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\def\R\'esum\'e{\small\noindent\bf R\'esum\'e. \rm}
\def\Abstract{\small\noindent\bf Abstract. \rm}

\def\nin{\not\in}                 % la negation de \in
\def\indic{1\!\!1}                % fonction indicatrice
\def\levelset{\chi}           % la surface de niveau
\def\meas{\mathop{\rm meas}}      % mesure de
\def\setB{\SetB}
\def\real{I\!\!R}
\def\natural{I\!\!N}
\def\relative{{\bf Z}}
\def\rational{{\bf Q}}
\def\complex{{\bf C}}
\def\mes{\hbox{mes}}
\def\sin{\hbox{sin}}
\def\cos{\hbox{cos}}
\def\interieur{\hbox{\rm Int\'{e}rieur}}
\def\signe{\hbox{\rm Signe}}
\def\vect{\hbox{\rm Vect}}
\def\Re{\hbox{\rm Re}}
\def\support{\hbox{\rm Support}}
\def\supp{\hbox{\rm Support}}

\def\fb&{\begin{equation}}
\def\fe&{\end{equation}}

%rappel : \overline{cequ'onveut}
\newtheorem{thf}{Th\e or\ee me}[chapter]
\newtheorem{cor}{Corollaire}[chapter]
\newtheorem{pro}{Proposition}[chapter]
\newtheorem{Def}{D\e finition}[chapter]
\newtheorem{lem}{Lemme}[chapter]
\newtheorem{exa}{Exemple}[chapter]

\newtheorem{rem}{Remarque}[chapter]%  remarque 
\def\drem{\begin{rem}\rm}%  sans
\def\frem{\end{rem}}%      		italique !

\newtheorem{exo}{Exercice}[chapter]
\newtheorem{propr}{Propri\e t\e}[chapter]

\newtheorem{Exer}{Exercice}[chapter]  %Exercice
\def\dexer{\begin{Exer}\rm}    %sans
\def\fexer{\end{Exer}}        %italique !

\def\skipaline{\vspace{4 mm}\noindent}

\def\fb& {\begin{equation}}       % debut d'une equation
\def\fe& {\end{equation}}         % fin d'une equation
\def\enddemo{\hfill $\large\circ$ \newline\newline}     % fin de preuve
\def\Varphi{{\bf \varphi}}
\def\e {\'{e}}
\def\ee {\`{e}}
\def\eee {\^{e}}
\def\e {\'{e}}
\def\ea {\'{e} }
\def\ee {\`{e}}
\def\eee {\^{e}}
\def\a {\`{a} }
\def\aa {\^{a}}
\def\ii {\^{\i}}
\def\iii {\"{\i}}
\def\ccaadd{ c'est-\`{a}-dire }
\def\u {\`{u} }
\def\uu {\^{u}}
\def\oo {\^{o}}
\def\ooo {\"{o}}

%\newcommand\contentsname{Table des Mati\ee res}
%\newcommand\chaptername{Chapitre}
%\newcommand\today{\ifcase\month\or
%  Janvier\or F\'{e}vrier\or Mars\or Avril\or Mai\or Juin\or
%  Juillet\or Ao\^{u}t\or Septembre\or Octobre\or Novembre\or D\'{e}cembre\fi
%  \space\number\day, \number\year}


%rappel pour la c\e dille : fran\c cais
\def\indexentry#1#2{\noindent #1, #2 \newline}
\makeindex
\begin{document}
$\frac 1{\frac {237}{156+\frac 34}}$
\end{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{lem} ({\bf in\e galit\ea de Clarkson})
\fb& \label{Clarkson}
\hbox {Si } $p>2$ \hbox{ et } a, b\in \real,\;
|\frac{a+b}2|^p+|\frac{a-b}2|^p\leq
\frac 1 2(|a|^p+|b|^p).
\fe&
\end{lem}
\paragraph{D\e monstration}
On a $c^p+d^p\leq (c^2+d^2)^{\frac p 2}$ si $c, d\geq 0$.  En effet, la fonction 
$x\to (x^2+1)^\frac p 2-(x^p+1)$ est croissante sur $[0,+\infty]$ et vaut 0 en 0.
On pose $c=|\frac{a+b}2| $ et $d=|\frac{a-b}2|$, ce qui donne
$$|\frac{a+b}2|^p+|\frac{a-b}2|^p\leq (|\frac {a+b}2|^2+|\frac {a-b}2|^2)^\frac p2
=(\frac{a^2}2+\frac {b^2}2)^\frac p2\leq \frac 1 2(|a|^p+|b|^p).$$
La derni\ee re in\e galit\ea vient de la convexit\ea de $x\to |x|^\frac p2$ pour
$p\geq 2$.
\enddemo



\begin{lem}\label{caspgeq2} (Cas $p\geq 2$) La suite $f_k\in V_k$  des projections
de
$\tilde f$, sur $V_k$
 converge dans
$L^2(C)$ vers une fonction $f\in L^{p'}(C)$ telle que 
\fb& \label{dualitedansCpleq2}
\forall v\in L^p(C), \;\tilde f(v) = \int_C f(x)v(x)dx
\end{lem}
\paragraph{D\e monstration}
On d\e finit une fonction $v_k$ duale de $f_k$ par
$$v_k(i)=(\frac{f_k(i)}{||f_k||_{L^{p'}})^\frac 1 {p-1}},$$
 en sorte que $||v_k||_{L^p}=1$ et 
\fb& \label{proprietedev-k}
\int_C f_kv_k(x)dx=||f_k||_{L^{p'}}.
\fe&
 La suite $v_k$ \e tant born\e e dans $L^p$, qui est le dual de $L^{p'}$, il existe
une sous-suite convergente vers une fonction $v\in L^p$ pour la topologie faible
$\sigma(L^p,L^{p'})$. On va montrer que cette convergence est forte.
Par le th\e or\ee me de Mazur, il existe des combinaisons
convexes des $v_l, l\geq k$ qui convergent fortement vers $v$ dans $L^p$. Notons
les $w_k=\sum_{k\leq i\leq n_k} \lambda_i v_i\to v$.  On a donc 
$$
\tilde f(w_k)=\sum_{k\leq i\leq n_k}\lambda_i\tilde
f(v_i)\geq ||f_{k}||_{L^{p'}}.
$$
En effet, on sait que si $v\in V_k$, alors $\tilde f(v)=\int_C f_k(x)v(x)dx$. 
Donc comme $i\leq n_k$, $\tilde
f(v_i)=\int_Cf_{i}(x)v_i(x)dx=||f_i||_{L^{p'}}\geq ||f_k||_{L^{p'}}.$ par 
(\ref{proprietedev-k}). Comme $w_k\to v$ dans $L^p$, on a $\tilde f(w_k)\to f(v)$
et donc 
$$\forall k, \tilde f(v)\geq ||f_{n_k}||_{L^{p'}}.$$  Comme $||f_k||_{L^{p'}}\to
||\tilde f||$ (relation (\ref{normesdesfkcroissent}), on d\e duit que $\tilde
f(v)=||\tilde f||_{L^{p'}}$ et comme
$||v||_{L^p}\leq 1$, cela implique que $||v||_{L^p}=1$.  Pour r\e sumer, on a
obtenu
$$v_k\to v, \; \sigma(L^p, (L^p)') \hbox{ et  } ||v_k||_{L^p}=||v||_{L^p}=1.$$

\enddemo






\paragraph{D\e monstration du th\e or\ee me \ref{reflexivitedeLp}}
Soit $f\in (L^p)'$ et $f_k\in V_k$ sa restrictions \a $V_k$.  Par le lemme
\ref{convergencefaibledesrestrictions}, on a $f_k\rightharpoonup f$ dans
$\sigma((L^{p})', L^p)$.  Reste \a montrer que $f_k$ tend effectivement vers une
fonction de $L^{p'}$.
\enddemo

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{Def} \index{Fonction dyadique}
Dans ce qui suit, on appelle {\rm fonction en escalier dyadique, ou fonction
dyadique} une fonction  constante, pour un certain $k\in \natural$, sur tous les
cubes de la forme 
$$
[\frac {p_1} {2^k},
\frac {p_1+1}{2^k}]\times [\frac {p_2} {2^k}, \frac
{p_2+1}{2^k}]\times...[\frac {p_k} {2^k}, \frac
{p_{k}+1}{2^k}],
$$ o\u $(p_1, p_2, ...,p_k)\in \relative^N.$
On appellera {\rm espaces d'approximation emboit\e s} les espaces $V_k$ des
fonctions en escalier dyadiques constantes sur des cubes de cot\ea $2^-k$ et \a
support inclus dans $[-2^k, 2^k]^N$.
\end{Def}
\begin{pro} \label{espacesemboites}
 Les espaces emboit\e s 
$V_k$ sont  de dimension finie, et v\e rifient pour tout $1\leq p<\infty$
$$V_k \subset V_{k+1}, \; \overline{\bigcup_{k\in \natural}V_k}^{L^p}=L^p.$$
En d'autres termes, l'union des $V_k$ est dense dans $L^p$ pour tout $1\leq
p<\infty$.
\end{pro}
\begin{cor}

 Pour tout $1\leq p<\infty$, $L^p$ est s\e parable.  
\end{cor}
\paragraph{D\e monstration du Lemme \ref{espacesemboites}}
Les fonctions continues \a support compact sont denses dans $L^p$ 
et l'on peut approcher uniform\e ment celles-ci par des fonctions en escalier
dyadiques. La convergence uniforme sur un compact
implique la convergence dans tout
$L^p$. Donc les fonctions en escalier dyadiques \a support compact sont denses dans
$L^p$.  Par ailleurs, on peut approcher  uniform\e ment n'importe quelle fonction 
en escalier par une fonction en escalier dont les valeurs sont rationnelles.  Or,
l'ensemble des fonctions en escalier dyadiques \a support compact et \a valeurs
rationnelles est d\e nombrable.  Comme cet ensemble est contenu dans l'union des
$V_k$, on  obtient le r\e sultat de densit\ea annonc\e .
\enddemo
\begin{pro} $L^\infty(\real^N)$ n'est pas s\e parable.  
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
On pose pour $r>0$ $u_r(x) = 1$ si $||x||\leq 1$, $u_r(x)=0$ sinon. On consid\ee
re les boules $B_r = \{f\in L^\infty, ||f-u_r||<\frac 1 2\}$. Elles forment une
famille non d\e nombrable d'ouverts disjoints, ce qui est \e videmment impossible
dans un espace s\e parable.
\enddemo
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
On va proc\ee der la mani\ee
re suivante : on  se restreint d'abord \a $L^p(C)$, o\u $C=C_l=[-2^l, 2^l]^N$
est un hypercube de $\real^N$.  Ceci nous permet d'approcher $L^p(C)$ par des
espaces de fonctions en escalier emboit\e s $(V_k)_{k\in \natural}$  de dimension
finie.  On commence  montrer les relations pr\e c\e dentes dans le cas de ces
espaces emboit�s.  On montre ainsi que la restriction \a
$V_k$ de $\tilde f$ peut s'\e crire sous la forme $\tilde f(u) = \int f_ku$ o\u 
$f_k\in V_k$. On montrera ensuite que les fonctions $f_k$ convergent vers une
fonction $f\in L^{p'}(C)$ qui v\e rifie les relations annonc\e es dans le th\e
or\ee me \ref {reflexivitedeLp}. On terminera en appliquant ce r\e sultat \a tout
$C_l$ et en faisant tendre $l$ vers l'infini.  Pr\e cisons les notations utilis\e
es pour manier 
$V_k$.  Cet espace est compos\ea de fonctions constantes sur un nombre fini
d'hyperrectangles, que l'on notera
$C_i, i=1,...,M$ et nulles ailleurs.  On notera $c_k$ la mesure (le volume) de ces
hyperrectangles.  Si $f\in V_k$, on note $f_i$ la valeur de $f$ sur  
$C_i$.  On a donc 
\fb& \label{normesurVk}
\forall f=(f_i)_i\in V_k, \; ||f||_p = c_k^\frac 1 p(\sum_i |f_i|^p)^\frac 1 p.
\fe&
Comme $V_k$ est constitu\ea de fonctions born\e es \a support compact, il est
inclus dans n'importe quel $L^p$ et on peut donc le munir de n'importe quelle
norme $L^p$.  Par ailleurs son dual pour n'importe laquelle de ces normes est
naturellement identifiable \a $V_k$ lui m\eee me.  Cette identification n'est que
partielle, puisque la norme change selon que l'on consid\ee re $V_k$ comme
sous-espace de $L^p$ ou de $L^{p'}$ par exemple.  Enfin, $V_k$ est aussi
naturellement un espace dual de $L^p$, puisque l'on peut poser pour $f\in V_k$
et $v\in L^p$, $f(v)=\int fv$.   Donc on a aussi $f\in (L^p)'$.  On va devoir
comparer ces diverses normes en dimension finie, puis voir ce qui se passe quand
$k$ tend vers l'infini.

\begin{lem} {\bf le dual de $V_k$)} On munit 
$V_k$ de la norme $L^p$.  Soit $\tilde f\in V_k'$. Alors il
existe  
$f=(f_i)\in V_k$ telle que
\fb& \label{dualitedeVk}
\forall v\in V_k, \; \tilde f(v) =c_k\sum_i f_iv_i \hbox{ et }
||\tilde f||_{V_k'}=||f||_{L^{p'}}. 
\fe&
\end{lem}

\paragraph{D\e monstration}  Toute forme lin\e aire $\tilde f$ sur $V_k$, qui est
de dimension finie peut s'�crire (on introduit le volume $c_k$ pour normaliser) :
$$
\tilde f(v) =  c_k\sum_i f_iv_i= \int fv,
$$
o\u $f=(f_i)\in V_k$.  On applique l'in\e galit\ea de H\"{o} lder, en notant que
$V_k$ est aussi bien un sous-espace de $L^p$ que de $L^{p'}$ :
\fb& \label{hoeldersurVk}
|\tilde f(v)|\leq ||f||_{L^{p'}}||v||_{L^p}.
\fe&
Comme $V_k$ est muni de la norme $L^p$, on d\e duit imm\e diatement que 
$||\tilde f||_{V_k'}\geq ||f||_{L^{p'}}$.  Montrons qu'on a \e galit\e . Il
suffit de trouver v tel que l'\e galit\ea soit r\e alis\e e dans
(\ref{hoeldersurVk}).  On pose simplement $v_i = \signe(f_i)|f_i|^{p'-1}.$ Alors
$$\tilde f(v) = c_k\sum_i |f_i|^{p'-1}|f_i| = ||f||_{L^{p'}}^{p'},$$
tandis que $$||v||_{L^p}= (c_k\sum_i |f_i|^{(p'-1)p})^\frac 1 p =
||f||_{L^{p'}}^\frac{p'}p.$$
De ces deux derni\ee res relations, on d\e duit que 
$$\frac {|f(v)|}{||v||_{L^p}} = \frac
{||f||_{L^{p'}}^{p'}}{||f||_{L^{p'}}^\frac{p'}p} = ||f||_{L^{p'}}.$$  On a donc
bien \e galit\ea possible dans (\ref{hoeldersurVk}).
\enddemo

\begin{lem} \label{comparaisondesnormes}
Pour tout  $f\in V_k$ et $v\in L^p$, on pose $f(v)=\int fv$. Cela permet de
consid\e rer
$f$ comme une forme lin\e aire sur $L^p$ et on a
$$||f||_{L^{p'}} \leq ||f||_{(L^p)'}.$$

\end{lem}
\paragraph{D\e monstration}
$$||f||_{(L^p)'}=\sup_{||v||_{L^p}\leq 1}\int fv =\sup_{||v||_{L^p}\leq 1}
\sum_if(i)\int_{C_i}|v|(x)dx \geq$$

$$\sup_{||v||_{L^p}\leq 1, v\in V_k} \sum_i c_k f(i)v(i)=||f||_{L^{p'}},
$$
o\u la derni\ee re \e galit\ea vient de (\ref{dualitedeVk}).
\enddemo

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{lem}\label{caspleq2} (Cas $p\leq 2$) La suite d'approximations $f_k$ de
$\tilde f$ sur
$C$ converge dans
$L^2$ vers une fonction $f\in L^{p'}(C)$ telle que 
\fb& \label{dualitedansCpleq2}
\forall v\in L^p(C), \;\tilde f(v) = \int_C f(x)v(x)dx
\fe&
\end{lem}
%
\paragraph{D\e monstration}
On a imm\e diatement par subdivision de $C_i^k$
\label{relationsdemoyenne}
f_k(i)=\frac 1 2(f_{k+1}(2i)+f_{k+1}(2i+1)
\fe&
$f_k(i)$ est donc \e gale \a la valeur moyenne de $f_{k+1}$ sur $C_i^k$. On en d\e
duit  que
$f_{k+1}-f_k$ est d'int\e grale nulle sur chaque 
$C_i^k$ et donc  $\int_C(f_{k+1}-f_{k}) g_l=0$ pour tout $l\leq k$.  En
particulier, 
\fb&\label{orthogonalit\ea}
\int_C(f_{k+1}-f_k)(f_{l+1}-f_l)=0\hbox{ si } k\neq l.
\fe&
Partons de l'identit\ea 
$$|f_{k+1}(2i)+f_{k+1}(2i+1)|^2+|f_{k+1}(2i)-f_{k+1}(2i+1)|^2=\frac 1 2
(|f_{k+1}(2i)|^2+|f_{k+1}(2i+1)^2).$$
En la sommant en $i$ et en la multipliant par $\mes C_ik$, on obtient
\fb& \label{convergenceL2desfk}
\int_C |f_k(x)|^2dx + \int_C |f_k-f_{k+1}|^2dx = \int_C|f_{k+1}(x)|^2dx.
\fe&
Additionnant ces relations de 1 \a l'infini :
$$\sum_{k\in \natural} ||f_{k+1}-f_k||_{L^2(C)} \leq \lim_k\sup
||f_k||_{L^2(C)}^2-||f_1||_{L^2(C)}^2<\infty.$$
En effet, $C$ \e tant born\e ,  l'in\e galit\ea de H\ooo lder nous donne
$||f_k||_{L^2(C)}\leq c||f_k||_{L^{p'}(C)}$ puisque 
$p'>2$.
Comme la suite $f_{k+1}-f_k$ est un syst\ee me orthogonal, la relation 
({convergenceL2desfk}) implique que  la suite $f_k$ converge dans $L^2(C)$.  Soit
$f\in L^2(C)$ sa limite. 
Comme $||f_k||_{L^{p'}}\leq ||\tilde f||_{(L^p)'}$, on peut appliquer le lemme 
\ref{lalimiteppdansLp} et on conclut que $f$ est dans $L^{p'}(C)$.  Reste \a
montrer  que $\tilde f(v)=\int_C fv$ pour tout $v\in L^p(C)$.  Mais cette
relation est vraie si $v $ est dans un quelconque $V_k$ : c'est la relation 
(\ref{dualitedansCpleq2}).Donc les formes
lin\e aires  $\tilde f$ et $f$ co\ii cident sur un sous espace
dense de $L^p(C)$, l'union des $V_k$, et donc partout.
\enddemo

\begin{lem} Si $p\leq 2$, $L^p(\real^N)$ est r\e flexif et $(L^p)'=L^{p'}$.
\end{lem}
\paragraph{D\e monstration}
On consid\ee re les espaces emboit\e s $V_l=L^p(C_l)$, o\u $C_l=[-l,l]^N$, $l\in
\natural$.  Par le lemme{caspleq2} il existe des fonctions $f\in L^{p'}(C_l)$
telles que 
\fb& \label{dualitedansCl}
\forall v\in L^p(C_l), \;\tilde f(v) = \int_C f_l(x)v(x)dx
\fe&
et on a de plus $f_{k+l}_{C_l}=f_l$ et 
\fb& \label{estimationdesf-l}
||f_l||_{L^{p'}}\leq ||\tilde
f||_{(L^p)'}.
\fe&
  On peut donc poser $f(x) = f_l(x)$ si $x\in C_l$.  En appliquant
le th\e or\ee me de Beppo-Levi, on d\e duit de (\ref{estimationdesf-l}) que 
$f\in L^{p'}$ et $||f||_{L^{p'}}\leq ||\tilde f||_{(L^p)'}.$
Comme $f$ (consid\e r\e e comme une forme lin\e aire sur $L^p$) et $\tilde f$
coincident sur le sous-espace dense de
$L^p$, $\cup_l V_l$, elles sont \e gales.
\enddemo

\begin{lem} \label{reflexivitepgeq2}
Soit $p\geq 2$.  Alors $L^p$ est r\e flexif et $(L^p)'= L^{p'}$.

\end{lem}
\paragraph{D\e monstration}
  Soit l'application $T$ qui \a
tout \e l\e ment de $L^p$ associe la forme lin\e aire $Tu$ sur $L^{p'}$ d\e finie
par 
$Tu(v)=\int uv$.
Cette application est une isom\e trie de $L^p$ sur $T(L^p)\subset
(L^{p'})'=L^p$.  En effet, on a $|Tu(v)\leq ||u||_{L^p}||v||_{L^{p'}}$ par l'in\e
galit\ea de H\ooo lder.  Donc $||Tu||_{(L^{p'})'}\leq ||u||_{L^p}$.  Mais en
consid\e rant la fonction duale de $u$, $f=\signe(u)|u|^{p-1}$, on voit que 
$f\in L^{p'}$, $||f||_{L^p'}=||u||_{L^p}^p$ et $Tu(f)=||u||_{L^p}^p$. Donc 
$Tu(f)=||f||_{L^{p'}}||u||_{L^p}$ et on conclut que
$||Tu||_{(L^{p'})'}=||u||_{L^p}$.  $T$ est donc bien une isom\e trie de $L^p$ sur
son image $T(L^p)\subset (L^{p'})'$.  Comme $L^p$ est complet, $T(L^p)$ est un
sous-espace ferm\ea d'un espace r\e flexif. En effet, $p'\leq 2$ et donc on sait
que $L^{p'}$ est r\e flexif et aussi son dual.  On conclut que $L^p$ est r\e
flexif.  

\enddemo
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
\begin{lem}\label{convergencefaibledesrestrictions}
Soit $\tilde f$ une forme lin\e aire sur $L^p$ et $f_k\in V_k$ sa restriction \a
$V_k$ munie de la norme $(L^p)'$.  Alors $f_k\rightharpoonup f$ dans
$\sigma((L^p)', L^p)$.
\end{lem}
%
\paragraph{D\e monstration}
On veut montrer que $\forall v\in L^p, \int f_kv \to \int fv.$  Mais comme les
$V_k$ sont des espaces emboit\e s d'union dense, 
$$\forall v\in L^p, \; \forall \varepsilon>0,\; \exists k_0, \; k\geq k_0
\Rightarrow \exists v_k\in V_k,\; ||v-v_k||_{L^p}\leq \varepsilon.$$
Donc 
$$|f_k(v)-f(v)|\leq |f_k(v)-f_k(v_k)|+|f_k(v_k)-f(v_k)|+|f(v_k)-f(v)|\leq$$
$$2||f||_{(L^p)'} ||v_k-v||_{L^p} ,$$
car $|f_k(v_k)-f(v_k)=0$ par d\e finition de $f_k$.
\enddemo

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter{S\e ries de Fourier et cordes vibrantes}
On consid\ee re une corde \e lastique, fix\e e aux deux extr\e mit\e s situ\e es en 
deux points de l'espace distants de $L$. 
On note pour tout temps $t\geq 0$ et $0\leq x\leq L$, $y(t, x)$ l'\e cartement de la corde
par rapport
\a sa position de repos.  Les points de  la corde sont donc param\e tr\e s par $(x,
y(t, x))$. On note $y_t(t,x)$ la d\e riv\e e partielle premi\ee re de $y$ par rapport
\a $t$ et on notera de m\eee me $y_x(t,x)$, $y_{xx}$, $y_{tt}$, etc.

 L'\e nergie de la corde est, \a un facteur pr\ee s, \e gale \a
$$
E(t,y) = \frac 1 2\int_0^T |y_t|^2(t,x)dx + \omega^2 \int_0^T \sqrt{1 + |y_x|^2}dx,
$$
o\u le premier terme est l'\e nergie cin\e tique et le second l'\e nergie potentielle,
proportionnelle \a l'\e longation de la corde. On suppose que la corde vibre depuis un 
moment, de sorte que $y_x$ est devenu petit et on lin\e arise l'\e nergie potentielle. 
L'\e nergie lin\e aris\e e est
donc, apr\ee s un d\e veloppement limit\ea (\a v\e rifier !),
multiplication par 2 et suppression d'un terme constant : 
\fb&
\label{energiecordevibrante}
E(t,y) = \int_0^T  |y_t|^2(t,x)dx + \omega^2 \int_0^T  |y_x|^2dx.
\fe&
  On note $y(0,x)=y_0(x)$ la position initiale de la corde.
\newline
On peut passer de l'expression de l'\e nergie de la corde vibrante \a son \e
quation d'\e volution,
\fb& \label{equationcordevibrante}
y_{tt}-\omega^2y_{xx}=0, \hbox {  avec  } y(t,0)=y(t,L)=0 \hbox{ et } y(0,x)=y_0(x), \; 
y_t(0,x) = 0.
\fe&
On va se contenter de justifier cette \e quation en utilisant $F=m\gamma$. 
Consid\e rons un
\e l\e ment de la corde dont la projection sur l'axe de la corde est
$(x, x+dx)$. La masse de cet \e l\e ment est proportionnelle \a sa longueur, 
$\sqrt{1+ |y_x|^2}dx$ qui est peu diff\e rent de $dx$.  L'acc\e l\e ration est, si on n\e
glige sa composante tangentielle 
$\gamma = y_{tt}$.  La force $F$ \a laquelle est soumis l'\e l\e ment de corde est
la diff\e rence des tensions en $x$ et en $x+dx$, $T(x)$ et $T(x+dx)$.  Mais la tension
est constante le long de la corde et tangente \a celle-ci.  On a donc
$T(x) = \omega^2 \frac {(1, y_x(x))}{\sqrt{1+ |y_x(x)|^2}}$.  
et, si on n\e glige les termes en $y_x$,  la force est donc $F=
T(x+dx)-T(x)=\omega^2y_{xx}dx$.  L'\e quation $F=m\gamma$ donne alors bien 
(\ref{equationcordevibrante}).
\newline
Inversement, supposons que $y$ soit $C^3$ et v\e rifie
l'\e quation de la corde vibrante (\ref{equationcordevibrante}).   On peut alors
montrer que l'\e nergie (\ref{energiecordevibrante}) ne d\e pend pas de
$t$. Pour cela, on multiplie l'\e quation (\ref{equationcordevibrante}) par $y_t$
et on int\e gre entre 0 et $L$.  On obtient (pour abr\e ger, on \e
crit
$\int$ pour $\int_0^L$)
$$\int y_{tt}y_t = \omega^2 \int y_{xx}y_t.$$
En utilisant le th\e or\ee me de d\e rivation sous le signe somme \a gauche et en 
int\e grant par parties \a droite, 
$$\frac {d}{dt}\int y_t^2 = -\omega^2 \int y_xy_{xt},$$
et en utilisant le th\e or\ee me de d\e rivation sous le signe somme \a droite,
$$\frac{d}{dt}\int y_t^2 = -\omega^2 \frac {d}{dt}\int y_x^2,$$ soit
$$\frac{d}{dt}E(t,y) = 0$$
comme annonc\e .
Dans la suite, il sera commode d'\e crire $y(t)$ pour la fonction $x\to
y(t,x)$.

\begin{pro}\label{developpementdelasolution} Les solutions $C^2$  de l'\e quation
(\ref{equationcordevibrante}) des cordes vibrantes peuvent s'\e crire sous la forme
d'une s\e rie de Fourier \a coefficients variables
$$y(t)=\sum_1^\infty c_k(0)\cos(\frac{k\pi \omega t} {L})\sin(\frac{k\pi
x}{L}),$$
o\u $c_k(0) = \lambda_k=\frac 2 L \int_0^L y_0(0,x) \sin(\frac{k\pi
x}{L})dx$ repr\e sentent les coefficients de Fourier de la position initiale de
la corde  $y_0(x)$ sur la base en sinus.
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration}
  On a $y(t)\in
C^2(0,L)\subset L^2(0,L)$ et donc
$$y(t,x)=\sum_{k\in \natural^*}c_k(t)\sin(\frac{k\pi x}{L}),$$
car les fonctions $\sqrt{\frac 2 L}\sin(\frac{k\pi x}{L})$, $k\in \natural^*$  forment
une base hilbertienne de $L^2(0,L)$.  Cette base est particuli\ee rement bien adapt\e e
au probl\ee me, car ses \e l\e ments s'annulent en 0 et $L$ comme $y(t)$.  Comme
$y(t)\in C^2(0,L)$, la convergence de la s\e rie de Fourier de $y(t)$ est uniforme.
On a $c_k(t) = \frac 2 L \int_0^L y(t,x)\sin(\frac{k\pi x}{L})dx$ et, comme $y$ a
\e t\ea aussi suppos\e e 
$C^2$ en $t$, on voit que $c_k(t)$ est deux fois d\e rivable en $t$, gr\^{a}ce au
th\e or\ee me de d\e rivation sous le signe somme.  On a donc
$$c_k''(t) = \frac 2 L\int_0^L y_{tt}(t,x)\sin(\frac{k\pi x}{L})dx.$$
En utilisant (\ref{equationcordevibrante}) en int\e grant deux fois par parties et en
utilisant $y(t,0)=y(t,L)=0$~:
$$c_k''(t) = \frac 2 L \int_0^L\omega^2y_{xx}(t,x)\sin(\frac{k\pi x}{L}) dx=$$
$$
-\frac 2 L \int_0^L(\omega \frac{k\pi}{L})^2y(t,x)\sin(\frac{k\pi x}{L}) dx=
-(\frac{k\pi \omega}{L})^2c_k(t).$$
On a donc $c_k(t)=\lambda_k\cos(\frac{k\pi \omega t} {L})+\mu_k\sin(\frac{k\pi
\omega t}{L})$.  Comme la corde pinc\e e a une vitesse initiale nulle, on a
$y_t(0,x)=0$ et donc, par le th\e or\ee me de d\e rivation sous le signe somme,
$$c_k'(0) = \mu_k(\frac{k\pi \omega}{L})= \frac 2 L \int_0^L
y_{t}(0,x)\sin(\frac{k\pi x}{L})dx= 0.$$
On a aussi 
$c_k(0) = \lambda_k=\frac 2 L \int_0^L y_0(0,x) \sin(\frac{k\pi
x}{L})dx$, et on obtient $c_k(t)=c_k(0)\cos(\frac{k\pi \omega t}{L})$, soit
$$y(t)=\sum_1^\infty c_k(0)\cos(\frac{k\pi \omega t} {L})\sin(\frac{k\pi
x}{L}).$$
\enddemo

Examinons maintenant le cas particulier d'une corde pinc\e e.
Si nous pin\c cons une corde, nous avons une condition initiale du type
$y_0(x) = \beta (\alpha L - |x-\alpha L|-(2\alpha -1)x).$  La corde est suppos\e e
\eee tre initialement immobile ($y_t(0,x)=0$).  
 On a donc $y_0(x)=2\beta\alpha(L-x)$ si $x\geq \alpha L$, $y_0(x) =
2\beta(1-\alpha)x$  si $x\leq \alpha L$. On  a $y_0(0)=y_0(L)=0$ et \a
l'endroit du pincement,
$y_0(\alpha L) = 2\alpha\beta L(1-\alpha)$.  Comme la corde pinc\e e est immobile \a
l'instant 0, le premier terme de l'\e nergie $E$ est nul.  Donc l'\e nergie de la
corde est
$$E(y(t))= E(y_0) = 4\beta^2((\alpha L (1-\alpha))^2 + (L(1-\alpha)\alpha)^2)=
8\beta^2\alpha^2(1-\alpha)^2L^2,$$
car on a vu que l'\e nergie reste constante.
En utilisant la th\e orie hilbertienne, on peut calculer la solution de
(\ref {equationcordevibrante}) avec comme condition initiale le "pincement de
corde".  On est amen\ea \a calculer les coefficients de Fourier de $y_0$ et
de $y(t)$. Calculons d'abord les coefficients de Fourier de $y_0$.  On int\ee gre
par parties et on utilise la nullit\ea de $y_0$ et de $\sin(\frac{k\pi x}{L})$ en
0 et
$L$~:
$$\frac L 2 c_k(y_0)=\int_0^L y_0(x)\sin(\frac{k\pi x}{L})dx=
\frac L{k\pi}(\int_0^{\alpha L} 2\beta(1-\alpha)\cos(\frac{k\pi x}{L})dx +
\int_{\alpha L}^L (-2\beta\alpha)\cos(\frac{k\pi x}{L})dx ;
$$
$$ c_k(y_0)=  4(\frac L{k\pi})^2\frac \beta L
\sin(k\pi\alpha).$$
On d\e finit la solution de (\ref{equationcordevibrante}) en utilisant la formule
de la proposition \ref{developpementdelasolution},
$$y(t)=\sum_1^\infty c_k(0)\cos(\frac{k\pi \omega t}{L})\sin(\frac{k\pi x}{L}).$$
On voit qu'on obtient le son le plus pur (avec le moins d'harmoniques) en pin\c cant la
corde
\a moiti\e , un son plus riche  en pin\c cant au tiers, etc.  Remarquer en tout cas
que le choix de l'endroit  de pincement change la r\e partition des harmoniques et
donc le timbre.   La formule d\e finissant $y(t)$  implique  que $y(t,x)$ est
continue,  mais elle n'implique m\eee me pas qu'elle soit d\e rivable !  On a
pourtant bien obtenu une combinaison lin\e aire (infinie) de solutions de
(\ref{equationcordevibrante}).   On  r\e soud ce paradoxe gr\^{a}ce \a la th\e orie
des distributions, qui nous assure que
$y(t)$ est solution "au sens des distributions" de  l'\e quation des cordes
vibrantes.



 La d\e couverte de Fourier nous permet de comprendre mieux les choix "harmoniques"
effectu\e s par plusieurs traditions musicales, clairement influenc\e s par
l'usage d'instruments \a cordes ou de tubes vibrants  (pour lesquels la th\e orie
est essentiellement la m\eee me que pour les cordes).   On remarque que des modes
de vibration propres sont associ\e s \a une corde tendue, de longueur $L$.  Si on
la pince, on "entend" le "fondamental", $f_1(t,x) = \cos(\frac {\pi\omega
t}{L})\sin (\frac {\pi x}{L})$, qui vibre \a la fr\e quence $\frac {\pi\omega}
L$.  Attention : $\omega$ d\e pend de la masse et de la tension de la corde au
repos.  Nous entendons aussi les "harmoniques",
$f_2$, $f_3$, $f_4$, etc..  Si maintenant nous appuyons sur la corde exactement au
milieu et nous la faisons vibrer, nous entendons "l'octave", qui n'est autre que 
$f_2$, ainsi que ses harmoniques $f_4$, $f_6$, $f_8$.  Tous les harmoniques de l'octave
sont donc des harmoniques de la fondamentale.  Cette remarque reste vraie si on pince
la corde au tiers, au quart, au cinqui\ee me.  Il y a donc connivence entre ces sons qui,
par leur ressemblance avec la fondamentale et entre eux, donnent une impression
d'"harmonie".  
 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Le probl\ee me de la corde vibrante}


On consid\ee re une corde \e lastique, fix\e e aux deux extr\e mit\e s situ\e es en 
deux points de l'espace distants de $L$. 
On note pour tout temps $t\geq 0$ et $0\leq x\leq L$, $y(t, x)$ l'\e cartement de la corde
par rapport
\a sa position de repos.  Les points de  la corde sont donc param\e tr\e s par $(x,
y(t, x))$. On note $y_t(t,x)$ la d\e riv\e e partielle premi\ee re de $y$ par rapport
\a $t$ et on notera de m\eee me $y_x(t,x)$, $y_{xx}$, $y_{tt}$, etc.

% L'\e nergie de la corde est, \a un facteur pr\ee s, \e gale \a
%$$
%E(t,y) = \frac 1 2\int_0^T |y_t|^2(t,x)dx + \omega^2 \int_0^T \sqrt{1 +
%|y_x|^2}dx,
%$$
%o\u le premier terme est l'\e nergie cin\e tique et le second l'\e nergie
%potentielle, proportionnelle \a l'\e longation de la corde. On suppose que la
%corde vibre depuis un  moment, de sorte que $y_x$ est devenu petit et on lin\e
%arise l'\e nergie potentielle.  L'\e nergie lin\e aris\e e est
%donc, apr\ee s un d\e veloppement limit\ea (\a v\e rifier !),
%multiplication par 2 et suppression d'un terme constant : 
%\fb&
%\label{energiecordevibrante}
%E(t,y) = \int_0^T  |y_t|^2(t,x)dx + \omega^2 \int_0^T  |y_x|^2dx.
%\fe&
%  On note $y(0,x)=y_0(x)$ la position initiale de la corde.
%\newline
%\drem
%On peut passer de l'expression de l'\e nergie de la corde vibrante \a son \e
%quation d'\e volution,
Pour de peties oscillations (et sans prendre en compte la viscosit\ea de l'air),
l'\e quation de la corde vibrante est
\fb& \label{equationcordevibrante}
y_{tt}-\omega^2y_{xx}=0, \hbox {  avec  } y(t,0)=y(t,L)=0 \hbox{ et } y(0,x)=y_0(x), \; 
y_t(0,x) = 0.
\fe&
%On va se contenter de justifier cette \e quation en utilisant $F=m\gamma$. 
%Consid\e rons un
%\e l\e ment de la corde dont la projection sur l'axe de la corde est
%$(x, x+dx)$. La masse de cet \e l\e ment est proportionnelle \a sa longueur, 
%$\sqrt{1+ |y_x|^2}dx$ qui est peu diff\e rent de $dx$.  L'acc\e l\e ration est,
%si on n\e glige sa composante tangentielle 
%$\gamma = y_{tt}$.  La force $F$ \a laquelle est soumis l'\e l\e ment de corde est
%la diff\e rence des tensions en $x$ et en $x+dx$, $T(x)$ et $T(x+dx)$.  Mais la
%tension est constante le long de la corde et tangente \a celle-ci.  On a donc
%$T(x) = \omega^2 \frac {(1, y_x(x))}{\sqrt{1+ |y_x(x)|^2}}$.  
%et, si on n\e glige les termes en $y_x$,  la force est donc $F=
%T(x+dx)-T(x)=\omega^2y_{xx}dx$.  L'\e quation $F=m\gamma$ donne alors bien 
%(\ref{equationcordevibrante}).
%\frem
%\drem
%Inversement, supposons que $y$ soit $C^3$ et v\e rifie
%l'\e quation de la corde vibrante (\ref{equationcordevibrante}).   On peut alors
%montrer que l'\e nergie (\ref{energiecordevibrante}) ne d\e pend pas de
%$t$. Pour cela, on multiplie l'\e quation (\ref{equationcordevibrante}) par $y_t$
%et on int\e gre entre 0 et $L$.  On obtient (pour abr\e ger, on \e
%crit
%$\int$ pour $\int_0^L$)
%$$\int y_{tt}y_t = \omega^2 \int y_{xx}y_t.$$
%En utilisant le th\e or\ee me de d\e rivation sous le signe somme \a gauche et en 
%int\e grant par parties \a droite, 
%$$\frac {d}{dt}\int y_t^2 = -\omega^2 \int y_xy_{xt},$$
%et en utilisant le th\e or\ee me de d\e rivation sous le signe somme \a droite,
%$$\frac{d}{dt}\int y_t^2 = -\omega^2 \frac {d}{dt}\int y_x^2,$$ soit
%$$\frac{d}{dt}E(t,y) = 0$$
%comme annonc\e .
%\frem
Pour donner un sens \a l'\e quation des ondes m\eee me quand $y(t,x)$ n'est pas
$C^2$,on note pour tout $x$, $y_{tt}$ la d\e riv\e e au sens des distributions de
$t\to y(t,x)$. On dira que
$y(t,x)\in L^1{loc}(\real\times
\real)$ est une solution de l'\e quation des cordes vibrantes
(\ref{equationcordevibrante}) si la d\e riv


 Dans la suite,
il sera commode d'\e crire $y(t)$ pour la fonction
$x\to y(t,x)$.  On va rechercher une solution de l'\e quation des ondes telle que
pour tout $t\geq 0$, $y(t)\in L^2(0,L)$.  On peut alors d\e velopper $y(t)$ sur la
base en sinus, ce qui donne $y(t)=\sum_{k\in\natural^*}c_k(t)\sin(\frac{k\pi x}L)$.
 


\begin{pro}\label{developpementdelasolution} On dira que l'\e quation 
(\ref{equationcordevibrante}) des cordes vibrantes a une  solution si
 pour tout $t$, $y(t)\in L^2(0,L).$ et si  les
coefficients de $y(t)$ sur la base en sinus,  $t\to c_k(t)$ sont $C^2$ et v\e
rifient 
$$c''_k(t)=c  
 Elle s'\e crit de mani\ee re unique sous
la forme d'une s\e rie de Fourier
\a coefficients variables
$$y(t,x)=\sum_1^\infty c_k(0)\cos(\frac{k\pi \omega t} {L})\sin(\frac{k\pi
x}{L}),$$
o\u $c_k(0) = \lambda_k=\frac 2 L \int_0^L y_0(0,x) \sin(\frac{k\pi
x}{L})dx$ repr\e sentent les coefficients de Fourier de la position initiale de
la corde  $y_0(x)$ sur la base en sinus.
\end{pro}
\paragraph{D\e monstration} On commence par remarquer que 
 On a une solution parachut\e e,
 $y(t,x)=u(x-\omega t)+v(x+\omega t)$ et en tenant compte des conditions aux 
 limites, on a en $t=0$ $u(x)+v(x)=y_0$, et comme $y_(0,x)=y_0(0)=0$, $-\omega
 u'+\omega
 v'=0$. Donc $u=v+cte$. Comme $u(0)+v(0)=0$, $u(2\pi)+v(2\pi)=0$, on tire que ?
  par ailleurs, $y(t,0)=0$, donc $u(-\omega t)+v(\omega t)=0$.  Donc 
 $v(-\omega t) + v(\omega t)=Cte$.  Comme $u(0)+v(0)=0$ et $u=v+cte$,  
  on obtient que la solution $y(t,x)=y_0(x-\omega t )+y_0(x+\omega t),$ \a 
  condition de rendre impaire $y_0$ relativement \a 0 et $2\pi$, puis de la 
  p\e riodiser.
 l'int\e r\eee t de l'\e tude en Fourier est de formaliser l'analyse du son 
 et de mettre en \e vidence les harmoniques, etc. On a bien une solution au sens
  distributions \a condition de se placer dans $\real^+\times \real$. Si on 
  travaille en une dimension avec la th\e orie des distributions,


\paragraph{D\e monstration}
Si $x\to y(t,x)\in L^2(0,L)$, on peut \e crire  $$y(t,x)=\sum_{k\in
\natural^*}c_k(t)\sin(\frac{k\pi x}{L}),$$ car les fonctions $\sqrt{\frac 2
L}\sin(\frac{k\pi x}{L})$, $k\in \natural^*$  forment une base hilbertienne de
$L^2(0,L)$.  Cette base est particuli\ee rement bien adapt\e e au probl\ee me, car
ses \e l\e ments s'annulent en 0 et $L$ comme $y(t)$. 
On a $c_k(t) = \frac 2 L \int_0^L y(t,x)\sin(\frac{k\pi x}{L})dx$ et, comme $y$ a
\e t\ea  suppos\e e 
$C^2$ en $t$, on voit que $c_k(t)$ est deux fois d\e rivable en $t$, gr\^{a}ce au
th\e or\ee me de d\e rivation sous le signe somme.  On a donc
$$c_k''(t) = \frac 2 L\int_0^L y_{tt}(t,x)\sin(\frac{k\pi x}{L})dx.$$
En utilisant (\ref{equationcordevibrante}) en int\e grant deux fois par parties et en
utilisant $y(t,0)=y(t,L)=0$~:
$$c_k''(t) = \frac 2 L \int_0^L\omega^2y_{xx}(t,x)\sin(\frac{k\pi x}{L}) dx=$$
$$
-\frac 2 L \int_0^L(\omega \frac{k\pi}{L})^2y(t,x)\sin(\frac{k\pi x}{L}) dx=
-(\frac{k\pi \omega}{L})^2c_k(t).$$
On a donc $c_k(t)=\lambda_k\cos(\frac{k\pi \omega t} {L})+\mu_k\sin(\frac{k\pi
\omega t}{L})$.  Comme la corde pinc\e e a une vitesse initiale nulle, on a
$y_t(0,x)=0$ et donc, par le th\e or\ee me de d\e rivation sous le signe somme,
$$c_k'(0) = \mu_k(\frac{k\pi \omega}{L})= \frac 2 L \int_0^L
y_{t}(0,x)\sin(\frac{k\pi x}{L})dx= 0.$$
On a aussi 
$c_k(0) = \lambda_k=\frac 2 L \int_0^L y_0(0,x) \sin(\frac{k\pi
x}{L})dx$, et on obtient $c_k(t)=c_k(0)\cos(\frac{k\pi \omega t}{L})$, soit
$$y(t)=\sum_1^\infty c_k(0)\cos(\frac{k\pi \omega t} {L})\sin(\frac{k\pi
x}{L}).$$
Remarquer que la solution trouv\e e est une somme infinie de solutions $C^\infty$
mais n'est elle-m\eee me que dans $L^2(O,L)$ pour chaque temps $t$.
\enddemo


