t)=g(t)$, $\forall t \in [-\pi,\pi]$.\\
5) a) $\Lambda_n(f) = S_n(f,0) = \frac{1}{2\pi} \int _{-\pi}^{\pi} f(t) D_n(-t) 
dt$, pour $n \geq 0$ donc $\Lambda_n$ est lin\'eaire et $\vert \Lambda_n(f) \vert 
\leq {\Vert D_n \Vert}_1 \Vert f \Vert_{\infty}$. Donc $\Lambda_n \in ({\cal 
C}(\Pi))^{\prime}$ et $\Vert \Lambda_n \Vert \leq {\Vert D_n \Vert}_1$.\\
  b) Soit $g_n(t) = \mbox{sign}(D_n(-t))$ alors il existe une suite $(f_j)_j$ 
dans ${\cal C}(\Pi)$ telle que $-1 \leq f_j \leq 1$, $\forall j$ et $f_j(t) 
\longrightarrow g_n(t)$ p.p. quand $j \rightarrow \infty$. Le Th\'eor\`eme de 
convergence domin\'ee s'applique et donne
  $$\frac{1}{2\pi} \int _{-\pi}^{\pi} f_j(t) D_n(-t) dt \longrightarrow 
\frac{1}{2\pi} \int _{-\pi}^{\pi} \vert D_n(-t) \vert dt = {\Vert D_n \Vert}_1.$$
De $\vert \Lambda_n(f_j) \vert \leq \Vert \Lambda_n \Vert$, on d\'eduit $\Vert 
\Lambda_n \Vert = {\Vert D_n \Vert}_1$.\\
  c) Comme $\vert \sin \frac{t}{2} \vert \leq \frac{\vert t \vert}{2}$, pour $0 
\leq t \leq \pi$,
$${\Vert D_n \Vert}_1 = \frac{1}{2\pi} \int _{-\pi}^{\pi} \vert D_n(t) \vert dt = 
\frac{1}{\pi} \int _{0}^{\pi} \vert D_n(t) \vert dt \geq \frac{2}{\pi} 
\int_0^{\pi} \vert \sin(n+\frac{1}{2})t \vert \,\frac{dt}{t}.$$
Donc on a
\begin{eqnarray*}
{\Vert D_n \Vert}_1 &\geq& \frac{2}{\pi} \int_0^{(n+\frac{1}{2})\pi} \vert \sin x 
\vert \frac{dx}{x} \geq \frac{2}{\pi} \sum_{k=1}^n \int_{(k-1)\pi}^{k\pi} \vert 
\sin x \vert \frac{dx}{x},\\
&\geq& \frac{2}{\pi} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k\pi} \int_{(k-1)\pi}^{k\pi} \vert 
\sin x \vert dx = \frac{4}{\pi^2} \sum_1^n \frac{1}{k} \geq \frac{4}{\pi^2} 
\log(n+1),
\end{eqnarray*}
D'o\`u ${\Vert D_n \Vert}_1 \longrightarrow + \infty$ quand $n \rightarrow 
\infty$.\\
  d) Si $\forall f \in {\cal C}(\Pi)$, $\exists C_f$ tel que $\forall n$, $\vert 
S_n(f,0) \vert \leq C_f$ alors par le Th\'eor\`eme de Banach-Steinhaus $\exists 
M$ tel que $\forall n$, $\Vert \Lambda_n \Vert \leq M$ or c'est impossible 
d'apr\`es la question pr\'ec\'edente. Donc $\exists f \in {\cal C}(\Pi)$ telle 
que $\sup_n \vert S_n(f,0) \vert = + \infty.$\\
Remarque : Soit $E=\{f \in {\cal C}(\Pi) : \sup_n \vert S_n(f,0) \vert = + \infty 
\}$. On peut montrer que $E$ est dense dans ${\cal C}(\Pi)$ voir $[Ru1]$ par 
exemple.
\\ \\
%{ \bf Exercice 4} 
%\\ \\
%Comme $\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} e^{inx}e^{imx} dx = \delta_{n,m}$, le 
%syst\`eme ${(e^{inx})}_{n \in \ZZ}$ est orthogonal. Soit 
%$E=\mbox{vect}\{{(e^{inx})}_{n \in \ZZ}\}$, montrons que $E$ est dense dans 
%$L^2(-\pi,\pi)$. Soit $f \in L^2(-\pi,\pi)$ et soit $\ep>0$. Comme les fonctions 
%continues sont denses dans $L^2(-\pi,\pi)$, $\exists g \in {\cal C}(\Pi)$ telle 
%que $\Vert f-g \Vert_2 \leq \ep$. On a vu en **** que les polynomes 
%trigonom\'etriques sont denses dans ${\cal C}(\Pi)$ donc $\exists P \in E$ tel 
%que $\Vert g-P \Vert_{\infty} \leq \ep$ alors $\Vert f-P \Vert_2 \leq 2\ep$ 
%d'o\`u le r\'esultat.
%\\ \\
{ \bf Exercice 5}
\\ \\
Supposons que $f \in {\cal C}_c^1(]-\pi,\pi[)$ alors
$\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(ax) dx = \int_{-\pi}^{\pi} f^{\prime}(x) \frac{1}{a} 
\cos(ax) dx,$ donc $\vert \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(ax) dx \vert \leq 
\frac{1}{\vert a \vert} \Vert f^{\prime} \Vert_{\infty} 2\pi \longrightarrow 0$ 
quand $\vert a \vert \rightarrow + \infty$.\\
Si $f \in L^1(-\pi,\pi)$, $\exists g \in {\cal C}_c^1(]-\pi,\pi[)$ telle que 
$\Vert f-g \Vert_{L^1} \leq \ep$. Alors 
$$\vert \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(ax) dx \vert \leq \Vert f-g \Vert_{L^1} + 
\vert \int_{-\pi}^{\pi} g(x)\sin(ax) dx \vert,$$
d'o\`u $\lim \int_{-\pi}^{\pi} f \sin(ax) dx = 0$ quand $\vert a \vert 
\longrightarrow + \infty$.
\\ \\
\section{Chapitre X}
{ \bf Exercice 1} 
\\ \\ 
1) Les deux applications propos\'ees sont bien lin\'eaires par rapport \`a 
$\vfi$.\\
On pose $<T,\vfi> = \sum_{n\geq0} \vfi^{(n)}(n)$ pour $\vfi \in \DD(\RR)$.\\
Soit $K$ un compact de $\RR$ alors $\vert K \cap \NN \vert < \infty$ et 
$\exists 
N_K$ tel que $K \cap \NN \subset \overline{B}(0,N_K)$. Si $\vfi \in \DD(\RR)$ 
est 
\`a support dans $K$, alors $\vert <T,\vfi> \vert \leq \sum_0^{N_K} \Vert 
\vfi^{(n)} \Vert_{\infty}$ donc $T \in \Di(\RR)$.\\
Soit $<T,\vfi> = \sum_{n\geq0} \vfi^{(n)}(0)$. Il existe $\theta \in \DD(\RR)$ 
telle que $0 \leq \theta \leq 1$ et $\theta \equiv 1$ sur $[-1,1]$. Soit alors 
$\vfi(x) = e^x \theta(x)$, alors $\vfi \in \DD(\RR)$ et $\forall n$, 
$\vfi^{(n)}(0) 
= 1$ donc $T \not\in \Di(\RR)$.\\
2) Soit $K$ un compact de $\RR$ et $\vfi \in \DD(\RR)$ \`a support dans $K$ 
alors 
$\vert <T_f,\vfi> \vert \leq \Vert f \Vert_{L^1(K)} \Vert \vfi \Vert_{\infty}$ 
donc 
$T_f \in \Di(\RR)$.\\
Supposons qu'il existe $f \in L^1_{loc}(\RR)$ telle que $<\delta_0,\vfi> = 
\vfi(0) 
= \int f \vfi$, $\forall \vfi \in \DD(\RR)$. Par un m\^eme raisonnement qu'\`a 
l'exercice 4 du chap.VI, on montre que c'est impossible.
\\ \\
{ \bf Exercice 2}
\\ \\
Comme les semi-normes $p_j$, pour $j \geq 0$, forment une suite croissante, on 
a 
bien d\'efini une topologie.\\
1) Il est clair que $d(f,g) = d(g,f)$ et que $d(f,g)=0 \Longleftrightarrow 
f=g$.\\
Soit $\Phi(x) = \inf(1,x)$ pour $x \geq 0$. On peut v\'erifier facilement que 
$\Phi$ est croissante et que $\Phi(x+y) \leq \Phi(x) + \Phi(y)$, $\forall x,y 
\in 
\RR^+$ donc $d$ est bien une distance sur E. Pour montrer que les topologies 
sont 
\'equivalentes, il suffit de montrer que\\

a) $\forall n$, $\forall r>0$, $\forall x \in E$, $\exists r_0>0$ tel que 
$B_d(x,r_0) \subset B_n(x,r)$,\\

b) $\forall x \in E$, $\forall r>0$, $\exists N$, $\exists r_0>0$ tel que 
$B_N(x,r_0) \subset B_d(x,r)$,\\
o\`u on a not\'e $B_d(x,r)$ la boule de centre $x$ et rayon $r$ pour la 
distance 
$d$ et $B_n(x,r)$ celle associ\'ee \`a la semi-norme $p_n$.\\
Soit donc $n,r,x$ donn\'es alors $\exists \ep>0$ tel que $2^n \ep < \inf(1,r)$ 
et 
\\
$d(x,y) < \ep \Longrightarrow \forall k,\,\, \frac{1}{2^k} \Phi(p_k(x-y)) < 
\ep$ 
donc $p_n(x-y) < 2^n \ep < r$ par choix de $\ep$. D'o\`u $B_d(x,\ep) \subset 
B_n(x,r)$.\\
Soit $x,r$ donn\'es et soit $N$ tel que $\sum_{n \geq N+1} \frac{1}{2^n} < 
\frac{r}{2}$.\\
Si $p_N(x-y) < r_0 < 1 \Longrightarrow \forall n \leq N,\, p_n(x-y) < r_0$ et
$$\sum_0^N \frac{1}{2^n} \inf(1,p_n(x-y)) \leq r_0 \sum_0^N \frac{1}{2^n} \leq 
2r_0.$$
On choisit $r_0 < 1$ tel que $2 r_0 < \frac{r}{2}$ alors $y \in B_N(x,r_0) 
\Longrightarrow d(x,y) < \frac{r}{2} + \frac{r}{2}$,  ($\Phi(x) \leq 
1,\,\forall x 
\geq 0$) donc $B_N(x,r_0) \subset B_d(x,r)$.\\
Donc les topologies sont \'equivalentes.\\
2) Soit $(f_n)_n$ une suite de Cauchy dans $(E,d)$ alors $\lim_{n,m \rightarrow 
+\infty} p_j(f_n-f_m) = 0$ pour chaque $j \geq 0$, et donc $\sup_K \vert 
f_n^{(j)}(x) - f_m^{(j)}(x) \vert \longrightarrow 0$ pour chaque j. La suite 
$(f_n^{(j)})_n$ est donc de Cauchy pour la convergence uniforme et elle tend 
donc 
uniform\'ement vers une limite $f_j$ qui est continue et \`a support dans $K$. 
On 
utilise maintenant le Th\'eor\`eme classique assurant que si $f_n$ converge 
uniform\'ement vers $u$ et si les d\'eriv\'ees $f_n^{\prime}$ sont continues et 
converge uniform\'ement vers $v$ alors $u$ est ${\cal C}^1$ et $u^{\prime} = 
v$. En 
appliquant ce r\'esultat par r\'ecurrence aux d\'eriv\'ees successives de $u$, 
on 
obtient que $f_n^{(j)}$ converge uniform\'ement vers $u^{(j)}$, $\forall j$ et 
donc 
que $p_j(f_n-u) \longrightarrow 0$, $\forall j$. On en d\'eduit facilement que 
$(E,d)$ est complet.\\
Pour tout $n$, $T_n$ est continue sur $(E,(p_j)_j)$ donc sur $(E,d)$ donc $F_k$ 
est 
ferm\'e dans $(E,d)$ comme intersection d'images r\'eciproques de ferm\'es de 
$\RR$. Comme $(<T_n,\vfi>)_n$ converge $\forall \vfi$, $E = \cup_k F_k$, par le 
Lemme de Baire, on en d\'eduit que $\exists k_0$, $\exists \vfi$ et $\exists 
r_0>0$ 
tels que $B_d(\vfi,r_0) \subset F_{k_0}$. \\
D'apr\`es 1), $\exists N \geq 0$, $\exists r>0$ tels que $B_N(\vfi,r) \subset 
F_{k_0}$. Alors $B_N(0,\frac{r}{2}) \subset F_{k_0}$, en effet, si $\psi \in 
B_N(0,\frac{r}{2})$ alors $\psi = \frac{1}{2} (-\vfi +(\vfi +2\psi))$ or $-\vfi 
\in 
F_{k_0}$ et $\vfi+2\psi \in F_{k_0}$, par convexit\'e de $F_{k_0}$, on a $\psi 
\in 
F_{k_0}$.\\
Donc on a montr\'e que $\forall \vfi \in E$ telle que $p_N(\vfi)<\frac{r}{2}$, 
on a 
$\vert <T_n,\vfi> \vert \leq k_0$, $\forall n$. Par homog\'en\'eite, on en 
conclut 
que $\forall n$, $\vert <T_n,\vfi> \vert \leq \frac{2k_0}{r} p_N(\vfi)$, 
$\forall 
\vfi \in E$.\\
Maintenant on fait tendre $n$ vers l'infini, on en d\'eduit que $\vert <T,\vfi> 
\vert \leq \frac{2k_0}{r} p_N(\vfi)$. Finalement, on a montr\'e que $\forall K$ 
compact $\subset \RR$, $\exists C_K = \frac{2k_0}{r}$, $\exists N(K)$ tels que 
$\forall \vfi \in \DD_K(\RR)$, $\vert <T,\vfi> \vert \leq C_K \,p_N(\vfi)$ ce 
qui 
est exactement la continuit\'e de $T$ sur $\DD(\RR)$.
\\ \\
{ \bf Exercice 3}
\\ \\
a) Si $\vfi = \lambda\theta_0+\psi^{\prime}$, o\`u $\lambda \in \RR$ et $\vfi 
\in 
\DD(I)$ alors $\int_I \vfi = \lambda \int_I \theta_0 + \int_I \psi^{\prime}$ 
donc 
n\'ecessairement $\lambda = \int_I \vfi$. Avec ce choix de $\lambda$, trouvons 
$\psi$.\\
$\exists a,b$ tels que supp$(\vfi)$$ \cup$supp$(\theta_0) \subset [a,b] \subset 
I$ 
(I connexe). Soit $\psi(x) = \int_a^x (\vfi(t) -(\int_I \vfi)\theta_0(t)) dt$ 
alors 
$\psi^{\prime} = \vfi - (\int_I \vfi)\theta_0$ et $\psi \in {\cal 
C}^{\infty}(I)$. 
V\'erifions que $\psi$ est \`a support compact. Si $x \in ]-\infty,a[ \cap I$ 
alors 
$\forall t \in [a,x]$ $\vfi(t)= \theta_0(t) = 0$ et $\psi(x) = 0$. Si $x \in 
]b,\infty[ \cap I$ alors $\psi(x) = 0$ donc supp$(\psi) \subset [a,b]$ et $\psi 
\in 
\DD(I)$. (On peut remarquer que le couple $(\lambda,\psi)$ est unique.)\\
b) Soit $T \in \Di(I)$ telle que $T^{\prime} =0$, on veut montrer que $\exists 
C 
\in \RR$ telle que $\forall \vfi \in \DD(I)$, $<T,\vfi> = C \int_I \vfi$.\\
Soit $\vfi \in \DD(I)$ alors $\exists \psi \in \DD(I)$ telle que $\vfi = 
(\int_I 
\vfi)  \theta_0+\psi^{\prime}$ et $<T,\vfi> = (\int_I \vfi) <T,\theta_0> + 
<T,\psi^{\prime}>$. Or par hypoth\`ese $<T,\psi^{\prime}> = <T^{\prime},\psi> = 
0$ 
donc $\forall \vfi \in \DD(I)$, $<T,\vfi> = <T,\theta_0>\; \int_I \vfi$ donc 
$C=<T,\theta_0>$ convient.\\
c) Par hypoth\`ese $T^{\prime} = v \in {\cal C}^{\infty}(I)$, c'est \`a dire 
$\forall \vfi \in \DD(I)$, $<T^{\prime},\vfi> = \int_I v\vfi$. La fonction $v$ 
admet une primitive au sens usuel $V$ et $v = V^{\prime}$ alors $(T-V)^{\prime} 
= 
0$ donc $T-V = c$ constante par b) et $T= V+c \in {\cal C}^{\infty}(I)$.
\\ \\
{ \bf Exercice 4}
\\ \\

Soit $\psi$ solution de $\sum_{j=0}^k a_j \psi^{(j)}(x) = 0$ pour $x \in \RR$, 
o\`u 
$a_j \in \RR$ et $a_k \not=0$, 
satisfaisant \\
$\psi(0)=\psi^{\prime}(0)=...=\psi^{k-2}(0)=0$ et $\psi^{k-1}(0)=\frac{1}{a_k}$ 
alors $\psi \in {\cal C}^{\infty}(\RR)$.\\
1) $Y\psi \in L^1_{loc}(\RR)$ donc $E \in \Di(\RR)$. Calculons les d\'eriv\'ees 
au 
sens des distributions de $E$ et montrons par r\'ecurrence que
$$E^{(p)} = Y_{Y\psi^{(p)}} + \psi^{(p-1)}(0) \delta_0 + \psi^{(p-2)}(0) 
\delta_0^{\prime} +...+ \psi(0) \delta_0^{(p-1)}.$$
On calcule d'abord $E^{\prime}$,
\begin{eqnarray*}
<E^{\prime},\vfi> &=& - <E,\vfi^{\prime}> = - \int_0^{\infty} \psi 
\vfi^{\prime},\\
                  &=& \int_0^{\infty} \psi^{\prime} \vfi + \psi(0) \vfi(0),\\
                  &=& <T_{Y\psi^{\prime}},\vfi> + <\psi(o) \delta_0,\vfi>.
                  \end{eqnarray*}
Donc le propri\'et\'e est vraie pour $p=1$, on la suppose vraie jusqu'au rang 
$p$ 
et d\'emontrons la pour $p+1$. On a
\begin{eqnarray*}
<E^{(p+1)},\vfi> &=& -<E^{(p)}, \vfi^{\prime}> = - \int_0^{\infty} \psi^{(p)} 
\vfi^{\prime} - <\psi^{(p-1)}(0) \delta_0, \vfi^{\prime}> -...- <\psi(0) 
\delta_0^{(p-1)}, \vfi^{\prime}>,\\
&=& \int_0^{\infty} \psi^{(p+1)} \vfi + <\psi^{(p)}(0) \delta_0, \vfi> + < 
\psi^{(p-1)}(0) \delta_0^{\prime}+...+ \psi(0) \delta_0^{(p)},\vfi>.
\end{eqnarray*}
D'o\`u le r\'esultat.\\
Ici $E^{(j)} = T_{Y\psi^{(j)}}$, $\forall j \leq k-1$ car $\psi^{(p)}(0) = 0$, 
$\forall p \leq k-2$, et 
$$E^{(k)} = T_{Y\psi^{(k)}} + \psi^{(k-1)}(0) \delta_0 = T_{Y\psi^{(k)}} + 
\frac{1}{a_k} \delta_0.$$
Donc $\sum_{j=0}^k a_j E^{(j)} + a_k E^{(k)} = \delta_0$ par hypoth\`ese sur 
$\psi$. \\           
2) On cherche $\psi$ telle que 
\[ (\star) \quad \left\{ \begin{array}{lll}
\psi^{\prime\prime} + \psi^{\prime} + \psi = 0 \\
\psi(0) = 0 \\
\psi^{\prime}(0) = 1
\end{array} \right. \]
Les solutions g\'en\'erales du syst\`eme ($\star$) sont donn\'ees par 
$$\psi(x) = e^{-\frac{x}{2}} (a e^{i\frac{\sqrt{3}}{2}x} + b 
e^{-i\frac{\sqrt{3}}{2}x}),\quad a,b \in \CC.$$
Ici les donn\'ees initiales impliquent que $a = -b = \frac{1}{i\sqrt{3}}$, donc 
$\psi(x) = \frac{2}{\sqrt{3}} e^{-\frac{x}{2}} \sin(\frac{\sqrt{3}}{2}x)$ et $E 
= T_{Y\psi}$ convient. 
\\ \\
\section{Chapitre XI}
{ \bf Exercice 1}
\\ \\
1) En vertu du Th\'eor\`eme 11.1 et de la Proposition 11.1 du ch.11, si $u \in 
H^1(0,1)$ alors $u \in {\cal C}[0,1]$ et $\forall x,y \in [0,1]$, $u(x) - u(y) 
= \int_y^x u^{\prime}(t) dt$.\\
Avec l'in\'egalit\'e de Cauchy-Schwarz, on obtient
$$\vert u(x) \vert \leq \vert u(y) \vert + \Vert u^{\prime} \Vert_2 {\vert x-y 
\vert }^{\frac{1}{2}} \leq \vert u(y) \vert + \Vert u^{\prime} \Vert_2.$$
On int\`egre cette in\'egalit\'e par rapport \`a $y$ et on applique encore 
Cauchy-Schwarz, on a
\begin{eqnarray*}
\vert u(x) \vert &\leq& \int_0^1 \vert u(y) \vert dy + \Vert u^{\prime} \Vert_2 
\\
&\leq& \Vert u \Vert_2 + \Vert u^{\prime} \Vert_2 \\
&\leq& 2 \Vert u \Vert_{H^1}.
\end{eqnarray*}
Donc $\Vert u \Vert_{\infty} \leq 2 \Vert u \Vert_{H^1}$ et l'injection $id : 
H^1(0,1) \longrightarrow {\cal C}[0,1]$ est continue.\\
De $\vert u(x) - u(y) \vert \leq \Vert u^{\prime} \Vert_2 {\vert x-y \vert 
}^{\frac{1}{2}}$, on d\'eduit que la boule unit\'e ferm\'ee $B_{H^1}$ de 
$H^1(0,1)$ est \'equicontinue. Enfin, $B_x = \{ u(x),\,u \in B_{H^1} \} \subset 
[-2,2]$ donc $\overline{B_x}$ est compact. Par le Th\'eor\`eme d'Ascoli, on en 
conclut que $B_{H^1}$ est d'adh\'erence compacte dans ${\cal C}[0,1]$, d'o\`u 
l'injection $id : H^1(0,1) \longrightarrow {\cal C}[0,1]$ est compacte. \\
L'int\^eret majeur de ce r\'esultat est que l'on pourra transformer toute suite 
faiblement convergente de $H^1(0,1)$ en une suite fortement convergente de 
${\cal C}[0,1]$. (Voir l'exercice 3, chap. IV)\\
2) Soient $u, v \in H_0^1(0,1)$ et $f \in {\cal C}^{\infty}(\RR)$ alors par le 
Th\'eor\`eme 11.2, il existe $u_n, v_n \in \DD(]0,1[)$ tels que $u_n 
\rightarrow u$ et $v_n \rightarrow v$ pour la norme $H^1$. Comme $u_n,v_n$ sont 
r\'eguli\`eres et nulles au bord, on a evidemment $\int_0^1 u_n^{\prime}v_n + 
\int_0^1 u_nv_n^{\prime} = 0$ et $\int_0^1 u_n^{\prime}f + \int_0^1 
u_nf^{\prime} = 0$. Le produit scalaire $(f,g) =  \int_0^1 fg dx$ \'etant 
continu sur $(L^2)^2$, il n'y a aucuns probl\`emes pour passer \`a la limite 
dans ces \'egalit\'es et on obtient donc 
\begin{eqnarray*}
(1)\qquad\quad\int_0^1 u^{\prime}v + \int_0^1 uv^{\prime} &=& 0, \\
(2)\qquad\quad\int_0^1 u^{\prime}f + \int_0^1 uf^{\prime} &=& 0,
\end{eqnarray*}
et ceci $\forall u,v \in  H_0^1(0,1)$.\\
Si $u \in H^1(0,1)$, on note $p_u(x) = xu(1) + (1-x)u(0) \in {\cal 
C}^{\infty}(\RR)$ alors $u - p_u \in H_0^1(0,1)$. En appliquant la formule 
d'int\'egration par parties $(2)$ \`a $u - p_u$ et $p_u$, on obtient
$$\int_0^1 u^{\prime}f + \int_0^1 uf^{\prime} = \int_0^1 p_u^{\prime}f + 
\int_0^1 p_uf^{\prime} = u(1)f(1) - u(0)f(0).$$
Maintenant si $u,v \in H^1(0,1)$, alors de $\int_0^1 (u-p_u)^{\prime}(v-p_v) + 
\int_0^1 (u-p_u)(v-p_v)^{\prime} = 0$, on d\'eduit que $\int_0^1 
(u-p_u)^{\prime}v + \int_0^1 (u-p_u)v^{\prime} = 0$  (car $\int_0^1 
(u-p_u)^{\prime}p_v + \int_0^1 (u-p_u)p_v^{\prime} = 0$). Donc, en 
d\'eveloppant,
$$\int_0^1 u^{\prime}v + \int_0^1 uv^{\prime} = \int_0^1 p_u^{\prime}v + 
\int_0^1 p_uv^{\prime} = u(1)v(1) - u(0)v(0).$$
\\ \\
{ \bf Exercice 2}
\\ \\
1) Soit $a(u,v)=\int_0^1 u^{\prime}v^{\prime} + (\int_0^1 u)(\int_0^1 v)$, alors 
$a$ 
est bilin\'eaire sym\'etrique et $\vert a(u,v) \vert \leq \Vert u \Vert_{H^1}\Vert 
v 
\Vert_{H^1} + \Vert u \Vert_2\Vert u \Vert_2 \leq 2 \Vert u \Vert_{H^1} \Vert v 
\Vert_{H^1}$ donc $a$ est continue sur $H^1(0,1) \times H^1(0,1)$. Montrons que $a$ 
est coercive, c'est \`a dire, $\exists \alpha>0$ tel que $\forall u \in H^1(0,1)$, 
$a(u,u) \geq \alpha \Vert u \Vert_{H^1}^2$.\\
On raisonne par l'absurde, sinon, $\forall n$, $\exists u_n \in H^1(0,1)$ tel que 
$a(u_n,u_n) < \frac{1}{n} \Vert u_n \Vert_{H^1}^2$. On peut toujours supposer que 
$\Vert u_n \Vert_{H^1} = 1$, comme $H^1(0,1)$ est r\'eflexif, il existe une 
sous-suite 
encore not\'ee $u_n$ telle que $u_n \rightharpoonup u$ dans $H^1(0,1)$ faible. 
L'injection $H^1(0,1) \longrightarrow {\cal C}[0,1]$ \'etant compacte (voir 
l'exercice 
pr\'ec\`edent), $u_n \rightarrow u$ pour $\Vert . \Vert_{\infty}$ et en particulier 
$u_n \rightarrow u$ dans $L^1$ et $L^2$. D'autre part, $\Vert u_n^{\prime} \Vert_2 
< 
\frac{1}{n}$ $\Longrightarrow$ $u_n^{\prime} \rightarrow 0$ dans $L^2$, donc 
finalement $u_n$ est de Cauchy dans $H^1(0,1)$ donc converge et $\exists v \in 
H^1(0,1)$ tel que $u_n \rightarrow v$ dans $H^1(0,1)$. Alors, $\Vert v \Vert_{H^1} 
= 
1$ et $v^{\prime} = 0$ p.p. donc d'apr\`es l'exercice 3, $v$ est constante. Enfin, 
de 
$\left(\int_0^1 u_n\right)^2 < \frac{1}{n}$ et $u_n \rightarrow v$ dans $L^1$, on 
d\'eduit que $\int_0^1 v =0$ donc n\'ecessairement $v=0$ or $\Vert v \Vert_{H^1} = 
1$, 
c'est absurde.\\
D'apr\`es le Th\'eor\`eme de Lax-Milgram (Th.8.5,ch.8), il existe un unique $u \in 
H^1(0,1)$ tel que $a(u,v)=\int_0^1 fv$, $\forall v \in H^1(0,1)$.\\ 
2) Comme $\DD(]0,1[) \subset H^1(0,1)$, si $\vfi \in \DD(]0,1[)$, $a(u,\vfi) = 
\int_0^1 f\vfi = <f,\vfi>$ en terme de distributions. Et,
\begin{eqnarray*}
a(u,\vfi) &=& \int_0^1 u^{\prime}\vfi^{\prime} + \int_0^1 \left(\int_0^1 u\right) 
\vfi,\\
&=& <u^{\prime},\vfi^{\prime}> + <\int_0^1 u,\vfi>,\\
&=& -<u^{\prime \prime},\vfi> + <\int_0^1 u,\vfi>.
\end{eqnarray*}
D'o\`u $< - u^{\prime \prime} + \int_0^1 u - f,\vfi > = 0$, $\forall \vfi \in 
\DD(]0,1[)$, donc $- u^{\prime \prime} + \int_0^1 u = f$ au sens des distributions, 
mais $f \in L^2(0,1)$ et $\int_0^1 u \in L^2(0,1)$ montre que $u \in H^2(0,1)$ et 
v\'erifie $$(\star) \qquad \quad - u^{\prime \prime} + \int_0^1 u = f \quad 
\mbox{p.p.}$$
Pour trouver les conditions aux limites, on multiplie $(\star)$ par $v \in 
H^1(0,1)$ 
et on int\`egre sur $(0,1)$ alors $- \int_0^1 u^{\prime \prime} v + \left(\int_0^1 
u\right)\left(\int_0^1 v\right) = \int_0^1 fv$. Comme $u \in H^2$ et $v \in H^1$, 
l'exercice pr\'ec\`edent nous permet de faire une int\'egration par parties et on 
obtient $a(u,v) - \int_0^1 fv = [u^{\prime} v]_0^1$.\\
Or $u$ est solution de la formulation variationnelle ( i.e. $a(u,v) = \int_0^1 fv$, 
$\forall v \in H^1(0,1)$), donc $u^{\prime}(1) v(1) - u^{\prime}(0) v(0) = 0$ et 
ceci 
$\forall v \in H^1(0,1)$. Donc n\'ecessairement $u^{\prime}(1) = u^{\prime}(0) = 
0$.\\
D'o\`u $u$ est solution du probl\`eme suivant, $u \in H^2(0,1)$ et
\[ \left\{ \begin{array}{lcc}
 - u^{\prime \prime} + \int_0^1 u &=& f \quad \mbox{p.p.}\\
 u^{\prime}(1) = u^{\prime}(0) &=& 0
 \end{array} \right. \]
Et r\'eciproquement.
\\ \\
{ \bf Exercice 3}
\\ \\
Soit $V=\{ u \in H^1(0,1)\,:\,u(\frac{1}{2}) = 0 \}$.\\
1) Comme $id : H^1(0,1) \longrightarrow {\cal C}[0,1]$ est continue, $u \mapsto 
u\left(\frac{1}{2}\right)$ est continue sur $H^1(0,1)$ et $V$ est ferm\'e dans 
$H^1(0,1)$.\\
${\Vert v^{\prime} \Vert}_{L^2}$ est bien une semi-norme sur $V$ et si pour un $v 
\in 
V$, ${\Vert v^{\prime} \Vert}_{L^2} = 0$ alors, d'apr\`es l'exercice 3, $v$ est 
constante sur $(0,1)$ et de $v\left(\frac{1}{2}\right) = 0$, on en d\'eduit que $v 
= 
0$. Donc, on a bien \`a faire \`a une norme sur $V$. On a \'evidemment ${\Vert 
v^{\prime} \Vert}_{L^2} \leq {\Vert v \Vert}_{H^1}$.\\
A-t'on $\exists C>0$ tel que ${\Vert v^{\prime} \Vert}_{L^2} \geq C\,{\Vert v 
\Vert}_{H^1}$ sur $V$ ?\\
Sinon, $\forall n$, $\exists u_n \in V$ avec ${\Vert u_n \Vert}_{H^1} = 1$ tel que 
${\Vert u_n^{\prime} \Vert}_{L^2} < \frac{1}{n} \rightarrow 0$. Alors comme dans 
l'exercice pr\'ec\`edent, on en d\'eduit qu'il existe une sous-suite $u_{n_k}$ de 
Cauchy dans $H^1(0,1)$ donc convergente vers un $v \in H^1(0,1)$. De 
$u_{n_k}^{\prime} 
\rightarrow 0$ dans $L^2$, on tire $v^{\prime}=0$ p.p. et donc $v$ est constante 
sur 
$(0,1)$. Mais $u_{n_k} \rightarrow v$ dans $H^1(0,1)$ $\Longrightarrow$  $0 = 
u_{n_k}\left(\frac{1}{2}\right) \rightarrow v\left(\frac{1}{2}\right)$ par 
continuit\'e de l'injection $H^1(0,1) \longrightarrow {\cal C}[0,1]$. Donc $v = 0$ 
or 
${\Vert v \Vert}_{H^1} = 1$, c'est absurde, ces deux normes sont donc 
\'equivalentes 
sur $V$.\\
2) Soit $a(u,v) = \int_0^1 u^{\prime}v^{\prime}$, alors $a$ est une forme 
bilin\'eaire 
sym\'etrique continue sur $V$ et $v \mapsto v(0)$ est continue sur $V$ puisque $id 
: 
H^1(0,1) \longrightarrow {\cal C}[0,1]$ est continue sur $H^1(0,1)$. Du 
Th\'eor\`eme 
de Lax-Milgram (Th.8.5,ch.8), on d\'eduit qu'il existe un unique $u \in V$ tel que 
$a(u,v)=v(0)$, $\forall v \in V$.\\
3) $\DD(]0,1[) \not\subset V$ donc on ne peut pas exactement raisonner comme dans 
l'exercice pr\'ec\`edent, mais on peut remarquer que $\DD(]0,\frac{1}{2}[)\cup 
\DD(]\frac{1}{2},1[) \subset V$ (en prolongeant ces fonctions par $0$ \`a $]0,1[$ 
tout 
entier).\\
Soit donc $\vfi \in \DD(]0,\frac{1}{2}[)$ alors $a(u,\vfi) = \int_0^{\frac{1}{2}} 
u^{\prime}\vfi^{\prime} = \vfi(0) = 0$, c'est \`a dire $<u^{\prime},\vfi^{\prime}> 
= 0 
= - <u^{\prime \prime},\vfi>$ et ceci $\forall \vfi \in \DD(]0,\frac{1}{2}[)$, donc 
$u^{\prime \prime} = 0$ dans $\Di(]0,\frac{1}{2}[)$ et donc dans 
$L^2(0,\frac{1}{2})$.\\
On obtient par un m\^eme raisonnement, $u^{\prime \prime} = 0$ dans 
$\Di(]\frac{1}{2},1[)$ et donc dans $L^2(\frac{1}{2},1)$. Donc finalement $u \in 
H^2(0,\frac{1}{2})\cap H^2(\frac{1}{2},1)$. On peut alors faire des int\'egrations 
par 
parties sur les deux sous-intervalles $(0,\frac{1}{2})$ et $(\frac{1}{2},1)$. Si $v 
\in V$ alors
\[ \begin{array}{cclclcl}
0&=& -\int_0^{\frac{1}{2}} u^{\prime \prime}v&=& 
\int_0^{\frac{1}{2}}u^{\prime}v^{\prime} -[u^{\prime}v]_0^{\frac{1}{2}}&=& 
\int_0^{\frac{1}{2}}u^{\prime}v^{\prime} + u^{\prime}(0)v(0),\\
\\
0&=& -\int_{\frac{1}{2}}^1 u^{\prime \prime}v&=& \int_{\frac{1}{2}}^1 
u^{\prime}v^{\prime} -[u^{\prime}v]_{\frac{1}{2}}^1&=& \int_{\frac{1}{2}}^1 
u^{\prime}v^{\prime} - u^{\prime}(1)v(1).
\end{array} \]
On ajoute ces deux \'egalit\'es, alors $a(u,v) + u^{\prime}(0)v(0) - 
u^{\prime}(1)v(1) 
= 0$ $\Longrightarrow$ $\left(1+u^{\prime}(0)\right)v(0) = u^{\prime}(1)v(1)$, 
$\forall v\in V$. Donc n\'ecessairement $u^{\prime}(0) = -1$ et $u^{\prime}(1) = 
0$. 
Donc on a r\'esolu
\[ \left\{ \begin{array}{lcl}
u^{\prime \prime} &=& 0 \,\,\,\mbox{sur }(0,\frac{1}{2})\\
u\left(\frac{1}{2}\right) &=& 0\\
u^{\prime}(0) &=& -1  
\end{array} \right. \qquad \mbox{et}\qquad \left\{ \begin{array}{lcl}
u^{\prime \prime} &=& 0 \,\,\,\mbox{sur }(\frac{1}{2},1)\\
u\left(\frac{1}{2}\right) &=& 0\\
u^{\prime}(1) &=& 0 
\end{array} \right. \]
de solutions respectives  : 
\begin{eqnarray*}
u(x) &=& - x + \frac{1}{2} \quad \mbox{sur}\,\, [0,\frac{1}{2}]\\
u(x) &=& 0 \quad \mbox{sur}\,\, [\frac{1}{2},1]
\end{eqnarray*}
On voit tout de suite que $u \not\in H^2(0,1)$ (sinon elle serait ${\cal C}^1$). \\
Au sens des distributions, il est clair que $u^{\prime} = -\ind_{(0,\frac{1}{2})} 
\in 
L^2(0,1)$ et que $u^{\prime \prime} = \delta_{\frac{1}{2}} \not\in L^2(0,1)$.
\\ \\
{ \bf Exercice 4}
\\ \\
$v \rightarrow {\Vert v^{\prime} \Vert}_{L^2}$ est bien une semi-norme sur 
$H^1(0,+\infty)$. Si ${\Vert v^{\prime} \Vert}_{L^2} = 0$ alors $v^{\prime} = 0$ 
p.p. 
et donc $v$ est une constante. Or la seule constante de $L^2(0,+\infty)$ est la 
constante nulle donc c'est bien une norme sur $H^1(0,+\infty)$. On a \'evidemment 
${\Vert v^{\prime} \Vert}_{L^2} \leq {\Vert v \Vert}_{H^1}$.\\
Soit $u_n(x) = n-x$ si $x \leq n$ et $u_n(x) = 0$ sinon. Alors $u_n \in 
H^1(0,+\infty)$, ${\Vert u_n^{\prime} \Vert}_{L^2}^2 = n$ et ${\Vert u_n 
\Vert}_{L^2}^2 = \frac{n^3}{3}$ donc les deux normes ne peuvent pas \^etre 
\'equivalentes sur $H^1(0,+\infty)$.
\\ \\
{ \bf Exercice 5} 
\\ \\ 
1) Par le Th\'eor\`eme des accroissements finis, il existe $C>0$ tel que $\forall u 
\in \Hun$, $\vert f(u) \vert \leq \vert f(0) \vert + C\,\vert u \vert \in \Ld$ donc 
$f(u) \in \Ld$.\\
2) Soit $u_n \in \DD(\RR)$ tel que $u_n \rightarrow u$ dans $\Hun$.

a) De la m\^eme fa\c{c}on, on a : $\vert f(u_n) - f(u) \vert \leq C\,\vert u_n -u 
\vert$ donc $u_n \rightarrow u$ dans $\Ld$ $\Longrightarrow$ $f(u_n) \rightarrow 
f(u)$ dans $\Ld$.

b) On a $\vert \alpha_n \vert \leq C\,\vert u_n^{\prime} - u^{\prime} \vert$ donc 
$u_n^{\prime} \rightarrow u^{\prime}$ dans $\Ld$ $\Longrightarrow \alpha_n 
\rightarrow 0$ dans $\Ld$. Comme $u_n \rightarrow u$ dans $\Ld$, il existe une 
sous-suite $u_{n_k}$ telle que $u_{n_k} \rightarrow u$ p.p. Par continuit\'e de 
$f^{\prime}$, $f^{\prime}(u_n) \rightarrow f^{\prime}(u)$ p.p. D'o\`u finalement,
\[ \left. \begin{array}{l}
\beta_{n_k} \rightarrow 0 \quad \mbox{p.p.}\\
\vert \beta_{n_k} \vert \leq 2 \Vert f^{\prime} \Vert_{\infty} \vert u^{\prime} 
\vert \in \Ld
\end{array}  \right\} \Longrightarrow \beta_{n_k} \longrightarrow 0 \mbox{ dans } 
\Ld, \]
par le Th\'eor\`eme de convergence domin\'ee.

c)Soit $\vfi \in \DD(I)$, alors
$$(\star) \qquad \int_I f(u_n) \vfi^{\prime}\,= - \int_I 
f^{\prime}(u_n)u_n^{\prime} \vfi,$$
puisque toutes les fonctions consid\'er\'ees sont assez r\'eguli\`eres. Comme 
$f(u_n) \rightarrow f(u)$ dans $\Ld$, $\int_I f(u_n) \vfi^{\prime} \longrightarrow 
\int_I f(u) \vfi^{\prime}$.\\
D'autre part, $f^{\prime}(u_n)u_n^{\prime} - f^{\prime}(u)u^{\prime} = \alpha_n + 
\beta_n$ donc 
\[ \left.
\begin{array}{lll}
\alpha_n \rightarrow 0 \mbox{ dans } \Ld & \Longrightarrow & \int_I \alpha_n \vfi 
\longrightarrow 0 \\
\beta_{n_k} \rightarrow 0 \mbox{ dans } \Ld & \Longrightarrow & \int_I \beta_{n_k} 
\vfi \longrightarrow 0
\end{array} \right\} \Longrightarrow \int_I (\alpha_{n_k}+\beta_{n_k}) \vfi 
\longrightarrow 0. \]
D'o\`u en passant \`a la limite dans ($\star$), pour une sous-suite, on obtient :
$$\int_I f(u) \vfi^{\prime}\,= - \int_I f^{\prime}(u)u^{\prime} \vfi,$$
et ceci $\forall \vfi \in \DD(I)$. Or $f^{\prime}(u)u^{\prime} \in \Ld$ car 
$f^{\prime} \in \Linf(I)$ et $u^{\prime} \in \Ld$, donc $f(u) \in \Hun$ et 
${(f(u))}^{\prime} = f^{\prime}(u)u^{\prime}$. \\
3) Soit $\eps > 0$ fix\'e, $\feps(t) \rightarrow 0$ quand $t \rightarrow 0$ par 
valeurs positives, donc $\feps \in {\cal C}(\RR)$. De plus, si $t>0$, 
$\feps^{\prime}(t) = \frac{t}{\sqrt{(t^2+\ep^2)}} \longrightarrow 0$ quand $t 
\rightarrow 0$, donc $\feps \in {\cal C}^1(\RR)$. Enfin, $\forall \ep>0$ et 
$\forall t \in \RR$, $\vert \feps^{\prime}(t) \vert \leq 1$ donc $\feps \in E$ et 
$\forall \ep>0$ et $\forall t$, $\vert \feps(t) \vert \leq \vert t \vert$.\\
Quand $\ep \rightarrow 0$, $\feps(t) \rightarrow 0$ si $t \leq 0$ et $\feps(t) 
\rightarrow t$ si $t \geq 0$ donc $\feps(t) \rightarrow t^+$. D'o\`u
\[ \left.  \begin{array}{l}
\feps(u) \rightarrow u^+ \mbox{ p.p.}\\
\vert \feps(u) \vert \leq \vert u \vert \in \Ld
\end{array} \right\} \Longrightarrow \feps(u) \longrightarrow u^+ \mbox{ dans } 
\Ld,
\]
par le Th\'eor\`eme de convergence domin\'ee.\\
4) D'apr\`es 2), $\feps(u) \in \Hun$ et $\forall \ep>0$, $\forall \vfi \in \DD(I)$, 
$ \int_I \feps(u) \vfi^{\prime}\,= - \int_I \feps^{\prime}(u)u^{\prime} \vfi$. On 
sait que $\feps(u) \rightarrow u^+$ dans $\Ld$ donc $\int_I \feps(u) \vfi^{\prime} 
\longrightarrow \int_I u^+ \vfi^{\prime}$. D'autre part,
\[ \left.
\begin{array}{llll}
\feps^{\prime}(t) &=& \frac{t}{\sqrt{t^2+\ep^2}}, &t>0\\
                  &=& 0,&t \leq 0
                  \end{array} \right\} \stackrel{\ep \rightarrow 
0}{\longrightarrow}
                   \left\{ \begin{array}{ll}
                  1&\mbox{si } t>0\\
                  0&\mbox{sinon}
                  \end{array} \right\} = \ind_{[t>0]},\]
donc 
\[ \left.
\begin{array}{l}
\feps^{\prime}(u) \rightarrow \ind_{[u>0]} \mbox{ p.p.}\\
\vert \feps^{\prime}(u)u^{\prime} \vert \leq \vert u^{\prime} \vert \in \Ld
\end{array} \right\} \Longrightarrow  \feps^{\prime}(u)u^{\prime} \longrightarrow  
\ind_{[u>0]}u^{\prime} \mbox{ dans } \Ld,\]
par le Th\'eor\`eme de convergence domin\'ee. D'o\`u
$$\int_I \feps^{\prime}(u)u^{\prime} \vfi\,\longrightarrow \int_I 
\ind_{[u>0]}u^{\prime} \vfi.$$
A la limite, on obtient : $\int u^+ \vfi = - \int \ind_{[u>0]}u^{\prime} \vfi$, 
$\forall \vfi \in \DD(I)$, donc $u^+ \in \Hun$ et $(u^+)^{\prime} = 
\ind_{[u>0]}u^{\prime}$.\\
5) On a $u^- = (-u)^+$ donc $u^- \in \Hun$, $(u^-)^{\prime} = - 
\ind_{[u<0]}u^{\prime}$ et $\vert u \vert = u^+ + u^- \in \Hun.$\\
(La d\'emonstration est la m\^eme en dim$\,>1$, en rempla\c{c}ant $u^{\prime}$ par 
$\frac{\partial}{\partial x_i}u$.)
\\ \\
{ \bf Exercice 6}
\\ \\
Soit $N$ une norme d\'erivant d'un produit scalaire, alors $N^2$ est ${\cal 
C}^{\infty}$ et sa d\'eriv\'ee seconde est une forme bilin\'eaire sym\'etrique 
d\'efinie positive (c'est \`a une constante positive pr\`es le produit scalaire) 
donc $N^2$ est strictement convexe.\\
Une norme est convexe et non strictement convexe car $N(tu)=tN(u)$ si $t>0$.
\\ \\ 
{ \bf Exercice 7}
\\ \\ 
On note $\Hnulo = \{u \in \Huno\,:\,u(0)=u(1)=0 \}.$\\
1) Si $u \in \Hnulo$ alors on peut \'ecrire $u(x) = \int_0^x u^{\prime}(t) dt$ 
(voir le Th\'eor\`eme 11.1, ch.11). En 
appliquant Cauchy-Schwarz, on en d\'eduit que $\vert u(x) \vert \leq \sqrt{x} \Vert 
u^{\prime} \Vert_2$. On \'el\`eve cette derni\`ere in\'egalit\'e au carr\'e et on 
int\`egre, on obtient alors $\Vert u \Vert^2 \leq \frac{1}{2} \Vert u^{\prime} 
\Vert_2^2$, d'o\`u $\Vert u^{\prime} \Vert_2^2 \leq \Vert u \Vert_{H^1}^2 \leq 
\frac{3}{2} \Vert u^{\prime} \Vert_2^2$. On en conclut que $(\Hnulo,\Vert 
u^{\prime} \Vert_2)$ est un espace de Hilbert.\\ 
2) Si $v \in \Huno$ alors $v \in L^2 \cap L^{\infty}$ car $\Huno \subset {\cal 
C}[0,1]$. Donc $v \in L^q$, $\forall q \geq 2$ et $F(v)$ a bien un sens. Comme 
$\vert \int_0^1 fv \vert \leq \Vert f \Vert_2 \Vert v \Vert_2 \leq 
\frac{1}{\sqrt{2}} \Vert f \Vert_2 \Vert v^{\prime} \Vert_2$ si $v \in \Hnulo$, il 
existe $C>0$ tel que $F(v) \geq \frac{1}{2} \Vert v^{\prime} \Vert_2^2 - 
\frac{1}{\sqrt{2}} \Vert f \Vert_2 \Vert v^{\prime} \Vert_2 \geq C$, $\forall v \in 
\Hnulo$. De plus $F(v) \longrightarrow +\infty$ quand $\Vert v^{\prime} \Vert_2 
\rightarrow \infty$.\\
D'autre part, comme $\Huno \subset {\cal C}[0,1]$ avec injection continue, il 
existe $M>0$ tel que $\forall v \in \Huno$, $\Vert v \Vert_4 \leq M \Vert v 
\Vert_{H^1}$, ce qui montre que $F$ est continue sur $\Hnulo$. Enfin $F$ est 
convexe ($\Vert v \Vert_4^4$= compos\'ee de $x \mapsto x^4$, croissante et convexe 
sur $\RR^+$ et d'une norme est convexe). Donc $F$ est s.c.i. faible et le 
Th\'eor\`eme sur l'inf des fonctions s.c.i. (Corollaire 4.5, ch.4) montre qu'il 
existe $u \in \Hnulo$ tel 
que $F(u) \leq F(v)$, $\forall v \in \Hnulo$. L'unicit\'e provient du fait que $F$ 
est strictement convexe car le terme $\Vert v^{\prime} \Vert_2^2$ l'est d'apr\`es 
l'exercice pr\'ec\'edent.\\
3) Soient $t>0$ et $v \in \Hnulo$ alors $F(u+tv) - F(u) \geq 0$ donc
$$\frac{F(u+tv) - F(u)}{t} = \int_0^1 u^{\prime}v^{\prime} + \int_0^1 u^3 v - 
\int_0^1 fv + t \,{\cal O}(1) \geq 0.$$
Quand $t \rightarrow 0$, on obtient 
$$\int_0^1 u^{\prime}v^{\prime} + \int_0^1 u^3 v - \int_0^1 fv \geq 0,$$
et en changeant $v$ en $-v$,
$$\int_0^1 u^{\prime}v^{\prime} + \int_0^1 u^3 v - \int_0^1 fv = 0,$$
pour tout $v \in \Hnulo$.\\
4) En particulier, comme $\DD(]0,1[) \subset \Hnulo$, on a
$$\int_0^1 u^{\prime}\vfi^{\prime} + \int_0^1 u^3 \vfi = \int_0^1 f\vfi,\quad 
\forall \vfi \in \DD(]0,1[).$$
On utilise maintenant le fait que $u^{\prime},\,u^3,\,f$ sont dans $L_{loc}^1$ et 
d\'efinissent des distributions pour \'ecrire que
 \begin{eqnarray*}
\int_0^1 u^{\prime}\vfi^{\prime} &=& <u^{\prime},\vfi^{\prime}> = -<u^{\prime 
\prime},\vfi>,\\
\int_0^1 u^3 \vfi &=& <u^3,\vfi>,\\
\int_0^1 f\vfi &=& <f,\vfi>,
\end{eqnarray*}  
et donc $<-u^{\prime \prime} + u^3 - f,\vfi> = 0$, $\forall \vfi \in \DD(]0,1[)$. 
D'o\`u $-u^{\prime \prime} + u^3 = f$ dans $\Di(]0,1[)$. Comme $f$ et $u^3$ sont 
dans $\Ld$, on en d\'eduit que $u^{\prime \prime} \in \Ld$ donc l\'egalit\'e a lieu 
p.p et $u \in H^2(0,1)$.\\ 
5) Comme $F$ est convexe, on a : $\forall t \in ]0,1]$, $F(u+t(v-u))\leq 
F(u)+t[F(v)-F(u)]$, $\forall v \in \Hnulo$. Donc
$$\frac{F(u+t(v-u)) - F(u)}{t} \leq F(v)-F(u),\quad \forall t>0.$$
On a vu en 3) que
$$\frac{F(u+t(v-u)) - F(u)}{t} = \int_0^1 u^{\prime}(v-u)^{\prime} + \int_0^1 u^3 
(v-u) - \int_0^1 f(v-u) + t \,{\cal O}(1).$$
Comme $u \in H^2\cap\Hnulo$ et $v\in \Hnulo$, on a $\int_0^1 
u^{\prime}(v-u)^{\prime} = - \int_0^1 u^{\prime \prime} (v-u)$ donc 
$$\frac{F(u+t(v-u)) - F(u)}{t} = \int_0^1 (\underbrace{- u^{\prime \prime} + u^3 
-f}_{= 0})(v-u) + t {\cal O}(1),\quad \forall t>0.$$
En particulier, $F(v)-F(u) \geq t {\cal O}(1)$ et quand $t \rightarrow 0$, on 
obtient $F(v) \geq F(u)$, $\forall v \in \Hnulo$. Donc $u$ est solution de 
$(\star)$.\\
6) On suppose que $f \geq 0$ p.p. Si u est solution de $(\star)$ alors on a vu que 
$\forall v \in \Hnulo$,  $\int_0^1 u^{\prime}v^{\prime} + \int_0^1 u^3 v = \int_0^1 
fv$. On choisit $v = u^- = - \inf(0,u)$ alors $v \in \Hnulo$ (voir l'exercice 5), 
$v \geq 0$ et on 
obtient $ - \int_0^1 (u^-)^{\prime 2}  - \int_0^1 (u^-)^4 = \int_0^1 fu^- \geq 0$. 
On en d\'eduit par exemple que $\int_0^1 (u^-)^4 \leq 0$ et donc que $u^- = 0$ p.p. 
D'o\`u $u \geq 0$ p.p.
\\ \\
\chapter{Notations}
$E_{\om} =$ l'espace $E$ muni de la topologie faible $\sigma(E,\Ep)$.\\
$E_{\om\star} =$ l'espace $E$ muni de la topologie faible $\star$ 
$\sigma(\Ep,E)$.\\
${\cal L}(E,F) =$ l'espace des applications lin\'eaires continues de $E$ dans 
$F$.\\
$\Ep = {\cal L}(E,\RR)$\\
$(E_{\om})^{\prime} =$ l'espace des applications lin\'eaires continues de $E$ muni 
de la toplogie faible \`a valeurs dans $\RR$.\\
$(E_{\om\star})^{\prime} =$ l'espace des applications lin\'eaires continues de $E$ 
muni de la toplogie faible $\star$ \`a valeurs dans $\RR$.\\
$<f,x> = f(x)$ est le crochet de dualit\'e $\Ep,E$.\\
int($A$) = int\'erieur de $A$.\\
$\vert A \vert =$ la mesure de $A$ si $A$ est un ensemble.\\
$E \setminus F = \{ x\in E : x \not\in F \}$.\\
vect$\{a_1,...,a_n \}$ est l'espace vectoriel engendr\'e par $a_1,...,a_n$, on 
pourrait l'\'ecrire $\RR a_1+...+\RR a_n$.\\
$\vois =$ l'ensemble des voisinages de $x$ pour la topologie consid\'er\'ee.\\
${\cal V}_{\om}(x) =$ l'ensemble des voisinages de $x$ pour la topologie faible.\\
$\rightharpoonup$ signifie convergence pour la topologie faible, c'est en 
g\'en\'eral pr\'ecis\'e dans le texte.\\
P.F.I $=$ l'ensemble des parties finies de $I$.\\
$\ind_A =$ la fonction indicatrice de l'ensemble $A$.\\
$\Vert . \Vert_p =$ la norme usuelle des espaces $L^p$ ou bien $\ell^p$.\\
${\cal C}(\Om) =$ l'ensemble des fonctions \`a valeurs r\'eelles, continues sur 
$\Om$.\\
${\cal C}_c(\Om) =$ l'ensemble des fonctions continues et \`a support compact dans 
$\Om$.\\
$\DD(\Om)$ ou ${\cal C}^{\infty}_0(\Om)$ est l'ensemble des fonctions de classe 
${\cal C}^{\infty}$ \`a support compact dans $\Om$.\\
$\Di(\Om) =$ l'ensemble des distributions sur $\Om$.
\chapter{Index}
\input{test.idx}
\end{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{lem} ({\bf in\e galit\ea de Clarkson})
\fb& \label{Clarkson}
\hbox {Si } $p>2$ \hbox{ et } a, b\in \RR,\;
|\frac{a+b}2|^p+|\frac{a-b}2|^p\leq
\frac 1 2(|a|^p+|b|^p).
\fe&
\end{lem}
\paragraph{D\e monstration}
On a $c^p+d^p\leq (c^2+d^2)^{\frac p 2}$ si $c, d\geq 0$.  En effet, la fonction 
$x\to (x^2+1)^\frac p 2-(x^p+1)$ est croissante sur $[0,+\infty]$ et vaut 0 en 0.
On pose $c=|\frac{a+b}2| $ et $d=|\frac{a-b}2|$, ce qui donne
$$|\frac{a+b}2|^p+|\frac{a-b}2|^p\leq (|\frac {a+b}2|^2+|\frac {a-b}2|^2)^\frac p2
=(\frac{a^2}2+\frac {b^2}2)^\frac p2\leq \frac 1 2(|a|^p+|b|^p).$$
La derni\ee re in\e galit\ea vient de la convexit\ea de $x\to |x|^\frac p2$ pour
$p\geq 2$.
\enddemo



\begin{lem}\label{caspgeq2} (Cas $p\geq 2$) La suite $f_k\in V_k$  des projections
de
$\tilde f$, sur $V_k$
 converge dans
$L^2(C)$ vers une fonction $f\in L^{p'}(C)$ telle que 
\fb& \label{dualitedansCpleq2}
\forall v\in L^p(C), \;\tilde f(v) = \int_C f(x)v(x)dx
\end{lem}
\paragraph{D\e monstration}
On d\e finit une fonction $v_k$ duale de $f_k$ par
$$v_k(i)=(\frac{f_k(i)}{||f_k||_{L^{p'}})^\frac 1 {p-1}},$$
 en sorte que $||v_k||_{L^p}=1$ et 
\fb& \label{proprietedev-k}
\int_C f_kv_k(x)dx=||f_k||_{L^{p'}}.
\fe&
 La suite $v_k$ \e tant born\e e dans $L^p$, qui est le dual de $L^{p'}$, il existe
une sous-suite convergente vers une fonction $v\in L^p$ pour la topologie faible
$\sigma(L^p,L^{p'})$. On va montrer que cette convergence est forte.
Par le th\e or\ee me de Mazur, il existe des combinaisons
convexes des $v_l, l\geq k$ qui convergent fortement vers $v$ dans $L^p$. Notons
les $w_k=\sum_{k\leq i\leq n_k} \lambda_i v_i\to v$.  On a donc 
$$
\tilde f(w_k)=\sum_{k\leq i\leq n_k}\lambda_i\tilde
f(v_i)\geq ||f_{k}||_{L^{p'}}.
$$
En effet, on sait que si $v\in V_k$, alors $\tilde f(v)=\int_C f_k(x)v(x)dx$. 
Donc comme $i\leq n_k$, $\tilde
f(v_i)=\int_Cf_{i}(x)v_i(x)dx=||f_i||_{L^{p'}}\geq ||f_k||_{L^{p'}}.$ par 
(\ref{proprietedev-k}). Comme $w_k\to v$ dans $L^p$, on a $\tilde f(w_k)\to f(v)$
et donc 
$$\forall k, \tilde f(v)\geq ||f_{n_k}||_{L^{p'}}.$$  Comme $||f_k||_{L^{p'}}\to
||\tilde f||$ (relation (\ref{normesdesfkcroissent}), on d\e duit que $\tilde
f(v)=||\tilde f||_{L^{p'}}$ et comme
$||v||_{L^p}\leq 1$, cela implique que $||v||_{L^p}=1$.  Pour r\e sumer, on a
obtenu
$$v_k\to v, \; \sigma(L^p, (L^p)') \hbox{ et  } ||v_k||_{L^p}=||v||_{L^p}=1.$$

\enddemo






\paragraph{D\e monstration du th\e or\ee me \ref{reflexivitedeLp}}
Soit $f\in (L^p)'$ et $f_k\in V_k$ sa restrictions \a $V_k$.  Par le lemme
\ref{convergencefaibledesrestrictions}, on a $f_k\rightharpoonup f$ dans
$\sigma((L^{p})', L^p)$.  Reste \a montrer que $f_k$ tend effectivement vers une
fonction de $L^{p'}$.
\enddemo

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{Def} \index{Fonction dyadique}
Dans ce qui suit, on appelle {\rm fonction en escalier dyadique, ou fonction
dyadique} une fonction  constante, pour un certain $k\in \NN$, sur tous les
cubes de la forme 
$$
[\frac {p_1} {2^k},
\frac {p_1+1}{2^k}]\times [\frac {p_2} {2^k}, \frac
{p_2+1}{2^k}]\times...[\frac {p_k} {2^k}, \frac
{p_{k}+1}{2^k}],
$$ o\u $(p_1, p_2, ...,p_k)\in \relative^N.$
On appellera {\rm espaces d'approximation emboit\e s} les espaces $V_k$ des
fonctions en escalier dyadiques constantes sur des cubes de cot\ea $2^-k$ et \a
support inclus dans $[-2^k, 2^k]^N$.
\end{Def}
\begin{pro} \label{espacesemboites}
 Les espaces emboit\e s 
$V_k$ sont  de dimension finie, et v\e rifient pour tout $1\leq p<\infty$
$$V_k \subset V_{k+1}, \; \overline{\bigcup_{k\in \NN}V_k}^{L^p}=L^p.$$
En d'autres termes, l'union des $V_k$ est dense dans $L^p$ pour tout $1\leq
p<\infty$.
\end{pro}
\begin{cor}

 Pour tout $1\leq p<\infty$, $L^p$ est s\e parable.  
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration du Lemme \ref{espacesemboites}}
Les fonctions continues \a support compact sont denses dans $L^p$ 
et l'on peut approcher uniform\e ment celles-ci par des fonctions en escalier
dyadiques. La convergence uniforme sur un compact
implique la convergence dans tout
$L^p$. Donc les fonctions en escalier dyadiques \a support compact sont denses dans
$L^p$.  Par ailleurs, on peut approcher  uniform\e ment n'importe quelle fonction 
en escalier par une fonction en escalier dont les valeurs sont rationnelles.  Or,
l'ensemble des fonctions en escalier dyadiques \a support compact et \a valeurs
rationnelles est d\e nombrable.  Comme cet ensemble est contenu dans l'union des
$V_k$, on  obtient le r\e sultat de densit\ea annonc\e .
\enddemo
\begin{pro} $L^\infty(\RR^N)$ n'est pas s\e parable.  
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
On pose pour $r>0$ $u_r(x) = 1$ si $||x||\leq 1$, $u_r(x)=0$ sinon. On consid\ee
re les boules $B_r = \{f\in L^\infty, ||f-u_r||<\frac 1 2\}$. Elles forment une
famille non d\e nombrable d'ouverts disjoints, ce qui est \e videmment impossible
dans un espace s\e parable.
\enddemo
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
On va proc\ee der la mani\ee
re suivante : on  se restreint d'abord \a $L^p(C)$, o\u $C=C_l=[-2^l, 2^l]^N$
est un hypercube de $\RR^N$.  Ceci nous permet d'approcher $L^p(C)$ par des
espaces de fonctions en escalier emboit\e s $(V_k)_{k\in \NN}$  de dimension
finie.  On commence  montrer les relations pr\e c\e dentes dans le cas de ces
espaces emboit�s.  On montre ainsi que la restriction \a
$V_k$ de $\tilde f$ peut s'\e crire sous la forme $\tilde f(u) = \int f_ku$ o\u 
$f_k\in V_k$. On montrera ensuite que les fonctions $f_k$ convergent vers une
fonction $f\in L^{p'}(C)$ qui v\e rifie les relations annonc\e es dans le th\e
or\ee me \ref {reflexivitedeLp}. On terminera en appliquant ce r\e sultat \a tout
$C_l$ et en faisant tendre $l$ vers l'infini.  Pr\e cisons les notations utilis\e
es pour manier 
$V_k$.  Cet espace est compos\ea de fonctions constantes sur un nombre fini
d'hyperrectangles, que l'on notera
$C_i, i=1,...,M$ et nulles ailleurs.  On notera $c_k$ la mesure (le volume) de ces
hyperrectangles.  Si $f\in V_k$, on note $f_i$ la valeur de $f$ sur  
$C_i$.  On a donc 
\fb& \label{normesurVk}
\forall f=(f_i)_i\in V_k, \; ||f||_p = c_k^\frac 1 p(\sum_i |f_i|^p)^\frac 1 p.
\fe&
Comme $V_k$ est constitu\ea de fonctions born\e es \a support compact, il est
inclus dans n'importe quel $L^p$ et on peut donc le munir de n'importe quelle
norme $L^p$.  Par ailleurs son dual pour n'importe laquelle de ces normes est
naturellement identifiable \a $V_k$ lui m\eee me.  Cette identification n'est que
partielle, puisque la norme change selon que l'on consid\ee re $V_k$ comme
sous-espace de $L^p$ ou de $L^{p'}$ par exemple.  Enfin, $V_k$ est aussi
naturellement un espace dual de $L^p$, puisque l'on peut poser pour $f\in V_k$
et $v\in L^p$, $f(v)=\int fv$.   Donc on a aussi $f\in (L^p)'$.  On va devoir
comparer ces diverses normes en dimension finie, puis voir ce qui se passe quand
$k$ tend vers l'infini.

\begin{lem} {\bf le dual de $V_k$)} On munit 
$V_k$ de la norme $L^p$.  Soit $\tilde f\in V_k'$. Alors il
existe  
$f=(f_i)\in V_k$ telle que
\fb& \label{dualitedeVk}
\forall v\in V_k, \; \tilde f(v) =c_k\sum_i f_iv_i \hbox{ et }
||\tilde f||_{V_k'}=||f||_{L^{p'}}. 
\fe&
\end{lem}

\paragraph{D\e monstration}  Toute forme lin\e aire $\tilde f$ sur $V_k$, qui est
de dimension finie peut s'�crire (on introduit le volume $c_k$ pour normaliser) :
$$
\tilde f(v) =  c_k\sum_i f_iv_i= \int fv,
$$
o\u $f=(f_i)\in V_k$.  On applique l'in\e galit\ea de H\"{o} lder, en notant que
$V_k$ est aussi bien un sous-espace de $L^p$ que de $L^{p'}$ :
\fb& \label{hoeldersurVk}
|\tilde f(v)|\leq ||f||_{L^{p'}}||v||_{L^p}.
\fe&
Comme $V_k$ est muni de la norme $L^p$, on d\e duit imm\e diatement que 
$||\tilde f||_{V_k'}\geq ||f||_{L^{p'}}$.  Montrons qu'on a \e galit\e . Il
suffit de trouver v tel que l'\e galit\ea soit r\e alis\e e dans
(\ref{hoeldersurVk}).  On pose simplement $v_i = \signe(f_i)|f_i|^{p'-1}.$ Alors
$$\tilde f(v) = c_k\sum_i |f_i|^{p'-1}|f_i| = ||f||_{L^{p'}}^{p'},$$
tandis que $$||v||_{L^p}= (c_k\sum_i |f_i|^{(p'-1)p})^\frac 1 p =
||f||_{L^{p'}}^\frac{p'}p.$$
De ces deux derni\ee res relations, on d\e duit que 
$$\frac {|f(v)|}{||v||_{L^p}} = \frac
{||f||_{L^{p'}}^{p'}}{||f||_{L^{p'}}^\frac{p'}p} = ||f||_{L^{p'}}.$$  On a donc
bien \e galit\ea possible dans (\ref{hoeldersurVk}).
\enddemo

\begin{lem} \label{comparaisondesnormes}
Pour tout  $f\in V_k$ et $v\in L^p$, on pose $f(v)=\int fv$. Cela permet de
consid\e rer
$f$ comme une forme lin\e aire sur $L^p$ et on a
$$||f||_{L^{p'}} \leq ||f||_{(L^p)'}.$$

\end{lem}
\paragraph{D\e monstration}
$$||f||_{(L^p)'}=\sup_{||v||_{L^p}\leq 1}\int fv =\sup_{||v||_{L^p}\leq 1}
\sum_if(i)\int_{C_i}|v|(x)dx \geq$$

$$\sup_{||v||_{L^p}\leq 1, v\in V_k} \sum_i c_k f(i)v(i)=||f||_{L^{p'}},
$$
o\u la derni\ee re \e galit\ea vient de (\ref{dualitedeVk}).
\enddemo

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{lem}\label{caspleq2} (Cas $p\leq 2$) La suite d'approximations $f_k$ de
$\tilde f$ sur
$C$ converge dans
$L^2$ vers une fonction $f\in L^{p'}(C)$ telle que 
\fb& \label{dualitedansCpleq2}
\forall v\in L^p(C), \;\tilde f(v) = \int_C f(x)v(x)dx
\fe&
\end{lem}
%
\paragraph{D\e monstration}
On a imm\e diatement par subdivision de $C_i^k$
\label{relationsdemoyenne}
f_k(i)=\frac 1 2(f_{k+1}(2i)+f_{k+1}(2i+1)
\fe&
$f_k(i)$ est donc \e gale \a la valeur moyenne de $f_{k+1}$ sur $C_i^k$. On en d\e
duit  que
$f_{k+1}-f_k$ est d'int\e grale nulle sur chaque 
$C_i^k$ et donc  $\int_C(f_{k+1}-f_{k}) g_l=0$ pour tout $l\leq k$.  En
particulier, 
\fb&\label{orthogonalit\ea}
\int_C(f_{k+1}-f_k)(f_{l+1}-f_l)=0\hbox{ si } k\neq l.
\fe&
Partons de l'identit\ea 
$$|f_{k+1}(2i)+f_{k+1}(2i+1)|^2+|f_{k+1}(2i)-f_{k+1}(2i+1)|^2=\frac 1 2
(|f_{k+1}(2i)|^2+|f_{k+1}(2i+1)^2).$$
En la sommant en $i$ et en la multipliant par $\mes C_ik$, on obtient
\fb& \label{convergenceL2desfk}
\int_C |f_k(x)|^2dx + \int_C |f_k-f_{k+1}|^2dx = \int_C|f_{k+1}(x)|^2dx.
\fe&
Additionnant ces relations de 1 \a l'infini :
$$\sum_{k\in \NN} ||f_{k+1}-f_k||_{L^2(C)} \leq \lim_k\sup
||f_k||_{L^2(C)}^2-||f_1||_{L^2(C)}^2<\infty.$$
En effet, $C$ \e tant born\e ,  l'in\e galit\ea de H\ooo lder nous donne
$||f_k||_{L^2(C)}\leq c||f_k||_{L^{p'}(C)}$ puisque 
$p'>2$.
Comme la suite $f_{k+1}-f_k$ est un syst\ee me orthogonal, la relation 
({convergenceL2desfk}) implique que  la suite $f_k$ converge dans $L^2(C)$.  Soit
$f\in L^2(C)$ sa limite. 
Comme $||f_k||_{L^{p'}}\leq ||\tilde f||_{(L^p)'}$, on peut appliquer le lemme 
\ref{lalimiteppdansLp} et on conclut que $f$ est dans $L^{p'}(C)$.  Reste \a
montrer  que $\tilde f(v)=\int_C fv$ pour tout $v\in L^p(C)$.  Mais cette
relation est vraie si $v $ est dans un quelconque $V_k$ : c'est la relation 
(\ref{dualitedansCpleq2}).Donc les formes
lin\e aires  $\tilde f$ et $f$ co\ii cident sur un sous espace
dense de $L^p(C)$, l'union des $V_k$, et donc partout.
\enddemo

\begin{lem} Si $p\leq 2$, $L^p(\RR^N)$ est r\e flexif et $(L^p)'=L^{p'}$.
\end{lem}
\paragraph{D\e monstration}
On consid\ee re les espaces emboit\e s $V_l=L^p(C_l)$, o\u $C_l=[-l,l]^N$, $l\in
\NN$.  Par le lemme{caspleq2} il existe des fonctions $f\in L^{p'}(C_l)$
telles que 
\fb& \label{dualitedansCl}
\forall v\in L^p(C_l), \;\tilde f(v) = \int_C f_l(x)v(x)dx
\fe&
et on a de plus $f_{k+l}_{C_l}=f_l$ et 
\fb& \label{estimationdesf-l}
||f_l||_{L^{p'}}\leq ||\tilde
f||_{(L^p)'}.
\fe&
  On peut donc poser $f(x) = f_l(x)$ si $x\in C_l$.  En appliquant
le th\e or\ee me de Beppo-Levi, on d\e duit de (\ref{estimationdesf-l}) que 
$f\in L^{p'}$ et $||f||_{L^{p'}}\leq ||\tilde f||_{(L^p)'}.$
Comme $f$ (consid\e r\e e comme une forme lin\e aire sur $L^p$) et $\tilde f$
coincident sur le sous-espace dense de
$L^p$, $\cup_l V_l$, elles sont \e gales.
\enddemo

\begin{lem} \label{reflexivitepgeq2}
Soit $p\geq 2$.  Alors $L^p$ est r\e flexif et $(L^p)'= L^{p'}$.

\end{lem}
\paragraph{D\e monstration}
  Soit l'application $T$ qui \a
tout \e l\e ment de $L^p$ associe la forme lin\e aire $Tu$ sur $L^{p'}$ d\e finie
par 
$Tu(v)=\int uv$.
Cette application est une isom\e trie de $L^p$ sur $T(L^p)\subset
(L^{p'})'=L^p$.  En effet, on a $|Tu(v)\leq ||u||_{L^p}||v||_{L^{p'}}$ par l'in\e
galit\ea de H\ooo lder.  Donc $||Tu||_{(L^{p'})'}\leq ||u||_{L^p}$.  Mais en
consid\e rant la fonction duale de $u$, $f=\signe(u)|u|^{p-1}$, on voit que 
$f\in L^{p'}$, $||f||_{L^p'}=||u||_{L^p}^p$ et $Tu(f)=||u||_{L^p}^p$. Donc 
$Tu(f)=||f||_{L^{p'}}||u||_{L^p}$ et on conclut que
$||Tu||_{(L^{p'})'}=||u||_{L^p}$.  $T$ est donc bien une isom\e trie de $L^p$ sur
son image $T(L^p)\subset (L^{p'})'$.  Comme $L^p$ est complet, $T(L^p)$ est un
sous-espace ferm\ea d'un espace r\e flexif. En effet, $p'\leq 2$ et donc on sait
que $L^{p'}$ est r\e flexif et aussi son dual.  On conclut que $L^p$ est r\e
flexif.  

\enddemo
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
\begin{lem}\label{convergencefaibledesrestrictions}
Soit $\tilde f$ une forme lin\e aire sur $L^p$ et $f_k\in V_k$ sa restriction \a
$V_k$ munie de la norme $(L^p)'$.  Alors $f_k\rightharpoonup f$ dans
$\sigma((L^p)', L^p)$.
\end{lem}
%
\paragraph{D\e monstration}
On veut montrer que $\forall v\in L^p, \int f_kv \to \int fv.$  Mais comme les
$V_k$ sont des espaces emboit\e s d'union dense, 
$$\forall v\in L^p, \; \forall \varepsilon>0,\; \exists k_0, \; k\geq k_0
\Rightarrow \exists v_k\in V_k,\; ||v-v_k||_{L^p}\leq \varepsilon.$$
Donc 
$$|f_k(v)-f(v)|\leq |f_k(v)-f_k(v_k)|+|f_k(v_k)-f(v_k)|+|f(v_k)-f(v)|\leq$$
$$2||f||_{(L^p)'} ||v_k-v||_{L^p} ,$$
car $|f_k(v_k)-f(v_k)=0$ par d\e finition de $f_k$.
\enddemo

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter{S\e ries de Fourier et cordes vibrantes}
On consid\ee re une corde \e lastique, fix\e e aux deux extr\e mit\e s situ\e es en 
deux points de l'espace distants de $L$. 
On note pour tout temps $t\geq 0$ et $0\leq x\leq L$, $y(t, x)$ l'\e cartement de 
la corde
par rapport
\a sa position de repos.  Les points de  la corde sont donc param\e tr\e s par $(x,
y(t, x))$. On note $y_t(t,x)$ la d\e riv\e e partielle premi\ee re de $y$ par 
rapport
\a $t$ et on notera de m\eee me $y_x(t,x)$, $y_{xx}$, $y_{tt}$, etc.

 L'\e nergie de la corde est, \a un facteur pr\ee s, \e gale \a
$$
E(t,y) = \frac 1 2\int_0^T |y_t|^2(t,x)dx + \omega^2 \int_0^T \sqrt{1 + |y_x|^2}dx,
$$
o\u le premier terme est l'\e nergie cin\e tique et le second l'\e nergie 
potentielle,
proportionnelle \a l'\e longation de la corde. On suppose que la corde vibre depuis 
un 
moment, de sorte que $y_x$ est devenu petit et on lin\e arise l'\e nergie 
potentielle. 
L'\e nergie lin\e aris\e e est
donc, apr\ee s un d\e veloppement limit\ea (\a v\e rifier !),
multiplication par 2 et suppression d'un terme constant : 
\fb&
\label{energiecordevibrante}
E(t,y) = \int_0^T  |y_t|^2(t,x)dx + \omega^2 \int_0^T  |y_x|^2dx.
\fe&
  On note $y(0,x)=y_0(x)$ la position initiale de la corde.
\newline
On peut passer de l'expression de l'\e nergie de la corde vibrante \a son \e
quation d'\e volution,
\fb& \label{equationcordevibrante}
y_{tt}-\omega^2y_{xx}=0, \hbox {  avec  } y(t,0)=y(t,L)=0 \hbox{ et } 
y(0,x)=y_0(x), \; 
y_t(0,x) = 0.
\fe&
On va se contenter de justifier cette \e quation en utilisant $F=m\gamma$. 
Consid\e rons un
\e l\e ment de la corde dont la projection sur l'axe de la corde est
$(x, x+dx)$. La masse de cet \e l\e ment est proportionnelle \a sa longueur, 
$\sqrt{1+ |y_x|^2}dx$ qui est peu diff\e rent de $dx$.  L'acc\e l\e ration est, si 
on n\e
glige sa composante tangentielle 
$\gamma = y_{tt}$.  La force $F$ \a laquelle est soumis l'\e l\e ment de corde est
la diff\e rence des tensions en $x$ et en $x+dx$, $T(x)$ et $T(x+dx)$.  Mais la 
tension
est constante le long de la corde et tangente \a celle-ci.  On a donc
$T(x) = \omega^2 \frac {(1, y_x(x))}{\sqrt{1+ |y_x(x)|^2}}$.  
et, si on n\e glige les termes en $y_x$,  la force est donc $F=
T(x+dx)-T(x)=\omega^2y_{xx}dx$.  L'\e quation $F=m\gamma$ donne alors bien 
(\ref{equationcordevibrante}).
\newline
Inversement, supposons que $y$ soit $C^3$ et v\e rifie
l'\e quation de la corde vibrante (\ref{equationcordevibrante}).   On peut alors
montrer que l'\e nergie (\ref{energiecordevibrante}) ne d\e pend pas de
$t$. Pour cela, on multiplie l'\e quation (\ref{equationcordevibrante}) par $y_t$
et on int\e gre entre 0 et $L$.  On obtient (pour abr\e ger, on \e
crit
$\int$ pour $\int_0^L$)
$$\int y_{tt}y_t = \omega^2 \int y_{xx}y_t.$$
En utilisant le th\e or\ee me de d\e rivation sous le signe somme \a gauche et en 
int\e grant par parties \a droite, 
$$\frac {d}{dt}\int y_t^2 = -\omega^2 \int y_xy_{xt},$$
et en utilisant le th\e or\ee me de d\e rivation sous le signe somme \a droite,
$$\frac{d}{dt}\int y_t^2 = -\omega^2 \frac {d}{dt}\int y_x^2,$$ soit
$$\frac{d}{dt}E(t,y) = 0$$
comme annonc\e .
Dans la suite, il sera commode d'\e crire $y(t)$ pour la fonction $x\to
y(t,x)$.

\begin{pro}\label{developpementdelasolution} Les solutions ${\cal C}^2$  de l'\e 
quation
(\ref{equationcordevibrante}) des cordes vibrantes peuvent s'\e crire sous la forme
d'une s\e rie de Fourier \a coefficients variables
$$y(t)=\sum_1^\infty c_k(0)\cos(\frac{k\pi \omega t} {L})\sin(\frac{k\pi
x}{L}),$$
o\u $c_k(0) = \lambda_k=\frac 2 L \int_0^L y_0(0,x) \sin(\frac{k\pi
x}{L})dx$ repr\e sentent les coefficients de Fourier de la position initiale de
la corde  $y_0(x)$ sur la base en sinus.
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
  On a $y(t)\in
{\cal C}^2(0,L)\subset L^2(0,L)$ et donc
$$y(t,x)=\sum_{k\in \NN^*}c_k(t)\sin(\frac{k\pi x}{L}),$$
car les fonctions $\sqrt{\frac 2 L}\sin(\frac{k\pi x}{L})$, $k\in \NN^*$  
forment
une base hilbertienne de $L^2(0,L)$.  Cette base est particuli\ee rement bien 
adapt\e e
au probl\ee me, car ses \e l\e ments s'annulent en 0 et $L$ comme $y(t)$.  Comme
$y(t)\in {\cal C}^2(0,L)$, la convergence de la s\e rie de Fourier de $y(t)$ est 
uniforme.
On a $c_k(t) = \frac 2 L \int_0^L y(t,x)\sin(\frac{k\pi x}{L})dx$ et, comme $y$ a
\e t\ea aussi suppos\e e 
${\cal C}^2$ en $t$, on voit que $c_k(t)$ est deux fois d\e rivable en $t$, gr\^{a}ce 
au
th\e or\ee me de d\e rivation sous le signe somme.  On a donc
$$c_k''(t) = \frac 2 L\int_0^L y_{tt}(t,x)\sin(\frac{k\pi x}{L})dx.$$
En utilisant (\ref{equationcordevibrante}) en int\e grant deux fois par parties et 
en
utilisant $y(t,0)=y(t,L)=0$~:
$$c_k''(t) = \frac 2 L \int_0^L\omega^2y_{xx}(t,x)\sin(\frac{k\pi x}{L}) dx=$$
$$
-\frac 2 L \int_0^L(\omega \frac{k\pi}{L})^2y(t,x)\sin(\frac{k\pi x}{L}) dx=
-(\frac{k\pi \omega}{L})^2c_k(t).$$
On a donc $c_k(t)=\lambda_k\cos(\frac{k\pi \omega t} {L})+\mu_k\sin(\frac{k\pi
\omega t}{L})$.  Comme la corde pinc\e e a une vitesse initiale nulle, on a
$y_t(0,x)=0$ et donc, par le th\e or\ee me de d\e rivation sous le signe somme,
$$c_k'(0) = \mu_k(\frac{k\pi \omega}{L})= \frac 2 L \int_0^L
y_{t}(0,x)\sin(\frac{k\pi x}{L})dx= 0.$$
On a aussi 
$c_k(0) = \lambda_k=\frac 2 L \int_0^L y_0(0,x) \sin(\frac{k\pi
x}{L})dx$, et on obtient $c_k(t)=c_k(0)\cos(\frac{k\pi \omega t}{L})$, soit
$$y(t)=\sum_1^\infty c_k(0)\cos(\frac{k\pi \omega t} {L})\sin(\frac{k\pi
x}{L}).$$
\enddemo

Examinons maintenant le cas particulier d'une corde pinc\e e.
Si nous pin\c cons une corde, nous avons une condition initiale du type
$y_0(x) = \beta (\alpha L - |x-\alpha L|-(2\alpha -1)x).$  La corde est suppos\e e
\eee tre initialement immobile ($y_t(0,x)=0$).  
 On a donc $y_0(x)=2\beta\alpha(L-x)$ si $x\geq \alpha L$, $y_0(x) =
2\beta(1-\alpha)x$  si $x\leq \alpha L$. On  a $y_0(0)=y_0(L)=0$ et \a
l'endroit du pincement,
$y_0(\alpha L) = 2\alpha\beta L(1-\alpha)$.  Comme la corde pinc\e e est immobile 
\a
l'instant 0, le premier terme de l'\e nergie $E$ est nul.  Donc l'\e nergie de la
corde est
$$E(y(t))= E(y_0) = 4\beta^2((\alpha L (1-\alpha))^2 + (L(1-\alpha)\alpha)^2)=
8\beta^2\alpha^2(1-\alpha)^2L^2,$$
car on a vu que l'\e nergie reste constante.
En utilisant la th\e orie hilbertienne, on peut calculer la solution de
(\ref {equationcordevibrante}) avec comme condition initiale le "pincement de
corde".  On est amen\ea \a calculer les coefficients de Fourier de $y_0$ et
de $y(t)$. Calculons d'abord les coefficients de Fourier de $y_0$.  On int\ee gre
par parties et on utilise la nullit\ea de $y_0$ et de $\sin(\frac{k\pi x}{L})$ en
0 et
$L$~:
$$\frac L 2 c_k(y_0)=\int_0^L y_0(x)\sin(\frac{k\pi x}{L})dx=
\frac L{k\pi}(\int_0^{\alpha L} 2\beta(1-\alpha)\cos(\frac{k\pi x}{L})dx +
\int_{\alpha L}^L (-2\beta\alpha)\cos(\frac{k\pi x}{L})dx ;
$$
$$ c_k(y_0)=  4(\frac L{k\pi})^2\frac \beta L
\sin(k\pi\alpha).$$
On d\e finit la solution de (\ref{equationcordevibrante}) en utilisant la formule
de la proposition \ref{developpementdelasolution},
$$y(t)=\sum_1^\infty c_k(0)\cos(\frac{k\pi \omega t}{L})\sin(\frac{k\pi x}{L}).$$
On voit qu'on obtient le son le plus pur (avec le moins d'harmoniques) en pin\c 
cant la
corde
\a moiti\e , un son plus riche  en pin\c cant au tiers, etc.  Remarquer en tout cas
que le choix de l'endroit  de pincement change la r\e partition des harmoniques et
donc le timbre.   La formule d\e finissant $y(t)$  implique  que $y(t,x)$ est
continue,  mais elle n'implique m\eee me pas qu'elle soit d\e rivable !  On a
pourtant bien obtenu une combinaison lin\e aire (infinie) de solutions de
(\ref{equationcordevibrante}).   On  r\e soud ce paradoxe gr\^{a}ce \a la th\e orie
des distributions, qui nous assure que
$y(t)$ est solution "au sens des distributions" de  l'\e quation des cordes
vibrantes.



 La d\e couverte de Fourier nous permet de comprendre mieux les choix "harmoniques"
effectu\e s par plusieurs traditions musicales, clairement influenc\e s par
l'usage d'instruments \a cordes ou de tubes vibrants  (pour lesquels la th\e orie
est essentiellement la m\eee me que pour les cordes).   On remarque que des modes
de vibration propres sont associ\e s \a une corde tendue, de longueur $L$.  Si on
la pince, on "entend" le "fondamental", $f_1(t,x) = \cos(\frac {\pi\omega
t}{L})\sin (\frac {\pi x}{L})$, qui vibre \a la fr\e quence $\frac {\pi\omega}
L$.  Attention : $\omega$ d\e pend de la masse et de la tension de la corde au
repos.  Nous entendons aussi les "harmoniques",
$f_2$, $f_3$, $f_4$, etc..  Si maintenant nous appuyons sur la corde exactement au
milieu et nous la faisons vibrer, nous entendons "l'octave", qui n'est autre que 
$f_2$, ainsi que ses harmoniques $f_4$, $f_6$, $f_8$.  Tous les harmoniques de 
l'octave
sont donc des harmoniques de la fondamentale.  Cette remarque reste vraie si on 
pince
la corde au tiers, au quart, au cinqui\ee me.  Il y a donc connivence entre ces 
sons qui,
par leur ressemblance avec la fondamentale et entre eux, donnent une impression
d'"harmonie".  
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Le probl\ee me de la corde vibrante}


On consid\ee re une corde \e lastique, fix\e e aux deux extr\e mit\e s situ\e es en 
deux points de l'espace distants de $L$. 
On note pour tout temps $t\geq 0$ et $0\leq x\leq L$, $y(t, x)$ l'\e cartement de 
la corde
par rapport
\a sa position de repos.  Les points de  la corde sont donc param\e tr\e s par $(x,
y(t, x))$. On note $y_t(t,x)$ la d\e riv\e e partielle premi\ee re de $y$ par 
rapport
\a $t$ et on notera de m\eee me $y_x(t,x)$, $y_{xx}$, $y_{tt}$, etc.

% L'\e nergie de la corde est, \a un facteur pr\ee s, \e gale \a
%$$
%E(t,y) = \frac 1 2\int_0^T |y_t|^2(t,x)dx + \omega^2 \int_0^T \sqrt{1 +
%|y_x|^2}dx,
%$$
%o\u le premier terme est l'\e nergie cin\e tique et le second l'\e nergie
%potentielle, proportionnelle \a l'\e longation de la corde. On suppose que la
%corde vibre depuis un  moment, de sorte que $y_x$ est devenu petit et on lin\e
%arise l'\e nergie potentielle.  L'\e nergie lin\e aris\e e est
%donc, apr\ee s un d\e veloppement limit\ea (\a v\e rifier !),
%multiplication par 2 et suppression d'un terme constant : 
%\fb&
%\label{energiecordevibrante}
%E(t,y) = \int_0^T  |y_t|^2(t,x)dx + \omega^2 \int_0^T  |y_x|^2dx.
%\fe&
%  On note $y(0,x)=y_0(x)$ la position initiale de la corde.
%\newline
%\drem
%On peut passer de l'expression de l'\e nergie de la corde vibrante \a son \e
%quation d'\e volution,
Pour de peties oscillations (et sans prendre en compte la viscosit\ea de l'air),
l'\e quation de la corde vibrante est
\fb& \label{equationcordevibrante}
y_{tt}-\omega^2y_{xx}=0, \hbox {  avec  } y(t,0)=y(t,L)=0 \hbox{ et } 
y(0,x)=y_0(x), \; 
y_t(0,x) = 0.
\fe&
%On va se contenter de justifier cette \e quation en utilisant $F=m\gamma$. 
%Consid\e rons un
%\e l\e ment de la corde dont la projection sur l'axe de la corde est
%$(x, x+dx)$. La masse de cet \e l\e ment est proportionnelle \a sa longueur, 
%$\sqrt{1+ |y_x|^2}dx$ qui est peu diff\e rent de $dx$.  L'acc\e l\e ration est,
%si on n\e glige sa composante tangentielle 
%$\gamma = y_{tt}$.  La force $F$ \a laquelle est soumis l'\e l\e ment de corde est
%la diff\e rence des tensions en $x$ et en $x+dx$, $T(x)$ et $T(x+dx)$.  Mais la
%tension est constante le long de la corde et tangente \a celle-ci.  On a donc
%$T(x) = \omega^2 \frac {(1, y_x(x))}{\sqrt{1+ |y_x(x)|^2}}$.  
%et, si on n\e glige les termes en $y_x$,  la force est donc $F=
%T(x+dx)-T(x)=\omega^2y_{xx}dx$.  L'\e quation $F=m\gamma$ donne alors bien 
%(\ref{equationcordevibrante}).
%\frem
%\drem
%Inversement, supposons que $y$ soit $C^3$ et v\e rifie
%l'\e quation de la corde vibrante (\ref{equationcordevibrante}).   On peut alors
%montrer que l'\e nergie (\ref{energiecordevibrante}) ne d\e pend pas de
%$t$. Pour cela, on multiplie l'\e quation (\ref{equationcordevibrante}) par $y_t$
%et on int\e gre entre 0 et $L$.  On obtient (pour abr\e ger, on \e
%crit
%$\int$ pour $\int_0^L$)
%$$\int y_{tt}y_t = \omega^2 \int y_{xx}y_t.$$
%En utilisant le th\e or\ee me de d\e rivation sous le signe somme \a gauche et en 
%int\e grant par parties \a droite, 
%$$\frac {d}{dt}\int y_t^2 = -\omega^2 \int y_xy_{xt},$$
%et en utilisant le th\e or\ee me de d\e rivation sous le signe somme \a droite,
%$$\frac{d}{dt}\int y_t^2 = -\omega^2 \frac {d}{dt}\int y_x^2,$$ soit
%$$\frac{d}{dt}E(t,y) = 0$$
%comme annonc\e .
%\frem
Pour donner un sens \a l'\e quation des ondes m\eee me quand $y(t,x)$ n'est pas
${\cal C}^2$,on note pour tout $x$, $y_{tt}$ la d\e riv\e e au sens des distributions 
de
$t\to y(t,x)$. On dira que
$y(t,x)\in L^1{loc}(\RR\times
\RR)$ est une solution de l'\e quation des cordes vibrantes
(\ref{equationcordevibrante}) si la d\e riv


 Dans la suite,
il sera commode d'\e crire $y(t)$ pour la fonction
$x\to y(t,x)$.  On va rechercher une solution de l'\e quation des ondes telle que
pour tout $t\geq 0$, $y(t)\in L^2(0,L)$.  On peut alors d\e velopper $y(t)$ sur la
base en sinus, ce qui donne $y(t)=\sum_{k\in\NN^*}c_k(t)\sin(\frac{k\pi x}L)$.
 


\begin{pro}\label{developpementdelasolution} On dira que l'\e quation 
(\ref{equationcordevibrante}) des cordes vibrantes a une  solution si
 pour tout $t$, $y(t)\in L^2(0,L).$ et si  les
coefficients de $y(t)$ sur la base en sinus,  $t\to c_k(t)$ sont ${\cal C}^2$ et v\e
rifient 
$$c''_k(t)=c  
 Elle s'\e crit de mani\ee re unique sous
la forme d'une s\e rie de Fourier
\a coefficients variables
$$y(t,x)=\sum_1^\infty c_k(0)\cos(\frac{k\pi \omega t} {L})\sin(\frac{k\pi
x}{L}),$$
o\u $c_k(0) = \lambda_k=\frac 2 L \int_0^L y_0(0,x) \sin(\frac{k\pi
x}{L})dx$ repr\e sentent les coefficients de Fourier de la position initiale de
la corde  $y_0(x)$ sur la base en sinus.
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration} On commence par remarquer que 
 On a une solution parachut\e e,
 $y(t,x)=u(x-\omega t)+v(x+\omega t)$ et en tenant compte des conditions aux 
 limites, on a en $t=0$ $u(x)+v(x)=y_0$, et comme $y_(0,x)=y_0(0)=0$, $-\omega
 u'+\omega
 v'=0$. Donc $u=v+cte$. Comme $u(0)+v(0)=0$, $u(2\pi)+v(2\pi)=0$, on tire que ?
  par ailleurs, $y(t,0)=0$, donc $u(-\omega t)+v(\omega t)=0$.  Donc 
 $v(-\omega t) + v(\omega t)=Cte$.  Comme $u(0)+v(0)=0$ et $u=v+cte$,  
  on obtient que la solution $y(t,x)=y_0(x-\omega t )+y_0(x+\omega t),$ \a 
  condition de rendre impaire $y_0$ relativement \a 0 et $2\pi$, puis de la 
  p\e riodiser.
 l'int\e r\eee t de l'\e tude en Fourier est de formaliser l'analyse du son 
 et de mettre en \e vidence les harmoniques, etc. On a bien une solution au sens
  distributions \a condition de se placer dans $\RR^+\times \RR$. Si on 
  travaille en une dimension avec la th\e orie des distributions,


\paragraph{D\e monstration}
Si $x\to y(t,x)\in L^2(0,L)$, on peut \e crire  $$y(t,x)=\sum_{k\in
\NN^*}c_k(t)\sin(\frac{k\pi x}{L}),$$ car les fonctions $\sqrt{\frac 2
L}\sin(\frac{k\pi x}{L})$, $k\in \NN^*$  forment une base hilbertienne de
$L^2(0,L)$.  Cette base est particuli\ee rement bien adapt\e e au probl\ee me, car
ses \e l\e ments s'annulent en 0 et $L$ comme $y(t)$. 
On a $c_k(t) = \frac 2 L \int_0^L y(t,x)\sin(\frac{k\pi x}{L})dx$ et, comme $y$ a
\e t\ea  suppos\e e 
${\cal C}^2$ en $t$, on voit que $c_k(t)$ est deux fois d\e rivable en $t$, gr\^{a}ce 
au
th\e or\ee me de d\e rivation sous le signe somme.  On a donc
$$c_k''(t) = \frac 2 L\int_0^L y_{tt}(t,x)\sin(\frac{k\pi x}{L})dx.$$
En utilisant (\ref{equationcordevibrante}) en int\e grant deux fois par parties et 
en
utilisant $y(t,0)=y(t,L)=0$~:
$$c_k''(t) = \frac 2 L \int_0^L\omega^2y_{xx}(t,x)\sin(\frac{k\pi x}{L}) dx=$$
$$
-\frac 2 L \int_0^L(\omega \frac{k\pi}{L})^2y(t,x)\sin(\frac{k\pi x}{L}) dx=
-(\frac{k\pi \omega}{L})^2c_k(t).$$
On a donc $c_k(t)=\lambda_k\cos(\frac{k\pi \omega t} {L})+\mu_k\sin(\frac{k\pi
\omega t}{L})$.  Comme la corde pinc\e e a une vitesse initiale nulle, on a
$y_t(0,x)=0$ et donc, par le th\e or\ee me de d\e rivation sous le signe somme,
$$c_k'(0) = \mu_k(\frac{k\pi \omega}{L})= \frac 2 L \int_0^L
y_{t}(0,x)\sin(\frac{k\pi x}{L})dx= 0.$$
On a aussi 
$c_k(0) = \lambda_k=\frac 2 L \int_0^L y_0(0,x) \sin(\frac{k\pi
x}{L})dx$, et on obtient $c_k(t)=c_k(0)\cos(\frac{k\pi \omega t}{L})$, soit
$$y(t)=\sum_1^\infty c_k(0)\cos(\frac{k\pi \omega t} {L})\sin(\frac{k\pi
x}{L}).$$
Remarquer que la solution trouv\e e est une somme infinie de solutions ${\cal 
C}^{\infty}$
mais n'est elle-m\eee me que dans $L^2(O,L)$ pour chaque temps $t$.
\enddemo



--------------AE0594E5D5C0D0D1C886A7A2--

