Partiel d’analyse, magistère de Mathématiques, ENS Cachan, Novembre 2000 Le polycopié et les notes sont autorisés. Ne pas redémontrer ce qui est prouvé dans le polycopié ou dans un exercice corrigé. Se contenter de citer précisément les passages du polycopié utilisés.

Exercice 1 Généralisation de Hölder. Soit u : [0, +∞[→ [0, +∞[, une bijection strictement croissante.

(a) Montrer qu’il existe une suite u_{n} de fonctions du même type que u, mais C^{∞}, qui convergent uniformément vers u sur tout compact. Conseil : étendre u par imparité en posant u(−x) = −u(−x) pour x ≠ 0.

(a) On étend u comme indiqué. Ensuite, on convole u avec un noyau régularisant k_{n} = nk(nx), où k est C^{∞}, à support compact, k ≥ 0, ∫ k = 1. Alors on sait que k_{n} ∗ u converge uniformément sur tout compact vers u. Il est immédiat que u_{n} hérite de la stricte croissance de u. Si k est paire, on vérifie aisément que l’on a aussi u(0) = 0. Egalement facile de voir que u ∗ k_{n}(x) = u_{n}(x) tend vers l’infini quand x → ∞ en utilisant le fait que k_{n} est à support borné.

(b) Montrer que xu(x) = ∫_{0}^{x} u(t)dt + ∫_{0}^{u(x)} u^{−1}(t)dt. On recommande de dessiner le graphe de u et de hachurer les aires correspondant aux trois termes.

(b) Supposons que u soit C^{1}. Alors en faisant le changement de variable d’intégration s = u^{−1}(t), puis une intégration par parties,

∫_{0}^{u(x)} u^{−1}(t)dt = ∫_{0}^{x} su′(s)ds = xu(x) − ∫_{0}^{x} u(t)dt,

ce qui prouve la relation quand u est C^{1}. Si maintenant u n’est pas C^{1}, on applique le résultat à l’approximation u_{n} donnée au (a) et on fait tendre n vers l’infini.

(c) On pose U(x) = ∫_{0}^{x} u(t)dt et V (y) = ∫_{0}^{y} u^{−1}(t)dt. Déduire que xy ≤ U(x)+V (y). Que donne cette formule si u(s) = s^{α}, 0 < s < +∞ ? Conclure que si U(f) ∈ L^{1} et V (g) ∈ L^{1}, alors fg ∈ L^{1}.

(c) On applique la relation montrée en (b) : supposons par exemple que y ≥ u(x). Alors, en remarquant que pour t ∈ [u(x), y], x ≤ u^{−1}(t),

xy = xu(x) + x(y − u(x)) = ∫_{0}^{x} u(t)dt + ∫_{0}^{u(x)} u^{−1}(t)dt + x(y − u(x)) ≤

∫_{0}^{x} u(t)dt + ∫_{0}^{u(x)} u^{−1}(t)dt + ∫_{u(x)}^{y} u^{−1}(t)dt = ∫_{0}^{x} u(t)dt + ∫_{0}^{y} u^{−1}(t)dt.

Exercice 2 La fonction p → ||f||_{p}^{p}. Soit f une fonction mesurable à valeurs réelles. On considère h :]0, +∞[→ IR^{+} définie par h(p) = ||f||_{L^{p}}^{p}. On note E = {p, h(p) < +∞.}. On suppose que f ≠ 0 (p.p.).

(a) Montrer que E est un intervalle.

Si r < p < s et r, s ∈ E, on a pour tout réel a > 0, a^{p} ≤ max(a^{r}, a^{s}) ≤ a^{r} + a^{s}, (regarder a > 1, puis a ≤ 1). Donc ∫ |f|^{p} ≤ ∫ |f|^{r} + ∫ |f|^{s}.

(b) Montrer que Log h est convexe dans l’intérieur de E et que h est continue sur E.

(b) Soient q, r ∈ E et 0 < α < 1. Par l’inégalité de Hölder appliquée à f^{αq} et f^{(1−α)r}, avec p = \frac{1}{α}, p′ = \frac{1}{1−α}, on obtient

∫ |f|^{αq+(1−α)r} ≤ (∫ |f|^{q})^{α}(∫ |f|^{r})^{1−α},

ce qui prouve que Log (h) est convexe dans l’intérieur de E. Si les extrémités de E sont a < b, montrons par exemple que ∫ |f|^{s} → ∫ |f|^{b} quand s → b par valeurs inférieures. Par le théorème de Lebesgue,

∫_{|f(x)|≤1} |f(x)|^{s} → ∫_{|f(x)|≤1} |f(x)|^{b}

quand s → b. En effet, sur l’ensemble considéré, |f(x)|^{s} ≤ |f(x)|^{a}, qui est chapeau intégrable. Par le théorème de convergence monotone, on a aussi ∫_{|f(x)|≥1} |f(x)|^{s} → ∫_{|f(x)|≥1} |f(x)|^{b}, ce qui prouve le résultat, que cette dernière intégrale soit finie ou infinie.

(c) E est-il nécessairement ouvert ? fermé ? Peut-il être réduit à un point ? Peut-il être n’importe quel intervalle de [0, +∞[ ?

(c) Prendre pour x ∈ IR^{+}, f(x) = \frac{1}{x}11_{[0,1]} : Alors E = [0, 1[, ce qui répond négativement aux deux premières questions. On peut obtenir E = [1, 1] en prenant sur IR^{+} f(x) = \frac{1}{xLog^{2}x}11_{[0,1]} + \frac{1}{1+xLog^{2}x}11_{[0,1]}. En effet, l’intervalle pour la première fonction de la somme est E = [0, 1] et pour la seconde E = [1, +∞[. En prenant des sommes de puissances adéquates des trois fonctions considérées précédemment, on arrive à obtenir pour E n’importe quel intervalle de IR^{+}.

Exercice 3 Application du théorème de Banach-Steinhaus à l’étude de séries.

(a) Soient c_{0} l’ensemble des suites de complexes (ξ_{n})_{n} convergeant vers 0, muni de la norme ||ξ||_{∞} = sup_{n} |ξ_{n}| et soit l^{1} l’ensemble des suites α_{n} telles que ∑_{n} |α_{n}| < +∞. Montrer que ce sont des espaces de Banach et que c′_{0} = l^{1}.

(b) Montrer que si ∑_{n} α_{n}ξ_{n} converge pour toute suite ξ_{n} telle que ξ_{n} → 0 quand n → ∞, alors ∑_{n} |α_{n}| < +∞.

(b) On considère les opérateurs T_{n}(ξ) = ∑_{i=1}^{n} α_{i}ξ_{i}. Par hypothèse, on a sup_{n} T_{n}(ξ) < +∞ pour tout x. Par le théorème de Banach-Steinhaus, on en déduit que sup_{n} ||T_{n}|| < +∞. Mais

||T_{n}|| = sup_{sup_{i} |ξ_{i}|≤1} | ∑_{i}^{n} α_{i}ξ_{i}| = ∑_{i}^{n} |α_{i}|.

Donc sup_{n} ∑_{1}^{n} |α_{n}| < +∞, soit ∑_{i} |α_{i}| < +∞.

Exercice 4 Application du théorème de Banach-Steinhaus à l’étude des séries de Fourier.

Dans un espace topologique, on appelle G_{δ} toute intersection dénombrable d’ouverts. On appelle de même F_{σ} toute union dénombrable de fermés (Notations dues à Hausdorff ; en allemand Gebiet = ouvert, Summe = somme et Durchschnitt = intersection.) Les G_{δ} denses sont intuitivement des ensembles "gros". On va en particulier donner une condition simple pour qu’ils ne soient pas dénombrables :

(a) Montrer que dans un espace métrique complet E sans point isolé, aucun ensemble dense et dénombrable ne peut être un G_{δ}.

(a) Soient (x_{n})_{n∈IN} les points d’un ensemble dénombrable dense de E. Supposons que E soit un G_{δ}. Alors E = ⋂ O_{n}, où chaque O_{n} est ouvert et dense. Soit U_{n} = O_{n} \ ⋃_{k=1}^{n}{x_{k}}. Alors U_{n} est aussi un ouvert dense, mais ⋂ V_{n} = ∅, ce qui contredit le théorème de Baire.

(b) Formulation précisée du théorème de Banach-Steinhaus : En reprenant la démonstration du théorème de Banach-Steinhaus, montrer que si E et F sont deux espaces de Banach et T_{i} une famille d’opérateurs linéaires continus de E dans F, on a l’alternative suivante : -ou bien sup_{i∈I} ||T_{i}|| < +∞ -ou bien sup_{i∈I} ||T_{i}(x)|| = +∞ pour x dans un G_{δ} dense de E.

(b) Il suffit de relire la démonstration du théorème de Banach-Steinhaus : elle montre en fait l’alternative précédente.

(c) On note C(T) l’espace des fonctions f : IR → C continues et 2π-périodiques, muni de la norme de la convergence uniforme et L^{1}(T) = L^{1}(0, 2π). Pour f ∈ C(T), on considère pour n ∈ IN les sommes partielles de la série de Fourier de f,

s_{n}f(x) = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} f(t)D_{n}(x − t)dt,

où

D_{n}(t) = ∑_{−n}^{n} e^{ikt}.

Connaissez-vous des conditions suffisantes sur f pour que s_{n}f(x) tende vers f(x) ?

(c) On sait que c’est par exemple vrai si f est Höldérienne d’exposant α, c’està-dire |f(x) − f(y)| ≤ |x − y|^{α}, 0 < α < 1.

(d) On va montrer qu’il n’est pas vrai que s_{n}f(x) converge vers f(x) pour tout f ∈ C(T) et pour tout x. On pose

s^{⋆}f(x) = sup_{n} |s_{n}f(x)|, et S_{n}f = s_{n}f(0).

Montrer que la forme linéaire sur C(T), f → S_{n}f, vérifie

||S_{n}|| ≤ \frac{1}{2π} ||D_{n}||_{L^{1}}. (1)

Montrer que cette inégalité est la meilleure possible, c’est-à-dire qu’il existe pour tout n une suite de fonctions f_{k} ∈ C(T) telles que ||S_{n}f_{k}|| → \frac{1}{2π}||D_{n}||_{L^{1}}.

(d) On a

|S_{n}f| ≤ \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} |D_{n}(t)||f(t)|dt ≤ \frac{1}{2π} ||D_{n}||_{L^{1}}||f||_{L^{∞}}.

D’où l’inégalité annoncée. Posons h(t) = Signe(D_{n}(−t)). Comme C_{c}(0, 2π) est dense dans L^{1}(T), on peut trouver f_{k} ∈ C_{c} convergeant dans L^{1} vers h(t). Comme D_{n} est bornée sur T, on déduit que

S_{n}f_{k} = \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} f_{k}(t)D_{n}(−t)dt → \frac{1}{2π} ∫_{−π}^{π} |D_{n}(−t)|dt.

(e) Montrer que

D_{n}(t) = \frac{sin(n + \frac{1}{2})t}{sin\frac{t}{2}}.

Dessiner D_{n}(t) pour n = 4.

(e) S’obtient aisément en sommant la somme géométrique définissant D_{n}. On peut aussi multiplier la somme définissant D_{n} par e^{\frac{it}{2}} et par e^{\frac{−it}{2}} , et soustraire l’une à l’autre les sommes ainsi obtenues.

(f) Démontrer que ||D_{n}||_{L^{1}} → ∞ quand n → ∞.

(f) Compte tenu de |sinx| ≤ |x|, on a

||D_{n}||_{L^{1}} ≥ 4 ∫_{0}^{π} |sin(n + \frac{1}{2})t|\frac{dt}{t} = 4 ∫_{0}^{(n+ \frac{1}{2} )π} |sint|\frac{dt}{t}

> 4 ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{kπ} ∫_{(k−1)π}^{kπ} |sint|dt = \frac{8}{π} ∑_{k=1}^{n} \frac{1}{k} → ∞.

(g) Déduire que ||S_{n}|| → ∞ quand n → ∞, puis que pour tout x dans IR, s^{⋆}f(x) = ∞ pour tout f dans un G_{δ} dense de C(T), noté E_{x}.

(g) La première relation découle immédiatement des questions (f) et (c). Les opérateurs S_{n} étant continus sur C(T) et vérifiant sup_{n} ||S_{n}|| = +∞, il existe par la formulation précisée (a) du théorème de Banach-Steinhaus un G_{δ} dense E_{0} de C(T) tel que s^{⋆}f(0) = +∞ pour tout élément de E_{0}. Mais on peut appliquer ce même résultat à tout point x de IR, ce qui permet de conclure.

(h) Montrer que les fonctions x → s_{n}f(x) sont continues. Montrer que s^{⋆}f(x) est une fonction semicontinue inférieurement et en déduire que A_{f} = {x, s^{⋆}f(x) = ∞} est un G_{δ}.

(h) Chaque fonction s_{n}f est un polynôme trigonométrique en x, donc continue. La fonction x → s^{⋆}f(x) est le sup d’une famille de fonctions continues (les |s_{n}f(x)|). Or, une fonction h est s.c.i. si et seulement les ensembles N_{λ}(h) = {x, h(x) > λ} sont tous ouverts. Si h = sup_{i} f_{i}, et si les fonctions f_{i} sont continues, on a N_{λ}(h) = ⋃_{i} N_{λ}(f_{i}) qui est ouvert puisque les N_{λ}(f_{i}) le sont. L’ensemble

{x, s^{⋆}f(x) = ∞} = ⋂_{λ∈IR} N_{λ}(s^{⋆}f)

est donc un G_{δ}.

(i) Soit x_{k} une suite dense de IR et E = ⋂ E_{x_{i}}, où les E_{x_{i}} sont définis à la question (g). Montrer que E est un G_{δ} dense de C(T).

(i) E est une intersection dénombrable de G_{δ} denses. C’est une intersection dénombrable d’intersections dénombrables d’ouverts denses, et donc encore une intersection dénombrable d’ouverts denses par le lemme de Baire.

(j) Conclure qu’il existe un G_{δ} dense de C(T) tel que pour tout f ∈ E, la série de Fourier diverge sur un G_{δ} dense, et donc non dénombrable, de IR.

(j) On prend le sous-ensemble E défini en question (i). C’est un G_{δ} dense de C(T) par la question précédente. Pour chaque f dans E, on a s^{⋆}f(x_{k}) = sup_{n} s_{n}f(x_{k}) = +∞. Donc le sous-ensemble A_{f} de IR constitué des points x tels que s^{⋆}f(x) = +∞ contient tous les x_{k}. Mais on a aussi vu en question (h) que A_{f} est un G_{δ}. C’est donc un G_{δ} dense, et par la question (a) il n’est pas dénombrable. Comme l’ensemble des points où la série de Fourier de f diverge contient A_{f}, on déduit que cette série diverge sur un G_{δ} non dénombrable, comme annoncé.

Exercice 5 Techniques d’espaces de Banach appliquées à l’étude des séries de Fourier (II). Si f ∈ L^{1}(0, 2π), on considère ses coefficients de Fourier, pour n ∈ Z,

c_{n}(f) = \frac{1}{2π} ∫_{0}^{2π} f(t)e^{−int}dt.

On appelle c(f) = (c_{n}(f))_{n∈Z} la suite des coefficients de Fourier, indexée par Z. On note C_{0}(Z) l’ensemble des suites c indexées par Z telles que c_{n} → 0 quand n → ±∞, muni de la norme ||c||_{∞} = sup_{n} |c_{n}|.

(a) Montrer que si f ∈ L^{1}(0, 2π) vérifie ∫ f(x)p(x) = 0 pour tout polynôme trigonométrique, alors f(x) = 0 p.p..

(a) On rappelle que si ∫ f(x)g(x) = 0 pour toute fonction dans C_{c}(0, 2π), alors f = 0 p.p.. Mais, par le théorème de Stone-Weierstrass, les polynômes trigonométriques sont denses dans C_{c}(0, 2π) pour la convergence uniforme. On conclut aisément.

(b) Montrer que l’application f → c(f) est une application linéaire continue de L^{1}(0, 2π) dans C(Z).

(b) Par le lemme de Riemann-Lebesgue, on sait déja que c_{n}(f) → 0 quand n → ±∞. On a aussi immédiatement c_{n}(f) ≤ ||f||_{L^{1}}. et donc ||c(f)||_{∞} ≤ ||f||_{L^{1}}.

(c) Montrer que l’application f → c(f) est injective.

(c) C’est une conséquence immédiate de la question a). Si en effet c(f) = c(g), on a c(f − g) = 0. Cela veut dire que ∫ (f − g)(t)e^{−int}dt est nul pour tout n et donc l’hypothèse de la question (a) est vérifiée.

(d) En utilisant les propriétés des fonctions D_{n}(t) de l’exercice précédent, notamment le résultat de la question (e), montrer que l’application f → c(f) ne peut pas être surjective de L^{1}(T) dans C_{0}(Z).

(d) Si l’application f → c(f) était surjective, elle serait une bijection de L^{1} sur C_{0}(Z). Par le théorème de l’application ouverte, elle serait alors d’inverse continue et il existerait une constante α > 0 telle que ||f||_{L^{1}} ≤ α||c(f)||_{∞}. Mais une telle inégalité est contredite par les D_{n} : on a en effet c_{k}(D_{n}) = 1 ou 0, donc ||c(D_{n})||_{∞} = 1, alors que ||D_{n}||_{L^{1}} → 0 par la question (e) de l’exercice précédent. Exercice 6 Et pour quelques points de plus... Démontrer le théorème d’Egoroff.