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\def\R\'esum\'e{\small\noindent\bf R\'esum\'e. \rm}
\def\Abstract{\small\noindent\bf Abstract. \rm}

\def\nin{\not\in}                 % la negation de \in
\def\indic{1\!\!1}                % fonction indicatrice
\def\levelset{\chi}           % la surface de niveau
\def\meas{\mathop{\rm meas}}      % mesure de
\def\setB{\SetB}
\def\real{I\!\!R}
\def\natural{I\!\!N}
\def\relative{{\bf Z}}
\def\rational{{\bf Q}}
\def\complex{{\bf C}}
\def\mes{\hbox{mes}}
\def\sin{\hbox{sin}}
\def\cos{\hbox{cos}}
\def\interieur{\hbox{\rm Int\'{e}rieur}}
\def\signe{\hbox{\rm Signe}}
\def\vect{\hbox{\rm Vect}}
\def\Re{\hbox{\rm Re}}
\def\support{\hbox{\rm Support}}
\def\supp{\hbox{\rm Support}}

\def\fb&{\begin{equation}}
\def\fe&{\end{equation}}

%rappel : \overline{cequ'onveut}
\newtheorem{thf}{Th\e or\ee me}[chapter]
\newtheorem{cor}{Corollaire}[chapter]
\newtheorem{pro}{Proposition}[chapter]
\newtheorem{Def}{D\e finition}[chapter]
\newtheorem{lem}{Lemme}[chapter]
\newtheorem{exa}{Exemple}[chapter]

\newtheorem{rem}{Remarque}[chapter]%  remarque 
\def\drem{\begin{rem}\rm}%  sans
\def\frem{\end{rem}}%      		italique !

\newtheorem{exo}{Exercice}[chapter]
\newtheorem{propr}{Propri\e t\e}[chapter]

\newtheorem{Exer}{Exercice}[chapter]  %Exercice
\def\dexer{\begin{Exer}\rm}    %sans
\def\fexer{\end{Exer}}        %italique !

\def\skipaline{\vspace{4 mm}\noindent}

\def\fb& {\begin{equation}}       % debut d'une equation
\def\fe& {\end{equation}}         % fin d'une equation
\def\enddemo{\hfill $\large\circ$ \newline\newline}     % fin de preuve
\def\Varphi{{\bf \varphi}}
\def\e {\'{e}}
\def\ee {\`{e}}
\def\eee {\^{e}}
\def\e {\'{e}}
\def\ea {\'{e} }
\def\ee {\`{e}}
\def\eee {\^{e}}
\def\a {\`{a} }
\def\aa {\^{a}}
\def\ii {\^{\i}}
\def\iii {\"{\i}}
\def\ccaadd{ c'est-\`{a}-dire }
\def\u {\`{u} }
\def\uu {\^{u}}
\def\oo {\^{o}}
\def\ooo {\"{o}}

%\newcommand\contentsname{Table des Mati\ee res}
%\newcommand\chaptername{Chapitre}
%\newcommand\today{\ifcase\month\or
%  Janvier\or F\'{e}vrier\or Mars\or Avril\or Mai\or Juin\or
%  Juillet\or Ao\^{u}t\or Septembre\or Octobre\or Novembre\or D\'{e}cembre\fi
%  \space\number\day, \number\year}


%rappel pour la c\e dille : fran\c cais
\def\indexentry#1#2{\noindent #1, #2 \newline}
\makeindex
\begin{document}
\title{Notes du cours d'analyse, ENS Cachan premi\ee re ann\e e}
\author{Jean-Michel Morel}
\maketitle
\tableofcontents
%\listoftables
%\listoffigures
%\noindent{\bf Notes du cours d'analyse, ENS Cachan premi\ee re ann\e e.}

 \vskip 1.5em
\newpage
\noindent{\bf Trait\e s recommand\e s :}
\newline
\newline
H. Brezis, Analyse fonctionnelle, Masson, 1983.
\newline
J.M. Bony, Cours d'analyse de l'Ecole Polytechnique, Ecole Polytechnique, 1994
(polycopi\e ).
\newline
J. Neveu,  Bases math\e matiques du calcul des probabilit\e s, Masson, 1970.
\newline
W. Rudin, Real and complex analysis, Mc-Graw-Hill, 1966, traduction fran\c caise
Masson 1980.
\newline
\newline
\noindent{\bf Autres sources}
\newline
\newline
F. H\e lein, Notes de cours, ENS Cachan, 1996 (manuscrit).
\newline
Y. Meyer, cours de DEA ondelettes 94-97 (manuscrits).


\chapter{Les th\e or\ee mes de s\e paration de Hahn-Banach}

\begin{Def} Un espace de Banach est un espace vectoriel sur $\real$, norm\e ,
complet. \index{Espace de Banach}
\end{Def}

\noindent Exemples : $\real^N$, $\complex^N$, $l^p$, $1\leq p\leq +\infty$, 
$l^p=\{a=(a_i)_{i\in\natural}, a_i\in \real,
\sum_{i=0}^{\infty}|a_i|^p<\infty\}$,
$C^0(\real^N)$, espace des fonctions continues tendant vers z\e ro \a l'infini.
Si $E$ est un espace vectoriel muni d'un produit scalaire non d\e g\e n\e r\ea
$<x,y>$, il est alors norm\ea par $||x|| = \sqrt{<x,x>}$.  On dit alors que $E$
est pr\e hilbertien.  Si de plus il est complet, on dit que c'est un espace de
Hilbert.  Exemple canonique : $l^2$.

\begin{thf}{\bf de Hahn-Banach.}\label{hahn-banach}\index{Hahn-Banach (Th\e
or\ee me)}  Soit
$E$ un espace vectoriel norm\e . Soit
$G$ un sous-espace vectoriel de $E$ et $g:G\to \real$ une application lin\e aire
continue de norme $$||g||_{G'}=\sup_{x\in G, ||x||\leq 1} g(x).$$  Alors il existe
$f\in E'$, le dual topologique de $E$, qui prolonge $g$ et telle que
$||f||_{E'}=||g||_{G'}.$
\end{thf}
Exercice : le montrer en dimension finie.
\begin{Def} {\bf (Zorn.)}
Soit $P$ un ensemble muni d'une relation d'ordre partiel not\e e $\leq$.  On dit
que $Q\subset P$ est totalement ordonn\ea  si $\forall a, b \in Q$, $a\leq b$ ou 
$b\leq a$.  On dit que $c\in P$ est un majorant de $Q\subset P$ si $\forall a \in
Q$, $a\leq c$.  On dit que $m\in P$ est maximal si $\forall x\in P$ tel que $m\leq
x$, alors $m=x$.  On dit que $P$ est inductif si tout sous-ensemble totalement
ordonn\ea de $P$ admet un majorant.
\end{Def}

\begin{lem} {\bf de Zorn.}\index{Lemme de Zorn}
Tout ensemble ordonn\e , inductif et non vide admet un \e l\e ment maximal.
\end{lem}

\begin{thf} \label{hahn-banachanalytique}\index{Hahn-Banach (version
analytique)}{\bf de Hahn-Banach (version analytique)} Soit $p : E\to \real^+$ 
une application v\e rifiant
$\forall
\lambda>0,
\forall x\in E, p(\lambda x) = \lambda p(x)$ et $\forall x, y \in E, p(x+y)\leq
p(x)+p(y)$.  Soit $G\subset E$ un sous-espace vectoriel et soit $g : G\to \real$
une application lin\e aire telle que $g(x)\leq p(x), \forall x\in G.$  Alors il
existe une forme lin\e aire $f$ sur $E$ qui prolonge $g$, i.e.
$g(x)=f(x), \forall x\in G$, $f(x)\leq p(x), \forall x\in E$.
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
On consid\ee re 
\newline $P=\{h : D(h)\to \real, D(h) \hbox{ s.e.v. de } E, h \hbox{
lin\e aire }, G\subset D(h), \; h \hbox{  prolonge } g \hbox{ et } h(x)\leq p(x), 
\; \forall x \in D(h). \}.$\newline  $P$ est muni de la relation d'ordre 
$$h_1\leq h_2 \Leftrightarrow [ D(h_1)\subset D(h_2) \hbox{ et } h_2 \hbox{ prolonge
} h_1].$$
On v\e rifie que $P\neq \emptyset$ car $g\in P$, que $P$ est inductif car si
$Q\subset P$ est un sous-ensemble totalement ordonn\e , alors $D(h_1)=
\bigcup_{h\in Q} D(h)$ et $h_1(x) = h(x) $ si $x\in D(h)$ est un majorant pour
$Q$.  Donc, d'apr\ee s le lemme de Zorn, il existe un \e l\e ment maximal que
l'on appelle $f$.  On va v\e rifier que $D(f)=E$.  Sinon, il existerait
$x_0\notin D(f)$.  Posons $D(h) = D(h) + \real x_0$ et $\forall x\in D(f)$, 
$h(x+tx_0) = f(x) + t\alpha$, $\alpha \in \real$.  Alors $h$ est un prolongement
de $f$ et si on arrive \a trouver $\alpha$ tel que $h(x)\leq p(x), \forall x
\in D(h)$, on aura $f\leq h$ en contradiction avec la maximalit\ea de $h$.
Il faut choisir $\alpha \in \real$ en sorte que 
$$\forall x\in D(f),\forall t\in \real,\; h(x+tx_0) = f(x) + t\alpha \leq
p(x+tx_0).
$$
Cela revient \a chercher $\alpha$ tel que
$$\forall x \in D(f),\;\forall t>0, \; \; f(x) + t\alpha \leq p(x+tx_0), \;\;
f(x)-t\alpha
\leq p(x-tx_0).$$
On cherche donc s'il existe $\alpha$ tel que 
$$\forall x\in D(f),\forall t>0, \;\; \frac{f(x) -p(x-tx_0)}t \leq \alpha \leq
\frac{p(x+tx_0) -f(x)}t,
\hbox{ ou encore :}$$
$$[\sup_{x\in D(f), t>0}\frac{f(x)-p(x-tx_0)}t, \inf_{x\in
D(f), t'>0}\frac{p(x+t'x_0)-f(x)}t]\neq
\emptyset, 
\hbox{ce qui veut dire}$$
$$\forall x, y \in D(f), \forall t,t'>0, \; t'f(y)-t'p(y-tx_0)\leq
tp(x+t'x_0)-tf(x),\hbox { ou encore }$$
$$\forall x, y \in D(f),  \forall t,t'>0, \; tf(x)+t'f(y)\leq
tp(x+t'x_0)+t'p(y-tx_0).  \hbox{ Or,}$$
$$tf(x)+t'f(y) = f(tx+t'y) \leq p(tx+t'y) \leq p(tx+tt'x_0) +
p(t'y-tt'x_0) = tp(x+t'x_0) +t'p(y-tx_0).$$

\enddemo
\paragraph{D\e monstration du th\e or\ee me \ref{hahn-banach}.}
On consid\ee re $p(x) = ||g||_{G'}||x||$.  On v\e rifie que 
$p$ satisfait les hypoth\ee ses du th\e or\ee me \ref{hahn-banachanalytique}. Donc
en appliquant le th\e or\ee me
\ref{hahn-banachanalytique}, on construit  $f$ prolongeant $g$ avec 
$\forall x, \; f(x)\leq ||g||_{G'}||x||$.  Donc, $||f||_{E'}\leq ||g||_{G'}.$
\enddemo
\begin{cor} \label{applicationdedualite}\index{Dualit\ea (application de)}
(application de "dualit\e ").  Si E est un espace vectoriel norm\e , il existe
pour tout $x\in E$ une forme lin\e aire
$f\in E'$ telle que $||f_0|| = ||x_0||$ et $f(x_0) = ||x_0||^2$.
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration} Prendre  
$G = \real x$, $g(tx) = t||x||^2,$ de sorte que 
$||g||_{G'}=||x||$. 
\enddemo
\begin{exo} 
Montrer le corollaire pr\e c\e dent directement quand $E$ est de dimension finie
et euclidien.  Regarder \e galement le cas $E=\real^N$ muni de la norme
$||x||_p = (|x_1|^p+...+|x_N|^p)^\frac 1 p.$
\end{exo}
%Remarque  : si $E'$ est strictement convexe, $f$ est unique
% et l'application $x\to f$ est appel\e e application de dualit\e . 
\begin{cor} \label{normepardualite}\index{Norme par dualit\ea } Soit $E$ un
espace vectoriel norm\e .  Alors
$$||x||= \sup_{f\in E',\; ||f||\leq 1} |f(x)| = \max_{f\in E', \; ||f||\leq
1}|f(x)|.$$
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
En effet, l'in\e galit\ea ($||x||\geq f(x)$ si $||f||\leq 1$) est imm\e diate et
l'\e galit\ea est obtenue gr\aa ce
\a l'application de dualit\ea  (corollaire \ref{applicationdedualite}). 
\enddemo
\begin{Def}
Un hyperplan affine est un ensemble de la forme
$$H=\{x\in E, \; f(x) = \alpha\},$$
o\u $f$ est une forme lin\e aire sur $E$, non identiquement nulle, et $\alpha\in
\real$.
\end{Def}

\begin{pro}
L'hyperplan d'\e quation $f=\alpha$ est ferm\ea si et seulement $f$ est continue.
\end{pro}

\paragraph{D\e monstration}
Si $f$ est continue, alors $H=f^{-1}(\alpha)$ est un ferm\e . R\e ciproquement,
supposons $H$ ferm\e .  Soit $x_0\in H^c$.  Supposons pour fixer les id\e es que 
$f(x_0)<\alpha$. Alors, puisque $H^c$ est ouvert, il existe $r>0$, tel que
$B(x_0,r) = \{x\in E, ||x-x_0||<r\} \subset H^c$, et on va en d\e duire que 
$$\forall x\in B(x_0, r), \; f(x)<\alpha.$$
En effet, si on avait un point $x_1$ de la boule o\u  $f(x_1)\geq \alpha$, on
trouverait par interpolation, $f$ \e tant lin\e aire, un point $x$ du segment $[x_0,
x_1]$ o\u
$f(x)=\alpha$, en contradiction avec $B(x_0,r)\subset H^c$.
Finalement, $\forall x\in B(x_0,r), \;f(x)<\alpha$ et donc
$$\forall z\in B(0,1), \; f(x_0) + rf(z)<\alpha, \hbox{ soit }$$
$$\forall z\in B(0,1), \;  f(z) \leq \frac {\alpha - f(x_0)}{r}.$$
Cela entra\ii ne  $||f||\leq \frac {\alpha-f(x_0)}{r}$, et donc que $f$ est
continue. 
\enddemo

\begin{Def}
Soit $E$ un espace vectoriel norm\ea et  $A, B \subset E$. On dit que l'hyperplan
$H$ d'\e quation $f(x)=\alpha$ s\e pare $A$ et $B$ au sens large si 
$$f(x)\leq \alpha, \; \forall x \in A\; \; \hbox{ et } \; 
f(x)\geq \alpha, \forall x \in B.$$
On dit que $H$ s\e pare $A$ et $B$ au sens strict si 
$$\exists \varepsilon >0, \;\;f(x)\leq \alpha -\varepsilon, \; \forall x \in A\; \;
\hbox{ et }
\;  f(x)\geq \alpha + \varepsilon, \forall x \in B.$$


\end{Def}\index{Th\e or\ee me de Hahn-Banach g\e om\e trique}

\begin{thf}\label{hahn-banachgeometrique}\index{Hahn-Banach (version g\e
om\e trique)} {\bf de Hahn-Banach (version g\e
om\e trique)} Soit $E$ un espace vectoriel  norm\ea et $A, B\subset E$ deux
ensembles convexes non vides et disjoints.   On suppose que $A$ est ouvert. 
Alors il existe un hyperplan ferm\ea  qui s\e pare $A$ et $B$ au sens large.
\end{thf}

\begin{lem} \label{jauge}\index{Jauge d'un convexe}
Soit $C\subset E$ un convexe ouvert, avec $0\in C$.  Pour tout $x\in E$, on pose
$p(x) = \inf\{\alpha >0, \; \frac x {\alpha} \in C\}$.  On dit que $p$ est la jauge
de
$C$. Alors $p$ v\e rifie $\forall \lambda >0,\;p(\lambda x) = \lambda x,$ 
l'in\e galit\ea triangulaire $p(x+y)\leq p(x)+p(y)$ et
\newline (i) $\exists M, 0\leq p(x) \leq M ||x||, \forall x \in E$.
\newline (ii) 
$C = \{x\in E, \; p(x) <1\}.$
\end{lem}
\paragraph{D\e monstration}
  On a imm\e diatement 
$p(\lambda x) = |\lambda| p(x).$  Montrons l'in\e galit\ea triangulaire 
$p(x+y)\leq p(x)+p(y)$ pour $x$ et $y$ dans $E$.  Elle d\e coule de la
convexit\ea de $C$.  On a
\e videmment
$\tilde x =\frac {x}{p(x)+\varepsilon}\in C$ et $\tilde y=\frac {y}{p(y)+\varepsilon
}\in C$. Puisque 
$C$ est convexe, on a donc
$\frac{p(x)+\varepsilon}{p(x)+p(y)+2\varepsilon}\tilde x +
\frac{p(y)+\varepsilon}{p(x)+p(y) + 2\varepsilon} \tilde y \in C$, \ccaadd
$$z=\frac {x+y}{p(x)+p(y) + 2\varepsilon} \in C.$$
Mais $z\in C \Rightarrow p(z)\leq 1$.   Donc 
$$p(x+y) \leq p(x) + p(y) + 2\varepsilon,$$
ce qui prouve l'in\e galit\ea triangulaire.
\newline
Montrons maintenant (i).  Comme $C$ est ouvert et $0\in C$, il existe $r>0$ tel 
que  $B(0,r)\subset C$.  Donc $\forall x\neq 0$, $r \frac {x}{||x||} \in C$ et
donc 
$p(x) \leq \frac {||x||}r.$
Terminons en montrant (ii), $C= \{x\in E,\; p(x)<1\}$.  Si $x\in C$, comme $C$ est
ouvert, $\exists \varepsilon, \; (1+\varepsilon) x \in C$. Donc 
$p(x) \leq \frac 1 {1+\varepsilon}<1$.   R\e ciproquement, si $p(x)<1$, $\exists 
\alpha, \; 0\leq p(x) <\alpha <1$, et donc $\frac x \alpha \in C$. Comme $C$ est
convexe et que $x$ appartient au segment $[0, \alpha x]$ il est aussi dans $C$.

\enddemo
\begin{exo} Montrer la r\e ciproque du th\e or\ee me pr\e c\e dent : si $p:E\to
\real^+$ est une application v\e rifiant $p(\lambda x) = \lambda x$, $\lambda>0$,
$p(x+y)\leq p(x)+p(y)$, la relation (i), $\exists M, 0\leq p(x) \leq M ||x||$,
alors 
$C = \{x\in E, \; p(x) <1\}$ est un convexe ouvert contenant 0 dont $p$ est la
jauge.
\end{exo}
\begin{lem}\label{separationpointconvexe}\index{S\e paration (d'un point et
d'un convexe)} Soit $E$ un espace vectoriel norm\ea , $C\subset E$ un
convexe ouvert non vide et
$x_0\in E$,
$x_0\notin C$. Alors 
$\exists f\in E'$, $f(x)<f(x_0), \forall x \in C$.  En particulier, l'hyperplan
$\{x, f(x) = f(x_0)\}$ s\e pare $x_0 $ et $C$ au sens large. 

\end{lem}
\paragraph{D\e monstration}
On peut toujours se ramener au cas o\u $0\in C$ et introduire la jauge $p$ de $C$.
On consid\ee re $G=\real x_0$, et $g : \; \real x_0 \to \real$ d\e finie par
$tx_0 \to t$, de sorte que $g(x_0)=1$.  Comme $x_0\notin C$, on a  $g(x)\leq p(x),
\forall x
\in G$. En effet,
$x_0
\notin C\Leftrightarrow p(x_0)\geq 1$ et si $t\geq 0$, $g(tx_0)-p(tx_0) =
t(1-p(x_0))\leq 0$. Si $t<0$, $g(tx_0)<0\leq p(tx_0).$  On applique le th\e or\ee
me de Hahn-Banach \a $g$.  Il existe $f$ lin\e aire sur $E$ qui prolonge $g$, telle
que
$f(x)\leq p(x), \forall x\in E$.  En particulier, $f(x_0) = 1$ et $f$ est continue
car $f(x)\leq p(x)\leq M||x||$, $C$ \e tant ouvert (Lemme \ref{jauge}(i)).
Finalement,
$f(x)\leq p(x)<1$ pour tout
$x$ dans
$C$ en vertu du Lemme \ref{jauge}-(ii).


\paragraph{D\e monstration du th\e or\ee me \ref{hahn-banachgeometrique}}
On pose $C = A-B$ qui est un convexe ouvert car $A-B=\bigcup_{y\in B}(A-y)$ est une
union d'ouverts. Comme
$0\notin C$, car $A\cap B = \emptyset$, on utilise le lemme
\ref{separationpointconvexe} pour s\e parer $C$ et $0$. Donc 
$$\exists f\in E', \; f(z)< 0, \forall z\in C, \hbox{ soit }$$
$$f(x)<f(y), \forall x\in A, y\in B.$$
On choisit $\alpha \in [\sup_{x\in A}f(x), \inf_{x\in B}f(x)]\neq \emptyset$
et $H=\{x, f(x)=\alpha\}$ s\e pare $A$ et $B$.
\enddemo


\begin{thf} {\bf de Hahn-Banach, version ferm\e -compact.}\index{Hahn-Banach,
version ferm\e -compact.}
\label{hahn-banachfermecompact} Soit $E$ un espace vectoriel norm\ea et $A\subset
E$,
$B\subset E$, deux sous-ensembles convexes non vides, disjoints. On suppose que $A$
est ferm\e ,
$B$ est compact.  Alors il existe un hyperplan $H$ ferm\ea qui s\e pare  $A$ et $B$
au sens strict.
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}  Posons $A_\varepsilon = A + B(0, \varepsilon)$, 
$B_\varepsilon= B + B(0, \varepsilon)$.
 On commence par montrer que $\exists \varepsilon, A_\varepsilon\cap B_\varepsilon
= \emptyset$.   En effet, dans le cas contraire, on peut trouver pour tout 
$\varepsilon$ un \e l\e ment $z_\varepsilon$ tel que $\exists x_\varepsilon \in A,
||z_\varepsilon-x_\varepsilon||\leq \varepsilon$ et $\exists y_\varepsilon \in B$,
$||z_\varepsilon -y_\varepsilon ||\leq \varepsilon.$ Comme $B$ est compact, une
sous-suite $y_{\varepsilon'}$ de $y_\varepsilon $ tend vers $y\in B$.  La
sous-suite correspondante $x_{\varepsilon'}$ tend aussi vers $y$, et comme $A$ est
suppos\ea ferm\e , on a $y\in A\cap B$, en contradiction avec l'hypoth\ee se que 
$A$ et $B$ sont disjoints.
On applique le th\e or\ee me \ref{hahn-banachgeometrique} \a $A_\varepsilon$ et
$B_\varepsilon$. Il existe donc un hyperplan $\{x, f(x)=\alpha\}$ qui s\e pare 
$A_\varepsilon$ et $B_\varepsilon$ : 
$$\forall x\in A, \forall y \in B, \forall z, z'\in B(0,\varepsilon), \;
f(x+\varepsilon z)
\leq
\alpha\leq f(y+\varepsilon z').$$
D'o\u ,
$$f(x)+\varepsilon ||f|| \leq \alpha \leq f(y) -\varepsilon ||f||$$ et 
$A$ et $B$ sont bien s\e par\e s au sens strict.
\enddemo
\begin{exo}
En dimension finie, montrer par un argument constructif le th\e or\ee me de
Hahn-Banach, version ferm\e -compact : on montrera qu'il existe $x\in A$ et $y\in
B$ tels que $||x-y||= d(A,B)$ et consid\e rera l'hyperplan orthogonal \a $[x,y]$
passant par $\frac{x+y}2$.
\end{exo}

\begin{lem}\label{densite-orthogonalite}\index{Densit\ea et orthogonalit\ea
dans un e.v.n.} Soit $E$ un espace vectoriel norm\e , $E'$ son dual et $L$ un
sous-espace vectoriel de $E$.  Alors $L$ est dense si et seulement si son
orthogonal est r\e duit \a z\e ro. En d'autres termes, $L$ est dense si et
seulement si 
\fb& \label{orthogonalite}
\forall f\in E', \; (\forall x\in L, \;f(x)=0) \Rightarrow f=0).
\fe&
\end{lem}
\paragraph{D\e monstration}
En effet, si $L$ est dense et si $\forall x\in L$, $f(x)=0$, on d\e duit par
continuit\ea de $f$ que $\forall x \in E, f(x)=0$ et donc $f=0$. R\e ciproquement,
supposons que la relation (\ref{orthogonalite}) soit satisfaite.  Supposons par
contradiction que
$L$ ne soit pas dense. Sa fermeture est alors un sous-espace vectoriel strict de
$E$. Montrons qu'il est contenu dans un hyperplan ferm\ea de
$E$. On prend $x_0\in E$, $x_0\notin \overline{L}$.  On applique le th\e or\ee me
de Hahn-Banach (version ferm\e -compact) avec $A=\overline{L}$, $B=\{x_0\}$.  Donc
il existe $f\in E'$, $f\neq 0$, 
$$\forall x\in \overline {L}, \; f(x)<\alpha<f(x_0).$$
D'o\u n\e cessairement $f(x)=0$ pour tout $x$ dans $L$, puisque 
$\lambda f(x)<\alpha$ pour tout $\lambda \in \real$.
Il existe donc
$f\in E'$ tel que $\forall x\in L, \;f(x)=0$ avec $f\neq 0$. Ceci contredit
(\ref{orthogonalite}). 
\enddemo

\newpage
\chapter{Le th\e or\ee me de Banach-Steinhaus}
\begin{lem} {\bf de Baire.}\label{lemmedeBaire} \index{Baire (lemme de)} Soit $X$
un
\underline{espace m\e trique complet}.  Soit
$X_n$ une suite de ferm\e s.  On suppose que  $\interieur X_n = \emptyset$.  Alors 
$$\interieur (\bigcup_{n=1}^\infty X_n ) = \emptyset.$$
En d'autres termes, "une union {\rm d\e nombrable }de ferm\e s d'int\e rieurs vides
reste d'int\e rieur vide".  De mani\ee re \e quivalente, "une intersection d\e
nombrable d'ouverts denses reste dense".
\end{lem}

\drem Enonc\ea \a relier au suivant : une union d\e nombrable d'ensembles de
mesure nulle est de mesure nulle.
\frem

\paragraph{ D\e monstration}
Nous allons montrer la deuxi\ee me forme.  Soit $O_n$ une suite d'ouverts denses et
$G=\bigcap_n O_n$.  Montrons que $G$ rencontre un ouvert arbitraire $O$.  Pour
cela, on choisit une boule ferm\e e
$$B_0=B(x_0,r_0) = \{x, d(x,x_0)\leq r_0\}\subset O.$$ Comme $O_1$ est dense, on
peut choisir
$x_1\in B_0$ et
$r_1$ tels que
$$B(x_1, r_1)\subset  B(x_0,r_0)\cap O_1\hbox{ et }r_1\leq \frac {r_0}2.$$ 
On construit de m\eee me par r\e currence une suite $B(x_n, r_n)$ telle que
$$B(x_n,r_n)
\subset B(x_{n-1}, r_{n-1})\cap O_n \hbox { et }r_n \leq \frac {r_{n-1}} 2.$$  La
suite 
$x_n$ est de Cauchy car $d(x_n, x_{n-1})\leq \frac{r_0}{2^n}$.  Soit 
$x=\lim_{n\to \infty} x_n$. Alors $x\in O\cap \bigcap_n O_n$.
\enddemo

\noindent Remarque : le th\e or\ee me pr\e c\e dent est valable dans tout espace
m\e trique complet.  La structure d'espace vectoriel n'intervient pas. Soient
maintenant
$E, F$ deux espaces vectoriels norm\e s.  On note
$ L(E,F)$ l'espace vectoriel norm\ea  des op\e rateurs lin\e aires continus de $E$
dans $F$, muni de la norme
$$||T||_{L(E,F)} = \sup_{x\in E, ||x||\leq 1} ||T(x)||.$$
On note $L(E) = L(E, E)$.

\begin{thf}{\bf de
Banach-Steinhaus.}\label{banach-steinhaus}\index{Banach-Steinhaus (Th\e or\ee
me de)} Soient
$E, F$ deux espaces de Banach.  Soit $(T_i)_{i\in I}\subset L(E,F)$ une famille
(non n\e cessairement d\e nombrable) d'op\e rateurs lin\e aires et continus de
$E$ dans
$F$.  On suppose que
$$\forall x\in E, \; \sup_{i\in I} ||T_ix||<\infty .$$
Alors, 
$$\sup_{i\in I}||T_i||_{L(E,F)} <\infty, $$
 \ccaadd qu'il existe  $c>0$ tel que 
$$\forall i \in I, \; \forall x\in
E, \; ||T_ix||\leq c ||x||.$$

\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
Pour tout $n \geq 1$, on pose $X_n = \{ x\in E, \; \forall i, \; ||T_ix||\leq n\},$
en sorte que chaque $X_n$ est une intersection de ferm\e s et est donc ferm\e .
Par hypoth\ee se, $\bigcup_{n} X_n = E$ et donc $\interieur(\bigcup_n X_n)\neq
\emptyset$. Par le lemme de Baire \ref{lemmedeBaire}, l'un des $X_n$ doit \eee tre
d'int\e rieur non vide : $\interieur(X_{n_0})\neq \emptyset$.  Soit $x_0\in
X_{n_0}$ et
$r>0$ tel que $B(x_0, r)\subset X_{n_0}$.  Alors 
$$\forall i\in I, \; \forall z\in B(0,1), \; ||T_i(x_0 +rz)||\leq n_0,$$
et donc par l'in\e galit\ea triangulaire,
$$\forall z\in B(0,1), \; r||T_i(z)||\leq n_0 + ||T_i(x_0)||\leq 2n_0, \hbox{ soit
}$$
$$||T_i||_{L(E,F)} \leq \frac {2n_0}r.$$
\enddemo

\section{Cons\e quences du th\e or\ee me de Banach-Steinhaus.}
\begin{cor} \index{Convergence simple d'op\e rateurs lin\e aires}
Soient $E$ et $F$ deux espaces de Banach.  Soit $(T_n)$ une suite d'op\e rateurs
lin\e aires et continus de $E$ dans $F$, tels que pour tout $x\in E,$ $ T_nx$
converge quand $n\to \infty$ vers une limite not\e e $Tx$.  Alors on a
$$\sup_n ||T_n||_{L(E,F)} <+\infty,$$
$$ T\in L(E, F),$$
$$||T||_{L(E,F)}\leq \lim\inf_{n\to +\infty}||T_n||_{L(E,F)}.$$
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
La premi\ee re relation est une cons\e quence directe du th\e or\ee me
\ref{banach-steinhaus} (de Banach-Steinhaus).  On a donc 
$$\exists c>0, \;\forall x\in E, \; \forall n\in \natural,\; ||T_nx||\leq c||x||.$$
On en d\e duit que $\forall x\in E, \;||Tx||\leq c||x||$, et donc $T\in L(E,F)$.
Comme $||T_nx||\leq ||T_n||||x||$, on obtient par passage \a la limite inf\e
rieure, $||Tx||\leq \lim\inf_{\to \infty}||T_n||||x||$, ce qui donne bien la
derni\ee re relation annonc\e e.
\enddemo

\begin{cor}\index{Born\ea d'un espace de Banach (caract\e risation duale)}
Soit $G$ un espace de Banach, $B$ un sous-ensemble de $G$.  On suppose que pour
tout $f\in G'$, $f(B)=\{f(x), \; x\in B\}$ est born\e .  Alors $B$ est born\e .
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
On applique le th\e or\ee me de Banach-Steinhaus (Thm \ref{banach-steinhaus}) 
avec $E=G'$, $F=\real$, $I=B$.  Pour $b\in B$ et $f\in E=G'$, on pose $T_b(f) =
f(b).$  On a donc par hypoth\ee se 
$$\forall f \in E,\; \sup_{b\in B} |T_b(f)|<+\infty .$$
On en d\e duit qu'il  existe $c>0$ tel que 
$$\forall b\in B,\; \forall f\in E, \; ||T_b(f)||\leq c||f||_{G'}, \hbox{ soit }$$
$$\forall f\in G', |f(b)|\leq c||f||_{G'}.$$
Comme par le corollaire \ref{normepardualite}, on a $||b||= \sup_{f\in G',
||f||\leq 1}f(b), $ on conclut que
$||b||\leq c$.
$B$ est donc born\e .
\enddemo
Ce th\e or\ee me nous dit qu'un ensemble est born\ea si et seulement si ses
projections sur des axes de coordonn\e es arbitraires sont born\e es.




\chapter{Topologies faibles}

\paragraph{Rappels de topologie g\e n\e rale} : une {\it topologie} sur $E$ est d\e
finie comme une partie
$\cal O$ de
${\cal P}(E)$ stable par intersection finie et union quelconque et contenant $E$
et $\emptyset$.  Les
\e l\e ments de 
$\cal O$ sont appel\e s les {\it ouverts} de la topologie.  On appelle {\it
voisinage ouvert} de
$x\in E$ tout ouvert $O\in \cal O$ contenant $x$.  On appelle {\it base de
voisinages ouverts} de la topologie toute partie
$\cal U$ de
$\cal O$ telle que si
$x\in O\in \cal O$, alors il existe $U\in \cal U$ tel que $x\in U\subset O$.  
\newline
{\bf Cons\e
quence :} tout  ouvert est une union de voisinages ouverts de la base. On appelle
base de voisinages ouverts d'un point $x\in E$ toute partie $\cal U$ de $\cal O$
telle que si un ouvert $O$ contient $x$, alors il existe $U$ dans $\cal U$ tel
que $x\in U\subset O$. 
\newline 
{\bf Exemple classique }: une  topologie $\cal O$ sur $E$ est dite m\e trisable
s'il existe une distance sur
$E$ telle que $\cal O$ co\"{\i}ncide  avec l'ensemble des unions arbitraires de
boules.  Une base de voisinages ouverts commode est alors constitu\e e par les
boules ouvertes elles-m\eee mes. Les boules ouvertes centr\e es en $x$ forment une
base de voisinages ouverts de $x$ et \e galement les boules ouvertes contenant
$x$.
On appelle fermeture d'un ensemble $A$, not\e e $\overline{A}$, l'intersection de
tous les ferm\e s contenant $A$. On appelle ouverture, ou int\e rieur, de $A$
l'union de tous les ouverts contenus dans $A$, not\ea $\interieur (A)$.
\newline {\it Convergence d'une suite}.  On dit
qu'une suite
$x_n$ {\it tend vers} $x$ pour  la topologie $\cal O$ si pour tout voisinage $O$ de
$x$ il existe $n_0$ tel que $n\geq n_0\Rightarrow x_n\in O$.  
\begin{pro}\label{sequentiellementferme}
Tout ferm\ea $F$ est s\e quentiellement ferm\e , \ccaadd que si $x_n\in F$,
ferm\e , et si $x_n\to x$ pour la topologie, alors $x\in F$.  

\end{pro}
\paragraph{D\e monstration} Si on avait $x\in F^c$, qui est ouvert, il existerait
un voisinage ouvert $U$ de $x$ tel que $U\subset F^c$.  Mais $x_n\to x$
implique  que $\exists n_0, n\geq n_0 \Rightarrow x_n \in U$, ce qui
contredirait $x_n\in F$.
\enddemo
\newline
{\it Application continue}.
  Une
application d'un espace topologique dans un autre est dite {\it continue} si
l'image r\e ciproque de tout ouvert par l'application est un ouvert, ou de
mani\ee re \e quivalente, si l'image r\e ciproque de tout ferm\ea est un ferm\e . 
Si on a une base de voisinages ouverts
$\cal U$, on voit ais\e ment que
$f$ est continue si et  seulement si $f^{-1}(U)$ est un ouvert pour tout $U\in
\cal U$. 
\newline Un exemple
que nous utiliserons souvent : une application $f$ de $E$ dans $\real$ est
continue si et seulement si pour tout intervalle ouvert $I$ de $\real$, l'ensemble
$f^{-1}(I)$ est un ouvert.  En effet, les intervalles ouverts forment une base de 
voisinages ouverts de $\real$.  Il convient de v\e rifier que notre d\e
finition de la continuit\ea g\e n\e ralise bien la notion de continuit\ea s\e
quentielle pour $f$ (\ccaadd : $x_n\to x\Rightarrow f(x_n)\to f(x)$.)  

\begin{pro}\index{Continuit\ea s\e quentielle (d'une application continue)} Si $f
: (E, {\cal 0})\to (F, {\cal U})$ est continue, alors elle est s\e quentiellement
continue.
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}  Soit $x_n$ tendant vers $x$ pour $\cal O$. Fixons
$U\in \cal U$ tel que $f(x)\in U$ et montrons que $\exists n_0, n\geq n_0
\Rightarrow f(x_n)\in U$. Or, $f$ \e tant continue, $f^{-1}(U)$ est un voisinage 
de $x$. Donc $\exists n_0, n\geq n_0\Rightarrow x_n\in f^{-1}(U)$ et on a donc,
comme d\e sir\e ,
$f(x_n)\in U$.

\enddemo
Rappelons un r\e sultat classique, qui  n'est pas toujours vrai quand les
topologies ne sont pas m\e trisables :
\begin{exo} Si $E$ et $F$ sont m\e trisables, alors $f : E\to F$ est
continue si et seulement si elle est {\it s\e quentiellement continue}, \ccaadd
si $x_n\to x $ $\Rightarrow$ $f(x_n)\to f(x)$.
\end{exo}
{\it Les  compacts}  On dit qu'un sous-ensemble $K$ d'un espace topologique $(E,
{\cal O})$ est compact si de tout recouvrement de $K$ on peut extraire un
recouvrement fini.  Si la topologie $E$ est m\e trisable, tout compact est s\e
quentiellement compact,
\ccaadd que $K$ est compact si et seulement si toute suite
$x_n$ contenue dans $K$ a un point d'accumulation.
L'image d'un compact par une fonction continue est un compact.  En cons\e quence,
toute fonction r\e elle continue sur un compact atteint son maximum et son minimum.
\newline
{\it Topologie produit}  Soit $(E_i, {\cal O}_i)$ des espaces topologiques. 
L'espace topologique produit $E=\Pi_i E_i$ peut \eee tre muni de la {\it topologie
produit}, d\e finie comme la moins fine rendant les projections de $E$ sur chaque
$E_i$ continues.
\newline
Par {\it topologie la moins fine rendant des applications continues}, on entend la
topologie ayant cette propri\e t\ea qui a le moins d'ouverts possible.
En termes formels, cette topologie
$\cal U$ est telle que pour toute autre topologie $\cal O$ rendant \e
galement ces  applications continues on ait $ {\cal O}\subset \cal U$.  On la
trouve en  prenant tout simplement l'intersection de toutes les topologies
rendant les applications continues : c'est encore une topologie, le v\e rifier !
\begin{thf}{\bf de Tikhonov} \index{Tikhonov (th\e or\ee me de)} Soit $K=\Pi_i
K_i$ un produit de compacts.  On note ses \e l\e ments $\omega =(\omega_i)_i$ et
on le munit de la topologie produit,
\ccaadd la moins fine rendant les projections
$\omega\to w_i\in K_i$ continues. Alors $K$ est compact.
\end{thf}

\dexer \index{Tikhonov (th\e or\ee me de) : cas d'un produit d\e nombrable de
compacts m\e trisables} Montrer ce th\e or\ee me dans le cas un peu moins g\e n\e
ral suivant : 
$K=\Pi_{n\in \natural}K_n$ (produit d\e nombrable) et on suppose que $K_n$ est
m\e trisable et donc muni d'une distance $d_n$.  Commencer par montrer que $K$
est m\e trisable en posant 
$$d(x,y)=\sum_{n\in \natural} \frac {d_n(x_n,y_n)}{2^n diam(K_n)},$$
o\u $diam(K_n)=\max\{d(x_n,y_n), x_n,y_n\in K_n\}$ est le diam\ee tre de $K_n$ et 
$x=(x_n)_n$, $y=(y_n)_n$.
\fexer
\section{Topologie faible}
On note $E$ un espace de Banach, $E'$ son dual et $f\in E'$.  
\begin{Def} \index{Topologie faible} On appelle topologie faible $\sigma(E,E')$ la topologie sur $E$ la
moins fine rendant toutes les applications $f: \; x\to f(x)\in \real$ continues.
\end{Def}

 On peut
recenser les ouverts qui doivent appartenir \a la topologie faible
$\sigma(E,E')$ de la mani\ee re suivante : si $f\in E'$ et $U\subset \real$ est un
ouvert, il faut que $f^{-1}(U)$ soit un ouvert de $\sigma(E,E')$. Mais
comme les intervalles sont une base de voisinages de $\real$, on voit que ceci
revient
\a dire que pour tout intervalle $I$ et tout $f\in E'$, $f^{-1}(I)$ est dans
$\sigma(E,E')$.  En r\e sum\e , on vient de montrer que : 

\begin{pro} \index{Topologie $\sigma(E,E')$ (caract\e risation)} La topologie
$\sigma(E,E')$ est la moins fine contenant tous les ensembles $f^{-1}(I)$ pour
tout $f\in E'$ et tout intervalle $I$ de $\real$.  
\end{pro}
\begin{pro} \index{Ouverts (de la topologie faible)}
Tout ouvert $O$ de $\sigma(E, E')$ peut s'\e crire sous la forme 
\fb& \label{based'ouverts} O=\bigcup_{i\in I}\bigcap_{f\in F_i } f^{-1}(I_f),\fe&
o\u $I$ est un ensemble d'indices quelconque, chaque $F_i$ un sous-ensemble fini
de $E'$ et $I_f$ un intervalle quelconque de $\real$.
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
Tout \e l\e ment $O$ de la forme (\ref {based'ouverts}) est bien un
ouvert de $\sigma(E,E')$, puisqu'il est obtenu par intersection finie et union d\e
nombrable d'\e l\e ments de $\sigma(E,E')$.  Appelons $\cal O$
l'ensemble des \e l\e ments de la forme (\ref{based'ouverts}).  Cet ensemble est \e
videmment stable par union quelconque.  Il l'est aussi par intersection finie en
vertu de la formule de distribution 
$$\bigcap_{i\in F}\bigcup_{j\in J_i}A_{j} = \bigcup_{\varphi \in
\Phi}\bigcap_{i\in F}A_{\varphi(i)},$$ o\u 
$\Phi$ est l'ensemble de toutes les applications  $i\in F\to \varphi(i)\in J_i$.
Cette derni\ee re formule prouve que si $\cal A$ est une famille d'ensembles,
alors ``toute intersection finie d'unions d'intersections finies d'\e l\e ments 
de $\cal A$ est une union d'intersections finies d'\e l\e ments de $\cal A$".
\enddemo
Donnons une base de voisinages commode pour $\sigma(E,E')$.

\begin{cor} \label{basedevoisinagesdex}\index{Base de voisinages pour la
topologie faible} Les ouverts de la forme
$\bigcap_{i=1,...,k } f_i^{-1}(I_i)$, o\u
$k\in \natural$,
$f_i\in E'$ et $I_i$ sont des intervalles ouverts quelconques de $\real$, forment
une base de voisinages de $\sigma(E,E')$.\newline
Les ouverts de la forme $U=\bigcap_{i=1,...,k}f_i^{-1}(]f(x)-\varepsilon,
f(x)+\varepsilon[)$, $k\in \natural$, $f_i\in E'$, $\varepsilon>0$ forment une base
de voisinages de $x\in  E$.
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
 Le premier \e nonc\ea est imm\e diat. Pour montrer que les ouverts de la forme $U$
forment une base de voisinages de $x$, on remarque que si 
$I$ est un intervalle ouvert et
$f^{-1}(I)$ contient $x$, alors $I $ contient un intervalle $]f(x)-\varepsilon,
f(x)+\varepsilon[$.  Donc $f^{-1}(I)$ contient $f^{-1}(]f(x)-\varepsilon,
f(x)+\varepsilon[)$.
\enddemo
\begin{pro} \index{S\e paration (de la topologie faible)}La topologie $\sigma(E,
E')$ est s\e par\e e,
\ccaadd que si
$x, y\in E$, alors il existe deux ouverts $U\owns x$, $V\owns y$, tels que
$U\cap V =
\emptyset$.
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
Appliquer Hahn-Banach, version compact-ferm\e : il existe $f\in E'$ et $\alpha$
tels que l'hyperplan $\{z, \;f(z)=\alpha\}$ s\e pare au sens strict $x$ et $y$ et
donc on peut prendre  $U=f^{-1}(]-\infty, \alpha[)$  et $V=f^{-1}(]\alpha,
+\infty[).$
\enddemo
\begin{Def}\index{Convergence faible}
Si $x_n\to x$ dans $\sigma(E,E')$, on dit que $x_n$ converge faiblement vers
$x$ dans $E$ et on note $x_n \rightharpoonup x$, $\sigma(E,E')$.
\end{Def}
\begin{pro} \index{Convergence faible d'une suite
(caract\e risations)}\label{liensentreconvergences} Soit
$E$ un espace de Banach. Soit $(x_n)$ une suite de $E$.  Alors
\newline\newline
(i) $x_n\rightharpoonup x$ dans $\sigma(E,E')$ si et seulement si 
$\forall f \in E', \; f(x_n)\to f(x)$.
\newline\newline
 (ii) Si $x_n\to x$ fortement, alors $x_n\rightharpoonup x$ dans
$\sigma(E,E')$.
\newline\newline
(iii) Si $x_n\rightharpoonup x$ dans $\sigma(E,E')$, alors $||x_n||$ est born\e e
et
$||x||\leq \lim\inf_{n\to +\infty}||x_n||.$
\newline\newline
(iv) Si $x_n\rightharpoonup x$  dans $\sigma(E,E')$ et si $f_n \to f$ fortement,
alors $f_n(x_n)\to f(x).$
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
 Montrons l'\e quivalence (i). La
topologie $\sigma (E, E')$ ayant \e t\ea construite pour que les \e l\e ments de
$E'$ soient continus, l'implication directe  ($\Rightarrow$) est claire,
puisque la continuit\ea des $f\in E'$ entraine leur continuit\ea s\e
quentielle.  La r\e ciproque  d\e coule de la forme des voisinages dans la
topologie faible.  On doit montrer que si
$f(x_n)\to f(x)$ pour tout $f$, alors pour tout $U$
 voisinage de $x$ pour $\sigma(E,E')$, il existe $n_0$ tel $n\geq n_0$ implique 
$x_n\in U$.  Or on a vu (Corollaire \ref{basedevoisinagesdex}) qu'on peut choisir
des voisinages $U$ de $x$ de la forme
$U=\bigcap_{i=1, ...,k}f_i^{-1}(]f_i(x)-\varepsilon, f_i(x)+\varepsilon[)$.  On
choisit $n_0$ assez grand pour que $n\geq n_0\Rightarrow
|f_i(x_n)-f_i(x)|<\varepsilon$, $i= 1, ...,k$.  Alors $x_n\in U$.  On a donc bien
$x_n\rightharpoonup x$ pour
$\sigma(E,E')$. 



  La relation (ii) r\e sulte de
$|f(x_n)-f(x)|\leq ||f||||x-x_n||.$ Pour montrer (iii), on consid\ee re les $x_n$
comme des formes lin\e aires sur $E'$ et on applique le th\e or\ee me de
Banach-Steinhaus  (Th\e or\ee me
\ref{banach-steinhaus}).  Les op\e rateurs continus de $E'$ dans $\real$ d\e finis
par $T_n(f)=f(x_n)$ v\e rifient $\forall f\in E',$ $\sup_n |T_n(f)|<+\infty$, car
$T_n(f)=f(x_n) $ a une limite, $f(x)$.  Donc $\sup_n ||T_n|| \leq C<+\infty$. 
Mais, 
 (corollaire \ref{normepardualite}),  $||x||=\sup_{f\in
E'}f(x)$) et donc
$$||T_n|| =
\sup_{||f||_{E'}\leq 1}f(x_n) = ||x_n||.$$
  La suite $x_n$ est donc born\e e. 
On a
$$\forall f\in E', \; ||f||_{E'}\leq 1,\; |f(x)|=\lim |f(x_n)|\leq \lim\inf_n
||x_n||, \hbox{  et donc  }$$
$$\forall f\in E', \;|f(x)|\leq \lim\inf_n ||x_n||, \hbox{ soit } ||x||\leq
\lim\inf_n||x_n||.$$ On termine en montrant (iv) par la simple in\e galit\ea
$$|f_n(x_n)-f(x)|\leq ||f_n - f||||x_n|| + |f(x_n-x)|.$$

\enddemo

\begin{pro}  Si la dimension de $E$ est finie, la topologie faible et la topologie
forte co\"{\i}ncident.

\end{pro}

\begin{rem}  En dimension infinie, les ouverts faibles sont des ouverts forts,
mais il y a plus d'ouverts forts que d'ouverts faibles.  De m\eee me, tous les
ferm\e s faibles sont des ferm\e s forts, mais il y a plus de ferm\e s forts que
de ferm\e s faibles.

\end{rem}
%\begin{exa}  La sph\ee re unit\ea $S=\{x\in E,\; ||x||=1\}$ est ferm\e e pour la
%topologie forte, mais pas pour la topologie faible : en effet sa fermeture pour la
%topologie faible est $B(0,1)=\{x\in E, \; ||x||\leq 1\}$.
%
%\end{exa}

\begin{exa} \index{Exemple d'ouvert fort mais pas faible} La boule unit\ea
$B(0,1)=\{x, ||x||<1\}$ est un ouvert de la topologie forte mais n'est pas un
ouvert de la topologie faible.  (Et donc son compl\e mentaire est un ferm\ea de
la topologie forte, mais pas de la topologie faible).
\end{exa}
\paragraph{D\e monstration}
En effet, tous les ouverts de la topologie faible contiennent des ensembles de la
forme $U=\bigcap_{i=1, ...,k}f_i^{-1}(]f_i(x)-\varepsilon,
f_i(x)+\varepsilon[)$.  Montrons que de tels ensembles sont non born\e s. On
choisit, dans $E$, $y\neq 0$ tel que $f_i(y)=0, i=1,..., k$.  Comme $E$ est de
dimension infinie et donc sup\e rieure \a $k$, c'est possible.  On remarque 
que $x+ty\in U$ pour tout $t>0$.  Mais $||x+ty|| \geq |t| ||y|| -||x||$ tend vers
l'infini quand $t\to +\infty$.  Donc $U$ n'est pas inclus dans la boule unit\e ,
qui n'est donc pas ouverte pour la topologie faible.  
\enddemo

\dexer \index{Fermeture faible de la sph\ee re unit\ea }
Montrer que la fermeture de $S(0,1)=\{x, ||x||=1\}$ pour la topologie faible est
$B(0,1)=\{x, ||x||\leq 1\}.$
\fexer
\begin{thf} \label{convexefortfaible} \index{Fermeture d'un convexe} Soit $E$ un
espace vectoriel norm\ea et
$C\subset E$ convexe.  Alors,
$C$ est faiblement ferm\ea pour la topologie faible si et seulement si il est
fortement ferm\e .
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
Si $C$ est faiblement ferm\e , il est fortement ferm\ea puisque la convergence
forte implique la convergence faible.  R\e ciproquement, supposons $C$ fortement
ferm\ea et montrons qu'il est faiblement ferm\e .  Il suffit de montrer que $C$
est une intersection de ferm\e s pour la topologie faible.  Mais par le th\e or\ee
me de Hahn-Banach (version compact-ferm\e , th\e or\ee me
\ref{hahn-banachfermecompact}), il existe pour tout $y\in C^c$ un hyperplan 
$\{x, f_y(x)=\alpha_y\}$ s\e parant $x$ et $C$, \ccaadd $f_y(y)>\alpha_y$ et
$f_y(x)\leq
\alpha_y$ pour tout $x$ dans $C$.   On en d\e
duit que 
$$C=\bigcap_{y\in C^c} f_y^{-1}(]-\infty, \alpha_y],$$
qui est une intersection de ferm\e s faibles.

\enddemo
\begin{cor}{\bf (Th\e or\ee me de Mazur)}\index{Mazur (th\e or\ee me de)} Soit
$E$ un espace vectoriel norm\e .  Si $x_n\to x$, $\sigma(E,E')$, il existe une
suite
$y_n$ de combinaisons convexes des $x_k$, $k\geq n$, qui converge fortement vers
$x$.

\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
On consid\ee re $C_k = \overline{Conv\{x_k, \; k\geq n\}}^{\sigma(E,E')}$, la
fermeture pour la topologie faible de l'enveloppe convexe des $x_k,$ $k\geq n$.
D'apr\ee s le th\e or\ee me
\ref{convexefortfaible}, $C_k$  est aussi ferm\ea pour la topologie forte. 
Puisque $x_n\rightharpoonup x$, on a donc aussi $$x\in C_k = \overline{Conv\{x_k,
\; k\geq n\}},$$ o\u la fermeture s'entend pour la topologie forte. Il existe
donc, pour tout $n,$ $y_n\in Conv\{x_k,
\; k\geq n\}$ tel que
$||y_n-x||\leq \frac 1 n$.
\enddemo
\begin{Def} \index{Semicontinuit\ea inf\e rieure, sup\e rieure} On dit qu'une fonction $\varphi$ d\e finie sur un espace topologique
est semicontinue inf\e rieurement si les ensembles de niveau inf\e rieurs, $\{x,
\varphi(x)\leq
\lambda\}$ sont ferm\e s pour tout $\lambda \in \real$.  On dit de m\eee me que 
$\varphi$ est semi continue sup\e rieurement (s.c.s.) si les ensembles de niveau
sup\e rieurs, $\{x, \varphi(x)\geq \lambda\}$ sont tous ferm\e s. 
\end{Def}
\begin{pro} \index{Limite inf\e rieure, sup\e rieure} Si $\varphi$ est s.c.i., et
si
$x_n$ est une suite convergeant vers
$x$, on a
\fb& \label{sciliminf}\varphi(x)\leq \lim\inf_{n\to \infty}\varphi(x_n).
\fe& 
Si $\varphi$ est s.c.s., 
\fb& \label{scilimsup}
\varphi(x)\geq \lim\sup_{n\to \infty}\varphi(x_n).
\fe&

\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
Si $\varphi$ est s.c.i.,  soit
$m=\lim\inf_{n\to \infty}\varphi(x_n)$.  Par d\e finition de la limite inf\e
rieure, on peut trouver pour tout
 voisinage $V(x)$ un entier $n_0$ tel que
$n\geq n_0\Rightarrow \varphi(x_n)\leq
m+\varepsilon$.  L'ensemble de niveau $\{y,\; \varphi(y)\leq m+\varepsilon\}$ \e
tant ferm\e , on en d\e duit que $\varphi(x)\leq m+\varepsilon$.  Mais
$\varepsilon$ est arbitrairement petit et on obtient (\ref{sciliminf}). La
relation (\ref{scilimsup}) peut s'obtenir en remarquant que $\varphi$ est s.c.i.
si et seulement si $-\varphi$ est s.c.s..
\enddemo


\begin{cor}\label{convexescifortimpliquescifaible}\index{Semicontinuit\ea inf\e
rieure faible (des fonctions fortement s.c.i.)} Soit $\varphi : E \to ]-\infty,
+\infty]$, convexe, semicontinue inf\e rieurement (s.c.i.)   pour la topologie
forte.  Alors
$\varphi$ est aussi s.c.i. pour la topologie faible et donc si
$x_n\rightharpoonup x$,
$\sigma(E,E')$, alors 
$$\varphi(x) \leq \lim\inf_{n\to +\infty} \varphi(x_n).$$
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
Il suffit de v\e rifier que chaque ensemble $$X_\lambda \varphi = \{x\in E, \;
\varphi(x)\leq \lambda\}$$
est ferm\ea pour la topologie faible $\sigma(E,E')$.  Or, par le th\e or\ee me
\ref{convexefortfaible}, c'est un convexe ferm\ea fort.
\enddemo

\section{La topologie $\star \sigma(E',E)$}
Soit $E$ un espace de Banach, $E'$ son dual, $E''$ son bidual topologique, muni de
la norme $$||\xi||_{E''}=\sup_{f\in E', ||f||_{E'}\leq 1}\xi(f).$$
On a une {\it injection canonique} $J : \; E \to E''$. En effet, tout \e l\e ment
$x\in E$ d\e finit un \e l\e ment $Jx\in E''$ par $Jx(f)=f(x)$.  $Jx$ est bien
une forme lin\e aire continue sur $E'$, puisque $|Jx(f)| = |f(x)|\leq
||x||_E||f||_{E'}.$  En fait, 
$||Jx||_{E''}=||x||_E$ car, gr\aa ce au Corollaire \ref{normepardualite},
$$||Jx||=\sup_{||f||\leq 1} |Jx(f)| = \sup_{||f||\leq 1}|f(x)| = ||x||.$$
On a donc $JE\subset E''$. Cela va nous permettre de d\e finir une nouvelle
topologie sur $E'$.

\begin{Def} \index{Topologie faible-$\star$}
La topologie $\star \sigma(E',E)$ est la moins fine rendant continues les
formes lin\e aires $f\to f(x)$, pour tout $x\in E$.

\end{Def}
Cette topologie est donc {\it a priori} moins fine que $\sigma(E',E'')$.
\begin{pro}\index{Base de voisinages (pour la topologie faible-$\star$)}
On a la base de voisinages en $f_0\in E'$ pour la topologie faible-$\star$ :
$$U= \{f\in E', \; |(f-f_0)(x_i)|<\varepsilon\},\; i=1, ...,n, \; x_i\in E,\; n\in
\natural .$$ 
\end{pro}
\begin{pro}\label{voisinagesfaibleetoile} \index{Convergence d'une suite (pour
la topologie faible-$\star$)} Soit
$E$ un espace de Banach. Si $(f_n)$ est une suite de $E'$, 
\newline (i) $(f_n\rightharpoonup f$, $\star\sigma(E',E))$ $\Leftrightarrow$
$(\forall x\in E\; f_n(x)\to f(x)).$
\newline
(ii) Si $f_n\to f$ fortement, alors $f_n\rightharpoonup f$, $\star \sigma(E',E)$.
\newline
(iii) Si $f_n\rightharpoonup f$, $\star\sigma(E',E)$, alors $||f_n||$ est born\e e
et $$||f||\leq \lim\inf_{n\to +\infty}||f_n||.$$ 
(iv) Si $f_n\rightharpoonup f$,
$\star
\sigma(E',E)$, si
$x_n\to x$ fortement, alors $f_n(x_n)\to f(x)$.
\end{pro}

\paragraph{D\e monstration}
Pour (i), (i), (iv), les m\eee mes que pour la proposition
\ref{liensentreconvergences}. 
\enddemo
\begin{pro} \index{S\e paration de la topologie $\sigma(E',E)$}
La topologie $\sigma(E',E)$ est s\e par\e e.
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
En effet, si deux formes lin\e aires $f$ et $g$ sur $E$ sont distinctes, il existe
$x\in E$ tel que $f(x)\neq g(x) $.
\enddemo
\begin{thf}
(Banach-Alaoglu-Bourbaki).\label{alaoglu}l\index{Banach-Alaoglu-Bourbaki (th\e
or\ee me de)}  L'ensemble
$\overline{B_{E'}}=\{f\in E',
\; ||f||\leq 1\}$ est compact pour la topologie $\star\sigma(E',E)$.
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
On  plonge
$E'$ dans
$Y=\real^E$, l'espace des applications de
$E$ dans
$\real$ muni de la topologie produit, \ccaadd la topologie la moins fine rendant
continues les projections $Y\to \real$, $\omega = (\omega_x)_{x\in E}\to E$. En
clair, la topologie sur $Y=\real^E$ est la topologie de la convergence simple.  On
appelle le plongement
$\Phi : (E',
\sigma(E',E))\to Y$,
$f\to (f(x))_{x\in E}\in Y$.  L'application $\Phi$ est continue et injective et
d'inverse  continue sur son image. On peut le v\e rifier en regardant les images
et images r\e ciproques des ouverts, mais on peut aussi simplement remarquer que
les topologies sur 
$Y$ et sur $E', \; \star\sigma(E',E)$ sont la m\eee me, puisque la topologie
$\star\sigma(E,E')$ n'est autre que la topologie de la convergence simple
(restreinte aux formes lin\e aires sur $E$).  Montrons que l'image $K$ de
$\overline{B_{E'}}$ par $\Phi$ est un compact.  On a
$$K=\{\omega\in Y, \;\forall x\in E,\; |\omega_x|\leq ||x||,\;
\omega_{x+y}=\omega_x+\omega_y,
\;
\omega_{\lambda x}=\lambda\omega_x\}.$$
On \e crit $K=K_1\cap K_2$, avec $$K_1=\{\omega\in Y, \; \forall x\in E,
|\omega_x|\leq ||x||\}\hbox{  et }$$
$$K_2 = \{\omega \in Y, \; \forall x, y\in E,\;\forall \lambda \in \real, 
\omega_{x+y}=\omega_x+\omega_y, \; \omega_{\lambda x}=\lambda\omega_x.\}$$
On voit que $K_1=\Pi_{x\in E}[-||x||, ||x||]$ est compact et que $K_2$ est ferm\e .
Donc $K$ est compact et donc $\overline{B_{E'}}$ aussi.
\enddemo
\drem Le th\e or\ee me pr\e c\e dent n'est r\e ellement utilisable que si la boule 
unit\ea  $\overline{B_{E'}}$ est m\e trisable.  On verra plus loin que c'est le
cas quand $E$ est s\e parable.
\frem

\chapter{Espaces r\e flexifs, espaces s\e parables}
\section{Espaces r\e flexifs}
Soit $E$ un espace de Banach.  Commen\c cons par quelques remarques sur la
dualit\e.
\begin{pro} \index{Bidual d'un espace de Banach} Si $E\subset F$, alors
$F'\subset E'$  et
$E''\subset F''$.  Si
$M\subset E$ est un sous-espace ferm\ea de $E$ et si $M'=E'$, alors $M=E$.
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration} Les deux premiers \e nonc\e s sont \e vidents, mais
attention, les inclusions en question sont des plongements : en effet $F'\subset
E'$ veut dire que les formes lin\e aires continues sur $F$ peuvent \eee tre
restreintes
\a
$E$ et apparaissent alors comme des formes lin\e aires continues sur $E$.
 Si
$M'=E'$,  l'orthogonal de $M$ dans $E'$ est $\{0\}$.  Par le Lemme
\ref {densite-orthogonalite}, $M$ est dense dans $E$.  Comme $M$ est ferm\e , on a
donc $M=E$.
\enddemo
%
Soit $J : E\to E''$ l'injection canonique de $E$
dans $E''$, d\e finie par $Jx(f) = f(x)$ pour tout $x\in E$, $f\in E'$.
\begin{Def} \index{R\e flexivit\ea } $E$ est r\e flexif si $J(E)=E''$. 
\end{Def}
\begin{thf} (Kakutani).\label{kakutani} \index{Kakutani (th\e or\ee me de)}Soit
$E$ un espace de Banach.  Alors
$E$ est r\e flexif si et seulement si $\overline{B_E}=\{x\in E, \; ||x||\leq
1\}$ est compact pour la topologie $\sigma(E,E')$.
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration tr\ee s abr\e g\e e}  
Si $E$ est r\e flexif, on  a $E=J^{-1}(E'')$ et, avec cette identification,
$\sigma(E,E')=\sigma(E'',E')$ et $\overline{B_E}=\overline{B_{E''}}$. Comme cette
derni\ee re boule est compacte pour $\sigma(E'', E')$, on d\e duit que 
$\overline{B_E}$ est compacte pour $\sigma(E,E')$.  Pour la r\e ciproque, voir
 Brezis pages 44 et 45.
\enddemo
%
%\dexer Trouver la faute : Nous allons montrer que tout espace vectoriel norm\ea
%est r\e flexif. On commence par remarquer que si $E\subset F$, alors $F'\subset
%E'$.  Par plongement, on a $E\subset E''$.  Donc $(E'')'\subset E'$, soit
%$E'''\subset E'$.  Par plongement, on a \e galement $E'\subset (E')''$ et donc
%$E'\subset E'''$.  Finalement, $E' = E'''= (E')''$, ce qui veut dire que $E'$ est
%r\e flexif.  Donc tout dual est r\e flexif.  Mais comme $E$ est r\e flexif si et
%seulement si $E'$ l'est, on conclut que tout espace vectoriel norm\ea est r\e
%flexif.
%
%\fexer
%
\begin{pro} \label{sousespacereflexif} \index{R\e flexivit\ea (d'un sous-espace
ferm\ea )} Soit
$M\subset E$ un sous-espace vectoriel ferm\ea de
$E$, espace de Banach, muni de la norme induite.  Alors si $E$ est r\e flexif, $M$
est r\e flexif.
\end{pro}
%
\paragraph{D\e monstration}
Montrons que la topologie $\sigma(M,M')$ est une restriction \a $M$ de la
topologie $\sigma (E,E')$.  Cela provient du fait que, par le th\e or\ee me de
Hahn-Banach, toute forme lin\e aire continue sur $M$ peut se prolonger en une forme
lin\e aire continue sur
$E$.  Inversement, toute forme lin\e aire continue sur $E$ est continue sur $M$. 
On applique le th\e or\ee me de Kakutani : la boule $\overline{B_M}=\{x\in M\; 
||x||\leq 1\}$ est un ferm\ea de $\overline{B_E}$ qui est un compact pour
$\sigma(E,E')$.  Donc c'est aussi un compact pour $\sigma(E,E')$.  Donc, \a
nouveau par le th\e or\ee me \ref{kakutani}, $M$ est r\e flexif.
\enddemo
%
%\paragraph{Autre d\e monstration directe, \a arranger}
%Par hypoth\ee se, $JE=E''$. Comme $M\subset E$, on a aussi $M''\subset E''$ et le
%plongement $JM\subset M''$ est une restriction du plongement $JE\subset E''$.  On
%a donc $JM\subset M''\subset E'' = JE$ et donc $M\subset J^{-1}(M'')\subset E$.
%On veut montrer que $JM=M''$, ou de mani\ee re \e quivalente que
%$M=J^{-1}(M'')$.  Par le corollaire ??, $M$ \e tant ferm\e , il suffit de montrer
%que $M'=J^{-1}(M'')'$. Comme $M\subset J^{-1}(M'')$, on a bien
%$J^{-1}(M'')'\subset M'$.  Il suffit donc de montrer l'inclusion inverse. Soit
%$f\in M'$.  Alors, 
%$$\forall x\in J^{-1}(M'')\subset E, \; |Jx(f)|\leq
%||Jx||_{M''}||f||_{M'}= ||f||_{M'}||Jx||_{E''}=||f||_{M'}||x||_E.$$
%Donc $f\in (J^{-1}(M''))'$ et donc $M'\subset J^{-1}(M'')'$.
%\enddemo
%
\begin{pro}  \index{R\e flexivit\ea (du dual d'un espace r\e flexif)}Soit $E$ un
espace de Banach.  Alors
$E$ est r\e flexif si et seulement si $E'$ est r\e flexif.

\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
Supposons que $E$ soit r\e flexif.  On sait que $\overline{B_{E'}}$ est compact
pour la topologie $\sigma(E',E)$ (Th\e or\ee me \ref{alaoglu} de Alaoglu).  Comme
$E$ est r\e flexif, on a $\sigma(E',E) = \sigma(E',E'')$.  Donc
$\overline{B_{E'}}$ est aussi compact pour $\sigma(E',E'')$, ce qui implique par le
th\e or\ee me de Kakutani que $E'$ est r\e flexif.


R\e ciproquement, Si $E'$ est r\e flexif, alors par l'\e tape pr\e c\e dente,
$E''$ est r\e flexif. Donc $J(E)$, qui est un sous-espace ferm\ea (fort) de $E''$,
est aussi r\e flexif par la proposition \ref{sousespacereflexif}, et donc $E$ est
r\e flexif.
\enddemo
%
%\paragraph{Autre d\e monstration directe}  Supposons d'abord que $E$ est r\e
%flexif. Par hypoth\ee se, on a $JE=E''$ et donc $(JE)'=E'''$.  Appelons $J_1$ le
%plongement
%$J_1E'\subset E'''$. On doit montrer qu'en fait $J_1E'=E'''$.  Comme
%$(JE)'=E'''$,  Il suffit de montrer que $(JE)'\subset J_1E'$. Or
%$$f\in (JE)'\Leftrightarrow \forall x\in E, |Jx(f)|\leq ||f||_{(JE)'}||Jx||_{E''}
%=||f||_{(JE)'}||x||_{E}.$$
%En posant $f_1(x)=Jx(f)$, on en d\e duit que $f_1\in E'$ et $f=J_1f_1$.  Donc 
%$f\in J_1E'$.  
%Pour la r\e ciproque, on proc\ee de comme
%dans la d\e monstration pr\e c\e dente.
%\enddemo
%
\begin{cor}\index{Compacit\ea faible (d'un convexe ferm\ea born\ea )}
Soit $K\subset E$ un sous-ensemble convexe, ferm\e , born\ea d'un espace de Banach
r\e flexif.   Alors $K$ est compact pour la topologie $\sigma (E,E')$.
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
$K$ est ferm\ea dans $\sigma(E,E')$, et $K\subset \overline{B(0,M)}$ est compact
dans $\sigma(E,E')=\sigma(E'',E')$. 
\enddemo


\section{Espaces s\e parables}
Un espace s\e parable est un espace m\e trique qui contient un sous-ensemble $D$
dense et d\e nombrable.
\begin{pro} \index{S\e parabilit\ea (d'un sous-espace d'espace s\e parable)}
Soit $E$ un espace m\e trique s\e parable et $F$ un sous-espace de $E$.  Alors $F$
est s\e parable.
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
Consid\e rons $d(x_n, F)$, la distance de $x_n$ \a  $F$.    On choisit $y_n\in F$
tel que
$d(y_n, x_n)\leq 2 d(x_n,F)$. Montrons que $y_n$ est dense dans $F$. Soit $y\in
F$. Comme
$$
d(x_n,y)\geq d(x_n, F)\geq\frac 1 2 d(y_n, x_n),
$$
on obtient $ d(y,y_n)\leq d(y,x_n)+d(x_n, y_n)\leq 3
d(x_n, y)$. Comme $x_n$ est dense, on en d\e duit que $\lim\inf d(y,y_n)
\leq 3\lim\inf d(x_n,y)=0$.
\enddemo
\begin{thf} \label{separabledonneseparable}
Soit $E$ un espace m\e trique tel que $E'$ soit s\e parable.  Alors
$E$ est s\e parable.

\end{thf}
Attention : la r\e ciproque est fausse.  On verra que $(L^1(\real))' =
L^\infty(\real)$, mais $L^\infty$ n'est pas s\e parable.


\paragraph{D\e monstration du th\e or\ee me \ref{separabledonneseparable}.}
Soit $f_n$ une suite d\e nombrable de $E'$ dense dans $E'$.  A tout $f_n$, on
associe $x_n\in E$ tel que $$||x_n||=1 \hbox{ et }f_n(x_n)\geq \frac 1 2 ||f_n||.$$
Ces $x_n$ sont donc choisis pour \eee tre des \e l\e ments duaux approximatifs des
$f_n$ (voir le corollaire \ref{normepardualite} sur l'application de dualit\e
).    On consid\ee re $L_0$, l'espace vectoriel sur $\rational$ engendr\ea par les
$x_n$ et
$L$ celui engendr\ea sur $\real$.  $L_0$ est d\e nombrable et dense dans $L$. 
Montrons que $L$ est \a son tour dense dans $E$.   Remarquons qu'il suffit par le
lemme \ref{densite-orthogonalite} de d\e montrer que 
\fb& 
\forall f\in E', \; (\forall x\in L, \;f(x)=0) \Rightarrow f=0.
\fe&
Soit donc $f\in E'$ tel que $f(x)=0$ pour tout $x\in L_0$.  Montrons que $f=0$.
Or, 
$\forall \varepsilon >0$, $\exists n$, $||f-f_n||<\varepsilon$ et $f(x_n)=0,\;
\forall n.$  Donc
$$\frac 1 2 ||f_n||\leq f_n(x_n) = (f_n-f)(x_n) + f(x_n) \leq \varepsilon.$$
Donc $||f||\leq ||f_n-f|| +||f_n||\leq 3\varepsilon$ et donc $f=0$.
\enddemo
\begin{cor} 
Si $E$ est un espace de Banach, alors $E$ est r\e flexif et s\e parable si et
seulement si $E'$ est r\e flexif et s\e parable.

\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
On sait d\e ja que si $E'$ est r\e flexif et s\e parable, alors $E$ aussi.  R\e
ciproquement, si $E$ est r\e flexif et s\e parable, alors $E''=J(E)$ aussi, et
donc $E'$ aussi. 

\enddemo

\begin{thf} \label{separable-metrisable}\index{M\e trisabilit\ea (de la boule
unit\e )} Soit $E$ un espace de Banach s\e parable. Alors la boule
unit\ea ferm\e e $\overline{B_{E'}}$ est m\e trisable pour la topologie $\sigma
(E',E)$. 
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
Soit $(x_n)$ une suite de $B_E$ dense dans $\overline{B_E}$.  On d\e finit une
distance sur $E'$ par 
$$\forall f, g\in E', \; d(f,g)=\sum_{n=1}^\infty \frac 1 {2^n} |(f-g)(x_n)|.$$
Il faut montrer que les voisinages pour $\sigma(E',E)$ et pour cette distance sont
les m\eee mes.  
\newline
\newline
a) Soit $f_0\in B_{E'}$ et $V$ un voisinage de $f_0$ pour $\sigma(E',E)$. On
montre que $\exists r>0,\; U=\{f\in \overline{B_{E'}},\; d(f,f_0)<r\} \subset V.$
On peut supposer (Proposition \ref{voisinagesfaibleetoile}) que $V$ est de la
forme 
$$V=\{f\in \overline{B_{E'}}, \;
(f-f_0)(y_i)<\varepsilon, \; i=1,..., n\}, \hbox{ avec } ||y_i||\leq 1.
$$
Comme la suite $x_n$ est dense dans $\overline{B_{E}}$, on peut trouver $x_{n_i}$
tels que $||y_i-x_{n_i}||<\frac \varepsilon 4.$  On choisit $r$ tel que 
$2^{n_i}r<\frac \varepsilon 2$.  Alors 
$$
d(f,f_0)<r\Rightarrow \frac 1{2^{n_i}}|(f-f_0)(x_{n_i})|<r, \; i= 1, ...,n.
$$
$$\Rightarrow |(f-f_0)(y_i)| \leq |(f-f_0)(y_i-x_{n_i})|+|(f-f_0)(x_{n_i})|<\frac 
\varepsilon 2 +\frac \varepsilon 2\Rightarrow f\in V.$$
Donc $U\subset V$.
\newline
b) R\e ciproquement, soit $f_0\in \overline{B_{E'}}$. Fixons $r>0$ et consid\e rons
$$U=\{f\in \overline{B_{E'}}, \; d(f,f_0)<r\}.$$
On va montrer qu'il existe un voisinage $V$ de $f_0$ pour $\sigma(E',E)$ dans 
$B_{E'}$ tel que $V\subset U.$  On cherche $V$ de la forme
$$V=\{f\in \overline{B_{E'}}, \; |(f-f_0)(x_i)|<\varepsilon, \; i = 1,..., k\}.$$
Choisissons  $k$ et $\varepsilon$ pour que $V\subset U$ : on a, si $f\in V$,
$$d(f,f_0)=\sum_{n=1}^k \frac 1 {2^n}|(f-f_0)(x_n)|+\sum_{n=k+1}^\infty \frac 1
{2^n} |(f-f_0)(x_n)| <\varepsilon + 2 \sum_{n=k+1}^\infty \frac 1 {2^n}
$$
$$ =
\varepsilon + \frac 1 {2^{k}}.$$
 On choisit  donc $\varepsilon <\frac r 2 $ et $k$ suffisamment grand pour que 
$\frac 1 {2^{k}} <\frac r 2$.
\enddemo
Une adaptation imm\e diate de la d\e monstration pr\e c\e dente donne le r\e
sultat dual :
\begin{thf} \index{M\e trisabilit\ea de la boule unit\e }
Soit $E$ un espace de Banach tel que $E'$ soit s\e parable.  Alors
$\overline{B_E}$ est m\e trisable pour $\sigma(E,E')$.

\end{thf}



\begin{thf} \label{compacitesequentielle} \index{Compacit\ea s\e quentielle de
la boule unit\e} Soit $E$ un espace de Banach s\e parable, $f_n$  une suite
born\e e dans
$E'$.  Alors il existe une sous-suite extraite $f_{n_k}$ qui converge pour
$\sigma (E',E)$.
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
En effet, par le th\e or\ee me \ref{alaoglu} (Th\e or\ee me d'Alaoglu), la boule
unit\ea de $E'$ est compacte pour la topologie $\sigma(E',E)$ et par le th\e
or\ee me \ref{separable-metrisable}, cette topologie est m\e trisable.  Or, dans
un compact m\e trique, toute suite a un point d'accumulation.

\enddemo
\begin{cor} \index{Compacit\ea s\e quentielle (dans un s\e parable r\e flexif)}
Soit $E$ un espace de Banach et r\e flexif.  Soit $x_n$ une suite
born\e e dans
$E$. Alors il existe une sous-suite $x_{n_k}$ qui converge pour $\sigma (E,E').$

\end{cor}

\paragraph{D\e monstration} Soit $F$ le plus petit sous-espace ferm\ea contenant la 
suite $x_n$.
$F$ \e tant r\e flexif, il est le dual de $F'$ et
$\sigma(F,F')=\sigma(F'', F').$  Donc le th\e or\ee me \ref{compacitesequentielle}
s'applique.
%On consid\ee re l'espace vectoriel $M_0$ engendr\ea par $x_n$ et sa fermeture
%$M$.  Alors $M$ est s\e parable et r\e flexif.  Donc $\overline{B_M}$ est m\e
%trisable et compact pour la topologie $\sigma(M,M')$.  Donc il existe une
%sous-suite qui converge pour $\sigma(M,M')$, et donc aussi pour $\sigma(E,E')$.
\enddemo

\begin{cor} Soit $K\subset E$ un sous-ensemble convexe, ferm\ea et born\ea d'un
espace de Banach r\e flexif.  Alors $K$ est compact pour la topologie
$\sigma(E,E')$.
\end{cor}

\begin{cor}\label{convexecoerciveminimum}\index{Minimisation (d'une fonction
convexe s.c.i.)}
 Soit $E$ un espace de Banach r\e flexif et  $\varphi : E\to ]-\infty,
+\infty]$ une fonction convexe s.c.i. sur
un  convexe ferm\ea $A$  telle que  
$$\lim_{x\in A, ||x||\to \infty} \varphi(x) = +\infty, \hbox{  et  } \exists x_0,
|\varphi(x)|<\infty.$$ Alors $\varphi$ atteint son minimum sur $A$.
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
L'ensemble convexe $K=\{x, \varphi(x)\leq \varphi(x_0)\}$ est convexe, ferm\e ,
born\e , non vide. Donc c'est un compact pour $\sigma(E,E')$.   Comme $\varphi$ est aussi s.c.i. pour la topologie 
$\sigma(E,E')$, $\varphi$ atteint
 son minimum sur $K$ en vertu du lemme qui suit.
\enddemo
\begin{lem} \index{Fonction semicontinue inf\e rieurement sur un compact}
Soit $\varphi$ une fonction s.c.i. sur un espace topologique compact $K$.  Alors
$\varphi$ atteint sa borne inf\e rieure.

\end{lem}
\paragraph{D\e monstration}
Supposons par contradiction que $\varphi$ n'atteigne pas son infimum $m$ sur $K$.
Alors les ouverts 
$O_\varepsilon = ]m+\varepsilon, +\infty[$ recouvrent $\varphi(K)$.  Comme
$\varphi$ est s.c.i., les ensembles $\varphi^{-1}(O_\varepsilon)$ sont ouverts. 
De plus, ils recouvrent $K$ et on peut donc en extraire un sous-recouvrement
fini. On en d\e duit un recouvrement fini
$O_{\varepsilon_1},...,O_{\varepsilon_k}$ de $\varphi(K)$.  Donc 
$\varphi(K)\subset ]\min(\varepsilon_1, ..., \varepsilon_k), +\infty[$, ce qui
contredit la d\e finition de $m$.

\enddemo
%
%\begin{Def}  On dit qu'un espace de Banach $E$ est uniform\e ment convexe si 
%$$\forall \varepsilon>0, \; \exists \delta>0, \; (x,y\in E, ||x||\leq 1, \;
%||y||\leq 1) \; \Rightarrow ||\frac {x+y}2||<1-\delta.$$
%
%\end{Def}
%\begin{exa}et contrexemples : $||x||_2 = (\sum_1^n |x_i|^2)^\frac 1 2,$ $||x||_1 =
%\sum_1^n|x_i|,
%$
%$||x||_\infty = \sup_{i=1, ..., n} |x_i|$.
%
%\end{exa}
%\begin{thf} (Milman-Pettis)
%Tout espace de Banach uniform\e ment convexe est r\e flexif.
%\end{thf}
%\paragraph{D\e monstration}
%Voir Brezis.   Nous n'utiliserons
%pas ce r\e sultat pour montrer la r\e flexivit\ea des espaces consid\e r\e s
%plus loin (espaces de Hilbert, $L^p$, etc.) mais il est bon de conna\ii tre
%l'existence  de cet \e nonc\ea g\e n\e ral.
%
%\enddemo
%\begin{pro}
%Soit $E$ un espace de Banach uniform\e ment convexe.  Soit $(x_n)$ une suite dans
%$E$ telle que $x_n\to x$ dans $\sigma(E, E')$ et 
%$$\lim\sup_n ||x_n||\leq ||x||.$$
%Alors $x_n$ converge vers $x$ fortement.
%
%\end{pro}
% \paragraph{D\e monstration}
%Supposons $x\neq 0$.  Soit $\lambda_n = \max(||x_n||, ||x||)$.  Alors
%$\lambda_n\to ||x||$.  On pose
%$$y_n = \frac {x_n}{\lambda_n}, \; \; y=\frac x {||x||}.$$
%Alors $y_n\to y$ dans $\sigma(E,E')$.  Donc
%$$1=||y|| \leq \lim\inf_n ||\frac {y+y_n}2||.$$
%Mais, puisque $||y||=1$, $||y_n||\leq 1 \Rightarrow \lim\sup ||\frac
%{y+y_n}2||\leq 1.$
%Donc $||\frac{y_n+y}2||\to 1$ et par uniforme convexit\e , on d\e duit que 
%$||y_n-y||\to 0$. 
%
%\enddemo
%
%
\chapter{L'int\e grale de Lebesgue}

On admet l'existence d'une classe de fonctions $f : \real^N\to [-\infty, +\infty]$
que l'on appelle mesurables au sens de Borel-Lebesgue.  Si
$f= \indic_E$ est une fonction caract\e ristique d'un sous-ensemble $E$ de
$\real^N$, \ccaadd $f(x)=1$ si $x\in E$, $f(x)=0$ sinon et si $f$ est mesurable, on
dit que $E$ est mesurable, ou Lebesgue-mesurable.
 Dans tout ce
qui suit, nous admettrons que les fonctions et les ensembles  consid\e r\e s sont
mesurables et nous admettons l'existence d'une application qui \a toute fonction
$f$ mesurable et \a valeurs dans $[0, +\infty]$ associe son {\it int\e grale de
Lebesgue} que l'on notera de mani\ee re plus ou moins abr\e g\e e
$$\int_{\real^N}f(x)dx = \int f(x)dx = \int f \in [0, +\infty].$$
Si $f=\indic_E $ est une fonction caract\e ristique, on note $\mu (E) = \int
\indic_E$ que l'on appelle {\it mesure de} $E$. En l'absence d'une construction
explicite, les {\bf propri\e t\e s} qui suivent doivent
\eee tre consid\e r\e es comme des axiomes v\e rifi\e s par l'int\e grale de
Lebesgue.  A partir de ces axiomes, nous d\e montrerons les autres propri\e t\e s
dont nous aurons besoin. 
\begin{propr}
Lin\e arit\ea : pour $f$ et $g$ \a valeurs dans $[0,+\infty]$, et $\lambda,
\mu\in \real^+$, \newline
$\int \lambda f+\mu g = \lambda \int f +  \mu \int g$.
\end{propr}
Remarquons que l'en d\e duit la croissance de l'int\e grale :
si $f\leq g$, alors $\int f \leq \int g$
\begin{propr}.
Si $f\geq 0$ est Riemann-int\e grable elle est Lebesgue mesurable et 
son int\e grale au sens de Lebesgue est \e gale \a son int\e grale au sens de
Riemann.

\end{propr}
\begin{propr}\index{Beppo-Levi (th\e or\ee me de la convergence monotone)} (Th\e
or\ee me de Beppo-Levi ou de la convergence monotone) Si $f_n$ est une suite
croissante de fonctions mesurables d\e finies sur
$\real^N$ et \a valeurs dans $[0,+\infty]$, on a
$$\int \lim_{n\to \infty}f_n(x)dx = \lim_{n\to \infty}\int f_n(x)dx\leq +\infty.$$
\end {propr}
\begin{exo}  Si $\sum u_n$ est une s\e rie de fonctions $\real^N\to [0,
+\infty]$, on peut intervertir sommation et int\e gration :
$\int \sum_n u_n(x) dx = \sum \int u_n(x)dx.$
\end{exo}
Il suffit d'appliquer le th\e or\ee me de Beppo-Levi \a la suite croissante des
sommes partielles 
$\sum_{n=1}^k u_n$.
\begin{pro} \label {additivite}\index{Additivit\ea (de la mesure)} Si $A$ et $B$
sont deux ensembles mesurables, alors $A\subset B\Rightarrow \mu(A)\leq
\mu(B).$  Si
$A_n$ sont des ensembles disjoints, 
$\mu(\bigcup_n A_n) = \sum_n \mu(A_n)$.  (Appliquer de nouveau Beppo-Levi aux
fonctions caract\e ristiques des ensembles).  Si les $A_n$ ne sont pas
disjoints, on a $\mu(\cup_n A_n)\leq \sum_n \mu(A_n).$

\end{pro}
\begin{Def} \index{N\e gligeable (ensemble)}  On appelle ensemble n\e gligeable tout ensemble de mesure nulle. 
On dit qu'une propri\e t\ea est v\e rifi\e e presque partout si elle est vraie
sauf sur un ensemble n\e gligeable.
\end{Def}
En vertu de la proposition \ref{additivite}, toute union d\e nombrable
d'ensembles n\e gligeables est n\e gligeable.   
\begin{pro}\label{nullepresquepartout} 
Soit $f$ d\e finie sur $\real^N$ et \a valeurs dans $[0, +\infty]$. On a
$$\int f(x)dx = 0 \Leftrightarrow f(x)=0 \hbox { p.p..}$$
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
On pose $A=\{x, f(x)\neq 0\}.$  On a $$f(x)\leq \lim_{j\to \infty}
j\indic_A(x).$$
Si $\mu(A)=0$, on obtient par le th\e or\ee me de la convergence monotone
(Beppo-Levi), 
$$\int f(x)dx \leq \lim_{j\to \infty} j\int \indic_A(x)dx=0.$$
R\e ciproquement,  si $\int f(x)dx=0$, remarquons que $\indic_A(x)\leq \lim_{j\to
\infty} jf(x)$ et donc, \a nouveau par Beppo-Levi,
$$\mu(A)=\int \indic_A(x)dx \leq \lim_{j\to \infty}\int jf(x)dx=0.$$
\enddemo

\begin{Def} \index{Sommabilit\ea d'une fonction}
Soit $f$ une fonction d\e finie dans $\real^N$ et \a valeurs dans $\complex$. On
dit que $f$ est sommable (ou int\e grable au sens de Lebesgue) si on a 
$$\int_{\real^N}|f(x)|dx <\infty.$$
L'espace des fonctions sommables est not\ea ${\cal L}^1(\real^N)$.  Si $f(x)\in
\real$, on note $f=f^+-f^-$, o\u $f^+=\max (f, 0)$, $f^-=\max(-f,0)$. Ces deux
fonctions sont int\e grables si $|f|$ l'est et on pose
$$\int f = \int f^+-\int f^-.$$
Si $f= f_1 + i f_2$ est \a valeurs complexes, on pose
$$\int f = \int f_1 + i\int f_2.$$
\end{Def}

\dexer \label{independancedeladecomposition}Si une fonction $f$ \a valeurs r\e
elles v\e rifie
$f=g-h$, avec
$g\geq 0$,
$h\geq 0$, alors $\int f = \int g -\int h.$
\fexer
\begin{pro} \index{Lin\e arit\ea de l'int\e grale}L'application $f\to \int f $
est lin\e aire de
${\cal L}^1(\real^N)$ dans $\complex$.  Si $f$ et $g$ sont sommables et \a
valeurs complexes,
\begin{equation}
\label{sousadditivite}
|\int f(x)dx| \leq \int |f(x)|dx, \; |\int f(x)+g(x)|dx\leq
\int |f(x)|dx +
\int |g(x)|dx.
\end{equation}
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
On montre l'additivit\ea pour des fonctions r\e elles : 
on a $f+g = f^++g^+ -(f^-+g^-)$ et donc, en vertu de l'exercice
\ref{independancedeladecomposition}, et de l'additivit\ea de l'int\e grale pour
les fonctions positives,
$$\int (f+g)=\int (f^++g^+) -\int (f^-+g^-)=\int f + \int g.
$$
On montre la premi\ee re relation de (\ref{sousadditivite}), qui entra\ii ne
ais\e ment la seconde. 
On choisit un nombre complexe $\theta$ de module 1 tel que $\theta \int f$ soit
un r\e el positif.  Donc
$$|\int f(x)dx|=\int \hbox{Re}(\theta f(x))dx \leq \int (\hbox{Re}(\theta
f(x)))^+ dx \leq \int |f(x)|dx.$$
\enddemo
\begin{Def} \index{Espace des fonctions sommables $L^1(\real^N)$} L'espace $L^1(\real^N)$.
Une cons\e quence de la proposition
\ref{nullepresquepartout} est que si
$f$ et
$g$ sont
\e gales presque partout, elles ont la m\eee me int\e grale.   A partir de
maintenant on identifie les fonctions \e gales presque partout entre elles.  On
note
$L^1(\real^N)$ l'espace vectoriel des classes d'\e quivalence de fonctions pour
cette relation d'\e quivalence.  Tous les \e nonc\e s qui suivent concerneront
d\e sormais ces classes.  On choisira souvent par commodit\ea une repr\e sentante
$u$ de la classe, ce qui sera licite \a condition de la consid\e rer comme ``d\e
finie presque partout" (p.p.). On s'autorisera donc \a \e crire $u(x)$, mais
cette \e criture n'aura jamais un sens ponctuel (\a moins qu'un \e l\e ment de la
classe ne s'av\ee re continu). Les \e nonc\e s portant sur $u(x)$ n'auront de sens
que si on leur ajoute la mention ``presque partout''.  
\end{Def}

\begin{thf} ({\bf de Lebesgue, ou de la convergence domin\e e)} \index{Lebesgue
(th\e or\ee me de la convergence domin\e e)}
 Soit $f_n$ une suite de fonctions qui converge presque partout vers une
fonction $f$. On suppose qu'il existe une fonction positive sommable fixe $h$
telle que l'on ait pour tout $n$, $|f_n(x)|\leq h(x)$ p.p..  (Cette fonction
$h(x)$ s'appelle un {\rm chapeau int\e grable de la suite} $f_n$).  On a alors
\begin{equation}\label{convergenceenmoyenne}
\int |f_n(x)-f(x)|\to 0,\; \; \int f_n(x)dx \to \int f(x)dx
\end{equation}
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
On remarque que la conclusion (\ref{convergenceenmoyenne}) ne d\e pend pas 
du choix des repr\e sentants des fonctions $f_n$ et de $f$. 
Soit $A_n=\{x, |f_n(x)|>h(x)\}$ et $B$ l'ensemble des points o\u  $f_n$ ne
converge pas vers $f$.  Alors $C=B \cup(\bigcup_n A_n )$ est n\e gligeable.  On
peut donc supposer, en changeant de repr\e sentants  pour $f_n$ et $f$, que 
$f_n(x)\to f(x)$ partout et que $|f_n(x)|\leq h(x)$ partout (pour  tout $x$).


On pose $g_n(x)=|f_n(x)-f(x)|$ et $h_n(x) = \sup_{k\geq n}g_k(x)$.  Alors $h_n$
est une suite d\e croissante de fonctions positives qui tend vers z\e ro
partout. De plus, $h_n(x)\leq 2h(x)$ partout.  On va montrer que 
$\int h_n(x)dx$ tend vers z\e ro, ce qui nous donnera
(\ref{convergenceenmoyenne}).  Or, le th\e or\ee me de la convergence monotone
(Beppo-Levi) s'applique \a la suite croissante de fonctions positives $2h-h_n$
et donne $$\lim_{n\to +\infty} \int (2h(x)-h_n(x))dx = 2\int h(x)dx.$$
Donc $\int h_n(x)dx \to 0$.
\enddemo

\begin{thf}  (R\e ciproque du th\e or\ee me de Lebesgue).\index{R\e
ciproque du th\e or\ee me de Lebesgue}
\newline Si $f_n\to f$ dans $L^1$, alors il
existe une sous-suite
$f_{n_k}$ de la suite 
$f_n$ qui converge presque partout vers $f$ et un chapeau int\e grable $h$ tel que
$\forall k, \; |f_{n_k}(x)|\leq h(x)$ p.p..
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}  Voir l'exercice qui porte ce nom. 
\enddemo

\begin{thf} (Th\e or\ee me de d\e rivation sous le signe somme)\index{D\e
rivation sous le signe somme (Th\e or\ee me de)} Soient $I$ un intervalle de
$\real$ et
$A$ un sous-ensemble de $\real^n$. On se donne une fonction $f$ d\e finie sur
$A\times I$ v\e rifiant les trois hypoth\ee ses  suivantes.
\newline
(a) Pour tout $\lambda\in I$, la fonction $x\to f(x,\lambda)$ est sommable sur $A$.
\newline
(b) La d\e riv\e e partielle $\frac{\partial f}{\partial \lambda}(x, \lambda)$
existe en {\rm tout} point de $A\times I$.
\newline
(c) Il existe une fonction $h$ positive et sommable sur $A$ telle que l'on ait 
$|\frac{\partial f}{\partial \lambda}(x, \lambda)|\leq h(x)$ pour tous $x$ et
$\lambda$. Alors la fonction $F$ d\e finie par
$$F(\lambda)=\int_A f(x, \lambda)dx$$ est d\e rivable dans $I$ et on a
$$F'(\lambda) = \int_A \frac{\partial f}{\partial \lambda}(x,\lambda)dx.$$
\end{thf}

\paragraph{D\e monstration}
On a, \a $\lambda$ fix\e ,
$$\frac 1 l [F(\lambda +l )-F(\lambda)] = \int_A g_l(x)dx,$$
o\u l'on a pos\ea
$$g_l(x) = \frac 1 l[f(x,\lambda+l)-f(x,\lambda)].$$
La fonction $g_l$ converge en tout point vers $\frac {\partial f}{\partial
\lambda}.$  D'autre part,  $$|g_l(x)|\leq \sup_{0\leq\theta\leq
1}|\frac{\partial f}{\partial \lambda}(x, \lambda+\theta l)|\leq h(x)$$
d'apr\ee s le th\e or\ee me des accroissements finis.  Le th\e or\ee me r\e sulte
alors de l'application du th\e or\ee me de Lebesgue.
\enddemo



L'avant-derni\ee re propri\e t\ea de l'int\e grale de Lebesgue que nous
admettrons est la suivante.  Comme pr\e c\e demment, on suppose que les
fonctions consid\e r\e es sont mesurables. 

\begin{Def} \index{Fonction en escalier} On consid\ee re un quadrillage de taille $a$ de
l'espace
$\real^N$ par des hypercubes de longueur d'ar\ee te $a$. Posant $C=[0,a[^N$, ce
quadrillage peut se d\e finir par le  recouvrement disjoint 
$$\real^N=\bigcup_{\hbox{\bf n}\in \relative^N}
(a\hbox{\bf n}+C).$$
 On appelle fonction en escalier une fonction \a laquelle on peut associer un quadrillage
de taille $a$ tel que $f$ soit
constante sur chacun des hypercubes du quadrillage et \a support born\ea.
\end{Def}
\begin{Def} \index{Fonction en escalier dyadique} On appelle fonction en escalier dyadique
une fonction en escalier associ\e e 
\a un quadrillage de taille $a=2^k$, $k\in \relative$.
\end{Def}

\begin{propr} \label{densiteescalierL^1}  \index{Densit\ea des fonctions en
escalier dans $L^1$}
 Pour toute fonction $f$ sommable sur $\real^N$, il existe une suite de
fonctions en escalier qui converge vers $f$ dans $L^1(\real^N)$. Cette propri\e t\ea reste
vraie si on impose aux fonctions en escaliers d'\eee tre dyadiques.
\end{propr}

On va  d\e duire de la proposition \ref{densiteescalierL^1} une propri\e t\ea de
densit\ea plus forte concernant les fonctions continues \a support compact.

\begin{Def} \index{Support d'une fonction} Soit $f$ une fonction continue et nulle en dehors d'une boule. On
appelle support de $f$ la  fermeture de l'ensemble $\{x, f(x)> 0\}$ qui est
ferm\ea et born\ea et donc compact. Si $\Omega $ est un ouvert de $\real^N$, on
note
$C_c(\Omega)$ l'ensemble des fonctions $C^\infty$ \a support compact contenu dans
$\Omega$.
\end{Def}

\begin{cor}\label{densiteCoL^1}\index{Densit\ea de $C_c$ dans $L^1$}
Pour toute fonction $f$ sommable sur
$\real^N$ il existe une suite de fonctions $f_n\in C_c(\real^N)$, \ccaadd
continues et \a support compact, telles que
$$\int_{\real^N}|f_n-f|\to 0.$$
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
On commence par montrer que si $C$ est un hypercube de $\real^N$ et $\indic_C$ sa
fonction caract\e ristique, alors il existe des fonctions continues $f_N$ \a
support compact telles que $\int |f_N-\indic_C|(x)dx$ soit arbitrairement petit. On
peut bien s\uu r se ramener au cas o\u $C=[-1,1]^N$. Commen\c cons par le cas
$N=1$. On consid\ee re l'unique fonction continue et affine sur
$[-1-\varepsilon, -1]$ et sur $[1, 1+\varepsilon]$  telle que
$f_1(x) = 0$ si
$|x|\geq 1 +\varepsilon$ et
$f(x)=1$ si 
$|x|\leq 1$.  La fonction $f_N(x_1, ..., x_N)=f_1(x_1)...f_N(x_N)$
convient en dimension $N$.  En consid\e rant les supports de $f_N$ et de
$\indic_C$, on voit  en effet que 
$||\indic_C -f_N||_{L^1}\leq (1+2\varepsilon)^N -1$ qui tend vers 0 quand
$\varepsilon \to 0$.

Toute combinaison lin\e aire finie de fonctions caract\e ristiques d'hypercubes
est donc approchable dans $L^1$ par une combinaison lin\e aire finie de fonctions
continues \a support compact. Il en r\e sulte que toute fonction en escalier est
approchable par des fonctions \a support compact dans $L^1$. On conclut en
utilisant la propri\e t\ea \ref{densiteescalierL^1}.

\enddemo


L'espace $L^1(\real^N)$ appara\ii t donc comme  la compl\e tion de $C_c(\real^N)$
pour la norme $$||f||_{L^1}=\int_{\real^N}|f(x)|dx,$$ mais il faudra montrer
qu'il est effectivement complet. Voyons tout de suite deux cons\e quences
importantes de cette propri\e t\ea de densit\e .

\begin{thf} (\e quicontinuit\ea en moyenne des fonctions sommables)
\index{Equicontinuit\ea en moyenne des fonctions sommables}
Pour tout $f\in L^1(\real^N),$ on a 
$$\lim_{y\to 0}\int_{\real^N}|f(x+y)-f(x)|dx = 0.$$
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
On fixe $\varepsilon>0$ et on choisit gr\aa ce \a la proposition
\ref{densiteCoL^1} une fonction $f_\varepsilon$, continue et \a support compact 
inclus dans une boule $B(0,R)$, telle que 
$||f_\varepsilon -f||_{L^1}\leq \varepsilon.$  La fonction $f_\varepsilon$ est
uniform\e ment continue. Il existe donc $\eta$ tel que $|y|\leq \eta \Rightarrow
|f_\varepsilon(x+y)-f_\varepsilon(x)|\leq \frac{\varepsilon}{\mes(B(0,2R)}.$  Ceci
implique en int\e grant 
$\int |f_\varepsilon(x+y)-f_\varepsilon(x)|dx \leq \varepsilon$ pour
$y\leq
\min(\eta, R).$
   On a donc
$$\int |f(x)-f(x+y)|dx\leq$$
$$\int |f-f_\varepsilon|(x)dx+\int |f_\varepsilon(x)-f_\varepsilon(x+y)|dx+
+\int |f_\varepsilon(x+y)-f(x+y)|dx\leq 3\varepsilon.$$
\enddemo


\begin{thf} (de changement de variable) \index{Changement de variable
(th\e or\ee me de)}\newline Soient $\Omega_1$ et $\Omega_2$ deux ouverts de
$\real^n$ et
$\Varphi$ un diff\e omorphisme entre $\Omega_1$ et $\Omega_2$. On notera
$J_\Varphi(x)$ le d\e terminant de la matrice jacobienne de $\Varphi$ au point
$x$.  Soit $f$ une fonction d\e finie sur $\Omega_2$.
\newline (a) Si la fonction $f$ est \a valeurs dans $\real^+\cup \{+ \infty\}$, on a
l'\e galit\ea suivante, o\u les deux membres  ont un sens dans
$\real^+\cup\{+\infty\},$
\fb&
\label{changementdevariable}
\int_{\Omega_2}f(y)dy=\int_{\Omega_1}f(\Varphi(x))|J_\varphi(x)|dx.
\fe&
\newline (b)  Si $f$ est \a valeurs complexes, elle est sommable dans $\Omega_2$
si et seulement si $f(\Varphi(x))J_{\Varphi}(x)$ est sommable dans $\Omega_1$, et
les deux membres de l'\e galit\ea pr\e c\e dente sont alors \e gaux.
\end{thf}

\paragraph{D\e monstration} : La formule (\ref{changementdevariable}) est vraie si
$f$ est int\e grable au sens de Riemann, continue \a support compact par exemple. 
Si
$f$ est sommable, on consid\ee re des fonctions continues $f_n$ \a support compact
qui approchent $f$ dans $L^1$.  On a donc
\begin{equation}\label{changementdevariableapproche}
\int_{\Omega_2}f_n(y)dy=\int_{\Omega_1}
f_n(\Varphi(x))|J_\Varphi(x)|dx
\end{equation}
et on peut \e crire une formule analogue pour $|f_n-f_p|$.  Il en r\e sulte que 
les fonctions $f_n(x)|J_\Varphi(x)|$ forment une suite de Cauchy dans $L^1$. 
Leur limite $f(x)|J_\Varphi(x)|$ est donc bien sommable et en passant \a la limite
dans (\ref{changementdevariableapproche}), on obtient la formule de changement de
variable (\ref{changementdevariable}).
\enddemo
La derni\ee re propri\e t\ea de l'int\e grale de Lebesgue que nous admettons est
la suivante (nous supposons toutes les fonctions consid\e r\e es mesurables).
\begin{propr} \index{Fubini-Tonelli (th\e or\ee me de)}{\bf (Th\e or\ee me de
Fubini-Tonelli)}\newline Soit $f(x,y)$ une fonction d\e finie dans
$\real^p\times\real^q$.  
\newline
(a) (Tonelli) Si $f$ est \a valeurs dans $\real^+\cup\{+\infty\}$, on a l'\e
galit\ea suivante, o\u les trois membres d\e finissent un \e l\e ment de
$\real^+\cup\{+\infty\}$,
$$\int_{\real^{p+q}}f(x,y)dxdx=\int_{\real^p}(\int_{\real^q}f(x,y)dy)
=\int_{\real^q}(\int_{\real^p}f(x,y)dx)dy.$$
(b) (Fubini) Si $f$ est sommable dans $\real^{p+q}$, les trois membres de l'\e
galit\ea pr\e c\e dente ont un sens et sont \e gaux.  Plus pr\e cis\e ment, dire
que le troisi\ee me membre a un sens signifie :
\newline $\bullet$ pour presque tout $y$, la fonction $x\to f(x,y)$ est sommable
dans $\real^p$,
\newline $\bullet$ la fonction $\varphi(y)=\int f(x,y)dx$ qui est ainsi d\e finie
presque partout est sommable dans $\real^q$.
\end{propr}

\chapter{Les espaces de Lebesgue, $L^1$, $L^p$, $L^\infty$}

On appelle, pour $1\leq p<\infty$, $L^p(\real^N)$ l'ensemble des fonctions d\e
finies presque partout et telles que $$\int_{\real^N}|f(x)|^p dx<\infty.$$
On appelle $L^\infty(\real^N)$ l'espace des fonctions d\e finies presque partout
et telles qu'il existe $C>0$ tel que $|f(x)|\leq C$  pour presque tout $x$.  La
plus petite constante $C$ pour laquelle cette relation est vraie s'appelle le
``sup essentiel'' de $|f(x)|$ et on le note $||f||_{L^\infty}.$   On dit  que
$f$ est "essentiellement born\e e." 
\dexer  V\e rifier que les espaces
$L^1$ et
$L^\infty$ sont des espaces vectoriels norm\e s: leurs normes sont
$$||f||_{L^1}=\int |f(x)|dx \hbox{ et } \;
||f||_{L^\infty}=\hbox{supess}_{x\in\real^N}|f(x)|.$$
\fexer
On  note parfois ces normes $||f||_1$ et $||f||_\infty$. On va aussi poser pour
$1<p<\infty$
$$||f||_p =||f||_{L^p}=(\int |f(x)|^pdx)^\frac 1 p,$$
mais il faudra montrer que c'est une norme. On montrera aussi que les espaces
$L^p$ sont complets et donc des espaces de Banach.  On pose $p' = \frac{p}{p-1}$,
en sorte que $\frac 1 p + \frac 1{p'} =1$. On appelle $p'$ "l'exposant conjugu\e
" de $p$.  On va aussi montrer dans ce chapitre que les espaces $L^p$ et $L^{p'}$
sont duaux l'un de l'autre.
\begin{thf}\label{hoelder} (In\e galit\ea de H\ooo lder)\index{In\e galit\ea de
H\ooo lder} Pour tout $f\in L^p$ et $g\in L^{p'}$, la fonction $fg$ est sommable
et
$$\int |fg|\leq ||f||_p||f||_{p'}.$$
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
On utilise la concavit\ea du logarithme.  Si $a>0$, $b>0$, 
$$\log(\frac 1 p a^p + \frac 1{p'}b^{p'})\geq \frac 1 p \log(a^p) +\frac 1 {p'}\log
(b^{p'})=\log (ab). \hbox { D'o\u  }$$
$$ab \leq \frac 1 p a^p +\frac 1 {p'}b^{p'} \hbox {  et donc  }$$
$$|f(x)g(x)|\leq \frac 1 p |f(x)|^p + \frac 1{p'}|g(x)|^{p'}, \hbox{ qui donne }$$
$$\int |f(x)g(x)|\leq \frac 1 p ||f||^p_{L^p} + \frac 1{p'}||g||_{L^{p'}}^{p'}.$$
Pour trouver l'in\e galit\ea recherch\e e, on remplace le couple $(f, g)$ par
$(\lambda f, \frac g \lambda), $ o\u $\lambda >0.$ On choisit 
$$\lambda = \frac {||g||_{p'}^\frac 1 p} {||f||_p^\frac 1{p'}}. \hbox{ Alors }$$
$$\int |fg|\leq (\frac 1 p +\frac 1{p'})||f||_p||g||_{p'},$$
qui est bien l'in\e galit\ea annonc\e e.
\enddemo
\begin{thf} \index{Norme de $L^p$}
$L^p(\real^N)$ est un espace vectoriel et $||f||_p$ est une norme pour tout
$1< p<\infty.$
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration} On applique l'in\e galit\ea de H\ooo lder :
$$||f+g||_p^p=\int |f+g|^p = \int |f+g|^{p-1}|f| + \int |f+g|^{p-1}|g|\leq$$
$$|| |f+g|^{p-1}||_{p'}||f||_p + || |f+g|^{p-1}||_{p'} ||g||_p =
(||f||_p + ||g||_p)||f+g||_p^{p-1},$$
soit $||f+g||_p \leq ||f||_p +  ||g||_p$.  Les autres relations caract\e risant
une norme ($||\lambda f|| = |\lambda| ||f|| $, $||f||=0 \Rightarrow f=0$ presque
partout) sont imm\e diates pour $1\leq p\leq \infty$.
\enddemo

\begin{thf} \index{Compl\e tude des $L^p$}
Les espaces $L^p(\real^N)$,  ($1\leq p\leq +\infty$) sont  des espaces de Banach.
\end{thf}

\paragraph{D\e monstration}
Soit $h_k$ une suite de Cauchy dans $L^p$.  Si $p=+\infty$, il est imm\e diat de
voir que $h_k(x)$ est de Cauchy pour presque tout $x$ et converge uniform\e ment
vers une fonction essentiellement born\e e $h(x)$.  Soit maintenant $1\leq
p<\infty.$ Il existe
 une suite extraite de la suite de Cauchy $h_k$, que nous noterons par commodit\ea 
$f_n=h_{k_n}$, telle que 
$$q, r \geq n \Rightarrow
||f_q-f_r||_{L^p}\leq \frac 1 {2^n}.$$
On pose $g_n(x) = \sum_1^n |f_{k+1}(x)-f_k(x)|$.  La suite de fonctions $g_n(x)^p
$ est croissante.  Notons $g(x)^p$ sa limite. Par l'in\e galit\ea
triangulaire,
$$\int |g_n|^p\leq (\sum_1^n ||f_{k+1}-f_k||_p)^ p\leq 1.$$ Donc, par le
th\e or\ee me de convergence monotone, 
$$\int |g(x)|^p = \lim_n \int |g_n|^p \leq 1.$$
Il en r\e sulte que $g(x)$ est presque partout finie, appartient \a $L^p$ et
que $g_n(x)$ tend presque partout vers $g(x)$.  Comme (pour $n\geq m$),
$\sum_m^{n}|f_{k+1}-f_k|(x)\leq g_n(x)-g_m(x)$, la s\e rie
$\sum_1^\infty(f_{k+1}-f_k)$ converge \e galement presque partout. Donc 
$f_n(x)-f_1(x)$ converge presque partout vers une limite que l'on appelle
$f(x)-f_1(x)\in L^p$.  La suite $f_n(x)$  converge donc presque partout vers
$f(x)\in L^p$. De plus,
$|f_n(x)-f(x)|^p\leq (\sum_n^\infty |f_{k+1}-f_k(x)|)^p\leq g(x)^p$ qui est
chapeau int\e grable.  Donc
$f_n-f$  converge vers 0 dans $L^p$.
  Rappelons que $f_n=h_{n_k}$ est une sous-suite
extraite de la suite de Cauchy $h_k$.  Mais si une sous-suite d'une suite de
Cauchy converge, toute la suite converge.
\enddemo
On a  vu (Propri\e t\ea \ref{densiteCoL^1}) que les fonctions continues \a support
compact forment un sous-ensemble dense de $L^1$.  C'est encore vrai pour les
espaces
$L^p$, avec la restriction
$p<\infty$.

\begin{thf} \label{densiteC0Lp}\index{Densit\ea de $C_c$ dans $L^p$}
Les fonctions continues \a support compact sont
denses dans
$L^p(\real^N)$ pour tout $1\leq p<\infty$.

\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
On commence par montrer que l'on peut approcher une fonction $f$ de $L^p$ par des
fonctions born\e es et \a support compact.   L'approximation se fait par
simple  troncature~: on pose
$f_k(x) = f(x)$ si $||x||\leq k$ et $|f(x)|\leq k$, $f_k(x)=0$ sinon.  La suite
$|f(x)-f_k(x)|^p$ a $|f(x)|^p$ pour chapeau int\e grable et tend presque partout
vers 0. Par le th\e or\ee me de Lebesgue, elle converge donc vers 0 et il en r\e
sulte que  $f_k\to f$ dans $L^p$.  

Reste \a montrer que si une fonction $f$ est
born\e e  ($|f|\leq k$) et
\a support compact ($|f(x)|=0$ si $||x||\geq k$), alors elle est approchable dans
$L^p$ par des fonctions continues. Mais comme $f\in L^1$, il existe une suite de
fonctions continues et 
\a support compact $f_n$ convergeant vers $f$ dans $L^1$. Quitte \a extraire une
sous-suite, on peut suppposer que la suite $f_n$ converge presque partout vers $f$
(r\e ciproque du th\e or\ee me de Lebesgue). En rempla\c cant $f_n$ par la
nouvelle fonction continue
$\max(-k, \min(k, f_n(x))$, qui converge aussi presque partout vers $f$ et a un
un chapeau int\e grable, on peut finalement supposer que $|f_n(x)|\leq k$. 
Utilisons une 
 fonction $g$ continue  et \a support compact   valant 1 sur $B(0,k)$. La suite
de fonctions 
$h_n=gf_n $ converge presque partout vers $f$ et a la fonction born\e e
$k\indic_{B(0,k)}g$ comme chapeau int\e grable dans tout $L^p$.  Elle converge donc
vers
$f$ dans tous les $L^p$ tels que $1\leq p<\infty$. 
\enddemo
\begin{cor} \label{orthogonalaCcimpliquenul}
Soit $f\in L^1_{loc}(\real^N)$ telle que pour toute fonction continue \a support
compact $u\in C_c(\real^N)$ on ait $\int f(x)u(x)=0$.  Alors $f=0$.
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
En reprenant exactement le m\eee me raisonnement que dans la d\e monstration pr\e
c\e dente, on voit qu'il existe pour toute boule
$B(0,R)\subset
\real^N$ une suite $u_n\in C_c(B(0,R+1))$ qui converge vers $\signe(f)$ dans 
$L^1(B(0,R))$ et presque partout et v\e rifie $|u_n|\leq 1$.  Il vient alors
$$0=\int_{B(0,R)}f(x)v_n(x)\to
\int_{B(0,R)}f(x)\signe(f(x))=\int_{B(0,R)}|f(x)|dx.$$
Donc $f=0$.

\enddemo


\begin{thf} \index{Uniforme continuit\ea  en moyenne des fonctions de $L^p$}
Pour tout $f\in L^p(\real^N),$ $1\leq p<\infty,$ on a 
$$\lim_{y\to 0}\int_{\real^N}|f(x+y)-f(x)|^pdx = 0.$$
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration} : Exercice.
C'est vrai pour les fonctions continues \a support compact car elles sont
uniform\e ment continues et on le montre pour une fonction arbitraire de
$L^1(\real^N)$ en utilisant la densit\ea de $C_c$ dans $L^p$ (Proposition
\ref{densiteC0Lp}).

\enddemo
\section{Convolution et r\e gularisation des fonctions de $L^p$}

\begin{thf} {\bf et d\e finition} \index{Convolution de deux fonctions de $L^1$}
Si
$f$ et
$g$ appartiennent
\a
$L^1(\real^N)$, alors le produit de convolution $f\ast g$ est d\e fini par
$$(f\ast g)(x)=\int f(x-y)g(y)dy = \int g(x-y)f(y)dy,$$
la fonction de $y$ figurant sous le signe somme \e tant sommable pour presque
tout $x$.  En outre, la fonction $f\ast g$ appartient \a $L^1$ et on a
$$||f\ast g||_1\leq ||f||_1||g||_1.$$
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
On montre d'abord en appliquant le th\e or\ee me de Fubini et le th\e or\ee me de
changement de variable que la fonction $|f(x-y)g(y)|$ est sommable.  En effet,
$$\int\int |f(x-y)g(y)|dxdy=\int |g(y)|(\int |f(x-y)|dx)dy=$$
$$
\int |g(y)|(\int
|f(x)|dx)dy=||f||_{L^1}||g||_{L^1}.$$
La fonction $f(x-y)g(y)$ est donc sommable sur $\real^{2N}$ et le th\e or\ee me
de Fubini assure que la fonction $y\to f(x-y)g(y)$ est sommable pour presque tout
$x$ et que la fonction alors d\e finissable par $f\ast g(x)=\int f(x-y)g(y)dy$
est elle-m\eee me sommable sur $\real^N$. On a finalement 
$$||f\ast g||_{L^1}=\int |f\ast g|(x)dx\leq\int |g(y)|(\int
|f(x-y)|dx)dy=||f||_{L^1}||g||_{L^1}.$$
\enddemo
%
\dexer \index{Associativit\ea (de la convolution)}D\e montrer en appliquant le
th\e or\ee me de Fubini que le produit de convolution est associatif, 
$$(f\ast g)\ast h= f\ast (g\ast h).
$$
On montrera que la fonction
$(y,z)\to f(x-y)g(y-z)h(z)$ est sommable dans $\real^{2N}$ et on calculera son
int\e grale de deux mani\ee res diff\e rentes.
\fexer
\begin{thf} {\bf (r\e gularisation par
convolution)}\label{regularisationparconvolution}\index{R\e gularisation par
convolution} Soit
$f\in L^1(\real^N)$ et soit
$g$ une fonction continue et born\e e dans
$\real^N$.  Alors la fonction $f\ast g$ d\e finie \underline{en tout point} par 
$f\ast g (x)= \int g(x-y)f(y)dy$ est continue et born\e e. Si de plus les d\e
riv\e es partielles de $g$ existent et sont continues et born\e es, il en est de
m\eee me pour $f\ast g$ et l'on a 
$$\frac{\partial(f\ast g)}{\partial x_j} = f\ast \frac{\partial g}{\partial x_j}, 
\; \; \frac{\partial(f\ast g)} {\partial x_j\partial x_k} = f\ast \frac{\partial
g}{\partial x_j\partial x_k},\; ...
$$
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
On remarque d'abord que la fonction $g(x-y)f(y)$ est sommable pour tout $x$.  En
effet, $|g(x-y)f(y)|\leq ||g||_{\infty}|f(y)|$. La continuit\ea d\e coule du th\e
or\ee me de Lebesgue.  En effet, si $x_n\to x$, alors $g(x_n-y)f(y)$ tend partout
vers $g(x-y)f(y)$ et $||g||_\infty |f(y)|$ est chapeau int\e grable.  Donc
$$f\ast g(x_n)=\int g(x_n-y)f(y)dy\to \int g(x-y)f(y)dy=f\ast g(x).$$
Si $g$ est d\e rivable par rapport \a $x_j$ et de d\e riv\e e continue et born\e
e, appliquons le th\e or\ee me de d\e rivation sous le signe somme.  On a 
$$\frac {\partial}{\partial x_j}(g(x-y)f(y)) = \frac{\partial g}{\partial
x_j}(x-y)f(y)$$
et cette fonction est major\e e en module par $||\frac{\partial g}{\partial
x_j}||_\infty f(y)$, qui est ind\e pendante de $x$ et sommable.  Le th\e or\ee
me de d\e rivation sous le signe somme s'applique donc et donne bien
$\frac{\partial(f\ast g)}{\partial x_j} = f\ast \frac{\partial g}{\partial x_j}$.
\enddemo
\begin{thf} \index{Convolution d'une fonction de $L^1$ avec une fonction
de $L^2$}Soient
$f\in L^1(\real^N)$ et
$g\in L^2(\real^N)$. Alors
$(f\ast g)(x)$ est d\e fini pour presque tout $x$ et c'est une fonction de
carr\ea sommable v\e rifiant 
\begin{equation}\label{convolutionL1L2}
||f\ast g||_2\leq ||f||_1||g||_2.
\end{equation}
Soient $f$ et $g$ deux fonctions de  $L^2(\real^N)$.  Alors $f\ast g(x)$ est
d\e fini pour tout $x$ et c'est une fonction continue, tendant vers z\e ro \a
l'infini et satisfaisant

\begin{equation}
\label{convolutionL2L2}
||f\ast g||_\infty\leq ||f||_2||g||_2.
\end{equation}
\end{thf}

\paragraph{D\e monstration} Pour \e valuer
$$
 \int (|f|\ast |g|)^2(x)dx,
$$
on remarque  que cette int\e grale est \e gale gr\aa ce au th\e or\ee me de
Tonelli
\a
\begin{equation}\label{integraleaucarre}
I=\int\int\int |g(x-y)||g(x-z)||f(y)||f(z)|dxdydz.\end{equation}
(int\ee grer $I$  d'abord par rapport
\a
$y$, puis par rapport \a $z$).  On applique \a nouveau le 
  le th\e or\ee me de Fubini pour
int\e grer $I$ d'abord en
$x$,  puis on utilise l'in\e galit\ea de Cauchy-Schwartz, ce qui donne
\begin{equation}\label{appliquecauchyschwartz}
I=\int\int |f(y)||f(z)|(\int |g(x-y)||g(x-z)|dx)dydz\leq ||f||_1^2||g||_2^2.
\end{equation}
La relation (\ref{convolutionL1L2}) vient imm\e diatement des relations
(\ref{integraleaucarre}) et (\ref{appliquecauchyschwartz}).


Si maintenant $f$ et $g$ sont de carr\ea sommable, on d\e duit  de  l'in\e
galit\ea de Cauchy-Schwartz que $(f\ast g)(x)$ est d\e fini  pour tout $x$ et on
obtient la relation
(\ref{convolutionL2L2}).  Montrons maintenant que $f\ast g $ est continue et tend
vers z\e ro \a l'infini.  On consid\ee re deux suites approximantes continues \a
support compact $f_n$ et $g_n$ telles que $f_n\to f$ et $g_n \to g$ dans
$L^2(\real^N)$.
Par le th\e or\ee me \ref{regularisationparconvolution}, $f_n\ast g_n$ est
continue et il est imm\e diat que $f_n\ast g_n$ est encore \a support compact. 
Finalement on a, gr\aa ce \a l'in\e galit\ea de Cauchy-Schwartz,
$$|f\ast g(x)-f_n\ast g_n(x)|\leq (|f-f_n|\ast |g|)
(x)+(|f_n|\ast |g-g_n|)(x)\leq$$
$$||f-f_n||_2||g||_2 + ||f_n||_2||g-g_n||_2 \to 0.$$
Donc la suite de fonctions $f_n\ast g_n$, continues et tendant vers z\e ro \a
l'infini, tend uniform\e ment vers $f\ast g$.  Il en r\e sulte que $f\ast g$ est
continue et tend vers z\e ro \a  l'infini.
\enddemo

\begin{Def}  \index{Support d'une fonction} Si $f\in L^1_{loc}(\real^N)$, on appelle support de $f$ et on note
$\supp(f)$ le compl\e mentaire du plus grand ouvert $O$ tel que  $f(x)
=0$ presque partout sur $0$.  Le support de $f$ est donc un ferm\e .  S'il est de
plus born\e , on dit que $f$ est
\a support compact. 
\end{Def}
\begin{pro}\label{supportdeconvolution}\index{Support de la convol\e e de deux
fonctions} Si
$f$ et
$g$ sont deux fonctions de 
$L^1(\real^N)$, 
$$\supp(f\ast g) \subset \overline{\supp(f)+\supp(g)}.$$
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
Soit $x\notin \supp(f)+\supp(g)$, alors $(x-\supp(f))\cap \supp (g)=\emptyset$ et donc
$$(f\ast g)(x)=\int f(x-y)g(y)dy=\int_{(x-\supp(f))\cap \supp(g)}f(x-y)g(y)dy=0.$$
Donc $(f\ast g)(x)=0$ en tout point n'appartenant pas \a $\supp(f)+\supp(g)$ et
donc aussi en tout point n'appartenant pas \a sa fermeture $\overline{\supp(f)+\supp(g)}$,
ce qui donne le r\e sultat.
\enddemo
\begin{thf} (Approximations de l'identit\e
)\index{Approximation de l'identit\ea }\label{approximationsidentite}  Soit
$k\in L^1(\real^N)$ telle que
$\int k(x)dx =1$ et $k(x)\geq 0$ presque partout.  On pose pour tout $h>0$, 
$$k_h(x) = h^{-N}k(\frac x h).$$
Alors, pour toute fonction $f\in L^p(\real^N)$, $1\leq p<\infty$, les fonctions
$f\ast k_h$ convergent vers $f$ dans $L^1$.
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
On remarque d'abord que 
\fb& 
\label{convol0}  \int k_h(x)dx=\int k(x)dx=1,
\fe&
\fb& \label{convol1}
k_h \ast f (x) -f(x) = \int( k_h(y)(f(x-y) -f(x))dy,
\fe&
on rappelle que comme $f\in L^p$, on peut choisir $\eta$ assez petit pour
que
\fb&
\label{convol2}
|y|\leq \eta \Rightarrow\int |f(x-y)-f(x)|^pdx \leq \varepsilon
\fe&
et que (une cons\e quence du th\e or\ee me de Lebesgue), pour $h$ assez
petit,
\fb&  \label{convol3}
\int_{|y|\geq \eta}|k_h(y)|dy\leq  \varepsilon
\fe&
Enfin, la convexit\ea de la fonction $r\to |r|^p$ et le fait que $k_h\geq 0$, 
$\int k_h=1$ impliquent que pour toute fonction $f$ dans $L^p$, on ait
\fb&  \label{convol4}
(\int k_h(x)|f(x)|dx)^p\leq \int k_h(x)|f(x)|^pdx.
\fe&
En utilisant les relations (\ref{convol0})-(\ref{convol4}) et le th\e
or\ee me de Fubini, 
$$\int |k_h \ast f (x) -f(x)|^pdx=\int|\int ( k_h(y)(f(x-y)
-f(x))dy|^pdx \leq
\int\int  k_h(y)|f(x-y)-f(x))|^pdydx \leq$$
$$2^p\int |f(x)|^pdx\int_{|y|\geq \eta}|k_h(y)|dy+\int_{|y|\leq \eta}|k_h(y)|dy\int
|f(x-y)-f(x)|^pdx\leq$$
$$2^p||f||_{L^p}^p\varepsilon + \int |k_h(y)|\varepsilon =
(2^p||f||_{L^p}^p+||k||_{L^1})\varepsilon.
$$
\enddemo
\dexer Reprendre la d\e monstration pr\e c\e dente dans le cas $p=1$ et montrer
que l'on peut se passer de l'hypoth\ee se que $k$ est positive.
\fexer
\begin{pro}  \label{convergenceversdelta}\index{Approximation par convolution
des fonctions uniform\e ment continues} Si $f$ est uniform\e
mement continue et born\e e sur $\real^N$, alors $f\ast k_h$ converge vers $f$ uniform\e
ment.
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
C'est le m\eee me raisonnement, en plus simple que pour le th\e or\ee me
\ref{approximationsidentite} : On
\e crit simplement
$$|(k_h\ast f)(x)-f(x)|=|\int k_h(y)|f(x-y)-f(x))dy|$$
$$
\leq 2\sup|f|\int_{|y|\geq
\eta}|k_h(y)|dy+\sup_{|y|\leq \eta} |f(x-y)-f(x)|\int|k_h(y)|dy.$$
\enddemo
\begin{cor}\index{Nullit\ea (d'une fonction de $L^1$ orthogonale \a $C_c$)}
 \label{densiteC0infiniCc}Soit $\Omega$ un ouvert de $\real^N$.
On appelle $C_0^\infty(\Omega)$ l'ensemble des fonctions $C^\infty$ \a support
compact dans $\Omega$ et on munit $C_c(\Omega)$, l'espace des fonctions continues
\a support compact dans $\Omega$, de la topologie suivante : on dit que
$u_n$ tend vers $u$ si pour tout $\varepsilon>0$ il existe $n_0$ tel que pour
$n\geq n_0$, on ait $\support(u_n)\subset \support (u)+B(0,\varepsilon)$ et 
$\sup_{x\in \Omega} |u_n(x)-u(x)|< \varepsilon$.  Alors $C_0^\infty(\Omega)$ est dense dans
$C_c(\Omega)$.
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
Si $f\in C_c(\Omega)$, alors elle est uniform\e ment continue et $k_h\ast f$ tend
vers
$f$ uniform\e ment. De plus, par la proposition \ref{supportdeconvolution}, 
$\support (k_h\ast f)\subset
\support (f) +B(0,h)$. Donc
$k_h\ast f$ tend bien vers $f$ dans $C_c(\Omega)$. Enfin, par le th\e or\ee
me 
\ref{regularisationparconvolution}, on a bien $k_h\ast f\in C^\infty$.
\enddemo

Pour compl\e ter la d\e monstration pr\e c\e dente, il nous reste \a montrer
qu'il existe des fonctions $C^\infty$ \a support compact.
\begin{lem}\label{Cinfiniasupportcompact}\index{Fonctions $C^\infty$ \a support
compact}  Il existe une fonction
$f_N\in C^\infty(\real^N),$
\a support compact,
 positive et de support contenu dans $\overline{B}(0,1)$.
\end{lem}
\paragraph{D\e monstration} On pose simplement, en dimension 1, $f_1(x)=e^{\frac
1 {x^2-1}}$  si $|x|\leq 1$, $f(x)=0$ sinon.  Il est
facile de voir que $f^{(k)}(-1)=f^{(k)}(1)=0$ pour tout ordre $k$ et que donc $f$
est $C^\infty$.   En dimension $N$, on pose simplement $g_N(x_1,...,
x_N)=f_1(x_1)...f_N(x_N)$ qui est a support dans l'hypercube $[-1,1]^N$ puis
$f_N(x) = g_N(2\sqrt N x)$ pour ramener le support dans $B(0,1)$. 
\enddemo


\dexer \index{Fonctions $C_0^\infty$ radiales}Construire une fonction radiale
$f_N\in C^\infty(\real^N)$ telle que
$f_N(x)=1$ si
$|x|\leq 1$, $f_N(x) = 0$ si $|x|\geq 2$. 
\newline (i) Commencer par le cas de la dimension 1 : Soit $f$ une fonction
 positive, $C^\infty $, \a support compact dans $[-1,1]$ et d'int\e grale 1.  On
peut construire une telle fonction par le lemme
\ref{Cinfiniasupportcompact}.  Poser
$h(x) = f_1(x+3) - f_1(x-3)$, puis $g(x) = \int_{-\infty}^x h(t)dt$. Dessiner
$h(x)$ et $g(x)$, montrer que $f_1(x)= h(2x)$ r\e pond \a la question en
dimension 1.
\newline (ii) Montrer que $f_N(x)= f_1(||x||)$ convient en dimension $N$.
\fexer

\begin{pro}\label{densiteCinfiniL1deomega}\index{Densit\ea de
$C_0^\infty(\Omega)$ dans $L^p(\Omega)$} Soit $\Omega$ un ouvert de $\real^N$.
Alors
$C_0^\infty(\Omega)$ est dense dans
$L^p(\Omega)$ pour tout $1\leq p<\infty.$
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}  On consid\ee re les voisinages int\e rieurs de
$\Omega$,
$\Omega_r=
\{x,B(x,r)\subset \Omega\}.$  Comme $\Omega = \cup_{r>0}\Omega_r,$ on a par le th\e
or\ee me de Lebesgue 
$$\forall\varepsilon\exists r,\;
\int_{\Omega}|f(x)-f(x)\indic_{\Omega_r}|dx<\varepsilon.$$  On choisit alors
$r'<r$ tel que $$||(f\indic_{\Omega_r})\ast
h_{r'}-f\indic_{\Omega_r}||_{L^1(\Omega)}<\varepsilon.$$
On obtient donc $||f-(f\indic_{\Omega_r})\ast
h_{r'}||_{L^1(\Omega)}<2\varepsilon$. Comme 
$r'<r$,  le lemme \ref{supportdeconvolution} et  le th\e or\ee
me 
\ref{regularisationparconvolution} impliquent que  
$(f\indic_{\Omega_r})\ast h_{r'}\in C_0^\infty(\Omega).$
\enddemo


\section{Th\e or\ee mes classiques de compacit\ea }


\begin{thf} {\bf (Ascoli-Arzela)}\label{ascoliarzela}\index{Ascoli-Arzela (th\e
or\ee me de)} Soit $f_n$ une suite de fonctions d\e finies sur
un espace m\e trique compact et
\a valeurs r\e elles.  On suppose que la suite $f_n$ a les deux propri\e t\e s suivantes
:
\newline
$\bullet$ $f_n$ est \e quicontinue : $\forall \varepsilon, \exists \eta, \; \forall x,
y \in K,\;\forall n\in \natural,\; |f_n(x)-f_n(y)|\leq \eta.
$
\newline
$\bullet$ La suite $(f_n(x))_n$ est born\e e pour tout $x\in K$.
\newline
Alors il existe une sous-suite de $f_n$ qui converge vers une fonction
continue $f$.
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
Remarquons d'abord qu'il existe une suite de points $(x_k)_k$
qui est dense dans
$K$.  En effet, $K$ est compact et donc on peut le recouvrir pour tout $n$ par un
nombre fini de boules de rayon plus petit que $\frac 1 n$. L'union des centres de ces
boules est un ensemble d\e nombrable qui r\e pond \a la question.
\newline
On va alors extraire pour tout $k$ de la suite $f_n$ une sous-suite
$f_{\varphi_k(n)}$ telle que
$f_{\varphi_k(n)}(x_l)$ converge pour $l\leq k$ et telle que $f_{\varphi_k(n)}$ soit une
sous-suite 
de $f_{\varphi_{k-1}(n)}$. 
On proc\ee de par extractions successives. Comme la suite $f_n(x_1)$ est born\e e,
la suite
$f_n$ admet une sous-suite convergente en $x_1$ que nous notons
$f_{\varphi_1(n)}$.  On extrait de cette sous-suite une nouvelle sous-suite $f_{\varphi_2(n)}$ qui
converge aussi en
$x_2$, etc..
On applique alors le proc\e d\ea dit d'extraction diagonale : on consid\ee re la
suite de fonctions
$g_n=f_{\varphi_{n}(n)}$. Elle converge en tout point de la suite $x_k$. On appelle
$g(x_k)$ sa limite en $x_k$.
 D\ee s que $n\geq k$, la suite $f_{\varphi_{n}(n)}$ devient une sous-suite de
$f_{\varphi_k(n)}$.  Elle converge donc en $x_k$.  La suite $g_n$ converge donc en
tout $x_k$.
En fait,  la fonction $g$ est \e quicontinue et se prolonge d'une mani\ee
re unique en une fonction continue sur $K$, que nous noterons encore $g$.
Voyons pourquoi. On a 
$$|g(x_l)-g(x_k)|\leq
|g(x_l)-g_n(x_l)|+|g(x_k)-g_n(x_k)|+|g_n(x_l)-g_n(x_k)|.$$
Le troisi\ee me terme
est rendu inf\e rieur \a $\varepsilon$ pour tout $n$ si on  impose
$||x_l-x_k||<\eta(\varepsilon)$.  Les deux premiers termes tendent vers z\e ro quand $n\to
\infty$.  On obtient donc $|g(x_l)-g(x_k)|\leq \varepsilon$ si
$||x_k-x_l||<\eta(\varepsilon)$. Donc $g$ est uniform\e ment continue sur la suite $x_k$ et
a d'ailleurs le m\eee me module d'uniforme continuit\ea  que la suite $f_n$.
On montre ensuite  que $g_n$ converge uniform\e ment vers $g$. La fonction  $g$ est
uniform\e ment continue sur un ensemble dense dans
$K$. Elle se prolonge donc de mani\ee re unique en une fonction uniform\e ment
continue sur
$K$, avec le m\eee me module de continuit\ea uniforme.  Montrons pour finir que $g_n\to g$
uniform\e ment.  On fixe $\varepsilon>0$, puis $k$ assez grand pour 
$$\forall x\in K,\;
\exists l\leq k, \;||x-x_l||\leq \eta(\varepsilon).$$  On fixe finalement $n_0$ assez grand
pour que 
$$n\geq n_0\Rightarrow \forall l\leq k, ; |g_n(x_l)-g(x_l)|\leq\varepsilon.$$
En combinant les deux derni\ee res in\e galit\e s, on a pour $n\geq n_0$ et $x$ dans $K$,
$$|g_n(x)-g(x)|\leq |g_n(x)-g_n(x_l)|+|g_n(x_l)-g(x_l)|+|g(x_l)-g(x)|\leq 3\varepsilon.$$
\enddemo
\begin{cor} \index{Compacit\ea (d'une famille de fonctions Lipschitz)}
Toute famille  $f_n$ de fonctions $L$-lipschitziennes, d\e finies
sur un  compact $K$ et telle que pour un certain point $x_0$, $f_n(x_0)$ soit
born\ea admet une sous-suite uniform\e ment convergente vers une fonction \e
galement
$L$-lipschitzienne.
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration} Comme $K$ est compact, il est born\ea et on a donc
$||x-x_0||\leq M$ pour tout
$x$ dans $K$. D'o\u $||f_n(x)||\leq ||f_n(x_0)||+LM$ est aussi born\e .
On peut donc appliquer le th\e or\ee me d'Ascoli-Arzela.
\enddemo
\dexer {\bf (longueur d'un arc rectifiable)} \index{Longueur d'un arc rectifiable}
On appelle arc rectifiable un sous-ensemble $C$ de $\real^N$ qui est l'image  
d'une  application Lipschitz
$c :$
$s\in[0,1]\to c(s)\in
\real^N$. On appelle longueur de l'arc, $l(C)$, l'infimum des constantes de
Lipschitz des applications surjectives $c$ : $[0,1]\to C$. Montrer que cet
infimum est atteint. \newline
Marche \a suivre : consid\e rer une suite $c_n$ dont
les constantes de Lipschitz tendent vers $l(C)$.  Extraire une sous-suite
convergeant uniform\e ment vers un arc $c$ et montrer que $c$ est Lipschitz et que
sa constante de Lipschitz est  \e gale \a $l(C)$. 
\fexer

\begin{thf} (Riesz-Fr\e chet-Kolmogorov)\index{Riesz-Fr\e chet-Kolmogorov (th\e
or\ee me de compacit\ea de)}
\label{rieszfrechetkolmogorov}
Soit $\Omega\subset \real^N$ un ouvert et $\omega\subset\subset \Omega$ un ouvert
contenu dans un compact, lui m\eee me contenu dans $\Omega$.  Soit $\cal F$ un
sous-ensemble born\ea de $L^p(\Omega)$ avec $1\leq p<\infty$. On suppose que
$$\forall \varepsilon>0, \exists \delta<\hbox{dist}(\omega, \Omega^c),
\; \forall f\in{\cal F},\forall h<\delta,\; ||\tau_h
f-f||_{L^p(\Omega)}<\varepsilon.$$
Alors $\cal F$ est relativement compacte dans $L^p(\omega)$. (Il existe une suite
$f_n\in \cal F$ qui converge dans $L^p(\omega)$).
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
On consid\ee re  des noyaux r\e gularisants $\rho_r, r>0$ tels que\linebreak 
$\int \rho_r(x)dx=1$, $\rho\geq 0$, $\hbox{support}(\rho)\subset B(0, r)$.
On commence par montrer que le th\e or\ee me d'Ascoli-Arzela s'applique \a la
famille $(\rho_r\ast f), f\in \cal F$. En effet, si $f\in \cal F$ et
$|z|, r\leq \frac 1 2\hbox{dist}(\omega, \Omega^c)$, $x\in \omega$, on a par l'in\e
galit\ea de H\ooo lder,
$$|(\rho_r\ast f)(x+z)-(\rho_r\ast f)(x)|\leq \int \rho_r(y)|f(x-y)-f(x-y+z)|dy
\leq ||\rho_r||_{L^{p'}}^{p'}||\tau_z f-f||_{L^p(\Omega)}.$$
La famille $\rho_r\ast f $ est donc \e quicontinue sur $\omega$. Montrons que
la famille $\rho_r\ast f(x)$ est born\e e.  En  reprenant les calculs pr\e c\e
dents on a aussi pour $r< \frac 1 2\hbox{dist}(\omega, \Omega^c)$,
$$|\rho_r\ast  f(x)|\leq \int \rho_r(y)|f(x-y)|dy
\leq ||\rho_r||_{L^{p'}}^{p'}||f||_{L^p(\Omega)}.$$
On conclut que la famille $\rho_r\ast \cal F$ est relativement compacte pour la
topologie de la convergence uniforme sur $\omega$ et donc aussi pour la norme
$L^p(\omega)$, $\omega $ \e tant born\e .

On   montre ensuite que l'on peut approcher \underline {uniform\e ment} les
\e l\e ments de $\cal F$ par les fonctions $\rho_r\ast f$. On choisit
$r<\hbox{dist}(\omega, \Omega^c),$ de sorte que $\omega+B(0,r)\subset \Omega$. En
utilisant la convexit\ea de la fonction 
$s\to s^p$,
$$|\rho_r\ast f(x)-f(x)|\leq \int_\omega \rho_r(y)|f(x-y)-f(x)|dy\leq
(\int_\omega \rho_r(y)|f(x-y)-f(x)|^pdy)^\frac 1 p$$
ce qui donne
$$|\rho_r\ast f(x)-f(x)|^p\leq \int_{B(0,r)}\rho_r(y)|f(x-y)-f(x)|^pdy.$$
Par le th\e or\ee me de Fubini-Tonelli et si $r<\delta(\varepsilon)$, on obtient
\fb& \label{approximationuniforme}
\int_\omega |\rho_r\ast f(x)-f(x)|^pdx\leq
\int_{B(0,r)}\rho_r(y)||\tau_yf-f||_{L^p(\Omega)}^pdy\leq \varepsilon^p.
\fe&
%
Pour conclure, on montre que la famille $\cal F$ peut \eee tre pour tout
$\varepsilon$ recouverte par un nombre fini de boules  de
rayon arbitrairement petit. On commence par recouvrir la famille $\rho_r\ast f$ par
des boules en nombre fini
$B(f_i\ast \rho_r, \varepsilon )$.  Gr\aa ce \a 
(\ref{approximationuniforme}), on en d\e duit que $\cal F$ est recouverte par les
boules en nombre fini $B(f_i, \varepsilon+2\varepsilon^p)$. En effet, si $f\in
\cal F$, il existe $i$ tel que $\rho_r\ast f\in B(\rho_r\ast f_i, \varepsilon)$
et on a donc $$||f-f_i||\leq ||\rho\ast f-\rho\ast f_i||+||\rho\ast
f-f||+||\rho\ast f_i-f_i||\leq \varepsilon + 2\varepsilon^p.$$
\enddemo

\chapter{R\e flexivit\e , s\e parabilit\e , dualit\ea des $L^p$}
\drem {\bf pr\e liminaire :} si $f\in L^{p'}$, alors pour tout $u\in L^p$ on a
par l'in\e galit\ea de H\ooo lder $|\int fu|\leq ||f||_{L^{p'}}||u||_{L^p}$.  Donc 
on a l'inclusion $L^{p'}\subset (L^p)'$.  On va montrer dans ce chapitre
l'inclusion inverse.

\frem
\begin{thf}\label{reflexivitedeLp}\index{R\e flexivit\ea de $L^p$} Pour tout
$1\leq p<\infty$,
$L^{p'}(\real^N)$ est le dual topologique de
$L^p$.  Pour toute forme lin\e aire continue $\tilde f$ sur $L^p$, il existe donc
une fonction 
$f\in L^{p'}$ telle que $$\forall u\in L^p, \tilde f(u) = \int gu$$ et 
$$||\tilde f||_{(L^p)'}=||f||_{L^{p'}}.$$
\end{thf}


La strat\e gie que nous adoptons pour montrer ce th\e or\ee me consiste \a
approcher $L^p$ par des espaces de dimension finie emboit\e s, que l'on notera
$V_k$. Pour avoir des $V_k$ commodes, il est bon de montrer d'abord le th\e or\ee
me pr\e c\e dent pour $L^p(C)$, o\u $C$ est un born\ea que l'on rendra ensuite de
plus en plus grand. 


Soit $C=[-a,a]^N$ un hypercube de $\real^N$.    
On consid\ee re une suite d'espaces emboit\e s $V_k$ de
fonctions en escalier constantes sur des hypercubes $(C_i^k)_i$.
Les hypercubes $(C_i^{k+1})$ sont  obtenus en subdivisant en $2^N$ hypercubes \e
gaux
 chaque hypercube $C_i^k$.
 On note ${\cal T}_k$ la tribu
engendr\e e, \ccaadd l'ensemble des unions quelconques d'hypercubes $C_i^k$.

Si $v_k\in V_k$, on note $v_k(i)$ sa valeur, constante, sur $C_i^k$.
On associe \a $\tilde f \in (L^{p})'$ sa ``projection" $f_k$ sur $V_k$,
d\e finie par
$$f_k(i)=\tilde f(\frac
1{\mes(C_i^k)}\indic_{C_i^k}).$$
La fonction $f_k$ est en fait la
restriction de $\tilde f$ \a $V_k$ car elle v\e rifie 
\begin{lem}
\fb& \label{projectionsurVk}
\forall v\in V_k, \tilde f(v) = \int f_kv. \hbox{  De
plus,  }
\fe&
\fb&   \label{comparaisondenormes}
 ||f_k||_{L^{p'}}\leq ||\tilde f||_{(L^p)'}.
\fe&
\end{lem}
\paragraph{D\e monstration}
Si $v\in V_k$, on a $v=\sum_i v(i)\indic_{C_i^k}.$ Donc
$$\tilde f(v)=\sum_i v(i)\tilde f(\indic_{C_i^k})=\sum_i v(i)f_k(i)\mes(C_i^k)=
\int_C f_k(x)v(x)dx,$$
ce qui prouve (\ref{projectionsurVk}). Pour montrer (\ref{comparaisondenormes}),
posons, pour $v\in L^p$, $v_k(i)=\frac 1{\mes (C_i^k)}\int_{C_i^k}v(x)dx$. 
En utilisant l'in\e galit\ea de H\"{o}lder, on remarque que 
\fb& \label{comparaisondesnormes2}||v_k||_{L^p}\leq ||v||_{L^p}.
\fe&
  Comme $f_k$ est
constante sur chaque cube,
$C_i^k$, on a en utilisant (\ref{projectionsurVk}-\ref{comparaisondesnormes2}),
 $$\forall v\in L^p, \; \int_C f_kv = \int f_kv_k = \tilde f(v_k)\leq ||\tilde
f||||v_k||_{L^p}\leq ||\tilde f|| ||v||_{L^p}.$$
Comme $||f_k||_{L^{p'}}=\sup_{v\in L^p}\frac{ \int f_kv}{ ||v||_{L^p}}$, on
obtient 
(\ref{comparaisondenormes}).
\enddemo


\begin{lem}  La suite $(f_k, {\cal T}_k)$ est une {\rm
martingale},
\ccaadd que l'on a
\fb& \label{martingale1}\forall E\in {\cal T}_k, \forall l\geq k,\; \int_E
f_l=\int_E f_k.
\fe&
\end{lem}
\paragraph{D\e monstration}
En effet, si $E\in {\cal T}_k$, sa fonction indicatrice $\indic_E$ est dans
$V_k\subset V_l$ et on a donc en utilisant deux fois (\ref{projectionsurVk})
$$\forall l\geq k, \int_E f_l = \int_C f_l\indic_E=\tilde f(\indic_E)=\int_C
f_k\indic E=\int_E f_k.$$
\enddemo
%
%
\begin{lem}\label{lalimiteppdansLp}
Soit $f_k$ une suite de fonctions  telles que
$||f_k||_{L^{p'}}\leq c$ et que $f_k(x)$ converge presque partout vers une
fonction
$f(x)$. Alors $f$ appartient aussi \a $L^{p'}$.
\end{lem}
%
%
\paragraph{D\e monstration}
En appliquant le lemme de Fatou, on a
$$c\geq \lim\inf \int |f_k|^{p'}\geq \int \lim\inf |f_k(x)|^{p'}=\int |f(x)|^{p'}.$$
\enddemo
%
%
\begin{lem}\label{convergenceppdemartingale}\index{Convergence presque partout
(de martingale)} Si
$(f_k, {\cal T}_k)$ est une martingale
\a temps discret, et si 
$\sup_k \int f_k^+<+\infty,$ alors la
suite
$f_k(x)$ converge presque partout.
\end{lem}
Nous allons d\e montrer ce lemme dans la sous-section suivante sur les
martingales \a temps discret.  
%
%
\begin{lem} (Vitali) \index{Vitali (lemme de)}  Soit $C$ un born\ea de $\real^N$
et
$f_k$ est une suite de fonctions \e quiint\e grable dans
$L^1(C)$ qui converge presque partout vers une fonction $f$.  Alors $f_k$
converge vers $f$ dans $L^1(C)$.
\end{lem}
\noindent{\bf Rappel :}\index{Equiint\e grabilit\ea d'une suite de $L^1$} une
suite de fonctions
$f_k$ est dite {\it
\e quiint\e grable} si 
$$\forall \varepsilon>0 \exists \eta, \; \mes(K)<\eta\Rightarrow\int_K
|f_k(x)|dx<\varepsilon.$$
\paragraph{D\e monstration du Lemme de Vitali}
On a $$M\mes(\{|f_k|\geq M\})\leq \int |f_k(x)|\leq c$$
et donc $\mes(\{|f_k|\geq M\})\leq \eta$  pour $M$ assez grand.  En prenant $\eta
=\eta(\varepsilon)$ et en utilisant l'\e quiint\e grabilit\e , on en d\e duit 
que $\int_{\{|f_k|\geq M\}} |f_k(x)|dx\leq \varepsilon$ pour $M$ assez grand.
La suite $f_k^M =\max(-M, \min(M,f))$ converge par le th\e or\ee me de Lebesgue
dans $L^1(C)$ vers $f_M = \max(-M, \min(M,f))$.  Donc on a pour $k$ assez grand
$$\int |f-f_k|\leq \int |f-f^M|+\int|f^M-f_k^M|+\int |f_k^M-f_k|\leq
3\varepsilon.$$
\enddemo

\begin{lem}\label{caspleq2}  La suite des restrictions $f_k$ de
$\tilde f$ \a $V_k$
 converge presque partout  vers une fonction $f\in L^{p'}(C)$ telle que 
\fb& \label{dualitedansCpleq2}
\forall v\in L^p(C), \;\tilde f(v) = \int_C f(x)v(x)dx
\fe&
Cette fonction $f$ satisfaisant (\ref{dualitedansCpleq2}) est unique.
\end{lem}
%
%
 \paragraph{D\e monstration}
Par l'in\e galit\ea de H\ooo lder et par (\ref{comparaisondenormes}), on obtient
$||f_k||_{L^1}\leq c||f_k||_{L^{p'}}\leq c||\tilde f||_{(L^p)'}$.   On peut
appliquer le lemme
\ref{convergenceppdemartingale}.  Donc
$f_k(x)$ converge presque partout et par le lemme
\ref{lalimiteppdansLp}  on conclut que $f$ est dans $L^{p'}(C)$.  Comme la suite
$f_k$ est born\e e dans $L^{p'}(C)$ et que $p'>1$, elle est \e quiint\e grable. 
En effet, par l'in\e galit\ea de H\ooo lder, $$\int_K |f_k(x)|dx \leq
(\mes(K))^\frac 1 p ||f_k||_{L^{p'}}\leq c\mes(K).$$
Par le lemme de Vitali, $f_k$ converge
donc vers $f$ dans $L^1(C)$. Reste
\a montrer  que $\tilde f(v)=\int_C fv$ pour tout $v\in L^p(C)$.  Mais cette
relation est vraie si $v$ est dans un quelconque $V_k$. En effet, 
$\tilde f(v)=\int_C f_kv$ et $f_k$ tend vers $f\in L^1(C)$. Comme les fonctions
de $V_k$ sont born\e es, on peut passer \a la limite quand $k\to \infty$.
Cela prouve que les formes lin\e aires  $\tilde f$ et $f$ co\iii ncident sur un
sous-espace dense de $L^p(C)$, l'union des $V_k$, et donc partout.

Montrons que la fonction $f$ est unique.  Si on a  pour toute fonction $v$
dans $L^p(C)$, $\int_C f_1v=\int_Cf_2v,$ alors $\int (f_1-f_2)v=0$ et en
choisissant $v=\signe(f_1-f_2)$ on obtient $f_1=f_2$ presque partout.
\enddemo

\begin{lem}  $L^p(\real^N)$ est r\e flexif et $(L^p)'=L^{p'}$.
\end{lem}
\paragraph{D\e monstration}
On consid\ee re les espaces emboit\e s $V_l=L^p(C_l)$, o\u $C_l=[-l,l]^N$, $l\in
\natural$.  Par le lemme \ref{caspleq2} il existe des fonctions $f\in L^{p'}(C_l)$
telles que 
\fb& \label{dualitedansCl}
\forall v\in L^p(C_l), \;\tilde f(v) = \int_C f_l(x)v(x)dx
\fe&
et on a, par unicit\ea de $f_l$,  $f_{k+l}=f_l$ sur $C_l$ et 
\fb& \label{estimationdesf-l}
||f_l||_{L^{p'}}\leq ||\tilde
f||_{(L^p)'}.
\fe&
  On peut donc poser $f(x) = f_l(x)$ si $x\in C_l$.  En appliquant
le th\e or\ee me de Beppo-Levi, on d\e duit de (\ref{estimationdesf-l}) que 
$f\in L^{p'}$ et $||f||_{L^{p'}}\leq ||\tilde f||_{(L^p)'}.$
Comme $f$ (consid\e r\e e comme une forme lin\e aire sur $L^p$) et $\tilde f$
co\iii ncident sur le sous-espace dense de
$L^p(\real^N)$, $\cup_l V_l$, elles sont \e gales.
\enddemo


\begin{pro} $L^1(\real^N)$ n'est pas r\e flexif. \index{Non r\e flexivit\ea de
$L^1$}

\end{pro}
%
\paragraph{D\e monstration}
Supposons le contraire et soit 
$$
f_n = \frac {\indic_{B(0,\frac 1 n)}}{\mes(B(0,\frac 1 n))}.
$$
On a $||f_n||_1=1$. Comme $L^1$ est suppos\ea r\e flexif et que $L^\infty$ est
son dual, il existe une sous-suite $f_{n_k}$ et $f\in L^1$ telles que
$f_{n_k}\rightharpoonup f$,
$\sigma(L^1, L^\infty)$, ou encore $\int f_{n_k}\varphi \to \int f\varphi$ pour
toute fonction $\varphi \in L^\infty$. 
  On peut donc prendre $\varphi=1$ et on trouve $\int f\varphi =
\int f = 1$.  Mais on peut aussi prendre $\varphi = \indic_{||x||\geq
\varepsilon}$ et on trouve pour tout $\varepsilon$, $\int_{||x||\geq
\varepsilon}f=0.$ En faisant tendre $\varepsilon$ vers z\e ro, on obtient par le
th\e or\ee me de Lebesgue $\int f = 0$, contradiction.
\enddemo
\drem  $L^1$ n'est donc pas le dual de $L^\infty$ et on a seulement $L^1\subset
(L^\infty)'$.
\frem
\begin{pro} \index{S\e parabilit\ea de $L^p$ pour $1\leq p<\infty$}
$L^p(\real^N)$ est s\e parable pour $1\leq p<\infty$ et non s\e parable pour
$p=+\infty$.
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}  On rappelle (Proposition \ref{densiteescalierL^1}) que les
fonctions en escalier dyadiques sont denses dans $L^p(\real^N)$. Soit $\tilde V_k\subset
V_k$ l'ensemble des fonctions dyadiques sur
$[-2^k,2^k]^N$, \a valeurs rationnelles.  Alors $\bigcup_k \tilde V_k$ est \a la
fois d\e nombrable et dense dans $L^p(\real^N)$.

Consid\e rons  les fonctions $f_r=\indic_{B(0,r)}$, $r\in \real^+$. On 
$||f_r-f_{r'}||_{L^\infty}=1$ d\ee s que $r\neq r'$. S'il y avait une suite $g_n$
dense dans $L^\infty$, on pourrait pour tout $r$ trouver $n(r)\in \natural$ tel
que
$||f_r-g_{n(r)}||<\frac 12$.  Par l'in\e galit\ea triangulaire,
$||g_{n(r)}-g_{n(r')}||_{L^\infty}>0$ si $r\neq r'$.  L'application $r\to n(r)$
est donc injective, une contradiction.

\enddemo


\section{Martingales \a temps discret}
Dans cette sous-section, nous d\e montrons le r\e sultat de convergence presque
partout de martingale que nous avons utilis\ea pour montrer la dualit\ea
$L^p-L^{p'}$.
\begin{Def} \index{Martingale} On dira qu'une suite de fonctions $f_k, k\in \natural$ sommables sur
un espace de probabilit\ea $C$ muni d'une tribu $ {\cal T}$ et d'une suite
croissante de sous-tribus,
${\cal T}_k\subset \cal T$ est une {\rm martingale \a temps discret} si
pour  tout $k$ $f_k$ est ${\cal T}_k$-mesurable et
\fb& \label{martingale2}\forall E\in {\cal T}_k, \forall l\geq k,\; \int_E
f_l=\int_E f_k.
\fe&
\end{Def}

\begin{Def}\index{Temps d'arr\eee t} \label{definitiontempsd'arret}
On appelle {\rm temps d'arr\eee t} associ\ea \a la martingale $(f_k, {\cal T}_k)$
une fonction \a valeurs enti\ee res, $ k(x)\in \natural$, d\e finie
sur une partie de
$C$ et telle que pour tout
$k_0\in
\natural$, les ensembles $\{x, k(x)=k_0\}$ appartiennent \a ${\cal T}_{k_0}$.
On prendra la convention commode de poser $k(x)=+\infty$ quand $x$ n'est pas dans
le domaine de $k$.
\end{Def}
\begin{lem}
Si $k(x)$ et $l(x)$ sont deux temps d'arr\eee t associ\e s \a une martingale
$(f_k,{\cal T}_k)$, alors
\fb& \label{martingaleetempsd'arret}
\int_{\{x,k(x)\leq p\}} f_{k(x)}(x)dx = \int_{\{ x, k(x)\leq p\}}
f_{\min(l(x),p)}(x)dx.
\fe&
\end{lem} 
%
\paragraph{D\e monstration}
En effet, l'ensemble $\{k(x)\leq p\}$ est une union d'ensembles $\{k(x)=k_0\}\in
{\cal T}_k$.  Par additivit\ea de l'int\e grale, il suffit de montrer
(\ref{martingaleetempsd'arret}) pour ces ensembles.  Or, en utilisant deux fois 
la relation de martingale (\ref{martingale2}),
$$\forall k_0\leq p, \; \int_{k(x)=k_0}
f_{k_0}=\int_{k(x)=k_0}f_p=\sum_{l_0\leq p} \int_{k(x)=k_0,\;l(x)=l_0}
f_p+\int_{k(x)=k_0,\;l(x)>p}f_p=$$
$$\sum_{l_0\leq p} \int_{k(x)=k_0,\; l(x)=l_0}f_{l_0}+ \int_{k(x)=k_0,\;l(x)>p}f_p
=\int_{k(x)=k_0}f_{\min(l(x),p}.$$
  
\enddemo
%
On d\e finit les temps d'arr\eee ts suivants, sur l'intervalle $[0, p]\subset
\natural$ associ\e s \a deux r\e els $b>a$.
\newline\newline
$\bullet$ $k_1^p(x) =$ premier $k$, s'il existe dans $[0,p]$, tel que $f_k(x)>b$.
\newline
$\bullet$ $k_2^p(x) =$ premier $k>k_1^p$, s'il existe dans $[0,p]$, tel que
$f_k(x)<a$.
\newline .............\newline
\newline
$\bullet$ $k_{2m-1}^p(x) =$ premier $k\geq k_{2m-2}$, s'il existe dans $[0,p]$,
tel que
$f_k(x)>b$.
\newline
$\bullet$ $k_{2m}^p(x) =$ premier $k>k_{2m-1}^p$, s'il existe dans $[0,p]$, tel
que $f_k(x)<a$.
\newline\newline
Il est imm\e diat que les $k_m$ sont des temps d'arr\eee t pour la martingale 
$(f_k, {\cal T}_k)$. On peut interpr\e ter leur domaine ainsi :
\newline\newline
$\bullet$ $\Omega_{2m}=\{x, k_{2m}(x)\leq p\}$ est l'ensemble des $x\in C$ tels que
$f_k(x)$ traverse exactement $m$ fois l'intervalle $[a,b]$ dans le sens descendant
pour $1\leq k\leq p$.
\newline
$\bullet$ $\Omega_{2m+1}=\{x, k_{2m+1}(x)\leq p)$ est l'ensemble des $x\in C$ tels
que
$f_k(x)$ traverse exactement $m\geq 1$ fois l'intervalle $[a,b]$ dans le sens descendant
et puis encore une fois de plus dans le sens ascendant pour $1\leq k\leq p$.
\newline\newline
On d\e finit enfin $\gamma_{a,b}^p(x)$ comme le nombre de passages de $f_k(x)$
par $[a,b]$ dans le sens descendant pour $k\leq p$ et $\gamma_{a,b}(x)$ le nombre
de passages, \e ventuellement infini, de $f_k$ par $[a,b]$ dans le sens
descendant.  On a bien-s\uu r 
\fb& \label{identifications}
\forall m\in \natural, \{x, \gamma_{a,b}^p(x)\geq m\}= \{x, k_{2m}(x)\leq
p\}=\Omega_{2m}
\fe&
et on peut donc calculer l'esp\e rance du nombre de passages par $[a,b]$ : 
\fb& \label{esperancedunombredepassages}
\int \gamma_{a,b}^p(x)dx=\sum_m \mes\{x, \gamma_{a,b}^p(x)\geq m\}=\sum_m
\mes\Omega_{2m},
\fe&
 en vertu de (\ref{identifications}) et de la
remarque suivante :
\drem Si $\gamma(x)$ est une fonction \a valeurs dans $\natural$, 
$\int \gamma(x)dx=\sum_{m\in \natural}\mes\{x,g(x)\geq m\}.$
En effet, 
$$\int \gamma(x)dx=\sum_mm\mes\{x, \gamma(x)=m\}=\sum_m\sum_{k\geq m} \mes\{x,
\gamma(x)=k\} =\sum_m\mes\{x, \gamma(x)\geq m\}.$$
\frem
%
\begin{lem} \index{Nombre de passages (d'une martingale)}
\fb&
\label{estimationfinaledunombredepassages}
(b-a)\int_C \gamma_{a,b}(x)dx \leq \sup_p\int_C (f_p^+(x)-b).
\fe&
\end{lem}
\paragraph{D\e monstration}
Comme sur
$\Omega_{2m-1}=\{k_{2m-1}^p(x)\leq p\}$ on a $f_{k_{2m-1}(x)}\geq b$, on obtient 
en utilisant (\ref{martingaleetempsd'arret}),
$$
0\leq \int_{\Omega_{2m-1}}(f_{k_{2m-1}}(x)-b)dx = 
\int_{k_{2m-1}^p(x)\leq p}(f_{k_{2m-1}}(x)-b)dx=
$$
$$
\int_{k_{2m-1}^p(x)\leq p}(f_{\min(
2m,p)}(x)-b)dx \leq (a-b)\mes(\Omega_{2m}) +
\int_{\Omega_{2m-1}\setminus\Omega_{2m}}(f_p(x)-b)dx.
$$
D'o\u 
$$(b-a)\mes (\Omega_{2m})\leq
\int_{\Omega_{2m-1}\setminus\Omega_{2m}}(f_p(x)-b)dx.
$$
et en sommant sur $m$ et en utilisant (\ref{esperancedunombredepassages}), on
obtient 
\fb&
\label{estimationdunombredepassages}
(b-a)\int_C \gamma_{a,b}^p(x)dx \leq \int_C (f_p(x)-b).
\fe&
La relation (\ref{estimationfinaledunombredepassages}) 
vient car 
$\gamma_{a,b}$ est la limite croissante des $\gamma_{a,b}^p$.
\enddemo

\paragraph{D\e monstration du lemme \ref{convergenceppdemartingale}} 
On choisit une suite $(a_n)$ dense dans $\real$. Consid\e rons les ensembles 
 $N_{n,m}= \{x, \gamma_{a_n,a_m}=+\infty\}$.  Ces ensembles sont n\e gligeables par
le lemme \ref{estimationdunombredepassages}, ainsi que leur union $N$.  Si $x$
est dans le compl\e mentaire de $N$, la suite $f_k(x)$ ne peut osciller ind\e
finiment.  Elle converge donc soit vers une valeur finie $f(x)$, soit vers
$+\infty$, soit vers $-\infty$. Mais comme $\sup_k \int f_k^+<\infty$, on d\e
duit  du lemme de Fatou que l'ens emble des $x$ o\u la limite est
$+\infty$ est aussi n\e gligeable. En effet, le lemme de Fatou donne $\int
\lim\inf_k f_k^+(x)dx\leq \sup\int f_k^+.$
 Comme $\int_C f_k(x)dx=\int_Cf_1(x)dx$ est constante, on a aussi $\sup_k\int
f^-(x)dx<\infty$  et l'ensemble des points o\u $f_k(x)$ tend vers $-\infty$ est
\e galement n\e gligeable.

\enddemo



\chapter{Espaces de Hilbert}
\begin{Def}\index{Espace de Hilbert}
Un espace de Hilbert r\e el est un espace vectoriel r\e el muni d'un produit
scalaire
$(u,v)$ et tel que $||u||=\sqrt{(u,u)}$ soit une norme pour laquelle $H$ soit
complet.  Un espace de Hilbert hermitien est un espace vectoriel sur $\complex$
muni d'un produit hermitien $(u,v)$ \ccaadd v\e rifiant
 $$(u,v)=\overline{(v,u)}, \;
(\lambda u, v) =
\lambda (u,v), \; (u+v,w)=(u,w)+(v,w).$$ et tel que $||u||=\sqrt{(u,u)}$ soit une
norme rendant $H$ complet.  Remarquons aussi que
 $$(f,\lambda g)=\overline{\lambda}(f,g)\hbox{ et  } (u, v+w)=(u,v)+(u,w).$$
\end{Def}
\begin{exa} \index{Exemples de Hilbert}On pose $l^2(\natural)$ l'ensemble des
suites
$u=(u_1, ..., u_n, ...)$ avec $u_n\in \complex$ et v\e rifiant $\sum_n
|u_n|^2<\infty$.  Muni du produit scalaire $(u,v) = \sum_n u_n\overline{v_n}$,
c'est un espace de Hilbert.
 $L^2(\real^N)$, muni du produit scalaire $(f,g)=\int f(x)\overline{g(x)}dx$
est \e galement un espace de Hilbert : on a  vu qu'il est complet.
Remarquer que $l^2(\natural)$ peut \eee tre plong\ea naturellement dans
$L^2(\real)$ en posant $u(x)=u_n$ si $x\in [n, n+1[$ et qu'il appara\ii t alors
sous-espace ferm\ea de
$L^2(\real)$.  La compl\e tude de $L^2(\real)$ implique donc la compl\e tude
de
$l^2(\natural)$.

\end{exa}
\begin{pro}  \index{In\e galit\ea de Cauchy-Schwartz} Nous avons toujours l'in\e galit\ea de
Cauchy-Schwartz
$$|(f,g)|\leq ||f|| ||g||.$$
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
la d\e monstration est la m\eee me qu'en dimension finie : elle se fait dans le
plan de
$f$ et
$g$.  On pose $(f,g)=e^{i\theta}|(f,g)|$ et on d\e veloppe $||f+te^{i\theta}g||^2\geq 0$,
ce qui donne 
$$||f||^2+t(f, e^{i\theta}g) + t(e^{i\theta}g, f)+t^2||g||^2\geq 0, \hbox{  soit}$$
$$||f||^2 +2t |(f,g)|+t^2||g||^2\geq 0.$$
L'in\e galit\ea de Cauchy-Schwartz exprime que le discriminant de ce trin\oo me est n\e
gatif.
\enddemo

  La relation de Pythagore reste valable : si $f$ et $g$ sont orthogonaux,
alors
$$||f+g||^2=||f||^2+||g||^2.$$  Cette relation s'\e tend \a une suite de vecteurs
orthogonaux deux \a deux, $f_k$.  On a alors
$$||\sum_k f_k||^2=\sum_k ||f_k||^2.$$  Gr\aa ce \a la compl\e tude, le premier
membre de cette
\e galit\e , $\sum_k f_k$, est bien un \e l\e ment de $H$ si le deuxi\ee me membre
est une s\e rie convergente.  On a donc 
\begin{pro} \label{convergencedeserie} \index{Convergence d'une s\e rie dans un
Hilbert} Soit $H$ un Hilbert et $f_n$ une suite d'\e l\e ments de $H$.  
 Si la s\e rie $u_n$ est compos\e e d'\e l\e ments
orthogonaux deux \a deux et si $\sum_n||u_n||^2$ converge, alors la s\e rie
$\sum_n u_n$ converge dans $H$. Si la s\e rie de terme g\e n\e ral $||u_n||$ est
convergente, la s\e rie
$\sum_n u_n$ converge dans $H$.
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
La deuxi\ee me partie de l'\e nonc\ea se d\e duit de la compl\e tude de $H$.  En
effet, la suite $v_k = \sum_0^k v_n $ est de Cauchy puisque $||v_k-v_l||\leq
\sum_l^k ||u_n||.$
\enddemo
\begin{thf} \label{desprojections} \index{Projection sur un convexe dans un
Hilbert} Soit $H$ un espace de Hilbert et $C$ un convexe ferm\ea et non vide de
$H$.  Pour tout $f\in H$ il existe un unique point de $C$, appel\ea {\rm
projection de $f$ sur $H$} dont la distance \a $f$ soit minimum.   Cette
projection se caract\e rise comme l'unique point $g$ de $C$ tel que
\fb& \label{inegalitevariationnelle}
\forall h\in C,\; \Re(f-g,h-g)\leq 0.
\fe&
Si $C$ est un sous-espace vectoriel ferm\ea de $H$, la projection de $f$ est
l'unique point $g\in C$ tel que $f-g$ soit orthogonal \a tous les \e l\e ments de
$C$.
\end{thf}

\begin{lem}\index{Identit\ea du parall\e logramme} L'identit\ea du parall\e
logramme :
$$||u||^2+||v||^2 = \frac 1 2(||u+v||^2 + ||u-v||^2).$$
La somme des carr\e s des longueurs des cot\e s d'un parall\e logramme est \e
gale \a la demi-somme des carr\e s de ses diagonales.
\end{lem}

\paragraph{D\e monstration du th\e or\ee me \ref{desprojections}}
Montrons d'abord l'unicit\e .  S'il existait deux \e l\e ments $g_1$ et $g_2$ r\e
alisant la projection de $f$ sur $C$, on aurait en consid\e rant leur milieu
$\frac {g_1+g_2}2$  et en appliquant l'identit\ea du parall\e logramme \a $u=f-g_1$
et
$v=f-g_2$,
$$\frac 1 2||2f-(g_1+g_2)||^2 = ||f-g_1||^2+||f-g_2||^2- \frac 1 2||g_1-g_
2||^2.$$
Donc $||f-\frac{g_1+g_2}2||^2< d(f,C)^2$.  Mais comme $\frac
{g_1+g_2}2$ est dans $C$, c'est impossible.  On montre maintenant  l'existence
de la projection. Soit $g_n$ une suite de $C$ telle que $||f-g_n||\to d(f,C)$. 
En utilisant de nouveau l'in\e galit\ea du parall\e logramme,

$$\frac 1 2 ||g_n-g_m||^2=||f-g_n||^2+||f-g_m||^2-2||f-\frac{g_n+g_m}2||^2.$$
Quand $n$ et $m$ tendent vers l'infini, le membre de droite tend vers 0. La suite
$g_n$ est donc de Cauchy et converge vers un \e l\e ment $g$ de $C$, car $C$  est
ferm\e .  Montrons l'in\e galit\ea variationnelle (\ref{inegalitevariationnelle}).
Pour tout $h\in C$, et $t\in [0,1]$, les points $g+t(h-g)$ du segment $[g,h]$
appartiennent \a $C$. On a donc 
\fb& \label{inegalitevariationnelle2}\forall t\in [0,1],\; ||g-f||^2\leq
||f-g-t(h-g)||^2 \hbox { ce qui est \e quivalent \a }\fe&
$$
\forall t\in [0,1],\; t^2||h-g||^2-2t\Re(f-g,
h-g)\geq 0.
$$
 On divise par $t$ et on fait tendre $t$ vers $0^\pm$ pour obtenir
(\ref{inegalitevariationnelle}).  R\e ciproquement, si
(\ref{inegalitevariationnelle}) est v\e rifi\e e pour tout $h\in C$,
(\ref{inegalitevariationnelle2}) aussi et en faisant $t=1$ on voit que $||f-g||$
r\e alise la distance minimale de $f$ \a un point de $C$.

Consid\e rons pour terminer le cas o\u $C$ est un sous-espace vectoriel ferm\ea
de $H$.  Soit $g$ la projection de $f$. Pour tout $v$ dans $C$, $g+e^{i \theta}v$
appartient \a $C$.  On a donc 
$\Re(e^{i\theta}(v, g-f))\leq 0$ pour tout $\theta$ et donc $(v,g-f)=0$.  R\e
ciproquement, si $g\in C$ v\e rifie $(v,g-f)=0$ pour tout $v\in C$, on a
$(v-g,g-f)=0$ pour tout $v$ dans $C$ et par la deuxi\ee me partie du th\e or\ee
me \ref {desprojections}, $g$ est bien la projection de  $f$ sur $C$.
\enddemo
\dexer \index{Contractante (projection sur un convexe)}D\e montrer en utilisant
(\ref{inegalitevariationnelle}) que la projection
$P$ sur un convexe est une application contractante : $||Pf_1-Pf_2||\leq
||f_1-f_2||$.
\fexer
\begin{Def}\index{Orthogonal d'un sous-ensemble}
On appelle orthogonal d'un sous-ensemble $A$ de $H$ et note $A^\perp$ l'ensemble
$$A^\perp =\{v, \forall f\in A,\; (v,f)=0\}.$$
C'est un sous-espace vectoriel ferm\ea de $H$.
\end{Def}

\begin{cor} \index{D\e composition orthogonale (dans un Hilbert)}Si  $F$ un
sous-espace vectoriel ferm\ea d'un espace de Hilbert
$H$, alors tout
\e l\e ment de $H$ se d\e compose de mani\ee re unique sous la forme 
\fb& \label{decompositionorthogonale}
f=g+h, \; g\in F, \; h\in F^\perp
\fe&
o\u $g$ est la projection de $h$ sur $F$ et $h$ la projection de $h$ sur
$F^\perp$.  On a donc 
$$H=F+F^\perp, \; (F^\perp)^\perp = F, \; H^\perp = \{0\}.$$
Si $A\subset H$, on a toujours
$$(A^\perp)^\perp = \overline{\vect(A)}.$$
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
La relation (\ref{decompositionorthogonale}) est une cons\e quence du th\e or\ee
me \ref{desprojections} : si $f\in H$ on note $g$ sa projection orthogonale sur
$F$. Alors $f-g=h$ appartient \a $F^\perp$ par (\ref{inegalitevariationnelle}).
On remarque enfin que $A^\perp=\overline{\vect(A)}^\perp.$  En effet, si un \e l\e
ment $f$ est orthogonal \a $A$, il est orthogonal aux combinaisons lin\e aires
d'\e l\e ments de $A$ et donc \a $\vect(A)$ et  par un passage \a la limite
imm\e diat \a $\overline{\vect(A)}$.
\enddemo
%
\begin{cor} {\bf et d\e finition} \index{Totalit\ea (d'un syst\ee me dans un
Hilbert)} On dit qu'un sous-ensemble $A$ de l'espace de Hilbert $H$ est total si
l'espace vectoriel $\vect(A)$ engendr\ea par $A$ est dense dans $H$.  Pour que
$A$ soit dense dans $H$, il faut et il suffit que $A^\perp$ soit r\e duit \a
$\{0\}.$
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
  Si $A$ est total, $\overline{\vect(A)}$ est
\e gal \a $H$ et donc $A^\perp=\overline{\vect(A)}^\perp=H^\perp = \{0\}.$
R\e ciproquement, si $A^\perp ={0}$, on a $\overline{\vect(A)}^\perp=\{0\}$ et
donc $\overline{\vect(A)}=H$, ce qui signifie que $A$ est total.
\enddemo
\begin{thf} (Riesz) \index{Riesz (th\e or\ee me de)}Pour tout $f\in H$,
l'application
$v\in H\to (v,f)$ est une forme lin\e aire continue sur $H$. R\e ciproquement, si
$\tilde f$ est une forme lin\e aire continue sur $H$, il existe un unique \e l\e
ment
$f\in H$ tel que
$$\tilde f(v) = (v, f).$$
En d'autres termes, $H$ est son propre dual. Tout espace de Hilbert est donc r\e
flexif.
\end{thf}
\drem  On conna\ii t d\e ja ce r\e sultat dans le cas o\u
$H=L^2(\real^N)$.
\frem
\paragraph{D\e monstration}
La premi\ee re assertion d\e coule de l'in\e galit\ea de Cauchy-Schwartz.  R\e
ciproquement, soit $\tilde f$ une forme lin\e aire continue et non nulle sur $H$ et
$L$ son noyau, qui est un espace vectoriel ferm\e .  Comme $\tilde f\neq 0$, $L$
est un sous-espace strict et donc $F^\perp$ n'est pas r\e duit \a $\{0\}$.  Soit
$g\in L^\perp,$ non nul.  On a donc $\tilde f(g)\neq 0$ et on pose pour tout $v \in
H$
$$v=\frac{\tilde f(v)}{\tilde f(g)}g +(v-\frac{\tilde f(v)}{\tilde
f(g)}g)=v_1+v_2.$$
Le second terme  v\e rifie $\tilde f(v_2)=0$ et appartient donc \a $L$.  Comme
$g\in L^\perp$, on a donc 
$$(v,g) =
\frac{\tilde f(v)}{\tilde f(g)}||g||^2.$$ Il en r\e sulte que
$$\tilde f(v) = (v, \frac{\overline{\tilde f(g)}}{||g||^2}g).$$
\enddemo
\begin{thf}\label{universalitedelaconvolution} (L'Universalit\ea de la convolution)
\index{Convolution (Universalit\ea de la)} Soit $T  : L^2(\real^N) \to C^0(\real^N)$ un op\e
rateur lin\e aire, invariant par translation et continu.  Alors il existe $g$ dans
$L^2(\real^N)$ telle que
$T(f)=g\ast f$.
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
On consid\ee re la forme lin\e aire $f\to (Tf)(O)$, qui appartient par hypoth\ee se \a 
$(L^2(\real^N))'$.  Il existe donc une fonction $g_0\in L^2$ telle que 
\fb& \label{rieszconvolution}
(Tf)(O)=\int_{\real^N}f(x)\overline{g_0}(x)dx.
\fe&
Par hypoth\ee se aussi, $T(\tau_xf)=\tau_xTf$, o\u l'on rappelle que l'on note
$\tau_xf(y)=f(y+x)$.  Donc par (\ref{rieszconvolution}),
$$
Tf(x) = (\tau_x (Tf))(0)= T(\tau_xf)(0)=\int_{\real^N}f(x+y)\overline{g_0}(y)dy
= \int_{\real^N}f(x-y)\overline{g_0}(-y)dy= f\ast g(x),
$$
o\u $g(y) = \overline{g_0}(-y)$.

\enddemo

\section{Bases hilbertiennes}
\begin{Def} \index{S\e parabilit\ea d'un espace} On dit qu'un espace de Hilbert est s\e parable s'il admet une suite
d\e nombrable et dense.
\end{Def}
\begin{Def}\index{Base hilbertienne}
Soit un espace de Hilbert s\e parable. On appelle {\rm base hilbertienne} de $H$
un syst\ee me orthonorm\ea  fini  ou infini $(e_n)_{n\in \natural}$ qui est
total.  On a donc $(e_n,e_m)=\delta_{n,m}$ et $\overline{\vect((e_n)_n)}=H$. 
\end{Def}
\begin{thf} 
 Tout
espace de Hilbert s\e parable admet une base hilbertienne.
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
Soit $(f_n)_n$ une suite dense de $H$. On en extrait par r\e currence sur $n$ un
sous-syst\ee me libre (que nous appellerons encore par commodit\ea  $(f_n)$),
\ccaadd tel qu'aucun vecteur de la suite n'est combinaison lin\e aire des autres. 
Le syst\ee  me obtenu n'est plus n\e cessairement dense, mais il reste total.  On
applique alors le proc\e d\ea de Hilbert-Schmidt \a la suite $f_n$.  On pose par
r\e currence 
$$g_{n+1}=f_{n+1}-\sum_{k=1}^n (f_{n+1}, g_k)g_k,$$
ce qui donne un syst\ee me orthogonal et on pose finalement
$e_n=\frac{g_n}{||g_n||}$, ce qui donne une suite
$e_n$ orthonorm\e e.  Le syst\ee me est bien total puisque les $e_n$ engendrent
les $f_n$ et c'est donc une base hilbertienne.
\enddemo
\begin{thf}\index{Egalit\ea de Parseval}
Soit $H$ un espace de Hilbert s\e parable et $(e_n)_{n\in\natural}$ une base
hilbertienne de $H$.  Alors tout \e l\e ment de $H$ peut s'\e crire comme la
somme d'une s\e rie convergente 
\fb& \label{decompositionsurlabase}
f=\sum_n (f, e_n)e_n  = \sum_n c_n(f)e_n
\fe&
et les coordonn\e es sur la base v\e rifient l'\e galit\ea de Parseval 
\fb&
||f||^2 = \sum_n |c_n(f)|^2.
\fe&
R\e ciproquement, si $c_n$ est une suite v\e rifiant $\sum_n |c_n|^2<\infty$, la
s\e rie $\sum_n c_n e_n$ converge dans $H$ et sa somme $f$ v\e rifie $c_n(f)=c_n$.
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
On pose $f_m=\sum_1^m c_n(f)e_n$. On v\e rifie que $(f-f_m, e_n) = 0 $ pour
$n\leq m$.  Donc $f_m$ est la projection orthogonale de $f$ sur l'espace
engendr\ea par les $e_n$ pour $0\leq n\leq m$.  Donc $||f_m||^2\leq ||f||^2$. Par
le th\e or\ee me de Pythagore, on obtient 
\fb& \label{parsevalfini}
||f_m||^2=\sum_1^n|c_n(f)|^2\leq ||f||^2,
\fe&
ce qui prouve que la s\e rie $\sum_n c_n(f)e_n$ est convergente dans
$H$ (proposition
\ref{convergencedeserie}). Appelons $g$ sa somme. Reste \a montrer que $f=g$. 
Mais si $n\leq m$, on voit que $(f_m-g,e_n)=0$ et en passant \a la limite quand
$m\to\infty$, on obtient $(f-g,e_n)=0$. Donc $f-g$ est orthogonal \a un syst\ee me
total et est donc nul.  La relation de Parseval s'obtient en passant \a la limite
dans (\ref{parsevalfini}).  

La r\e ciproque du th\e or\ee me est imm\e diate en reprenant les arguments pr\e
c\e dents.
\enddemo
\dexer (In\e galit\ea de Parseval)  \index{In\e galit\ea de Parseval}Montrer que
si
$(e_n)$ est un syst\ee me orthonorm\ea quelconque de
$H$, alors  $\sum_n |(e_n,f)|^2\leq ||f||^2$.  Montrer que si cette in\e
galit\ea est une \e galit\e , alors $(e_n)$ est une base hilbertienne.  Montrer
que tout syst\ee me orthonorm\ea peut \eee tre compl\e t\ea en une base
hibertienne.
\fexer
\begin{cor} \index{Isom\e trie (d'un Hilbert s\e parable \a $l^2$)}
Tout espace de Hilbert s\e parable est isom\e trique \a $l^2(\natural)$. Il
suffit d'associer \a $f\in H$ son vecteur de coordonn\e es sur une base
hilbertienne, $c = (c_1(f),..., c_n(f),...)$.  En particulier, on a 
$$(f,g) = \sum_n c_n(f)\overline{c_n(g)}.$$
\end{cor}
\dexer \index{Continuit\ea d'une forme bilin\e aire}Montrer qu'une forme bilin\e
aire
$a(u,v)$ sur un espace vectoriel norm\ea est continue si et seulement si il
existe $C$ tel que
$|a(u,v)|\leq C||u||||v||$.
 \fexer
\begin{thf} (Lax-Milgram)\label{laxmilgram}\index{Lax-Milgram (th\e or\ee me
de)} Soit
$H$ un espace de Hilbert r\e el et  soit $a(u,v)$ une forme bilin\e aire sur $H$ 
continue et coercive,
\ccaadd satisfaisant
$$|a(u,v)|\leq C||u||||v||, \;\; \exists c>0, \;a(u,u)\geq c ||u||^2$$  et
$f\in H'$.  Alors il existe un unique \e l\e ment $u$ de $H$ tel que
$$\forall v\in H,\; a(u,v)=f(v).$$
De plus, $u$ est l'unique minimum de $\varphi(v)=\frac 12 a(v,v)-f(v)$.
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
On applique le corollaire \ref{convexecoerciveminimum} \a la fonction
$\varphi(v)$, qui est convexe, coercive et continue (et donc s.c.i. !) sur
l'espace r\e flexif
$H$.  Il existe donc $u\in H$ qui minimise $\varphi$.  Comme $\varphi$ est
strictement convexe, ce minimum est unique, car si $u_1$ et $u_2 $ r\e alisent le
minimum on  a $\varphi(\frac{u_1+u_2}2)<\frac 1 2 (\varphi(u_1) +\varphi(u_2))$ si
$u_1\neq u_2$.  On a pour tout $v$ dans $H$ et $t\in\real$, $\frac 12a(u+tv,
u+tv)-f(u+tv)\geq \frac 12a(u,u)-f(u)$, soit $\frac 12t^2a(v,v)+
ta(u,v)-tf(v)\geq 0$. En divisant par $t$ et en passant \a la  limite
quand $t\to 0^\pm$, on obtient
$a(u,v)=f(v)$.
\enddemo
Terminons par quelques remarques sur la convergence faible dans un espace de Hilbert.
\begin{pro} \index{Convergence faible dans un espace de Hilbert}
(i) Si $u_n\in H$ est born\e e et $H$ s\e parable, alors il existe une sous-suite qui 
converge faiblement : $$\forall v\in H, \; (u_n, v)\to (u,v).$$
(ii)R\e ciproquement, si $u_n\to u$, alors $u_n$ est born\e e et 
$$||u||\leq\lim\inf_n ||u_n||.$$
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
(i) C'est une cons\e quence directe de la r\e flexivit\ea de $H$ s\e parable, qui implique
la compacit\ea s\e quentielle de la boule unit\e .
\newline
(ii) Cons\e quence imm\e diate du th\e or\ee me de Banach-Steinhaus. 
\enddemo

\dexer On pose dans $H=L^2(0, 2\pi)$, $u_n(x)= \sin nx$ et $v_n(x)=|\sin(nx)|$. Montrer que
ces suites convergent faiblement dans $H$ mais pas fortement.  Calculer leur limite faible.

\fexer
\dexer 
Calculer dans $L^2(0,1)$ le maximum de $\int_0^1 f(x)dx$ sujet aux contraintes
$\int_0^1|f|^2(x)dx=1$ et $\int_0^1 f(x)dx=0$.  On se ram\e nera au calcul d'une
projection sur un convexe ferm\e .
\fexer

\chapter{S\'{e}ries de Fourier}
 On consid\ee re l'espace de Hilbert $L^2([-\pi, \pi])$ que l'on notera aussi 
$L^2(-\pi,\pi)$.  On
va montrer que le syst\ee me orthonorm\ea 
$$\frac {1}{(2\pi)^\frac {1}{2}}(e^{ikt})_{k\in \cal Z}$$
est une base hilbertienne de $L^2(-\pi, \pi)$.  Cette base s'appelle la base de
Fourier.  On notera 
$$c_n(f) = \frac {1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}dx,$$ en sorte que pour
toute $f$ dans $L^2([-\pi, \pi])$ on puisse \e crire

$$ f(x) =  \sum_{n\in \relative} c_n(f)e^{inx},$$
la s\e rie pr\e c\e dente convergeant au sens $L^2$.  Les $c_n(f)$ s'appellent
les coefficients de Fourier de $f$ et sont proportionnels aux coordonn\e es de
$f$ dans la base de Fourier.
 
Pour montrer ce r\e sultat, on va commencer par analyser le comportement des
coefficients de Fourier selon la r\e gularit\ea de $f$.  
\begin{lem} \index{Riemann-Lebesgue (Lemme de)} (Lemme de
Riemann-Lebesgue)\label{riemann-lebesgue}
\newline
i)  On pose pour $f\in L^1(\real)$, $$\hat f(\xi) =
\int_{\real} f(x) e^{-i\xi x}dx.$$  Si $f\in C_c(\real)$ est  $k$ fois diff\e
rentiable et
 telle que $f^{(k)}\in L^1(\real)$,  alors 
$$|\hat f(\xi)|\leq
\frac {||f^{(k)}||_{L^1}} {|\xi|^k}.$$
\newline
ii) Si $f\in
L^1(\real)$ alors $\int_{\real} f(x)e^{iax}dx \to 0 $ quand $|a|\to \infty$.    
\newline
iii) Application aux coefficients de Fourier : si $f\in L^1(-\pi, \pi)$,
$$\lim_{\vert n\vert\to \infty} c_n(f) = 0.$$
\end{lem}
\drem
Si $f\in L^2$, on sait imm\e diatement que $c_n(f)\to 0$ car $c_n(f)$ s'interpr\ee tent 
comme les coordonn\e es de $f$ sur un syst\ee me orthonorm\e .
\frem

\paragraph{D\e monstration}
i)
 En int\'{e}grant par parties $k$  fois l'int\'{e}grale d\'{e}finissant $\hat f$, on
 obtient pour $\xi \neq 0$, 
 $$|\hat f(\xi)| = |\frac 1 {(i\xi)^k}\int f^{(k)}(x)e^{-ix\xi}dx|\leq \frac
 {||f^{(k)}||_{L^1}}{|\xi|^k}.$$
\newline
ii)
 Soit $f_n$ une suite de fonctions $C^\infty$ et \`{a} support compact qui tendent vers
 $f$ dans $L^1$ (proposition \ref{densiteCinfiniL1deomega}).  On a, pour $n$
fix\'{e} assez grand :
$||f_n -f||_1\leq
\varepsilon$,
 ce qui implique $|\hat f_n(\xi)-\hat f(\xi)|\leq \varepsilon$ pour tout $\xi$.
En utilisant (i), on voit que $|\hat f_n(\xi)|\to 0$ quand $n$ est fix\'{e}
 et $|\xi|\to \infty$.  Donc $|\hat f_n(\xi)|\leq \varepsilon$  pour $\xi $ assez grand.
 Finalement,  
 $$|\hat f(\xi)| \leq |\hat f(\xi)-\hat f_n(\xi)| + |\hat f_n(\xi)|\leq 2\varepsilon$$
 pour $\xi$ assez grand.
\enddemo

\noindent La proposition suivante nous dit que la s\e rie de Fourier de $f$
converge vers $f(x)$ en tout point $x$ o\u $f$ est suffisamment r\e guli\ee re.

\begin{pro} \label{lemmedelocalisation}\index{Principe de localisation}
( Principe de localisation)
\newline
Si $f\in L^1(-\pi, \pi)$ et si la fonction $y\to\frac {f(y)-f(x)}
{y-x}$ est int\'{e}grable sur un voisinage de $x$, alors 
$\lim_{N\to \infty} s_Nf(x) = f(x), $ o\`{u} on a 
not\'{e} : $s_Nf(x)= : \sum_{\vert n\vert \leq N} c_n(f)e^{inx}.$
\end{pro}
Expliquons pourquoi le r\e sultat pr\e c\e dent s'appelle principe de
localisation.
 Alors que $s_N(f)$ est le r\'{e}sultat d'un calcul int\'{e}gral sur tout l'intervalle
 $[-\pi, \pi]$, et donc d'un calcul global, le comportement de $s_Nf(x)$
d\'{e}pend du
 comportement local de $f$ au voisinage de $x$. Il y  a donc ``localisation". 

\paragraph{D\e monstration}
{\bf Etape 1}
 On se ram\ee ne au cas $f(x)=0,   x=0$.  \newline
  Supposons la proposition
d\'{e}montr\'{e}e pour $x=0$, $f(x)=0$.  Soit maintenant 
 $g\in L^1(-\pi, \pi)$ telle que $\frac{g(y)-g(x)}{y-x}$ soit int\'{e}grable au
voisinage
 de $x$. Alors on pose $f(y)= g(x+y)-g(x) $.  On a bien $f(0)=0$ et 
$\frac{f(y)}{y}=\frac {g(x+y)-g(x)}{y}$ est int\'{e}grable au voisinage de 0.  Donc, par
 hypoth\`{e}se, $s_Nf(0)\to f(0)=0$.  Mais
 $$s_Nf(0)=\sum_{|n|\leq N}c_n(g(x+y)-g(x))=\sum_{|n|\leq N}
\frac 1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(g(x+y)-g(x))e^{-iny}dy$$
 $$=(\sum_{|n|\leq N}\frac 1
 {2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}g(z)e^{-in(z-x)}dz) -g(x)=(\sum_{|n|\leq N}
\frac 1 {2\pi}e^{inx}\int_{-\pi}^{\pi}g(z)e^{-inz}dz)-g(x)$$
 $$= s_Ng(x)-g(x).$$
 Donc $s_Ng(x)\to g(x).$
En fait, l'argument pr\e c\e dent montre que $s_N$ commute avec les translations :
$$s_N[g(.+x)] = (s_Ng)(.+x).$$
\newline
\newline
{\bf Etape 2} On a
 \fb& \label{formeFourierRiemann}
s_Nf(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(y)
\frac{\sin (N+\frac{1}{2})y}{\sin\frac{y}{2}}dy.
\fe&
 En effet, $\sum_{-N}^Ne^{iky}=\frac {\hbox{sin}(N+\frac {1} {2})y}{\hbox{sin}\frac {y}
 {2}}$, ce qui se prouve ais\'{e}ment en sommant la suite g\'{e}om\'{e}trique.
\newline
\newline
{\bf Etape 3} Par l'\e tape 1 il suffit de montrer que si $f\in L^1(-\pi, \pi)$  et
si
$\frac {f(y)}{y}$ est
 int\'{e}grable autour de 0, alors $s_Nf(0)\to 0$.  Comme sur $[-\pi, \pi]$,
 $|\hbox{sin}\frac y 2|\geq \frac {|y|} {\pi}$, on a
 $$|\frac {f(y)} {\hbox{sin}\frac y 2}|\leq \frac {\pi |f(y)|}{|y|}\in L^1(-\pi,
\pi).$$
 Donc on peut appliquer le lemme de Riemann-Lebesgue \a la  fonction 
$\frac {f(y)}{\hbox{sin}\frac y 2}$.  On conclut que l'int\'{e}grale de
(\ref{formeFourierRiemann}) d\e finissant $s_Nf(0)$ tend vers 0 quand $N$ tend vers
l'infini.
\enddemo

\begin{cor} \index{Base de Fourier} Le syst\ee me   
$$\frac {1}{(2\pi)^\frac {1}{2}}(e^{ikt})_{k\in \cal Z}$$
est une base hilbertienne de $L^2(-\pi, \pi)$. Notant 
$c_n(f) = \frac {1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{-inx}f(x)dx,$ on a donc pour toute
$f$ dans
$L^2([-\pi, \pi])$,
$$ f(x) =  \sum_{n\in \relative} c_n(f)e^{inx},$$
la s\e rie pr\e c\e dente convergeant au sens $L^2$.  
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
On appelle polyn\oo me trigonom\e trique toute expression de la forme
$P(t)=\sum_{k=-N}^N a_k e^{ikt},$ o\u les $a_k$ sont des nombres complexes.
Pour montrer que le syst\ee me de Fourier est une base hilbertienne, il nous
suffit de montrer que c'est un syst\ee me total, \ccaadd que les polyn\oo mes
trigonom\e triques forment un sous-espace vectoriel dense de $L^2(-\pi, \pi)$. Mais
le  lemme \ref{lemmedelocalisation}
( Principe de localisation) nous assure que si $f$ est (e.g.) $C^2$ et $2\pi$-p\e
riodique sur $\real$, alors $s_N(f)(x)\to f(x)$ en tout point.  Comme de plus les
coefficients de la s\e rie de Fourier de $f$ v\e rifient $|c_k(f)|\leq \frac
C{k^2}$, la s\e rie de Fourier est en fait uniform\e ment convergente et donc
converge  aussi dans $L^2([-\pi, \pi])$ vers $f$.  Or, les fonctions $C^2$ et
2$\pi$-p\e riodiques forment un sous-espace dense de $L^2([-\pi, \pi])$.
En effet, par le corollaire \ref{densiteCinfiniL1deomega}, les fonctions $C^\infty$
\a support compact dans $[-\pi,\pi]$ sont denses dans $L^2(-\pi,\pi)$. On conclut
que le syst\ee me de Fourier est total, et donc une base hilbertienne.
\enddemo

\begin{cor} \index{Principe de localisation (pour une fonction H\ooo lderienne)}
si $f\in L^1([-\pi, \pi])$ est H\"{o}ld\'{e}rienne d'exposant
 $0<\alpha\leq 1$ en $x$ (\ccaadd $\vert f(x)-f(y)\vert \leq C\vert x-y
\vert^\alpha $ ), alors $s_Nf(x)\to f(x)$. Cette conclusion s'applique si $f$ est
une primitive sur $[-\pi, \pi]$ d'une fonction de
$L^2(-\pi, \pi)$.
\end{cor} 
\paragraph{D\e monstration}
 L'application du principe de localisation est imm\'{e}diate :\newline $|\frac
{f(y)-f(x)}{y-x} |\leq |x-y|^{\alpha -1}$ qui
 est bien int\'{e}grable au voisinage de $x$.
 Soit maintenant $f$ une fonction qui est la primitive sur $[-\pi, \pi]$ d'une
fonction de
$L^2(-\pi, \pi)$. 
En appliquant l'in\'{e}galit\'{e} de Cauchy-Schwartz, 
  $$|f(x)-f(y)| = |\int_y^x f'(t)dt|
 \leq |y-x|^{\frac 1 2}(\int_{-\pi}^{\pi} |f'(t)|^2dt)^{\frac 1 2}.$$
 La fonction $f$ est donc H\"{o}lderienne d'exposant $\frac 1 2$ et le principe de
 localisation s'applique.
\enddemo

\begin{rem} {\bf (importante)} Le principe de localisation, quand il s'applique,
nous assure que les sommes {\rm sym\e triques}, $s_nf(x)=  \sum_{\vert k\vert
\leq n} c_k(f)e^{ikx}$ de la s\e rie de Fourier convergent vers $f(x)$.  Le fait
que le syst\ee me de Fourier soit une base hilbertienne nous en dit plus, et
moins.  En effet, si $f\in L^2([-\pi, \pi])$, on peut assurer que les sommes {\it
asym\e triques}, 
$s_{m,n}f(x)=  \sum_{-m\leq k\leq n}
c_k(f)e^{ikx}$ convergent dans $L^2$ vers $f$ quand $n,m\to +\infty$.  
Mais, attention : cette convergence n'est pas ponctuelle. 
\end{rem}

\section{ Convolution des fonctions p\e riodiques et s\e ries de Fourier}
La d\e composition en s\e rie de Fourier d'une fonction $f\in L^2([-\pi, \pi])$
implique qu'on la consid\ee re comme une fonction $2\pi-$p\e riodique, puisque la
s\e rie de Fourier l'est. 
\begin{Def}\index{Convolution p\e riodique} {\bf et proposition}
 Si  $f\in L^1([-\pi, \pi])$ et $g\in L^1([-\pi, \pi])$, on prolonge $f$
et $g$ en des fonctions $2\pi $-p\e riodiques sur $\real$ et on pose
$f \ast g(x)=\int_{-\pi}^\pi f(y)g(x-y)dy$. La fonction $f \ast g$ ainsi d\e finie
appartient
\a 
$L^1(-\pi,\pi)$ et est
$2\pi$-p\e riodique.  
\end{Def}
\dexer  En reprenant l'argument du th\e or\ee me \ref{universalitedelaconvolution},
montrer que si $T: L^2_{periodique}([-\pi, \pi])\to C^0_{periodique}([-\pi,\pi])$ est lin\e
aire, continu  et commute avec les translations,
alors il existe une fonction
$g\in L^2([-\pi,
\pi])$ telle que 
 $Tf=g\ast f$, o\u "$\ast$" d\e signe la convolution p\e riodique.`
\fexer

\begin{thf} 
Si $f, g \in L^2(-\pi, \pi)$, alors $f\ast g$ est continue  et
$c_n(f\ast g) = 2\pi c_n(f)c_n(g)$.
De plus, la s\'{e}rie de Fourier de $f\ast g$ converge uniform\e ment vers $f\ast
g$.
\end{thf}
Remarquons que la relation pr\e c\e dente montre l'effet r\e gularisant de la convolution
: les hautes fr\e quences de $f\ast g$ sont plus faibles que celles de $f$, puisque 
$c_n(g)$ tend vers z\e ro.
\paragraph{D\e monstration}


\noindent i) On a par l'in\e galit\ea de Cauchy Schwartz 
$$|(f\ast g)(t)|\leq
\int|f(t-s)||g(s)|ds\leq ||f||_{L^2}||g||_{L^2}.$$  
\newline Donc $f\ast g\in L^2(-\pi, \pi)$ et on a, en
appliquant plusieurs fois le th\e or\ee me de Fubini (les int\e grales se  font
sur $[-\pi, \pi]$ ou, indiff\e remment, sur n'importe quel intervalle de longueur
$2\pi$) :
$$c_n(f\ast g)=\frac 1{2\pi}\int\int f(t-s)g(s)e^{-int}dsdt = 
\frac 1 {2\pi}\int\int f(t-s)e^{-in(t-s)}g(s)e^{-ins}dsdt$$ 
$$= \frac 1 {2\pi}(\int g(s)e^{-ins}ds
)(\int f(u)e^{-inu}du)=c_n(f)c_n(g).$$
\newline
 Le terme g\e n\e ral de la s\e rie de Fourier de $f\ast g$ v\e rifie
$$|c_n(f\ast g)e^{inx}|=|c_n(f)||c_n(g)|\leq |c_n(f)|^2+|c_n(f)|^2.$$
 Cette
derni\ee re s\e rie est convergente.  La s\e rie de Fourier de $f\ast g$ est donc
uniform\e ment convergente.  Sa limite est donc continue.  Remarquer que si
$f_n\to f$ dans $L^2$ et si $f_n\to g$ presque partout, alors $f=g$ : c'est une
cons\e quence de la r\e ciproque du th\e or\ee me de Lebesgue.
\enddemo


\begin{cor} \index{Base de Fourier en sinus et cosinus}Autres bases de Fourier.
Les fonctions
$$\frac{1}{\sqrt T},    \sqrt \frac{2}{T} \cos(\frac {2k\pi t}{T}),
  \sqrt \frac{2}{T} \sin(\frac {2k\pi t}{T}),   k=1, 2, ... $$
forment une base hilbertienne de $L^2(0,T)$.  
\newline
ii) Il en est de m\eee me pour  les fonctions \index{Base en cosinus}
$$\frac{1}{\sqrt T},    \sqrt \frac{2}{T} \cos(\frac {k\pi t}{T}),   k=1,
2, ...  $$
  La transform\e e associ\e e \a la base en cosinus s'appelle la "transform\e e en
cosinus."
\newline La "base en sinus",\index{Base en sinus} $\sqrt
\frac{2}{T}
\sin(\frac {k\pi t}{T}),   k=1, 2, ...  $.  
\end{cor}

\paragraph{D\e monstration}
i) Cette premi\ee re base r\e sulte de l'application \a la base de Fourier de la
remarque g\e n\e rale suivante.  Si $(e_k)_{k\in \relative }$ est une base
hilbertienne, alors le syst\ee me $f_0=e_0$,..., $f_{2k}=\frac{e_k+e_{-k}}{\sqrt
2}$,
$f_{2k+1}=\frac{e_k-e_{-k}}{\sqrt 2}$, ... aussi. 
\newline
ii) Si $f\in L^2(0,T)$, on lui associe la fonction paire $\tilde f$ sur $[-T, T]$
qui co\"{\i}ncide avec $f$ sur $[0,T]$.  On d\e compose $\tilde f$ sur la base de
Fourier de
$[-T,T]$.   La base de Fourier sur $[-T, T]$ est form\e e des fonctions $\frac 1{\sqrt
{2T}}e^{i\pi kt\over T}$. Donc on a 
\newline
$\tilde f(x) =_{\small L^2} \sum_{n\in \relative}\frac 1 {2T}(\int_{-T}^{T}\tilde
f(t)e^{-i\pi kt\over T}dt )e^{i\pi kx\over T}.$  
Comme $\tilde f$ est paire, on voit en faisant le changement de variables $t\to -t$ dans les
int\e grales que les coefficients de $e^{i\pi kt \over T}$ et $e^{-i\pi kt \over T}$ sont \e
gaux.  On remarque aussi que $\int_{-T}^T\tilde f(t)e^{i\pi k t\over T}dt =2
\int_0^T f(t)\cos(\frac{\pi kt}T)dt$.  Aussi,
\newline
$\tilde f(x) =_{\small L^2}\frac 1 {2T}\int_{-T}^T\tilde f(t)dt + \sum_{n\in
\natural^*}\frac 1 {2T}(\int_{-T}^{T}\tilde f(t)e^{-i\pi kt\over T}) (e^{i\pi
kx\over T}+e^{i\pi kx \over T}),$ et donc
\newline
$ f(x) =_{\small L^2}\frac 1 {T}\int_{0}^T f(t)dt + \sum_{n\in
\natural}\frac 2 {T}(\int_{0}^{T} f(t)\cos(\frac{\pi kt}T)) \cos(\frac{\pi
kx}T).$
 Comme les fonctions \linebreak $\frac 1 {\sqrt T},\;\sqrt{\frac 2 T}
\cos(\frac{\pi kx}T)$ forment un syst\ee me orthonorm\ea de
$L^2(0,T)$, l'\e galit\ea  pr\e c\e dente exprime qu'elles forment en fait une base
hilbertienne.
\newline\newline
(iii)   Si on prolonge la fonction $f$ en une fonction
impaire sur $[-T, T]$ et que l'on reprend le raisonnement pr\e c\e dent,  on trouve
la base en sinus. Cette base a la propri\e t\e , utile
pour mod\e liser les cordes vibrantes, que ses \e l\e ments valent 0
aux extr\e mit\e s de l'intervalle.

\enddemo


\chapter{S\e ries de Fourier et distributions p\e riodiques}
Dans toute la suite, $I$ d\e signe un intervalle ouvert de $\real$, born\ea ou
pas.
 On note $C_0^\infty(I)$ l'ensemble des fonctions r\e elles $C^\infty$ \a
support compact dans $I$.  On appelle distribution dans $I$ toute forme
lin\e aire $u$ sur $C_0^\infty(I)$ ayant la propri\e t\ea de continuit\ea suivante
: Pour tout intervalle compact $J\subset \real$ il existe un entier $p$ et
une constante $C$ tels que pour toute fonction  
$\varphi\in C_0^\infty(J)$ \a support inclus dans $J$, 
$$|<u,\varphi>|\leq C\max_{i\leq p}\max_{x\in J}|\varphi^{(i)}(x)|.$$
Cette relation exprime que la forme lin\e aire $u$ n'agit que sur $\varphi$ et ses d\e riv\e
es d'ordre inf\e rieur ou \e gal \a $p$. Si $u\in L^1_{loc}(I)$ est une fonction int\e
grable sur tout born\ea de
$I$, on voit imm\e diatement que l'on peut l'identifier \a une distribution
$\tilde u$ dans $I$ en posant, pour $\varphi$ dans $C_0^\infty(I)$,
$$<\tilde u,
\varphi>=\int_{I}u(x)\varphi(x)dx.$$
\dexer \index{Distributions associ\e es \a des fonctions $L^1_{loc}$}
 Montrer que si deux distributions $\tilde u$ et $\tilde v$ dans $I$ sont associ\e
es \a des fonctions $u$ et $v$ appartenant \a $L^1_{loc}(I)$ et si elles sont deux
distributions
\e gales, alors
$u=v$.
\fexer
\dexer \index{Masse de Dirac} \index{Peigne de Dirac}Montrer que $<\delta_x,
\varphi>=\varphi(x)$ est une distribution dans $\real$, appel\e e masse de Dirac en
$x$.  Montrer qu'il en est de m\eee me pour le ``peigne de Dirac" $u=\sum_n
\delta_{2k\pi}$ et pour
$<\delta_x^{(k)},\varphi>=(-1)^k\varphi^{(k)}(x)$.
\fexer

\noindent On admettra le th\e or\ee me suivant, qui est une cons\e quence du th\e
or\ee me de Banach-Steinhaus :
\begin{thf} \index{Convergence des distributions}
 si $u_n$ est une suite de distributions dans $I$ telle que $\forall 
\varphi \in C_0^\infty$, $<u_n, \varphi>$ converge vers une valeur que l'on note
$<u,\varphi>$, alors $u$ est aussi une distribution dans $I$.
\end{thf}
\dexer Montrer que si $u_n \in L^1_{loc}$ converge vers $u$ dans $L^1_{loc}$, alors
aussi $u_n\to u$ au sens des distributions.
\fexer

\begin{Def} {\bf et proposition} \index{D\e riv\e e d'une distribution} Si $u$ est
une distribution dans $I$, alors on appelle d\e riv\e e $k$-i\ee me de $u$ la
distribution dans $I$ d\e finie par
$<u^{(k)},\varphi>=(-1)^k<u, \varphi^{(k)}>$. Si $u$ est $C^k$ dans $I$,  alors  sa
d\e riv\e e classique, not\e e $\{u\}^{(k)}$ co\iii ncide avec sa d\e riv\e e au
sens des distributions, $u^{(k)}$.
\end{Def}
\paragraph{D\e monstration}
Si $u$ est $C^k$ dans $I$, on a $<\{u\}^{(k)},\varphi>=\int_I
\{u\}^{(k)}(x)\varphi(x)$ et en int\e grant par parties $k$ fois, on obtient
$$<\{u\}^{(k)},\varphi>=(-1)^k\int_I u(x)\varphi^{(k)}(x)dx=<u^{(k)}, \varphi>.$$ 
\enddemo
\begin{thf} {\bf (formule des sauts)}\label{formuledessauts} \index{Formule
des sauts}Soit
$f$  une fonction
$C^1$ par morceaux sur
$I$ et
$(a_n)_{n\in \relative}$ la suite discr\ee te de ses sauts.  On d\e signe par
$\{f\}'$ la d\e riv\e e ponctuelle de $f$ et par $f(a_n^\pm)$ les limites \a
gauche et \a droite de $f$ en $a_n$. Alors la d\e riv\e e distributionnelle $f'$
de
$f$ est donn\e e  par
$$f'= \{f\}'+\sum_n (f(a_n^+)-f(a_n^-))\delta_{a_n}.$$
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
Prendre $\varphi$ dans $C_0^\infty$ et int\e grer par parties 
$<f', \varphi>=-\int f\varphi'.$
\enddemo
Que se passe-t-il quand la d\e riv\e e au sens des distributions d'une fonction
est nulle~? 
\begin{lem}\index{Constance d'une fonction \a d\e riv\e e distributionnelle
nulle}
\label{deriveenulleimpliquenulle} Soit $f\in L^1(I)$ telle que $f'=0$,
\ccaadd
\fb& \label{orthogonaleauxderivees}\forall \varphi\in C_0^\infty(I),
\int_If(x)\varphi'(x)dx=0.
\fe&
Alors il existe une constante $C$ telle que $f=C$ presque partout.
\end{lem}
\paragraph{D\e monstration}  Comme $C_0^\infty(I)$ est dense dans $C_c^1(I)$
(Corollaire \ref{densiteC0infiniCc}), la relation (\ref{orthogonaleauxderivees})
est encore vraie si
$\varphi\in C_c^1(I)$. Fixons $\psi\in C_c(I)$ telle que $\int_I\psi(x)dx=1$. 
Alors pour toute fonction
$w\in C_c(I)$, il existe  une ``pseudo-primitive''  de $w$, $\varphi\in C_c^1(I)$,
satisfaisant 
$$\varphi'(x)=w(x)-(\int_Iw)\psi(x).$$
Il suffit de choisir pour $\varphi$  la primitive \a support compact de 
$w-(\int_Iw)\psi$, qui est d'int\e grale nulle.  Donc
$$\forall w\in C_c(I),\;\int_I f(x)(w(x)-(\int_Iw)\psi)=0 \hbox{ et par Fubini }$$
$$\forall w\in C_c(I), \; \int_I(f(x)-\int_If\psi)w(x)dx=0,$$
ce qui implique par le lemme \ref{orthogonalaCcimpliquenul} que $f(x)=\int_If\psi$
est constante.
\enddemo


\begin{pro} \index{D\e rivation d'une s\e rie de Fourier}Soit 
$f$ une fonction d\e finie sur $\real$, $2\pi$-p\e riodique et telle que $f\in
L^2(0,2\pi)$.  On a le droit de d\'{e}river  la s\'{e}rie de Fourier de
$f$ autant de fois que l'on veut et on
 a donc
\fb&
\label{deriveeseriedefourier}f^{(p)} = \sum_{-\infty}^{+\infty}
(ik)^pc_k(f)e^{ikt},
\fe&
  cette \e galit\ea \e tant  valide comme \e galit\ea de
deux distributions dans $\real$. 
\end{pro}
\drem L'\e galit\ea est aussi valide comme \e galit\ea de deux distributions dans
$]0,\pi[$ ou en fait dans tout intervalle ouvert de $\real$. 
\frem
\paragraph{D\e monstration}
\skipaline  On remarque d'abord que si $I$ est un ouvert et $u$ une fonction  dans
$L^2(I)$, dans
$L^1$, ou dans $L^p_{loc}$, alors elle est une distribution dans $I$, car toute fonction
de $L^1_{loc}(I)$ est une distribution dans $I$.  De plus, si une suite de fonctions $u_n$
converge dans l'un des ces espaces, elle converge aussi
 au sens des distributions dans $I$. Si
$f\in L^2(0,2\pi)$ et est $2\pi$-p\e riodique,
elle est  une distribution qui est la somme (au sens $L^2_{loc}$ et donc au sens des
distributions dans $\real$) de la s\e rie $\sum_kc_k(f)e^{ikt}.$  Soient
$s_{n,m}(f)=\sum_{-m}^nc_k(f)e^{ikt}$ les sommes partielles de la s\e rie de
Fourier. Comme $s_{n,m}(f)$ tend vers
$f$ au sens des distributions quand $n$ et $m$ tendent vers l'infini, 
$s_{n,m}(f)^{(p)}$ tend vers
$ f^{(p)}$ au sens des distributions. 
D\e rivant  terme \a terme $s_{n,m}(f)$, on obtient
$$f^{(p)}=\sum_k (ik)^{p}c_k(f)e^{ikt},$$
la convergence de la s\e rie se faisant au sens des distributions dans $\real$.
\enddemo
\dexer Montrer que si $u$ est une distribution et $f\in C^\infty(\real)$, alors
$fu$ d\e finie par 
$$<fu, \varphi> = <u, f\varphi>$$ 
est bien une distribution
\fexer

\dexer \index{D\e riv\e e de la masse de Dirac}D\e riv\e e de la masse de Dirac
\newline D\'{e}montrer que $x\delta_0'=-\delta_0$.
\fexer
\paragraph{Solution}  On calcule 
$$<x\delta_0', \varphi>=<\delta_0',
x\varphi>= -<\delta_0, (x\varphi)'>=-<\delta_0, \varphi +  x\varphi'>=$$
$$-\varphi(0) = <-\delta_0, \varphi>.$$
\enddemo


\begin{pro}\index{Peigne de Dirac}\index{Formule de Poisson}
(Peigne de Dirac et formule sommatoire de Poisson)
On pose $$<\tilde{\delta}, \varphi> = 
\sum_{n\in {\cal Z}} \varphi(2n\pi).$$  On l'appelle la 
"$2\pi$-p\'{e}riodis\'{e}e" de la masse de Dirac, ou "peigne de Dirac".  
Alors $2\pi\tilde{\delta}-1=s'$ est la d\'{e}riv\'{e}e de la
fonction "en dents de scie", $2\pi$-p\'{e}riodique, d\'{e}finie sur
$\lbrack 0, 2\pi \lbrack$ par $s(x)=\pi-x$ et on a 
$$\tilde{\delta} = \frac{1}{2\pi}\sum_n e^{inx},$$
ce qui se traduit pour $\varphi \in C_0^\infty$ par la formule sommatoire de
Poisson,
$$\sum_{k=-\infty}^{k=+\infty}\varphi(2k\pi)= \frac{1}{2\pi}\sum_
{p=-\infty}^{p=+\infty} \hat{\varphi}(p).$$
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
Par int\e gration par parties, $c_n(s) = \frac
1 {2\pi}\int_0^{2\pi}(\pi-x)e^{inx}dx = \frac 1 {in}.$  Donc le d\e veloppement
en s\e rie de Fourier de $s$ est
$$s = \sum_{n\in \relative\setminus\{0\}} \frac 1 {in}e^{inx},$$
la convergence se faisant au sens $L^2_{loc}$, donc aussi au sens $L^1_{loc}$
et donc aussi au sens des distributions.  On d\e rive terme \a terme cette
derni\ee re formule (au sens des distributions) et on obtient donc 
$$s'= \sum_{n\in \relative\setminus\{0\}}e^{inx}.$$
La formule des sauts (th\e or\ee me \ref{formuledessauts}) nous donne
$s'=-1+\sum_{n\in\relative}2\pi\delta_{2\pi n}$, les sauts de $s$ aux points
$2\pi n$ \e tant de $+2\pi$ et $s$ \e tant
$C^1$ aux autres points et de d\e riv\e e ponctuelle \e gale \a  -1.  On obtient
donc
$$\sum_{n\in\relative}2\pi\delta_{2\pi n}=1+\sum_{n\neq 0}e^{inx}=\sum_{n\in
\relative} e^{inx},$$
soit la formule annonc\e e,
$$\sum_{n\in\relative}\delta_{2\pi n}=\frac 1{2\pi}\sum_{n\in
\relative} e^{inx}.$$
La formule de Poisson s'obtient en appliquant cette derni\ee re formule \a une
fonction $\varphi \in C_0^\infty$ arbitraire.
\enddemo

\section{Distributions p\e riodiques et leurs s\e ries de Fourier}
\begin{Def}\index{Translat\e e d'une fonction et d'une distribution}
Si $T\in \real$, on note $\tau_T u$ et on appelle "translat\e e de $u$ de $T$" la
fonction $\tau_Tu(x)= u(x-T)$.  Si $u$ est une distribution, on pose
$$<\tau_T u, \varphi>=<u, \tau_{-T}\varphi>.$$
On voit ais\e ment que ces deux d\e finitions sont compatibles quand $u$ est
une fonction de $L^1_{loc}$.
\end{Def}
\begin{Def}\index{Distribution p\e riodique}
On se donne un nombre $T>0$,  la "p\'{e}riode", et lui associe la
"fr\'{e}quence" $\omega = \frac {2\pi}{T}$.  On dit  qu'une distribution $u$ est
$T$-p\'{e}riodique si sa translat\'{e}e $\tau_T u$ est  \'{e}gale \`{a} $u$.
 \end{Def}
\begin{pro}\index{Croissance lente (suite \a )}
Soit $(\gamma_k)_{k\in Z}$ une suite \`{a} croissance lente, c'est-\`{a}-dire
v\'{e}rifiant une in\e galit\ea du type
$$\forall k \in Z,\; |\gamma_k|\leq C(1+|k|)^N.$$
Alors la s\'erie  $\sum_{-\infty}^{+\infty} \gamma_k e^{ik\omega t}$
converge au sens des  distributions et d\'{e}finit une distribution
$T$-p\'{e}riodique. \end{pro}

\paragraph{D\e monstration} On pose  $$u(t)=\sum_{k\neq 0}\frac 1{(ik\omega)^{N+2}}
\gamma_k e^{ik\omega t}.$$
Il s'agit d'une s\e rie uniform\e ment convergente, son terme g\e n\e ral \e
tant major\ea par $\frac C{(1+|k|)^2}$. L'\e galit\ea pr\e c\e dente est donc
valide au sens des distributions. En la d\e rivant $n+2$ fois au sens des
distributions, on obtient une nouvelle distribution et l'\e galit\ea 
$$\sum_{-\infty}^{+\infty} \gamma_k e^{ik\omega t}=u^{(n+2)}.$$
  Comme $u(t)$ est une fonction $2\pi$-p\e riodique,
il est imm\e diat que $u^{(n+2)}$ est une distribution $2\pi$-p\e riodique.
\enddemo
\begin{pro}\label{decroissancerapidedescoefficients} \index{D\e croissance
rapide (de coefficients de Fourier)} Si
$f$ est
$T$-p\'{e}riodique  et de classe
$C^\infty$, la suite des $c_k(f)=\frac 1{T}\int_0^T f(t)e^{ik\omega t}$ est \`{a}
d\'{e}croissance  rapide, c'est-\`{a}-dire que l'on a
$|c_k(f)|\leq C_N(1+|k|)^{-N}$ pour tout  $N$ et  la diff\'{e}rence
$$f-\sum_L^{L'}c_k(f)e^{ik\omega t}$$  tend vers 0 uniform\'{e}ment ainsi que
chacune de ses d\'{e}riv\'{e}es lorsque $L$ et $L'$ tendent vers $+\infty$.
\end{pro}


\paragraph{D\e monstration}  On obtient l'estimation $|c_k(f)|\leq
C_N(1+|k|)^{-N}$ en int\e grant par parties $N$ fois $ c_k(f)
=\frac 1 T\int_0^{T}f(t)e^{-ik\omega t}dt$.  Gr\aa ce
\a cette estimation, la s\e rie $\sum_k c_k(f)e^{ik\omega t}$ et toutes ses
d\e riv\e es terme \a terme sont uniform\e ment convergentes.  On peut donc
intervertir sommation et d\e rivation.
\enddemo

\begin{thf}\label{unicitedescoefficientsdefourier}\index{Unicit\ea des
coefficients de Fourier d'une distribution} (Unicit\ea des coefficients de
Fourier) Si
$\gamma_k$ est une suite
\a croissance lente telle que l'on ait
$u=\sum_k \gamma_k e^{ik\omega t}=0$  au sens des distributions, alors $\forall
k,
\gamma_k=0$.
\end {thf}
\paragraph{D\e monstration}
Pour tout $\varphi\in C_0^\infty$, 
$$<\sum_k \gamma_ke^{ik\omega t}, \varphi>=\sum_k \gamma_k<e^{ik\omega t},
\varphi>= \sum_k \gamma_k\int_{\real} \varphi(t)e^{ik\omega t}.$$
Le th\e or\ee me r\e sulte alors imm\e diatement du lemme qui suit. 

\enddemo
\begin{lem} \index{Fonctions tests pour Fourier}\label{fonctiontestfourier}
$\forall k_0\in\relative,\;
\exists
\varphi\in C_0^\infty,\;
\int
\varphi(t)e^{ik\omega t}dt=\delta_{k,k_0}.$ 
\end{lem}

\begin{lem} \index{Partition p\e riodique de l'unit\ea }
Il existe $\chi\in C_0^\infty(\real)$ telle que 
\fb& \label{partitiondeluniteperiodique}
\sum_{l\in Z}\chi(t+lT)= 1.
\fe&
\end{lem}
\paragraph{D\e monstration} Il suffit de prendre    $\phi \in C_0^\infty$ positive
partout et strictement positive sur $[0,T]$, puis de poser
$\chi(t) =
\frac {\phi(t)}{\sum_{l\in \relative}\varphi(t+lT)}.$
\enddemo
\paragraph{D\e monstration du Lemme \ref{fonctiontestfourier}.}
On pose simplement $\varphi(t)=\chi(t)e^{-ik_0\omega t}$, o\u $\chi(t)$ d\e
finit une partition de l'unit\ea (Lemme\ref{partitiondeluniteperiodique}).  Alors
$$
\int \varphi(t)e^{ik\omega t}dt= \int \chi(t)e^{i(k-k_0)\omega t}dt=
$$
$$\sum_{l\in
\relative}
\int_{lT}^{(l+1)T}\chi(t)e^{i(k-k_0)\omega t}dt=\sum_l\int_0^T
\chi(t+lT)e^{i(k-k_0)\omega t}dt =$$
$$\int_0^T \sum_{l\in \relative}
\chi(t+lT)e^{i(k-k_0)\omega t}dt=\int_0^T e^{i(k-k_0)\omega
t}dt=\delta_{k,k_0}.$$
\enddemo

\section{Espaces de Sobolev p\e riodiques $H^m_{per}(0, 2\pi)$}


\begin{Def}\index{Espace de Sobolev p\e riodique} On appelle espace de Sobolev p\e riodique 
d'ordre
$m\geq 1$ et on note $H^m_{per}(0, 2\pi)$ l'ensemble des fonctions $2\pi$ p\e
riodiques sur $\real$, appartenant \a
$L^2(0,
2\pi)$ et telles que leurs d\e riv\e es au sens des distributions d'ordre $1,
...,m$ appartiennent
\a $L^2(I)$. On le munit de la norme 
$$||u||_{H^{m}_{per}}= (\sum_{n\leq m} ||u^{(n)}||_{L^2})^\frac 12$$
associ\e e au produit hermitien
$$(u,v)_{H^m_{per}}=\sum_{n\leq m} \int_{[0,2\pi]}
u^{(n)}(x)\overline{v^{(n)}(x)}dx.$$
\end{Def}


Les espaces $H^m_{per}(0,2\pi)$ sont particuli\ee rement faciles \a \e tudier gr\aa
ce au fait qu'ils sont caract\e ris\e s par le comportement de leur s\e rie de
Fourier.  Dans toute la suite de ce chapitre, on note $I=]0,2\pi[$.

\begin{pro} \index{Coefficients de Fourier d'une d\e riv\e e}
Si $u\in H^m_{per}$, alors pour tout $n\leq m$, les coefficients de $u^{(n)}$ v\e
rifient $$c_k(u^{(n)})=(ik)^nc_k(u).$$
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
En effet, on a vu que si $u\in L^2(I)$, alors 
on peut \e crire
$$u=\sum_k c_k(u)e^{ikt}, \; c_k(f)=\frac 1{2\pi}\int_{[0,2\pi]}u(t)dt,$$
cette \e galit\ea s'\e tendant \a $\real$ \a condition de p\e riodiser $u$.
En cons\e quence, 
$$u^{(n)}=\sum_k c_k(u)(ik)^ne^{ikt},$$
la convergence se faisant au sens des distributions dans $\real$.  Comme on a
suppos\ea que
$u^{(n)}$ est dans $L^2(I)$, $u^{(n)}$ admet un d\e veloppement en s\e rie de
Fourier dont les coefficients $(c_k(u^{(n)}))_k$ appartiennent \a $L^2(\relative)$.
Par unicit\ea du d\e veloppement de Fourier (th\e or\ee me
\ref{unicitedescoefficientsdefourier}), on a
$$c_k(u)(ik)^n=c_k(u^{(n)}).$$
\enddemo
\begin{pro}
 \index{R\e gularit\ea des fonctions de $H^m_{per}$}Les fonctions de
$H^m_{per}$ appartiennent
\a
$C^{m-1}$. En particulier, les fonctions de $H^1_{per}(I)$ sont continues.
\end{pro}

\paragraph{D\e monstration}
Prenons $n=1$.  Alors $c_k(u)= \frac 1{ik}c_k(u')$ est le produit de deux s\e
ries appartenant \a  $l^2(\relative)$.  Donc $c_k(u)\in l^1$ et donc la s\e rie 
$\sum_k c_ke^{ikt}$ converge uniform\e ment sur $\real$. La limite est donc
continue et donc
$u$ est continue (ou, pour \eee tre exact, $u$ est \e gale presque
partout \a une fonction continue et est donc continue).  On conclut la d\e
monstration en remarquant que
$u$ est dans
$H^m_{per}$ si et seulement si $u^{(m-1)}$ est dans $H^1_{per}$.
\enddemo

\begin{pro} \index{Espaces de Hilbert $H^m_{per}$}Les espaces $H^m_{per}(0,2\pi)$
sont des espaces de Hilbert et leur norme peut s'\e crire 
$$||u||^2_{H^m_{per}}=\sum_{n\leq m}
||u^{(n)}||^2_{L^2}=\sum_k|c_k(u)|^2(1+|k|^2+...+|k|^{2m}).$$
Une norme hilbertienne \e quivalente est
$|u|_{H^m_{per}}^2=\sum_k|c_k(u)|^2(1+|k|^{2m}).$
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
L'application $u\in H^m_{per}\to (c_k(u)(1+|k|^2+...+|k|^{2m})^\frac 12$ est une isom\e
trie de
$H^m_{per}(0,2\pi)$ sur $l^2(\relative)$ qui est un espace de Hilbert. $H^m_{per}$
est donc aussi un espace de Hilbert. L'\e quivalence des normes est imm\e diate.
\enddemo
\begin{thf} (premi\ee re application) \index{Elastique charg\ea }
On consid\ee re le probl\ee me de l'\e lastique charg\e ,
\fb& \label{equationbarreelastique}
-u''+u = f, \; u(0)=v(2\pi)=0,
\fe&
o\u $f\in L^2([0, 2\pi]).$  Alors il existe une unique  $u\in L^2([0,2\pi])$ 
solution (au sens des distributions !) de (\ref{equationbarreelastique}).  Cette
solution appartient en fait
\a $H^2_{per}([0,2\pi])$
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}  Pour avoir de mani\ee re naturelle les conditions
aux limites $u(0)=u(2\pi)=0$, il est convenable d'utiliser la  base en sinus
$(\sin(\frac{kt}2)), \; k\in \natural^*$. On d\e veloppe
$u$ et
$f$ dans cette base de Fourier et on identifie les coefficients de Fourier \a
droite et \a gauche de l'\e quation, comme on le peut en vertu de l'unicit\ea des
coefficients de Fourier d'une distribution.  (Cette unicit\ea entra\ii ne imm\e
diatement l'unicit\ea des coefficients sur la base en sinus, puisque les
coefficients en sinus de $u$ ne sont autres que les coefficients de Fourier
classiques sur
$[-2\pi, 2\pi]$ de $u$ prolong\e e en une fonction impaire).  On pose donc
$c_k(u)=\frac 1\pi \int_0^{2\pi}u(t)\sin\frac{kt}2 dt$ et on a $u=\sum_{k\in
\natural^*}c_k(u)\sin\frac{kt}2.$  L'\e quation (\ref{equationbarreelastique})
est alors
\e quivalente
\a
$$\forall k\in\natural^*,\; (k^2+1)c_k(u)=c_k(f), \hbox{ soit }$$
$$c_k(u)=\frac {c_k(f)}{1+k^2}.$$
Donc $u = \sum_{k\in \natural^*}\frac {c_k(f)}{1+k^2}\sin{\frac k2t},$ qui
appartient bien
\a
$H^2_{per}$. Remarquer que $u$ n'est pas n\e cessairement $C^2$ et que donc l'\e
quation n'a pas de sens classique !  Par contre, comme $u\in H^2_{per}$, $u$ est
$C^1$. Comme
$u$ est impaire, on a bien $u(0)=u(2\pi)=0$.
\enddemo

\chapter{Espaces de Sobolev sur l'intervalle}
Dans toute la suite, $I=]a,b[$ repr\e sente un intervalle ouvert de $\real$,
born\ea ou non. 

\begin{Def}\index{Espace de Sobolev} On appelle espace de Sobolev  d'ordre
$m\geq 1$ et d'exposant $p\geq 1$ sur l'intervalle
$I=[0, 2\pi]$ l'ensemble des fonctions de $L^p(I)$ telles que leurs d\e riv\e es
au sens des distributions d'ordre $1, ...,m$ appartiennent \a $L^p(I)$.  On note
cet espace $W^{m,p}(I)$ et on le munit de la norme 
$$||u||_{W^{m,p}}= \sum_{n\leq m} ||u^{(n)}||_{L^p}.$$
Si $p=2$, on note  $H^m=W^{2,m}$ et on prend pour norme 
$$||u||_{H^m} = (\sum_{n\leq m} ||u^{(n)}||^2_{L^2})^\frac 1 2,$$
associ\e e au produit hermitien
$$(u,v)_{H^m}=\sum_{n\leq m} \int_I u^{(n)}(x)\overline{v^{(n)}(x)}dx.$$
\end{Def}


 Une fonction $u$ appartient donc \a
$W^{1,p}(I)$ si $u\in L^p(I)$ et sa d\e riv\e e au sens des distributions dans
$I$ est dans $L^p$.  Cela veut dire
$$\exists v(=u')\in L^p, \; \forall \varphi\in C_0^\infty(I), \; \int_I
v(x)\varphi(x)dx=-\int_I u(x)\varphi'(x)dx.
$$

\begin{thf}\label{fonctionsdeW1psontC1} \index{Continuit\ea des fonctions de
$W^{1,p}$} Si $u\in W^{1,p}(I)$, il existe $\tilde u\in C^0(I)$
(\ccaadd continue dans
$I$) telle que $u=\tilde u$ presque partout dans $I$ et 
\fb& \label{integrationdeladeriveedansW1p}
\forall x,y \in \overline{I},\;\int_x^yu'(t)dt=\tilde u(y)-\tilde u(x)
\fe&
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
Comme $C_0^\infty(I)$ est dense dans $L^1(I)$ (Corollaire
\ref{densiteC0infiniCc}), on peut  choisir une suite $v_\varepsilon\in
C_0^\infty(I)$ qui converge vers
$u'$ dans
$L^1(I)$.  On pose $u_\varepsilon(x)=\int_a^xv_\varepsilon(x)dx.$ La
suite
$u_\varepsilon$ converge uniform\e ment sur tout compact de $I$ vers une fonction
$w$ continue sur
$I$. Alors d'une part, si $\varphi\in C_0^\infty$,
$$\int_Iu_\varepsilon \varphi'=-\int v_\varepsilon \varphi \to -\int u'\varphi=
\int u\varphi'$$
$$\hbox{et d'autre part  } \int_Iu_\varepsilon\varphi'\to\int w\varphi'.$$
 $$\hbox{Donc  }\forall \varphi\in C_0^\infty(I), \; \int (w-u)\varphi'=0,$$
ce qui prouve  par le lemme \ref{deriveenulleimpliquenulle} que $w-u$ est \e gale
presque partout \a une constante $C$.  On conclut en posant $\tilde u=w-C$.
\enddemo 
\begin{pro} \label{continuiteauxbordsdeudansW1p}\index{Continuit\ea aux extr\e
mit\e s des fonctions de $W^{1,p}$} Si $p<\infty$, alors toute fonction $u\in
W^{1,p}$ se prolonge en une fonction continue sur la fermeture $\overline{I}$. Si
$a=-\infty$ ou
$b=+\infty$, on a de plus $u(x)\to 0$ quand $x\to \infty$.
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
Si $p<\infty$ et si $I$ est  born\e , on d\e duit imm\e diatement de la relation\linebreak
$|u(x)-u(y)|\leq \int_x^y|u'(t)|dt$ que $u(x)$
est une suite de Cauchy quand $x$ tend vers $a$ ou $b$ et on peut donc d\e finir
$u$ comme une fonction continue sur $[a,b]$. Si $I$ est non born\ea et $u\in
W^{1,1}(I)$, on d\e duit par la m\eee me in\e galit\ea que $u(x)$ a une limite
quand $x\to +\infty$ (par exemple). Cette limite ne peut \eee tre que z\e ro,
puisque $u$ est int\e grable.  Si
$p>1$, on \e crit, par l'in\e galit\ea de H\ooo lder,
$$|u|^p(x)-|u|^p(y)=p\int_x^y u'|u|^{p-2}u(x)dx\leq p(\int_x^y|u'|^p)^\frac 1
p(\int_x^y|u|^p)^\frac 1{p'},$$
ce qui implique encore que $u(x)\to 0$ quand $x\to \infty$.
\enddemo
\begin{Def} \index{Espace $W^{1,p}(I)$} Si $I=]a,b[$ et que $a$ ou $b$ est fini, on note
$W^{1,p}_0(I)$ le sous-espace des fonctions
$u\in$ $W^{1,p}(I)$ telles que $u(a)=u(b)=0$.  Cette d\e finition a un sens gr\aa ce \a la
proposition pr\e c\e dente : on prend pour $u(a)$ et $u(b)$ les valeurs limites du repr\e
sentant continu de $u$. Dans le cas particulier o\u $p=2$, on note $H_0^1(I)=W_0^{1,2}(I)$.
\end{Def}
\drem
Rappelons qu'en vertu de la proposition \ref{continuiteauxbordsdeudansW1p}, si $I$ est non
born\e ,
$u(x)$ tend  vers 0 quand $x\to \infty$.
\frem
\begin{thf} \label{densitedeC0infinidansW01p}
%\index{Densit\ea de $C_0^\infty$ dans $W_0^{1,p}$}
$C_0^\infty(I)$ est dense dans $W_0^{1,p}(I)$.  En particulier, $C_0^\infty(\real)$ est
dense dans $W^{1,p}(\real)$ et $C_0^\infty(0,2\pi)$ est dense dans $H_0^1(I)$.
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
{\bf Etape 1}  Regardons d'abord le cas o\u $I$ est un intervalle born\ea de $\real$.
Soit $u\in W_0^{1,p}(I)$ et $g_\varepsilon \in C_0^\infty(I)$ telle que
$g_\varepsilon \to u'$ dans $L^p(I)$.  Comme $\int_I u'(x)dx=0$, il en r\e
sulte que $\int_Ig_\varepsilon(x)dx\to 0$.  Fixons
$\varphi\in C_0^\infty(I)$ telle que
$\int \varphi(x)dx=1$.  Alors aussi
$$v_\varepsilon=g_\varepsilon -\varphi \int_I g_\varepsilon \to u'$$ et on a
maintenant $\int_I v_\varepsilon =0$. On voit imm\e diatement que sa primitive 
$u_\varepsilon(x)=\int_a^xv_\varepsilon(x)dx$ est dans $C_0^\infty(I)$ et 
par la relation (\ref{integrationdeladeriveedansW1p}) on d\e duit que $u_\varepsilon$
converge uniform\e ment (et donc dans $W^{1,p}$) vers $u_0$.
\newline
\newline {\bf Etape 2}  Supposons maintenant que $I$ est non born\ea et  traitons sans
perte de g\e n\e ralit\ea le cas $I=]0, +\infty[$. Gr\aa ce \a l'\e tape 1, il suffit que
nous montrions que toute fonction $u\in W^{1,p}(]0, +\infty[)$ est approchable par des
fonctions $u_n$ dans $W^{1,p}(]0,n[)$.  Pour cela, on consid\ee re une fonction
$\varphi\in C_0^\infty(\real)$ telle que $\varphi(0)=1$, $|\varphi(x)|\leq 1$ et \a support
dans $]-1, 1[$ et on pose simplement $u_n = u\varphi(\frac x n)$.  Par le th\e or\ee me de
Lebesgue, $u_n \to u$ dans $L^p$ ($|u|^p$ est chapeau int\e grable) et on a aussi 
$u_n'\to u'$ dans $L^p$.  En effet, 
$$u'_n= \frac 1 n \varphi'(\frac x n)u + 
u'\varphi(\frac x n).$$
Or, le premier terme tend vers 0 dans $L^p$,  $\varphi'$ \e tant born\e e, et le
second terme tend vers $u'$, \a nouveau par le th\e or\ee me de Lebesgue. On conclut que
$u_n$ tend vers $u$ dans $W^{1,p}(\real)$.
\enddemo
L'introduction de $W_0^{1,p}$ nous permet d'introduire un nouveau point de vue
sur l'\e quation de la corde \e lastique charg\e e.

\begin{thf} (Le point de vue variationnel) \index{M\e thode variationnelle
(pour l'\e lastique charg\ea )} La solution de l'\e quation 
(\ref{equationbarreelastique}) se caract\e rise comme l'unique minimum de la
fonction continue et coercive sur $H_0^1(I)$ d\e finie par 
$$E(u)=\frac 1 2\int_I ((u'(x)^2+u(x)^2)-\int_If(x)u(x)dx.$$
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration} On consid\ee re la forme bilin\e aire 
sur $H_0^1([0,2\pi])$, 
$$
a(u,v)=\int_I (u'(x)v'(x)+u(x)v(x))dx.
$$
 Comme $a(u,u)=
||u||_{H_0^1}^2$ est coercive, on peut appliquer le th\e or\ee me  de
Lax-Milgram (th\e or\ee me \ref{laxmilgram}) et il existe un unique minimum de
$\frac 12a(u,u)-(f,u)$, qui satisfait de plus
$$\forall v\in H_0^1(I), \int_I (u'(x)v'(x)+u(x)v(x))dx=\int_If(x)u(x)dx.$$
Comme $C_0^\infty(I) $ est contenu dans $H_0^1(I)$, on a aussi 
$$\forall \varphi\in C_0^\infty(I), \int_I
(u'(x)\varphi'(x)+u(x)\varphi(x))dx=\int_If(x)\varphi(x)dx$$
$$\hbox{et donc  }\forall \varphi\in C_0^\infty, \; <-u''+u, \varphi>=<f,
\varphi>,$$
 ce qui veut dire que $u$ v\e rifie l'\e quation 
$-u''+u=f$ au sens des distributions.
\enddemo
\section{Les espaces $W^{1,p}(I)$ comme espaces de Banach}
\begin{thf}\label{SobolevsontBanach} \index{Compl\e tude des espaces de Sobolev}
$W^{1,p}(I)$ est un espace de Banach pour $1\leq p\leq +\infty$.
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
Soit $u_n$ une suite de Cauchy dans $W^{1,p}$. Il existe donc $(u,g)\in
(L^p(I))^2$ tels que 
$$u_n\to u \hbox{ dans } L^p, \; u'_n\to g \hbox{ dans } L^p.$$
Comme pour tout $\varphi \in C_0^\infty(I),$ on a
$$\int_I u_n\varphi' + \int_I u'_n\varphi=0,$$
on obtient en passant \a la limite $\int_Iu\varphi'+\int_Ig\varphi=0,$ ce qui veut
dire que $u'=g$ et donc que $u\in W^{1,p}$. On conclut que $u_n\to u$ dans
$W^{1,p}$.

\enddemo
\begin{thf} (Dual de $W^{1,p}(I)$)\index{Dual de $W^{1,p}$} Si $1\leq p<\infty$,
toute forme lin\e aire
$f$ sur
$W^{1,p}(I)$ peut s'\e crire sous la forme 
\fb& \label{dualdeW1p}
f(u)= \int_I gu+\int_I hu', \hbox{ o\u } g,h\in L^{p'}.
\fe& 
R\e ciproquement on peut associer \a tout couple $g,h\in L^{p'}(I)$ une forme
lin\e aire sur $W^{1,p}(I)$ par la formule (\ref{dualdeW1p}).
\end{thf}
\paragraph{D\e monstration}
On a $f(u)\leq C(||u||_{L^p}+||u'||_{L^p})$.
On consid\ee re le plongement $u\in W^{1,p}\to I(u)=(u,u')\in (L^p)^2$.  Donc 
$\tilde f=f\circ I$ v\e rifie, sur l'image $I(W^{1,p})$, 
$$
|\tilde f(v,w)|\leq
C(||v||_{L^p}+||w||_{L^p}).
$$ 
 Par le th\e or\ee me de Hahn-Banach, on peut \e
tendre $\tilde f $ \a $(L^p)^2$ et par le th\e or\ee me de Riesz il existe donc
des fonctions $g, h\in (L^p)'=L^{p'}$ telles que $\tilde f(v,w)=\int gv+\int hw$.
Donc $f(u) = \int gu + \int hu'$. La r\e ciproque est imm\e diate.  Remarquer que 
$||f||_{(W^{1,p})'}= \max (||g||_{L^{p'}}, ||h||_{L^{p'}})$.
\enddemo

\drem La formule (\ref{dualdeW1p}) appliqu\e e avec $u\in C_0^\infty(\real)$
montre que la restriction $\tilde f$ de $f$ \a
$C_0^\infty(I)$ est une distribution sur
$I$ et que l'on a 
$\tilde f= g-h'$. On peut donc consid\e rer, en identifiant
 $f$ et $\tilde f$, les \e l\e ments de $W^{1,p}$ comme des distributions et on \e crit
donc 
$$(W^{1,p}(I))'=\{g-h',\; g,h\in L^{p'}(I)\}.$$
\frem


\begin{cor} \index{R\e flexivit\ea de $W^{1,p}$}$W^{1,p}$ est r\e flexif pour
$1<p<\infty$ et s\e parable pour
$1\leq p<\infty$.
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration}
En effet, le plongement de $W^{1,p}$ dans $(L^p)^2$ en fait un sous-espace
ferm\ea d'un espace r\e flexif si $1<p<\infty$ et s\e parable si $1\leq p<\infty$.
\enddemo
\dexer \index{Prolongement des fonctions de $W^{1,p}(I)$}\label{prolongementdeW1p}
Montrer que toute fonction de $ W^{1,p}([a,b])$ peut se prolonger en une fonction $Pu$
de
$W^{1,p}(\real)$. On sym\e trisera $u\in W^{1,p}(]a,b[)$  en posant 
par exemple $Pu(a-x)=u(a+x)$ si $0\leq x\leq b-a$, on p\e riodisera ensuite la fonction
obtenue (p\e riode $2(b-a)$) et on la multipliera finalement par une fonction de
$C_0^\infty(\real)$
\e gale \a 1 sur
$I$. On v\e rifiera que le prolongement $P: u \to Pu$ ainsi obtenu est une application
continue de
$W^{1,p}(I)$ dans
$W^{1,p}(\real)$. Dans le cas o\u $a=-\infty$ ou $b=+\infty$, il suffit bien-s\uu r de faire
une sym\e trisation par rapport \a la borne finie de l'intervalle.
\fexer
\dexer \index{Densit\ea de $C^\infty(I)$ dans $W^{1,p}(I)$ quand $I$ est born\e }. D\e duire
de l'exercice pr\e c\e dent et du th\e or\ee me
\ref{densitedeC0infinidansW01p} que si $I=]a,b[$ est  un intervalle born\e , alors  les
fonctions
$C^\infty$ sont denses dans $W^{1,p}(I)$.
\fexer

\dexer (In\e galit\ea de Poincar\ea )\index{In\e galit\ea de Poincar\ea }
Si $u\in W^{1,p}(]a,b[), $ $-\infty<a<b<+\infty$, alors 
$$||u||_{W^{1,p}}\leq (1+b-a)||u'||_{L^p}.$$
Marche \a suivre : utiliser l'in\e galit\ea de H\ooo lder et le fait que $u$ est une
primitive de $u'$.
\fexer
\dexer Produit de deux fonctions de $W^{1,p}$.  \index{Produit de deux fonctions
de $W^{1,p}$} Soient $u,v\in W^{1,p}(I)$, $1\leq p\leq\infty$. Alors $uv\in
W^{1,p}(I)$ et
$(uv)'=u'v+uv'$.  On dit que $W^{1,p}$ est une alg\ee bre de fonctions. \newline
Si $G\in C^1(\real),$ $G(0)=0$, alors $G(u)\in
W^{1,p}(I)$ et $(G(u))'=G'(u)u'$.
\newline Si $\eta\in C^1(\overline{I})$ est born\e e et de d\e riv\e e born\e e, 
alors $\eta u\in W^{1,p}(I)$ et $(\eta u)'=\eta  u'+ \eta' u$.
Indication~: commencer par remarquer (exercice \ref{prolongementdeW1p}) qu'il suffit de
montrer les \e nonc\e s pr\e c\e dents quand $I=\real$. Utiliser des arguments de densit\e
:
$C_0^\infty$ est dense dans
$W^{1,p}(\real)$. 
\fexer
\dexer \index{Plongements continus et compacts d'espaces de Sobolev}
Montrer que les inclusions suivantes sont continues et compactes :
$$W^{1,p}(I)\subset C(\overline(I)), \; 1<p\leq +\infty,$$
$$W^{1,1}(I)\subset L^q(I), \; 1\leq q<\infty.$$
Pour la premi\ee re, on appliquera le th\e or\ee me d'Ascoli, pour la seconde le
th\e or\ee me de Riesz-Fr\e chet-Kolmogorov.
\fexer

\dexer
Soit $u\in L^p(I)$, $1<p\leq +\infty$.  Alors
(i)$\Leftrightarrow$(ii)$\Leftrightarrow$(iii), o\u
\newline (i) $u\in W^{1,p}$.
\newline (ii) $\exists C>0$, $\forall \varphi\in C_c^1(I)$, $|\int_I
u\varphi'|\leq C||\varphi||_{L^{p'}(I)}$,
\newline (iii) $\exists C$, $\forall \omega\subset\subset I$, $\forall h, |h|\leq
distance(\omega, I^C)$, $||\tau_hu-u||_{L^p(\omega)}\leq C |h|.$
\fexer

\chapter{Index}
\input{test.idx}


\end{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{lem} ({\bf in\e galit\ea de Clarkson})
\fb& \label{Clarkson}
\hbox {Si } $p>2$ \hbox{ et } a, b\in \real,\;
|\frac{a+b}2|^p+|\frac{a-b}2|^p\leq
\frac 1 2(|a|^p+|b|^p).
\fe&
\end{lem}
\paragraph{D\e monstration}
On a $c^p+d^p\leq (c^2+d^2)^{\frac p 2}$ si $c, d\geq 0$.  En effet, la fonction 
$x\to (x^2+1)^\frac p 2-(x^p+1)$ est croissante sur $[0,+\infty]$ et vaut 0 en 0.
On pose $c=|\frac{a+b}2| $ et $d=|\frac{a-b}2|$, ce qui donne
$$|\frac{a+b}2|^p+|\frac{a-b}2|^p\leq (|\frac {a+b}2|^2+|\frac {a-b}2|^2)^\frac p2
=(\frac{a^2}2+\frac {b^2}2)^\frac p2\leq \frac 1 2(|a|^p+|b|^p).$$
La derni\ee re in\e galit\ea vient de la convexit\ea de $x\to |x|^\frac p2$ pour
$p\geq 2$.
\enddemo



\begin{lem}\label{caspgeq2} (Cas $p\geq 2$) La suite $f_k\in V_k$  des projections
de
$\tilde f$, sur $V_k$
 converge dans
$L^2(C)$ vers une fonction $f\in L^{p'}(C)$ telle que 
\fb& \label{dualitedansCpleq2}
\forall v\in L^p(C), \;\tilde f(v) = \int_C f(x)v(x)dx
\end{lem}
\paragraph{D\e monstration}
On d\e finit une fonction $v_k$ duale de $f_k$ par
$$v_k(i)=(\frac{f_k(i)}{||f_k||_{L^{p'}})^\frac 1 {p-1}},$$
 en sorte que $||v_k||_{L^p}=1$ et 
\fb& \label{proprietedev-k}
\int_C f_kv_k(x)dx=||f_k||_{L^{p'}}.
\fe&
 La suite $v_k$ \e tant born\e e dans $L^p$, qui est le dual de $L^{p'}$, il existe
une sous-suite convergente vers une fonction $v\in L^p$ pour la topologie faible
$\sigma(L^p,L^{p'})$. On va montrer que cette convergence est forte.
Par le th\e or\ee me de Mazur, il existe des combinaisons
convexes des $v_l, l\geq k$ qui convergent fortement vers $v$ dans $L^p$. Notons
les $w_k=\sum_{k\leq i\leq n_k} \lambda_i v_i\to v$.  On a donc 
$$
\tilde f(w_k)=\sum_{k\leq i\leq n_k}\lambda_i\tilde
f(v_i)\geq ||f_{k}||_{L^{p'}}.
$$
En effet, on sait que si $v\in V_k$, alors $\tilde f(v)=\int_C f_k(x)v(x)dx$. 
Donc comme $i\leq n_k$, $\tilde
f(v_i)=\int_Cf_{i}(x)v_i(x)dx=||f_i||_{L^{p'}}\geq ||f_k||_{L^{p'}}.$ par 
(\ref{proprietedev-k}). Comme $w_k\to v$ dans $L^p$, on a $\tilde f(w_k)\to f(v)$
et donc 
$$\forall k, \tilde f(v)\geq ||f_{n_k}||_{L^{p'}}.$$  Comme $||f_k||_{L^{p'}}\to
||\tilde f||$ (relation (\ref{normesdesfkcroissent}), on d\e duit que $\tilde
f(v)=||\tilde f||_{L^{p'}}$ et comme
$||v||_{L^p}\leq 1$, cela implique que $||v||_{L^p}=1$.  Pour r\e sumer, on a
obtenu
$$v_k\to v, \; \sigma(L^p, (L^p)') \hbox{ et  } ||v_k||_{L^p}=||v||_{L^p}=1.$$

\enddemo






\paragraph{D\e monstration du th\e or\ee me \ref{reflexivitedeLp}}
Soit $f\in (L^p)'$ et $f_k\in V_k$ sa restrictions \a $V_k$.  Par le lemme
\ref{convergencefaibledesrestrictions}, on a $f_k\rightharpoonup f$ dans
$\sigma((L^{p})', L^p)$.  Reste \a montrer que $f_k$ tend effectivement vers une
fonction de $L^{p'}$.
\enddemo

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{Def} \index{Fonction dyadique}
Dans ce qui suit, on appelle {\rm fonction en escalier dyadique, ou fonction
dyadique} une fonction  constante, pour un certain $k\in \natural$, sur tous les
cubes de la forme 
$$
[\frac {p_1} {2^k},
\frac {p_1+1}{2^k}]\times [\frac {p_2} {2^k}, \frac
{p_2+1}{2^k}]\times...[\frac {p_k} {2^k}, \frac
{p_{k}+1}{2^k}],
$$ o\u $(p_1, p_2, ...,p_k)\in \relative^N.$
On appellera {\rm espaces d'approximation emboit\e s} les espaces $V_k$ des
fonctions en escalier dyadiques constantes sur des cubes de cot\ea $2^-k$ et \a
support inclus dans $[-2^k, 2^k]^N$.
\end{Def}
\begin{pro} \label{espacesemboites}
 Les espaces emboit\e s 
$V_k$ sont  de dimension finie, et v\e rifient pour tout $1\leq p<\infty$
$$V_k \subset V_{k+1}, \; \overline{\bigcup_{k\in \natural}V_k}^{L^p}=L^p.$$
En d'autres termes, l'union des $V_k$ est dense dans $L^p$ pour tout $1\leq
p<\infty$.
\end{pro}
\begin{cor}

 Pour tout $1\leq p<\infty$, $L^p$ est s\e parable.  
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration du Lemme \ref{espacesemboites}}
Les fonctions continues \a support compact sont denses dans $L^p$ 
et l'on peut approcher uniform\e ment celles-ci par des fonctions en escalier
dyadiques. La convergence uniforme sur un compact
implique la convergence dans tout
$L^p$. Donc les fonctions en escalier dyadiques \a support compact sont denses dans
$L^p$.  Par ailleurs, on peut approcher  uniform\e ment n'importe quelle fonction 
en escalier par une fonction en escalier dont les valeurs sont rationnelles.  Or,
l'ensemble des fonctions en escalier dyadiques \a support compact et \a valeurs
rationnelles est d\e nombrable.  Comme cet ensemble est contenu dans l'union des
$V_k$, on  obtient le r\e sultat de densit\ea annonc\e .
\enddemo
\begin{pro} $L^\infty(\real^N)$ n'est pas s\e parable.  
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
On pose pour $r>0$ $u_r(x) = 1$ si $||x||\leq 1$, $u_r(x)=0$ sinon. On consid\ee
re les boules $B_r = \{f\in L^\infty, ||f-u_r||<\frac 1 2\}$. Elles forment une
famille non d\e nombrable d'ouverts disjoints, ce qui est \e videmment impossible
dans un espace s\e parable.
\enddemo
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
On va proc\ee der la mani\ee
re suivante : on  se restreint d'abord \a $L^p(C)$, o\u $C=C_l=[-2^l, 2^l]^N$
est un hypercube de $\real^N$.  Ceci nous permet d'approcher $L^p(C)$ par des
espaces de fonctions en escalier emboit\e s $(V_k)_{k\in \natural}$  de dimension
finie.  On commence  montrer les relations pr\e c\e dentes dans le cas de ces
espaces emboit�s.  On montre ainsi que la restriction \a
$V_k$ de $\tilde f$ peut s'\e crire sous la forme $\tilde f(u) = \int f_ku$ o\u 
$f_k\in V_k$. On montrera ensuite que les fonctions $f_k$ convergent vers une
fonction $f\in L^{p'}(C)$ qui v\e rifie les relations annonc\e es dans le th\e
or\ee me \ref {reflexivitedeLp}. On terminera en appliquant ce r\e sultat \a tout
$C_l$ et en faisant tendre $l$ vers l'infini.  Pr\e cisons les notations utilis\e
es pour manier 
$V_k$.  Cet espace est compos\ea de fonctions constantes sur un nombre fini
d'hyperrectangles, que l'on notera
$C_i, i=1,...,M$ et nulles ailleurs.  On notera $c_k$ la mesure (le volume) de ces
hyperrectangles.  Si $f\in V_k$, on note $f_i$ la valeur de $f$ sur  
$C_i$.  On a donc 
\fb& \label{normesurVk}
\forall f=(f_i)_i\in V_k, \; ||f||_p = c_k^\frac 1 p(\sum_i |f_i|^p)^\frac 1 p.
\fe&
Comme $V_k$ est constitu\ea de fonctions born\e es \a support compact, il est
inclus dans n'importe quel $L^p$ et on peut donc le munir de n'importe quelle
norme $L^p$.  Par ailleurs son dual pour n'importe laquelle de ces normes est
naturellement identifiable \a $V_k$ lui m\eee me.  Cette identification n'est que
partielle, puisque la norme change selon que l'on consid\ee re $V_k$ comme
sous-espace de $L^p$ ou de $L^{p'}$ par exemple.  Enfin, $V_k$ est aussi
naturellement un espace dual de $L^p$, puisque l'on peut poser pour $f\in V_k$
et $v\in L^p$, $f(v)=\int fv$.   Donc on a aussi $f\in (L^p)'$.  On va devoir
comparer ces diverses normes en dimension finie, puis voir ce qui se passe quand
$k$ tend vers l'infini.

\begin{lem} {\bf le dual de $V_k$)} On munit 
$V_k$ de la norme $L^p$.  Soit $\tilde f\in V_k'$. Alors il
existe  
$f=(f_i)\in V_k$ telle que
\fb& \label{dualitedeVk}
\forall v\in V_k, \; \tilde f(v) =c_k\sum_i f_iv_i \hbox{ et }
||\tilde f||_{V_k'}=||f||_{L^{p'}}. 
\fe&
\end{lem}

\paragraph{D\e monstration}  Toute forme lin\e aire $\tilde f$ sur $V_k$, qui est
de dimension finie peut s'�crire (on introduit le volume $c_k$ pour normaliser) :
$$
\tilde f(v) =  c_k\sum_i f_iv_i= \int fv,
$$
o\u $f=(f_i)\in V_k$.  On applique l'in\e galit\ea de H\"{o} lder, en notant que
$V_k$ est aussi bien un sous-espace de $L^p$ que de $L^{p'}$ :
\fb& \label{hoeldersurVk}
|\tilde f(v)|\leq ||f||_{L^{p'}}||v||_{L^p}.
\fe&
Comme $V_k$ est muni de la norme $L^p$, on d\e duit imm\e diatement que 
$||\tilde f||_{V_k'}\geq ||f||_{L^{p'}}$.  Montrons qu'on a \e galit\e . Il
suffit de trouver v tel que l'\e galit\ea soit r\e alis\e e dans
(\ref{hoeldersurVk}).  On pose simplement $v_i = \signe(f_i)|f_i|^{p'-1}.$ Alors
$$\tilde f(v) = c_k\sum_i |f_i|^{p'-1}|f_i| = ||f||_{L^{p'}}^{p'},$$
tandis que $$||v||_{L^p}= (c_k\sum_i |f_i|^{(p'-1)p})^\frac 1 p =
||f||_{L^{p'}}^\frac{p'}p.$$
De ces deux derni\ee res relations, on d\e duit que 
$$\frac {|f(v)|}{||v||_{L^p}} = \frac
{||f||_{L^{p'}}^{p'}}{||f||_{L^{p'}}^\frac{p'}p} = ||f||_{L^{p'}}.$$  On a donc
bien \e galit\ea possible dans (\ref{hoeldersurVk}).
\enddemo

\begin{lem} \label{comparaisondesnormes}
Pour tout  $f\in V_k$ et $v\in L^p$, on pose $f(v)=\int fv$. Cela permet de
consid\e rer
$f$ comme une forme lin\e aire sur $L^p$ et on a
$$||f||_{L^{p'}} \leq ||f||_{(L^p)'}.$$

\end{lem}
\paragraph{D\e monstration}
$$||f||_{(L^p)'}=\sup_{||v||_{L^p}\leq 1}\int fv =\sup_{||v||_{L^p}\leq 1}
\sum_if(i)\int_{C_i}|v|(x)dx \geq$$

$$\sup_{||v||_{L^p}\leq 1, v\in V_k} \sum_i c_k f(i)v(i)=||f||_{L^{p'}},
$$
o\u la derni\ee re \e galit\ea vient de (\ref{dualitedeVk}).
\enddemo

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{lem}\label{caspleq2} (Cas $p\leq 2$) La suite d'approximations $f_k$ de
$\tilde f$ sur
$C$ converge dans
$L^2$ vers une fonction $f\in L^{p'}(C)$ telle que 
\fb& \label{dualitedansCpleq2}
\forall v\in L^p(C), \;\tilde f(v) = \int_C f(x)v(x)dx
\fe&
\end{lem}
%
\paragraph{D\e monstration}
On a imm\e diatement par subdivision de $C_i^k$
\label{relationsdemoyenne}
f_k(i)=\frac 1 2(f_{k+1}(2i)+f_{k+1}(2i+1)
\fe&
$f_k(i)$ est donc \e gale \a la valeur moyenne de $f_{k+1}$ sur $C_i^k$. On en d\e
duit  que
$f_{k+1}-f_k$ est d'int\e grale nulle sur chaque 
$C_i^k$ et donc  $\int_C(f_{k+1}-f_{k}) g_l=0$ pour tout $l\leq k$.  En
particulier, 
\fb&\label{orthogonalit\ea}
\int_C(f_{k+1}-f_k)(f_{l+1}-f_l)=0\hbox{ si } k\neq l.
\fe&
Partons de l'identit\ea 
$$|f_{k+1}(2i)+f_{k+1}(2i+1)|^2+|f_{k+1}(2i)-f_{k+1}(2i+1)|^2=\frac 1 2
(|f_{k+1}(2i)|^2+|f_{k+1}(2i+1)^2).$$
En la sommant en $i$ et en la multipliant par $\mes C_ik$, on obtient
\fb& \label{convergenceL2desfk}
\int_C |f_k(x)|^2dx + \int_C |f_k-f_{k+1}|^2dx = \int_C|f_{k+1}(x)|^2dx.
\fe&
Additionnant ces relations de 1 \a l'infini :
$$\sum_{k\in \natural} ||f_{k+1}-f_k||_{L^2(C)} \leq \lim_k\sup
||f_k||_{L^2(C)}^2-||f_1||_{L^2(C)}^2<\infty.$$
En effet, $C$ \e tant born\e ,  l'in\e galit\ea de H\ooo lder nous donne
$||f_k||_{L^2(C)}\leq c||f_k||_{L^{p'}(C)}$ puisque 
$p'>2$.
Comme la suite $f_{k+1}-f_k$ est un syst\ee me orthogonal, la relation 
({convergenceL2desfk}) implique que  la suite $f_k$ converge dans $L^2(C)$.  Soit
$f\in L^2(C)$ sa limite. 
Comme $||f_k||_{L^{p'}}\leq ||\tilde f||_{(L^p)'}$, on peut appliquer le lemme 
\ref{lalimiteppdansLp} et on conclut que $f$ est dans $L^{p'}(C)$.  Reste \a
montrer  que $\tilde f(v)=\int_C fv$ pour tout $v\in L^p(C)$.  Mais cette
relation est vraie si $v $ est dans un quelconque $V_k$ : c'est la relation 
(\ref{dualitedansCpleq2}).Donc les formes
lin\e aires  $\tilde f$ et $f$ co\ii cident sur un sous espace
dense de $L^p(C)$, l'union des $V_k$, et donc partout.
\enddemo

\begin{lem} Si $p\leq 2$, $L^p(\real^N)$ est r\e flexif et $(L^p)'=L^{p'}$.
\end{lem}
\paragraph{D\e monstration}
On consid\ee re les espaces emboit\e s $V_l=L^p(C_l)$, o\u $C_l=[-l,l]^N$, $l\in
\natural$.  Par le lemme{caspleq2} il existe des fonctions $f\in L^{p'}(C_l)$
telles que 
\fb& \label{dualitedansCl}
\forall v\in L^p(C_l), \;\tilde f(v) = \int_C f_l(x)v(x)dx
\fe&
et on a de plus $f_{k+l}_{C_l}=f_l$ et 
\fb& \label{estimationdesf-l}
||f_l||_{L^{p'}}\leq ||\tilde
f||_{(L^p)'}.
\fe&
  On peut donc poser $f(x) = f_l(x)$ si $x\in C_l$.  En appliquant
le th\e or\ee me de Beppo-Levi, on d\e duit de (\ref{estimationdesf-l}) que 
$f\in L^{p'}$ et $||f||_{L^{p'}}\leq ||\tilde f||_{(L^p)'}.$
Comme $f$ (consid\e r\e e comme une forme lin\e aire sur $L^p$) et $\tilde f$
coincident sur le sous-espace dense de
$L^p$, $\cup_l V_l$, elles sont \e gales.
\enddemo

\begin{lem} \label{reflexivitepgeq2}
Soit $p\geq 2$.  Alors $L^p$ est r\e flexif et $(L^p)'= L^{p'}$.

\end{lem}
\paragraph{D\e monstration}
  Soit l'application $T$ qui \a
tout \e l\e ment de $L^p$ associe la forme lin\e aire $Tu$ sur $L^{p'}$ d\e finie
par 
$Tu(v)=\int uv$.
Cette application est une isom\e trie de $L^p$ sur $T(L^p)\subset
(L^{p'})'=L^p$.  En effet, on a $|Tu(v)\leq ||u||_{L^p}||v||_{L^{p'}}$ par l'in\e
galit\ea de H\ooo lder.  Donc $||Tu||_{(L^{p'})'}\leq ||u||_{L^p}$.  Mais en
consid\e rant la fonction duale de $u$, $f=\signe(u)|u|^{p-1}$, on voit que 
$f\in L^{p'}$, $||f||_{L^p'}=||u||_{L^p}^p$ et $Tu(f)=||u||_{L^p}^p$. Donc 
$Tu(f)=||f||_{L^{p'}}||u||_{L^p}$ et on conclut que
$||Tu||_{(L^{p'})'}=||u||_{L^p}$.  $T$ est donc bien une isom\e trie de $L^p$ sur
son image $T(L^p)\subset (L^{p'})'$.  Comme $L^p$ est complet, $T(L^p)$ est un
sous-espace ferm\ea d'un espace r\e flexif. En effet, $p'\leq 2$ et donc on sait
que $L^{p'}$ est r\e flexif et aussi son dual.  On conclut que $L^p$ est r\e
flexif.  

\enddemo
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
\begin{lem}\label{convergencefaibledesrestrictions}
Soit $\tilde f$ une forme lin\e aire sur $L^p$ et $f_k\in V_k$ sa restriction \a
$V_k$ munie de la norme $(L^p)'$.  Alors $f_k\rightharpoonup f$ dans
$\sigma((L^p)', L^p)$.
\end{lem}
%
\paragraph{D\e monstration}
On veut montrer que $\forall v\in L^p, \int f_kv \to \int fv.$  Mais comme les
$V_k$ sont des espaces emboit\e s d'union dense, 
$$\forall v\in L^p, \; \forall \varepsilon>0,\; \exists k_0, \; k\geq k_0
\Rightarrow \exists v_k\in V_k,\; ||v-v_k||_{L^p}\leq \varepsilon.$$
Donc 
$$|f_k(v)-f(v)|\leq |f_k(v)-f_k(v_k)|+|f_k(v_k)-f(v_k)|+|f(v_k)-f(v)|\leq$$
$$2||f||_{(L^p)'} ||v_k-v||_{L^p} ,$$
car $|f_k(v_k)-f(v_k)=0$ par d\e finition de $f_k$.
\enddemo

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter{S\e ries de Fourier et cordes vibrantes}
On consid\ee re une corde \e lastique, fix\e e aux deux extr\e mit\e s situ\e es en 
deux points de l'espace distants de $L$. 
On note pour tout temps $t\geq 0$ et $0\leq x\leq L$, $y(t, x)$ l'\e cartement de la corde
par rapport
\a sa position de repos.  Les points de  la corde sont donc param\e tr\e s par $(x,
y(t, x))$. On note $y_t(t,x)$ la d\e riv\e e partielle premi\ee re de $y$ par rapport
\a $t$ et on notera de m\eee me $y_x(t,x)$, $y_{xx}$, $y_{tt}$, etc.

 L'\e nergie de la corde est, \a un facteur pr\ee s, \e gale \a
$$
E(t,y) = \frac 1 2\int_0^T |y_t|^2(t,x)dx + \omega^2 \int_0^T \sqrt{1 + |y_x|^2}dx,
$$
o\u le premier terme est l'\e nergie cin\e tique et le second l'\e nergie potentielle,
proportionnelle \a l'\e longation de la corde. On suppose que la corde vibre depuis un 
moment, de sorte que $y_x$ est devenu petit et on lin\e arise l'\e nergie potentielle. 
L'\e nergie lin\e aris\e e est
donc, apr\ee s un d\e veloppement limit\ea (\a v\e rifier !),
multiplication par 2 et suppression d'un terme constant : 
\fb&
\label{energiecordevibrante}
E(t,y) = \int_0^T  |y_t|^2(t,x)dx + \omega^2 \int_0^T  |y_x|^2dx.
\fe&
  On note $y(0,x)=y_0(x)$ la position initiale de la corde.
\newline
On peut passer de l'expression de l'\e nergie de la corde vibrante \a son \e
quation d'\e volution,
\fb& \label{equationcordevibrante}
y_{tt}-\omega^2y_{xx}=0, \hbox {  avec  } y(t,0)=y(t,L)=0 \hbox{ et } y(0,x)=y_0(x), \; 
y_t(0,x) = 0.
\fe&
On va se contenter de justifier cette \e quation en utilisant $F=m\gamma$. 
Consid\e rons un
\e l\e ment de la corde dont la projection sur l'axe de la corde est
$(x, x+dx)$. La masse de cet \e l\e ment est proportionnelle \a sa longueur, 
$\sqrt{1+ |y_x|^2}dx$ qui est peu diff\e rent de $dx$.  L'acc\e l\e ration est, si on n\e
glige sa composante tangentielle 
$\gamma = y_{tt}$.  La force $F$ \a laquelle est soumis l'\e l\e ment de corde est
la diff\e rence des tensions en $x$ et en $x+dx$, $T(x)$ et $T(x+dx)$.  Mais la tension
est constante le long de la corde et tangente \a celle-ci.  On a donc
$T(x) = \omega^2 \frac {(1, y_x(x))}{\sqrt{1+ |y_x(x)|^2}}$.  
et, si on n\e glige les termes en $y_x$,  la force est donc $F=
T(x+dx)-T(x)=\omega^2y_{xx}dx$.  L'\e quation $F=m\gamma$ donne alors bien 
(\ref{equationcordevibrante}).
\newline
Inversement, supposons que $y$ soit $C^3$ et v\e rifie
l'\e quation de la corde vibrante (\ref{equationcordevibrante}).   On peut alors
montrer que l'\e nergie (\ref{energiecordevibrante}) ne d\e pend pas de
$t$. Pour cela, on multiplie l'\e quation (\ref{equationcordevibrante}) par $y_t$
et on int\e gre entre 0 et $L$.  On obtient (pour abr\e ger, on \e
crit
$\int$ pour $\int_0^L$)
$$\int y_{tt}y_t = \omega^2 \int y_{xx}y_t.$$
En utilisant le th\e or\ee me de d\e rivation sous le signe somme \a gauche et en 
int\e grant par parties \a droite, 
$$\frac {d}{dt}\int y_t^2 = -\omega^2 \int y_xy_{xt},$$
et en utilisant le th\e or\ee me de d\e rivation sous le signe somme \a droite,
$$\frac{d}{dt}\int y_t^2 = -\omega^2 \frac {d}{dt}\int y_x^2,$$ soit
$$\frac{d}{dt}E(t,y) = 0$$
comme annonc\e .
Dans la suite, il sera commode d'\e crire $y(t)$ pour la fonction $x\to
y(t,x)$.

\begin{pro}\label{developpementdelasolution} Les solutions $C^2$  de l'\e quation
(\ref{equationcordevibrante}) des cordes vibrantes peuvent s'\e crire sous la forme
d'une s\e rie de Fourier \a coefficients variables
$$y(t)=\sum_1^\infty c_k(0)\cos(\frac{k\pi \omega t} {L})\sin(\frac{k\pi
x}{L}),$$
o\u $c_k(0) = \lambda_k=\frac 2 L \int_0^L y_0(0,x) \sin(\frac{k\pi
x}{L})dx$ repr\e sentent les coefficients de Fourier de la position initiale de
la corde  $y_0(x)$ sur la base en sinus.
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
  On a $y(t)\in
C^2(0,L)\subset L^2(0,L)$ et donc
$$y(t,x)=\sum_{k\in \natural^*}c_k(t)\sin(\frac{k\pi x}{L}),$$
car les fonctions $\sqrt{\frac 2 L}\sin(\frac{k\pi x}{L})$, $k\in \natural^*$  forment
une base hilbertienne de $L^2(0,L)$.  Cette base est particuli\ee rement bien adapt\e e
au probl\ee me, car ses \e l\e ments s'annulent en 0 et $L$ comme $y(t)$.  Comme
$y(t)\in C^2(0,L)$, la convergence de la s\e rie de Fourier de $y(t)$ est uniforme.
On a $c_k(t) = \frac 2 L \int_0^L y(t,x)\sin(\frac{k\pi x}{L})dx$ et, comme $y$ a
\e t\ea aussi suppos\e e 
$C^2$ en $t$, on voit que $c_k(t)$ est deux fois d\e rivable en $t$, gr\^{a}ce au
th\e or\ee me de d\e rivation sous le signe somme.  On a donc
$$c_k''(t) = \frac 2 L\int_0^L y_{tt}(t,x)\sin(\frac{k\pi x}{L})dx.$$
En utilisant (\ref{equationcordevibrante}) en int\e grant deux fois par parties et en
utilisant $y(t,0)=y(t,L)=0$~:
$$c_k''(t) = \frac 2 L \int_0^L\omega^2y_{xx}(t,x)\sin(\frac{k\pi x}{L}) dx=$$
$$
-\frac 2 L \int_0^L(\omega \frac{k\pi}{L})^2y(t,x)\sin(\frac{k\pi x}{L}) dx=
-(\frac{k\pi \omega}{L})^2c_k(t).$$
On a donc $c_k(t)=\lambda_k\cos(\frac{k\pi \omega t} {L})+\mu_k\sin(\frac{k\pi
\omega t}{L})$.  Comme la corde pinc\e e a une vitesse initiale nulle, on a
$y_t(0,x)=0$ et donc, par le th\e or\ee me de d\e rivation sous le signe somme,
$$c_k'(0) = \mu_k(\frac{k\pi \omega}{L})= \frac 2 L \int_0^L
y_{t}(0,x)\sin(\frac{k\pi x}{L})dx= 0.$$
On a aussi 
$c_k(0) = \lambda_k=\frac 2 L \int_0^L y_0(0,x) \sin(\frac{k\pi
x}{L})dx$, et on obtient $c_k(t)=c_k(0)\cos(\frac{k\pi \omega t}{L})$, soit
$$y(t)=\sum_1^\infty c_k(0)\cos(\frac{k\pi \omega t} {L})\sin(\frac{k\pi
x}{L}).$$
\enddemo

Examinons maintenant le cas particulier d'une corde pinc\e e.
Si nous pin\c cons une corde, nous avons une condition initiale du type
$y_0(x) = \beta (\alpha L - |x-\alpha L|-(2\alpha -1)x).$  La corde est suppos\e e
\eee tre initialement immobile ($y_t(0,x)=0$).  
 On a donc $y_0(x)=2\beta\alpha(L-x)$ si $x\geq \alpha L$, $y_0(x) =
2\beta(1-\alpha)x$  si $x\leq \alpha L$. On  a $y_0(0)=y_0(L)=0$ et \a
l'endroit du pincement,
$y_0(\alpha L) = 2\alpha\beta L(1-\alpha)$.  Comme la corde pinc\e e est immobile \a
l'instant 0, le premier terme de l'\e nergie $E$ est nul.  Donc l'\e nergie de la
corde est
$$E(y(t))= E(y_0) = 4\beta^2((\alpha L (1-\alpha))^2 + (L(1-\alpha)\alpha)^2)=
8\beta^2\alpha^2(1-\alpha)^2L^2,$$
car on a vu que l'\e nergie reste constante.
En utilisant la th\e orie hilbertienne, on peut calculer la solution de
(\ref {equationcordevibrante}) avec comme condition initiale le "pincement de
corde".  On est amen\ea \a calculer les coefficients de Fourier de $y_0$ et
de $y(t)$. Calculons d'abord les coefficients de Fourier de $y_0$.  On int\ee gre
par parties et on utilise la nullit\ea de $y_0$ et de $\sin(\frac{k\pi x}{L})$ en
0 et
$L$~:
$$\frac L 2 c_k(y_0)=\int_0^L y_0(x)\sin(\frac{k\pi x}{L})dx=
\frac L{k\pi}(\int_0^{\alpha L} 2\beta(1-\alpha)\cos(\frac{k\pi x}{L})dx +
\int_{\alpha L}^L (-2\beta\alpha)\cos(\frac{k\pi x}{L})dx ;
$$
$$ c_k(y_0)=  4(\frac L{k\pi})^2\frac \beta L
\sin(k\pi\alpha).$$
On d\e finit la solution de (\ref{equationcordevibrante}) en utilisant la formule
de la proposition \ref{developpementdelasolution},
$$y(t)=\sum_1^\infty c_k(0)\cos(\frac{k\pi \omega t}{L})\sin(\frac{k\pi x}{L}).$$
On voit qu'on obtient le son le plus pur (avec le moins d'harmoniques) en pin\c cant la
corde
\a moiti\e , un son plus riche  en pin\c cant au tiers, etc.  Remarquer en tout cas
que le choix de l'endroit  de pincement change la r\e partition des harmoniques et
donc le timbre.   La formule d\e finissant $y(t)$  implique  que $y(t,x)$ est
continue,  mais elle n'implique m\eee me pas qu'elle soit d\e rivable !  On a
pourtant bien obtenu une combinaison lin\e aire (infinie) de solutions de
(\ref{equationcordevibrante}).   On  r\e soud ce paradoxe gr\^{a}ce \a la th\e orie
des distributions, qui nous assure que
$y(t)$ est solution "au sens des distributions" de  l'\e quation des cordes
vibrantes.



 La d\e couverte de Fourier nous permet de comprendre mieux les choix "harmoniques"
effectu\e s par plusieurs traditions musicales, clairement influenc\e s par
l'usage d'instruments \a cordes ou de tubes vibrants  (pour lesquels la th\e orie
est essentiellement la m\eee me que pour les cordes).   On remarque que des modes
de vibration propres sont associ\e s \a une corde tendue, de longueur $L$.  Si on
la pince, on "entend" le "fondamental", $f_1(t,x) = \cos(\frac {\pi\omega
t}{L})\sin (\frac {\pi x}{L})$, qui vibre \a la fr\e quence $\frac {\pi\omega}
L$.  Attention : $\omega$ d\e pend de la masse et de la tension de la corde au
repos.  Nous entendons aussi les "harmoniques",
$f_2$, $f_3$, $f_4$, etc..  Si maintenant nous appuyons sur la corde exactement au
milieu et nous la faisons vibrer, nous entendons "l'octave", qui n'est autre que 
$f_2$, ainsi que ses harmoniques $f_4$, $f_6$, $f_8$.  Tous les harmoniques de l'octave
sont donc des harmoniques de la fondamentale.  Cette remarque reste vraie si on pince
la corde au tiers, au quart, au cinqui\ee me.  Il y a donc connivence entre ces sons qui,
par leur ressemblance avec la fondamentale et entre eux, donnent une impression
d'"harmonie".  
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Le probl\ee me de la corde vibrante}


On consid\ee re une corde \e lastique, fix\e e aux deux extr\e mit\e s situ\e es en 
deux points de l'espace distants de $L$. 
On note pour tout temps $t\geq 0$ et $0\leq x\leq L$, $y(t, x)$ l'\e cartement de la corde
par rapport
\a sa position de repos.  Les points de  la corde sont donc param\e tr\e s par $(x,
y(t, x))$. On note $y_t(t,x)$ la d\e riv\e e partielle premi\ee re de $y$ par rapport
\a $t$ et on notera de m\eee me $y_x(t,x)$, $y_{xx}$, $y_{tt}$, etc.

% L'\e nergie de la corde est, \a un facteur pr\ee s, \e gale \a
%$$
%E(t,y) = \frac 1 2\int_0^T |y_t|^2(t,x)dx + \omega^2 \int_0^T \sqrt{1 +
%|y_x|^2}dx,
%$$
%o\u le premier terme est l'\e nergie cin\e tique et le second l'\e nergie
%potentielle, proportionnelle \a l'\e longation de la corde. On suppose que la
%corde vibre depuis un  moment, de sorte que $y_x$ est devenu petit et on lin\e
%arise l'\e nergie potentielle.  L'\e nergie lin\e aris\e e est
%donc, apr\ee s un d\e veloppement limit\ea (\a v\e rifier !),
%multiplication par 2 et suppression d'un terme constant : 
%\fb&
%\label{energiecordevibrante}
%E(t,y) = \int_0^T  |y_t|^2(t,x)dx + \omega^2 \int_0^T  |y_x|^2dx.
%\fe&
%  On note $y(0,x)=y_0(x)$ la position initiale de la corde.
%\newline
%\drem
%On peut passer de l'expression de l'\e nergie de la corde vibrante \a son \e
%quation d'\e volution,
Pour de peties oscillations (et sans prendre en compte la viscosit\ea de l'air),
l'\e quation de la corde vibrante est
\fb& \label{equationcordevibrante}
y_{tt}-\omega^2y_{xx}=0, \hbox {  avec  } y(t,0)=y(t,L)=0 \hbox{ et } y(0,x)=y_0(x), \; 
y_t(0,x) = 0.
\fe&
%On va se contenter de justifier cette \e quation en utilisant $F=m\gamma$. 
%Consid\e rons un
%\e l\e ment de la corde dont la projection sur l'axe de la corde est
%$(x, x+dx)$. La masse de cet \e l\e ment est proportionnelle \a sa longueur, 
%$\sqrt{1+ |y_x|^2}dx$ qui est peu diff\e rent de $dx$.  L'acc\e l\e ration est,
%si on n\e glige sa composante tangentielle 
%$\gamma = y_{tt}$.  La force $F$ \a laquelle est soumis l'\e l\e ment de corde est
%la diff\e rence des tensions en $x$ et en $x+dx$, $T(x)$ et $T(x+dx)$.  Mais la
%tension est constante le long de la corde et tangente \a celle-ci.  On a donc
%$T(x) = \omega^2 \frac {(1, y_x(x))}{\sqrt{1+ |y_x(x)|^2}}$.  
%et, si on n\e glige les termes en $y_x$,  la force est donc $F=
%T(x+dx)-T(x)=\omega^2y_{xx}dx$.  L'\e quation $F=m\gamma$ donne alors bien 
%(\ref{equationcordevibrante}).
%\frem
%\drem
%Inversement, supposons que $y$ soit $C^3$ et v\e rifie
%l'\e quation de la corde vibrante (\ref{equationcordevibrante}).   On peut alors
%montrer que l'\e nergie (\ref{energiecordevibrante}) ne d\e pend pas de
%$t$. Pour cela, on multiplie l'\e quation (\ref{equationcordevibrante}) par $y_t$
%et on int\e gre entre 0 et $L$.  On obtient (pour abr\e ger, on \e
%crit
%$\int$ pour $\int_0^L$)
%$$\int y_{tt}y_t = \omega^2 \int y_{xx}y_t.$$
%En utilisant le th\e or\ee me de d\e rivation sous le signe somme \a gauche et en 
%int\e grant par parties \a droite, 
%$$\frac {d}{dt}\int y_t^2 = -\omega^2 \int y_xy_{xt},$$
%et en utilisant le th\e or\ee me de d\e rivation sous le signe somme \a droite,
%$$\frac{d}{dt}\int y_t^2 = -\omega^2 \frac {d}{dt}\int y_x^2,$$ soit
%$$\frac{d}{dt}E(t,y) = 0$$
%comme annonc\e .
%\frem
Pour donner un sens \a l'\e quation des ondes m\eee me quand $y(t,x)$ n'est pas
$C^2$,on note pour tout $x$, $y_{tt}$ la d\e riv\e e au sens des distributions de
$t\to y(t,x)$. On dira que
$y(t,x)\in L^1{loc}(\real\times
\real)$ est une solution de l'\e quation des cordes vibrantes
(\ref{equationcordevibrante}) si la d\e riv


 Dans la suite,
il sera commode d'\e crire $y(t)$ pour la fonction
$x\to y(t,x)$.  On va rechercher une solution de l'\e quation des ondes telle que
pour tout $t\geq 0$, $y(t)\in L^2(0,L)$.  On peut alors d\e velopper $y(t)$ sur la
base en sinus, ce qui donne $y(t)=\sum_{k\in\natural^*}c_k(t)\sin(\frac{k\pi x}L)$.
 


\begin{pro}\label{developpementdelasolution} On dira que l'\e quation 
(\ref{equationcordevibrante}) des cordes vibrantes a une  solution si
 pour tout $t$, $y(t)\in L^2(0,L).$ et si  les
coefficients de $y(t)$ sur la base en sinus,  $t\to c_k(t)$ sont $C^2$ et v\e
rifient 
$$c''_k(t)=c  
 Elle s'\e crit de mani\ee re unique sous
la forme d'une s\e rie de Fourier
\a coefficients variables
$$y(t,x)=\sum_1^\infty c_k(0)\cos(\frac{k\pi \omega t} {L})\sin(\frac{k\pi
x}{L}),$$
o\u $c_k(0) = \lambda_k=\frac 2 L \int_0^L y_0(0,x) \sin(\frac{k\pi
x}{L})dx$ repr\e sentent les coefficients de Fourier de la position initiale de
la corde  $y_0(x)$ sur la base en sinus.
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration} On commence par remarquer que 
 On a une solution parachut\e e,
 $y(t,x)=u(x-\omega t)+v(x+\omega t)$ et en tenant compte des conditions aux 
 limites, on a en $t=0$ $u(x)+v(x)=y_0$, et comme $y_(0,x)=y_0(0)=0$, $-\omega
 u'+\omega
 v'=0$. Donc $u=v+cte$. Comme $u(0)+v(0)=0$, $u(2\pi)+v(2\pi)=0$, on tire que ?
  par ailleurs, $y(t,0)=0$, donc $u(-\omega t)+v(\omega t)=0$.  Donc 
 $v(-\omega t) + v(\omega t)=Cte$.  Comme $u(0)+v(0)=0$ et $u=v+cte$,  
  on obtient que la solution $y(t,x)=y_0(x-\omega t )+y_0(x+\omega t),$ \a 
  condition de rendre impaire $y_0$ relativement \a 0 et $2\pi$, puis de la 
  p\e riodiser.
 l'int\e r\eee t de l'\e tude en Fourier est de formaliser l'analyse du son 
 et de mettre en \e vidence les harmoniques, etc. On a bien une solution au sens
  distributions \a condition de se placer dans $\real^+\times \real$. Si on 
  travaille en une dimension avec la th\e orie des distributions,


\paragraph{D\e monstration}
Si $x\to y(t,x)\in L^2(0,L)$, on peut \e crire  $$y(t,x)=\sum_{k\in
\natural^*}c_k(t)\sin(\frac{k\pi x}{L}),$$ car les fonctions $\sqrt{\frac 2
L}\sin(\frac{k\pi x}{L})$, $k\in \natural^*$  forment une base hilbertienne de
$L^2(0,L)$.  Cette base est particuli\ee rement bien adapt\e e au probl\ee me, car
ses \e l\e ments s'annulent en 0 et $L$ comme $y(t)$. 
On a $c_k(t) = \frac 2 L \int_0^L y(t,x)\sin(\frac{k\pi x}{L})dx$ et, comme $y$ a
\e t\ea  suppos\e e 
$C^2$ en $t$, on voit que $c_k(t)$ est deux fois d\e rivable en $t$, gr\^{a}ce au
th\e or\ee me de d\e rivation sous le signe somme.  On a donc
$$c_k''(t) = \frac 2 L\int_0^L y_{tt}(t,x)\sin(\frac{k\pi x}{L})dx.$$
En utilisant (\ref{equationcordevibrante}) en int\e grant deux fois par parties et en
utilisant $y(t,0)=y(t,L)=0$~:
$$c_k''(t) = \frac 2 L \int_0^L\omega^2y_{xx}(t,x)\sin(\frac{k\pi x}{L}) dx=$$
$$
-\frac 2 L \int_0^L(\omega \frac{k\pi}{L})^2y(t,x)\sin(\frac{k\pi x}{L}) dx=
-(\frac{k\pi \omega}{L})^2c_k(t).$$
On a donc $c_k(t)=\lambda_k\cos(\frac{k\pi \omega t} {L})+\mu_k\sin(\frac{k\pi
\omega t}{L})$.  Comme la corde pinc\e e a une vitesse initiale nulle, on a
$y_t(0,x)=0$ et donc, par le th\e or\ee me de d\e rivation sous le signe somme,
$$c_k'(0) = \mu_k(\frac{k\pi \omega}{L})= \frac 2 L \int_0^L
y_{t}(0,x)\sin(\frac{k\pi x}{L})dx= 0.$$
On a aussi 
$c_k(0) = \lambda_k=\frac 2 L \int_0^L y_0(0,x) \sin(\frac{k\pi
x}{L})dx$, et on obtient $c_k(t)=c_k(0)\cos(\frac{k\pi \omega t}{L})$, soit
$$y(t)=\sum_1^\infty c_k(0)\cos(\frac{k\pi \omega t} {L})\sin(\frac{k\pi
x}{L}).$$
Remarquer que la solution trouv\e e est une somme infinie de solutions $C^\infty$
mais n'est elle-m\eee me que dans $L^2(O,L)$ pour chaque temps $t$.
\enddemo


