
\documentstyle[12pt,leqno]{article}
\textwidth 15cm
\oddsidemargin 0.96cm
\evensidemargin 0.96cm



%NOTA BENE :  "\pmatrix et \endpmatrix, non compris en latex,
% sont remplaces 
%par \matrice et \findematrice dont la definition suit
%exemple d'utilisation :
%$A=\matrice
%a  & b  \\
%c & d  \\ \findematrice $

\def\matrice{\left(\begin{array}{cccccccccc}}
\def\findematrice{\end{array}\right)}

\def\aligne{\begin{array}{cccccccccc}}
\def\findaligne{\end{array}}

\def\systeme{\left\{\begin{array}{ccccccccc}}
\def\findesysteme{\end{array}\right}




\def\nin{\not\in}                 % la negation de \in
\def\indic{1\!\!1}                % fonction indicatrice
\def\levelset{\chi}           % la surface de niveau
\def\meas{\mathop{\rm meas}}      % mesure de
\def\setB{\SetB}

\def\complex{l\!\!\!C}
\def\mes{\hbox{mes}}
\def\sin{\hbox{sin}}
\def\cos{\hbox{cos}}
%rappel : \overline{cequ'onveut}

\def\real{I\!\!R}
\def\natural{I\!\!N}
\def\relative{{\bf Z}}
\def\rational{{\bf Q}}
\def\complex{{\bf C}}
\def\mes{\hbox{mes}}
\def\sin{\hbox{sin}}
\def\cos{\hbox{cos}}
\def\med{\hbox{med}}
\def\interieur{\hbox{\rm Int\'{e}rieur}}
\def\signe{\hbox{\rm Signe}}
\def\vect{\hbox{\rm Vect}}
\def\Re{\hbox{\rm Re}}
\def\support{\hbox{\rm Support}}
\def\supp{\hbox{\rm Support}}

\def\fb&{\begin{equation}}
\def\fe&{\end{equation}}

%rappel : \overline{cequ'onveut}
\newtheorem{thf}{Th\e or\ee me}%[chapter]
\newtheorem{cor}{Corollaire}%[chapter]
\newtheorem{pro}{Proposition}%[chapter]
\newtheorem{Def}{D\e finition}%[chapter]
\newtheorem{lem}{Lemme}%[chapter]
\newtheorem{exa}{Exemple}%[chapter]

\newtheorem{rem}{Remarque}%[chapter]%  remarque 
\def\drem{\begin{rem}\rm}%  sans
\def\frem{\end{rem}}%      		italique !

\newtheorem{exo}{Exercice}%[chapter]
\newtheorem{propr}{Propri\e t\e}%[chapter]
\newtheorem{Exer}{Exercice}%[chapter]  %Exercice

\def\dexer{\begin{Exer}\rm}    %sans
\def\fexer{\end{Exer}}        %italique !

\def\skipaline{\vspace{4 mm}\noindent}

\def\fb& {\begin{equation}}       % debut d'une equation
\def\fe& {\end{equation}}         % fin d'une equation
\def\enddemo{\hfill $\large\circ$ \newline\newline}     % fin de preuve
\def\Varphi{{\bf \varphi}}
\def\e {\'{e}}
\def\ee {\`{e}}
\def\eee {\^{e}}
\def\e {\'{e}}
\def\ea {\'{e} }
\def\ee {\`{e}}
\def\eee {\^{e}}
\def\a {\`{a} }
\def\aa {\^{a}}
\def\ii {\^{\i}}
\def\iii {\"{\i}}
\def\ccaadd{ c'est-\`{a}-dire }

\def\u {\`{u} }

\def\uu {\^{u}}

\def\oo {\^{o}}
\def\ooo {\"{o}}


\def\skipaline{\vspace{4 mm}\noindent}





\begin{document}
\noindent{\bf Partiel d'analyse, magist\ee re de Math\e matiques, ENS Cachan,
Novembre 2000
}

\noindent {\it  Le polycopi\ea et les notes sont autoris\e s. Ne pas red\e
montrer ce qui est prouv\ea dans le polycopi\ea  ou dans un exercice 
corrig\e .  Se contenter de citer pr\e cis\e ment les passages du polycopi\ea utilis\e s.}

\dexer
\label{exercice1} {\bf G\e n\e ralisation de H\ooo lder.}
\newline
Soit $u$ : $[0, +\infty[\to [0, +\infty[$, une bijection strictement croissante.
\newline
(a) Montrer qu'il existe une suite $u_n$ de fonctions du m\eee me type que $u$,
mais $C^\infty$,  
 qui convergent uniform\e ment vers $u$ sur tout compact.
 \newline
 Conseil : \e tendre $u$ par imparit\ea en posant $u(-x)=-u(-x)$ pour $x\neq 0$.
\newline
\newline
(a) On \e tend $u$ comme indiqu\e . Ensuite, on convole $u$ avec un noyau 
r\e gularisant $k_n =n k(nx)$, o\u  $k$ est $C^\infty$, \a support compact, 
$k\geq 0$, 
$\int k=1$. Alors on sait que $k_n\ast u$ converge uniform\e ment sur tout 
compact vers $u$.  Il  est imm\e diat que $u_n$ h\e rite de la stricte croissance
de $u$. Si $k$ est paire, on v\e rifie ais\e ment que l'on a aussi $u(0)=0$. 
Egalement facile de voir que $u\ast k_n(x)=u_n(x)$ tend vers l'infini quand 
$x\to \infty$ en utilisant le fait que $k_n$ est \a support born\e .
\newline
\newline
(b) Montrer que $xu(x)=\int_0^xu(t)dt+\int_0^{u(x)} u^{-1}(t)dt.$
On recommande de dessiner le graphe de $u$ et de hachurer les aires 
correspondant aux trois termes.
\newline
\newline
(b) Supposons que $u$ soit $C^1$. Alors 
en faisant le changement de variable d'int\e gration $s=u^{-1}(t)$, 
puis une int\e gration par parties,
$$\int_0^{u(x)}u^{-1}(t)dt=\int_0^x su'(s)ds=xu(x)-\int_0^x u(t)dt,$$
ce qui prouve la relation quand $u$ est $C^1$. Si maintenant $u$ n'est pas 
$C^1$, on applique le r\e sultat \a l'approximation $u_n$ donn\e e au 
(a) et on fait tendre $n $ vers l'infini.
\newline
\newline
(c) On pose $U(x)=\int_0^xu(t)dt$ et $V(y)=\int_0^yu^{-1}(t)dt$. D\e duire que
$xy\leq U(x)+V(y)$. Que donne cette formule si $u(s)=s^\alpha $, $0<s<+\infty$ ?
\newline
Conclure que si $U(f)\in L^1$ et $V(g)\in L^1$, alors $fg\in L^1$.
\newline
\newline
(c) On applique la relation montr\e e en (b) : supposons par exemple 
que $y\geq u(x)$. Alors, en remarquant que pour $t\in [u(x), y]$, $x\leq u^{-1}(t),$
$$xy=xu(x)+x(y-u(x))= \int_0^xu(t)dt+\int_0^{u(x)} u^{-1}(t)dt+x(y-u(x))\leq
$$
$$\int_0^xu(t)dt+\int_0^{u(x)} u^{-1}(t)dt+\int_{u(x)}^yu^{-1}(t)dt=
\int_0^xu(t)dt+\int_0^yu^{-1}(t)dt.
$$
\fexer

\dexer {\bf La fonction $p\to ||f||_p^p$.}\newline
Soit $f$ une fonction mesurable \a valeurs r\e elles. On consid\ee re 
$h : ]0, +\infty[\to \real^+$ d\e finie par 
$h(p)=||f||_{L^p}^p.$ On note $E=\{p, \; h(p)<+\infty.\}$. On suppose 
que $f\neq 0$ (p.p.).
\newline
\newline 
(a) Montrer que $E$ est un intervalle.
\newline\newline
Si $r<p<s$ et $r, s\in E$, on a pour tout r\e el $a>0$, 
$a^p\leq max (a^r, a^s)\leq a^r+a^s$, (regarder $a>1$, puis $a\leq 1$).
Donc $\int |f|^p \leq \int |f|^r+\int |f|^s.$
\newline\newline
(b) Montrer que $\hbox {Log } h$ est convexe dans l'int\e rieur de $E$ et que 
$h$ est continue sur $E$.
\newline\newline
(b) Soient $q, r\in E$ et $0<\alpha<1$. Par l'in\e galit\ea de H\ooo lder 
appliqu\e e \a $f^{\alpha q}$ et $f^{(1-\alpha)r}$, avec $p=\frac 1\alpha$, 
$p'=\frac 1{1-\alpha}$, on obtient 
 $$\int |f|^{\alpha q +(1-\alpha)r}\leq (\int |f|^q)^\alpha(\int |f|^r)^{1-\alpha},$$ 
 ce qui prouve que $\hbox{Log }(h)$ est convexe dans l'int\e rieur de $E$.
 Si les extr\e mit\e s de $E$ sont $a<b$, montrons par exemple que 
 $\int |f|^s\to \int |f|^b$ quand $s\to b$ par valeurs inf\e rieures.
 Par le th\e or\ee me de Lebesgue, 
 $$\int_{|f(x)|\leq 1}|f(x)|^s \to  \int_{|f(x)|\leq 1}|f(x)|^b$$
 quand $s\to b$.  En effet, sur l'ensemble consid\e r\e , 
 $|f(x)|^s\leq |f(x)|^a$, qui est chapeau int\e grable.
 Par le th\e or\ee me de convergence monotone, on a aussi
 $\int_{|f(x)|\geq 1}|f(x)|^s \to \int_{|f(x)|\geq 1}|f(x)|^b$,
  ce qui prouve le r\e sultat, que cette derni\ee re int\e grale soit finie
  ou infinie.
  \newline
  \newline
  (c) $E$ est-il n\e cessairement ouvert ? ferm\ea ? Peut-il \eee tre r\e duit 
  \a un point ? Peut-il \eee tre n'importe quel intervalle de $[0, +\infty[$ ?
  \newline
  \newline (c)
  Prendre pour $x\in \real^+$, $f(x)=\frac 1 x\indic_{[0, 1]}$ : Alors $E=[0, 1[$, 
  ce qui r\e pond 
  n\e gativement aux deux premi\ee res questions.  On peut obtenir $E=[1,1]$ 
  en prenant sur $\real^+$ $f(x)=\frac 1{xLog^2x}\indic_{[0,1]}
  +\frac 1{1+xLog^2x}\indic_{[0,1]}$. En effet, l'intervalle pour 
  la premi\ee re fonction de la somme est $E=[0,1]$ et pour la seconde
  $E=[1, +\infty[$.  En prenant des sommes
   de puissances ad\e quates des  trois fonctions consid\e r\e es pr\e c\e demment,
   on arrive \a obtenir  pour $E$ n'importe quel intervalle de $\real^+$.
\fexer

\dexer {\bf Application du th\e or\ee me de Banach-Steinhaus \a l'\e tude de 
s\e ries.}
\newline
\newline
(a)  Soient $c_0$ l'ensemble des suites de complexes $(\xi_n)_n$ convergeant
vers 0, muni de la norme $||\xi||_\infty=\sup_n |\xi_n|$
 et soit $l^1$ l'ensemble des suites $\alpha_n$ telles que 
$\sum_n |\alpha_n|<+\infty.$ Montrer que ce sont des espaces de Banach 
et que $c_0'=l^1$.
\newline
\newline
(b)
Montrer que si $\sum_n \alpha_n \xi_n$ converge pour toute suite 
$\xi_n$ telle que $\xi_n\to 0$ quand $n\to \infty$, alors 
$\sum_n |\alpha_n|<+\infty.$
\newline
\newline
(b) On consid\ee re les op\e rateurs $T_n(\xi)=\sum_{i=1}^n \alpha_i\xi_i$.
Par hypoth\ee se, on a $\sup_n T_n(\xi)<+\infty$ pour tout $x$. Par
 le th\e or\ee me de Banach-Steinhaus, on en d\e duit que 
 $\sup_n ||T_n||<+\infty.$  Mais 
 $$
||T_n||=\sup_{\sup_i |\xi_i|\leq 1} |\sum_i^n
 \alpha_i\xi_i|=\sum_i^n |\alpha_i|.$$
 Donc $\sup_n\sum_1^n |\alpha_n|<+\infty,$ soit $\sum_i|\alpha_i|<+\infty.$
 \newline
 \newline
 
 \fexer 
 
 \dexer {\bf Application du th\e or\ee me de Banach-Steinhaus \a l'\e tude des
 s\e ries de Fourier.}
 \newline
 \newline
Dans un espace topologique, on appelle $G_\delta$ toute intersection 
d\e nombrable d'ouverts. On appelle de m\eee me $F_\sigma$ toute
union d\e nombrable de ferm\e s  (Notations dues
 \a Hausdorff ; en  allemand Gebiet = ouvert, Summe = somme
et Durchschnitt = 
intersection.)  Les $G_\delta$ denses sont intuitivement des ensembles "gros".
On va en particulier donner une condition simple pour qu'ils ne soient pas 
d\e nombrables :
\newline
\newline 
(a) Montrer que dans un espace m\e trique complet $E$ sans point isol\e , aucun ensemble
dense et d\e nombrable ne peut \eee tre un $G_\delta$. 
\newline
\newline
(a) Soient $(x_n)_{n\in \natural}$ les points d'un ensemble d\e nombrable dense de $E$.  Supposons que
$E$ soit un $G_\delta$.  Alors $E=\bigcap O_n$, o\u chaque $O_n$ est ouvert et dense.
Soit $U_n=O_n\setminus \bigcup_{k=1}^n \{x_k\}.$ Alors $U_n$ est aussi un ouvert 
dense, mais $\bigcap V_n=\emptyset$, ce qui contredit le th\e or\ee me de Baire.
\newline
\newline
(b) Formulation pr\e cis\e e du th\e or\ee me de Banach-Steinhaus : En reprenant la d\e monstration 
du th\e or\ee me de Banach-Steinhaus, montrer  que si $E$ et 
$F$ sont deux espaces de Banach et $T_i$ une famille d'op\e rateurs lin\e aires
continus de $E$ dans $F$, on a l'alternative suivante :
\newline
-ou bien $\sup_{i\in I} ||T_i||<+\infty$
\newline
-ou bien  $\sup_{i\in I} ||T_i(x)||=+\infty$ pour $x$ dans un $G_\delta$ dense de 
$E$.
\newline
\newline
(b) Il suffit de relire la d\e monstration du th\e or\ee me de Banach-Steinhaus : elle
montre en fait l'alternative pr\e c\e dente.
\newline
\newline
(c) On note $C(T)$ l'espace des fonctions  $f:\real\to \complex$  continues et 
$2\pi$-p\e riodiques, muni de la norme de la convergence uniforme et 
$L^1(T)=L^1(0, 2\pi)$.
Pour $f\in C(T)$,  on  consid\ee re pour $n\in \natural$ 
les sommes partielles de la s\e rie de 
Fourier de $f$, 
$$
s_nf(x)=\frac 1 {2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)D_n(x-t)dt, 
$$
o\u 
$$
D_n(t)=\sum_{-n}^n e^{ikt}.
$$
Connaissez-vous des conditions suffisantes sur $f$ pour que 
$s_nf(x)$ tende vers $f(x)$ ?
\newline
\newline
(c) On sait que c'est par exemple vrai si $f$ est H\"{o}ld\e rienne d'exposant
$\alpha$, \ccaadd $|f(x)-f(y)|\leq |x-y|^\alpha,$ $0<\alpha<1$. 
\newline
\newline
(d)
On va montrer qu'il n'est pas vrai que $s_nf(x)$ converge vers $f(x)$ pour tout 
$f\in C(T)$ et pour tout $x$.
On pose 
$$s^\star f(x)=\sup_n|s_nf(x)|, \;\; \hbox{ et } S_nf=s_nf(0).$$
Montrer que la forme lin\e aire sur $C(T)$,
$f\to S_nf$, v\e rifie
\fb&
 \label{majoration1}
||S_n||\leq \frac 1{2\pi}||D_n||_{L^1}.
\fe&
Montrer que cette in\e galit\ea est la meilleure possible, c'est-�-dire 
qu'il existe  pour tout $n$ une suite de fonctions $f_k\in C(T)$ telles que 
$||S_nf_k||\to \frac 1{2\pi}||D_n||_{L^1}.$
\newline
\newline
(d) On a $$|S_nf|\leq \frac 1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |D_n(t)||f(t)|dt
\leq \frac 1{2\pi} ||D_n||_{L^1}||f||_{L^\infty}.$$
D'o\u l'in\e galit\ea annonc\e e.  Posons $h(t)=\signe(D_n(-t))$. Comme 
$C_c(0, 2\pi)$ est dense dans $L^1(T)$, on peut trouver $f_k\in C_c$ convergeant 
dans $L^1$ vers h(t).  Comme $D_n$ est born\e e sur $T$, on d\e duit que 
$$S_nf_k = \frac 1 {2\pi}\int_{-\pi}^\pi f_k(t)D_n(-t)dt\to 
\frac 1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi|D_n(-t)|dt.$$
\newline
\newline
(e) Montrer que 
$$D_n(t)=\frac{\sin(n+\frac 12)t}{\sin \frac t2}.$$
Dessiner $D_n(t)$ pour $n=4$. 
\newline
\newline
(e) S'obtient ais\e ment en sommant la somme g\e om\e trique d\e finissant $D_n$.
On peut aussi multiplier la somme d\e finissant $D_n$ par $e^{\frac {it}2}$
 et par $e^{\frac{-it}2}$, et soustraire l'une \a l'autre les sommes ainsi obtenues.
\newline
\newline
(f) D\e montrer que $||D_n||_{L^1}\to \infty$ quand $n\to \infty.$
\newline
\newline
(f) Compte tenu de $|\sin x|\leq |x|,$ on a
$$||D_n||_{L^1}\geq 4\int_0^\pi |\sin(n+\frac 12)t|\frac{dt}t=
4\int_0^{(n+\frac 12)\pi}|\sin t|\frac {dt}t
$$
$$>4\sum_{k=1}^n\frac 1{k\pi}\int_{(k-1)\pi}^{k\pi}|\sin t|dt=\frac 8{\pi}
\sum_{k=1}^n \frac 1k\to \infty.$$
\newline
\newline
(g)  D\e duire que $||S_n||\to \infty$ quand $n\to \infty$, puis que  pour tout $x$ 
dans $\real$,
$s^\star f(x)=\infty$ pour tout $f$ dans un $G_\delta$ dense de $C(T)$, not\ea 
$E_x$.
\newline
\newline
(g)  La premi\ee re relation d\e coule imm\e diatement des questions (f) et (c).
Les op\e rateurs $S_n$ \e tant continus sur $C(T)$ et v\e rifiant 
$\sup_n ||S_n||=+\infty$, il existe par la formulation pr\e cis\e e (a) du 
th\e or\ee me de Banach-Steinhaus un $G_\delta$ dense $E_0$ de $C(T)$ tel que 
$s^\star f(0)=+\infty$ pour tout \e l\e ment de $E_0$. Mais on peut appliquer 
ce m\eee me r\e sultat \a tout point $x$ de $\real$, ce qui permet de conclure.
\newline
\newline
(h) Montrer que les fonctions $x\to s_nf(x)$ sont continues.
 Montrer que $s^\star f(x)$ est une fonction semicontinue inf\e rieurement et en 
d\e duire que $A_f=\{x, \; s^\star f(x)=\infty\}$ est un $G_\delta.$
\newline
\newline
(h) Chaque fonction $s_nf$ est un polyn\oo me trigonom\e trique en $x$, donc continue.
La fonction $x\to s^\star f(x)$ est  le 
sup d'une famille de fonctions continues (les $|s_nf(x)|$). Or, une fonction $h$ est s.c.i.
si et seulement les ensembles $N_\lambda(h) =\{x, \; h(x)> \lambda\}$ sont tous ouverts.
Si $h=\sup_i f_i$, et si les fonctions $f_i$ sont continues, on a 
$N_\lambda (h)=\bigcup_{i} N_\lambda(f_i)$ qui est ouvert puisque les $N_\lambda(f_i)$
le sont.  L'ensemble 
$$\{x, \; s^\star f(x)=\infty\}=\bigcap_{\lambda\in \real} N_\lambda(s^\star f)$$
est donc un $G_\delta$.
\newline
\newline
(i) Soit $x_k$ une suite dense de $\real$ et $E=\bigcap E_{x_i}$, o\u les 
$E_{x_i} $ sont d\e finis \a la question (g).  Montrer que $E$ est  un 
$G_\delta$ dense de $C(T)$.
\newline
\newline
(i)
$E$ est une intersection d\e nombrable de $G_\delta $ denses. C'est 
une intersection
d\e nombrable d'intersections d\e nombrables d'ouverts denses, et 
donc encore une intersection 
d\e nombrable d'ouverts denses par le lemme de Baire.
\newline
\newline
(j) Conclure qu'il existe un $G_\delta$ dense de $C(T)$ tel que pour tout $f\in E$, 
la s\e rie de Fourier diverge sur un $G_\delta$ dense, et donc non d\e nombrable,
de $\real$. 
\newline
\newline
(j) On prend le sous-ensemble $E$ d\e fini en question (i).  
 C'est un $G_\delta$ dense de $C(T)$ par la question pr\e c\e dente. Pour chaque
 $f$ dans $E$, on a $s^\star f(x_k)=\sup_n s_nf(x_k)=+\infty$.  Donc le sous-ensemble 
 $A_f$ 
 de $\real$ constitu\ea des points  $x$ tels que 
 $s^\star f(x)=+\infty$ contient tous les $x_k$. Mais on a aussi vu en question 
 (h) que $A_f$ est un $G_\delta$.  C'est donc un $G_\delta $ dense, et par la 
 question (a) il n'est pas d\e nombrable. Comme l'ensemble des points o\u
 la s\e rie de Fourier de $f$ diverge contient $A_f$, on d\e duit que cette 
 s\e rie diverge sur un $G_\delta$ non d\e nombrable, comme annonc\e .


\fexer  
\dexer
{\bf Techniques d'espaces de Banach appliqu\e es \a l'\e tude des s\e ries
de Fourier (II).}
\newline
Si $f\in L^1(0, 2\pi)$, on consid\ee re ses coefficients de Fourier, pour 
$n\in \relative$,
$$c_n(f)=\frac 1 {2\pi}\int_0^{2\pi} f(t)e^{-int}dt.$$
On appelle $c(f)=(c_n(f))_{n\in \relative}$ la suite des coefficients de Fourier,
index\e e par $\relative$.  On note $C_0(\relative)$ l'ensemble des suites $c$ index\e es
par $\relative$ telles que $c_n\to 0$ quand $n\to \pm \infty$, muni de la 
norme $||c||_\infty=\sup_n |c_n|.$
\newline
\newline
(a) Montrer que si $f\in L^1(0, 2\pi)$ v\e rifie $\int f(x)p(x)=0$ pour 
tout polyn\oo me 
trigonom\e trique, alors $f(x)=0$ p.p..
\newline
\newline
(a) On rappelle que si $\int f(x)g(x)=0$ pour toute fonction dans $C_c(0, 2\pi)$, 
alors $f=0$ p.p..  Mais, par le th\e or\ee me de Stone-Weierstrass, les polyn\oo mes 
trigonom\e triques sont denses dans $C_c(0, 2\pi)$ pour la convergence uniforme.
On conclut ais\e ment.
\newline
\newline
(b) Montrer que l'application $f\to c(f)$ est une application lin\e aire 
continue de $L^1(0, 2\pi)$ dans $C(\relative)$.  
\newline
\newline
(b) Par le lemme de Riemann-Lebesgue, on sait d\e ja que $c_n(f)\to 0$ quand
$n\to \pm \infty$.  On a aussi imm\e diatement $c_n(f)\leq ||f||_{L^1}.$ et 
donc $||c(f)||_{\infty}\leq ||f||_{L^1}.$
\newline
\newline
(c) Montrer que l'application $f\to c(f)$ est injective.
\newline
\newline
(c)  C'est une cons\e quence imm\e diate de la question a). Si en effet 
$c(f)=c(g)$, on a $c(f-g)=0$.  Cela veut dire que $\int (f-g)(t)e^{-int}dt$ est 
nul pour tout $n$ et donc l'hypoth\ee se de la question (a) est v\e rifi\e e.
\newline
\newline
(d) En utilisant les propri\e t\e s des fonctions $D_n(t)$ de l'exercice pr\e c\e dent,
notamment le r\e sultat de la question (e), montrer que l'application 
$f\to c(f)$ ne peut pas \eee tre surjective de  $L^1(T) $ dans $C_0(\relative).$
\newline
\newline 
(d) Si l'application $f\to c(f)$ \e tait surjective, elle serait une bijection 
de $L^1$ sur $C_0(\relative)$.  Par le th\e or\ee me de l'application
ouverte, elle serait alors d'inverse continue et il existerait une  constante 
$\alpha>0$ telle que 
$||f||_{L^1}\leq \alpha ||c(f)||_\infty.$  Mais une telle in\e galit\ea est 
contredite par les $D_n$ : on a en effet $c_k(D_n)=1 $ ou 0, donc 
$||c(D_n)||_\infty=1$, alors que $||D_n||_{L^1}\to 0$ par la question (e) de 
l'exercice pr\e c\e dent.

\fexer

\dexer {\bf Et pour quelques points de plus...}\newline
D\e montrer le th\e or\ee me d'Egoroff.
\fexer


\end{document}