Partiel d’analyse, magistère de Mathématiques, ENS Cachan, Novembre 2000 Le polycopié et les notes sont autorisés. Ne pas redémontrer ce qui est prouvé dans le polycopié ou dans un exercice corrigé. Se contenter de citer précisément les passages du polycopié utilisés.

Exercice 1 Généralisation de Hölder. Soit u : [0, +∞[→ [0, +∞[, une bijection strictement croissante.

(a) Montrer qu’il existe une suite u_{n} de fonctions du même type que u, mais C^{∞}, qui convergent uniformément vers u sur tout compact. Conseil : étendre u par imparité en posant u(−x) = −u(−x) pour x ≠ 0.

(b) Montrer que xu(x) = ∫_{0}^{x} u(t)dt + ∫_{0}^{u(x)} u^{−1}(t)dt. On recommande de dessiner le graphe de u et de hachurer les aires correspondant aux trois termes.

(c) On pose U(x) = ∫_{0}^{x} u(t)dt et V (y) = ∫_{0}^{y} u^{−1}(t)dt. Déduire que xy ≤ U(x)+V (y). Que donne cette formule si u(s) = s^{α}, 0 < s < +∞ ? Conclure que si U(f) ∈ L^{1} et V (g) ∈ L^{1}, alors fg ∈ L^{1}.

Exercice 2 La fonction p → ||f||_{p}^{p}. Soit f une fonction mesurable à valeurs réelles. On considère h :]0, +∞[→ IR^{+} définie par h(p) = ||f||_{L^{p}}^{p}. On note E = {p, h(p) < +∞.}. On suppose que f ≠ 0 (p.p.).

(a) Montrer que E est un intervalle.

(b) Montrer que Log h est convexe dans l’intérieur de E et que h est continue sur E.

(c) E est-il nécessairement ouvert ? fermé ? Peut-il être réduit à un point ? Peut-il être n’importe quel intervalle de [0, +∞[ ?

Exercice 3 Application du théorème de Banach-Steinhaus à l’étude de séries.

(a) Soient c_{0} l’ensemble des suites de complexes (ξ_{n})_{n} convergeant vers 0, muni de la norme ||ξ||_{∞} = sup_{n} |ξ_{n}| et soit l^{1} l’ensemble des suites α_{n} telles que ∑_{n} |α_{n}| < +∞. Montrer que ce sont des espaces de Banach et que c′_{0} = l^{1}.

(b) Montrer que si ∑_{n} α_{n}ξ_{n} converge pour toute suite ξ_{n} telle que ξ_{n} → 0 quand n → ∞, alors ∑_{n} |α_{n}| < +∞.

Exercice 4 Application du théorème de Banach-Steinhaus à l’étude des séries de Fourier.

Dans un espace topologique, on appelle G_{δ} toute intersection dénombrable d’ouverts. On appelle de même F_{σ} toute union dénombrable de fermés (Notations dues à Hausdorff ; en allemand Gebiet = ouvert, Summe = somme et Durchschnitt = intersection.) Les G_{δ} denses sont intuitivement des ensembles ”gros”. On va en particulier donner une condition simple pour qu’ils ne soient pas dénombrables :

(a) Montrer que dans un espace métrique complet E sans point isolé, aucun ensemble dense et dénombrable ne peut être un G_{δ}.

(b) Formulation précisée du théorème de Banach-Steinhaus : En reprenant la démonstration du théorème de Banach-Steinhaus, montrer que si E et F sont deux espaces de Banach et T_{i} une famille d’opérateurs linéaires continus de E dans F, on a l’alternative suivante : -ou bien sup_{i∈I} ||T_{i}|| < +∞ -ou bien sup_{i∈I} ||T_{i}(x)|| = +∞ pour x dans un G_{δ} dense de E.

(c) On note C(T) l’espace des fonctions f : IR → C continues et 2π-périodiques, muni de la norme de la convergence uniforme et L^{1}(T) = L^{1}(0, 2π). Pour f ∈ C(T), on considère pour n ∈ IN les sommes partielles de la série de Fourier de f,

s_{n}f(x) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} f(t)D_{n}(x − t)dt,

où

D_{n}(t) = ∑_{−n}^{n} e^{ikt}.

Connaissez-vous des conditions suffisantes sur f pour que s_{n}f(x) tende vers f(x) ?

(d) On va montrer qu’il n’est pas vrai que s_{n}f(x) converge vers f(x) pour tout f ∈ C(T) et pour tout x. On pose

s^{⋆}f(x) = sup_{n} |s_{n}f(x)|, et S_{n}f = s_{n}f(0).

Montrer que la forme linéaire sur C(T), f → S_{n}f, vérifie

||S_{n}|| ≤ \frac{1}{2π} ||D_{n}||_{L^{1}}. (1)

Montrer que cette inégalité est la meilleure possible, c’est--dire qu’il existe pour tout n une suite de fonctions f_{k} ∈ C(T) telles que ||S_{n}f_{k}|| → \frac{1}{2π}||D_{n}||_{L^{1}}.

(e) Montrer que

D_{n}(t) = \frac{sin(n + \frac{1}{2})t}{sin\frac{t}{2}}.

Dessiner D_{n}(t) pour n = 4.

(f) Démontrer que ||D_{n}||_{L^{1}} → ∞ quand n → ∞.

(g) Déduire que ||S_{n}|| → ∞ quand n → ∞, puis que pour tout x dans IR, s^{⋆}f(x) = ∞ pour tout f dans un G_{δ} dense de C(T), noté E_{x}.

(h) Montrer que les fonctions x → s_{n}f(x) sont continues. Montrer que s^{⋆}f(x) est une fonction semicontinue inférieurement et en déduire que A_{f} = {x, s^{⋆}f(x) = ∞} est un G_{δ}.

(i) Soit x_{k} une suite dense de IR et E = ⋂ E_{x_{i}}, où les E_{x_{i}} sont définis à la question (g). Montrer que E est un G_{δ} dense de C(T).

(j) Conclure qu’il existe un G_{δ} dense de C(T) tel que pour tout f ∈ E, la série de Fourier diverge sur un G_{δ} dense, et donc non dénombrable, de IR.

Exercice 5 Techniques d’espaces de Banach appliquées à l’étude des séries de Fourier (II). Si f ∈ L^{1}(0, 2π), on considère ses coefficients de Fourier, pour n ∈ Z,

c_{n}(f) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} f(t)e^{−int}dt.

On appelle c(f) = (c_{n}(f))_{n∈Z} la suite des coefficients de Fourier, indexée par Z. On note C_{0}(Z) l’ensemble des suites c indexées par Z telles que c_{n} → 0 quand n → ±∞, muni de la norme ||c||_{∞} = sup_{n} |c_{n}|.

(a) Montrer que si f ∈ L^{1}(0, 2π) vérifie ∫ f(x)p(x) = 0 pour tout polynôme trigonométrique, alors f(x) = 0 p.p..

(b) Montrer que l’application f → c(f) est une application linéaire continue de L^{1}(0, 2π) dans C(Z).

(c) Montrer que l’application f → c(f) est injective.

(d) En utilisant les propriétés des fonctions D_{n}(t) de l’exercice précédent, notamment le résultat de la question (e), montrer que l’application f → c(f) ne peut pas être surjective de L^{1}(T) dans C_{0}(Z).

Exercice 6 Et pour quelques points de plus... Démontrer le théorème d’Egoroff.